Parte 4 - Pesquisa Operacional 1 - Lásara Rodrigues UFOP

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    Exemplos de Problemas de

    Pesquisa Operacional -Continuao

    Disciplina: PRO706 - Pesquisa Operacional I

    Prof: Lsara Rodrigues

    Departamento de Engenharia de Produo, Administrao e EconomiaEscola de Minas

    Universidade Federal de Ouro Preto

    2010/1

    4 Parte

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    Fbrica de Mveis

    Uma grande fbrica de mveis normalmenteoferece uma linha de mveis composta por ummodelo de escrivaninha, uma mesa de reunio,um armrio e uma prateleira.

    Cada tipo de mvel consome uma certaquantidade de matria-prima e apresenta umvalor de revenda, conforme a tabela abaixo.

    Exibir um modelo de programao linear quemaximize a receita com a venda dos mveis.

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    Fbrica de Mveis

    Variveis de decisoxi = quantidade em unidades a serem produzidas

    do produto i;x1 = quantidade em unidades a serem produzidas

    de escrivaninha (i = 1);x2 = quantidade em unidades a serem produzidas

    de mesa (i = 2);x3 = quantidade em unidades a serem produzidas

    de armrios (i = 3);

    x4 = quantidade em unidades a serem produzidasde prateleira (i = 4);

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    Fbrica de Mveis

    Funo Objetivo

    maximizar receita

    max Z = 100x1 + 80x2 + 120x3 + 20x4

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    Fbrica de Mveis

    Restries Disponibilidade de tbua

    x1 + x2 + x3 + 4x4 250

    Disponibilidade de pranchasx2 + x3 + 2x4 600

    Disponibilidade de painis

    3x1 + 2x2 + 4x3 500

    No-negatividadex1 0, x2 0, x3, 0, x4 0

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    Escala de Funcionrios

    Uma empresa necessita da quantidade mnima defuncionrios/dia mostrada na tabela abaixo.

    30251010152020Func. Requeridos

    SabSexQuiQuaTerSegDomDia

    Cada funcionrio trabalha 5 dias consecutivos e tem 2dias de folga e pode comear em qualquer dia dasemana.

    Cada funcionrio recebe $300/semana. Se trabalhar

    aos sbados, recebe um extra de $30 e se for aosdomingos um extra de $40.

    Faa uma escala de funcionrios de forma a minimizaro gasto com pessoal.

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    Escala de Funcionrios

    Variveis de decisoxi = nmero de funcionrios necessrios para iniciar o trabalho

    no dia i;x1 = nmero de funcionrios necessrios para iniciar o trabalho

    no domingo;

    x2 = nmero de funcionrios necessrios para iniciar o trabalhona segunda;x3 = nmero de funcionrios necessrios para iniciar o trabalho

    no tera;x4 = nmero de funcionrios necessrios para iniciar o trabalho

    no quarta;

    x5 = nmero de funcionrios necessrios para iniciar o trabalhono quinta;x6 = nmero de funcionrios necessrios para iniciar o trabalho

    no sexta;x7 = nmero de funcionrios necessrios para iniciar o trabalho

    no sbado;

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    Escala de Funcionrios

    370XXXXXSab

    370XXXXXSex370XXXXXQui

    370XXXXXQua

    330XXXXXTer

    300XXXXXSeg

    340XXXXXDom

    CustoSabSexQuiQuaTerSegDom

    Dia de Incio Dias de trabalho

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    Escala de Funcionrios

    Funo Objetivo

    Minimizar gasto com pessoal

    min f(x) =340x1 + 300x2 + 330x3 +370x4 + 370x5+ 370x6 + 370x7

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    Escala de Funcionrios

    Restries Quantidade mnima de funcionrios para trabalhar no

    domingox1 + x4 + x5 + x6 + x7 20

    Quantidade mnima de funcionrios para trabalhar nasegunda

    x1 + x2 + x5 + x6 + x7 20 Quantidade mnima de funcionrios para trabalhar na

    terax3 + x4 + x5 + x6 + x7 15

    Quantidade mnima de funcionrios para trabalhar naquartax1 + x2 + x3 + x4 + x7 10

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    Escala de Funcionrios

    Quantidade mnima de funcionrios paratrabalhar na quintax1 + x2 + x3 + x4 + x5 10

    Quantidade mnima de funcionrios para

    trabalhar na sextax2 + x3 + x4 + x5 + x6 25

    Quantidade mnima de funcionrios paratrabalhar na sbadox3 + x4 + x5 + x6 + x7 35

    No-negatividadex1 0, x2 0, x3, 0, x4 0, x5 0, x6 0, x7, 0

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    Escala de Funcionrios

    min 340x1 + 300x2 + 330x3 +370x4 + 370x5 + 370x6 + 370x7Sujeito a:

    x1 + x4 + x5 + x6 + x7 20

    x1 + x2 + x5 + x6 + x7 20

    x3 + x4 + x5 + x6 + x7 15

    x1 + x2 + x3 + x4 + x7 10

    x1 + x2 + x3 + x4 + x5 10

    x2 + x3 + x4 + x5 + x6 25

    x3 + x4 + x5 + x6 + x7 35x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0, x6 0, x7 0

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    Problema da Mistura

    Uma agroindstria deve produzir um tipo de raopara determinado animal.

    Essa rao produzida de farinhas de trsingrediente bsicos: osso, soja e resto de peixe.

    Cada um desses trs ingredientes contmdiferentes quantidades de dois nutrientesnecessrios a uma dieta nutricional balanceada:protena e clcio.

    O nutricionista especifica as necessidades mnimas

    desses nutrientes em 1Kg de rao. Cada ingrediente adquirido no mercado com um

    certo custo unitrio ($/Kg).

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    Problema da Mistura

    Variveis de deciso

    xi quantidade (em Kg) do ingrediente i que deveser utilizada em uma unidade de (1Kg) darao.

    x1 quantidade (em Kg) de osso que deve serutilizada em uma unidade de (1Kg) da rao.

    x2 quantidade (em Kg) de soja que deve serutilizada em uma unidade de (1Kg) da rao.

    x3 quantidade (em Kg) de peixe que deve serutilizada em uma unidade de (1Kg) da rao.

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    Problema da Mistura

    Funo Objetivo

    Minimizar custo

    min 0,56x1 + 0,81x2 + 0,46x3

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    Problema da Mistura

    min 0,56x1 + 0,81x2 + 0,46x3Sujeito a:

    0,2x1 + 0,5x2 + 0,4x3

    0,30,6x1 + 0,4x2 + 0,4x3 0,5

    x1 + x2 + x3 = 1

    x1

    0, x2

    0, x3

    0

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    Transporte de agregados para aconstruo civil

    Suponha que, para a construo de umarodovia, no estejam disponveis na regio

    jazidas de rochas adequadas obteno depedra britada.

    Faz-se necessrio, portanto, o transporte dessematerial de jazidas mais prximas para algunspontos convenientes preestabelecidos ao longodo caminho de jazidas mais prximas paraalguns pontos convenientes preestabelecidos

    ao longo do caminho onde ser implantada aestrada ao menor custo.

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    Transporte de agregados para aconstruo civil

    Caminhos possveis que ligam cada pedreira (P)aos pontos de depsito (D).

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    Transporte de agregados para aconstruo civil

    Neste problema, temos m = 4 jazidascorrespondentes s origens e n = 3 depsitoscorrespondentes aos destinos, cujos dados estona tabela.

    As quantidades ofertadas (ai ltima coluna) edemandadas (bj ltima linha), em toneladas, somostradas na tabela.

    Custos de transportar 1 tonelada de pedra dapedreira i para o depsito j (cij que funo de

    vrios fatores, como tempo de viagem, condiesdas estradas de acesso, condies dos veculosque servem a trajetria em questo etc.) somostrados na tabela.

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    Transporte de agregados para aconstruo civil

    612421697Demanda bj

    3001925374

    7823515273

    2152640122

    4332113301

    Oferta ai321Pedreiras

    Depsitos

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    Transporte de agregados para aconstruo civil

    Varivel de deciso

    xij = quantidade transportada de rochas da jazida ipara o ponto de depsito j (em toneladas).

    i = 1 Pedreira 1 (P1)

    i = 2 Pedreira 2 (P2)

    i = 3 Pedreira 3 (P3)

    i = 4 Pedreira 4 (P4)

    j = 1 Depsito 1 (D1)

    j = 2 Depsito 2 (D2)

    j = 3 Depsito 3 (D3)

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    Transporte de agregados para aconstruo civil

    Funo Objetivo

    Minimizar o custo de transporte

    min 30x11 + 13x12 + 21x13 + 12x21 + 40x22 + 26x23 +

    27x31 + 15x32 + 35x33 + 37x41 + 25x42 + 19x43

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    Transporte de agregados para aconstruo civil

    Restries

    Oferta na Pedreira 1

    x11 + x12 + x13 433

    Oferta na Pedreira 2

    x21 + x22 + x23 215

    Oferta na Pedreira 3

    x31 + x32 + x33 782

    Oferta na Pedreira 4

    x41 + x42 + x43 300

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    Transporte de agregados para aconstruo civil

    Demanda no Depsito 1

    x11 + x21 + x31 + x41 = 697

    Demanda no Depsito 2

    x12

    + x22

    + x32

    + x42

    = 421

    Demanda no Depsito 3

    x13 + x23 + x33 + x43 = 612

    No-Negatividade

    x11

    0, x12 0, x

    13 0, x

    21 0, x

    22 0, x

    23 0,

    x31 0, x32 0, x33 0, x41 0, x42 0, x43 0

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    Transporte de agregados para aconstruo civil

    min 30x11 + 13x12 + 21x13 + 12x21 + 40x22 + 26x23 + 27x31+ 15x32 + 35x33 + 37x41 + 25x42 + 19x43

    Sujeito a:

    x11 + x12 + x13 433

    x21 + x22 + x23 215x31 + x32 + x33 782

    x41 + x42 + x43 300

    x11 + x21 + x31 + x41 = 697

    x12 + x22 + x32 + x42 = 421

    x13 + x23 + x33 + x43 = 612

    x11 0, x12 0, x13 0, x21 0, x22 0, x23 0,

    x31 0, x32 0, x33 0, x41 0, x42 0, x43 0

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    Dimensionamento de lotes

    Uma fbrica de pr-moldados que produz doistipos de vigas, cujas demandas para asprximas 3 semanas so mostradas na tabelaabaixo.

    805040Item 212090100Item 1

    Perodo 3Perodo 2Perodo 1Demandade vigas

    Demanda de vigas

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    Dimensionamento de lotes

    Os produtos utilizam os mesmo tipos derecursos, porm em quantidades diferentes.

    Suponha, por simplicidade, que apenas umcentro de trabalho esteja disponvel para aproduo dos dois itens, cuja disponibilidade de 40 horas por perodo e que a produo deuma unidade do item 1 consuma 15 minutos euma unidade do item 2 consuma 20 minutos.

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    Dimensionamento de lotes

    302020Item 2

    302020Item 1

    Perodo 3Perodo 2Perodo 1Custos deproduo

    Custos de produo

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    Dimensionamento de lotes

    Deseja-se definir um plano de produode modo que os pedidos sejam atendidosao menor custo de produo e

    estocagem. Os estoques iniciais dos dois produtos so

    nulos e deseja-se que seus estoques aofinal do horizonte de planejamento

    tambm sejam nulos.

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    Dimensionamento de lotes

    Variveis de deciso:

    xit = quantidade da viga tipo i produzida no

    perodo t.

    Iit = quantidade da viga tipo i estocada no

    final do perodo t.

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    Dimensionamento de lotes

    Funo Objetivo

    Minimizar custo (produo e estocagem)

    min 20x11 + 20x12 + 30x13 + 20x21 + 20x22 +30x23 + 2I11 + 3I12 + 2,5I21 + 3,5I22

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    Dimensionamento de lotes

    min 20x11 + 20x12 + 30x13 + 20x21 + 20x22 + 30x23 + 2I11 + 3I12+ 2,5I21 + 3,5I22

    Sujeito a:x11 + I11 = 100x12 + I11 I12 = 90

    x13 + I12 = 120x21 - I21 = 40x22 + I21 - I22 = 70x23 + I22 = 80

    1/4 x11 + 1/3 x21