Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Guia do professor

licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons

geometria e medidas

Qual é o prisma com maior volume?

Objetivos da unidadeInvestigar qual prisma de base triangular pode ser montado 1. com meia folha de papel A4 para que se obtenha o maior volume possível;Rever algumas formas de calcular a área de um triângulo.2.

Guia do professor

SinopseTrabalhando em grupos, os alunos construirão seis prismas de base triangular diferentes usando papel A4 e tentarão organizá-los em ordem de volume. Feito isso, calcularão os volumes dos prismas a partir de suas medidas e tentarão descobrir qual seria a forma do prisma para que se obtivesse o maior volume possível.

ConteúdosGeometria Espacial: Problema de Otimização; �

Geometria Plana: Áreas e Perímetros, Problemas de Otimização no Plano. �

ObjetivosInvestigar qual prisma de base triangular pode ser montado com meia folha 1. de papel A4 para que se obtenha o maior volume possível;Rever algumas formas de calcular a área de um triângulo.2.

DuraçãoUma aula dupla.

Material relacionadoExperimento: � Caixa de papel;Experimento: � Qual é o Cone de Maior Volume?;Software: � Otimização de Cones.

Qual é o prisma com maior volume?

Qual é o prisma com maior volume? Guia do professor 2 / 10

Introdução

O processo de otimização de embalagens, peças e recipientes é um as-sunto frequente em indústrias de maneira geral. Ele pode ser entendido tanto em obter o maior volume possível consumindo uma quantidade fixa de material, quanto em construir um objeto com determinado volume con-sumindo a menor quantidade de material possível. Neste experimento, trataremos de como obter a otimização do volume em função de uma quantidade fixa de material. Os alunos terão que cons-truir vários prismas retos sempre com a mesma superfície lateral e, a partir dessas construções e de algumas análises, poderão, experimentalmente, levantar hipóteses sobre como o prisma deveria ser construído para que tivesse o maior volume possível.

Motivação

Muitas vezes deixamos de desenvolver experimentos em sala de aula pela falta de materiais adequados, seja pelo seu alto custo ou pela dificuldade em adquiri-los. Neste experimento, entretanto, utilizaremos uma variedade de materiais simples que podem ser encontrados facilmente. Como vere-mos, uma simples folha de papel A4 tornará esse experimento muito rico e auxiliará na aprendizagem na medida em que possibilita a concretização da teoria. A otimização trata de encontrar o melhor resultado possível em uma deter minada situação-problema, sob certas condições. Isso, bem empre-gado, pode trazer benefícios, por exemplo, para indústrias, para a área da saúde e cotidiano. Este experimento objetiva otimizar o volume de prismas com apenas uma condição: utilizar uma quantidade fixa de material. O assunto abordado nesta proposta está entre os importantes conteúdos do Ensino Médio.

O experimento

Comentários iniciais

Em geral, a construção de materiais contribui sobremaneira para a aprendi-zagem. Em cada etapa da construção, por exemplo, faz-se necessário, entre outros, reflexões e tomadas de decisões, habilidade manual, visualização, uso de conteúdos e habilidades já adquiridos. O trabalho em equipe enri-quece também o conhecimento e favorece a cooperação de todos. Isso tudo deve ser bastante valorizado na construção dos prismas. No processo experimental para a otimização dos prismas, é importante que um número razoável deles seja construído pelos alunos para uma com-paração entre seus volumes. Inicialmente, esse procedimento será feito intuitivamente apenas através da visualização dos objetos. Mais tarde, essa comparação será analisada por meio de cálculos matemáticos, entre eles, os que envolvem áreas e volumes. Nesse procedimento é propiciada também ao aluno a oportunidade de escolha entre métodos diversificados para esses cálculos, o que contribuirá para desenvolver competência na tomada de decisões.

Etapa 1 Construção de prismas

O objetivo desta etapa é a construção de prismas retos de bases triangu-lares e mesma altura tendo a mesma área lateral, ou seja, com perímetro da base fixo e mesma altura. Por meio simplesmente da observação, o aluno deve ser instruído a comparar seus volumes. A comparação e ordenação por volumes dos prismas construídos requerem, além das competências já citadas, observação e estimativa, fatores importantes na formação do aluno. Um conteúdo importante que se destaca nesta etapa, supostamente já adquirido pelo aluno e que acaba sendo redescoberto por ele de maneira experimental, é a condição de existência de um triângulo:

Qual é o prisma com maior volume? Guia do professor 3 / 10

Fórmula de Heron para o cálculo da área de um triângulo:3.

A=

p · (p−a) · (p−b) · (p−c),

onde p=

a+b+c

2

é o semiperímetro do triângulo, e os lados a b c, a b c e a b c do triângulo são medidos nos objetos construídos. Para uma demonstração consulte Dalcin, ou Dolce e Pompeo. Salientamos que as medidas feitas pelos alunos são aproximadas. Por mais precisos que sejam os instrumentos para as medições e, também, por mais cuidado que se tomem ao realizar as medições, as medidas obtidas são aproximadas e, consequentemente, os valores obtidos para as áreas dos triângulos e os volumes dos prismas são aproximados.

Uma condição necessária e sufi ciente para construir um triângulo de lados com medidas a b c, a b c e a b c é que cada uma dessas medidas seja menor do que a soma das outras duas.

Etapa 2 Cálculo dos volumes

O objetivo desta etapa é obter, aproximadamente, os volumes dos prismas construídos, por meio de cálculos matemáticos, e organizá-los em ordem crescente. Lembremos que:

O volume de um prisma é igual ao produto da área da sua base pela sua altura.

É preciso, então, que as áreas dos triângulos que formam as bases dos prismas sejam calculadas. Observe que estamos nos referindo à área do triângulo como sendo a área da região delimitada por ele. Apresentamos três maneiras diferentes para calcular essas áreas. Cada uma delas é mais conveniente que outras para ser utilizada em uma deter-minada situação-problema. É importante discutir com os alunos sobre as vantagens e desvantagens das opções apresentadas, e caberá a eles a escolha em cada situação. As alternativas para os cálculos das áreas são as seguintes:

A área de um triângulo é dada pela metade do produto de um se seus lados 1. pela altura correspondente: A= 1

2 LHL A= 12 ac senβ, onde o lado A=

1

2LHL e sua respectiva

altura A=1

2LHL são medidos nos objetos cons truídos.

A área de um triângulo é igual à metade do produto de dois quaisquer de 2. seus lados pelo seno do ângulo entre eles: A= 1

2 LHL A= 12 ac senβ, onde os lados

a b c e a b c do triângulo e ângulo A=1

2ac senβ são medidos nos objetos cons truídos.

Condição de existência de um triângulo

FIG. 1

A

Ca

bc

β

h = c sen β

B

FIG. 2

A

Ca

bc

B

Qual é o prisma com maior volume? Guia do professor 4 / 10

É importante, então, que os alunos presumam que o prisma triangular de volume máximo com altura constante é o regular. E, assim, durante o fechamento do experimento, é importante que o professor demonstre que “dentre todos os triângulos de mesmo perímetro, o equilátero é o que tem maior área”. Apresentamos, a seguir, uma prova deste resultado utilizando as noções de média aritmética e média geométrica e, também, uma relação entre elas.

Sejam três números positivos x y z MA MG MG = 3√x ·y ·z, x y z MA MG MG = 3

√x ·y ·z e x y z MA MG MG = 3

√x ·y ·z. A média aritmética x y z MA MG MG = 3

√x ·y ·z desses

números é definida por

MA =x+y+z

3

e a média geométrica x y z MA MG MG = 3√x ·y ·z é definida por x y z MA MG MG = 3

√x ·y ·z.

As médias aritmética e geométrica obedecem a relação:

Se x y z MA MG MG = 3√x ·y ·z, x y z MA MG MG = 3

√x ·y ·z e x y z MA MG MG = 3

√x ·y ·z são números positivos então MA MG x= y= z, sendo que a igualdade

ocorre se, e somente se, MA MG x= y= z.

Para chegarmos a essa relação, basta provar que: “se u v w u3+v3+w3−3uvw 0 u= v=w, u v w u3+v3+w3−3uvw 0 u= v=w e u v w u3+v3+w3−3uvw 0 u= v=w são números positivos então vale a desigualdade:

u v w u3+v3+w3−3uvw 0 u= v=w (*)

sendo a igualdade válida se, e somente se, u v w u3+v3+w3−3uvw 0 u= v=w”. De fato, a desigualdade acima é válida pois, para quaisquer números positivos u v w u3+v3+w3−3uvw 0 u= v=w, u v w u3+v3+w3−3uvw 0 u= v=w e u v w u3+v3+w3−3uvw 0 u= v=w, vale:

Fechamento

O professor deve construir a tabela abaixo na lousa para socialização dos resultados. Essa tabela deve ser preenchida com os dados e os volu-mes do prisma de maior volume encontrados por cada um dos grupos.

Fazendo uma nova ordenação dos prismas quanto aos volumes, será obtido o prisma de maior volume entre todos os que foram construídos pela classe. Mas o prisma encontrado é, realmente, o de maior volume possível? É conveniente levar o aluno a observar as características dos prismas: à medida que seus volumes aumentam, qual é a relação entre as medidas das arestas de suas bases? Esperamos que notem que, à medida que o volume aumenta, as medidas dos lados do triângulo da base ficam cada vez mais próximas umas das outras, ou seja, o triângulo se aproxima de um triângulo equilátero. O prisma, por sua vez, se aproxima de um prisma triangular regular.

Um prisma no qual a base é um triângulo equilátero é chamado prisma triangular regular.

Prisma a b ca b ca b c A B CA B CA B C Volume

1

2

3

4

…

tabela 1

Qual é o prisma com maior volume? Guia do professor 5 / 10

isto é,3(p−a) · (p−b) · (p−c)

(p−a)+(p−b)+(p−c)

3=

p

33

(p−a) · (p−b) · (p−c)p

3

sendo que a igualdade ocorre se, e somente se, p−a= p−b= p−c a= b= c (a,b,c) 3(p−a) · (p−b) · (p−c) =

p

3a+b+c= 2p, ou

seja, se, e somente se, p−a= p−b= p−c a= b= c (a,b,c) 3(p−a) · (p−b) · (p−c) =

p

3a+b+c= 2p.

E assim, A=

p · (p−a) · (p−b) · (p−c)

é máxima se, e somente se, p−a= p−b= p−c a= b= c (a,b,c) 3(p−a) · (p−b) · (p−c) =

p

3a+b+c= 2p.

A justificativa que acabamos de apresentar, além de provar que o triângulo de área máxima é o triângulo equilátero, também mostra a existência do triângulo, de lados a b c, a b c e a b c, de área máxima, onde p−a= p−b= p−c a= b= c (a,b,c) 3

(p−a) · (p−b) · (p−c) =

p

3a+b+c= 2p é

a solução da equação

p−a= p−b= p−c a= b= c (a,b,c) 3(p−a) · (p−b) · (p−c) =

p

3a+b+c= 2p,

que é exatamente p−a= p−b= p−c a= b= c (a,b,c) 3(p−a) · (p−b) · (p−c) =

p

3a+b+c= 2p, lembrando que p−a= p−b= p−c a= b= c (a,b,c) 3

(p−a) · (p−b) · (p−c) =

p

3a+b+c= 2p.

Dentre todos os triângulos de mesmo perímetro, o que tem a maior área é o triângulo equilátero. Assim, também, podemos deduzir que dentre todos os prismas retos triangulares de mesma alltura e mesma área lateral, o que tem o maior volume é o prisma triangular regular.

O caso geral

A seguir vamos apresentar a generalização do resultado para polígonos de n n 3 P L lados, para n n 3 P L. Para justificar que o polígono de área máxima é o polígono regular convexo de n n 3 P L lados, vamos supor, no argumento, que tal polígono existe. Partindo da sua existência, justificaremos que

u3+v3+w3−3uvw= (u+v+w)·(U2+v2+w2−uv−vw−wu) = 1/2(u+v+w)[(u−v)2+(v−w)2+(w−u)2] 0

u3+v3+w3−3uvw= (u+v+w)·(U2+v2+w2−uv−vw−wu) = 1/2(u+v+w)[(u−v)2+(v−w)2+(w−u)2] 0u v w u3+v3+w3−3uvw 0 u= v=wu3+v3+w3−3uvw= (u+v+w)·(U2+v2+w2−uv−vw−wu) = 1/2(u+v+w)[(u−v)2+(v−w)2+(w−u)2] 0

u3+v3+w3−3uvw= (u+v+w)·(U2+v2+w2−uv−vw−wu) = 1/2(u+v+w)[(u−v)2+(v−w)2+(w−u)2] 0

sendo que a igualdade é válida se, e somente se, u v w u3+v3+w3−3uvw 0 u= v=w. Agora, fazendo u= 3

√x v= 3

√y w= 3

√z x+y+z−3 3

√x ·y ·z 0, u= 3

√x v= 3

√y w= 3

√z x+y+z−3 3

√x ·y ·z 0 e u= 3

√x v= 3

√y w= 3

√z x+y+z−3 3

√x ·y ·z 0 e substituindo em (*),

obtemos:

u= 3√x v= 3

√y w= 3

√z x+y+z−3 3

√x ·y ·z 0,

ou ainda,

x+y+z

3 3

√x ·y ·z MA MG x= y= z, ou seja,

x+y+z

3 3

√x ·y ·z MA MG x= y= z,

sendo a igualdade válida se, e somente se, x+y+z

3 3

√x ·y ·z MA MG x= y= z.

Com o uso da relação entre as médias, agora podemos demonstrar que “dentre todos os triângulos de mesmo perímetro, o equilátero é o que tem maior área”. Consideremos, então, todos os triângulos com perímetro constante 2p A (p−a) · (p−b) · (p−c) 3

(p−a) · (p−b) · (p−c) .

Denotando por a b c, a b c e a b c os lados de um triângulo de perímetro 2p A (p−a) · (p−b) · (p−c) 3(p−a) · (p−b) · (p−c), pela

Fórmula de Heron, obtemos, para sua área,

A=

p · (p−a) · (p−b) · (p−c),

a qual queremos maximizar. Como 2p A (p−a) · (p−b) · (p−c) 3

(p−a) · (p−b) · (p−c) é uma constante, para analisar para quais valores de a b c, a b c e a b c o

valor de 2p A (p−a) · (p−b) · (p−c) 3(p−a) · (p−b) · (p−c) é máximo, basta analisar a expressão 2p A (p−a) · (p−b) · (p−c) 3

(p−a) · (p−b) · (p−c) ,

o que é o mesmo que analisar a expressão

2p A (p−a) · (p−b) · (p−c) 3

(p−a) · (p−b) · (p−c) .

Pela relação entre as médias, vem:

3(p−a) · (p−b) · (p−c)

(p−a)+(p−b)+(p−c)

3=

p

33(p−a) · (p−b) · (p−c)

p

3,

Conclusão

Qual é o prisma com maior volume? Guia do professor 6 / 10

fora da região poligonal, com exceção das suas extremidades, e um vértice V1 V2 V V1V V2V V1V2 como na fi gura. Considerando a refl exão dos lados V1 V2 V V1V V2V V1V2V1 V2 V V1V V2V V1V2 e V1 V2 V V1V V2V V1V2V1 V2 V V1V V2V V1V2 em relação à reta V1 V2 V V1V V2V V1V2V1 V2 V V1V V2V V1V2 , obtemos um polígono tendo o mesmo perímetro n n 3 P L e área maior do que a área de n n 3 P L, o que não pode ocorrer. Assim, n n 3 P L é convexo.

Afi rmação 2: O polígono de n n 3 P L lados e perímetro n n 3 P L de área máxima possui todos os lados de mesma medida. Para justifi car essa afi rmação, considere dois lados adjacentes quais-quer, digamos V1 V2 V V1V V2V V1V2V1 V2 V V1V V2V V1V2 e V1 V2 V V1V V2V V1V2V2V3 V1V2V3 V3 V1V3, de um polígono convexo de n n 3 P L lados e área máxima. O triângulo V1 V2 V V1V V2V V1V2V1 V2 V V1V V2V V1V2V2V3 V1V2V3 V3 V1V3 é isósceles, pois, caso contrário, poderíamos consi derar a elipse de focos V1 V2 V V1V V2V V1V2 e V2V3 V1V2V3 V3 V1V3, mais precisamente, o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias a V1 V2 V V1V V2V V1V2 e V2V3 V1V2V3 V3 V1V3 é igual a soma das distâncias de V1 V2 V V1V V2V V1V2 a V1 V2 V V1V V2V V1V2 e V1 V2 V V1V V2V V1V2 a V2V3 V1V2V3 V3 V1V3 , e tomar a intersecção V1 V2 V V1V V2V V1V2 da elipse e a mediatriz do segmento V1 V2 V V1V V2V V1V2V2V3 V1V2V3 V3 V1V3. Assim, no polígono, substituindo o vértice V1 V2 V V1V V2V V1V2 por V1 V2 V V1V V2V V1V2, obtemos um polígono de mesmo perímetro n n 3 P L e maior área, o que não pode ocorrer. Assim, n n 3 P L possui todos os lados de mesma medida.

o polígono de área máxima é o regular. Aqui, novamente, a área de um polígono signifi ca a área da região plana delimitada por ele. Apresentamos então, sem muito formalismo, alguns passos para justi-fi car que o polígono n n 3 P L de n n 3 P L lados e perímetro n n 3 P L de área máxima é o polígono regular. Vamos supor que entre todos os polígonos de n n 3 P L lados e de mesmo perímetro, existe um que é o de área máxima. Vamos provar que este é o polígono regular de n n 3 P L lados. Ver também Pereira.

Um polígono n n 3 P L é convexo se, para quaisquer dois pontos em n n 3 P L, o segmento que os une está inteiramente na região delimitada por n n 3 P L.

Afi rmação 1: O polígono de n n 3 P L lados e perímetro n n 3 P L de área máxima é convexo. De fato, se n n 3 P L não fosse convexo, teríamos pelo menos dois vértices, V1 V2 V V1V V2V V1V2 e V1 V2 V V1V V2V V1V2, tais que o segmento tendo estes vértices como extremidades estaria

Defi nição

ConveXo não conveXo

FIG. 3

FIG. 4

V1 V1

V2 V2

V V

Qual é o prisma com maior volume? Guia do professor 7 / 10

de mesmo perímetro e área maior, o que não pode ocorrer, pois estamos supondo o polígono n n 3 P L de área máxima.

Até agora, temos que o polígono de área máxima e perímetro n n 3 P L é convexo e possui todos os lados de mesma medida. Lembrando que, um polígono é regular se seus lados são dois a dois congruentes e, também, seus ângulos são dois a dois congruentes, precisamos, ainda, analisar os ângulos do polígono de área máxima. Note que, se um polígono convexo de lados dois a dois congruentes é inscritível, isto é, se existe uma circunferência circunscrita ao polígono, então seus ângulos também são congruentes dois a dois. Assim, para justifi car que o polígono é regular, vamos mostrar que o polígono de área máxima é inscritível. Primeiramente vamos analisar o caso em que o número de lados do polígono é par.

Afi rmação 3: Para n n 3 P L par, o polígono de n n 3 P L lados e perímetro n n 3 P L de área máxima é inscritível. Considere o polígono n n 3 P L de n n 3 P L lados, com n par. Sejam V1 V2 V V1V V2V V1V2 e V1 V2 V V1V V2V V1V2 dois vér-tices que dividem o polígono em duas partes com o mesmo número de lados. A reta V1 V2 V V1V V2V V1V2V1 V2 V V1V V2V V1V2 divide a região limitada pelo polígono em duas partes de mesma área, pois, caso contrário, poderíamos fazer a refl exão da parte de maior área em torno da reta V1 V2 V V1V V2V V1V2V1 V2 V V1V V2V V1V2 e, assim, obteríamos um polígono de área maior, o que não é possível, já que estamos supondo o polígono n n 3 P L de área máxima. Para mostrar que n n 3 P L é inscritível consideremos um outro vértice V1 V2 V V1V V2V V1V2 distinto de V1 V2 V V1V V2V V1V2 e V1 V2 V V1V V2V V1V2. O ângulo V1 V2 V V1V V2V V1V2V1 V2 V V1V V2V V1V2V1 V2 V V1V V2V V1V2 é reto, pois, caso contrário, imaginando uma dobradiça em V1 V2 V V1V V2V V1V2, trocando esse ângulo por um reto (ver fi guras a seguir) e refl etindo a região obtida em relação à reta V1 V2 V V1V V2V V1V2V1 V2 V V1V V2V V1V2, obtemos um polígono

FIG. 6

FIG. 7

FIG. 8

V2

V2

V2

V

V

V1

V1

V1

FIG. 5

V2

V3

V1

V

Qual é o prisma com maior volume? Guia do professor 8 / 10

Dentre todos os polígonos de n-lados com o mesmo perímetro, o que tem a maior área é o regular. Assim, também podemos deduzir que dentre todos os prismas retos de base n-agonal de mesma altura e mesma área lateral, o que tem o maior volume é o prisma n n 3 P L-agonal regular.

Considerações fi nais

É importante levar o aluno, na sequência do que foi feito no experimento, a identifi car os resultados obtidos. Ao professor cabe também a refl exão sobre quais conteúdos poderão ser abordados, tendo como motivação este experimento. Sugerimos alguns deles: poliedros, em particular prismas e pirâmides, áreas e volumes. Ressaltamos que quando o aluno desenvolve uma atividade experi-mental, o conteúdo ali abordado terá maior chance de ser aprendido. Também a experiência vivenciada em equipe, a pesquisa feita, o material manuseado e visualizado, os cálculos, a expectativa e o entusiasmo para se chegar ao resultado proposto propiciarão um melhor aprendizado e sua fi xação mais efetiva.

Assim, todos os vértices estão na circunferência que tem o segmento V1 V2 V V1V V2V V1V2V1 V2 V V1V V2V V1V2 como diâmetro. Logo, para n n 3 P L par, o polígono é inscritível. Como já foi mostrado anteriormente que o polígono de área máxima também possui seus lados de medidas iguais, temos, então, que ele é regular.

Afi rmação 4: Para n n 3 P L ímpar, o polígono de n n 3 P L lados e perímetro n n 3 P L de área máxima é inscritível. Considere o polígono n n 3 P L de n n 3 P L lados, n n 3 P L ímpar, de perímetro n n 3 P L e com a área máxima. Lembre que já sabemos que n n 3 P L tem todos os lados de medidas iguais. Se n n 3 P L não é regular, consideramos o polígono regular de n n 3 P L lados e perímetro também igual a n n 3 P L, e o polígono regular n n 3 P L

‘

de P 2n P lados como na fi gura. Assim, tomando os triângulos destacados na primeira fi gura a seguir, e colando nos lados de n n 3 P L, obtemos outro polígono não regular n n 3 P L

‘‘

de P 2n P lados, também de perímetro igual ao de n n 3 P L

‘

e área maior que a de n n 3 P L

‘

, o que não pode acontecer, pois, como o número de lados é par, o regular é de área máxima.

Polígono regular de n lados e polígono regular P’ de 2n lados.

Polígono P e polígono P’’

FIG. 9

Conclusão

Qual é o prisma com maior volume? Guia do professor 9 / 10

Bibliografia

Dalcin, Mário. A demonstração feita por Heron. Revista do Professor de Matemática. São Paulo, nº 36, p. 3-5, 1998.

Dalcin, Mário. A demonstração feita por Heron. Coleção Explorando o Ensino – Matemática, Vol. 1, p. 138-139, 2004. Disponível em http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf. Acesso em: 5 de maio de 2009.

Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar: Geometria Plana, Vol 9, (8ª Edição). São Paulo: Atual Editora Ltda, 2005.

Lima, Elon Lages; Carvalho, Paulo Cezar Pinto; Wagner, Eduardo; Morgado, Augusto César. A Matemática do Ensino Médio, Vol 2, Coleção do Professor de Matemática, (3ª Edição). Rio de Janeiro: sbm, 2000.

Pereira, Antonio Luiz; Possani, Cláudio. Qual é o maior terreno que sua cerca pode delimitar? Revista do Professor de Matemática. São Paulo, nº 54, p. 24-33, 2004.

Variações

A investigação sugerida no experimento limitou-se a prismas de base trian-gular e quantidade fixa de material. Como opção sugerimos que o problema seja abordado com a definição de que a base do prisma deva ser formada por polígonos regulares de n n 3 P L lados. Ou seja, dada uma quantidade fixa de material, qual deve ser o polígono da base do prisma para que o volume do sólido formado seja máximo?

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorFernando Ferreira CostaVice-ReitorEdgar Salvadori de DeccaPró-Reitor de Pós-GraduaçãoEuclides de Mesquita Neto

licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons

AutorasClaudina Izepe Rodrigues,Eliane Quelho Frota Rezende e Maria Lúcia Bontorim de Queiroz

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos PatrocínioLíngua PortuguesaCarolina Bonturi PedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráfico e ilustrações técnicas Preface Design

Qual é o prisma com maior volume? Folha do aluno

Geometria e MedidasFolha do aluno

O Problema

Queremos saber: qual é o prisma de base triangular com maior volume que podemos montar usando meia folha de papel A4?

Procedimento

Etapa 1 Construção de prismas

1.1 Dividam 3 folhas de papel A4 pela metade; 1.2 Com meia folha, façam, com a régua, um traço paralelo

ao lado menor 1,0 cm antes da extremidade e dobrem. Façam mais dois traços paralelos no restante da folha;

1.3 Dobrem de modo que se possa juntar as extremidades do papel e montar um prisma de base triangular;

1.4 Colem a aba de 1,0 cm na outra extremidade; 1.5 Façam o mesmo com as outras 5 metades de modo que

cada prisma tenha bases diferentes; 1.6 Intuitivamente, organizem os prismas em ordem de

volume e os numerem de 1 a 6, do menor para o maior. Esta numeração será usada na etapa seguinte.

Etapa 2 Cálculo dos volumes

Com ajuda da régua e do transferidor, meça o compri­mento dos lados (a, b e c) e os ângulos (A, B e C) das bases dos prismas, preenchendo a tabela 1. Para preencher a coluna do volume na tabela acima, vocês precisarão usar algum método conhecido para calcular a área dos triângulos na base dos prismas.

Depois de preencherem a tabela:

Sobre o prisma com maior volume encontrado: Qual a relação entre as medidas dos lados da base? E dos ângulos? Que tipo de triângulo ele é: escaleno, isósceles ou equilátero? Será que há algum outro prisma que possui um volume maior ainda? Se sim, qual seria?

Pense e responda

fig. 1

Prisma Volume

1

2

3

4

5

6

a b c A B C

tabela 1 Tabela comum. Será utilizada para o registro dos dados dos prismas.

Qual é o prisma com maior volume? Folha do aluno Anexo 1

Tabela de senos

Os ângulos estão dados em graus.

1 0,01745

2 0,03490

3 0,05234

4 0,06976

5 0,08716

6 0,10453

7 0,12187

8 0,13917

9 0,15643

10 0,17365

11 0,19081

12 0,20791

13 0,22495

14 0,24192

15 0,25882

16 0,27564

17 0,29237

18 0,30902

19 0,32557

20 0,34202

β sen β

21 0,35837

22 0,37461

23 0,39073

24 0,40674

25 0,42262

26 0,43837

27 0,45399

28 0,46947

29 0,48481

30 0,50000

31 0,51504

32 0,52992

33 0,54464

34 0,55919

35 0,57358

36 0,58779

37 0,60182

38 0,61566

39 0,62932

40 0,64279

β sen β

41 0,65606

42 0,66913

43 0,68200

44 0,69466

45 0,70711

46 0,71934

47 0,73135

48 0,74314

49 0,75471

50 0,76604

51 0,77715

52 0,78801

53 0,79864

54 0,80902

55 0,81915

56 0,82904

57 0,83867

58 0,84805

59 0,85717

60 0,86603

β sen β

61 0,87462

62 0,88295

63 0,89101

64 0,89879

65 0,90631

66 0,91355

67 0,92050

68 0,92718

69 0,93358

70 0,93969

71 0,94552

72 0,95106

73 0,95630

74 0,96126

75 0,96593

76 0,97030

77 0,97437

78 0,97815

79 0,98163

80 0,98481

β sen β

81 0,98769

82 0,99027

83 0,99255

84 0,99452

85 0,99619

86 0,99756

87 0,99863

88 0,99939

89 0,99985

90 1

β sen β