PEQ/COPPE/UFRJBruno F. Oechsler

Rio de Janeiro, 27 de setembro de 2012.

Identificação de Soluções Dinâmicas Complexas pela Técnica de Otimização do

Enxame de Partículas

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1. Introdução e Objetivos

2. O Modelo Matemático de Lorenz

3. Formulação do Problema de Otimização

a. Determinação dos Expoentes de Lyapunov;

b. Caracterização do Espaço de Parâmetros;

4. Resultados

5. Conclusões e Próximas Etapas

Sumário

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Introdução e Objetivos

Limitações das técnicas clássicas de continuação paramétrica (AUTO, 2009):−Análise de bifurcações de órbitas periódicas (aproximações

polinomiais);

−Identificação de soluções dinâmicas caóticas (infinidade de órbitas

periódicas instáveis imersas);

Necessidade de desenvolvimento de métodos alternativos:−Análise de fenômenos dinâmicos via o cálculo dos expoentes de

Lyapunov ;

−Acoplamento com técnicas de otimização;

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O Modelo de Lorenz

Modelagem do movimento convectivo de camadas de fluido resultante de gradientes de temperatura:

yx

dt

dx

zxyxrdt

dy..

. .dz

z x ydt

Variáveis de estado:x é a intensidade do movimento do fluido;y e z estão relacionadas às variações de temperatura nas direções horizontal e vertical;

Parâmetros:, r σ e β estão relacionados com as propriedades do material e com a geometria da camada de fluido.

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Expoentes de Lyapunov

Diagnóstico e quantificação de fenômenos dinâmicos

0log

1lim 2

i

i

ti p

tp

t

2

10 0 1

1log

nk

kn k

d t

t t d t

Espectro para Sistemas Contínuos 3-D:(+,0,-) : um atrator estranho;(0,0,-) : um toro;(0,-,-) : um ciclo limite;(-,-,-) : um ponto fixo.

p1(0)

p2(0)x0

p1(t)

p2(t)x(t)

d0

d(t)

t

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Algoritmo de WOLF et al. (1985):−A evolução do centro da hiperesfera é acompanhada por uma

trajetória conhecida;

−Trajetórias de pontos na superfície da esfera são definidos pela ação

de equações linearizadas;

−Os eixos principais são definidos pela evolução das equações

linearizadas inicializadas por uma base de vetores ortonormais;

−Em sistemas caóticos, todo os vetores tendem para a direção de

maior crescimento (expoente de Lyapunov dominante);

−Reortonormalização de Gram-Schmidt para gerar uma nova base de

vetores alinhadas ao centro da esfera;

Expoentes de Lyapunov

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Formulação do problema de otimização:(i) Soluções Caóticas

(ii) Soluções Estacionárias

(iii) Soluções Periódicas

Sujeito a:

O Problema de Otimização

1

min , ,1

a cS a c

e

yxdt

dx

zxyxrdt

dy..

. .dz

z x ydt

dA

dt

fA

x

9,5 10,5

0 100 r

2 3

1

min , ,1 a c

S a ce

min , , 1S a c e

2

10 0 1

1log

nk

kn k

d t

t t d t

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Técnicas Numéricas Empregadas:−DASSL (integração numérica do sistema de equações diferenciais

ordinárias no domínio temporal);

−Otimização do Enxame de Partículas:

−Foram empregadas 20 partículas e 200 passos de otimização;

−Utilizou-se um fator de inércia w de 0,9 no início das iterações,

diminuindo-se este valor para 0,5 nas iterações finais;

−Utilizaram-se os valores de c1 e c2 equivalentes a 2,0.

O Problema de Otimização

1 1i i ip k p k k

1 1 2 21 ( ( )) ( )i i i i ik w k c r pbest k p k c r gbest k p k

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Mapeamento Global de Soluções Caóticas

Resultados

10,2590r 99,4306b2,6589

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Mapeamento Global de Soluções Periódicas

Resultados

9,78615r 92,72751b2,51869

,

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Mapeamento Global de Soluções Estacionárias

Resultados,

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Conclusões

− A metodologia mostrou-se eficiente no mapeamento de

fenômenos dinâmicos;

− A utilização de uma função objetivo contínua potencializa a

obtenção das regiões mais promissoras;

− A caracterização da trajetória dinâmica pelo expoente de

Lyapunov é uma estratégia rigorosa sob o ponto de vista

matemático;

− A possibilidade de quantificação dos fenômenos dinâmicos

permite a proposição de uma função objetivo contínua.

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Obrigado pela atenção...

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