Paralaxe Estelar

R. BoczkoIAG-USP

080809

Erro de Paralaxe

5 6 74321 8 9

É 5 Não!É 3.

Efeito de Paralaxe

Animação do efeito de paralaxe

Lua

Paris

Porto Alegre

Lua observada Lua observada de 2 locais de 2 locais

diferentes ao diferentes ao mesmo tempomesmo tempo

2007abr25

Paris

Porto Alegre

Tipos de paralaxe

Anual Diária

Paralaxe anual Anual Diária

Conceituação Conceituação de paralaxede paralaxe

anualanualEstrelapróxima

p

pmáx. = 0,76”Eclíptica

É a mudança aparente na direção de um astro

quando se passa de uma visão geocêntrica para

uma heliocêntrica Direção geocêntrica

Direção heliocêntrica

Estrelas de fundo

Paralaxede

estrelasEstrelapróxima

2p

pmáx. = 0,76”Eclíptica

Estrelas de fundo

Efeito da paralaxe anualna posição de uma

estrela

1

2

3

4

41

23

Eclíptica

Céu vistode “fora”

Paralaxe de uma estrela

Paralaxede

estrelas

d

F2p

2p

tan 2p = d/F FJanJun

JanJun

Sol

F: distância focal do

telescópio

Como se determinaa distância até uma

estrela?

B

A

C

b

a

c = ?

Distância até o outro lado do rio

Rio

Medidos:bC

tan C = c / b

c = b . tan C

Paralaxe e Distância

até uma estrelap

Eclíptica

p

a

d

tan p = a / d

Mas p é muito pequeno, logo

tan p = p rad

prad a / d d = a / pradParalaxe anual de uma estrela

Distância a uma estrela

Primeira paralaxe obtida

Região Polar Norte

61 Cygni

Primeira paralaxe obtida

Friederich Bessel(1838)

Estrela 61 CygniMagnitude aparente = 5,21 a 6,03Paralaxe = 0,28718 “Distância = 11,36 a.l.

61 Cygnus : estrela binária

Sol

Cygnus A

Cygnus B

Tamanhos comparados

Estrela mais próxima

...depois do Sol!

Via Láctea e o Cruzeiro do Sul

Cruzeirodo Sul

Saco deCarvão

Hadar

RigelCentaurus

Centaurus ☺Centauro

☻

A, B, C de Alfa

Centaurus

Estrelas próximas

25 sistemas estelares

mais próximos

Estrelas até 250

a.l.

Unidades usuais de distância até estrelas

Unidades para a paralaxeprad = a / d

rad 1800

1rad x0

x0 = 180 /

1rad = 57,295.779.5130

1rad = 57,295.779.5130 x 3600"

1rad = 206264,806.247.096"

1rad 206.265"

p" = 206.265" a / d

Ano-luzAno-luz

Fóton

Ondasluminosas

c

300.000km/s

Percurso da luz durante 1 ano

1 ano-luzc x 365,242199*24*60*60 9,5 trilhões de km

9,5 trilhões / 150 milhões = 63.240 UA

1 UA 150.000.000 km

Parsec

p = 1´´

Eclíptica

p

a

d

Se p = 1´´ d 1 parsec 1 pc

É a distância de uma estrelaao Sol se a abertura angularsob o qual se veria o raio daórbita da Terra fosse de 1´´.

1 a.l. = 63.240 UA

Relacionar Parsec com UA

p" = 206.265" a / d

d = 206.265 a / p''Se adotarmos

a = 1 UAp'' = 1"

d = 206.265 1 / 1''

d = 206.265 UA

1 pc = 206.265 UA

1 UA = 1 / 206.265 pc

Explicitando d:

Relacionar Parsec com Ano-luz

1 pc = 206.265 UA

1 a.l. = 63.240 UA

1 pc = 206.265 * 1 / 63.240 a.l.

1 UA = 1 / 63.240 a.l.

1 pc 3,27 anos-luz

Relacionar distância (pc) e paralaxe (“)

d 206.265 a / p”

a = 1 UA

1 pc 206.265 UAa 1 UA

a = 1 / 206.265 pc

d 206.265 a / p”

d 206.265 (1 / 206.265) / p”

dpc = 1 / p”

Distância até uma estrelaEnunciado:

Qual a distância até a estrela Próxima se sua paralaxe é de 0,74”?

p” = 0,74”

d a / prad

prad = p” (1 / 3600) ( / 180)

prad 4,848 x 10-6 p”

d a / (4,848 x 10-6 p”)

d 2,06265 x 105 a / p”a = 1 UA

d 2,063 x 105 1 / 0,74”

d 2,79 x 105 UA

Primeira paralaxeEnunciado:

Em 1838 Bessel obteve 0,316” para a paralaxe de 61 Cygni.Qual sua distância até a Terra?

p = 0,316”

dpc = 1 / p”

d = 3,16 pc

1 pc = 3,27 anos-luz

d = 10,3 a.l.

Paralaxes segundo o HiPParCoS

Paralaxe comprecisão de 0,001”

para120.000 estrelas

Precisão nas distânciasaté 300 a.l.:

10%

HIgh Precision PARallax COllecting Satellite

Efeitos da paralaxe anual

Eclípticax

y

z

x’

y’

z’

Heliocêntricas (x,y,z)Heliocêntricas (x,y,z)

Geocêntricas (x’,y’,z’)Geocêntricas (x’,y’,z’)

CoordenadasHeliocêntricas e Geocêntricas

Efeito observacionalEfeito observacional da paralaxe anual da paralaxe anual

Eclíptica

Céu vistode “fora”

Ta

d

(sin / a = (sin / d sin = (a/d) sin

Como é pequeno ea/d = p

= p . sin

S

Lei do seno no STE

E

Ângulo central com extremidades

num paralelo

Pólo fundamental

A

h h

900-h 900-h

Lei do co-seno:

B

cos B = sen h . sen h + cos h . cos h . cos A

cos B = sen2 h + cos2 h . cos A

B

C

Aproximação de um ângulo medido

num paralelo

Pólo fundamental

A

h h

900-h 900-h

C

Admitindo que A e B sejam pequenos:

C B

A fórmula vale também se h for pequeno, independente do valor de A

B

Ângulo medido num paralelo

Pólo fundamental

A

h h

900-h 900-h

B

sen B / sen A = sen (90-h) / sen 900

sen B / sen A = cos h / 1

Admitindo que A e B sejam pequenos:

sen A Arad

sen B Brad

B A . cos h

Lei do seno:

A fórmula vale também se h for pequeno, independente do valor de A

S

Visões geo e heliocêntricas

Deslocamento da Terra para o

Sol

'

Sol

: ângulo externo do triângulo STQ

= ' +

: ângulo entre o vetor Terra-Sol e a estrela vista da Terra

' : ângulo entre o vetor Terra-Sol e a estrela vista

do Sol

Visão geocêntrica

Visão heliocêntrica

Plano da eclíptica

p

p: Paralaxe anual da estrela

Pontode

tangência

Q

Variações devido à paralaxe anual

PNE

Equador

Eclíptica s

QQ'

Q1

'

90+

SS

'

'

PN ''

Como o QQ'Q1 é muito pequeno, podemos considerá-lo plano

Q

Q'

Q1

-

. cos

p . sen

cos = ( . cos ) / (p . sen )

= p . sen . cos / cos

sen = (-) / (p . sen )

= - p . sen . sen

T

TQ' = direção geocêntricaTQ = direção heliocêntrica

Variação Variação devido à paralaxe devido à paralaxe anualanual

= p . sen . cos / cos

Lei do seno no QPS

sen (90- S) / sen (90+ ) = sen / sen (s- )

sen . cos = cos s . sen (s- )

= p . cos s . sen (s- ) / cos

PNE

Equador

Eclíptica

S

QQ'

Q1

'

90+

SS

'

'

PN

S

H

S

PN

Q

90+

s- 90- S

S

Variação Variação devido devido à paralaxe anualà paralaxe anual

= - p . sen . sen

Lei do seno&co-seno no QPS

- sen . sen = sen s . cos - cos s . sen . cos (s- )

= p . sen s . cos - cos s . sen . cos (s- )

PNEPNE

Equador

Eclíptica

S

QQ'

Q1

'

90+

SS

'

'

PN

S

H

sen . cos (90+ ) = cos (90- s) . sen (90- ) - sen (90- s) . cos (90- ) . cos (s- )

S

PN

Q

90+

s- 90- S

S&C

Relacionar a longitude do Sol e a direção da velocidade da Terra

Lei do co-seno no HS

cos ℓS = cos s . cos s

Lei do seno no HSsen ℓs / sen 90 = sen s / sen

sen ℓs . sen = sen s

Lei do seno&co-seno no HS

sen ℓs . cos = cos s . sen s

S

C

S&C

S

PN

PNE

Equador

Eclíptica

ℓS

S

S

H

Variações devido à paralaxe anual

= p . [sen ℓs . sen . cos - cos . sen . cos ℓs - sen . sen . cos .sen ℓS]

cos ℓS = cos s . cos s

sen ℓs . sen = sen s

sen ℓs . cos = cos s . sen s

= p . cos s . sen (s- ) / cos

= p . sen s . cos - cos s . sen . cos (s- )

= p . (cos sen ℓs . cos - sen . cos ℓS) / cos

Paralaxe diurna Anual Diária

Lua

Paris

Porto Alegre

Lua observada Lua observada de 2 locais de 2 locais

diferentes ao diferentes ao mesmo tempomesmo tempo

2007abr25

Paris

Porto Alegre

Conceituação de paralaxe diurna

Direção topocêntrica

Direção geocêntri

ca

z'

z

C

Terra

Zênite

Horizonte

dd'

Δθ

ρ

É a mudança na direção aparente de um astro

quando se passa de um visão topocêntrica para

uma geocêntrica.

O

A

Paralaxe diurna horizontal p

Direção topocêntrica

Direção geocêntrica

z'=900

z

C

Terra

Zênite

Horizonte

d

d' Δθ

ρ

O

p

A

sen p = ρ / d

p é a paralaxe diurna Δθ quando o astro se encontra

sobre o horizonte local

Como p é muito pequeno podemos fazer a aproximação:

prad ρ / d

sen p prad

Obtenção da paralaxe diurna

Direção topocêntrica

Direção geocêntri

ca

z'

z

C

Terra

Zênite

Horizonte

dd'

Δθ

ρ

O

A

Pela definição de ângulo externo

no Δ AOC:

Δθ = z' - z

Lei do seno no Δ AOC:

sen Δθ / ρ = d / sen z'

Como Δθ é muito pequeno podemos fazer a aproximação:

p ρ / d

Δθ (ρ / d) sen z'

sen Δθ (ρ / d) sen z'

Δθ p sen z'

sen Δθ Δθrad

Variações devido à paralaxe diurna

PN

Horizonte

Equador

Q'

Z

''

OQ' = direção topocêntricaCQ = direção geocêntrica

W

S

PN

W

C

Q

AO

'

PN

Q'

Z

Q90-'

z

z

90-H

S

90-

Variações procuradas:

A paralaxe diurna não muda o azimute:

A = A'

A paralaxe diurna muda a distância zenital:

z = z' - z

Variações Variações devido à paralaxe diurna devido à paralaxe diurna

'

PN

Horizonte

Equador

Q'

Z

W

S

PN

W

C

Q

AO

'

PN

Q'

Z

Q90-'

z

z

90-H

S

90-Variação procurada:

A paralaxe diurna muda a distância zenital:

z = z' – zz' = z + z

PQQ'

sen z / sen – = cos / sen S

Como z e são pequenos:

z / – cos / sen S

- z sen S / cos

PZQ'

sen z' / sen (H-) = cos / sen S

Desenvolvendo:sen (H-) = sen H cos - cos H sen sen (z+z) = sen z cos z + cos z sen z

Como e z são pequenos:sen (H-) = sen H .1 - cos H . sen (z+z) = sen z .1 + cos z . z

Δz = Δθ p sen z'

- p . sen H . cos . sec - p . cos H . cos . sec .

Adotar que p. =0 (infinitésimo de segunda ordem)

- p . sen H . cos . sec

S

S

Variações Variações devido à paralaxe diurna devido à paralaxe diurna

'

PN

Horizonte

Equador

Q'

Z

W

S

PN

W

C

Q

AO

'

PN

Q'

Z

Q90-'

z

z

90-H

S

90-

Variação procurada:

A paralaxe diurna muda a distância zenital:

z = z' – zz' = z + z

PQQ'

Como z e são pequenos:

PZQ'

Δz = Δθ p sen z'

Adotar que p. =0 (infinitésimo de segunda ordem)

- p . (sen . cos cos . sen cos H )

sen = sen ' . cos z + cos ' . sen z . cos S

sen - sen ' = cos ' . z . cos S

sen z' . cos S = cos . sen – sen . cos . cos H

cos S = ( cos . sen – sen . cos . cos H ) / sen z'

Lembrando que:sen - sen ' = 2 cos [(-')/2] . sen [(-')/2]

= - z . cos S

C

S&C

Fim