Aplicação de Wavelets em Problemas de Otimização Dinâmica com Adaptação de

Malhas

Dyego dos Santos Silva(EQ/UFRJ)

Orientadores: Prof. Evaristo C. Biscaia Jr. - PEQ/COPPE/UFRJ

Prof. Argimiro R. Secchi - PEQ/COPPE/UFRJ Eng. Lizandro de Sousa Santos - PEQ/COPPE/UFRJ

Introdução

A otimização dinâmica (também conhecido como problema de controle ótimo), segundo FEEHERY (1998), requer a determinação do perfil temporal de um conjunto de variáveis de controle de um sistema dinâmico e que maximize (ou minimize) uma dada medida de performance (função objetivo):Exemplo Ilustrativo: Controle Ótimo Singular -Chachuat, B., Optimal Control, Class Notes, 2006.

0

2

1

1 2

2

1 2

1( ) :

2

( )

( )

( ) ( ) 0

10 ( ) 10

ft

t

f f

J u x t dt

x x u t

x u t

x t x t

u t

Função Objetivo

Modelo

Restrições

Variável de Controle

O que é Otimização Dinâmica

Otimização Dinâmica

Métodos Indiretos: baseados no Princípio de Máximo de PONTRYAGIN (PMP), 1963.

Métodos Diretos

Princípio numérico de resolução

Programação dinâmica Iterativa

Sequencial

Simultâneo

(SHLEGEL, 2004, SOUZA, 2007)

Métodos de Resolução

SOUZA (2007): Apenas a variável de controle é discretizada (Reduzida necessidade de manipulação no sistema de equações),

Abordagem Direta Sequencial

Abordagem Direta Sequencial

Exemplos de parametrização:

Características:

Reduzida necessidade de manipulação do sistema de equações;

Parâmetros da expressão funcional estimados a cada iteração.

Estudos Relevantes:

POLLARD e SARGENT (1970), HICKS e RAN (1971): Influência da parametrização da variável de controle;

BINDER e SHLEGEL (2004): Utilização de malhas adaptativas para parametrização da variável de controle.

Abordagem Direta Sequencial

Proposta de Estudo

I) Aplicação de wavelets utilizando a abordagem direta sequencial de resolução;

II) Comparação entre as técnicas utilizadas com a abordagem sequencial com discretização uniforme da malha.

Estudo de Caso:

Reator Isotérmico Operando em Batelada Alimentada (Sirinavasan et al., 2003).

Wavelets

Ferramenta matemática para decompor funções hierarquicamente (MALLAT, 1986). A análise wavelet permite transformar a informação de um sinal em coeficientes que podem ser manipulados ou usados para reconstruir o sinal.

Características:Ortogonalidade;As wavelets têm suporte compacto, ou seja, são localizadas espacialmente, tendo valores diferentes de zero em um intervalo finito.

BINDER et al., (2000) foram os primeiros a utilizarem wavelets para avaliação dos pontos em potencial da malha.SHLEGEL (2004) tese de doutorado centrada no uso de wavelets.

Wavelets

Etapas da adaptação da malha:

1) Obtenção do sinal de dados:

0t 1t 2t Nt

0u 1u 2u nu

2) Decomposição da malha pela transformada wavelets:

, ,J K J Kd f t dt /2, 0,02 2j jJ K t k

Wavelets

Etapas da adaptação da malha:

3) Filtragem de dados (Threshold):

Limiarização Universal (Donoho e Johnstone,1994):

)ln(2

,,2,1

,,2,1,

,,2,1,

nw

Tiwd

TiWtWfWy

Titfy

iii

iii

iii

Variante Heurística

Wavelets

Etapas da adaptação da malha:

4) Reconstrução do sinal

ttftuJ K

KJKJ

,,)(

Wavelets

Etapas da adaptação da malha:

0t 1t 2t Nt

0u 1u 2u nu

Descarta pontos que nãocontribuem para a solução

Inclui pontos prospectivos

Estudo de Caso: Reator Isotérmico Operando em Batelada Alimentada (Sirinavasan et al. , 2003)

abaa c

V

Fcck

dt

dc 1

binbbbab cc

V

Fckcck

dt

dc ,

221 2

Fdt

dV

aac c

VV

cc 00,

00,,0,,21

VcccVcccV

c binbabinbad

inbC ,

F

d

c

b

a

C

C

C

C

2A B C B D

Objetivo: maximizar a função:

ffcf tVtct

Manipulando )(tF (variável de controle: u(t)),

( )

max

tal que

fF t

t

maxmin FtFF

max,

max,

dffd

bffb

ctc

ctc

Número de mols do produto C no tempo final

Resultados

Número de estágios ns Tempo de cálculo (s) Função Objetivo

Ω DU WAV DU WAV DU WAV

Parcial Total Parcial Total

1 8 8 20,070 88,769 0,4302418 0,4311922

2 16 12 37,774 57,844 182,737 271,506 0,4305041 0,4316734

3 32 14 159,014 216,858 213,333 484,839 0,4312256 0,4317125

4 64 18 566,139 782,997 526,978 1011,817 0,4310295 0,4317169

5 128 22 1831,340 2614,337 626,362 1638,179 0,4315476 0,4317133

6 256 26 10531,05 13145,39 988,297 2626,476 0,4316136 0,4317156

7 30 1409,109 4035,585 0,4317201

8 34 1611,750 5647,335 0,4317187

DU – Discretização Uniforme

WAV – Wavelets (Variante Heurística)

0 50 100 150 200 250 3000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1x 10

-3

t

u(t

)

ns=34

Discretização Uniforme X WAVELET (Variante Heurística)

0 50 100 150 200 2500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1x 10

-3

t

u(t)

ns=256

Número de estágios ns Tempo de cálculo (s) Função Objetivo

Ω DU WAV DU WAV DU WAV

Parcial Total Parcial Total

1 8 8 20,070 91,202 0,4302418 0,4311922

2 16 12 37,774 57,844 187,810 279,012 0,4305041 0,4316734

3 32 14 159,014 216,858 263,668 542,680 0,4312256 0,4317125

4 64 18 566,139 782,997 516,595 1059,275 0,4310295 0,4317169

5 128 20 1831,340 2614,337 529,493 1588,768 0,4315476 0,4317131

6 256 22 10531,05 13145,39 581,867 2170,635 0,4316136 0,4317132

7 26 1303,350 3473,985 0,4317167

8 30 1506,022 4980,007 0,4317207

DU – Discretização Uniforme

WAV – Wavelets (Limiarização Universal)

0 50 100 150 200 2500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1x 10

-3

t

u(t)

ns=256

0 50 100 150 200 2500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1x 10

-3

t

u(t)

ns=30

Discretização Uniforme X WAVELET (Limiarização Universal)

Número de estágios ns Tempo de cálculo (s) Função Objetivo

Ω VH LU VH LU VH LU

Parcial Total Parcial Total

1 8 8 88,769 91,202 0,4311922 0,4311922

2 12 12 182,737 271,506 187,810 279,012 0,4316734 0,4316734

3 14 14 213,333 484,839 263,668 542,680 0,4317125 0,4317125

4 18 18 526,978 1011,817 516,595 1059,275 0,4317169 0,4317169

5 22 20 626,362 1638,179 529,493 1588,768 0,4317133 0,4317131

6 26 22 988,297 2626,476 581,867 2170,635 0,4317156 0,4317132

7 30 26 1409,109 4035,585 1303,350 3473,985 0,4317201 0,4317167

8 34 30 1611,750 5647,335 1506,022 4980,007 0,4317187 0,4317207

VH – Wavelets (Variante Heurística)LU – Wavelets (Limiarização Universal)

Conclusão A estratégia Wavelets para ambas as políticas de threshold apresentou melhores resultados do que a estratégia de discretização uniforme

A política de limiarização universal apresentou resultados mais eficientes que a variante heurística.