Permitir a Permitir a solução de solução de problemas problemas

matemáticos matemáticos que envolvam que envolvam

números números desconhecidosdesconhecidos..

Permitir a Permitir a solução de solução de problemas problemas

matemáticos matemáticos que envolvam que envolvam

números números desconhecidosdesconhecidos..

Desde o tempo dos faraós até Desde o tempo dos faraós até nossos dias, o objetivo básico da nossos dias, o objetivo básico da

álgebra continua o mesmo:álgebra continua o mesmo:

Para desenvolver o Para desenvolver o problema e mantê-lo problema e mantê-lo inalterável, enquanto inalterável, enquanto

as manipulações as manipulações procuram simplificá-procuram simplificá-lo, deve-se traduzir a lo, deve-se traduzir a

relação entre relação entre números conhecidos números conhecidos e desconhecidos por e desconhecidos por

meio de uma meio de uma equaçãoequação..

Muitas pessoas, depois que deixam a escola, Muitas pessoas, depois que deixam a escola, atravessam a vida inteira sem precisar resolver atravessam a vida inteira sem precisar resolver uma só equação algébrica, mas no mundo em uma só equação algébrica, mas no mundo em que vivem, tais equações são indispensáveis que vivem, tais equações são indispensáveis para reduzir problemas complexos a termos para reduzir problemas complexos a termos

simples.simples.

Os processos da álgebra levados para a vida moderna Os processos da álgebra levados para a vida moderna são decisivos muitas vezes, para resumir experiências são decisivos muitas vezes, para resumir experiências realizadas ou desenvolver roteiros que nos levam até a realizadas ou desenvolver roteiros que nos levam até a

entender mistérios da natureza.entender mistérios da natureza.

Tente responder as questões abaixo:Tente responder as questões abaixo:

1) Queremos cortar um pedaço 1) Queremos cortar um pedaço de barbante de 30 cm de de barbante de 30 cm de comprimento em comprimento em duas partesduas partes não não necessariamente iguais. Quanto necessariamente iguais. Quanto deverá medir cada parte?deverá medir cada parte?

1) Queremos cortar um pedaço 1) Queremos cortar um pedaço de barbante de 30 cm de de barbante de 30 cm de comprimento em comprimento em duas partesduas partes não não necessariamente iguais. Quanto necessariamente iguais. Quanto deverá medir cada parte?deverá medir cada parte?

2) Agora se quer cortar um pedaço de 2) Agora se quer cortar um pedaço de barbante, também com 30 cm de barbante, também com 30 cm de comprimento, em comprimento, em duas partesduas partes de forma de forma que uma dessas partes meça o que uma dessas partes meça o dobrodobro da da outra. Quanto deverá medir cada parte?outra. Quanto deverá medir cada parte?

2) Agora se quer cortar um pedaço de 2) Agora se quer cortar um pedaço de barbante, também com 30 cm de barbante, também com 30 cm de comprimento, em comprimento, em duas partesduas partes de forma de forma que uma dessas partes meça o que uma dessas partes meça o dobrodobro da da outra. Quanto deverá medir cada parte?outra. Quanto deverá medir cada parte?

3) O que se deseja é dividir um pedaço de 3) O que se deseja é dividir um pedaço de barbante de 35 cm de comprimento em barbante de 35 cm de comprimento em quatro partesquatro partes de modo que uma dessas de modo que uma dessas parte seja igual ao parte seja igual ao triplotriplo de uma das de uma das outras três, quanto deverá medir cada outras três, quanto deverá medir cada parte?parte?

3) O que se deseja é dividir um pedaço de 3) O que se deseja é dividir um pedaço de barbante de 35 cm de comprimento em barbante de 35 cm de comprimento em quatro partesquatro partes de modo que uma dessas de modo que uma dessas parte seja igual ao parte seja igual ao triplotriplo de uma das de uma das outras três, quanto deverá medir cada outras três, quanto deverá medir cada parte?parte?

4) Ache um número que:4) Ache um número que:

a) adicionado ao seu a) adicionado ao seu triplotriplo resulte resulte 2020..

b) somado com o seu b) somado com o seu quadradoquadrado resulte resulte 3030..

4) Ache um número que:4) Ache um número que:

a) adicionado ao seu a) adicionado ao seu triplotriplo resulte resulte 2020..

b) somado com o seu b) somado com o seu quadradoquadrado resulte resulte 3030..

A maneira como a matemática se A maneira como a matemática se desenvolveu fez com que os matemáticos desenvolveu fez com que os matemáticos

passassem a usar as letras dos alfabetos mais passassem a usar as letras dos alfabetos mais conhecidos para representar uma expressão conhecidos para representar uma expressão

matemática. matemática. Assim, por exemplo, a soma de dois

números racionais quaisquer pode ser representada por:

Assim, por exemplo, a soma de dois números racionais quaisquer pode ser

representada por:

Começam a surgir, então, as sentenças Começam a surgir, então, as sentenças matemáticas, ou seja, duas expressões matemáticas, ou seja, duas expressões matemáticas ligadas por um verbo. Por matemáticas ligadas por um verbo. Por

exemplo:exemplo:a área do retângulo é igual ao produto da a área do retângulo é igual ao produto da

medida da base pela alturamedida da base pela alturaa área do retângulo é igual ao produto da a área do retângulo é igual ao produto da

medida da base pela alturamedida da base pela altura

Com isso, surgiram as sentenças matemáticas Com isso, surgiram as sentenças matemáticas com o sinal =, que indica uma igualdade. Quando com o sinal =, que indica uma igualdade. Quando

a igualdade apresenta um ou mais elementos a igualdade apresenta um ou mais elementos desconhecidos, chama-se desconhecidos, chama-se equaçãoequação..

Para encontrar a solução de um problema Para encontrar a solução de um problema utilizamos os conhecimentos e as habilidades utilizamos os conhecimentos e as habilidades

de cálculo que possuímos. Mas, de cálculo que possuímos. Mas, conhecimentos e técnicas de cálculo apenas conhecimentos e técnicas de cálculo apenas

não são suficientes: raciocínio, lógica e não são suficientes: raciocínio, lógica e imaginação são também necessários quando imaginação são também necessários quando procuramos o caminho que nos levará mais procuramos o caminho que nos levará mais

fácil e rapidamente a resposta correta.fácil e rapidamente a resposta correta.

Naquele dia de março de 415, uma multidão de romanos, gregos e egípcios, judeus e cristãos, escravos e homens livres andava pelas ruas de Alexandria. Situada no delta do Nilo, Alexandria era um centro comercial e cultural.

O museu da cidade era ponto de encontro de sábios de todo Império Romano do Oriente. Era para o museu que ia aquela bonita jovem. Na carroça que a levava pelas ruas cheias de gente, talvez pensasse nas conferências que costumava dar. Freqüentemente falava sobre o matemático Diofanto, grande estudioso em álgebra, que tinha morrido pouco antes. Fazia tempo que ela se dedicava a estudar o trabalho do mestre, a escrever e dar aulas sobre ele.

De repente, até hoje ninguém sabe por quê, um grupo de desordeiros parou a carroça e, a golpes de afiadas conchas de ostra, matou a jovem conferencista. Assim o mundo perdeu Hipatia, a primeira mulher matemática da história.

Equações na AntiguidadeEquações na AntiguidadeEquações na AntiguidadeEquações na Antiguidade

Sabe-se pouco sobre Diofanto, um Sabe-se pouco sobre Diofanto, um matemático grego que viveu no séc matemático grego que viveu no séc III d.C. Ele ficou conhecido como “pai III d.C. Ele ficou conhecido como “pai da álgebra”, pois foi o primeiro a usar da álgebra”, pois foi o primeiro a usar símbolos com significados próprios ao símbolos com significados próprios ao trabalhar problemas.trabalhar problemas.

A obra de Diofanto comportava A obra de Diofanto comportava símbolos e abreviações semelhantes símbolos e abreviações semelhantes que hoje usamos. Sua principal obra que hoje usamos. Sua principal obra foi encontrar soluções para equações foi encontrar soluções para equações indeterminadas cujas raízes são indeterminadas cujas raízes são números inteiros, ou seja, estudava números inteiros, ou seja, estudava soluções para problemas do tipo:soluções para problemas do tipo:

Neusa tem Neusa tem o dobro mais uma o dobro mais uma laranja que Emílio. Quantas laranja que Emílio. Quantas

laranjas tem cada um?laranjas tem cada um?

Neusa tem Neusa tem o dobro mais uma o dobro mais uma laranja que Emílio. Quantas laranja que Emílio. Quantas

laranjas tem cada um?laranjas tem cada um?

Esse problema se equaciona na Esse problema se equaciona na forma:forma:

Este problema é indeterminado, pois:Este problema é indeterminado, pois:Neusa pode ter 3 laranjas e Emílio 1.Neusa pode ter 3 laranjas e Emílio 1.

Neusa pode ter 5 laranjas e Emílio 2; e assim por diante.Neusa pode ter 5 laranjas e Emílio 2; e assim por diante.Esse fato caracteriza que o problema admite mais que uma solução, Esse fato caracteriza que o problema admite mais que uma solução,

portanto chama-se portanto chama-se indeterminadoindeterminado..Equações destes tipos recebem o nome de equações Diofantinas. Equações destes tipos recebem o nome de equações Diofantinas.

Este problema é indeterminado, pois:Este problema é indeterminado, pois:Neusa pode ter 3 laranjas e Emílio 1.Neusa pode ter 3 laranjas e Emílio 1.

Neusa pode ter 5 laranjas e Emílio 2; e assim por diante.Neusa pode ter 5 laranjas e Emílio 2; e assim por diante.Esse fato caracteriza que o problema admite mais que uma solução, Esse fato caracteriza que o problema admite mais que uma solução,

portanto chama-se portanto chama-se indeterminadoindeterminado..Equações destes tipos recebem o nome de equações Diofantinas. Equações destes tipos recebem o nome de equações Diofantinas.

NeusaNeusaNeusaNeusa EmílioEmílioEmílioEmílio

Apesar de se conhecer muito pouco sobre Diofanto, Apesar de se conhecer muito pouco sobre Diofanto, conta que é possível saber a idade com que ele conta que é possível saber a idade com que ele

faleceu, através de uma inscrição que figura em seu faleceu, através de uma inscrição que figura em seu sepulcro sob a forma de um exercício matemático:sepulcro sob a forma de um exercício matemático:

Caminhante! Aqui foram sepultados os restos de Diofanto.E os números podem, ó milagre!

Revelar quão dilatada foi sua vida...Cuja sexta parte constituiu sua linda infância...Transcorrera uma duodécima parte de sua vida,

quando seu queixo se cobriu de penugem....A sétima parte de sua existência, transcorreu num matrimônio estéril...

Passado um qüinqüênio, fê-lo feliz o nascimento de seu preciso primogênito...

O qual entregou seu corpo sua formosa existência, que durou apenas aMetade de seu pai, à terra...

E com dor profunda desceu à sepultura, tendo sobrevivido quatro anos ao

falecimento de seu filho....Diz-me quantos anos vivera Diofante

Quando lhe sobreveio a morte?

Esta mesma inscrição poderá ser vista da seguinte Esta mesma inscrição poderá ser vista da seguinte forma: forma:

...Cuja sexta parte constituiu sua linda infância...Transcorrera uma duodécima parte de sua vida,

quando seu queixo se cobriu de penugem....A sétima parte de sua existência, transcorreu num

matrimônio estéril...Passado um qüinqüênio, fê-lo feliz o nascimento de

seu preciso primogênito...O qual entregou seu corpo sua formosa existência, que durou apenas a metade de seu pai, à terra...E com dor profunda desceu à sepultura, tendo sobrevivido quatro anos ao falecimento de seu

filho.......

...A minha infância durou 1/6 de

minha vida, a barba surgiu após 1 /12 depois de outro 1/7 de minha vida, casei-me. 5 anos depois nasceu meu filho, que viveu somente a metade de

minha idade. Morri 4 anos após a morte do meu filho....

Utilizamos sempre o mesmo método de resolução. Utilizamos sempre o mesmo método de resolução.

Primeiramente, chamamos de Primeiramente, chamamos de xx o número que queríamos o número que queríamos calcular, a calcular, a incógnita incógnita . Em seguida, traduzimos o problema . Em seguida, traduzimos o problema

para a para a linguagem matemáticalinguagem matemática, isto é, equacionamos o , isto é, equacionamos o problema. Depois, usando propriedades matemáticas, problema. Depois, usando propriedades matemáticas,

descobrimos o valor de descobrimos o valor de xx. E finalmente, chegamos à . E finalmente, chegamos à resposta do problema.resposta do problema.

Resumindo, temos então as duas seguintes Resumindo, temos então as duas seguintes etapas:etapas:

Escrevemos a equação do problema, com Escrevemos a equação do problema, com base nas informações dadas no próprio base nas informações dadas no próprio

problema;problema;

Escrevemos a equação do problema, com Escrevemos a equação do problema, com base nas informações dadas no próprio base nas informações dadas no próprio

problema;problema;

Resolvemos a equação, para encontrar o Resolvemos a equação, para encontrar o

valor devalor de xx..

Resolvemos a equação, para encontrar o Resolvemos a equação, para encontrar o

valor devalor de xx..

Vamos treinar a tradução para a linguagem matemática, Vamos treinar a tradução para a linguagem matemática, utilizando apenas símbolos matemáticos, escreva as utilizando apenas símbolos matemáticos, escreva as

seguintes expressões:seguintes expressões:

c) O quádruplo de um número resulta 90.c) O quádruplo de um número resulta 90.c) O quádruplo de um número resulta 90.c) O quádruplo de um número resulta 90.

d) d) A diferença entre um número e dois faz 36.A diferença entre um número e dois faz 36.d) d) A diferença entre um número e dois faz 36.A diferença entre um número e dois faz 36.

a) O triplo de um número é igual a 10.a) O triplo de um número é igual a 10.a) O triplo de um número é igual a 10.a) O triplo de um número é igual a 10. 3x = 103x = 103x = 103x = 10

b) A soma de um número com três é igual a 15.b) A soma de um número com três é igual a 15.b) A soma de um número com três é igual a 15.b) A soma de um número com três é igual a 15. x + 3 = 15x + 3 = 15x + 3 = 15x + 3 = 15

4x = 904x = 904x = 904x = 90

x - 2 = 36x - 2 = 36x - 2 = 36x - 2 = 36

e) e) A terça parte de um número é igual a 66.A terça parte de um número é igual a 66.e) e) A terça parte de um número é igual a 66.A terça parte de um número é igual a 66.

f) f) Os três quartos de um número é igual a 20.Os três quartos de um número é igual a 20.f) f) Os três quartos de um número é igual a 20.Os três quartos de um número é igual a 20.

i) A quinta parte de um número é 46.i) A quinta parte de um número é 46.i) A quinta parte de um número é 46.i) A quinta parte de um número é 46.

j) j) A décima parte de um número faz 78.j) j) A décima parte de um número faz 78.

g) A soma de um número com sua metade g) A soma de um número com sua metade resulta 45.resulta 45.g) A soma de um número com sua metade g) A soma de um número com sua metade resulta 45.resulta 45.

h) A soma de cinco com o triplo de um número h) A soma de cinco com o triplo de um número é igual a 67.é igual a 67.h) A soma de cinco com o triplo de um número h) A soma de cinco com o triplo de um número é igual a 67.é igual a 67. 5 + 3x = 675 + 3x = 675 + 3x = 675 + 3x = 67

k) k) O dobro de um número somada ao triplo de O dobro de um número somada ao triplo de outro número é igual a 96.outro número é igual a 96.k) k) O dobro de um número somada ao triplo de O dobro de um número somada ao triplo de outro número é igual a 96.outro número é igual a 96.

xx xx____1010

= 78= 78

2x + 3y = 962x + 3y = 962x + 3y = 962x + 3y = 96

f) f) A soma de três números resulta 123.A soma de três números resulta 123.f) f) A soma de três números resulta 123.A soma de três números resulta 123. x + y + z = 123x + y + z = 123x + y + z = 123x + y + z = 123

o) A diferença entre o quíntuplo e a quinta o) A diferença entre o quíntuplo e a quinta parte de um número x resulta 56.parte de um número x resulta 56.o) A diferença entre o quíntuplo e a quinta o) A diferença entre o quíntuplo e a quinta parte de um número x resulta 56.parte de um número x resulta 56.

p) Um número par mais 5 é igual a 89.p) Um número par mais 5 é igual a 89.p) Um número par mais 5 é igual a 89.p) Um número par mais 5 é igual a 89.

m) O produto de três números é igual a 34.m) O produto de três números é igual a 34.m) O produto de três números é igual a 34.m) O produto de três números é igual a 34.

n) Um número p, aumentado de vinte e cinco n) Um número p, aumentado de vinte e cinco faz 90.faz 90.n) Um número p, aumentado de vinte e cinco n) Um número p, aumentado de vinte e cinco faz 90.faz 90.

xyz = 34xyz = 34xyz = 34xyz = 34

q) q) Um número ímpar menos 5 é igual a 78.Um número ímpar menos 5 é igual a 78.q) q) Um número ímpar menos 5 é igual a 78.Um número ímpar menos 5 é igual a 78. x é ímpar → x - 5 = 78x é ímpar → x - 5 = 78x é ímpar → x - 5 = 78x é ímpar → x - 5 = 78

p + 25 = 90p + 25 = 90p + 25 = 90p + 25 = 90

__

x é par → x + 5 = 89x é par → x + 5 = 89x é par → x + 5 = 89x é par → x + 5 = 89

t) Três números ímpares consecutivos é t) Três números ímpares consecutivos é igual a 990.igual a 990.t) Três números ímpares consecutivos é t) Três números ímpares consecutivos é igual a 990.igual a 990.

s) s) Três números pares consecutivos perfazem 128.s) s) Três números pares consecutivos perfazem 128.

r) r) Três números consecutivos totalizam 100.Três números consecutivos totalizam 100.r) r) Três números consecutivos totalizam 100.Três números consecutivos totalizam 100. x + (x + 1) + (x + 2) = 100x + (x + 1) + (x + 2) = 100x + (x + 1) + (x + 2) = 100x + (x + 1) + (x + 2) = 100

x é par → x é par → x + (x + 2) + (x + 4) = 128x + (x + 2) + (x + 4) = 128x é par → x é par → x + (x + 2) + (x + 4) = 128x + (x + 2) + (x + 4) = 128

x é ímpar → x é ímpar → x + (x + 2) + (x + 4) = 990x + (x + 2) + (x + 4) = 990x é ímpar → x é ímpar → x + (x + 2) + (x + 4) = 990x + (x + 2) + (x + 4) = 990

Para as atividades que se seguem imaginem uma Para as atividades que se seguem imaginem uma balança de dois braços em equilíbrio!balança de dois braços em equilíbrio!

1) Qual é o peso do cachorro?1) Qual é o peso do cachorro?

x + 16 = 25x + 16 = 25

9kg9kg

2) Desenvolva a Equação.2) Desenvolva a Equação.

3) Os dois sacos tem pesos iguais. Quanto pesa cada saco?3) Os dois sacos tem pesos iguais. Quanto pesa cada saco?

2x = 122x = 12

6kg6kg

4) Desenvolva a Equação.4) Desenvolva a Equação.

5) As 3 caixas possuem o mesmo peso. Qual o peso de cada caixa?5) As 3 caixas possuem o mesmo peso. Qual o peso de cada caixa?

3x = 183x = 18

6kg6kg

6) Desenvolva a Equação.6) Desenvolva a Equação.

7) Qual o peso do coelho?7) Qual o peso do coelho?

x + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1x + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

2kg2kg

8) Desenvolva a Equação.8) Desenvolva a Equação. x + 3 = 5x + 3 = 5

9) As bolsas são iguais. Qual o peso de cada uma?9) As bolsas são iguais. Qual o peso de cada uma?

2x = x + 3 + 22x = x + 3 + 2

5kg5kg

10) Desenvolva a Equação.10) Desenvolva a Equação. 2x = x + 52x = x + 5

11) A balança não está em posição de equilíbrio. Represente simbolicamente esta situação.11) A balança não está em posição de equilíbrio. Represente simbolicamente esta situação. 13 < 1813 < 18

Fique atento às próximas atividades para que você possa tirar algumas Fique atento às próximas atividades para que você possa tirar algumas conclusões importante!conclusões importante!

Considere uma balança com os pratos em Considere uma balança com os pratos em equilíbrio.equilíbrio.

Se acrescentarmos elementos de Se acrescentarmos elementos de mesmo peso em cada um dos pratosmesmo peso em cada um dos pratos

Se acrescentarmos elementos de Se acrescentarmos elementos de mesmo peso em cada um dos pratosmesmo peso em cada um dos pratos

Se trocarmos os pratosSe trocarmos os pratosSe trocarmos os pratosSe trocarmos os pratos O equilíbrio se mantém.O equilíbrio se mantém.O equilíbrio se mantém.O equilíbrio se mantém.

O equilíbrio O equilíbrio se se mantém.mantém.

O equilíbrio O equilíbrio se se mantém.mantém.

Considere outra balança com os pratos em Considere outra balança com os pratos em equilíbrio.equilíbrio.

Se retirarmos elementos de mesmo peso Se retirarmos elementos de mesmo peso de cada um dos pratosde cada um dos pratosSe retirarmos elementos de mesmo peso Se retirarmos elementos de mesmo peso de cada um dos pratosde cada um dos pratos

O equilíbrio se O equilíbrio se mantém.mantém.O equilíbrio se O equilíbrio se mantém.mantém.

Se duas balanças estão em Se duas balanças estão em equilíbrio:equilíbrio:

Podemos somar o conteúdo dos pratos Podemos somar o conteúdo dos pratos do mesmo lado.do mesmo lado.Podemos somar o conteúdo dos pratos Podemos somar o conteúdo dos pratos do mesmo lado.do mesmo lado.

O equilíbrio se O equilíbrio se mantém.mantém.O equilíbrio se O equilíbrio se mantém.mantém.

As Equações de Copo de FeijãoAs Equações de Copo de Feijão

Este material representa as técnicas de resolução de Este material representa as técnicas de resolução de equações de 1º. Grau com uma incógnita, chamando a atenção equações de 1º. Grau com uma incógnita, chamando a atenção

para a para a ““mudança de membro na equaçãomudança de membro na equação”.”.

Nas primeiras vezes em que for usado deve-se Nas primeiras vezes em que for usado deve-se considerar como principio fundamental o equilíbrio dos considerar como principio fundamental o equilíbrio dos

membros da equação. Nestes primeiros casos deve-se perceber membros da equação. Nestes primeiros casos deve-se perceber que retirar ou acrescentar números iguais a cada membro da que retirar ou acrescentar números iguais a cada membro da equação corresponde a mudá-los de membro da tal forma que equação corresponde a mudá-los de membro da tal forma que

realizem a realizem a operação inversaoperação inversa. Só então é que o procedimento de . Só então é que o procedimento de passar de um membro na equação pode se tornar automático.passar de um membro na equação pode se tornar automático.

Neste material cada copo representa a

incógnita x, os feijões brancos unidades positivas, os feijões pretos unidades negativas

e os copos invertidos, o inverso aditivo da incógnita (-x).

Neste material cada copo representa a

incógnita x, os feijões brancos unidades positivas, os feijões pretos unidades negativas

e os copos invertidos, o inverso aditivo da incógnita (-x).

A seguir representamos algumas sugestões, A seguir representamos algumas sugestões, gradativamente mais elaboradas, acompanhadas da equação gradativamente mais elaboradas, acompanhadas da equação

correspondente:correspondente:1º Exemplo:1º Exemplo:

2º Exemplo:2º Exemplo:

3º Exemplo:3º Exemplo:

4º Exemplo:4º Exemplo:

5º Exemplo:5º Exemplo:

6º Exemplo:6º Exemplo: