ORIENTADORA: ELAINE MARIA DA SILVA

PACTO –

UNIDADE 3 e 4

VAMOS BRINCAR DE CONSTRUIR AS

NOSSAS E OUTRAS HISTÓRIAS

LEITURA DELEITE

CHICO BENTO

Vocês conhecem o personagem Chico

Bento?

•De onde?

•Como podemos identificá-lo?

•Chico Bento se assemelha com algum

de nossos alunos?

•Por quê?

Qual o tipo de problema elaborado pela professora?

•Qual a diferença da forma como os enunciados da situação-problema

foram elaborados pelos personagens: Professora e Chico Bento?

Pergunta elaborada pela professora:

Chico, eu tinha 10 cabritos, vendi quatro, com quantos fiquei?

Pergunta elaborada por Chico:

Zé lelé, a fessora tinha 10 cabrito, vendeu quatro, quantos ficaram?

•Caso Zé lelé não questionasse Chico com a pergunta: Com ela ou com

quem comprou?, o problema teria como ser resolvido?

•Qual era o objetivo da professora com a atividade?

•Quais os sentidos que cada personagem atribuiu à palavra

PROBLEMA?

•Ao final do vídeo, a pergunta iniciada pela professora nos dá indícios

sobre o tipo de problema que iria ser solicitado?

•Chico, de fato, realizou um cálculo relacional?

Objetivos do Caderno 4

OPERAÇÕES NA RESOLUÇÃO

DE PROBLEMAS

compreender os sentidos das operações de

adição, subtração, multiplicação e divisão,

integradas na resolução de problemas;

elaborar, interpretar e resolver situações-

problema do campo aditivo (adição e

subtração) e multiplicativo (multiplicação e

divisão);

Objetivos do Caderno 4

valorizar as estratégias pessoais e as

formas de representação espontâneas das

crianças, ampliando o repertório de

representações simbólicas;

trabalhar com os algoritmos tradicionais

articulados a compreensão do Sistema de

Numeração Decimal

uso de materiais manipulativos, jogos e

calculadora.

Atividade Analisar quais foram os erros e acertos de

cada forma de resolução e identificar quais

foram as dificuldades encontradas.

a) Como os alunos resolvem os problemas?

b) Quais alunos resolveram as contas

corretamente?

c) Qual a diferença entre conta e problema?

Qual a natureza dos erros? O

que se pode fazer para

superar as dificuldades dos

alunos?

ALGUMAS ESTRATÉGIAS DE CRIANÇAS

A CASA DO VOVÔ

VOVÔ DISSE QUE CRESCEU NUMA CASA ONDE HAVIA 12 PÉS E UM

RABO. QUEM PODERIA TER VIVIDO COM VOVÔ NESTA CASA?

VOVÔ DISSE QUE CRESCEU NUMA CASA ONDE HAVIA 12 PÉS E UM

RABO. QUEM PODERIA TER VIVIDO COM VOVÔ NESTA CASA?

“Na casa vivia o vovô, um

rinoceronte sem rabo e um

macaco com um rabo bem

grande e o neto do vovô

que está chorando porque

está com medo do

rinoceronte!”

“É o vovô, a vovó,

um filho chamado

Pedro e sua irmã

Laura e o cachorro

Totó. São 2 mais 2

que dá quatro,

mais 4 que dá 8 e

mais 4 pés do

cachorro que dá

12. O rabo é do

cachorro”.

“Na casa morava o vovô Carlos, a vovó Lu, seus netos

João e Bruna e um mostro enorme com quatro pernas e um

rabo!”

A: “Moravam seis

pessoas”.

P: E o rabo?

A: Aqui olha, o rabo

de cavalo da filha da

vovó.

A: Vovô, o neto,

um gato e rato!

P: Mas, não é só

um rabo?

A: É mesmo,

então vou

pensar numa

outra solução.

“O vovô, o

neto, o gato e

um rato sem

rabo. Porque o

gato comeu!”

“Um cachorro uma pessoa

e uma aranha.”

“Quatro pessoas e

um cachorro.”

“Nessa casa moram 12

pessoas que só tem uma

perna, igual Saci.”

P: Não eram 12 pés?

A: Sim, mas o gato fugiu e o avô é cadeirante.

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA SALA DE AULA

ESTIMULAR ESTRATÉGIAS INDIVIDUAIS

VIVENCIAR AS SITUAÇÕES MATEMÁTICAS

DECIDIR SOBRE AS ESTRATÉGIAS

SOCIALIZAR AS ESTRATÉGIAS UTILIZADAS

NA RESOLUÇÃO DE UMA SITUAÇÃO-PROBLEMA

O ALUNO PRECISA:

INTERPRETAR A SITUAÇÃO –PROBLEMA VIVENCIADA.

COMPREENDER O ENUNCIADO DO PROBLEMA

ESTABELECER RELAÇÕES ENTRE O ENUNCIADO E OS CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS

FATORES QUE LEVAM OS ALUNOS A

ERROS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Duas naturezas de “erros”:

Os de natureza linguística: decorrentes das

dificuldades de compreensão de textos, considerando

que o enunciado dos problemas é um texto, seja ele

apresentado de modo oral ou escrito.

Os de natureza matemática: decorrentes de

limitações na compreensão de conceitos envolvidos

impedindo o estabelecimento das relações necessárias

para a solução do problema.

SITUAÇÕES ADITIVAS E MULTIPLICATIVAS

NO CICLO DE ALFABETIZAÇÃO

Professor, que conta tem que fazer?

É de mais ou de menos?

É de vezes ou de dividir?

VOCÊ JÁ OUVIU ESSAS PERGUNTAS?

Teoria dos campos conceituais

Gérard Vergnaud

CAMPO CONCEITUAL: um conjunto de situações cujo

domínio requer uma variedade de conceitos, de

procedimentos e de representações simbólicas em

estreita conexão.

Estruturas aditivas: medida, transformação,

comparação, diferença, inversão, adição, subtração,

número natural, número relativo...

Estruturas multiplicativas: multiplicação, divisão,

número racional...

Cálculo relacional: Compreensão das relações e

propriedades envolvidas nos problemas.

Vergnaud (2009) afirma que conceitos nãopodem ser compreendidos de modo isolado,mas sim a partir de campos conceituais.

COMPOSIÇÃO COMPARAÇÃO

TRANSFORMAÇÃO

PROBLEMAS DE COMPOSIÇÃO Situações que envolvem parte-todo: juntar uma

parte com outra parte para obter o todo, ou

subtrair uma parte do todo para obter a outra

parte

Exemplo de Composição 1)Todo desconhecido Ex: Carolina e João Pedro colecionam miniaturas de garrafas de refrigerante, Carolina tem 19 miniaturas e João Pedro tem 16 miniaturas. Quantas miniaturas eles têm juntos?

2) Parte desconhecido Ex: Carolina e João Pedro têm juntos 35 miniaturas de garrafas de refrigerante. Carolina tem 19 miniaturas. Quantas João Paulo tem?

Problemas de Transformação

Situações em que no estado inicial tem-se uma

quantidade que se transforma (por acréscimo

ou decréscimo), chegando ao estado final com

outra quantidade.

Exemplos de Transformação 1) Resultado desconhecido – situação de acréscimo Ex: Daniela possui uma coleção de chaveiros. Ela tinha 15 chaveiros. Sua tia lhe deu de presente 17 chaveiros. Quantos ela tem agora? 2) Transformação desconhecida – situação de decréscimo Ex: Carla tinha 4 figurinhas. Ganhou algumas de seu tio e ficou com 9 figurinhas. Quantas ela ganhou do tio? 3) Estado Inicial desconhecido – situação de decréscimo Ex.: A mãe de Adriana tinha alguns bombons. Ela deu 5 para seus filhos e ainda ficou com 4. Quantos bombons a mãe de Adriana tinha?

Problemas de comparação

Comparam duas quantidades, uma chamada

referente e a outra, o referido. (São

confrontadas duas quantidades)

Exemplos de Comparação

1) Diferença desconhecida Ex: Na cantina de nossa escola há 36pacotes de biscoitos de chocolate e 17 pacotes de biscoito demorango. Quantos pacotes de morango há a menos?2) Quantidade maior desconhecida Ex: Na cantina de nossaescola há alguns pacotes de biscoitos de chocolate e 17 pacotesde biscoitos de morango. Se há 19 pacotes de biscoito dechocolate a mais. Quantos pacotes de chocolate há?3) Quantidade menor desconhecida Ex: Na cantina de nossaescola há 36 pacotes de biscoitos de chocolate e 19 pacotes debiscoito de morango a menos. Quantos pacotes de morango há?

OBSERVE ALGUMAS SITUAÇÕES

PROBLEMAS E RESOLVA

CRIANÇA CARTA

LEITURA DE IMAGENS

CRIANÇA CARTA

LEITURA DE IMAGENS

Por meio desta imagem pode-se explorar a oralidade das crianças e a

interpretação dos fatos que se sucedem.

São três crianças jogando, a que ficou com menos cartas perdeu e saiu do

jogo após juntarem as cartas. As duas que ficaram continuaram jogando e

empataram, pois a quantidade de cartas é a mesma. Evidentemente, há outras

interpretações e a professora pode explorar por meio de perguntas, o que

relaciona a leitura à resolução de Problemas.

OBRA DE ARTE "Roda" de Milton Dacosta em 1942

OBRA DE ARTE "Roda" de Milton Dacosta em 1942

Há muitas outras obras de arte a serem exploradas, não necessariamente com

a contagem de elementos ou formas geométricas.

Neste caso, o que se pode explorar?

Dentre outras possibilidades, as noções de direita e esquerda, onde

brincavam, que horário aconteceu a brincadeira, como estava o tempo (havia

sol, pois aparece a sombra), etc.

TIRINHAS

As tirinhas também apresentam ideias matemáticas que se transformam em

interessantes problemas.

Por exemplo, neste caso, qual foi a brilhante ideia de Magali?

ERA UMA VEZ ... MUITOS PROBLEMAS DE UMA VEZ

QUEM SÃO?

1

ONDE FORAM?

2

O QUE

COMPRARAM?

3

QUANTO

CUSTOU?

4 5

COMO

ACABOU?

6

COMO

RESOLVER?

Problemas “sem contas”:

Joana ganhou um gatinho recém-nascido que, em

pouco tempo, cresceu e se transformou num belo

gato. Agora, Joana está querendo saber quantos

quilos pesa seu bichinho, o problema é que ela não

consegue convencer o bicho a ficar quieto sobre a

balança da farmácia, foi então que Joana pensou muito

e "bolou" um sistema infalível para resolver o problema.

E você, como faria para resolvê-lo?

Problemas com excesso de dados

Hemengardos é um “girafo”. Ele adora gravatas-

borboleta. Diz que elas valorizam seu pescoço.

Hemengardos tem vinte e uma gravatas lisas,

quinze de bolinhas, trinta e quatro listradas, oito

de estampados diversos, dezesseis floridas e

trinta cachecóis. Quantas gravatas Hemengardos

têm?

Caderno 1 (p.29)

Problemas “sem perguntas”

CAMILA TEM 19 FIGURINHAS, BRUNO TEM 22.

Explorar as possibilidades de criação de situações...

Quem tem mais figurinhas?

Quantas figurinhas Bruno tem a mais do que Camila?

Quem tem menos figurinhas?

Quantas figurinhas Camila tem a menos do que Bruno?

Quantas figurinhas eles têm juntos?

Só com as “perguntas”

QUANTOS DOCES SOBRARAM?

QUANTOS QUILÔMETROS FALTAM PARA

COMPLETAR A VIAGEM?

Construir o enunciado a partir da

“resposta”.

TENHO 55 FIGURINHAS.

RECEBI DE TROCO 2 REAIS.

GANHEI 15 PONTOS NO FINAL DO

JOGO.

SOBROU METADE DO BOLO.

Completar enunciados.

UMA DOCEIRA FEZ PARA UMA

ENCOMENDA _______ BRIGADEIROS. SE

ELA COBRA ______ REAIS POR UMA

DEZENA DE DOCES. QUANTO ELA

RECEBEU PELO TRABALHO?

E não conseguia vendê-las

À tarde

Vendeu ___ toalhas. Ai, o dono abaixou o preço

Uma loja de tecidos tinha Ele vendeu ____

Quantas toalhas Na manhã deste dia,

382Sobraram no estoque?

A notícia se espalhou e

Um estoque de ____toalhas

790 1 700

Problemas em tiras...

Uma loja de tecidos tinha um estoque de ____toalhas1 700

e não conseguia vendê-las. Ai, o dono abaixou o preço.

Na manhã deste dia, vendeu _____ toalhas.382

A notícia se espalhou e à tarde ele vendeu ______.

Quantas toalhas sobraram no estoque?

790

conhecimentos sempre estão inseridos em contextos;

a seleção sobre os contextos, as aproximações as experiências vividas pelosalunos determina o grau de envolvimento das crianças com as questões;

estimular os alunos a questionarem suas respostas, os dados e o enunciado do problema;

estes dados devem instigar os alunos para a criação de novosProblemas;(p. 12)

A Resolução de Problemas e a superação da

perspectiva da simples “reprodução de

procedimentos”.

JAMAIS ESQUECER!

Explorar todas as ideias das operações por

meio da Resolução de Problemas...

Mais problemas e menos operações isoladas e

sem significado...

Valorizar as estratégias das crianças...

Nem tudo o que é para o professor deve ser

apresentado ao aluno...

[...]enfatizar o raciocínio não significa deixar de lado o

cálculo na resolução de problemas: significa calcular

compreendendo as propriedades das estruturas aditivas e

das operações de adição e subtração.”(NUNES, CAMPOS, MAGINA E BRYANT, p. 56, 2005)

É importante lembrar que a compreensão dos

conceitos próprios das operações requer

coordenação com os diferentes sistemas de

representação.

Cálculos numéricos estejam conectados ao

processo de compreensão progressiva do

Sistema de Numeração Decimal.

Valorização da criação de estratégias pessoais

na resolução de problemas.

Promoção de sua socialização.

O que se propõe?

- O cálculo necessário para

fornecer o troco de uma

compra no valor de R$ 48,00,

paga com uma cédula de

R$100,00?

Como você resolve?

- O preço a pagar por

8 metros e meio de fita

sendo que o metro

custa R$ 1,50.

Por que utilizar estratégias?

Proporcionam fluência no cálculo.

Possibilitam agilidade e menos erros.

Expressam uma compreensão rica e profunda do sistema numérico.

Fornecem base sólida para o cálculo mental e estimativas.

Contribuem para um envolvimento no processo de “fazer matemática”.

Nessa perspectiva, cada cálculo é um

problema novo e o caminho a ser

seguido é próprio de cada aluno, o que

faz com que para uns possa ser mais

simples e, para outros, mais complexo.

ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO NÃO

SURGEM DO NADA.

PRECISAM SER TRABALHADAS E

ESTIMULADAS EM SALA DE AULA.

ESTIMULANDO AS ESTRATÉGIAS DE

CÁLCULO

- CONTAGEM-

Procedimento natural e bastante útil na resolução de

cálculos pelas crianças.

Algumas contagens importantes:

• contar para a frente;

• contar para trás;

•contar de 2 em 2, de 3 em 3, de 5 em 5, de 10 em 10;

•contar a partir de um determinado número

JOGO: COELHINHO PROCURANDO A TOCA

MEMORIZAÇÃO DE FATOS NUMÉRICOS

A tabuada pode agilizar processos de cálculos a

partir da memorização de resultados entre os fatores,

desde que:

A memorização deve ser consequência da adoção de

estratégias metodológicas que permitam a

construção/estruturação de regularidades entre os fatos

numéricos e a memorização dos mesmos por caminhos

diferentes da “decoreba” destituída de significado

Investigação Matemática na

Tabuada

João Pedro da Ponte sugere o desenvolvimento de

atividades investigativas, nas quais os alunos são

convidados a analisar padrões e regularidades

existentes nas operações. Observe:

Construa a tabuada do 3. O que encontra de curioso

nesta tabuada? Prolongue-as calculando 11 × 3, 12 ×

3, 13 × 3.... E formule algumas conjecturas.

Pode-se pedir que os alunos façam registros escritos em forma de textos

das suas descobertas para que expressem as relacionem com as

propriedades do SND.

construção de

recursos cognitivos

que auxiliam a

memorização

estabelecer relações

entre os fatos e

perceber

regularidades por

processos

investigativos

CONSTRUINDO A TÁBUA DE PITÁGORAS

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

JOGO: GATOS MALHADOS

REAGRUPAR EM DEZENAS OU CENTENAS

Construir sequências de

atividades investigativas...

FORMAÇÃO DA CENTENA

• O algoritmo tradicional das operações permite realizar

cálculos de uma maneira ágil e sintética.

• Modos de representar os processos operativos da

adição e da subtração pautados nas propriedades do SND.

ALGORITMOS TRADICIONAIS

É importante que a criança tenha se

apropriado das características do SND para

que compreenda os processos sequenciais

dos algoritmos.

O material dourado, o ábaco e o Quadro ValorLugar (QVL), são recursos que podem serutilizados, para favorecer a compreensão dosalgoritmos tradicionais.

• Historicamente: como o precursor da

calculadora .

• Há diferentes modelos de ábaco, todos eles

com o mesmo princípio constitutivo do SND que

permite o trabalho centrado no valor posicional

do número.

• Sugere-se atividades com o ábaco aberto e

apenas até a ordem das unidades de milhar.

ÁBACO

Material Dourado

A possibilidade de explorar propriedades do SND,

tais como:

a base 10

a composição aditiva e multiplicativa

explorar trocas e composição/decomposição

É importante salientar que o valor posicional do

algarismo não é tratado de forma explicita neste

recurso como o é no QVL e no ábaco.

Para pensar e discutir...

• Agrupamento e desagrupamento.

• Uso de material dourado e ábaco para resolver

algoritmos com “números grandes”.

• O cuidado com uso de recursos como o ábaco e

o material dourado.

ALGUMAS POSSIBILIDADES ...

Em situações reais, em que os números são muito

grandes ou muito pequenos, a utilização da

calculadora é recomendada. Isso porquê, o que

está em jogo é a resolução da situação-

problema real e não o uso de algoritmos.

SITUAÇÕES REAIS DE SALA DE AULA

Por exemplo, a tabela a

seguir foi construída

tendo como ponto de

partida dados coletados

por crianças que diziam

respeito à quantidade de

sorvetes que

conseguiram vender em

uma gincana.

Calculadora para construir e/ou sistematizar fatos

importantes das operações, ou mesmo para

disparar problemas.

- Encontrar o resultado de 4 x 5 sem utilizar

a tecla x.

- Fazer 20 ÷ 4, sem utilizar a tecla ÷

- Apertei a tecla 8, depois a tecla +, teclei

ainda um outro número, o sinal de = e

obtive 14. Que número apertei?

Quais as possibilidades para obter: a soma

10, ou 100 ou 1000.

VÁRIAS CRIANÇAS RECOLHERAM BOLAS DE TÊNIS EM TRÊS

CAIXAS. SOMANDO A QUANTIDADE DE BOLAS DE DUAS DESSAS

CAIXAS, O TOTAL FOI 78. DESCUBRA ESSAS DUAS CAIXAS E

PINTE-AS:

Resolver o problema utilizando o algoritmo tradicional com o ábaco.

CAIXAS COM BOLINHAS DE TÊNIS

Resolver o problema utilizando o algoritmo

tradicional com o material dourado.

MARIA COMPROU UMA BONECA POR R$ 24,00 E FICOU COM

R$ 17,00 REAIS NA CARTEIRA. QUANTO ELA POSSUIA ANTES

DE FAZER A COMPRA?

ELE JÁ COLOU 29 FIGURINHAS.

QUANTAS FIGURINHAS ELE AINDA PRECISA COMPRAR PARA COMPLETAR SEU

ÁLBUM?

JOÃO COLECIONA FIGURINHAS DE FUTEBOL.

O ÁLBUM PARA ESTAR COMPLETO DEVE TER 56 FIGURINHAS.

ELE RESOLVEU COMPRAR TODAS AS FIGURINHAS QUE FALTAM EM SUA COLEÇÃO.

Resolver o problema utilizando o algoritmo

tradicional com o ábaco.

PROBLEMA EM TIRAS

Resolver o problema utilizando o algoritmo

tradicional com o material dourado.

Completando o enunciado

OBRIGADA!