otimizaÇÃo em problemas de

OTIMIZAÇÃO EM PROBLEMAS DE

ENGENHARIA CIVIL

ELIZABETH CHRISTINE MARINS VALENTE

Dissertação submetida para satisfação parcial dos requisitos do grau de

MESTRE EM ESTRUTURAS DE ENGENHARIA CIVIL

Orientador: Professor Doutor Álvaro Ferreira Marques Azevedo

SETEMBRO DE 2020

MESTRADO EM ESTRUTURAS DE ENGENHARIA CIVIL 2019/2020

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

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mencionado o Autor e feita referência a Mestrado em Estruturas de Engenharia Civil -

2019/2020 - Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da

Universidade do Porto, Porto, Portugal, 2020.

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Otimização em Problemas de Engenharia Civil

Aos meus pais

Que a gente entenda que para tudo há um propósito.

Que não deixemos de sonhar, de acreditar, de amar, de fazer o bem.

Aline Duarte


i

AGRADECIMENTOS

Expresso primeiramente a minha gratidão à Deus, por guiar todos os meus caminhos.

À minha família, sobretudo aos meus pais, por todo amor e confiança dados a mim, por sempre darem

o melhor de si em prol da minha educação. Que apesar da distância fizeram-se presentes encorajando-

me diante das minhas inseguranças.

Ao professor e orientador Álvaro Azevedo, pela atenção e orientação apresentada, por toda paciência

para solucionar as dúvidas e dificuldades que surgiram ao longo do desenvolvimento deste trabalho.

Ao meu namorado, pelo amor e paciência durante essa jornada.

Aos amigos que fiz durante o mestrado e aos amigos do Brasil, pelo apoio e carinho nos momentos

difíceis, por todo companheirismo demonstrado.

Aos professores da FEUP, por todo conhecimento transmitido, por toda atenção e dedicação para

conosco.


iii

RESUMO

O principal objetivo de um projetista de estruturas é a procura da melhor solução que respeita

simultaneamente os diversos requisitos de segurança e desempenho. Porém, na prática, não se pode

afirmar que a solução encontrada pelo projetista é a solução mais económica para o projeto, visto que é

baseada apenas na sua intuição e experiência. Para ultrapassar este inconveniente é possível recorrer à

otimização de estruturas, que na generalidade dos casos procura determinar a solução que torna mínimo

o custo, sem que a estrutura perca a sua utilidade, respeitando assim as exigências relativas à sua

segurança e desempenho.

Do conjunto de parâmetros que definem a solução estrutural, seleciona-se previamente as grandezas que

se pretende modificar e que constituem o principal critério de classificação de problemas de otimização

de estruturas. Secções transversais de estruturas reticuladas, espessuras de meios laminares e

coordenadas de nós são alguns exemplos que condicionam a classificação dos problemas.

No presente trabalho é efetuada uma abordagem genérica dos problemas de otimização na engenharia

civil, através da formulação de programas matemáticos correspondentes a minimizações de custos ou

volumes que são possíveis funções objetivo do problema. As exigências relativas à segurança e

desempenho correspondem às restrições igualdade e desigualdade, e diversas grandezas figuram como

variáveis de projeto.

Para a resolução dos programas matemáticos correspondentes aos problemas de otimização abordados

neste trabalho recorre-se ao uso dos softwares EXCEL, com a utilização da ferramenta Solver, e

MATLAB, através da função Fmincon. Estes softwares utilizam diversos métodos numéricos no âmbito

do seu funcionamento. Através da comparação dos resultados obtidos com os dois softwares utilizados

é possível observar o seu bom desempenho na resolução dos problemas de otimização abordados.

PALAVRAS-CHAVE: Otimização, Engenharia civil, Minimização de custo, Solver, Fmincon.


v

ABSTRACT

The main objective of a structural engineer is the search for the best solution that simultaneously takes

into account all the requirements of safety and performance. However, in practice, there is no guarantee

that the solution adopted by the engineer is the most economical, since it is only based on his intuition

and experience. This solution can be improved using a structural optimization tool that, in most cases,

finds for the solution that minimizes the cost, without compromising the safety and performance of the

structure.

In the set of parameters that define the structural solution, the quantities that can be modified constitute

the main criterion for the classification of structural optimization problems. Cross sections of frame

structures, thickness of plate elements and nodal coordinates are some examples of parameters that can

be used to provide a classification of optimization problems.

This dissertation presents a generic approach to optimization problems in civil engineering, through the

formulation of mathematical programs where the minimization of the cost or volume is the main goal,

being these the most common objective functions. The requirements related to safety and performance

correspond to a set equality and inequality constraints, and the quantities that define the solution are the

design variables.

To solve the mathematical programs that correspond to the optimization problems considered in this

dissertation, the EXCEL software is used, with the associated Solver tool, and also the Fmincon function

available in MATLAB. These tools utilize several numerical methods in their operation. By comparing

the results obtained with these software packages, it is possible to observe their good performance in the

solution of the proposed optimization problems.

KEYWORDS: Optimization, Civil engineering, Cost minimization, Solver, Fmincon


vii

ÍNDICE GERAL

AGRADECIMENTOS.............................................................................................................................. i

RESUMO ............................................................................................................................................ iii

ABSTRACT ......................................................................................................................................... v

1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 1

2. OTIMIZAÇÃO ............................................................................................................... 3

2.1. GENERALIDADES ....................................................................................................................... 3

2.1.1. FORMULAÇÃO DO PROGRAMA MATEMÁTICO .................................................................................. 3

2.1.2. COMPONENTES DO PROGRAMA MATEMÁTICO ................................................................................ 7

2.1.2.1. Variáveis de projeto ............................................................................................................... 7

2.1.2.2. Função objetivo ..................................................................................................................... 8

2.1.2.3. Restrições igualdade e desigualdade..................................................................................... 8

2.2. INTERESSES E LIMITAÇÕES ....................................................................................................... 9

2.3. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO APLICADOS À ENGENHARIA CIVIL .............................................10

2.4.1. OTIMIZAÇÃO DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS ...................................................................................10

2.4.2. OTIMIZAÇÃO DE ESPESSURAS......................................................................................................10

2.4.3. OTIMIZAÇÃO DE FORMAS ............................................................................................................10

2.4.4. OTIMIZAÇÃO DE APOIO À DECISÃO ................................................................................................11

2.4.5. OTIMIZAÇÃO DE MATERIAIS .........................................................................................................11

2.4.6. OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA ........................................................................................................11

3. MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO........................................................................13

3.1. A FERRAMENTA SOLVER DO EXCEL .......................................................................................15

3.1.1. MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO UTILIZADOS PELA FERRAMENTA SOLVER .................................................15

3.1.1.1. Método LP Simplex ..............................................................................................................16

3.1.1.2. Método GRG (Gradiente Reduzido Generalizado) Não linear ...............................................17

3.1.1.3. Método Evolucionário ...........................................................................................................19

3.2. A FUNÇÃO FMINCON DO MATLAB ..........................................................................................19

3.2.1. MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO UTILIZADOS PELA FUNÇÃO FMINCON .......................................................21

3.2.1.1. Método Interior-Point ............................................................................................................21


viii

3.2.1.2. Método Trust-Region-Reflective ........................................................................................... 23

3.2.1.3. Método SQP e SQP-Legacy ................................................................................................. 24

3.2.1.4. Método Active-Set ................................................................................................................ 24

4. APLICAÇÃO A PROBLEMAS SIMPLES DE ENGENHARIA E PROBLEMAS DE TESTE ............................................................................ 27

4.1. BARRAGEM GRAVIDADE COM TRÊS VARIÁVEIS ........................................................................ 27

4.1.1. APLICAÇÃO DO PROBLEMA DE MINIMIZAÇÃO AO MATLAB............................................................... 33

4.1.2. APLICAÇÃO DO PROBLEMA DE MINIMIZAÇÃO AO EXCEL ................................................................. 35

4.1.3. SOLUÇÕES ENCONTRADAS PELOS SOFTWARES ............................................................................. 37

4.2. POSTO DISTRIBUIDOR DE ENERGIA ELÉTRICA .......................................................................... 39

4.3. TANQUE CILÍNDRICO ................................................................................................................. 46

4.4. PROBLEMAS DE TESTE ............................................................................................................. 48

4.4.1. FUNÇÃO COM RESTRIÇÕES LINEARES DE IGUALDADE E DESIGUALDADE ............................................ 48

4.4.2. FUNÇÃO COM RESTRIÇÕES NÃO LINEARES E LINEARES DE DESIGUALDADE ........................................ 51

4.4.3. FUNÇÃO DE ROSENBROCK .......................................................................................................... 53

5. APLICAÇÃO A PROBLEMAS DE ENGENHARIA CIVIL ...... 57

5.1. COBERTURA PARA HIPERMERCADO ......................................................................................... 57

5.2. BARRAGEM GRAVIDADE COM OITO VARIÁVEIS ......................................................................... 82

5.3. TRELIÇA COM TRÊS BARRAS .................................................................................................. 114

6. CONCLUSÃO ............................................................................................................ 131

6.1. OBSERVAÇÕES FINAIS............................................................................................................ 131

6.2. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS.............................................................................. 132

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................................... 133


ix

ÍNDICE DE FIGURAS

Fig. 2.1 – Região admissível das restrições 𝑥1 + 𝑥2 = 0 e 𝑥12 + 𝑥2

2 ≤ 1. ............................................... 4

Fig. 2.2 – Representação gráfica de problemas de maximização e minimização. ............................... 5

Fig. 2.3 – Representação gráfica dos pontos ótimos........................................................................... 6

Fig. 2.4 – Representação gráfica sujeita a restrições igualdade e desigualdade. Adaptado de Arora

(1989). ............................................................................................................................................... 9

Fig. 3.1 – Representação gráfica parábola 𝑓(𝑥) = a𝑥2 + b𝑥 + c. ........................................................13

Fig. 3.2 – Fluxograma comum aos métodos de otimização. Adaptado de Arora (1989) e Azevedo (1994).

.........................................................................................................................................................14

Fig. 4.1 – Barragem gravidade com três variáveis. ............................................................................27

Fig. 4.2 – Diagrama de tensões. ........................................................................................................28

Fig. 4.3 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de otimização. ......................................36

Fig. 4.4 – Definição dos parâmetros do Solver. .................................................................................37

Fig. 4.5 – Esquema ilustrativo de ligação dos cabos ao posto distribuidor P. .....................................40

Fig. 4.6 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema do posto distribuidor. ............................43

Fig. 4.7 – a) e b) Definição dos parâmetros do Solver para a minimização do comprimento do cabo. 45

Fig. 4.8 – Representação do comprimento do cabo otimizado. ..........................................................46

Fig. 4.9 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de minimização do volume do tanque. ..47

Fig. 4.10 – Definição dos parâmetros do Solver para a minimização do volume do tanque. ...............48

Fig. 4.11 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de minimização da função quadrática

sujeita às restrições lineares. ............................................................................................................50

Fig. 4.12 – Definição dos parâmetros do Solver para a minimização da função quadrática sujeita às

restrições lineares. ............................................................................................................................50

Fig. 4.13 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de minimização da função quadrática

sujeita às restrições não lineares.......................................................................................................52

Fig. 4.14 – Definição dos parâmetros do Solver para a minimização da função quadrática sujeita às

restrições não lineares. .....................................................................................................................53

Fig. 4.15 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de minimização da função de Rosenbrock.

.........................................................................................................................................................55

Fig. 4.16 – Definição dos parâmetros do Solver para a minimização da função de Rosenbrock. ........55

Fig. 4.17 – Representação das curvas de nível da função de Rosenbrock com o ponto mínimo. .......56

Fig. 5.1 – Esquema ilustrativo da cobertura. ......................................................................................58

Fig. 5.2 – Chapa trapezoidal. ............................................................................................................59

Fig. 5.3 – Linha de tendência Ac (tc) na chapa. ..................................................................................60

Fig. 5.4 – Linha de tendência Ycg (tc) na chapa. .................................................................................60


x

Fig. 5.5 – Linha de tendência Ycg,sup (tc) na chapa.............................................................................. 61

Fig. 5.6 – Tabela com os valores das cargas resistentes em kN/m² [24]. ........................................... 62

Fig. 5.7 – Perfil Superomega utilizado nas madres M. ....................................................................... 63

Fig. 5.8 – Linha de tendência AM (HM) na madre. ............................................................................... 63

Fig. 5.9 – Linha de tendência IM (HM) na madre. ................................................................................ 64

Fig. 5.10 – Linha de tendência Zcg (HM) na madre. ............................................................................ 65

Fig. 5.11 – Perfil IPE utilizado nas vigas V. ....................................................................................... 67

Fig. 5.12 – Linha de tendência HV (AV) na viga. ................................................................................. 68

Fig. 5.13 – Linha de tendência HV (IV) na viga. .................................................................................. 69

Fig. 5.14 – Setor que se repete em ambas as direções (𝑥1e 𝑥2). ....................................................... 72

Fig. 5.15 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de minimização do custo da cobertura.

......................................................................................................................................................... 78

Fig. 5.16 – a), b) e c) Definição dos parâmetros do Solver para a minimização do custo da cobertura.

......................................................................................................................................................... 80

Fig. 5.17 – Valor da carga resistente em kN/m² para o vão de 1.5 m [24]. ......................................... 81

Fig. 5.18 – Barragem gravidade com oito variáveis. .......................................................................... 82

Fig. 5.19 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de minimização do volume da barragem

de oito variáveis. ............................................................................................................................. 110

Fig. 5.20 – a), b), c) e d) Definição dos parâmetros do Solver para a minimização do volume da

barragem de oito variáveis. ............................................................................................................. 113

Fig. 5.21 – Treliça com três barras e dois casos de carga. .............................................................. 114

Fig. 5.22 – Perfil tubular de secção circular. .................................................................................... 117

Fig. 5.23 – Linha de tendência 𝜒 ∙ 𝑓𝑦(A) para as barras 1 e 3. ......................................................... 118

Fig. 5.24 – Linha de tendência 𝜒 ∙ 𝑓𝑦(A) para barra 2. ..................................................................... 120

Fig. 5.25 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de minimização do custo da treliça. .. 128

Fig. 5.26 – a) e b) Definição dos parâmetros do Solver para a minimização do custo da treliça. ...... 130


xi

ÍNDICE DE QUADROS

Quadro 2.1 – Particularidade das variáveis, função objetivo e restrições. ........................................... 6

Quadro 3.1 – Sintaxe da função Fmincon. .........................................................................................20

Quadro 4.1 – Comparação entre os resultados obtidos com os softwares MATLAB, EXCEL e NEWTOP.

.........................................................................................................................................................39

Quadro 4.2 – Comparação entre os resultados obtidos para a minimização do comprimento do cabo.

.........................................................................................................................................................45

Quadro 4.3 – Comparação entre os resultados obtidos para a minimização do custo do tanque. .......48

Quadro 4.4 – Comparação entre os resultados obtidos para a função com restrições lineares ..........51

Quadro 4.5 – Comparação entre os resultados obtidos para a função com restrições polinomial e linear.

.........................................................................................................................................................53

Quadro 4.6 – Comparação entre os resultados obtidos para a função de Rosenbrock. ......................56

Quadro 5.1 – Chapas utilizadas para a cobertura Ac (tc). ...................................................................59

Quadro 5.2 – Chapas utilizadas para a cobertura Ycg (tc). ..................................................................60

Quadro 5.3 – Chapas utilizadas para a cobertura Ycg,sup (tc). ..............................................................61

Quadro 5.4 – Gama de perfis utilizada na madre AM (HM). .................................................................63

Quadro 5.5 – Gama de perfis utilizada na madre IM (HM) ....................................................................64

Quadro 5.6 – Gama de perfis utilizada na madre Zcg (HM). .................................................................64

Quadro 5.7 – Gama de perfis utilizada na viga AV (HV). .....................................................................67

Quadro 5.8 – Gama de perfis utilizada na viga IV (HV)........................................................................68

Quadro 5.9 – Comparação entre os resultados obtidos para o problema da cobertura. ......................80

Quadro 5.10 – Resultados obtidos para o problema da cobertura utilizando aproximações. ..............81

Quadro 5.11 – Porcentagem de redução do custo da solução sem e com otimização. .......................82

Quadro 5.12 – Resultados obtidos na minimização do volume da barragem com oito variáveis. ......113

Quadro 5.13 – Gama de perfis utilizada na treliça e respectivos valores de 𝜒 ∙ 𝑓𝑦 para a barra 1 e 3

.......................................................................................................................................................118

Quadro 5.14 – Gama de perfis utilizada na treliça e respectivos valores de 𝜒 ∙ 𝑓𝑦 para a barra 2. ....120

Quadro 5.15 – Comparação entre os resultados obtidos para o problema da treliça. .......................130

Quadro 5.16 – Solução obtida para o problema da treliça utilizando aproximações. ........................130


xii


xiii

ÍNDICE DE SCRIPTS

Script 4.1 – Programa matemático da barragem de três variáveis correspondente às restrições não

lineares. ............................................................................................................................................34

Script 4.2 – Programa matemático da barragem de três variáveis correspondente ao programa principal.

.........................................................................................................................................................34

Script 4.3 – Programa matemático relativo ao software NEWTOP para o problema da barragem. .....37

Script 4.4 – Programa matemático do posto distribuidor correspondente às restrições não lineares...41

Script 4.5 – Programa matemático do posto distribuidor correspondente ao programa principal ........41

Script 4.6 – Programa matemático correspondente à minimização do custo do tanque. .....................47

Script 4.7 – Programa matemático correspondente à minimização de uma função com restrições

lineares. ............................................................................................................................................49

Script 4.8 – Programa matemático correspondente à restrição polinomial de uma função..................51

Script 4.9 – Programa matemático correspondente à minimização de uma função com restrições

polinomial e linear. ............................................................................................................................51

Script 4.10 – Programa matemático correspondente à minimização da função de Rosenbrock utilizando

FMINCON. ........................................................................................................................................54


FMINUNC. ........................................................................................................................................54

Script 5.1 – Programa matemático correspondente às restrições não lineares da cobertura. .............75

Script 5.2 – Programa matemático correspondente ao programa principal da cobertura. ...................76

Script 5.3 – Programa matemático da barragem de oito variáveis correspondente às restrições não

lineares. ..........................................................................................................................................106

Script 5.4 – Programa matemático da barragem de oito variáveis correspondente ao programa principal.

.......................................................................................................................................................108

Script 5.5 – Programa matemático da treliça correspondente às restrições não lineares. .................126

Script 5.6 – Programa matemático da treliça correspondente ao programa principal. .......................127


xiv


xv

SÍMBOLOS, ACRÔNIMOS E ABREVIATURAS

𝑔𝑚 – restrições desigualdade

ℎ𝑝 – restrições igualdade

𝑓(𝑥) – função objetivo

𝑥* – solução ótima

𝛻𝑓 – gradiente da função

𝛻ℎ𝑖 – gradiente da restrição igualdade

𝐴 – matriz dos coeficientes das restrições desigualdade

𝐴𝑒𝑞 – matriz dos coeficientes das restrições igualdade

𝑏 – vetor dos termos independentes das restrições desigualdade

𝑏𝑒𝑞 – vetor dos termos independentes das restrições igualdade

𝑙𝑏 – limites inferiores

𝑢𝑏 – limites superiores

𝐽g – Jacobiano da função restrição g

𝐽h – Jacobiano da função restrição h

𝐿 – Langrageano

𝑠 – variável de desvio

H – matriz Hessiana

‖𝐷𝑠‖ – matriz diagonal na norma Euclidiana

λ𝑖 – multiplicadores de Lagrange

LP Simplex – Linear Programming Simplex

GRG – Generalized Reduced Gradient (Gradiente Reduzido Generalizado)

KKT – Karush, Kuhn e Tucker

NaN – Not a Number

Inf – Infinity

SQP – Sequential Quadratic Programming (Programação Quadrática Sequencial)

GC – Gradiente Conjugado

CAPÍTULO 4

𝛾𝑤 – peso específico da água [kN/m3]

𝛾𝑐 – peso específico do betão [kN/m3]


xvi

𝐹𝑆 – fator de segurança global ao derrube

Iw – impulso da água [kN/m]

H – altura total da barragem de três variáveis [m]

B – base maior da barragem de três variáveis [m]

b – base menor da barragem de três variáveis [m]

P – posto distribuidor de energia elétrica

L – comprimento total do cabo [m]

D – diâmetro do tanque [m]

L – comprimento do tanque [m]

CAPÍTULO 5

𝑞𝐶 – sobrecarga na chapa [kN/m2]

𝑞𝑛𝑒𝑣𝑒 – sobrecarga da neve [kN/m2]

𝐵𝑖 – largura do pilar [m]

𝐿𝑃 – Comprimento do pilar [m]

𝐸𝑠 – Módulo de Young do aço [kPa]

𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑠 – tensão admissível do aço [kPa]

𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑐 – tensão admissível do betão [kPa]

𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑠𝑜𝑙𝑜 – tensão admissível do solo [kPa]

𝛾𝑠 – peso específico do aço [kN/m3]

𝐶𝑠 – custo específico do aço [€/m3]

𝐶𝑐 – custo específico do betão [€/m3]

𝐿𝑖 – comprimento do elemento [m]

𝐻𝑖 – altura da secção [m]

𝑡𝐶 – espessura da chapa [m]

𝐷𝑖 – largura da sapata [m]

𝐻𝑆 – altura da sapata [m]

𝑝𝑝𝑖 – peso próprio [kN/m]

Ai – área da secção [m2]

Ii – momento de inércia [m4]

𝑌𝑐𝑔 – centro de gravidade [m]

Ycg,sup – distância do centro de gravidade até a fibra superior [m]

𝑀𝑖− – momento no apoio [kNm]


xvii

𝜎𝑖 – tensão normal [kPa]

𝛿𝑚𝑎𝑥 – flecha máxima [m]

𝑅𝑖 – reação no apoio [kN]

𝑁𝑖 – esforço axial [kN]

𝑓𝑦 – tensão de cedência do aço [kN/cm2]

𝛾𝑀𝑖 – coeficiente parcial de segurança

𝜒 – coeficiente de redução para a curva de dimensionamento (de colunas à encurvadura) relevante

𝛷 – valor para determinar o coeficiente de redução

�̅� – esbelteza normalizada

𝛼 – fator de imperfeição

𝑁𝑐𝑟 – valor crítico do esforço normal para o modo de encurvadura elástica considerado, determinado

com base nas propriedades da secção transversal bruta [kN]

휀 – deformação normal

𝛥𝑖 – deslocamento do nó segundo a direção [cm]

𝐾 – matriz de rigidez

𝛥 – matriz de deslocamento

𝐹 – matriz de força


xviii


1

1 INTRODUÇÃO

A otimização pode ser descrita como o ato de obter o melhor resultado para determinadas circunstâncias,

assim como a otimização aplicada em problemas de engenharia civil que busca a obtenção da solução

mais vantajosa. Essa tarefa cabe ao projetista e implica uma pesquisa exaustiva que o obrigaria levar em

consideração todas as soluções possíveis. Para isso é necessário que as soluções possíveis sejam finitas

e que sua análise possa ser efetuada em um intervalo de tempo razoável. Porém, este cenário é apenas

aplicado em problemas simples com um número reduzido de parâmetros. Em casos complexos é

fundamental abordar o problema de modo relativamente simplificado para que seja possível sua solução.

Neste caso, o projetista irá avaliar se a solução do problema simplificado se aproxima adequadamente

do problema inicial.

Antes mesmo da intervenção do projetista é habitual identificar o conjunto de parâmetros gerais na

formulação de um problema. Em seguida ocorre a seleção do tipo de estrutura, visto que para cada

situação estudada existirá um reduzido número de opções passíveis de serem concretizadas, sendo tais

escolhas fundamentadas na comparação entre estudos preliminares. E finalmente é possível formular o

problema matemático que na quase totalidade das aplicações de otimização na engenharia civil busca

minimizar o custo. Esta é, assim, a fase que é abordada no presente trabalho.

Os problemas de otimização aplicados na engenharia civil em sua maioria buscam minimizar o custo,

garantindo as exigências relativas à segurança e ao desempenho da estrutura. Esta minimização é feita

através de uma função escalar intitulada de função objetivo, e as exigências aparecem na otimização

como restrições igualdade e/ou desigualdade. Em alguns casos a otimização pode não apresentar

aspectos similares aos referidos anteriormente. A função objetivo pode ser para maximizar a segurança

e o desempenho da estrutura considerando um custo fixo. Também pode ocorrer problemas em que o

objetivo não seja único, considerando assim uma única função objetivo que resulta da combinação

ponderada dos diversos objetivos iniciais.

A quantificação do custo é feita através da quantidade e na diversidade dos materiais utilizados. Quando

for utilizado apenas um único material na estrutura considera-se seu custo dependente do seu volume

ou do seu peso. Por outro lado, se na estrutura estiverem presentes diversos materiais, a função do custo

será calculada através dos custos unitários de cada material. Além do custo associado à quantidade de

material utilizado na própria estrutura, também deve ser considerado o custo associado às estruturas que

auxiliam o processo construtivo como as cofragens, por exemplo.

Para auxiliar o projetista no processo de busca da melhor solução, ou seja, da solução mais econômica

para a estrutura e que atenda às condições de segurança, são aplicados os métodos de otimização através

da utilização de softwares existentes no mercado, que vão desde os mais comuns aos mais complexos.


2

Refere-se como exemplo, o editor de planilhas mais utilizado, o Microsoft EXCEL e, o software de alta

performance voltado para cálculos numéricos, o MATLAB.

A utilização dos softwares faz com que a tarefa de busca do projeto ótimo se torne atraente, de forma

que os projetistas possam economizar tempo com as sucessivas verificações de segurança para decidir

qual solução será mais econômica. Levando em conta as quantidades de variáveis relacionadas ao

processo de otimização, dificilmente a melhor solução para o projeto será encontrada sem que seja feito

um estudo detalhado e bem formulado do problema.

No projeto de estruturas, a otimização pode assumir variados aspectos, sendo caracterizada

essencialmente pela seleção das grandezas que são consideradas fixas e das que são consideradas

variáveis. As variáveis de projeto dependem da função objetivo que se pretende minimizar e a elas são

impostas restrições. Elas estão associadas ao tipo de otimização que será aplicado ao problema. No

âmbito de estruturas, é comum otimizar as secções transversais (treliça ou pórtico 3D), espessuras

(membrana, laje e cascas), forma em meios contínuos (sólido 3D), forma em meios laminares

(membrana, laje e cascas), forma em treliças ou pórticos, topologia (treliça), materiais e localização de

ações [1].

O conceito de otimização na engenharia civil torna-se imprescindível no cenário de escassez de recursos

naturais. Aplicar a otimização em projetos estruturais significa utilizar a quantidade de material

suficiente para cumprir com a segurança da estrutura, sem que haja sobredimensionamento e utilização

desnecessária de material. Desta forma, contribui para que haja menor consumo de energia para a

fabricação do material que será utilizado na construção. Concluindo, pode-se dizer que a otimização

aplicada neste contexto pode contribuir de forma positiva com a questão ambiental vivenciada no

mundo.


3

2 OTIMIZAÇÃO

2.1. GENERALIDADES

2.1.1. FORMULAÇÃO DO PROGRAMA MATEMÁTICO

Os problemas de otimização de forma genérica, e de estruturas em particular, são designados programas

matemáticos e têm a seguinte formulação:

Minimizar 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)

sujeita a

(2.1)

𝑔1(𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ≤ 0

⋮ ⋮ 𝑔𝑚(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ≤ 0

(2.2)

ℎ1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = 0

⋮ ⋮ ℎ𝑝(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) = 0

(2.3)

Neste esquema, as variáveis de projeto são 𝑥𝑖(𝑖 = 1, 2, … , 𝑛), a função objetivo é 𝑓, as restrições

desigualdade são 𝑔𝑗 ≤ 0 (𝑗 = 1, 2, … ,𝑚) e por fim as restrições igualdade ℎ𝑘 = 0 (𝑘 = 1, 2, … , 𝑝).

O problema de um modo mais compacto pode ser escrito como:

Min 𝑓(𝑥)

s.a

(2.4)

𝑔(𝑥) ≤ 0 (2.5)

ℎ(𝑥) = 0 (2.6)


4

As variáveis de projeto normalmente podem assumir qualquer valor real. A função objetivo, as restrições

igualdade e desigualdade são funções escalares que assumem valores contínuos e reais.

A solução do problema de minimização descrito acima (2.4) é chamada de solução ótima, pois 𝑥* é o

vetor que torna mínima a função objetivo 𝑓, satisfazendo as devidas restrições. Nos casos que existirem

mais de uma solução ótima estes serão chamados de soluções ótimas alternativas. O conjunto de

soluções (𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛) que estiverem definidas dentro da região admissível ou viável, ou seja, as que

respeitam as restrições igualdade e desigualdade, são ditas de soluções admissíveis, viáveis ou factíveis

e as que não respeitam a maioria das restrições são designadas soluções inadmissíveis ou inviáveis. Por

exemplo, na Fig. 2.1 observa-se um problema com duas variáveis (bidimensional) e com uma única

restrição 𝑥1 + 𝑥2 = 0, a região admissível incluiria todos os pontos definidos na linha tracejada, porém

se a restrição fosse 𝑥12 + 𝑥2

2 ≤ 1, a região admissível estaria definida no interior e no limite do círculo

unitário [2].

Fig. 2.1 – Região admissível das restrições 𝑥1 + 𝑥2 = 0 e 𝑥12 + 𝑥2

2 ≤ 1.

A solução do problema de maximização também é definida como solução ótima desde que o argumento

de maximização seja −𝑓(𝑥). Neste trabalho são comtempladas apenas os problemas de minimização.

Minimizar 𝑓(𝑥) ⇔ Maximizar −𝑓(𝑥) (2.7)


5

Fig. 2.2 – Representação gráfica de problemas de maximização e minimização.

Quando as restrições desigualdade que tiverem o formato 𝑔(𝑥) ≥ 0 forem multiplicadas por -1 em

ambos os lados da inequação transformam-se em restrições do tipo −𝑔(𝑥) ≤ 0. Esse artifício é

necessário para poder entrar com as restrições desigualdade no MATLAB.

𝑔(𝑥) ≥ 0 ⇒ −𝑔(𝑥) ≤ 0 (2.8)

A função 𝑓(𝑥) terá um mínimo local em 𝑥* se a função assumir um valor mínimo em uma determinada

vizinhança dentro da região admissível. Quando o valor da função em 𝑥* assumir um valor menor ou

igual da função em qualquer outro ponto 𝑥 dentro da região admissível 𝑥* não é um mínimo local e sim

um mínimo global. Em alguns problemas de otimização é importante encontrar o ponto possível em que

𝑓(𝑥) assume seu menor valor. Na Fig. 2.2 é possível visualizar o mínimo local representado pelo ponto

A e o mínimo global pelo ponto C [3].


6

Fig. 2.3 – Representação gráfica dos pontos ótimos.

O programa matemático pode ser do tipo linear ou não linear. O que vai definir sua natureza é a função

objetivo e as restrições igualdade e desigualdade que podem ser funções lineares ou não lineares em

relação às variáveis de projeto. Se pelo menos uma dessas funções for não linear, o problema de

otimização será chamado de programação não linear, caso contrário será programação linear. Em

problemas práticos de engenharia dificilmente terá funções descritas pelas variáveis de projeto de

maneira linear [4].

No Quadro 2.1 apresentam-se as particularidades das variáveis, da função objetivo e das restrições

igualdade e desigualdade que definem a natureza das funções do problema [5].

Quadro 2.1 – Particularidade das variáveis, função objetivo e restrições.

Sem restrições

Limites nos valores das variáveis

Lineares

Polinomiais

Não linear com continuidade

Não linear sem continuidade

Restrições igualdade e desigualdade

Função de uma variável

Binárias

Inteiras

Discretas

Linear

Quadrática

Polinomial

Não linear com continuidade

Variáveis

Função objetivo

Contínuas

Particularidades

Não linear sem continuidade


7

Existem, assim, diferentes métodos destinados à resolução de problema de otimização que dependem

das variáveis de projeto, das características da função objetivo e do tipo de restrições. Os métodos

probabilísticos (ou heurísticos) e os métodos determinísticos (ou programação matemática) são as duas

vertentes dos processos de otimização conhecidos atualmente [6].

2.1.2. COMPONENTES DO PROGRAMA MATEMÁTICO

Como visto no Quadro 2.1, as variáveis, a função objetivo e as restrições possuem características que

variam de acordo com o tipo de problema a que será aplicada a otimização, bem como a aplicação em

problemas de engenharia civil.

2.1.2.1. Variáveis de projeto

As variáveis de projeto, como visto anteriormente, podem ser contínuas, discretas, inteiras e binárias.

Quando assumirem qualquer valor real dentro de um domínio admissível são variáveis contínuas. Por

sua vez, quando assumirem apenas alguns valores reais, ou seja, valores isolados de uma lista de valores

permitidos, são variáveis discretas. Já as variáveis do tipo inteiras assumem apenas valores inteiros e as

binárias só assumem os valores 0 e 1 [7].

No âmbito da engenharia civil, as variáveis dos problemas de otimização dependem de cada grandeza

estudada. Na otimização de forma que podem ser em treliças, pórticos, em meios contínuos 3D ou meios

laminares as variáveis de projeto são as coordenadas de alguns nós e terão caráter contínuo [8].

Na otimização da área da secção transversal de um perfil metálico a variável possui uma natureza

discreta pois a área é predefinida em catálogos comerciais. Porém, a existência de variáveis discretas

dificulta a resolução do problema de otimização, sendo necessário considerá-las variáveis contínuas.

Em seguida, é possível passar para a solução discreta aplicando aproximações favoráveis. Na otimização

de espessuras em meios laminares é habitual considerar variáveis contínuas.

A otimização pode ser aplicada também como apoio à decisão, como por exemplo, no tipo de barragem

(gravidade, abóbada com ou sem contraforte), tipo de cobertura (treliça metálica, suspensa, betão pré-

esforçado) e tipo de estrutura (pórtico, parede, mista). Para todos esses casos as variáveis podem ser

consideradas contínuas.

Como os materiais não possuem uma variação contínua de propriedades e por ser comum considerar um

número reduzido de classes de resistência, a otimização da seleção de materiais deve ser assumida com

variáveis discretas. A orientação da direção mais resistente de um material ortotrópico, como por

exemplo fibras em compósitos, também são considerados como otimização de materiais, assumindo-se

neste caso que os ângulos que definem essas orientações possuem uma variação contínua. Porém, para

facilitar a aplicação é necessário restringir o número de ângulos possíveis, passando a ter variáveis

discretas [5].

Os problemas de otimização da topologia da estrutura possuem como variáveis de projeto o número de

montantes numa asna, vãos de um pórtico, apoios de uma viga contínua, barras de uma treliça, nervuras

de uma laje, etc. Esses problemas em certos casos são formulados com variáveis binárias, ou seja, cada

elemento da estrutura deve ser multiplicado por uma variável binária, assim como as restrições relativas

ao seu comportamento. Os elementos da solução ótima que estiverem associados a uma variável binária

nula são eliminados e os restantes preservados [9].


8

2.1.2.2. Função objetivo

A função objetivo depende do tipo de problema de otimização e da grandeza que planeia minimizar. Na

totalidade dos casos a função está escrita a partir das variáveis de projeto. Quando a estrutura é

constituída por um único material é comum minimizar o volume e consequentemente o seu custo. Se

houver mais de um material presente na estrutura a função objetivo representa o custo por unidade de

volume de cada material. E nos casos que o objetivo for minimizar o peso da estrutura considera-se

como custo por unidade de volume o peso específico de cada um dos materiais.

Em casos particulares podem haver otimização de estruturas em que a função objetivo não é um custo,

como por exemplo, maximizar a rigidez considerando custo fixo ou maximizar a frequência própria

fundamental considerando peso fixo, nestes casos a função objetivo representa a grandeza associada ao

desempenho de uma estrutura.

2.1.2.3. Restrições igualdade e desigualdade

Em problemas de otimização aplicados à engenharia civil, nem todos os valores possíveis para as

variáveis são admissíveis para o projeto, havendo a necessidade de impor restrições. Como visto

anteriormente, essas restrições podem ser de igualdade ou desigualdade.

As restrições igualdade que figuram um programa matemático podem ser eliminadas desde que em cada

uma delas seja possível explicitar uma variável de projeto distinta. Em seguida, essas variáveis podem

ser substituídas nas outras expressões do programa matemático. Para os casos em que a quantidade de

restrições igualdade excedem o número de variáveis de projeto a formulação é dada como inconsistente.

O procedimento de substituição auxilia na resolução do problema de otimização, pois reduz a quantidade

de variáveis e restrições presente na formulação. Porém, se houver um número elevado de restrições

associadas com as variáveis do problema, não é aconselhável recorrer a essas substituições, pois as

expressões passam a ter um caráter complexo, sendo necessário o uso de um programa de computador.

Na otimização aplicada à engenharia civil aparecem restrições igualdade quando há a necessidade de

impor valores fixos a deslocamentos, quando eles são variáveis de projeto ou em casos que se pretende

fixar algumas variáveis, como por exemplo, altura ou base de uma viga, espessura de um perfil metálico

ou altura de um pilar.

Quanto às restrições desigualdade, não há limitações para a sua quantidade na formulação do problema.

Na otimização em problemas de engenharia civil elas estão presentes devido à necessidade de limitar

tensões dos materiais, tensões de instabilidade, deslocamentos, frequências próprias de vibração, etc.

Podem haver também limitações para valores mínimos e máximos das variáveis, como por exemplo,

áreas mínimas e máximas de perfis metálicos que estão disponíveis em catálogos de um certo fabricante

para barras de uma treliça, impedindo que o algoritmo busque soluções nulas ou negativas. Porém, em

alguns softwares de otimização os limites são considerados à parte e não como restrições desigualdade.

Assim, é importante formular adequadamente um problema de otimização para que permita que o

software encontre boas soluções quanto sua formulação [2].

A representação gráfica de um problema de otimização contendo a função objetivo em função de duas

variáveis sujeita a três restrições desigualdade e uma restrição igualdade e a limites mínimos e máximos

impostos a variáveis, encontra-se exemplificado na Fig. 2.4. Nota-se que a região admissível é

representada pelo troço de linha definida por ℎ(𝑥1, 𝑥2) que respeita as restrições 𝑔𝑗(𝑥1 , 𝑥2); 𝑗 = 1, 2,3.


9

Fig. 2.4 – Representação gráfica sujeita a restrições igualdade e desigualdade. Adaptado de Arora (1989).

2.2. INTERESSES E LIMITAÇÕES

A otimização na engenharia civil tem aspecto importante quando a intenção do projetista é diminuir os

custos da obra. A minimização desses custos não está interligada com a utilização de materiais mais

baratos ou de má qualidade, e sim no conjunto de parâmetros que vão definir a solução estrutural

dependendo do grau de complexidade que o projetista pretende incluir na otimização e o prazo

disponível. É necessário que sejam satisfeitas algumas exigências em relação à segurança e ao

desempenho da estrutura para que ela tenha utilidade.

A primeira etapa da formulação de um problema aplicado em estruturas consiste na identificação do

conjunto de parâmetros gerais, na qual sua quantificação antecede a intervenção do projetista. A segunda

etapa é caracterizada pela seleção do tipo de estrutura que irá ser adotada para o projeto. As decisões

nesse aspecto são baseadas na comparação entre estudos preliminares e na experiência do projetista.

Após a escolha do tipo de estrutura que será adotada e a definição do problema, finalmente segue-se

para a fase que é matematicamente formulada pela minimização do custo.

Quando a estrutura é constituída por um único material, seu custo é relacionado com o volume ou o peso

do material utilizado na construção. Porém, nos casos em que estiverem presentes materiais variados o

custo total é calculado a partir do custo por unidade de volume de cada material utilizado na estrutura.

Além do material utilizado na própria estrutura, há também os materiais que auxiliam as fases

construtivas e seu custo deve ser adicionado à otimização. Entretanto, a consideração desses custos na

função objetivo nem sempre será simples, como a quantificação da cofragem, que é feita através do

custo por unidade de superfície, ou poderá ser mais complexa como a utilização de cimbres

autolançáveis, nos quais o custo irá depender da solução adotada para a estrutura, sendo difícil de

quantificar.

Existe ainda um custo cuja avaliação e inclusão na função objetivo é ainda mais complexo que o

mencionado anteriormente. Se uma solução apresentar uma grande regularidade e repetitividade é mais


10

simples e economicamente executada do que uma solução muito heterogénea. Se não forem impostas

restrições que limitem a heterogeneidade, a solução do problema pode ser tão complexa que a sua

execução teria custos adicionais incompatíveis. Porém, a consideração de restrições adicionais que

limitam a heterogeneidade da estrutura levará a obtenção de uma solução de custo mais elevado. Nota-

se então que a consideração da simplicidade de execução e da heterogeneidade conduziria a uma

dificuldade de quantificar e de incluir na função objetivo [5]. Assim, a decisão sobre a incorporação

dessas restrições é fundamentada na experiência do projetista.

No contexto de projetos de pequeno porte a aplicação da otimização não é tão viável, pois é necessário

um estudo elaborado que demanda tempo e atenção, e nesses tipos de projeto é mais interessante

economicamente preocupar-se com a escolha e compra de materiais, com a negociação dos prazos,

multas, etc. Apenas em obras de grande porte, que demandam estudos prévios e possuem prazos de

entrega mais longos, serão feitas otimizações.

2.3. PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO APLICADOS À ENGENHARIA CIVIL

Para realizar a otimização é necessário considerar o comportamento da estrutura de modo simplificado

através do uso do método dos elementos finitos. Assim, as estruturas que possuem comportamento linear

passam a ter como variáveis os deslocamentos máximos dos nós e as tensões normais. Porém, existem

outras classes de variáveis que dependem do tipo de problema de otimização.

Como visto na secção 2.1.2.1., quem define o principal critério de classificação dos problemas de

otimização são as variáveis de projeto, pois elas são os parâmetros da solução que podem ser

modificados. A seguir, serão descritos e exemplificados de modo sucinto diversos tipos de problemas

de otimização [5].

2.4.1. OTIMIZAÇÃO DAS SECÇÕES TRANSVERSAIS

É aplicada em estruturas reticuladas como treliças e pórticos tridimensionais. Enquanto que na primeira

as variáveis de projeto são as áreas das secções transversais das barras biarticuladas, na outra é o

conjunto de parâmetros que caracterizam a secção transversal de uma barra. As coordenadas dos nós e

as propriedades dos materiais utilizados são consideradas fixas. As secções transversais podem ser

definidas através da área, momento de inércia ou dimensões transversais.

2.4.2. OTIMIZAÇÃO DE ESPESSURAS

Está associada a meios laminares (duas dimensões muito maiores que a terceira dimensão), como

membrana (paredes), lajes e cascas (lajes pré-esforçadas), onde as variáveis de projeto são a espessura

em cada ponto nodal ou as espessuras dos elementos finitos. Assim como a otimização das secções

transversais as coordenadas dos nós e os materiais utilizados são fixados.

2.4.3. OTIMIZAÇÃO DE FORMAS

Neste tipo de otimização as coordenados dos nós já passam a ser também as variáveis de projeto. Ela é

aplicada em meios contínuos tridimensionais, como sólidos e as variáveis de projeto são apenas as

coordenadas de alguns nós, pois na formulação não são consideradas secções nem dimensões

transversais de elementos finitos e evita-se que a estrutura seja modificada totalmente. Também pode

ser aplicada em meios laminares, tendo como variáveis as coordenadas dos nós e as espessuras. No caso


11

das treliças ou pórticos tridimensionais as variáveis continuam a ser as coordenadas dos nós e a as

secções das barras.

2.4.4. OTIMIZAÇÃO DE APOIO À DECISÃO

Pode ser exemplificado como o tipo de barragem, tipo de cobertura e tipo de estrutura que irá ser adotada

no projeto, por exemplo, a localização e quantificação do pré-esforço. As variáveis como dimensões de

secções transversais, espessuras e coordenadas dos nós também podem estar presentes.

2.4.5. OTIMIZAÇÃO DE MATERIAIS

Sempre que na otimização as propriedades do material forem as variáveis de projeto é utilizada essa

otimização, pois os materiais apresentam propriedades distintas e podem estar relacionados à variação

de propriedades que ocorre entre as classes de resistência de um determinado material. A orientação da

direção mais resistente de um material ortotrópico (fibra de compósitos) também pode ser uma variável

de projeto.

2.4.6. OTIMIZAÇÃO DE TOPOLOGIA

Envolve a supressão ou o acréscimo de componentes da estrutura, escolhendo a melhor distribuição

possível dentro da região admissível. Em estruturas treliçadas, por exemplo, define inicialmente todos

os possíveis nós formando uma estrutura base e em seguida o processo de otimização irá alterar as

conexões existentes podendo retirar ou adicionar barras. Em meios contínuos é importante a

possibilidade de originar ou eliminar aberturas. Podem também ocorrer situações em que o número de

ligações ao exterior e sua posição são variáveis.


12


13

3 MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO

Em alguns problemas de otimização encontrar a solução ótima pode ser algo elementar. Refere-se como

exemplo uma parábola (Fig. 3.1) onde pretende-se escolher o valor de 𝑥 que torna o valor de 𝑓(𝑥)

mínimo. Essa questão é facilmente resolvida obtendo a derivada da parábola e definindo-a igual a zero.

Para problemas de maior complexidade é moroso achar onde a derivada da função é igual a zero, e

adivinhar e verificar a solução ideal pode levar muito tempo. Nos problemas de otimização aplicados à

engenharia civil para encontrar a solução ótima é indispensável utilizar um tipo especial de programa

chamado algoritmo de otimização.

Fig. 3.1 – Representação gráfica parábola 𝑓(𝑥) = a𝑥2 + b𝑥 + c.

Esses problemas são formulados como um programa matemático que em geral é resolvido com recurso

a um método iterativo. Esses métodos necessitam de uma estimativa para a solução inicial, que vai sendo

substituída sucessivamente até que seja satisfeito um determinado critério de convergência. O algoritmo

pode ser exemplificado em um fluxograma (Fig. 3.2) contendo algumas das fases que são habituais a

generalidade dos métodos de otimização.


14

Fig. 3.2 – Fluxograma comum aos métodos de otimização. Adaptado de Arora (1989) e Azevedo (1994).


15

No algoritmo apresentado na Fig. 3.2, é necessário dar como partida uma estimativa da solução inicial

a qual é escolhida pelo próprio usuário. Contudo, é interessante que a estimativa esteja o mais próximo

possível da solução ótima, para que a solução presente no decorrer das iterações também esteja mais

próxima da solução ótima.

Para cada método de otimização existe um critério de convergência que é baseado na finalização do

processo iterativo. Se não houver um critério que avalie a qualidade da solução presente, o processo

iterativo deve ser suspenso assim que não houver variações significativas da solução. Esta interrupção

também pode ser feita quando as iterações atingirem o limite pré-estabelecido, para que elas não

progridam de forma imprecisa quando não há convergência para a solução ótima.

A fase que essencialmente define cada método de otimização é a correspondente ao cálculo do vetor (6),

que em geral é calculado depois de serem realizadas modificações no programa matemático que

simplificam o problema inicial em um problema aproximado. Isto explica o fato de obter uma solução

presente mais próxima da solução ótima para que o erro relacionado com essa aproximação seja menor.

Os métodos capazes de encontrar a solução ótima de um determinado problema destacam-se

basicamente em duas vertentes dos processos de otimização conhecidos utilizados atualmente. Os

métodos probabilísticos (ou heurísticos) são normalmente inspirados em fenômenos que ocorrem na

natureza, pois consistem em técnicas probabilísticas de procura da solução ideal com base nos princípios

da genética de sobrevivência dos indivíduos mais adaptados à situação desejada, isto é, usam somente a

avaliação da função objetivo e introduzem no processo de otimização dados e parâmetros estocásticos.

Enquanto os métodos determinísticos (ou programação matemática) geram uma sequência

determinística de possíveis soluções requerendo, na maioria das vezes, o uso de pelo menos a primeira

derivada da função objetivo com respeito às variáveis de projeto [6], [10].

Existem vários softwares que são capazes de resolver os problemas de otimização utilizando os variados

métodos existentes na literatura, como por exemplo, OptiSLang, WOLFRAM Mathematica, Microsoft

EXCEL, MATLAB, entre outros. No presente trabalho foram utilizados para a resolução dos problemas

o EXCEL com o auxílio da ferramenta Solver e o MATLAB com a ferramenta Fmincon. O uso dessas

ferramentas e os métodos por elas utilizados será apresentado posteriormente neste capítulo.

3.1. A FERRAMENTA SOLVER DO EXCEL

O Solver é um suplemento disponível do EXCEL responsável por realizar análise de hipóteses. Ele pode

ser utilizado para encontrar o valor máximo ou mínimo de uma determinada função objetivo descrita

por uma fórmula em uma célula sujeita ou não às restrições e limites impostos descritos em outras

células da folha de cálculo. O Solver funciona com um grupo de células, designadas células variáveis

que são utilizadas no cálculo das fórmulas da função objetivo e das restrições. Conforme as iterações

vão ocorrendo o Solver vai ajustando os valores nas células variáveis para satisfazer as restrições e

entregar o resultado desejado para a célula que contém a função objetivo.

3.1.1. MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO UTILIZADOS PELA FERRAMENTA SOLVER

A ferramenta Solver possui disponível três métodos para a resolução de problemas de otimização. São

eles o método LP Simplex que é usado quando pretende-se realizar otimização linear, ou seja, quando a

função objetivo e as restrições são funções lineares das variáveis de projeto. O método GRG (Gradiente

Reduzido Generalizado) Não Linear nos casos que a função objetivo e as restrições resultam de funções

não lineares das variáveis de projeto, isto é, quando as células que contêm a função objetivo e as

restrições possuem potências, cálculo exponencial ou trigonométrico sobre as variáveis. E o método


16

Evolucionário para os casos que a função objetivo e as restrições são determinadas a partir de funções

cujos resultados variam de forma abrupta, como por exemplo, quando a função objetivo ou as restrições

possuírem fórmulas do tipo condicional, valor absoluto, mínimo ou máximo para calcular o seu valor,

fazendo com que o declive varie radicalmente a pequenas variações das variáveis de projeto, assim

como o seu resultado [11].

3.1.1.1. Método LP Simplex

Como anteriormente mencionado, o Simplex é o método mais utilizado para solução de problemas de

programação linear. Porém, em muitos casos é possível converter um problema de otimização não linear

em um problema de otimização linear. A forma padrão de um problema de programação linear está

exposto no programa matemático (3.1). O método é descrito pela forma padrão dada pela equação linear

(3.2), onde A é uma matriz m Χ n (m < n), 𝑥 é um n-vetor, e b é um m-vetor. Para que o Simplex seja

desenvolvido de modo padrão é desejável que as restrições estejam no tipo “≤”. Se as restrições

estiverem do tipo “≥” é necessário utilizar artifícios para sua transformação em problema padrão.

Min 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑥

s.a

(3.1)

𝐴𝑥 = 𝑏, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 ≥ 0 𝑒 𝑏 ≥ 0 (3.2)

As variáveis de folga são utilizadas para converter as restrições do tipo “≤” em “=” e as variáveis de

excesso utilizadas para converter as restrições do tipo “≥” em “=”. O Simplex no espaço n-dimensional

é uma casca convexa de quaisquer pontos que não se encontram em um hiperplano. Refere-se como

exemplo, no espaço tridimensional que é formado por quatro pontos que não estão no mesmo plano, três

pontos podem estar no mesmo plano, mas o quarto deve ficar do lado de fora. Uma casca convexa de

n+1 pontos é o menor conjunto convexo que contém todos os pontos. Dessa forma, o Simplex representa

um conjunto convexo.

A ideia básica do método Simplex é passar de uma solução básica admissível (x) para outra solução de

maneira que diminua continuamente a função objetivo até que o mínimo seja alcançado. Uma solução

básica contém um número de variáveis idêntico ao número de restrições do problema. O Simplex é

iniciado com uma solução básica admissível, isto é, em um vértice do conjunto admissível convexo. Em

seguida ele parte para um vértice adjacente, sem perder a admissibilidade da nova solução, e reduzindo

o valor da função objetivo, através da substituição da variável básica por uma variável não básica na

solução básica admissível atual [12].

As etapas básicas do algoritmo Simplex podem ser resumidas para problemas de programação linear da

seguinte maneira:

Formular o problema padrão: formular o problema de programação linear sob a forma

padrão através da utilização das variáveis de folga e das variáveis de excesso;

Identificar uma solução básica admissível inicial: se todas as restrições forem do tipo “≤”

as variáveis de folga serão básicas e as variáveis reais não serão básicas. Quando houver

restrições de igualdade o procedimento Simplex de duas fases deve ser usado. A introdução

de variáveis artificiais para cada igualdade fornece uma solução básica inicial admissível;


17

Verificar otimalidade: a função objetivo deve ser em termos apenas das variáveis não

básicas, condição que ocorre quando há apenas restrições do tipo “≤”. Para restrições de

igualdade a função objetivo artificial também pode ser facilmente transformada em termos

das variáveis não básicas. Se todos os coeficientes do objetivo reduzido para variáveis não

básicas forem não negativos (≥ 0), tem-se a solução ótima. Caso contrário, existe a

possibilidade de melhorar a função objetivo artificial. Para isso necessita-se selecionar uma

variável não básica que deve se tornar básica;

Construção do quadro Simplex: passar todos os coeficientes e constantes do problema para

um quadro Simplex. Quando o problema de otimização for de maximização, esses

coeficientes devem ser passados para o quadro com o mesmo sinal e quando forem de

minimização os coeficientes da função objetivo devem mudar de sinal quando entrarem no

quadro Simplex;

Selecionar uma variável não básica para tornar básica: verifica-se a linha do objetivo

artificial e identifica-se uma coluna com o coeficiente do objetivo reduzido negativo porque

a variável não básica associada a esta coluna deve se tornar básica para reduzir a função

objetivo artificial de seu valor atual (coluna dinâmica);

Selecionar uma variável básica para se tornar não básica: se todos os elementos da coluna

dinâmica forem negativos, o problema é ilimitado. Se houver elementos positivos na coluna

do pivô (coluna com o coeficiente mais positivo na linha da função objetivo), utiliza-se as

proporções dos parâmetros do lado direito com os elementos positivos da coluna do pivô e

identifica-se uma linha com a menor proporção positiva. Em caso de empate, qualquer linha

entre as relações de empate pode ser selecionada. A variável básica associada a esta linha

deve se tornar não básica, isto é, zero. A linha selecionada é chamada de linha dinâmica e

sua interseção com a coluna dinâmica identifica o elemento dinâmico;

Etapa pivô: aplica-se o procedimento de eliminação de Gauss-Jordan e a linha do pivô

(linha com o menor valor não-negativo do coeficiente reduzido) identificada na etapa

anterior. A eliminação também deve ser realizada na linha da função do objetivo artificial

para que seja apenas em termos de variáveis não básicas no próximo quadro. Nesta etapa

elimina-se a variável não básica de todas as linhas, exceto a linha dinâmica, tornando-se

uma variável básica;

Encontrar a solução ótima: o valor ótimo de cada variável básica corresponde ao valor da

última coluna na linha respectiva a essa variável.

3.1.1.2. Método GRG (Gradiente Reduzido Generalizado) Não linear

Por ser utilizado para resolução de problemas não lineares o método de Gradiente Reduzido

Generalizado (GRG) foi o método utilizado pela ferramenta Solver do software EXCEL para resolver

os problemas de otimização no presente trabalho.

O método GRG é baseado em uma técnica de eliminação de variável simples para problemas sujeitos

apenas a restrições igualdade. Esse método é uma extensão do método GR (Gradiente Reduzido) para

acomodar restrições de desigualdade não lineares. No GRG uma direção de busca é encontrada de modo

que para qualquer pequeno movimento, as restrições ativas atuais permanecem precisamente ativas. Se

algumas restrições ativas não forem satisfeitas com precisão devido à não linearidade das funções de

restrição, o método Newton-Raphson é usado para retornar ao limite da restrição. Um problema de

programação não linear com restrição igualdade existe quando ocorre a utilização das variáveis de folga

para a transformação das restrições de desigualdade em restrições igualdade. Cita-se também a estratégia

de restrição potencial para tratar todas as restrições no subproblema como igualdades. O subproblema

de localização de direção no método GRG pode ser definido distribuindo em dois grupos as variáveis


18

do problema, o grupo das variáveis independentes (y) e o grupo das variáveis dependentes (z). Mudanças

de primeira ordem nas funções objetivo e de restrição, tratadas como igualdades, são descritas nas

Equações (3.3) e (3.4) [13].

𝛻𝑓 =

𝜕𝑓𝑇

𝜕𝑦𝛥𝑦 +

𝜕𝑓𝑇

𝜕𝑧𝛥𝑧 (3.3)

𝛻ℎ𝑖 =

𝜕ℎ𝑖𝑇

𝜕𝑦𝛥𝑦 +

𝜕ℎ𝑖𝑇

𝜕𝑧𝛥𝑧 (3.4)

Quando o processo começa com uma estimativa de solução admissível, qualquer mudança na solução

das variáveis deve manter as igualdades satisfeitas pelo menos na primeira ordem, ou seja, 𝛻ℎ𝑖 = 0.

Logo, fazendo uso da Equação 3.4, este requisito é escrito em forma de matriz, onde as colunas das

matrizes A e B contêm gradientes de restrições de igualdade com respeito a y e z, respectivamente. A

Equação 3.5 pode ser escrita em função de Δz (mudança na variável dependente) quando Δy (mudança

na variável independente) é especificada.

A𝑇𝛥𝑦 + 𝐵𝑇𝛥𝑧 = 0 𝑜𝑢 𝛥𝑧 = −(𝐵−𝑇A𝑇)𝛥𝑦 (3.5)

Realizando a substituição de 𝛥𝑧 da Equação 3.5 na Equação 3.3, é possível calcular 𝛻𝑓 (3.6) e identificar

o gradiente reduzido 𝑑𝑓

𝑑𝑦 na Equação 3.7.

𝛻𝑓 = (

𝜕𝑓𝑇

𝜕𝑦−𝜕𝑓𝑇

𝜕𝑧𝐵−𝑇A𝑇)𝛥𝑦 (3.6)

𝑑𝑓

𝑑𝑦=𝜕𝑓

𝜕𝑦− A 𝐵−1

𝜕𝑓

𝜕𝑧 (3.7)

A função objetivo é tratada como a função de descida. Para um valor de teste α, as variáveis de projeto

são atualizadas usando a Equação 3.8 e Δz da Equação 3.5.

𝛥𝑦 = −𝛼

𝑑𝑓

𝑑𝑦 (3.8)


19

Se o projeto de teste não for admissível, as variáveis de projeto independentes são consideradas fixas e

as variáveis dependentes são alteradas iterativamente pela aplicação do método de Newton-Raphson até

obter um ponto com uma solução admissível. Se a solução satisfazer a condição de descida, é encerrada

a busca de linha, senão, o tamanho da etapa de teste anterior é descartado e o procedimento é repetido

com um tamanho de etapa reduzido. Nota-se que quando o gradiente reduzido é igual à zero na Equação

3.7, as condições de otimalidade de primeira ordem KKT (Karush, Kuhn e Tucker) são satisfeitas para

o problema original de programação não linear.

A notável dificuldade computacional relacionada ao algoritmo GRG vem das iterações de Newton-

Raphson durante a pesquisa de linha. De forma rigorosa, os gradientes das restrições precisam ser

recalculados e a matriz Jacobiana B precisa ser invertida em cada iteração durante a pesquisa de linha.

Para esse fim, muitos esquemas numéricos eficientes foram sugeridos. Refere-se o uso de uma fórmula

quase-Newton para atualizar B−1 sem computar novamente os gradientes, mas requerendo apenas os

valores da função de restrição. Isso poderá causar problemas se o conjunto de variáveis independentes

mudar durante as iterações. Outra dificuldade é selecionar uma estimativa inicial admissível.

Procedimentos diferentes devem ser usados para lidar com estimativas iniciais arbitrárias, como no

método de direções possíveis. Dependendo de como as restrições de desigualdade são tratadas o método

GRG apresentará muitas semelhanças com o método do gradiente projetado. Se uma estratégia de

restrição potencial é usada para tratar desigualdades o método GRG se assemelhará com o método do

gradiente projetado. Porém, se as desigualdades forem convertidas em igualdades adicionando variáveis

de folga, ele se comportará de maneira bem diferente do método do gradiente projetado [14].

3.1.1.3. Método Evolucionário

O método Evolucionário permite resolver problemas de otimização que possuem incertezas em sua

modelação. O algoritmo utiliza procedimentos metaheurísticos em que o conjunto de soluções é

analisado a cada iteração e adapta-se. É um método estocástico (envolve uso de parâmetros aleatórios

durante o processo de otimização) e iterativo que não garante a convergência para a solução ótima,

contudo, será capaz de encontrar uma boa solução para um problema bem formulado. O algoritmo

funciona com um conjunto de soluções, em que cada solução representará uma solução ideal para o

problema de otimização.

O processo é iniciado gerando de forma aleatória ou específica o primeiro conjunto de soluções,

avaliando cada solução pertencente a esse conjunto através do uso de uma função de aptidão. Esta função

é responsável por determinar a qualidade de uma solução como a solução ideal do problema e assim irá

orientando na pesquisa de novas soluções caso não encontre a ideal. Para gerar um novo conjunto de

soluções o processo necessita que primeiramente crie um conjunto provisório com algumas das soluções

do conjunto principal (que pode ou não ser o conjunto que iniciou o processo). As soluções que forem

mais aptas terão probabilidade maior de estarem presentes no conjunto provisório do que as soluções

menos aptas. Em seguida é aplicado a estas soluções o operador genético cruzamento seguido de

mutação para gerar um novo conjunto que substitui as soluções do conjunto principal ocasionando a

remoção das soluções menos aptas. O processo termina quando for atingido um número de iterações

predefinido pelo usuário, ou quando não for detectada uma melhoria significa das soluções nas últimas

iterações [15].

3.2. A FUNÇÃO FMINCON DO MATLAB

A Fmincon é um solucionador de programação não linear pertencente ao software MATLAB que tem

como objetivo encontrar o mínimo de uma função multivariável não linear sujeita às restrições igualdade


20

e desigualdade e limites inferiores e superiores, conforme especificado no programa matemático (3.9),

e capaz de solucionar problemas determinísticos.

𝑚𝑖𝑛𝑥 𝑓(𝑥) 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒

{

𝑐(𝑥) ≤ 0

𝑐𝑒𝑞(𝑥) = 0

𝐴 ⋅ 𝑥 ≤ 𝑏

𝐴𝑒𝑞 ⋅ 𝑥 = 𝑏𝑒𝑞𝑙𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑢𝑏

(3.9)

No programa matemático (3.9), c(x) e 𝑐𝑒𝑞(𝑥) são funções que retornam vetores, e f(x) é uma função que

retorna um escalar. A função objetivo f(x) e as restrições desigualdade c(x) e igualdade 𝑐𝑒𝑞(𝑥) podem

ser funções não lineares. A variável de projeto x e os limites inferiores lb e superiores ub podem ser

passados como vetores ou matrizes. b e 𝑏𝑒𝑞 são vetores que contêm os valores a serem satisfeitos da

desigualdade e igualdade, respectivamente, e 𝐴 e 𝐴𝑒𝑞 são matrizes que contêm os coeficientes das

restrições de desigualdade e igualdade, respectivamente. As restrições desigualdade devem ser do tipo

“≤” [16].

A função Fmincon pode ser chamada no script do MATLAB com as sintaxes [16] descritas no Quadro

3.1:

Quadro 3.1 – Sintaxe da função Fmincon.

Sintaxe Descrição

Inicia em x 0 e tenta encontrar um minimizador x da

x = fmincon(obj,x0,A,b) função descrita em obj sujeita às desigualdades

lineares A⋅x ≤ b. x 0 pode ser um escalar, vetor ou matriz.

Minimiza obj sujeita às igualdades lineares

Aeq⋅x = beq e A⋅x ≤ b.

Define um conjunto de limites inferior e superior nas

x = fmincon(obj,x 0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) variáveis de projeto em x , de modo que a solução

esteja sempre no intervalo lb ≤ x ≤ ub.

Sujeita a minimização às desigualdades c(x ) ou

igualdades ceq(x ) não lineares definidas em nonlcon.

Fmincon otimiza c(x ) ≤ 0 e ceq(x ) = 0.

Minimiza com as opções de otimização

especificadas em options .

Encontra o mínimo para problema, onde problema

é uma estrutura descrita em Input Arguments .

Para qualquer sintaxe, retorna o valor da função

objetivo obj na solução x .

Adicionalmente, retorna um valor exitflag que descreve

[x ,fval,exitflag,output] = fmincon(___) a condição de saída do fmincon e uma estrutura output

com informações sobre o processo de otimização.

Adicionalmente, retorna lambda (estrutura com

campos contendo os multiplicadores de

Lagrange na solução x ), grad (gradiente de obj na

solução x ) e hessian (hessian de obj na solução x ).

[x ,fval] = fmincon(___)

[x ,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(___)

x = fmincon(obj,x 0,A,b,Aeq,beq)

x = fmincon(obj,x 0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

x = fmincon(obj,x 0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

x = fmincon(problem)


21

3.2.1. MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO UTILIZADOS PELA FUNÇÃO FMINCON

A função Fmincon do MATLAB possui disponíveis cinco opções de algoritmos para resolução de

problemas de otimização [17].

O primeiro é o método Interior-Point que é o algoritmo padrão da Fmincon. Recomenda-se seu uso

antes de testar outros métodos. A razão para isso é que Interior-Point lida com problemas grandes e

esparsos, bem como problemas pequenos e densos. O algoritmo satisfaz os limites em todas as iterações

e pode se recuperar dos resultados NaN (Not a Number) ou Inf (Infinity). É um algoritmo de grande

escala e pode usar técnicas especiais para problemas desse tipo.

O método Trust-Region-Reflective requer que o usuário forneça um gradiente e permite apenas limites

ou restrições de igualdade linear, mas não ambos. Dentro dessas limitações, o algoritmo lida com

eficiência com grandes problemas esparsos e pequenos problemas densos. É um algoritmo de grande

escala. O algoritmo pode usar técnicas especiais para economizar o uso de memória, como uma função

de multiplicação hessiana.

O terceiro método é o SQP (Sequential Quadratic Programming) que satisfaz os limites em todas as

iterações. O algoritmo pode se recuperar dos resultados NaN ou Inf. Não é um algoritmo de grande

escala. SQP-Legacy é o quarto método e é semelhante ao SQP, mas geralmente é mais lento e utiliza

mais memória.

O quinto e último método é o Active-Set que pode dar grandes passos, o que aumenta a velocidade. O

algoritmo é eficaz em alguns problemas com restrições não suaves. Não é um algoritmo de grande

escala.

3.2.1.1. Método Interior-Point

Foi o método utilizado pela função Fmincon no presente trabalho. O algoritmo Interior-Point para

minimização com restrições resolve uma sequência de problemas de minimização aproximada. O

problema original está exposto na Equação 3.10. O problema aproximado descrito na Equação 3.11 é

uma sequência de problemas com restrições igualdade para cada μ > 0, sendo mais fácil de resolver do

que o problema original com restrições desigualdade.

𝑚𝑖𝑛 𝑓(𝑥), 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎 à ℎ(𝑥) = 0 𝑒 𝑔(𝑥) ≤ 0 (3.10)

𝑚𝑖𝑛 𝑓𝜇(𝑥, 𝑠) = 𝑚𝑖𝑛 𝑓(𝑥) − 𝜇∑𝑙𝑛(

𝑖

𝑠𝑖), 𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎 à ℎ(𝑥) = 0 𝑒 𝑔(𝑥) + 𝑠 = 0 (3.11)

Existem tantas variáveis de folga 𝑠𝑖 quantas restrições desigualdade g. As variáveis de folga são restritas

a serem positivos para manter ln(𝑠𝑖) limitado. À medida que μ diminui para zero, o mínimo de 𝑓𝜇 deve

se aproximar do mínimo de 𝑓. O termo logarítmico adicionado é chamado de barrier function.

Para resolver o problema aproximado, o algoritmo usa um dos dois principais tipos de etapas em cada

iteração. Uma é a etapa direta em (𝑥, 𝑠) e tenta resolver as equações KKT para o problema aproximado

por meio de uma aproximação linear. Esta etapa pode ser chamada de etapa de Newton. E a outra etapa

é a de gradiente conjugado (GC) que usa uma região de confiança.


22

Em geral, o algoritmo primeiro tenta dar um passo direto, mas se não for possível, ele tenta uma etapa

GC. A etapa direta não ocorre quando o problema aproximado não é localmente convexo próximo à

iteração atual.

A cada iteração que ocorre, o algoritmo diminui uma função mérito, tal como está apresentado na

Equação 3.12.

𝑓𝜇(𝑥, 𝑠) + 𝜈‖ℎ(𝑥), 𝑔(𝑥) + 𝑠‖ (3.12)

O parâmetro ν pode aumentar conforme o número de iterações para forçar a obtenção da solução viável.

Se uma etapa realizada não diminuir a função mérito, o algoritmo rejeita essa tentativa e realiza uma

nova etapa.

Se a função objetivo ou alguma restrição não linear retornar um valor complexo, NaN, Inf ou um erro

em uma iteração 𝑥𝑗 , o algoritmo rejeitará 𝑥𝑗 . Essa rejeição tem o mesmo efeito como se a função mérito

não diminuísse o suficiente, fazendo com que o algoritmo tente uma etapa diferente e mais curta. A

função objetivo e as restrições devem produzir valores adequados (duplos) no ponto inicial.

Na definição da etapa direta são utilizadas as variáveis descritas a seguir:

H denota a Hessiana do Lagrangiano de 𝑓𝜇;

𝐻 = 𝛻2𝑓(𝑥) +∑𝜆𝑖𝛻2𝑔𝑖(𝑥) +∑𝜆𝑗𝛻

2ℎ𝑗(𝑥)

𝑗𝑖

(3.13)

𝐽g denota o Jacobiano da função de restrição g;

𝐽h denota o Jacobiano da função de restrição h;

S = diag (s)

λ denota o vetor multiplicador de Langrange associado às restrições g;

Λ= diag (λ)

y denota o vetor multiplicador de Langrange associado às restrições h;

e denota o vetor de uns do mesmo tamanho que g.

A etapa direta (Δx, Δs) pode ser definida conforme a Equação 3.14:

[ 𝐻 00 𝑆𝛬

𝐽ℎ𝑇 𝐽𝑔

𝑇

0 −𝑆 𝐽ℎ 0𝐽𝑔 −𝑆

1 00 1 ]

. [

Δ𝑥 Δ𝑠−Δy−Δλ

] = −

[ ∇𝑓 − 𝐽h

Ty − 𝐽gTλ

Sλ − μ𝑒h

g + 𝑠 ]

(3.14)

Para resolver esta equação para (Δx, Δs), o algoritmo faz uma fatoração LDL da matriz. Esta é a etapa

mais cara do ponto de vista computacional. Resultante dessa fatoração é a determinação de se o Hessiano

projetado é definido positivamente ou não. Não sendo positivo o algoritmo usará o passo do gradiente

conjugado (GC).

A abordagem do GC para resolver o problema aproximado da Equação 3.11 é semelhante a outros

cálculos de gradiente conjugado. Neste caso, o algoritmo ajusta tanto x quanto s, mantendo as folgas s

positivas. A abordagem é para minimizar uma aproximação quadrática para o problema aproximado em

uma região de confiança, sujeito a restrições linearizadas.


23

O algoritmo obtém multiplicadores de Lagrange resolvendo aproximadamente as equações KKT (3.15),

no sentido dos mínimos quadrados, sujeito a λ ser positivo. Em seguida, dá um passo (Δx, Δs) para

resolver aproximadamente (3.16), sujeita às restrições linearizadas (3.17).

𝛻𝑥𝐿 = 𝛻𝑥𝑓(𝑥) +∑𝜆𝑖𝛻𝑔𝑖(𝑥) +∑𝜆𝑗𝛻ℎ𝑗(𝑥)

𝑗𝑖

= 0 (3.15)

𝑚𝑖𝑛 𝛻𝑓𝑇𝛥𝑥 +1

2𝛥𝑥𝑇𝛻𝑥𝑥

2 𝐿𝛥𝑥 + 𝜇𝑒𝑇𝑆−1𝛥𝑠 +1

2𝛥𝑠𝑇𝑆−1𝛬𝛥𝑠 (3.16)

𝑔(𝑥) + 𝐽𝑔𝛥𝑥 + 𝛥𝑠 = 0, ℎ(𝑥) + 𝐽ℎ𝛥𝑥 = 0 (3.17)

Para resolver a Equação 3.17, o algoritmo tenta minimizar uma norma das restrições linearizadas dentro

de uma região com raio escalado por R. Então a Equação 3.16 é resolvida com as restrições para

corresponder ao resíduo da solução da Equação 3.17, permanecendo dentro da região de confiança do

raio R e mantendo s estritamente positivo [18].

3.2.1.2. Método Trust-Region-Reflective

Para melhor esclarecimento sobre região de confiança para otimização, refere-se como exemplo um

problema de minimização sem restrições, a fim de minimizar 𝑓(𝑥), onde a função utiliza argumentos

vetoriais e retorna escalares. Supondo um ponto x no espaço n deseja-se mover para um ponto com um

valor de função inferior. A ideia básica é aproximar 𝑓 para uma função mais simples q, que reflete

razoavelmente o comportamento da função em uma vizinhança N em torno do ponto x. Esta vizinhança

é dita como a região de confiança. Uma etapa de teste s é calculada minimizando sobre N. Este é o

subproblema da região de confiança (3.18).

𝑚𝑖𝑛 {𝑞(𝑠), 𝑠 ∈ 𝑁} (3.18)

O ponto atual é atualizado para 𝑥 + 𝑠 se a função 𝑓(𝑥 + 𝑠) for menor que 𝑓(𝑥). Senão, o ponto atual

permanece inalterado e a região de confiança N é reduzida e o cálculo da etapa de teste é repetido.

A definição de uma abordagem de região de confiança específica para minimizar 𝑓(𝑥) possui

importantes questões como, escolher e calcular a aproximação q (definida no ponto atual x), escolher e

modificar a região de confiança N e a precisão para resolver o subproblema da região de confiança.

No método padrão da região de confiança, a aproximação quadrática q é definida pelos dois primeiros

termos da aproximação de Taylor para F em x e a vizinhança N é geralmente esférica ou elipsoidal em

forma. Matematicamente, o subproblema da região de confiança é definido tipicamente pela Equação

3.19, onde g é o gradiente de 𝑓 no ponto atual x, H é a matriz Hessiana, isto é, a matriz simétrica das

segundas derivadas, D é uma matriz de escala diagonal na norma Euclidiana (‖ ‖) e Δ é um escalar

positivo. Os algoritmos utilizados para resolver a Equação 3.19 não serão abordados neste trabalho [19].

𝑚𝑖𝑛 {1

2𝑠𝑇𝐻𝑠 + 𝑠𝑇𝑔 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑙 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 ‖𝐷𝑠‖ ≤ 𝛥} (3.19)


24

3.2.1.3. Método SQP e SQP-Legacy

O algoritmo SQP é quase idêntico ao SQP-Legacy e semelhante ao algoritmo Active-Set. A principal

diferença entre os SQPs está na sua implementação. O SQP possui um tempo de execução mais rápido

e utiliza menos memória do que o SQP-Legacy.

SQP executa cada etapa iterativa na região restringida por limites. Além disso, as etapas de diferenças

finitas também respeitam os limites. Pelo fato de os limites não serem rígidos, uma etapa pode estar

exatamente em um limite. A viabilidade pode ser benéfica quando a função objetivo ou as restrições não

lineares são indefinidas ou são complexas fora da região restringida por limites. Durante as iterações o

algoritmo pode tentar executar uma etapa que falhou. Isto significa que uma função objetivo ou uma

restrição não-linear fornecida retorna um valor de Inf, NaN ou um valor complexo. Nesse caso, o

algoritmo tenta dar um passo menor.

Quando as restrições não são satisfeitas o SQP pode optar por combinar as funções objetivo e as

restrições em uma função mérito. O algoritmo tenta minimizar essa função sujeita a restrições relaxadas,

podendo levar a uma solução viável. No entanto, essa abordagem tem mais variáveis do que o problema

original, aumentando o tamanho do problema gerando um atraso da solução do subproblema. O

algoritmo define o parâmetro de penalidade para a função mérito. O SQP também pode optar por tentar

obter a viabilidade usando uma aproximação de segunda ordem para as restrições. A utilização da

técnica de segunda ordem pode tornar a solução mais lenta, exigindo mais avaliações das funções de

restrição não lineares, o que não impossibilita a obtenção da solução viável [18].

3.2.1.4. Método Active-Set

Em problemas de otimização com restrições, é habitual transformar o problema em um subproblema

mais fácil que pode então ser resolvido e usado como base de um processo iterativo. A maioria dos

métodos iniciais tem como objetivo a tradução do problema com restrições para um problema simples

sem restrições através de uma função de penalidade para as restrições que estão próximas ou além do

limite de restrição. Desta forma, o problema com restrições é resolvido usando uma sequência de

otimizações irrestritas parametrizadas, que no limite da sequência convergem para o problema restrito.

Porém, esses métodos não são de grande eficiência, sendo necessária sua substituição por métodos que

foquem na solução das equações de KKT. As equações KKT são condições necessárias para a

otimização de um problema de otimização com restrições. Se for um problema de programação convexa,

isto é, a função objetivo e as restrições forem funções convexas, então as equações KKT são necessárias

e suficientes para um ponto de solução global.

As três equações de Karush-Kuhn-Tucker e as restrições originais de igualdade e desigualdade podem

ser exemplificadas em (3.20).

𝛻𝑓(𝑥∗) +∑𝜆𝑖 ⋅ 𝛻𝐺𝑖(𝑥∗) = 0

𝑚

𝑖=1 𝜆𝑖 ⋅ 𝐺𝑖(𝑥

∗) = 0, 𝑖 = 1,… ,𝑚𝑒 𝜆𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 𝑚𝑒 + 1,… ,𝑚

𝐺𝑖(𝑥) = 0

𝐺𝑖(𝑥) ≤ 0

(3.20)


25

A primeira equação descreve um cancelamento dos gradientes entre a função objetivo e as restrições

ativas no ponto de solução. Para que os gradientes sejam cancelados, são necessários multiplicadores de

Lagrange (λ𝑖) para equilibrar os desvios na magnitude da função objetivo e os gradientes de restrição.

Nesta operação de cancelamento são apenas incluídas as restrições ativas. As restrições que não são

ativas recebem multiplicadores de Lagrange iguais a 0. Isso é declarado implicitamente nas duas últimas

equações de Karush-Kuhn-Tucker.

A solução das equações KKT constitui a base para muitos algoritmos de programação não linear. Esses

algoritmos tentam calcular os multiplicadores de Lagrange diretamente. Os métodos quase-Newton

restritos garantem a convergência supra linear ao acumular informações de segunda ordem com relação

às equações KKT usando um procedimento de atualização quase-Newton [18]. Esses métodos não serão

abordados no presente trabalho.


26


27

4 APLICAÇÃO A PROBLEMAS

SIMPLES DE ENGENHARIA E

PROBLEMAS DE TESTE

Neste capítulo são abordados alguns exemplos simplificados de problemas de otimização aplicados na

engenharia e de problemas de teste com ou sem restrições, através da utilização dos dois softwares

apontados no capítulo 3, descrevendo o modo como é descrito o programa matemático.

4.1. BARRAGEM GRAVIDADE COM TRÊS VARIÁVEIS

Apresenta-se em seguida um exemplo simples destinado a demonstrar a aplicação da função Fmincon

do MATLAB e da ferramenta Solver do EXCEL. Pretende-se minimizar o volume de material estrutural

(betão simples) de uma barragem gravidade com as características representadas na Fig. 4.1 [20].

Fig. 4.1 – Barragem gravidade com três variáveis.

Dados:

Tensão admissível no ponto B (compressão): 𝜎𝐵 ≤ 10 000 kPa

Tensão admissível no ponto D (compressão): 𝜎𝐷 ≤ 10 000 kPa

Peso específico da água: 𝛾𝑤 = 10 kN/m3

Peso específico do betão: 𝛾𝑐 = 25 kN/m3

Fator de segurança global ao derrube: 𝐹𝑆 = 2.5

Convenção de sinais adotada: compressão (+) e tração (-)


28

As variáveis de projeto são as grandezas b, B e x. Para o seguinte problema será considerado apenas um

caso de carga, água ao nível máximo, e o estudo é realizado por tensões de segurança, supondo que os

elementos fornecidos correspondem a valores característicos. Não foram considerados restrições de

deslizamento. Nas secções AB e CD não são admissíveis trações.

Fig. 4.2 – Diagrama de tensões.

As tensões 𝜎1 e 𝜎2 causadas pela água são dadas por:

𝜎1 = 𝛾𝑤 ∙ 𝐻 [kPa]

𝜎1 = 50 kN/m2 = 50 kPa (4.1)

𝜎2 = 𝛾𝑤 ∙ 𝑥 [kPa]

𝜎2 = 10 ∙ 𝑥 (4.2)

Trecho AB:

O impulso da água é dado pela área do triângulo do diagrama das tensões:

Iw.2 =σ2 ∙ x

2 [kN/m]

Iw.2 =10 ∙ x2

2

(4.3)

Como o impulso está aplicado a uma distância d que está a 1

3 da altura total (x) do triângulo, o momento

no trecho AB é dado por:


29

𝑀𝐴𝐵 = 𝐼𝑊,2 ∙ 𝑑 [kNm/m]

𝑀𝐴𝐵 =10 ∙ 𝑥2

2∙1 ∙ 𝑥

3

(4.4)

O esforço axial causado pelo peso próprio desse trecho da barragem é:

𝑁𝐴𝐵 = 𝛾𝑐 ∙ 𝐴𝑠𝑒𝑐çã𝑜,𝐴𝐵 [kN/m]

𝑁𝐴𝐵 = 25 ∙ (𝑏 ∙ 𝑥) (4.5)

Dessa forma é possível calcular as tensões no ponto A e no ponto B, de tal forma que não seja admitido

tensões de trações (≥ 0) e a tensão de compressão esteja limitada a 10 000 kPa (≤ 10 000 kPa),

gerando duas restrições uma em cada ponto, conforme explicitado abaixo:

𝜎𝐴 = +𝑁𝐴𝐵𝑏

−6 ∙ 𝑀𝐴𝐵

𝑏2 [kPa]

𝜎𝐴 = +25 ∙ 𝑥 −10 ∙ 𝑥3

𝑏2≥ 0

(4.6)

𝜎𝐵 = +𝑁𝐴𝐵𝑏

+6 ∙ 𝑀𝐴𝐵

𝑏2 [kPa]

𝜎𝐵 = +25 ∙ 𝑥 +10 ∙ 𝑥3

𝑏2≤ 10 000

(4.7)

Derrube em torno de B:

𝑀𝐵,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 = 𝑁𝐴𝐵 ∙𝑏

2 [kNm/m]

𝑀𝐵,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 =25 ∙ 𝑏2 ∙ 𝑥

2

(4.8)

𝑀𝐵,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 = 𝑀𝐴𝐵 =5 ∙ 𝑥3

3 [kNm/m] (4.9)

Para que não ocorra o derrube em torno de B é necessário que exista mais uma restrição para garantir

que não gire em torno de B, majorando o 𝑀𝐵,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 através da aplicação do fator de segurança

global ao derrube, tal como é dado abaixo:

2.5 ∙ 𝑀𝐵,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 ≤ 𝑀𝐵,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 (4.10)


30

𝑥2 ≤ 3 ∙ 𝑏2

Trecho CD:


𝐼𝑊,1 =𝜎1 ∙ 5

2

𝐼𝑊,1 = 125 kN/m

(4.11)

Como o impulso está aplicado a uma distância d que está a 1

3 da altura total (5.0 m) do triângulo, o

momento no trecho CD é:

𝑀𝐶𝐷 = 𝐼𝑊,1 ∙ 𝑑 − 𝑁𝐴𝐵 ∙ 𝑒 [kNm/m] (4.12)

Onde a excentricidade 𝑒 é dada por:

𝑒 =𝐵

2−𝑏

2 [𝑚] (4.13)

Então 𝑀𝐶𝐷:

𝑀𝐶𝐷 =625

3− 12.5 ∙ 𝑏 ∙ 𝐵 ∙ 𝑥 + 12.5 ∙ 𝑏2 ∙ 𝑥 (4.14)

O esforço axial causado pelo peso próprio deste trecho da barragem é:

𝑁𝐶𝐷 = 𝛾𝑐 ∙ 𝐴𝑠𝑒𝑐çã𝑜,𝐶𝐷 [kN/m] (4.15)

E a área da secção CD:

Asecção,CD = B ∙ (5 − x) [m2] (4.16)

Então 𝑁𝐶𝐷:

𝑁𝐶𝐷 = 125 ∙ 𝐵 − 25 ∙ 𝐵 ∙ 𝑥 (4.17)

O esforço axial total causado pelo peso próprio da barragem é:


31

𝑁𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑁𝐴𝐵 + 𝑁𝐶𝐷 [kN/m]

𝑁𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 25 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 + 125 ∙ 𝐵 − 25 ∙ 𝐵 ∙ 𝑥 (4.18)

Sendo assim é possível calcular as tensões no ponto C e no ponto D, de tal forma que não seja admitido

trações (≥ 0) e a tensão de compressão esteja limitada à 10 000 kPa (≤ 10 000 kPa), gerando mais

duas restrições, uma em cada ponto, conforme explicitado abaixo:

𝜎𝐶 = +𝑁𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝐵

−6 ∙ 𝑀𝐶𝐷

𝐵²≥ 0 (4.19)

𝜎𝐷 = +𝑁𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝐵

+6 ∙ 𝑀𝐶𝐷

𝐵²≤ 10 000 kPa (4.20)

Nota: 𝑁𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 e 𝑀𝐶𝐷 não foram substituídas nas equações das tensões (4.19) e (4.20) afim de deixá-las

como restrições igualdade no programa matemático.

Derrube em torno de D:

𝑀𝐷,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 = 𝑁𝐴𝐵 ∙ (𝐵 −𝑏

2) + 𝑁𝐶𝐷 ∙

𝐵

2 [kNm/m]

𝑀𝐷,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 = 25 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 ∙ (𝐵 −𝑏

2) + (125 ∙ 𝐵 − 25 ∙ 𝐵 ∙ 𝑥) ∙

𝐵

2

(4.21)

𝑀𝐷,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 = 𝐼𝑊,1 ∙1 ∙ 5

3

𝑀𝐷,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 =625

3 kNm/m

(4.22)

Para que não ocorra o derrube em torno de D é necessário que exista mais uma restrição para garantir

que não gire em torno de D, majorando o 𝑀𝐷,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 através da aplicação do fator de segurança

global ao derrube, tal como é dado abaixo:

2.5 ∙ 𝑀𝐷,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 ≤ 𝑀𝐷,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟

1562.5

3≤ 25 ∙ 𝑏 ∙ 𝐵 ∙ 𝑥 − 12.5 ∙ 𝑏2 ∙ 𝑥 + 62.5 ∙ 𝐵2 − 12.5 ∙ 𝐵2 ∙ 𝑥

(4.23)

Dessa forma é possível identificar o problema de otimização correspondente ao indicado abaixo:

Função Objetivo:


32

A função (4.24) é dada pelo volume de betão da barragem, para 1.0 m de desenvolvimento.

𝑓 (𝑏, 𝐵, 𝑥) = (𝑏 ∙ 𝑥 ∙ 1.0 𝑚) + (𝐵 ∙ (5 − 𝑥) ∙ 1.0 m) [m3]

𝑓 (𝑏, 𝐵, 𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑥 + 5 ∙ 𝐵 − 𝐵 ∙ 𝑥 (4.24)

Restrições Igualdade:

Como as restrições igualdade correspondem expressões simples em que as variáveis de projeto estão

explicitadas nelas, seria possível e vantajoso efetuar a substituição delas nas equações das tensões (4.19)

e (4.20), fazendo com que as restrições igualdade sejam suprimidas do programa matemático. Porém,

opta-se por não realizar essas substituições para que ao final do processo de otimização tenha a solução

delas.

𝑅𝑖𝑔(1) ⇒ 𝑁𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 25 ∙ 𝑏 ∙ 𝑥 − 125 ∙ 𝐵 + 25 ∙ 𝐵 ∙ 𝑥 = 0

𝑅𝑖𝑔(2) ⇒ 𝑀𝐶𝐷 −625

3+ 12.5 ∙ 𝑏 ∙ 𝐵 ∙ 𝑥 − 12.5 ∙ 𝑏2 ∙ 𝑥 = 0

Restrições Desigualdade:

Conforme explicitado abaixo é possível analisar que existem três restrições que impõem um valor

mínimo positivo para 𝑥, 𝑏 e 𝐵 que destinam a impedir a convergência do processo iterativo para soluções

nulas. A quarta restrição é posta pois a variável 𝑥 não pode assumir um valor superior à 5.0 m por conta

da altura total fixada para a barragem. Os restantes das restrições são dados pela tensão (quatro

restrições) e pelo derrube (duas restrições).

Como a função Fmincon exige que as restrições desigualdade sejam do tipo " ≤ 0", as inequações que

se encontravam do tipo " ≥ 0" foram multiplicadas em ambos os lados por -1. Em contrapartida, a

ferramenta Solver aceita os dois tipos de restrições, porém, adota-se um único modelo para a resolução

do problema de otimização.

𝑅𝑑𝑒𝑠(1) ⇒ 𝑥 ≥ 0.001

−𝑥 + 0.001 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(2) ⇒ 𝑏 ≥ 0.1

−𝑏 + 0.1 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(3) ⇒ 𝐵 ≥ 0.1

−𝐵 + 0.1 ≤ 0


33

𝑅𝑑𝑒𝑠(4) ⇒ 𝑥 ≤ 5

𝑥 − 5 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(5) ⇒ +25 ∙ 𝑥 −10 ∙ 𝑥3

𝑏²≥ 0

−25 ∙ 𝑥 +10 ∙ 𝑥3

𝑏2≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(6) ⇒ +25 ∙ 𝑥 +10 ∙ 𝑥3

𝑏2≤ 10 000

+25 ∙ 𝑥 +10 ∙ 𝑥3

𝑏2− 10 000 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(7) ⇒ 𝑥2 ≤ 3 ∙ 𝑏2

𝑥2 − 3 ∙ 𝑏2 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(8) ⇒ +𝑁𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝐵

−6 ∙ 𝑀𝐶𝐷

𝐵²≥ 0

−𝑁𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝐵

+6 ∙ 𝑀𝐶𝐷

𝐵2≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(9) ⇒ +𝑁𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝐵

+6 ∙ 𝑀𝐶𝐷

𝐵²≤ 10 000

+𝑁𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝐵

+6 ∙ 𝑀𝐶𝐷

𝐵2− 10 000 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(10) ⇒1562.5

3≤ 25 ∙ 𝑏 ∙ 𝐵 ∙ 𝑥 − 12.5 ∙ 𝑏2 ∙ 𝑥 + 62.5 ∙ 𝐵2 − 12.5 ∙ 𝐵2 ∙ 𝑥

1562.5

3− 25 ∙ 𝑏 ∙ 𝐵 ∙ 𝑥 + 12.5 ∙ 𝑏2 ∙ 𝑥 − 62.5 ∙ 𝐵2 + 12.5 ∙ 𝐵2 ∙ 𝑥 ≤ 0

4.1.1. APLICAÇÃO DO PROBLEMA DE MINIMIZAÇÃO AO MATLAB

Primeiramente, cria-se um ficheiro chamado de “barragem3variaveis.m” que contém o Script 4.1 onde

estão definidas as restrições desigualdade “𝑟𝑑𝑒𝑠” e igualdade “𝑟𝑖𝑔” não lineares. As variáveis do

problema são 𝑥, 𝑏, 𝐵, 𝑁𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 e 𝑀𝐶𝐷, onde o esforço axial e o momento são variáveis dependentes das

outras três variáveis e são descritas no programa matemático como “x(1)”, “x(2)”, “x(3)”, “x(4)” e

“x(5)”, respectivamente. Também é possível identificar no script os comentários opcionais que são todos

os caracteres que se encontram após “%”.


34

Script 4.1 – Programa matemático da barragem de três variáveis correspondente às restrições não lineares.

% Restrições não lineares

function [rdes,rig] = barragem3variaveis(x)

% Desigualdade ("<=")

rdes(1) = -25.0*x(1)+10*x(1)^3*x(2)^-2; % Tensão em A

rdes(2) = 25.0*x(1)-10000.0+10.0*x(1)^3*x(2)^-2; % Tensão em B

rdes(3) = x(1)^2-3*x(2)^2; % Derrube em torno de B

rdes(4) = -x(4)*x(3)^-1+6.0*x(5)*x(3)^-2; % Tensão em C

rdes(5) = x(4)*x(3)^-1+6.0*x(5)*x(3)^-2-10000.0; % Tensão em D

rdes(6) = 1562.5*3.0^-1-25.0*x(2)*x(3)*x(1)+12.5*x(2)^2*x(1)-

62.5*x(3)^2+12.5*x(3)^2*x(1); % Derrube em torno de D

% Igualdade ("=")

rig(1) = -x(4)+25.0*x(2)*x(1)+125.0*x(3)-25.0*x(3)*x(1); % Ntotal

rig(2) = -x(5)+625.0*3.0^-1-12.5*x(2)*x(3)*x(1)+12.5*x(2)^2*x(1); % MCD

Após definir as restrições não lineares, cria-se outro ficheiro nomeado como “funprin.m” que contém o

programa principal conforme é detalhado no Script 4.2. Neste ficheiro consta, primeiramente, a função

objetivo que é descrita em função das variáveis de projeto. Em seguida, é necessário dar uma estimativa

inicial para os valores das variáveis e pede-se para imprimir o objetivo com o valor da estimativa inicial.

No Script 4.2 também consta as restrições lineares de desigualdade e igualdade, porém, como estas não

existem no problema são declaradas como “[]”. As restrições desigualdade 𝑟𝑑𝑒𝑠(1), 𝑟𝑑𝑒𝑠(2), 𝑟𝑑𝑒𝑠(3),

𝑟𝑑𝑒𝑠(4) figuram no programa matemático como limites inferiores “lb” e superiores “ub”. As restrições

não lineares que foram definidas em “barragem3variaveis” são renomeadas neste ficheiro e chamadas

de “nonlcon”. Seguidamente, chama-se a função Fmincon desejada, como visto no Quadro 3.1 da secção

3.2, e pede-se para imprimir o objetivo final e o valor de cada variável de projeto.

Script 4.2 – Programa matemático da barragem de três variáveis correspondente ao programa principal.

% Função objetivo

objetivo=@(x) x(2)*x(1)+5.0*x(3)-x(3)*x(1);

% Estimativa inicial

x0 = [2.5 1.8 3.2 300 150];

% Imprime o objetivo inicial

disp(['Objetivo inicial:' num2str(objetivo(x0))])

% Restrições lineares


A = []; % Matriz contendo os coeficientes da restrição de desigualdade

b = []; % Vetor contendo o valor a ser satisfeito da desigualdade

% Igualdade ("=")

Aeq = []; % Matriz contendo os coeficientes da restrição de igualdade

beq = []; % Vetor contendo o valor a ser satisfeito da igualdade

% Limite das variáveis

% x

lb(1) = 0.001;


35

ub(1) = 5.0;

% b

lb(2) = 0.1;

ub(2) = 10.0;

% B

lb(3) = 0.1;

ub(3) = 10.0;

% Ntotal

lb(4) = 0.0;

ub(4) = 400.0;

% Mcd

lb(5) = 0.0;

ub(5) = 200.0;


nonlcon = @barragem3variaveis;

% Otimização com fmincon

x = fmincon(objetivo,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon);

% Imprime o objetivo final

disp(['Objetivo final:' num2str(objetivo(x))])

% Imprime solução

disp('Solução')

disp(['x = ' num2str(x(1))])

disp(['b = ' num2str(x(2))])

disp(['B = ' num2str(x(3))])

disp(['Ntotal = ' num2str(x(4))])

disp(['Mcd = ' num2str(x(5))])

4.1.2. APLICAÇÃO DO PROBLEMA DE MINIMIZAÇÃO AO EXCEL

Em uma folha de cálculo descreve-se a função objetivo, as variáveis e as restrições desigualdade e

igualdade nas suas respectivas células, conforme a Fig. 4.3.


36

Fig. 4.3 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de otimização.

Em seguida, são definidos os parâmetros da ferramenta Solver exemplificado na Fig. 4.4. No campo

“Definir Objetivo” é posta a célula que contém a função objetivo do problema. No campo “Para” define

a opção “Mín.” para minimizar a função objetivo. Em “Alterando Células Variáveis” define as células

que contêm as variáveis de projeto e no campo “Sujeito às restrições” adiciona as células com as

respectivas restrições. Marcando a caixa “Tornar Variáveis Irrestritas Não Negativas”, o Solver apenas

buscará soluções positivas ou nulas para as variáveis a que não foram impostos limites. Posteriormente,

seleciona-se o método de solução desejado para a resolver o problema de otimização. Como o programa

possui equações não lineares utiliza-se o método GRG Não Linear, visto na secção 3.1.

Após a execução da ferramenta, o Solver altera as células onde constam as variáveis para a solução

ótima, recalculando a função objetivo.


37

Fig. 4.4 – Definição dos parâmetros do Solver.

4.1.3. SOLUÇÕES ENCONTRADAS PELOS SOFTWARES

Para validar os resultados obtidos pelos softwares utilizados, foi efetuada uma comparação com outro

software, chamado NEWTOP, desenvolvido em 1992 pelo Professor Doutor Álvaro Azevedo [5]. O

programa NEWTOP utiliza o método de Newton para a resolução de problemas de otimização. O

programa matemático (4.3) associado ao problema de minimização do volume de betão de uma

barragem gravidade foi publicado no ano 2000 [21].

Script 4.3 – Programa matemático relativo ao software NEWTOP para o problema da barragem.

o------------------------------ N E W T O P ------------------------------o

Optimization by the Newton method

Release 1.0 (demonstration version) Professional use not allowed

October 1992 Language: C

Author:

Alvaro Azevedo - FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO

Departamento de Engenharia Civil - Estruturas


38

o------------------------------ N E W T O P ------------------------------o

### Main title of the initial solution

Initial solution for the gravity dam

### Initial solution and dependent/independent design variable flag

# ideva xinit ldedv

1 300.0 d # NCD - auxiliary variable

2 150.0 d # MCD - auxiliary variable

3 1.8 i # b

4 3.2 i # B

5 2.5 i # x

END_OF_FILE

### Main title of the nonlinear program

Gravity dam - "Structural Optimization" exam - 2000/03/20 - kN,m

# Minimize the following objective function

Min.

b * x + 5 * B - B * x ;

# Subject to the following inequality constraints

s.t.i.c.

b_min:

- b + 0.1 < 0 ;

B_min:

- B + 0.1 < 0 ;

x_min:

- x + 0.001 < 0 ;

x_max:

x - 5.0 < 0 ;

Sigma_A:

- 25 * x + 10 * b ^ -2 * x ^ 3 < 0 ;

Sigma_B:

25 * x + 10 * b ^ -2 * x ^ 3 - 10000 < 0 ;

Overturning stability (B):

x ^ 2 - 3 * b ^ 2 < 0 ;

Sigma_C:

- NCD * B ^ -1 + 6 * MCD * B ^ -2 < 0 ;

Sigma_D:

NCD * B ^ -1 + 6 * MCD * B ^ -2 - 10000 < 0 ;

Overturning stability (D):

520.83333333333 - 25 * b * B * x + 12.5 * b ^ 2 * x

- 62.5 * B ^ 2 + 12.5 * B ^ 2 * x < 0 ;

# Subject to the following equality constraints

s.t.e.c.


39

NCD definition:

- NCD + 25 * b * x + 125 * B - 25 * B * x = 0 ;

MCD definition:

- MCD + 208.3333333333 - 12.5 * b * B * x + 12.5 * b ^ 2 * x = 0 ;

END_OF_FILE

Results after iteration n. 7 (final results)

*** Design variables (multiplied by the initial solution):

1 1 290.61622178280965000000 -> NCD

2 2 131.92189331952881000000 -> MCD

3 3 1.66666666513810170000 -> b

4 4 3.05847959906744830000 -> B

5 5 2.63523138391171410000 -> x

No Quadro 4.1 é apresentado a comparação entre os resultados obtidos com os softwares MATLAB e

EXCEL e os que encontram publicados no ano 2000 [21].

Quadro 4.1 – Comparação entre os resultados obtidos com os softwares MATLAB, EXCEL e NEWTOP.

A comparação dos resultados apresentados no Quadro 5.1 permite concluir que os três programas

fornecem valores praticamente coincidentes para as grandezas que caracterizam a solução,

diferenciando apenas em algumas casas decimais e não ocorrendo diferença significativa para o

problema.

4.2. POSTO DISTRIBUIDOR DE ENERGIA ELÉTRICA

Pretende-se minimizar o comprimento total de cabo a utilizar para ligar quatro edifícios a um posto

distribuidor de energia elétrica (P). A localização do posto figura no programa matemático como uma

das variáveis do problema de otimização. Cada ligação é retilínea e é efetuada entre um dos pontos

pertencentes ao contorno do edifício e o ponto onde se localiza o posto de distribuição. A localização

dos edifícios encontra-se definida na figura Fig. 4.5 [22].

MATLAB EXCEL NEWTOP

x (m) 2.635231728 2.635221139 2.635231384

b (m) 1.666667096 1.666660188 1.666666665

B (m) 3.058479663 3.058480791 3.058479599

Ntotal (kN/m) 290.616241986 290.616222302 290.616221783

Mcd (kNm/m) 131.921883750 131.922066813 131.921893320

f (m³) 11.624649679 11.624648880 11.624648871


40

Fig. 4.5 – Esquema ilustrativo de ligação dos cabos ao posto distribuidor P.

Dado que as coordenadas dos centros são:

A (1,4)

B (9,5)

C (3,-2)

D (7,0)

E as dimensões dos edifícios:

A: raio = 2

B: raio = 1

C: largura = 2 e altura = 2

D: largura = 2 e altura = 4

As coordenadas dos pontos de ligação do cabo são as variáveis de projeto descritas a seguir:

A (𝑥1,𝐴, 𝑥2,𝐴)

B (𝑥1,𝐵, 𝑥2,𝐵)

C (𝑥1,𝐶 , 𝑥2,𝐶)

D (𝑥1,𝐷 , 𝑥2,𝐷)

P (𝑥1,𝑃, 𝑥2,𝑃)

O comprimento total do cabo é dado pela soma dos segmentos de retas de cada ligação que figura no

programa matemático como a função objetivo (4.25) a qual se deseja minimizar.

𝐿 = √(𝑥1,𝑃 − 𝑥1,𝐴)2+ (𝑥2,𝐴 − 𝑥2,𝑃)

2+ √(𝑥1,𝐵 − 𝑥1,𝑃)

2+ (𝑥2,𝐵 − 𝑥2,𝑃)

2+

+√(𝑥1,𝑃 − 𝑥1,𝐶)2+ (𝑥2,𝑃 − 𝑥2,𝐶)

2+ √(𝑥1,𝐷 − 𝑥1,𝑃)

2+ (𝑥2,𝑃 − 𝑥2,𝐷)

2

(4.25)


41

As equações das circunferências (4.26) A e B figuram no programa como as restrições não lineares de

igualdade e os pontos que se situam sobre os perímetros dos edifícios são os limites das variáveis de

projeto (4.27).

𝑥1,𝐴2 + 𝑥2,𝐴

2 − 2 ∙ 𝑥1,𝐴 − 8 ∙ 𝑥2,𝐴 + 13 = 0

𝑥1,𝐵2 + 𝑥2,𝐵

2 − 18 ∙ 𝑥1,𝐵 − 10 ∙ 𝑥2,𝐵 + 105 = 0 (4.26)

−1 ≤ 𝑥1,𝐴 ≤ 3

2 ≤ 𝑥2,𝐴 ≤ 6

8 ≤ 𝑥1,𝐵 ≤ 10

4 ≤ 𝑥2,𝐵 ≤ 6

2 ≤ 𝑥1,𝐶 ≤ 4

−3 ≤ 𝑥2,𝐶 ≤ −1

6 ≤ 𝑥1,𝐷 ≤ 8

−2 ≤ 𝑥2,𝐷 ≤ 2

−1 ≤ 𝑥1,𝑃 ≤ 10

−3 ≤ 𝑥2,𝑃 ≤ 6

(4.27)

Com o problema de otimização formulado é possível escrevê-lo no Script 4.5 do MATLAB e resolvê-

lo. Seguindo o exemplo da secção 4.1, as restrições não lineares vão à parte em um ficheiro

“comprimentocabo” no Script 4.4. Como não há restrições não lineares de desigualdade é definido “[]”.

O programa principal encontra-se em outro ficheiro “comprimentocaboobjetivo” definido no Script 4.5.

Script 4.4 – Programa matemático do posto distribuidor correspondente às restrições não lineares


function [rdes,rig] = comprimentocabo(x)


rdes(1) = [];

% Igualdade ("=")

rig(1) = x(1)^2+x(2)^2-2*x(1)-8*x(2)+13;

rig(2) = x(3)^2+x(4)^2-18*x(3)-10*x(4)+105;

Script 4.5 – Programa matemático do posto distribuidor correspondente ao programa principal

% Função objetivo: Comprimento cabo objetivo=@(x) sqrt((x(9)-x(1))^2+(x(2)-x(10))^2)+sqrt((x(3)-x(9))^2+(x(4)-

x(10))^2)+sqrt((x(9)-x(5))^2+(x(10)-x(6))^2)+sqrt((x(7)-x(9))^2+(x(10)-

x(8))^2);

% Estimativa inicial x0 = [2.85 3.24 8.5 4.13 4.0 -1.0 6.0 2.0 5.7 2.0];


42

% Imprime o objetivo inicial disp(['Objetivo inicial:' num2str(objetivo(x0))])

% Restrições lineares % Desigualdade ("<=") A = []; % Matriz contendo os coeficientes da restrição de desigualdade b = []; % Vetor contendo o valor a ser satisfeito da desigualdade

% Igualdade ("=") Aeq = []; % Matriz contendo os coeficientes da restrição de igualdade beq = []; % Vetor contendo o valor a ser satisfeito da igualdade

% Limite das variáveis % x1,A' lb(1) = -1; ub(1) = 3; % x2,A' lb(2) = 2; ub(2) = 6; % x1,B' lb(3) = 8; ub(3) = 10; % x2,B' lb(4) = 4; ub(4) = 6; % x1,C' lb(5) = 2; ub(5) = 4; % x2,C' lb(6) = -3; ub(6) = -1; % x1,D' lb(7) = 6; ub(7) = 8; % x2,D' lb(8) = -2; ub(8) = 2; % x1,P lb(9) = -1; ub(9) = 10; % x2,P lb(10) = -3; ub(10) = 6;

% Restrições não lineares nonlcon = @comprimentocabo;

% Otimização com fmincon x = fmincon(objetivo,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon);

% Imprime o objetivo final disp(['Objetivo final:' num2str(objetivo(x))])

% Imprime solução disp('Solução') disp(['x1,A = ' num2str(x(1))]) disp(['x2,A = ' num2str(x(2))])


43

disp(['x1,B = ' num2str(x(3))]) disp(['x2,B = ' num2str(x(4))]) disp(['x1,C = ' num2str(x(5))]) disp(['x2,C = ' num2str(x(6))]) disp(['x1,D = ' num2str(x(7))]) disp(['x2,D = ' num2str(x(8))]) disp(['x1,P = ' num2str(x(9))]) disp(['x2,P = ' num2str(x(10))])

O problema de otimização é resolvido em uma folha de cálculo do EXCEL seguindo o mesmo padrão

da secção 4.1. Na Fig. 4.6 constam o comprimento de cada segmento de reta que liga ao posto

distribuidor e sua soma que corresponde à função objetivo. Figuram também as restrições igualdade e a

estimativa inicial utilizada no problema.

Fig. 4.6 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema do posto distribuidor.

Os parâmetros do Solver encontram-se na Fig. 4.7 (a) e na Fig. 4.7 (b), com as restrições igualdade

utilizando o sinal “=” e com os limites impostos para as variáveis através dos sinais de menor e igual

“<=” e maior e igual “>=”.


44

a)


45

b)

Fig. 4.7 – a) e b) Definição dos parâmetros do Solver para a minimização do comprimento do cabo.

Os resultados obtidos no MATLAB e no EXCEL estão expostos no Quadro 4.2. Nota-se que para ambos

softwares a solução ótima está no perímetro do edifício (Fig. 4.8), como já era esperado.

Quadro 4.2 – Comparação entre os resultados obtidos para a minimização do comprimento do cabo.

Variáveis x1 x2 x1 x2

A 2.8306 3.1944 2.8570 3.2572

B 8.3032 4.2827 8.2930 4.2928

C 3.9657 -1.0241 4.0000 -1.0000

D 6.0244 1.9263 6.0000 2.0000

P 6.0244 1.9263 6.0000 2.0000

f 10.3120 10.2334

MATLAB EXCEL


46

Fig. 4.8 – Representação do comprimento do cabo otimizado.

4.3. TANQUE CILÍNDRICO

Pretende-se construir um tanque cilíndrico com mínimo custo. O custo depende das variáveis de projeto

(diâmetro e comprimento), pois elas influenciam a massa do tanque e os comprimentos da soldadura. O

tanque precisa acomodar-se no fundo de um caminhão e carregar o volume solicitado de material de 0.8

m3. Esses dados vigoram no problema de otimização como restrições. A função de custo do tanque é

dada pela Equação 4.41, onde D é o diâmetro do tanque e L o comprimento (ambos em metros).

𝑓(𝐷, 𝐿) = 36 000 {𝐿 ∙ 𝜋 [(𝐷

2+ 0.03)

2

− (𝐷

2)2

] + 2 ∙ 𝜋 ∙ (𝐷

2+ 0.03)

2

∙ 0.03} +

+80 ∙ 𝜋 ∙ (𝐷 + 0.03)

(4.28)

Para que o tanque cilíndrico se encaixe no caminhão é necessário impor limites máximos para as

variáveis de projeto descritos em 4.29.

𝐷 ≤ 1.0 m

𝐿 ≤ 2.0 m (4.29)

Sabendo que o volume de um cilindro dado pela Equação 4.30 é igual a 0.8 m3, é possível explicitar a

variável L em função de D.

𝜋 ∙ 𝐷2 ∙ 𝐿

4= 0.8

𝐿 =3.2

𝜋 ∙ 𝐷2 [m]

(4.30)


47

A substituição da variável L na função objetivo torna o programa matemático mais simples, pois daí

resulta apenas uma variável de projeto. Sendo assim, é possível escrever o programa matemático exposto

no Script 4.6. Como não há restrições não lineares, não é necessário criar um ficheiro para a sua

definição, bastando utilizar a sintaxe da Fmincon sem os dados do tipo “nonlcon”.

Script 4.6 – Programa matemático correspondente à minimização do custo do tanque.

% Função objetivo: Mínimo custo objetivo=@(x)36000*((3.2/x(1)^2)*((x(1)/2+0.03)^2(x(1)/2)^2)+2*pi*(x(1)/2+

0.03)^2*0.03)+80*pi*(x(1)+0.03);

% Estimativa inicial x0 = [0.7];




% Limite das variáveis lb = 0; ub = 1.0;

% Otimização com fmincon x = fmincon(objetivo,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub);


% Imprime solução disp('Solução') disp(['D = ' num2str(x(1))])

No EXCEL, a folha de cálculo contém a célula com a função objetivo que se pretende minimizar e a

estimativa inicial dada para a variável de projeto D (diâmetro) exposto na Fig. 4.8.

Fig. 4.9 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de minimização do volume do tanque.

Na Fig. 4.9 encontram-se os parâmetros do Solver com apenas uma restrição que figura como o limite

imposto à variável de projeto D.


48

Fig. 4.10 – Definição dos parâmetros do Solver para a minimização do volume do tanque.

Substituindo o diâmetro D na Equação 4.43 do volume do cilindro, obtém-se o comprimento L

necessário para o tanque. No Quadro 4.3 encontram-se os resultados para as respectivas variáveis do

problema.

Quadro 4.3 – Comparação entre os resultados obtidos para a minimização do custo do tanque.

4.4. PROBLEMAS DE TESTE

4.4.1. FUNÇÃO COM RESTRIÇÕES LINEARES DE IGUALDADE E DESIGUALDADE

O exemplo a seguir consiste na minimização de uma função quadrática (4.31) com duas variáveis sujeita

às restrições lineares (4.32) de desigualdade e igualdade.

MATLAB EXCEL

D (m) 0.983417590 0.983417616

L(m) 1.053232280 1.053232225

f (D) 5723.151180289 5723.151180289


49

𝑓(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥12 + 𝑥2

2 (4.31)

𝑔1(𝑥1, 𝑥2) = −𝑥1 + 1 ≤ 0

ℎ1(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1 + 𝑥2 − 4 = 0 (4.32)

O Script 4.7 está representado abaixo para melhor exemplificar outras maneiras de chamar a função

Fmincon do MATLAB. No problema apenas constam restrições lineares que estão descritas no

programa matemático através das matrizes 𝐴 e 𝐴𝑒𝑞 e vetores 𝑏 e 𝑏𝑒𝑞. Como as variáveis de projeto não

possuem limites e restrições não lineares, a chamada de Fmincon se limita apenas à função objetivo,

estimativa inicial e às restrições lineares.

Script 4.7 – Programa matemático correspondente à minimização de uma função com restrições lineares.

% Função objetivo: Com restrições lineares objetivo=@(x) x(1)^2+x(2)^2;

% Estimativa inicial x0 = [4.0 0];


% Restrições lineares % Desigualdade ("<=") A = [-1 0]; % Matriz contendo os coeficientes da restrição de desigualdade b = -3; % Vetor contendo o valor a ser satisfeito da desigualdade

% Igualdade ("=") Aeq = [1 1]; % Matriz contendo os coeficientes da restrição de igualdade beq = 4; % Vetor contendo o valor a ser satisfeito da igualdade

% Otimização com fmincon x = fmincon(objetivo,x0,A,b,Aeq,beq);


% Imprime solução disp('Solução') disp(['x1 = ' num2str(x(1))]) disp(['x2 = ' num2str(x(2))])

A resolução do problema no EXCEL encontra-se apresentada na Fig. 4.10 e os parâmetros do Solver na

Fig. 4.11.


50

Fig. 4.11 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de minimização da função quadrática sujeita às

restrições lineares.

Fig. 4.12 – Definição dos parâmetros do Solver para a minimização da função quadrática sujeita às restrições

lineares.

As soluções obtidas do problema de otimização com restrições lineares estão descritas no Quadro 4.4.


51

Quadro 4.4 – Comparação entre os resultados obtidos para a função com restrições lineares

4.4.2. FUNÇÃO COM RESTRIÇÕES NÃO LINEARES E LINEARES DE DESIGUALDADE

No exemplo a seguir, pretende-se minimizar uma função quadrática (4.33) com duas variáveis sujeita

às restrições (4.34) polinomial e linear de desigualdade.

𝑓(𝑥1, 𝑥2) = 100(𝑥2 − 𝑥12)2 + (1 − 𝑥1)

2 (4.33)

𝑔1(𝑥1, 𝑥2) = 0.75𝑥14 − 6𝑥1

3 + 16𝑥12 − 17𝑥1 − 𝑥2 + 9 ≤ 0

𝑔2(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥1 + 3𝑥2 − 9 ≤ 0 (4.34)

No presente problema de otimização foi necessário novamente criar dois ficheiros separados para que

um contenha a restrição não linear descrito no Script 4.8 e o outro o programa principal onde encontra-

se a restrição linear, conforme explícito no Script 4.9. As soluções obtidas encontram-se no Quadro 4.5.

Script 4.8 – Programa matemático correspondente à restrição polinomial de uma função.


function [rdes,rig] = funcomrest(x)


rdes(1) = 0.75*x(1)^4-6*x(1)^3+16*x(1)^2-17*x(1)-x(2)+9;

% Igualdade ("=")

rig(1) = 0;

Script 4.9 – Programa matemático correspondente à minimização de uma função com restrições polinomial e

linear.

% Função objetivo: Com restrições polinomial e linear objetivo=@(x) 2*x(1)+x(2)^2;

% Estimativa inicial x0 = [3.0 0.75];


% Restrições lineares % Desigualdade ("<=") A = [1 3]; % Matriz contendo os coeficientes da restrição de desigualdade b = 9; % Vetor contendo o valor a ser satisfeito da desigualdade

MATLAB EXCEL

x1 2.000000014 2.000000008

x2 1.999999986 1.999999992

f (x) 8.000000000 8.000000000


52


% Limite das variáveis lb = []; ub = [];

% Restrições não lineares nonlcon = @funcomrest;




A folha de cálculo do EXCEL contendo os dados do programa matemático encontram-se na Fig.4.12 e

os parâmetros do Solver na Fig. 4.13.

Fig. 4.13 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de minimização da função quadrática sujeita às

restrições não lineares.


53

Fig. 4.14 – Definição dos parâmetros do Solver para a minimização da função quadrática sujeita às restrições

não lineares.

As soluções obtidas no MATLAB e no EXCEL encontram-se no Quadro 4.5.

Quadro 4.5 – Comparação entre os resultados obtidos para a função com restrições polinomial e linear.

4.4.3. FUNÇÃO DE ROSENBROCK

A função de Rosenbrock, também conhecida como Vale de Rosenbrock ou função banana de

Rosenbrock, é uma função usada como teste de desempenho de algoritmos de otimização. Tem um valor

mínimo exclusivo igual a zero alcançado no ponto (1,1). Seu mínimo global está dentro de um vale

plano, longo, estreito e parabólico. É simples encontrar seu vale, porém, convergir para o mínimo global

é difícil [23]. Pretende-se minimizar a função de Rosenbrock definida pela Equação 4.35.

𝑓(𝑥1, 𝑥2) = 100(𝑥2 − 𝑥12)2 + (1 − 𝑥1)

2 (4.35)

MATLAB EXCEL

x1 3.070048428 3.070041379

x2 0.623220924 0.623230604

f (x) 6.528501176 6.528499145


54

Nota-se que a função de Rosenbrock não está sujeita à restrições igualdade e desigualdade e apesar da

Fmincon ser uma ferramenta usada para minimizar funções com restrições, é possível utilizá-lo para

minimizar funções irrestritas, mediante o uso do caractere “[]” que define que a matriz e o vetor da

restrição desigualdade estão vazios. Porém, Fmincon não é a função mais indicada para esses tipos de

problemas, sendo necessário o uso de outra função, a Fminunc, que é responsável por minimizar funções

multivariáveis sem restrições. A resolução do problema utilizando a função Fmincon e Fminunc

encontra-se descrita nos Scripts 4.10 e 4.11, respectivamente.


FMINCON.

% Função objetivo: Função de Rosenbrock objetivo=@(x) 100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;





% Otimização com fmincon x = fmincon(objetivo,x0,A,b,Aeq,beq);




FMINUNC.

% Função objetivo: Função de Rosenbrock objetivo=@(x) 100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2;



% Otimização com fmincon x = fminunc(objetivo,x0);


55



O Solver do EXCEL também pode ser utilizado para minimizações irrestritas. Na Fig. 4.14 está presente

o programa matemático e na Fig. 5.15 os parâmetros do Solver.

Fig. 4.15 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de minimização da função de Rosenbrock.

Fig. 4.16 – Definição dos parâmetros do Solver para a minimização da função de Rosenbrock.


56

No Quadro 4.6 está explicitado a comparação entre os resultados obtidos com as funções Fmincon e

Fminunc do MATLAB e o Solver do EXCEL. É possível observar através das soluções encontradas que

a utilização da Fminunc valida a Fmincon e o Solver para problemas desse tipo. Nota-se também que

ambos os softwares entregam exatamente as mesmas soluções, comprovando o bom desempenho dos

algoritmos utilizados por cada programa.

Quadro 4.6 – Comparação entre os resultados obtidos para a função de Rosenbrock.

Fig. 4.17 – Representação das curvas de nível da função de Rosenbrock com o ponto mínimo.

O conjunto de testes presente neste capítulo tem a função de clarificar o modo como se resolvem

programas matemáticos simples com o MATLAB e o EXCEL

MATLAB MATLAB

FMINCON FMINUNC

x1 0.999995526 0.999995499 0.999999999

x2 0.999991044 0.999990989 0.999999998

f (x) 0.000000000 0.000000000 0.000000000

EXCEL


57

5 APLICAÇÃO A PROBLEMAS DE

ENGENHARIA CIVIL

5.1. COBERTURA PARA HIPERMERCADO

Pretende-se minimizar o custo por m2 de uma cobertura para hipermercado representada na Fig. 5.1. A

cobertura será realizada com chapa trapezoidal sujeita à sobrecarga da neve. A chapa metálica apoia-se

em madres M de aço afastadas 𝐿𝐶 . As madres contínuas encontram-se apoiadas em vigas V de aço

afastadas 𝐿𝑀. As vigas contínuas encontram-se apoiadas em pilares de betão armado P afastados 𝐿𝑉 . Os

pilares P são centrados nas sapatas rígidas S de betão armado.


58

Fig. 5.1 – Esquema ilustrativo da cobertura.

Abaixo encontram-se os dados que estão previamente fixados:

Sobrecarga na chapa: 𝑞𝐶 = 1.0 kN/m2

Sobrecarga da neve: 𝑞𝑛𝑒𝑣𝑒 = 0.2 kN/m2

Largura do pilar segundo 𝑥1: 𝐵1 = 0.20 m

Comprimento do pilar: 𝐿𝑃 = 5.0 m

Módulo de Young do aço: 𝐸𝑠 = 210 ∙ 106 kPa

Tensão admissível do aço (tração e compressão): 𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑠 = 175 000 kPa

Tensão admissível do betão (compressão): 𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑐 = 10 000 kPa

Tensão admissível do solo (compressão): 𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑠𝑜𝑙𝑜 = 200 kPa

Peso específico do aço: 𝛾𝑠 = 78.5 kN/m3


Custo específico do aço: 𝐶𝑠 = 27 475,00 €/m3

Custo específico do betão: 𝐶𝑐 = 250,00 €/m3

No presente problema de otimização as variáveis de projeto são:


59

Vão da viga e distância entre pilares segundo 𝑥2: 𝐿𝑉 [m]

Vão da madre e distância entre pilares segundo 𝑥1: 𝐿𝑀 [m]

Vão da chapa e distância entre madres: 𝐿𝐶 [m]

Altura da secção da viga: 𝐻𝑉 [m]

Altura da secção da madre: 𝐻𝑀 [m]

Espessura da chapa: 𝑡𝐶 [m]

Largura do pilar segundo 𝑥2: 𝐵2 [m]

Largura da sapata segundo 𝑥1: 𝐷1 [m]

Largura da sapata segundo 𝑥2: 𝐷2 [m]

Altura da sapata: 𝐻𝑆 [m]

Convenção de sinal:{Compressão (−)

Tração (+)

Para os cálculos é utilizado uma única combinação de ações (peso próprio + sobrecarga + neve) e são

considerados os pesos próprios da chapa, madre, viga e pilar. O estudo é feito por tensões admissíveis,

supondo que os elementos correspondem a valores característicos. Não são consideradas restrições

relativas à encurvadura lateral da madre e da viga e à encurvadura do pilar.

Chapa

Fig. 5.2 – Chapa trapezoidal.

Para a chapa é escolhido o perfil do tipo trapezoidal com quatro espessuras disponíveis no catálogo do

fabricante [24] e assim aplica-se o método dos mínimos quadrados para obter três equações: da área em

função da espessura (Fig. 5.3), do centro de gravidade em função da espessura (Fig. 5.4) e da distância

do centro de gravidade até a fibra superior da chapa em função da espessura (Fig. 5.5). O grau das

funções das linhas de tendência (pontilhado vermelho) é escolhido de modo que a mesma ficasse mais

aproximada do gráfico real (segmento azul).

Quadro 5.1 – Chapas utilizadas para a cobertura Ac (tc).

Perfis

Chapa 1 0.00050 0.000544

Chapa 2 0.00060 0.000653

Chapa 3 0.00070 0.000762

Chapa 4 0.00075 0.000816

C(m) AC(m²/m)


60

Fig. 5.3 – Linha de tendência Ac (tc) na chapa.

Quadro 5.2 – Chapas utilizadas para a cobertura Ycg (tc).

Fig. 5.4 – Linha de tendência Ycg (tc) na chapa.

Perfis

Chapa 1 0.00050 0.006588

Chapa 2 0.00060 0.0066344

Chapa 3 0.00070 0.0066809

Chapa 4 0.00075 0.0067041

C(m) cg (m)


61

Quadro 5.3 – Chapas utilizadas para a cobertura Ycg,sup (tc).

Fig. 5.5 – Linha de tendência Ycg,sup (tc) na chapa.

Mínimos quadrados: {

𝐴𝐶 = 1.0885 ∙ 𝑡𝐶 − 2 ∙ 10−7

𝑌𝑐𝑔 = 0.4645 ∙ 𝑡𝐶 + 0.0064

𝑌𝑐𝑔,𝑠𝑢𝑝 = 0.5355 ∙ 𝑡𝐶 + 0.0231

A chapa está sujeita ao seu peso próprio (5.1), a sobrecarga de cobertura e a sobrecarga da neve descrito

na Equação 5.2.

𝑝𝑝𝐶 = 𝛾𝑠 ∙ 𝑡𝐶 [kN/m²]

𝑝𝑝𝐶 = 78.5 ∙ 𝑡𝐶 (5.1)

𝑞𝐶′ = 𝑝𝑝𝐶 + 𝑞𝐶 + 𝑞𝑛𝑒𝑣𝑒 [kN/m²]

𝑞𝐶′ = 78.5 ∙ 𝑡𝐶 + 1.2 (5.2)

Como a chapa está apoiada nas madres de forma contínua é calculado apenas o momento nas zonas dos

apoios (5.3) por serem os mais condicionantes. Desta forma, a tensão inferior (5.4) e a tensão superior

(5.5) são calculadas para o 𝑀𝐶−, que resulta na maior tensão atuante. Assim, se as restrições forem

cumpridas para a maior tensão, será cumprida para a menor tensão.

Perfis

Chapa 1 0.00050 0.023412

Chapa 2 0.00060 0.0234656

Chapa 3 0.00070 0.0235191

Chapa 4 0.00075 0.0235459

C(m) cg,s (m)


62

𝑀𝐶− =

𝑞𝐶′ ∙ 𝐿𝐶2

12 [kNm/m]

𝑀𝐶− = (6.5417 ∙ 𝑡𝐶 + 0.1) ∙ 𝐿𝐶

2

(5.3)

𝜎𝐶,𝑖𝑛𝑓 = −𝑀𝐶−

𝐼𝐶∙ 𝑌𝑐𝑔 ≥ −𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑠 [kPa]

𝜎𝐶,𝑖𝑛𝑓 = −(6.5417 ∙ 𝑡𝐶 + 0.1) ∙ 𝐿𝐶

2

0.0001 ∙ 𝑡𝐶 + 1 ∙ 10−10∙ (0.4645 ∙ 𝑡𝐶 + 0.0064)

(5.4)

𝜎𝐶,𝑠𝑢𝑝 =𝑀𝐶−

𝐼𝐶∙ 𝑌𝑐𝑔,𝑠𝑢𝑝 ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑠 [kPa]

𝜎𝐶,𝑠𝑢𝑝 =(6.5417 ∙ 𝑡𝐶 + 0.1) ∙ 𝐿𝐶

2

0.0001 ∙ 𝑡𝐶 + 1 ∙ 10−10∙ (0.5355 ∙ 𝑡𝐶 + 0.0231)

(5.5)

De acordo com o catálogo do fabricante [24] se a carga descendente na chapa (𝑞𝐶′) for menor que a

carga resistente (𝑞𝑟𝑑) dada pela tabela da Fig. 5.6, a estabilidade da chapa será verificada e ainda

garantirá que a chapa terá uma deformação máxima igual à dada pela Equação 5.6.

𝛿𝑚𝑎𝑥,𝐶 =𝐿𝐶200

[m] (5.6)

Fig. 5.6 – Tabela com os valores das cargas resistentes em kN/m² [24].


63

Madre

Fig. 5.7 – Perfil Superomega utilizado nas madres M.

Para as madres são escolhidas cinco opções da gama de perfis Superomega [25]. Aplica-se então o

método dos mínimos quadrados para obter três equações: da área (Fig. 5.8), da inércia (Fig. 5.9) e do

centro de gravidade (Fig. 5.10), todas em função da altura da madre.

Quadro 5.4 – Gama de perfis utilizada na madre AM (HM).

Fig. 5.8 – Linha de tendência AM (HM) na madre.

Perfis

Superomega 80 x 1.2 0.08 0.000353

Superomega 120 x 1.5 0.12 0.000568

Superomega 160 x 2.0 0.16 0.000919

Superomega 200 x 2.0 0.20 0.001087

Superomega 250 x 2.5 0.25 0.001611

(m) A (m²)


64

Quadro 5.5 – Gama de perfis utilizada na madre IM (HM)

Fig. 5.9 – Linha de tendência IM (HM) na madre.

Quadro 5.6 – Gama de perfis utilizada na madre Zcg (HM).

Perfis

Superomega 80 x 1.2 0.08 3.386E-07

Superomega 120 x 1.5 0.12 1.1212E-06

Superomega 160 x 2.0 0.16 3.0477E-06

Superomega 200 x 2.0 0.20 5.3333E-06

Superomega 250 x 2.5 0.25 1.18311E-05

(m) I (m4)

Perfis

Superomega 80 x 1.2 0.08 0.0363

Superomega 120 x 1.5 0.12 0.0558

Superomega 160 x 2.0 0.16 0.0754

Superomega 200 x 2.0 0.20 0.0954

Superomega 250 x 2.5 0.25 0.1203

(m) cg(m)


65

Fig. 5.10 – Linha de tendência Zcg (HM) na madre.

Mínimos quadrados: {

𝐴𝑀 = 0.0121 ∙ 𝐻𝑀2 + 0.0033 ∙ 𝐻𝑀 + 2 ∙ 10−5

𝐼𝑀 = 0.002 ∙ 𝐻𝑀3 − 0.0006 ∙ 𝐻𝑀

2 + 8 ∙ 10−5 ∙ 𝐻𝑀 − 3 ∙ 10−6

𝑍𝑐𝑔 = 0.0501 ∙ 𝐻𝑀2 + 0.4778 ∙ 𝐻𝑀 − 0.0023

A madre está sujeita ao seu peso próprio (5.7) e à carga proveniente da chapa, conforme descrito em

(5.8).

𝑝𝑝𝑀 = 𝛾𝑠 ∙ 𝐴𝑀 [kN/m]

𝑝𝑝𝑀 = 0.950 ∙ 𝐻𝑀2 + 0.259 ∙ 𝐻𝑀 + 0.00157

(5.7)

𝑞𝑀 = 𝑝𝑝𝑀 + 𝑞𝐶′ ∙ 𝐿𝐶 [kN/m]

𝑞𝑀 = (0.950 ∙ 𝐻𝑀2 + 0.259 ∙ 𝐻𝑀 + 0.00157) + (78.5 ∙ 𝑡𝐶 + 1.2) ∙ 𝐿𝐶

(5.8)

A reação da madre 𝑅𝑀 é dada por:

𝑅𝑀 = 𝑞𝑀 ∙ 𝐿𝑀 [kN]

𝑅𝑀 = [(0.950 ∙ 𝐻𝑀2 + 0.259 ∙ 𝐻𝑀 + 0.00157) + (78.5 ∙ 𝑡𝐶 + 1.2) ∙ 𝐿𝐶] ∙ 𝐿𝑀

(5.9)

Assim como na chapa, apenas são calculadas as tensões para o momento no apoio (𝑀𝑀−), que resulta na

maior tensão atuante. Assim, se as restrições forem verificadas para a maior tensão, serão verificadas

para a menor tensão (momento a meio vão).


66

𝑀𝑀− =

𝑞𝑀 ∙ 𝐿𝑀2

12 [kNm]

𝑀𝑀− = [(0.0792 ∙ 𝐻𝑀

2 + 0.0216 ∙ 𝐻𝑀 + 0.000131) + (6.542 ∙ 𝑡𝐶 + 0.1) ∙ 𝐿𝐶] ∙ 𝐿𝑀2

(5.10)

Na zona no apoio a tensão inferior (5.11) e a tensão superior são (5.12):

𝜎𝑀,𝑖𝑛𝑓 = −𝑀𝑀−

𝐼𝑀∙ 𝑍𝑐𝑔 ≥ −𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑠 [kPa]

𝜎𝑀,𝑖𝑛𝑓 = −[(0.0792 ∙ 𝐻𝑀

2 + 0.0216 ∙ 𝐻𝑀 + 0.000131) + (6.542 ∙ 𝑡𝐶 + 0.1) ∙ 𝐿𝐶] ∙ 𝐿𝑀2

0.002 ∙ 𝐻𝑀3 − 0.0006 ∙ 𝐻𝑀

2 + 8 ∙ 10−5 ∙ 𝐻𝑀 − 3 ∙ 10−6∙

∙ (0.0501 ∙ 𝐻𝑀2 + 0.4778 ∙ 𝐻𝑀 − 0.0023)

(5.11)

𝜎𝑀,𝑠𝑢𝑝 =𝑀𝑀−

𝐼𝑀∙ (𝐻𝑀 − 𝑍𝑐𝑔) ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑠 [kPa]

𝜎𝑀,𝑠𝑢𝑝 =[(0.0792 ∙ 𝐻𝑀

2 + 0.0216 ∙ 𝐻𝑀 + 0.000131) + (6.542 ∙ 𝑡𝐶 + 0.1) ∙ 𝐿𝐶] ∙ 𝐿𝑀2

0.002 ∙ 𝐻𝑀3 − 0.0006 ∙ 𝐻𝑀

2 + 8 ∙ 10−5 ∙ 𝐻𝑀 − 3 ∙ 10−6∙

∙ [𝐻𝑀 − (0.0501 ∙ 𝐻𝑀2 + 0.4778 ∙ 𝐻𝑀 − 0.0023)]

(5.12)

A flecha máxima da madre é limitada a:

𝛿𝑚𝑎𝑥,𝑀 =𝐿𝑀180

[m] (5.13)

E a flecha elástica da madre é definida em (5.14).

𝛿𝑀 =𝑞𝑀 ∙ 𝐿𝑀

4

384 ∙ 𝐸𝑠 ∙ 𝐼𝑀≤ 𝛿𝑚𝑎𝑥,𝑀 [m]

𝛿𝑀 =[(0.950 ∙ 𝐻𝑀

2 + 0.259 ∙ 𝐻𝑀 + 0.00157) + (78.5 ∙ 𝑡𝐶 + 1.2) ∙ 𝐿𝐶] ∙ 𝐿𝑀4

(1.613 ∙ 108 ∙ 𝐻𝑀3 − 4.838 ∙ 107 ∙ 𝐻𝑀

2 + 6 451 200 ∙ 𝐻𝑀 − 241 920)

(5.14)


67

Viga

Fig. 5.11 – Perfil IPE utilizado nas vigas V.

Para as vigas são escolhidas treze opções da gama de perfis IPE [26]. Aplica-se novamente o método

dos mínimos quadrados para obter duas equações: da área e da inércia em função da altura da viga.

Quadro 5.7 – Gama de perfis utilizada na viga AV (HV).

Perfis

IPE 180 0.18 0.002395

IPE 200 0.20 0.002848

IPE 220 0.22 0.003337

IPE 240 0.24 0.003912

IPE 270 0.27 0.004594

IPE 300 0.30 0.005381

IPE 330 0.33 0.006261

IPE 360 0.36 0.007273

IPE 400 0.40 0.008446

IPE 450 0.45 0.009882

IPE 500 0.50 0.011550

IPE 550 0.55 0.013440

IPE 600 0.60 0.015600

(m) A (m2 )


68

Fig. 5.12 – Linha de tendência HV (AV) na viga.

Quadro 5.8 – Gama de perfis utilizada na viga IV (HV).

Perfis

IPE 180 0.18 1.32E-05

IPE 200 0.20 1.94E-05

IPE 220 0.22 2.77E-05

IPE 240 0.24 3.89E-05

IPE 270 0.27 5.79E-05

IPE 300 0.30 8.36E-05

IPE 330 0.33 1.18E-04

IPE 360 0.36 1.63E-04

IPE 400 0.40 2.31E-04

IPE 450 0.45 3.37E-04

IPE 500 0.50 4.82E-04

IPE 550 0.55 6.71E-04

IPE 600 0.60 9.21E-04

(m) I (m4)


69

Fig. 5.13 – Linha de tendência HV (IV) na viga.

Mínimos quadrados: {𝐴𝑉 = 0.0205 ∙ 𝐻𝑉

2 + 0.0151 ∙ 𝐻𝑉 − 0.001

𝐼𝑉 = 0.0083 ∙ 𝐻𝑉3 − 0.0039 ∙ 𝐻𝑉

2 + 0.001 ∙ 𝐻𝑉 − 1 ∙ 10−4

A viga está sujeita ao seu peso próprio dado pela Equação 5.15 e à reação da madre distribuída em 𝐿𝐶

(5.16).

𝑝𝑝𝑉 = 𝛾𝑠 ∙ 𝐴𝑉 [kN/m]

𝑝𝑝𝑉 = 1.609 ∙ 𝐻𝑉2 + 1.185 ∙ 𝐻𝑉 − 0.0785

(5.15)

𝑞𝑉 = 𝑝𝑝𝑉 +𝑅𝑀𝐿𝐶

[kN/m]

𝑞𝑉 = {(1.609 ∙ 𝐻𝑉2 + 1.185 ∙ 𝐻𝑉 − 0.0785) +

+[(0.950 ∙ 𝐻𝑀2 + 0.259 ∙ 𝐻𝑀 + 0.00157) + (78.5 ∙ 𝑡𝐶 + 1.2) ∙ 𝐿𝐶] ∙ 𝐿𝑀} ∙ 𝐿𝐶

−1

(5.16)

A reação da viga é dada por:

𝑅𝑉 = 𝑞𝑉 ∙ 𝐿𝑉 [kN]

𝑅𝑉 = ⟨{(1.609 ∙ 𝐻𝑉2 + 1.185 ∙ 𝐻𝑉 − 0.0785) +

+[(0.950 ∙ 𝐻𝑀2 + 0.259 ∙ 𝐻𝑀 + 0.00157) + (78.5 ∙ 𝑡𝐶 + 1.2) ∙ 𝐿𝐶] ∙ 𝐿𝑀} ∙ 𝐿𝐶

−1⟩ ∙ 𝐿𝑉

(5.17)

Apenas são calculadas as tensões para o momento no apoio (𝑀𝑉−), que resulta na maior tensão atuante.

Assim, se as restrições forem verificadas para a maior tensão, serão verificadas para a menor tensão


70

(momento a meio vão). A tensão na fibra inferior (5.20) no formato do MATLAB " ≤ 0" fica igual à

tensão da fibra superior (5.19), podendo ser suprimida no script.

𝑀𝑉− =

𝑞𝑉 ∙ 𝐿𝑉2

12 [kNm]

𝑀𝑉− = ⟨{(0.134 ∙ 𝐻𝑉

2 + 0.0988 ∙ 𝐻𝑉 − 0.00654) +

+[(0.0792 ∙ 𝐻𝑀2 + 0.0216 ∙ 𝐻𝑀 + 0.000131) + (6.542 ∙ 𝑡𝐶 + 0.1) ∙ 𝐿𝐶] ∙ 𝐿𝑀} ∙ 𝐿𝐶

−1⟩ ∙ 𝐿𝑉2

(5.18)

𝜎𝑉,𝑠𝑢𝑝 =𝑀𝑉−

𝐼𝑉∙𝐻𝑉2≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑠 [kPa]

𝜎𝑉,𝑠𝑢𝑝 =⟨{(0.134 ∙ 𝐻𝑉

2 + 0.0988 ∙ 𝐻𝑉 − 0.00654) +

0.0083 ∙ 𝐻𝑉3 − 0.0039 ∙ 𝐻𝑉

2 + 0.001 ∙ 𝐻𝑉 − 1 ∙ 10−4

+[(0,0792 ∙ 𝐻𝑀2 + 0,0216 ∙ 𝐻𝑀 + 0,000131) + (6,542 ∙ 𝑡𝐶 + 0,1) ∙ 𝐿𝐶] ∙ 𝐿𝑀} ∙ 𝐿𝐶

−1⟩ ∙ 𝐿𝑉2

0.0083 ∙ 𝐻𝑉3 − 0.0039 ∙ 𝐻𝑉

2 + 0.001 ∙ 𝐻𝑉 − 1 ∙ 10−4∙𝐻𝑉2

(5.19)

𝜎𝑉,𝑖𝑛𝑓 = −𝑀𝑉−

𝐼𝑉∗𝐻𝑉2≥ −𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑠 [kPa]

𝜎𝑉,𝑖𝑛𝑓 = −⟨{(0.134 ∙ 𝐻𝑉

2 + 0.0988 ∙ 𝐻𝑉 − 0.00654) +

0.0083 ∙ 𝐻𝑉3 − 0.0039 ∙ 𝐻𝑉

2 + 0.001 ∙ 𝐻𝑉 − 1 ∙ 10−4

+[(0,0792 ∙ 𝐻𝑀2 + 0,0216 ∙ 𝐻𝑀 + 0,000131) + (6,542 ∙ 𝑡𝐶 + 0,1) ∙ 𝐿𝐶] ∙ 𝐿𝑀} ∙ 𝐿𝐶

−1⟩ ∙ 𝐿𝑉2

0.0083 ∙ 𝐻𝑉3 − 0.0039 ∙ 𝐻𝑉

2 + 0.001 ∙ 𝐻𝑉 − 1 ∙ 10−4∙𝐻𝑉2

(5.20)

A flecha máxima da viga é limitada a:

𝛿𝑚𝑎𝑥,𝑉 =𝐿𝑉250

[m] (5.21)

E a flecha elástica da viga é definida em (5.22).

𝛿𝑉 =𝑞𝑉 ∙ 𝐿𝑉

4

384 ∙ 𝐸𝑠 ∙ 𝐼𝑉≤ 𝛿𝑚𝑎𝑥,𝑉 [m]

𝛿𝑉 =⟨(1.609 ∙ 𝐻𝑉

2 + 1.185 ∙ 𝐻𝑉 − 0.0785) +

6.693 ∙ 108 ∙ 𝐻𝑉3 − 3.145 ∙ 108 ∙ 𝐻𝑉

2 + 8.064 ∙ 107 ∙ 𝐻𝑉 − 8 064 000

+[(0.950 ∙ 𝐻𝑀2 + 0.259 ∙ 𝐻𝑀 + 0.00157) + (78.5 ∙ 𝑡𝐶 + 1.2) ∙ 𝐿𝐶] ∙ 𝐿𝑀} ∙ 𝐿𝐶

−1⟩ ∙ 𝐿𝑉4

6.693 ∙ 108 ∙ 𝐻𝑉3 − 3.145 ∙ 108 ∙ 𝐻𝑉

2 + 8.064 ∙ 107 ∙ 𝐻𝑉 − 8 064 000

(5.22)


71

Pilar

O esforço axial atuante no pilar (5.25) é oriundo da reação da viga R e do seu peso próprio (5.24), onde

AP é definido em (5.23).

𝐴𝑃 = 𝐵1 ∙ 𝐵2 [m2]

𝐴𝑃 = 0,2 ∙ 𝐵2 (5.23)

𝑝𝑝𝑃 = 𝛾𝑐 ∙ 𝐴𝑃 ∙ 𝐿𝑃 [kN]

𝑝𝑝𝑃 = 25 ∙ 𝐵2 (5.24)

𝑁𝑃 = 𝑅𝑉 + 𝑝𝑝𝑃 [kN]

𝑁𝑃 = ⟨{(1.609 ∙ 𝐻𝑉2 + 1.185 ∙ 𝐻𝑉 − 0.0785) +

+[(0.950 ∙ 𝐻𝑀2 + 0.259 ∙ 𝐻𝑀 + 0.00157) + (78.5 ∙ 𝑡𝐶 + 1.2) ∙ 𝐿𝐶] ∙ 𝐿𝑀} ∙ 𝐿𝐶

−1⟩ ∙ 𝐿𝑣 + 25 ∙ 𝐵2

(5.25)

A partir do esforço axial do pilar é possível calcular sua tensão atuante em (5.26).

𝜎𝑃 = −𝑁𝑃𝐴𝑃

≥ −𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑐 [kPa]

𝜎𝑃 = −⟨{(1.609 ∙ 𝐻𝑉

2 + 1.185 ∙ 𝐻𝑉 − 0.0785) +

0.2 ∙ 𝐵2

+[(0.950 ∙ 𝐻𝑀2 + 0.259 ∙ 𝐻𝑀 + 0.00157) + (78.5 ∙ 𝑡𝐶 + 1.2) ∙ 𝐿𝐶] ∙ 𝐿𝑀} ∙ 𝐿𝐶

−1⟩ ∙ 𝐿𝑣 + 25 ∙ 𝐵20.2 ∙ 𝐵2

(5.26)

Sapata

Para sapatas rígidas normais deve ser satisfeita a seguinte condição para a altura [27]:

𝐻𝑆 ≥𝑎02, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎0 =

𝐷𝑥1,𝑥2 − 𝐵𝑥1,𝑥22

[m2]

𝐻𝑆 ≥𝐷1 − 0.2

4 𝑒 𝐻𝑆 ≥

𝐷2 −𝐵24

(5.27)

A tensão da sapata é dada pela Equação 5.28, onde os momentos segundo 𝑥1 e 𝑥2 são desprezados pelo

fato de possuírem valores muito baixo para uma estrutura de 5.0 m, não contribuindo significativamente

para a tensão da sapata.

𝜎𝑆 = −𝑁𝑃

𝐷1 ∙ 𝐷2≥ −𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑠𝑜𝑙𝑜 [kPa] (5.28)


72

𝜎𝑆 = −⟨{(1.609 ∙ 𝐻𝑉

2 + 1.185 ∙ 𝐻𝑉 − 0.0785) +

𝐷1 ∙ 𝐷2

+[(0.950 ∙ 𝐻𝑀2 + 0.259 ∙ 𝐻𝑀 + 0.00157) + (78.5 ∙ 𝑡𝐶 + 1.2) ∙ 𝐿𝐶] ∙ 𝐿𝑀} ∙ 𝐿𝐶

−1⟩ ∙ 𝐿𝑣 + 25 ∙ 𝐵2𝐷1 ∙ 𝐷2

Custo de um setor da solução (𝐶𝑠):

Fig. 5.14 – Setor que se repete em ambas as direções (𝑥1e 𝑥2).

Chapa

𝐶𝑠𝐶 = 𝐴𝐶 ∙ 𝐿𝑉 ∙ 𝐿𝑀 ∙ 𝐶𝑠 [€]

𝐶𝑠𝐶 = (29 906.5375 ∙ 𝑡𝐶 − 0.0055) ∙ 𝐿𝑉 ∙ 𝐿𝑀

(5.29)

Madre

𝐶𝑠𝑀 = 𝐴𝑀 ∙ 𝐿𝑀 ∙

𝐿𝑉𝐿𝐶

∙ 𝐶𝑠 [€]

𝐶𝑠𝑀 = (332.4475 ∙ 𝐻𝑀

2 + 90.6675 ∙ 𝐻𝑀 + 0.5495) ∙ 𝐿𝑀 ∙ 𝐿𝑉 ∙ 𝐿𝐶−1

(5.30)

Viga

𝐶𝑠𝑉 = 𝐴𝑉 ∙ 𝐿𝑉 ∙ 𝐶𝑠 [€]

𝐶𝑠𝑉 = (563.2375 ∙ 𝐻𝑉

2 + 414.8725 ∙ 𝐻𝑉 − 27.475) ∙ 𝐿𝑉 (5.31)

Pilar

𝐶𝑠𝑃 = 𝐵1 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐿𝑃 ∙ 𝐶𝑐 [€] (5.32)


73

𝐶𝑠𝑃 = 250 ∙ 𝐵2

Sapata

𝐶𝑠𝑆 = 𝐷1 ∙ 𝐷2 ∙ 𝐻𝑆 ∙ 𝐶𝑐 [€]

𝐶𝑠𝑆 = 𝐷1 ∙ 𝐷2 ∙ 𝐻𝑆 ∙ 250

(5.33)

Custo por m2 da solução (C): Função objetivo

𝐶 =𝐶𝑠𝐶 + 𝐶𝑠

𝑀 + 𝐶𝑠𝑉 + 𝐶𝑠

𝑃 + 𝐶𝑠𝑆

𝐿𝑉 ∙ 𝐿𝑀 [€ m2]⁄

𝐶 =(29 906.5375 ∙ 𝑡𝐶 − 0.0055) ∙ 𝐿𝑉 ∙ 𝐿𝑀 +

𝐿𝑉 ∙ 𝐿𝑀

+(332.4475 ∙ 𝐻𝑀2 + 90.6675 ∙ 𝐻𝑀 + 0.5495) ∙ 𝐿𝑀 ∙ 𝐿𝑉 ∙ 𝐿𝐶

−1 +


+(563.2375 ∙ 𝐻𝑉2 + 414.8725 ∙ 𝐻𝑉 − 27.475) ∙ 𝐿𝑉 + 250 ∗ 𝐵2 + 𝐷1 ∙ 𝐷2 ∙ 𝐻𝑆 ∙ 250


(5.34)

São impostos limites para as variáveis, pois 𝐻𝑉 , 𝐻𝑀 e 𝑡𝐶 são tabelados e não podem assumir valores

diferentes dos existentes no catálogo. Para as restantes das variáveis os limites têm a função de impedir

que o algoritmo encontre soluções nulas ou negativas.

1 ≤ 𝐿𝑉 ≤ 100

1 ≤ 𝐿𝑀 ≤ 100

0.8 ≤ 𝐿𝐶 ≤ 50

0.20 ≤ 𝐵2 ≤ 10

0.18 ≤ 𝐻𝑉 ≤ 0.6

0.08 ≤ 𝐻𝑀 ≤ 0.25

0.00050 ≤ 𝑡𝐶 ≤ 0.00075

0.10 ≤ 𝐷1 ≤ 3

0.10 ≤ 𝐷2 ≤ 3

0.03 ≤ 𝐻𝑆 ≤ 4

As tensões na chapa, madre, viga, pilar e sapata, as flechas máximas da madre e da viga e a limitação

da altura da sapata figuram no programa matemático como restrições desigualdade, no qual foram

escritas no formato " ≤ 0".

𝑅𝑑𝑒𝑠(1) ⇒ −𝜎𝐶,𝑖𝑛𝑓 ≥ −𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑠

(6.5417 ∙ 𝑡𝐶 + 0.1) ∙ 𝐿𝐶2

0.0001 ∙ 𝑡𝐶 + 1 ∙ 10−10∙ (0.4645 ∙ 𝑡𝐶 + 0.0064) − 175 000 ≤ 0


74

𝑅𝑑𝑒𝑠(2) ⇒ 𝜎𝐶,𝑠𝑢𝑝 ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑠

(6.5417 ∙ 𝑡𝐶 + 0.1) ∙ 𝐿𝐶2

0.0001 ∙ 𝑡𝐶 + 1 ∙ 10−10∙ (0.5355 ∙ 𝑡𝐶 + 0.0231) − 175 000 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(3) ⇒ −𝜎𝑀,𝑖𝑛𝑓 ≥ −𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑠

[(0.0792 ∙ 𝐻𝑀2 + 0.0216 ∙ 𝐻𝑀 + 0.000131) + (6.542 ∙ 𝑡𝐶 + 0.1) ∙ 𝐿𝐶] ∙ 𝐿𝑀

2

0.002 ∙ 𝐻𝑀3 − 0.0006 ∙ 𝐻𝑀

2 + 8 ∙ 10−5 ∙ 𝐻𝑀 − 3 ∙ 10−6∙

∙ (0.0501 ∙ 𝐻𝑀2 + 0.4778 ∙ 𝐻𝑀 − 0.0023) − 175 000 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(4) ⇒ 𝜎𝑀,𝑠𝑢𝑝 ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑠

[(0.0792 ∙ 𝐻𝑀2 + 0.0216 ∙ 𝐻𝑀 + 0.000131) + (6.542 ∙ 𝑡𝐶 + 0.1) ∙ 𝐿𝐶] ∙ 𝐿𝑀

2

0.002 ∙ 𝐻𝑀3 − 0.0006 ∙ 𝐻𝑀

2 + 8 ∙ 10−5 ∙ 𝐻𝑀 − 3 ∙ 10−6∙

∙ [𝐻𝑀 − (0.0501 ∙ 𝐻𝑀2 + 0.4778 ∙ 𝐻𝑀 − 0.0023)] − 175.000 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(5) ⇒ 𝛿𝑀 ≤ 𝛿𝑚𝑎𝑥,𝑀

[(0.950 ∙ 𝐻𝑀2 + 0.259 ∙ 𝐻𝑀 + 0.00157) + (78.5 ∙ 𝑡𝐶 + 1.2) ∙ 𝐿𝐶] ∙ 𝐿𝑀

4

(1.613 ∙ 108 ∙ 𝐻𝑀3 − 4.838 ∙ 107 ∙ 𝐻𝑀

2 + 6 451 200 ∙ 𝐻𝑀 − 241 920)−𝐿𝑀180

≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(6) ⇒ 𝜎𝑉,𝑠𝑢𝑝 ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑠

⟨{(0.134 ∙ 𝐻𝑉2 + 0.0988 ∙ 𝐻𝑉 − 0.00654) +

0.0083 ∙ 𝐻𝑉3 − 0.0039 ∙ 𝐻𝑉

2 + 0.001 ∙ 𝐻𝑉 − 1 ∙ 10−4

+[(0,0792 ∙ 𝐻𝑀2 + 0,0216 ∙ 𝐻𝑀 + 0,000131) + (6,542 ∙ 𝑡𝐶 + 0,1) ∙ 𝐿𝐶] ∙ 𝐿𝑀} ∙ 𝐿𝐶

−1⟩ ∙ 𝐿𝑉2

0.0083 ∙ 𝐻𝑉3 − 0.0039 ∙ 𝐻𝑉

2 + 0.001 ∙ 𝐻𝑉 − 1 ∙ 10−4∙𝐻𝑉2−

175 000 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(7) ⇒ 𝛿𝑉 ≤ 𝛿𝑚𝑎𝑥,𝑉

⟨(1.609 ∙ 𝐻𝑉2 + 1.185 ∙ 𝐻𝑉 − 0.0785) +

6.693 ∙ 108 ∙ 𝐻𝑉3 − 3.145 ∙ 108 ∙ 𝐻𝑉

2 + 8.064 ∙ 107 ∙ 𝐻𝑉 − 8 064 000

+[(0.950 ∙ 𝐻𝑀2 + 0.259 ∙ 𝐻𝑀 + 0.00157) + (78.5 ∙ 𝑡𝐶 + 1.2) ∙ 𝐿𝐶] ∙ 𝐿𝑀} ∙ 𝐿𝐶

−1⟩ ∙ 𝐿𝑉4

6.693 ∙ 108 ∙ 𝐻𝑉3 − 3.145 ∙ 108 ∙ 𝐻𝑉

2 + 8.064 ∙ 107 ∙ 𝐻𝑉 − 8 064 000−

𝐿𝑉250

≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(8) ⇒ −𝜎𝑃 ≥ −𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑐

⟨{(1.609 ∙ 𝐻𝑉2 + 1.185 ∙ 𝐻𝑉 − 0.0785) +

0.2 ∙ 𝐵2

+[(0.950 ∙ 𝐻𝑀2 + 0.259 ∙ 𝐻𝑀 + 0.00157) + (78.5 ∙ 𝑡𝐶 + 1.2) ∙ 𝐿𝐶] ∙ 𝐿𝑀} ∙ 𝐿𝐶

−1⟩ ∙ 𝐿𝑣 + 25 ∙ 𝐵20.2 ∙ 𝐵2

−


75

10 000 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(9) ⇒ 𝐻𝑆 ≥𝐷1 −𝐵1

4

−𝐻𝑆 +𝐷1 − 0.2

4≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(10) ⇒ 𝐻𝑆 ≥𝐷2 −𝐵2

4

−𝐻𝑆 +𝐷2 − 𝐵2

4≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(11) ⇒ −𝜎𝑆 ≥ −𝜎𝑎𝑑𝑚,𝑠𝑜𝑙𝑜

⟨{(1.609 ∙ 𝐻𝑉2 + 1.185 ∙ 𝐻𝑉 − 0.0785) +

𝐷1 ∙ 𝐷2

+[(0.950 ∙ 𝐻𝑀2 + 0.259 ∙ 𝐻𝑀 + 0.00157) + (78.5 ∙ 𝑡𝐶 + 1.2) ∙ 𝐿𝐶] ∙ 𝐿𝑀} ∙ 𝐿𝐶

−1⟩ ∙ 𝐿𝑣 + 25 ∙ 𝐵2𝐷1 ∙ 𝐷2

−

200 ≤ 0

Após a definição da função objetivo e das restrições desigualdade são calculadas no MATLAB e no

EXCEL as soluções do problema. A seguir, encontram-se expostos os scripts do MATLAB para melhor

explicá-los. No Script 5.1 encontra-se o ficheiro onde estão descritas as restrições não lineares de

desigualdade e no Script 5.2 o programa principal onde está descrito a função objetivo e os limites

impostos às variáveis.

Script 5.1 – Programa matemático correspondente às restrições não lineares da cobertura.


function [rdes,rig] = coberturahiper(x)


rdes(1) =

((6.542*x(7)+0.1)*(x(3)^2)*(0.4645*x(7)+0.0064))/(0.0001*x(7)+1*10^-10)-

175000; % Tensão inf chapa M-

rdes(2) =

((6.542*x(7)+0.1)*(x(3)^2)*(0.5355*x(7)+0.0231))/(0.0001*x(7)+1*10^-10)-

175000; % Tensão sup chapa M-

rdes(3) =

(((0.0792*x(6)^2+0.0216*x(6)+0.000131)+(6.542*x(7)+0.1)*x(3))*x(2)^2*(0.050

1*x(6)^2+0.4778*x(6)-0.0023))/(0.002*x(6)^3-0.0006*x(6)^2+8*10^-5*x(6)-

3*10^-6)-175000; % Tensão inf madre M-

rdes(4) =

(((0.0792*x(6)^2+0.0216*x(6)+0.000131)+(6.542*x(7)+0.1)*x(3))*x(2)^2*(x(6)-


76

(0.0501*x(6)^2+0.4778*x(6)-0.0023)))/(0.002*x(6)^3-0.0006*x(6)^2+8*10^-

5*x(6)-3*10^-6)-175000; % Tensão sup madre M-

rdes(5) =

(((0.950*x(6)^2+0.259*x(6)+0.00157)+(78.5*x(7)+1.2)*x(3))*x(2)^4)/(1.613*10

^8*x(6)^3-4.838*10^7*x(6)^2+6451200*x(6)-241920)-(x(2)/180); % Flecha

máxima madre

rdes(6) = ((((0.134*x(5)^2+0.0988*x(5)-

0.00654)+((0.0792*x(6)^2+0.0216*x(6)+0.000131)+(6.542*x(7)+0.1)*x(3))*x(2))

*x(3)^-1)*(x(1)^2)*(x(5)/2))/(0.0083*x(5)^3-0.0039*x(5)^2+0.001*x(5)-1*10^-

4)-175000; % Tensão sup viga M-

rdes(7) = ((((1.609*x(5)^2+1.185*x(5)-

0.0785)+((0.950*x(6)^2+0.259*x(6)+0.00157)+(78.5*x(7)+1.2)*x(3))*x(2))*x(3)

^-1)*x(1)^4)/(6.693*10^8*x(5)^3-3.145*10^8*x(5)^2+8.064*10^7*x(5)-8064000)-

(x(1)/250); % Flecha máxima viga

rdes(8) = ((((1.609*x(5)^2+1.185*x(5)-

0.0785)+((0.950*x(6)^2+0.259*x(6)+0.00157)+(78.5*x(7)+1.2)*x(3))*x(2))*x(3)

^-1)*x(1)+25*x(4))/(0.2*x(4))-10000; % Tensão pilar

rdes(9) = -x(10)+(x(8)-0.2)/4; % Limitação para Hs segundo x1

rdes(10) = -x(10)+(x(9)-x(4))/4; % Limitação para Hs segundo x2

rdes(11) = ((((1.609*x(5)^2+1.185*x(5)-

0.0785)+((0.950*x(6)^2+0.259*x(6)+0.00157)+(78.5*x(7)+1.2)*x(3))*x(2))*x(3)

^-1)*x(1)+25*x(4))/(x(8)*x(9))-200; % Tensão sapata

% Igualdade ("=")

rig(1) = 0;

Script 5.2 – Programa matemático correspondente ao programa principal da cobertura.

% Função objetivo: Custo por m^2 da solução objetivo=@(x) ((29906.5375*x(7)-

0.0055)*x(1)*x(2)+(332.4475*x(6)^2+90.6675*x(6)+0.5495)*x(2)*x(1)*x(3)^-

1+(563.2375*x(5)^2+414.8725*x(5)-

27.475)*x(1)+(250*x(4))+(x(8)*x(9)*x(10)*250))/(x(1)*x(2));

% Estimativa inicial x0 = [3.5 4.3 1.3 0.2 0.2 0.12 0.0005 0.4 0.20 0.05];


% Restrições lineares % Desigualdade ("<=") A = []; % Matriz contendo os coeficientes da restrição de desigualdade b = []; % Vetor contendo o valor a ser satisfeito da desigualdade % Igualdade ("=") Aeq = []; % Matriz contendo os coeficientes da restrição de igualdade beq = []; % Vetor contendo o valor a ser satisfeito da igualdade

% Limite das variáveis % Lv


77

lb(1) = 1.0; ub(1) = 100.0; % Lm lb(2) = 1.0; ub(2) = 100.0; % Lc lb(3) = 0.8; ub(3) = 50.0; % B2 lb(4) = 0.2; ub(4) = 10.0; % Hv lb(5) = 0.18; ub(5) = 0.6; % Hm lb(6) = 0.08; ub(6) = 0.25; % tc lb(7) = 0.0005; ub(7) = 0.00075; % D1 lb(8) = 0.1; ub(8) = 3.0; % D2 lb(9) = 0.1; ub(9) = 3.0; % Hs lb(10) = 0.03; ub(10) = 4.0;

% Restrições não lineares nonlcon = @coberturahiper;



% Imprime solução disp('Solução') disp(['LV = ' num2str(x(1))]) disp(['LM = ' num2str(x(2))]) disp(['LC = ' num2str(x(3))]) disp(['B2 = ' num2str(x(4))]) disp(['HV = ' num2str(x(5))]) disp(['HM = ' num2str(x(6))]) disp(['tC = ' num2str(x(7))]) disp(['D1 = ' num2str(x(8))]) disp(['D2 = ' num2str(x(9))]) disp(['HS = ' num2str(x(10))])

A folha de cálculo do EXCEL e os parâmetros do Solver estão detalhados na Fig. 5.15 e na Fig. 5.16 a),

b) e c), respectivamente.


78

Fig. 5.15 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de minimização do custo da cobertura.

(a)


79

(b)


80

Fig. 5.16 – a), b) e c) Definição dos parâmetros do Solver para a minimização do custo da cobertura.

As soluções obtidas para as variáveis que cumprem todas as restrições necessárias e o mínimo valor

encontrado para a função objetivo estão expostas no Quadro 5.9.

Quadro 5.9 – Comparação entre os resultados obtidos para o problema da cobertura.

MATLAB EXCEL

LV (m) 3.924344365 3.907685275

LM (m) 4.429323372 4.435573705

LC (m) 1.474150635 1.467367275

B2 (m) 0.200000140 0.200000000

HV (m) 0.184506941 0.184544957

HM (m) 0.094563288 0.094425032

tC (m) 0.000500000 0.000500000

D1 (m) 0.370591040 0.371816092

D2 (m) 0.370591181 0.371816092

HS (m) 0.042649785 0.042954023

f( €/m²) 41.521799617 41.538489679


81

Para a utilização dos perfis catalogados é necessário que faça um arredondamento para cima para as

soluções de 𝐻𝑉 , 𝐻𝑀 e 𝑡𝐶 que estão disponíveis no catálogo dos fabricantes. Para as restantes soluções é

utilizada uma aproximação de três casas decimais para obter mais realidade quanto ao custo por m2 da

solução, resultando na solução final exposta no Quadro 5.10.

Quadro 5.10 – Resultados obtidos para o problema da cobertura utilizando aproximações.

Estas aproximações não impedem que todas as restrições sejam cumpridas. Inclusive, a verificação da

flecha elástica da chapa metálica a qual não entra no programa matemático, também obteve resultado

satisfatório, pois a carga descendente na chapa 𝑞𝐶′ é menor que a carga resistente para um vão 𝐿𝐶 de

1.50 m e espessura de 0.0005 m como observado na Fig.5.15.

𝑞𝐶′ = 1.239 kN/m2 ≤ 𝑞𝑟𝑑 = 1.43 kN/m2

Fig. 5.17 – Valor da carga resistente em kN/m² para o vão de 1.5 m [24].

Adotando uma solução baseada em tentativas (sem aplicar otimização) para se obter uma solução que

cumprisse todas as restrições, observa-se que houve uma redução de aproximadamente 7.2 % do custo

total da cobertura para o hipermercado, conforme é explicitado no Quadro 5.11.

MATLAB EXCEL

LV (m) 3.924 3.908

LM (m) 4.429 4.436

LC (m) 1.474 1.467

B2 (m) 0.200 0.200

HV (m) 0.20 0.20

HM (m) 0.12 0.12

tC (m) 0.0005 0.0005

D1 (m) 0.375 0.375

D2 (m) 0.375 0.375

HS (m) 0.045 0.045

f( €/m²) 46.54 46.57


82

Quadro 5.11 – Porcentagem de redução do custo da solução sem e com otimização.

5.2. BARRAGEM GRAVIDADE COM OITO VARIÁVEIS

A seguir apresenta-se novamente o exemplo de barragem gravidade, porém, são adicionados mais

trechos de alturas e bases variadas e a barragem também é solicitada de três modos distintos. Pretende-

se minimizar o volume de material estrutural (betão simples) com as características representadas na

Fig. 5.18.

Fig. 5.18 – Barragem gravidade com oito variáveis.

Dados:

Solução SEM Solução COM

Otimização Otimização

LV (m) 6.700 3.924

LM (m) 3.000 4.429

LC (m) 1.500 1.474

B2 (m) 0.200 0.200

HV (m) 0.20 0.20

HM (m) 0.08 0.12

tC (m) 0.0005 0.0005

D1 (m) 0.400 0.375

D2 (m) 0.400 0.375

HS (m) 0.050 0.045

f( €/m²) 50.16 46.54

Redução

do custo (%)7.24


83

Tensão admissível no ponto B, D, F e H (compressão): 𝜎 ≤ 10 000 kPa

Peso específico da água: 𝛾𝑤 = 10 kN/m3


Fator de segurança global ao derrube: FS = 2.5

Convenção de sinais adotada: compressão (+) e tração (-)

As variáveis de projeto são as grandezas 𝐵1, 𝐵2, 𝐵3, 𝐵4, 𝐻1, 𝐻2, 𝐻3 e 𝐻4. São considerados os seguintes

casos de carga:

a) Água ao nível máximo

b) Água ao nível máximo + força vertical de 20 kN/m

c) Água ao nível máximo + força horizontal de 50 kN/m

Novamente o estudo é realizado por tensões de segurança, supondo que os elementos fornecidos

correspondem a valores característicos. Não são considerados restrições de deslizamento. Nas secções

AB, CD, EF e GH não são admissíveis trações. A força vertical está aplicada na metade de 𝐵4 e a

horizontal a 15.0 m da base da barragem.

a) Água ao nível máximo

Trecho AB:

A tensão 𝜎1 causada pela água é dada por:

𝜎1 = 𝛾𝑤 ∙ 𝐻 [kPa]

𝜎1 = 150 kN/m2 = 150 kPa (5.35)


𝐼𝑤.1 =𝜎1 ∙ 𝐻

2 [kN/m]

𝐼𝑤.1 = 1125 kN/m

(5.36)

O momento no trecho AB é dado pelo impulso da água e pelo peso próprio do trecho CD, EF e GH:

𝑀𝐴𝐵 = 𝐼𝑊,1 ∙ (1

3 ∙ 𝐻) − 𝑝𝑝2 ∙ (

𝐵12−𝐵22) − 𝑝𝑝3 ∙ (

𝐵12−𝐵32) − 𝑝𝑝4 ∙ (

𝐵12−𝐵42) [kNm/m]

𝑀𝐴𝐵 = 5625 − (25 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐻2) ∙ (𝐵12−𝐵22) − (25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3) ∙ (

𝐵12−𝐵32) −

(25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4) ∙ (𝐵12−𝐵42)

(5.37)

O esforço axial causado pelo peso próprio dos trechos da barragem é:


84

𝑁𝐴𝐵 = 𝛾𝑐 ∙ (𝐵1 ∙ 𝐻1 +𝐵2 ∙ 𝐻2 +𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4) [kN/m]

𝑁𝐴𝐵 = 25 ∙ (𝐵1 ∙ 𝐻1 + 𝐵2 ∙ 𝐻2 +𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4) (5.38)

Como nos pontos A e B não são admitidas tensões de tração (≥ 0), as tensões de compressão estão

limitadas a 10 000 kPa (≤ 10 000 kPa).

𝜎𝐴 = +𝑁𝐴𝐵𝐵1

−6 ∙ 𝑀𝐴𝐵

𝐵12 ≥ 0 [kP𝑎] (5.39)

𝜎𝐵 = +𝑁𝐴𝐵𝐵1

+6 ∙ 𝑀𝐴𝐵

𝐵12 ≤ 10 000 [kPa] (5.40)

No programa matemático 𝑀𝐴𝐵 e 𝑁𝐴𝐵 são substituídas nas equações das tensões para obter apenas como

variáveis de projeto as dimensões de cada trecho da barragem.


𝑀𝐵,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 = 25 ∙ 𝐵1 ∙ 𝐻1 ∙ (𝐵12) + 25 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐻2 ∙ (𝐵1 −

𝐵22) +

+25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵1 −𝐵32) + 25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵1 −

𝐵42) [kNm/m]

(5.41)

𝑀𝐵,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 = 𝐼𝑊,1 ∙ (1

3 ∙ 𝐻) [kNm/m]

𝑀𝐵,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 = 5625 kNm/m

(5.42)

Para que não ocorra o derrube em torno de B é necessário impor uma restrição para garantir que não

gire em torno de B, majorando o 𝑀𝐵,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 através da aplicação do fator de segurança global ao

derrube, tal como é dado abaixo:

2.5 ∙ 𝑀𝐵,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 ≤ 𝑀𝐵,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟

14 062.5 ≤ 25 ∙ 𝐵1 ∙ 𝐻1 ∙ (𝐵12) + 25 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐻2 ∙ (𝐵1 −

𝐵22) + 25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵1 −

𝐵32) +

+25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵1 −𝐵42)

(5.43)

Trecho CD:



85

𝜎2 = 𝛾𝑤 ∙ (𝐻 − 𝐻1) [kPa]

𝜎2 = 10 ∙ (15 − 𝐻1) (5.44)


𝐼𝑤.2 =𝜎2 ∙ (𝐻 − 𝐻1)

2 [kN/m]

𝐼𝑤.2 = 5 ∙ (15 − 𝐻1)2

(5.45)

O momento no trecho CD é dado pelo impulso da água e pelo peso próprio do trecho EF e GH:

𝑀𝐶𝐷 = 𝐼𝑊,2 ∙ [1

3 ∙ (𝐻 − 𝐻1)] − 𝑝𝑝3 ∙ (

𝐵22−𝐵32) − 𝑝𝑝4 ∙ (

𝐵22−𝐵42) [kNm/m]

𝑀𝐶𝐷 =5

3 ∙ (15 − 𝐻1)

3 − (25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3) ∙ (𝐵22−𝐵32) − (25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4) ∙ (

𝐵22−𝐵42)

(5.46)


𝑁𝐶𝐷 = 𝛾𝑐 ∙ (𝐵2 ∙ 𝐻2 + 𝐵3 ∙ 𝐻3 +𝐵4 ∙ 𝐻4) [kN/m]

𝑁𝐶𝐷 = 25 ∙ (𝐵2 ∙ 𝐻2 +𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4) (5.47)

Como nos pontos C e D não são admitidas tensões de tração (≥ 0), as tensões de compressão estão


𝜎𝐶 = +𝑁𝐶𝐷𝐵2

−6 ∙ 𝑀𝐶𝐷

𝐵22 ≥ 0 [kPa] (5.48)

𝜎𝐷 = +𝑁𝐶𝐷𝐵2

+6 ∙ 𝑀𝐶𝐷

𝐵22 ≤ 10 000 [kPa] (5.49)

No programa matemático 𝑀𝐶𝐷 e 𝑁𝐶𝐷 são substituídas nas equações das tensões para obter apenas como



𝑀𝐷,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 = 25 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐻2 ∙ (𝐵22) + 25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵2 −

𝐵32) + (5.50)


86

+25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵2 −𝐵42) [kNm/m]

𝑀𝐷,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 = 𝐼𝑤.2 ∙ [1

3 ∙ (𝐻 − 𝐻1)] [kNm/m]


3∙ (15 − 𝐻1)

3

(5.51)

Para que não ocorra o derrube em torno de D é necessário impor uma restrição para garantir que não

gire em torno de D, majorando o 𝑀𝐷,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 através da aplicação do fator de segurança global ao



12.5

3∙ (15 − 𝐻1)

3 ≤ 25 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐻2 ∙ (𝐵22) + 25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵2 −

𝐵32) +

+25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵2 −𝐵42)

(5.52)

Trecho EF:


𝜎3 = 𝛾𝑤 ∙ (𝐻3 +𝐻4) [kPa]

𝜎3 = 10 ∙ (𝐻3 +𝐻4) (5.53)


𝐼𝑤.3 =𝜎3 ∙ (𝐻3 +𝐻4)

2 [kN/m]

𝐼𝑤.3 = 5 ∙ (𝐻3 + 𝐻4)2

(5.54)

O momento no trecho EF é dado pelo impulso da água e pelo peso próprio do trecho GH:

𝑀𝐸𝐹 = 𝐼𝑊,3 ∙ [1

3 ∙ (𝐻3 +𝐻4)] − 𝑝𝑝4 ∙ (

𝐵32−𝐵42) [kNm/m]

𝑀𝐸𝐹 =5

3 ∙ (𝐻3 +𝐻4)

3 − (25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4) ∙ (𝐵32−𝐵42)

(5.55)



87

𝑁𝐸𝐹 = 𝛾𝑐 ∙ (𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4) [kN/m]

𝑁𝐸𝐹 = 25 ∙ (𝐵3 ∙ 𝐻3 +𝐵4 ∙ 𝐻4) (5.56)

Como nos pontos E e F não são admitidas tensões de tração (≥ 0), as tensões de compressão estão


𝜎𝐸 = +𝑁𝐸𝐹𝐵3

−6 ∙ 𝑀𝐸𝐹

𝐵32 ≥ 0 [kPa] (5.57)

𝜎𝐹 = +𝑁𝐸𝐹𝐵3

+6 ∙ 𝑀𝐸𝐹

𝐵32 ≤ 10 000 [kPa] (5.58)

No programa matemático 𝑀𝐸𝐹 e 𝑁𝐸𝐹 são substituídas nas equações das tensões para obter apenas como


Derrube em torno de F:

𝑀𝐹,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 = 25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵32) + 25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵3 −

𝐵42) [kNm/m] (5.59)

𝑀𝐹,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 = 𝐼𝑊,3 ∙ [1

3 ∙ (𝐻3 +𝐻4)] [kNm/m]

𝑀𝐹,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 =5

3∙ (𝐻3 +𝐻4)

3

(5.60)

Para que não ocorra o derrube em torno de F é necessário impor uma restrição para garantir que não gire

em torno de F, majorando o 𝑀𝐹,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 através da aplicação do fator de segurança global ao derrube,

tal como é dado abaixo:

2.5 ∙ 𝑀𝐹,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 ≤ 𝑀𝐹,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟

12.5

3∙ (𝐻3 +𝐻4)

3 ≤ 25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵32) + 25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵3 −

𝐵42)

(5.61)

Trecho GH:

A tensão σ4 causada pela água é dada por:

𝜎4 = 𝛾𝑤 ∙ 𝐻4 [kPa] (5.62)


88

𝜎4 = 10 ∙ 𝐻4


𝐼𝑤.4 =𝜎4 ∙ 𝐻42

[kN/m]

𝐼𝑤.4 = 5 ∙ 𝐻42

(5.63)

O momento no trecho GH é dado pelo impulso da água:

𝑀𝐺𝐻 = 𝐼𝑊,4 ∙ (1

3 ∙ 𝐻4) [kNm/m]

𝑀𝐺𝐻 =5

3 ∙ 𝐻4

3

(5.64)

O esforço axial causado pelo peso próprio do trecho da barragem é:

𝑁𝐺𝐻 = 𝛾𝑐 ∙ (𝐵4 ∙ 𝐻4) [kN/m]

𝑁𝐺𝐻 = 25 ∙ (𝐵4 ∙ 𝐻4) (5.65)

Como nos pontos G e H não são admitidas tensões de tração (≥ 0), as tensões de compressão estão


𝜎𝐺 = +𝑁𝐺𝐻𝐵4

−6 ∙ 𝑀𝐺𝐻

𝐵42 ≥ 0 [kPa] (5.66)

𝜎𝐻 = +𝑁𝐺𝐻𝐵4

+6 ∙ 𝑀𝐺𝐻

𝐵42 ≤ 10 000 [kPa] (5.67)

No programa matemático 𝑀𝐺𝐻 e 𝑁𝐺𝐻 são substituídas nas equações das tensões para obter apenas como


Derrube em torno de H:

𝑀𝐻,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 = 25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵42) [kNm/m] (5.68)


89

𝑀𝐻,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 = 𝐼𝑊,4 ∙ (1

3 ∙ 𝐻4) [kNm/m]

𝑀𝐻,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 =5

3∙ 𝐻4

3

(5.69)

Para que não ocorra o derrube em torno de H é necessário impor uma restrição para garantir que não

gire em torno de H, majorando o 𝑀𝐻,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 através da aplicação do fator de segurança global ao


2.5 ∙ 𝑀𝐻,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 ≤ 𝑀𝐻,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟

12.5

3∙ 𝐻4

3 ≤ 25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵42)

(5.70)

b) Água ao nível máximo + força vertical de 20 kN/m

Trecho AB:

O momento no trecho AB é dado pelo impulso da água, pelo peso próprio do trecho CD, EF e GH e pela

força vertical:

𝑀𝐴𝐵 = 𝐼𝑊,1 ∙ (1

3 ∙ 𝐻) − 𝑝𝑝2 ∙ (

𝐵12−𝐵22) − 𝑝𝑝3 ∙ (

𝐵12−𝐵32) −

(𝑝𝑝4 + 20) ∙ (𝐵12−𝐵42) [kNm/m]

𝑀𝐴𝐵 = 5625 − (25 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐻2) ∙ (𝐵12−𝐵22) − (25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3) ∙ (

𝐵12−𝐵32) −

(25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 + 20) ∙ (𝐵12−𝐵42)

(5.71)

O esforço axial causado pelo peso próprio dos trechos da barragem e pela força vertical é:

𝑁𝐴𝐵 = 𝛾𝑐 ∙ (𝐵1 ∙ 𝐻1 +𝐵2 ∙ 𝐻2 + 𝐵3 ∙ 𝐻3 +𝐵4 ∙ 𝐻4) + 20 [kN/m]

𝑁𝐴𝐵 = 25 ∙ (𝐵1 ∙ 𝐻1 +𝐵2 ∙ 𝐻2 +𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4) + 20 (5.72)




−6 ∙ 𝑀𝐴𝐵

𝐵12 ≥ 0 [kPa] (5.73)


90


+6 ∙ 𝑀𝐴𝐵

𝐵12 ≤ 10 000 [kPa] (5.74)





𝐵22) +

+25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵1 −𝐵32) + (25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 + 20) ∙ (𝐵1 −

𝐵42) [kNm/m]

(5.75)


3 ∙ 𝐻) [kNm/m]


(5.76)





14 062.5 ≤ 25 ∙ 𝐵1 ∙ 𝐻1 ∙ (𝐵12) + 25 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐻2 ∙ (𝐵1 −

𝐵22) + 25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵1 −

𝐵32) +

+(25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 + 20) ∙ (𝐵1 −𝐵42)

(5.77)

Trecho CD:

O momento no trecho CD é dado pelo impulso da água, pelo peso próprio do trecho EF e GH e pela

força vertical:

𝑀𝐶𝐷 = 𝐼𝑊,2 ∙ [1

3 ∙ (𝐻 − 𝐻1)] − 𝑝𝑝3 ∙ (

𝐵22−𝐵32) − (𝑝𝑝4 + 20) ∙ (

𝐵22−𝐵42) [kNm/m]

𝑀𝐶𝐷 =5

3 ∙ (15 − 𝐻1)

3 − (25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3) ∙ (𝐵22−𝐵32) − (25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 + 20) ∙ (

𝐵22−𝐵42)

(5.78)



91

𝑁𝐶𝐷 = 𝛾𝑐 ∙ (𝐵2 ∙ 𝐻2 + 𝐵3 ∙ 𝐻3 +𝐵4 ∙ 𝐻4) + 20 [kN/m]

𝑁𝐶𝐷 = 25 ∙ (𝐵2 ∙ 𝐻2 + 𝐵3 ∙ 𝐻3 +𝐵4 ∙ 𝐻4) + 20 (5.79)




−6 ∙ 𝑀𝐶𝐷

𝐵22 ≥ 0 [kPa] (5.80)


+6 ∙ 𝑀𝐶𝐷

𝐵22 ≤ 10 000 [kPa] (5.81)





𝐵32) +

+(25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 + 20) ∙ (𝐵2 −𝐵42) [kNm/m]

(5.82)

𝑀𝐷,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 = 𝐼𝑤.2 ∙ [1

3 ∙ (𝐻 − 𝐻1)] [kNm/m]


3∙ (15 − 𝐻1)

3

(5.83)





12.5

3∙ (15 − 𝐻1)

3 ≤ 25 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐻2 ∙ (𝐵22) + 25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵2 −

𝐵32) +

+(25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 + 20) ∙ (𝐵2 −𝐵42)

(5.84)

Trecho EF:

O momento no trecho EF é dado pelo impulso da água, pelo peso próprio do trecho GH e pela força

vertical:


92

𝑀𝐸𝐹 = 𝐼𝑊,3 ∙ [1

3 ∙ (𝐻3 +𝐻4)] − (𝑝𝑝4 + 20) ∙ (

𝐵32−𝐵42) [kNm/m]

𝑀𝐸𝐹 =5

3 ∙ (𝐻3 + 𝐻4)

3 − (25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 + 20) ∙ (𝐵32−𝐵42)

(5.85)


𝑁𝐸𝐹 = 𝛾𝑐 ∙ (𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4) + 20 [kN/m]

𝑁𝐸𝐹 = 25 ∙ (𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4) + 20 (5.86)




−6 ∙ 𝑀𝐸𝐹

𝐵32 ≥ 0 [kPa] (5.87)


+6 ∙ 𝑀𝐸𝐹

𝐵32 ≤ 10 000 [kPa] (5.88)




𝑀𝐹,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 = 25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵32) + (25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 + 20) ∙ (𝐵3 −

𝐵42) [kNm/m] (5.89)


3 ∙ (𝐻3 +𝐻4)] [kNm/m]


3∙ (𝐻3 +𝐻4)

3

(5.90)


em torno de F, majorando o 𝑀𝐹,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 através da aplicação do fator de segurança global ao derrube,


2.5 ∙ 𝑀𝐹,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 ≤ 𝑀𝐹,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 (5.91)


93

12.5

3∙ (𝐻3 +𝐻4)

3 ≤ 25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵32) + (25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 + 20) ∙ (𝐵3 −

𝐵42)

Trecho GH:

O momento no trecho GH é dado pelo impulso da água:

𝑀𝐺𝐻 = 𝐼𝑊,4 ∙ (1

3 ∙ 𝐻4) [kNm/m]

𝑀𝐺𝐻 =5

3 ∙ 𝐻4

3

(5.92)


𝑁𝐺𝐻 = 𝛾𝑐 ∙ (𝐵4 ∙ 𝐻4) + 20 [kN/m]

𝑁𝐺𝐻 = 25 ∙ (𝐵4 ∙ 𝐻4) + 20 (5.93)




−6 ∙ 𝑀𝐺𝐻

𝐵42 ≥ 0 [kPa] (5.94)


+6 ∙ 𝑀𝐺𝐻

𝐵42 ≤ 10 000 [kPa] (5.95)

No programa matemático 𝑀𝐺𝐻 e 𝑁𝐺𝐻 são substituídas nas equações das tensões para obter apenas como



𝑀𝐻,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 = (25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 + 20) ∙ (𝐵42) [kNm/m] (5.96)


3 ∙ 𝐻4) [kNm/m]


3∙ 𝐻4

3

(5.97)


94




2.5 ∙ 𝑀𝐻,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 ≤ 𝑀𝐻,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟

12.5

3∙ 𝐻4

3 ≤ (25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 + 20) ∙ (𝐵42)

(5.98)

c) Água ao nível máximo + força horizontal de 50 kN/m

Trecho AB:

O momento no trecho AB é dado pelo impulso da água, pelo peso próprio do trecho CD, EF e GH e pela

força horizontal:

𝑀𝐴𝐵 = 𝐼𝑊,1 ∙ (1

3 ∙ 𝐻) + 50 ∙ 𝐻 − 𝑝𝑝2 ∙ (

𝐵12−𝐵22) − 𝑝𝑝3 ∙ (

𝐵12−𝐵32) −

𝑝𝑝4 ∙ (𝐵12−𝐵42) [kNm/m]

𝑀𝐴𝐵 = 6375 − (25 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐻2) ∙ (𝐵12−𝐵22) − (25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3) ∙ (

𝐵12−𝐵32) −

(25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4) ∙ (𝐵12−𝐵42)

(5.99)


𝑁𝐴𝐵 = 𝛾𝑐 ∙ (𝐵1 ∙ 𝐻1 + 𝐵2 ∙ 𝐻2 +𝐵3 ∙ 𝐻3 +𝐵4 ∙ 𝐻4) [kN/m]

𝑁𝐴𝐵 = 25 ∙ (𝐵1 ∙ 𝐻1 +𝐵2 ∙ 𝐻2 + 𝐵3 ∙ 𝐻3 +𝐵4 ∙ 𝐻4) (5.100)




−6 ∙ 𝑀𝐴𝐵

𝐵12 ≥ 0 [kPa] (5.101)


+6 ∙ 𝑀𝐴𝐵

𝐵12 ≤ 10 000 [kPa] (5.102)




95



𝐵22) +

+25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵1 −𝐵32) + 25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵1 −

𝐵42) [kNm/m]

(5.103)


3 ∙ 𝐻) + 50 ∙ 𝐻 [kNm/m]


(5.104)





15 937.5 ≤ 25 ∙ 𝐵1 ∙ 𝐻1 ∙ (𝐵12) + 25 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐻2 ∙ (𝐵1 −

𝐵22) + 25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵1 −

𝐵32) +

+25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵1 −𝐵42)

(5.105)

Trecho CD:

O momento no trecho CD é dado pelo impulso da água, pelo peso próprio do trecho EF e GH e pela

força horizontal:

𝑀𝐶𝐷 = 𝐼𝑊,2 ∙ [1

3 ∙ (𝐻 − 𝐻1)] + 50 ∙ (𝐻 − 𝐻1) − 𝐻1 − 𝑝𝑝3 ∙ (

𝐵22−𝐵32) −

−𝑝𝑝4 ∙ (𝐵22−𝐵42) [kNm/m]

𝑀𝐶𝐷 =5

3 ∙ (15 − 𝐻1)

3 + 50 ∙ (15 − 𝐻1) − (25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3) ∙ (𝐵22−𝐵32) −

−(25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4) ∙ (𝐵22−𝐵42)

(5.106)


𝑁𝐶𝐷 = 𝛾𝑐 ∙ (𝐵2 ∙ 𝐻2 + 𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4) [kN/m]

𝑁𝐶𝐷 = 25 ∙ (𝐵2 ∙ 𝐻2 + 𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4) (5.107)


96




−6 ∙ 𝑀𝐶𝐷

𝐵22 ≥ 0 [kPa] (5.108)


+6 ∙ 𝑀𝐶𝐷

𝐵22 ≤ 10 000 [kPa] (5.109)





𝐵32) +

+25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵2 −𝐵42) [kNm/m]

(5.110)

𝑀𝐷,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 = 𝐼𝑊,2 ∙ [1

3 ∙ (𝐻 − 𝐻1)] + 50 ∙ (𝐻 − 𝐻1) [kNm/m]


3 ∙ (15 − 𝐻1)

3 + 50 ∙ (15 − 𝐻1)

(5.111)





12.5

3 ∙ (15 − 𝐻1)

3 + 125 ∙ (15 − 𝐻1) ≤ 25 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐻2 ∙ (𝐵22) + 25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵2 −

𝐵32) +

+25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵2 −𝐵42)

(5.112)

Trecho EF:

O momento no trecho EF é dado pelo impulso da água, pelo peso próprio do trecho GH e pela força

horizontal:

𝑀𝐸𝐹 = 𝐼𝑊,3 ∙ [1

3 ∙ (𝐻3 +𝐻4)] + 50 ∙ (𝐻3 + 𝐻4) − 𝑝𝑝4 ∙ (

𝐵32−𝐵42) [kNm/m] (5.113)


97

𝑀𝐸𝐹 =5

3 ∙ (𝐻3 +𝐻4)

3 + 50 ∙ (𝐻3 + 𝐻4) − (25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4) ∙ (𝐵32−𝐵42)


𝑁𝐸𝐹 = 𝛾𝑐 ∙ (𝐵3 ∙ 𝐻3 +𝐵4 ∙ 𝐻4) [kN/m]

𝑁𝐸𝐹 = 25 ∙ (𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4) (5.114)




−6 ∙ 𝑀𝐸𝐹

𝐵32 ≥ 0 [kPa] (5.115)


+6 ∙ 𝑀𝐸𝐹

𝐵32 ≤ 10 000 [kPa] (5.116)




𝑀𝐹,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 = 25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵32) + 25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵3 −

𝐵42) [kNm/m] (5.117)


3 ∙ (𝐻3 + 𝐻4)] + 50 ∙ (𝐻3 +𝐻4) [kNm/m]


3∙ (𝐻3 +𝐻4)

3 + 50 ∙ (𝐻3 + 𝐻4)

(5.118)


em torno de F, majorando o MF,derr bador através da aplicação do fator de segurança global ao derrube,


2.5 ∙ 𝑀𝐹,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 ≤ 𝑀𝐹,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟

12.5

3∙ (𝐻3 +𝐻4)

3 + 125 ∙ (𝐻3 +𝐻4) ≤ 25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵32) + 25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵3 −

𝐵42)

(5.119)

Trecho GH:


98

O momento no trecho GH é dado pelo impulso da água e pela força horizontal:

𝑀𝐺𝐻 = 𝐼𝑊,4 ∙ (1

3 ∙ 𝐻4) + 50 ∙ 𝐻4 [kNm/m]

𝑀𝐺𝐻 =5

3 ∙ 𝐻4

3 + 50 ∙ 𝐻4

(5.120)


𝑁𝐺𝐻 = 𝛾𝑐 ∙ (𝐵4 ∙ 𝐻4) [kN/m]

𝑁𝐺𝐻 = 25 ∙ (𝐵4 ∙ 𝐻4) (5.121)




−6 ∙ 𝑀𝐺𝐻

𝐵42 ≥ 0 [kPa] (5.122)


+6 ∙ 𝑀𝐺𝐻

𝐵42 ≤ 10 000 [kPa] (5.123)

No programa matemático 𝑀𝐺𝐻 e 𝑁𝐺𝐻 serão substituídas nas equações das tensões para obter apenas

como variáveis de projeto as dimensões de cada trecho da barragem.


𝑀𝐻,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 = 25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵42) [kNm/m] (5.124)


3 ∙ 𝐻4) + 50 ∙ 𝐻4 [kNm/m]


3∙ 𝐻4

3 + 50 ∙ 𝐻4

(5.125)




2.5 ∙ 𝑀𝐻,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 ≤ 𝑀𝐻,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 (5.126)


99

12.5

3∙ 𝐻4

3 + 125 ∙ 𝐻4 ≤ 25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵42)

Com as equações formuladas para todos os casos de carga é possível identificar o problema de

otimização, indicado nos pontos abaixo:

Função Objetivo:

A função objetivo do problema é dada pelo volume de betão da barragem, para 1.0 m de profundidade.

𝑓 = (𝐵1 ∙ 𝐻1 ∙ 1.0 𝑚) + (𝐵2 ∙ 𝐻2 ∙ 1.0 𝑚) + (𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ 1.0 𝑚) + (𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ 1.0 𝑚) [m3]

𝑓 = 𝐵1 ∙ 𝐻1 + 𝐵2 ∙ 𝐻2 +𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4 (5.127)

Restrições Desigualdade:

Para as variáveis de projeto 𝐻1, 𝐻2, 𝐻3, 𝐻4, 𝐵1, 𝐵2, 𝐵3 e 𝐵4 é necessário impor valores mínimos para

que o programa não obtenha soluções nulas. Para cada caso estudado existem oito restrições que limitam

as tensões de tração e compressão e quatro restrições que impedem o derrube em torno dos pontos B, D,

F e H. As restrições que eram do tipo " ≥ 0" são modificadas para " ≤ 0". A seguir encontram-se as

restrições desigualdade que figuram no programa matemático.

𝑅𝑑𝑒𝑠(1) ⇒ 𝐻1 ≥ 0.1

−𝐻1 + 0.1 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(2) ⇒ 𝐻2 ≥ 0.1

−𝐻2 + 0.1 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(3) ⇒ 𝐻3 ≥ 0.1

−𝐻3 + 0.1 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(4) ⇒ 𝐻4 ≥ 0.1

−𝐻4 + 0.1 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(5) ⇒ 𝐵1 ≥ 0.1

−𝐵1 + 0.1 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(6) ⇒ 𝐵2 ≥ 0.1

−𝐵2 + 0.1 ≤ 0


100

𝑅𝑑𝑒𝑠(7) ⇒ 𝐵3 ≥ 0.1

−𝐵3 + 0.1 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(8) ⇒ 𝐵4 ≥ 0.1

−𝐵4 + 0.1 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(9) ⇒ 𝜎𝐴(𝑎) ≥ 0

−25 ∙ (𝐵1 ∙ 𝐻1 + 𝐵2 ∙ 𝐻2 +𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4)

𝐵1+

+

6 ∙ (5625 − (25 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐻2) ∙ (𝐵12−𝐵22) − (25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3) ∙ (

𝐵12−𝐵32)−(25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4) ∙ (

𝐵12−𝐵42))

𝐵12

≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(10) ⇒ 𝜎𝐵(𝑎) ≤ 10 000

25 ∙ (𝐵1 ∙ 𝐻1 + 𝐵2 ∙ 𝐻2 +𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4)

𝐵1+

+

6 ∙ (5625 − (25 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐻2) ∙ (𝐵12 −

𝐵22) − (25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3) ∙ (

𝐵12 −

𝐵32)−(25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4) ∙ (

𝐵12 −

𝐵42))

𝐵12

−10 000 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(11) ⇒ 2.5 ∙ 𝑀𝐵,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟(𝑎) ≤ 𝑀𝐵,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑎)

14 062.5 − (25 ∙ 𝐵1 ∙ 𝐻1 ∙ (𝐵12) + 25 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐻2 ∙ (𝐵1 −

𝐵22) + 25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵1 −

𝐵32)

+25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵1 −𝐵42)) ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(12) ⇒ 𝜎𝐶(𝑎) ≥ 0

−25 ∙ (𝐵2 ∙ 𝐻2 +𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4)

𝐵2+

+

6 ∙ (53 ∙

(15 − 𝐻1)3 − (25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3) ∙ (

𝐵22 −

𝐵32) − (25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4) ∙ (

𝐵22 −

𝐵42))

𝐵22 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(13) ⇒ 𝜎𝐷(𝑎) ≤ 10 000


101

25 ∙ (𝐵2 ∙ 𝐻2 +𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4)

𝐵2+

+

6 ∙ (53 ∙ (15 − 𝐻1)

3 − (25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3) ∙ (𝐵22−𝐵32) − (25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4) ∙ (

𝐵22−𝐵42))

𝐵22 − 10 000 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(14) ⇒ 2.5 ∙ 𝑀𝐷,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟(𝑎) ≤ 𝑀𝐷,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑎)

12.5

3∙ (15 − 𝐻1)

3 − (25 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐻2 ∙ (𝐵22) + 25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵2 −

𝐵32)+25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵2 −

𝐵42)) ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(15) ⇒ 𝜎𝐸(𝑎) ≥ 0

−25 ∙ (𝐵3 ∙ 𝐻3 +𝐵4 ∙ 𝐻4)

𝐵3+

6 ∙ (53 ∙ (𝐻3 + 𝐻4)

3 − (25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4) ∙ (𝐵32−𝐵42))

𝐵32 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(16) ⇒ 𝜎𝐹(𝑎) ≤ 10 000

25 ∙ (𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4)

𝐵3+

6 ∙ (53 ∙

(𝐻3 +𝐻4)3 − (25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4) ∙ (

𝐵32 −

𝐵42))

𝐵32 − 10 000 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(17) ⇒ 2.5 ∙ 𝑀𝐹,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑎) ≤ 𝑀𝐹,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑎)

12.5

3∙ (𝐻3 +𝐻4)

3 − (25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵32) + 25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵3 −

𝐵42)) ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(18) ⇒ 𝜎𝐺(𝑎) ≥ 0

−25 ∙ (𝐵4 ∙ 𝐻4)

𝐵4+6 ∙ (

53 ∙ 𝐻4

3)

𝐵42 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(19) ⇒ 𝜎𝐻(𝑎) ≤ 10 000

25 ∙ (𝐵4 ∙ 𝐻4)

𝐵4+6 ∙ (

53 ∙ 𝐻4

3)

𝐵42 − 10 000 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(20) ⇒ 2.5 ∙ 𝑀𝐻,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑎) ≤ 𝑀𝐻,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑎)

12.5

3∙ 𝐻4

3 − (25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵42)) ≤ 0


102

𝑅𝑑𝑒𝑠(21) ⇒ 𝜎𝐴(𝑏) ≥ 0

−25 ∙ (𝐵1 ∙ 𝐻1 +𝐵2 ∙ 𝐻2 + 𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4) + 20

𝐵1+

+6 ∙ (5625 − (25 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐻2) ∙ (

𝐵12−𝐵22) − (25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3) ∙ (

𝐵12−𝐵32) −

𝐵12

(25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 + 20) ∙ (𝐵12 −

𝐵42))

𝐵12 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(22) ⇒ 𝜎𝐵(𝑏) ≤ 10 000

25 ∙ (𝐵1 ∙ 𝐻1 +𝐵2 ∙ 𝐻2 + 𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4) + 20

𝐵1+

+6 ∙ (5625 − (25 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐻2) ∙ (

𝐵12−𝐵22) − (25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3) ∙ (

𝐵12−𝐵32) −

𝐵12

(25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 + 20) ∙ (𝐵12−𝐵42))

𝐵12 − 10 000 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(23) ⇒ 2.5 ∙ 𝑀𝐵,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟(𝑏) ≤ 𝑀𝐵,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑏)

14 062.5 − (25 ∙ 𝐵1 ∙ 𝐻1 ∙ (𝐵12) + 25 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐻2 ∙ (𝐵1 −

𝐵22) + 25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵1 −

𝐵32) +

+(25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 + 20) ∙ (𝐵1 −𝐵42)) ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(24) ⇒ 𝜎𝐶(𝑏) ≥ 0

−25 ∙ (𝐵2 ∙ 𝐻2 + 𝐵3 ∙ 𝐻3 +𝐵4 ∙ 𝐻4) + 20

𝐵2+

+

6 ∙ (53 ∙

(15 − 𝐻1)3 − (25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3) ∙ (

𝐵22 −

𝐵32)−(25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 + 20) ∙ (

𝐵22 −

𝐵42))

𝐵22 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(25) ⇒ 𝜎𝐷(𝑏) ≤ 10 000

25 ∙ (𝐵2 ∙ 𝐻2 + 𝐵3 ∙ 𝐻3 +𝐵4 ∙ 𝐻4) + 20

𝐵2+

+

6 ∙ (53 ∙

(15 − 𝐻1)3 − (25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3) ∙ (

𝐵22 −

𝐵32)−(25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 + 20) ∙ (

𝐵22 −

𝐵42))

𝐵22 − 10 000 ≤ 0


103

𝑅𝑑𝑒𝑠(26) ⇒ 2.5 ∙ 𝑀𝐷,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑏) ≤ 𝑀𝐷,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑏)

12.5

3∙ (15 − 𝐻1)

3 − (25 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐻2 ∙ (𝐵22) + 25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵2 −

𝐵32) +

+(25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 + 20) ∙ (𝐵2 −𝐵42)) ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(27) ⇒ 𝜎𝐸(𝑏) ≥ 0

−25 ∙ (𝐵3 ∙ 𝐻3 +𝐵4 ∙ 𝐻4) + 20

𝐵3+

6 ∙ (53 ∙ (𝐻3 + 𝐻4)

3 − (25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 + 20) ∙ (𝐵32−𝐵42))

𝐵32 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(28) ⇒ 𝜎𝐹(𝑏) ≤ 10 000

25 ∙ (𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4) + 20

𝐵3+

+

6 ∙ (53 ∙

(𝐻3 + 𝐻4)3 − (25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 + 20) ∙ (

𝐵32 −

𝐵42))

𝐵32 − 10 000 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(29) ⇒ 2.5 ∙ 𝑀𝐹,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑏) ≤ 𝑀𝐹,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑏)

12.5

3∙ (15 − 𝐻1)

3 − (25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵32) + (25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 + 20) ∙ (𝐵3 −

𝐵42) ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(30) ⇒ 𝜎𝐺(𝑏) ≥ 0

−25 ∙ (𝐵4 ∙ 𝐻4) + 20

𝐵4+6 ∙ (

53 ∙ 𝐻4

3)

𝐵42 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(31) ⇒ 𝜎𝐻(𝑏) ≤ 10 000

25 ∙ (𝐵4 ∙ 𝐻4) + 20

𝐵4+6 ∙ (

53 ∙ 𝐻4

3)

𝐵42 − 10 000 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(32) ⇒ 2.5 ∙ 𝑀𝐻,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑏) ≤ 𝑀𝐻,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑏)

12.5

3∙ (15 − 𝐻1)

3 − (25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 + 20) ∙ (𝐵42) ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(33) ⇒ 𝜎𝐴(𝑐) ≥ 0


104

−25 ∙ (𝐵1 ∙ 𝐻1 + 𝐵2 ∙ 𝐻2 +𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4)

𝐵1+

+

6 ∙ (6375 − (25 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐻2) ∙ (𝐵12 −

𝐵22) − (25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3) ∙ (

𝐵12 −

𝐵32)−(25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4) ∙ (

𝐵12 −

𝐵42))

𝐵12

≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(34) ⇒ 𝜎𝐵(𝑐) ≤ 10 000

25 ∙ (𝐵1 ∙ 𝐻1 + 𝐵2 ∙ 𝐻2 +𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4)

𝐵1+

+

6 ∙ (6375 − (25 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐻2) ∙ (𝐵12−𝐵22) − (25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3) ∙ (

𝐵12−𝐵32)−(25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4) ∙ (

𝐵12−𝐵42))

𝐵12

−10 000 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(35) ⇒ 2.5 ∙ 𝑀𝐵,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑐) ≤ 𝑀𝐵,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑐)

15 937.5 − (25 ∙ 𝐵1 ∙ 𝐻1 ∙ (𝐵12) + 25 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐻2 ∙ (𝐵1 −

𝐵22) + 25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵1 −

𝐵32) +

+25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵1 −𝐵42)) ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(36) ⇒ 𝜎𝐶(𝑐) ≥ 0

−25 ∙ (𝐵2 ∙ 𝐻2 +𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4)

𝐵2+

+

6 ∙ (53 ∙

(15 − 𝐻1)3 + 50 ∙ (15 − 𝐻1) − (25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3) ∙ (

𝐵22 −

𝐵32) − (25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4) ∙ (

𝐵22 −

𝐵42))

𝐵22

≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(37) ⇒ 𝜎𝐷(𝑐) ≤ 10 000

25 ∙ (𝐵2 ∙ 𝐻2 +𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4)

𝐵2+

+

6 ∙ (53 ∙

(15 − 𝐻1)3 + 50 ∙ (15 − 𝐻1) − (25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3) ∙ (

𝐵22 −

𝐵32)−(25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4) ∙ (

𝐵22 −

𝐵42))

𝐵22

−10 000 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(38) ⇒ 2.5 ∙ 𝑀𝐷,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑐) ≤ 𝑀𝐷,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑐)


105

12.5

3 ∙ (15 − 𝐻1)

3 + 125 ∙ (15 − 𝐻1) − (25 ∙ 𝐵2 ∙ 𝐻2 ∙ (𝐵22) + 25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵2 −

𝐵32) +

+25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵2 −𝐵42) ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(39) ⇒ 𝜎𝐸(𝑐) ≥ 0

−25 ∙ (𝐵3 ∙ 𝐻3 + 𝐵4 ∙ 𝐻4)

𝐵3+6 ∙ (

53 ∙ (𝐻3 +𝐻4)

3 + 50 ∙ (𝐻3 +𝐻4) − (25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4) ∙ (𝐵32−𝐵42)

𝐵32 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(40) ⇒ 𝜎𝐹(𝑐) ≤ 10 000

25 ∙ (𝐵3 ∙ 𝐻3 +𝐵4 ∙ 𝐻4)

𝐵3+

+6 ∙ (

53 ∙

(𝐻3 + 𝐻4)3 + 50 ∙ (𝐻3 + 𝐻4) − (25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4) ∙ (

𝐵32 −

𝐵42)

𝐵32 − 10 000 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(41) ⇒ 2.5 ∙ 𝑀𝐹,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑐) ≤ 𝑀𝐹,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑐)

12.5

3∙ (𝐻3 + 𝐻4)

3 + 125 ∙ (𝐻3 + 𝐻4) − (25 ∙ 𝐵3 ∙ 𝐻3 ∙ (𝐵32) + 25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵3 −

𝐵42)) ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(42) ⇒ 𝜎𝐺(𝑐) ≥ 0

−25 ∙ (𝐵4 ∙ 𝐻4)

𝐵4+6 ∙ (

53 ∙ 𝐻4

3 + 50 ∙ 𝐻4)

𝐵42 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(43) ⇒ 𝜎𝐻(𝑐) ≤ 10 000

25 ∙ (𝐵4 ∙ 𝐻4)

𝐵4+6 ∙ (

53 ∙ 𝐻4

3 + 50 ∙ 𝐻4)

𝐵42 − 10 000 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(44) ⇒ 2.5 ∙ 𝑀𝐻,𝑑𝑒𝑟𝑟𝑢𝑏𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑐) ≤ 𝑀𝐻,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜𝑟 (𝑐)

12.5

3∙ 𝐻4

3 + 125 ∙ 𝐻4 − 25 ∙ 𝐵4 ∙ 𝐻4 ∙ (𝐵42) ≤ 0

Restrição Igualdade:

Devido à altura fixada de 15.0 m é considerada uma restrição linear de igualdade, onde a soma das

alturas deve ser igual a 15.0 m.


106

𝑅𝑖𝑔(1) ⇒ 𝐻1 + 𝐻2 +𝐻3 +𝐻4 = 15

𝐻1 +𝐻2 +𝐻3 +𝐻4 − 15 = 0

As restrições não lineares de desigualdade dão origem ao ficheiro do MATLAB indicado no Script 5.3.

Script 5.3 – Programa matemático da barragem de oito variáveis correspondente às restrições não lineares.


function [rdes,rig] = aguamaxima3casos(x)


rdes(1) = -(25*(x(5)*x(1)+x(6)*x(2)+x(7)*x(3)+x(8)*x(4)))/x(5)+6*(5625-

25*x(6)*x(2)*(x(5)/2-x(6)/2)-25*x(7)*x(3)*(x(5)/2-x(7)/2)-

25*x(8)*x(4)*(x(5)/2-x(8)/2))/x(5)^2; % Tensão A (a)

rdes(2) = (25*(x(5)*x(1)+x(6)*x(2)+x(7)*x(3)+x(8)*x(4)))/x(5)+6*(5625-

25*x(6)*x(2)*(x(5)/2-x(6)/2)-25*x(7)*x(3)*(x(5)/2-x(7)/2)-

25*x(8)*x(4)*(x(5)/2-x(8)/2))/x(5)^2-10000; % Tensão B (a)

rdes(3) = 2.5*5625-(25*x(8)*x(4)*(x(5)-x(8)/2)+25*x(7)*x(3)*(x(5)-

x(7)/2)+25*x(6)*x(2)*(x(5)-x(6)/2)+25*x(5)*x(1)*x(5)/2); % Derrube em torno

de B (a)

rdes(4) = -(25*(x(8)*x(4)+x(7)*x(3)+x(6)*x(2)))/x(6)+6*((5/3)*(15-

x(1))^3-25*x(8)*x(4)*(x(6)/2-x(8)/2)-25*x(7)*x(3)*(x(6)/2-x(7)/2))/x(6)^2;

% Tensão C (a)

rdes(5) = (25*(x(8)*x(4)+x(7)*x(3)+x(6)*x(2)))/x(6)+6*((5/3)*(15-x(1))^3-

25*x(8)*x(4)*(x(6)/2-x(8)/2)-25*x(7)*x(3)*(x(6)/2-x(7)/2))/x(6)^2-10000; %

Tensão D (a)

rdes(6) = 2.5*((5/3)*(15-x(1))^3)-(25*x(8)*x(4)*(x(6)-


de D (a)

rdes(7) = -(25*(x(8)*x(4)+x(7)*x(3)))/x(7)+6*((5/3)*(x(3)+x(4))^3-

25*x(8)*x(4)*(x(7)/2-x(8)/2))/x(7)^2; % Tensão E (a)

rdes(8) = (25*(x(8)*x(4)+x(7)*x(3)))/x(7)+6*((5/3)*(x(3)+x(4))^3-

25*x(8)*x(4)*(x(7)/2-x(8)/2))/x(7)^2-10000; % Tensão F (a)

rdes(9) = 2.5*((5/3)*(x(3)+x(4))^3)-(25*x(8)*x(4)*(x(7)-

x(8)/2)+25*x(7)*x(3)*x(7)/2); % Derrube em torno de F (a)

rdes(10) = -(25*x(8)*x(4))/x(8)+6*((5/3)*(x(4))^3)/x(8)^2; % Tensão G (a)

rdes(11) = (25*x(8)*x(4))/x(8)+6*((5/3)*(x(4))^3)/x(8)^2-10000; % Tensão

H (a)

rdes(12) = 2.5*((5/3)*(x(4))^3)-(25*x(8)*x(4)*x(8)/2); % Derrube em torno

de H (a)

rdes(13) = -

(25*(x(5)*x(1)+x(6)*x(2)+x(7)*x(3)+x(8)*x(4))+20)/x(5)+6*(5625-

25*x(6)*x(2)*(x(5)/2-x(6)/2)-25*x(7)*x(3)*(x(5)/2-x(7)/2)-

(25*x(8)*x(4)+20)*(x(5)/2-x(8)/2))/x(5)^2; % Tensão A (b)

rdes(14) =

(25*(x(5)*x(1)+x(6)*x(2)+x(7)*x(3)+x(8)*x(4))+20)/x(5)+6*(5625-


107

25*x(6)*x(2)*(x(5)/2-x(6)/2)-25*x(7)*x(3)*(x(5)/2-x(7)/2)-

(25*x(8)*x(4)+20)*(x(5)/2-x(8)/2))/x(5)^2-10000; % Tensão B (b)

rdes(15) = 2.5*5625-((25*x(8)*x(4)+20)*(x(5)-x(8)/2)+25*x(7)*x(3)*(x(5)-


de B (b)

rdes(16) = -(25*(x(8)*x(4)+x(7)*x(3)+x(6)*x(2))+20)/x(6)+6*((5/3)*(15-

x(1))^3-(25*x(8)*x(4)+20)*(x(6)/2-x(8)/2)-25*x(7)*x(3)*(x(6)/2-

x(7)/2))/x(6)^2; % Tensão C (b)

rdes(17) = (25*(x(8)*x(4)+x(7)*x(3)+x(6)*x(2))+20)/x(6)+6*((5/3)*(15-

x(1))^3-(25*x(8)*x(4)+20)*(x(6)/2-x(8)/2)-25*x(7)*x(3)*(x(6)/2-

x(7)/2))/x(6)^2-10000; % Tensão D (b)

rdes(18) = 2.5*((5/3)*(15-x(1))^3)-((25*x(8)*x(4)+20)*(x(6)-


de D (b)

rdes(19) = -(25*(x(8)*x(4)+x(7)*x(3))+20)/x(7)+6*((5/3)*(x(3)+x(4))^3-

(25*x(8)*x(4)+20)*(x(7)/2-x(8)/2))/x(7)^2; % Tensão E (b)

rdes(20) = (25*(x(8)*x(4)+x(7)*x(3))+20)/x(7)+6*((5/3)*(x(3)+x(4))^3-

(25*x(8)*x(4)+20)*(x(7)/2-x(8)/2))/x(7)^2-10000; % Tensão F (b)

rdes(21) = 2.5*((5/3)*(x(3)+x(4))^3)-((25*x(8)*x(4)+20)*(x(7)-

x(8)/2)+25*x(7)*x(3)*x(7)/2); % Derrube em torno de F (b)

rdes(22) = -(25*x(8)*x(4)+20)/x(8)+6*((5/3)*(x(4))^3)/x(8)^2; % Tensão G

(b)

rdes(23) = (25*x(8)*x(4)+20)/x(8)+6*((5/3)*(x(4))^3)/x(8)^2-10000; %

Tensão H (b)

rdes(24) = 2.5*((5/3)*(x(4))^3)-((25*x(8)*x(4)+20)*x(8)/2); % Derrube em

torno de H (b)

rdes(25) = -

(25*(x(5)*x(1)+x(6)*x(2)+x(7)*x(3)+x(8)*x(4)))/x(5)+6*(5625+50*15-

25*x(6)*x(2)*(x(5)/2-x(6)/2)-25*x(7)*x(3)*(x(5)/2-x(7)/2)-

25*x(8)*x(4)*(x(5)/2-x(8)/2))/x(5)^2; % Tensão A (c)

rdes(26) =

(25*(x(5)*x(1)+x(6)*x(2)+x(7)*x(3)+x(8)*x(4)))/x(5)+6*(5625+50*15-

25*x(6)*x(2)*(x(5)/2-x(6)/2)-25*x(7)*x(3)*(x(5)/2-x(7)/2)-

25*x(8)*x(4)*(x(5)/2-x(8)/2))/x(5)^2-10000; % Tensão B (c)

rdes(27) = 2.5*(5625+50*15)-(25*x(8)*x(4)*(x(5)-

x(8)/2)+25*x(7)*x(3)*(x(5)-x(7)/2)+25*x(6)*x(2)*(x(5)-

x(6)/2)+25*x(5)*x(1)*x(5)/2); % Derrube em torno de B (c)

rdes(28) = -(25*(x(8)*x(4)+x(7)*x(3)+x(6)*x(2)))/x(6)+6*((5/3)*(15-

x(1))^3+50*(15-x(1))-25*x(8)*x(4)*(x(6)/2-x(8)/2)-25*x(7)*x(3)*(x(6)/2-

x(7)/2))/x(6)^2; % Tensão C (c)

rdes(29) = (25*(x(8)*x(4)+x(7)*x(3)+x(6)*x(2)))/x(6)+6*((5/3)*(15-

x(1))^3+50*(15-x(1))-25*x(8)*x(4)*(x(6)/2-x(8)/2)-25*x(7)*x(3)*(x(6)/2-

x(7)/2))/x(6)^2-10000; % Tensão D (c)


108

rdes(30) = 2.5*((5/3)*(15-x(1))^3+50*(15-x(1)))-(25*x(8)*x(4)*(x(6)-


de D (c)

rdes(31) = -

(25*(x(8)*x(4)+x(7)*x(3)))/x(7)+6*((5/3)*(x(3)+x(4))^3+50*(x(3)+x(4))-

25*x(8)*x(4)*(x(7)/2-x(8)/2))/x(7)^2; % Tensão E (c)

rdes(32) =

(25*(x(8)*x(4)+x(7)*x(3)))/x(7)+6*((5/3)*(x(3)+x(4))^3+50*(x(3)+x(4))-

25*x(8)*x(4)*(x(7)/2-x(8)/2))/x(7)^2-10000; % Tensão F (c)

rdes(33) = 2.5*((5/3)*(x(3)+x(4))^3+50*(x(3)+x(4)))-(25*x(8)*x(4)*(x(7)-

x(8)/2)+25*x(7)*x(3)*x(7)/2); % Derrube em torno de F (c)

rdes(34) = -(25*x(8)*x(4))/x(8)+6*((5/3)*(x(4))^3+50*x(4))/x(8)^2; %

Tensão G (c)

rdes(35) = (25*x(8)*x(4))/x(8)+6*((5/3)*(x(4))^3+50*x(4))/x(8)^2-10000; %

Tensão H (c)

rdes(36) = 2.5*((5/3)*(x(4))^3+50*x(4))-(25*x(8)*x(4)*x(8)/2); % Derrube

em torno de H (c)

% Igualdade ("=")

rig(1) = 0;

A restrição linear de igualdade é descrita através da matriz 𝐴𝑒𝑞 e o valor a ser satisfeito em 𝑏𝑒𝑞. As

restrições desigualdade 𝑅𝑑𝑒𝑠(1), 𝑅𝑑𝑒𝑠(2), 𝑅𝑑𝑒𝑠(3), 𝑅𝑑𝑒𝑠(4), 𝑅𝑑𝑒𝑠(5), 𝑅𝑑𝑒𝑠(6), 𝑅𝑑𝑒𝑠(7) e

𝑅𝑑𝑒𝑠(8) impõem valores mínimos às variáveis de projeto e são descritas como limites no Script 5.4. Os

limites superiores (ub) para as variáveis não seriam necessários para o problema, porém na chamada da

Fmincon quando há limites existentes, como no caso da formulação os limites inferiores (lb), é

necessário que se declare algum valor para os limites superiores.

Script 5.4 – Programa matemático da barragem de oito variáveis correspondente ao programa principal.

% Função objetivo: Volume de betão objetivo=@(x) x(5)*x(1)+x(6)*x(2)+x(7)*x(3)+x(8)*x(4);

% Estimativa inicial x0 = [2.5 3.5 4.0 5.0 10.0 8.0 6.0 4.0];


% Restrições lineares % Desigualdade ("<=") A = []; % Matriz contendo os coeficientes da restrição de desigualdade b = []; % Vetor contendo o valor a ser satisfeito da desigualdade % Igualdade ("=") % H(1)+ H(2)+ H(3)+ H(4)= 15 m Aeq = [1 1 1 1 0 0 0 0]; % Matriz contendo os coeficientes da restrição de

igualdade beq = 15; % Vetor contendo o valor a ser satisfeito da igualdade

% Limite das variáveis % H(1) lb(1) =0.1;


109

ub(1) = 15.0; % H(2) lb(2) = 0.1; ub(2) = 15.0; % H(3) lb(3) = 0.1; ub(3) = 15.0; % H(4) lb(4) = 0.1; ub(4) = 15.0; % B(1) lb(5) = 0.1; ub(5) = 15.0; % B(2) lb(6) = 0.1; ub(6) = 15.0; B(3) lb(7) = 0.1; ub(7) = 15.0; % B(4) lb(8) = 0.1; ub(8) = 15.0;

% Restrições não lineares nonlcon = @aguamaxima3casos;



% Imprime solução disp('Solução') disp(['H(1) = ' num2str(x(1))]) disp(['H(2) = ' num2str(x(2))]) disp(['H(3) = ' num2str(x(3))]) disp(['H(4) = ' num2str(x(4))]) disp(['B(1) = ' num2str(x(5))]) disp(['B(2) = ' num2str(x(6))]) disp(['B(3) = ' num2str(x(7))]) disp(['B(4) = ' num2str(x(8))])

A folha de cálculo do EXCEL e os parâmetros do Solver estão detalhados na Fig. 5.19 e na Fig. 5.20 a),

b), c) e d), respectivamente.


110

Fig. 5.19 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de minimização do volume da barragem de oito

variáveis.

a)


111

b)


112

c)


113

Fig. 5.20 – a), b), c) e d) Definição dos parâmetros do Solver para a minimização do volume da barragem de oito

variáveis.

Os resultados obtidos com a otimização constam no Quadro 5.11, onde as soluções cumpriram todas as

restrições definidas.

Quadro 5.12 – Resultados obtidos na minimização do volume da barragem com oito variáveis.

MATLAB EXCEL

H1 (m) 3.122386088 3.123209211

H2 (m) 3.369934824 3.369344372

H3 (m) 4.070149425 4.070327882

H4 (m) 4.437529663 4.437118535

B1 (m) 9.964860806 9.964892169

B2 (m) 7.930205270 7.929709990

B3 (m) 5.938872485 5.938761883

B4 (m) 4.458325832 4.458162001

f (m³) 101.794469207 101.794468057


114

5.3. TRELIÇA COM TRÊS BARRAS

Apresenta-se em seguida um exemplo de uma treliça hiperestática, plana composta por três barras que

pode ser solicitada de dois modos distintos como referido na Fig. 5.21. Pretende-se otimizar as áreas das

barras, de forma que se obtenha o menor custo. Este problema é semelhante a outros que são

frequentemente utilizados por diversos autores, porém não é apresentado em uma forma padrão [3], [5],

[30].

Fig. 5.21 – Treliça com três barras e dois casos de carga.

Para o problema de otimização do custo da treliça são utilizados perfis metálicos tubulares de secção

circular disponíveis no catálogo do fabricante [28]. Para o presente estudo não é considerado o peso

próprio das barras e são contempladas as normas do EC3 [29] relativas à resistência de barras tracionadas

e à encurvadura de barras comprimidas, ambas de classe 1, 2 ou 3.

Os dados do problema são:

Comprimento da barra 1: 𝐿1 = 500 ∙ √2 cm

Comprimento da barra 2: 𝐿2 = 500 cm

Comprimento da barra 3: 𝐿3 = 500 ∙ √2 cm

𝛽 =𝜋

4 rad

Caso de carga 1: 𝜃 =𝜋

6 rad

Caso de carga 2: 𝜃 =𝜋

3 rad

Módulo de Young do aço: E = 21 000 kN/cm2

Tensão de cedência do aço: 𝑓𝑦 = 35.50 kN/cm2

Coeficiente parcial de segurança: 𝛾𝑀0,𝑀1 = 1

Custo específico do aço: 𝐶𝑠 = 5,00 €/cm3

Onde as variáveis de projeto são:

Área da barra 1: 𝐴1 [cm2]


115



Para as barras tracionadas o valor de cálculo do esforço de tração atuante 𝑁𝑒𝑑 em cada secção transversal

deve satisfazer a seguinte condição:

𝑁𝑒𝑑 ≤ 𝑁𝑡,𝑅𝑑 (5.128)

Onde o valor de cálculo do esforço normal resistente de tração 𝑁𝑡,𝑅𝑑 é dado por:

𝑁𝑡,𝑅𝑑 =𝐴 ∙ 𝑓𝑦

𝛾𝑀0 [kN] (5.129)

Para as barras comprimidas o valor de cálculo do esforço de compressão atuante 𝑁𝑒𝑑 deve satisfazer a

seguinte condição:

𝑁𝑒𝑑 ≤ 𝑁𝑏,𝑅𝑑 (5.130)

Onde o valor de cálculo da resistência à encurvadura do elemento comprimido 𝑁𝑏,𝑅𝑑 é dado por:

𝑁𝑏,𝑅𝑑 =𝜒 ∙ 𝐴 ∙ 𝑓𝑦

𝛾𝑀1 [kN] (5.131)

em que 𝜒 é o coeficiente de redução para o modo de encurvadura dado por:

𝜒 =1

𝛷√𝛷2 − �̅�2≤ 1.0 (5.132)

em que Φ é o valor de:

𝛷 = 0.5 ∙ [1 + 𝛼 ∙ (�̅� − 0.2) + �̅�2] (5.133)

e �̅� é a esbelteza normalizada dada por:

�̅� = √𝐴 ∙ 𝑓𝑦

𝑁𝑐𝑟 (5.134)


116

𝛼 é o fator de imperfeição que se obtém através da curva de encurvadura em função da secção transversal

da barra dado pelos quadros 6.1 e 6.2 do EC3 [29]. O valor utilizado para o presente trabalho é de 0.49.

𝑁𝑐𝑟 é o valor crítico do esforço normal associado ao modo de encurvadura dado por:

𝑁𝑐𝑟 =𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼

𝐿2 [kN] (5.135)

onde 𝐼 é a inércia do perfil.

O esforço normal atuante 𝑁𝑒𝑑 pode ser dado utilizando a equação da tensão normal:

𝜎 =𝑁𝑒𝑑𝐴 [kN/cm2] (5.136)

Utilizando a lei de Hooke dada por:

𝜎 = 𝐸 ∙ 휀 [kN/cm2] (5.137)

onde a deformação normal 휀 é dada através de:

휀 =𝛥𝐿

𝐿 (5.138)

É possível substituir a Equação 5.137 e 5.138 na equação da tensão normal e obter 𝑁𝑒𝑑:

𝑁𝑒𝑑 =𝐸 ∙ 𝐴

𝐿∙ 𝛥𝐿 [kN] (5.139)

Barra 1

De forma genérica a variação do comprimento 𝛥𝐿 da barra 1 é:

𝛥𝐿1 = 𝛥𝐻 ∙ sin𝛽 [cm]

𝛥𝐿1 = −𝛥𝑉 ∙ cos 𝛽 [cm] (5.140)

Onde 𝛥𝐻 e 𝛥𝑉 é, respectivamente, o deslocamento do nó horizontalmente e verticalmente.

Como o esforço axial 𝑁𝑒𝑑 é a soma dos dois efeitos, é possível explicitá-lo em função da área e dos

deslocamentos.


117

𝑁𝑒𝑑 =𝐸 ∙ 𝐴1𝐿1

∙ 𝛥𝐻 ∙ sin 𝛽 −𝐸 ∙ 𝐴1𝐿1

∙ 𝛥𝑉 ∙ cos 𝛽 [kN] (5.141)

Substituindo as Equações 5.129 e 5.141 em 5.128, obtém a inequação 5.142 para barras sujeitas à tração.

𝐸

𝐿1∙ (𝛥𝐻 ∙ sin 𝛽 − 𝛥𝑉 ∙ cos 𝛽) ≤ 𝑓𝑦 (5.142)

Substituindo as Equações 5.131 e 5.141 em 5.130, obtém a inequação 5.143 para barras sujeitas à

compressão:

𝐸

𝐿1∙ (𝛥𝐻 ∙ sin 𝛽 − 𝛥𝑉 ∙ cos 𝛽) ≥ −𝜒 ∙ 𝑓𝑦 (5.143)

Aplicando o método dos mínimos quadrados, é possível explicitar a parcela da inequação 𝜒 ∙ 𝑓𝑦 em

função da área da barra 1 (Fig. 5.23). Para isso, foram escolhidos no catálogo do fabricante treze perfis

(Fig. 5.22) de espessura t igual a 2 mm que variam de classe 1, 2 e 3 definidos no Quadro 5.12. Como

os comprimentos da barra 1 e 3 são iguais, utiliza-se a mesma linha de tendência.

Fig. 5.22 – Perfil tubular de secção circular.


118

Quadro 5.13 – Gama de perfis utilizada na treliça e respectivos valores de 𝜒 ∙ 𝑓𝑦 para a barra 1 e 3

Fig. 5.23 – Linha de tendência 𝜒 ∙ 𝑓𝑦(A) para as barras 1 e 3.

Linha de tendência da barra 1: 𝜒 ∙ 𝑓𝑦(𝐴1) = −0.0034 ∙ 𝐴13 + 0.1309 ∙ 𝐴1

2 − 0.0009 ∙ 𝐴1 + 0.0031

Barra 2


D (cm) A (cm²) I (cm⁴) A∙fy Ncr λ¯ φ χ χ∙fy

1.460 0.792 0.161 28.105 0.067 20.517 215.948 0.002 0.082

1.520 0.829 0.185 29.443 0.077 19.606 197.446 0.003 0.090

1.720 0.955 0.281 33.903 0.116 17.060 150.159 0.003 0.119

2.130 1.210 0.571 42.955 0.237 13.471 94.491 0.005 0.189

2.500 1.450 0.963 51.475 0.399 11.356 67.708 0.007 0.264

2.690 1.560 1.220 55.380 0.506 10.465 57.769 0.009 0.310

3.370 1.990 2.510 70.645 1.040 8.240 36.419 0.014 0.494

4.150 2.480 4.850 88.040 2.010 6.618 23.968 0.021 0.755

4.860 2.930 7.960 104.015 3.300 5.615 17.588 0.029 1.036

5.700 3.460 13.100 122.830 5.430 4.756 12.926 0.040 1.423

6.350 3.860 18.300 137.030 7.586 4.250 10.524 0.050 1.762

7.200 4.400 27.000 156.200 11.192 3.736 8.344 0.063 2.246

8.000 4.900 37.300 173.950 15.462 3.354 6.898 0.077 2.747

8.890 5.460 51.600 193.830 21.389 3.010 5.720 0.094 3.355

9.600 5.910 65.300 209.805 27.068 2.784 5.009 0.109 3.870

10.000 6.160 74.000 218.680 30.675 2.670 4.670 0.118 4.176

10.800 6.660 93.600 236.430 38.799 2.469 4.103 0.136 4.811


119

𝛥𝐿2 = 0

𝛥𝐿2 = −𝛥𝑉 [cm] (5.144)


deslocamentos.

𝑁𝑒𝑑 = −𝐸 ∙ 𝐴2𝐿2

∙ 𝛥𝑉 [kN] (5.145)


𝐸

𝐿2∙ (−𝛥𝑉) ≤ 𝑓𝑦 (5.146)


compressão:

𝐸

𝐿2∙ (−𝛥𝑉) ≥ −𝜒 ∙ 𝑓𝑦 (5.147)

Aplicando novamente o método dos mínimos quadrados, é possível explicitar a parcela da inequação

𝜒 ∙ 𝑓𝑦 em função da área da barra 2 (Fig. 5.24).


120

Quadro 5.14 – Gama de perfis utilizada na treliça e respectivos valores de 𝜒 ∙ 𝑓𝑦 para a barra 2.

Fig. 5.24 – Linha de tendência 𝜒 ∙ 𝑓𝑦(A) para barra 2.


2 − 0.0215 ∙ 𝐴2 + 0.0183

Barra 3


D (cm) A (cm²) I (cm⁴) A∙fy Ncr λ¯ φ χ χ∙fy

1.460 0.792 0.161 28.105 0.134 14.508 109.241 0.005 0.163

1.520 0.829 0.185 29.443 0.153 13.863 99.943 0.005 0.178

1.720 0.955 0.281 33.903 0.233 12.063 76.171 0.007 0.235

2.130 1.210 0.571 42.955 0.473 9.526 48.155 0.010 0.372

2.500 1.450 0.963 51.475 0.798 8.030 34.656 0.015 0.519

2.690 1.560 1.220 55.380 1.011 7.400 29.641 0.017 0.608

3.370 1.990 2.510 70.645 2.081 5.827 18.853 0.027 0.965

4.150 2.480 4.850 88.040 4.021 4.679 12.545 0.041 1.468

4.860 2.930 7.960 104.015 6.599 3.970 9.305 0.056 2.003

5.700 3.460 13.100 122.830 10.861 3.363 6.930 0.077 2.733

6.350 3.860 18.300 137.030 15.172 3.005 5.703 0.095 3.365

7.200 4.400 27.000 156.200 22.384 2.642 4.587 0.120 4.258

8.000 4.900 37.300 173.950 30.923 2.372 3.845 0.146 5.167

8.890 5.460 51.600 193.830 42.779 2.129 3.238 0.176 6.252

9.600 5.910 65.300 209.805 54.137 1.969 2.871 0.202 7.156

10.000 6.160 74.000 218.680 61.349 1.888 2.696 0.216 7.684

10.800 6.660 93.600 236.430 77.599 1.746 2.402 0.247 8.761


121

𝛥𝐿3 = −𝛥𝐻 ∙ sin 𝛽 [cm]

𝛥𝐿3 = −𝛥𝑉 ∙ cos 𝛽 [cm]

(5.148)


deslocamentos.

𝑁𝑒𝑑 = −𝐸 ∙ 𝐴3𝐿3

∙ 𝛥𝐻 ∙ sin 𝛽 −𝐸 ∙ 𝐴3𝐿3

∙ 𝛥𝑉 ∙ cos 𝛽 [kN] (5.149)


𝐸

𝐿3∙ (−𝛥𝐻 ∙ sin𝛽 − 𝛥𝑉 ∙ cos 𝛽) ≤ 𝑓𝑦 (5.150)


compressão:

𝐸

𝐿3∙ (−𝛥𝐻 ∙ sin 𝛽 − 𝛥𝑉 ∙ cos 𝛽) ≥ −𝜒 ∙ 𝑓𝑦 (5.151)


2 − 0.0009 ∙ 𝐴3 + 0.0031

Como nas inequações que constituem as restrições desigualdade do problema de otimização também há

variáveis relativas ao deslocamento, é necessário adicionar restrições de igualdade que contenham os

deslocamentos. Utilizando o Método dos Deslocamentos (Equação 5.152) é possível explicitar os

deslocamentos em função das áreas da treliça. Os deslocamentos são distintos para cada caso de carga,

pois dependem das forças aplicadas.

𝛥 = 𝐾−1 ∙ 𝐹 (5.152)

em que a matriz dos deslocamentos 𝛥 para o caso de carga 1 e 2, é respectivamente:

𝛥𝐶1 = [𝛥𝐻,𝑐1𝛥𝑉,𝑐1

]

𝛥𝐶2 = [𝛥𝐻,𝑐2𝛥𝑉,𝑐2

]

(5.153)


122

a matriz rigidez 𝐾 é dada por:

𝐾 = [𝐾11 𝐾12𝐾21 𝐾22

] (5.154)

Onde:

𝐾11 significa a rigidez quando a força está segundo 𝛥1 quando apenas 𝛥1 = 1, ou seja,

quando a força está na direção horizontal e o deslocamento horizontal é unitário.


quando a força está na direção horizontal e o deslocamento vertical é unitário.


quando a força está na direção vertical e o deslocamento horizontal é unitário.


quando a força está na direção vertical e o deslocamento vertical é unitário.

A matriz de força 𝐹 é definida por:

𝐹 = [𝐹𝐻𝐹𝑉] (5.155)

Substituindo os valores das forças para o caso de carga 1 e 2, respectivamente:

𝐹𝐶1 = [20 ∙ √3−20

]

𝐹𝐶2 = [20

−20 ∙ √3]

Os termos da matriz 𝐾 são dados por:

𝐾11 =𝐸 ∙ 𝐴1𝐿1

∙ sin2 𝛽 +𝐸 ∙ 𝐴3𝐿3

∙ sin2(−𝛽)

𝐾12 = −𝐸 ∙ 𝐴1𝐿1

∙ sin 𝛽 ∙ cos𝛽 −𝐸 ∙ 𝐴3𝐿3

∙ sin(−𝛽) ∙ cos(−𝛽)

𝐾21 = −𝐸 ∙ 𝐴1𝐿1

∙ sin𝛽 ∙ cos 𝛽 −𝐸 ∙ 𝐴3𝐿3

∙ sin(−𝛽) ∙ cos(−𝛽)

𝐾22 =𝐸 ∙ 𝐴1𝐿1

∙ cos2 𝛽 +𝐸 ∙ 𝐴2𝐿2

+𝐸 ∙ 𝐴3𝐿3

∙ cos2(−𝛽)

(5.156)

Realizando as substituições necessárias obtém-se a matriz 𝐾 e em seguida a sua matriz inversa 𝐾−1:


123

𝐾 = [10.5√2 ∙ 𝐴1 + 10.5√2 ∙ 𝐴3 −10.5√2 ∙ 𝐴1 + 10.5√2 ∙ 𝐴3

−10.5√2 ∙ 𝐴1 + 10.5√2 ∙ 𝐴3 10.5√2 ∙ 𝐴1 + 42 ∙ 𝐴2 + 10.5√2 ∙ 𝐴3]

𝐾−1 = [𝐾11 𝐾12𝐾21 𝐾22

]

𝐾11 =10.5√2 ∙ 𝐴1 + 42 ∙ 𝐴2 + 10.5√2 ∙ 𝐴3

𝐴1 ∙ (623.668181007 ∙ 𝐴2 + 882 ∙ 𝐴3) + 623.668181007 ∙ 𝐴2 ∙ 𝐴3

𝐾12 =10.5√2 ∙ 𝐴1 − 10.5√2 ∙ 𝐴3

𝐴1 ∙ (623.668181007 ∙ 𝐴2 + 882 ∙ 𝐴3) + 623.668181007 ∙ 𝐴2 ∙ 𝐴3

𝐾21 =10.5√2 ∙ 𝐴1 − 10.5√2 ∙ 𝐴3

𝐴1 ∙ (623.668181007 ∙ 𝐴2 + 882 ∙ 𝐴3) + 623.668181007 ∙ 𝐴2 ∙ 𝐴3

𝐾22 =10.5√2 ∙ 𝐴1 + 10.5√2 ∙ 𝐴3

𝐴1 ∙ (623.668181007 ∙ 𝐴2 + 882 ∙ 𝐴3) + 623.668181007 ∙ 𝐴2 ∙ 𝐴3

Desta forma é possível calcular a matriz dos deslocamentos para cada caso de carga através da Equação

5.152, resultando em:

𝛥𝐶1 =

[ 0.348595623 ∙ (𝐴1 + 6.692130430 ∙ (𝐴2 + 0.557677536 ∙ 𝐴3))

𝐴1 ∙ (𝐴2 + 1.414213562 ∙ 𝐴3) + 𝐴2 ∙ 𝐴30.348595623 ∙ (𝐴1 − 3.732050808 ∙ 𝐴3)

𝐴1 ∙ (𝐴2 + 1.414213562 ∙ 𝐴3) + 𝐴2 ∙ 𝐴3 ]

𝛥𝐶2 =

[ −0.348595623 ∙ (𝐴1 − 3.863703305 ∙ (𝐴2 + 0.965925826 ∙ 𝐴3))

𝐴1 ∙ (𝐴2 + 1.414213562 ∙ 𝐴3) + 𝐴2 ∙ 𝐴3−0.348595623 ∙ (𝐴1 + 3.732050808 ∙ 𝐴3)

𝐴1 ∙ (𝐴2 + 1.414213562 ∙ 𝐴3) + 𝐴2 ∙ 𝐴3 ]

Em seguida é possível formular o programa matemático descrito por:

Função objetivo: Minimização do custo da treliça em €.

𝑓(𝐴1, 𝐴2, 𝐴3) = 𝐶𝑠 ∙ (𝐴1 ∙ 𝐿1 + 𝐴2 ∙ 𝐿2 + 𝐴3 ∙ 𝐿3)

𝑓(𝐴1, 𝐴2 , 𝐴3) = 2 500 ∙ (√2 ∙ 𝐴1 + 𝐴2 +√2 ∙ 𝐴3) (5.157)

Restrições desigualdade: Resistências à tração e resistências à encurvadura para o caso de carga

1 e caso de carga 2.

Apesar de se ter conhecimento prévio se algumas barras estão sujeitas a esforços de tração ou de

compressão, opta-se por adicionar as duas restrições para cada barra.


124

Rdes(1) ⇒𝐸

𝐿1∙ (𝛥𝐻,𝐶1 ∙ sin𝛽 − 𝛥𝑉,𝐶1 ∙ cos 𝛽) ≤ 𝑓𝑦

21 ∙ (𝛥𝐻,𝐶1 − 𝛥𝑉,𝐶1) − 35.50 ≤ 0

𝑅𝑑𝑒𝑠(2) ⇒𝐸

𝐿1∙ (𝛥𝐻,𝐶1 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛽 − 𝛥𝑉,𝐶1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛽) ≥ −𝜒 ∙ 𝑓𝑦

21 ∙ (−𝛥𝐻,𝐶1 + 𝛥𝑉,𝐶1) − (−0.0034 ∙ 𝐴13 + 0.1309 ∙ 𝐴1

2 − 0.0009 ∙ 𝐴1 + 0.0031) ≤ 0


𝐿2∙ (−𝛥𝑉,𝐶1) ≤ 𝑓𝑦

42 ∙ (−𝛥𝑉,𝐶1) − 35.50 ≤ 0


𝐿2∙ (−𝛥𝑉,𝐶1) ≥ −𝜒 ∙ 𝑓𝑦

42 ∙ (𝛥𝑉,𝐶1) − (−0.0105 ∙ 𝐴23 + 0.27 ∙ 𝐴2

2 − 0.0215 ∙ 𝐴2 + 0.0183) ≤ 0


𝐿3∙ (−𝛥𝐻,𝐶1 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛽 − 𝛥𝑉,𝐶1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛽) ≤ 𝑓𝑦

21 ∙ (−𝛥𝐻,𝐶1 − 𝛥𝑉,𝐶1) − 35.50 ≤ 0


𝐿3∙ (−𝛥𝐻,𝐶1 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛽 − 𝛥𝑉,𝐶1 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛽) ≥ −𝜒 ∙ 𝑓𝑦

21 ∙ (𝛥𝐻,𝐶1 + 𝛥𝑉,𝐶1) − (−0.0034 ∙ 𝐴33 + 0.1309 ∙ 𝐴3

2 − 0.0009 ∙ 𝐴3 + 0.0031) ≤ 0


𝐿1∙ (𝛥𝐻,𝐶2 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛽 − 𝛥𝑉,𝐶2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛽) ≤ 𝑓𝑦

21 ∙ (𝛥𝐻,𝐶2 − 𝛥𝑉,𝐶2) − 35.50 ≤ 0


𝐿1∙ (𝛥𝐻,𝐶2 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛽 − 𝛥𝑉,𝐶2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛽) ≥ −𝜒 ∙ 𝑓𝑦

21 ∙ (−𝛥𝐻,𝐶2 + 𝛥𝑉,𝐶2) − (−0.0034 ∙ 𝐴13 + 0.1309 ∙ 𝐴1

2 − 0.0009 ∙ 𝐴1 + 0.0031) ≤ 0


𝐿2∙ (−𝛥𝑉,𝐶2) ≤ 𝑓𝑦

42 ∙ (−𝛥𝑉,𝐶2) − 35.50 ≤ 0


125


𝐿2∙ (−𝛥𝑉,𝐶2) ≥ −𝜒 ∙ 𝑓𝑦

42 ∙ (𝛥𝑉,𝐶2) − (−0.0105 ∙ 𝐴23 + 0.27 ∙ 𝐴2

2 − 0.0215 ∙ 𝐴2 + 0.0183) ≤ 0


𝐿3∙ (−𝛥𝐻,𝐶2 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛽 − 𝛥𝑉,𝐶2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛽) ≤ 𝑓𝑦

21 ∙ (−𝛥𝐻,𝐶2 − 𝛥𝑉,𝐶2) − 35.50 ≤ 0


𝐿3∙ (−𝛥𝐻,𝐶2 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝛽 − 𝛥𝑉,𝐶2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝛽) ≥ −𝜒 ∙ 𝑓𝑦

21 ∙ (𝛥𝐻,𝐶2 + 𝛥𝑉,𝐶2) − (−0.0034 ∙ 𝐴33 + 0.1309 ∙ 𝐴3

2 − 0.0009 ∙ 𝐴3 + 0.0031) ≤ 0

Restrições igualdade: Deslocamento horizontal e vertical para o caso de carga 1 e caso de

carga 2.

𝑅𝑖𝑔(1) ⇒ 𝛥𝐶1 = 𝐾−1 ∙ 𝐹𝐶1

𝛥𝐻,𝐶1 =0.348595623 ∙ (𝐴1 + 6.692130430 ∙ (𝐴2 + 0.557677536 ∙ 𝐴3))

𝐴1 ∙ (𝐴2 + 1.414213562 ∙ 𝐴3) + 𝐴2 ∙ 𝐴3

𝑅𝑖𝑔(2) ⇒ 𝛥𝐶1 = 𝐾−1 ∙ 𝐹𝐶1

𝛥𝑉,𝐶1 −0.348595623 ∙ (𝐴1 − 3.732050808 ∙ 𝐴3)

𝐴1 ∙ (𝐴2 + 1.414213562 ∙ 𝐴3) + 𝐴2 ∙ 𝐴3= 0

𝑅𝑖𝑔(3) ⇒ 𝛥𝐶2 = 𝐾−1 ∙ 𝐹𝐶2

𝛥𝐻,𝐶2 −−0.348595623 ∙ (𝐴1 − 3.863703305 ∙ (𝐴2 + 0.965925826 ∙ 𝐴3))

𝐴1 ∙ (𝐴2 + 1.414213562 ∙ 𝐴3) + 𝐴2 ∙ 𝐴3= 0

𝑅𝑖𝑔(4) ⇒ 𝛥𝐶2 = 𝐾−1 ∙ 𝐹𝐶2

𝛥𝑉,𝐶2 −−0.348595623 ∙ (𝐴1 + 3.732050808 ∙ 𝐴3)

𝐴1 ∙ (𝐴2 + 1.414213562 ∙ 𝐴3) + 𝐴2 ∙ 𝐴3= 0

A substituição dos deslocamentos nas restrições desigualdade faz com que o programa matemático passe

a ter apenas três variáveis de projeto (𝐴1, 𝐴2 e 𝐴3) e seja sujeito a apenas restrições desigualdade.

Limites das variáveis:

Na minimização do volume de treliças hiperestáticas, as barras menos eficientes são em geral suprimidas

pelo algoritmo de otimização. Por essa questão devem ser consideradas limites de áreas mínimas em


126

todas as barras. Os limites também são impostos às variáveis de projeto pelo fato de as áreas estarem

restringidas pelo catálogo do fabricante. Deste modo evita-se que o algoritmo de otimização encontre

soluções com áreas negativas ou que suprima certas barras atribuindo-lhes uma área nula.

{0.792 ≤ 𝐴1 ≤ 6.660.792 ≤ 𝐴2 ≤ 6.660.792 ≤ 𝐴3 ≤ 6.66

As restrições não lineares de desigualdade e a resolução do problema de otimização no MATLAB

encontram-se descritas no Script 5.5 e Script 5.6, respectivamente.

Script 5.5 – Programa matemático da treliça correspondente às restrições não lineares.


function [rdes,rig] = trelica3barras(x)


rdes(1) =

21*(((0.348595623*(x(1)+6.69213043*(x(2)+0.557677536*x(3))))/(x(1)*(x(2)+

1.414213562*x(3))+x(2)*x(3)))-((0.348595623*(x(1)-

3.732050808*x(3)))/(x(1)*(x(2)+1.414213562*x(3))+x(2)*x(3))))-35.50; %

Resistência à tração (C.1)

rdes(2) = 21*(-

((0.348595623*(x(1)+6.69213043*(x(2)+0.557677536*x(3))))/(x(1)*(x(2)+

1.414213562*x(3))+x(2)*x(3)))+((0.348595623*(x(1)-

3.732050808*x(3)))/(x(1)*(x(2)+1.414213562*x(3))+x(2)*x(3))))-(-

0.0034*x(1)^3 + 0.1309*x(1)^2 - 0.0009*x(1) + 0.0031); %Resistência à

compressão (C.1)

rdes(3) = 42*(-((0.348595623*(x(1)-

3.732050808*x(3)))/(x(1)*(x(2)+1.414213562*x(3))+x(2)*x(3))))-35.50; %


rdes(4) = 42*(((0.348595623*(x(1)-

3.732050808*x(3)))/(x(1)*(x(2)+1.414213562*x(3))+x(2)*x(3))))-(-

0.0105*x(2)^3 + 0.27*x(2)^2 - 0.0215*x(2) + 0.0183); % Resistência à

compressão (C.1)

rdes(5) = 21*(-

((0.348595623*(x(1)+6.69213043*(x(2)+0.557677536*x(3))))/(x(1)*(x(2)+

1.414213562*x(3))+x(2)*x(3)))-((0.348595623*(x(1)-

3.732050808*x(3)))/(x(1)*(x(2)+1.414213562*x(3))+x(2)*x(3))))-35.50; %


rdes(6) =

21*(((0.348595623*(x(1)+6.69213043*(x(2)+0.557677536*x(3))))/(x(1)*(x(2)+

1.414213562*x(3))+x(2)*x(3)))+((0.348595623*(x(1)-

3.732050808*x(3)))/(x(1)*(x(2)+1.414213562*x(3))+x(2)*x(3))))-(-

0.0034*x(3)^3 + 0.1309*x(3)^2 - 0.0009*x(3) + 0.0031); % Resistência à

compressão (C.1)

rdes(7) = 21*(((-0.348595623*(x(1)-

3.863703305*(x(2)+0.965925826*x(3))))/(x(1)*(x(2)+1.414213562*x(3))+x(2)*


127

x(3)))-((-

0.348595623*(x(1)+3.732050808*x(3)))/(x(1)*(x(2)+1.414213562*x(3))+x(2)*

x(3))))-35.50; % Resistência à tração (C.2)

rdes(8) = 21*(-((-0.348595623*(x(1)-

3.863703305*(x(2)+0.965925826*x(3))))/(x(1)*(x(2)+1.414213562*x(3))+x(2)*

x(3)))+((-

0.348595623*(x(1)+3.732050808*x(3)))/(x(1)*(x(2)+1.414213562*x(3))+x(2)*

x(3))))-(-0.0034*x(1)^3 + 0.1309*x(1)^2 - 0.0009*x(1) + 0.0031); %

Resistência à compressão (C.2)

rdes(9) = 42*(-((-

0.348595623*(x(1)+3.732050808*x(3)))/(x(1)*(x(2)+1.414213562*x(3))+x(2)*

x(3))))-35.50;% Resistência à tração (C.2)

rdes(10) = 42*(((-

0.348595623*(x(1)+3.732050808*x(3)))/(x(1)*(x(2)+1.414213562*x(3))+x(2)*

x(3))))-(-0.0105*x(2)^3 + 0.27*x(2)^2 - 0.0215*x(2) + 0.0183); %

Resistência à compressão (C.2)

rdes(11) = 21*(-((-0.348595623*(x(1)-

3.863703305*(x(2)+0.965925826*x(3))))/(x(1)*(x(2)+1.414213562*x(3))+x(2)*

x(3)))-((-

0.348595623*(x(1)+3.732050808*x(3)))/(x(1)*(x(2)+1.414213562*x(3))+x(2)*

x(3))))-35.50; % Resistência à tração (C.2)

rdes(12) = 21*(((-0.348595623*(x(1)-

3.863703305*(x(2)+0.965925826*x(3))))/(x(1)*(x(2)+1.414213562*x(3))+x(2)

*x(3)))+((-

0.348595623*(x(1)+3.732050808*x(3)))/(x(1)*(x(2)+1.414213562*x(3))+x(2)*x(3

))))-(-0.0034*x(3)^3 + 0.1309*x(3)^2 - 0.0009*x(3) + 0.0031); % Resistência

à compressão (C.2)

% Igualdade ("=")

rig(1) = 0;

Script 5.6 – Programa matemático da treliça correspondente ao programa principal.

% Função objetivo: Custo em euros objetivo=@(x) 2500*(sqrt(2)*x(1)+x(2)+sqrt(2)*x(3));

% Estimativa inicial x0 = [1.0 0.9 5.5];


% Restrições lineares % Desigualdade ("<=") A = []; % Matriz contendo os coeficientes da restrição de desigualdade b = []; % Vetor contendo o valor a ser satisfeito da desigualdade % Igualdade ("=") Aeq = []; % Matriz contendo os coeficientes da restrição de igualdade beq = []; % Vetor contendo o valor a ser satisfeito da igualdade


128

% Limite das variáveis % A1 (cm^2) lb(1) = 0.792; ub(1) = 6.66; % A2 (cm^2) lb(2) = 0.792; ub(2) = 6.66; % A3 (cm^2) lb(3) = 0.792; ub(3) = 6.66;

% Restrições não lineares nonlcon = @trelica3barras;



% Imprime solução disp('Solução') disp(['A1 = ' num2str(x(1))]) disp(['A2 = ' num2str(x(2))]) disp(['A3 = ' num2str(x(3))])

A resolução do problema de otimização no EXCEL está descrita na folha de cálculo presente na Fig.

5.25 e os parâmetros do Solver na Fig. 5.26 a) e b).

Fig. 5.25 – Folha de cálculo do EXCEL contendo o problema de minimização do custo da treliça.


129

a)


130

Fig. 5.26 – a) e b) Definição dos parâmetros do Solver para a minimização do custo da treliça.

As soluções obtidas pelos softwares estão descritas no Quadro 5.14.

Quadro 5.15 – Comparação entre os resultados obtidos para o problema da treliça.

Utilizando os perfis catalogados e aplicando aproximações favoráveis, obtém-se a solução representada

no Quadro 5.15. Observa-se que a solução de 𝐴2 manteve a área mínima.

Quadro 5.16 – Solução obtida para o problema da treliça utilizando aproximações.

MATLAB EXCEL

0.833903107 0.833904576

0.792000000 0.792000000

6.058969301 6.058967831

f (€) 26349.984107752 26349.984102331

𝐴1 𝑐𝑚2

𝐴2 𝑐𝑚2

𝐴3 𝑐𝑚2

0.955

0.792

6.160

f (€) 27135.32

𝐴1 𝑐𝑚2

𝐴2 𝑐𝑚2

𝐴3 𝑐𝑚2


131

6 CONCLUSÃO

6.1. OBSERVAÇÕES FINAIS

Destaca-se que o principal objetivo do presente trabalho consiste na abordagem da otimização de

problemas de engenharia civil de um modo genérico e versátil, sem perder a eficiência aceitável, que

permite a resolução dos problemas com maior complexidade em tempo útil. Para definir

satisfatoriamente os problemas de forma realista, outras particularidades necessitam ser abrangidas. Para

isso é preciso levar em consideração as restrições relativas às combinações de carregamento previstos

nos Eurocódigos, as restrições de encurvadura, imperfeições geométricas, resistências ao punçoamento,

dentre outros aspectos.

Os métodos de otimização podem auxiliar poderosamente os projetistas no objetivo de conseguir

soluções mais econômicas e igualmente seguras. Porém, é importante ressaltar a necessidade de se deter

um conhecimento prévio dos métodos de otimização para os diversos problemas. Além disso, torna-se

imprescindível que o programa matemático do problema de otimização seja corretamente formulado e

para isso é fundamental que o projetista detenha tempo suficiente para a sua preparação.

Outro ponto importante que justifica a implementação das técnicas de otimização pelos projetistas é o

fato de os softwares utilizados para verificações dos esforços, não relatarem se algum elemento da

estrutura está sobredimensionado, deixando de se obter uma solução que poderia ser mais econômica.

Em contrapartida, à implementação das técnicas de otimização em obras de pequeno porte o projetista

não tem tempo suficiente para poder se dedicar a desenvolver uma solução mais econômica para um

projeto, adotando assim uma solução baseada em sua experiência, abandonando novamente a solução

ótima.

No presento trabalho, além dos problemas de teste, foram abordados problemas de otimização aplicados

na engenharia civil que buscaram minimizar em sua maioria os custos, através da obtenção do volume

mínimo dos materiais envolvidos, onde as variáveis de projeto foram as dimensões e áreas das secções

transversais.

Da comparação entre as soluções obtidas pelo Solver do Microsoft EXCEL que fez uso do método GRG

Não Linear e da função Fmincon do MATLAB, a qual empregou o método Interior-Point, foi possível

observar o bom desempenho dos algoritmos utilizados para obter os resultados dos variados problemas

de otimização publicados neste trabalho, pois apresentam uma elevada precisão. A aplicação desses

métodos também pôde ser comprovada de forma eficiente no problema de otimização da barragem de

três variáveis, quando se comparou os resultados obtidos com os publicados anteriormente [21].


132

6.2. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

A otimização aplicada à engenharia civil ainda necessita de muitos estudos e com o objetivo de

aprofundar o assunto relativo ao tema, destacam-se alguns:

Otimização aplicacando Eurocódigos de forma mais rigorosa no desenvolvimento dos

problemas de otimização;

Otimização de estruturas pré-esforçadas;

Otimização considerando os efeitos de segunda ordem em estruturas metálicas;

Otimização de estruturas de suporte de terra;

Otimização de estruturas cimbradas.


133

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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134

[24] http://www.ofeliz.pt/sites/default/files/o_feliz_chapa_perfilada.pdf 06/2020.

[25] https://ofelizpainel.com/wp-content/uploads/2018/03/OFMT-Superomega-pt.pdf 06/2020.

[26] ARBED GROUP - Profil Arbed, Edition 3-2001.

[27] Apontamentos da disciplina de Dimensionamento de Estruturas de Betão (Fundações em Betão),

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, 2018.

[28] http://www.condesa.com/pdf/pt/tubo_estructural_castv3.pdf 07/2020.

[29] NP EN 1993-1-1. Eurocódigo 3: Projeto de Estruturas de Aço – Parte 1-1: Regras gerais e regras

para edifícios. Comité Europeu de Normalização (CEN), Bruxelas, 2010.

[30] Vanderplaats, G. N. Numerical Optimization Techniques for Engineering Design: with

Applications. McGraw-Hill, 1984.

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