Para duas ondas com a mesma amplitude e a mesma frequência angular

Superposição de ondas

tkxsenytxy m ,1 tkxsenytxy m,2

2

1

2

1cos2, tkxsenytxy m

amplitude na posição x termo oscilante

2

1cos

2

12sensensen

tkxsenytkxsenytxytxy mm,, 21

00 1 22 3 44 5 66 7 88 9 1010-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

y

x

A de linha preta representa a onda resultante

Ondas Sonoras

InterferênciaBatimentos

Tempo

tsenptp o 11 tsenptp o 22

tsentptp médo

2

1cos2

21

221

méd

21 fffbat tffsentffptp o 2121cos2

É a frequência de batimento

O som que se ouve tem uma frequência média

221 ff

fméd

E uma amplitude de ftpo cos2

Com oscilação na frequência de batimento fbat = Df

Ex 16-2 Quando um diapasão de 440 Hz (nota lá de afinação de uma orquestra) soa simultaneamente com o som da corda lá de uma guitarra levemente desafinada, três batimentos por segundo são ouvidos. Aperta-se (estica-se) um pouco a corda da guitarra para aumentar sua frequência; a frequência de batimento aumenta para 6 batimentos por segundo. Conforme a corda da guitarra é levemente apertada, há um leve aumento em sua frequência de batimento. Qual era a frequência produzida pela corda da guitarra antes de ter sido apertada?

Diferença de fase devida à diferença de Percurso

As funções de onda para ondas originadas de duas fontes que oscilam em fase pode ser escritas como:

p1 = p0 sen (kL1 – wt) e p2 = p0 sen (kL2 – wt)

d = (kL2 – wt) - (kL1 – wt) = k(L2 – L1) = kDL

A diferença de fase para estas duas ondas será:

Sabendo que k = 2p/l, d = kDL =

L2

P1 e P2 são os pontos de

interferência

L1

L2

L1

L2

Ondas Sonoras

Interferência

Construtiva

Destrutiva

12

2

LL

... 3 ,2 , L

.....2

5,

2

3,

2

L Número ímpar de 0,5l

Ex 16-3 Duas fontes sonoras oscilam em fase. Para um ponto distante 5 m de uma das fontes e 5,17 m da outra, a amplitude do som de cada fonte, separadamente, é p0. Calcule a amplitude da onda resultante se a frequência da onda sonora for de (a) 1000 Hz, (b) 2000 Hz e (c) 500 Hz. (Admita que a velocidade do som é de 340 m/s.)

Ex 16-4 Dois alto-falantes, um diante do outro, estão separados por uma distância de 180 cm e são alimentados por um oscilador de áudio comum de 680 Hz. Localize o ponto entre os dois alto-falantes, ao longo da linha que passa pelos respectivos centros, no qual a intensidade do som é (a) máxima e (b) mínima. (Despreze a variação da intensidade de cada um dos alto-falantes com a distância e admita que a velocidade do som é de 340 m/s.)

Reflexão de uma onda numa corda nas suas fronteiras

Ondas Estacionárias

Ondas Estacionárias

Se duas ondas com a mesma amplitude e comprimento de onda, se deslocarem em sentidos

opostos ao longo da mesma direção, a sua interferência produzirá um onda estacionária

nó antinó

nó Antinó ou ventre

tsenkxytxy m cos2,

tkxsenytxy m ,1 tkxsenytxy m ,2

amplitude na posição x termo oscilante

2

Ondas Estacionárias

Ex 16-7 As funções de onda para duas ondas com iguais amplitudes, frequências e comprimentos de onda, mas que se deslocam em sentidos opostos, são dadas por y1 = yo sen (kx - wt) e y2 = yo sen (kx + wt). Mostre que a superposição dessas duas ondas é uma onda estacionária, (b) Uma onda estacionária em uma corda com ambas as extremidades fixas é dada por y(x,t) = (0,024 m) sen(52,3 m-1 x) cos(480 s-1t). Calcule a velocidade das ondas na corda e a distância entre nós adjacentes para as ondas estacionárias.

Numa corda presa por ambas as extremidades para certas frequências (de ressonância) formam-se ondas estacionárias. A

cada uma corresponde um modo de vibração com os nós situados nas extremidades.

Modo fundamental ou primeiro harmónico

Segundo harmónico

Terceiro harmónico

Ondas Estacionárias

L

vf

Ln

21

1

21 11

L

vf

Ln

22

2

22 22

L

vf

Ln

23

3

23 33

Numa corda presa por ambas as extremidades para certas frequências (de ressonância) formam-se ondas estacionárias. A cada uma corresponde um modo de vibração com os nodos situados nas extremidades.

Genericamente um harmónico de ordem n ocorre para:

Ondas Estacionárias

n

Ln

2 12

nfL

vnfn

com n = 1, 2, 3, …

Condição de onda estacionária

Ex 16-6 Existe um emprego de verão em uma loja de música. O trabalho consiste em ajudar o proprietário a construir instrumentos. O primeiro problema é testar um novo fio

para possível uso em pianos. O novo empregado é informado que 3 m do fio têm 0,0025 kg/m e que foram encontradas duas frequências de ressonância. Uma das frequências é de 252 Hz e a imediatamente seguinte a essa é de 336 Hz. O problema é determinar a frequência fundamental do fio e determinar se o fio é ou não uma boa escolha para ser

usado como corda de piano. O proprietário ainda informa que, por razões de segurança, a resistência à força de tração no fio não deve ser superior a 700 N.

Numa corda presa por uma das extremidades também se formam ondas estacionárias para certas frequências. A cada uma corresponde um modo de vibração com os nodos situados na extremidade presa e o antinodo na extremidade livre.

Modo fundamental ou primeiro harmónico

Terceiro harmónico

Quinto harmónico

Ondas Estacionárias

L

vf

Ln

41

1

41 11

L

vf

Ln

43

3

43 33

L

vf

Ln

45

5

45 55

4

1L

4

3L

4

5L

Numa corda presa por uma das extremidades também se formam ondas estacionárias para certas frequências. A cada uma corresponde um modo de vibração com os nodos situados na extremidade presa e o antinodo na extremidade livre.

Genericamente um harmónico de ordem n ocorre para:

Ondas Estacionárias

n

Ln

4 14

nfL

vnfn

com n = 1, 3, 5, …

Ondas sonoras estacionárias (ressonância)

Tubo aberto dos dois lados

Tubo aberto num dos lados

Ondas Sonoras

12nf

L

vnfn com n = 1, 2, 3, …

14nf

L

vnfn com n = 1, 3, 5, …

Lef = L + DL

Onde DL é a correção da extremidade, que é da

ordem do diâmetro do tubo

Ex 16-8 Se a velocidade do som é de 340 m/s, quais as frequências permitidas e os comprimentos de onda em um tubo aberto (com ambas as extremidades livres) de um órgão que apresenta comprimento efetivo de 1 m?

Ex 16-9 Quando um diapasão de 500 Hz é fixado em um tubo parcialmente cheio de água, como mostra a Figura 16-18, observam-se ressonâncias quando o nível de água está a distâncias L - 16,0; 50,5; 85,0 e 119,5 cm a partir do topo do tubo. (a) Qual a velocidade do som no ar? (b) A que distância a partir da extremidade aberta do tubo está localizado o antinó de deslocamento?

Análise de movimentos periódicosAnálise de Fourier

Qualquer movimento periódico pode ser considerado como a sobreposição de

movimentos harmónicos simples

Teorema de Fourier – uma função periódica f(t) de período T=2π/ω pode ser expressa como uma sobreposição de termos harmónicos simples

...cos...2coscos 210 tnatataatf n

...sin...2sinsin 21 tnbtbtb n

FIM