Parte 6 - Simplex - Pesquisa Operacional 1 - Lsara Rodrigues UFOP

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Material didtico de Pesquisa Operacional para engenheiros. Criado pela professora Lsara Rodrigues da Universidade Federal de Ouro Preto.

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1Mtodo SIMPLEXDisciplina: PRO706 - Pesquisa Operacional IProf: Lsara RodriguesDepartamento de Engenharia de Produo, Administrao e EconomiaEscola de MinasUniversidade Federal de Ouro Preto2010/16 Parte2Forma-padro de um PPL PPL est na forma-padro quando postona forma:==njj jx c z1(max) ou (min)m i b x anji j ij,..., 11= ==n j xj,..., 1 0 = >sendom i bi,..., 1 0 = >3Soluo Exata para os ModelosPLComo obter solues viveis bsicas do sistema deequao? Como evitar o teste de todos as solues viveis bsicaspossveis para garantir a otimizao do sistema ?Algoritmo procedimento que termina emum nmero finitode operaes.Simplex Algoritmoqueutilizadeumferramental baseadona lgebra Linear para determinar, por um mtodoiterativo, a soluo timado PPL.4Reduo de um PPL qualquer forma-padro Restries do tipo s5 3 22 1s + x x Restries do tipo >7 62 1> +x x5 3 23 2 1= + + x x x7 64 2 1= + x x xx3 > 0x4 > 05Reduo de um PPL qualquer forma-padro Existe bi < 0Soluo: Basta multiplicar restrio i por -1 Existem variveis no-positivasSeja xk s 0:Soluo: Criar varivel xk tal que xk = - xkAssim, modelo ter varivel xk > 06Reduo de um PPL qualquer forma-padro Existem variveis livres, isto , variveis xkque podem assumir qualquer valor real(negativo, nulo ou positivo)Soluo: Substituir xk por xk xk , com xk > 0exk > 0xk > xk xk > 0xk = xk xk = 0xk < xk xk < 0 PPL de maximizaomax f(x) = - min {-f(x)}7Caracterizao de vrtice0 ,3222 max2 12 1212 1>s +ss+x xx xxxx x0 , , , ,3220 0 0 2 max5 4 3 2 15 2 14 23 15 4 3 2 1>= + += += ++ + + +x x x x xx x xx xx xx x x x x=3221 0 0 1 10 1 0 1 00 0 1 0 154321xxxxxAxbCaracterizao de vrticex1x2x2 s 2x1 s 2x1+x2s3BDEFGA = (0,0)B = (2,0)C = (2,1)D = (1,2)E = (0,2)F = (0,3)G = (2,2)H = (3,0)H0 , , , ,3220 0 0 2 max5 4 3 2 15 2 14 23 15 4 3 2 1>= + += += ++ + + +x x x x xx x xx xx xx x x x xAC9Caracterizao de vrtice Em um ponto no interior do conjunto (nopertencente a nenhuma aresta) no hvariveis nulas. Em uma aresta h, pelo menos, uma varivelnula. Em um vrtice h, pelo menos, n-m variveisnulas. n - m mmnR BCaracterizao de vrtice Para gerar um vrtice: Escolher uma matriz no-singular B tal que:BxB+ RxR= b Fazer xR= 0 Se ao resolver o sistema BxB= b, for obtido xB>0, ento x = (xBxR)t= (xB0)t vrtice Deste procedimento resulta uma Soluo BsicaVivel (SBV), com o significado geomtrico devrtice.Definies B =base xB= vetor das variveis bsicas xR= vetor das variveis no-bsicas Soluo Bsica (SB) = vetor x tal queBxB=b e xR= 0 Soluo Bsica Vivel (SBV) = vetor x tal queBxB=b; xB> 0exR= 0 Soluo Bsica Vivel Degenerada (SBVD) =SBV em que existe varivel bsica nula12Algoritmo SIMPLEXSBV inicialDetermine VB quedeve deixar a baseDetermine VNB quedeve entrar na basePare: Esta SBV timaEncontrenova SBVEsta SBV podeser melhorada?NoSim13Princpio de funcionamento doAlgoritmo SIMPLEX0 ,3222 max2 12 1212 1>s +ss= +x xx xxxz x x0 , , , ,3220 0 0 2 max5 4 3 2 15 2 14 23 15 4 3 2 1>= + += += += + + + +x x x x xx x xx xx xz x x x x x=3221 0 0 1 10 1 0 1 00 0 1 0 154321xxxxxAxb14Princpio de funcionamento doAlgoritmo SIMPLEXz 0 0 0 2 13 1 0 0 1 1 x52 0 1 0 1 0 x42 0 0 1 0 1 x3x5x4x3x2x1VBPPL na forma cannica: Base a identidade e coeficientesdas VBs na funo objetivo so todos nulos.15Princpio de funcionamento doAlgoritmo SIMPLEXz 0 0 0 2 13 1 0 0 1 1 x52 0 1 0 1 0 x42 0 0 1 0 1 x3x5x4x3x2x1VBSoluo inicial:x(0)= (0 0 2 2 3)t; z = 0VB = {x3 = 2, x4 = 2, x5 = 3}VNB = {x1 = 0, x2 = 0}16Princpio de funcionamento doAlgoritmo SIMPLEXz 0 0 0 2 1 (L4)3 1 0 0 1 1 x5(L3)2 0 1 0 1 0 x4(L2)2 0 0 1 0 1 x3(L1)x5x4x3x2x1VBL3 -L2 + L3L4 -2L2 + L4Transformaeselementares:17Princpio de funcionamento doAlgoritmo SIMPLEXz-4 0 -2 0 0 1 (L4)1 1 -1 0 0 1 x5(L3)2 0 1 0 1 0 x2(L2)2 0 0 1 0 1 x3(L1)x5x4x3x2x1VBVB = {x3 = 2, x2 = 2, x5 = 1}VNB = {x1 = 0, x4 = 0}Final da Iterao 1:x(1)= (0 2 2 0 1)t; z = 418Princpio de funcionamento doAlgoritmo SIMPLEXz-4 0 -2 0 0 1 (L4)1 1 -1 0 0 1 x5(L3)2 0 1 0 1 0 x2(L2)2 0 0 1 0 1 x3(L1)x5x4x3x2x1VBL4 -L3 + L4L1 -L3 + L119Princpio de funcionamentodo Algoritmo SIMPLEXz-5 -1 -1 0 0 0 (L4)1 1 -1 0 0 1 x1(L3)2 0 1 0 1 0 x2(L2)1 -1 1 1 0 0 x3(L1)x5x4x3x2x1VBVB = {x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1}VNB = {x4 = 0, x5 = 0}Final da Iterao 2:x(2)= (1 2 1 0 0)t; z = 520Interpretao geomtricax1x2x1 s 2ABDEFGH0 , , , ,3220 0 0 2 max5 4 3 2 15 2 14 23 15 4 3 2 1>= + += += ++ + + +x x x x xx x xx xx xx x x x xx1+x2s3Cx2 s 2A = (0,0)B = (2,0)C = (2,1)D = (1,2)E = (0,2)F = (0,3)G = (2,2)H = (3,0)21Exerccios0 ,4518 2 38 4 max2 112 12 12 1>ss +s += +x xxx xx xz x x