PAVIMENTAÇÕES

Introdução

Pavimentar o plano é cobri-lo completamente, sem espaços intermédios nem sobreposições.

Figura 1 Exemplos de pavimentações

Eduardo Veloso, em Geometria – Temas Actuais, escreve que «(…) Uma pavimentação do plano será um conjunto numerável de ladrilhos que cobre o plano sem espaços intermédios nem sobreposições. (…)», sem a pretensão de apresentar «(…) a definição matemática mais geral de pavimentação, mas sim o equivalente matemático daquilo a que na vida corrente se chama normalmente uma pavimentação.

PAVIMENTAÇÕES

Ladrilhos

Os ladrilhos (ou mosaicos) são as figuras que formam uma pavimentação – figuras planas, cuja fronteira é uma curva simples fechada (incluindo-se neste conjunto, obviamente, todos os polígonos).

Figura 2 Exemplos de figuras que não se consideram ladrilhos

Figura 3 Exemplos de ladrilhos

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PAVIMENTAÇÕES

Tipos de pavimentação

• Pavimentações formadas apenas por um tipo de ladrilho pavimentação pura (ou monoédrica).

• Pavimentações formadas por vários tipos de ladrilhos.

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Pavimentações puras

Figura 4 Pavimentações puras, cujos ladrilhos não são polígonos, da obra de M.C. Escher

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Pavimentações regulares

As pavimentações puras cujos ladrilhos são polígonos regulares dizem-se pavimentações regulares.

Figura 5 Exemplo de uma pavimentação regular, cujos ladrilhos são hexágonos regulares

PAVIMENTAÇÕES

Pavimentações com ladrilhos poligonais

Existem também pavimentações formadas por dois ou mais tipos de ladrilhos poligonais. O facto de uma pavimentação ser formada pelos mesmos tipos de polígonos, não implica que formem a mesma pavimentação. Estas pavimentações distinguem-se pela disposição dos polígonos em torno dos vértices. Para melhor compreensão, há que introduzir a noção de vértice de uma pavimentação.

PAVIMENTAÇÕES

Vértices de uma pavimentação

Os pontos de intersecção de três ou mais ladrilhos, numa pavimentação, dizem-se vértices da pavimentação.

 Por exemplo, na pavimentação ao lado, o ponto A é vértice dos ladrilhos pentagonais mas não é vértice da pavimentação.Os pontos C e B são vértices da pavimentação.

Figura 6 Os pontos C e B como vértices da pavimentação

CB A

PAVIMENTAÇÕES

Vértices de mesma espécie e do mesmo tipo

No caso de pavimentações cujos ladrilhos são polígonos regulares, dizemos que dois vértices são da mesma espécie se os mesmos polígonos regulares se intersectarem nesses vértices. 

Vértices da mesma espécie podem ainda ser do mesmo tipo, se a ordem circular na qual os polígonos se dispõem em volta desses vértices é a mesma.

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Figura 7 Pavimentações com polígonos regulares. Vértices da mesma espécie mas de tipos diferentes

Na figura 7, as pavimentações representadas não são iguais, apesar de serem formadas pelos mesmos tipos de polígonos (quadrados e triângulos equiláteros).

Os vértices assinalados são da mesma espécie (à sua volta dispõem-se três triângulos equiláteros e dois quadrados), mas não são do mesmo tipo:

• na primeira pavimentação, a ordem de disposição é triângulo – triângulo – triângulo – quadrado – quadrado;

• enquanto que na segunda é triângulo – triângulo – quadrado – triângulo – quadrado.

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Código numérico

Os diferentes tipos de vértices podem ser identificados por um código numérico, em que cada número do código representa o número de lados de cada polígono que se intersecta, nesse vértice, com outros polígonos da pavimentação. Esses números são escritos pela ordem em que os polígonos se dispõem à volta do respectivo vértice.

Figura 8 Códigos numéricos das pavimentações da figura 7

Relativamente à figura anterior (figura 7), o código do vértice destacado na primeira pavimentação é 3.3.3.4.4, enquanto que na segunda é 3.3.4.3.4.

3.3.3.4.4 3.3.4.3.4

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3.3.3.3.3.33.4.4.6

Figura 9 Outros exemplos de pavimentações e respectivos códigos numéricos

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Pavimentações semi-regulares e demi-regulares

As pavimentações em que todos os vértices são do mesmo tipo, formadas por polígonos regulares, dizem-se semi-regulares (ou arquimedianas). Em bom rigor, as pavimentações regulares são um caso particular das semi-regulares.

 As pavimentações formadas por polígonos regulares, com mais de um tipo de vértices, dizem-se demi-regulares.

PAVIMENTAÇÕES

Nas figuras 10 e 11 representam-se pavimentações cujos ladrilhos são polígonos regulares (triângulos e hexágonos).

Figura 10 Pavimentação demi-regular Figura 11 Pavimentação semi-regular

Na pavimentação representada na figura 10, os vértices A (3.3.6.6) e B (3.6.3.6) não são do mesmo tipo, pelo que a pavimentação é demi-regular.

Na figura 11, a pavimentação é semi-regular porque todos os vértices são do mesmo tipo.

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Leituras aconselhadas

Grunbaum, Branko; Shephard, G.C. Tilings and Patterns. New York: W.H. Freeman and Company, 1987. Grupo de Trabalho da Associação de Professores de Matemática. M.C. Escher – Arte e Matemática. A.P.M., 1998. Veloso, Eduardo. Geometria – Temas Actuais. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional, 1998. http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm22/