ec3 parte 3

Estruturas Metálicas

EC3 – Parte 1.1 / Volume III

Série ESTRUTURAS

joão guerra martins 7.ª edição / 2011

ba

bef2

ef2

σmaxb

σmax

Prefácio

Este texto resulta do trabalho de aplicação realizado pelos alunos de sucessivos cursos de Engenharia Civil da

Universidade Fernando Pessoa, vindo a ser gradualmente melhorado e actualizado.

Apresenta-se, deste modo, aquilo que se poderá designar de um texto bastante compacto, completo e claro,

entendido não só como suficiente para a aprendizagem elementar do aluno de engenharia civil, quer para a

prática do projecto de estruturas correntes.

Certo é ainda que pretende o seu teor evoluir permanentemente, no sentido de responder quer à especificidade

dos cursos da UFP, como contrair-se ao que se julga pertinente e alargar-se ao que se pensa omitido.

Para tanto conta-se não só com uma crítica atenta, como com todos os contributos técnicos que possam ser

endereçados. Ambos se aceitam e agradecem.

João Guerra Martins

Série Estruturas Estruturas Metálicas

EC3 - Cap. 2, 3, 4 e 5 Parte III / III

ÍNDICE GERAL

PREFÁCIO ............................................................................................................................................................ 2

ÍNDICE GERAL ................................................................................................................................................. III

ÍNDICE DE FIGURAS ....................................................................................................................................... VI

ÍNDICE DE QUADROS ................................................................................................................................... VII

1. CLASSIFICAÇÃO DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS ............................................................................... 1

1.1. GENERALIDADES ............................................................................................................................................... 1

1.2. CLASSIFICAÇÃO ................................................................................................................................................ 1

1.3. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO PARA CLASSIFICAÇÃO DE SECÇÕES ........................................................................ 7

1.3.1. Classificação de Secções Transversais Sujeitas à Compressão ..................................................................... 7

1.3.2. Classificação de Secções Transversais Sujeitas à Flexão .............................................................................. 9

1.3.3. Classificação de Secções Transversais Sujeitas à Flexão e à Compressão .................................................. 12

1.4. REQUISITOS DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS ..................................................................................................... 17

2.4.1. Requisitos das Secções Transversais para uma análise global plástica ....................................................... 18

2.4.2. Requisitos das Secções Transversais para uma análise global elástica ....................................................... 19

2.4.3. Requisito de salvaguarda da estabilidade local das secções ........................................................................ 20

2. RESISTÊNCIA DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS (SEM ENCURVADURA) ....................................... 21

2.1. GENERALIDADES ............................................................................................................................................. 21

2.2. PROPRIEDADES DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS ................................................................................................ 23

2.3. EFEITOS DE “SHEAR LAG” (ENRUGAMENTO POR ACÇÃO DO ESFORÇO TRANSVERSO) ...................................... 27

2.4. TRACÇÃO ........................................................................................................................................................ 27

2.4.1. Exemplo da resistência à tracção de ligação com furacão de duas fiadas ................................................... 29

2.4.2. Exemplo da resistência à tracção de ligação com furacão em quincôncio .................................................. 32

2.4.3. Exemplo da resistência à tracção de uma cantoneira .................................................................................. 34

2.5. COMPRESSÃO .................................................................................................................................................. 35


EC3 - Cap. 2, 3, 4 e 5 Parte III / IV

2.5.1. Exemplo da resistência à compressão pura de perfil IPE 600 ..................................................................... 36

2.5.2. Exemplo da resistência à compressão pura de perfil HEA 500 ................................................................... 37

2.6. FLEXÃO ........................................................................................................................................................... 37

2.6.1. Fundamentos ............................................................................................................................................... 37

2.6.2. Furos para Ligações .................................................................................................................................... 44

2.6.2. Exemplo da resistência à flexão pura de perfil IPE 600 .............................................................................. 44

2.6.3. Exemplo da resistência à flexão pura de perfil HEA 500............................................................................ 44

2.6.3. Flexão desviada pura ................................................................................................................................... 45

2.6.4. Exemplo de resistência à Flexão de uma viga composta para uma Ponte Rolante ..................................... 46

2.6.5. Exemplo da resistência à flexão desviada pura de perfil IPE 600 ............................................................... 48

2.6.6. Exemplo da resistência à flexão pura de perfil HEA 500............................................................................ 49

2.7. ESFORÇO TRANSVERSO ................................................................................................................................... 49

2.7.1. Exemplo da resistência ao esforço transverso puro de perfil IPE 600 ........................................................ 55

2.7.2. Exemplo da resistência ao esforço transverso puro de perfil HEA 500 ...................................................... 55

2.8. FLEXÃO COM ESFORÇO TRANSVERSO ............................................................................................................. 56

2.8.1. Exemplo de verificação de flexão com corte em viga travada lateralmente ............................................... 57

2.8.2. Exemplo da resistência à flexão bi-axial, com corte, de uma viga em consola ........................................... 61

2.8.3. Exemplo da resistência ao esforço transverso puro de perfil IPE 600 ........................................................ 65

2.8.4. Exemplo da resistência ao esforço transverso puro de perfil HEA 500 ...................................................... 66

2.9 – TORÇÃO ........................................................................................................................................................ 66

2.10. FLEXÃO COMPOSTA (M, N) .......................................................................................................................... 68

2.10.1. Exemplo da resistência a flexão composta de perfil IPE 600 .................................................................... 76

2.8.4. Exemplo da resistência a flexão composta de perfil HEA 500 ................................................................... 76

2.11. FLEXÃO COMPOSTA COM ESFORÇO TRANSVERSO ........................................................................................ 77


EC3 - Cap. 2, 3, 4 e 5 Parte III / V

2.10.1. Exemplo da resistência a flexão composta com esforço transverso de perfil IPE 600 .............................. 80

2.8.4. Exemplo da resistência a flexão composta com esforço transverso de perfil HEA 500 .............................. 80

BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................................. 82


EC3 - Cap. 2, 3, 4 e 5 Parte III / VI

ÍNDICE DE FIGURAS

Fig. 1A - Classes das secções transversais .............................................................................................................. 2

Fig. 1B – Curvas momento-curvatura para as diversas classes de secção preconizadas pelo EC3 ......................... 3

Fig. 2 - Distribuição de tensões devidas aos momentos elástico e plástico. .......................................................... 17

Fig. 3 - Peças de secção variável. Exigências de classes para formar rótulas plásticas......................................... 19

Fig. 4 - Diagrama limite de tensões assimétricas da classe 3 ................................................................................ 20

Fig. 5 - Furos em quincôncio e linhas críticas de rotura 1 e 2 e cantoneiras com furos em duas abas .................. 25

Fig. 6 - Redução devido a aberturas ...................................................................................................................... 25

Fig. 7 - Furos dispostos em quincôncio ................................................................................................................. 26

Fig. 8 - Ilustração esquemática do fluxo de tensões em uma cantoneira ligada por uma aba (efeito “shear lag”) 27

Fig. 9 - Características das secções transversais e sua classificação ..................................................................... 41

Fig. 10 – Deformação e tensão tipo em função do comportamento admissível da secção transversal em “T” ..... 42

Fig. 11 – Deformação e tensão tipo em função do comportamento admissível da secção transversal rectangular.

.............................................................................................................................................................................. 42

Fig. 12 – Distribuições de tensões em secções simétricas e assimétricas ............................................................. 43

Fig. 13 – Relação momento-curvatura (M-Ө) para uma secção transversal rectangular em flexão ...................... 43

Fig. 14 – Tensões resultantes de flexão bi-axial ................................................................................................... 45

Fig. 15 – Tensões de corte e sua variação ao longo da altura da secção transversal – secção rectangular ............ 50

Fig. 16 – Tensões de corte e sua variação ao longo da altura da secção transversal – secção em I ...................... 50

Fig. 17 – Área de corte para eixos dos Z’s ............................................................................................................ 53

Fig. 18 – Área de corte para eixos dos Z’s e Y’s .................................................................................................. 54

Fig. 19 - Digrama de interacção entre momento e esforço axial numa secção rectangular. .................................. 69

Fig. 20 – Influência do esforço axial no momento plástico .................................................................................. 71

Fig. 21 – Distribuição de tensões na flexão composta com compressão, nas classes 1 e 2. .................................. 75

Fig. 22 - Diagrama de tensões normais na secção com esforço transverso ........................................................... 78


EC3 - Cap. 2, 3, 4 e 5 Parte III / VII

ÍNDICE DE QUADROS

Quadro 1 - Relações Limites máximos das relações largura-espessura para componentes comprimidos (almas) .. 4

Quadro 2 - Relações Limites máximos das relações largura-espessura para componentes comprimidos (consolas)

................................................................................................................................................................................ 5

Quadro 3 - Limites máximos das relações largura-espessura para componentes comprimidos (cantoneira) .......... 6

Quadro 4 - Áreas de corte ..................................................................................................................................... 26

Quadro 5 – Tipos de vigas em função dos vãos e da função estrutural ................................................................. 39

Quadro 6 – Módulos elásticos, plásticos de secções e factor de forma ................................................................. 40


EC3 Parte III / 1

1. Classificação das Secções Transversais

1.1. Generalidades

Não é possível fazer referência ao cálculo de secções sem se mencionar a sua classificação. Para isso, o EC3-1-1

selecciona quatro classes em torno das quais se delimitam e estruturam diferentes níveis de análises de esforços e

de capacidades resistentes das secções.

A ideia desta classificação é a de prever que tipos de desestabilização podem ocorrer nas secções, visto que

problemas de instabilidade local, em solicitações de flexão, compressão e flexão/compressão, podem

desencadear a cedência prematura das secções sem se atingir as suas máximas capacidades resistentes. Isto é, a

instabilidade precoce de parte(s) das peças estruturais pode conduzir a que não seja possível entrar em linha de

conta com as suas reservas plásticas, ou mesmo elásticas. Tal situação pode não só surgir ao nível do elemento,

como de uma sua secção ou até da própria estrutura globalmente.

Sendo o tipo de situação mais exigente, a classificação das secções transversais está relacionada com os

requisitos que o cálculo plástico impõe às secções. Para uma análise plástica global é necessário que as barras

permitam a formação de rótulas plásticas, com capacidade de se deformarem o necessário para que haja a

redistribuição de esforços exigida para esse tipo de cálculo. Para uma análise elástica essa exigência já não se

impõe, podendo qualquer tipo de secção ser considerada, desde que possua uma capacidade resistente suficiente

tendo em conta as possíveis instabilidades.

1.2. Classificação

O EC3-1-1 define da seguinte forma as classes de secções transversais de peças:

• CLASSE 1 – São secções em que se podem formar rótulas plásticas com a capacidade de rotação

requerida para se permitirem as redistribuições de esforços, que se obtém com o cálculo rígido-plástico:

estão aptas a uma análise plástica. Na figura 1A esquematiza-se o diagrama de momentos flectores de

uma viga contínua com diferentes vãos ao entrar em ruína, bem como o diagrama de distribuição de

tensões que corresponde às secções nas quais se formaram rótulas plásticas (secção de apoio e secção

intermédia do vão maior). São as secções mais estáveis;

• CLASSE 2 – Secções capazes de atingir o momento plástico, mas com uma capacidade de rotação

limitada pelo aparecimento de problemas de instabilidade local, de modo que só se admitem leis de

esforços obtidas por uma análise elástica (o que é importante, pois embora permitindo uma

redistribuição elástica de esforços, não admite uma análise directa plástica global, caso haja formação

de rótulas plásticas em elementos com secções desta classificação). São secções compactas. Na figura

1A representa-se o diagrama de momentos flectores da mesma viga contínua de dois vãos. O seu valor


EC3 Parte III / 2

máximo situa-se no apoio e pode ser igual ao momento plástico, Mpl. Os momentos máximos nos vãos

são inferiores ao momento plástico, já que nestas secções não é possível o cálculo rígido-plástico;

• CLASSE 3 – Secções nas quais a fibra extrema comprimida pode alcançar o limite elástico (tensão de

cedência) ou primeira plastificação, mas a instabilidade das zonas comprimidas impede a redistribuição

das tensões para a obtenção de uma resistência plástica. São secções semi-compactas. A figura 1A

representa os momentos na mesma viga contínua na qual o momento máximo alcançado, momento

elástico Mel, momento correspondente à tensão elástica σel na fibra mais comprimida, se situa na zona

do apoio. O momento Mel é inferior a Mpl e igual ao momento último Mu;

• CLASSE 4 – Secções que necessitam de restrições no cálculo do momento ou esforço de compressão

resistentes, devido à ocorrência de fenómenos de instabilidade local que impedem o alcance do limite

elástico na fibra mais comprimida. São obviamente secções bastante esbeltas. Nestas secções o cálculo

da capacidade resistente obtém-se com uma análise elástica da secção prescindindo, porém, de partes da

mesma. Assim, as partes da secção que tendem a instabilizar são deduzidas do cálculo, não contando

para a capacidade resistente dessa secção, o que se traduz em restrições no cálculo da capacidade

resistente. Nestas secções transversais de classe 4 podem-se utilizar-se larguras efectivas para atender às

reduções da resistência provocadas pelos efeitos da encurvadura local. A figura 1A representa os

momentos na mesma viga contínua na qual o momento máximo alcançado não atinge o momento

elástico Mel.

Fig. 1A - Classes das secções transversais

1

(Plástica)

2

(Compacta)

3

(Semicompacta)

4

(Esbelta)

CLASSE DASECÇÃO

MOMENTO ÚLTIMOM u

M pl

M pl

M pl

M pl

M pl

M pl

M el

M pl

M pl

M elM eff

f y

f y

M = Mu pl

f y

f y

M = Mu pl

f y

f y

M = Mu e

f y

f y

M = Mu ef

a)

b)

c)

d)


EC3 Parte III / 3

Fig. 1B – Curvas momento-curvatura para as diversas classes de secção preconizadas pelo EC3

A classificação de uma determinada secção depende da esbelteza geométrica (relação entre a largura e a

espessura) dos elementos comprimidos, da classe do aço, do tipo de perfil (laminados ou soldados) e da posição

da fibra neutra plástica para as classes 1 e 2 e elástica para a classe 3. Por outro lado, uma secção que, segundo o

EC3, não consiga ser abrangida pelas restrições da classe 3 será considerada de classe 4.

De facto, se algum dos elementos, em compressão, de uma secção não cumpre as proporções limites da Classe 3

(semi-compacta), terá que se ter em consideração a encurvadura local da secção no seu cálculo.

Os diversos componentes comprimidos de uma secção transversal (tais como uma alma ou um banzo) podem,

em geral, ser de classes distintas. Nestes casos a classificação da secção será obtida pela classe mais elevada

(mais desfavorável) dos elementos comprimidos, excepto nos casos especificados em 6.2.1(10) e 6.2.2.4(1) do

EC3-1-1. Em alternativa, a classificação de uma secção transversal poderá ser definida pela indicação simultânea

da classe do banzo e da classe da alma.

Nos quadros 1, 2 e 3 é apresentada a relação dos elementos sujeitos à compressão das classes 1, 2 e 3.


EC3 Parte III / 4

Quadro 1 - Relações Limites máximos das relações largura-espessura para componentes comprimidos (almas)


EC3 Parte III / 5

Quadro 2 - Relações Limites máximos das relações largura-espessura para componentes comprimidos (consolas)


EC3 Parte III / 6

Quadro 3 - Limites máximos das relações largura-espessura para componentes comprimidos (cantoneira)

Acresce:

• Nas secções transversais da Classe 4 poderão adoptar-se larguras efectivas para ter em consideração as

reduções de resistência devidas aos efeitos da encurvadura local, ver a EN 1993-1-5, 4.4;

• Os componentes comprimidos incluem todas as partes de uma secção transversal que se encontrem total

ou parcialmente comprimidas sob o carregamento considerado;

• Os diversos componentes comprimidos de uma secção transversal (tais como uma alma ou um banzo)

podem, em geral, ser de classes diferentes.

• Os valores limites da relação entre as dimensões dos componentes comprimidos das Classes 1, 2 e 3 são

indicados no Quadro 5.2 do EC3-1-1, ou nos quadros 2, 3 e 4 deste texto. Um componente que não

satisfaça os limites da Classe 3 deverá ser considerado como sendo da Classe 4.


EC3 Parte III / 7

• Excepto no caso seguinte, as secções da Classe 4 poderão ser consideradas como sendo da Classe 3 se

as relações largura-espessura forem inferiores aos limites da Classe 3 indicados Quadro 5.2 do EC3-1-1,

ou nos quadros 2, 3 e 4 deste texto, considerando o presente em 5.5.2.(9) do EC3-1-1.

• No entanto, quando a verificação da resistência à encurvadura de um elemento é efectuada de acordo

com a secção 6.3, deverão ser sempre adoptados para a Classe 3 os limites indicados no Quadro 5.2 do

EC3-1-1, ou nos quadros 2, 3 e 4 deste texto.

• As secções transversais com uma alma da Classe 3 e banzos da Classe 1 ou 2 poderão ser classificadas

como sendo da Classe 2 desde que seja adoptada uma alma efectiva de acordo com 6.2.2.4. do EC3-1-1.

• Quando numa secção transversal se considera que a alma resiste apenas ao esforço transverso e se

admite que não contribui para a resistência à flexão e ao esforço normal, essa secção poderá ser

classificada como sendo da Classe 2, 3 ou 4, apenas em função da classe dos banzos.

NOTA: No caso da encurvadura da alma induzida pelo banzo, ver a EN 1993-1-5.

1.3. Exemplos de Aplicação para Classificação de Secções

Apresentam-se vários exemplos com vista a melhor entender a variação da classificação da secção em função da

sua geometria e do tipo de esforço a que estão sujeitas.

1.3.1. Classificação de Secções Transversais Sujeitas à Compressão

Exemplo 1: Perfil HEA 500

Dados:

fy = 235 N/mm2

h = 490 mm

b = 300 mm

tf = 23 mm

tw = 12 mm

r = 27 mm

d = h – 2tf - 2r = 390 mm

c = 0.5b = 150 mm

1f/235 y ==ε


EC3 Parte III / 8

Classificação dos banzos:

► Quadro 5.2 (pág. 2 de 3) => Classe 1

Classificação da alma:

Classe 1 ► Quadro 5.2 (pág. 1 de 3)

A secção é da classe 1.

Exemplo 2: Perfil IPE 600

Dados:

fy = 355 N/mm2

h = 600 mm

b = 220 mm

tf = 19 mm

tw = 12 mm

r = 24 mm

d = h - 2tf - 2r = 514 mm

c = 0.5b = 110 mm


► Quadro 5.2 (pág. 2 de 3)

33335,3212390

td

w

=ε≤==

81,0/235 == yfε

995,623

150=≤== ε

tfc


EC3 Parte III / 9

=> Classe 1


Classe 4 ► Quadro 5.2 (pág. 1 de 3)

A secção é da classe 4

1.3.2. Classificação de Secções Transversais Sujeitas à Flexão


Dados:

fy = 235 N/mm2

h = 490 mm

b = 300 mm

tf = 23 mm

tw = 12 mm

r = 27 mm

d = h - 2tf - 2r = 390 mm

c = 0.5b = 150 mm

Serão consideradas duas situações:

1.ª) Flexão segundo o eixo dos yy:

No caso dos banzos considera-se que estes estão sujeitos a uma compressão ou a uma tracção uniforme. Assim, a

classificação dos banzos é a seguinte:

34428,4212514

=>== εwtd

1/235 == yfε

1,898,519

110=≤== ε

tfc


EC3 Parte III / 10

995,623

150=≤== ε

tfc

=> Classe 1


A alma está sujeita à flexão e a sua classificação é a seguinte:

Classe 1► Quadro 5.2 (pág. 1 de 3)


2.ª) Flexão segundo o eixo dos zz:

Assume-se que a secção é totalmente plástica quando sujeita à flexão pura. Neste caso os banzos estão sujeitos a

uma distribuição uniforme dos esforços, com compressão de um dos lados da alma e tracção do outro lado.

A classificação dos banzos é a seguinte:

=> Classe 1


Em flexão pura segundo o eixo dos zz, a possibilidade da existência de encurvadura local é negligenciável face à

localização da alma relativamente ao eixo neutro.

Assim a secção é da classe 1


Dados:

fy = 355 N/mm2

h = 600 mm

72725,3212390

=≤== εwtd

81,0/235 == yfε

995,623

150=≤== ε

tfc


EC3 Parte III / 11

b = 220 mm

tf = 19 mm

tw = 12 mm

r = 24 mm

d = h - 2tf - 2r = 514 mm

c = 0.5b = 110 mm

Serão consideradas duas situações:

1.ª) Flexão segundo o eixo dos yy:

No caso dos banzos considera-se que estes estão sujeitos a uma compressão ou a uma tracção uniforme. Assim, a

classificação dos banzos é a seguinte:

29,798,519

110=≤== ε

tfc

=> Classe 1

► Quadro 5.2 (pág. 2 de 3) – pág. 43 (EC3-1-1-2004)

A alma está sujeita à flexão e a sua classificação é a seguinte:

=> Classe 1



2.ª) Flexão segundo o eixo dos zz:

Assume-se que a secção é totalmente plástica pelo que os banzos estão sujeitos a uma compressão ou tracção

uniformes. A classificação dos banzos é a seguinte:

29,798,5

19110

=≤== εtfc

=> Classe 1


3,58728,4212514

=≤== εwtd


EC3 Parte III / 12

Em flexão pura segundo o eixo dos zz, a possibilidade da existência de encurvadura local é negligenciável face à

localização da alma relativamente ao eixo neutro.

Assim a secção é da classe 1

Nota: De registar que esta secção em compressão pura seria da classe 4, por força da classificação da alma.

1.3.3. Classificação de Secções Transversais Sujeitas à Flexão e à Compressão


Dados:

fy = 235 N/mm2

h = 490 mm

b = 300 mm

tf = 23 mm

tw = 12 mm

r = 27 mm

d = h - 2tf - 2r = 390 mm

c = 0.5b = 150 mm

Esta secção está sujeita à flexão segundo o eixo dos yy e a uma força de compressão axial de 400 kN.


995,6

23150

=≤== εtfc

=> Classe 1




1/235 == yfε

5,3212390

==wtd


EC3 Parte III / 13

Este valor é menor que o limite de d/tf para o caso de aplicação de uma compressão uniforme na alma (33ε =

33), que é o caso de distribuição de esforços na alma mais desfavorável. Assim, a alma é classificada da classe 1

independentemente do tipo de distribuição de esforços a que esteja submetida.



Dados:

fy = 355 N/mm2

h = 600 mm

b = 220 mm

tf = 19 mm

tw = 12 mm

r = 24 mm

d = h - 2tf - 2r = 514 mm

c = 0.5b = 110 mm

A secção está submetida à flexão segundo o eixo dos yy e a uma força axial de 1200 kN


998,519

110=≤== ε

tfc

=> Classe 1




Este valor é menor do que qualquer valor limite de d/tf no caso da alma se encontrar no caso de flexão pura (72ε

= 58,3), mas excede o limite da classe 3 (42ε = 34) em compressão pura.

81,0/235 == yfε

8,4212514

==wtd


EC3 Parte III / 14

Coloca-se assim a seguinte questão: “Que tipo de distribuição de esforços – elástico ou plástico – deverá ser

adoptado?”

Primeiro vamos assumir uma redistribuição totalmente plástica (análise global plástica):

Em que α (factor multiplicativo da altura útil que dá a profundidade da linha neutra):

Vamos verificar se d/tw é menor que o limite da classe 2


Não verifica.

Isto significa que tem de ser assumida uma redistribuição elástica dos esforços (análise global elástica).

A distribuição dos esforços na alma que se consideram é tal que a fibra extrema em compressão está em

cedência.

O esforço devido ao momento-flector é igual a σb. Na fibra extrema da alma os esforços são dados pelas

seguintes expressões que se seguem.

À compressão:

ywNSd ftdN ××=

2/)( Nddd +=α

5,0774,051435512

1012001211

211

21 3

>=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛××

×+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

dftN

dd

yw

SdNα

8,40113

456=

−αε


EC3 Parte III / 15

Em que:

• Nw é a parte da força axial aplicada sobre a alma, e

• Nw = (Aw / A) NSd

• Aw = d.tw

• A é a área da secção

Das duas expressões abaixo:

•

•


=> Classe 4

A secção é da classe 4.

NOTA: Classificação idêntica à da compressão pura.

Exemplo 3: Perfil reconstituído soldado (PRS)

A secção a seguir apresentada está sujeita à flexão segundo o eixo dos zz e a uma força de compressão axial de

300 kN.

Dados:

fy = 355 N/mm2

A = 9408 mm2

ANtdNf Sdbwwby /./ +=+= σσ

ANtdNf Sdbwwby /./. +−=+−=Ψ σσ

1431,01106,15102,12

35511

213

6

−>=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

×××

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=Ψ

AN

fSd

y

9,41431,033,067,0

81,04233,067,0

42)itelim(t/d w =×+

×=

Ψ+ε

=

9,418,42 >=wtd

81,0/235 == yfε


EC3 Parte III / 16

h = 300 mm

b = 300 mm

a = 6 mm

tf = 12 mm

tw = 8 mm


Assume-se uma distribuição plástica dos esforços. Os banzos estão sujeitos a uma distribuição uniforme dos

esforços igual a fy na zona de compressão.


Este valor excede o valor de clim para a classe 3, isto é 14ε = 11,34. Isto significa que será considerada uma

distribuição elástica. Assume-se que a fibra extrema à compressão está em cedência.

Esbelteza dos banzos:

=> Classe 3 ► Quadro 5.2 (pág. 2 de 3)

5,1372628150 =−−=c

46,1112

5,137==

ftc

09,03559408

300000

1

2 =×

==Ψσσ

11 −≥Ψ≥

55,007,021,057,0 2 =Ψ+Ψ−=σk

6,1255,081,0212146,11 =××=<= σε ktc

f


EC3 Parte III / 17


A alma está comprimida.

E a sua esbelteza é:

Cumpre com o limite da classe 3, isto é 42ε = 34,02, e excede o limite da classe 2, isto é 38ε = 30,78. Assim, a

alma é da classe 3. Assim, a secção é da classe 3.

1.4. Requisitos das Secções Transversais

As tensões normais, σ, paralelas ao eixo da peça são originárias de esforços axiais, de flexão e, em perfis

abertos e de paredes delgadas, pela torção não uniforme que pode surgir em consequência da instabilidade da

peça.

A determinação destas tensões efectua-se aplicando as fórmulas dos tratados da Resistências dos Materiais,

baseadas nas hipóteses de comportamento elástico dos materiais. Assim, por exemplo, numa solicitação de

flexão simples a lei de distribuição de tensões é bi-triangular. A cedência da secção acontece quando a tensão

máxima σmáx alcança o valor σel e o momento Mel.

No entanto, é possível em determinadas ocasiões admitir um comportamento plástico das secções mediante o

qual se deduzem leis de repartição de tensões que diferem substancialmente das obtidas em fase elástica. Nestes

casos, a cedência acontece quando se atinge o momento plástico Mpl. A lei de distribuição de tensões é bi-

rectangular (fig. 2).

Fig. 2 - Distribuição de tensões devidas aos momentos elástico e plástico.

mmd 259262122300 =×−×−=

4,328

259==

wtd

hM 2y

h/2-y

h/2-y

tM o

σmax= σe

σy

a) Distribuição das tensões b) Distribuição das tensões

M o

σe

σe

normais. Fase elástica normais. Fase plástica


EC3 Parte III / 18

A relação entre o momento plástico Mpl e o momento elástico Mel denomina-se factor de forma. Este factor

depende das características geométricas da secção.

2.4.1. Requisitos das Secções Transversais para uma análise global plástica

Quando se adopta a análise plástica para o estudo do comportamento de uma estrutura, as barras e secções que a

constituem devem permitir a formação de rótulas plásticas com capacidade de rotação suficiente para que ocorra

a redistribuição de esforços requerida.

O EC3 estabelece que, nas rótulas plásticas, a secção transversal de uma barra deverá possuir um eixo de

simetria no plano da solicitação e ter uma capacidade de rotação nunca inferior à necessária ao desenvolvimento

dessa rótula, de modo a precaver o colapso das secções.

No caso de edifícios, em que normalmente não se calculam as deformações de rotação, todos os elementos onde

se formem rótulas plásticas devem possuir secções da Classe 1 (secções plásticas).

Em peças de secção variável ao longo da sua directriz, a imposição dos elementos serem da Classe 1 limita-se às

zonas susceptíveis de formarem rótulas plásticas (fig.3).

Num elemento de secção constante, para garantir essas exigências o EC3 estabelece que:

• O elemento tem secções transversais da Classe 1 nos locais onde se situem rótulas plásticas;

• No caso de se aplicar à alma da secção transversal, onde se situe uma rótula plástica, uma força

transversal superior a 10 % da resistência ao esforço transverso dessa secção, ver 6.2.6, deverão ser

colocados reforços da alma a uma distância não superior a h/2 da rótula plástica, sendo h a altura da

secção transversal.

No caso de a secção transversal do elemento variar ao longo do seu comprimento, deverão ser satisfeitos os

seguintes critérios adicionais:

• Nas zonas adjacentes a uma rótula plástica, a espessura da alma não deverá ser reduzida numa extensão

de pelo menos 2d ao longo do elemento, medida a partir do local da rótula, sendo d a altura livre da

alma nesse local;

• Nas zonas adjacentes a uma rótula plástica, o banzo comprimido deverá ser da Classe 1 numa extensão

medida ao longo do elemento, de cada um dos lados dessa rótula, não inferior ao maior dos seguintes

valores: (i) 2d, em que d é definido em 1; (ii) distância à secção adjacente em que o momento actuante

no elemento diminui para 0,8 vezes o momento resistente plástico na secção considerada;

• Nas restantes zonas do elemento, o banzo comprimido deverá ser da Classe 1 ou 2 e a alma deverá ser

da Classe 1, 2 ou 3.

Nas zonas adjacentes a uma rótula plástica, qualquer furo de uma ligação em zona traccionada deverá respeitar a

distância definida acima, de cada um dos lados da rótula plástica.


EC3 Parte III / 19

No que se refere aos requisitos das secções transversais para o cálculo plástico de um pórtico, poderá considerar-

se que a capacidade de redistribuição plástica de momentos é suficiente se forem satisfeitos os requisitos acima

expostos em todos os elementos em que existam, possam vir a existir ou tenham existido rótulas plásticas sob as

cargas de cálculo.

Nos casos em que se utilize um método de análise global plástico que tenha em consideração as distribuições

reais de tensões e extensões ao longo do elemento, incluindo os efeitos combinados dos fenómenos de

encurvadura local, de encurvadura do elemento e de encurvadura global da estrutura, não é necessário considerar

os requisitos acima expostos.

d

2 d 2 d

A lm a (c la sse 1 ) B a n zo (c la sse 1 )

A lm a (c la sse 1 , 2 o u 3 )

B a n zo (c la sse 1 o u 2 )

0 .8 M p lá s t

M p lá s t

Fig. 3 - Peças de secção variável. Exigências de classes para formar rótulas plásticas

2.4.2. Requisitos das Secções Transversais para uma análise global elástica

Na adopção de uma análise elástica o interesse da classificação das secções surge devido à necessidade de saber

quando aparecem os fenómenos de instabilidade que reduzem a sua capacidade resistente.

Sempre que todos os elementos comprimidos de uma secção sejam da classe 2, esta é capaz de atingir o seu

momento plástico na totalidade.

No caso dos elementos comprimidos de uma secção serem da classe 3, a sua capacidade resistente é calculada

com base numa distribuição elástica de tensões, limitada à tensão de cedência das fibras extremas.

Segundo o EC3, e sabendo que os problemas de instabilidade afectam as fibras comprimidas, quando a tensão de

cedência é atingida em primeiro lugar na fibra extrema traccionada é possível permitir que estas entrem no

patamar de plastificação até ao momento em que se atinja a tensão de cedência na fibra extrema comprimida

(fig.4).


EC3 Parte III / 20

Em resumo, podemos tensionar os elementos desde que não se verifiquem instabilidades nas zonas comprimidas,

o que para secções da classe 3 o mesmo é dizer que não se ultrapasse a tensão de cedência à compressão na fibra

mais comprimida. Esta atitude permite uma rentabilidade máxima do material de todas as partes da secção da

classe 3.

Fig. 4 - Diagrama limite de tensões assimétricas da classe 3

No caso de uma secção possuir banzos comprimidos da Classe 2 e a alma ser da Classe 3, pode-se ainda admitir

para o cálculo da capacidade resistente da secção que a alma é da Classe 2, possuindo, no entanto, uma secção

eficaz reduzida. Este facto permite aproveitar as vantagens de cálculo em secções da classe 2, com uma redução

da área da alma.

Quando qualquer dos elementos comprimidos de uma secção é de Classe 4, esta deverá ser dimensionada como

sendo da Classe 4.

2.4.3. Requisito de salvaguarda da estabilidade local das secções

Independentemente do tipo de análise que se faça, deve garantir-se, sempre, que não ocorra nenhuma

instabilidade local antes de se chegar ao mecanismo resistente completo que se considerou poder ocorrer,

independentemente deste ser o momento plástico, elástico ou de encurvadura (quando a secção, de classe 4, não

consegue atingir o momento elástico total).

x xf.n. f.n.e.(elástica)

f.n.p.(elástoplástica)

a) Secção assimétrica b) Diagrama finalfase elástica

c) Diagrama limite

y= fσy< feσ

yf yf

M

Zona Traccionada

Zona Comprimida


EC3 Parte III / 21

2. Resistência das Secções Transversais (sem encurvadura)

Nesta parte vamo-nos concentrar nas formulações que permitem a verificação de secções metálicas aos diversos

tipos de esforços (forças axiais, cortantes, momentos flectores, torsores, etc), sem que exista qualquer

possibilidade de encurvadura da peça em virtude dos mesmos.

Os coeficientes parciais de segurança “γM” deverão ser aplicados, aos diversos valores característicos da

resistência indicados na presente secção, do seguinte modo:

• Resistência das secções transversais de qualquer classe: “γM0”;

• Resistência dos elementos em relação a fenómenos de encurvadura, avaliada através de verificações

individuais de cada elemento: “γM1”;

• Resistência à rotura de secções transversais traccionadas em zonas com furos de ligação: “γM2”;

• Resistência das ligações: ver a EN 1993-1-8.

2.1. Generalidades

A instabilidade é um fenómeno condicionante das estruturas metálicas devido à sua grande esbelteza, seja ao

nível da secção, quer da peça, como ao da própria estrutura em si.

Este capítulo refere-se ao cálculo da capacidade resistente das secções transversais de peças submetidas a

esforços axiais ou esforços axiais e de flexão, sem fenómenos de encurvadura.

A verificação fundamental (critério de cedência, a não ser que sejam aplicáveis outras expressões de interacção,

ver 6.2.8 a 6.2.10. do EC3-1-1), de carácter elástico, passa pela da fórmula geral:

Ou, de forma conservativa, para secções da classe 1, 2 e 3:


EC3 Parte III / 22

Em que NRd , My,Rd e Mz,Rd são os valores de cálculo dos esforços resistentes, os quais dependem da classe

da secção transversal e incluem qualquer redução associada aos efeitos do esforço transverso, ver 6.2.8 do EC3-

1-1.

Todas as secções transversais poderão ser objecto de uma verificação elástica, em relação à sua resistência

elástica, qualquer que seja a sua classe, desde que, no caso da verificação das secções transversais da Classe 4,

sejam utilizadas as propriedades da secção transversal efectiva.

A capacidade resistente, ou o aparecimento de instabilidade, poderá ser afectada por vários factores ou

fenómenos:

• Tipo de aço, geometria das secções e condições de apoio;

• Furos ou aberturas para ligações entre elementos;

• Encurvadura dos elementos;

• Efeitos de “Shear Lag” (enrugamento por esforço transverso);

• Capacidade resistente plástica das secções.

Para a verificação da capacidade resistente plástica das secções é necessário encontrar uma distribuição de

tensões que equilibre os esforços internos, sem se ultrapassar a tensão de cedência, tendo em atenção que essa

distribuição de tensões seja lógica e com uma deformação plástica associada compatível.

No caso de solicitações (Msd e/ou Nsd) que comprimam, pelo menos parcialmente, a secção, a resistência última

desta depende da Classe a que pertence.

Assim:

• Nas secções das Classe 1 e 2 a sua capacidade resistente última é baseada na resistência plástica;

• Nas secções da Classe 3 é baseada na resistência elástica, sendo que as tensões de compressão nas fibras

extremas deverão ser limitadas à tensão de cedência. De notar que a determinação da resistência de uma

secção transversal da Classe 3, em que a plastificação ocorra primeiro no lado traccionado dessa secção,

poderá tomar em consideração a reserva de resistência plástica da zona traccionada, admitindo uma

plastificação parcial dessa zona;

• Nas secções da Classe 4 não se pode considerar nem a resistência plástica nem a resistência elástica da

secção total, devido aos riscos de instabilidade, por isso é admitida uma secção eficaz com distribuição

elástica de tensões.

Conjuntamente com os requisitos apresentados neste capítulo, a capacidade resistente da barra à encurvadura

também deverá ser verificada.


EC3 Parte III / 23

Deve referir-se que a classificação das secções destina-se a permitir avaliar a resistência última e a capacidade de

rotação da secção quando submetida a tensões normais, entrando em consideração com possíveis fenómenos de

encurvadura local.

2.2. Propriedades das Secções Transversais

As propriedades das secções transversais são:

• Secção bruta - As propriedades da secção bruta deverão ser determinadas com base nas suas dimensões

nominais. Não é necessário deduzir os furos das ligações, mas outras aberturas maiores deverão ser

tomadas em consideração. Os elementos de cobrejunta não deverão ser incluídos

• Área útil (ou líquida) - A área útil de uma secção transversal deverá ser considerada igual à sua área

bruta deduzida de todas as parcelas relativas a furos e a outras aberturas.

As principais regras, para o cálculo das características geométricas da secção transversal, são as seguintes:

• Características calculadas a partir das dimensões nominais da secção (produto simples da alma ou banzo

da secção pela sua espessura);

• Não consideração das aberturas para ligações;

• Ter em atenção as aberturas importantes;

• Não consideração dos elementos de ligação (por exemplo soldaduras).

As características geométricas das secções, necessárias à verificação da sua capacidade resistente, são as

seguintes:

• Área da secção bruta, A;

• Área de corte, Av (obtida por fórmulas empíricas indicadas no quadro 4);

• Área útil ou líquida;

• Módulos elásticos de flexão da secção, Wel.y e Wel.z;

• Módulos plásticos de flexão da secção, Wpl.y e Wpl.z;

Para efeitos de cálculo, área útil de uma secção considera-se a área que contribui para resistir ao esforço

actuante, isto é, a área total devidamente reduzida de todas as aberturas (nas zonas traccionadas) que contribuem

para uma diminuição de resistência. As reduções a efectuar devidas a aberturas para ligações, deverão ter em

consideração a área total da secção transversal da abertura, no plano do seu eixo. No caso de aberturas com

rebaixos, as considerações anteriores serão feitas para a zona de rebaixo (ver figura 6).

Propriedades da secção efectiva das secções transversais da Classe 4:


EC3 Parte III / 24

• As propriedades da secção efectiva das secções transversais da Classe 4 deverão basear-se nas larguras

efectivas das suas partes comprimidas.

• No caso de secções enformadas a frio, ver 1.1.2(1) e a EN 1993-1-3.

• As larguras efectivas das partes comprimidas deverão ser definidas com base na EN 1993-1-5.

• Quando uma secção transversal da Classe 4 está sujeita a um esforço normal de compressão, deverá

utilizar-se o método indicado na EN 1993-1-5 para determinar o eventual afastamento “eN” entre os

centros de gravidade das áreas das secções efectiva (Aeff) e bruta e o resultante momento adicional:

Em qualquer tipo de disposição geométrica das aberturas para ligações, excepto em quincôncio, a área a

considerar para redução será a correspondente ao maior somatório das áreas das secções, em qualquer secção

transversal, perpendicular ao eixo do elemento.

No caso de estarmos perante uma distribuição em quincôncio (ver figura 5 e 7), o cálculo da área útil é obtido

pela seguinte forma:

• ( ) tdnbAu ×∑−= φ. , para percursos rectilíneos

• tp

sdnbAu ×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∑+∑−=

4.

2

φ , para percursos em ziguezague

Com

Au - Área útil;

b - Largura da secção;

s - Espaçamento dos centros de dois furos consecutivos, medidos paralelamente ao eixo do elemento;

p - Espaçamento dos centros dos mesmos dois furos medido perpendicularmente ao eixo do elemento;

T - Espessura;

P


EC3 Parte III / 25

Fig. 5 - Furos em quincôncio e linhas críticas de rotura 1 e 2 e cantoneiras com furos em duas abas

a) Peça flectida:

Capacidaderesistenteplástica

Capacidaderesistenteelástica

sdM sdM

- não se efectua nunhumaredução do lado comprimido.

- deduzem-se as aberturasdo lado traccionada.

b) Peça traccionada:

c) Aberturas com rebaixos:

(1) (2)

- deduzem-se as aberturaspara as ligaçõessdNsdN

(1) (2)

Fig. 6 - Redução devido a aberturas


EC3 Parte III / 26

Fig. 7 - Furos dispostos em quincôncio

Para cantoneiras ou outros elementos em que os furos estejam em planos diferentes “p” deverá ser considerado

ao longo do eixo da espessura da secção (ver figura 6)

Quadro 4 - Áreas de corte

Esquema

htw

b

r

ft

b

tw

ft

h

r

tw tw

d d

tw tw

d d

b

h

d

t

b

h

Av

fA-2bt +(t +2r)tw f

fA-2bt +(t +r)tw f

(dt )w

(dt )wA-

Ahb+h

Abb+h

2Aπ

A

Secção

a) perfis laminados de secções em I ou H,com carregamento paralelo à alma.

b) perfis laminados de secção em U,com carregamento paralelo à alma..

c) perfis compostos soldados de secções em I, H ouem caixão, com carregamento paralelo à alma.

d) perfis compostos soldados de secções em I, H, Uou em caixão, com carregamento paraleloaos banzos.

e) perfis laminados de secção rectangular ocacom espessura constante:

- Carregamento paralelo à altura;

- Carregamento paralelo à largura.

f) secções circulares ocas ou tubos comespessura constante.

g) chapas ou barras maciças.espessura constante:

A - área total da secção transversal.

Áreas de corte


EC3 Parte III / 27

2.3. Efeitos de “Shear Lag” (enrugamento por acção do esforço transverso)

O EC3 prevê uma restrição à capacidade resistente dos perfis flectidos no caso de elementos bastante curtos. A

nova regulamentação obriga a ter em conta os efeitos de arrastamento por corte, ou seja, a repartição não

uniforme das tensões longitudinais nos banzos, devidas às deformações necessárias para a mobilização das fibras

mais afastadas do plano da alma.

Segundo o EC3, esses efeitos nos banzos podem ser desprezados se b0<Le/50 em que b0 é a largura do banzo ou

metade da espessura de um elemento interno e Le é o comprimento entre dois pontos de momento zero (ver

EN1993-1-5-)

O cálculo pode ser efectuado de modo simplificado, conforme a teoria corrente das estruturas.

Quando estes limites são ultrapassados, deve-se considerar a largura eficaz dos banzos.

O cálculo da largura efectiva para o banzo encontra-se na EN 1993-1-3 parte 1.3 e EN 1993-2 parte 2 do EC3.

O cálculo da largura efectiva está previsto na EN 1993-1-5.

Nas secções de classe 4 a relação entre o “shear lag” e a encurvadura local deve ser considerada de acordo com o

previsto na EN 1993-1-5.

Nota: Para os enformados a frio, secções esbeltas deve ser considerado o previsto na EN 1993-1-3.

Fig. 8 - Ilustração esquemática do fluxo de tensões em uma cantoneira ligada por uma aba (efeito “shear lag”)

2.4. Tracção

Para o cálculo da capacidade resistente de secções transversais, sujeitas apenas a um esforço axial de tracção,

deverão ser verificadas as seguintes equações:

0,1,

≤Rdt

Ed

NN


EC3 Parte III / 28

Onde:

• é a força resistente da secção transversal ao esforço de tracção;

• tomará o menor dos seguintes valores:

Resistência plástica na secção bruta:

γ 0

,M

fyARdplN ×

=

Resistência última da secção útil (zonas em que existem furos para ligações):

fuRduM

netAN γ 2

9,0, ×=

Onde:

• e são valores características dos materiais, de dimensionamento e última;

• e são os valores dos coeficientes parciais de segurança.

• Anet é a área útil nas zonas das ligações.

As secções transversais de barras traccionadas tomam frequentemente várias formas, o que implica a existência

de ligações excêntricas nas suas extremidades. Tal provoca o aparecimento de momentos flectores que origina o

aumento das tensões normais instaladas.

No caso de cantoneiras ligadas por uma aba, devem ser consideradas as influências das excentricidades dos

parafusos nas ligações das extremidades, dos afastamentos entre parafusos, das suas distâncias aos bordos

laterais das peças e das ligações soldadas com sobreposição das extremidades. Considerações idênticas às aí

apresentadas deverão ser tomadas para o caso de secções ligadas nas zonas de banzos em consola, caso das

secções em T e em U.

No caso de ligações dimensionadas para a resistência ao deslizamento, a capacidade resistente plástica última da

secção útil das ligações, Nnet,Rd, não deve ser considerada superior a:

fuRduM

nbetAN γ 2

9,0, ×=

Para o dimensionamento de peças que tenham um comportamento resistente dúctil, impõem-se que a capacidade

resistente plástica, Npl,Rd, seja sempre inferior à capacidade resistente última das ligações, Nu,Rd , ou seja:

Rd,tN

Rd,tN

yf uf

0Mγ 2Mγ


EC3 Parte III / 29

,

O que é satisfeito se:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≥⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

0

29.0M

Mútil

fufy

AA

γγ

A ideia é conseguir um comportamento das secções que garanta um prévio aviso da estrutura sobre a sua rotura.

Um conceito muito importante é que as estruturas não podem colapsar pelas ligações (rotura frágil) devendo os

seus elementos sofrer antecipadamente uma deformação visível (tal conceito está directamente relacionado com

a importante propriedade que é a ductilidade – capacidade de manter resistência suportando deformações).

2.4.1. Exemplo da resistência à tracção de ligação com furacão de duas fiadas

Avaliar a resistência de cálculo à tracção dos seguintes elementos unidos por meio de:

• Parafusos 10.9 sem pré-esforço (união resistente ao corte pertencente à categoria A);

• Parafusos 10.9 pré-esforçados com aperto controlado (união resistente ao corte pertencente à categoria

B);

• Parafusos 10.9 pré-esforçados com aperto controlado (união resistente ao corte pertencente à categoria

C).

Dados:

RdplRdu NN .. ≥

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≥⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

0

29.0M

Mynet

uff

AA

γγ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ×≥⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ××

02

9.0

M

y

M

net fAfA u

γγ


EC3 Parte III / 30

Aço S235.

Diâmetro nominal, “db”, dos pernos: 16 mm.

Diâmetro nominal, “do”, dos furos para os pernos: 18 mm.

O valor de cálculo do esforço de tracção NSd de cada secção não deve ser maior do que a resistência à tracção de

cálculo da secção bruta Nt.Rd: deve satisfazer a seguinte condição:

0,1,

≤Rdt

Ed

NN

No caso de uma união resistente ao corte da categoria A, considera-se que Nt.Rd é o menor valor escolhido entre

os valores de Npl.Rd e de Nu.Rd.

Para secções com furos o valor de cálculo da resistência à tracção Nt, Rd, o valor a considerar deverá ser o menor

dos seguintes valores:

a) Valor de cálculo da resistência plástica da secção bruta

γ 0

,M

fyARdplN ×

=

b) Valor de cálculo da resistência última da secção útil tendo em consideração os furos das ligações

fuRduM

nbetAN γ 2

9,0, ×=

A resistência plástica de cálculo da secção Npl.Rd, é igual a:

Sendo:

A = bp×tp, a área da secção bruta

A = 230 × 6 = 1380 mm2

fy = 235 N/mm2

γM0 = 1,0

Npl.Rd = 1380 × 235 / 1,0 = 294,8 × 103 N = 325 kN

0MyRd.pl /fAN γ=


EC3 Parte III / 31

O cálculo da resistência de rotura da secção útil, Nu.Rd, é igual a:

• Nu.Rd = 0,9 Anet fu / γM2 Nu.Rd = 0,9 Anet fu / γM2

Com:

Anet = área da secção útil

Anet = [bp - 2 do] tp = [230 – 2 × 18] × 6 = 1164 mm2

fu = 360 N/mm2

γM2 = 1,25

• Nu.Rd = 0,9 × 1164 × 360 / 1,25 = 301,7 × 10^3 N = 301,7 kN

De notar que teríamos que verificar para a hipótese de linha de rotura em “zig-zag”!

Assim, a resistência de cálculo à tracção da secção, Nt,.Rd é igual a:

• Nt,.Rd = Nu.Rd = 301,7 kN

Se for requerido um comportamento dúctil, o valor de cálculo da resistência plástica, Np,.Rd deve ser inferior ao

valor de cálculo da resistência à rotura da secção útil, Nu.Rd:

Npl.Rd ≤ Nu.Rd

Esta condição não é verificada neste caso.

No caso em que a união resistente ao corte pertença à categoria B, a resistência ao atrito restante no estado limite

último, após o deslizamento, é pequeno e na prática pode-se desprezar. O procedimento para calcular a

resistência nominal à tracção do elemento é então o mesmo que no caso da união resistente ao corte da categoria

A.

Assim, Nt.Rd é igual a:

• Nt.Rd = 301,7 kN

As condições de rotura por ductilidade são as mesmas que na união resistente ao corte da categoria A. Estas

condições também não são verificadas neste caso.

No caso de uma união resistente ao corte pertencente à categoria C, calculada para resistir ao escorregamento no

estado limite último, a secção útil nos furos para as uniões deve tomar-se como:

0M

ynetRd.net

fAN

γ=


EC3 Parte III / 32

Em que:

Anet = 1164 mm2, ver caso a).

fy = 235 N/mm2

γM0 = 1,0

Nnet.Rd = 1164 ×235 / 1,0 = 273,5 ×10^3 N = 273,5 kN

A resistência à rotura do elemento deve tomar-se como:

• Nt.Rd = Nnet.Rd = 273,5 kN

A rotura é dúctil em qualquer modo de colapso.

2.4.2. Exemplo da resistência à tracção de ligação com furacão em quincôncio

Avaliar a resistência de cálculo à tracção dos seguintes elementos unidos entre si por parafusos 8.8 sem pré-

esforço.

Dados:

Aço S355

Diâmetro nominal, “db”, dos parafusos: 12 mm.

Diâmetro nominal, “do”, dos furos para os parafusos: 13 mm.

A resistência de cálculo à tracção da secção Nt.Rd que se adopta é o menor valor de Npl.Rd e Nu.Rd.

A resistência plástica de cálculo da secção bruta Npl.Rd, é igual a:


EC3 Parte III / 33

•

Sendo:

A = bp tp, a área da secção bruta

A = 120 × 6 = 720 mm2

fy = 355 N/mm2

γM0 = 1,0

• Npl.Rd = 720 × 355 / 1,0 = 255,6 × 10^3 N = 255,6 kN

•

O cálculo da resistência de rotura da secção útil, Nu.Rd, é igual a:

• Nu.Rd = 0,9 Anet fu / γM2

Com:

Anet = área da secção útil

fu = 510 N/mm2

γM2= 1,25

Neste caso, temos que distinguir duas secções úteis críticas (ver a figura abaixo); ambas devem suportar todo o

esforço de tracção N.

• Anet.1 = [bp - 2 do ] tp = [120 – 2 × 13] × 6 = 564 mm2

• Anet.2 = [bp - 3 do + 2 s2 tp / 4p] tp

• = [120 – 3 × 13 + 2 × 302 × 6 / (4 × 40)] × 6 = 891 mm2

0MyRd.pl /fAN γ=


EC3 Parte III / 34

• Anet = min (Anet.1 ; Anet.2) = Anet.1 = 564 mm2

• Nu.Rd = 0,9 × 564 × 510 / 1,25 = 207,1 × 103 N = 207,1 kN

Assim, a resistência de cálculo à tracção da secção, Nt.Rd, é igual a:

• Nt.Rd = Nu.Rd = 207,1 kN

Obtém-se uma rotura dúctil quando:

Npl.Rd ≤ Nu.Rd Npl.Rd ≤ Nu.Rd

Esta condição é verificada neste caso.

2.4.3. Exemplo da resistência à tracção de uma cantoneira

Avaliar a resistência de cálculo à tracção dos seguintes elementos de união angular por cantoneira, com os

seguintes dados:

• Aço Fe 360 e perfil HEB 160

• Cantoneira de 50 x 50 x 6

• Diâmetro nominal, db, dos pernos: 12 mm.

• Diâmetro nominal, do, dos furos para pernos: 13 mm.

• Pernos da classe 8.8 sem pré-esforço.

A resistência de cálculo à tracção da secção, Nt.Rd, se toma como o valor menor de Npl.Rd e Nu.Rd .

A resistência plástica de cálculo da secção bruta, Npl.Rd, é igual a :

Npl.Rd = A fy / γM0

Sendo:

A = área da secção bruta = 569 mm2

fy = 235 N/mm2

γM0 = 1,0

Npl.Rd = 569 x 235/1,0 = 133,7 x 10^3 N = 133,7 kN

A resistência de cálculo à rotura da secção liquida, Nu.Rd, é igual a:

Nu.Rd, = 0,9 Anet fu


EC3 Parte III / 35

Sendo:

Anet = A - do x ta [ta é a espessura da cantoneira] = 569 - 13 x 6 = 491 mm2

fu = 360 MPa

γM2 = 1,25

Nu.Rd = 0,9x491 x 360= 159,1 x 10^3 N = 159,1 kN

Assim, a resistência de cálculo à tracção da secção, Nt.Rd, é igual a:

Nt.Rd Nt.Rd = Nu.Rd Nu.Rd = 86 kN

A rotura dúctil obtém-se quando:

Npl.Rd Npl.Rd < Nu.Rd Nu.Rd

Esta condição não se cumpre neste caso.

2.5. Compressão

A capacidade resistente de uma peça comprimida axialmente deduz-se a partir da expressão do valor de cálculo

do esforço de compressão NEd que em cada secção transversal deve satisfazer a seguinte expressão:


EC3 Parte III / 36

0,1,

≤RdNc

NEd

Em que é a força resistente da secção à compressão e deve ser calculada do seguinte modo:

• Resistência plástica na secção bruta:

γ 0,

M

fyAN Rdc =

, para secções transversais de classes 1, 2 ou 3

• Resistência à encurvadura local da secção total:

γ 0

,,

M

fyeffAN Rdc =

, para secções transversais de classe 4

Sendo Aeff a área efectiva obtida pela multiplicação da largura efectiva pela espessura da secção.

A capacidade resistente à compressão de uma secção, Nc,Rd, pode ser determinada considerando o tipo de

comportamento que a secção tem em função da classe a que pertence.

Para as situações que envolvem peças assimétricas de classe 4 deve ser considerado o critério que entra em

consideração com o acréscimo ΔMEd, devido à excentricidade do centro de gravidade da secção eficaz.

A capacidade resistente do elemento à encurvadura deverá ser verificada.

Nos elementos comprimidos não é necessário considerar os furos das ligações, excepto no caso de furos com

folgas superiores às nominais ou ovalizados.

2.5.1. Exemplo da resistência à compressão pura de perfil IPE 600

Dados:

fy = 355 N/mm2

h = 600 mm

b = 220 mm

tf = 19 mm

RdcN .

81,0/235 == yfε


EC3 Parte III / 37

tw = 12 mm

r = 24 mm

d = h - 2tf - 2r = 514 mm

c = 0.5b = 110 mm

Verifique a resistência à compressão pura do perfil IPE600, admitindo estar contraventado com impossibilidade

de encurvar.

2.5.2. Exemplo da resistência à compressão pura de perfil HEA 500

Dados:

fy = 235 N/mm2

h = 490 mm

b = 300 mm

tf = 23 mm

tw = 12 mm

r = 27 mm

d = h - 2tf - 2r = 390 mm

c = 0.5b = 150 mm

Verifique se este perfil resista a uma compressão pura de 500 kN, admitindo estar contraventado com

impossibilidade de encurvar.

2.6. Flexão

2.6.1. Fundamentos

A flexão pura é o caso tradicional do resultado das solicitações em vigas, sendo certo que muitos tipos deste

elemento existem.

Em situações de flexão, sem a existência de esforço transverso, o valor de dimensionamento do momento flector,

MEd , nas secções transversais, deve verificar a condição:

1/235 == yfε


EC3 Parte III / 38

0,1,

≤Rdc

Ed

MM

Sendo o valor do momento resistente de dimensionamento da secção transversal, determinado

considerando os furos mais afastados, da seguinte forma:

Secções de classe 1 e 2 - momento plástico resistente na secção bruta:

fWMMy

M

plRdplRdc γ 0

,,, == , para secções transversais de classe 1 ou 2

Sendo o módulo de flexão plástico da secção em estudo.

Secções das classes 3 - momento elástico resistente na secção bruta:

fWMMy

M

elRdelRdc γ 0

min,,, ==

Sendo Wel,min o módulo de flexão elástico mínimo da secção em estudo.

Secções da Classe 4 - momento efectivo resistente na secção bruta:

fWMMy

M

effRdeffRdc γ 0

min,,, ===

Em que Weff é o módulo de flexão obtido para a secção eficaz.

Onde Wel,min e Weff,min, correspondem às fibras com o máximo de tensão elástica.

A capacidade resistente do elemento à encurvadura lateral deverá ser verificada.

Não será necessário considerar os furos para ligações no banzo traccionado desde que, relativamente a esse

banzo se verifique:

fAy

M

ff

M

netf fAfu

γγ 02

, 9,0 ×≥

×

As resistências ao momento das quatro classes definidas acima são:

• Classe 1 e 2: momento plástico, sendo Mpl = Wpl . fy;

• Classe 3: momento elástico, sendo Mel = Wel . fy;

RdcM .

plW


EC3 Parte III / 39

• Classe 4: momento de encurvadura local, sendo Mo < Mel.

Conforme se pode apreciar, no quadro 5, as soluções para vigas dependem, essencialmente, do vão a vencer e

das cargas a suportar (se bem que o tipo de carga também tenha influência não negligenciável, nomeadamente se

tem características particularmente estáticas ou dinâmicas).

Quadro 5 – Tipos de vigas em função dos vãos e da função estrutural

Tipo de Viga Vãos (m) Notas

Cantoneiras 3-6 Para coberturas e elementos de contraventamento. Só suportam cargas ligeiras

Perfis conformados a frio (U’s, Z’s, etc)

6-8 Idem

Perfiles laminados UB, IPE, UPN, HE

1-30 O tipo de secção mais frequente. Fabricam-se com as proporções mais convenientes para eliminar vários tipos possíveis de encurvadura

Vigas de alma rota (asnas ou treliças)

4 - 40 Pré-fabricadas com cantoneiras, tubos ocos e barras redondas para a alma de asnas, em lugar de perfis laminados

Vigas alveolares (PRS) 6 - 60 Para vãos grandes e cargas ligeiras. A sua altura pode aumentar 50% ao perfil laminado de base. Pode haver orifícios na alma para passar infra-estruturas, etc.

Secções compostas (como IPE+UPN)

5 - 15 Quando um só perfil laminado não oferece bastante capacidade. Também se usam para aumentar a resistência horizontal a flexão.

Vigas armadas 10 - 100 Fabricam-se soldando 3 chapas, às vezes de forma automática. A sua altura pode atingir 3-4 m, se necessário para lhe dar rigidez.

Vigas em caixão 15 - 200 Fabricadas com chapa, geralmente rigidificadas por elementos acessórios soldados. Usam-se em pontes rolantes e mesmo ponte rodo e ferroviárias, pelas excelentes propriedades de rigidez à torção e esforços transversais.


EC3 Parte III / 40

Quadro 6 – Módulos elásticos, plásticos de secções e factor de forma

Na figura 9 representa-se o comportamento, capacidade de momento e capacidade de rotação que têm as

distintas classes de secções.


EC3 Parte III / 41

Modelo decompartimento

Resistênciaao momento

Capacidadede rotação Classes

1

2

3

4

M

Mpl

ϕ

encurvaduralocal

momento plásticoda secção bruta

fy

M

ϕ

Mpl

plϕϕpl

ϕrot

1

1

Suficiente


fy

M

ϕ

Mplencurvaduralocal

Nenhuma

M

ϕ

Mpl

plϕ

1

1


fyencurvaduralocal

M

ϕ

MplMel 1

1

M

ϕ

Mpl

plϕ

Mpl

Mel

Nenhuma

1

1

M

ϕ

Mpl

plϕ

momento plásticoda secção efectiva

fy

M

ϕ

MplMel

encurvaduralocal

M

P ϕϕ P

ϕ

P

pl

Fig. 9 - Características das secções transversais e sua classificação

Na figura 10 e 11 ilustra-se a deformação e tensão tipo em função do comportamento admissível dessas secções

transversais:

• Classe 4 – comportamento elástico sem atingir o seu limite;

• Classe 3 – comportamento elástico com o alcançar do seu limite, ou seja, chegar ao início da

plastificação;

• Classe 1 e 2 – ultrapassar do limite elástico, obtendo-se a plastificação total da secção, em toda a sua

altura, passando pela fase elasto-plástica.


EC3 Parte III / 42

Fig. 10 – Deformação e tensão tipo em função do comportamento admissível da secção transversal em “T”

Fig. 11 – Deformação e tensão tipo em função do comportamento admissível da secção transversal rectangular.


EC3 Parte III / 43

A resposta das distintas classes de secções transversais submetidas a flexão representa-se eficazmente mediante

curvas de momento-rotacão adimensionais.

As quatro classes anteriores referem-se a secções de vigas em flexão. Para barras carregadas, em compressão

axial, as classes 1, 2 e 3 são uma só e, na ausência de encurvadura geral, denominam-se de “compactas”. Neste

caso a classe 4 denomina-se de “esbelta”.

Fig. 12 – Distribuições de tensões em secções simétricas e assimétricas

Na figura 13 pode-se observar a relação momento-curvatura (M-Φ) para uma secção transversal rectangular em

flexão.

Fig. 13 – Relação momento-curvatura (M-Ө) para uma secção transversal rectangular em flexão


EC3 Parte III / 44

2.6.2. Furos para Ligações

Não são aconselháveis aberturas para ligações no banzo traccionado, desde que não se cumpra para esse banzo, a

relação já apresentada para o esforço axial de tracção:

Em que Af representa a área do banzo em causa.

Quando a relação Af.net /Af é inferior ao limite estipulado, poder-se-á considerar uma área reduzida para o banzo,

de modo a que se satisfaça o limite imposto. Desta forma o momento resistente também sofrerá uma redução.

Não são aconselháveis aberturas para ligações na zona traccionada da alma, desde que não se verifique o limite

anteriormente imposto para o banzo, mas desta vez para a zona traccionada do banzo e da alma, considerada

como um conjunto.

2.6.2. Exemplo da resistência à flexão pura de perfil IPE 600

Dados:

fy = 355 N/mm2

h = 600 mm

b = 220 mm

tf = 19 mm

tw = 12 mm

r = 24 mm

d = h - 2tf - 2r = 514 mm

c = 0.5b = 110 mm

Verifique a resistência à flexão pura do perfil IPE600, admitindo estar contraventado com impossibilidade de

encurvar.

2.6.3. Exemplo da resistência à flexão pura de perfil HEA 500

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≥⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

0

290M

My

f

net.f

uff

AA.

γγ

81,0/235 == yfε


EC3 Parte III / 45

Dados:

fy = 235 N/mm2

h = 490 mm

b = 300 mm

tf = 23 mm

tw = 12 mm

r = 27 mm

d = h - 2tf - 2r = 390 mm

c = 0.5b = 150 mm

Verifique se este perfil (HEA 500) resiste a uma flexão pura de 350 kN.m, admitindo estar contraventado com


2.6.3. Flexão desviada pura

Para o estudo da resistência das secções transversais sujeitas a esforços bi-axiais poder-se-ão tomar como válidos

os critérios adiante expostos, sendo apenas necessário considerar o esforço axial N, como nulo.

A figura 14 exibe as tensões resultantes de flexão bi-axial.

Fig. 14 – Tensões resultantes de flexão bi-axial

1/235 == yfε


EC3 Parte III / 46

Para a verificação da flexão bi-axial pode usar-se a seguinte fórmula para as formas de secções apresentadas:

2.6.4. Exemplo de resistência à Flexão de uma viga composta para uma Ponte Rolante

Verificar a capacidade de uma viga composta para uma ponte rolante, formada por um perfil IPE de 500 × 200 ×

90,7 e um perfil em U de 260 × 90 × 37,9 colocado no banzo superior, de resistir a um momento vertical de 267

kNm que actua ao mesmo tempo que um momento horizontal ao nível do banzo superior de 20,6 kNm.

• O aço é S235

Nota: Na realidade, esta viga deveria ser calculada com varejamento lateral nos tramos entre pontos de

restrição efectiva lateral e à torção. Foi elaborado assim para demonstrar os procedimentos que se seguem para

determinar o momento de resistência das secções mono-simétricas.

Especificações do perfil U:

hc = 260 mm

tfc = 10 mm

twc = 14 mm

yc = 2,36 cm

Ac = 48,3 cm2

Iyy = 4820 cm4

Izz = 317 cm4

Especificações do perfil IPE 500:

hB = 500 mm


EC3 Parte III / 47

b = 200 mm

twB = 10,2 mm

tfB = 16 mm

Iyy = 48200 cm4

Izz = 2142 cm4

• fy = 235 N/mm2, para S235

• γM0 = 1,0

Assim:

•

= 19,33 = 193,3 mm (desde a parte superior)

•

•

•

•

Momento de flexão

• Mc.Rd = Wel fy / γM0 5.4.5.1 – pag. 100 (EC3)

Para a flexão vertical (YY´s) e para o banzo em compressão:

=+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ×+××+×

=+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++×

=

−−

)1163,48(210500101411636,23,48

)AA(2

htAyA

y

11

Bc

BwcBcc_

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −×+=

2_B

wcByyB

2

c

_

czzcyy y2

htAIyyAI(secção) I

42

2 cm6822533,192

501,4116 48200 2,36)-(19,33 48,3 317 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+++×+=

3_yy

yc.el cm352933,19

68225

y

IW ===

31 2127

33191051468225 cm

,)yth(

IW _

wcB

yyyt.el =

−×=

−+= −

310

c

zzByyc

)erior(supz.el cm15,453

210260

221424820

2h

I21I

W =×

+=

×+= −


EC3 Parte III / 48

• Mcy.Rd = 3529 × 235 / (1,0 × 10^3) = 829 kNm

Também para a flexão vertical (YY´s), mas para o banzo em tracção:

• Mcy.Rd = 2127 × 235 / (1,0 × 10^3) = 499 kNm

Agora para a flexão horizontal do banzo em compressão ou em tracção (simetria geométrica):

• Mcz.Rd = 453,15 × 235 / (1,0 × 10^3) = 106,5 96,8 kNm

Então, a verificação da flexão vertical (segundo YY´s), My,Sd, que é de 267 kNm, está salvaguarda, dado que o

momento solicitante é inferior ao momento resistente mais baixo (em tracção 499 kNm). O mesmo sucede em

relação à flexão horizontal (segundo ZZ’s), Mz,Sd, cujo valor resistente é de 106,5 KNm e o solicitante de 20,6

KNm.

Para a verificação conjunta do efeito dos momentos flectores, flexão desviada, do banzo superior, temos:

•

(Nota NSd = 0)

•

Adopta-se a secção escolhida.

2.6.5. Exemplo da resistência à flexão desviada pura de perfil IPE 600

Dados:

fy = 355 N/mm2

h = 600 mm

b = 220 mm

tf = 19 mm

tw = 12 mm

r = 24 mm

1fW

MfW

M

ydz.el

Sd.z

ydy.el

Sd.y ≤+

1567021303540112351015453

1062011235102127

102673

6

3

6

≤=+=××

×+

××× ,,,

,,,

,

81,0/235 == yfε


EC3 Parte III / 49

d = h - 2tf - 2r = 514 mm

c = 0.5b = 110 mm

Verifique a resistência à flexão desviada pura do perfil IPE600, para My,Ed = 120 kNm e Mz,Ed = 40 kNm,

admitindo estar contraventado com impossibilidade de encurvar.

2.6.6. Exemplo da resistência à flexão pura de perfil HEA 500

Dados:

fy = 235 N/mm2

h = 490 mm

b = 300 mm

tf = 23 mm

tw = 12 mm

r = 27 mm

d = h - 2tf - 2r = 390 mm

c = 0.5b = 150 mm

Verifique a resistência à flexão desviada pura do perfil HEA 500, sendo My,Ed = 120 kNm e querendo-se obter

Mz,Rd, admitindo estar contraventado com impossibilidade de encurvar.

2.7. Esforço Transverso

Surgem por vezes situações em que existem esforços cortantes elevados em vigas de aço com flexão rígida

devido a fortes cargas concentradas.

A Figura 15 mostra o esquema de esforços cortantes que existe numa secção rectângular e numa secção I,

supondo comportamento elástico. Em ambos os casos o esforço cortante varia com o canto, ocorrendo o valor

máximo no eixo neutro. Na secção I, a diferença entre o valor máximo e mínimo é na alma, que suporta

praticamente todo o esforço cortante vertical, é tão pequena que se pode simplificar o cálculo trabalhando com

tensões cortantes premeditadas, ou seja, força cortante total/área da alma.

1/235 == yfε


EC3 Parte III / 50

Dado que a resistência ao corte/cisalhamento por fluência do aço é, aproximadamente, 1 a dividir pela raiz

quadrada de 3 da sua tensão de fluência na tracção, um valor apropriado do esforço transverso/cortante

permissível no cálculo elástico é 1 a dividir pela raiz quadrada de 3 da tensão na tracção permissível.

A resistência do corte à rotura (baseada em princípios plásticos), do Eurocódigo 3, é fyd/√3 e aplica-o

conjuntamente com uma área de corte Av, de que são exemplos:

• Secção I, carga paralela à alma: Av = A – 2 b tf + (tw + 2r) tf

• Chapas e perfis maciços: Av = A

• Secções tubulares redondas: Av = 2A/2.14

Fig. 15 – Tensões de corte e sua variação ao longo da altura da secção transversal – secção rectangular

Fig. 16 – Tensões de corte e sua variação ao longo da altura da secção transversal – secção em I

Nos casos em que coexistem corte e momentos altos, como no apoio interno de uma viga contínua, às vezes pode

ser necessário permitir que os efeitos actuem reciprocamente. Portanto, como pode desenrolar-se a capacidade

cortante total em presença de momentos bastante grandes, e vice-versa, não faz falta fazê-lo (o Eurocódigo 3 só

exige reduzir a capacidade do momento quando o esforço cortante passa os 50% da capacidade cortante à rotura.

De um modo similar ao da flexão, a comprovação da resistência das secções transversais consiste em verificar a

seguinte expressão:


EC3 Parte III / 51

0,1,

≤Rdc

Ed

VV

Onde Vc,Rd é o esforço transverso resistente. Na ausência de torção a resistência plástica de corte é dada por:

Em que Av é a área de corte e é calculada a partir do quadro apresentado na figura 17 e 18.

Para os casos não representados, o valor da área de corte deve ser obtido por analogia.

Em regime elástico:

Em barras de espessura variável deve-se considerar, por segurança, para tw, o valor mínimo.

Deve ser verificada a instabilidade por enfunamento das secções das barras sempre que:

• Almas sem nervuras de rigidez:

• Almas com nervuras de rigidez:

Com: o factor de enfunamento devido ao corte e as restantes variáveis encontram-se já explícitas.

Além disso, no caso de almas sem reforços intermédios, a verificação da resistência à encurvadura por esforço

transverso deverá ser efectuada de acordo com a secção 5 da EN 1993-1-5, se:

0. /3 MvRdpl

fyAV γ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

y

w

ftd 23569>

τkftd

y

w

23530>

τk


EC3 Parte III / 52

Para obter o valor de “h” ver a EN 1993-1-5, mas este valor poderá ser considerado igual a 1,0 (conservativo).

As aberturas para ligações não são consideradas na verificação ao esforço transverso se:

Quando Av,net não cumprir esta relação, deve-se considerar uma área eficaz de corte dada por:

Obtendo-se, assim, uma redução na capacidade resistente.

vuy AffA netv )(. ≥

vyu AffA effv )(. =


EC3 Parte III / 53

Fig. 17 – Área de corte para eixos dos Z’s


EC3 Parte III / 54

Tipo de Secção Av.z Av.y

htw

b

Laminador

ft

z.sdvy.sdv

fA-2bt +(t +2r)tw f

por simplificação1,04htw

f2bt +(t +r)tw w (*)

Laminado

b

tw

ft

hz.sdvy.sdv

r

fA-2bt +(t +r)tw f 2bt f (**)

Laminado z.sdvy.sdv

b

h Ahb+h

Abb+h

d tw d twA-

A A

tw tw

d d

Soldados

z.sdvy.sdvz.sdv

y.sdv

b

hz.sdv

y.sdv

d

t

sdv 2Aπ

(*) O Eurocádigo 3 não propõe fórmula neste caso. A que aqui é apresentada é-o a título de informação(**) A fórmula aqui proposta pode ser adaptada com a preocupação de simplificação

Fig. 18 – Área de corte para eixos dos Z’s e Y’s


EC3 Parte III / 55

Os furos das ligações não necessitam de ser considerados na verificação em relação ao esforço transverso,

excepto na determinação do seu valor de cálculo nas zonas de ligação indicadas na EN 1993-1-8.

Nos casos em que o esforço transverso se encontre associado a um momento torsor, o esforço transverso

resistente plástico Vpl,Rd deverá ser reduzido conforme especificado no EC3-1-1.

2.7.1. Exemplo da resistência ao esforço transverso puro de perfil IPE 600

Dados:

fy = 355 N/mm2

h = 600 mm

b = 220 mm

tf = 19 mm

tw = 12 mm

r = 24 mm

d = h - 2tf - 2r = 514 mm

c = 0.5b = 110 mm

Verifique a resistência ao esforço transverso puro do perfil IPE600, admitindo estar contraventado com


2.7.2. Exemplo da resistência ao esforço transverso puro de perfil HEA 500

Dados:

fy = 235 N/mm2

h = 490 mm

b = 300 mm

tf = 23 mm

81,0/235 == yfε

1/235 == yfε


EC3 Parte III / 56

tw = 12 mm

r = 27 mm

d = h - 2tf - 2r = 390 mm

c = 0.5b = 150 mm

Verifique a resistência ao esforço transverso puro do perfil HEA 500, para um valor de 500 kN, admitindo estar

contraventado com impossibilidade de encurvar.

2.8. Flexão com Esforço Transverso

Ao apresentar-se uma interacção entre ambos os esforços, se o valor do esforço transverso for considerável,

produz-se uma redução do momento resistente da secção transversal.

Se os valores do esforço transverso forem pequenos, despreza-se a redução do momento resistente plástico

devido ao endurecimento da secção de aço.

Para definir quando se deve ou não deduzir a capacidade resistente o EC3 define duas situações específicas a

saber:

• Se Vsd ≤ 0.5Vpl,Rd não é necessário reduzir os momentos indicados no ponto 5.4.5.2, logo:

• Se Vsd > 0.5Vpl,Rd é necessário considerar o seu efeito no momento resistente plástico, logo:

Isto implica que para a verificação da capacidade resistente das secções com banzos iguais, e com flexão sobre o

eixo principal de maior inércia, se adopte uma tensão limite de elasticidade reduzida, de valor (1-ρ)×fy, para a

área de corte em que:

Por exemplo, para uma secção em I, de banzos iguais, com a flexão segundo o eixo de maior inércia, obtém-se:

RdcRd MM .=

RdvRd MM .=

2

.

12⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

Rdpl

sd

VVρ

RdcMy

w

vplRdv Mf

tAWM .0

2

. /)4

( <−= γρ


EC3 Parte III / 57

Esta metodologia é válida para as secções transversais das classes 1, 2, 3 e 4, desde que nas secções das Classes

3 e 4 se substitui Wpl por Wel e Weff.

Para as secções da classe 3 o caminho a seguir deverá ser o seguinte:

• Verificação da capacidade resistente sem ter em conta o esforço transverso;

• Verificação dos critérios de interacção com o esforço transverso, do mesmo modo as secções das Classe

1.

No caso de se utilizar a capacidade resistente pós-elástica, a influência do esforço transverso também deverá ser

tida em conta.

No caso da existência de torção, “ρ” deverá ser calculado a partir de:

Mas o seu valor deverá ser considerado igual a “0” quando:

2.8.1. Exemplo de verificação de flexão com corte em viga travada lateralmente

Notação:

• fy = Resistência nominal à fluência

• fyd = Valor de cálculo da resistência à fluência

• γM0 = Factor de segurança parcial

• MSd = Valor de cálculo por enquanto flector

• Mc.Rd = Momento de resistência de cálculo da secção

• Mpl.Rd = Momento de resistência plástica de cálculo da secção bruta

• Wpl = Módulo plástico

• VSd = Valor de cálculo do esforço cortante em cada secção

• Vpl.Rd = Resistência plástica de cálculo ao corte

• Av = Área de corte

• MNy.Rd = Resistência reduzida ao momento plástico no eixo maior devida a uma carga axial


EC3 Parte III / 58

• MNz.Rd = Resistência reduzida ao momento plástico no eixo menor devida a uma carga axial

Escolher uma secção IPE para suportar uma sobrecarrega de 245 kN repartida uniformemente num vão de 6 m

simplesmente apoiado.

Suponha-se que o peso próprio da viga é 5 kN.

O aço é S235.

Carga total sem majoração: Q = 250 kN

• fyd = fy / γM0 (coeficiente do EC3 original, de 1993, hoje = 1,0)

Supondo:

Valores característicos das acções:

Permanente: Gk = 5 kN

Variável: Qk = 245 kN

Estes valores combinam-se no estado limite último e tomam o valor de:

Fd = Gd + Qd

= γG . Gk + γQ . Qk

= 1,35 Gk + 1,5 Qk

= 1,35 × 5 + 1,5 × �245 kN = 375 kN

1) Flexão

Com carga distribuída uniformemente:


EC3 Parte III / 59

Momento de resistência de cálculo, Mc.Rd, para que:

Supondo que a secção é de Classe 1, tomando:

Escolhendo uma secção IPE 400 (ou de 404 x 182 x 75,7) cujo Wpl = 1502 cm3

As propriedades são:

• Altura total h = 404 mm

• Largura total b = 182 mm

• Altura entre cordões d = 331 mm

• Espessura do banzo tf = 15,5 mm

• Espessura do alma tw = 9,7 mm

• Raio de inserção da alma no banzo = 21 mm

• Iyy = 1564 cm4

• Ixx = 26750 cm4

• Área A = 96,4 cm2

Comprove-se o peso próprio:

Valor suposto previamente: Gk = 5 kN

Comprove-se a classificação da secção :


EC3 Parte III / 60

A secção está dentro dos limites de Classe 1 e tem suficiente momento de resistência.

Também: tf < 40 mm (portanto, fy = 235 N/mm2)

2) Esforço transverso

O valor de cálculo do esforço cortante no apoio é:

VSd = 375/2 = 187,5 kN

Necessita-se de uma resistência plástica de cálculo ao corte Vpl.Rd:

Verifica!

3) Flecha

Comprovem-se as flechas com cargas de serviço:

A flecha total é:

Sendo:


EC3 Parte III / 61

Neste caso:

As limitações do Euro código 3 são:

(Nota: se ambas as condições cumprem)

O valor de cálculo máximo:

Verificado!

Portanto, adopte-se:

2.8.2. Exemplo da resistência à flexão bi-axial, com corte, de uma viga em consola

Escolher um RHS que sirva para como viga em consola com 1,8 m que suporte na extremidade cargas

concentradas de 5,6 kN na vertical e 2 kN na horizontal.


EC3 Parte III / 62

Supõe-se que tem um peso próprio de 0,4 kN.

O aço é S235.

Valor de cálculo da resistência do material:

• fyd = fy / γM

Supondo que t ≤ 40mm:

• γM0 = 1,1 (coeficiente do EC3 original, de 1993, hoje = 1,0)

• fyd = 235/1,1 N/mm2

Os valores característicos das acções são:

Permanentes: Gk = 0,4 kN (UDL)

Variáveis:

Vertical: Qk = 5,6 kN (concentrada);

Horizontal: Qk = 2 kN (concentrada)

Estes valores combinam-se no estado limite último e obtemos o seguinte valor:

Fd = Gd + Qd

= γG . Gk + γQ . Qk

= 1,35 Gk + 1,5 Qk

Gdz = 1,35 Gkz = 0,54 kN

Qdz = 1,5 Qkz = 8,4 kN (Vertical)

Qdy = 3 kN (Horizontal)

Ponto de

aplicação


EC3 Parte III / 63

Flexão

Mz.Sd = 3 × 1,8 = 5,4 kNm

Vz.Sd = 0,54 × 1,8 + 8,4 = 9,372 kN

Agora escolhe-se uma secção e verifica-se a sua resistência.

Verificar: 120 × 80 × 6,3 RHS (EN 10210-2)

Propriedades:

Wpl.y = 91,3 cm3

h = 120 mm

t = 6,3 mm

Wpl.z = 68,2 cm3

b = 80 mm

Iy = 440 cm4

A = 23,2 cm2

Verificação do peso próprio:

Gk = 23,2 × 10-4 × 78,5 × 1,8 = 0,33 kN

Classificação da secção:

ε = 1 para fy = 235 N/mm2

A secção está dentro dos limites da Classe 1

Esforço transverso

kNm,,,,,,,M Sd.y 615121548608148281540

2

=+=×+×=

ε≤=×−

=−

= 72163,6

3,63120t

t3htd w

ε≤=×−

=− 337,93,6

3,6380t)t3b(


EC3 Parte III / 64

Para a carga vertical:

Claramente VSd ≤ 0,5Vpl.Rd, tanto para a carga horizontal como para a vertical.

Verifica-se que o valor de cálculo do esforço transverso VSd não excede 50% da resistência disponível Vpl.Rd

para poder aplicar os valores completos de Mc.Rd:

Momento flector

Verificar se:

Em que:

Como não há uma carga axial:

n = 0

α = β = 1,66

= 0,690 + 0,192 = 0,882 ≤ 1

Se utilizamos a expressão de verificação clássica (mais conservadora), α=β=1, surgiria:

= 0,8 + 0,37 = 1,17

Pelo que não verificaria! Assim, a utilização das expressões do EC3, para os diversos tipos de secções são

critérios economicamente favoráveis e, obviamente, seguras.

[ ] ( ) [ ] ( ) kN7,1731,1/3/235)12080/(120102,23/3/f)hb/(AhV 2MyRd.pl =+××=γ+=

1MM

MM

Rd.Nz

Sd.z

Rd.Ny

Sd.y ≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ βα

6n13,11

66,12 ≤

−=β=α

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡××

×+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡×××

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ βα 66,1

3

666,1

3

6

Rd.Nz

Sd.z

Rd.Ny

Sd.y

1,1235102,68104,5

1,1235103,91106,15

MM

MM

1MM

MM

Rd.Nz

Sd.z

Rd.Ny

Sd.y ≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ βα


EC3 Parte III / 65

A secção verifica à flexão sempre que o esforço transverso seja inferior ao que se adoptou. Agora vamos

verificá-lo.

Deslocamentos (flechas)

Verifica-se em condições de serviço.

Considera-se inicialmente só a flecha vertical.

δmax = δ1 + δ2 (sem contra-flecha prévia)

δmax = 0,3 + 11,8 = 12,1 mm

Considera-se para L de acordo com o indicado no ponto 4.2.2(2) para vigas em consola, o dobro do balanço da

consola; são adoptados os limites do Quadro 4.1 para ‘Pavimentos em geral:

Limite em δmax = 2 × 1,8 × 103 / 250 = 14,4 mm

Limite em δ2 = 2 × 1,8 × 103 / 300 = 12,0 mm

A viga verifica quanto à flecha.

Adopta-se 120 × 80 × 6,3 RHS (EN 10210-2)

2.8.3. Exemplo da resistência ao esforço transverso puro de perfil IPE 600

Dados:

fy = 355 N/mm2

h = 600 mm

b = 220 mm

tf = 19 mm

mm,,

,,EILGk 30

10440121081

840

8 9

1234

1 =××

××==δ

mm8,11104401,2

108,136,5

EI3LQ

9

1233k

2 =××

××==δ

81,0/235 == yfε


EC3 Parte III / 66

tw = 12 mm

r = 24 mm

d = h - 2tf - 2r = 514 mm

c = 0.5b = 110 mm

Verifique a resistência a Vz,Ed= 150 kN e My,Ed = 200 kNm do perfil IPE600, admitindo estar contraventado

com impossibilidade de encurvar.

2.8.4. Exemplo da resistência ao esforço transverso puro de perfil HEA 500

Dados:

fy = 235 N/mm2

h = 490 mm

b = 300 mm

tf = 23 mm

tw = 12 mm

r = 27 mm

d = h - 2tf - 2r = 390 mm

c = 0.5b = 150 mm

Verifique a resistência a Vz,Ed= 150 kN e Mz,Ed = 100 kNm do perfil HEA 500, admitindo estar contraventado

com impossibilidade de encurvar.

2.9 – Torção

O dimensionamento de elementos submetidos a esforço de torção deve ser efectuado de forma a verificar a

seguinte condição (no caos em que as deformações de distorção poderão ser ignoradas):

0,1≤Rd

Ed

TT

1/235 == yfε


EC3 Parte III / 67

Em que TEd é o valor de cálculo do momento torsor actuante e TRd é o valor de cálculo do momento torsor

resistente.

Para a verificação da condição anterior em secções submetidas a torção não-uniforme, o momento torsor

actuante TEd deve ser decomposto em duas componentes:

EdwEdtEd TTT ,, +=

Sendo Tt.Ed o valor de cálculo da componente de torção uniforme ou torção de St. Venant e Tw.Ed o valor de

cálculo da componente de torção devida à restrição ao empenamento (torção não uniforme).

Os valores de Tt.Ed e Tw.Ed em qualquer secção transversal poderão ser determinados a partir de TEd através de

uma análise elástica, tendo em conta as propriedades da secção do elemento, as condições de ligação nos apoios

e a distribuição das acções ao longo do elemento.

Por conseguinte, na secção transversal de uma peça submetida a torção não uniforme surgem as seguintes

tensões:

• Tensões tangenciais Edt ,τ devidas à componente de torção uniforme Tt.Ed.

• Tensões tangenciais Edw,τ devidas à componente de torção resultante da restrição ao empenamento

Tw.Ed e ainda tensões normais Edw,σ devidas ao bimomento BEd.

A resistência à torção pode ser verificada, combinando as tensões anteriores (e eventualmente as tensões

resultantes de outros esforços) através do critério de cedência de Von Mises, traduzido pela condição estipulada

em 6.2.1 (5) do EC3-1-1.

As tensões devidas ao bimomento BEd devem ser tidas em conta na avaliação do momento plástico resistente de

uma secção submetida à combinação de momento flector com momento torsor

A decomposição do momento torsor actuante TEd nas componentes Tt.Ed e Tw,Ed,, depende fundamentalmente das

condições de apoio, do diagrama de momentos torsores e da forma da secção transversal do elemento em análise.

O EC3-1-1, em 6.2.7 (7), estabelece simplificadamente que, em secções fechadas ocas (as mais adequadas para

resistir à torção) se pode desprezar o efeito da componente de torção Tw.Ed, enquanto que em secções abertas

(como as secções em I ou H) se pode desprezar o efeito da componente de torção uniforme Tt.Ed.

No cálculo do momento torsor resistente TRd de secções tubulares fechadas, deverão ser considerados os valores

de cálculo do esforço transverso resistente das componentes individuais da secção transversal, conforme

indicado na EN 1993-1-5.

No caso de uma combinação de esforço transverso e momento torsor, o valor de cálculo do esforço transverso

resistente plástico com torção deverá ser reduzido de Vpl,Rd para Vpl,T,Rd, e o valor de cálculo do esforço

transverso actuante deverá satisfazer a condição:


EC3 Parte III / 68

Para a verificação da segurança de secções submetidas a esforço transverso VEd e a momento torsor TEd, o EC3-

1-1 (em 6.2.7 (9)) estabelece o seguinte critério:

0,1,,

≤RdTpl

Ed

VV

Sendo Vpl,T,Rd o esforço transverso plástico resistente, reduzido devido momento torsor, dado por:

- Secções em I ou H:

( ) RdplMy

EdtRdTpl V

fV ,

0

,,, /3/25,1

1γ

τ−=

- Secções em U:

( ) ( ) RdplMy

Edw

My

EdtRdTpl V

ffV ,

0

,

0

,,, /3//3/25,1

1⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=

γτ

γτ

- Secções tubulares:

( ) RdplMy

EdtRdTpl V

fV ,

0

,,, /3/

1⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

γ

τ

Nestas expressões Vpl,Rd é o esforço transverso plástico resistente avaliado segundo 6.2.6 do EC3-1-1.

A resistência de secções submetidas em simultâneo a momento flector, a esforço transverso e a momento torsor,

deve ser avaliada de acordo com o sub-capítulo 6.2.8 do EC3-I-l, substituindo o valor de cálculo do esforço

transverso plástico resistente (Vpl,Rd) pelo valor de cálculo do esforço transverso plástico resistente reduzido,

devido ao momento torsor (Vpl.T,Rd).

2.10. Flexão Composta (M, N)

A flexão composta está sujeita à interacção entre momento e esforço axial, conforme fig. 19 para uma secção

rectangular. As fórmulas regulamentares verificativas baseiam-se nesta interacção, que é fundamentada em

resultados experimentais e modelos numéricos. Por exemplo, admitindo a resistência plásticas das secções, uma

normalização deste conceito poderá ser traduzido em:

1..

.

..

.

.

≤++Rdzpl

Sdz

Rdypl

Sdy

Rdpl

sd

MM

MM

NN


EC3 Parte III / 69

Estas expressões podem incluir efeitos de 2.ª ordem, imperfeições, forma dos diagramas de momentos flectores,

tipos de apoio e cargas, etc.

Fig. 19 - Digrama de interacção entre momento e esforço axial numa secção rectangular.

Secções Transversais da Classe 1 e 2

Na ausência do esforço transverso, a condição que as secções transversais das classes 1 e 2 têm que satisfazer é a

seguinte:

0,1,

≤RdN

Ed

MM

Em que é o momento plástico resistente reduzido devido ao esforço axial.

No caso de uma secção sem aberturas para ligações, o valor de cálculo do momento plástico resistente reduzido é

definido pela equação:

Em que o termo entre parêntesis recto é o coeficiente de redução devido ao esforço transverso, o que origina o

seguinte critério de verificação:

RdNM .

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

... 1

Rdpl

sdRdplRdN N

NMM

12

..

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Rdpl

sd

Rdpl

sd

NN

MM


EC3 Parte III / 70

À semelhança do que foi referenciado atrás, e no caso de secções que possuam banzos, a redução do momento

plástico resistente teórico na presença de esforços axiais baixos pode ser desprezada, pois é contrabalançada pelo

endurecimento do aço.

Para flexão segundo o eixo de maior inércia, y-y, o efeito do esforço axial no momento plástico resistente deve

ser levado em conta quando este for superior a metade da capacidade resistente plástica à tracção da alma:

Ou a um quarto da capacidade resistente plástica à tracção da secção transversal total:

Esquematizando e alargando o critério, a dispensa surge quando:

Rd.w.plN.NSd 50>

Rd.c.plN.Nsd 250>


EC3 Parte III / 71

Também:

Para flexão desviada:

As considerações anteriores são válidas para a flexão segundo o eixo de menor inércia, z-z, quando o efeito do

esforço normal excede a resistência plástica à tracção da alma.

Fig. 20 – Influência do esforço axial no momento plástico


EC3 Parte III / 72

No caso de secções transversais sem furos para ligações, de perfis laminados em I, em H normalizados ou

compostos de banzos iguais, o EC3 prevê as seguintes fórmulas simplificadas para a verificação da resistência

das secções:

• se: ;

Para:

Onde:

As expressões anteriores podem ser simplificadas para as secções em I ou H de perfis laminados:

• se: ;

Para:

Em casos de secções tubulares rectangulares com espessura constante t, sem furos para ligações, podem-se

utilizar os seguintes valores aproximados, segundo o eixo de solicitação do esforço:

• e ;

• e ;

( )( )a,

nMM Rd.y.plRd.Ny 5011−−

=RdyplRdNy MM ... ≤

Rd.z.plRd.Nz MMan =→≤

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−=→>2

11

aanMMan Rd.z.plRd.Nz

Rdpl

sd

NNn

.

=

( ) 502 ,AbtAa f ≤−=

)1(11.1 ... nMM RdyplRdNy −= RdyplRdNy MM ... ≤

RdzplRdNz MMn ...2.0 =→≤

)6.0)(1(56.12.0 ... +−=→> nnMMn RdzplRdNz

)5.01()1(

...w

RdyplRdNy anMM

−−

=RdyplRdNy MM ... ≤

)5.01()1(

...f

RdzplRdNz anMM

−−

=RdzplRdNz MM ... ≤


EC3 Parte III / 73

Em que:

e

Para secções compostas em caixão de banzos e almas iguais poder-se-ão utilizar as expressões anteriores,

considerando que:

e

e

Para perfis tubulares rectangulares comerciais, a verificação será simplificada utilizando as seguintes expressões:

Secções quadradas:

• com: ;

Secções rectangulares:

• Eixo de maior inércia:

com ;

• Eixo de menor inércia:

com ;

Para secções transversais circulares comerciais sem furos para ligações, podem-se usar as seguintes expressões:

• com ;

Para a flexão desviada a verificação da segurança das secções transversais será realizada pelo seguinte modo:

( )A

btAaw2−

= 5.0≤wa

( )A

htAa f2−

=

( )A

btAa f

w

2−= 5.0≤wa

( )A

htAa w

f2−

= 5.0≤fa

)1(26.1 .. nMM RdplRdN −= RdplRdN MM .. ≤

)1(33.1 ... nMM RdyplRdNy −= RdyplRdNy MM ... ≤

)5.0(

)1(...

Aht

nMM Rdzpl

RdNz

+

−=

RdzplRdNz MM ... ≤

)1(04.1 7.1.. nMM RdplRdN −= RdplRdN MM .. ≤


EC3 Parte III / 74

,

Com α e β a depender do tipo de secção em estudo. Assim:

• Secções em I e H:

; ;

• Secções tubulares circulares:

; ;

• Secções tubulares rectangulares:

;

• Secções maciças rectangulares ou quadradas:

;

Sendo·

O EC3 enuncia ainda um critério de verificação mais simples, embora mais conservativo que o anterior:

Na flexão com compressão em secções da Classe 1 e 2 a distribuição de tensões admissível pode ser a da figura

21.

1.

.

.

. ≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ βα

RdNz

Sdz

RdNy

Sdy

MM

MM

2=α 15 ≥= nβ

2=α 2=β

613.1166.1

2 ≤−

==n

βα

38.173.1 n+== βα

Rdpl

sd

NNn

.

=

1..

.

..

.

.

≤++Rdzpl

Sdz

Rdypl

Sdy

Rdpl

sd

MM

MM

NN


EC3 Parte III / 75

Fig. 21 – Distribuição de tensões na flexão composta com compressão, nas classes 1 e 2.

Secções Transversais da Classe 3

A verificação das secções transversais de Classe 3 é assegurada impondo que a tensão longitudinal máxima seja

sempre inferior à tensão de cedência do material, isto é:

• com ;

Em secções transversais, sem aberturas para ligações, a imposição referida dará origem a:

Este critério é válido apenas para secções duplamente simétricas. Ele poderá também ser aplicado a outras

secções, desde que as tensões devidas a certa solicitação, NSd, My.Sd e Mz.Sd, se adicionem com o mesmo sinal

para a fibra extrema solicitada (os módulos de flexão da secção são os relativos a esta fibra). Nos dois casos, as

solicitações são tomadas em valor absoluto.

Nos outros casos, apenas se aplica a verificação da tensão máxima na fibra mais solicitada (primeiro critério).

Secções Transversais da Classe 4

A verificação das secções transversais de Classe 4 é similar às de Classe 3, havendo no entanto, a necessidade de

ter em conta as secções eficazes e os deslocamentos dos centros de gravidade das secções. Na ausência de

esforço transverso as secções da Classe 4 serão satisfatórias desde que a tensão normal máxima σx.Ed, calculada

admitindo as larguras eficazes para os elementos comprimidos, satisfaça o seguinte critério:

σx.Ed ≤ fyd

ydEdx f≤.σ 0M

yyd

ffγ

=

1.

.

.

. ≤++ydzel

Sdz

ydyel

Sdy

yd

sd

fWM

fWM

AfN


EC3 Parte III / 76

Em que: fyd = fy / γM1.

A fórmula de verificação das secções é:

Em que:

• é a área eficaz da secção quando sujeita à compressão uniforme;

• é o módulo de flexão da secção eficaz quando sujeita apenas a flexão segundo o eixo em causa;

• é a excentricidade do centro de gravidade da secção quando sujeita a compressão uniforme.

2.10.1. Exemplo da resistência a flexão composta de perfil IPE 600

Dados:

fy = 355 N/mm2

h = 600 mm

b = 220 mm

tf = 19 mm

tw = 12 mm

r = 24 mm

d = h - 2tf - 2r = 514 mm

c = 0.5b = 110 mm

Verifique a resistência a Nx,Ed= 450 kN, My,Ed = 200 kNm e Mz,Ed = 50 kNm do perfil IPE600, admitindo

estar contraventado com impossibilidade de encurvar.

2.8.4. Exemplo da resistência a flexão composta de perfil HEA 500

1..

.

.

.

. ≤+

++

+ydzeff

NzSdSdz

ydyeff

NySdSdy

ydeff

sd

fWeNM

fWeNM

fAN

effA

effW

Ne

81,0/235 == yfε


EC3 Parte III / 77

Dados:

fy = 235 N/mm2

h = 490 mm

b = 300 mm

tf = 23 mm

tw = 12 mm

r = 27 mm

d = h - 2tf - 2r = 390 mm

c = 0.5b = 150 mm

Verifique a resistência a Nx,Ed= 450, My,Ed = 200 kNm e Mz,Ed = 50 kNm do perfil HEA 500, admitindo estar

contraventado com impossibilidade de encurvar.

2.11. Flexão Composta com Esforço Transverso

A verificação das secções transversais sujeitas a flexão composta e esforço transverso só é necessária quando:

Assim sendo, deve-se admitir uma redução no valor da tensão limite de elasticidade, , para a área de

corte em que:

Para o estudo de secções em I de banzos iguais, sujeita a flexão composta segundo o eixo principal de maior

inércia, e com esforço transverso, o diagrama de tensões normais, no plano da secção para o estado limite último,

está representado na figura 22.

De notar a convenção:

• Esforço axial - NEd;

• Esforço transverso no plano da alma - Vz.Ed;;

1/235 == yfε

Rdplsd VV .5.0≥

yf)1( ρ−

2

.12⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Rdpl

sd

VVρ


EC3 Parte III / 78

• Momento flector segundo o eixo de maior inércia - My.Ed.

d

2ρ-(1- )fy

2ρ-(1- )fy

-fy (N) (M)

N

fy

Fig. 22 - Diagrama de tensões normais na secção com esforço transverso

De notar que se admite que o esforço transverso é apenas resistido pela alma. Tendo em consideração os efeitos

provocados pelo esforço transverso, adoptando um limite elástico reduzido para alma, o diagrama poderá ser

dividido em duas partes. Uma representa o momento resistente da secção transversal e outra que equilibra o

esforço axial existente.

Conforme já referido anteriormente, se não existir esforço axial o valor do momento resistente obtém-se pela

seguinte expressão:

Em particular:

0

2

4 Mw

z,vzy.plRd.v /f).

tA

W(M y γρ

−=


EC3 Parte III / 79

Havendo esforço axial, e visualizando a figura 30 B, nota-se que a parte da alma que o absorve não deverá ser

considerada para o cálculo do momento-flector resistente. Terá que ser retirada essa parte à expressão do

momento resistente acima indicada, de modo a ser obtida uma equação do tipo:

Onde:

Em que:

Onde é a altura da secção da alma, que equilibra o esforço axial, NSd.

Desenvolvendo a equação obtém-se:

,

Válida se:

No caso de perfis I laminados poderá ser aplicada em segurança se:

Mas nunca poderá ser aplicada se:

MMM RdVRdyNV Δ−= ...

( ) yzwN ftdM ρΔ −= 1

4

2

yf)(tN

dzw

Sd

N ρ−=

1

Nd

02

22

141

Mz

Sdz,vz

wy.plRd.y.NV

y

y

ff)(

NAt

WMγρ

ρ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−=

( ) yzwSd fdtN ρ−≤ 1

ySd f)(AN zz,v ρ−≥ 1

( ) yzwzz,v fht,f)(ANSd ρρ −≅−≥ 10411 1


EC3 Parte III / 80

2.10.1. Exemplo da resistência a flexão composta com esforço transverso de perfil IPE 600

Dados:

fy = 355 N/mm2

h = 600 mm

b = 220 mm

tf = 19 mm

tw = 12 mm

r = 24 mm

d = h - 2tf - 2r = 514 mm

c = 0.5b = 110 mm

Verifique a resistência a Nx,Ed= 450, Vz,Ed= 150 kN, My,Ed = 200 kNm e Mz,Ed = 50 kNm do perfil IPE600,

admitindo estar contraventado com impossibilidade de encurvar.

2.8.4. Exemplo da resistência a flexão composta com esforço transverso de perfil HEA 500

Dados:

fy = 235 N/mm2

h = 490 mm

b = 300 mm

tf = 23 mm

tw = 12 mm

r = 27 mm

d = h - 2tf - 2r = 390 mm

c = 0.5b = 150 mm

81,0/235 == yfε

1/235 == yfε


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Verifique a resistência a Nx,Ed= 450, Vz,Ed= 150 kN, My,Ed = 200 kNm e Mz,Ed = 50 kNm do perfil HEA

500, admitindo estar contraventado com impossibilidade de encurvar.


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BIBLIOGRAFIA

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3 Argueles Álvarez, R., Argueles Bustillo R., Atienza Reales, J.R. e Arriaga Martitegui, F. (1999). Uniones y sistemas estrutcturales, Volume 2. Madrid. Ediciones Bellisco.

4 Bureau A. et Galéa Y. – Application de l’Eurocode 3. Classement des sections transversales en I. Revue Construcction Métallique nº 1, 1991, CTICM.

5 Bureau A. et Lequien Ph. – Application de l’Eurocode 3. Vérification des sections transversales brutes de Classe 1, 2 et 3. Revue Construcction Métallique nº 4, 1991, CTICM.

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11 Publicações do CMM (Associação Portuguesa de Construção Metálica e Mista).

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16 The Steel Construction Institute. (1995). Introduction to Concise Eurocode 3. (C-EC3) With Worked Examples. Ed. The Steel Construction Institute. Berkshire.

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