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© Noel de Jesus Mendonça Lopes 1

Pesquisa informada

o Dispomos de informação especifica sobre o problema.

o Esta informação pode ser disponibilizada por uma função de avaliação que indica o quão desejável é expandir um determinado nó.


Best-first search

o Se os nós estiverem ordenados por forma a que aquele que tiver a melhor avaliação é expandido primeiro, estamos perante a estratégia best-first search.

o Algoritmo :Function BestFirstSearch(problema, FuncaoAvaliacao)

returns solução ou falhaFuncaoAdicaoFila ← Função que ordena os nós da fila de acordo com FuncaoAvaliacaoreturn PesquisaGeral(problema, FuncaoAdicaoFila)


Best-first search

o A qualidade desta estratégia de pesquisa depende da qualidade da função de avaliação.

o Os algoritmos pertencentes a esta família tentam encontrar soluções de baixo custo. Tipicamente utilizam estimativas do custo do estado actual até à solução mais próxima e tentam minimizar o seu valor.


Best-first search – Pesquisa gananciosa (greedy)

o Os nós cujo estado se julga estar mais próximo do objectivo são expandidos primeiro.

o Uma função que calcula uma estimativa do custo é chamada por função heurística e é usualmente designada por h.h(n) = Custo estimado do caminho mais

barato desde o estado correspondente ao nó n até a um estado objectivo

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Pesquisa gananciosa

o h(n) deve ser zero quando o nó n tenha associado um estado correspondente ao objectivo.

o Algoritmo :Function GreedySearch(problema, FuncaoAvaliacao) returns

solução ou falhareturn BestFirstSearch(problema, h)

o Tenta atingir o objectivo o mais depressa possível.

o Encontra soluções rapidamente.

Oradea

Zerind

Arad

Timisoara

Lugoj

Mehadia

Dobreta

Sibiu

RimnicuVilcea

Fagaras

Criova

PitestiBucharest

Giurgiu

Urziceni

Hirsova

Eforie

Vaslui

Iasi

Neamt71

75

118

11170

75

120

146

80

140

151

99

211

97

138

101

90

8598

86

142

92

87Arad

BucharestCraiovaDobretaEforie

FagarasGiurgiuHirsova

LasiLugoj

MehaidaNeamtOradeaitesti

Rimnicu VilceaSibiu

TimisoaraUrziceniVasluiZerind

3660

160242161178771512262442412343809819325332980199374

Distância em linharecta até Bucharest

h(n) = distância em linha recta entre n e a localização do objectivo


Pesquisa gananciosao Susceptível a falsas partidasn Ex : Ir de Lasi para Fagarasn Necessário evitar estados repetidosn São expandidos nós desnecessários

o Não é óptimo nem completo, à semelhança do deep-first search.

o Complexidade : O(bm). No entanto a complexidade pode ser reduzida substancialmente dependendo da qualidade de h.


A*

f(n) = g(n) + h(n)

f(n) = custo estimado da solução mais “barata” que passa por n

Function A*(problema) returns solução ou falhareturn BestFirstSearch(problema, g + h)

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A*

o Óptimo e completo se :n h(n) nunca sobrestimar o custo de

alcançar o objectivo. Uma função h que obedeça a este critério é designada por heurística admissível.


Heurísticas admissíveis

o São por natureza optimistas.o Em quase todas as heurísticas

admissíveis o custo de f nunca decresce ao longo de qualquer caminho a partir da raiz da árvore de pesquisa. Estas heurísticas têm um comportamento monótono.


Heurísticas admissíveis

o Quando a heurística não é monótona podemos fazer uma pequena correcção em f que a torne monótona. Supondo que o nó n é o pai de n’, podemos transformar f numa função monótona da seguinte forma :

f(n’) = max( f(n), g(n’) + h(n’) )o Esta equação designa-se por

equação do caminho máximo.

Oradea

Zerind

Arad

Timisoara

Lugoj

Mehadia

Dobreta

Sibiu

RimnicuVilcea

Fagaras

Criova

Pitesti

Bucharest

Giurgiu

Urziceni

Hirsova

Eforie

Vaslui

Iasi

Neamt

380

400

420

4


Contornos

o Se h for 0 (uniform-cost search), os limites dos contornos serão circulares, à volta do estado inicial.

o Quanto melhor for a heurística mais os limites dos contornos se esticarão em direcção do objectivo.


A*

o É eficientemente óptimo para qualquer função heurística.n Não existe nenhum outro algoritmo

óptimo que expanda menos nós que o A*

o É completo desde que o custo de todas as operações seja positivo (maior que zero).


Funções heurísticas

5 4

6 1

7 3

8

2 5

4

6

1

7

3

8

2 5 4

6 1

7 3

8

2



o Factor de ramificação ≈ 3o Solução ≈ 20 passoso Pesquisa exaustiva : 320 = 35 x 108

estadoso Evitando os estados repetidos : 9! =

362880

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o Determinar uma função heurística que nunca sobrestime o número de passos necessários para atingir o objectivo?



o h1 = nº de peças fora da posição correcta.

o h2 = soma das distâncias de cada uma das peças até à sua posição correcta (segundo a distância de manhattan).


Factor de ramificação efectivo (b*)

N = 1 + b* + (b*)2 + ... + (b*)d

Uma boa heurística terá um b*perto de 1


Factor de ramificação efectivo

1.301.342.7318206806

1.241.332.80253963848

1.48

1.79

A*(h1)


Custo da pesquisa

2.87

2.45

IDS

1.4512131124

1.7966102

A*(h2)A*(h2)A*(h1)IDSd

IDS – Iterative deepening search.

Dados obtidos em 100 instâncias de um puzzle com 8 peças.

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1.261.46363305618

1.271.47676727620

1.281.4812191809422

1.241.422.787322736440412

1.231.442.83113539347394114

1.251.45211130116

1.221.382.7939934712710

1.48

A*(h1)


Custo da pesquisa

IDS

1.2616413913524

A*(h2)A*(h2)A*(h1)IDSd


Heurísticas

o h2 domina h1, se quando utilizamos h2expandimos em média menos nós que quando utilizamos h1.

o Entre duas heurísticas é sempre preferível aquela com maiores valores, desde que não sobrestime o custo de atingir o objectivo.


Problemas relaxados

o Um problema com menos restrições nos operadores diz-se relaxado.

o Muitas vezes o custo de uma solução exacta para um problema relaxado é uma boa heurística para o problema original.


Problemas relaxados

o Uma peça pode mover-se de A para B se A é adjacente a B e B está vazio.

o Uma peça pode mover-se de A para B se A é adjacente a B.

o Uma peça pode mover-se de A para B se B está vazio.

o Uma peça pode mover-se de A para B.

5 4

6 1

7 3

8

2

7


Problemas relaxadoso Em (1993) um programa chamado

ABSOLVER cujo objectivo é gerar heurísticas de forma automática a partir da definição de um problema, encontrou a primeira heurística útil para o cubo de Rubik e gerou uma nova heurística para o puzzle com 8 peças, que resultou ser melhor que qualquer das heurísticas existentes.

o O ABSOLVER utiliza o método do “problema relaxado” em conjunto com outras técnicas.


Escolha das heurísticaso Se dispusermos de várias heurísticas

admissíveis h1, h2, ..., hm e nenhuma dominar as restantes qual escolher ?

h(n) = max(h1(n), h2(n), ..., hm(n))

o Desta forma é utilizada a heurística mais precisa para o nó em questão.

o Como todas as heurísticas que compõem h são admissíveis h é também admissível.

o Obviamente h domina todas as heurísticas que a compõem.


Escolha das heurísticas

o Uma boa função heurística para além de ser precisa deve ser ainda eficiente.

o Estatístican Perdemos a garantia de admissibilidade

mas em média expandimos menos nósn Ex : Quando h(n) = 14 em 90% dos

casos são necessários 18 passos.


Escolha das heurísticas

o Recolha das características do estado que contribuem para a avaliação heurística.

o Usualmente a função de avaliação é uma combinação linear dos valores das características.

o Mas qual a contribuição de cada característica ?

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Contribuição das características para a função de avaliação

o Mesmo quando não se sabe o quão importante é uma característica, ou se é benéfica ou má é possível a um algoritmo de aprendizagem adquirir coeficientes razoáveis para cada característica.


Heurísticas para problemas de satisfação de restrições (CSP)

o Heurística da variável mais restringidan Usada em conjunto com o forward

checking;n Escolhemos a variável que dispõe de

menos valores;n O factor de ramificação tende a ser

menor.


Heurísticas para problemas de satisfação de restrições (CSP)

o Heurística da variável mais restritivan Escolhe a variável que aparece no maior número

de restrições que contêm variáveis sem valor;n O factor de ramificação tende a ser menor.

o Heurística do valor menos restritivon Escolhe o valor que retira o menor número de

valores das variáveis que partilham restrições com a variável actual.


Iterative deepening A* (IDA*)

o Cada iteração é feita com um algoritmo similar ao deep-limited search, mas em vez de se parar a pesquisa quando uma determinada profundidade é alcançada esta para quando o custo de f(n) for superior a um determinado valor.

o Em cada iteração são expandidos os nós dentro do contorno para o custo de f actual e determina-se qual será o próximo contorno.

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Iterative deepening A* (IDA*)function IDA(p) returns solução ou falha

inputs : p, problemalocal variables : limitef, o limite do custo de f (contorno)

raiz, um nó

raiz ← CriaNo(EstadoInicial(p))limitef ← Custo(raiz)

dosolução, limitef ← Contorno(p, raiz, limitef)if solução is null then

if limitef = ∞ then return falhaelse

return soluçãoend

loop


Iterative deepening A* (IDA*)function Contorno(p, no, limitef) returns solução e um novo limite do custo de f

inputs : p, problemano, um nólimitef, o limite actual do custo de f (contorno)

local variables : proximof, o próximo limite do custo de f (contorno), inicialmente ∞

if Custo(no) > limitef then return null, Custo(no)if Objectivo(p, Estado(no)) then return no, limiteffor each nó s in Sucessores(no) do

solução, novof ← Contorno(p, s, limitef)if solução is null then

if novof < proximof then proximof ← novofelse

return solução, limitefend

nextreturn null, proximof


Iterative deepening A* (IDA*)o Completo e óptimo, tendo em atenção as

mesmas salvaguardas que o A*.o Necessita de muito menos memória que o

A*.o A complexidade (tempo) depende do

número de valores diferentes que a heurística pode devolvern Ex: No puzzle com 8 peças f cresce apenas uma

ou duas vezes, já no problema do caixeiro viajante o valor de f é em principio diferente para cada nó, o que significa que cada contorno pode incluir apenas mais um nó.


Algoritmo ε-admissível

o Em cada iteração aumentamos o valor do contorno por ε.n Reduzimos assim o custo da pesquisa, já

que em cada iteração são englobados mais nós (dependendo de ε).

n A solução retornada pode ser pior do que a óptima, no máximo por ε.

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Simplified Memory-Bounded A* (SMA*)

o Utiliza toda a memória que lhe for disponibilizada.

o Evita estados repetidos sempre que a memória o permita.

o É completo desde que a memória disponível seja suficiente para guardar o caminho para a solução com o menor profundidade.


Simplified Memory-Bounded A*

o É óptimo desde que a memória disponível seja suficiente para guardar o caminho para a solução com o menor custo. Caso contrário retorna a melhor solução que se pode atingir com a memória disponível.

o Quando existe memória suficiente para guardar a árvore de pesquisa completa o algoritmo é eficientemente óptimo.


Simplified Memory-Bounded A*

o Antes de gerar um sucessor o algoritmo verifica se existe memória suficiente para o guardar. Caso não exista memória suficiente o algoritmo retira um dos nós da fila para poder gerar o sucessor.

o Os nós retirados da fila são aqueles menos promissores, isto é aqueles com maior custo de f e são chamados nós esquecidos.


Simplified Memory-BoundedA*o De forma a evitar re -explorar sub-árvores

retiradas da memória em cada nó antecessor é guardada informação do melhor caminho na sub-árvore esquecida. Desta forma o algoritmo só regenera uma sub-árvore, quando todos os outros caminhos parecerem piores que o caminho esquecido.

o Desta forma se todos os descendentes do nó n forem esquecidos, não saberemos por onde devemos ir a partir do nó n mas sabemos se vale a pena ir pelo nó n.

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Simplified Memory-Bounded A*function SMA(p) returns solução ou falha

/*dada a complexidade do algoritmo muitos pormenores foram omitidos */inputs : p, problemalocal variables : fila, uma fila de nós ordenada primeiro pelo custo f dos nós e depois por ordem decrescente pela profundidade dos nós

fila ← CriaFila(CriaNo(EstadoInicial(p))

doif Vazia(fila) then return falhan ← primeiro nó da filaif Objectivo(p, Estado(n)) then return nif not TemMaisSucessores(n) then

Actualiza o custo f do nó n e dos seus antecessoreselse

s ← ProximoSucessor(n)f(s) ← CustoF(p, s)if Cheia(fila) then RetiraUltimoNo (fila)Insere(fila, s)

endloop


Simplified Memory-Bounded A*function CustoF(p, n) returns custo de f para o nó n

inputs : p, probleman, nó

static : maiorProfundidade, O maior número de nós que conseguimos ter em memória.

if not Objectivo(p, Estado(n)) and Profundidade(n) = maiorProfundidade then return ∞

if Pai(n) is null then return g(n) + h(n)

return Max(f(Pai(n)), g(n) + h(n))

A

B

C D

E F

G

H I

J K

10 8

1010

1010

8 16

8 8

0+12=12

8+5=13

24+0=24

24+5=29

16+2=18

24+0=24

20+0=20

10+5=15

20+5=25

30+0=3030+5=35


Hill-climbing

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Hill-Climbingfunction HillClimbing(p) returns solução

inputs : p, problemalocal variables : actual, um nó

proximo, um nó

actual ← CriaNo(EstadoInicial(p))

doproximo ← O sucessor de actual com maior valorif valor(proximo) < valor(actual) then return actualactual ← proximo

loop

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