aplicaÇÕes das funÇÕes tÓpico trigonomÉtricas · o método da paralaxe trigonométrica...

TÓPI

CO

Gil da Costa Marques

APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 9

9.1 Medidas de distância-Triangulação9.2 Movimento Ondulatório e Movimento Harmônico Simples (MHS)9.3 Velocidade e Aceleração no Movimento Harmônico Simples9.4 Movimento Ondulatório: Ondas Harmônicas Unidimensionais

9.4.1 Ondas estacionárias9.5 Corrente Alternada9.6 Circuito LC9.7 Ressonância

Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

157

APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS9

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp

9.1 Medidas de distância-TriangulaçãoMedir é comparar. No cotidiano, a medida de distâncias é feita através de uma medida direta, isto

é, comparando-se as dimensões de algo com uma unidade padrão. Usualmente, adotamos o metro

como unidade padrão. Na Astronomia utilizamos outras unidades, as quais serão aqui apresentadas.

Medidas diretas são inviáveis na Astronomia. Por isso, no caso dos objetos localizados fora da

Terra, as medidas são efetuadas de maneira indireta.

Um dos métodos indiretos mais antigos de determinação das distâncias é o uso da triangulação.

Na figura abaixo esboçamos o esquema básico do uso da triangulação para determinar a altura

(h) do monte. Ele requer a determinação de um ângulo (θ), entre as direções da base e do cume

do monte, e da distância (d ) entre o observador e o monte; θ e d podem ser medidos facilmente.

Na determinação de distâncias, algumas vezes utilizamos as semelhanças entre triângulos.

9.1

Um dos registros mais antigos do uso desse método indireto é o

atribuído a Tales de Mileto (625 – 558 a.C.), que teria determinado

a altura da pirâmide de Gizé a partir da determinação da dimensão

da sombra projetada no solo. Tomou o cuidado de efetuar a medida

no exato momento em que a sombra de Tales projetada no solo era

igual à altura do mesmo. Nesse momento, o tamanho da sombra é

igual à altura da pirâmide.

A seguir apresentaremos quatro casos de uso do

método da triangulação na determinação de distân-

cias astronômicas.

Na Figura 9.2 está representada a configuração de

uma estrela, vista da Terra em duas posições diametral-

mente opostas no seu movimento de translação e o

Sol. A paralaxe estelar é o desvio aparente da estrela em

relação às estrelas de fundo. O ângulo de paralaxe é p.

Figura 9.1 Determinação da altura do monte por triangulação. / Fonte: Cepa

htgd

θ = h d tg= × θou

Figura 9.2: Paralaxe estelar. / Fonte: Cepa

158 Licenciatura em Ciências · USP/Univesp

TERRA E UNIVERSO Fundamentos da Matemática I

As posições aparentes da estrela podem ser registradas em imagens da região do céu, obtidas em

épocas diferentes. A estrela mais próxima do Sol (Próxima Centauro) tem paralaxe 0,77 segundo

de arco (2 décimos milésimos de grau). Estrelas mais distantes têm paralaxes menores ainda.

O método da paralaxe trigonométrica introduziu na Astronomia uma nova unidade de

comprimento: o parsec (distância produzida por uma paralaxe anual média de um segundo de

arco). Um parsec é equivalente a 3,26 anos-luz ou 206.264 unidades astronômicas, ou ainda 31

trilhões de quilômetros. Nessa unidade, as estrelas mais brilhantes visualmente ficam a distâncias

entre 1,3 pc (α-Centauri) e 800 pc, excluindo-se evidentemente o Sol.

9.2

Experimente escrever essas distâncias em km; você vai ter de escrever muitos números! Um

parsec = 206.265 U.A. Uma unidade astronômica, por sua vez, é equivalente a 1,49108 km.

9.2 Movimento Ondulatório e Movimento Harmônico Simples (MHS)

O movimento oscilatório (e, portanto, periódico) mais simples é o de dispositivos denominados

osciladores harmônicos simples. Na mecânica, o movimento harmônico simples de uma partícula

de massa m é definido como aquele em que a força que age sobre a partícula tem a forma

9.3

ou seja, a força é proporcional ao deslocamento, mas no sentido oposto a ele. A constante k é

denominada constante elástica.

Um exemplo simples desse tipo de força ocorre no caso em que procuramos deformar uma

substância elástica (como um elástico comum, por exemplo). Enquanto a deformação não for

muito grande a força é proporcional ao deslocamento (ou à deformação imposta), mas atua

sempre no sentido contrário ao dele. É uma tendência ou reação natural, no sentido de buscar

a restauração da forma original. Por isso, a constante k é referida como a constante elástica.

A lei de Newton se escreve, no caso do M.H.S.:

( ) ( ) ( ) ( )D UA 1/ p rad ; D parsec 1/ p segundo de arco= =

( )F x kx= −

159



9.4

A solução geral para a equação de Newton (9.3) pode ser escrita sob a forma de uma das

funções trigonométricas (seno ou cosseno). Escrevemos:

9.5

ou, analogamente,

9.6

Trata-se de uma solução que envol-

ve três parâmetros desconhecidos (A, ω, θ0) que serão determinados como se

mostra a seguir.

Observe primeiramente que a solução

proposta (9.5) é tal que o valor máximo

do deslocamento xm será dado por:

9.7

O parâmetro A é, portanto, a ampli-

tude do movimento. A constante θ0 é

uma fase que, por enquanto, é considerada como uma constante arbitrária. Como veremos

depois, as constantes A e θ0 podem ser determinadas a partir das condições iniciais, isto é, a

partir da posição e da velocidade iniciais:

9.8

ma kx= −

( ) 0cos( )x t A t= +ω θ

( ) [ ]0 0cos( )cos( ) ( ) ( )x t A t sen t sen= ω θ − ω θ

Figura 9.3: Força elástica em ação. / Fonte: Cepa

mx A=

( ) ( )0 00 0x x v v= =



Analisaremos agora a constante ω. Pode-se verificar que a solução proposta envolvendo a

função cosseno é uma solução se ω for dado por:

9.9

E, portanto, a constante ω depende da massa e da constante elástica da mola. Veremos, a

seguir, que essa constante está também relacionada com o período do movimento.

Como dito anteriormente, o movimento do oscilador harmônico é periódico. O período é

determinado a partir da condição bastante geral enunciada na introdução e que, nesse caso, é:

9.10

Da solução proposta em 9.5 resulta que o período do movimento será dado através da relação

9.11

Portanto, de acordo com 9.9 e 9.11, o período do movimento harmônico simples é dado por:

9.12

A frequência, sendo o inverso do período, será dada pela expressão:

9.13

A frequência do oscilador harmônico depende, portanto, da massa da partícula e da

constante elástica k.

km

ω =

( ) ( )x t T x t+ =

2Tω = π

2 2 mTk

π= = πω

1 12 2

kfm

ω= = =Τ π π

161



9.3 Velocidade e Aceleração no Movimento Harmônico Simples

Pode-se mostrar que, num movimento harmônico simples, a velocidade da partícula em

função do tempo, e para x dado pela expressão, é dada por

9.14

onde as constantes A, ω, θ0 são aquelas definidas anteriormente.

A aceleração varia, igualmente, com o tempo. Sua variação é análoga à da posição:

9.15

onde, de novo, se aplicam as definições de A, ω, θ0 já dadas.

Observe que, de 9.5 e 9.15, podemos tirar uma relação entre a aceleração e a posição de

uma partícula, a qual é:

9.16

Essa relação decorre de uma propriedade geral do movimento harmônico simples. De fato,

essa propriedade é uma forma de definir o MHS.

Observando as expressões 9.14 e 9.15, notamos que os valores máximos para a velocidade

e a aceleração são:

9.17

( ) 0sen( )v t A t= − ω ω + θ

( ) 20cos( )a t A t= −ω ω + θ

( ) ( ) ( )2 ka t x t x tm

= −ω = −

2

m

m

v A

a A

= ω

= ω



No Gráfico 9.1, apresentamos os gráficos de a(t ), v(t ) e x(t ) do movimento harmônico simples. Como

se vê, trata-se de gráficos de funções trigonométricas.

Observe que, quando o móvel atinge os valores

máximo (x = +A) e mínimo (x = −A), a velocidade

do móvel é nula. Nos pontos de maior velocidade

(em qualquer direção), o valor de x (e o da aceleração)

é igual a zero.

9.4 Movimento Ondulatório: Ondas Harmônicas Unidimensionais

As ondas harmônicas se constituem num tipo mui especial de ondas. Elas são caracterizadas

por uma função que descreve o perfil da onda da forma seno ou cosseno, ou seja, para uma onda

harmônica unidimensional, escrevemos:

9.18

onde A é a amplitude da onda, pois é o máximo da função y, e k é uma constante que carac-

teriza a onda harmônica e que é conhecida pelo estranho nome de vetor de onda. Uma outra

forma de escrever a expressão acima, e que é bastante comum, é:

9.19

A expressão acima parece introduzir uma nova constante para descrever a onda (a constante k).

Esse, no entanto, não é o caso, uma vez que essa constante se relaciona com as demais de acordo

com a expressão:

9.20

Gráfico 9.1: Gráficos de a(t), v(t) e x(t) do movimento harmônico simples. / Fonte: Cepa

( ) ( )( ) ( )( ) cos seny x vt A k x vt A k x vt − = − −

( ) ( ) ( ) cos seny x vt A kx t A kx t− = −ω −ω

kv = ω

163



O que é notável, observando-se 9.19, é uma onda harmônica ter um perfil que se repete no

espaço e no tempo. Isso decorre do fato de que, depois de um intervalo de tempo T conhecido

como o período da onda harmônica, dado por:

9.21

a onda se torna indistinguível da onda inicial.

Portanto, de 9.20 e de 9.21, resulta que o período é dado, em função de k e v, por

9.22

Define-se a frequência ( f ) da onda como o inverso do período:

9.23

A unidade de frequência mais utilizada para ondas em geral é o Hertz, definido como o

inverso do segundo.

Depois de percorrido um intervalo de distância no espaço, denominado um comprimento

de onda (aqui representado pela letra λ), a onda se torna indistinguível daquela de quando se

iniciou o percurso. Isso ocorre para valores de λ tais que:

9.24

Assim, o comprimento de onda nada mais é do que a distância

entre, por exemplo, dois máximos da onda (vide Figura 9.4).

De 9.23 e 9.24, nota-se que existe uma relação bem simples

entre a velocidade da onda, a frequência e o comprimento de onda:

9.25

2Tω = π

2 2Tkv

π π= =ω

12kvf

T≡ =

π

Figura 9.4: Comprimento de onda λ. O período T é o tempo que a ondula-ção leva para percorrer a distância λ. / Fonte: Cepa

2kλ = π

v f= λ



9.4.1 Ondas estacionárias

O estudo das ondas estacionárias é relevante para o entendimento dos sons produzidos

pelos diferentes instrumentos musicais, quer sejam eles de sopro ou instrumentos de corda.

Ao dedilhar um instrumento de cordas, produzimos

uma onda que se propaga até o ponto no qual ela está

presa. Nesse ponto, ela volta, levando-nos a analisar a

superposição de duas ondas propagando-se em senti-

dos opostos.

Consideremos o caso de duas ondas que se pro-

pagam em sentidos opostos. A onda resultante é dada

como uma soma das duas ondas. Escrevemos assim:

9.26

E, portanto, a onda resultante de duas ondas harmô-

nicas viajando em sentidos opostos é dada pela soma:

9.27

Temos, assim, que uma onda estacionária pode ser escrita como uma onda cuja amplitude

varia da posição do espaço e depende do tempo sob a forma de uma função seno:

9.28

Assim, cada ponto da corda executará um movimento harmônico simples com uma ampli-

tude que depende do ponto do espaço:

9.29

Gráfico 9.2: Gráfico da propagação de duas ondas em sentidos opostos. / Fonte: Cepa

( ) ( )1 2y y t y t= +

( ) ( ) ( ), sen sen 2 sen cosy x t A kx t A kx t A kx t= −ω + +ω = ω

( ), ( )seny x t A x t= ω

( ) 2 senA x A kx=

165



Da solução acima, percebemos que teremos, na corda, a formação de pontos em que a

amplitude resultante se anula. Formam-se pontos fixos na corda, que não se movimentam:

a posição desses pontos se relaciona com o comprimento da corda de tal sorte que os nós

ocorrem para valores indexados por um número inteiro xn de modo que:

9.30

Tais valores correspondem aos zeros da função seno, os quais são expressos, genericamente,

pela condição:

9.31

Donde inferimos que os nós podem ocorrer para valores dados por

9.32

Os pontos de amplitude máxima (denominados antinós) são

aqueles para os quais:

Tais valores correspondem aos zeros da função seno, que são

assim expressos:

9.34

9.4.2 Sons dos Instrumentos MusicaisA seguir, consideraremos os possíveis sons produzidos por uma corda de um violão ou de

qualquer instrumento de corda.

sen 0nkx =

2 2 1 0,1,2,3,2n n

nkx x nπ + = = π = ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ λ

Figura 9.5: Ilustração de nós e sua localização e antinós das cordas. / Fonte: Cepa

( )1 ;3 ;5 ; 2 14 4 4 4

x nλ λ λ λ= ⋅⋅ ⋅ +

sen 1mkx = 9.33

2 1,2,3,m mkx x m mπ= = π = ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

λ



Primeiramente, lembramos que existem três parâmetros relevantes no entendimento dos

sons produzidos ao estimarmos uma corda: o comprimento da corda (L), sua densidade linear

( μ) e a tensão (T ) à qual a corda está sujeita. Assim, a velocidade com que uma onda se propaga

numa corda depende da tensão aplicada a ela (a qual provoca uma ligeira elongação da corda) e

da densidade linear. Escrevemos a velocidade em termos desses parâmetros como:

9.35

Assim, as possíveis frequências dos sons emitidos por uma corda são dadas por:

9.36

O modo correspondente à menor frequência, dita fundamental, é aquele para o qual os nós

estão separados pelo comprimento da corda. Nesse caso, o comprimento de onda é o máximo

possivel. De 9.31 e 9.36 resulta que a frequência fundamental é:

9.37

Tv =µ

1 Tf =λ µ

12

TfL

=µ

Figura 9.6: Ondas sonoras produzidas por uma corda de violão. / Fonte: Cepa

167



9.5 Corrente AlternadaDenominamos corrente alternada aquela que depende do tempo, de acordo com uma

função seno ou cosseno. Assim, a expressão geral para tal corrente é:

9.38

Assim, os elétrons que se movimentam ao longo de um circuito mudam de sentido perio-

dicamente. O período de alternância do movimento é dado por:

9.39

e a frequência é:

9.40

A energia elétrica que chega às nossas casas produz correntes elé-

tricas alternadas. A frequência, nesse caso, varia entre 50 e 60 hertz.

9.6 Circuito LCNesta seção, analisaremos um circuito composto apenas por uma

indutância e um capacitor. Tal circuito é apresentado na figura ao

lado. Veremos que a corrente resultante é uma corrente alternada.

No circuito LC mais simples admitimos apenas um indutor caracterizado por uma indutân-

cia L e um capacitor de capacidade C. Esses componentes do circuito podem estar ligados em

série ou em paralelo. Consideraremos aqui apenas o primeiro caso. O circuito será fechado num

instante de tempo t = 0; o capacitor está carregado com uma carga cujo valor é Q0.

( )0( ) senI t I t= ω + δ

2T π=ω

12

fT

ω= =

π

Gráfico 9.3: Corrente em função do tempo. / Fonte: Cepa

Figura 9.7: Circuito LC. / Fonte: Cepa



Ao fecharmos o circuito, a carga elétrica no capacitor se torna função do tempo, pois ela

fluirá pelo mesmo, alterando assim a carga elétrica no capacitor (em cada uma das suas placas).

Ao fluir gera-se a corrente elétrica no circuito. Assim, depois de fechado o circuito, tanto a carga

quanto a corrente dependem do tempo:

9.41

Para a solução acima a corrente elétrica será dada por:

9.42

onde

9.43

Um caso mais geral é aquele em que o circuito é alimentado por uma bateria ou por um

gerador de corrente. As fontes de corrente podem ser, portanto, fontes de corrente contínua ou

fontes de correntes alternadas.

9.7 RessonânciaUm dos aspectos interessantes desse tipo de circuito é a possibilidade de ocorrer o fenômeno

da ressonância. Tal fenômeno ocorre para circuitos de corrente alternada, quando a frequência

da corrente que alimenta o circuito se aproxima da frequência na-

tural de oscilação do sistema. Isso acarreta um grande número de

aplicaçoes desses circuitos. No caso de circuitos elétricos, podemos

fazer uso de um tal dispositivo para sintonizar uma estação de rádio,

amplificando o sinal através da variação da frequência natural de

oscilação de um capacitor de capacitância variável.

( )0 0senQ Q t= ω + δ

( ) ( )0 0cos cosI I t Q t= ω + δ = ω ω + δ

0 LCω =

Figura 9.8: Esquema de um Circuito LC forçado. / Fonte: Cepa

169



Suponhamos que uma fonte de tensão seja incorporada ao circuito. Admitamos que essa fonte

forneça uma tensão sob a forma:

9.44

Nessas circunstâncias, decorrido algum tempo, a solução para a carga elétrica no capacitor

será da forma:

9.45

enquanto a corrente elétrica no circuito depende do tempo de acordo com a expressão:

9.46

Observe que, nesse caso, o sistema exibe oscilações forçadas.

Uma das consequências mais interessantes dos circuitos RLC alimentados por uma fonte é

a possibilidade de existir o fenômeno da ressonância.

Muitas vezes, a resposta de um sistema depende de uma forma crítica de determinadas

grandezas físicas. Algumas dessas grandezas são próprias do sistema (por exemplo, a frequência

natural com que ele oscila). Outras grandezas estão associadas a fatores externos (como a frequ-

ência de oscilações da fonte de corrente alternada). Muitas vezes, podemos alterar essas grande-

zas físicas de forma que maximize a resposta do sistema. De maneira geral, um sistema entra em

ressonância quando, ao variarmos o valor de uma determinada grandeza física, amplificamos

(ou maximizamos) a resposta do sistema.

Um sistema RLC exibe o fenômeno da ressonância, isto é, para

um determinado valor da frequência, o sistema responde de tal forma

que a corrente assume valores muito altos. No caso de um sistema

ideal (sem Resistência), a corrente seria infinita. Para sistemas reais a

amplitude é finita.

( ) ( )0 cosV t V t= ω + ϕ

( ) ( )02 2

0

1 senVQ t tL

= ω + δω −ω

( ) ( )02 2

0

1 cosVI t tLω

= ω + δω −ω

Figura 9.9: Esquema de um Circuito RLC alimentado por uma fonte. / Fonte: Cepa



Admitimos, para simplificar, que inicialmente a carga no capacitor é nula e que nesse instan-

te uma corrente percorre o circuito. Nessas condições, temos:

9.47

Vemos que, à medida que o valor da frequência da fonte se aproxima da frequência natural

de oscilação do sistema,

9.48

a corrente máxima tende a infinito:

9.49

Dizemos que o sistema entrou em ressonância, pois nesse caso a corrente máxima atingiu o

valor máximo possível que as grandezas físicas poderiam permitir.

( )

( )

0

02 2

0

0 01(0) M

QVI IL

=

ω= =

ω −ω

0ω→ω

MI →∞

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