Algebra Linear

Aplicações

• Resolução de problemas Lineares• Otimização de processos• Estatística• Processamento de Imagens• Programação

Vetores

• Elemento geométrico – segmento de reta – intensidade (“valor”) – Direção (“Inclinação”)– Sentido (“para lá ou para cá”

• Em um dado espaço, significa ser o necessário para “carregar” o ponto A até B.

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Intensidade

SentidoSentido

DireçãoDireçãoA

B

Termos para vetores

• Vetor Nulo = Vetor sem intensidade• Vetor Oposto = vetor de igual intensidade e

direção, mas sentido diferente• Colineares/Coplanares = vetores na mesma

reta/plano

-V

V

Operações com vetores

UV

A

B

CU + V

SOMA DE VETORES

Propriedades de Adição

• Associativa(U+V)+w = U+(V+W)• ComutativaU+V = V+U

Operações com vetores

• Vemos um vetor V não-nulo e um numero real não nulo– P = k.v– Direção a mesma de V– Sentido:• O mesmo se k>0• Contrário se k<0

v

v

v

v

v

v

2

3

Multiplicação de vetores

-1

Propriedades da Multiplicação

a(b.u) = (a.b)u(A+B)u = a.u + b.ua (u+v) = au + av1 u = u

Vetores no Plano Cartesiano

Y1

Y2

X1 X2

Vetores no Plano Cartesiano

Y

X

Vetor partindo da origem

Operações no Plano Cartesiano

Dado os vetores u = (x1, y1) e v = (x2,y2)

u+v = (x1+x2, y1+y2)

au = (ax1, ay1)

Vetor Definido por Dois Pontos

• AB = OB – AOAB = (x2 – x1, y2 – y1)

A

By2

x1 x2

y1

Fy

Fx

Decomposição de vetores

F

Fórmulas para decomposição

Soma de vetores oblíquos

Regra do Paralelogramo

A

B

C

Soma de Vetores oblíquos

A

B

C

Produto escalar de dois vetores

Utilizado em física (Dinâmica)Não é vetorial (apenas ESCALAR)

u.v = x1x2 + y1y2

Propriedades do produto escalar

u.v = v.uu.(v+w) = u.v + u.wm.(u.v) = m(u.v) = u.(m.v)u.u = |u|²

Módulo de um vetor

• Também considerado a distância entre dois pontos

Exercícios

1) Dado o vetor u = (1, 2) e o vetor v = (4, 5). Determine

a) u+vb) |p|, resultado da multiplicação de 2.uc) Produto escalard) Módulo do vetor