Ondas Mecânicas

https://www.youtube.com/watch?v=Iuv6hY6zsd0

https://www.youtube.com/watch?v=5ICHZjnxgTs

https://www.youtube.com/watch?v=Qu5sqpFDYn8

As características principais

1. Um meio elástico

2. Um agente externo perturba o estado de equilíbrio do meio

3. A “onda” é a propagação da perturbação pelo meio

Voltar aos vídeos e identificar o meio e a perturbação em cada caso

https://www.youtube.com/watch?v=jmYemuXCC6Y

Ondas se propagam com velocidade constante

1. A velocidade da onda é a mesma para todas as ondas (exceto para amplitudes extremas)

2. Essa velocidade é uma propriedade do meio elástico

3. O movimento da onda é UNIFORME, o do meio é OSCILATÓRIO

Ondas sofrem reflexão

https://www.youtube.com/watch?v=1GyiHMj67JE

Ondas Transversais e Longitudinais

https://www.youtube.com/watch?v=7cDAYFTXq3E

Como distinguir?

1. É só observar o movimento da onda e o movimento do meio

2. ONDA LONGITUDINAL

3. ONDA TRANSVERSAL𝐯𝑜𝑛𝑑𝑎

𝐯𝑚𝑒𝑖𝑜

𝐯𝑜𝑛𝑑𝑎𝐯𝑚𝑒𝑖𝑜

Nem sempre é tão simples...

https://www.youtube.com/watch?v=7yPTa8qi5X8

Matemática da onda TransversalPropagante em uma corda

Veremos Ondas Estacionárias Mais Adiante

https://www.youtube.com/watch?v=3BN5-JSsu_4

https://www.youtube.com/watch?v=jmYemuXCC6Y

O significado de 𝑦(𝑥, 𝑡)

𝑥

𝑦(𝑥, 𝑡1)𝑦(𝑥, 𝑡2)

Translação de funções

𝑒−(𝑥+10)2𝑒−𝑥

2

𝑒−(𝑥−7)2

Onda transversal propagante em uma corda

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡)

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑓(𝑥 + 𝑣𝑡)

Onda propagante para a direita

Onda propagante para a esquerda

𝑥

𝑓( ) pode ser QUALQUER função (não singular e limitada)

𝑥

𝑡 = Δ𝑡𝑡 = 0 𝑡 = 2Δ𝑡 𝑡 = 3Δ𝑡

𝑓(𝑥 − 𝑣𝑡) em quatro instantes

Velocidade das ondastransversais em uma corda

Corda em equilíbrio

Pulso, visto no referencial da corda

Pulso, visto no referencial do pulso

𝑣 = 0

𝑣 = 0

𝑣𝑜𝑛𝑑𝑎

−𝑣𝑜𝑛𝑑𝑎

Vamos aproximar o topo do pulso por um círculo

𝐯 = 𝑣𝑜𝑛𝑑𝑎

No referencial do pulso

𝐯 = 𝑣𝑜𝑛𝑑𝑎

𝑑𝜃

𝑑𝜃𝐚

𝐯𝑜𝑛𝑑𝑎𝛕𝛕

𝑅

𝜇𝑅2𝑑𝜃𝑣𝑜2

𝑅≅ 2𝜏𝑑𝜃

= 2𝜏 sin 𝑑𝜃

𝜇𝑣𝑜2 = 𝜏

𝑣𝑜𝑛𝑑𝑎 =𝜏

𝜇

Corda (nota) m (g/m) t (N)

E2 (82,5 Hz) 6,79 75,6

A2 (111 Hz) 4,47 88,6

D3 (147 Hz) 2,33 82,5

G3 (196 Hz) 1,14 71,8

B3 (247 Hz) 0,71 70,8

E4 (330 Hz) 0,40 71,4

Dean Markley strings

𝑣 = 106 m/s

𝑣 = 422 m/s

Obs: essa é a velocidade da onda, não de algum ponto da corda

Energia Cinética e Energia Elástica da onda na corda

Velocidade de um ponto da corda

𝑥

𝑦(𝑥, 𝑡)

𝑣𝑜𝑛𝑑𝑎

𝑎

𝑦(𝑎, 𝑡) Posição do ponto 𝑎 da corda no instante 𝑡

𝜕𝑦(𝑎, 𝑡)

𝜕𝑡Velocidade (vertical) do ponto 𝑎 da corda no instante 𝑡

Energia CINÉTICA de um trecho da corda

𝑥

𝑦(𝑥, 𝑡)

𝑣𝑜𝑛𝑑𝑎

𝑑𝑥

𝑑𝐾 =1

2(𝜇𝑑𝑥)

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡

2 O trecho preto está esticadoem relação ao seu comprimento de equilíbrio 𝑑𝑥 ...

Trabalho em uma corda elástica tensionada

𝛕𝛕

𝛕

𝛕

𝑑𝐿

𝑑𝑊 = 𝜏𝑑𝐿

Aumento da extensão da corda (𝑑𝐿 > 0) acúmulo de energia elástica

Corda tensionada

Outra versão

Energia ELÁSTICA em um trecho da corda

𝑥

𝑦(𝑥, 𝑡)

𝑣𝑜𝑛𝑑𝑎

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝐿 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 − 𝑑𝑥

= 1 + 𝑑𝑦/𝑑𝑥 2 − 1 𝑑𝑥

𝑑𝐿 = 1 + 𝑑𝑦/𝑑𝑥 2 − 1 𝑑𝑥

1 + 𝜀 ≅ 1 + 𝜀2 +⋯

=1

2

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

2

𝑑𝑥

𝑑𝑈 =1

2(𝜏𝑑𝑥)

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

2

𝑑𝐾 =1

2(𝜇𝑑𝑥)

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡

2

Quem não achar isso bonito pode se retirar de sala....

Identificando onde tem energia elástica

𝑣𝑜𝑛𝑑𝑎

A peculiaridade da onda propagante

𝑑𝑈 =1

2(𝜏𝑑𝑥)

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

2

𝑑𝐾 =1

2(𝜇𝑑𝑥)

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡

2

𝑦 𝑥, 𝑡 = 𝑓(𝑥 ± 𝑣𝑡)

𝜕𝑓(𝑥 ± 𝑣𝑡)

𝜕𝑥= 𝑓′(𝑥 ± 𝑣𝑡)

𝜕𝑓(𝑥 ± 𝑣𝑡)

𝜕𝑡= (±𝑣)𝑓′(𝑥 ± 𝑣𝑡)

𝜕 sin(𝑥 ± 𝑣𝑡)

𝜕𝑥= cos(𝑥 ± 𝑣𝑡)

𝜕 sin(𝑥 ± 𝑣𝑡)

𝜕𝑡= (±𝑣)cos(𝑥 ± 𝑣𝑡)

Onda propagante genérica

𝑑𝑈 =1

2(𝜏𝑑𝑥)

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

2

𝑑𝐾 =1

2(𝜇𝑑𝑥)

𝜕𝑦(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡

2

=1

2(𝜏𝑑𝑥) 𝑓′(𝑥 ± 𝑣𝑡) 2 =

1

2(𝜇𝑑𝑥) 𝑣2 𝑓′(𝑥 ± 𝑣𝑡) 2

𝑣𝑜𝑛𝑑𝑎 =𝜏

𝜇 𝑑𝑈 = 𝑑𝐾

Ondas propagantes têm energia elástica nos mesmos pontos onde têm energia cinética!

Ilustração

𝑣𝑜𝑛𝑑𝑎