INPE-14401-TDI/1127

ESTUDO DOS ERROS SISTEMÁTICOS INERENTES A UM SENSOR DE ESTRELAS DE CABEÇA FIXA, QUANTO À

LOCALIZAÇÃO RELATIVA DE ESTRELAS

Bráulio Fonseca Carneiro de Albuquerque

Dissertação de Mestrado do Curso de Pós-Graduação em Engenharia e Tecnologia Espaciais/Mecânica Espacial e Controle, orientada pelos Drs. Marcelo Lopes de Oliveira e Souza e Mário Luiz Selingardi, aprovada em 29 de março de 2005.

INPE São José dos Campos

2007

629.7.062.2 Albuquerque, B. F. C. Estudo dos erros sistemáticos inerentes a um sensor de estrelas de cabeça fixa, quanto à localização relativa de estrelas / Bráulio Fonseca Carneiro de Albuquerque. - São José dos Campos: INPE, 2005. 194p. ; – (INPE-14401-TDI/1127) 1. Sensor de estrelas. 2. Sensores ópticos de medida. 3. Atitude. 4. Resolução angular. 5. Erros de instrumento. 6. Erros sistemáticos. 7. Erros aleatórios. 8. Aberrações. 9. Centríode da imagem. 10. Precisão sub-pixel. I. Título.

“Each piece, or part, of the whole of Nature is always merely approximation to the complete truth, or the complete truth so far as we know it. In fact, everything we know is only some kind of approximation, because we know that we do not know all the laws as yet. Therefore, things must be learned only to be unlearned again or, more likely, to be

corrected”.

RICHARD P. FEYNMAN

A meus pais, LYGIA e JOSÉ ANTÔNIO,

a meu irmão BRUNO e a minha companheira BETH.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente, agradeço a Deus que me concedeu capacidade de raciocínio, além de força nos momentos de incerteza, nesta etapa da minha vida. À minha eterna companheira e amiga Elizabeth Goltz, pelo seu apoio, compreensão, amor, carinho e paciência nos momentos difíceis e ajuda na revisão do texto. Ao Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE), pela oportunidade de estudos e utilização de suas instalações. Aos professores da DMC/INPE pelo conhecimento compartilhado, assim como aos da graduação por todo conhecimento prévio concedido. Ao Prof. Dr. Marcelo Lopes de Oliveira e Souza, pela orientação e apoio na realização deste trabalho. Ao Dr. Mário Luiz Selingardi, pela orientação e liberação parcial das minhas atividades na Divisão de Eletrônica Espacial (DEA) e apoio no desenvolvimento deste trabalho . Ao Msc. José Dias de Matos, pela idealização e apoio na realização deste trabalho. Também não poderia deixar de agradecer as horas de conversa e discussão que tivemos a respeito deste trabalho. Aos meus amigos e companheiros de mestrado Alex, Carmen, Edmundo, Leandro Baroni, Leandro Cardoso, Vivian e Viviane. Em especial ao amigo Yasser, pelas tardes dominicais de estudo compartilhadas e ajuda com o MATLAB. A meus pais que sempre acreditaram e confiaram em mim, me motivando e dando todo

o apoio necessário para a realização de meus sonhos, sempre mostrando a importância

dos estudos.

RESUMO

Sensores de estrelas são sensores de atitude usados em veículos espaciais capazes de fornecer sua atitude com precisão da ordem de segundos de arco. A atitude é determinada quando as coordenadas das estrelas, medidas pelo sensor em seu sistema de coordenadas, são comparadas com as direções conhecidas de estrelas obtidas em um catálogo de estrelas. Porém, como em todo instrumento de medida, essas estão sujeitas a erros sistemáticos e aleatórios os quais limitam a precisão do sensor. Neste trabalho propõe-se uma metodologia de estudo, através de simulação em computador, dos erros sistemáticos inerentes de um sensor de estrelas de cabeça fixa, quanto à determinação da posição relativa das estrelas. Esses erros são influenciados pelas aberrações ópticas presentes na imagem formada pela objetiva do sensor; pela amostragem do sinal no plano focal causada pelos “pixels” e pela natureza do procedimento usado no cálculo da posição do centróide da estrela. Além disso, técnicas de correção desses erros sistemáticos são propostas a fim de reduzi- los. As metodologias propostas mostraram-se muito eficientes no sistema em que foram testadas. A metodologia apresentada para o estudo dos erros sistemáticos da posição relativa das estrelas, possibilita caracterizar a precisão de apontamento do sensor, enquanto as metodologias de correção destes erros se mostraram muito eficientes no sistema testado, reduzindo os erros sistemáticos no pior caso avaliado, em 87,14%. Até onde o autor tem conhecimento, os métodos de estudo e correção dos erros sistemáticos de interpolação da forma apresentada aqui, representam uma contribuição original para a área. Com isso espera-se ter contribuído com o projeto do sensor de estrelas em andamento no Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE).

STUDY OF SYSTEMATIC ERRORS INHERENT TO FIXED-HEAD STAR TRACKERS WITH RESPECT TO THE RELATIVE POSITION OF STARS

ABSTRACT

Star trackers are attitude sensors used in spacecrafts capable of providing accurate attitude in arc-seconds range. The attitude information is provided when the star coordinates, measured by the sensor in its frame, are compared with known star directions obtained from a star catalog. Nevertheless, as in all measurement instruments, the measures are likely to be affected by systematic and random errors, which limit the sensor accuracy. In this work it is proposed a methodology of study, by computer simulation, of systematic errors inherent to fixed-head star trackers, with respect to the relative position of stars. These errors are influenced by the optical aberrations present in the image formed by the sensor objective lens; by the sample in the focal plane originated from the pixels and by the procedure used for stars centroid computation. Besides, correction techniques for these systematic errors are proposed in order to reduce them. The methodologies proposed here showed efficiency in the system where they were tested. The methodology presented to the study of stars’ relative position systematic errors, allows characterize the sensor pointing accuracy, whereas the corrective methodologies for this systematic errors showed efficiency in the tested system, reducing in 87,14% the systematic errors in the worst case evaluated. As far as the author is aware of, the methods of study and correction of systematic errors, in the way presented herein, represent an innovative contribution to the area. In this way, we hope to have contributed to the star tracker project currently being developed at “Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais”(INPE).

SUMÁRIO

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LISTA DE FIGURAS

LISTA DE TABELAS

LISTA DE SÍMBOLOS

LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS

CAPÍTULO 1- INTRODUÇÃO .................................................................................. 31 1.1 – Motivação .............................................................................................................. 32 1.2 – Objetivo do Trabalho ............................................................................................. 34 1.3 – Visão Geral da Metodologia e Considerações Usadas .......................................... 35 1.4 – Organização do Trabalho ....................................................................................... 36

CAPÍTULO 2- CONCEITOS BÁSICOS E REVISÃO DA LITERATURA SOBRE ABERRAÇÕES ÓPTICAS E SEUS EFEITOS NA FORMAÇÃO DA IMAGEM DE UM PONTO OBJETO .............. 39

2.1 – Conceitos Básicos Sobre Sensores de Estrelas ...................................................... 39 2.1.1 – Definição de Sensor de Estrelas (ou Sensor Estelar) .......................................... 39 2.1.2 – Tipos de Sensores de Estrelas ............................................................................. 39 2.1.3 – Tipos de Detectores Usados em Sensores de Estrelas ........................................ 41 2.1.4 – Visão Geral do Funcionamento do Sensor que Está Sendo Desenvolvido

Pelo INPE .......................................................................................................... 43 2.2 – Imperfeições de Um Sistema Óptico ..................................................................... 45 2.3 – Definições e Sistema de Coordenadas ................................................................... 47 2.4 – Aberrações Ópticas ................................................................................................ 50 2.5 – Efeitos das Ab errações na Imagem de Um Ponto Objeto ...................................... 52 2.6 – Efeitos no Formato da Imagem de Um Ponto Objeto Devido à Mudança na

Posição do Plano Focal ......................................................................................... 62 2.7 – Um Exemplo .......................................................................................................... 63

CAPÍTULO 3- FORMULAÇÃO DO PROBLEMA E DESENVOLVIMENTO PRÁTICO ........................................................................................... 67

3.1 – Definição do Problema .......................................................................................... 67 3.1.1 – Imperfeições do Sistema Óptico ......................................................................... 68 3.1.2 – Amostragem do Plano Focal............................................................................... 69 3.1.3 – Procedimento Usado no Cálculo da Posição da Estrela ..................................... 69 3.2 – O Sistema Eletro Óptico Usado para Desenvolvimento da Metodo logia .............. 71 3.2.1 – O Sistema Óptico ................................................................................................ 71 3.2.1.1 – Características e Requisitos para o Sistema Óptico do Sensor ........................ 71 3.2.1.2 – A Escolha do Sistema Óptico para o Desenvolvimento do Trabalho .............. 75 3.2.1.3 – A Banda Espectral do Sensor .......................................................................... 76 3.2.2 – O Detector........................................................................................................... 84 3.3 – Estudo dos Erros Sistemáticos ............................................................................... 86

3.3.1 – Rotina Desenvolvida no ZEMAX, para Estudo dos ESI .................................... 86 3.3.2 – Rotina Desenvolvida no MATLAB para Estudo dos ESI .................................. 91 3.3.3 – Aplicação das Rotinas para o Estudo dos Erros ESI .......................................... 92 3.3.4 – Rotina Desenvolvida no ZEMAX, para Estudo dos ESD .................................. 95 3.3.5 – Rotina Desenvolvida no MATLAB, para Estudo dos ESD................................ 96 3.3.6 – Aplicação das Rotinas para o Estudo dos ESD. ................................................. 96 3.4 – Modelamento e Correção dos ESI e dos ESD ....................................................... 97 3.4.1 – Modelamento dos ESI ......................................................................................... 98 3.4.1.1 – Rotina Desenvolvida em MATLAB para Cálculo dos Coeficientes da

Série de Fourier .............................................................................................. 100 3.4.1.2 – Modelamento da Variação dos Coeficientes ao Longo do CDV................... 102 3.4.2 – Modelamento dos ESD ..................................................................................... 104

CAPÍTULO 4- TESTES E RESULTADOS ............................................................. 109 4.1 – Teste do Método de Correção dos Erros Sistemáticos de Interpolação para

Diferentes Temperaturas de Estrelas ................................................................... 110 4.2 – Testes dos Métodos de Correção para Diferentes Temperaturas Ambientais do

Sistema ................................................................................................................ 114 4.3 – Teste dos Métodos de Correção na Presença de Ruído ....................................... 118 4.4 – Teste do Método de Correção dos Erros Sistemáticos de Interpolação em um

Detector com “Fill Factor” Menor que 100% ..................................................... 127

CAPÍTULO 5- CONCLUSÕES ................................................................................ 137 5.1 – Conclusões Gerais e Retrospectiva aos Capítulos ............................................... 137 5.2 – Conclusões e Avaliação dos Resultados dos Métodos Propostos de Estudo e

Correção dos Erros Sistemáticos......................................................................... 139 5.3 – Sugestões de Melhorias e Propostas para Trabalhos Futuros .............................. 140

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................... 145

APÊNDICE A- UMA VISÃO GERAL DO ZEMAX: UM PROGRAMA DE MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE SISTEMAS ÓPTICOS .... 149

A.1 – Introdução ........................................................................................................... 149 A.2 – Visão Geral do ZEMAX ..................................................................................... 149 A.3 – Política da Licença do Programa ........................................................................ 151 A.4 – Características Gerais ......................................................................................... 151 A.5 – Banco de Dados de Vidros .................................................................................. 154 A.6 – Análises............................................................................................................... 158 A.7 – Linguagem de Programação do ZEMAX e Ferramentas de Extensibilidade ..... 160 A.8 – Ferramentas de Otimização do ZEMAX ............................................................ 162 A.9 – Multi- Configuração ............................................................................................ 164 A.10 – Ferramenta de Análise de Tolerância do ZEMA X ........................................... 167

APÊNDICE B- ROTINAS ZPL DESENVOLVIDAS DURANTE O TRABALHO ..................................................................................... 171

B.1 – Rotina Usada para Gera Imagens Simuladas das Estrelas nos Estudo dos ESI .. 171 B.2 – Rotina para Extrair Dados do Sistema Óptico Usados como dados de Entrada

nos Estudo dos ESD ............................................................................................ 173

B.3 – Rotina para Gera Imagens Simuladas das Estrelas Usadas no Teste do Método de Correção dos ESI .............................................................................. 173

B.4 – Rotina para Gera Imagens Simuladas das Estrelas Usada nos Testes dos Métodos de Correção dos ESI e ESD Simultaneamente..................................... 175

APÊNDICE C- ROTINAS DO MATLAB DESENVOLVIDAS DURANTE O TRABALHO ..................................................................................... 177

C.1 – Rotina Usada para Estudo dos ESI ..................................................................... 177 C.2 – Rotina Usada para Estudo dos ESD.................................................................... 179 C.3 – Rotina para o Cálculo dos Coeficientes da Série de Fourier Usada no

Modelamento dos ESI ......................................................................................... 180 C.4 – Rotina Empregada para Gerar os Dados Usados na Avaliação do Método de

Correção dos ESI / ESI+ESD.............................................................................. 181 C.5 – Rotina Aplicada para Testar o Método de Correção dos ESI ............................. 183 C.6 – Rotina Empregada para Gerar os Dados Usados na Avaliação do Método de

Correção dos ESI / ESI+ESD na Presença do Ruído .......................................... 184 C.7 – Rotina Empregada para Testar o Método de Correção dos ESI Juntamente

com ESD ............................................................................................................. 187 C.8 – Rotina Usada nos Estudos dos ESI para Fill Factor de 60% .............................. 188 C.9 – Rotina Aplicada para Gerar os Dados Usados na Avaliação do Método de

Correção dos ESI / ESI+ESD para Fill Factor de 60% ....................................... 190 C.10 – Rotina Aplicada para Gerar os Dados Usados na Avaliação do Método de

Correção dos ESI / ESI+ESD para Fill Factor de 60% na Presença do Ruído . 192

LISTA DE FIGURAS

1.1- Desenho esquemático do plano focal do sensor (detector). .................................... 36 2.2- Esquema da estrutura do funcionamento do sensor. ............................................... 44 2.3- Duas formas de se representar a energia da imagem no plano focal referente a

um ponto objeto, (a) é chamada de FEP e a segunda de “Spot Diagram”. ............. 46 2.4- Posições do obturador, da pupila de entrada e da pupila de saída de um sistema

óptico. ..................................................................................................................... 48 2.5- Esquema de um sistema óptico ............................................................................... 49 2.6- Formato do “spot” que as Equações 2.3 e 2.4 dão origem. ..................................... 53 2.7- A Figura mostra a influência do Coma de terceira ordem na formação da

imagem de um ponto objeto. ................................................................................... 54 2.8- A Figura mostra a influência do Astigmatismo de terceira ordem na formação

da imagem de um ponto objeto. .............................................................................. 55 2.9- Os dois tipos de distorção de terceira ordem que podem ocorrer em imagens

geradas por um sistema óptico.(b) ocorre quando o coeficiente A5 é positivo, e (c) quando é negativo. ............................................................................................. 56

2.10- A Figura mostra a influência do Coma Circular de quinta ordem na formação da imagem de um ponto objeto para dois valores distintos de “C1”. .................... 57

2.11- A Figura mostra a influência do aberração “Astralete” na formação da imagem de um ponto objeto para combinações distintos de “B4” e “D1”............. 59

2.12- A Figura mostra a influência do aberração “Astralete” na formação da imagem de um ponto objeto para combinações distintos de “B4”,“D1” e “D2”. ... 60

2.13- A Figura mostra a influência do Coma Elíptico de quinta ordem na formação da imagem de um ponto objeto. ............................................................................ 61

2.14- “Spots” formados por um sistema óptico, para diferentes regiões do CDV, (a) no eixo óptico, (b) a 5° e (c) a 10°. ....................................................................... 64

3.1- Relação entre a pupila de saída e ponto imagem usado para determinar a lei do cos4.......................................................................................................................... 73

3.2 - “Lay-out”, gerado a partir do ZEMAX, de um projeto óptico telecêntrico. Este é o projeto da objetiva do sensor Imageador WFI abordo do satélite CBERS 1-2. ............................................................................................................ 74

3.3- “Lay-out”, gerado a partir do ZEMAX, do projeto óptico de patente americana 2,836,102. .............................................................................................. 75

3.4- Projeto óptico obtido através da otimização do projeto inicial de patente norte americana 2,836,102, usado para as simulações neste trabalho. ............................ 76

3.5- Transmitância normalizada da composição dos filtros KG1 e GG400 em função do comprimento de onda λ em µm. ............................................................ 78

3.6- Transmitância média normalizada da objetiva em função do comprimento de onda λ para diferentes regiões do CDV da objetiva. .............................................. 79

3.7- Responsividade normalizada do detector em função do comprimento de onda. ... 80 3.8- Emitância espectral do corpo negro normalizada a temperatura de 7500° K no

intervalo de comprimento de onda de 0,3µm a 1,1µm. .......................................... 82

3.9- Gráfico normalizado da multiplicação entre os valores da transmitância normalizada do filtro, da responsividade normalizada do detector e da emitância espectral normalizada do corpo negro.................................................... 83

3.10- Tamanho das imagens simuladas em relação aos pixel do detector, para diferentes regiões do CDV, (a) no eixo óptico, (b) a 5° e (c) a 10° em relação ao eixo óptico. ....................................................................................................... 85

3.11- Forma recipolar da distribuição dos raios na pupila de entrada de um sistema óptico. Neste caso definiu-se um total de 10 círculos concêntricos...................... 87

3.12-Os ângulos α e β no sistema adotado. .................................................................... 88 3.13- Gráfico dos ESI ao longo do eixo X’ para várias regiões do CDV do primeiro

quadrante. Cada cor de linha representa uma posição fixa em relação ao eixo Y’........................................................................................................................... 93

3.14- Vista aproximada da Figura 3.13 para a região de X’ próximo de zero. Através desta, pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”. ................................. 94

3.15- Aproximação da Figura 3.13 para a região de X’ próximo a metade do CDV do primeiro quadrante. Através desta, pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”. .................................................................................................................. 94

3.16- Aproximação da Figura 3.13 para a região de X’ próximo do final do CDV do primeiro quadrante. Através desta, pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”. .................................................................................................................. 95

3.17- Gráfico de H’ versus ESD, que é justamente a distorção em função da altura da imagem. As unidades do gráfico estão em “pixel” (1”pixel”=10µm).............. 97

3.18– Gráfico do números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o seu valor 3σ residual que se obtém aplicando tais coeficientes. ......................... 104

3.19- Na parte superior está a distorção em função de H’ e curvas dadas por polinômios ajustados para tentar descrever o fenômeno. Na parte inferior está um gráfico do ESD residual em função de H’ para cada polinômio ajustado. ... 105

3.20- Gráfico do grau do polinômio usado para corrigir os ESD versus o valor 3σ do erro residual que se obtém.............................................................................. 107

4.1- Histograma de temperatura das estrelas com largura de 500°K na faixa de magnitude visual de zero a cinco. ......................................................................... 111

4.2- Gráfico da influência de cada comprimento de onda no sistema para diferentes temperaturas de estrelas. ....................................................................................... 111

4.3- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o seu valor 3σ residual para três temperaturas diferentes de estrelas. .......................................... 113

4.4- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o valor de 3σ do erro residual para estrelas de 7500°K , quando o sistema se encontra em três temperaturas diferentes (15°, 20° e 25°C). .................................................... 116

4.5- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o valor de 3σ do erro residual para estrelas de 3000°K , quando o sistema se encontra em três temperaturas diferentes (15°, 20° e 25°C). .................................................... 116

4.6- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o valor de 3σ do erro residual para estrelas de 20000°K , quando o sistema se encontra em três temperaturas diferentes (15°, 20° e 25°C). .................................................... 117

4.7- Gráfico do grau do polinômio usado para corrigir os ESD versus o valor 3σ do erro residual obtido, para três diferentes temperaturas ambientais do sistema(15°, 20° e 25°C).. .................................................................................... 118

4.8- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o valor de 3σ do erro residual obtido para uma estrela de 7500°K de magnitude visual 3,8 com o sistema a 20°C na presença de ruídos. ....................................................... 125

4.9- Números de coeficientes usados para correção dos ESI, versus o valor 3σ obtido do erro residual na presença de ruídos para uma estrela de 3000°K de magnitude visual 3,8 com o sistema a 25°C. Os erros sistemáticos de distorção são corrigidos por um polinômio de quinto grau em todos os casos. ................... 126

4.10- Arranjo da arquitetura do “pixel” do detector usada nas simulações quando se considera um “fill factor” menor que 100%........................................................ 127

4.11- ESI ao longo do eixo X’ para várias regiões do CDV do primeiro quadrante. Cada cor de linha representa uma posição fixa em relação ao eixo Y’............... 128

4.12- Vista aproximada da Figura 4.11 para a região de X’ próximo de zero. Através desta pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”. ................................ 129

4.13- Vista aproximada da Figura 4.11 para a região de X’ próximo à metade do CDV do primeiro quadrante. Através desta pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”. ........................................................................................................ 129

4.14- Vista aproximada da Figura 4.11 para a região de X’ próximo do final do CDV do primeiro quadrante. Através desta pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”. ........................................................................................................ 130

4.15- Números de coeficientes usados para correção dos erros sistemáticos de interpolação versus o valor 3σ do erro residual para três temperaturas diferentes de estrelas. .......................................................................................... 131

4.16- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o valor 3σ do erro residual na presença de ruídos para estrelas de 7500°K e 3000°K de magnitude visual 3,8. Para aquela o sistema se encontra a 20°C, enquanto que para esta o sistema se encontra a 25°C. Seu ESD é corrigido por um polinômio de quinto grau. ................................................................................... 133

A.1- Janela principal do ZEMAX e uma de suas janelas secundárias chamada de “Lens Data Editor”. .............................................................................................. 152

A.2- Janela dos catálogos dos vidros e as informações referentes ao vidro selecionado, que neste caso é o BK7 do catálogo Schott. .................................... 155

A.3- Janela usada para inserir os valores dos índices de refração para cada comprimento de onda definido, a fim de que o ZEMAX calcule os valores dos coeficientes da equação de dispersão escolhida ................................................... 156

A.4- Janela onde se inserem os valores da transmitância interna do vidro. A primeira coluna é a dos comprimentos de onda, a segunda é a da transmitância e a terceira é a da espessura de referência. ........................................................... 157

A.5- MFE usada para criar a função de mérito............................................................. 164 A.6- MCE do ZEMAX usada para modelar sistemas com várias configurações......... 166 A.7- Janela que se abre quando se dá um duplo clique em qualquer célula no MCE.. 167

LISTA DE TABELAS

3.1- Pesos da influência no sistema de cada uma das bandas para um objeto com temperatura de 7500°K........................................................................................... 84

4.1- “Pesos” da influência no sistema de cada uma das bandas para diferentes temperaturas de estrelas. Pesos abaixo de 1% foram omitidos da Tabela e não foram usados no ZEMAX..................................................................................... 112

A.1- Lista parcial das ferramentas de análise disponíveis no ZEMAX. ...................... 158 (Tabela A.1 – conclusão)...................................................................................... 159

LISTA DE SÍMBOLOS

a - Área de um pixel

A - Área da pupila de entrada da objetiva do sensor

A1, A2...A5 - Coeficientes das aberrações de terceira ordem

arctan - Função arco-tangente

)','(' ccnx yxa - Enésimo coeficiente par da série de Fourier da função )','(' ccx yxf

)','(' ccny yxa - Enésimo coeficiente par da série de Fourier da função )','(' ccy yxf

B1, B2...B9 - Coeficientes das aberrações de quinta ordem

B-V - Índice de cor Johnson

)','(' ccnx yxb - Enésimo coeficiente ímpar da série de Fourier da função )','(' ccx yxf

)','(' ccny yxb - Enésimo coeficiente ímpar da série de Fourier da função )','(' ccy yxf

c - Velocidade da luz no vácuo

C1, C2, C3 - Coeficientes das aberrações que são função dos coeficientes de terceira ordem (A’s) e de d’

cos - Função co-seno

d’ - Distância ao longo do eixo Z entre a pupila de saída e o plano focal paraxial

E - Emitância de um corpo

Ee - Erro da posição relativa de uma única estrela em um dos eixos do sensor

Es - Erro de apontamento do sensor em um eixo

f - Distância focal efetiva de um sistema óptico

)','(' ccx yxf - Função correção dos ESI ao longo de X’

)','(' ccy yxf - Função correção dos ESI ao longo de Y’

h - Constante de Planck

H’ - Distância da posição de interseção do raio principal no plano focal, referente a um ponto objeto, em relação ao eixo óptico. Também chamado de altura real da imagem

H’p - Distância da posição de interseção do raio paraxial no plano focal, referente a um ponto objeto, em relação ao eixo óptico. Também chamado de altura paraxial da imagem

I(x’,y’) - Função intensidade da imagem no plano focal (X’,Y’) referente à uma estrela

Iij - Função intensidade da imagem integrada no intervalo de um pixel do detector

K - Fator de conversão elétrons/volts

M - Irradiância de uma estrela fora da atmosfera terrestre

mv - Magnitude visual de uma estrela

Ne - Número de estrelas usadas na determinação da atitude

Pa - Ponto no plano imagem fora do eixo óptico

Po - Ponto no plano imagem no eixo óptico

R - Responsividade de um detector

r0,θ - Coordenadas cilíndricas da pupila de entrada do sistema óptico

Rdet -

Ruído de leitura do detector, incluindo o ruído do sinal de escuro, não uniformidade do sinal de escuro, ruído Johnson, etc

Ru - Ruído

S - Sinal

sen - Função seno

T - Temperatura de um corpo negro

tan - Função tangente

ti - Tempo de integração

VF - Sinal de fundo da sub matriz de interpolação

Vij - Sinal total do pixel ij na sub-matriz de interpolação

oV -

Sinal total em volts gerado por uma estrela no detector

X,Y - Eixos do plano-cartesiano do ponto objeto

X’,Y’ - Eixos do plano-cartesiano do plano focal do sistema óptico do sensor

x’c, y’c - Coordenadas do centróide da imagem de uma estrela no plano focal

x’ceric Coordenada da estrela no eixo X’ com o ESI corrigido

x0’,y0’ - Coordenadas paraxial de uma estrela ou ponto objeto no plano focal

Xe,Ye - Eixos do plano-cartesiano da pupila de entrada do sistema óptico

xpr’, ypr’ - Coordenadas da interseção no plano focal do raio principal referente a um ponto objeto

xr’,y’r - Coordenadas da interseção no plano focal de um raio proveniente de um ponto objeto

Xs,Ys - Eixos do plano-cartesiano da pupila de saída do sistema óptico

y’ceric Coordenada da estrela no eixo Y’ com o ESI corrigido

Z - Eixo óptico

'cxσ - Desvios da posição interpolada na coordenada xc’ causada pelo ruído (1σ)

'cxσ - Desvios da posição interpolada na coordenada yc’ causada pelo ruído (1σ)

2 Vijσ - Variância do ruído total presente em cada pixel de um detector APS ou CCD

υ - Valor da não uniformidade de resposta dos pixels de um detector (1σ)

2eσ - Valor eficaz do ruído da eletrônica de processamento do sinal

2qσ

- Ruído de quantização da conversão do sinal analógico para digital

π - Número Pi

ε - Distância ao longo do eixo Z entre a posição do plano focal paraxial e o plano focal

λ - Comprimento de onda

α - Ângulo entre o eixo óptico (Z) e a projeção no plano XeZ da reta que liga um ponto objeto pertencente ao CDV da objetiva e o centro da pupila de entrada do sistema

φ - Ângulo sólido formado pela pupila de saída e um ponto (Pa) no plano focal localizado no eixo óptico

ϕ - Ângulo, do lado da imagem, formado entre o eixo ótico e um raio principal proveniente de um ponto objeto localizado em qualquer posição do CDV da objetiva η - Eficiência quântica do detector em um certo comprimento de onda

β - Ângulo entre o eixo óptico (Z) e a projeção no plano YeZ da reta que liga um ponto objeto pertencente ao CDV da objetiva e o centro da pupila de entrada do sistema

φ’ - Ângulo sólido formado pela pupila de saída e um ponto (Po) no plano focal localizado fora do eixo óptico

τF - Transmitância do filtro

τo - Transmitância da objetiva

αp - Intervalo angular (CDV) de um pixel no plano XeZ

βp - Intervalo angular (CDV) de um pixel no plano YeZ

LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS

A/D - Conversor Analógico Digital

APS - Active Pixel Sensor

CCD - Charged Coupled Devices

CDV - Campo de Visada

CMOS - Complementary Metal Oxide semiconductor

CPU - Central Processing Unit

DDE - Dynamic Data Exchange

DEA - Divisão de Eletrônica Aeroespacial

DMC - Divisão de Mecânica Orbital e Controle

ESD - Erro Sistemático de Distorção

ESI - Erro Sistemático de interpolação

FFT - Fast Fourier Transform

GPS - Global Positioning System

IMA - Image

INPE - Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais

JPL - Jet Propulsion Laboratory

LDE - Lens Data Editor

MASCO - Máscara Codificada

MCCX - Matriz dos Centróides Calculados em X

MCCY - Matriz dos Centróides calculados em Y

MCE - Multi-Configuration Editor

MCTX - Matriz dos Centróides Teóricos em X

MCTY - Matriz dos Centróides Teóricos em Y

MDV - Matriz Detector Virtual

MF - Merit Function

MFE - Merit Function Editor

MPIR - Matriz da Posição de Interseção dos Raios

OBJ - Object

PLD - Programmable Logic Devices

PSF - Point Spread Function

PTV - Peak to Valley

RMS - Root Mean Square

STO - Stop Aperture

TCE - Thermal Coefficient Expansion

TDE - Tolerance Data Editor

UV - Ultra Violeta

ZPL - ZEMAX Program Language

31

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

Desde muito tempo o homem tem a necessidade de se localizar. Sabe-se que algumas

das primeiras técnicas de localização, guiagem e navegação desenvolvidas utilizaram os

astros. Essas técnicas vieram se aprimorando com o passar dos anos, principalmente

com a invenção do cronômetro, e foram de vital importância para as Grandes

Navegações. Mesmo depois de mais de quinhentos anos do início destas, o homem

muitas vezes utiliza os mesmos princípios usados naquela época. Tais técnicas de

localização são hoje usadas, além de na navegação marítima, para a navegação espacial,

determinando não somente a posição, mais também a atitude do veículo espacial.

Entre os sensores de atitude usados na área espacial, temos: os sensores terrestres (ou

sensores de horizonte), os sensores solares e os sensores de estrelas. Esses últimos são

os mais precisos e apresentam interesse especial para este trabalho. Eles tomam como

referência externa as estrelas distantes, cuja direção em relação à Terra é tida constante

(referencial inercial definido por Isaac Newton). Sensores deste tipo são equipamentos

sofisticados que atuam na determinação precisa da atitude de um veículo espacial. Por

isso, tais sensores integram o subsistema de controle de atitude de veículos espaciais

como o Telescópio Hubble (telescópio espacial), o Ônibus Espacial e a mais variada

gama de satélites artificiais.

Os satélites artificiais são projetados para tarefas específicas. A missão de cada satélite

pode ser, em geral, classificada em três grandes áreas: 1) as científicas, que são

destinadas a medir parâmetros ionosféricos, da magnetosfera, do meio interplanetário, a

registrar a atividade solar em termos de partículas (vento solar, raios cósmicos solares

etc.) e ondas eletromagnéticas (raios gama, raios X, UV etc.) e à observação de corpos

estelares; 2) as destinadas a aplicações, tais como: sensoriamento remoto, comunicações

em geral, meteorologia, GPS para a navegação etc; 3) as tecnológicas, destinadas ao

estudo de materiais modificados na ausência de gravidade, à validação de novos

32

equipamentos e tecnologias (Caetano et al., 2000). Em todas essas áreas, especialmente

nas duas primeiras, é de extrema importância a orientação dos detectores e sensores do

satélite, e como conseqüência, a orientação do corpo do satélite, que às vezes requer

uma precisão de apontamento da ordem de segundos de arco. Quando se necessita de

uma precisão dessa ordem no conhecimento da atitude de ve ículos espaciais,

geralmente, são usados como sensores de atitude os sensores estelares (também

chamados de sensores de estrelas) que podem ter a sua precisão da ordem de 0,001° (ou

3,6 arco-segundos) (Rufino e Accardo, 2003). Além disso, os sensores mais modernos

deste tipo oferecem ainda outras vantagens, como: baixo consumo de energia, ausência

de partes móveis (o que aumenta a sua confiabilidade e vida útil), versatilidade

(podendo assumir diferentes modos de operação possibilitando um único tipo de sensor

a ser empregado em diferentes missões ou em diferentes fases da mesma missão),

tamanho e peso bem reduzidos, estabilidade, isentos de irregularidades nas medidas

(como aquelas presentes no campo magnético da Terra que influenciam os

magnetômetros e as derivas (“drifts”) que são inerentes aos giroscópios) entre outros

(Mejía, Villela e Braga, 2000; Rufino e Accardo, 2003; Salomon et al., 1996). Tais

características tornam este tipo de sensor de atitude indispensável nos atuais e futuros

satélites, que têm a tendência de se tornarem cada vez menores, mais baratos,

autônomos (de modo que nenhum ou pouquíssimo controle de solo seja necessário), e

cujas missões seguem metas mais definidas (Birnbaum, 1996; Salomon et al., 1996).

1.1 – Motivação

Tendo em vista o rumo da tecnologia em sensores de atitude, a Divisão de Eletrônica

Aeroespacial (DEA) do Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) vem

realizando estudos para o desenvolvimento de um protótipo de sensor estelar desde

1997, e tem como objetivo final chegar a um sensor autônomo de atitude que possa ser

usado em missões espaciais.

Até o presente momento, muitos estudos e desenvolvimentos já foram realizados a

respeito das partes eletrônicas do sensor, que já possui dois protótipos de laboratório,

cada um com uma tecnologia diferente. O mais antigo foi desenvolvido com detector

33

tipo “Charged Coupled Devices” (CCD) e com eletrônica digital discreta. Este voou

como experimento (não fazendo parte da malha de controle) no balão que leva o

telescópio de Máscara Codificada (MASCO) do INPE. O mais recente dos protótipos

está sendo desenvolvido com uma outra tecnologia, com detector do tipo “Active Pixel

Sensor” (APS), que é o mais moderno detector usado neste tipo de sensor, e com a

eletrônica usando “Programmable Logic Devices” (PLDs) o que reduz drasticamente o

seu tamanho, peso e consumo.

Outro assunto que vem sendo bastante estudado e desenvolvido no INPE diz respeito a

técnicas e algoritmos de identificação de estrelas, os quais tiveram início com os

esforços de Mejía (1997), que desenvolveu um sensor de estrelas utilizando uma câmera

CCD comercial acoplada a uma objetiva do tipo telefoto que, segundo ele, é capaz de

determinar as coordenadas celestes de apontamento com um erro menor que 0,5 minuto

de arco. Tal sensor foi desenvolvido para fazer parte do sistema de determinação de

atitude do telescópio MASCO do INPE. Carvalho (2001) também proporcionou ao

INPE muitos avanços nesta área com o desenvolvimento de um ambiente de simulação

e testes denominado “Star Identification Algorithm Test Software” (SIATS) com o

objetivo de facilitar a comparação entre algoritmos que implementam técnicas de

identificação de estrelas. Continuidade a respeito do assunto vem sendo dada na DEA,

onde, entre outras coisas, foram desenvolvidos: um ambiente de testes e simulação para

algoritmos a serem usados em um sensor de estrelas autônomo (Fialho, 2003); bem

como “softwares” de reconhecimento de padrões de estrelas, que já possui versões para

testes do sensor em terra.

Estudos a respeito da correção de erros na determinação da atitude de um veículo

espacial, causados devido a problemas de alinhamento e distorções do plano focal de

sensores ópticos de atitude provocados após o lançamento, também já foram estudados

por membros do INPE (Shuster e Lopes, 1994). Entretanto, um tema de extrema

importância, mas ainda pouco explorado pelo grupo responsável pelo desenvolvimento

desse sensor no INPE, é a precisão do instrumento que sofre influência de fontes de erro

inerentes ao sensor. Estudos preliminares a respeito deste assunto já foram realizados

por Matos (1997), porém, na fase que o projeto se encontra é necessário aprofundá- los a

34

fim de se adquirir conhecimento e realizar desenvolvimentos para que se possa

caracterizar o sensor quanto a sua precisão, e até mesmo desenvolver ou aplicar técnicas

que possam melhorá-la.

Como esse sensor pode fazer parte do subsistema de controle de veículos espaciais em

missões futuras do INPE, os estudos feitos para o sensor de estrelas são também de

grande interesse da Divisão de Mecânica Espacial e Controle (DMC) do mesmo

instituto, que é responsável por esse subsistema.

1.2 – Objetivo do Trabalho

O trabalho aqui exposto tem como objetivo apresentar uma metodologia

desenvolvida para os estudos dos erros sistemáticos da posição relativa de estrelas

no sensor de interesse. Isto porque o conhecimento dos erros presentes em um sensor

estelar de atitude na determinação da posição relativa de uma estrela é de extrema

importância para que se possa caracterizar a sua precisão. Principalmente para sensores

autônomos, as precisões devem ser bem conhecidas para que se possa inseri- las como

dados de entrada na implementação do algoritmo de identificação de padrões, de modo

que este algoritmo possa usá- las como tolerância quando tentar casar ou equiparar os

dados extraídos de sua imagem, com os dados contidos em seu catálogo de estrelas.

Quando não se conhecem as precisões do sensor e se superestima os seus valores no

algoritmo de identificação, pode ocorrer que ele não consiga identificar ou reconhecer

nenhuma imagem. Por outro lado, se esta for subestimada, o algoritmo de identificação

de padrões pode cometer erros confundindo duas regiões parecidas do céu, além disso,

não se está usando toda a capacidade da precisão do sensor.

A metodologia foi desenvolvida através de simulação em computador, porém,

diferentemente de muitas outras apresentadas na literatura (Cox J., 1981; Goss, 1975;

Hancock et al., 2001; Matos, 1997; Rufino e Accardo, 2003; Stone, 1989), aqui não se

utiliza uma distribuição idealizada tipo gaussiana em duas dimensões ou um modelo

teórico para simular a distribuição de energia da imagem de uma estrela no plano focal,

mas sim se consideram os efeitos que as aberrações do sistema óptico introduzem na

mesma. Este trabalho não é o primeiro a fazer essa consideração, porém, talvez seja o

35

único que explica e dá condições suficientes para que o leitor possa reproduzir a

metodologia. Outro efeito pouco abordado pelos trabalhos do assunto, e que também foi

considerado aqui, é a variação dessa distribuição de energia ao longo do Campo de

Visada (CDV) que ocorre em um sistema óptico.

O estudo e o entendimento aprofundados do comportamento desses erros ainda

possibilitam utilizar ou criar métodos para reduzi- los, melhorando assim a performance

do sensor. Com isso, além de apresentar a metodologia para o estudo dos erros

sistemáticos de posição relativa da estrela, o presente trabalho ainda tem como

objetivo apresentar um método proposto desenvolvido para a sua redução. Outros

trabalhos também propõem correções para erros desse tipo, porém, alguns deles

(Birnbaum, 1996; Rufino e Accardo, 2003) não esclarecem como elas são feitas, e

outros (Alexander e Ng, 1991; Salomon e Glavich, 1980) apresentam métodos que não

são eficazes para o sensor de interesse. Aqui se testará apresentar o método de forma

que se tenha capacidade de reproduzi- lo e aplicá-lo. Também são apresentados com

detalhes alguns testes realizados em diferentes situações que devem ser feitos para

verificar a performance e eficiência desse método quando se tiver a intenção de aplicá-

lo.

Até o presente momento, o autor não tem conhecimento de trabalhos que empregam as

técnicas de estudo e correção dos erros sistemáticos de interpolação apresentada aqui, o

que pode representar uma contribuição original para a área.

1.3 – Visão Geral da Metodologia e Considerações Usadas

Os estudos foram realizados através de simulação em computador, usando, para tanto,

dois programas: ZEMAX e MATLAB. O primeiro trata-se de um programa de

simulação de sistemas ópticos, responsável por simular a formação da imagem no plano

focal de uma estrela em diferentes regiões do CDV do sensor. Já o MATLAB foi usado

para fazer o papel do detector formado por “pixels” e da CPU do sensor. Portanto, é

responsável por ler o sinal de cada “pixel” referente à imagem e informar a posição da

estrela na matriz do detector. Também se usou o MATLAB como ferramenta para traçar

gráficos, fazer alguns cálculos, etc.

36

As estrelas são modeladas como pontos objetos localizados no infinito. Elas podem ser

representadas desta forma, pois os seus raios angulares aparentes são da ordem de

3x10-7 graus (Fracassini et al., 1988 citado por Rufino e Accorde, 2003). A radiação

proveniente delas é modelada na forma de raios.

O desenvolvimento da metodologia para os estudos dos erros sistemáticos de posição

relativa das estrelas, bem como as metodologias desenvolvidas para sua correção, são

feitas através de um estudo de caso para um sistema particular, tornando mais fácil tanto

o desenvolvimento quanto a apresentação dessas metodologias no trabalho. Apesar

disso, não há restrições teóricas para aplicá-las em qualquer sistema eletro-óptico do

mesmo tipo (composto de uma objetiva e um detector formado por “pixels”). Contudo,

nada se pode garantir quanto à eficiência do método de correção para tal sistema, que

pode ser tanto melhor como pior em relação ao sistema aqui apresentado.

Os estudos dos erros são feitos apenas no primeiro quadrante do plano focal, ao longo

somente do eixo X’ (Figura 1.1 ), dado que o sistema óptico adotado para os estudos é

teoricamente simétrico, assim como a maioria dos sistemas ópticos de formação de

imagem.

FIGURA 1.1- Desenho esquemático do plano focal do sensor (detector).

1.4 – Organização do Trabalho

Dando continuidade, o Capítulo 2 aborda assuntos introdutórios a respeito do trabalho

desenvolvido como: a definição do que é um sensor de estrelas, os diferentes tipos de

Plano focal formado por “pixels”

X’

Y’

37

sensores de estrelas, os tipos de detectores usados em sensores de estrelas, a visão geral

do funcionamento do sensor desenvolvido pelo INPE, algumas definições a respeito de

sistemas ópticos, e o sistema de coordenadas usado para o desenvolvimento do trabalho.

Além disso, grande parte do Capítulo é dedicada à apresentação da teoria das aberrações

ópticas e seus efeitos na imagem de um ponto objeto, onde se pretende expor o que são

aberrações ópticas, como são classificadas, o efeito de cada uma delas na distribuição de

energia no plano focal referente a um ponto objeto (ou estrela) e como elas aparecem na

prática. Esse Capítulo é importante para se entender uma das principais fontes de erro

na localização relativa de estrelas que ocorre em um sensor estelar (Seção 3.1.1), porém

ignorada pela maioria dos trabalhos que tratam do assunto.

No Capítulo 3, define-se o problema, apresenta-se com detalhes o procedimento e as

ferramentas usadas para estudar os erros sistemáticos de interesse, em seguida, também

se expõe a idéia que se teve para modelar e corrigir esses erros, associada ao

embasamento teórico utilizado. Esse Capítulo ainda traz alguns resultados preliminares

das técnicas de correção propostas.

Alguns testes que devem ser feitos ao se aplicar as técnicas de correção, de modo a

verificar a sua performance em diferentes situações em que o sensor pode se encontrar,

são exibidas no Capítulo 4. Para cada teste, apresenta-se com detalhes a forma como foi

simulado e os seus resultados.

No último Capítulo (Conclusões), um apanhado geral do primeiro ao quarto Capítulo é

realizado com o objetivo de se colher todas as conclusões gerais que se chegou, as

dificuldades encontradas e as lições que se aprendeu com o desenvolvimento dos

estudos contidos aqui. Em seguida, apresentam-se as conclusões específicas referentes

ao objetivo do trabalho. Além disso, são também propostas melhorias para este trabalho,

juntamente com propostas para trabalhos futuros referentes a assuntos relacionados aos

estudos aqui realizados.

Um dos apêndices que vale a pena comentar é o apêndice A. Neste apresenta-se o

ZEMAX, o programa de simulação de sistemas ópticos usado para simular a imagem de

estrelas no plano focal do sensor neste trabalho. Tal programa foi o mais importante

38

instrumento de simulação utilizado aqui. O ZEMAX possui várias ferramentas

importantes; contudo, os sub- itens desse Capítulo abordam apenas algumas,

principalmente as que foram utilizadas na execução do trabalho e/ou mencionadas

durante o texto, fazendo assim com que o leitor possa entender por completo o trabalho

aqui apresentado.

39

CAPÍTULO 2

CONCEITOS BÁSICOS E REVISÃO DA LITERATURA SOBRE

ABERRAÇÕES ÓPTICAS E SEUS EFEITOS NA FORMAÇÃO DA IMAGEM

DE UM PONTO OBJETO

2.1 – Conceitos Básicos Sobre Sensores de Estrelas

2.1.1 – Definição de Sensor de Estrelas (ou Sensor Estelar)

Sensores estelares são sensores de atitude que medem as coordenadas de estrelas num

sistema fixo ao veículo espacial e fornecem a atitude quando essas coordenadas

observadas são comparadas com a direção conhecida de estrelas, obtidas de um catálogo

de estrelas (Wertz, 1997).

2.1.2 – Tipos de Sensores de Estrelas

Dispositivos sensores e rastreadores de estrelas podem ser divididos em três grandes

classes (Wertz, 1997):

De Varredura (“star scanners”): usados em satélites estabilizados por rotação,

utilizando-a para efetuar as funções de busca por estrelas na esfera celeste. Estes

sensores possuem entre a objetiva e o detector uma máscara opaca com uma fenda

geralmente em forma de “V” (Figura 2.1) por onde a radiação provenientes das estrelas

pode passar. Quando a radiação de uma estrela passa por uma das “pernas” da fenda em

“V”, o detector é sensibilizado. As coordenadas da estrela em relação ao eixo de

coordenadas da espaçonave são calculadas por meio do tempo de passagem da estrela

pela “perna” vertical da fenda (azimute), e do intervalo de tempo entre a passagem pela

“perna” vertical e a “perna” inclinada da fenda (declinação). Estes sensores têm uma

precisão típica da ordem de 0,5-30 minutos de arco (Wertz, 1997);

40

FIGURA 2.1- Máscara opaca com a fenda em V, localizada entre a objetiva e o detector nos sensores de estrelas de varredura.

Fonte: adaptada de Wertz (1997).

Rastreadores de estrelas com estruturas móveis (“gimbaled star trackers”): usados

em satélites estabilizados em três eixos, que precisam (ou precisavam) operar em

diferentes atitudes. São providos geralmente de uma câmera com um Campo de Visada

(CDV) bem limitado, montada em um pivô móvel (“gimbal”) cuja base é fixada na

estrutura do satélite. Estes sensores geralmente buscam e rastreiam uma única estrela

bem conhecida (e.g., Polaris, Canopus) através da ação mecânica da estrutura móvel

onde a câmera está montada, tentando sempre manter essa estrela no centro do CDV

dessa câmera. A atitude do satélite então é calculada a partir da leitura dos sensores

angulares montados na estrutura móvel (“gimbal”). A precisão dos sensores desse tipo é

da ordem de 1 - 60 segundos de arco, excluindo os erros de alinhamento entre o sensor e

o satélite (Wertz, 1997);

Rastreadores de estrela de cabeça fixa (“fixed head star trackers”): usados também

em satélites estabilizados em três eixos, sendo o tipo mais moderno dos três

apresentados. Consistem em câmeras fixadas rigidamente na estrutura do satélite não

contendo partes móveis, e com um CDV grande o suficiente para imagear uma região

da esfera celeste com uma alta probabilidade de que esta contenha um número mínimo

de estrelas no intervalo de magnitude que o sensor pode operar. As estrelas que se

encontram no seu CDV são eletronicamente buscadas e rastreadas simultaneamente. A

posição relativa e a magnitude de cada uma delas servem de dados de entrada para um

algoritmo de identificação de padrões, capaz de fornecer a direção de apontamento do

“Perna” inclinada da fenda (declinação) máscara

Eixo do sensor

“Perna” vertical da fenda (azimute)

41

eixo do sensor como saída. Sensores deste tipo podem ter precisões da ordem de 0,001°,

ou ainda melhores.

2.1.3 – Tipos de Detectores Usados em Sensores de Estrelas

Sensores de estrelas são usados para o controle de atitude em veículos espaciais desde a

década de 60. Até meados dos anos 70, eles tinham como detectores válvulas

fotomultiplicadoras, tubo dissectores de imagens (“image dissectors”), “phototubes” e

“vidicons”. Tais detectores tornavam os sensores longe de serem ideais, pois consomem

muita energia, funcionam em alta voltagem, são fisicamente grandes e frágeis por

possuírem invólucro de vidro, são muito suscetíveis a campos magnéticos e à variação

de temperatura, entre outras desvantagens. Contudo, era o que se tinha disponível na

época (Birnbaum, 1996). Ainda na década de 70 foram inventados os detectores

chamados de Charged Coupled Devices (CCD), por suas inúmeras vantagens em

relação aos outros detectores, como: baixo consumo de energia, tamanho reduzido, uso

de baixa voltagem para seu funcionamento, insensibilidade a campos magnéticos, alta

eficiência quântica, relação sinal-ruído intrinsecamente alta, construção robusta,

linearidade fotométrica, entre outras, estes migraram rapidamente para o uso na área

espacial. Em meados dos anos 70, o “Jet Propulsion Laboratory” (JPL) já estava

desenvolvendo sensores de estrela e dispositivos ópticos de navegação espacial,

utilizando os CCDs. As suas características possibilitaram a construção de sensores

menores capazes de medir e rastrear objetos astronômicos com mais precisão

(Birnbaum, 1996). Os CCDs são ainda hoje os detectores de imagem mais usados na

área espacial com várias aplicações.

CCDs são detectores de silício formados por pequenos elementos fotossensíveis

chamados de “picture elements” (“pixels”) que convertem a irradiância luminosa

incidente neles, durante um certo tempo de exposição, em cargas elétricas. Para cada

“pixel” as cargas elétricas são armazenadas em um capacitor (poço de potencial), que,

após o término do tempo de exposição, também chamado de tempo de integração, são

transferidas seqüencialmente ao longo dos capacitores dos “pixels” vizinhos da mesma

linha até o estágio de saída. Cada pacote de carga que foi armazenada e transferida pelos

42

capacitores é convertido no estágio de saída, em um sinal de voltagem proporcional a

esta carga. Desta maneira a voltagem de saída pode ser lida seqüencialmente,

possibilitando por meio destes dados a formação de uma imagem. O CCD pode ser

considerado como uma “caixa preta” que transforma a distribuição de irradiância

incidente nele em uma distribuição de voltagem amostrada no espaço e no tempo

(Thomson Comp...,[198-?]).

Outro tipo de detector desenvolvido recentemente, mas que vem ganhado espaço e se

mostrando muito promissor para aplicações espaciais, é o chamado “Active Pixel

Sensor” (APS) desenvolvido com base na tecnologia CMOS. Os APSs possuem a sua

estrutura muito parecida com a dos CCDs, sendo também detectores de silício formados

por “pixels”, porém neles as cargas não são transferidas, e a saída pode não ser um sinal

de voltagem, mas sim um sinal digital. Apresentam, além disso, outras vantagens em

relação aos CCDs como: mais resistência à radiação; seu uso simplifica notavelmente a

eletrônica e como conseqüência o tamanho e peso total do sensor; consomem menos

energia e não requerem alimentação em diferentes voltagens; possuem uma proteção

“anti-blooming*” incorporada; imunidade a efeitos “smear**”; permitem a leitura apenas

de pequenos sub-conjuntos de “pixels” não havendo necessidade da leitura do detector

como um todo para rastrear apenas algumas estrelas; permitem diferentes tempos de

integração para cada “pixel” graças ao circuito de “reset” individual presente em cada

um deles, entre outros (Hancock et al., 2001; Salomon et al., 1996). Por outro lado,

apresentam também algumas desvantagens em relação aos CCDs: eficiência quântica

menor, ruído de leitura maior, “fill factor” menor, além de não terem os 34 anos de

sucesso em aplicações espaciais que os CCDs possuem (Salomon et al., 1996).

Essas características tendem a melhorar com o passar do tempo, pois, como os APSs são

detectores relativamente novos, muitos estudos para o seu melhoramento tecnológico

* Booming é o efeito que ocorre quando as cargas de um pixel “transbordam” para os pixels adjacentes. Isso se dá quando a quantidade de cargas geradas nele é maior que a quantidade de carga que seu poço de potencial pode armazenar. ** Smear é um sinal indesejado que aparece na imagem como ima listra horizontal (de cima para baixo) que tem origem na parte mais brilhante da imagem. As razões para este fenômeno dependem do tipo do detector, mas está relacionado diretamente com o processo de transferência das cargas no detector (veja mais informações em: http://pco.orange8.ch/download/?url=/data/smear_e.pdf).

43

vêm sendo realizados. Todavia, para algumas aplicações, os APSs demonstram

eficiência, e suas características já são boas o suficiente.

2.1.4 – Visão Geral do Funcionamento do Sensor que Está Sendo Desenvolvido

Pelo INPE

O último tipo dos sensores apresentados na Seção 2.1.2 é o sensor estelar do tipo que

o INPE vem desenvolvendo, portanto, o de maior interesse para este trabalho. Sensores

estelares de cabeça fixa são geralmente menores e mais leves que os rastreadores com

estruturas móveis e não possuem partes móveis. Os dispositivos de detecção de imagem

usados por estes sensores podem ser de tipos variados, entretanto os mais usados

ultimamente são os sensores de varredura eletrônica: quer sejam os CCDs, quer sejam

os APSs. Para o estudo em questão, eles se comportam de forma idêntica, pois possuem

a mesma geometria (são formados por “pixels”) e os ruídos envolvidos nos dois são da

mesma espécie.

Pode-se explicar o princípio de funcionamento do sensor como se segue:

1) O sistema óptico do sensor é responsável por projetar a radiação das estrelas

que estão em seu campo de visada na matriz do detector formado por um

arranjo de “N” por “M” elementos fotossensíveis, chamados de “pixels”, que

são varridos digitalmente em um certo intervalo de tempo chamado de tempo

de integração.

2) A energia luminosa que incide em cada “pixel” é transformada em sinal

elétrico que então é convertido para digital através de um conversor

analógico-digital.

3) Os dados adquiridos são posteriormente analisados digitalmente. Se o sinal do

“pixel” for maior que um limiar pré-definido, calculado com base no ruído e

sinal de fundo, então se considera detectada a presença de sinal de uma estrela

nesse “pixel” e os dados de intensidade e da localização do “pixel” na matriz

são armazenados.

44

4) Se nessa leitura não ocorrerem “pixels” saturados ou se houver menos do que

uma certa quantidade mínima de “pixels” com sinal superior ao limiar, então o

tempo de integração é aumentado até que a quantidade mínima seja alcançada

ou o sinal de algum “pixel” se aproxime da saturação.

5) Quando um dos dois casos ocorrer, a busca por estrelas é interrompida e os

“pixels” armazenados são agrupados como sendo da mesma estrela se forem

adjacentes. Esse é o chamado modo de busca do sensor.

6) Depois da aquisição, são definidas até cinco sub-matrizes de “n” por “m”

elementos (n<N e m<M) centradas em cada um dos “pixels” de maior sinal

onde se supôs detectada a presença de uma estrela, e dá-se início ao modo de

rastreio do sensor.

7) Os dados do sinal de cada “p ixel” dessas sub-matrizes são renovados a uma

taxa da ordem de milisegundos, e são usados para calcular a magnitude e a

posição relativa da estrela na matriz do detector. O centro de cada sub-matriz

é então deslocado para o “pixel” de maior sinal da mesma. Este processo se

repete até que a estrela saia do campo de visada do sensor.

8) Os dados da posição relativa e magnitude de cada estrela podem ser enviados

para um algoritmo de reconhecimento de padrões que irá, por meio de uma

técnica de reconhecimento de padrões e um catálogo de estrelas, tentar

identificar a orientação de apontamento do eixo do sensor (Matos, 2003).

9) Um esquema em fluxograma da estrutura do funcionamento do sensor é

mostrado na Figura 2.2. Este esquema pode ser levemente diferente

dependendo do tipo de detector usado. Quando se usa detector do tipo APS,

que possui sinal de saída digital, esse vai direto para o processador não

passando pelo Amplificador e nem pelo A/D.

45

FIGURA 2.2- Esquema da estrutura do funcionamento do sensor.

2.2 – Imperfeições de Um Sistema Óptico

Segundo Cox, A. (1964), um sistema óptico perfeito é aquele que satisfaz as seguintes

condições:

1) Cada ponto do objeto corresponde a um e somente um ponto da imagem.

Similarmente, cada ponto da imagem corresponde a um e somente um ponto do

objeto.

2) Cada grupo de pontos do objeto pertencentes a um plano corresponde a um

grupo de pontos da imagem pertencentes a um plano. Similarmente, cada grupo

de pontos da imagem pertencentes a um plano corresponde a um grupo de

pontos do objeto também pertencentes a um plano.

CDV

Radiação das estrelas

Objetiva

Plano focal (detector)

Amplificador

A/D

Processador

Sinal analógico

Magnitudes e coordenadas das estrelas

no plano focal

Algoritmo de identificação de

padrão

Coordenadas de apontamento do eixo do sensor

46

Sistemas ópticos perfeitos são ideais, impossíveis de serem construídos. Isso ocorre

devido a dois fenômenos: a difração e as aberrações ópt icas. A difração é um

fenômeno natural que ocorre com todos os tipos de onda e pode ser definida como o

desvio ou dispersão de onda que encontra um objeto (uma barreira ou abertura) no seu

caminho (Halliday, Resnick, e Krane, 1996). Desta forma, a imagem referente a um

ponto objeto já não seria um ponto, mas sim um disco circular cercado por vários anéis

secundários progressivamente mais tênues. As aberrações ópticas ocorrem de fato em

todos os sistemas de formação de imagem e podem ser definidas como um defeito ou

erro na posição de interceptação de um raio no plano imagem referente a uma

coordenada específica de referência, ou ainda como sendo a diferença de caminho

óptico medido em relação a uma esfera de referência na pupila de saída (Shannon,

1980).

Com isso, a imagem no plano focal referente a um ponto objeto infinitesimal formado

por um sistema óptico, não será um ponto, mas sim uma distribuição de irradiância

luminosa ou borrão de tamanho finito, onde sua densidade de energia é dada pela

Função Intensidade da Imagem I(x’,y’) (Cox, A., 1964). Que pode ser representada

das duas formas que mostra a Figura 2.3.

FIGURA 2.3- Duas formas de se representar a energia da imagem no plano focal referente a um ponto objeto, (a) é chamada de FEP e a segunda de “Spot Diagram”.

A Figura 2.3a é a representação em três dimensões, onde são geralmente considerados

os efeitos da difração e das aberrações ópticas, recebendo o nome de Função

Espalhamento Pontual (FEP) ou “Point Spread Function” (PSF).

Já a Figura 2.3b mostra a representação da Função Intensidade da Imagem em duas

dimensões, onde só são levados em conta os efeitos da Óptica Geométrica, ou seja, a

a b

47

influência das aberrações, esta Figura é formada de vários pontos, onde a densidade de

pontos da mesma cor é diretamente proporcional a densidade de energia no

comprimento de onda que a cor representa. Esta representação recebe o nome de “Spot

Diagram” ou Diagrama da Distribuição de Energia (Figura 2.3b).

No trabalho em questão, considera-se apenas a influência que as aberrações exercem

sobre a distribuição de energia na imagem de um ponto objeto, desprezando a influência

da difração. Esta aproximação é válida, pois sistemas ópticos de interesse deste trabalho

possuem um F/# pequeno (F/# é definido como a razão entre a distância focal do

sistema e o diâmetro da pupila de entrada). Isso se dá para que a irradiância da estrela

que chega ao detector seja capaz de sensibilizá- lo em um tempo de integração

relativamente curto. Sistemas ópticos com F/# pequeno que possuem focais e CDVs não

tão pequenas, como as que serão usadas no sensor de estrelas do INPE (respectivamente

da ordem de 25mm e ±10°), são geralmente limitados por aberração, não sendo

necessário então levar em consideração a Óptica Física ou Óptica de Fourier, e sim

apenas a Óptica Geométrica, tratando a luz como raios que são desviados segundo a lei

de Snell quando passam através de um sistema óptico.

Neste Capítulo, logo a seguir, se apresentará analiticamente o aparecimento das

aberrações, seus tipos e os efeitos que causam na distribuição de energia da imagem de

uma estrela no plano focal, estudando desta forma, as causas de alguns erros

sistemáticos da posição relativa de estrelas presentes nos sensores estelares do tipo

estudado neste trabalho.

2.3 – Definições e Sistema de Coordenadas

Para se continuar com a apresentação da teoria, faz-se necessária a apresentação de

algumas definições, e do sistema de coordenadas usado nos estudos. Algumas

definições em Óptica são bem básicas, porém necessárias para o entendimento da teoria

de sistemas ópticos.

Um elemento muito importante em um sistema óptico é o limitador da energia luminosa

que entra no sistema, chamado de obturador (“Stop Aperture”). O obturador pode

48

estar localizado em qualquer lugar dentro do sistema óptico, e não necessariamente

precisa ser uma peça mecânica e muito menos ser ajustável. Por exemplo: em um

telescópio refletor o limitante da entrada de energia é dado pelo tamanho do espelho

principal, ou seja, o obturador (“Stop Aperture”) desse telescópio é o próprio espelho. Já

na Figura 2.4 pode-se ver um obturador (“Stop Aperture”) que está dentro do sistema e

não é nenhum dos elementos ópticos (lentes ou espelhos) do mesmo.

Outra definição importante e usada neste trabalho é referente às pupilas de entrada e

de saída de um sistema óptico. Pupila de entrada pode ser definida como a imagem do

obturador (“Stop Aperture”) formada pelas lentes que o antecedem (Figura 2.4 ). Pupila

de saída pode ser definida como a imagem do obturador (“Stop Aperture”) formada

pelas lentes que o precedem (Figura 2.4 ). Repare na Figura que a localização da pupila

de entrada no eixo “Z” não necessariamente deve estar antes da pupila de saída.

FIGURA 2.4- Posições do obturador, da pupila de entrada e da pupila de saída de um

sistema óptico.

Um parâmetro muito usado em sistemas ópticos é a razão entre a distância focal do

sistema e o diâmetro da pupila de entrada chamada de F/#. Este se refere à quantidade

de energia que entra no sistema óptico. Algumas vezes esse valor pode ser diferente

para diferentes regiões do CDV do sistema. Quando o tamanho da pupila de entrada se

tornar menor quanto maior for o ângulo do CDV em relação ao eixo óptico, ou seja, o

F/# crescer, diz-se que o sistema sofre de “Vignetting”. O fenômeno provoca uma

modificação no formato da pupila de entrada, referente ao formato que ela tem para

49

objetos no eixo óptico. Para sistemas ópticos com simetria circular que não possuem

obscuração, a pupila de entrada, para objetos no eixo óptico, tem um formato circular.

Existe um raio usado como referência para diversos cálculos feitos em análises de um

sistema óptico. Trata-se do raio principal. Alguns autores (Cox, A., 1964; O’Shea,

1985; Smith, 1966) definem-no como o raio proveniente de um ponto objeto localizado

no CDV do sistema que passa pelo centro do obturador. Quando no sistema não há

aberração e nem “Vignetting”, o raio principal além de passar pelo centro do obturador

passa pelo centro da pupila de entrada e pelo centro da pupila de saída (Focus Sof...,

2002). Todavia, como sempre existem aberrações no sistema, o raio principal ou vai ser

o que passa pelo centro da pupila de entrada ou o que passa pelo centro do obturador, e

quase nunca pelos dois ao mesmo tempo. Por conveniência, adotou-se o raio principal

como aquele que passa pelo centro da pupila de entrada, pois, como será mostrado mais

adiante, ele não sofre desvio por nenhum outro tipo de aberração, a não ser pela

distorção. Com isso, as coordenadas desse raio no plano focal (xpr’, ypr’) servirão como

referência para se calcular os erros sistemáticos de interpolação.

Na Figura 2.5, pode-se ver a representação de um sistema óptico onde são mostradas

algumas das definições apresentadas nos parágrafos acima, juntamente com o sistema

de coordenadas envolvidas na apresentação da teoria bem como no desenvolvimento do

trabalho.

FIGURA 2.5- Esquema de um sistema óptico.

Raio Principal

d’

Pupila de

entrada

r0

θ

Lentes

Eixo óptico(Z)

H’

Plano focal Ponto objeto

X’

Y’ Ye

Xe

Ys

Xs

Y

X

Pupila de saída

50

A pupila de entrada está contida no plano Xe e Ye, onde θ e r0 são suas coordenadas

polares, Tais que: θsen0rxe = e θcos0rye = . A pupila de saída está contida no plano

formado pelos eixos Ys e Xs , enquanto o plano focal está contido no plano formado

pelos eixos X’ e Y’. Já o ponto objeto está no plano formado pelos eixos Y e X. Os

planos do objeto, da pupila de entrada, da pupila de saída, e do plano focal, são

paralelos entre si e conseqüentemente todos são perpendiculares ao eixo Z, chamado de

eixo óptico.

O raio principal é representado na Figura pelo raio contínuo que sai do objeto e passa

pelo centro da pupila de entrada, ou seja, no ponto (xe=0,ye=0). H’ é a “altura” desse

raio no plano focal , onde H’ é dado pela relação 22 ''' prpr yxH += , e d’ é a distância

entre a pupila de saída e o plano focal paraxial do sistema.

2.4 – Aberrações Ópticas

Cox, A. (1964) demonstra, baseado no Princípio de Fermat e usando o Cálculo

Diferencial, que, se de um ponto objeto localizado na posição (X=0,Y=y) no plano XY,

com sua imagem paraxial no ponto (0,y0) no plano X’Y’, sai um raio monocromático

que passa pelo ponto (r0,θ) na pupila de entrada, esse intercepta o plano imagem

paraxial X’Y’ na posição xr’, e yr’ dados respectivamente pelas seguintes equações:

θθ

θθθθ

θθθθ

sen2sen

sencossen2sen

sensen2sensen'

04

062

03

05

230

204

30

203

4002

5010

203

2002

301

ryBryB

ryBryBryB

rBryAryArAxr

+

+++

++++=

(2.1)

( )[ ]5

0904

082

03

03

75752

03

0

30

202

230

204

30

203

4001

4002

501

3050

204

2002

3010

cos

)2(2cos

coscos)cos1(

cos2cos23

cos

cos)2cos2(cos'

yBryBryC

BBBBry

ryCryB

ryBryCryBrB

yAryAryArAyyr

++

++++

+++

++−

++

+++++=−

θ

θ

θθθ

θθθ

θθθ

(2.2)

51

A’s e B’s são respectivamente os coeficientes das aberrações ópticas de terceira e quinta

ordem referentes a um determinado comprimento de onda. “C1”, “C2” e “C3” são

funções dos A’s e de d’.

Analisando as Equações 2.1 e 2.2, observa-se que a imagem de um ponto objeto não

será um ponto. Por meio das equações pode-se obter o Diagrama da distribuição de

energia (“Spot Diagram”) no plano focal paraxial em um determinado comprimento de

onda referente a um ponto objeto. O formato dessa distribuição depende das aberrações

presentes no sistema para tal comprimento de onda. Neste Capítulo, estuda-se a

influência de cada uma dessas aberrações separadamente, quanto ao formato da

distribuição de energia no plano focal referente a um ponto objeto em um único

comprimento de onda.

As aberrações monocromáticas podem ser classificadas e nomeadas da seguinte forma

(Cox, A., 1964):

1) Termos em “r03” Aberração Esférica de terceira ordem

2) Termos em “y0r02” Coma de terceira ordem

3) Termos em “y02r0” Astigmatismo de terceira ordem

4) Termos em “y03” Distorção de terceira ordem

5) Termos em “r05” Aberração Esférica de quinta ordem

6) Termos em “y0r04” Coma Circular de quinta ordem

7) Termos em “y02 r0

3” Aberração “Astralete” de quinta ordem

8) Termos em “y03r0

2” Coma Elíptico de quinta ordem

9) Termos em “y04r0” Astigmatismo de quinta ordem

10) Termos em y05 Distorção de quinta ordem

52

Existem outras equações que também procuram descrever o Diagrama da distribuição

de energia (“Spot Diagram”) no plano imagem. Algumas dessas são polinômios em xe e

ye (Smith, 1966; Stavroudis e Feder, 1954) cujos coeficientes não sugerem relação com

as aberrações presentes no sistema. Contudo, existem outras equações (Herzberger,

1957) cujos coeficientes são relacionados com aberrações classificadas e nomeados de

uma outra forma, diferente das apresentadas aqui.

2.5 – Efeitos das Aberrações na Imagem de Um Ponto Objeto

Nesta Seção, será estudado o efeito de cada uma das aberrações na formação da imagem

de um ponto objeto. As análises serão feitas com base nas Equações 2.1 e 2.2. Em cada

situação, serão levados em consideração apenas os termos de uma determinada

aberração, que foram classificadas e nomeadas na Seção anterior. As análises são

meramente ilustrativas sendo feitas apenas para um comprimento de onda: os valores

dos coeficientes das aberrações podem não representar quantidades físicas reais de um

sistema óptico, apesar de que qualquer valor para esses coeficientes serem teoricamente

possíveis. As análises também consideraram a ausência de “vignetting” e que o plano

focal é colocado na posição paraxial do sistema, pois a mudança da posição do plano

focal, pode mudar o formato da sua distribuição de energia, como veremos na Seção

2.6. Contundo, pode-se ter uma boa noção de como cada aberração influencia na

formação da imagem de um ponto objeto.

1) Influência na formação da imagem de um ponto objeto apenas dos termos em “r03”

θsen' 301rAxr = (2.3)

θcos' 3010 rAyyr =− (2.4)

Através das equações, pode-se perceber que raios provenientes de um ponto objeto

entrando em círculos concêntricos com semidiâmetros “r0” na pupila de entrada

formarão círculos concêntricos no plano imagem de semidiâmetros iguais a “A1r03” ao

redor do ponto (0,y0). Com isso, na imagem, ao invés de um ponto há um disco de luz

cujo tamanho, para um determinado sistema óptico, é inversamente proporcional ao F/#.

53

Isso se dá pela dependência de r0 nas Equações 2.3 e 2.4. Por outro lado, como não

depende de “y0”, o tamanho do disco de luz na imagem devido a esta aberração será o

mesmo para todo CDV da objetiva. A aberração recebe o nome de Esférica de terceira

ordem. A Figura 2.6 mostra um “spot” que sofre apenas a influência de tal aberração,

para traça- la usou-se os valores A1=1, e cinco valores diferentes de r0, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5

e 1. Para cada um deles, θ variou de 0 a 2π .

FIGURA 2.6-Formato do “spot” que as Equações 2.3 e 2.4 dão origem.

2) Influência na formação da imagem de um ponto objeto apenas dos termos em “y0r02”

θ2sen' 2002 ryAxr = (2.5)

)2cos2(' 2020 θ+=− ryAyyr (2.6)

Quando raios provenientes de um ponto objeto descrevem círculos concêntricos na

pupila de entrada, através das Equações 2.5 e 2.6 pode-se ver que no plano imagem se

formarão círculos de semidiâmetros “A2r02y0” ao redor do ponto (0, y0+A2r0

2y0). Como

o centro do círculo varia com r0, então haverá círculos não concêntricos no plano focal,

inscritos dentro de duas retas tangentes que formam um ângulo de 60° entre si. Ao

observar a Figura 2.7, pode-se ter idéia de como será o formato da distribuição de

energia luminosa no plano focal proveniente de um ponto objeto devido a esta

aberração. Também pode-se ver, por meio das Equações 2.5 e 2.6, que o tamanho desse

“spot”, para um determinado sistema óptico, varia com seu o F/# e também ao longo do

CDV, pois essas equações são dependentes tanto de “r0” como de “y0”. Tal aberração

54

recebe o nome de Coma de terceira ordem. Pode-se ver a origem do nome por meio da

Figura 2.7 que tem o formato de um cometa. A Figura foi gerada a partir das Equações

2.5 e 2.6 para A2=1, e cinco valores diferentes de r0, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 e 1, onde para

cada um deles variou-se θ de 0 a 2π .

FIGURA 2.7- A Figura mostra a influência do Coma de terceira ordem na formação da imagem de um ponto objeto.

3) Influência na formação da imagem de um ponto objeto apenas dos termos em “y02

r0”

θsen' 02

03 ryAxr = (2.7)

θcos' 02

040 ryAyyr =− (2.8)

Se raios provenientes de um ponto objeto entram em círculos concêntricos pela pupila

de entrada, segundo as Equações 2.7 e 2.8, elipses concêntricas com semi-eixos iguais a

“A3r0y02” e “A4r0y0

2” se formarão no plano imagem (Figura 2.8). Como se pode

perceber através destas equações, tal aberração é dependente de “r0” e de “y0”. Então,

para um dado sistema óptico, maior será o tamanho do “spot” devido a esta aberração,

quanto menor for o F/#, e ainda, quanto maior for a distância do ponto objeto em

relação ao eixo óptico. A aberração é chamada de Astigmatismo de terceira ordem. Ao

observar a Figura 2.8 pode-se ter idéia da influência desta aberração na imagem de um

ponto objeto. Para se traçar a Figura usou-se as Equações 2.7 e 2.8 com A3=1, A4=0,5 e

60°

55

cinco valores diferentes de r0, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 e 1, onde para cada um deles se variou θ

de 0 a 2π .

FIGURA 2.8- A Figura mostra a influência do Astigmatismo de terceira ordem na

formação da imagem de um ponto objeto.

4) Influência na formação da imagem de um ponto objeto apenas dos termos em “y03”

Referentes a esses termos têm-se:

0' =rx (2.9)

3050' yAyyr =− (2.10)

Observa-se, das Equações 2.9 e 2.10, que raios provenientes do ponto objeto, passando

em qualquer posição na pupila de entrada, irão convergir para um único ponto, que pode

apresentar um deslocamento em relação ao ponto ideal (0,y0). Tal aberração, chamada

de Distorção de terceira ordem, não influencia no formato da distribuição de energia no

plano focal de um ponto objeto, mas apenas muda a sua posição. Essa mudança é

função da distância que o objeto se encontra do eixo óptico como pode ser visto na

Equação 2.10, por sua dependência em y0.

Se o coeficiente “A5” for positivo, a distorção é do tipo almofada (“pincushion”), a

imagem ficará com a aparência como mostrada na Figura 2.9b. Por outro lado, se o

coeficiente for negativo a distorção é do tipo barril, revelando o efeito na imagem

mostrado na Figura 2.9c.

56

FIGURA 2.9- Os dois tipos de distorção de terceira ordem que podem ocorrer em imagens geradas por um sistema óptico.(b) ocorre quando o coeficiente A5 é positivo, e (c) quando é negativo.

5) Influência na formação da imagem de um ponto objeto apenas dos termos em “r05”

θsen' 501rBxr = (2.11)

θcos' 5010 rByyr =− (2.12)

Tal aberração, chamada de Esférica de quinta ordem, não tem nada de muito novo. O

que foi discutido e dito para a aberração Esférica de terceira ordem é também válido

para esta, inclusive o seu efeito na imagem de um ponto objeto é muito parecido com a

mostrada na Figura 2.6.

Uma forma de reduzir as aberrações esféricas de um sistema é ajustar os seus

parâmetros, de modo a se ficar com os coeficientes “A1” e “B1” com sinais contrários.

Disso resulta o seu cancelamento parcial.

6) Influência na formação da imagem de um ponto objeto apenas dos termos em “y0r4”

Para esses termos, das Equações 2.1 e 2.2 se obtêm:

θ2sen' 4002 ryBxr = (2.13)

Objeto Almofada(pincushion)

Barril (barrel)Objeto Almofada(pincushion)

Barril (barrel)(a) (b) (c)

57

4001

40020 2cos

23

' ryCryByyr −

+=− θ (2.14)

A aberração chamada de Coma Circular de quinta ordem é muito parecida com a Coma

de terceira ordem.

Para raios provenientes do ponto objeto que descrevem círculos concêntricos na pupila

de entrada, há no plano imagem, pelas Equações 2.13 e 2.14, círculos de semidiâmetros

“B2y0r04” ao redor do ponto (0, (3/2)B2y0r0

4 – C1y0r04). Como o centro do círculo varia

com r0, o que se tem no plano focal são círculos não concêntricos inscritos dentro de

duas retas tangentes, cujo ângulo entre elas depende do coeficiente “C1”, o qual é

função dos coeficientes das aberrações de terceira ordem. A única novidade que esta

aberração traz é que o formato da imagem do ponto objeto influenciado por ela,

dependente, por sua vez, de coeficientes de outras aberrações de terceira ordem. Na

Figura 2.10, pode-se observar a influência desta aberração na imagem de um ponto

objeto para dois valores distintos de “C1”. Para se traçar as Figura usou-se os valores

B2=1, C1=0 em (a) e C1=-0,5 em (b) e cinco valores diferentes de r0, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 e

1, onde para cada um deles variou-se θ de 0 a 2π .

FIGURA 2.10- A Figura mostra a influência do Coma Circular de quinta ordem na formação da imagem de um ponto objeto para dois valores dis tintos de “C1”.

7) Influência na formação da imagem de um ponto objeto apenas dos termos em “y02r3”

θθθ sencossen' 230

204

30

203 ryBryBxr += (2.15)

(a) (b)

58

θ

θθθ

cos

cos)cos1(cos'3

02

02

230

204

30

2030

ryC

ryBryByyr

+

++=− (2.16)

Esse tipo de aberração é o único realmente novo trazido pelas aberrações de quinta

ordem. Por este motivo e também por ser complexa, merece uma atenção especial e será

analisada em duas partes.

Considerando apenas os primeiros termos das Equações 2.15 e 2.16, se obtém:

θsen' 30

203 ryBxr = (2.15a)

θcos' 30

2030 ryByyr =− (2.16a)

Estas equações são muito parecidas com as 2.3 e 2.4 da aberração Esférica de terceira

ordem. A única diferença é que possuem um fator “y02”. Contudo, esse não muda o

formato da imagem de um ponto objeto, que continuará sendo um disco como na Figura

2.6. A dependência em “y0” faz com que o semi-diâmetro do disco e a sua distribuição

de energia, varie com a distância da imagem ao eixo óptico.

Quando “B4” for igual a zero, e a aberração aparecer sozinha, o nome “Astralete” perde

o sentido e então ela é chamada de Esférica Oblíqua de quinta ordem.

Para os termos restantes das Equações 2.15 e 2.16 :

θθ sencos' 230

204 ryBxr = (2.15b)

θθθ coscos)cos1(' 30

202

230

2040 ryCryByyr ++=− (2.16b)

Estas equações são mais complexas de se analisar do que as anteriores, pois agora há

mais de um coeficiente que influenciará no formato da imagem de um ponto objeto.

Para facilitar a análise, primeiramente se simplificou a forma de sua escrita. Deste

modo, decorrem as Equações 2.15b e 2.16b.

59

θθ sencos' 230

204 ryBxr = (2.15b)

θθ cos)cos1(' 123

02

040 DryByyr ++=− (2.16b)

onde:

4

21 B

CD =

A forma com que a energia luminosa proveniente de um ponto objeto se distribui no

plano imagem depende destas duas quantidades “B4” e “D1”. Na Figura 2.11, vêem-se

algumas das possíveis formas, com que raios provenientes do ponto objeto entrando em

um único círculo na pupila de entrada podem se distribuir no plano imagem. Cada uma

destas formas foi adquirida por meio das Equações 2.15b e 2.16b para r0=1 e os valores

de θ variando de 0 a 2π . Os valores dos coeficientes “B4” e “D1” usados, são mostrados

na própria Figura.

FIGURA 2.11- A Figura mostra a influência do aberração “Astralete” na formação da imagem de um ponto objeto para combinações distintos de “B4” e “D1”.

Agora pode-se analisar mais facilmente as Equações 2.15 e 2.16 por completo. Fazendo

o mesmo tipo de simplificação utilizada anteriormente, obtêm-se:

θθθ sencossen' 230

204

30

203 ryBryBxr +=

θθ cos)cos1(' 2123

02

040 DDryByyr +++=−

onde:

B4=1 D1=0

B4=1 D1=-1,5

B4=1 D1=-2

B4=1 D1=-2,3

B4=1 D1=-3

60

4

32 B

BD =

A forma com que a energia luminosa proveniente de um ponto objeto, segundo estas

equações, se distribui no plano imagem, depende de três coeficientes, são eles: “B4”,

“C1” e “C2”. Para a análise dessas equações, utilizou-se a mesma forma usada para as

Equações 2.15b e 2.16b. Os resultados dessas análises se encontram na Figura 2.12,

onde se pode ver as diferentes formas com que os raios provenientes de um ponto

objeto entrando em um único círculo pela pupila de entrada do sistema óptico podem se

arranjar no plano imagem.

FIGURA 2.12- A Figura mostra a influência do aberração “Astralete” na formação da imagem de um ponto objeto para combinações distintos de “B4”,“D1” e “D2”.

B4=1 D1=0 D2=0

B4=1 D1=0 D2=-0,5

B4=1 D1=0 D2=-1

B4=1 D1=0 D2=-1,5

B4=1 D1=0 D2=-2

B4=1 D1=-1 D2=-0,5

B4=1 D1=-1,5 D2=-0,5

B4=1 D1=2 D2=-1,5

B4=1 D1=-1 D2=-1,5

B4=1 D1=-2 D2=-2

B4=1 D1=-3 D2=1

B4=1 D1=-3 D2=1

61

8) Influência na formação da imagem de um ponto objeto apenas dos termos em “y03r0

2”

θ2sen' 20

305 ryBxr = (2.17)

( )[ ]2

03

03

75752

03

00 )2(2cos'

ryC

BBBBryyyr

+

+++=− θ (2.18)

Segundo estas equações, raios provenientes de um ponto objeto entrando em círculos

concêntricos na pupila de entrada formam no plano imagem paraxial elipses centradas

no ponto (0, y0+y03r0

2(2B5+B7+C3)), cujo semi eixo é dado por “B5y03r0

2” e

“(B5+B7)y03r0

2”. Como o centro das elipses no plano imagem depende de “r0”, então as

elipses não são concêntricas, e se arranjam na forma mostrada na Figura 2.13, esta foi

gerada usando-se as Equações 2.17 e 2.18 tomando B5=1, B7=1, C3=1, e cinco valores

diferentes de r0, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 e 1, onde para cada um deles variou-se θ de 0 a 2π . O

ângulo entre as retas tangentes às elipses é função de “B7/B5”, e “C3”. Tal aberração é

chamada de Coma Elíptico de quinta ordem.

Pela dependência das Equações 2.17 e 2.18 em “r0” e “y0”, maior será o tamanho do

“spot” para um dado sistema óptico, quanto menor for o seu F/# e quanto mais distante

do eixo o ponto objeto se encontrar.

FIGURA 2.13- A Figura mostra a influência do Coma Elíptico de quinta ordem na formação da imagem de um ponto objeto.

62

9) Influência na formação da imagem de um ponto objeto apenas dos termos em “y04r0”

θsen' 04

06 ryBxr = (2.19)

θcos' 04

080 ryByyr =− (2.20)

Esta aberração é chamada de Astigmatismo de quinta ordem. O seu efeito na formação

da imagem de um ponto objeto não tem praticamente nada de diferente em relação ao

Astigmatismo de terceira ordem. A única diferença é que o tamanho do “spot” varia

com a quarta potência da distância do ponto objeto ao eixo óptico, enquanto a de

terceira ordem varia com o quadrado dessa distância.

10) Influência na formação da imagem de um ponto objeto apenas dos termos em

“y04r0”

Para esses termos, das Equações 2.1 e 2.2 , obtêm-se:

0' =rx (2.21)

5090' yByy r =− (2.22)

Esta aberração, chamada de Distorção de quinta ordem, tem praticamente o mesmo

efeito na formação da imagem de um ponto objeto, que a causada pela Distorção de

terceira ordem. A única diferença é que o desvio sofrido pelo ponto imagem, que é o

único efeito desta aberração, é proporcional à quinta potência da distância que o ponto

se encontra em relação ao eixo óptico, enquanto a de terceira ordem é proporcional ao

cubo desta quantidade.

2.6 – Efeitos no Formato da Imagem de Um Ponto Objeto Devido à Mudança na

Posição do Plano Focal

Na Seção anterior, mostrou-se os efeitos causados na formação da imagem de um ponto

objeto devido aos diferentes tipos de aberrações. As análises foram feitas para um plano

imagem localizado no foco paraxial do sistema. Muitas vezes, falando-se em qualidade

63

de imagem, a posição do foco paraxial não é o melhor lugar para se colocar o plano

focal de um sistema óptico, mas sim em uma região vizinha próxima, à esquerda ou à

direita desse plano. Contudo, se temos um plano imagem que não está localizado na

posição do foco paraxial, não é necessário redefinir as Equações 2.1 e 2.2, para que se

tenha o formato da distribuição de energia no plano imagem referente a um ponto

objeto. Cox, A. (1964) demonstra que se o plano imagem está a uma distância “ε” do

plano imagem paraxial, sendo “ε<<d”, então a mudança sofrida na posição de cada raio

no plano imagem, referente a sua posição no plano focal paraxial pode ser dado por:

''

' rr xd

xε

=∆ (2.23)

''

' rr yd

yε

=∆ (2.24)

Com estas equações, se os coeficientes das aberrações no plano focal paraxial de um

sistema óptico, para um determinado comprimento de onda são conhecidos, então é

possível saber a distribuição da energia proveniente de um ponto objeto nesse

comprimento de onda, para qualquer posição vizinha ao plano focal paraxial que o

plano imagem se encontre.

2.7 – Um Exemplo

Apesar de se ter estudado os efeitos das aberrações de forma separada e apenas para um

único comprimento de onda, em um sistema óptico real há uma influência composta de

quase todas as aberrações. Além disso, não existe apenas um, porém um intervalo de

comprimentos de onda que passam pelo sistema. Em conseqüência, os coeficientes das

Equações 2.1 e 2.2 podem ser diferentes para cada comprimento de onda, em especial

nos sistemas ópticos parcialmente ou totalmente refrativos, ou seja, possuidores de

lentes. Isso ocorre porque, no vidro, cada comprimento de onda apresenta um índice de

refração diferente. Desta forma, é como se tivéssemos para cada comprimento de onda

um sistema levemente diferente. Resultando no final o seguinte: para cada comprimento

de onda proveniente do mesmo ponto objeto, há uma distribuição de energia diferente

64

no plano imagem. Portanto a distribuição total da energia da imagem do ponto objeto

consiste em uma composição das distribuições de cada comprimento de onda do

intervalo.

Logo abaixo, na Figura 2.14, pode-se observar um exemplo de como o formato do

“spot” aparece para um sistema óptico para diferentes regiões do CDV, (a) mostra o

“spot” para um ponto objeto localizado no eixo óptico da objetiva, (b) e (c) mostram

respectivamente a os “spots” para pontos objetos deslocados a 5° e a 10° em relação ao

eixo ótico, ao lado de cada uma delas são mostrados os valores y0. As diferentes cores,

azul, verde e vermelho, representam diferentes comprimento de onda que são

respectivamente iguais a: 0,4861µm; 0,5876µm; 0,6563µm. Esta Figura foi adquirida

por meio de uma das ferramentas do ZEMAX para o sistema óptico usado para o

desenvolvimento dos estudos deste trabalho que será apresentado na Seção 3.2.1 do

Capítulo 3.

FIGURA 2.14- “Spots” formados por um sistema óptico, para diferentes regiões do CDV, (a) no eixo óptico, (b) a 5° e (c) a 10°.

50µm

(a)

(b)

(c)

y0=0,0mm

y0=2,2mm

y0=4,4mm

65

No decurso dos estudos teóricos realizados, e do exemplo dado nesta última Seção a

respeito da influência das aberrações ópticas na formação da imagem de um ponto

objeto, pode-se perceber que a distribuição de energia referente à imagem de uma

estrela (a qual pode ser representada por um ponto no infinito) pode assumir formas

bem diferentes de uma distribuição gaussiana, e ainda mudar ao longo do CDV da

objetiva do sensor. O que leva a perceber a importância de se considerar esses efeitos

nos estudos dos erros referentes à posição relativa de estrelas que ocorre em um sensor

estelar, efeitos estes ignorados em muitos trabalhos que abordam o assunto, como já

mencionado anteriormente.

66

67

CAPÍTULO 3

FORMULAÇÃO DO PROBLEMA E DESENVOLVIMENTO PRÁTICO

Neste Capítulo se apresentará a formulação do problema e discutir-se-á os

procedimentos e ferramentas usadas para o desenvolvimento do trabalho. Talvez seja o

mais importante dos Capítulos, pois é onde se apresentam o problema e as metodologias

desenvolvidas para os estudos e correções dos Erros Sistemáticos de Interpolação (ESI)

e dos Erros Sistemáticos de Distorção (ESD). Isso é feito de forma detalhada, dando

assim as informações necessárias ao leitor de modo que possa aplicá- las para qualquer

sistema do mesmo tipo.

O Capítulo foi dividido em sub-títulos que abordam a definição do problema, o sistema

eletro-óptico usado para o desenvolvimento da metodologia, os estudos dos erros

sistemáticos, o modelamento destes erros e os métodos que foram desenvolvidos para

sua correção.

3.1 – Definição do Problema

Tendo a visão geral do funcionamento do sensor apresentada na Seção 2.1.4, pode-se

identificar algumas fontes de erro inerentes ao sensor, podendo ser divididas em duas

categorias: as aleatórias e as sistemáticas. As aleatórias são as que podem ser

modeladas por uma função probabilística, enquanto as sistemáticas são as que podem

ser modeladas por uma função determinística. Entre as fontes dos erros aleatórios

temos: ruído da eletrônica de processamento do sinal, ruído de quantização da

conversão A/D, não uniformidade da resposta dos “pixels” do detector, ruído quântico,

etc. Já entre as fontes dos erros sistemáticos, temos: imperfeições no sistema óptico

(distorção da imagem como um todo, aberrações ópticas e difração), amostragem do

plano focal (“pixels”), devido à natureza do procedimento usado no cálculo da posição

do centróide da estrela e no cálculo da magnitude da mesma, desalinhamento da

objetiva em relação ao detector, etc.

68

Neste trabalho o foco principal será dado a algumas fontes de erro sistemático, os quais

influenciam na determinação da posição relativa das estrelas. São elas: imperfeições no

sistema óptico, amostragem do plano focal e a natureza do procedimento usado no

cálculo da posição do centróide da estrela. Logo a seguir, cada uma destas fontes de erro

de interesse serão apresentadas e explicadas.

3.1.1 – Imperfeições do Sistema Óptico

Como mostrado no Capítulo 2, sistemas ópticos perfeitos não existem. Com isso, a

imagem de um ponto objeto infinitesimal não será um ponto, mas sim uma distribuição

de irradiância luminosa ou borrão no plano focal representada pela função intensidade

da imagem I(x’,y’). Seu formato e tamanho são dependentes da difração e das

aberrações ópticas presentes no sistema. Portanto, as coordenadas de uma estrela no

plano imagem (X’ Y’) de um sistema óptico podem ser calculadas através do ponto de

equilíbrio da função I(x’,y’), referente à imagem da estrela, chamadas de centróide da

imagem (x’c e y’c), e dado por (Rufino e Accardo, 2003):

∫ ∫∫ ∫=

'')','(

'')','(''

dydxyxI

dydxyxIxx c (3.1)

∫ ∫∫ ∫=

'')','(

'')','(''

dydxyxI

dydxyxIyy c (3.2)

Porém, essas equações não fornecem a posição exata da estrela. Isso ocorre devido a

aberrações (e.g. coma, astigmatismo) que causam na imagem de um ponto objeto

deformações não simétricas (Cox, A., 1964; Rufino e Accardo, 2003; Salomon e

Glavich, 1980).

Além disso, ainda existe o efeito da distorção óptica, que apesar de também ser uma

aberração, não influencia no formato e distribuição de energia da imagem de um ponto

objeto, mas sim desloca sua posição, fazendo com que três pontos objetos contidos em

uma mesma reta, sejam projetados no plano focal em três pontos onde não é mais

possível se obter uma reta onde todos estejam contidos. Com isso, por mais que as

69

Equações 3.1 e 3.2 fornecessem um resultado livre de erros, ainda se poderia ter um erro

na posição relativa causada pela distorção óptica.

3.1.2 – Amostragem do Plano Focal

Como mostrado em seções anteriores, sensores estelares de interesse deste trabalho

possuem detectores formados por “pixels” que amostram a imagem. Portanto, a função

intensidade da imagem I(x’,y’) no plano focal referente a um ponto objeto é amostrada

no espaço pelo tamanho do “pixel”. O valor do sinal de cada “pixel” é proporcional à

integral de I(x’,y’) na área sensível. Desta forma, as Equações 3.1 e 3.2 se reduzem a:

∑∑

∑∑

= =

=== n

i

m

jij

m

jij

n

ic

I

Iix

1 1

11' (3.3)

∑∑

∑∑

= =

=== n

i

m

jij

m

jij

n

ic

I

Ijy

1 1

11' (3.4)

Essas equações são aplicadas em uma sub-matriz de “n” por “m” “pixel”, onde i e j são

respectivamente o número da coluna e da linha de um “pixel” que está contido nessa

sub-matriz, e Iij é a integral de I(x’,y’) na área do “pixel” sensível à luz.

Na transformação das Equações 3.1 e 3.2 para as Equações 3.3 e 3.4 introduz-se uma

aproximação que resulta em um erro na determinação das coordenadas da estrela.

3.1.3 – Procedimento Usado no Cálculo da Posição da Estrela

As Equações 3.3 e 3.4, resultantes das Equações 3.1 e 3.2 devido à discretização do

plano focal, nos fornece um procedimento para o cálculo da posição da estrela na matriz

do plano focal chamado de “Centróide Simples”. Esse é o mais simples, mais usado e o

mais intuitivo, tendo em vista a sua procedência, dos métodos usados para o cálculo da

posição relativa da estrela na matriz do detector. Porém, esse não é o único método.

70

Existem vários métodos que já foram propostos para tal intuito, procurando reduzir os

erros causados pela discretização do plano focal. Contudo, em Stone (1989), onde são

comparados cinco diferentes procedimentos (ou algoritmos) usados para o cálculo da

posição relativa da estrela, pode-se observar que outros algoritmos apresentam apenas

leves melhorias na estimativa da posição da estrela no plano focal formado por “pixels”,

quando comparados com o centróide simples. No trabalho de Cox, J. (1981) comparou-

se o centróide simples com outros dois algoritmos. A sua pesquisa conclui que, em

termos de simplicidade de cálculo e de performance, o centróide simples foi classificado

como o melhor.

Por esses motivos, neste trabalho utiliza-se o algoritmo centróide simples da forma

apresentada nas Equações 3.5 e 3.6, as quais são aplicadas em uma sub-matriz de três

por três “pixels”.

( )

F

n

i

m

j

ij

n

i

m

j

Fij

c

nmVV

VVi

x−

−

=

∑ ∑

∑ ∑

= =

==

1 1

11

' (3.5)

( )

F

n

i

m

j

ij

m

j

m

j

Fij

c

nmVV

VVj

y−

−

=

∑∑

∑ ∑

= =

==

1 1

11

' (3.6)

Onde, Vij é o sinal total do fotoelemento (i,j), e VF é o sinal de fundo.

No caso do sensor de estrela que está sendo desenvolvido pelo INPE, o sinal de fundo é

adotado como sendo a média dos dez “pixels” de menor sinal que se encontram em uma

sub-matriz 5x5 centrada no mesmo “pixel” que a sub-matriz 3x3 usada no cálculo da

posição relativa da estrela.

A sub-matriz nas quais essas equações são aplicadas podem ser definidas com vários

tamanhos (e.g 3x3, 5x5, 7x7, 9x9, etc), inclusive, existem alguns trabalhos que estudam

o efeito da variação do tamanho dessa sub-matriz no erro do cálculo da posição relativa

71

da estrela. Optou-se por usar uma matriz de 3x3 “pixels” baseando-se no trabalho de

Matos (1997).

A diferença em relação às Equações 3.3 e 3.4 é que essas apresentam uma subtração do

sinal de fundo. Isto ocorre porque o sinal total de cada “pixel” (Vij) não é apenas dado

pela função intensidade da imagem I(x’,y’). Juntamente com esta há também sinais

provenientes da iluminação de fundo do céu, da iluminação indireta do Sol, da Terra, ou

de objetos que podem chegar no sistema óptico do sensor, e ainda do sinal de escuro do

detector.

3.2 – O Sistema Eletro Óptico Usado para Desenvolvimento da Metodologia

Embora este trabalho enfoque uma metodologia que em tese vale para qualquer sensor

estelar possuidor de uma objetiva que projeta a imagem das estrelas sobre um detector

formado por “pixels”, preferiu-se, a fim de tornar a exposição mais didática e

possibilitar a apresentação dos resultados da aplicação da metodologia, utilizar um

sistema específico, fazendo assim um estudo de caso.

3.2.1 – O Sistema Óptico

Como não se tinha o projeto de nenhum sistema óptico usado em sensores de estrela de

interesse deste trabalho, o que se fez foi reunir algumas características que sua objetiva

deve possuir, e a partir delas buscar um projeto que as satisfaça. Algumas dessas

características foram retiradas da objetiva comercial que está sendo usada no protótipo

desenvolvido pelo INPE, enquanto outras que não se tem acesso, como por exemplo, as

de resolução, foram tiradas de estudos de trabalhos anteriores, ou foram feitos pequenos

estudos à parte para se chegar a uma conclusão.

3.2.1.1 – Características e Requisitos para o Sistema Óptico do Sensor

As características tiradas da objetiva do protótipo desenvolvido pelo INPE foram: a

distância focal (25mm) e o F/# (1.4).

72

As características de resolução de um sensor de estrelas do tipo estudado aqui foram

tiradas de Matos (1997). Em seu trabalho, entre outras coisas, são feitos estudos a fim

de se chegar ao tamanho da distribuição da imagem da estrela para que se tenha o menor

ESI. Usando o formato da distribuição como Gaussiano, o que constitui uma

idealização, Matos (1997) simulou a interpolação com diferentes tamanhos de estrelas

em três posições dentro do “pixel” ao longo de um eixo, constatando que a distribuição

que produz os menores erros de interpolação acontece quando, centralizada em um

“pixel”, contiver em torno de 60% de sua energia dentro dele.

Outra característica importante é a do campo de visada da objetiva. No decurso dos

estudos realizados pelo grupo de Eletro-Óptica, responsável pelas pesquisas e

desenvolvimentos do sensor estelar no INPE, chegou-se à conclusão de que um valor

razoável para um sensor autônomo seria em torno de ± 10° em relação aos planos XeZ e

YeZ, ficando assim com um CDV de um prisma ou pirâmide com base quadrada de 20°

por 20°. Como o CDV de sistemas ópticos é geralmente um cone de base circular,

devido à forma e à simetria das lentes, deve-se ter um cone circular em que o cone

quadrado possa ser inscrito. Com isso, obtém-se o resultado de que a objetiva deve ter

um CDV de ±14° em relação ao eixo óptico (eixo Z).

Como o sensor é autônomo, uma das informações relevantes quando se procura

reconhecer a região do céu observada é, ao lado da posição relativa das estrelas, a

magnitude de cada uma delas. Por sua vez, tal magnitude é calculada a partir do sinal

gerado no detector. Erros no seu cálculo podem ocorrer, onde a não uniformidade de

iluminação é um dos fatores causadores desses erros. Além disso, como o sensor

trabalha com irradiâncias muito baixas, a não uniformidade de luminosidade pode ser

grande o suficiente de modo que uma estrela, quando posicionada na borda do CDV,

não seja detectada, e quando posicionada no centro do CDV, seja detectada com um

sinal razoável em relação ao ruído.

Existem alguns fatores que podem mudar a luminosidade ao longo do CDV, os

principais são: o fator do cos4, e o “vignetting”.

73

O fator do cos4 é o fenômeno pelo qual a iluminação de um ponto imagem fora do eixo

óptico é geralmente menor do que um ponto imagem no eixo óptico, mesmo para

sistemas sem “vignetting” (Figura 3.1).

FIGURA 3.1-Relação entre a pupila de saída e ponto imagem usado para determinar a lei do cos4.

Fonte: Adaptada de Smith (1966).

Isto se dá por dois motivos (Smith, 1966):

A iluminação de um ponto imagem é proporcional ao ângulo sólido que a pupila

de saída forma a partir do ponto em questão. Da Figura 3.1, para pequenos valores

de φ, é possível chegar às relações: φ’=φcos2(ϕ) e PaO = OPo cos(ϕ). Com isso, o

ângulo sólido, formado pelo ponto “Po” e a pupila de saída, é reduzido por um

fator de cos3 em relação ao formado pela pupila de saída e o ponto “Pa”.

O segundo motivo ocorre porque, em “Po”, a energia é difundida em um elemento

de área proporcionalmente maior do que o elemento de área em “Pa”, visto que o

cone atinge “Po” no plano focal com um ângulo ϕ em relação à normal. Com isso,

a influência de mais um termo em co-seno é acrescentada, chegando-se à seguinte

relação (Smith 1966):

)P em iluminação)((cos)P em iluminação( a4

o ϕ= (3.7)

O

ϕ

φ P

P

Pupila de saída

Plano focal

74

É importante reparar que o ângulo ϕ não é o ângulo do CDV, ou seja, o ângulo do lado

do objeto, e sim o ângulo do lado da imagem, que pode ser tanto maior ou menor do que

o ângulo do lado do objeto. Existem até sistemas onde o ângulo ϕ é igual ou muito

próximo de zero para qualquer região do campo de visada que ele esteja relacionado.

Esses recebem o nome de telecêntrico (Figura 3.2). Projetos deste tipo, que não sofram

de “vignetting”, têm a iluminação no plano focal praticamente constante.

Seria ótimo ter um sistema óptico telecêntrico para o sensor de estrelas, porém isso

poderia complicar muito o projeto dessa objetiva. Por conseguinte, um valor razoável

para ϕ foi estabelecido como sendo menor que 14° (que é o valor correspondente à

metade do ângulo do CDV).

FIGURA 3.2 - “Lay-out”, gerado a partir do ZEMAX, de um projeto óptico telecêntrico.

Este é o projeto da objetiva do sensor Imageador WFI abordo do satélite CBERS 1-2.

“Vignetting” é o fenômeno que ocorre quando o tamanho da pupila de entrada do

sistema é menor para ângulos do CDV diferente de zero (Figura 3.3). Como o tamanho

da pupila de entrada é proporcional à quantidade de energia que entra no sistema, o que

se tem quando há a presença de “vignetting” é uma não uniformidade de iluminação no

plano focal.

Como esse fenômeno pode reduzir drasticamente essa uniformidade, e sua ausência não

implica em um projeto complicado, chegou-se à conclusão de que o projeto não deve ter

a presença deste fenômeno. A Figura 3.3 mostra um projeto que pode servir como

exemplo de um sistema óptico com “vignetting” onde é possível reparar que no ponto

imagem que está sobre o eixo óptico, chegam muito mais “raios” do que os que estão

mais afastado do eixo.

75

FIGURA 3.3- “Lay-out”, gerado a partir do ZEMAX, do projeto óptico de patente

americana 2,836,102.

3.2.1.2 – A Escolha do Sistema Óptico para o Desenvolvimento do Trabalho

Com as características do sistema óptico definidas, o passo seguinte foi buscar um

projeto que as satisfizesse. Isso foi feito através de pesquisa em Cox, A. (1964). Esse

traz em uma de suas seções uma lista com vários números de patentes americanas e

britânicas com o seu respectivo inventor e algumas de suas características. Os projetos

de algumas delas, não de todas, são também encontradas nele em uma seção posterior.

O projeto de algumas patentes que interessaram por suas descrições e não se

encontravam disponíveis no mesmo, foram acessados através de consulta do número da

patente nos endereços eletrônicos: www.uspto.gov, e no gb.espacenet.com. Além das

pesquisas pelo número das patentes tiradas do livro, foram realizadas consultas através

de palavras chave, para tentar conseguir algumas patentes mais recentes que não haviam

no livro, tendo em vista a data de sua publicação.

O passo seguinte foi modelar e analisar vários desses projetos no ZEMAX.

Infelizmente, nenhum delas satisfez os requisitos impostos, então, os projetos que mais

se aproximavam dos requisitos, foram selecionados e otimizados a fim de fazê- los

atender aos requisitos. Tal otimização foi realizada por meio da ferramenta de

otimização do ZEMAX, usando-se uma das funções de mérito do “default” adicionada

de alguns vínculos e metas inseridos manualmente. Não foram feitos muitos esforços

nesse sentido, ou seja, não se gastou muito tempo com a otimização de cada um desses

projetos. Quando se passava um tempo razoável e o projeto não havia convergido de

76

modo a atender os requisitos, a otimização era encerrada e passava-se a otimizar outro

projeto.

Quando, por meio dessa ferramenta de otimização, se obteve um projeto que atendia

razoavelmente aos requisitos, o adotamos como o projeto óptico da objetiva para os

estudos deste trabalho (Figura 3.4). Este projeto óptico foi obtido através da otimização

do projeto inicial de patente norte americana de número 2,836,102 (Figura 3.3). Na

otimização foram deixados como variáveis apenas as espessuras centrais e os raios de

curvatura de cada lente, bem como as distâncias centrais de separação entre cada uma

delas. O número de lentes e o vidro usado em cada uma delas, foram mantidos os

mesmos do projeto inicial.

FIGURA 3.4- Projeto óptico obtido através da otimização do projeto inicial de patente

norte americana 2,836,102, usado para as simulações neste trabalho.

3.2.1.3 – A Banda Espectral do Sensor

Para se definir a influência de cada comprimento de onda no sistema em questão deve-

se levar em conta três parâmetros. São eles: a transmitância do sistema óptico, a

responsividade do detector e a emitância espectral do objeto.

A transmitância do sistema óptico é um valor adimensional dado pela razão entre a

energia que entra e a energia que sai do sistema. Ela pode ser dividida em duas: a

transmitância da objetiva propriamente dita e a transmitância de um possível filtro.

77

O filtro pode estar entre a objetiva e o plano focal, ou entre a objetiva e o objeto. Como

ainda não se decidiu se filtros serão usados, e que tipo de filtro será usado, supôs-se a

presença de um filtro de transmissão colocado na frente da objetiva. Optou-se por

colocá- lo nessa posição pois, desta forma, não influencia no projeto óptico, mas apenas

sobre a influência de cada comprimento de onda no sistema.

O filtro é necessário para reduzir a transmitância no infravermelho e no ultravioleta.

Isso é necessário, devido à dificuldade de se conseguir uma objetiva que seja otimizada

em todo o intervalo de comprimento de onda onde o detector responde. Como a resposta

típica desses detectores é mais baixa tanto no infravermelho como no ultravioleta, o

sistema é otimizado na faixa do visível.

Para este estudo de caso utilizou-se uma composição de dois vidros tipo filtro (filtro de

transmissão) do fabricante SHOTT: KG1 (infravermelho) e GG400 (ultravioleta).

Supôs-se que esses são colados um ao outro e que possuem uma espessura de 2mm cada

um.

Para filtros desse tipo existem dois efeitos que influenciam na transmitância: a

transmitância interna do material, e a transmitância de Fresnel. Aquela está relacionada

com a absorção da radiação pelo material e é função das características do material e do

comprimento do caminho que a radiação faz por dentro dele, enquanto que essa está

relacionada com a reflexão que a luz sofre na interface entre um meio e outro, que é

função da diferença entre os índices de refração dos materiais e do ângulo de incidência

entre o raio e a normal da superfície.

Como as faces do filtro são planas e paralelas entre si e os raios provenientes de uma

determinada estrela localizada no seu CDV atingem o filtro também paralelos entre si

fazendo com que o caminho percorrido por cada raio dentro do filtro seja o mesmo,

então tanto a transmitância de Fresnel quanto a transmitância interna na filtro serão as

mesmas para cada um dos raios provenientes de uma mesma estrela. Além disso, como

o ângulo de incidência de cada raio em relação à normal do filtro não excederá 14°

(metade do CDV), um ângulo relativamente pequeno, então a transmitância do filtro

78

para todo o CDV foi considerada igual à transmitância de raios que chegam a 0° em

relação à normal. O resultado da transmitância da composição dos dois filtros se

encontra na Figura 3.5, na qual se pode perceber que ela é bem baixa a partir de 0,8µm e

antes de 0,38µm como se queria.

Os dados do gráfico da Figura 3.5 foram adquiridos a partir do programa “FILTER '99,

Catalog Optical Glass Filter, Version 1.1US” que é fornecido gratuitamente pelo

próprio fabricante dos filtros.

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,20,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 Composição dos Filtros KG1 e GG400

τ F

λ(µm) FIGURA 3.5- Transmitância normalizada da composição dos filtros KG1 e GG400 em

função do comprimento de onda λ em µm.

Os dados da transmitância total através de uma objetiva dependem de vários efeitos: da

transmitância interna dos materiais dos elementos do sistema, da transmitância de

Fresnel em cada interface de um meio e outro, e do efeito de “vignetting”.

A objetiva adotada para este trabalho é livre do efeito de “vignetting”, e a transmitância

de Fresnel foi melhorada, para os comprimentos de onda de interesse, com a adição de

uma camada anti-refletora em todas as lentes do sistema. Essa camada foi modelada

como sendo feita do material MgF2 com espessura de 0,0997µm.

Diferente do que ocorre no filtro tipo vidro, na objetiva a transmitância para raios do

mesmo comprimento de onda provenientes de uma determinada estrela serão diferentes.

79

Isso se dá, devido à diferença do ângulo de incidência que cada raio possui em relação à

normal de cada uma das lentes do sistema, pois além dessa não serem superfícies

planas, os raios podem não estar paralelos entre si ao atingirem cada uma delas, e

também devido à diferença de caminho percorrido por cada raio dentro de cada material

do sistema.

Essa diferença de transmitância para cada raio é relevante para o estudo em questão,

porque a densidade da distribuição de energia da imagem de um ponto objeto no plano

focal é influenciada por ela.

Contudo, a transmitância média da objetiva para diferentes regiões do campo de visada

é praticamente a mesma, como mostra a Figura 3.6. Os dados do gráfico desta Figura

foram adquiridos por meio de uma das ferramentas de análise do ZEMAX acessada pelo

seguinte caminho partindo do menu principal: “Analysis”, “Polarization”,

“Transmission”. Essa análise fornece a transmitância média, para cada comprimento de

onda e região do CDV definidos no sistema modelado no ZEMAX.

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,20,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

CDV=0o

CDV=7o

CDV=14o

τ o

λ(µm) FIGURA 3.6- Transmitância média normalizada da objetiva em função do

comprimento de onda λ para diferentes regiões do CDV da objetiva.

A responsividade adotada para o detector foi calculada por meio dos dados da eficiência

quântica, extraídos do gráfico do manual do detector que está sendo utilizado no

protótipo do sensor do INPE (mais detalhes sobre esse detector encontram-se na

80

próxima Seção). Como os dados nesse manual só estão disponíveis para o intervalo de

comprimento de onda de 0,4µm a 0,8µm, e sabendo que ele responde ainda para

comprimentos de onda fora dessa faixa, fez-se uma interpolação linear de 0,38µm até

0,4µm e de 0,8µm até 1,1µm (Figura 3.7). Os valores de responsividade para 0,38µm e

1,1µm foram tomados como zero, pois estes são os dois limites extremos em que

detectores de silício desse tipo geralmente param de responder.

A Equação usada para o cálculo da responsividade através dos dados de eficiência

quântica foi (Thomson Comp...,[198-?]):

hcKaλη

=R (3.8)

Onde: “R” é a responsividade (V/j/m2), “η” é a Eficiência quântica no comprimento de

onda “λ”, “K” é o fator de conversão volts elétrons (V/e-), “a” é a área do “pixel” (m2),

“λ” é o comprimento de onda (m), “h” é a constante de Planck, e “c” é a velocidade da

luz.

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,20,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 Responsividade do Detector

R

λ(µm) FIGURA 3.7- Responsividade normalizada do detector em função do comprimento de

onda.

81

A emitância espectral de uma estrela pode ser representada por um corpo negro. Porém,

o espectro de emissão de um corpo negro depende de sua temperatura. A questão é:

“qual temperatura usar se existem estrelas das mais variadas temperaturas dentro da

faixa de magnitude que o sensor deve trabalhar?”. Draper (1965) sugeriu em seu

trabalho o uso de um corpo negro de 10700°K para simular uma estrela durante a

calibração radiométrica do sensor em terra. Magnani, Pieri e Romoli (1992) usaram em

seu trabalho o espectro de emitância de um corpo negro de 6000°K para estudar através

de simulação em computador os ESI para diferentes tipos de objetivas que podem ser

usadas em um sensor de estrelas de CDV estreito. Com isso, têm-se duas referências

que usam corpos negros de temperaturas completamente diferentes para simular o

espectro de uma estrela. Porém, nenhum deles esclarece porque usam essas

temperaturas. Acredita-se que a temperatura que se deve usar é dependente da missão e

das características do sensor. Com base nisso, a idéia foi utilizar o valor médio das

temperaturas das estrelas na faixa de magnitude visual de zero a cinco, que é onde o

sensor deve trabalhar.

Para chegar a essa média, utilizou-se um catálogo de estrelas Hipparcos (ESA, 1997)

que continha apenas estrelas até tal magnitude. Como o catálogo não traz informações

sobre as temperaturas das estrelas, calculou-se a temperatura efetiva aproximada de

cada uma delas usando-se o seu índice de cor Johnson B-V (ESA, 1997), usando as

equações:

10T 0,688V)1,376(B0,5150883,402 −+−

= para -0,375<(B-V)<-0,041324 (3.9)

10T 684,3551,14V)(B

−−−

= para (B-V)>= -0,041324 (3.10)

Estas equações foram adquiridas a partir das equações a seguir, apresentadas por Reed

(1998):

037,8)log(402,3)][log(344,0 2 +−=− TTVB para log(T)>=3,916 (3.11)

551,14)log(684,3 +−=− TVB para log(T)<3,916 (3.12)

82

Estas são equações empíricas da relação entre o índice de cor e a temperatura efetiva da

estrela.

A média que se obteve foi de aproximadamente 7500° K. Portanto, um corpo negro com

esta temperatura foi usado para representar a emitância espectral do objeto (Figura 3.8).

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,20,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 Emitância

E

λ(µm) FIGURA 3.8- Emitância espectral do corpo negro normalizada a temperatura de 7500°

K no intervalo de comprimento de onda de 0,3µm a 1,1µm.

Dado que a objetiva do sensor neste trabalho é simulada pelo ZEMAX, foi necessário

informá-lo acerca dos comprimentos de onda que influenciam no sistema óptico e seus

respectivos “pesos”.

Porém, o ZEMAX impõe um limite máximo de comprimentos de onda que podem ser

definidos. Mas o que se tem não são apenas alguns comprimentos de onda, mas sim um

intervalo com infinitos comprimentos de ondas. Então, para definir esses comprimentos

de onda e seus respectivos “peso” adotou-se o seguinte método:

O primeiro passo foi multiplicar os valores normalizados da influência da transmitância

do sistema óptico, da responsividade do detector e da emitância do corpo negro em cada

comprimento de onda. Nessa multiplicação deixou-se de fora os efeitos da transmitância

da objetiva, pois, como já foi dito, para o estudo em questão deve-se levar em conta a

transmitância de cada raio e não a transmitância média. Apesar de não ser usada para os

83

cálculos dos pesos dos comprimentos de onda definidos no ZEMAX, a transmitância da

objetiva também é levada em conta nas simulações, sendo calculada para cada raio

traçado pelo sistema como explicada na Seção 3.3.1.

A Figura 3.9 mostra a curva resultante da multiplicação da influência de cada

comprimento de onda no sistema.

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,20,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 Peso Normalizado

P

λ(µm) FIGURA 3.9- Gráfico normalizado da multiplicação entre os valores da transmitância

normalizada do filtro, da responsividade normalizada do detector e da emitância espectral normalizada do corpo negro.

O passo seguinte foi dividir o intervalo de comprimentos de onda de interesse

(0,375µm-1,125µm), em bandas de 0,05µm. Então calculou-se a área embaixo da curva

da Figura 3.9 para cada uma dessas bandas. O peso de cada uma delas foi definido

como sendo a porcentagem da área embaixo da curva da banda em relação à área total.

No ZEMAX inseriu-se apenas o comprimento de onda central de cada banda com o seu

“peso” correspondente (Tabela 3.1). Pesos que ficaram abaixo de 1% foram

desconsiderados e omitidos.

84

TABELA 3.1-Pesos da influência no sistema de cada uma das bandas para um objeto com temperatura de 7500°K.

Bandas em µm Peso

0,375-0,400-0,425 6,128393455

0,425-0,450-0,475 15,1583932

0,475-0,500-0,525 17,36663192

0,525-0,550-0,575 16,09224848

0,575-0,600-0,625 14,35041684

0,625-0,650-0,675 11,98687756

0,675-0,700-0,725 8,398849672

0,725-0,750-0,775 5,286067133

0,775-0,800-0,825 3,006711845

0,825-0,850-0,875 1,400106561

3.2.2 – O Detector

Ainda não se decidiu qual detector qualificado será usado no sensor. Apesar disso, sabe-

se que será um detector tipo APS que deve ser semelhante ao detector que está sendo

usado no protótipo. Desta forma, algumas características utilizadas nas simulações

foram extraídas deste detector: número de “pixels” (1024x1024), tamanho de cada

“pixel” (10µm), características de responsividade (Figura 3.7), não uniformidade,

conversão elétrons/volts, “fill factor”, etc.

O detector usado no protótipo é um detector comercial APS da Photobit modelo PB-

1024.

85

Na Figura abaixo, pode-se ver em escala o tamanho das imagens simuladas geradas pelo

sistema óptico adotado para os estudos deste trabalho em relação ao tamanho dos pixels

do detector adotado. As diferentes cores representam os diferentes comprimentos de

onda que foram inseridos no ZEMAX. A imagem simulada (a) é referente a um ponto

objeto localizado no eixo óptico, enquanto a (b) e a (c) são para objetos pontuais

colocados respectivamente a 5° e a 10° em relação ao eixo ótico.

FIGURA 3.10- Tamanho das imagens simuladas em relação aos pixel do detector, para diferentes regiões do CDV, (a) no eixo óptico, (b) a 5° e (c) a 10° em relação ao eixo óptico.

Apesar do tamanho das imagens simuladas serem bem maiores que um pixel, quando

elas são centralizadas em um deles a energia contida nele é, no pior dos casos, igual a

51% da energia total da imagem.

140µm 10µm

10µm

Dimensão dos pixels

(a) (b)

(c) Legenda dos comprimentos de onda (µm)

86

3.3 – Estudo dos Erros Sistemáticos

Os erros sistemáticos estudados foram divididos em duas classes: os erros de

interpolação e os erros de distorção. O primeiro é influenciado pelo formato do “spot”,

(resultado das aberrações ópticas que sofre o sistema), pelo algoritmo do centróide e

pela discretização do plano focal. Já o segundo é apenas influenciado pela distorção

óptica do sistema. Apesar da distorção também ser um tipo de aberração, ela não

influencia no formato do “spot”, por este motivo pode-se tratá- la separadamente.

Para se fazer os estudos dos erros sistemáticos por meio de simulação, foram usados

dois programas: o ZEMAX e o MATLAB. Em cada um deles foram desenvolvidas duas

rotinas para tal intuito. Uma para estudar os ESI, e outra para os ESD.

Para os estudos dos erros de interpolação o ZEMAX foi usado para gerar a imagem

simulada de uma estrela, ou seja, fazendo o papel da objetiva, enquanto no MATLAB

foi desenvolvida uma rotina que lê as imagens geradas pelo ZEMAX e faz o

processamento dos dados contidos na mesma, ou seja, fazendo o papel tanto do detector

formado de “pixels”, quanto da CPU do sensor, que analisa os dados coletados e faz o

cálculo da posição da estrela nas coordenadas do detector. Além disso, o MATLAB

também foi usado como ferramenta para fazer alguns cálculos e gerar alguns gráficos

desses erros.

Em relação aos estudos dos erros de distorção, o ZEMAX foi usado para extrair dados

do sistema óptico, enquanto o MATLAB foi usado para lê- los seqüencialmente,

armazená- los e gerar o gráfico, tornando assim possível a análise dos resultados.

3.3.1 – Rotina Desenvolvida no ZEMAX, para Estudo dos ESI

A rotina feita no ZEMAX tomou como base a sua linguagem de programação chamada

ZPL (Veja 0 Seção A.7). O que essa rotina faz é traçar raios provenientes de um ponto

objeto através do sistema óptico que estiver carregado no ZEMAX no momento de sua

execução. Isso é feito para objetos localizados em várias regiões do CDV do sistema.

Desta forma, pode-se simular a imagem do ponto objeto que se encontra em tal direção.

87

Os raios são traçados um a um passando pela pupila de entrada em círculos concêntricos

de forma recipolar (Cox, A., 1964), de modo que a razão do número de raios pelo

comprimento do círculo permaneça sempre constante. Isso é feito para cada

comprimento de onda que está definido no sistema óptico carregado.

A forma recipolar (Figura 3.11) de distribuição de raios na pupila de entrada é usada

para que os raios preencham toda a pupila, de modo que se tenha uma densidade

constante de raios, e para que não haja simetria. A simetria é quebrada, pois o valor

inicial de θ é diferente em cada círculo e segue a seguinte lei (Cox, A., 1964):

θ0=7.5.nda+15 (3.13)

Onde nda é o número do círculo.

FIGURA 3.11- Forma recipolar da distribuição dos raios na pupila de entrada de um

sistema óptico. Neste caso definiu-se um total de 10 círculos concêntricos.

Para cada ponto do CDV que os raios são traçados, a rotina salva os dados em um

arquivo de extensão txt. Nesse arquivo se encontram em forma de coluna os valores xr’

e yr’, que são as coordenadas cartesianas de interseção de cada um dos raios com o

plano imagem X’Y’. Na última linha dessas colunas também se encontram xpr’ e ypr’

que são as coordenadas cartesianas da interseção com o plano imagem do raio principal

do comprimento de onda definido como primário. Esse raio é traçado para servir de

comparação, pois essas coordenadas são as que o algoritmo de interpolação, através dos

θ

88

seus cálculos, deveria fornecer se não houvesse erro algum de interpolação.

Inicialmente as posições de xpr’ e ypr’ nos arquivos txt dos dados eram ocupadas pelos

valores de x0’ e y0’ paraxial (que teoricamente é a posição onde todos os raios provindos

de um ponto objeto atingiriam o plano imagem X’Y’ se não houvesse nenhum tipo de

aberração) calculados a partir das equações:

)tan('0 αfx = (3.14)

)tan('0 βfy = (3.15)

Onde “f” é distância focal efetiva da objetiva, e α e β são respectivamente os ângulos

entre o eixo Z e as projeções da reta que vai do ponto objeto ao eixo óptico (eixo Z) na

posição em que se encontra a pupila de entrada nos planos XeZ e YeZ (Figura 3.12).

FIGURA 3.12- Os ângulos α e β no sistema adotado.

Porém, quando se comparava o valor do centróide calculado com esses valores, o que se

obtinha era um erro da posição do ponto imagem (nesse caso a estrela) influenciada

tanto pelos erros de interpolação quanto pela distorção. O que se fez foi tratar esses

erros separadamente como já foi dito. Isso é teoricamente legítimo, pois a distorção,

como visto no Capítulo 2 através das Equações 2.10 e 2.22, apenas influencia na

β

α

Pupila de entrada

Ye

Xe X’

x0’y0’

Y’

Ponto objeto

Eixo óptico(Z)

Plano focal Raio Principal

89

posição do “spot” e não no seu formato, ou seja, apenas influencia na posição do raio

principal e não na posição relativa dos outros raios em relação ao raio principal.

Além das colunas contendo as coordenadas cartesianas de interseção de cada raio com o

plano imagem, em cada arquivo gerado pela rotina existe ainda uma terceira coluna

onde são salvos os “pesos” de cada raio, que indicam a influência de cada um deles no

sistema. Esses valores são relativos, variam de zero a um, e são calculados pela

multiplicação do “peso” normalizado do comprimento de onda do raio em questão

definido no ZEMAX (Seção 3.2.1.2), pela transmitância calculada dentro da rotina ZLP

que esse tem através da objetiva. Por este motivo é que nos cálculos dos “pesos”

mostrados na Seção 3.2.1.2, não se levou em conta a transmitância da objetiva.

Como comentado no primeiro Capítulo, os estudos são feitos apenas em um quadrante

do detector e ao longo de apenas um dos eixos devido à simetria existente. Porém,

como foi visto no Capítulo 2, a distribuição de energia no plano focal referente a uma

estrela varia com a distância dela ao eixo óptico, e também como se pode ver em alguns

trabalhos (Alexander, 1991; Birnbaum, 1996; Cox, J., 1981; Goss, 1975; Hancock et al.,

2001; Magnani, Pieri e Romoli, 1992; Rufino e Accardo, 2003; Salomon e Glavich,

1980) o erro de interpolação, devido a uma dada distribuição de energia da imagem de

uma estrela, varia com a posição relativa dela ao longo de um “pixel”. Com isso, deve-

se gerar imagens em várias regiões desse quadrante e ainda que ocupe várias posições

dentro de cada “pixel”.

Portanto, a princípio, para estudar os erros no quadrante em questão ao longo do eixo

X’, pensou-se em gerar imagens simuladas ao longo de todas as linhas do detector com

várias amostragens em cada um dos “pixel”. Contudo, com isso ter-se- ia um processo

computacional inviável para geração dessas imagens, pois a linguagem ZPL é uma

linguagem do tipo macro, ou seja, interpretada, tornando-a assim muito lenta.

Foi possível reduzir drasticamente o processo computacional, baseando-se nos seguintes

aspectos:

90

1) Sabe-se que o formato do “spot” muda ao longo do CDV, porém, se pegarmos

uma região muito pequena, o “spot” tende a variar pouquíssimo dentro dessa

região. Então, para dois ou três “pixels” adjacentes, o formato do “spot” ou a

distribuição de energia na imagem de um ponto objeto são praticamente os

mesmos. Com isso, não é necessário gerar várias imagens simuladas dentro de

cada “pixel”, o que se pode fazer é gerar uma e depois deslocá- la ao longo do

“pixel” ou “pixels” adjacentes.

2) Pela mesma razão, não se faz necessário gerar imagens simuladas ao longo de

toda linha, e muito menos ao longo de todas as linhas. O que se pode fazer é

estudar os ESI em algumas regiões do CDV. Desta forma pode-se ver como

esses erros se comportam em cada uma dessas regiões, e também como eles

evoluem ao longo do CDV.

Pensando desta forma o que se fez foi dividir o CDV em regiões, onde, para cada uma

delas, gerou-se uma imagem simulada. Essa, por sua vez, é deslocada ao longo de

alguns “pixels” adjacentes quando lida pela rotina em MATLAB.

A princípio essa rotina, que gera imagens simuladas de estrelas ou pontos objetos,

funciona para qualquer sistema óptico modelado no ZEMAX que não sofra de

“vignetting”. É claro que, para cada estudo em particular, o usuário talvez tenha que

modificar alguns parâmetros. Por exemplo: o número de amostragens no CDV, o

número de círculos de raios traçados na distribuição recipolar, entre outros.

Para este caso específico, dividiu-se o primeiro quadrante do campo de visada em 12x12

partes (12 ao longo do eixo X’e 12 ao longo do eixo Y’), onde, para cada uma delas, foi

gerada uma imagem simulada, dando um total de 144 imagens. Essas foram geradas

traçando-se 40 círculos na distribuição recipolar para cada comprimento de onda

definido no arquivo do ZEMAX do sistema óptico usado. Esse número foi escolhido

com base em um pequeno estudo de amostragem feito, onde se observou por meio de

um gráfico a mudança dos ESI quando se variava o número de círculos na distribuição

recipolar. Variou-se o número desses de 20 a 70 com um passo de 10. Analisando a

91

variação do gráfico, e o tempo que o computador demora a gerar a imagem simulada,

chegou-se à conclusão que 40 círculos seria um número razoável.

Essa rotina encontra-se na forma de texto no APÊNDICE B Seção B.1, exatamente da

forma que foi usada para este estudo.

3.3.2 – Rotina Desenvolvida no MATLAB para Estudo dos ESI

O que a rotina em MATLAB faz é ler cada um dos arquivos txt gerados pela rotina do

ZEMAX, alocando os valores numéricos desse em uma matriz com três colunas (xr’, yr’,

“peso”), que recebe o nome de Matriz da Posição de Interseção dos Raios (MPIR).

Em seguida, ela cria uma matriz chamada Matriz Detector Virtual (MDV) com o

mesmo número de elementos (linhas e colunas, que neste caso é de 1024 por 1024) que

teria o detector, a fim de fazer o seu papel.

A partir daí, faz a leitura da primeira até a penúltima linha da MPIR localizando, através

de uma sub-rotina lógica, qual o endereço (linha e coluna do “pixel”) da MDV que cada

raio atinge, somando o valor do seu “peso” ao elemento em questão.

Depois de distribuir todos os raios pela MDV, o passo seguinte é achar o endereço do

elemento dessa matriz que tenha o maior valor, ou seja, no qual caiu a maior parte da

energia proveniente do ponto objeto. Esse elemento será o centro da sub-matriz usada

para o cálculo do centróide. O valor que é usado como sinal de cada “pixel”, para tal

cálculo, é justamente a soma dos valores dos “pesos” de cada raio que o atingiu.

Os valores do centróide calculados tanto no eixo X’, chamados de xc’, como em Y’,

chamados de yc’, para essa posição do “spot”, são guardados cada um em matrizes

chamadas respectivamente de: Matriz dos Centróides Calculados em X (MCCX) e

Matriz dos Centróides Calculados em Y (MCCY), onde o número da linha e o número

da coluna são respectivamente o número da medida ao longo do eixo X’ e o número da

medida ao longo do eixo Y’. Os valores da última linha da matriz MPIR, que são os

valores xpr’ ypr’ da interseção do raio principal com o plano focal, também são

guardados em matrizes semelhantes a MCCX e MCCY, que recebem o nome de Matriz

92

dos Centróides Teóricos em X (MCTX) e Matriz dos Centróides Teóricos em Y

(MCTY).

Em seguida, esse mesmo “spot” é deslocado na direção de X’ para uma nova posição.

Isso é feito somando-se a cada elemento da primeira coluna da MPIR um certo valor

que é fração de “pixel” (no nosso caso é de um vigésimo de “pixel”). Desta forma, o

“spot” se desloca ao longo do eixo X’, sem que seu formato mude. Nessa nova posição,

os centróides (xc’e yc’) são novamente calculados, e assim como os novos valores de

xpr’ ypr’ eles são armazenados nas matrizes destinadas a isso. Repete-se o processo até

que o “spot” tenha percorrido alguns “pixels” (no nosso caso três).

No passo seguinte, a rotina lê o próximo arquivo txt que foi gerado pelo ZEMAX e

repete o procedimento anterior descrito, até que todos esse arquivos txt tenham sido

lidos.

Essa rotina, a princípio, funciona para arquivos txt gerados pela rotina do ZEMAX para

qualquer sistema óptico. É claro que, dependendo do estudo, alguns parâmetros do

algoritmo precisam ser modificados, por exemplo: o nome dos arquivos txt a serem

lidos, o tamanho do “pixel”, o número de “pixels” que possui o detector, o passo do

deslocamento da imagem da estrela dentro do “pixel”, o deslocamento total de cada

“spot”, entre outros.

Este algoritmo se encontra no APÊNDICE C Seção C.1 exatamente do modo que foi

usado para fazer estes estudos.

3.3.3 – Aplicação das Rotinas para o Estudo dos Erros ESI

O que se fez primeiramente foi executar a rotina desenvolvida no ZEMAX para o

projeto óptico usado para este estudo. Desta forma, as imagens simuladas foram geradas

para o sistema em várias regiões do CDV (um total de 144) referentes ao seu primeiro

quadrante. Em seguida, usou-se a rotina desenvolvida no MATLAB para ler cada

imagem simulada e executar todo o procedimento já explicado anteriormente.

93

Em seguida, para analisar os erros, gerou-se um gráfico de xc’ pelo respectivo valor do

ESI ao longo do eixo X’ definido como (xc’- xpr’). Tal gráfico se encontra na Figura

3.13; este nos fornece justamente os ESI dados em valores de “pixels”, ao longo do eixo

X’, para doze posições no eixo Y’ espaçadas igualmente ao longo do primeiro

quadrante. Observando a Figura 3.13 pode-se ter uma noção da variação da amplitude

do erro sistemático de interpolação ao longo da posições da estrela no CDV do sensor.

0 80 160 240 320 400 480

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

ypr' = 240

ypr' = 280

ypr' = 320 ypr' = 360 ypr' = 400 ypr' = 440

ypr' = 0

ypr' = 40

ypr' = 80 ypr' = 120 ypr' = 160 ypr' = 200

ESI

(pix

els)

x'c(pixels) FIGURA 3.13- Gráfico dos ESI ao longo do eixo X’ para várias regiões do CDV do

primeiro quadrante. Cada cor de linha representa uma posição fixa em relação ao eixo Y’.

Por meio das Figuras 3.14 3.15 e 3.16, que mostram, respectivamente, os erros

sistemáticos nas posições de X’ próximo ao eixo óptico, próximo ao centro do CDV do

primeiro quadrante, e na borda do CDV do primeiro quadrante, pode-se visualizar a

periodicidade da variação intra “pixel” do erro que ocorre para “pixels” vizinhos ou

muito próximos um dos outros. Contudo, ao comparar estas Figuras pode-se ver sua

variação na forma e amplitude ao longo do CDV.

94

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

-0,1

0,0

0,1

ypr'= 240 ypr'= 280 ypr'= 320 ypr'= 360 ypr'= 400 ypr'= 440

ypr'= 0 ypr'= 40 ypr'= 80 ypr'= 120 ypr'= 160 ypr'= 200

ESI (

pixe

ls)

x'c(pixels) FIGURA 3.14- Vista aproximada da Figura 3.13 para a região de X’ próximo de zero.

Através desta, pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”.

239,0 239,5 240,0 240,5 241,0 241,5

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45 ypr'= 240 ypr'= 280 ypr'= 320 ypr'= 360 ypr'= 400 ypr'= 440

ypr'= 0 ypr'= 40 ypr'= 80 ypr'= 120 ypr'= 160 ypr'= 200

ESI

(pix

els)

x'c(pixels) FIGURA 3.15- Aproximação da Figura 3.13 para a região de X’ próximo a metade do

CDV do primeiro quadrante. Através desta, pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”.

95

437,0 437,5 438,0 438,5 439,0 439,5

0,3

0,4

0,5

0,6 ypr'= 240 ypr'= 280 ypr'= 320 ypr'= 360 ypr'= 400 ypr'= 440

ypr'= 0 ypr'= 40 ypr'= 80 ypr'= 120 ypr'= 160 ypr'= 200

ESI (

pixe

ls)

x'c(pixels) FIGURA 3.16- Aproximação da Figura 3.13 para a região de X’ próximo do final do

CDV do primeiro quadrante. Através desta, pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”.

Fazendo-se algumas análises dos erros com a ajuda do MATLAB, constatou-se que o

módulo máximo do erro que se obteve para o sistema usado aqui é de 0,6203 “pixels” e

o RMS (valor quadrático médio) dos erros é de 0,3137 “pixels”.

3.3.4 – Rotina Desenvolvida no ZEMAX, para Estudo dos ESD

Como comentado anteriormente, separaram-se os erros sistemáticos estudados neste

trabalho em duas classes: os erros de interpolação e os erros de distorção. Nas seções

anteriores discutiu-se sobre o método de estudo dos erros de interpolação, agora

discutir-se-á a respeito dos erros de distorção.

A distorção de um sistema óptico é definida como sendo a diferença entre a altura

paraxial da imagem e a altura verdadeira da imagem (Smith, 1966), assim como mostra

a Equação 3.16

'' HHDistorção p −= (3.16)

96

Onde H’p é a altura paraxial, e H’ é altura do raio principal do comprimento de onda

definido como primário. H’p para sistemas ópticos simétricos é dado por:

)''(' 20

20 yxH p += (3.17)

Onde x0’ e y0’ são dados respectivamente pelas Equações 3.14 e 3.15.

Para extrair os dados da distorção do sistema foi desenvolvida uma rotina em ZPL para

o ZEMAX que traça apenas o raio principal do comprimento de onda definido como o

primário para várias regiões do CDV ao longo apenas do eixo X’, mantendo y’ igual a

zero. Com isso, conseguem-se diferentes valores de H’p variando apenas o valor de x0’,

tornando assim o algoritmo mais simples do que se tivesse que variar x0’ e y0’.

Cada vez que esse raio principal é traçado, é calculada a posição paraxial que ele

atingiria no plano focal através da Equação 3.8. Para cada região do CDV que isto é

feito, é criado um arquivo txt com esses dois valores, o de H’p e o de H’. Esta rotina se

encontra no Apêndice B Seção B.2 exatamente do modo que foi utilizada.

3.3.5 – Rotina Desenvolvida no MATLAB, para Estudo dos ESD

A rotina em MATLAB criada para tal estudo, simplesmente, lê cada um dos arquivos txt

criados pela rotina do ZEMAX descrita anteriormente e transforma os valores de H’p e

de H’ em unidade de “pixels”, guardando-os em vetores respectivamente chamados de

Hp e Hr (a rotina se encontra na Seção C.2 do Apêndice C). Assim, torna-se possível

gerar no próprio MATLAB um gráfico de Hr por Hp-Hr, a fim de se analisar os ESD

definido como sendo: ESD=( H’p-H’).

3.3.6 – Aplicação das Rotinas para o Estudo dos ESD.

Geram-se os dados suficientes para o estudo dos ESD executando a rotina desenvolvida

em ZPL, comentada na Seção 3.3.4, quando o arquivo do sistema óptico usado nos

estudos deste trabalho se encontra aberto no ZEMAX.

97

Em seguida, executa-se a rotina do MATLAB, comentada na Seção 3.3.5. Através das

ferramentas disponíveis no MATLAB, é possível gerar o gráfico de Hr por Hp-Hr, que é

justamente a distorção em função da altura da imagem.

A Figura 3.17 mostra o gráfico de Hr por Hp-Hr para o sistema óptico usado nos

estudos deste trabalho. Pode-se perceber que, para essa objetiva, os erros sistemáticos

devido ao fenômeno de distorção, podem alcançar 2,91 “pixels”.

0 100 200 300 400 500 600 7000,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0 Distorção

Dis

torç

ão (p

ixel

s)

H' (pixels) FIGURA 3.17- Gráfico de H’ versus ESD, que é justamente a distorção em função da

altura da imagem. As unidades do gráfico estão em “pixel” (1”pixel”=10µm).

3.4 – Modelamento e Correção dos ESI e dos ESD

Como visto na Seção 3.3, os erros sistemáticos tanto de distorção quanto de

interpolação podem ser muito maiores do que a precisão que se deseja para o sensor. É

claro que tais erros dependem plenamente do sistema óptico e da geometria do detector

usados no sensor. A princípio, essa objetiva, por mais que respeite razoavelmente os

requisitos impostos na Seção 3.2.1, não serviria para o sensor, pois a precisão de

apontamento que se deseja para o sensor desenvolvido pelo INPE é menor que um

décimo de “pixel”. Por outro lado, modelando os erros tanto de distorção quanto de

98

interpolação, é possível tentar reduzi- los, por meio de uma função correção, de tal modo

a atender a precisão que se deseja.

Nesta Seção propõe-se um método de correção para cada erro sistemático estudado

neste trabalho. Em tese, estes métodos são válidos para qualquer sistema similar ao que

está sendo usado, ou seja, que tenha uma objetiva onde o plano focal é um detector

formado por “pixels”.

3.4.1 – Modelamento dos ESI

Olhando para as Figuras 3.14, 3.15 e 3.16 pode-se ver, como comentado anteriormente,

que os erros de interpolação em um eixo (X’ou Y’) são periódicos ao longo de “pixels”

vizinhos. Em Física, fenômenos com comportamento periódico são bem modelados por

séries de Fourier. Rufino e Accardo (2003), apesar de usarem em seu trabalho uma PSF

teórica para representar a distribuição de energia no plano focal proveniente de uma

estrela, também afirmam que os erros sistemáticos de interpolação podem ser

modelados por uma série infinita. Com isso, optou-se por modelar os erros sistemáticos

de interpolação por uma série de Fourier.

Por outro lado, também pode-se ver comparando as Figuras 3.14, 3.15 e 3.16 entre si

que o formato das curvas dos erros, por mais que seja periódica para “pixels” vizinhos,

muda para cada região do CDV. Como conseqüência os coeficientes da série de Fourier

não são modelados como constantes, mas sim como funções de xc’ e yc’.

A série de Fourier pode ser definida como uma expansão ou representação de uma

função em senos e co-senos como (Arfken e Weber, 1995):

]sencos[2

)(1

0

Lxn

Lxn

xf baan

nn

ππ++= ∑

∞

=

(3.18)

onde:

dxL

xnxf

LL

Lna ∫−=

πcos)(

1 (3.19)

99

dxL

xnxf

LL

Lnb ∫−=

πsen)(

1 (3.20)

Neste caso em específico, como os coeficientes da série não são constantes e sim

funções de xc’ e yc’, e, além disso, deve-se ter uma função correção dos erros

sistemáticos de interpolação para cada eixo, então:

]'

sen)','(

'cos)','([

2

)','()','(

'

1'

0''

Lxn

yx

Lxn

yxyx

yxf

cccnx

c

nccnx

ccxccx

b

aa

π

π++= ∑

∞

= (3.21)

]'

sen)','(

'cos)','([

2

)','()','(

'

1'

0''

Lyn

yx

Lyn

yxyx

yxf

cccny

c

nccny

ccyccy

b

aa

π

π++= ∑

∞

= (3.22)

onde:

')'(

cos)',''(1

)','( ''dx

Lxn

yxxfL

yxL

L ccxccnxa ∫−+=

π (3.23)

')'(

sen)',''(1

)','( ''dx

Lxn

yxxfL

yxL

L ccxccnxb ∫−+=

π (3.24)

')'(

cos)'','(1

)','( ''dy

Lyn

yyxfL

yxL

L ccyccnya ∫− +=π

(3.25)

')'(

sen)'','(1

)','( ''dy

Lyn

yyxfL

yxL

L ccyccnyb ∫− +=π

(3.26)

por simetria tem-se que:

),(),(''

pqqp aa nynx=

),(),(''

pqqp bb nynx=

100

),(),(''

qpqp aa nEnE−=

),(),(''

qpqp aa nEnE−=

),(),(''

qpqp aa nEnE−−=

),(),(''

qpqp bb nEnE−=

),(),(''

qpqp bb nEnE−=

),(),(''

qpqp bb nEnE−−=

onde:

E’=x’ ou E’=y’

Apoiando-se nesta teoria, pode-se modelar os erros sistemáticos de interpolação a fim

de corrigi- los.

3.4.1.1 – Rotina Desenvolvida em MATLAB para Cálculo dos Coeficientes da Série

de Fourier

Tendo em vista a teoria discutida na Seção anterior, desenvolveu-se uma rotina em

MATLAB para calcular os coeficientes da série de Fourier da função )','(' ccx yxf ao

longo do eixo X’ em diferentes regiões do CDV do primeiro quadrante, exatamente nas

mesmas onde se fez os estudos dos erros sistemáticos de interpolação (Figura 3.13).

Para calcular os coeficientes da série, como não se tinha a função )','(' ccx yxf (que é

justamente o que se deseja obter), e sim apenas os valores dessa para alguns pontos

dentro de cada uma das regiões onde se estudou os erros sistemáticos de interpolação, o

que se fez foi usar a seguinte relação do cálculo (Guidorizzi, 1997):

∫∫∫∫∫ ++++=−−

L

pn

p

p

p

p

p

L

L

Ldxxgdxxgdxxgdxxgdxxg ')'(...')'(')'(')'(')'(

3

2

2

1

1 (3.27)

101

onde p1,p2,p3...pn ∈ ]-L,L[

fazendo:

Lxn

yxxfxg ccx)'(

cos)',''()'( 'π

+= ou

Lxn

yxxfxg ccx)'(

sen)',''()'( 'π

+=

Com isso, criou-se uma rotina em MATLAB que para cada dois pontos consecutivos

encontra a equação de reta que passa por eles e assume essa como sendo a

função )','(' ccx yxf dentro do intervalo entre esses pontos. Então, integra nesse intervalo

ao longo de X’, o produto dessa Equação pela Equação )/'cos( Lxnπ e pela Equação

)/'sen( Lxnπ , onde no nosso caso pixel21

=L . Repete esse procedimento em todo o

intervalo que vai de –L a L (ou seja dentro de um “pixel”). Então, por meio da relação

3.27, obtêm-se os coeficientes da série de Fourier de )','(' ccx yxf para uma dada região

do CDV. Desta forma, a rotina calcula esses coeficientes para os erros sistemáticos de

interpolação em cada uma das regiões do primeiro quadrante do CDV onde eles foram

estudados, e os guarda em uma variável do MATLAB.

Usando as relações de simetria apresentadas na Seção 3.4.1, pode-se afirmar que tendo-

se os coeficientes da série de Fourier de )','(' ccx yxf para algumas regiões ao longo do

primeiro quadrante do CDV, então, possui-se também os coeficientes dessa série para

algumas regiões ao longo de todo o CDV. E ainda, que tendo-se os coeficientes de

)','(' ccx yxf , obtém-se também os coeficientes de )','(' ccy yxf para algumas regiões ao

longo de todo o CDV.

Não se pode usar “Fast Fourier Transform” (FFT) para se calcular os coeficientes da

série, pois os pontos do gráfico não são igualmente espaçados na abscissa, que é

justamente o eixo dos centróides calculados (Figuras 3.13,3.14, 3.15 e 3.16).

102

A rotina desenvolvida em MATLAB que calcula os coeficientes da forma explicada

nesta Seção, encontra-se na Seção C.3 do Apêndice C, exatamente da forma que se usou

neste trabalho.

3.4.1.2 – Modelamento da Variação dos Coeficientes ao Longo do CDV

Depois de se obter o conjunto de coeficientes da série de Fourier tanto para )','(' ccx yxf

e, como conseqüência, para )','(' ccy yxf em várias regiões do primeiro quadrante do

CDV, o passo seguinte foi gerar gráficos da variação de cada coeficiente com respeito a

xc’ e a yc’. Isso foi feito com o objetivo de se tentar achar uma função para cada um

deles dependentes de xc’ e yc’ a fim de se modelar a sua variação ao longo do CDV.

Para isso, o que se fez para cada um desses gráficos foi tentar ajustar curvas aos dados

com o auxílio do programa Origin 5.0. Testou-se ajustes usando-se de polinômios de

primeira a nona ordem, dentre outros tipos de funções. Porém, percebeu-se que para este

caso em específico a variação desses coeficientes, tanto ao longo de X’ quanto ao longo

de Y’, não foram descritos satisfatoriamente por nenhum tipo de função testada.

Descartou-se com conseguinte a possibilidade de achar uma função analítica que

descrevesse tal fenômeno satisfatoriamente, e se partiu para outro método.

Ao invés de se usar uma função analítica para o cálculo dos valores dos coeficientes

para qualquer posição do CDV, procurou-se estimá-las por meio de uma interpolação

linear em duas dimensões, usando para tanto os coeficientes encontrados da forma

descrita na Seção 3.4.1.1 como dados de entrada. Pensando desta forma, desenvolveu-se

uma rotina em MATLAB que faz tal interpolação linear em duas dimensões e calcula o

valor das funções )','(' ccx yxf e )','(' ccy yxf para qualquer local do CDV, e corrige a

posição interpolada da estrela da seguinte forma:

)','('' ' ccxcceric yxfxx += (3.28)

)','('' ' ccxcceric yxfyy += (3.29)

Onde x’ceric e y’ceric são as coordenadas da estrela com o ESI corrigido

103

Em tese, através do método proposto torna-se possível achar a posição da estrela no

plano focal com os erros de interpolação reduzidos.

Testou-se este método de correção em várias regiões ao longo do primeiro quadrante do

CDV. Os dados usados para aplicar o método foram adquiridos da mesma forma que os

dados usados para os estudos dos erros sistemáticos de interpolação (a rotina MATLAB

aplicada para gerar os dados nesses testes se encontra no Apêndice B Seção B.3), porém

com a diferença que as imagens simuladas das estrelas foram geradas exatamente entre

as regiões onde elas haviam sido geradas para os estudos dos ESI e cálculo dos

coeficientes das funções )','(' ccx yxf e )','(' ccy yxf (a rotina ZPL aplicada para gerar

imagem simulada das estrelas nesses testes se encontra no Apêndice B Seção B.3).

Assim, a princípio, por estar o mais longe possível das regiões nas quais esses

coeficientes foram calculados, acredita-se que o método foi testado nas posições mais

adversas possíveis.

Os dados, em cada região onde o método foi testado, foram adquiridos ao longo de três

“pixels” adjacentes com vinte amostras dentro de cada um deles.

O método de correção dos erros sistemáticos de interpolação foi testado com diferentes

números de coeficientes (de um a dezenove) das séries de Fourier que compõem as

funções )','(' ccx yxf e )','(' ccy yxf (para o teste do método utilizou-se a rotina do

MATLAB que se encontra na Seção C.5). Os resultados foram avaliados com base no

valor 3σ do ESI residual que se obtêm ao aplicar a correção com um determinado

número de coeficientes, onde σ é definido como:

n

ESIn

ii∑

== 1

2)(σ (3.30)

“n” é o número de pontos no primeiro quadrante onde o método de correção foi testado.

Logo abaixo, na Figura 3.18, pode-se ver o resultado do teste.

104

0 5 10 15 20

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

3σ E

SI (p

ixel

s)

No de coeficientes FIGURA 3.18- Gráfico do números de coeficientes usados para correção dos ESI versus

o seu valor 3σ residual que se obtém aplicando tais coeficientes.

Pode-se perceber pelo gráfico da Figura 3.18 que a partir de três coeficientes já se

obtém a precisão que se deseja, que é de um décimo de “pixel” (0,1 “pixel”), e a partir

de sete coeficientes o erro cai lentamente com o acréscimo de mais coeficientes.

3.4.2 – Modelamento dos ESD

A partir do gráfico mostrado na Figura 3.17 pode-se perceber que a curva de distorção é

bem suave e comportada, com isso, assumiu-se a possibilidade de modelá- la por meio

de um polinômio. A Figura 3.19 mostra o gráfico da distorção em função de H’,

juntamente com as curvas de polinômios de segunda, terceira, quarta e quinta ordem

ajustadas com o auxilio do MATLAB para tentar descrever o fenômeno. Na parte

inferior desta pode-se ver outro gráfico que mostra os ESD residuais resultante do ajuste

de cada polinômio.

105

FIGURA 3.19- Na parte superior está a distorção em função de H’ e curvas dadas por

polinômios ajustados para tentar descrever o fenômeno. Na parte inferior está um gráfico do ESD residual em função de H’ para cada polinômio ajustado.

Com os resultados obtidos através dos gráficos da Figura 3.19, chegou-se à conclusão

que é possível modelar os erros de distorção por polinômios, conseqüentemente, a

correção dos erros pode ser feita aplicando-se a seguinte seqüência de cálculos:

O primeiro passo é calcular H’ da seguinte forma:

22''' prpr yxH += (3.31)

106

Em seguida, aplica-se a correção em H’, obtendo como resultado H’p que é a altura da

imagem com a distorção corrigida.

∑=

+=g

i

iip HPHH

0

''' (3.32)

onde ∑=

g

i

iiHP

0

' é o polinômio de grau “g” usado para a correção.

Por fim, deve-se calcular os valores de x0’ e y0’ a partir de H’p, que já são as

coordenadas com a distorção corrigida.

'

''

'

'arctancos''0 H

xH

x

yHx pr

ppr

prp =

= (3.33)

'

''

'

'arctansen''0 H

yH

x

yHy pr

ppr

prp =

= (3.34)

Logo a seguir, na Figura 3.20, pode-se ver o resultado da correção dos ESD por meio de

polinômios de diferentes graus. O resultado é mostrado por meio do valor 3σ do ESD

residual que se obtém para os diferentes graus de polinômio. O valor σ para este caso é

definido como mostra a Equação 3.35, onde “n” é o número de pontos onde o método

de correção foi testado.

n

ESDn

ii∑

== 1

2)(σ (3.35)

Ao observar as Figuras 3.19 e 3.20 pode-se perceber que, a partir do polinômio de grau

quatro consegue-se um valor 3σ do ESD residual menor que um décimo de “pixel”, e a

partir do polinômio de grau cinco esse valor permanece praticamente constante por

volta de 0,0124 “pixels”. Estes baixos valores mostram que o método funciona bem.

107

0 2 4 6 8 10

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3σ E

SD (p

ixel

s)

Grau do Polinômio FIGURA 3.20- Gráfico do grau do polinômio usado para corrigir os ESD versus o valor

3σ do erro residual que se obtém.

Na prática, não se tem acesso aos valores xpr e ypr, os quais são valores de entrada das

Equações 3.31, 3.33 e 3.34 que fazem parte do procedimento do método de correção,

mas sim apenas aos x’c e y’c ou x’cesic e y’cesic; estes últimos são os mais próximos de xpr

e ypr. Assim, antes de se aplicar o método de correção dos ESD, é necessário que já se

tenha aplicado o método de correção dos ESI, para que se obtenha um melhor resultado.

Mesmo assim, como ainda há um erro residual nos valores de x’cesic e y’cesic em relação

aos valores xpr e ypr, pode-se concluir que os resultados da correção dos ESD são

dependentes do resultado da correção dos ESI.

Desta forma, os resultados apresentados na Figura 3.20 são válidos apenas quando se

está livre de qualquer erro de interpolação. Por outro lado, como pode-se perceber na

Figura 3.17, os erros de distorção são bem suaves, sendo praticamente iguais dentro do

intervalo de um “pixel”, o que já é maior que o valor 3σ do ESI sem nenhuma correção.

Portanto, o método de correção dos ESD para este sistema deve degradar pouco com os

erros residuais da correção dos ESI.

108

109

CAPÍTULO 4

TESTES E RESULTADOS

No Capítulo anterior, em resumo, foram apresentadas as metodologias dos estudos dos

erros sistemáticos de interpolação e de distorção óptica, e também as metodologias

propostas para se tentar corrigi- los. Alguns resultados da aplicação dessas últimas

metodologias foram apresentados para um caso particular. O que se faz neste Capítulo é

testar a metodologia apresentada para correção dos erros sistemáticos estudados neste

trabalho, em diferentes situações, e verificar como esses métodos de correção se

comportam. É claro que os resultados apresentados só são válidos para o sistema em

questão. Para cada projeto diferente devem ser feitos os mesmos testes mostrados aqui

de modo a avaliar o comportamento dos métodos de correção. O intuito do Capítulo é

mostrar alguns testes relevantes que devem ser feitos e como podem ser feitos, quando

se utilizar os métodos de correção propostos no Capítulo anterior. Além disso, pretende-

se mostrar os resultados de tais testes para o sistema adotado como exemplo, desta

forma verificando quais são os efeitos e degradações que podem ocorrem em diferentes

situações, e validando ou não o uso das metodologias de correção para o sistema em

questão.

Os testes realizados estão divididos em seções. Na Seção 4.1, verifica-se como o

método de correção se comporta para outras temperaturas de estrelas, usando os

mesmos coeficientes de correção calculados para estrelas de 7500°K. Na Seção 4.2,

analisa-se a sensibilidade dos métodos de correção quanto à variação da temperatura do

sistema no modo de operação do sensor. Na Seção 4.3, estuda-se a sensibilidade do

método de correção na presença de ruídos no sistema. Por fim, na Seção 4.4 analisa-se

como o método se comporta para um detector com “fillfactor” menor que 100%; mais

especificamente para um detector com 60% de “fillfactor”. Este último teste é o único

onde se recalculam os coeficientes da série pois, neste caso, se tem um outro sistema

devido à mudança na geometria do plano focal.

110

4.1 – Teste do Método de Correção dos Erros Sistemáticos de Interpolação para

Diferentes Temperaturas de Estrelas

O método de correção dos erros sistemáticos de interpolação, proposto e testado na

Seção 3.4.1.2 do Capítulo anterior, onde se assume que a estrela tem uma temperatura

de 7500°K, foi repetido da mesma forma para outras duas temperaturas de estrelas

(3000°K e 20000°K). Para isso, não se recalcularam os coeficientes da série, pois o que

justamente se deseja verificar é se o método de correção dos ESI funciona e quão bem

funciona para temperaturas de estrelas diferentes da que se utilizou para calcular os

coeficientes da série da função correção. Isso é feito, pois o sensor em si não sabe a

temperatura da estrela que ele imageia, portanto o método de correção deve funcionar

para qualquer temperatura de estrela presente dentro da faixa de magnitude que ele

trabalha.

As temperaturas escolhidas para o teste foram de 3000°K e de 20000°K, pois 99,077%

das estrelas no intervalo de magnitude de zero a cinco se encontram entre estas

temperaturas (segundo os cálculos de temperatura das estrelas feitos neste trabalho,

conforme descritos na Seção 3.2.1.3). Isso pode ser visto no histograma da distribuição

das temperaturas das estrelas na Figura 4.1 para este intervalo de magnitude.

O que muda no sistema óptico definido no ZEMAX, para o qual serão geradas as

imagens simuladas, são somente os pesos de cada um dos comprimentos de onda

definidos, pois, como visto na Seção 3.2.1.3, uma das características usadas para o

cálculo da influência de cada comprimento de onda no sistema é justamente a emitância

espectral do objeto, que depende de sua temperatura. Na Figura 4.2 pode-se ver a

influência dos comprimentos de onda no sistema quando se tem como objeto estrelas de

3000°K, 7500°K e 20000°K. Na Tabela 4.1, encontram-se os pesos de cada banda para

cada temperatura de estrela. No ZEMAX, inseriu-se apenas o comprimento de onda

central de cada banda com o seu peso correspondente, do mesmo modo que se fez para

7500°K comentado no Capítulo anterior.

111

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 240

50

100

150

200

Fre

quên

cia

Temperatura das estrelas (103 oK) FIGURA 4.1- Histograma de temperatura das estrelas com largura de 500°K na faixa de

magnitude visual de zero a cinco.

0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,20,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

3000oK

7500oK

20000oK

P

λ(µm) FIGURA 4.2- Gráfico da influência de cada comprimento de onda no sistema para

diferentes temperaturas de estrelas.

112

TABELA 4.1-“Pesos” da influência no sistema de cada uma das bandas para diferentes temperaturas de estrelas. Pesos abaixo de 1% foram omitidos da Tabela e não foram usados no ZEMAX.

3000°K 7500°K 20000°K Temperatura

Bandas (µm) “Peso” “Peso” “Peso”

0,375-0,400-0,425 _ 6,128393455 11,07766369

0,425-0,450-0,475 3,214114996 15,1583932 21,74794818

0,475-0,500-0,525 6,853244029 17,36663192 19,82362667

0,525-0,550-0,575 10,42550153 16,09224848 15,36745646

0,575-0,600-0,625 14,25045242 14,35041684 11,78585776

0,625-0,650-0,675 16,94532854 11,98687756 8,709667529

0,675-0,700-0,725 16,02088139 8,398849672 5,507597471

0,725-0,750-0,775 13,03943379 5,286067133 3,177344066

0,775-0,800-0,825 9,330682212 3,006711845 1,673463609

0,825-0,850-0,875 5,264441358 1,400106561 _

0,875-0,900-0,925 2,445878104 _ _

0,925-0,950-0,975 1,051359353 _ _

O comprimento de onda primário definido no ZEMAX para essas novas temperaturas

de estrelas é o mesmo que se definiu para a estrela de 7500°K. Como isso não faz

sentido estudar os métodos de correção dos erros de distorção, visto que ele é calculado

em relação ao comprimento de onda primário, como explicado na Seção 3.3.4.

113

O método de correção dos erros sistemáticos de interpolação foi testado com diferentes

números de coeficientes para cada uma das estrelas, exatamente como foi feito

anteriormente para a estrela de 7500°K. O gráfico da Figura 4.3 mostra os resultados

obtidos, tanto para as estrelas de 3000°K, quanto para as de 20000°K, bem como para a

estrela de 7500°K que serve de comparação.

0 5 10 15 20

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

3000oK

7500oK

20000oK

3σ E

SI (p

ixel

s)

No de coeficientes FIGURA 4.3- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o seu valor

3σ residual para três temperaturas diferentes de estrelas.

Pode-se perceber da Figura 4.3 que, quando se aplica o método de correção com

qualquer número de coeficientes para as temperaturas das estrelas testadas, há uma

degradação do método em relação às estrelas de 7500°K. Isso é lógico tendo em vista

que os coeficientes foram calculados justamente para estrelas desta temperatura.

Os erros residuais para as estrelas de 20000°K são muito próximos aos de 7500°K com

uma diferença média entre os valores 3σ de 0,0109 “pixels”. Para estrelas de 20000°K,

verificou-se que, a partir de três coeficientes, consegue-se neste caso um valor 3σ que

atende às especificações do erro desejado. A partir de 7 coeficientes, assim como ocorre

para estrelas de 7500°K, o erro decai muito vagarosamente com o uso de mais

coeficientes.

114

Os piores resultados foram obtidos com as estrelas de 3000°K, cuja diferença média dos

valores 3σ em relação às de 7500°K é de 0,0727 “pixels”. Não obstante, com o uso de

três coeficientes, já se atinge um valor 3σ dentro do que se deseja, e é com este número

de coeficientes que se consegue o melhor resultado para estrelas desta temperatura. A

partir deste número de coeficientes, o erro tende a aumentar muito levemente, depois

volta a cair e permanece praticamente constante.

Por meio do gráfico da Figura 4.2, pode-se perceber porque o método funciona melhor

para as estrelas de 20000°K em relação às de 3000°K. Nesse gráfico, pode-se ver

claramente que a curva da influência de cada comprimento de onda para as estrelas de

7500°K está muito mais próxima da curva de 20000°K do que a de 3000°K.

Apesar da metodologia ter sido testada apenas para outras duas temperaturas de estrela,

acredita-se que para estrelas com temperaturas superiores a 3000°K e inferiores a

20000°K se conseguem resultados melhores dos que os obtidos aqui, porque essas

temperaturas representam extremos dentro da faixa de magnitude de interesse. Com

isso, pode-se afirmar que, neste sistema, para 99,077% das estrelas entre a magnitude

visual de zero a cinco se consegue, aplicando o método de correção de interpolação na

ausência de ruído e para a temperatura do sistema constante a 20°C, um erro 3σ menor

ou igual à 0,0940 “pixels”.

4.2 – Testes dos Métodos de Correção para Diferentes Temperaturas Ambientais

do Sistema

Nesta Seção, estuda-se a sensibilidade dos métodos de correção, tanto de interpolação

quanto de distorção, com relação à variação de temperatura do sistema.

Para tanto, aplicam-se os métodos de correção para imagens simuladas geradas quando

o sistema se encontra a 15°C e 25°C, que são geralmente os limites do controle térmico

do modo de operação para sistemas ópticos embarcados em satélites. Isso é feito

usando-se os mesmos coeficientes que foram calculados para estrelas de 7500°K com o

sensor a 20°C. As simulações e estudos do método de correção dos erros de

115

interpolação serão feitos para estrelas de temperaturas 3000°K, 7500°K e 20000°K,

enquanto as simulações do método de correção dos erros de distorção serão realizadas

apenas para um deles, pois como já comentado na Seção anterior, o comprimento de

onda adotado como primário é o mesmo independente da temperatura da estrela.

Estas análises se fazem necessárias dado que um sistema óptico pode mudar muito suas

características dependendo da temperatura em que ele se encontra. Essas mudanças são

decorrentes de variações na geometria das lentes, (e.g, curvatura e espessura), do

suporte mecânico onde as lentes estão montadas e variações das propriedades ópticas do

vidro, como comentado nas Seções A.5 e A.9. Nas simulações realizadas, todos estes

fenômenos foram levados em conta, visto que o ZEMAX é capaz de simulá- los.

A temperatura ambiente “default”, quando se define um sistema óptico no ZEMAX, é

de 20°C. A partir dos dados da objetiva nesta temperatura, o ZEMAX é capaz de

simular o sistema em outras temperaturas usando para tanto uma das suas ferramentas

chamadas de “Multi-configuration” (Seção A.9). Por meio desta foi possível estudar a

performance do método de correção em outras temperaturas dentro da faixa do controle

térmico do modo de operação do sensor. A única informação a mais que se inseriu no

ZEMAX foi o valor do coeficiente de expansão térmica do material da montagem

mecânica das lentes, que foi adotado como sendo de 24x10-6 o qual é o valor do

coeficiente de expansão térmica do alumínio. As informações sobre os coeficientes de

expansão térmica dos vidros do sistema, bem como seus coeficientes de variação das

propriedades ópticas, já se encontravam definidas no banco de dados de vidros (Seção

A.5).

Para testar o método de correção dos ESI, gerou-se as imagens simuladas com o sistema

a 15° e a 25°C, para estrelas de 3000°K, 7500°K e 20000°K. Os resultados obtidos das

correções se encontram nas Figuras 4.4, 4.5 e 4.6 logo a seguir.

116

0 5 10 15 20

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

20°C 15°C 25°C

7500oK3σ

ESI

(pix

els)

No de coeficientes FIGURA 4.4- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o valor de

3σ do erro residual para estrelas de 7500°K, quando o sistema se encontra em três temperaturas diferentes (15°, 20° e 25°C).

0 5 10 15 20

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

20°C 15°C 25°C

3000oK

3σ E

SI (p

ixel

s)

No de coeficientes FIGURA 4.5- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o valor de

3σ do erro residual para estrelas de 3000°K, quando o sistema se encontra em três temperaturas diferentes (15°, 20° e 25°C).

117

0 5 10 15 20

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

20°C 15°C 25°C

20000oK3σ

ESI

(pix

els)

No de coeficientes FIGURA 4.6- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o valor de

3σ do erro residual para estrelas de 20000°K, quando o sistema se encontra em três temperaturas diferentes (15°, 20° e 25°C).

Como se pode perceber, praticamente não houve diferenças entre os valores de correção

a 20°C e as demais, para as três temperaturas de estrelas testadas. Embora possa parecer

lógico haver pouca variação dos valores de correção, já que a faixa de temperatura do

modo de operação é bem estreita, este fato esconde certa complexidade. Nesta faixa de

temperatura, dependendo do projeto, o sistema pode ser instável termicamente de modo

a decair muito a resolução. Como conseqüência pode-se ter uma mudança grande no

formato do “spot” e como isso ocorrer uma queda drástica na performance no método

de correção. Essa instabilidade térmica, muitas vezes, pode ser conseqüência da

presença de alguns tipos de vidros que possuem uma variação alta, comparada com

outros vidros, nas suas características ópticas e/ou geométricas (devido a um alto índice

de expansão térmica), como por exemplo, o vidro PK51 do fabricante Schott.

A fim de testar o método de correção para os ESD, repetiram-se os procedimentos

descritos nas Seções 3.3.4 e 3.3.5 com o sistema simulado no ZEMAX nas temperaturas

de 15° e 25°C. Em seguida, aplicou-se o método de correção proposto na Seção 3.4.2

com exatamente os mesmos polinômios. Os resultados estão na Figura 4.7 tanto para as

temperaturas de 15° e 25°C como para a de 20°C, que serve de comparação.

118

0 2 4 6 8 10

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,03σ

ESI

(pix

els)

20oC

15oC

25oC

Grau do polinômio FIGURA 4.7- Gráfico do grau do polinômio usado para corrigir os ESD versus o valor

3σ do erro residual obtido, para três diferentes temperaturas ambientais do sistema(15°, 20° e 25°C).

Examinando-se o gráfico da Figura 4.7, pode-se observar que a correção realizada pelo

polinômio até o de grau três praticamente não evidencia diferença no valor 3σ entre as

temperaturas. A diferença se torna aparente a partir da correção com polinômio de grau

superior a três. Para todas as temperaturas, o valor 3σ se torna praticamente constante a

partir do polinômio de grau cinco, onde o pior resultado é de 0,0536 “pixels” na

temperatura de 25°C. Apesar deste valor ser bem maior que 0,0124 “pixels” que é o

valor 3σ obtido para a temperatura de 20°C, ele é muito menor que 2,6093 “pixels”, o

qual representa o valor do erro para esta temperatura sem correção, além de ser um

valor aceitável para os ESD.

4.3 – Teste dos Métodos de Correção na Presença de Ruído

Até o momento não se considerou, nas simulações, a presença de ruídos da eletrônica e

do detector. Isso porque o que se estudou, se modelou e se tentou corrigir até o

momento foram os erros sistemáticos, diferentes dos ruídos que produzem erros

aleatórios. No sistema real não é possível se livrar desses ruídos. Em vista do exposto, o

que se testa nesta Seção é o método de correção dos erros sistemáticos de interpolação e

119

distorção propostos neste trabalho, quando se tem a presença de ruído, verificando desta

forma suas performances nessa situação.

De acordo com Salomon (1979) citado por Matos (1997), os desvios padrão das

posições interpoladas em cada eixo causadas pelo ruído podem ser aproximados pelas

Equações 4.1 e 4.2 indiferentemente do tipo de interpolação.

u

px RSc /'

ασ = (4.1)

u

py RSc /'

βσ = (4.2)

onde “αp” e “βp” são respectivamente o intervalo angular equivalente a um “pixel” em

X’ e em Y’, “S/Ru” é a relação do sinal da estrela e o ruído total presente na sub-matriz

de interpolação.

O desvio máximo permitido causado pelo ruído deve ser igual a um décimo de “pixel”,

pois se não houvesse nenhum erro de interpolação, o erro causado pelo ruído estaria

dentro do especificado. Desta forma:

uE RSpixelc

301,03 ' =⇒=σ (4.3)

onde Ec’ representa tanto xc’ como yc’.

Segundo Matos (1997, 2003), os ruídos de um detector tipo CCD ou APS podem ser

modelados para cada um dos “pixels” através de uma distribuição normal cuja variância

é dada por:

( ) 222det

22 qeijijVij RVKV σσυσ ++++= (4.4)

onde “Vij” é o sinal gerado pela estrela no “pixel” “i,j”, “K” é o fator de escala de

conversão elétron/volts, “υ” é o valor da não-uniformidade de resposta dos “pixels” do

detector (1σ), “Rdet” é o ruído de leitura do detector, incluindo o ruído do sinal de

120

escuro, não uniformidade do sinal do escuro, ruído Johnson, etc (1σ), “σe” é o valor

eficaz do ruído da eletrônica de processamento do sinal (1σ), e “σq” é o ruído de

quantização da conversão do sinal de analógico para digital (1σ).

O sinal do detector em volts pode ser dado por (Matos, 1997):

∫= )()( λλλτ

dMRaAt

V io (4.5)

onde “τ” é a transmissão da óptica. “A” é a área da pupila de entrada da objetiva, “ti” é

o tempo de integração, “a” é a área do fotoelemento, “R(λ)” é a responsividade dos

elementos (V.cm2.µJ-1), e “M(λ)” é a irradiância espectral da estrela fora da atmosfera

terrestre.

No caso em questão a transmitância da óptica é função de λ, sendo descrita por duas

funções, a transmitância da objetiva τo(λ) e a transmitância do filtro τF(λ). Com isso τ=

τo(λ)τF(λ). Devido à sua dependência em λ, τ deve também ser integrado ficando:

∫= )()()()( λλλλτλτ dMRa

AtV Fo

io (4.6)

Para esses cálculos, diferente do que ocorre na Seção 3.2.1.3, pode-se utilizar os valores

médios da transmitância da objetiva por comprimento de onda apresentados no gráfico

da Figura 3.6, pois para esse fim não interessa a diferença de transmitância que ocorre

entre os raios, mas sim apenas a transmitância total da energia da estrela.

Apesar da saída de alguns detectores tipo APS já serem digitais (como no detector que

se está usando no protótipo do sensor do INPE), existe um fator de conversão de volts

para elétrons para números digitais em cada detector. No nosso caso este fator é de:

1volt = 80000 elétrons =256 números digitais.

Da Equação 4.6, pode-se ver que a resposta do sensor para um dado detector, um dado

sistema óptico, e um certo tempo de integração, varia com a irradiância espectral da

estrela M(λ). Por sua vez, esta varia tanto com sua magnitude visual, quanto com a sua

121

temperatura. Para estrelas com temperaturas de 3000°K, 7500°K e 20000°K com a

mesma magnitude visual, a que produz o menor sinal no sensor é a de 7500°K. Com

isso, primeiramente nas simulações com a presença de ruído, serão usadas estrelas desta

temperatura, com a menor magnitude que se consegue respeitando algumas relações

impostas. Estrelas com essas características são usadas, visto que, representam o pior

caso em termos de sinal, e são elas que limitam a magnitude visual que o sensor pode

trabalhar.

Em seguida, serão usadas estrelas de 3000°K com a temperatura do sistema a 25°C e

com a mesma magnitude visual calculada e usada nas simulações das estrelas de

7500°K. A novidade será que para essa serão estudadas as correções dos erros

sistemáticos de interpolação e distorção ao mesmo tempo. Essas características foram

escolhidas visto que obteve-se o pior resultado de correção dos ESI para estrela de

3000°K, enquanto a temperatura de 25°C justifica-se por que com ela obteve-se o pior

resultado do método de correção dos ESD.

Para gerar imagens simuladas das estrelas a fim de se estudar os ESI juntamente com os

ESD, usou-se a mesma rotina desenvolvida no ZEMAX apresentada na Seção 3.3.1,

com a diferença de que na última linha dos arquivos gerados por essa rotina encontram-

se os valores de x0’ e y0’(Equações 3.14 e 3.15), e não mais os valores de xpr’ e ypr’

(essa rotina se encontra na Seção B.4 Apêndice B).

As magnitudes de estrelas são quantidades comparativas, representadas por uma escala

logarítmica, em que a magnitude visual pode ser representada pela Equação 4.7 (Allen,

1973).

)/log(5,2 1221 ρρ=− VV mm (4.7)

onde:

/)()( 2mlumensdMRK om ∫= λλλρ (4.8)

122

e, “Km” é igual a 683 lumens/W em 555 nm, “Ro(λ)” é a resposta espectral do olho

humano, e “M(λ)” é a irradiância espectral da estrela fora da atmosfera terrestre.

Por analogia, a magnitude instrumental de uma estrela pode ser dada por (Matos, 1997):

)/log(5,2 1221 ooII VVmm =− (4.9)

Segundo Allen (1973), a magnitude visual de uma estrela é igual a zero quando a sua

irradiância espectral fora da atmosfera terrestre for de 4 x 10-9 erg/cm2/s/Å em 5500 Å.

Com isso, fazendo mI1 = mv1=0, para a estrela de 7500°K, juntamente com a Equação

4.9 e a integral numérica da Equação 4.6 feita com a ajuda do programa Origin 5.0,

obtém-se a relação:

100293655,0)( 4,0 VmstV Vmio

×−××= (4.10)

Com esta Equação, dada uma magnitude visual de uma estrela de 7500°K, pode-se

calcular o sinal total gerado no detector para um dado tempo de integração e vice-versa.

A magnitude usada no teste será aquela que gerar o menor sinal respeitando a relação

4.3. Para calcular este valor usam-se as seguintes relações:

oVS = ;

233

213

212

211 ... VVVVuR σσσσ ++++=

onde cada 2Vijσ representa a variância do “pixel” ij dentro da sub-matriz de interpolação

(Equação 4.4);

Com isso, juntamente com as Equações 4.3 e 4.4, chega-se à seguinte Equação do

segundo grau:

)(9)...(30 222det

233

221

213

212

211

2qeoo RVVVVVKVV σσυ +++++++++= (4.11)

123

O valor de )...( 233

221

213

212

211 VVVVV +++++ na pior das hipóteses para o sistema

usado aqui com a estrela de 7500°K é de 0,4830Vo2. Este valor foi calculado através de

uma sub-rotina implementada dentro da rotina desenvolvida em MATLAB para os

estudos dos erros sistemáticos (Seção 3.3.2).

O valor de )( 222det qeR σσ ++ foi estimado estatisticamente por meio de um

experimento usando o protótipo do sensor, por meio da aquisição de inúmeras imagens

no escuro. O valor obtido foi de 0,950 (Níveis Digitais) ND que é equivalente a

0,003711Volts.

Os valores de K e de υ foram extraídos do manual do detector usado no protótipo, e são

respectivamente iguais a: 1/80000 e 0,01.

Substituindo os valores na Equação 4.11 e a colocando em uma forma mais explicita

obtém-se:

011155,001125,095653,0 =−− oo VV (4.12)

Resolvendo a Equação 4.12, obteve-se que o resultado positivo Vo é de 0,347426 volts.

Este é o valor mínimo do sinal que se deve ter para que a relação 4.3 seja respeitada.

Usando esse valor na Equação 4.10, com um tempo de integração de 400ms (que é um

tempo relativamente alto) acha-se um valor de mv ≈3,8. Apesar de se desejar um sensor

que trabalhe com estrelas até a magnitude visual cinco, para que a relação 4.3 seja

satisfeita a magnitude máxima aceitável para uma estrela de 7500°K é

aproximadamente 3,8.

Para o sensor funcionar para estrelas de magnitude maiores, respeitando a relação 4.3,

seria necessário aumentar a relação sinal-ruído. Isso pode ser feito aumentando-se o

sinal ou diminuindo-se o ruído. Uma forma de se aumentar o sinal sem aumentar o

tempo de integração, seria aumentando a área efetiva da objetiva, ou seja, diminuir o

F/#. Já o ruído pode ser minimizado trocando-se o detector por um tecnologicamente

melhor que possua menos ruído, ou melhorando-se o projeto da eletrônica do sensor de

124

modo a minimizar o ruído. A eletrônica do protótipo do sensor usado nas medidas dos

ruídos comentada anteriormente foi feita sem muita preocupação com a sua presença,

pois ainda se encontra em fase de estudo, desenvolvimento e aperfeiçoamento. Com

certeza o modelo final de engenharia do sensor deve sofrer muito menos influência de

ruídos. Como o interesse deste trabalho não é discutir, muito menos resolver este

problema, usou-se a magnitude visual 3,8 nas simulações.

A rotina do MATLAB para as simulações foi a mesma descrita na Seção 3.3.2 usada

para os estudos dos ESI, com a diferença que nessa foi implementada uma sub-rotina

que converte primeiramente o sinal de cada “pixel” para volts, em seguida insere o

ruído em cada “pixel” e depois converte o sinal de cada um deles para digital. A partir

daí, a rotina segue sem nenhuma diferença (essa rotina se encontra na Seção C.6

Apêndice C).

Para converter o sinal da estrela de cada “pixel” para volts simplesmente o que se faz é

utilizar uma relação linear, onde o sinal total da estrela em volts (0,347426) está para o

sinal total da estrela usado até então nas simulações, o qua l é dado pela soma total do

peso normalizado dos raios que passam pelo sistema.

Para calcular o variância do ruído de cada “pixel” da MDV, a sub-rotina faz uso da

Equação 4.4 sem levar em conta a variância do ruído de quantização, onde os valores de

K e υ são os mesmos usados anteriormente, e o valor )( 22det eR σ+ foi calculado com

base no valor )( 222det qeR σσ ++ descontando-se a influência da variância do ruído de

quantização 2qσ , a qual foi tomado como sendo de uma distribuição uniforme com

intervalo de tamanho um. Então, com o valor Vijσ de cada “pixel”, juntamente com a

função que gera números aleatórios no MATLAB, a sub-rotina produz um sinal

aleatório para cada “pixel”, somado, em seguida, ao “pixel” correspondente da MDV.

O próximo passo é transformar o sinal analógico (volts) para digital (ND) com uma

resolução de oito bits; por este motivo é que foi descontado o ruído de quantização

125

anteriormente. Então a sub-rotina é encerrada, resultando “pixels” com seus valores em

números digitais e já com os ruídos.

Desta forma, ao se calcular o centróide a partir do sinal de cada “pixel” que está

influenciado pelo ruído, ter-se-á um desvio em relação ao valor calculado quando não

há ruído. Ao se aplicar os métodos de correção onde as entradas são justamente os

valores de xc’ e yc’, que estão com um certo desvio, conseqüentemente a correção será

gerada com um desvio ou erro, fazendo com que os erros residuais sejam maiores do

que quando não há ruídos.

Logo a seguir, na Figura 4.8, estão os resultados das simulações para as estrelas de

7500°K. Na Figura 4.9 estão os resultados das simulações para as estrelas de 3000°K.

Na primeira os resultados são referentes apenas à correção dos erros de interpolação

(Seção C.5 Apêndice C), enquanto na segunda os resultados são referentes aos dois

erros: tanto o de interpolação quanto o de distorção, onde este último erro foi corrigido

com um polinômio de quinto grau (Seção C.7).

0 5 10 15 20

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

3σ E

SI (

pixe

ls)

No de coeficientes FIGURA 4.8- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o valor de

3σ do erro residual obtido para uma estrela de 7500°K de magnitude visual 3,8 com o sistema a 20°C na presença de ruídos.

126

Comparando-se as Figuras 4.8 e 4.3, pode-se perceber que, para estrelas de 7500°K, a

presença do ruído degrada bastante a performance do método de correção proposto,

sendo que a média dos erros residuais na presença de ruído é 6,78 vezes maior do que a

média dos erros residuais quando não há ruídos. Os melhores resultados do valor 3σ que

se obtém com o método de correção na presença do ruído são da ordem de 0,104

“pixels”, o que já é um pouco maior do que o especificado que seria de um décimo de

“pixel”. Pode-se ver também, que a partir de cinco coeficientes, os erros residuais ficam

praticamente constantes.

Na Figura 4.9, mostrada logo abaixo, estão os resultados do método de correção dos

erros sistemáticos de interpolação e distorção na presença de ruídos para estrelas de

3000°K de magnitude visual 3,8 com o sistema a 25°C.

0 5 10 15 20

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

3σ E

SI (p

ixel

s)

No de coeficientes FIGURA 4.9- Números de coeficientes usados para correção dos ESI, versus o valor 3σ

obtido do erro residual na presença de ruídos para uma estrela de 3000°K de magnitude visual 3,8 com o sistema a 25°C. Os erros sistemáticos de distorção são corrigidos por um polinômio de quinto grau em todos os casos.

Acredita-se que este seja o pior caso para os métodos de correção, pois foi para estrelas

de 3000°K que se obteve o pior resultado nos testes do método de correção dos ESI. Foi

também na temperatura de 25°C que se obteve o pior resultado dos testes do método de

127

correção dos ESD e esta é a magnitude mínima exigida para que a relação 4.3 seja

atendida. Para a correção dos erros de distorção foi usado o polinômio de grau cinco em

todos os casos. O melhor resultado do valor 3σ do erro residual que se obteve foi da

ordem de 0,138 “pixels”, usando três coeficientes.

Apesar deste resultado ser 38% maior que o especificado, ele é 14,59 vezes menor que o

valor 3σ sem nenhum tipo de correção, e 7,33 vezes menor do que o valor 3σ do erro

sistemático quando se aplica apenas o método de correção dos ESD. É claro que os

resultados tendem a ficar melhores para estrelas de magnitudes menores.

4.4 – Teste do Método de Correção dos Erros Sistemáticos de Interpolação em um

Detector com “Fill Factor” Menor que 100%

“Fill factor” é um valor dado em porcentagem que indica a área efetiva dos “pixels” de

um detector sensível à luz. Até o momento considerou-se nas simulações que toda a

área do “pixel” é sensível à luz. Para alguns detectores, principalmente para CCDs de

última geração, isso pode ser verdade. Porém, não se pode dizer o mesmo para os

detectores tipo APS que tecnologicamente ainda não atingiram essa capacidade. Como

exemplo, o detector usado no protótipo de INPE que possui apenas 60% de “fill factor”.

Simula-se nesta Seção o detector como tendo este “fill factor” de 60%, a fim de

verificar o funcionamento do método de correção dos ESI para detectores desse tipo.

Para realizar esta simulação, apenas se modificou levemente a rotina do MATLAB

desenvolvida para os estudos dos ESI (Seção 3.3.2), fazendo com que sua sub-rotina

lógica que divide os raios não considere aqueles que atingem o espaço “morto” do

detector, como mostrado na Figura 4.10 (esse algoritmo encontra-se na Seção C.8).

FIGURA 4.10- Arranjo da arquitetura do “pixel” do detector usada nas simulações

quando se considera um “fill factor” menor que 100%.

Área do “pixel” sensível a luz

Espaço morto do “pixel”

128

Como não se tem acesso à arquitetura do “pixel”, ou seja, onde e como se encontra a

sua área sensível, considerou-se esta como sendo quadrada e centralizada no “pixel”, da

mesma forma que Cox, A. (1981) e Hancock et al. (2001) consideram em suas

simulações.

Para esse detector, repetiram-se os estudos dos ESI (Seção 3.3.3) e aplicou-se o método

de correção. Os coeficientes da série de Fourier da função correção foram recalculados

exatamente do mesmo jeito que se fez anteriormente na Seção 3.4.1.1. Isso deve ser

feito, pois ao se modificar a geometria do detector tem-se um novo sistema, diferente

das situações estudadas nas seções anteriores deste Capítulo onde simplesmente se tem

um caso particular que um dado sistema pode se encontrar.

A Figura 4.11 mostra um gráfico dos ESI ao longo do eixo X’ em várias regiões do

CDV do primeiro quadrante para estrelas de 7500°K. Esse gráfico é similar ao

apresentado na Figura 3.13. Olhando para essa e para aquela Figura pode-se observar a

diferença que se tem nos erros ao se modificar levemente a geometria do detector.

0 80 160 240 320 400 480

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

ypr' = 0 ypr' = 40 ypr' = 80 ypr' = 120 ypr' = 160 ypr' = 200

ypr' = 240 ypr' = 280 ypr' = 320 ypr' = 360 ypr' = 400 ypr' = 440

ESI (

pixe

ls)

x'c(pixels) FIGURA 4.11- ESI ao longo do eixo X’ para várias regiões do CDV do primeiro

quadrante. Cada cor de linha representa uma posição fixa em relação ao eixo Y’.

129

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

-0,1

0,0

0,1

ypr' = 240 ypr' = 280 ypr' = 320 ypr' = 360 ypr' = 400 ypr' = 440

ypr' = 0 ypr' = 40 ypr' = 80 ypr' = 120 ypr' = 160 ypr' = 200

ESI (

pixe

ls)

x'c(pixels)

FIGURA 4.12- Vista aproximada da Figura 4.11 para a região de X’ próximo de zero. Através desta pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”.

239,0 239,5 240,0 240,5 241,0

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

ypr' = 240 ypr' = 280 ypr' = 320 ypr' = 360 ypr' = 400 ypr' = 440

ypr' = 0 ypr' = 40 ypr' = 80 ypr' = 120 ypr' = 160 ypr' = 200

ESI (

pixe

ls)

x'c(pixels) FIGURA 4.13- Vista aproximada da Figura 4.11 para a região de X’ próximo à metade

do CDV do primeiro quadrante. Através desta pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”.

130

437,0 437,5 438,0 438,5 439,0

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

ypr' = 240 ypr' = 280 ypr' = 320 ypr' = 360 ypr' = 400 ypr' = 440

ypr' = 0 ypr' = 40 ypr' = 80 ypr' = 120 ypr' = 160 ypr' = 200

ESI

(pix

els)

x'c(pixels) FIGURA 4.14- Vista aproximada da Figura 4.11 para a região de X’ próximo do final

do CDV do primeiro quadrante. Através desta pode-se ver o erro sistemático intra “pixel”.

As Figuras 4.12, 4.13 e 4.14 são, para este sistema, equivalentes respectivamente às

Figuras 3.14, 3.15 e 3.16.

Pode-se perceber que, para este sistema, em geral, os erros são maiores do que quando

se tem um “fill factor” de 100%. Isso já era de se esperar com base em outros trabalhos

(Hancock et al., 2001; Rufino e Accarde, 2003).

Na Figura 4.15 estão os resultados da aplicação do método de correção dos ESI para

estrelas de 3000°K, 7500°K e 20000°K. Os testes foram realizadas nas mesmas

posições e da mesma forma que se fez anteriormente na Seção 3.4.1.2 e na Seção 4.1 (os

dados usados na avaliação dos métodos de correção foram adquiridos através do

algoritmo da Seção C.9 Apêndice C).

131

0 5 10 15 20

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

3000oK

7500oK

20000oK

3σ E

SI (p

ixel

s)

No de coeficientes FIGURA 4.15- Números de coeficientes usados para correção dos erros sistemáticos de

interpolação versus o valor 3σ do erro residual para três temperaturas diferentes de estrelas.

Pode-se perceber no gráfico da Figura 4.15 que o pior caso ocorre para as estrelas de

3000°K, como era de se esperar, baseado na mesma justificativa dada anteriormente

para o sistema com “fill factor” de 100% (Seção 4.1). Para as estrelas de 7500°K e

20000°K, consegue-se um valor 3σ menor que 0,1 “pixel” só a partir de 5 coeficientes,

e o valor 3σ para estrelas destas temperaturas passa a ficar praticamente constante a

partir de 15 coeficientes. Já para as estrelas de 3000°K, o menor valor 3σ que se obtém

é com 7 coeficientes onde este é igual a 0,1074 “pixels”, que, apesar de ser um pouco

maior que um décimo de “pixel”, é bem menor que o valor 3σ inicial sem nenhum

método de correção, isto é 1,117 “pixels”.

Para este sistema pode-se também testar a eficiência do método de correção na presença

de ruído. Adotou-se a mesma metodologia da Seção 4.3, porém, com alguns valores

modificados.

O valor de )...( 233

221

213

212

211 VVVVV +++++ deve ser diferente devido à geometria do

detector. Conseqüentemente, ter-se-á um novo valor de mv para que a relação 4.3 seja

satisfeita. Com isso, um novo fator de conversão do sinal da estrela de cada “pixel” para

132

voltagem deve ser adotado. Antes de ser convertido para tensão o sinal de cada “pixel” é

obtido pela soma do peso normalizado dos raios que atingem sua área sensível. Desta

forma, a soma total do sinal de todos os “pixels” não é constante como ocorre para o

“fill factor” de 100%, pois, neste caso os raios que atingem a parte sensível de cada

“pixel” varia com a posição da imagem da estrela ao longo do detector. Para se achar o

fator de conversão para volts, utilizou-se o valor médio que se obtém da soma total do

peso normalizado dos raios que atingem a área sensível do detector para cada posição

que as imagens simuladas nos estudos dos ESI é colocada.

O pior valor que se obteve para )...( 233

221

213

212

211 VVVVV +++++ é de 1,420V0 2.

Usando este valor na Equação 4.11, onde os outros valores dessa são mantidos iguais

aos mesmos usados anteriormente, se obtém Vo= 0,36413, que é equivale a uma estrela

de mv≈3,77. Como este valor é muito próximo da magnitude que se usou na Seção 4.3,

então para essas simulações se manteve a mesma magnitude usada anteriormente. Isso

foi feito para se manter um padrão de forma que se possa comparar diretamente os

resultados deste sistema com o de “fill factor” de 100%.

O resultado dos métodos de correção para este sistema na presença ruído se encontram

no gráfico da Figura 4.16. Nela estão os resultados para a estrela de 7500°K com o

sistema a 20°C, e também para as estrelas de 3000°K com o sistema a 25°C. Para a

primeira os resultados são apenas do método de correção do ESI (os dados usados para

o teste do método de correção dos ESD foram gerados pela rotina da Seção C.10 e o

teste do método de correção feito pela rotina da Seção C.5), enquanto que para a

segunda tem-se o resultado conjunto tanto da aplicação do método de correção do ESI

quanto do ESD, o qual foi aplicado com um polinômio de quinto grau em todos os casos

mostrados no gráfico (os dados usados para o teste dos métodos de correção dos

ESD+ESD foram gerados pela rotina da Seção C.10 e o teste dos métodos de correção

feito pela rotina da Seção C.7).

133

0 5 10 15 20

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

ESI 7500oK-20oC

ESI+ESD 3000oK-25oC

3σ E

SI/E

SD+E

SI (p

ixel

s)

No de coeficientes FIGURA 4.16- Números de coeficientes usados para correção dos ESI versus o valor

3σ do erro residual na presença de ruídos para estrelas de 7500°K e 3000°K de magnitude visual 3,8. Para aquela o sistema se encontra a 20°C, enquanto que para esta o sistema se encontra a 25°C. Seu ESD é corrigido por um polinômio de quinto grau.

O melhor resultado que se obtém na presença de ruído para estrelas de 7500°K, com o

sistema a 20°C e com mv=3,8, é de 0,1558 “pixels”. Consegue-se este resultado com

cinco coeficientes, a partir do qual o ESI permanece praticamente constante com a

adição de mais coeficientes.

Para as estrelas de 3000°K, com o sistema a 25°C que possuem uma mv=3,8, o melhor

resultado que se obtém com o método de correção dos ESI juntamente com os ESD na

presença de ruído é de 0,1799 “pixels”. Este é obtido com cinco coeficientes do método

de correção dos ESI. Acredita-se que este seja o pior caso que possa ocorrer para este

sistema quando a Equação 4.11 é respeitada. O erro residual neste caso é quase 80%

maior que o erro desejado, porém, pode-se observar através do gráfico da Figura 4.16

que, o método de correção reduz muitas vezes o erro inicial, mostrando desta forma, a

sua eficiência. O erro inicial 3σ total (tanto de interpolação quanto de distorção) para

este último caso, sem nenhum tipo de correção, é de 2,0644 “pixels”. Só a aplicação do

método de correção dos ESD com o polinômio de quinto grau já o reduz 52% fazendo-o

134

cair para 1,0755 “pixels”, e como mostrado, pode chegar até a uma redução de 87,14%

quando se aplicam os métodos de correção dos ESI e ESD simultaneamente.

Ao observar os resultados adquiridos tanto para o sistema com “fill factor” de 60%

como para o de 100% pode-se perceber que, de uma maneira geral para o sistema óptico

usado no trabalho, o sistema com 100% de “fill factor” obteve melhores resultados do

método de correção dos erros sistemáticos de interpolação e distorção.

Todos os estudos realizados até o momento dizem respeito à precisão relativa de se

localizar uma única estrela no CDV do sensor. Todavia, um sensor de estrelas autônomo

não utiliza apenas uma estrela para determinar sua atitude de apontamento. No mínimo,

são necessárias duas estrelas. Segundo Birnbaum (1996), o erro do sensor (Es) é igual à

razão entre o erro que se tem de uma única estrela e a raiz quadrada do número de

estrelas usadas na determinação da atitude (Equação 4.13). Esta Equação também pode

ser encontrada no trabalho de Liebe (1995).

e

es

N

EE = (4.13)

onde “Es” é o erro de apontamento do sensor em um eixo, “Ee” é o erro da posição

relativa de uma única estrela em um eixo, e “N e” é o número de estrelas usadas na

determinação da atitude.

Embora o número mínimo de estrelas para se determinar a atitude seja duas, a maioria

dos algoritmos utilizam-se de mais estrelas.

Se o menor valor 3σ de todos os casos analisados, apenas dos ESI sem nenhuma

correção, que é igual a 0,92244∗ “pixels”, for aplicado na Equação 4.13 a fim de se

calcular o valor mínimo de estrelas que se deve usar na determinação da atitude, de

modo a se obter uma precisão de um décimo de “pixel” para o sensor, se chegará que o

número mínimo de estrelas necessárias é igual 85.

∗ Esse valor é referente ao sistema com “fill factor” de 100% para estrelas de 20000°K com o sistema a 25°C na ausência do ruido.

135

Por outro lado, se os mesmos cálculos forem feitos com o menor valor 3σ do pior caso

analisado da aplicação dos métodos de correção dos ESI juntamente com os ESD, que é

de 0,1799∗∗ “pixels”, se chegará que esse número mínimo de estrelas é igual 4.

∗∗ Esse valor é referente ao sistema com “fill factor” de 60% para estrelas de 3000°K com o sistema a 25°C na presença do ruído.

136

137

CAPÍTULO 5

CONCLUSÕES

Neste Capítulo se apresenta uma retrospectiva mostrando o que se estudou e se

aprendeu, juntamente com as conclusões gerais e contribuições que se produziu no

decurso dos estudos realizados que serviram de meio para que fosse possível o

desenvolvimento deste trabalho. Mais adiante também são apresentadas e discutidas as

conclusões obtidas dos métodos propostos, tanto para estudo como para correção dos

erros sistemáticos inerentes a um sensor estelar, estudados aqui.

Também são propostas melhorias em relação ao trabalho realizado, juntamente com

idéias de trabalhos futuros que surgiram durante o desenvolvimento deste, porém que

fogem do objetivo principal.

5.1 – Conclusões Gerais e Retrospectiva aos Capítulos

Por meio da leitura de artigos especializados, os quais deram embasamento para a

redação da introdução do primeiro Capítulo, pode-se chegar à conclusão a respeito do

rumo tecnológico dos sensores de atitude usados na área espacial, aonde vem se usando

cada vez mais sensores de estrelas, os quais atualmente representam inúmeras vantagens

em relação a outros sensores. Desta forma despertou-se o interesse pelo assunto, o que

resultou na interação das pesquisas e desenvolvimento do projeto do sensor de estrelas

desenvolvido pelo INPE, através da qual chegando-se à conclusão de que se faz

necessário explorar mais esse assunto de modo que se possa desenvolver um sensor de

estrelas com a precisão da ordem dos desenvolvidos atualmente pelos grandes centros

tecnológicos do mundo.

No segundo Capítulo expuseram-se as noções básicas aprendidas na literatura sobre o

que vem a ser um sensor de estrelas de atitude, os tipos, formas de operação e a

evolução dos detectores usados por eles. Com isso, pode-se chegar a conclusão que

apesar de sensores de estrelas serem usados desde a década de 60 no controle de atitude

138

de veículos espaciais, e os estudos de desenvolvimento a respeito desse tipo de sensor

só terem começado há apenas alguns anos no Brasil, o INPE vem desenvolvendo um

sensor de estrelas que pode ser classificado como de última geração, pelo seu tipo

(cabeça fixa e autônomo) pelo detector usado (APS), e tecnologia da eletrônica adotada

para ele (usando PLDs).

Grande parte do Capítulo 2 ainda foi dedicada à apresentação da teoria sobre aberrações

ópticas, que são uma das principais causas dos erros estudados neste trabalho, porém

pouco levada em conta nos trabalhos que tratam desse assunto e talvez a menos

conhecida na área de concentração do mestrado em que este trabalho foi desenvolvido.

Por meio desse Capítulo pode-se chegar à conclusão de como é importante considerar

os efeitos do sistema óptico na formação da imagem das estrelas para o estudo dos erros

sistemáticos de interpolação, e não simplesmente usar uma distribuição teórica, como

por exemplo a Gaussiana, muito usada em outros trabalhos para simular a imagem da

estrela.

As causas dos erros de interesse deste trabalho foram estudadas, compreendidas e

apresentadas de uma forma mais profunda no Capítulo 3. Estes estudos, juntamente com

os estudos sobre o funcionamento do sensor que está sendo desenvolvido pelo INPE

realizado no Capítulo 2, e com o conhecimento adquirido em literatura especializada,

pode-se ter idéia de alguns dos erros sistemáticos que podem influenciar na precisão do

sensor desse tipo. Com base nisso, tornou-se possível definir o problema e a forma que

seria estudado.

Ainda no Capítulo 3, durante a definição das características do sistema óptico que se

usou no trabalho, acredita-se ter contribuído com que diz respeito ao pequeno estudo

realizado quanto à variação da luminosidade no detector ao longo do CDV, quanto à

escolha do filtro, quanto às técnicas usadas para se chegar a um projeto do sistema que

atendesse aos requisitos, e principalmente quanto ao método proposto para o cálculo da

temperatura média das estrelas na faixa de magnitude de interesse.

Um apêndice que vale a pena comentar, embora não faça parte do corpo do trabalho, é o

Apêndice A. Sua elaboração foi possível através de muita dedicação, estudo da teoria

139

óptica e muitas horas despendidas no entendimento e aprendizagem do programa

ZEMAX, que foi a ferramenta principal para a elaboração deste trabalho. Como esse

não é um programa usual na área de concentração do mestrado na qual este trabalho foi

realizado, achou-se coerente a sua apresentação ao leitor. No decurso dos estudos que

deram origem a esse Capítulo chegou-se a conclusão de que o ZEMAX é uma

ferramenta muito poderosa que pode ser usado para simular o sistema óptico de um

sensor de estrelas a fim de se fazer os estudos dos erros sistemáticos abordados por este

trabalho.

5.2 – Conclusões e Avaliação dos Resultados dos Métodos Propostos de Estudo e

Correção dos Erros Sistemáticos

Um método de estudo dos erros sistemáticos inerentes da posição relativa das estrelas

em um sensor estela r foi proposto. Ele foi desenvolvido por meio de simulações e

considera vários efeitos ignorados em muitos trabalhos da área, como por exemplo: os

efeitos introduzidos pelo sistema óptico na formação da imagem da estrela e sua

variação ao longo do CDV. Além disso, o método é apresentado de forma bem mais

clara e detalhada do que qualquer trabalho que o autor tem conhecimento. Apesar da

aplicação do método ter sido apresentada para um sistema específico, teoricamente ele

pode ser aplicado para qualquer sistema do mesmo tipo. O método proposto possibilita

avaliar e caracterizar a precisão de um sensor estelar quanto aos erros sistemáticos

inerentes da posição relativa das estrelas. Além disso, o método foi de extrema

importância para entender a natureza e comportamento dos erros, dando a base

necessária para que se pudesse propor um método de correção.

Os métodos de correção propostos aqui, como visto nos Capítulos 3 e 4, podem

possibilitar uma redução de muitas vezes nos erros sistemáticos estudados neste

trabalho. Apesar de terem sido testados para um sistema específico, o embasamento

teórico dos métodos possibilita a sua aplicação em qualquer sistema do mesmo tipo. A

redução dos erros envolvidos nas medidas é de grande importância para que se consiga

desenvolver um sensor com as precisões da ordem dos que são atualmente encontrados.

140

Acredita-se que fica bem difícil de se atingir precisões da ordem de fração de “pixel”

sem usar algum tipo de correção.

Alguns testes do método de correção também são propostos no Capítulo 4, mostrando

quais os possíveis efeitos e situações que podem degradar o método de correção. De

todas as situações avaliadas para o sistema testado, o ruído foi o que causou a maior

degradação. Apesar disso, no pior dos casos analisados neste trabalho, os métodos

reduziram em até 87,14% o valor 3σ dos erros totais que se tinha inicialmente. Contudo,

não se pode afirmar que o método funciona bem para todos os sistemas. Desta forma,

todos os testes mostrados aqui devem ser aplicados quando se fizer uso das

metodologias de correção propostas pelo trabalho. Mesmo assim acredita-se que o

método tem grandes chances de funcionar bem para sistemas onde a imagem da estrela

seja grande o suficiente para que haja a interpolação, que o sistema seja razoavelmente

estável no intervalo de temperatura do controle térmico, e que o sinal gerado pela

imagem da estrela no detector respeitar a relação 4.3.

Até onde o autor tem conhecimento, os métodos de estudo dos erros sistemáticos de

interpolação assim como o método de correção proposto, da forma que foram realizados

aqui, representam uma contribuição original para área.

Espera-se com os estudos e desenvolvimentos realizados ao decorrer do trabalho, ter

contribuído para o projeto do sensor de estrelas do INPE, e conseqüentemente para o

desenvolvimento da tecnologia nacional.

5.3 – Sugestões de Melhorias e Propostas para Trabalhos Futuros

O trabalho apresentado aqui representa um grande avanço quanto aos estudos dos erros

presentes em um sensor de estrelas feito no Brasil. Porém, retrata apenas uma pequena

parte do todo no que diz respeito aos erros tanto sistemáticos como aleatórios de um

sensor de estrelas. Com isso, nesta Seção são abordados alguns aspectos que podem ser

melhorados e também algumas idéias que surgiram durante o desenvolvimento do

trabalho, mas que não faziam parte do objetivo do mesmo ou o prolongariam

demasiadamente.

141

Algumas sugestões para melhorias se encontram logo abaixo em forma de tópicos:

• Um efeito que poderia ser considerado nas simulações é a difração do sistema

óptico. Apesar do efeito das aberrações serem bem maiores que os efeitos da

difração para o sensor de interesse, como já foi dito, seria interessante verificar

se haveria diferenças significativas nos resultados. Isso é possível de ser feito

também usando o ZEMAX, que pode considerar os efeitos da difração através

de uma ferramenta nova chamada “Physical Optics Propagation”.

• Outro ponto que poderia ser também melhorado diz respeito à facilidade e

velocidade de se fazer os estudos dos erros sistemáticos e testes do método de

correção de um sistema, já que foram feitos aqui de uma forma um tanto

complicada, usando-se dois programas para realizar as simulações, onde em

cada um deles foram desenvolvidas mais de uma rotina para tal intuito. A idéia

para tornar o estudo mais fácil e rápido seria criar um programa visual em “C”

para Windows, o qual faria comunicação com o ZEMAX usando DDE (veja

Seção A.7) de modo a extrair as informações necessárias. Então, todas as

simulações dos erros sistemáticos bem como a aplicação dos métodos de

correção seriam feitos dentro dele de uma forma automática com base em

alguns parâmetros de entrada fornecidos pelo usuário de forma simples em

uma janela, como: tamanho do pixel, número de amostragens em cada pixel,

número de amostragens ao longo do CDV, etc.

• Um teste que também poderia ser realizado para verificar a robustez do método

de correção seria aplicá- lo quando pequenos movimentos no sensor são

inseridos durante a aquisição da imagem. Para isso seriam colocadas duas

estrelas simuladas na frente da objetiva, onde uma delas ficaria sempre na

posição do eixo óptico e a outra seria colocada em várias regiões ao longo do

CDV. O que seria medido e comparado é a posição relativa entre uma estrela e

outra.

142

• Outro teste que poderia ser feito, que também diz respeito à robustez do

método de correção, seria verificar como o método de correção se comporta

quando pequenas perturbações nos parâmetros do sistema óptico são

introduzidas, onde essas perturbações simulariam defeitos e imprecisões de

fabricação e montagem. Com isso, verificar a possibilidade de se calcular os

coeficientes das funções correção por meio de simulação, e aplicar esses

valores a um sistema real. Isso é possível de ser feito utilizando a ferramenta

do ZEMAX de Análise de Tolerância ( Apêndice A Seção A.10).

• Estudar a viabilidade da aplicação do método implementando-o no “software”

de processamento de sinal do sensor de estrelas que está sendo desenvolvido

pelo INPE. Isso deve ser feito para verificar a memória ocupada no

computador do sensor pelos coeficientes das equações de correção. Além disso,

avaliar o tempo de processamento que o método de correção leva.

Algumas sugestões para temas de trabalhos futuros se encontram logo abaixo em forma

de tópicos:

• Aplicação na prática dos métodos de estudo e correção dos erros propostos

neste trabalho.

• Estudar os efeitos de cada aberração óptica, por meio das Equações 2.1 e 2.2,

quanto à influência nos erros de determinação da posição relativa da estrela no

plano focal em diferentes posições dentro do pixel dada pelo algoritmo

centróide simples. Desta forma, tentar caracterizar e especificar as tolerâncias

de cada aberração que uma objetiva deve ter para se conseguir atender à uma

dada precisão quanto à posição relativa das estrelas sem a necessidade de

aplicar um método de correção. Com as tolerâncias das aberrações definidas,

tentar chegar a um projeto de um sistema óptico que as respeite com o auxílio

do ZEMAX.

• Estudar os erros sistemáticos da determinação da magnitude das estrelas

pelo sensor. Isso é muito importante, pois a magnitude das estrelas é uma

143

das informações que o algoritmo de reconhecimento de padrões leva em

consideração nos seus processamentos. Esse erro ocorre devido ao fato de

que a magnitude instrumental não é igual a magnitude visual, por causa da

diferença de resposta à cada comprimento de onda existente entre o sensor e

o olho humano.

144

145

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Alexander, F. B.; Ng, K. C. Elimination of systematic error in subpixel accuracy centroid estimation. Optical Engineering, v. 30, n. 9, p. 1320-1331, .Sept. 1991.

Allen, C. W. Astrophysical quantities. Great Britain: Willian Clowes, 1973. 310p.

Arfken, G. B.; Weber, H.J. Mathematical methods for physicists. San Diego, California: Academic Press, 1995. 1029p.

Birnbaum, M. M. Spacecraft attitude control using star field trackers. Acta Astronautica, v. 39, n. 9-12, p. 763-773, Nov-Dez. 1996.

Caetano, F. C.; Bastos, A.; Netto, L. S.; Oliveira, L. M.; Pereira, M. A.; Balboa Sensores e atuadores na correção da atitude de um satélite. In: Mostra de Pós-graduação da UNITAU, 1., 2000. Taubaté –SP. Anais...Taubaté: UNITAL, 2000.

Carvalho, G. B. Levantamento de técnicas de identificação de estrelas e desenvolvimento de um ambiente de simulação e testes para análise de seus desempenhos em aplicações espaciais. 2000. 290 p. (INPE-8307-TDI/766). Dissertação (Mestrado em Engenharia e Tecnologias Espaciais/Mecânica Espacial e Controle) - Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, São José dos Campos, 2001.

Cox, A. A system of optical design. London: The Focal Press Limited, 1964. 665p.

Cox, J. A. Evaluation of peak location algorithms with subpixel accuracy for mosaic focal planes. In: Carter, W. H. eds. Processing of images and data from optical sensors . Bellingham, WA: SPIE, 1981, v. 292, p. 288-299 (Proceedings of SPIE).

Draper, T. L. An approach to standardizing star tracker calibration. In: East Coast Conference on Aerospace and Navigational Electronics, 12., 1965. Baltimore Maryland. Proceedings… Baltimore: IEEE, 1965. p. 1.4.4.1-1.4.4.4.

European Space Agency (ESA), The Hipparcos and Tycho catalogues. [S.l], 1997. ESA SP-1200.

Fialho, M. A. A. Ambiente de simulações e testes de algoritmos para sensores de estrelas autônomos. 2003. 120p. Trabalho de Conclusão de Curso. (Graduação em Engenharia Eletrônica)-Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos.

Goss, W. C. CCD star tracker. In: Symposium on Charge-Coupled Device Technology for Scientific Imaging Application, 1., 1975. Pasadena, California. Proceedings... Pasadena: Jet Propulsion Laboratory, 1975. p. 31-45.

Guidorizzi, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos S.A., 1997. 585p.

Halliday, D.; Resnick, R.; Krane, K. S. Física 4. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1996. 338p.

146

Hancock, B. R.; Stirbl, C. R.; Cunningham, T.J.; Pain, B.; Wrigley, C. J.; Ringold, P. G. CMOS active pixel sensor specific performance effects on star tracker/imager position accuracy. In: Descour, M. R.; Rantala, J. T. eds. Functional integration of opto-electro-mechanical devices and systems . Bellingham, WA: SPIE, 2001,v. 4284, p. 43-53 (Proceedings of SPIE).

Herzberger, M. Analysis of spot diagrams. Journal of the Optical Society of America, v. 47, n. 7, p. 584-593, July. 1957.

Liebe, C. C.; Star tracker for attitude determination. IEEE Aerospace and Electronics Systems Magazine , v. 10, n. 6, p. 10-16, June. 1995.

Magnani, M.; Pieri, S.; Romoli, A. Very high pointing accuracy star tracker optics trade off analysis. In: Zuegge, H. eds. Lens and optical systems design. Bellingham, WA: SPIE, 1992, v. 1780, p. 805-816 (Proceedings of SPIE).

Matos, J. D. Dimensionamento radiométrico preliminar do sensor de estrelas. São José dos Campos: INPE, 1997. 22 p.

Matos, J. D. Visão geral do funcionamento do sensor de estrelas desenvolvido pelo INPE. (Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, São José dos Campos, 2003). Comunicação pessoal.

Mejía Cabeza, J. Um sensor estelar para o apontamento fino do telescópio MASCO. 1997. 104 p. (INPE-6682-TDI/627). Dissertação (Mestrado em Ciência Espacial/Astrofísica) - Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, São José dos Campos, 1998.

Mejía, J.; Villela, T.; Braga, J. The CCD stellar sensor of the MASCO telescope pointing system. Advances in Space Research, v. 26, n. 9, p. 1407-1410, 2000.

O'shea, D. C. Elements of modern optical design. New York: John Wiley & Sons, 1985. 402p.

Reed, B. C. The composite observational-theoretical HR diagram. Journal of the Royal Astronomical Society of Canada , v. 1 , n. 92, p. 36-37, Feb. 1998.

Rufino, G.; Accardo, D. Enhancement of the centroide algorithm for star tracker measure refinement. Acta Astronautica, v. 53, n. 2, p. 135-147, July. 2003.

Salomon, P. M.; Fossum, E.; Clark, C.; Dennison, E. Active pixel sensors for autonomous spacecraft applications. In: Casani, E. K.; Does, M. A. V. eds. Space sciencecraft control and tracking in the new millennium. Bellingham, WA: SPIE, 1996, v. 2810, p. 166-175 (Proceedings of SPIE).

Salomon, P. M.; Glavich, A. T. Image signal processing in sub-pixel accuracy star trackers. In: Barbe, D. F. eds. Smart Sensors II. Bellingham, WA: SPIE, 1980 v. 252, p. 64-74 (Proceedings of SPIE).

Shannon, R. R.; Wyant, J. C. Applied optics and optical engineering volume III. New York: ACADEMIC PRESS INC, 1980. 407p.

147

Shuster, M.D; Lopes, R.V.F. Parameter interference in distortion and alignment calibration. (AAS 94-186) Advances in the Astronautical Sciences, v. 87, p. 595-611, 1994.

Smith, W. J. Modern optical engineering. New York: Mc Graw-Hill, Inc., 1966. 476p.

Stavroudis, O. N.; Feder, D. P. Automatic computation of spot diagrams . Journal of the Optical Society of America, v. 44, n. 2, p. 163-169, Feb. 1954.

Stone, C. R.; A comparison of digital centering algorithms. The Astronomical Journal, v. 97, n. 4, p. 1227-1237, Apr. 1989.

Thomson Composants Militaires et Spatiaux. The CCD image sensors . [S.l], France, [198-?]. 41p.

Wertz, J. R. Spacecraft attitude determination and control. London: D. Reidel, 1997. 879p.

Focus Software, Incorporated. ZEMAX Optical Design Program User's Guide . Tucson-Arizona, 2002. 561p.

148

149

APÊNDICE A

UMA VISÃO GERAL DO ZEMAX: UM PROGRAMA DE MODELAGEM E

SIMULAÇÃO DE SISTEMAS ÓPTICOS

A.1 – Introdução

Neste Capítulo, descreve-se de maneira sumária, o “software” ZEMAX: para que serve;

seu funcionamento e algumas de suas ferramentas, dando assim meios para que o

trabalho seja entendido por completo, pois tal programa foi talvez a principal ferramenta

de simulação usada. Além disso, este Capítulo ainda fornece uma base inicial ao leitor

que esteja interessado em usar o ZEMAX, ou mesmo compará- lo com outros

“softwares” semelhantes. Quase todas as informações foram retiradas do manual do

programa (ZEMAX User’s Guide, 2002).

A.2 – Visão Geral do ZEMAX

O ZEMAX 10 é um programa de simulação óptica desenvolvido pela ZEMAX

DEVELOPMENT CORPORATION, que serve para modelar, analisar e auxiliar no

projeto de lentes e de sistemas ópticos refrativos, refletivos e difrativos, quer sejam

seqüenciais quer sejam não-seqüenciais, usando para isso basicamente o traçado de

raios.

O ZEMAX pode ser usado de três maneiras diferentes: completamente seqüencial,

híbrida (seqüencial e não seqüencial), e completamente não seqüencial. A maior parte

dos sistemas ópticos e praticamente todos os sistemas de formação de imagem são bem

representados pelo modelo completamente seqüencial. A forma híbrida serve para

sistemas com porções seqüenciais significativas, e alguns componentes não seqüenciais

(ex. prismas), enquanto que a forma completamente não seqüencial serve para fazer

análises de iluminação, espalhamento e desvio de luz.

Na forma seqüencial os raios são traçados da seguinte maneira:

150

O raio tem início na superfície objeto, então é traçado para superfície 1 em seguida para

a superfície 2 e assim por diante. Um raio nunca vai da superfície 2 para 6 em seguida

para 3 e depois para 1, isso seria não seqüencial. Cada raio vai para cada superfície em

uma seqüência específica e pré-determinada. Se um raio não pode ser traçado para a

próxima superfície nessa seqüência, o traçado para este raio é finalizado com um erro.

Já na forma não-seqüencial, os raios são traçados ao longo de qualquer caminho

fisicamente possível, seguindo qualquer ordem.

O ZEMAX, apesar de possuir tanto a forma seqüencial quanto a não seqüencial, é muito

mais especializado e avançado na forma seqüencia l, pois aquela forma só foi incluída no

programa depois da versão 7.0. Apesar de cada atualização do programa incluir novas

ferramentas, facilidades e melhorias na forma não-seqüencial, ele ainda se encontra

distante quando comparado a programas desenvolvidos apenas para esta finalidade,

porém, vêm se aproximando rapidamente.

Neste texto só será tratada, apresentada e discutida a forma seqüencial, pois foi a única

que se utilizou para o desenvolvimento do trabalho em questão, e como já foi dito, em

geral, é a mais usada.

O ZEMAX é disponível em três diferentes edições: ZEMAX–SE (“Standard Edition”),

ZEMAX–XE (“Extended Edition”) e ZEMAX-EE (“Engineering Edition”); a diferença

entre elas está em alguns recursos que não são disponíveis nas versões SE e XE. Este

texto é voltado para a edição EE, a mais completa, já que tal versão engloba as outras

duas.

O ZEMAX não tem o objetivo de ensinar o usuário como projetar lentes ou sistemas

ópticos, mas sim oferecer muitas ferramentas para auxiliá- lo de uma forma interativa na

análise e no projeto dos mesmos. Entre essas ferramentas, destacam-se as de

extensibilidade, otimização, multi-configuração, análise térmica, análise de tolerâncias,

entre muitos outros recursos de análise disponíveis (veja Seção A.6). Se o usuário tem

pouca ou nenhuma experiência em projetos ópticos, antes de usar o ZEMAX, deve

buscar conhecimento em literatura especializada.

151

A.3 – Política da Licença do Programa

Para que o programa rode sem problemas é necessário que a “hardlock” que vem junto

com cada licença do programa esteja conectada à porta paralela ou USB do computador.

Na verdade, o “hardlock” é a própria licença. A política da licença do programa

funciona do seguinte modo: pode-se instalar o ZEMAX em quantos computadores se

queira, porém só uma dessas cópias por licença pode ser executada por vez. O ZEMAX

não possui licenças de rede que são acessadas remotamente.

A.4 – Características Gerais

O ZEMAX foi desenvolvido para ser simples de usar, a interface do programa é feita

através de janelas, sendo assim muito visual e intuitivo. Com um pouco de prática, pode

possibilitar o desenvolvimento de um projeto de uma forma interativa e muito rápida. A

maioria dos recursos do programa são acessados através da seleção do menu de opções.

O teclado e as teclas de atalho são usados para uma navegação rápida, ou estabelecendo

uma passagem secundária à estrutura do menu.

O ZEMAX trabalha com diferentes janelas. A principal se abre ao iniciar o programa.

Ela contém uma grande área em branco, com uma barra com título, barra de menu e

uma barra de ferramentas no topo (Figura A.1). Essa janela é usada para modelar uma

lente ou um sistema óptico, e recebe o nome de “Lens Data Editor” (LDE) que é um

tipo de planilha.

O modelamento de uma lente ou um sistema óptico seqüencial é feito através de

algumas ou inúmeras (mais de 1000) instanciações de um único tipo de objeto chamado

de superfície, que são representadas pelas linhas desta planilha; já as características de

cada superfície são inseridas ao longo de suas colunas.

152

FIGURA A.1- Janela principal do ZEMAX e uma de suas janelas secundárias chamada de “Lens Data Editor”.

Ao se abrir o LDE em um novo arquivo, pode-se visualizar inicialmente três superfícies

que são: OBJ, STO; e IMA (Figura A.1). A primeira representa o objeto; a segunda, o

“stop aperture” do sistema; a última, o plano imagem. Todo sistema modelado no

ZEMAX deve conter no mínimo essas superfícies. Pode-se inserir outras superfícies

clicando com o mouse dentro do LDE, e apertando a tecla “Inset”. Desta forma, pode-se

inserir mais de 1000 superfícies. As colunas mais usadas, onde são colocadas as

características das superfícies, são: a segunda (“radius”), onde se insere o raio de

curvatura da superfície; a terceira (“thickness”) onde se insere a distância central da

presente superfície até a seguinte (que pode representar tanto a espessura de uma lente

ou a distância de separação entre duas superfície adjacentes); a quarta (“glass”), onde se

insere o nome de um tipo de vidro, que consta em um dos catálogos de vidro do

programa (Figura A.1). O material definido preenche o espaço entre a presente

superfície e a seguinte. Caso deixado em branco, o programa adota o ar (com índice de

153

refração um para todos os comprimentos de onda) como material que preenche as

superfícies.

As outras colunas são habilitadas ou não, dependendo do tipo de superfície que se

escolhe na primeira coluna. Existem 52 tipos de superfícies que podem ser escolhidas

no ZEMAX-EE, como por exemplo: “Standard, Even Asphere, Odd Asphere, Biconic”,

etc (para mais detalhes sobre os tipos de superfície veja ZEMAX User’s Guide 2002 pp.

13-1-13-38).

Depois de modelados a geometria e o material de cada lente e objeto do sistema, é

necessário definir os comprimentos de onda e seus respectivos “pesos”, os quais o

sistema é projetado para trabalhar, definir o tamanho da pupila de entrada e o campo de

visada do sistema. Isso deve ser feito, pois esses dados servem de entrada para as

simulações, análises e otimização do sistema.

Os comprimentos de onda para os quais se deseja fazer as simulações, análises e

otimização do sistema, são definidos em uma janela chamada “Wavelength Data”.

Nessa se definem até doze comprimentos de onda em mícrons com seu respectivo

“peso” e também o comprimento de onda do sistema adotado como principal. Os pesos

definidos são quantidades relativas da influência ou importância do comprimento de

onda no sistema e são levados em conta nos cálculos, análises e otimizações feitas pelo

ZEMAX. O comprimento de onda definido como primário, é usado como referência em

uma série de cálculos e análises, como por exemplo, no cálculo da distância focal

efetiva do sistema modelado.

O CDV do sistema pode ser definido de várias formas (e.g. ângulo, tamanho do objeto,

tamanho real da imagem) em uma janela chamada de “Field Data”. Esses servem para

se definir para quais regiões do CDV o ZEMAX deve gerar e executar as análises,

cálculos e otimização.

154

A.5 – Banco de Dados de Vidros

Em Óptica Geométrica, para se fazer o traçado de raios através de um sistema, só o que

se precisa é a lei de Snell. Para aplicar tal lei deve-se ter as informações sobre a

geometria de cada lente que compõe o sistema, o ângulo de entrada dos raios e os

índices de refração do material com o qual essas lentes são feitas. Geralmente esses

materiais são vidros. Porém existem muitos tipos de vidros, cada um com suas

características ópticas, que podem diferir muito entre si.

Em programas de simulação óptica, a modelagem de vidros é um dos parâmetros mais

importantes para que se tenha uma simulação mais próxima o possível da realidade. No

ZEMAX, a modelagem é muito bem fe ita, pois considera vários efeitos.

Cada vidro ou material definido em um catálogo possui uma infinidade de coeficientes,

dos quais vários servem para modelar as características ópticas e físicas, sendo usados

como valores de entrada nas simulações do sistema; outros são meramente informativos,

e não são usados para nenhum cálculo ou simulação.

Alguns dos coeficientes definidos para os vidros usados nas simulações e cálculos são:

os dados de dispersão, o máximo e mínimo comprimentos de onda, os coeficientes de

expansão térmica, os coeficientes da equação que modela a mudança do índice de

refração com a temperatura, o valor da densidade do material, e os valores da

transmitância interna do material (para mais detalhes veja ZEMAX User’s Guide, 2002

p.19-1-19-17).

A dispersão de um vidro pode ser modelada através de diferentes equações (e.g. Schott,

Semeirer1, Sellmeirer2, Sellmeirer3, Sellmeirer4, Herzberger e Corandy). Estas

relacionam o comprimento de onda com o índice de refração do material (no ZEMAX

todos os índices de refração do material são relativos ao índice de refração do ar que é

tomado como um). Logo a seguir temos alguns exemplos destas equações:

85

54

43

22

210

2 −−−− +++++= λλλλλ aaaaaan (Schott) (A.1)

155

32

23

22

22

12

212 1

LK

LK

LK

n−

+−

+−

=−λ

λλ

λλ

λ(Sellmier1) (A.2)

6422 λλλ FEDCLBLAn +++++= onde 028,0

12 −

=λ

L (Herzberger) (A.3)

Estas equações são curvas ajustadas a partir de coeficientes, onde, por exemplo, no caso

do Sellmeier 1, são dados por seis (são eles K1,K2,K3,K4,L1,L2,L3 e L4, veja a Figura

A.2). Quando o usuário insere um novo vidro no catálogo, pode definir diretamente os

valores desses coeficientes, ou ainda inserir os dados dos índices de refração do material

nos respectivos comprimentos de onda e escolher a equação de dispersão que deseja

usar, e então o ZEMAX calcula os coeficientes desta Equação através de um ajuste de

curva. Esse procedimento é feito em uma janela que se abre clicando em “Fit Index

Data” (Figura A.3) que é uma das opções dentro da janela “Glass Catalog” (Figura A.2).

FIGURA A.2- Janela dos catálogos dos vidros e as informações referentes ao vidro

selecionado, que neste caso é o BK7 do catálogo Schott.

156

Os valores do comprimento de onda máximo e mínimo dados respectivamente por “Min

Wave” e “Max Wave” são os valores que especificam o limite onde a equação de

dispersão é válida.

O coeficiente de expansão térmica dado por TCE serve para calcular a mudança no raio

de curvatura, na espessura e no diâmetro de cada um dos elementos do sistema formado

por vidro (ou material semelhante) quando se faz a análise térmica do sistema. Esse

coeficiente é válido para o intervalo de -30° a 70°C e o número inserido ou mostrado no

ZEMAX é o valor do coeficiente multiplicado por 106.

A mudança do índice de refração com a temperatura é modelada por uma equação de

dispersão térmica com vários coeficientes (são eles: D0, D1, D2, D3, E0, E1, tk). Esses

também são muito importantes quando se faz a análise térmica do sistema no ZEMAX.

FIGURA A.3- Janela usada para inserir os valores dos índices de refração para cada

comprimento de onda definido, a fim de que o ZEMAX calcule os valores dos coeficientes da Equação de dispersão escolhida.

O valor da densidade do material “p” é dado em gramas por centímetro cúbico, sendo

usado no cálculo da massa de cada lente do sistema.

Os dados de transmitância interna do vidro servem para fazer o cálculo da transmitância

total, a qual é função da transmitância interna, da transmitância de Fresnel e do efeito de

“vignetting”. Os dados da transmitância interna se encontram ou são inseridos em uma

157

janela que se abre ao clicar em “Transmission” (Figura A.4) que é uma opção dentro da

janela “Glass Catalog” (Figura A.2). A transmissão para cada comprimento de onda é

definida no catálogo de vidro por três números: o valor do comprimento de onda em

micrometros, a intensidade da transmitância em porcentagem, e a espessura de

referência do material em mm. Estes valores podem ser inseridos no editor de dados de

transmissão para vários comprimentos de onde. Os dados de transmitância interna para

cada comprimento de onda são calculados através da lei de Beer dada pela Equação:

ατet = (A.4)

Onde t é a transmitância interna, α é o coeficiente de absorção calculado pelo ZEMAX

com base nos dados de transmitância interna inseridos da forma explicada, e τ é o

comprimento do caminho que a luz faz dentro do vidro.

Para calcular a transmitância interna referente a comprimentos de onda para os quais

não se definiu nenhum dado, o ZEMAX faz internamente uma interpolação linear entre

comprimentos de onda para os quais os dados foram definidos. Se o traçado de raio for

feito em um comprimento de onda fora do intervalo dos comprimentos de onda

definidos, então os dados do comprimento de onda mais próximo são usados.

FIGURA A.4- Janela onde se inserem os valores da transmitância interna do vidro. A

primeira coluna é a dos comprimentos de onda, a segunda é a da transmitância e a terceira é a da espessura de referência.

158

A.6 – Análises

Esse programa possui um conjunto de ferramentas de análise e diagnóstico de sistemas

ópticos bem completo. Para todas estas ferramentas têm-se uma “dialog box” na qual

podem ser escolhidos os métodos de cálculo e as formas de apresentação dos resultados

de modo a satisfazer o usuário.

As ferramentas de diagnóstico que são dadas na forma de gráficos, além de poderem ser

facilmente exportadas em diferentes extensões, ainda permitem o acesso aos valores

numéricos que geram o gráfico, bem seu como seu salvamento em arquivos .txt. Isso

também vale para análises que já são dadas na forma de texto.

Como são muitas ferramentas de análise disponíveis no ZEMAX é inviável fazer um

comentário de cada uma delas. Contudo, na Tabela A.1, encontra-se uma lista parcial

das ferramentas de análise mais importantes do modo seqüencial disponíveis no

ZEMAX. A lista pode servir para comparação entre ele e outros programas do mesmo

tipo.

TABELA A.1- Lista parcial das ferramentas de análise disponíveis no ZEMAX. Layouts 2D cross section

3D perspective and wireframe Solid or shaded model Surface, singlet, and doublet element drawings ISO 10110 format drawings

Fans Ray aberration Optical path difference Pupil aberration

Spot Diagrams Standard field-by-field Through focus Full field, Matrix Extended source bitmaps and images

(continua)

159

(Tabela A.1 – conclusão) Diffraction MTF, PSF Analysis Modulation transfer function (MTF)

Sine or Square wave MTF Through focus MTF Point spread function (PSF) Surface MTF and filed MTF maps Geometric, Huygens, or FFT based MTF, PSF Wavefront maps

Encircled Energy Diffraction radial Geometric radial, x, y Extended sources Line/Edge response

Miscellaneous Diffraction extended source images Footprint analysis Grid distortion Relative illumination, Vignetting Longitudinal aberration, Lateral color Field curvature and distortion RMS vs. field, focus, or wavelength Interferograms Y-Ybar diagram Chromatic focal shift Dispersion plot, glass map diagrams Glass internal transmittance vs. wavelength

Numerical Computations Single and multimode fiber coupling efficiency First order system data Surface power, volume, edge thickness data Ray trace data, real and paraxial Gaussian beam parameters Seidel and Zernike aberrations Wavefront, transverse, longitudinal aberrations YNI contributions Sag tables, maximum aspheric deviation

Polarization Ray Tracing Polarization Ray Tracing Polarization state evolution Polarization ellipse pupil map System transmission Coating reflection, transmission, and absorption Polarization aberrations System transmission fans

Physical Optics Propagation User defined beam definition Irradiance plots Phase plots Encircled Energy plots Fiber Coupling Supports Polarization

160

A.7 – Linguagem de Programação do ZEMAX e Ferramentas de Extensibilidade

A linguagem de programação do ZEMAX (ZPL) é uma linguagem interpretada, macro,

de alto nível e simples de usar, especialmente desenvolvida para se usar junto com o

ZEMAX. A ZPL fornece a capacidade de extensibilidade ao usuário. Isso significa que

se o usuário precisar de um cálculo ou um gráfico em particular que não esteja

“incorporado” no programa, ele pode escrever sua própria rotina para fazer a tarefa.

Esta rotina pode ser armazenada em um disco e chamada ou acessada com o ZEMAX. É

possível desenvolver uma biblioteca de programas ZPL, e compartilhar com outros

usuários do ZEMAX.

A ZPL é similar à linguagem BASIC, exceto por não ter todos os comandos e palavras

chaves disponíveis, e por ter algumas novas capacidades e funções adicionais

desenvolvidas próprias para cálculos e análises ópticas. Todas as funções, operações

lógicas e variáveis aceitas pela ZPL são listadas e explicadas no manual do programa.

Para se escrever a rotina basta usar qualquer editor de texto e salvar o arquivo com a

extensão.ZPL dentro de uma pasta do ZEMAX destinada para isso. Então, para executar

essa rotina para um sistema óptico modelado no ZEMAX, basta abrir o arquivo desse

sistema e, em seguida, através do menu principal do ZEMAX, escolher a rotina que se

quer executar.

As saídas dos cálculos e/ou resultados de uma rotina feita em ZPL podem ser dadas na

forma de texto na tela do computador em uma janela que se abre ao se dar início na

execução da rotina, na forma de um arquivo do tipo texto e também em forma de

gráficos em uma nova janela do ZEMAX.

Apesar de simples de usar e de ser uma ferramenta muito boa de extensibilidade do

programa, a ZPL ainda possui muitas limitações de comando. Um exemplo disso é que

não se pode definir variáveis do tipo vetor e muito menos do tipo matriz, pode-se apenas

usar quatro vetores que são variáveis pré-definidas da própria ZPL, e nem mesmo os

seus nomes podem ser modificados. Dessa forma limita-se e dificulta-se o

desenvolvimento de rotinas mais elaboradas por parte do usuário.

161

Outro ponto negativo está no tempo de execução das rotinas feitas nessa linguagem, que

são relativamente muito lentas. Chegou-se a esta conclusão através da comparação entre

o número de raios por segundo que o ZEMAX em um certo computador naturalmente

consegue traçar por um dado sistema, e o número de raios por segundo que se consegue

traçar usado uma rotina em ZPL nas mesmas condições. Isso foi feito da seguinte

forma: aplicou-se, no sistema óptico utilizado para o desenvolvimento deste trabalho,

uma ferramenta disponível no ZEMAX que serve para avaliar a “velocidade” em que o

computador pode traçar raios por segundo por um dado sistema, e se obteve um

resultado de 481880 raios por segundo. Em seguida, criou-se uma rotina na ZPL com

um “loop” para traçar vários raios através do mesmo sistema óptico, obtendo-se um

resultado de 5702 raios por segundo. Este valor é muito menor do que resultado

fornecido pelo teste de velocidade do programa, chegando-se a conclusão de como uma

rotina em ZPL pode ser lenta.

Apesar disso, o ZEMAX ainda possui uma outra ferramenta de extensibilidade mais

poderosa, mais rápida e mais complexa que a ZPL. Através dessa, o ZEMAX permite

que outros programas do “Windows” estabeleçam comunicação com ele através de uma

ferramenta Chamada “Dynamic Data Exchange” (DDE). Com isso, o ZEMAX pode

trocar informações e comandos com outros programas desenvolvidos pelo usuário com

um determinado objetivo. A idéia é usar o ZEMAX para traçar os raios por um dado

sistema óptico, fazendo com que o programa feito pelo usuário extraia as informações

do ZEMAX, de modo a fazer análises ou cálculos que ele não tem disponíveis. Ainda é

possível fazer com que o programa devolva as análises e cálculos para o ZEMAX

fazendo-o mostrar os resultados em uma de suas janelas usuais de gráfico ou texto.

Todavia, para usar esta ferramenta, é necessário que o usuário saiba programação em

“C” para Windows, tenha um compilador de “C” que possa gerar executáveis para

Windows de 32 bits e aprenda a programação DDE. Segundo o manual do ZEMAX, a

parte mais difícil da programação, que é fazer o programa elaborado pelo usuário

estabelecer um meio de comunicação com o ZEMAX, já está feita e disponível para

estudo e reutilização.

162

A.8 – Ferramentas de Otimização do ZEMAX

O ZEMAX é provido de algumas ferramentas de otimização que servem para melhorar

a performance de um sistema óptico baseado em um projeto inicial, utilizando para isso

poderosos algoritmos de otimização que tentam minimizar o valor de uma função

chamada de Função de Mérito (“Merit Function” MF).

A otimização pode ser feita usando três diferentes algoritmos, a saber: “Optimization”,

“Hammer Optimization” e o “Global Search”. O primeiro deles tenta achar o mínimo

local da MF baseado na técnica de otimização de mínimos quadrados. O segundo é o

algoritmo de otimização que serve para escapar do mínimo local e verificar se não

existe uma solução vizinha melhor no espaço solução. O último algoritmo é usado para

buscar soluções com novos arranjos baseados no projeto inicial. Esse usa uma

combinação de algoritmos genéricos como: “simulated annealing”, “multstart”, “expert

systems”, “neural networks”, entre outros. Entretanto ele geralmente não produz

projetos finalizados, para isso é necessário, após a sua utilização, aplicar o “Hammer

Optimization” em uma das soluções encontradas pelo “Global Search”.

Para se fazer uso de qualquer uma das três otimizações, é necessário satisfazer os

seguintes requisitos: 1) ter um sistema óptico razoável o qual servirá de ponto de

partida, 2) definir as variáveis do seu sistema e 3) criar uma MF.

Qualquer número de variáveis pode ser simultaneamente otimizado, praticamente

qualquer parâmetro do sistema que se encontra no LDE pode ser definido como

variável, incluindo raio, espessura, vidros, coeficientes de superfícies não esféricas,

espaçamentos, aberturas, entre outros. Para especificar uma variável usada no processo

de otimização, simplesmente é necessário apertar as teclas Ctrl-Z simultaneamente,

quando se estiver com a barra de seleção em cima do parâmetro a ser definido como

variável no LDE.

A MF pode ser definida como uma representação numérica de quão perto um sistema

óptico se encontra em relação a um conjunto de metas e vínculos.

163

A MF nada mais é do que uma lista de operadores, os quais individualmente

representam diferentes vínculos ou metas para o sistema. Os operadores representam

metas como: qualidade da imagem, distância focal, aumento do objeto, entre outros. E

podem representar vínculos como: espessura máxima de uma lente, tamanho máximo do

sistema, espessura mínima da borda de uma lente, etc. O ZEMAX possui mais de 250

operadores que podem ser usados para a construção da MF. Para cada um deles,

quando definidos na MF, deve-se informar o valor que se deseja que ele tenha, o “peso”

relativo que esse operador tem sobre os demais, e algumas coordenadas que servem para

definir para onde este operador será válido.

A MF é proporcional à raiz quadrada da soma ponderada do quadrado da diferença entre

o valor atual “Vi” e o valor que se deseja “Ti” de cada operador da lista (Equação A.5).

A MF é definida desta maneira onde o valor zero é o ideal. Então o que os algoritmos de

otimização fazem é se esforçar para levar o valor desta função para o menor possível.

∑∑ −

=i

iii

WTVW

MF2

2 )( (A.5)

Onde MF é valor da Função de Mérito, “Wi” é o peso definido para um certo operador i,

“Vi” é o valor atual do operador i e “Ti” é o valor que se deseja para o operador i.

A maneira mais fácil de se definir uma Função de Mérito é usar uma das 20 funções

disponíveis do “default”, e em seguida adicionar outros operadores de interesse

manualmente.

Para se usar uma MF do “default”, deve-se escolher uma série de opções, como: o

método de otimização (RMS ou PTV “peak-to-valley”), tipo de dados a serem

otimizados (que podem ser referentes a um dos raios do “spot”, x, y, ou x + y, ou ainda

referentes aos erros da frente de onda), o método de integração (este método está

relacionado com a geometria de distribuição na pupila de entrada dos raios usados para

o cálculo dos operadores), entre outros. Depois disso, o ZEMAX cria automaticamente

uma MF com vários operadores podendo o usuário inserir outros manualmente (Figura

A.5).

164

A primeira coluna de cada linha da MF traz o código do operador que está sendo usado,

as demais colunas da mesma linha são destinadas aos parâmetros necessários para este

operador. O manual do programa traz uma lista de todos os operadores de otimização e

uma explicação detalhada de cada um deles. Ainda é possível se criar novos operadores

através das ferramentas de extensibilidade, comentada na Seção A.7.

FIGURA A.5- MFE usada para criar a função de mérito.

Depois de ter feito os três passos necessários para otimização, dá-se início ao processo

escolhendo um dos três métodos de otimização disponíveis.

O ZEMAX suporta até 4 CPUs por computador para execução automática de

encadeamento múltiplo no uso das ferramentas de otimização.

A.9 – Multi-Configuração

O ZEMAX tem uma ferramenta que facilita a análise e possibilita a otimização de

sistemas que possuem mais de um modo ou configuração. Exemplos desse tipo de

sistema são sistemas ópticos com “Zoom”, ou mesmo sistemas ópticos que possuem

uma objetiva e diferentes oculares, entre outros. Naqueles geralmente o que se tem é

uma variação entre as distâncias de algumas lentes que compõem o sistema, enquanto,

que nesse, o que se tem é a variação completa de uma parte do sistema, tanto na

geometria, material, quanto no número de elementos que formam cada ocular.

165

Para se fazer análises de sistemas desse tipo, não é necessário o modelamento de cada

configuração em um novo arquivo, pois o ZEMAX possui uma ferramenta chamada de

“Multi-Configuration” ou Multi-Configuração, que possibilita a análise desse tipo de

sistema. Com essa ferramenta o ZEMAX possibilita o modelamento de diferentes

configurações em um único arquivo. Isso é feito em uma janela chamada “Multi-

Configuration Editor” (MCE). Nas linhas dessa janela são inseridos os operadores

referentes a um certo parâmetro do sistema que varia de uma configuração para outra.

Na primeira coluna de cada linha (Figura A.6) pode-se ver uma sigla, que identifica os

parâmetros que mudam de uma configuração para outra (e.g: THIC-“Surface thickness”,

CRVT- “Surface curvature”), juntamente com o número da superfície a que o operador

se refere. Nas demais colunas de cada linha, estão os valores do parâmetro em cada

configuração.

Quando se está em uma dada configuração, todas as ferramentas de análises usadas

geram resultados para essa determinada configuração. Para se mudar de uma

configuração para a seguinte pode-se usar o comando Ctrl+A, ou se quiser ir para

anterior Shift+Crlt+A, ao se fazer isso todas as janelas de análises que estiverem abertas

irão se atualizar e fornecer os resultados para a configuração selecionada.

Quando se usa Multi-Configuração, é possível criar uma MF que contenha operadores

para cada uma das configurações. Desta forma, pode-se otimizar todas as configurações

de um sistema simultaneamente, colocando qualquer parâmetro de qualquer

configuração como variável no MCE.

Existem mais de 55 parâmetros que podem ser definidos na MCE que controlam

praticamente todos os parâmetros do sistema incluindo: a geometria das lentes, o campo

de visada, o F/#, os comprimentos de onda, etc.

166

FIGURA A.6- MCE do ZEMAX usada para modelar sistemas com várias

configurações.

Essa ferramenta também pode ser usada para fazer a análise térmica de um sistema.

Nesse tipo de Multi-Configuração o que se faz é inserir um operador que define a

temperatura do sistema em cada configuração, colocando em cada uma delas o valor da

temperatura em graus Celsius nas quais se pretende fazer as análises. Em seguida, deve-

se colocar todos os operadores para todas as superfícies que possam sofrer variações

com a temperatura. Para cada uma das configurações, tirando a configuração padrão

tomada como referência, deve-se definir o operador como “Thermal Pick Up” da

configuração padrão. Desta forma, o ZEMAX calcula automaticamente os valores de

cada parâmetro na temperatura definida na configuração em questão. Para isso, ele usa

principalmente os valores encontrados no banco de vidros, e os valores de expansão

térmica do material no qual as lentes do sistema estão montadas, que pode ser definido

pelo usuário na última coluna do LDE. Para definir o valor de um operador em uma

determinada configuração como “Thermal Pick Up”, basta dar um clique duplo sobre a

célula que se deseja no MCE e então a janela mostrada na Figura A.7 se abrirá. No item

“Solve Type”, escolhe-se “Thermal Pick Up” e no “Config” se escolhe o número da

configuração padrão, tomada como base para os cálculos.

167

FIGURA A.7- Janela que se abre quando se dá um duplo clique em qualquer célula no

MCE.

Todavia, para facilitar a análise térmica, e evitar que o usuário cometa erros na hora de

inserir todos os operadores no MCE que sofrem variações com a temperatura, o

ZEMAX possui uma ferramenta que faz isso automaticamente para o usuário, criando

diferentes configurações com diferentes temperaturas, já com todos os operadores

necessários definidos para essa análise. O único trabalho que o usuário tem é definir a

mínima e a máxima temperatura onde deseja fazer as análises, e definir o número de

configurações em que esse intervalo de temperatura deve ser dividido.

A.10 – Ferramenta de Análise de Tolerância do ZEMAX

Uma das poderosas e importantes ferramentas do ZEMAX é a chamada “Tolerancing”.

Essa possibilita a análise, baseada em um critério de avaliação, dos efeitos decorrentes

da introdução de perturbações nos valores nominais dos parâmetros do sistema, e tem

como objetivo determinar a quantidade e tipos de erros que podem ser introduzidos na

fabricação e montagem do sistema óptico, de modo que continue atendendo aos

requisitos de performance, ou mesmo, verificar se a precisão de fabricação que se tem

disponível é suficiente para isso.

Essas perturbações decorrem de erros de fabricação, montagem, desvios dos valores

nominais das características ópticas dos materiais, entre outros. As tolerâncias podem

ser avaliadas por vários critérios diferentes, incluindo: valor RMS do tamanho do

“spot”, valor RMS do erro na frente de onda, resposta da MTF em uma determinada

freqüência, valor de uma função de mérito definida pelo usuário, entre outros.

168

As perturbações podem ser inseridas nos parâmetros de construção de cada elemento do

sistema, a saber: curvatura, espessura, índice de refração, número Abbe, constantes não

esféricas, irregularidades no formato das superfícies, entre outros, bem como em

parâmetros de montagem e/ou fabricação do suporte mecânico dos elementos do

sistema: posição, descentralização, inclinação dos elementos em relação a um ponto

arbitrário, etc. As várias tolerâncias podem ser usadas em qualquer combinação para

estimar a performance do sistema referentes aos efeitos dos erros de alinhamento e

fabricação.

As tolerâncias dos parâmetros de cada superfície ou elemento do sistema são inseridas e

editadas individualmente em um editor chamado “Tolerance Data Editor” (TDE). Isso é

feito usando operadores simples, por exemplo, o “TRAD” o qual define a tolerância no

raio de curvatura de uma determinada superfície. Os operadores de tolerância são

automaticamente salvos juntamente com o arquivo do sistema óptico.

A análise de tolerância pode ser feita de três formas:

“Sensitivity Analysis”: Neste modo o programa determina o impacto no critério de

avaliação escolhido, para cada tolerância definida no TDE individualmente. Os efeitos

individuais de cada tolerância são então somados estatisticamente de modo a determinar

a performance estimada do sistema.

“Inverse Sensitivity”: Neste modo se define um decréscimo máximo no critério de

avaliação permitido para cada tolerância definida no TDE, então o programa analisa

cada uma delas e, se necessário, as comprime de modo a atender o decréscimo máximo

definido. Os efeitos individuais de cada tolerância são então somados estatisticamente

de modo a determinar a performance estimada do sistema.

“Monte Carlo”: As análises estatísticas fornecidas através dos dois métodos anteriores

assumem que cada tolerância definida no TDE é perturbada pelo valor máximo

definido, e o que os erros são independentes. Já neste modo, o programa gera

aleatoriamente uma série de sistemas respeitando as tolerâncias definidas, onde todos os

parâmetros são aleatoriamente perturbados usando modelos estatísticos apropriados

169

definidos pelo usuário, baseado nos dados efetivos de fabricação (Normal, Uniforme ou

Parabólica). Com isso, o sistema como um todo é avaliado considerando todos os

defeitos possíveis simultaneamente. Deste modo, o ZEMAX pode simular rapidamente

a fabricação de um imenso número de lentes e informar a estatística da produção

baseado no critério de avaliação.

170

171

APÊNDICE B

ROTINAS ZPL DESENVOLVIDAS DURANTE O TRABALHO

B.1 – Rotina Usada para Gera Imagens Simuladas das Estrelas nos Estudo dos ESI nfield = NFLD() maxfield = MAXF() ! Previne a divisão por zero IF (maxfield == 0.0) THEN maxfield = 1.0 n = NSUR() nwav = NWAV() Pmax=0 FOR P=1,nwav,1 IF Pmax < WWGT(P) Pmax=WWGT(P); ENDIF NEXT SETVECSIZE 33000 POLDEFINE 1,1,0,0 k=0 LABEL 2 ni=0 ENDIF LABEL 1 i = ni hx = i/8800 hy = k/8800 fm$=$str(k+1) fn$ = $STR(i+1) fex$ = ".txt" fname$ = "spotPT" ! Sub-rotina usada para traçar os raios na forma recipolar ! para todos os comprimentos de onda definidos no sistema, ! a fim de calcular a posição de cada um no plano focal ! e a sua transmitância FOR wav=1,nwav,1 peso=(WWGT(wav)/Pmax) x = 0 nda=0 nir=6 nr=0 nta=41 FOR r = 1/nta,1,1/nta nda=1+nda nr=nr+nir FOR j = (7.5*nda+15),(7.5*nda+15)+(nr-1)*360/(nda*nir)+0.000000000009,360/(nda*nir) px = r*SINE(j*3.141592654/180)

172

py = r*COSI(j*3.141592654/180) RAYTRACE hx,hy,px,py,wav x=1+x VEC1(x) = RAYX(n) VEC2(x) = RAYY(n) POLTRACE hx,hy,px,py,wav,4,nsur() VEC4(x+16) = VEC4(1)*peso NEXT NEXT RAYTRACE hx,hy,0,0,WAV,4,nsur() VEC1(0) = RAYX(n) VEC2(0) = RAYY(n) POLTRACE hx,hy,0,0,WAV,4,nsur() VEC4(16)=VEC4(1)*peso file$ = fname$+fn$+fm$+fex$ ! Saída para um arquivo texto dos dados de interseção de cada ! raio no plano X'Y'e sua respectiva de transmitância através ! da objetiva cada raio OUTPUT file$ APPEND FOR p=0,x,1 PRINT VEC1(p)," ",VEC2(p)," ",VEC4(p+16) NEXT NEXT ! Traça o raio principal para o ponto objeto em questão ! e fornece sua posição no plano X'Y' RAYTRACE hx,hy,0,0,PWAV() xp = RAYX(n) yp = RAYY(n) OUTPUT SCREEN PRINT file$ ! Saída dos dados da posição do raio principal plano X'Y' ! para o arquivo texto OUTPUT file$ APPEND PRINT xp," ",yp," ",0 IF ni==0 ni=780 GOTO 1 ENDIF if ni==7980 ni=8740 GOTO 1 ENDIF ni==(40*20)+ni IF ni<=8740 THEN GOTO 1 IF k<8800 k=k+800 GOTO 2 ENDIF

173

B.2 – Rotina para Extrair Dados do Sistema Óptico Usados como dados de

Entrada nos Estudo dos ESD nfield = NFLD() maxfield = MAXF() ! prevent divide by zero bug IF (maxfield == 0.0) THEN maxfield = 1.0 n = NSUR() nwav = NWAV() ki=0 Kf=100 ni=0 nf=100 if ni==0 K=Ki FOR i = ni,nf,1 hx = i/100 hy = k/100 fm$=$str(k+1) fn$ = $STR(i+1) fex$ = ".txt" fname$ = "distortion" file$ = fname$+fn$+fm$+fex$ GETSYSTEMDATA 3 xp=VEC3(7)*TANG(i*(MAXF()/100)*3.141592654/180) yp=VEC3(7)*TANG(K*(MAXF()/100)*3.141592654/180) RAYTRACE hx,hy,0,0,PWAV() xr = RAYX(n) yr = RAYY(n) OUTPUT SCREEN PRINT file$ OUTPUT file$ APPEND PRINT xr," ",xp NEXT

B.3 – Rotina para Gera Imagens Simuladas das Estrelas Usadas no Teste do

Método de Correção dos ESI nfield = NFLD() maxfield = MAXF() ! prevent divide by zero bug IF (maxfield == 0.0) THEN maxfield = 1.0 n = NSUR() nwav = NWAV() Pmax=0 FOR P=1,nwav,1 IF Pmax < WWGT(P) Pmax=WWGT(P); ENDIF NEXT SETVECSIZE 33000 POLDEFINE 1,1,0,0 k=400 LABEL 2 ni=380

174

ENDIF LABEL 1 i = ni hx = i/8800 hy = k/8800 fm$=$str(k+1) fn$ = $STR(i+1) fex$ = ".txt" fname$ = "spotPT" !GETSYSTEMDATA 3 !xr=VEC3(7)*TANG(i*(10/8800)*3.141592654/180) !yr=VEC3(7)*TANG(FLDY(1)*3.141592654/180) FOR wav=1,nwav,1 peso=(WWGT(wav)/Pmax) x = 0 nda=0 nir=6 nr=0 nta=41 FOR r = 1/nta,1,1/nta nda=1+nda nr=nr+nir FOR j = (7.5*nda+15),(7.5*nda+15)+(nr-1)*360/(nda*nir)+0.000000000009,360/(nda*nir) px = r*SINE(j*3.141592654/180) py = r*COSI(j*3.141592654/180) RAYTRACE hx,hy,px,py,wav x=1+x VEC1(x) = RAYX(n) VEC2(x) = RAYY(n) POLTRACE hx,hy,px,py,wav,4,nsur() VEC4(x+16) = VEC4(1)*peso NEXT NEXT RAYTRACE hx,hy,0,0,WAV,4,nsur() VEC1(0) = RAYX(n) VEC2(0) = RAYY(n) POLTRACE hx,hy,0,0,WAV,4,nsur() VEC4(16)=VEC4(1)*peso file$ = fname$+fn$+fm$+fex$ OUTPUT file$ APPEND FOR p=0,x,1 PRINT VEC1(p)," ",VEC2(p)," ",VEC4(p+16) NEXT NEXT RAYTRACE hx,hy,0,0,PWAV() xp = RAYX(n) yp = RAYY(n) OUTPUT SCREEN PRINT file$ OUTPUT file$ APPEND PRINT xp," ",yp," ",0 ni==(40*20)+ni IF ni<=8380 THEN GOTO 1 IF k<8400 k=k+800 GOTO 2 ENDIF

175

B.4 – Rotina para Gera Imagens Simuladas das Estrelas Usada nos Testes dos

Métodos de Correção dos ESI e ESD Simultaneamente nfield = NFLD() maxfield = MAXF() ! prevent divide by zero bug IF (maxfield == 0.0) THEN maxfield = 1.0 n = NSUR() nwav = NWAV() Pmax=0 FOR P=1,nwav,1 IF Pmax < WWGT(P) Pmax=WWGT(P); ENDIF NEXT SETVECSIZE 33000 POLDEFINE 1,1,0,0 k=400 LABEL 2 ni=380 ENDIF LABEL 1 i = ni hx = i/8800 hy = k/8800 fm$=$str(k+1) fn$ = $STR(i+1) fex$ = ".txt" fname$ = "spotPT" GETSYSTEMDATA 3 xr=VEC3(7)*TANG(i*(10/8800)*3.141592654/180) yr=VEC3(7)*TANG(k*(10/8800)*3.141592654/180) FOR wav=1,nwav,1 peso=(WWGT(wav)/Pmax) x = 0 nda=0 nir=6 nr=0 nta=41 FOR r = 1/nta,1,1/nta nda=1+nda nr=nr+nir FOR j = (7.5*nda+15),(7.5*nda+15)+(nr-1)*360/(nda*nir)+0.000000000009,360/(nda*nir) px = r*SINE(j*3.141592654/180) py = r*COSI(j*3.141592654/180) RAYTRACE hx,hy,px,py,wav x=1+x VEC1(x) = RAYX(n) VEC2(x) = RAYY(n) POLTRACE hx,hy,px,py,wav,4,nsur() VEC4(x+16) = VEC4(1)*peso NEXT NEXT RAYTRACE hx,hy,0,0,WAV,4,nsur() VEC1(0) = RAYX(n)

176

VEC2(0) = RAYY(n) POLTRACE hx,hy,0,0,WAV,4,nsur() VEC4(16)=VEC4(1)*peso file$ = fname$+fn$+fm$+fex$ OUTPUT file$ APPEND FOR p=0,x,1 PRINT VEC1(p)," ",VEC2(p)," ",VEC4(p+16) NEXT NEXT OUTPUT SCREEN PRINT file$ OUTPUT file$ APPEND PRINT xr," ",yr," ",0 ni==(40*20)+ni IF ni<=8380 THEN GOTO 1 IF k<8400 k=k+800 GOTO 2 ENDIF

177

APÊNDICE C

ROTINAS DO MATLAB DESENVOLVIDAS DURANTE O TRABALHO

C.1 – Rotina Usada para Estudo dos ESI clc k=1 v=0 w=0 while k<=8801 w=1+w ni=1 v=0 while ni<=8741 fn=num2str(ni); fm=num2str(k); s=strcat('C:\ZEMAX10-11\Macros\PN2,836,102preferido7500kfasttransmitnaciaobjetiva\spotPT',fn,'.0000',fm,'.0000.txt'); MPIR=load(s); MPIR=MPIR/10e-3; desx=0; for increx=0:0.05:3; v=v+1; for linhami=1:max(size(MPIR)); MPIR(linhami,1)=MPIR(linhami,1)+desx; end desx=0.05; MDV=zeros(1024,1024); for n=1:max(size(MPIR))-1 if MPIR(n,1)==floor(MPIR(n,1)) & MPIR(n,2)==floor(MPIR(n,2)) for linha=513+(MPIR(n,1)-1):513+(MPIR(n,1)-1)+1 for coluna=513+(MPIR(n,2)-1):513+(MPIR(n,2)-1)+1 MDV(linha,coluna)=(1/4*MPIR(n,3)*10e-3) + MDV(linha,coluna); end end end if MPIR(n,1)==floor(MPIR(n,1)) & MPIR(n,2)~=floor(MPIR(n,2)) linha=513+floor(MPIR(n,2)); for coluna=513+(MPIR(n,1)-1):513+(MPIR(n,1)-1)+1 MDV(linha,coluna)=(1/2*MPIR(n,3)*10e-3) + MDV(linha,coluna); end end if MPIR(n,2)==floor(MPIR(n,2)) & MPIR(n,1)~=floor(MPIR(n,1)) coluna=513+floor(MPIR(n,1)); for linha=513+(MPIR(n,2)-1):513+(MPIR(n,2)-1)+1

178

MDV(linha,coluna)=(1/2*MPIR(n,3)*10e-3) + MDV(linha,coluna); end end if MPIR(n,2)~=floor(MPIR(n,2)) & MPIR(n,1)~=floor(MPIR(n,1)) linha=513+floor(MPIR(n,2)); coluna=513+floor(MPIR(n,1)); MDV(linha,coluna)=(MPIR(n,3)*10e-3)+MDV(linha,coluna); end end sum(sum(MDV)) Mai=0; for i2=1:10 men(i2)=100000; end somamen=0; for i2=1:1024 for j=1:1024 if Mai < MDV(i2,j); Mai=MDV(i2,j); m=i2; n=j; end end end for o=n-2:n+2 for l=m-2:m+2 if men(1) > MDV(l,o) men(1)= MDV(l,o); for r=1:9 if men(r+1)>men(r); tenp=men(r+1); men(r+1)=men(r); men(r)=tenp; end end end end end for i2=1:10 somamen=men(i2)+somamen; mediamen=somamen/(i2); end x=m-1; y=n-1; for i2=0:2 sx(x+(i2))=0; sy(y+(i2))=0; end for i2=y:y+2 sx(x)=MDV(x,i2)-mediamen+sx(x); sx(x+1)=MDV(x+1,i2)-mediamen+sx(x+1); sx(x+2)=MDV(x+2,i2)-mediamen+sx(x+2); end for j=x:x+2 sy(y)=MDV(j,y)-mediamen+sy(y);

179

sy(y+1)=MDV(j,y+1)-mediamen+sy(y+1); sy(y+2)=MDV(j,y+2)-mediamen+sy(y+2); end xp1=(x)*sx(x)+(x+1)*sx(x+1)+(x+2)*sx(x+2); xp2=sx(x)+sx(x+1)+sx(x+2); xp3=xp1/xp2; MCCY(v,w)=(xp3-512.5); yp1=y*sy(y)+(y+1)*sy(y+1)+(y+2)*sy(y+2); yp2=sy(y)+sy(y+1)+sy(y+2); yp3=yp1/yp2; MCCX(v,w)=(yp3-512.5); MCCX(v,w); MCCY(v,w); MCTX(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),1); MCTY(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),2); v end if ni==1 ni=781; elseif ni==7981 ni=8741; else ni=(20*40)+ni; end end k=k+800; end

C.2 – Rotina Usada para Estudo dos ESD ni=1 nf=441 ki=1 kf=1 v=0 k=ki for i=ni:nf; v=v+1; fn=num2str(i); fm=num2str(k); s=strcat('c:\zemax10-11\macros\distortionPN2,836,102preferido7500k\distortion',fn,'.0000',fm,'.0000.txt'); MI=load(s); Q=MI/10e-3; Xp(v)=Q(1,2); Xr(v)=Q(1,1); i end

end

180

C.3 – Rotina para o Cálculo dos Coeficientes da Série de Fourier Usada no

Modelamento dos ESI k=1; while k<=12 a2=zeros(12,10); b2=zeros(12,10); nii=21; nfi=40; li=0; while nfi<=711 li=li+1 ni=nii; nf=nfi; if MCCX(nii,k)>MCTX(nii,k) while MCCX(ni,k)>MCTX(nii,k) ni=ni-1; end lin(ni,k)=MCTX(nii,k); end if MCCX(nfi+1,k)<MCTX(nfi+1,k) while MCCX(nf+1,k)<MCTX(nfi+1,k) nf=nf+1; end lin(nf+1,k)=MCTX(nfi+1,k); end if MCCX(nii,k)<MCTX(nii,k) while MCCX(ni,k)<MCTX(nii,k) ni=ni+1; end ni=ni-1; lin(ni,k)=MCTX(nii,k); end if MCCX(nfi+1,k)>MCTX(nfi+1,k) while MCCX(nf+1,k)>MCTX(nfi+1,k) nf=nf-1; end nf=nf+1; lin(nf+1,k)=MCTX(nfi+1,k); end for f=ni+1:nf lin(f,k)=MCCX(f,k); end for j=1:10 for i=ni:nf c=(MCTX(1+i,k)-MCCX(1+i,k)-MCTX(i,k)+MCCX(i,k))/(MCCX(1+i,k)-MCCX(i,k)); d=-(-MCTX(i,k)*MCCX(1+i,k)+MCCX(i,k)*MCTX(1+i,k))/(MCCX(1+i,k)-MCCX(i,k)); Syms x y y=c*x+d; a2(li,j)= double(int(y*cos(((j-1)*pi*x)/0.5),lin(i,k),lin(i+1,k)))+a2(li,j); b2(li,j)= double(int(y*sin(((j-1)*pi*x)/0.5),lin(i,k),lin(i+1,k)))+b2(li,j); end

181

a2(li,j)=a2(li,j)*2; b2(li,j)=b2(li,j)*2; V(k,li)={[a2(li,1),a2(li,2),a2(li,3),a2(li,4),a2(li,5),a2(li,6),a2(li,7),a2(li,8),a2(li,9),a2(li,10),b2(li,1),b2(li,2),b2(li,3),b2(li,4),b2(li,5),b2(li,6),b2(li,7),b2(li,8),b2(li,9),b2(li,10)]}; end nii=61+nii; nfi=61+nfi; end k=1+k end

C.4 – Rotina Empregada para Gerar os Dados Usados na Avaliação do Método de

Correção dos ESI / ESI+ESD clc k=401 v=0 w=0 while k<=8401 w=1+w ni=381 v=0 while ni<=8381 fn=num2str(ni); fm=num2str(k); s=strcat('C:\ZEMAX10-11\Macros\TestecoeficientesPN2,836,102preferido7500kfasttransmitanciaobjetiva\spotPT',fn,'.0000',fm,'.0000.txt'); MPIR=load(s); MPIR=MPIR/10e-3; desx=0; for increx=0:0.05:3; v=v+1; for linhami=1:max(size(MPIR)); MPIR(linhami,1)=MPIR(linhami,1)+desx; end desx=0.05; MDV=zeros(1024,1024); for n=1:max(size(MPIR))-1 if MPIR(n,1)==floor(MPIR(n,1)) & MPIR(n,2)==floor(MPIR(n,2)) for linha=513+(MPIR(n,1)-1):513+(MPIR(n,1)-1)+1 for coluna=513+(MPIR(n,2)-1):513+(MPIR(n,2)-1)+1 MDV(linha,coluna)=(1/4*MPIR(n,3)*10e-3) + MDV(linha,coluna); end end end if MPIR(n,1)==floor(MPIR(n,1)) & MPIR(n,2)~=floor(MPIR(n,2)) linha=513+floor(MPIR(n,2)); for coluna=513+(MPIR(n,1)-1):513+(MPIR(n,1)-1)+1 MDV(linha,coluna)=(1/2*MPIR(n,3)*10e-3) + MDV(linha,coluna); end

182

end if MPIR(n,2)==floor(MPIR(n,2)) & MPIR(n,1)~=floor(MPIR(n,1)) coluna=513+floor(MPIR(n,1)); for linha=513+(MPIR(n,2)-1):513+(MPIR(n,2)-1)+1 MDV(linha,coluna)=(1/2*MPIR(n,3)*10e-3) + MDV(linha,coluna); end end if MPIR(n,2)~=floor(MPIR(n,2)) & MPIR(n,1)~=floor(MPIR(n,1)) linha=513+floor(MPIR(n,2)); coluna=513+floor(MPIR(n,1)); MDV(linha,coluna)=(MPIR(n,3)*10e-3)+MDV(linha,coluna); end end sum(sum(MDV)) Mai=0; for i2=1:10 men(i2)=100000; end somamen=0; for i2=1:1024 for j=1:1024 if Mai < MDV(i2,j); Mai=MDV(i2,j); m=i2; n=j; end end end for o=n-2:n+2 for l=m-2:m+2 if men(1) > MDV(l,o) men(1)= MDV(l,o); for r=1:9 if men(r+1)>men(r); tenp=men(r+1); men(r+1)=men(r); men(r)=tenp; end end end end end for i2=1:10 somamen=men(i2)+somamen; mediamen=somamen/(i2); end x=m-1; y=n-1; for i2=0:2 sx(x+(i2))=0; sy(y+(i2))=0; end for i2=y:y+2 sx(x)=MDV(x,i2)-mediamen+sx(x);

183

sx(x+1)=MDV(x+1,i2)-mediamen+sx(x+1); sx(x+2)=MDV(x+2,i2)-mediamen+sx(x+2); end for j=x:x+2 sy(y)=MDV(j,y)-mediamen+sy(y); sy(y+1)=MDV(j,y+1)-mediamen+sy(y+1); sy(y+2)=MDV(j,y+2)-mediamen+sy(y+2); end xp1=(x)*sx(x)+(x+1)*sx(x+1)+(x+2)*sx(x+2); xp2=sx(x)+sx(x+1)+sx(x+2); xp3=xp1/xp2; MCCY(v,w)=(xp3-512.5); yp1=y*sy(y)+(y+1)*sy(y+1)+(y+2)*sy(y+2); yp2=sy(y)+sy(y+1)+sy(y+2); yp3=yp1/yp2; MCCX(v,w)=(yp3-512.5); MCCX(v,w); MCCY(v,w); MCTX(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),1); MCTY(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),2); v end ni=(20*40)+ni; end k=k+800; end

C.5 – Rotina Aplicada para Testar o Método de Correção dos ESI for w=1:min(size(MCTX)) for v=1:max(size(MCTX)) q=floor(MCCX(v,w)/40)+1; p=floor(MCCY(v,w)/40)+1; if q<=0 q=1; end if p<=0 p=1; end x1=(q-1)*40; x2=x1+40; y1=(p-1)*40; y2=y1+40; EI=(V{p,q}-V{p,q+1})/-40; FI=(V{p,q+1}*x1-V{p,q}*x2)/-40; CI=EI*MCCX(v,w)+FI; EII=(V{p+1,q}-V{p+1,q+1})/-40; FII=(V{p+1,q+1}*x1-V{p+1,q}*x2)/-40; CII=EII*MCCX(v,w)+FII; EIII=(CI-CII)/-40; FIII=(CII*y1-CI*y2)/-40; CIII{v,w}=EIII*MCCY(v,w)+FIII;

184

cor(v,w)=CIII{v,w}*[1/2;cos(2*pi*MCCX(v,w));cos(4*pi*MCCX(v,w));cos(6*pi*MCCX(v,w));cos(8*pi*MCCX(v,w));cos(10*pi*MCCX(v,w));cos(12*pi*MCCX(v,w));cos(14*pi*MCCX(v,w));cos(16*pi*MCCX(v,w));cos(18*pi*MCCX(v,w));0;sin(2*pi*MCCX(v,w));sin(4*pi*MCCX(v,w));sin(6*pi*MCCX(v,w));sin(8*pi*MCCX(v,w));sin(10*pi*MCCX(v,w));sin(12*pi*MCCX(v,w));sin(14*pi*MCCX(v,w));sin(16*pi*MCCX(v,w));sin(18*pi*MCCX(v,w))]; EYI=(V{q,p}-V{q,p+1})/-40; FYI=(V{q,p+1}*y1-V{q,p}*y2)/-40; CYI=EYI*MCCY(v,w)+FYI; EYII=(V{q+1,p}-V{q+1,p+1})/-40; FYII=(V{q+1,p+1}*y1-V{q+1,p}*y2)/-40; CYII=EYII*MCCY(v,w)+FYII; EYIII=(CYI-CYII)/-40; FYIII=(CYII*x1-CYI*x2)/-40; CYIII{v,w}=EYIII*MCCX(v,w)+FYIII; corY(v,w)=CYIII{v,w}*[1/2;cos(2*pi*MCCY(v,w));cos(4*pi*MCCY(v,w));cos(6*pi*MCCY(v,w));cos(8*pi*MCCY(v,w));cos(10*pi*MCCY(v,w));cos(12*pi*MCCY(v,w));cos(14*pi*MCCY(v,w));cos(16*pi*MCCY(v,w));cos(18*pi*MCCY(v,w));0;sin(2*pi*MCCY(v,w));sin(4*pi*MCCY(v,w));sin(6*pi*MCCY(v,w));sin(8*pi*MCCY(v,w));sin(10*pi*MCCY(v,w));sin(12*pi*MCCY(v,w));sin(14*pi*MCCY(v,w));sin(16*pi*MCCY(v,w));sin(18*pi*MCCY(v,w))]; end sqrt((sum(sum((MCTX-MCCX).^2)))/(671*11))

C.6 – Rotina Empregada para Gerar os Dados Usados na Avaliação do Método de

Correção dos ESI / ESI+ESD na Presença do Ruído clc k=401 v=0 w=0 while k<=8401 w=1+w ni=381 v=0 while ni<=8381 fn=num2str(ni); fm=num2str(k); s=strcat('C:\ZEMAX10-11\Macros\TestecoeficientesPN2,836,102preferido7500kfasttransmitanciaobjetiva\spotPT',fn,'.0000',fm,'.0000.txt'); MPIR=load(s); MPIR=MPIR/10e-3; desx=0; for increx=0:0.05:3; v=v+1; for linhami=1:max(size(MPIR)); MPIR(linhami,1)=MPIR(linhami,1)+desx; end

185

desx=0.05; MDV=zeros(1024,1024); for n=1:max(size(MPIR))-1 if MPIR(n,1)==floor(MPIR(n,1)) & MPIR(n,2)==floor(MPIR(n,2)) for linha=513+(MPIR(n,1)-1):513+(MPIR(n,1)-1)+1 for coluna=513+(MPIR(n,2)-1):513+(MPIR(n,2)-1)+1 MDV(linha,coluna)=(1/4*MPIR(n,3)*10e-3) + MDV(linha,coluna); end end end if MPIR(n,1)==floor(MPIR(n,1)) & MPIR(n,2)~=floor(MPIR(n,2)) linha=513+floor(MPIR(n,2)); for coluna=513+(MPIR(n,1)-1):513+(MPIR(n,1)-1)+1 MDV(linha,coluna)=(1/2*MPIR(n,3)*10e-3) + MDV(linha,coluna); end end if MPIR(n,2)==floor(MPIR(n,2)) & MPIR(n,1)~=floor(MPIR(n,1)) coluna=513+floor(MPIR(n,1)); for linha=513+(MPIR(n,2)-1):513+(MPIR(n,2)-1)+1 MDV(linha,coluna)=(1/2*MPIR(n,3)*10e-3) + MDV(linha,coluna); end end if MPIR(n,2)~=floor(MPIR(n,2)) & MPIR(n,1)~=floor(MPIR(n,1)) linha=513+floor(MPIR(n,2)); coluna=513+floor(MPIR(n,1)); MDV(linha,coluna)=(MPIR(n,3)*10e-3)+MDV(linha,coluna); end end MDV=MDV*0.0000137747204821188; Rdet=0.00249999552447516; alfa=0.01; SIGMAe=0.00249999552447516; K=1/80000; SIGMAt=sqrt(K*MDV+(alfa*MDV).^2+(Rdet^2+SIGMAe^2)); MDV=MDV+(SIGMAt.*randn(1024)); for g=1:1024 for h=1:1024 if MDV(g,h)<0 MDV(g,h)=0; end end end MDV=MDV*256; MDV=floor(MDV); sum(sum(MDV)) Mai=0; for i2=1:10 men(i2)=100000; end somamen=0; for i2=1:1024 for j=1:1024

186

if Mai < MDV(i2,j); Mai=MDV(i2,j); m=i2; n=j; end end end for o=n-2:n+2 for l=m-2:m+2 if men(1) > MDV(l,o) men(1)= MDV(l,o); for r=1:9 if men(r+1)>men(r); tenp=men(r+1); men(r+1)=men(r); men(r)=tenp; end end end end end for i2=1:10 somamen=men(i2)+somamen; mediamen=somamen/(i2); end x=m-1; y=n-1; for i2=0:2 sx(x+(i2))=0; sy(y+(i2))=0; end for i2=y:y+2 sx(x)=MDV(x,i2)-mediamen+sx(x); sx(x+1)=MDV(x+1,i2)-mediamen+sx(x+1); sx(x+2)=MDV(x+2,i2)-mediamen+sx(x+2); end for j=x:x+2 sy(y)=MDV(j,y)-mediamen+sy(y); sy(y+1)=MDV(j,y+1)-mediamen+sy(y+1); sy(y+2)=MDV(j,y+2)-mediamen+sy(y+2); end xp1=(x)*sx(x)+(x+1)*sx(x+1)+(x+2)*sx(x+2); xp2=sx(x)+sx(x+1)+sx(x+2); xp3=xp1/xp2; MCCY(v,w)=(xp3-512.5); yp1=y*sy(y)+(y+1)*sy(y+1)+(y+2)*sy(y+2); yp2=sy(y)+sy(y+1)+sy(y+2); yp3=yp1/yp2; MCCX(v,w)=(yp3-512.5); MCCX(v,w); MCCY(v,w); MCTX(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),1); MCTY(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),2); v end

187

ni=(20*40)+ni; end k=k+800; end

C.7 – Rotina Empregada para Testar o Método de Correção dos ESI Juntamente

com ESD for w=1:min(size(MCTX)) for v=1:max(size(MCTX)) q=floor(MCCX(v,w)/40)+1; p=floor(MCCY(v,w)/40)+1; if q<=0 q=1; end if p<=0 p=1; end x1=(q-1)*40; x2=x1+40; y1=(p-1)*40; y2=y1+40; EI=(V{p,q}-V{p,q+1})/-40; FI=(V{p,q+1}*x1-V{p,q}*x2)/-40; CI=EI*MCCX(v,w)+FI; EII=(V{p+1,q}-V{p+1,q+1})/-40; FII=(V{p+1,q+1}*x1-V{p+1,q}*x2)/-40; CII=EII*MCCX(v,w)+FII; EIII=(CI-CII)/-40; FIII=(CII*y1-CI*y2)/-40; CIII{v,w}=EIII*MCCY(v,w)+FIII; cor(v,w)=CIII{v,w}*[1/2;cos(2*pi*MCCX(v,w));cos(4*pi*MCCX(v,w));cos(6*pi*MCCX(v,w));cos(8*pi*MCCX(v,w));cos(10*pi*MCCX(v,w));cos(12*pi*MCCX(v,w));cos(14*pi*MCCX(v,w));cos(16*pi*MCCX(v,w));cos(18*pi*MCCX(v,w));0;sin(2*pi*MCCX(v,w));sin(4*pi*MCCX(v,w));sin(6*pi*MCCX(v,w));sin(8*pi*MCCX(v,w));sin(10*pi*MCCX(v,w));sin(12*pi*MCCX(v,w));sin(14*pi*MCCX(v,w));sin(16*pi*MCCX(v,w));sin(18*pi*MCCX(v,w))]; MCCXi(v,w)=MCCX(v,w)+cor(v,w); EYI=(V{q,p}-V{q,p+1})/-40; FYI=(V{q,p+1}*y1-V{q,p}*y2)/-40; CYI=EYI*MCCY(v,w)+FYI; EYII=(V{q+1,p}-V{q+1,p+1})/-40; FYII=(V{q+1,p+1}*y1-V{q+1,p}*y2)/-40; CYII=EYII*MCCY(v,w)+FYII; EYIII=(CYI-CYII)/-40; FYIII=(CYII*x1-CYI*x2)/-40; CYIII{v,w}=EYIII*MCCX(v,w)+FYIII; corY(v,w)=CYIII{v,w}*[1/2;cos(2*pi*MCCY(v,w));cos(4*pi*MCCY(v,w));cos(

188

6*pi*MCCY(v,w));cos(8*pi*MCCY(v,w));cos(10*pi*MCCY(v,w));cos(12*pi*MCCY(v,w));cos(14*pi*MCCY(v,w));cos(16*pi*MCCY(v,w));cos(18*pi*MCCY(v,w));0;sin(2*pi*MCCY(v,w));sin(4*pi*MCCY(v,w));sin(6*pi*MCCY(v,w));sin(8*pi*MCCY(v,w));sin(10*pi*MCCY(v,w));sin(12*pi*MCCY(v,w));sin(14*pi*MCCY(v,w));sin(16*pi*MCCY(v,w));sin(18*pi*MCCY(v,w))]; MCCYi(v,w)=MCCY(v,w)+corY(v,w); Rci(v,w)=((MCCXi(v,w)^2 + MCCYi(v,w)^2)^0.5); Rc(v,w)=Rci(v,w)+(6.39e-014*Rci(v,w)^5 -2.5886e-011*Rci(v,w)^4 + 3.7382e-009*Rci(v,w)^3 -1.6316e-006*Rci(v,w)^2 + 0.0009756*Rci(v,w)^1 -0.0018193); MCCX(v,w)=Rc(v,w)*cos(atan(MCCYi(v,w)/MCCXi(v,w))); MCCY(v,w)=Rc(v,w)*sin(atan(MCCYi(v,w)/MCCXi(v,w))); end end sqrt((sum(sum((MCTX-MCCX).^2)))/(671*11))

C.8 – Rotina Usada nos Estudos dos ESI para Fill Factor de 60% clc k=1 v=0 w=0 while k<=8801 w=1+w ni=1 v=0 while ni<=8741 fn=num2str(ni); fm=num2str(k); s=strcat('C:\ZEMAX10-11\macros\PN2,836,102preferido7500kfasttransmitnaciaobjetiva\spotPT',fn,'.0000',fm,'.0000.txt'); MPIR=load(s); MPIR=MPIR/10e-3; desx=0; for increx=0:0.05:3; v=v+1; for linhami=1:max(size(MPIR)); MPIR(linhami,1)=MPIR(linhami,1)+desx; end desx=0.05; MDV=zeros(1024,1024); for n=1:max(size(MPIR))-1 if (MPIR(n,1)-floor(MPIR(n,1)))>0.225403330758516622964146920044 & (MPIR(n,1)-floor(MPIR(n,1)))<0.77459666924148337703585307995648 & (MPIR(n,2)-floor(MPIR(n,2)))>0.225403330758516622964146920044 & (MPIR(n,2)-floor(MPIR(n,2)))<0.77459666924148337703585307995648; linha=513+floor(MPIR(n,2)); coluna=513+floor(MPIR(n,1)); MDV(linha,coluna)=(MPIR(n,3)*10e-3)+MDV(linha,coluna); end end sum(sum(MDV))

189

Mai=0; for i2=1:10 men(i2)=100000; end somamen=0; for i2=1:1024 for j=1:1024 if Mai < MDV(i2,j); Mai=MDV(i2,j); m=i2; n=j; end end end for o=n-2:n+2 for l=m-2:m+2 if men(1) > MDV(l,o) men(1)= MDV(l,o); for r=1:9 if men(r+1)>men(r); tenp=men(r+1); men(r+1)=men(r); men(r)=tenp; end end end end end for i2=1:10 somamen=men(i2)+somamen; mediamen=somamen/(i2); end x=m-1; y=n-1; for i2=0:2 sx(x+(i2))=0; sy(y+(i2))=0; end for i2=y:y+2 sx(x)=MDV(x,i2)-mediamen+sx(x); sx(x+1)=MDV(x+1,i2)-mediamen+sx(x+1); sx(x+2)=MDV(x+2,i2)-mediamen+sx(x+2); end for j=x:x+2 sy(y)=MDV(j,y)-mediamen+sy(y); sy(y+1)=MDV(j,y+1)-mediamen+sy(y+1); sy(y+2)=MDV(j,y+2)-mediamen+sy(y+2); end xp1=(x)*sx(x)+(x+1)*sx(x+1)+(x+2)*sx(x+2); xp2=sx(x)+sx(x+1)+sx(x+2); xp3=xp1/xp2; MCCY(v,w)=(xp3-512.5); yp1=y*sy(y)+(y+1)*sy(y+1)+(y+2)*sy(y+2); yp2=sy(y)+sy(y+1)+sy(y+2); yp3=yp1/yp2; MCCX(v,w)=(yp3-512.5);

190

MCCX(v,w); MCCY(v,w); MCTX(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),1); MCTY(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),2); v end if ni==1 ni=781; elseif ni==7981 ni=8741; else ni=(20*40)+ni; end end k=k+800; end

C.9 – Rotina Aplicada para Gerar os Dados Usados na Avaliação do Método de

Correção dos ESI / ESI+ESD para Fill Factor de 60% clc k=401 v=0 w=0 while k<=8401 w=1+w ni=381 v=0 while ni<=8381 fn=num2str(ni); fm=num2str(k); s=strcat('C:\ZEMAXcrack\Macros\TestecoeficientescomdistorçãoPN2,836,102preferido3000kfasttransmitanciaobjetiva25C\spotPT',fn,'.0000',fm,'.0000.txt'); MPIR=load(s); MPIR=MPIR/10e-3; desx=0; for increx=0:0.05:3; v=v+1; for linhami=1:max(size(MPIR)); MPIR(linhami,1)=MPIR(linhami,1)+desx; end desx=0.05; MDV=zeros(1024,1024); for n=1:max(size(MPIR))-1 if (MPIR(n,1)-floor(MPIR(n,1)))>0.225403330758516622964146920044 & (MPIR(n,1)-floor(MPIR(n,1)))<0.77459666924148337703585307995648 & (MPIR(n,2)-floor(MPIR(n,2)))>0.225403330758516622964146920044 & (MPIR(n,2)-floor(MPIR(n,2)))<0.77459666924148337703585307995648; linha=513+floor(MPIR(n,2)); coluna=513+floor(MPIR(n,1)); MDV(linha,coluna)=(MPIR(n,3)*10e-3)+MDV(linha,coluna); end

191

end for g=1:1024 for h=1:1024 if MDV(g,h)<0 MDV(g,h)=0; end end end MDV=floor(MDV*256); Mai=0; for i2=1:10 men(i2)=100000; end somamen=0; for i2=1:1024 for j=1:1024 if Mai < MDV(i2,j); Mai=MDV(i2,j); m=i2; n=j; end end end for o=n-2:n+2 for l=m-2:m+2 if men(1) > MDV(l,o) men(1)= MDV(l,o); for r=1:9 if men(r+1)>men(r); tenp=men(r+1); men(r+1)=men(r); men(r)=tenp; end end end end end for i2=1:10 somamen=men(i2)+somamen; mediamen=somamen/(i2); end x=m-1; y=n-1; for i2=0:2 sx(x+(i2))=0; sy(y+(i2))=0; end for i2=y:y+2 sx(x)=MDV(x,i2)-mediamen+sx(x); sx(x+1)=MDV(x+1,i2)-mediamen+sx(x+1); sx(x+2)=MDV(x+2,i2)-mediamen+sx(x+2); end for j=x:x+2 sy(y)=MDV(j,y)-mediamen+sy(y); sy(y+1)=MDV(j,y+1)-mediamen+sy(y+1); sy(y+2)=MDV(j,y+2)-mediamen+sy(y+2);

192

end xp1=(x)*sx(x)+(x+1)*sx(x+1)+(x+2)*sx(x+2); xp2=sx(x)+sx(x+1)+sx(x+2); xp3=xp1/xp2; MCCY(v,w)=(xp3-512.5); yp1=y*sy(y)+(y+1)*sy(y+1)+(y+2)*sy(y+2); yp2=sy(y)+sy(y+1)+sy(y+2); yp3=yp1/yp2; MCCX(v,w)=(yp3-512.5); MCCX(v,w); MCCY(v,w); MCTX(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),1); MCTY(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),2); v end ni=(20*40)+ni; end k=k+800; end

C.10 –Rotina Aplicada para Gerar os Dados Usados na Avaliação do Método de

Correção dos ESI / ESI+ESD para Fill Factor de 60% na Presença do Ruído clc k=401 v=0 w=0 while k<=8401 w=1+w ni=381 v=0 while ni<=8381 fn=num2str(ni); fm=num2str(k); s=strcat('C:\ZEMAXcrack\Macros\TestecoeficientescomdistorçãoPN2,836,102preferido3000kfasttransmitanciaobjetiva25C\spotPT',fn,'.0000',fm,'.0000.txt'); MPIR=load(s); MPIR=MPIR/10e-3; desx=0; for increx=0:0.05:3; v=v+1; for linhami=1:max(size(MPIR)); MPIR(linhami,1)=MPIR(linhami,1)+desx; end desx=0.05; MDV=zeros(1024,1024); for n=1:max(size(MPIR))-1 if (MPIR(n,1)-floor(MPIR(n,1)))>0.225403330758516622964146920044 & (MPIR(n,1)-floor(MPIR(n,1)))<0.77459666924148337703585307995648 & (MPIR(n,2)-

193

floor(MPIR(n,2)))>0.225403330758516622964146920044 & (MPIR(n,2)-floor(MPIR(n,2)))<0.77459666924148337703585307995648; linha=513+floor(MPIR(n,2)); coluna=513+floor(MPIR(n,1)); MDV(linha,coluna)=(MPIR(n,3)*10e-3)+MDV(linha,coluna); end end MDV=MDV*4.7121e-005; Rccd=0.00353552757658481; alfa=0.01; SIGMAe=0; K=1/80000; SIGMAt=sqrt(K*MDV+(alfa^2*(MDV.^2))+Rccd^2+SIGMAe^2); MDV=MDV+(SIGMAt.*randn(1024)); for g=1:1024 for h=1:1024 if MDV(g,h)<0 MDV(g,h)=0; end end end MDV=floor(MDV*256); Mai=0; for i2=1:10 men(i2)=100000; end somamen=0; for i2=1:1024 for j=1:1024 if Mai < MDV(i2,j); Mai=MDV(i2,j); m=i2; n=j; end end end for o=n-2:n+2 for l=m-2:m+2 if men(1) > MDV(l,o) men(1)= MDV(l,o); for r=1:9 if men(r+1)>men(r); tenp=men(r+1); men(r+1)=men(r); men(r)=tenp; end end end end end for i2=1:10 somamen=men(i2)+somamen; mediamen=somamen/(i2); end x=m-1; y=n-1;

194

for i2=0:2 sx(x+(i2))=0; sy(y+(i2))=0; end for i2=y:y+2 sx(x)=MDV(x,i2)-mediamen+sx(x); sx(x+1)=MDV(x+1,i2)-mediamen+sx(x+1); sx(x+2)=MDV(x+2,i2)-mediamen+sx(x+2); end for j=x:x+2 sy(y)=MDV(j,y)-mediamen+sy(y); sy(y+1)=MDV(j,y+1)-mediamen+sy(y+1); sy(y+2)=MDV(j,y+2)-mediamen+sy(y+2); end xp1=(x)*sx(x)+(x+1)*sx(x+1)+(x+2)*sx(x+2); xp2=sx(x)+sx(x+1)+sx(x+2); xp3=xp1/xp2; MCCY(v,w)=(xp3-512.5); yp1=y*sy(y)+(y+1)*sy(y+1)+(y+2)*sy(y+2); yp2=sy(y)+sy(y+1)+sy(y+2); yp3=yp1/yp2; MCCX(v,w)=(yp3-512.5); MCCX(v,w); MCCY(v,w); MCTX(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),1); MCTY(v,w)=MPIR(max(size(MPIR)),2); v end ni=(20*40)+ni; end k=k+800; end