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Escola Politécnica da Universidade de São Paulo – Departamento de Engenharia Mecânica 1

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PME-2350 – MECÂNICA DOS SÓLIDOS II

AULA #5: RELAÇÕES DEFORMAÇÕES-DESLOCAMENTOS1

5.1 Motivação e objetivos

O objetivo destas notas é recordar as relações cinemáticas entre o campo de deslocamentos dos

pontos de um sólido deformável e o campo de deformações existente nas vizinhanças dos pontos do

sólido. Tais relações, estudadas na disciplina PME-2300 – Mecânica dos Sólidos I, utilizando o sistema

de coordenadas cartesianas, serão também apresentadas segundo outros sistemas de coordenadas, como

as coordenadas cilíndricas e esféricas.

As relações deslocamentos-deformações expressas nos diferentes sistemas de coordenadas citados

podem ser também encontradas em várias referências que tratam do tema, como:

� Em Timoshenko e Goodier [1]: ver cap.1 (item 5) e cap.4 (item 30);

� Em Sokolnikoff [2]: ver cap.1 (itens 7 e 11) e cap.4 (item 48);

� Em Love [3]: ver cap.I (itens 10 e 22);

Alguns artigos de interesse e que utilizam tais equações na solução de problemas estruturais também

podem ser citados, como por exemplo: Yong e Keogh [4], Eslami, Babaei e Poultangari [5], Imaninejad

e Subhash [6] e Rattanawangcharoen et al. [7].

5.2 As relações deformações-deslocamentos em coordenadas cartesianas

Consideremos o sólido deformável indicado na fig. 4, em duas configurações possíveis: a

configuração inicial (também designada configuração de referência, ou não-deformada), a partir da

qual os deslocamentos relativos são medidos, e a configuração final (também designada configuração

corrente, ou deformada), obtida após a aplicação de determinados esforços ao sólido. No sistema de

coordenadas cartesianas Oxyz indicado, designemos as componentes de deslocamento de um ponto P

genérico pertencente ao sólido, medidas respectivamente nas direções dos eixos cartesianos Ox, Oy e

Oz, por � = �(�,�, �), � = �(�,�, �) e � = �(�,�, �). Conforme visto na disciplina PME-2300,

Mecânica dos Sólidos I, em condições de linearidade geométrica (ou seja, pequenos deslocamentos,

pequenas rotações e pequenas deformações), as relações entre as deformações (medidas na vizinhança

do ponto P) e as componentes de deslocamento são dadas por:

1 Notas de Aula preparadas pelo Prof. Dr. Roberto Ramos Jr., email: [email protected]



��

�� Eq.(1)

��

�� Eq.(2)

��

� Eq.(3)

��

��

�� Eq.(4)

��

��

�� Eq.(5)

��

��

� Eq.(6)

Fig. 4 Sólido deformável: configurações de referência (linha tracejada) e deformada (linha cheia).

É importante lembrar que os alongamentos ��, �� e ��, dados por Eq.(1-3), representam os

alongamentos das fibras que passam pelo ponto P, e cujos versores tangentes, tomados em P na

configuração de referência, têm as direções dos versores � �, � � e � � (ver Fig.4). Ainda, com relação às

distorções ��, ��, ��, lembramos que elas representam as variações dos ângulos (inicialmente retos),

medidas em radianos, entre os versores tangentes às fibras que, na configuração de referência, passam

x

y

z

� � � �

� �

Fibras passando por um ponto P na

configuração de referência.



pelo ponto P e têm as direções dos versores �� e �� (para a distorção ��), dos versores �� e �� (para a distorção ��), ou ainda dos versores �� e �� (para a distorção ��).

5.3 As relações deformações-deslocamentos em coordenadas cilíndricas

Para a obtenção das relações deformações-deslocamentos em coordenadas cilíndricas, serão

necessárias as seguintes relações:

• Equação de transformação de deformação (conf. Eq.(17) de [8]);

• Matriz de mudança de base, ��, conforme indicado em [8]; • Relações deformações-deslocamentos em coordenadas cartesianas;

• Matriz Jacobiana referente aos sistemas de coordenadas cilíndricas e cartesianas.

Em síntese, queremos determinar as componentes do tensor das (pequenas) deformações, agora

expresso no sistema de coordenadas cilíndricas e, portanto, escrito na nova base ′ = ��, ��, ��. Conforme visto em [8], a relação entre os tensores das deformações escritos na base anterior, =

��, ��, ��, e na nova base, ′ = ��, ��, ��, é dada por: �� = ��. ��. �� (7)

Onde:

�� = ��

��

��

��

��

��

��

��

�� é o tensor das deformações na base � = ��, ��, ��;

�� =

��

��

��

��

��

��

��

�� é o tensor das deformações na base = ��, ��, ��;

�� = �� −�� 0�� 00 0 1

é a matriz de mudança de base, de para � (ver [8]).

Assim, para obter as relações deformações-deslocamentos em coordenadas cilíndricas, basta utilizar

a Eq.(7). Porém, antes, é preciso rescrever as relações dadas por Eq.(1-6) como as derivadas das



componentes de deslocamentos em coordenadas cilíndricas (ou seja, ��, ��, ��) em relação às próprias

coordenadas cilíndricas (isto é, em relação à r, �, z). Em outras palavras, é preciso escrever o tensor das deformações, expresso na base antiga = ��, ��, ��, em função das derivadas de ��, �� e �� em

relação a r, �, z 2. Para tanto, basta utilizar as seguintes relações: �� =

�!�� + !�� 2

(8)

Onde, !�� é o tensor denominado gradiente dos deslocamentos (conforme visto em PME-2300),

expresso na base = ��, ��, ��, e dado por:

!�� =

��"�"� "�"� "�"�"�"� "�"� "�"�"�"� "�"� "�"� ��

��=

$%&%'��(%)%*. + ""� ""� ""�, (9)

Ou, ainda, de forma abreviada:

!�� = -�.�/�. 01∇..�2�3� (10)

Porém, como visto em [8], podemos escrever:

-�.�/� = ��. -�.�/�� (11)

E, com relação ao operador gradiente, 1∇..�2, temos:

1∇..�2�=

$%%&%%'

""�""�""�(%%)%%*=

��"4"� "�"� "�"�"4"� "�"� "�"�"4"� "�"� "�"��

��.

$%%&%%'

""4""�""�(%%)%%* (12)

Ou, ainda, de forma abreviada:

2 Note, contudo, que, apenas após o uso de Eq.(7), é que teremos o tensor das deformações escrito na base ��

=

�� , ��, ��.



1∇..�2�= �5��. 1∇..�2�� (13)

Onde 5�� representa a matriz jacobiana da transformação (de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas) dada por:

5�� =��"4"� "4"� "4"�"�"� "�"� "�"�"�"� "�"� "�"��

�� (14)

Considerando que a transformação inversa exista, são igualmente válidas as relações:

1∇..�2��=

$%%&%%'

""4""�""�(%%)%%*=

��"�"4 "�"4 "�"4"�"� "�"� "�"�"�"� "�"� "�"��

��.

$%%&%%'

""�""�""�(%%)%%* (15)

Ou, de forma abreviada:

1∇..�2��= �5�� . 1∇..�2

� (16)

Sendo 5�� a matriz jacobiana da transformação (de coordenadas cilíndricas para coordenadas cartesianas) dada por:

5�� =

��"�"4 "�"� "�"�"�"4 "�"� "�"�"�"4 "�"� "�"��

�� (17)

E, de Eq.(13) e Eq.(16), vem:



5��. 5�� = 6� ⇔ 5�� = �5�� (18)

No caso em pauta, a transformação de coordenadas (cilíndricas para cartesianas) é pautada pelas

relações:

��4, �, �� = 4. cos�� 4,�, �� = 4. ��

�(4,�, �) = � (19)

Resultando:

5�� =

��"�"4 "�"� "�"�"�"4 "�"� "�"�"�"4 "�"� "�"��

��=

��cos(�) −4. ��(�) 0

��(�) 4. cos(�) 0

0 0 1�� (20)

E, portanto:

�5�� = �5�� =��cos(�) −

��(�)4 0

��(�) cos(�)4 0

0 0 1�� (21)

Após este longo, porém necessário, intervalo, retornamos à Eq.(10) que, combinada com Eq.(11) e

com Eq.(13), fica:

!�� = ��. -�.�/��. 1∇..�2�� . 5�� (22)

onde se deve ter claro que o operador 1∇..�2��

� está aplicado sobre o produto ��. -�.�/��, sendo 5��

apenas um termo multiplicativo. Pode-se ainda rescrever Eq.(22) na forma:

!�� = 81∇..�2��. ��. -�.�/��9� . 5�� (23)



a qual deixa evidente que o operador 1∇..�2�� incide sobre a transposta de ��. -�.�/��.

Aplicando o procedimento descrito nesta seção, pode-se verificar que as seguintes relações

deformações-deslocamentos são aplicáveis no sistema de coordenadas cilíndricas:

�� ="��"4 Eq.(24)

�� =��4 +

14 ."��"� Eq.(25)

�� ="��"� Eq.(26)

�� ="��"4 +

14 ."��"� −��4 Eq.(27)

�� ="��"� +

"��"4 Eq.(28)

�� = "��"� +14 ."��"� Eq.(29)

O Anexo A mostra o passo-a-passo para a determinação destas relações utilizando o procedimento

descrito anteriormente com auxílio do software Maple.

5.4 As relações deformações-deslocamentos em coordenadas esféricas

De forma totalmente análoga ao procedimento visto no item 1.3, para a obtenção das relações

deformações-deslocamentos em coordenadas esféricas, serão necessárias as seguintes relações:

• Equação de transformação de deformação (conf. Eq.(17) de [8]);

• Matriz de mudança de base, ��, conforme indicado em [8]; • Relações deformações-deslocamentos em coordenadas cartesianas;

• Matriz Jacobiana referente aos sistemas de coordenadas esféricas e cartesianas.

Queremos agora determinar as componentes do tensor das (pequenas) deformações, expresso no

sistema de coordenadas esféricas e, portanto, escrito na nova base ′ = ��, �� , ��. Conforme visto em



[8], a relação entre os tensores das deformações escritos na base anterior, = ��, ��, ��, e na nova base, ′ = ��, �� , ��, é dada por:

�� = ��. ��. �� (30)

Onde:

�� =��

��

��

� ��

��

��

��

�� é o tensor das deformações na base � = ��, �� , ��;

�� =

��

��

��

��

��

��

��

�� é o tensor das deformações na base = ��, ��, ��;

�� = ��:. cos� ��:. cos� −��:. �� cos:. sen� cos��: −��: 0 é a matriz de mudança de base, de para � (ver [8]).

Para obter as relações deformações-deslocamentos em coordenadas esféricas, basta utilizar a

Eq.(30). Antes, porém, é preciso rescrever as relações dadas por Eq.(1-6) como as derivadas das

componentes de deslocamentos em coordenadas esféricas (ou seja, ��, � , ��) em relação às próprias

coordenadas esféricas (isto é, em relação à r, :, �). Em outras palavras, é preciso escrever o tensor das deformações, expresso na base antiga = ��, ��, ��, em função das derivadas de ��, � e �� em

relação a r, :, � 3. Para tanto, basta utilizar a relação: �� =

�!�� + !�� 2

(31)

Onde, !��, conforme já mencionado, é o gradiente dos deslocamentos, expresso na base =

��, ��, ��, e dado por:

3 Note, contudo, que, apenas após o uso de Eq.(7), é que teremos o tensor das deformações escrito na base ��

=

��, ��, ��.



!�� =

��"�"� "�"� "�"�"�"� "�"� "�"�"�"� "�"� "�"� ��

��=

$%&%'��(%)%*. + ""� ""� ""�, = -�.�/�. 01∇..�2�3� (32)

Seguindo o mesmo procedimento visto em 1.3, o tensor gradiente dos deslocamentos dado pela

Eq.(32), pode ser rescrito na forma:

!�� = ��. -�.�/��. 1∇..�2�� . 5�� (33)

Onde,

1∇..�2��=

$%%&%%'

""4"":""�(%%)%%*=

��"�"4 "�"4 "�"4"�": "�": "�":"�"� "�"� "�"��

��.

$%%&%%'

""�""�""�(%%)%%* (34)

Ou, de forma abreviada:

1∇..�2��= �5�� . 1∇..�2

� (35)

Sendo 5�� a matriz jacobiana da transformação (de coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas) dada por:

5�� =

��"�"4 "�": "�"�"�"4 "�": "�"�"�"4 "�": "�"��

�� (36)

Neste caso, a transformação de coordenadas (esféricas para cartesianas) é pautada pelas relações:



��4,:,�� = 4. ��:�. cos�� 4,:, �� = 4. ��:�. ��

��4,:,�� = 4. cos(:) (37)

Resultando:

5�� =

��sen�:�cos(�) 4 cos�:� ��(�) −4��:��(�)��(:)��(�) 4 ��:� ��(�) 4��(:)cos(�)

cos(:) −4��(:) 0 �� (38)

E, portanto:

�5�� = �5�� =��(:)cos(�) ��(:)��(�)4 −

��(�)4�;�(:)��(:)��(�) ��(:)��(�)4 cos(�)4��(:)

��(:) −��(:)4 0 ��

�� (39)

Aplicando o procedimento descrito nesta seção, pode-se verificar que as seguintes relações

deformações-deslocamentos são aplicáveis no sistema de coordenadas esféricas:

�� ="��"4 Eq.(40)

� =��4 +

14 "� ": Eq.(41)

�� =��4 +

14��(:)"��"� +� 4 ��<=(:) Eq.(42)

� =14 "��": −

� 4 +"� "4 Eq.(43)

�� =14��(:)"��"� −

��4 +"��"4 Eq.(44)

� =14��(:)"� "� +

14 "��": −��4 ��<=(:) Eq.(45)



O Anexo B mostra o passo-a-passo para a determinação destas relações utilizando o procedimento

descrito anteriormente com auxílio do software Maple.

5.5 Referências

[1] Timoshenko., S.P., Goodier, J.N., Theory of Elasticity, 3rd ed., McGraw-Hill, 1970.

[2] Sokolnikoff, I.S., Mathematical Theory of Elasticity, 2nd ed., McGraw-Hill, 1956.

[3] Love, A.E.H., A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, 4th ed., Dover Pub., 1944.

[4] Yong, W.Y., Keogh, P.S., (2007), Annular component transient thermoelastic analysis using a state

space approach. J. Tribology, v.129, pp.818-828.

[5] Eslami, M.R., Babaei, M.H., Poultangari, R., (2005), Thermal and mechanical stresses in a

functionally graded thick sphere. Int. J. Pressure Vessels and Piping, v.82, pp.522-527.

[6] Imaninejad, M., Subhash, G., (2005), Proportional loading of thick-walled cylinders. Int. J. Pressure

Vessels and Piping, v.82, pp.129-135.

[7] Rattanawangcharoen, N., Bai, H., Shah, A.H., (2004), A 3D cylindrical finite element model for

thick curved beam stress analysis. Int. J. Numer. Meth. Engng, v.59, pp.511-531.

[8] www.poli.usp.br/d/pme2350, Aula #3 – Transformação de Tensão e de Deformação, 9 pg.



Anexo A (página 1 / 2):



Anexo A (página 2 / 2):



Anexo B (página 1 / 2):



Anexo B (página 2 / 2):

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