p e e parte 3

Prof.Paulo Alessio – Definições, exercícios e algumas figuras foram extraídos do referencial bibliográfico. Notas de aulas não comercializáveis. Utilizadas para apoio às aulas. 2011/1

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Disciplina: PROBABILIDADE e ESTATÍSTICA (3ª parte)

11. Distribuições de Probabilidade. 11.1 Introdução.

Em notas de aulas anteriores vimos que é possível explorar um conjunto de dados utilizando gráficos, medias de tendência central e medidas de dispersão. Também foram vistos aspectos da teoria das probabilidades. Nestas notas de aulas, combinaremos esses conceitos ao estudarmos distribuições de probabilidade. As distribuições de freqüências de amostras foram tratadas anteriormente. Nestas notas de aulas são apresentadas as distribuições de probabilidade de populações. A distribuição de frequência de uma amostra é uma estimativa da distribuição de probabilidade da população correspondente. Se o tamanho da amostra for grande, podemos esperar que a distribuição de freqüência da amostra seja uma boa aproximação da distribuição de probabilidade da população. 11.2 Variáveis Aleatórias.

O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é o espaço amostral. Os elementos desse conjunto podem ser numéricos ou não. Por exemplo, se o experimento for escolher um aluno de uma turma e registrar sua altura, teremos um conjunto numérico, porém se indagarmos o time de futebol preferido do aluno, teremos um conjunto não numérico. Como em muitas situações experimentais precisamos atribuir um número real x a todo elemento do espaço amostral, vamos definir o conceito de variável aleatória. 11.2.1 Definição de Variável Aleatória. Uma quantidade X, associada a cada possível resultado do espaço amostral, é denominada de variável aleatória discreta, se assume valores num conjunto enumerável, com certa probabilidade. Por outro lado, será denominada variável aleatória contínua, se seu conjunto de valores é qualquer intervalo dos números reais, o que seria um conjunto não enumerável. Exemplo. Seja o experimento: lançamento de duas moedas. O espaço amostral associado ao experimento é: S = {(C; C), (C; K), (K; C), (K; K)}, onde C = Cara e K = Coroa.

Variável Aleatória X: número de caras (C) obtidas no lançamento de duas moedas. X(C; C) = 2 X(C; K) = 1 X(K; C) = 1 X(K; K) = 0

S R X: S→ R X

(C;C) (C;K) (K;C) (K;K)

0 1 2


2 Exemplos de variáveis aleatórias.

1) X = número de acidentes com aviões da USAir dentre sete acidentes aéreos selecionados aleatoriamente.

2) X = número de mulheres entre 10 empregados recém-admitidos. 3) X = número de alunos que não compareceram a aula de estatística hoje. 4) X = altura de um aluno do sexo masculino selecionado aleatoriamente.

11.3 Função de Probabilidade de Variável Aleatória Discreta.

Seja X uma variável aleatória discreta. Sejam x1 , x2 , x3 , x4 , ... seus possíveis valores. A cada resultado xi associaremos um número p(xi ) = P(X = xi ), denominado probabilidade de xi , tal que:

a) p(xi ) ≥ 0 para todo xi

b) ∑∞

=

=1

1)(i

ixp

c) p(k) = P(X=k) A função de probabilidade de X é dada pelos pares ( ))(; xx ii

p , i = 1, 2, 3, . . ., e

poderá ser expressa por uma tabela, gráfico ou fórmula. P(X=xi) = p(xi) = pi com i = 1, 2, 3, . . . ou ainda,

X xi x2 x3 ... p(xi) pi p2 p3 ...

Exercícios. 1) Encontrar a distribuição discreta de probabilidade da variável número de caras encontradas no lançamento de três moedas. 2) Um pai leva o filho ao cinema e vai gastar nas duas entradas $ 15,00. O filho vai pedir para comer pipoca com probabilidade de 0,7 e, além disso, pode pedir bala com probabilidade 0,9. Esses pedidos são atendidos pelo pai com probabilidade 0,5; independentemente um do outro. Se a pipoca custa $ 2 e a bala $ 3, estude através da distribuição de probabilidade o gasto efetuado com a ida ao cinema. 11.4 Função de Distribuição de Probabilidade de Variável Aleatória Discreta – Distribuição Acumulada de Probabilidade.

Se X for uma variável aleatória discreta, define-se Função de Distribuição de Probabilidade – Distribuição Acumulada, em um ponto x como a soma das probabilidades dos valores de xi menores ou iguais a x. Isto é:

)()()( xXP

x

pxFx

i

i

x ≤== ∑≤

Exercícios. 1) Com os dados da distribuição de probabilidade do exercício 1, obter:

a) F(1) = b)F(1,5) = c)F(2,5) = d)F(3) = e)F(5) = f) F(-0,5) = g) A função de distribuição acumulada de probabilidade é F(x) =


3 2) Uma população de 1.000 crianças foi analisada num estudo para determinar a efetividade de uma vacina contra um tipo de alergia. No estudo, as crianças recebiam uma dose de vacina e, após um mês, passavam por um novo teste. Caso ainda tivessem tido alguma reação alérgica, recebiam outra dose da vacina. Ao fim de 5 doses todas as crianças foram consideradas imunizadas. Os resultados completos estão na tabela a seguir.

Doses 1 2 3 4 5

Frequência 245 288 256 145 66 Descreva: a) A distribuição de probabilidades. b) A função de distribuição acumulada de probabilidade. 11.5 Função Densidade de Probabilidade.

Seja X uma variável aleatória contínua. A função f(x) é uma função densidade de probabilidade para a v. a. X, definida sobre o

conjunto dos números reais R, se: a) f(x) ≥ 0

b) ∫∞

∞−

= 1)( dxxf

c) P(a < X < b) = ∫b

a

dxxf )(

Observações importantes: 1) f(x) ≥ 0 para todo x ∈ R, significa que o gráfico da função f está todo acima do eixo x.

2) ∫∞

∞−

= 1)( dxxf , significa que a área total abaixo da curva f(x) é igual a 1.

3) Para quaisquer reais a < b, P(a < X < b) = ∫b

a

dxxf )( significa que probabilidades, agora,

são iguais a áreas abaixo da curva f(x). 4) A definição acima mostra que a probabilidade de qualquer valor específico de X, por

exemplo, X = a, tem P(X = a) = 0 pois, P(X = a) = ∫a

a

dxxf )( = 0, ou seja, probabilidades

pontuais são nulas. 5) Segue da observação 4 que: P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b). 11.6 Função de Distribuição de Probabilidade de Variável Aleatória Contínua – Distribuição Acumulada de Probabilidade.

Se X for uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade f(x). A

função de distribuição de probabilidade – distribuição acumulada é obtida por ∫∞−

=

x

dttfxF )()( .

Exercício. Seja X uma v.a. contínua com a seguinte função densidade de probabilidade. x/2 se 0 ≤ x ≤ 2 f(x) = 0 caso contrário Determine a função de distribuição de probabilidade - distribuição acumulada F(x).


4 11.7 Esperança Matemática (Média) e Variância de uma Variável Aleatória (v.a.):

A esperança matemática de uma v. a. X é uma medida que posiciona o centro de uma distribuição de probabilidade.

Originalmente, o conceito de esperança matemática surgiu em relação aos jogos de azar e, em sua forma mais simples, é o produto da quantia que um jogador pode ganhar pela probabilidade de o jogador ganhar.

Qual é a esperança matemática de alguém que compra um dentre 2.000 bilhetes de uma rifa de uma viagem para o Chile, estimada em $1.960,00?

Como a probabilidade de ganhar a viagem é de 1/2.000 = 0,0005, a esperança matemática é $1.960,00 x 0,0005 = $ 0,98. Assim, do ponto de vista financeiro, seria insensato pagar mais de 98 centavos de dólar por um bilhete dessa rifa, a menos que a rifa fosse para alguma causa nobre ou que a pessoa que comprasse o bilhete estivesse obtendo algum prazer com a aposta. O prêmio era a viagem no valor de $1.960,00 e os dois resultados eram a viagem no valor de $1.960,00 e coisa alguma. Poderíamos argumentar que um dos bilhetes da rifa pagará o equivalente a $ 1.960,00, e cada um dos demais 1.999 bilhetes pagará coisa alguma, de modo que, na totalidade, os 2.000 bilhetes pagarão equivalente a $1.960,00 ou, em média 1.960/2.000 = $ 0,98 por bilhete. Essa média é a esperança matemática. 11.7.1 Para v.a. Discreta.

Média ou Valor Esperado: ∑=

==k

iiix xx pXE

1)(

)(.)(µ

Variância: ( )∑ −=

==k

iIxx p

iXV

1

22)(.)( µσ ou µσ

222)()( −== XEXV

11.7.2 Para v.a. Contínua.

Média ou Valor Esperado: ∫+∞

∞−

== xdxfxXEx

)(.)(µ

Variância: ( )∫ −+∞

∞−

== dxxfXV x )(.)(22

µσ ou µσ222

)()( −== XEXV

Observações: 1) No caso da v. a. discreta, a esperança matemática pode ser vista como uma média “ponderada”, onde os “pesos” são as probabilidades de cada ponto. 2) No caso de uma v. a. contínua, a esperança matemática coincide com o cálculo do valor da abscissa do centro de gravidade da área que fica definida pela função f(x). É um ponto de equilíbrio que é calculado a partir da função densidade de probabilidade. 3) Podemos interpretar a esperança matemática, também, como sendo uma média dos valores que a v. a. assume se imaginarmos o experimento aleatório sendo repetido indefinidamente, e os valores de X sendo observados nas repetições. A função de probabilidade no caso discreto, ou a função densidade de probabilidade no caso contínuo refletem as frequências relativas de ocorrência dos valores de X. 11.8 Propriedades da Esperança Matemática. As propriedades operatórias apresentadas a seguir são válidas para v. a.’s discretas e contínuas.

a) Se a é uma constante, então: E(a) = a b) Se a e b são constantes, então: E(aX + b) = a E(X) + b c) E(X ± Y) = E(X) ± E(Y) d) Se X e Y são duas variáveis aleatórias independentes, então E(XY) = E(X).E(Y)


5 11.9 Propriedades da Variância. Sendo c uma constante e X e Y variáveis aleatórias as seguintes propriedades são válidas: a) V(c) = 0 b) V(X + c) = V(X) c) V(cX) = c2.V(X) d) Se X e Y forem v.a. independentes, então V(X ± Y) = V(X) + V(Y) Exemplo. Considere um jogo no qual se lançam três moedas, não viciadas, e se recebe um dólar por cada cara que apareça. Qual é o valor esperado?

A distribuição de probabilidade será: Número de caras 0 1 2 3 xi : valor a ser recebido ($) 0 1 2 3 Probabilidades: p(xi ) 1/8 3/8 3/8 1/8

8

1.3

8

3.2

8

3.1

8

1.0)(

)(+++== xE

xµ = $ 1,50 O valor esperado é uma média a longo prazo. No

caso, após várias jogadas se esperaria ganhar $ 1,50. Exercícios. 1) Mostre que a variância, para variável aleatória discreta ou contínua, pode ser escrita como:

µσ222

)()( −== XEXV .

2) Seja uma v.a. contínua definida por:

2x, se 0 < x < 1 f(x) =

0 para outros valores.

Verifique se f(x) é uma função densidade de probabilidade e em caso afirmativo determine a esperança matemática e a variância. 3) Arqueólogos estudaram uma certa região e estabeleceram um modelo teórico para a variável C, comprimento de fósseis da região (em cm). Suponha que C é uma variável aleatória contínua definida por:

200)110

(40

1≤≤+ cse

c

f(c) = 0 caso contrário. Verificar se f(c) é uma função densidade de probabilidade e em caso afirmativo determine o valor esperado.


6 4) Seja a variável aleatória contínua X a representação do diâmetro de um orifício perfurado em uma placa com um componente metálico. O diâmetro alvo é 12,5 mm. A maioria dos distúrbios aleatórios no processo resulta em diâmetros maiores. Dados históricos mostram que a distribuição de X pode ser modelada por uma função densidade de probabilidade

ex

xf)5,12(20

.20)(−−

= , x≥ 12,5.

Se uma peça com diâmetro maior que 12,60 mm for descartada, qual será a proporção de peças descartadas? E a proporção de peças aprovadas?

5) Dada a função ee

xxxf .)(

2= definida para 1 ≤ x ≤ 2 e f(x) = 0 caso contrário. Verificar se

nestas condições f(x) é uma função densidade de probabilidade. Exercícios. 1) Em uma caixa, têm-se cinco peças boas e quatro defeituosas. São retiradas aleatoriamente três peças sem reposição. Façamos X a variável aleatória número de peças boas dentre as três peças retiradas. Determine: a) a distribuição de probabilidade da v.a. X. b) a função de distribuição acumulada de probabilidade. c) probabilidade de pelo menos uma peça boa R. 20/21 2) Construa a tabela de probabilidade para a variável aleatória: número de coroas obtidas no lançamento de duas moedas.

3) Faça X a variável aleatória soma dos pontos obtidos no lançamento de dois dados. Determine: a) A distribuição de probabilidade de X b) p(3 ≤ x ≤ 10) R. 29/36 c) p(x > 7) R. 5/12 d) p(x ≤ 5) R. 5/18 e) Probabilidade de soma 6 R. 5/36 f) Probabilidade de se obter pelo menos soma 3 R. 35/36 4) Uma variável aleatória tem a distribuição de probabilidade dada pela seguinte fórmula: P(xi ) = k/x para x = 1, 3, 5, 7 a) Determine K R. 105/176 b) Calcule )62( ≤≤ xP R. 7/22 c) Quanto vale F(5)? R. 161/176 5) Uma v.a discreta X tem função de probabilidade dada por: P(x) = P(X = x) = k.2-x , x = 0, 1, 2, … a) Encontre K R. 1/2


7 b) Encontre P(X ≥ 3) R. 1/8 c) Encontre P(3 < X < 7) R. 7/128 6) A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta X é dada pela fórmula:

( )2,01

).8,0()(−

=x

xp x = 1, 2, 3, ...

Calcule p(x) para x =1. R. 0,8 7) O número de chamadas telefônicas recebidas por uma central e suas respectivas probabilidades para um intervalo de um minuto são:

Número de chamadas xi 0 1 2 3 4 5 Probabilidades p(xi ) 0,55 0,25 0,10 0,04 0,04 0,02

a) Calcule F(2) R. 0,90 b) Determine )41( ≤≤ xp e p(x > 1) R. 0,43 e 0,20 c) Qual é o número esperado de chamadas em um minuto? R. 0,83 Ln x para 1 ≤ x ≤ e 8) Dada a função f(x) = 0 caso contrário. Verificar se é uma função densidade de probabilidade. R. é uma função densidade de probabilidade 9) Seja Z a variável aleatória correspondente ao número de pontos de uma peça de dominó (soma dos pontos). a) Construa a tabela de distribuição de probabilidade de Z. b) Calcule )62( ≤≤ zP . R. 1/2 c) Qual é o número médio de pontos? R. 6 10) Em uma sala, temos cinco rapazes e quatro moças. São escolhidas aleatoriamente três pessoas. Faça X a variável aleatória: número de rapazes. Determine a distribuição de probabilidade da variável X. 11) De uma caixa contendo 4 bolas pretas e 2 bolas verdes, 3 bolas são retiradas sucessivamente sem reposição. a) Encontre a distribuição de probabilidade de bolas verdes retiradas. b) Calcule a esperança matemática da distribuição encontrada. R. 1 12) Verifique se as expressões a seguir são funções densidade de probabilidade (assuma que elas se anulam fora dos intervalos especificados). (MAGALHÃES, 2008 p.175) a) f(x) = 3x , se 0 ≤ x ≤ 1. R. não

b) f)x) = 2

2

x , se x ≥ 0 R. não

c) f(x) = 2

3−x , se 3 ≤ x ≤ 5 R. sim

d) f(x) = 2 , se 0 ≤ x ≤ 2 R. não (2 + x)/4 , se -2 ≤ x < 0 e) f(x) = (2 - x)/4 , se 0 ≤ x ≤ 2 R. sim 13) Uma moeda é viciada de tal forma que cara é duas vezes mais provável de ocorrer que coroa. Se a moeda é jogada três vezes, encontre a distribuição de probabilidade do número de caras.


8 14) X é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade:

x 0 1 2 3 4 P(x) 1/4 1/8 1/4 1/8 1/4

a) Determine E(X) R. 2 b) Determine E[(X + 1)/2] R. 3/2 15) Suponha que uma caixa contém 12 bolas numeradas de 1 a 12. Faz-se duas repetições independentes do experimento de selecionar aleatoriamente uma bola da caixa (experimento com repetição). Seja X o maior entre os dois números observados. Determine a função de probabilidade de X e a sua esperança matemática. R. 611/72

16) Qual é a nossa esperança matemática se ganharmos R$ 25,00 quando um dado lançado aparecer com 1 ou 6 pontos e perdermos R$ 12,50 quando aparecer com 2, 3, 4 ou 5 pontos? R. zero 17) O tempo, em minutos, de digitação de um texto por secretárias experientes é uma variável aleatória contínua X. Sua densidade é apresentada por: (MAGALHÃES, 2008 p.175). 1/4, se 0 ≤ x < 2; f(x) = 1/8, se 2 ≤ x < 6; 0, caso contrário. Determine: a) P(X > 3) R. 3/8 b) P(1 < X ≤ 4) R. 1/2 c) P(X < 3/ X ≥ 1) R. 1/2 d) O valor esperado e a variância de X. R. 5/2 e 37/12 18) As probabilidades de um investidor vender um terreno para uma casa na montanha com um lucro de R$ 2.500,00, de R$ 1.500,00, de R$ 500,00 ou com um prejuízo de R$ 500,00 são de 0,22, 0,36, 0,28 e 0,14, respectivamente. Qual é o lucro esperado do investidor? R. R$ 1.160,00

x2

1 se 1 ≤ x ≤ 4

19) Dada da função f(x) = 0 caso contrário. Verificar se é função densidade de probabilidade. Caso afirmativo determinar o valor da esperança matemática e da variância. R. é função densidade de probabilidade E(X) = 7/3 e V(X) = 34/45 20) Do Livro Noções de Probabilidade e Estatística – Marcos Magalhães. Pág. 67 Seção 3.1 Exercícios 1, 3, 5 e 6 21) Do Livro Noções de Probabilidade e Estatística – Marcos Magalhães. Pág. 195 Seção 6.3 Exercícios 1, 2, 3 e 4. 11.10 Distribuição Conjunta de Probabilidade. Variáveis Bidimensionais.

É comum estarmos interessados no comportamento conjunto de variáveis. Por exemplo, num questionário aplicado a um grupo de estudantes, podemos obter a idade e o número de disciplinas já cursadas.

Sejam X e Y variáveis aleatórias discretas num espaço amostral S tais que: X(S) = {x1, x2,..., xm} e Y(S) = {y1, y2,..., yn}

Se, para cada par ordenado (xi , yj) do produto cartesiano X(S) X Y(S) = { (x1 , y1), (x1 , y2), … , (xm , yn) }, definiremos sua probabilidade por P(X = xi , Y = yj), denotada por h(xi , yj). Esta função h em X(S) X Y(S), isto é, definida por h(xi , yj) = P(X = xi , Y = yj), é denominada


9 distribuição conjunta de probabilidade ou função de probabilidade conjunta de X e Y e é usualmente dada na forma de tabela. Y X

y1 y2 ... Yn Soma

x1

h(x1 , y1) h(x1 , y2) ... h(x1 , yn) f(x1)

x2 h(x2 , y1) h(x2 , y2) ... h(x2 , yn) f(x2)

... ... ... ... ... ...

Xm h(xm , y1) h(xm , y2) h(xm , yn) f(xm)

Soma g(y1) g(y2) ... g(yn)

As funções f e g, acima, são definidas por:

( )∑=

=n

jjii yxx hf

1

,)( e ( )∑=

=m

ijij

yxy hg1

,)( isto é, f(xi) é a soma dos valores da i-

ésima linha e g(yj) é a soma dos valores da j-ésima coluna; elas são chamadas distribuições marginais e são, de fato, as distribuições (individuais) de X e Y, respectivamente. A distribuição conjunta h satisfaz as condições:

1º) h(xi , yj) ≥ 0 , 2º) ( )∑ ∑= ==

m

i

n

j ji yxh1 1

1, e

3º) ),(),( yxyx jijihYXP ===

Se X e Y são variáveis aleatórias contínuas:

1º) h(X , Y) ≥ 0 , 2º) ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

= 1),( dYdXYXh e

3º) dYdX

x

x

y

y

YXhYXP yyxx ∫ ∫=≤≤≤≤2

1

2

1

),();(2121

Exercícios. 1) Um par de dados é lançado. Sejam as variáveis aleatórias X e Y. X: associa a cada ponto (a,b) do espaço amostral S o maior desses números, isto é, X(a,b) = Máx.(a,b). Y: associa a cada ponto (a,b) de S a soma desses números, isto é, Y(a,b) = a + b. Determine:

a) As distribuições de probabilidade de X e Y; b) A distribuição conjunta de probabilidade de X e Y.


10 2) Uma empresa atende encomendas de supermercados dividindo os pedidos em duas partes de modo a serem atendidos, de forma independente, pelas suas duas fábricas. Devido à grande demanda, pode haver atraso no cronograma de entrega, sendo que a fábrica I atrasa com probabilidade 0,1 e a II com 0,2. Vamos admitir que as encomendas sempre serão entregues, mesmo que com atraso. Suponha que para um certo pedido, a indústria recebe $ 200,00 pela encomenda total entregue, mas paga uma multa de $ 20,00 para cada fábrica que atrasar sua parte. Considere que o supermercado, que fez a encomenda, criou um índice relacionado à pontualidade de entrega. Este índice, atribui 10 pontos para cada parte da encomenda entregue dentro do cronograma previsto. Vamos denotar por X o valor recebido pelo pedido e Y o índice obtido. Determine a distribuição conjunta de probabilidade e as distribuições marginais. (MAGALHÃES, 2008 P.129). 3) Uma região foi dividida em 10 sub-regiões. Em cada uma delas foram observadas duas variáveis: X: número de poços artesianos e Y: número e riachos ou rios presentes. Os resultados são apresentados na tabela a seguir: Sub-região 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X 0 0 0 0 1 2 1 2 2 0 Y 1 2 1 0 1 0 0 1 2 2

Considerando que escolhemos uma das sub-regiões ao acaso, isto é, cada sub-região tem a mesma probabilidade 1/10 de ser escolhida. (MAGALHÃES, 2008 P.130). a) Construir a distribuição conjunta de probabilidade de (X,Y). b) Determine as distribuições marginais de X e Y. 4) Dada a função h(X,Y) = 2 –x – y com 1010 ≤≤≤≤ YeX . Verifique se h(X,Y) é distribuição conjunta de probabilidade e, em caso afirmativo, determine P(X > 1/2 e Y > 1/2).


11 Observação.

Dadas duas variáveis aleatórias X e Y e, havendo interesse em estudar, por exemplo, a soma ou produto das mesmas a partir da distribuição conjunta de probabilidade procedemos como feito a seguir. M F

3 4 5 Soma

8 3/10 1/10 1/10 5/10 9 2/10 1/20 1/10 7/20 10 0 1/10 1/20 3/20

Soma 5/10 5/20 5/20 1 Para obter a distribuição de probabilidade de F + M determinamos os valores da

variável aleatória, ou seja: F + M: 11, 12, 13, 14 e 15. Para obter as probabilidades adicionamos as probabilidades nos valores comuns.

P(11) = P(F=8, M=3) = 3/10 P(12) = P(F=8, M=4) + P(F=9, M=3) = 1/10 + 2/10 = 3/10 P(13) = P(F=8, M=5) + P(F=9, M=4) = 1/10 + 1/20 = 3/20 e assim os demais casos.

F + M 11 12 13 14 15 P(F+M) 3/10 3/10 3/20 2/10 1/20

Igualmente para F.M. Valores de F.M: 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45 e 50.

F.M 24 27 30 32 36 40 45 50 P(F.M) 3/10 2/10 0 1/10 1/20 2/10 1/10 1/20

11.11 Variáveis Aleatórias Independentes.

Duas variáveis aleatórias discretas são independentes, se a ocorrência de qualquer valor de uma delas não altera a probabilidade de ocorrência de valores da outra. Em termos matemáticos P(X = x, Y =y) = P(X = x).P(Y = y), para quaisquer (x,y). Note, ainda, que a definição de independência exige que a igualdade seja verdadeira para todas as escolhas dos pares (x,y). Assim, basta encontrarmos um par em que a igualdade não se verifique para concluirmos que as variáveis aleatórias não são independentes.

Agora, se X e Y têm distribuições de probabilidade “f” e “g” respectivamente, e distribuição conjunta h, então a equação acima pode ser escrita assim:

( ) ( ) ( )yxyx jijigfh ., =

Em outras palavras, X e Y são independentes, se cada valor ( )yx jih , for o produto de

seus valores marginais. Exercícios. 1) Sejam X e Y variáveis aleatórias com a seguinte distribuição conjunta: Y X

2 3 4 Soma

1 0,06 0,15 0,09 0,30 2 0,14 0,35 021 0,70

Soma 0,20 0,50 0,30 a) Determine as distribuições de probabilidade de X e Y e verifique se as mesmas são independentes. b) Verifique as propriedades da esperança matemática, E(X+Y) = E(X) + E(Y) e caso as variáveis sejam independentes E(X.Y) = E(X) . E(Y).


12 2) Numa caixa existem 4 bolas numeradas 3, 5, 5 e 7. Uma bola é sorteada ao acaso, seu número anotado (X1) e devolvida à caixa. Uma segunda bola é escolhida, também ao acaso, e seu número denotado por (X2). a) Determine a distribuição conjunta de probabilidade de X1 e X2. b) Calcule as distribuições marginais de X1 e X2. 3) Em uma faculdade de engenharia fez-se um levantamento da remuneração dos estagiários, em salários mínimos, com relação ao ano que estão cursando. As probabilidades de cada caso estão apresentadas na tabela. Pelas informações apresentadas, as variáveis salário e ano de curso são independentes? Ano Salário

2º 3º 4º 5º P(Sal.=x)

2 0,08 0,08 0,04 0 0,20 3 0,08 0,20 0,08 0,08 0,44 4 0,04 0,08 0,08 0,16 0,36

P(Ano=y) 0,20 0,36 0,20 0,24 1 4) O setor de emergência de um Pronto socorro Infantil anotou o número de médicos (M) e de auxiliares (A) de plantão em 15 dias de atividades. Os cálculos são apresentados na tabela. Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 M 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 A 4 4 5 6 7 7 6 5 5 6 7 7 6 6 7 Determine a distribuição conjunta de probabilidade e as distribuições marginais das variáveis número de médicos e número de auxiliares. 5) Do Livro Noções de Probabilidade e Estatística – Marcos Magalhães. Pág. 133 Seção 5.1 Exercícios 1, 2, 3, 4 e 5.

p e e parte 3

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