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PARANÁ
GOVERNO DO ESTADO
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - DPPE PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
AVELINO MUNARO
EXPLORANDO O ENSINO DE ÁLGEBRA ATRAVÉS DA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Cascavel - PR 2011
AVELINO MUNARO
EXPLORANDO O ENSINO DE ÁLGEBRA ATRAVÉS DA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Material didático apresentado ao Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência da Educação. Departamento de Políticas Públicas e Programas Educacionais do Estado do Paraná. Núcleo Regional de Educação. Universidade Estadual do Paraná – UNIOESTE. Orientadora: Profª. Dra. Rosangela Villwock.
Cascavel - PR 2011
Sumário
1. APRESENTAÇÃO ........................................................................................................... 4
2. A ESCOLA E O ENSINO DA ÁLGEBRA .............................................................................. 6
3. UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE ÁLGEBRA ........................................................... 12
4. UNIDADE 01 - A ÁLGEBRA E SUA ORIGEM ................................................................... 13
4.1 ATIVIDADE 01 - A ÁLGEBRA, OS PALITOS E O CONTORNO DE QUADRADOS. .......... 14
4.2 ATIVIDADE 02 - A ÁLGEBRA DAS MESAS .................................................................. 18
4.3 ATIVIDADE 03 - A ÁLGEBRA NO DIA-A-DIA ............................................................... 21
5. UNIDADE 02 - OS NÚMEROS GOVERNAM O MUNDO ....................................................... 23
5.1 ATIVIDADE 01 - MULTIPLICAÇÕES INTERESSANTES E PRODUTOS NOTÁVEIS .......... 24
5.2 ATIVIDADE 02 - PRODUTOS NOTÁVEIS .................................................................... 26
6. UNIDADE 03 - OPERAÇÕES ALGÉBRICAS ............................................................................ 41
6.1 ATIVIDADE 01 -CONFECCIONANDO O MATERIAL .................................................... 42
6.2 ATIVIDADE 02 -OPERAÇÕES DE ADIÇÃO ALGÉBRICA USANDO O MATERIAL
CONCRETO ........................................................................................................................... 45
6.3 ATIVIDADE 03 - SUBTRAÇÃO ALGÉBRICA ................................................................. 47
6.4 ATIVIDADE 04 -EFETUANDO O PRODUTO ALGÉBRICO............................................. 49
6.5 ATIVIDADE 05 - RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES ............................................................ 52
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................................................... 57
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1. APRESENTAÇÃO
A álgebra é um saber construído historicamente ao longo do tempo e
transformou-se em uma ferramenta importante nos processos de generalização e
de resolução de problemas.
Este trabalho deseja desenvolver atividades com questões que deem
significados ao uso da álgebra em sala de aula e fora dela, orientando o aluno, no
sentido de ter uma atitude de investigação em relação ao que lhe é proposto. O
aluno é quem constrói o próprio conhecimento, mas tal fato ocorre de maneira
acentuada, se o trabalho desenvolvido em sala de aula privilegiar os conteúdos
mais significativos.
Os resultados das avaliações dos alunos em matemática dão indicações de
que o trabalho pedagógico não tem sido eficaz para proporcionar a compreensão
do significado dos conteúdos trabalhados nessa área do conhecimento.
Diante das dificuldades para a formação e compreensão dos conceitos da
álgebra pelos alunos, a questão que se coloca é como se devem abordar os
conteúdos da álgebra para que ocorra uma aprendizagem significativa?
Para enfrentarmos este problema devemos, inicialmente, estudar os
conceitos de álgebra, propondo significados aos conteúdos trabalhados, utilizando
como metodologia a resolução de problema, sabendo que os conhecimentos e o
desenvolvimento de competências são indispensáveis à formação e à eficácia dos
resultados das atividades relacionadas ao ensino e aprendizagem em sala de
aula.
As atividades serão desenvolvidas com o proposito de integrar a aritmética,
a geometria e a álgebra, de tal modo que, esses três campos da Matemática,
sejam utilizados para desenvolver e explicar os conteúdos, oferecendo condições
para apropriações dos saberes, desta Ciência.
Dada uma situação-problema, para a resolução, o aluno deverá construir
sequências de figuras, como forma de visualização. Em seguida, completará
quadros, com dados do problema. Para tanto, fará uso de material concreto e, a
partir da observação e do uso de regras simbólicas, será orientado a deduzir e
escrever a fórmula, usando, neste caso, a linguagem algébrica.
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O material didático é uma possibilidade e um auxílio a mais, à disposição
do professor, para facilitar a compreensão da álgebra de maneira simples e
agradável, com atividades de observação, análise e investigação de padrões que
favoreçam o desenvolvimento do raciocínio da generalização, que é a essência
da concepção algébrica.
Este material didático pedagógico faz parte do Programa de
Desenvolvimento Educacional do Estado do Paraná – PDE /2010, sendo que a
implementação do Projeto de Intervenção Pedagógica acontecerá nos meses de
agosto e setembro de 2011, com os alunos da 7ª série do Ensino Fundamental da
Escola Estadual Marquês de Maricá, no munícipio de cidade de Santa Izabel do
Oeste – PR, num período aproximado de 22 horas/aula.
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2. A ESCOLA E O ENSINO DA ÁLGEBRA
Embora a escola não seja o único lugar onde se educa; ela se caracteriza
como espaço privilegiado em que se estabelecem relações formais de ensino e
de aprendizagem, de forma articulada, planejada, visando à formação integral dos
alunos de modo a propiciar o desenvolvimento de uma consciência crítica que
possibilite a análise e a compreensão do mundo, da história, da cultura e dos
processos de trabalhos (KRAMER, 1989, p.27).
Segundo Sacristán (1998, p.13) as aquisições adaptativas humanas, não
se fixam biologicamente e também não acontecem de forma hereditária, mas o
ser humano cria mecanismos e sistemas de transmissão que garantem a
sobrevivência nas futuras gerações de suas conquistas históricas. Este processo
de aquisição das conquistas sociais às futuras gerações passou a denominar-se
de processo de educação.
As preocupações com os processos de socialização, que conteúdo
escolher, como transmitir, tornaram-se amplas e a escola se especializou no
exercício exclusivo, e cada vez mais complexo e sutil, de tal função. Na escola,
seus agentes devem levar em consideração os saberes que se encontram nos
livros, os seus saberes e os saberes que os alunos trazem consigo. Isto porque o
ser humano é fruto de seu tempo histórico, das relações sociais em que está
inserido, e é também, um ser que atua no mundo a partir da maneira que o
compreende e de como dele participa (PARANÁ, 2008, p.14).
Portanto, o conhecimento é fruto da atividade humana no decorrer do
tempo, e a escola tem papel de destaque na socialização desse saber às novas
gerações. Deve fazê-lo de forma crítica, mostrando as contradições sociais,
políticas e econômicas, presentes na sociedade, tendo em vista um indivíduo com
formação necessária para compreender e atuar no sentido de transformar a
realidade, tornando-a mais justa.
Educação Matemática é uma área de inúmeros saberes e, para a atuação,
é necessário o conhecimento da matemática, a experiência da atuação
profissional e ainda ser conhecedor das relações entre o ensino, a aprendizagem
e o conhecimento matemático. Segundo Mendes (2009, p. 09) a concepção da
matemática que temos influência decisivamente no que se ensina e como se
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ensina; a matemática, não permanece a mesma ao longo do tempo, mas
transforma-se constantemente e as perspectivas refletem as questões
emergentes do meio social, cultural, científico, político e econômico. Portanto,
deve-se conceber a Educação Matemática como saber vivo, dinâmico, construído
para atender às necessidades sociais, econômicas e teóricas, em um
determinado período histórico.
Almeja-se, através de seu ensino, que os estudantes tenham a
possibilidade de análises, discussões, conjecturas, apropriação de conceitos e
formulação de ideias. A Matemática deve contribuir para que, por meio dela, o ser
humano amplie seu conhecimento e, assim, contribua para o desenvolvimento
humano.
Da necessidade de resolver problemas da vida prática, que a princípio
pareciam insolúveis, é que a álgebra se originou. Por isso, ela levou um longo
tempo para se desenvolver e superar desafios considerados extremamente
difíceis (SANTOS, 2005, p 12).
A álgebra é um conhecimento matemático que se formou com a
contribuição de diferentes culturas (FIORENTINI, 1993, p.79) e, por meio de sua
utilização, passou-se a resolver problemas mais complexos. Com o seu uso são
possíveis às generalizações, tão importante para a compreensão e resolução de
problemas de aplicação, em diferentes áreas do conhecimento.
O cálculo algébrico por si só não faz sentido, é necessário explorar o
significado da álgebra, indo muito além da simples mecanização. A álgebra deve
ser ensinada no contexto com outros conteúdos, como nas questões de áreas,
perímetros, sequências numéricas com diferentes padrões, funções, entre outros,
inserida em um enfoque que procura mostrá-la como conhecimento útil, de valor
prático. Por outro lado, devemos tomar o cuidado para não restringir o alcance da
álgebra a casos particulares, mas fazer as generalizações e ampliar sua aplicação
(PARANÁ, 2008, p.53).
Para dar significado ao fazer pedagógico na Educação Matemática, o
professor deve ter uma visão do conjunto e integrar os diferentes conteúdos, isto
é, a álgebra, a aritmética e a geometria devem ser concebidas não como
conteúdos independentes, sem qualquer ligação, mas como saberes que
participam da organização da atividade humana e que se desenvolvem juntas,
uma implicada no desenvolvimento da outra (LINS& GIMENEZ, 1997, p. 28).
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O ensino e a aprendizagem devem investir na produção de significados
para a álgebra, em vez de simplesmente aprendizagem de álgebra. Queremos
que nossos alunos sejam também capazes de trabalhar com significados
matemáticos no dia-a-dia e não somente na sala de aula. Vivemos um momento
de transformações constantes e rápidas, sendo importante desenvolver nos
educandos a capacidade de estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e
criar (PARANÁ, 2008, p.45). Para alcançar os objetivos propostos, o professor
necessita estudar a produção de conhecimentos na história da matemática e ser
capaz de integrar os diferentes conteúdos, conforme as necessidades.
Hoje a álgebra é trabalhada mais nos últimos anos do Ensino Fundamental,
ou seja, nas 7ª e 8ª séries, porque, segundo Lins e Gimenez (1997, p.83), não
estamos convencidos da importância de se trabalhar a álgebra nos processos de
generalizações, também nas séries iniciais.
Do mesmo modo quando se pensa em álgebra, logo se pensa na 7ª série e
nos remetemos a respeito dos conteúdos, como: equações, inequações, cálculo
algébrico, sistemas de equações, produtos notáveis, entre outros, ou seja,
estamos centrados no conteúdo e na técnica. Ao descrever as atividades
algébricas, passamos a identificá-las pelas atividades em que elas acontecem,
afirmam Lins e Gimenez (1997, p 105), isto é, a associação com o conteúdo é
imediata; a atividade algébrica é resolver problemas algébricos; é fazer ou usar a
álgebra ou, a mais comum e banal, calcular com letras. Neste caso, o que o
professor pode propor para a classe? Talvez adote, segundo algumas péssimas
ideias encontradas em propostas para a educação aritmética, a prática de utilizar
a “sequência” técnica (algoritmo) / prática (exercícios). Portanto, a mudança de
perspectiva mais importante refere-se a passarmos a pensar em termos de
significados sendo produzidos no interior de atividades, e não como em termos de
técnicas ou conteúdos.
A atividade algébrica depende de conteúdos, na medida em que os
mesmos explicitam afirmações para as quais produzimos certo tipo de
significados. A ideia de que a aritmética deve preceder, necessariamente, a
álgebra é infundada na escola, e nem o contrário, pois há todo um conjunto de
experiências aritméticas extraescolares, que as crianças trazem consigo. O que
se deve buscar é a coexistência da educação algébrica com a aritmética e a
geometria, de modo que uma esteja implicada no desenvolvimento da outra.
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De acordo com Lorenzato (2008, p.70) essa integração da aritmética com a
geometria e a álgebra exerce papel importante na aprendizagem matemática,
porque possibilita ao aluno a visualização do todo, bem como das partes que o
compõem, facilitando assim o desenvolvimento da habilidade mental de operar
com as partes sem perder de vista o todo, movimento de composição e
decomposição, tão importante na aprendizagem dos conceitos da matemática.
As experiências vividas nas escolas têm mostrado que os alunos aprendem
pouco da álgebra que lhes ensinamos. O contato com ela inicia-se por volta da 6ª
série, com mais aprofundamento nos dois anos seguintes. O foco é o
desenvolvimento de habilidades de cálculo escrito mecânico e a resolução de
problemas é deixada para segundo plano. Isso é verificado em grande parte dos
livros didáticos, onde os conteúdos são trabalhados com modelos, sem
preocupação para fazer com que o aluno faça a relação com o seu dia-a-dia.
Deste modo, ele tem uma matemática para a sala de aula e outra matemática
para a rua ou em casa (CARRAHER, 2006).
Quanto ao livro didático, ele desempenha um papel muito maior do que um
simples instrumento de trabalho, ele acaba sendo a cartilha (não deveria ser) do
professor, visto que é mais cômodo segui-lo à risca (DANTE, 1996). Sendo assim,
é importante a qualidade do livro didático que é adotado pela escola. Há, por
parte dos professores, certa resistência quanto às mudanças, com raras
exceções, estes preferem adotar um livro mais tradicional, isto é, o novo livro tem
de apresentar características mais próximas daquele adotado anteriormente
(DAMAZIO, 2006, p. 24).
De um modo geral, nos livros didáticos, o tratamento dado à álgebra carece
de significado para os alunos e um dos obstáculos à sua aprendizagem reside na
total ausência de sentido dos cálculos algébricos. A boa notícia é que nos últimos
anos, tem havido um movimento da Educação Matemática que acabou
produzindo mudanças curriculares e uma nova visão da disciplina. Isso
possibilitou adaptações nos livros didáticos do ensino da matemática, por parte de
muitos autores, no sentido de tornar este conteúdo e outros, algo significativo
para o estudante (CARVALHO, 2008).
Convém destacar alguns autores, dentre eles, Antônio José Lopes Bigode,
Luiz Márcio Imenes e Marcelo Lellis, cuja proposta para o cálculo algébrico deixa
de ser o foco principal, como na abordagem tradicional, e passa a ser
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desenvolvido na medida em que é necessário à dedução de fórmulas e à
resolução de problemas. Outra proposta interessante é o tratamento dado aos
conteúdos na forma espiral, ou seja, os assuntos são abordados de diferentes
formas, com novas conexões, em todas as séries. Porém, com enfoque e graus
de dificuldades diferenciados. Não significa, simplesmente, repeti-los, mas, tratá-
los diferentemente, com novas conexões, quebrando a rígida exigência dos pré-
requisitos do ensino tradicional.
Nesta mesma linha de raciocínio, Lorenzato (2008, p.70) diz que o currículo
em espiral permite voltar ao mesmo assunto várias vezes, embora com diferentes
enfoques, produzindo resultados melhores quando se procura integrar a
aritmética, geometria e a álgebra; integração necessária, pois facilita a percepção
de significado de conceitos e símbolos.
A álgebra deve ser ensinada no trabalho com observação de padrões em
diferentes situações, levando-os a fazer as generalizações de regularidades, nas
quais é necessário deduzir fórmulas em que letras representam quantidades
variáveis.
A resolução de problemas deve ser explorada de maneira especial, pois
permite que se trabalhem diferentes conteúdos, nos quais muitas soluções podem
ser representadas por letras e isso leva às equações e suas incógnitas, cuja
resolução pode ocorrer usando a operação inversa ou a analogia com a balança
de dois pratos.
De acordo Dante (2003), a resolução de problemas é uma das tendências
metodológicas que compõem o estudo da Educação Matemática; trata-se de uma
metodologia pela qual o estudante tem oportunidade de aplicar conhecimentos
matemáticos adquiridos em novas situações de modo a resolver a questão
proposta.
Polya (2006, p.04) propõe quatro fases na resolução de um problema, a
saber:
Compreender o problema: não é possível responder corretamente algo que
não se entendeu, deve também desejar resolvê-lo;
Elaborar um plano: é necessária uma estratégia de ação, fazer a conexão
entre os dados do problema e o que ele pede;
Executar o plano: é preciso colocar em pratica o que foi elaborado,
verificando cada passo a ser dado;
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Fazer o retrospecto ou verificação: é examinar a solução obtida,
repassando todo o problema; fazer com que o aluno reveja como pensou
inicialmente, como encaminhou sua estratégia de solução e efetuou os
cálculos, enfim, o caminho trilhado para obter a solução.
Na metodologia da resolução de problemas, segundo Onuchic (1999, p.25)
o ponto de partida das atividades matemáticas não é a definição, mas o problema,
que não é um exercício no qual o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma
fórmula ou uma determinada técnica operatória; aproximações sucessivas ao
conceito criado são construídas para resolver certo tipo de problemas e que, num
outro momento, o aluno utiliza o que já aprendeu para resolver outros problemas;
o aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um
campo de conceitos que tomam sentido num campo de problemas; sendo que
estes são propostos aos alunos antes mesmo de lhes ter sido apresentado
formalmente o conteúdo matemático.
A avaliação do crescimento dos alunos é feita continuamente, durante a
resolução do problema (AVELLATO, 2008, p.6).
Importa hoje, no ensino da matemática, possuir habilidades em cálculo
mental, saber fazer estimativas, compreender os usos da matemática na
sociedade atual, ter competência para enfrentar problemas novos, compreender
conceitos e saber como as fórmulas se originaram. Quem sabe, assim, estaremos
formando estudantes autônomos e criativos, competentes para estudar e
pesquisar por si mesmos. Como afirmam Imenes e Lellis (2009, p.4), a
disseminação da informação, sobretudo com a Internet, diminuiu o papel da
escola como fonte de informação, mas aumentou sua responsabilidade de
formação de cidadãos competentes, para interpretar adequadamente essas
informações e utilizar com ética e inteligência.
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3. UMA PROPOSTA PARA O ENSINO DE ÁLGEBRA
As atividades deste projeto visam a integração de conhecimentos do aluno
e do professor, em relação à álgebra. O mesmo não priorizará a realização de
cálculos, simplesmente para entender a técnica, mas seu ensino será
contextualizado de forma a apresentar significado.
Ao trabalhar os conteúdos, haverá um direcionamento no sentido de
integrar os conhecimentos da aritmética, geometria e álgebra; uma fornecendo
instrumentos para o entendimento e por outro lado recebendo fundamentos e
aplicabilidade, com vista à aprendizagem.
Os problemas apresentados permitem ao aluno elaborar um ou vários
procedimentos de resolução, colocando-o no centro do processo educativo,
assumindo o papel ativo na construção do seu conhecimento matemático.
Caberá ao professor dar liberdade para os alunos, atuando como mediador
em relação ao ensino e aprendizagem, orientando os trabalhos de modo a levá-
los a pensar e refletir sobre os problemas envolvidos no tema.
A seguir, são apresentadas três unidades. Inicialmente, tratando da
resolução de problemas, com a identificação de regularidades e a dedução da
fórmula com o uso da álgebra. Na segunda unidade serão trabalhados os
produtos notáveis, nos casos do quadrado da soma de dois termos, quadrado da
diferença de dois termos e produto da soma pela diferença de dois termos,
sempre se utilizando da aritmética e da geometria para entender e fazer uso da
álgebra. A terceira unidade desenvolverá as operações algébricas da adição,
subtração, multiplicação e resolução de equações, inicialmente com material
representativo, seguido da representação algébrica.
As figuras apresentadas foram construídas com a utilização do programa
GeoGebra (HOHENWARTER, 2011), disponível em www.geogebra.org Acesso
em julho/2011.
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4. UNIDADE 01 - A ÁLGEBRA E SUA ORIGEM
Os números são estudados na aritmética, quando se trabalha com as
quatro operações, sendo ela pontual e numérica. As formas e suas propriedades
são assuntos tratados pela geometria nos conteúdos de área, perímetro, volume
de figuras, entre outros. Além desses, trabalha-se também com quantidades que
representam valores desconhecidos e que, geralmente, são representados por
letras. Isso acontece nas fórmulas e equações, que é a parte da matemática
chamada de álgebra, sendo ela generalista e literal.
As preocupações com a utilização das notações algébricas começaram
com os babilônios e os egípcios, em 1700 a.C., em que os mesmos
desenvolveram regras para vários cálculos e resoluções de problemas, apesar de
não terem desenvolvido notação para apresentar essas regras, de forma geral.
Por volta do ano 250, o grego Diofanto cria um sinal especial para a incógnita em
uma equação e outro sinal para a igualdade. Já no século IX, Al-Khowarizmi (780-
850), publicou o livro Al-jabr we muqabalah, que se tornou célebre, o mesmo usa
a álgebra para resolver problemas. A expressão al-jabr originou a palavra álgebra,
que significa, aproximadamente, restaurando o equilíbrio. Além de iniciar um novo
ramo da matemática, no mundo árabe, introduziu o sistema de numeração da
Índia, que é o mesmo que usamos atualmente.
Por volta de 1550, o francês Vieta, foi o primeiro a sistematizar o uso de
letra para representar dados, ou seja, valores desconhecidos em uma expressão.
Após, teríamos a noção de estruturas algébricas com Golois (1811-1832) e Abel
(1802-1829), de forma implícita, até chegar a Bourbaki (a partir 1940), quando se
passou ao domínio do cálculo com letras, num sentido bem mais refinado: um
cálculo com regras próprias, independentes e completamente abstratas.
Pretendemos, com este material didático, propor um ensino integrado da
aritmética, geometria e álgebra, como auxílio à compreensão dos conteúdos
relacionados à álgebra.
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4.1 ATIVIDADE 01 - A ÁLGEBRA, OS PALITOS E O CONTORNO DE
QUADRADOS.
Esta atividade tem como objetivo perceber a regularidade presente na
formação da sequência dos quadrados, e fazer a generalização com a dedução
de uma fórmula, usando para isso a álgebra. Serão trabalhados os conteúdos:
sequência de números, perímetro de quadrado e relação entre grandezas.
A metodologia utilizada será a resolução de problemas, através do
raciocínio dedutivo e da busca de padrões e regularidades, características
importantes do raciocínio matemático algébrico. Buscar-se-á tornar este conteúdo
compreensível e de fácil assimilação. Na atividade serão utilizados palitos e, para
a realização desta atividade serão necessárias duas horas/aula.
Para iniciar, construa a sequência de quadrados como os da Figura 1,
utilizando os palitos.
Figura 1 – Construção de quadrados utilizando palitos (Adaptação de Bigode, 2000.)
Vamos estabelecer uma relação entre o número de palitos de cada lado do
quadrado (q) e o número total de palitos (p) utilizados em sua confecção. Para
isso, sugere-se a sequência de atividades:
a) Inicialmente desenhe as duas próximas figuras da sequência acima.
b) Complete o quadro com o número de palitos do lado do quadrado (q) e o
número total de palitos (p) utilizado para a sua construção:
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Nº de palitos do lado
do quadrado (q) 1 2 3 4 5 6 8 10 15 25 50 100 350
Nº total de palitos
utilizados (p) 4 8 12
c) Quantos palitos tem o 10º quadrado da sequência? E o 100º?
d) Qual é a relação entre o lugar que o quadrado ocupa na sequência e a
quantidade de palitos do lado do quadrado?
e) Escreva a fórmula que relaciona o número total de palitos (p) usados na
construção de qualquer quadrado, com o número de palitos contido em seu
lado (q).
f) Quais cálculos deverão ser realizados para saber quantos palitos contém o
lado de um quadrado, se para confecciona-lo foi necessário um total de
220 palitos.
Soluções e dicas ao professor
a) Esta atividade tem o objetivo fazer com que o aluno perceba que os lados
dos quadrados estão aumentando em um palito, ou seja, de uma figura
para a outra, na sequência, o lado aumenta uma unidade, conforme figura
2.
Figura 2 – Par de quadrados.
b) Ao completar este quadro, o aluno constrói o conhecimento sobre a
relação entre o número de palitos do lado do quadrado e o total de palitos
necessários para a sua construção. Assim, o mesmo estabelece a relação
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entre o (q) que representa o número de palitos do lado de cada quadrado
e o (p) que representa o total de palitos utilizados. Relação esta,
necessária, para se construir o conceito da álgebra que, neste caso é,
essencialmente, generalização.
c) Percebendo que, no quadro, os números de baixo aumentam quatro vezes
em relação aos de cima, será preciso multiplicar por quatro, o número de
palitos do lado de cada quadrado, para saber o número total de palitos
utilizados na sua construção. Para o décimo quadrado, 10 palitos de lado
multiplicado por 4, resulta num total de 40 palitos. Da mesma forma para o
centésimo quadrado, 100 palitos de lado multiplicado por 4, resulta num
total de 400 palitos utilizados.
d) Pela visualização dos quadrados o aluno perceberá que, o primeiro
quadrado tem um palito em cada lado, o segundo dois, o terceiro três
palitos em cada lado e, assim, sucessivamente. Logo, o lugar que o
quadrado ocupa na sequência e igual ao número de palitos do lado do
quadrado.
e) Esta questão é de suma importância, pois se fará a generalização com
relação ao uso das letras e o seu significado para a classe, no que diz
respeito a esse problema. O (q) representará o lugar que ocupa e o
número de palitos que tem em cada lado e o (p) o número total de palitos
necessários para se construir o quadrado. A fórmula que expressa essa
relação será p = 4 .q.
f) Possibilitar ao aluno ter outro ponto de vista, é o objetivo desta questão.
Além disso, necessitamos saber interpretar e identificar o que realmente a
Nº de palitos do lado do
quadrado (q) 1 2 3 4 5 6 8 10 15 25 50 100 350
Nº total de palitos utilizados
(p) 4 8 12 16 20 24 28 40 60 100 200 400 1400
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questão pede. Se para encontrar o total de palitos basta multiplicar por
quatro, para conhecer o número de palitos do lado do quadrado construído
com 220 palitos, necessitamos fazer o caminho inverso, ou seja, dividir por
quatro. Logo, a resposta será 220 / 4 = 55, portanto, o lado do quadrado
tem 55 palitos.
Sugestão de Avaliação:
Com relação a avaliação, esta poderá ser realizada por meio da
observação e acompanhamento do desenvolvimento e envolvimento dos alunos
nas atividades solicitadas. Pode-se, também, elaborar um novo problema,
exigindo um raciocínio semelhante, envolvendo, por exemplo, triângulos,
retângulos, construção de outros ladrilhos, ou mesmo, situações e sequências
que podem ser inventadas.
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4.2 ATIVIDADE 02 - A ÁLGEBRA DAS MESAS
Os alunos da 7ª série resolveram se reunir em uma pizzaria, para
comemorar o bom desempenho nas avaliações de Matemática. No horário
combinado começaram a chegar e, sendo colegas, resolveram juntar as mesas.
Neste momento, quem estava pensativo, era o proprietário, pois, assim, iriam
faltar mesas. Ajude o proprietário a esclarecer esta situação resolvendo as
questões abaixo.
Representaremos o número de mesas pela letra m e o número de cadeiras
por c e, estabeleceremos, uma relação entre esses dois elementos.
Figura 3-Conjunto de mesas e cadeiras.
a) Desenhe as próximas duas sequencias, conforme a figura 3.
b) Quantos lugares haverá com quatro mesas? E com cinco mesas?
c) Complete o quadro que relaciona o número de mesas (m) com o número
de cadeiras (c):
Nº de mesas (m) 1 2 3 4 5 6 8 10 15 20 30 50 100
Nº de cadeiras (c) 4 6 8
d) Supondo que a 7ª série tenha 37 alunos, quantas mesas seriam
necessárias para acomodar a todos. E se as mesas fossem organizadas
separadamente, qual seria a diferença?
e) Usando a letra m para representar as mesas e a letra c para as cadeiras,
crie uma fórmula que de o número de cadeiras conhecendo o número de
mesas.
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f) Se você souber o número de cadeiras, o que deve ser feito para encontrar
o número de mesas? Expresse isso através de uma fórmula?
Soluções e dicas ao professor
a) Esta atividade tem por objetivo fazer com que o aluno visualize e construa
a sequência, percebendo de que forma ela esta sendo formada, conforme
figura 4.
Figura 4– Dois conjuntos de mesas agrupadas.
b) Ao fazer a atividade anterior, o aluno já terá a resposta, visto que é
somente contar as cadeiras. Isto possibilitará visualizar a situação,
contribuindo para a aprendizagem.
Quatro mesas = 10 lugares
Cinco mesas = 12 lugares
c) Ao completar o quadro, o aluno é levado a perceber a regularidade e a
generalizar a situação, vendo como se comportam os números:
Nº de mesas (m) 1 2 3 4 5 6 8 10 15 20 30 50 100
Nº de cadeiras (c) 4 6 8 10 12 14 18 22 32 42 62 102 202
d) O aluno deverá perceber que, dependendo do número de pessoas e não
dispondo de mesas suficientes, o recurso é separar as mesas para, assim,
acomodá-las. No caso de 37 alunos são necessárias 18 mesas, sobrando
um lugar. E se as mesas fossem organizadas separadamente, teríamos
quatro lugares por mesa, assim, 37 dividido por 4, teremos o quociente 9 e
resto 1. Portanto, esse aluno (a) poderá juntar-se aos outros, sendo
necessário somente 9 mesas ou alguns alunos (as) solidarizar-se a esse
(a) sendo necessário, neste caso, 10 mesas.
e) Ao responder esta questão, o aluno é levado a associar a letra ao valor
que ela representa. Relação necessária, para entender a utilidade e a
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importância da álgebra nos processos de generalizações. Portanto, se o
aluno foi capaz de responder as questões anteriores, saberá escrever a lei
geral que expressa o número de cadeiras em função do número de
mesas. C = 4 + 2 (m-1) = 4 + 2 m – 2 = 2 m + 2, portanto C = 2m + 2.
f) O aluno deve ter em mente que, os valores desconhecidos, podem ser
alterados, ou que, na vida, as situações não se comportam de maneira
uniforme, mas diversificada. Esta questão possibilita realizar a operação
inversa, importante para a fixação do conteúdo. Se para encontra o
número de lugares dobramos o número de mesas e somamos duas
unidades, devemos fazer o caminho inverso: no lugar de somarmos 2,
devemos subtrair 2 e, ao invés de multiplicar por 2, devemos dividir por 2.
Assim a fórmula será M = (c – 2) / 2.
21
4.3 ATIVIDADE 03 - A ÁLGEBRA NO DIA-A-DIA
O objetivo desta atividade é perceber que a álgebra está presente em
situações diversas, que somos capazes de deduzir fórmulas a partir da simples
observação. Isto porque o aluno que não generalizar, terá dificuldade de construir
os conceitos algébricos, uma vez que estes são essencialmente generalizações.
A metodologia empregada será a resolução de problemas, com a
observação de padrão e a dedução de fórmula que generalize a situação
proposta. Serão desenvolvidos os conteúdos de função, porcentagem e relação
de compra e venda. Tempo necessário, uma hora/aula.
Uma fábrica que produz bonés tem um custo fixo mensal de R$ 1.000,00 e
gasta R$ 8,00 em cada boné que produz. Com base nestas informações
responda:
a) Qual é o custo para a produção de um boné? E para 10 bonés?
b) Complete o quadro abaixo que relaciona o número de bonés fabricados e
o custo da produção:
Número de bonés (b) 1 2 3 4 5 6 10 15 30 50 100
Custo total (Ct)
c) Expresse o custo total (Ct) em função da quantidade de bonés (b)
produzidos.
d) Suponha que a fábrica venda cada boné a R$ 15,00. Qual a quantidade
mínima de bonés que será necessário vender para obter lucro?
Soluções e dicas ao professor
a) Esta questão é interessante por possuir uma parte fixa, isso requer do
professor a atenção para fazer com que os alunos compreendam que, o
custo fixo, para fabricar um ou 100 bonés é o mesmo. Portanto, o custo
para um boné será a parte fixa (R$ 1000,00) mais o custo de um boné (R$
8,00) = R$ 1008,00. E para 10 bonés será de R$ 1000,00 + 10 . R$ 8,00 =
1080,00
22
b) Através do quadro, o aluno constrói a relação entre o número de bonés (b)
e o custo total (Ct), necessários para fazer as generalizações.
Número de bonés (b) 1 2 3 4 5 6 10 15 30 50 100
Custo total (Ct) 1008 1016 1024 1032 1040 1048 1080 1120 1240 1400 1800
c) Depois de completado e visualizado o quadro anterior, o aluno terá mais
facilidade de deduzir a fórmula, mas, mesmo assim, o professor precisará
esclarecer quanto ao uso das letras. A fórmula que relaciona o custo total
em função do número de bonés será: Ct = 1000,00 + b . 8,00.
d) O aluno precisa saber diferenciar o custo de um produto e o lucro que se
obtém com sua venda. Porque disso depende a permanência ou a falência
de um empreendimento. O mesmo acontece em nossas casas, se
gastamos mais do que recebemos, estamos condenados à falência. Na
questão analisada, a venda precisa cobrir a despesa fixa de R$ 1000,00,
mais os R$ 8,00 por boné, ou seja, o custo total será dado por Ct =
1000,00 + b . 8,00. Como o preço de venda é R$ 15,00 por boné, a receita
(R) será R = 15,00 . b. O lucro (L) é dado pela diferença entre a receita e o
custo, ou seja, L = R$ 15,00 .b – (R$ 1000,00 + R$ 8,00. b).
Número de bonés (b) 1 2 3 4 5 6 10 15 30 100 143
Custo total (Ct) 1008 1016 1024 1032 1040 1048 1080 1120 1240 1800 2144
Receita (R) 15 30 45 60 75 100 150 225 450 1500 2145
Lucro (L) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Fazendo o lucro igual à zero, obtemos b igual a 142,86 (aproximadamente).
Então, a solução corresponde a 143 bonés a serem vendidos, pois só terá lucro
se vender acima deste valor.
23
5. UNIDADE 02 - OS NÚMEROS GOVERNAM O MUNDO
O título que inicia esta unidade é atribuído a Pitágoras (570 a.C. – 497
a.C.) e é, também, o título de um livro escrito por Malba Taham (1895-1974), com
o acréscimo das palavras: Folclore da matemática. Segundo este autor, na escola
de Pitágoras, era comum atribuir propriedades metafísicas aos números. Para
eles, o número era a alma das coisas, Por exemplo, o três representava a
divindade; os números eram classificados em masculino e feminino, o três era
masculino, o dois pertencia ao conjunto dos femininos. A unidade era mais um
princípio, elemento fundador que, propriamente, um número. O número cinco
representava o matrimônio, expressando a união do número três (masculino) com
o primeiro número feminino, o dois. Os matemáticos gregos, da antiguidade,
acreditavam no misticismo numérico. Assim, temos os números perfeitos, os
números amigos, números cabalísticos, etc. Segundo eles, os números eram
plenos de vida, dotados de atributos e mistérios, interferiam, a cada momento, na
vida humana. O destino de toda criatura humana era regido por um número.
”Coitado do sujeito que recebesse um número de pouca sorte”.
Passados mais de 2497 anos da morte de Pitágoras, ainda hoje, com todo
o desenvolvimento, as pessoas acreditam em números místicos, cabalísticos e,
atribuem poderes aos números. Assim, iremos efetuar e verificar algumas
multiplicações interessantes, mas nada de atribuir poderes aos números, já que o
número não existe, o que temos é a sua representação, que são apenas produtos
da mente humana.
24
5.1 ATIVIDADE 01 - MULTIPLICAÇÕES INTERESSANTES E PRODUTOS
NOTÁVEIS
Esta atividade tem como objetivo relacionar os conceitos de multiplicação
(produtos) como algo que, podemos criar e nos surpreender com os resultados
obtidos. Alguns produtos são notáveis, pois nos chamam a atenção, seja pela
forma como se apresentam, pela simetria ou pelas vezes que se repetem em
determinadas situações.
Serão trabalhados os conteúdos: multiplicação de números inteiros,
simetria, sequência de números e regularidades.
A metodologia utilizada será a investigação matemática, com o uso da
calculadora para efetuar os cálculos, evitando excesso de tempo. A atividade será
desenvolvida em uma hora/aula.
Iniciaremos esta atividade efetuando alguns produtos com o intuito de
descobrir algumas regularidades:
a) 12345679 x 9 = b) 9 x 9 =
12345679 x 18 = 9 x 98 =
12345679 x 27 = 9 x 987 =
12345679 x 36 = 9 x 9876 =
c) 142857 x 2 = d) 1 x 1 =
142857 x 3 = 11 x 11 =
142857 x 4 = 111 x 111 =
142857 x 5 = 1111 x 1111 =
Depois de realizado o produto verifique, em cada caso, as regularidades
que apareceram e de que modo acontecem. Descreva em cada situação a
conclusão a que se chegou. Essa regularidade se mantém se continuarmos a
efetuar as multiplicações? Certifique se isso de fato acontece.
Você deve ter pensado: que multiplicações interessantes ou na linguagem
da Matemática se diria, que produtos notáveis. Produto é a mesma coisa que
multiplicação e notável é o que nos chama atenção, que é interessante, que se
nota, se percebe. Portanto, produtos notáveis são multiplicações interessantes,
25
que nos chamam a atenção e são úteis para o cálculo mental, poupa tempo e
cálculos, quando se trabalha com certos problemas e equações.
Mas, existem alguns produtos que chamaram a atenção dos matemáticos
porque apareciam, com frequência, em diversas situações e com as mesmas
características, independente da situação problema. Essas multiplicações, que
levam o nome de produtos notáveis se estudam, com mais frequência, na 7ª
série, no conteúdo operações com expressões algébricas ou cálculo algébrico.
Nesta unidade, serão apresentados três deles: quadrado da soma de dois termos,
quadrado da diferença de dois termos e produto da soma pela diferença de dois
termos.
26
5.2 ATIVIDADE 02 - PRODUTOS NOTÁVEIS
Esta atividade tem como objetivo trabalhar, de forma significativa, os
produtos notáveis, para que o aluno compreenda, de forma prática, os três casos
citados anteriormente.
Serão trabalhados os conteúdos: área de figura plana, expressões
algébricas e produtos notáveis.
A metodologia utilizada será a resolução de problemas, desenvolvendo o
conceito dos produtos notáveis associados ao de área, usando a representação
geométrica. Far-se-á uso dos seguintes materiais: papel cartão, régua, esquadro
e tesoura. Serão necessárias, para esta atividade, mais ou menos, 6 horas/aula.
a) A área e a álgebra
Quando falamos de área, estamos tratando da medida de uma superfície,
cujas figuras possuem duas dimensões, a saber: comprimento e largura ou altura.
Seu cálculo depende da forma como são construídos ou se apresentam.
Tomamos como exemplo, um quadrado de lado medindo uma unidade de
medida, ou seja, uma unidade de comprimento e uma unidade de largura. Sua
área, ou seja, a superfície que esse quadrado ocupa, é de uma unidade de área.
Estudamos em séries anteriores que, para calcular potências, como 2², 3² e
4² significa, respectivamente, efetuar o produto de 2.2, 3.3 e 4.4, cujos resultados
são 4, 9 e 16. Se pensarmos em quadrados cujos lados medem 2 unidades, 3
unidades e 4 unidades, para calcular sua área, utilizamos o procedimento
conforme figura 5.
Figura 5 - Conjunto de quadrados.
27
Preenchemos a superfície dos quadrados com unidades de áreas
(quadrados medindo 1 unidade de comprimento e 1 unidade de largura). Para
calcular a área de cada figura, basta contar, quantos quadrados de uma unidade
de área são necessários para cobrir a figura. Neste caso, as áreas são 4 unidades
de área, 9 unidades de área e 16 unidades de área, respectivamente.
Podemos verificar que o número de quadrados é exatamente o número de
unidades do lado multiplicado por ele mesmo, (ou o número de unidades do lado
elevado ao quadrado). Se a unidade de medida é o cm, a unidade de área é o
cm2. Se a unidade de medida é o m, a unidade de área é o m2. E, assim,
sucessivamente.
Se tivéssemos um retângulo de 4 cm de comprimento por 3 cm de largura,
conforme a figura 6, sua área seria de 12 cm². Bastaria contar quantos quadrinhos
são necessários para compor a superfície, caso não tivesse as divisões, seria
preciso efetuar o produto do comprimento pela largura, isto é 4 cm .3 cm = 12
cm².
Figura 6 – Retângulo.
Já a expressão (2+3)² pode ser resolvida de duas formas:
Uma seria somar 2 com 3 que dá 5 e elevar ao quadrado (5²), isto é 5
vezes 5 que é igual a 25. Visualizado na figura 7, constatamos que o lado do
quadrado tem 5 unidades de medidas.
28
Figura 7 – Quadrado de lado 5 u m.
Outra forma é pensarmos em um quadrado de lado medindo (2 + 3) e
calcularmos suas áreas, conforme representado na figura 8.
Figura 8 – Quadrado decomposto.
Pela figura acima percebemos que o quadrado de lado medindo (2 + 3) foi
decomposto em dois quadrados, um de lado 2 u m e o outro 3 u m e mais dois
retângulos iguais de medida 3 u m por 2 u m. Portanto, para saber a área total,
devemos calcular a área de cada uma, conforme figura 9 e adicionar.
29
Figura 9– Quadrado formado pelas partes.
O resultado da expressão (2+3)² = 25 u.a. é a soma das áreas dos
quadrados (4 u a + 9 u a) e dos retângulos ( 6 u a + 6 u a) da figura acima.
Analisando as duas formas de se resolver a expressão acima, não teremos
dúvida em afirmar que a primeira solução é mais simples e prática. Porém, mais
adiante, veremos que teremos que utilizar esta última estratégia quando uma das
parcelas da soma é desconhecida.
b) Cálculos mentais e algébricos
Em um primeiro momento, pensemos no seguinte produto 13.13, como um
quadrado de lado medindo 13 u m, cujo lado também pode ser representado,
geometricamente, por um quadrado de lado 10 + 3, isto é (10 + 3)² = (10 +3) (10 +
3), conforme a representação na figura 10:
Figura 10 - Quadrado da soma de dois termos.
30
A área do quadrado maior é 10² ou 10 .10 = 100.
A área do retângulo é 10 .3 = 30. Como são dois retângulos, 30 . 2= 60.
E a área do quadrado menor é 3² ou 3 . 3 =9.
A área total é a soma = 100 + 60 + 9 =169.
Analisemos melhor este exemplo, para fazermos uma relação entre a
representação da escrita do produto e seu resultado.
(10 + 3)² =100 + 60 + 9 = 169
Na expressão que acabamos de escrever, podemos representar o número
100 e o número 9 na forma de potências, que ficaria assim representado:
(10 + 3)² = 10² + 60 + 3²
Onde o primeiro termo é o 10 ao quadrado (área do quadrado de lado 10) e
o segundo termo é o 3 ao quadrado (área do quadrado de lado 3) .
E o que acontece com o termo do meio (60)? Observando a ilustração
acima, temos dois retângulos iguais, que estão representados em azul. Assim, o
termo 60 pode ser escrito como 2 . 30.
(10 + 3)² = 10² + 2 .30 + 3²
Sendo que o número 2 representa os dois retângulos e 30 a área do
retângulo de dimensões 10 por 3. Assim o termo do meio pode ser escrito:
(10 + 3)² = 10² + 2 10.3+ 3²
Portanto, uma nova interpretação do termo que está no meio (60) é o dobro
do produto do primeiro termo (10) pelo segundo termo (3).
Pelo desenvolvimento realizado, o produto obtido é igual ao quadrado do 1º
termo mais duas vezes o 1º termo pelo 2º termo, mais o quadrado do 2º termo. O
que acabamos de descrever é chamado em matemática de quadrado da soma
de dois termos, e é representado de uma maneira geral por (a + b)² =a² + 2 a.b+
b².
Aplicando o que acabamos de estudar, verifique, com seu colega, aquele
que efetua os produtos corretamente em menor tempo e, sem o uso da
calculadora.
1) 13² = (10 +3)² = 10² + 2 .10 .3 + 3² = 100 + 60 + 9 =169
2) 15² =
3) 41² =
4) 22² =
31
c) Quadrado da soma em que uma parcela é desconhecida.
Imaginemos uma nova situação em que um dos valores seja desconhecido,
como por exemplo, (x + 3)², que poderia ser interpretado como um quadrado de
uma certa medida em que se deseja aumentar 3 unidades de comprimento. Ou
também (3 + x)² que seria interpretado como um quadrado de lado 3 unidades de
comprimento e que seria aumentado um valor qualquer em suas dimensões.
Neste caso, a solução não poderá ser encontrada somando-se os dois
termos, como foi visto anteriormente, pois não conhecemos um dos valores,
representado pelo x. Portanto, nesta situação, devemos pensar em um quadrado
cujo valor do lado desconheço e que desejo aumentar em 3 unidades. A figura 11
representa à expressão da área correspondente a (x + 3).(x + 3) ou (x +3)².
Figura 11 – Quadrado da soma com uma parcela desconhecida.
Neste caso a expressão que representa a área da figura será a soma de x²
+3x +3x + 9 = x² + 6x + 9, cujo lado do quadrado mede x + 3.
Podemos também neste caso fazer a aplicação de forma direta, sem a
construção do desenho, isto é (x +3)² = x² + 2. x. 3 + 3² = x² + 6x + 9.
d) Generalizando o quadrado da soma de dois termos.
Acabamos de efetuar o quadrado da soma em que uma das parcelas é
desconhecida, mas pode ocorrer, serem as duas parcelas desconhecidas. Neste
caso, devemos proceder de modo análogo ao desenvolvido na figura 11, que
32
generalizando escrevemos (a + b)², e, representado geometricamente, teremos a
figura 12.
Figura 12 – Generalização do quadrado da soma de dois termos.
É interessante que o professor (a) desenvolva algumas dessas atividades,
ou quantas julgar conveniente, para que os alunos (as) compreendam o processo,
e estabeleçam a relação entre o binômio e o produto na construção geométrica,
com o cálculo de áreas. A partir da compreensão da relação, o aluno entenderá
que não é mais necessária a construção das figuras, para visualizar e encontrar a
solução, mas que ela apresenta certa regularidade ou característica. Somente
após esse compressão significativa é que o professor, junto com os alunos,
trabalhará o conceito dos termos utilizados e que, na linguagem matemática, se
expressa como o quadrado da soma de dois termos (a + b)² é igual ao quadrado
do primeiro (a²) mais duas vezes o primeiro pelo segundo (2.a.b) mais o quadrado
do segundo (b²). Algebricamente escrita na forma (a + b)² = a² + 2.a.b + b². É de
suma importância que o professor trabalhe com material concreto, inicialmente
podendo usar o papel quadriculado ou cartolina.
e) Quadrado da diferença de dois termos
Um segundo caso dos produtos notáveis, acontece quando temos um
número ou valor e subtraímos uma parcela dele. Tomemos, por exemplo, 18², que
pode ser escrito na forma de binômio como (20 – 2)² = (20 - 2) (20 – 2). Neste
caso, devemos interpretar o dois negativo como retirar duas unidades de
33
comprimento do quadrado de lado medindo 20 unidades. Representando essa
situação geometricamente, teremos a figura 13.
Figura 13. - Quadrado da diferença de dois termos.
A área que representa a solução do produto (20 – 2) (20 - 2) é a superfície
de cor cinza, portanto, para obter esse valor devemos encontrar a área do
quadrado de lado, medindo 20 unidades e subtrair a área dos dois retângulos de
dimensões 20 por 2, e somar a área do quadrado menor (pois foi subtraída duas
vezes),como veremos a seguir.
Área do quadrado maior = 20² = 20 .20 = 400
Área do retângulo = 2 .20 = 40, como são dois, 40 . 2 = 80
Mas neste, caso devemos tomar o cuidado para não extrair duas vezes a
área do quadrado menor , isto porque ao fazermos 20 . 2 uma fração da
área de um dos retângulos está sobreposta (a área do quadrado menor).
Visualize e entenda porquê ,na representação da figura 14.
34
Figura 14. - Região sobreposta do quadrado da diferença de dois termos.
Fazendo assim, estamos subtraindo duas vezes esta área e, por
isso,devemos adicionar ou somar a área desse quadrado que é (2) . (2) = 4.
Então, o resultado final será 400 – 80 + 4 = 324, que é igual a 18 .18 = 324.
Analisando mais detalhadamente, o que foi realizado no exemplo acima,
podemos fazer a relação entre a representação da potência e seu resultado, (de
modo semelhante, ao que foi feito no quadrado da soma de dois termos), assim o
resultado poderá ser representado por: (20 – 2)² = 400 – 80 + 4 = 316
Também, neste caso, o número 400 e o número 4 podem ser
representados através de potências.
(20 – 2)² = 20² - 80 +2²
O termo do meio é a área dos dois retângulos, que é 2 . 20 = 40, como são
dois retângulos, temos 40 .2 = 80. Portanto, isso permite escrever:
(20 – 2)² = 20² - 2 .40 +2²
(20 – 2)² = 20² - 2 .20 . 2 + 2²
Então, o produto notável (20 – 2)²= (20 – 2) (20 – 2) é igual ao quadrado do
primeiro (20)², menos 2 vezes o primeiro (20) pelo segundo (2), mais o quadrado
do segundo (2)². Que, generalizando, se escreve da seguinte forma (a – b)² = a² -
2ab + a².
Aplicando a forma generalizada para:
462 = (50 – 4)² = 50² - 2 .50 .4 + 4²
= 2500 – 400 +16
= 2116
Para o caso de não conhecer um valor, aplica-se o mesmo procedimento,
como no exemplo: (x -5)², representado na figura 15.
35
Figura 15 – Quadrado da diferença de dois termos, sendo um deles desconhecidos.
Neste caso, a área será indicada por uma expressão onde a área maior é
x² menos as áreas dos dois retângulos (- 5x – 5x) = - 10x e mais a área
sobreposta 25. Assim podemos representar o produto da diferença de dois
termos, como: (x – 5)² = X² - 10x + 25.
f) Generalizando o quadrado da diferença de dois termos.
A representação (a – b)² é a expressão algébrica que indica, de maneira
generalizada, o quadrado da diferença de dois termos, que pode ser, também,
visualizado geometricamente, pela representação da figura 16.
Figura 16 – Generalização do quadrado da diferença de dois termos
36
O produto (a – b) (a – b) em linguagem algébrica se expressa como o
quadrado da diferença de dois termos (a - b)² e é igual ao quadrado do primeiro
(a²), menos duas vezes o primeiro pelo segundo (2.a.b), mais o quadrado do
segundo (b²). Isso simplificado se expressa na fórmula (a - b)² = a² - 2.a.b + b².
Sugere-se ao professor, desafiar seus alunos para ver quem é mais rápido
em realizar as multiplicações, sem o uso da calculadora.
1) 29² = (30 – 1)² = 30² - 2 . 30.1 + 1² = 900 - 60 +1 = 841
2) 19² =
3) 39² =
4) 52² =
g) Produto da soma pela diferença de dois termos
O título acima é o nome que recebe o terceiro caso dos produtos notáveis,
que é a multiplicação de dois fatores representada por um binômio, sendo que um
dos binômios contém a soma, e o outro, a diferença.
Inicialmente, para compreender e visualizar este caso, construiremos, em
papel quadriculado, um quadrado com 10 unidades de lado, conforme a figura 17.
Figura 17–Quadrado quadriculado.
37
Desse quadrado, queremos separar em duas partes, por exemplo, em 3
unidades. Neste caso, qual é o valor da área de cor verde na figura 18?
Figura 18 – Produto da soma pela diferença de dois termos.
A área verde será igual à área total que é 10 .10 = 100 u a, menos a área
cinza que é 7 . 7 = 49. Portanto, 100 – 49 = 51 unidade de área. É possível,
também, representar o número 100 e o número 49 na forma de potências, isto é
10² - 7²= 51 u a.
Podemos, ainda, escrever a área verde como produto de dois fatores,
sendo estes dois binômios, visualizado pelo retângulo formado, figura 19, a partir
dos dois retângulos decompostos da figura 18.
Figura 19 – Retângulo representativo do produto (10 + 7).(10 – 7).
O retângulo formado tem o comprimento igual a (10 + 7) e a largura (10 –
7). Portanto, sua área é o produto da soma pela diferença de dois termos, que
aplicando a propriedade distributiva tem como resultado:
38
(10 + 7) (10 – 7) = 10 .10 – 7 .10 + 7 .10 - 7.7
= 100 – 70 + 70 – 49
= 100 – 49 = 51, que pode ser representado em potência por:
(10 + 7) (10 – 7) = 10² - 7² = 100 -49 = 51.
O que acabamos de fazer é conhecido como produto da soma pela
diferença de dois termos, e sua representação para qualquer número, é escrita
da seguinte forma (a + b) (a – b) = a² - b².
Para o caso do produto da soma, pela diferença de dois termos, conforme
deduzido acima, basta elevar o primeiro termo (a) ao quadrado, menos o segundo
termo (b) ao quadrado. Que está representado, genericamente, conforme a figura
20.
Figura 20 – Generalização do produto da soma pela diferença de dois termos.
A área de cor cinza pode ser representada por um retângulo formado a
partir dos dois retângulos conforme a figura 21, onde o comprimento é igual a (a +
b) e a largura é (a – b).
Figura 21 – Hexágono e retângulo do produto da soma pela diferença.
39
Calcular a área do hexágono à esquerda, equivale a calcular a área do
retângulo à direita. Portanto:
Área do hexágono = área do quadrado maior – área do quadrado menor
Área do hexágono =a² - b²
Área do retângulo = comprimento . largura
Área do retângulo = (a + b) (a – b), efetuando o produto pela propriedade
distributiva teremos:
Área do retângulo = a² - a b + a b - b², os dois termos do meio se anulam.
Área do retângulo = a² - b².
Portanto, quando estiver efetuando cálculos e aparecer multiplicações com
estas características, podemos calcular de forma direta o produto da soma, pela
diferença de dois termos, elevando o primeiro termo ao quadrado menos o
segundo termo ao quadrado, conforme segue:
a) (20 + 7) (20 – 7) =20² - 7² = 400 – 49 = 351.
b) (y – 5) (y + 5) = y² - 5² = y² - 25.
c) (2 a – 4) (2 a+ 4) = (2 a)² - 4² = 4 a² - 16.
h) Um desafio:
De que forma você faria as multiplicações a seguir, da maneira mais rápida
possível, sem fazer uso da calculadora:
a) 21 . 19 =
b) 38 .42 =
c) 49 . 51=
d) 103 . 97=
Nesta última atividade aplica-se o produto da soma pela diferença de dois
termos, sendo na primeira alternativa 21 = 20 + 1 e 19 = 20 – 1. Portanto, o
produto será (20 + 1) (20 – 1) = 400 – 1 = 399. A seguinte será (40 - 2) (40 + 2) =
1600 – 4 = 1596. Na alternativa c temos (50 – 1) (50 + 1) = 2500 – 1 = 2499 e a
última (100 + 3) (100 – 3) = 10000 – 9 = 9991.
40
Também, neste 3º caso, é conveniente que se trabalhe com o aluno alguns
casos para a fixação e percepção da regularidade e, depois, orientá-lo no sentido
da praticidade e utilidade da álgebra, por meio da generalização.
41
6. UNIDADE 03 - OPERAÇÕES ALGÉBRICAS
Esta atividade tem como objetivo trabalhar de forma significativa e com
material concreto, as operações das expressões algébricas, contribuindo assim
para a sua compreensão.
Serão trabalhados os conteúdos da adição, subtração e multiplicação de
expressões algébricas, bem como resolução de equações.
A metodologia utilizada será a de unir a prática com a teoria, efetuando a
confecção do material em papel cartão e posterior utilização em sala de aula para
a representação das operações e o respectivo registro algébrico no caderno.
Serão utilizados os seguintes materiais: papel cartão, tesoura, régua,
material com as atividades e caderno. Nesta unidade serão necessárias dez
horas/aula.
As atividades desta unidade foram adaptadas de um artigo de Ana Catarina
P. Hellmeister e Maria Elisa E. L. Galvão, publicado pelo Ministério da Educação
em 2004.
42
6.1 ATIVIDADE 01 - CONFECCIONANDO O MATERIAL
Para confeccionar o material, utilizaremos o papel cartão e recortaremos da
seguinte forma:
Quadrados pequenos (a x a): representando a unidade.
Confeccionar, aproximadamente, 20 unidades.
Retângulos (a x b): um dos lados deve ter a mesma medida dos
quadrados pequenos e o outro lado uma medida qualquer, que não
seja um múltiplo inteiro da unidade escolhida. Confeccionar
aproximadamente 15 unidades.
Quadrados grandes (b x b): o lado deve ter a mesma medida
escolhida para o lado não unitário do retângulo anterior.
Confeccionar, aproximadamente, 10 unidades.
Figura 22–Peças que compõe o material concreto.
A Matemática contém muitos símbolos e é por esse motivo que se tornou
uma ciência universal, necessitando, para isso, que os diferentes povos
compreendam o valor que os símbolos representam.
Conforme a representação contida na figura 22, o a do quadrado menor
representa a unidade, portanto o quadrinho representa uma unidade de área. No
retângulo, o b representa uma medida qualquer que não seja múltiplo inteiro de a
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(x = a . b), que representa uma área de x unidades de área. O quadrado maior, de
lado b, representa uma área de x2 unidades de área.
Nos exemplos, aqui representados, estabeleceremos que a cor cinza mais
forte seja considerada positiva e a cinza clara, negativa. Assim teremos as
representações da figura 23:
Figura 23 – Material manipulável e sua representação. (Adaptada de Hellmeister, 2004.)
No convívio do dia-a-dia, quando queremos transmitir algo, nos
expressamos através de gestos, palavras, escritas, etc. Na Matemática, também
temos as expressões numéricas, que são sequências de operações numéricas
indicadas, isto é, não efetuadas; como exemplo: 3² + 4 – 10. E, existem, também,
as expressões algébricas, que são, portanto, sequências de operações indicadas,
não efetuadas, envolvendo números e variáveis. Variáveis, como a própria
palavra sugere, porque o seu valor pode ser alterado ou trocado; sendo também
representados por letras.
A seguir, figura 24, temos exemplos de expressões algébricas, com as
respectivas representações com o material confeccionado.
44
Figura 24 – Representação de uma expressão.
Todos, certamente, já ouvimos a frase “os opostos se atraem”, usamos
esse ditado popular para justificar ou afirmar algo. Na matemática, nas operações
de adição e subtração, isso não tem lógica, pois deixam de existir, uma vez que o
resultado é zero. Como por exemplo +5 – 5 = 0, ou -12 + 12 = 0.
De modo semelhante, nas operações algébricas, também, os valores
opostos se anulam, ou seja, se tenho duas bananas (+2b) e devo duas bananas (-
2b), pago a dívida (2b - 2b = 0) e fico sem nada. Portanto, valores opostos em
operações algébricas de adição e subtração se anulam, verifique isto nos dois
exemplos:
- 4x + 4x = 0 2x² - 2x² = 0
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6.2 ATIVIDADE 02 - OPERAÇÕES DE ADIÇÃO ALGÉBRICA USANDO O
MATERIAL CONCRETO
Esta atividade tem como objetivo trabalhar a compreensão dos conceitos
envolvidos nos processos das adições algébricas, utilizando a representação
geométrica e algébrica. Serão trabalhados os conteúdos de adição de monômios
e polinômios.
A metodologia será a investigação matemática, com a utilização do
material confeccionado em papel cartão, que possibilitara representar e visualizar
a operação efetuada. Para realizar as atividades será utilizado o material
confeccionado anteriormente, sempre trabalhando a representação e o registo no
caderno, da expressão algébrica. Para esta atividade serão necessárias duas
horas/aulas.
Abaixo, exemplos de atividades.
a) (2x + 3) + (x² - 2) =
Figura 25 – Adição de expressões algébricas1.
Ao observarmos as representações da figura 25, vemos que duas unidades
positivas (quadrados menores) se anulam com duas unidades negativas, restando,
assim, um quadrado maior (x²), dois retângulos (2x) e um quadrado menor que
representa a unidade (1).
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b) (3x + 2) + (2x - 5) =
Figura 26 – Adição de expressões algébricas 2.
Na figura 26, dois quadrados menores (unidades) positivos se anulam com
dois negativos e os retângulos (todos positivos) são adicionados, logo, a solução
será:
Figura 27 – Solução da Adição de expressões algébricas 2
Portanto, na figura 27 restaram 5 retângulos, representados
algebricamente por 5x e 3 unidades negativas, isto é – 3, logo a solução é 5x - 3
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6.3 ATIVIDADE 03 - SUBTRAÇÃO ALGÉBRICA
Esta atividade tem como objetivo trabalhar a subtração de expressões
algébricas, com a compreensão de seu significado. Serão trabalhados os
conteúdos subtração algébricas de monômios e polinômios.
A metodologia será semelhante a da adição algébrica, com a utilização do
material confeccionado. Além disso, é necessário que os alunos dominem as
operações com números inteiros. Para esta atividade serão necessárias duas
horas/aulas.
Para se realizar a subtração, usaremos como estratégia transformá-la em
uma soma de expressões opostas. Abaixo alguns exemplos.
a) (2x + 3) – (- x² - 3x + 3)
Inicialmente devemos transformar a subtração em uma soma de
expressões opostas.
(2x + 3) – (- x² - 3x + 3)= (2x + 3) + (x²+ 3x – 3)
Figura 28 – Subtração de expressões algébricas1.
Na representação da figura 28, temos somente um quadrado maior (x²),
como os retângulos são todos positivos devemos só somar (5x) e os quadrados
menores que representam a unidade, temos 3 positivos e 3 negativos que se
anulam (3 – 3 = 0), restando como resultado então x² + 5x.
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b) (-3x + 5) – (5x - 1) =
Inicialmente, devemos transformar a subtração em uma soma de
expressões opostas.
(-3x + 5) – (5x - 1) = (-3x + 5) + (-5x + 1)
Figura 29 – Subtração de expressões algébricas 2.
Na representação da figura 29, todos os retângulos são negativos, sendo
por isso, adicionados, tomando o cuidado com o sinal, o resultado dessa soma
será (- 8x) e de modo semelhante ocorre com os quadrinhos, todos são positivos
que adicionados resultam em 6 unidades. Portanto o resultado de (-3x + 5) – (5x -
1) é igual a – 8x + 6.
49
6.4 ATIVIDADE 04 - EFETUANDO O PRODUTO ALGÉBRICO
Esta atividade tem como objetivo compreender as multiplicações algébricas
e saber efetivá-las com sucesso, fazendo, para isso, uso do material concreto.
Serão trabalhados os conteúdos da multiplicação de monômios por
monômios, monômios por polinômios e polinômios por polinômios.
A metodologia utilizada será a resolução de problemas com a utilização de
material manipulável, para representar e visualizar a operação efetuada. É
importante que os alunos dominem as operações com números inteiros, pois o
conhecimento delas torna está atividade mais facilmente compreensível. Para
estas atividades serão necessárias duas horas/aula.
Para realizarmos a multiplicação devemos pensar que os dois fatores
representam o comprimento e a largura de um retângulo e, que com essa
representação, devo procurar formar um retângulo. Abaixo alguns exemplos:
a) x . 2 =
Figura 30 – Produto de monômios.
Na figura 30, a esquerda temos representado os dois fatores, na vertical o
x e na horizontal o 2. Para efetuar o produto, devemos preencher o espaço em
branco, respeitando a continuação do lado dos fatores (segmentos pontilhados),
sendo o resultado do produto representado à direita, que é igual a 2x.
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b) x .(x – 1) =
Figura 31 – Produto de monômios por polinômio1.
Observado a figura 31, à esquerda, estão representados os fatores na
vertical x e na horizontal x- 1, também na parte pontilhada, continuação do lado
das peças, a visualização de como será o produto. À direita, está a multiplicação
de x (x - 1) que é igual a x² - x. Deve-se levar em conta, os jogos de sinais da
multiplicação, no caso -1 . x = - x, isto é, sinais diferentes, produto negativo.
c) (-2x) . (x + 2) =
Figura 32 – Produto de monômios por polinômio 2.
A figura 32, na vertical à esquerda, está o fator – 2x e na horizontal
superior, o fator x + 2 e abaixo, à direita o produto. Como sinais diferentes
resultam em negativo, o produto será 2x² negativo (quadrado maior) e 4x também
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negativo (retângulos). Esse resultado é representamos algebricamente como:
(- 2x) (x +2) = - 2x- 4x.
Convém destacar, que o material concreto, possibilita a representação de
alguns casos até certo limite. Portanto, todo material concreto tem limitações, mas
cumpre o seu papel, que é facilitar a compreensão dos conhecimentos. Quando
bem utilizado, torna-se uma ferramenta de valor incalculável, pois o conhecimento
não tem preço.
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6.5 ATIVIDADE 05 - RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES
Esta atividade tem como objetivo a compreensão do conceito de equação e
suas propriedades, bem como saber efetuar a resolução de modo significativo.
A metodologia será a resolução de problemas com atividades que
desenvolvem a criatividade e o questionamento, na busca de soluções para o
problema. Como o material será utilizado para a representação das equações, é
importante que cada operação efetuada em ambos os lados da igualdade
(primeiro e segundo membro) seja acompanhada de sua representação simbólica,
para que o aluno apreenda as propriedades usadas e se liberte do material
concreto e passe a resolver as equações, algebricamente. Para estas atividades
serão necessárias três horas/aula.
Uma sentença matemática, na qual aparece um sinal de igualdade, e uma
ou mais letras que representam números desconhecidos, é descrito como uma
equação. A palavra equação se refere a equacionar, que tem o sentido de igualar,
equilibrar, sendo, por isso, utilizada para sua compreensão a ideia da gangorra ou
da balança de dois pratos.
A propriedade das equações nos diz que, uma igualdade se mantém se
efetuarmos operações iguais em ambos os lados da igualdade, com exceção do
zero. Isto porque se multiplicarmos os dois membros da igualdade por zero, estes
se anulam e se tentar dividir por zero é impossível.
Tenhamos em mente a ideia da gangorra e analisemos algumas situações.
Figura 33 – Gangorra em equilíbrio1.
Na figura 33 a balança está em equilíbrio, no caso, 5 kg = 5 kg, se
acrescentarmos 3 kg em ambos os lados (membros), o equilíbrio se mantém.
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Figura 34 – Adicionando elementos à gangorra.
Verificamos que o equilíbrio não se altera, pois 8 kg = 8 kg. Assim,
tomamos conhecimento que podemos adicionar qualquer valor a ambos os
membros de uma igualdade e o equilíbrio se mantém, visualizado nas figuras 34 e
35.
Figura 35 – Gangorra em equilíbrio 2.
Do mesmo modo, se dividirmos ambos os membros da igualdade por um
mesmo número, diferente de zero, a igualdade se mantém. Por exemplo, se
dividirmos por 8
Figura 36 – A divisão em ambos os membros.
Efetuados os cálculos da divisão, em ambos os membros, a igualdade se
mantém, isto é 1 kg = 1 kg. Situação visualizada nas figuras 36 e 37.
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Figura 37 – Gangorra em equilíbrio 3.
Portanto, dado uma igualdade, podemos adicionar, dividir, multiplicar ou
subtrair um número dos dois membros da igualdade que o equilíbrio se mantém,
com exceção para as operações de multiplicação e divisão com o número zero.
Para auxiliar na fixação dos conteúdos a serem trabalhados, é importante
que a representação com o material concreto, seja acompanhada de sua
representação algébrica, auxiliando, deste modo, na formação do pensamento
algébrico ao nível das ideias.
Abaixo, exemplos de equações resolvidas, com o auxilio de material
manipulável:
a) 4x +1 = 3x + 5
Figura 38 – Equação representada com material.
Na equação acima, precisamos encontrar um valor para o x que
substituindo na equação, torne a igualdade verdadeira. Na figura 38, podemos
subtrair três x (retângulos) do lado esquerdo e três x do lado direito. Assim, a
equação equivalente passa a ser escrita assim x + 1 = 5, sendo representada na
figura 39.
Figura 39 – Equação mais simples.
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Do mesmo modo, subtraindo 1 unidade (quadrinho) de cada membro da
igualdade, encontramos a solução x = 4, conforme figura 40.
Figura 40 – Equação e sua solução.
b) 3x – 2 = x + 2
Figura 41 – Equação com elementos negativos1.
Subtraindo um x (retângulo) de cada membro da equação, figura 41, ela
passa a ser escrita algebricamente da seguinte forma 2x – 2 = 2 e
geometricamente de acordo com a figura 42.
Figura 42 – Equação com elementos negativos.
Nesta equação, figura 42, temos à esquerda duas unidades negativas e à
direita duas unidades positivas, preciso anular as duas unidades negativas. Para
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isso, devo acrescentar duas unidades positivas a ambos os membros, assim a
equação passa a ser escrita desta forma: 2x – 2 + 2 = 2 + 2, conforme
representação da figura 43.
Figura 43 – Equação com acréscimos de elementos.
Deste modo, no primeiro membro duas unidades positivas anulam duas
unidades negativas (-2 + 2), obtemos a equação equivalente a 2x = 4,
representada na figura 44.
Figura 44 – Equação e proporção.
Como 2x é o dobro de x e 4 é o dobro de 2, por dedução concluímos que o
x = 2, visualizado na figura 45.
Figura 45 –O x da equação
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