variáveis binárias - eco.unicamp.br · variável binária uma variável binária (variável...

Variáveis BináriasEconometria

Alexandre Gori Maia

Ementa:

• Definição;

• Variáveis binárias para representar 2 ou k categorias nominais;

• Variáveis binárias em equações semi-logarítmicas;

• Coeficientes angulares interativos;

• Regressão poligonal;

• Teste de mudança estrutural;

Bibliografia:

- Maia, Alexandre Gori (2017). Econometria: conceitos e aplicações. Cap 11.

Variáveis Binárias - Definição1) Escala Nominal: Valores representam categorias (nomes). Não se pode falar que um seja

maior que o outro. Exemplo: sexo.

2) Escala Ordinal: Valores representam uma hierarquia de posições. Não se pode, entretanto,

falar quão maior é um valor em relação a outro. Exemplo: classe social.

3) Escala Intervalar: Valores representam ordem e é possível mensurar intervalo entre eles.

Não se pode, entretanto, dizer quantas vezes um é maior que outro.

Exemplo: ano.

4) Escala de razão: Valores representam ordem, é possível mensurar intervalo entre eles e

quantificar grandezas em uma escala de razão. Exemplo: renda.

Variável Binária

Uma variável binária (variável dummy) pode representar dois estados possíveis::

X0, ausência da característica de interesse (Fracasso)

1, presença da característica de interesse (Sucesso)

Podemos, assim, estimar a influência de variáveis explicativas (independentes) nominais ou

ordinais em modelo de regressão, da mesma maneira que fazemos com variáveis

quantitativas de escala intervalar ou de razão.

Definição Categorias NominaisEquações Semi-

LogarítmicasAplicações Mudança Estrutural

2/16

Variáveis Binárias - Exemplo

Podemos inicialmente supor que o no de filhos

esteja associado à escolaridade da mãe.

NFilhos = 0 + 1 AnosEst + e

Agora seja a variável binária:

Tem TV a cabo?0 = Não tem TV

1 = Tem TV

Por que não considerar dois ajustes?

i) para famílias sem TV a cabo;

ii) para famílias com TV a cabo;

NFilhos = 0 + 1 AnosEst + 2 TV + e

Seja a relação para o número de filhos e TV a cabo no domicílio:

famílias sem TV

famílias com TV

Este problema pode ser simplificado por um

modelo de regressão linear múltipla:

Anos EstTV

N FIlhos



3/16

Variáveis Binárias - ExemploSeja a relação entre número de filhos (Y), anos de estudo da mãe (X1) e se tem TV

a cabo no domicílio (X2): iii eDXYi

211

)()(ˆ T1TyXXXβ

Aplicando MQO:

6

4

2

0

0011

35815

1111

031

051

181

1151

0011

35815

1111

ˆ

1

β

1,45-

34,0

36,6

2

54

12

22312

2332331

12314

ˆ

1

β

Espera-se, para mulheres

com TV a cabo no

domicílio, em média 1,45

filhos a menos que

mulheres sem TV,

independente dos anos

de escolaridade.

eβXy ˆˆ

4

3

2

1

e

e

e

e

031

051

181

1151

6

4

2

0

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2

1

Dados da amostra :

Teremos que:

iii eXY ˆ34,036,6

Quando D=0 (sem TV)

iii eXY ˆ34,0)45,136,6(

Quando D=1 (com TV)

Como:

iiii eDXY ˆ45,134,036,6



4/16

Nominais com Múltiplas CategoriasPara representarmos duas categorias nominais (A e B), precisamos de apenas uma

variável binária D. A referência da análise será dada por D=0. Exemplo:

iiii eDXY 21

O coeficiente 2 indicaria quanto Y seria, em

média, maior (ou menor) para a categoria A

(D=1) que a categoria de referência B (D=0),

independente do valor de X.

Para B:iii eXY 1

iii eXY 12)( Para A:

Para representarmos k categorias nominais, precisamos de k–1 variáveis binárias D’s.

A referência da análise será dada por uma das categorias. Exemplo, supondo k=3:

iii eDDXYii 23121

O coeficiente 2 indicaria quanto Y seria, em

média, maior para a categoria A (D1=1) que a

categoria de referência C (D1=0 e D2=0),

independente do valor de X. O coeficiente 3

indicaria quanto Y seria, em média, maior para

a categoria B (D2=1) que a categoria de

referência C. Pois teríamos:

Categoria D1i D2i

A 1 0

B 0 1

C 0 0

Para C: iii eXY 1

iii eXY 12)( Para A:

iii eXY 13)( Para B:

Categoria Di

A 1

B 0

X

Y

2

A

B

X

Y

3

A

B

C2

DefiniçãoCategorias

NominaisEquações Semi-


5/16

Múltiplas Categorias - ExemploSejam os dados amostrais para renda (Y), anos de estudo (X) e posição na

ocupação:

iii eDDXYii 23121

)()(ˆ T1TyXXXβ

Por MQO:

7,506

7,146

35

3,93

600

900

9600

2200

1001

02122

01216024

12246

ˆ

1

β

eβXy ˆˆ

6

5

4

3

2

1

e

e

e

e

e

e

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

1001

0181

0141

0081

0041

0001

600

500

400

400

200

100

3

2

1

Dadas as binárias:Yi Xi Posição Ocupação

100 0 Empregado

200 4 Empregado

400 8 Empregado

400 4 Autônomo

500 8 Autônomo

600 0 Empregador

..,0

,1

1cc

AutônomoseD

i

..,0

,1

2cc

EmpregadorseD

i

Terermos o ajuste:

Yi Xi Posição Ocupação D1i D2i

100 0 Empregado 0 0

200 4 Empregado 0 0

400 8 Empregado 0 0

400 4 Autônomo 1 0

500 8 Autônomo 1 0

600 0 Empregador 0 1

E:

ii XY 35)7,5063,93(

ii XY 35)7,1463,93(

ii XY 353,93

Independente dos anos de escolaridade, o

rendimento médio dos autônomos seria 146,7

reais superior ao dos empregados e o dos

empregadores 506,7 superior.




6/16

Equação de Rendimentos - ExemploSejam os dados amostrais para 164 mil ocupados no Brasil em 2011:

Considerando inicialmente o modelo:

iiii eidadeanosestrenda 21

Discriminando por sexo pela binária:

homensemulhersefeminino 0;,1

Discriminando por cor pela binária:

..0;,1 ccbrancacorsebranca

Discriminando por cor pelas binárias

(cor preta como referência):

..0;,1 ccpardacorseparda

..0;,1 ccamarelacorseamarela

Discriminando por região pelas binárias

(região Sul como referência):

..0;,1 ccnorteregiãoseon

..0;,1 ccnordesteregiãoseen

..0;,1 ccsudesteregiãosese

..0;,1 ccoestecentroregiãoseoc




7/16

D

ln(Y

)

iii uβD)(Y ln

0 1

eY 0

)ln( 1Y

e

eee

Y

YY

0

01)ln( 0Y

eY1

10

01 eY

YYPara D=0: Para D=1: Então:

+

Binárias em Equações Semi-LogarítmicasSeja a equação semi-logarítmica:

D

Yii uβD

i eY

0 1

e

e +

• Seja Y1 o valor de Y para D=1 e Y0 o valor para D=0;

• Para obtermos a variação relativa em Y quando comparamos D=0 e D=1:



8/16

Equação de Rendimentos - ExemploSejam os dados amostrais para 164 mil ocupados no Brasil em 2011:

Considerando agora o modelo:

iiii eidadeanosestrenda 21)ln(

Em relação aos homens, a variação

relativa da renda para as mulheres seria:

3581,0144332,0 e

Em relação aos ocupados de cor preta, as

variações relativas para as cores seriam:

1518,010,14130e

0086,01 -0,0086e

2495,012228 0,e

branca:

parda:

amarela:

Em relação aos ocupados da região SU, as

variações relativas para as regiões seriam:

1497,01 -0,1621e

3097,01 -0,3706e

0046,01 -0,0046e

NO:

NE:

SE:

0788,010,0758eCO:



9/16

Variáveis Binárias - Aplicações

AnosEst

RndeMascAnosEstRnd 210

Esse modelo pressupõe deslocametos da função de

rendimentos (0) mas retornos marginais da escolaridade (1)

iguais para homens e mulheres.0

2

Homens

Mulheres

Esse modelo pressupõe desolocamentos da função de

rendimentos (0) e retornos marginais da escolaridade

diferentes para homens (2+3) e mulheres (2).

AnosEst

Rnd

0

1

eDXAnosEstAnosEstRnd *)(210

Nesse modelo a variável binária é utilizada para captar

mudanças na inclinação entre segmentos consecutivos de X.

1+2

X*

AnosEst

Rnd

eAnosEstMascAnosEstMascRnd 3210

0

2

Homens

Mulheres



10/16

Coeficientes Angulares InterativosSejam os dados amostrais para renda (Y), anos de estudo (X) e sexo dos ocupados:

iiiiii eXDDXY 321

)()(ˆ T1TyXXXβ

Aplicando MQO teremos:

5,12

100

25

7,116

5600

1100

9000

1750

80128012

123123

801216024

123246

ˆ

1

β

eβXy ˆˆ

6

5

4

3

2

1

e

e

e

e

e

e

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

8181

4141

0101

0081

0041

0001

500

400

200

300

250

100

3

2

1

onde

Yi Xi Sexo

100 0 Mulher

250 4 Mulher

300 8 Mulher

200 0 Homem

400 4 Homem

500 8 Homem

..,0

,1

cc

HomemseDi

Dado o ajuste:

E as estimativas serão dada por:

Independente dos anos de escolaridade, o

rendimento médio dos homens seria 100 reais

superior ao das mulheres. O retorno marginal da

escolaridade para os homens seria ainda, em média,

12,5 reais superior ao das mulheres.

Yi Xi Sexo

100 0 Mulher

250 4 Mulher

300 8 Mulher

200 0 Homem

400 4 Homem

500 8 Homem

ii XY )5,1225()1007,116(

ii XY 257,116



11/16

Yi Xi Sexo Di DiXi

100 0 Mulher 0 0

250 4 Mulher 0 0

300 8 Mulher 0 0

200 0 Homem 1 0

400 4 Homem 1 4

500 8 Homem 1 8

Regressão Poligonal - ExemploSejam os dados amostrais para renda (Y) e anos de estudo (X):

iiiii eDXXY )8(21

)()(ˆ T1TyXXXβ

Aplicando MQO:

2,46

1,25

6,116

10000

29000

2600

7819014

19057450

14506

ˆ

1

β

eβXy ˆˆ

6

5

4

3

2

1

e

e

e

e

e

e

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

7151

5131

2101

081

041

001

800

700

450

300

250

100

2

1

onde

Yi Xi

100 0

250 4

300 8

450 10

700 13

800 15

..,0

8,1

cc

XseD

i

i

Supondo que o retorno marginal da escolaridade na

mude a partir do segundo grau (X>8), teríamos:

As estimativas de MQO seriam:

Espera-se, para cada ano de escolaridade, uma

variação marginal de 25,1 reais na renda. Acrescenta-

se, ainda, 46,2 reais nessa variação para cada ano

adicional a partir do 2º grau (8 anos ou mais de

escolaridade)

Yi Xi Di (Xi-8)Di

100 0 0 0

250 4 0 0

300 8 0 0

450 10 1 2

700 13 1 5

800 15 1 7

)8(2,461,256,116 iii XXY

ii XY 1,256,116

8



12/16

Teste de Mudança Estrutural

X

Seja as seguintes hipóteses para a relação entre Y, X e a binária D:

Y D=1

D=0

X

Y

D=1

D=0

X

Y

D=0

D=1

X

Y D=1 e

D=0

iiiiii eXDXDY 3210

00 31 e 00 31 e 00 31 e00 31 e

Testar se há mudança estrutural significa testar

se pelo menos um dos coeficientes 1 ou 3 é

diferente de zero:

0/:

0:

311

310

oueH

H

Y

X D

Esse teste corresponde à contribuição marginal

das variáveis associadas aos coeficientes 1 e 3.

D.X

Regressões

Coincidentes

Regressões

Paralelas

Regressões

ConcorrentesRegressões

Dissimilares


LogarítmicasAplicações

Mudança

Estrutural

13/16

Teste de Mudança EstruturalSQReg devido a X, D e D.X (Irrestrito):

Variabilidade de Y explicada pelo conjunto das variáveis X, D e D.X

),,/(Re XDDXYgSQ

SQReg devido exclusivamente a X1 (Restrito):

Variabilidade de Y explicada exclusivamente por X

)/(Re XYgSQ

SQReg devido ao acréscimo de X2:

Variabilidade de Y explicada por D e D.X após considerada a

variabilidade explicada por X

rir gSQgSQXãoContribuiç ReRe2

Graus de liberdade: 3 coeficientes angulares do modelo

Y=+1D+2X+3D.X+e

Graus de liberdade: 1 coeficiente angular do modelo Y=+2X+e.

Graus de liberdade: 2 novos coeficientes angulares incorporados

no modelo (1 e 3).

ouirgSQRe

ou rgSQRe

Y

X D

D.X

Y

X D

D.X

Y

X D

D.X



Mudança

Estrutural

14/16

Contribuição Marginal - DefiniçãoSeja o modelo irrestrito de RLM:

Em outras palavras, estaríamos interesados em testar a hipótese nula de que os q

coeficientes do modelo irrestrito são nulos:

Para verificarmos se a contribuição de um grupo de q variáveis é significativa no modelo

devemos, primeiro, elaborar um modelo com restrição aos parâmetros . Suponha que, por

simplicidade, as q variáveis que desejamos testar são as últimas das k variáveis do

modelo irrestrito (a ordem, obviamente, não faz importância). Nosso modelo restrito

seria:

O teste estatístico consiste agora em verificar se a contribuição marginal dessas q variáveis

é significativa . A estatística F será então dada por:

eXXXY kk ...2211

eXXXY qkqk ...2211

0...,,0: 10 kqkH

)1/(Re

/)ReRe(

knsSQ

qgSQgSQF

ir

rir

Onde SQRegir e SQRegr são, respectivamente, a soma dos quadrados da regressão sem e

com restrição nos parâmetros, SQResir é a soma dos quadrados dos resíduos da regressão

irrestrita.

ou)1/(Re

/)ReRe(

knsSQ

qsSQsSQF

ir

irr



Mudança

Estrutural

15/16

Mudança Estrutural - ExemploSejam os dados amostrais para renda (Y), anos de estudo (X) e sexo dos ocupados:

iiiiii eXDDXY 321

Teremos, para o modelo irrestrito:

onde

Yi Xi Sexo

100 0 Mulher

250 4 Mulher

300 8 Mulher

200 0 Homem

400 4 Homem

500 8 Homem

..,0

,1

cc

HomemseDi

Dado o modelo:Yi Xi Sexo Di DiXi

100 0 Mulher 0 0

250 4 Mulher 0 0

300 8 Mulher 0 0

200 0 Homem 1 0

400 4 Homem 1 4

500 8 Homem 1 8iiiiii eXDDXY ˆ5,12100257,116

98750irSQReg

E para o modelo restrito:

iii eXY ˆ25,317,166

62500rSQReg

875,102/3,3333

2/)6250098750(

3,3333irSQRese

8,9895rSQRese

)4/(Re

2/)ReRe(

nsSQ

gSQgSQF

ir

rir

Onde o valor p associado a 10,875 em uma distribuição F com 2 graus de liberdade no numerador e 2 no

denominador é de 0,084. Ou seja, se afirmarmos que há mudança estrutural em relação ao sexo

estaremos sujeito a uma probabilidade de erro de 8,4%.

Para testar a hipótese de mudança

estrutural:

0/:

0:

321

320

oueH

H

E a estatística de teste será:



Mudança

Estrutural

16/16

variáveis binárias - eco.unicamp.br · variável binária uma variável binária (variável...

Documents