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Tainan Khalil Leite Calixto
Otimização Topológica EvolucionáriaMultiescala Aplicada a Problemas
de Elasticidade Linear
70/2015
CAMPINAS2015
i
Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas
Biblioteca da Área de Engenharia e ArquiteturaElizangela Aparecida dos Santos Souza - CRB 8/8098
Calixto, Tainan Khalil Leite, 1990- C129o CalOtimização topológica evolucionária multiescala aplicada a problemas de
elasticidade linear / Tainan Khalil Leite Calixto. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.
CalOrientador: Renato Pavanello. CalDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de
Engenharia Mecânica.
Cal1. Otimizaçao estrutural. 2. Multiescala. 3. Homogeneização (Equações
diferenciais). 4. Métodos dos elementos finitos. I. Pavanello, Renato,1959-. II.Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III.Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Multi-scale evolutionary topology optimization applied to linearelasticity problemsPalavras-chave em inglês:Structural optimizationMulti-scaleHomogenization (Differential equations)Finite element methodsÁrea de concentração: Mecânica dos Sólidos e Projeto MecânicoTitulação: Mestre em Engenharia MecânicaBanca examinadora:Renato Pavanello [Orientador]Alberto Luiz SerpaCícero Ribeiro de LimaData de defesa: 31-07-2015Programa de Pós-Graduação: Engenharia Mecânica
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Dedicatória
Aos meus queridos pais, José Eunir e Berarda Bezerra, dos quais sinto muito orgulho.Agradeço-os por todo carinho, apoio e confiança que sempre me ofereceram em todas as esco-lhas de minha vida.
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Agradecimentos
A Deus, minha fonte de força, fé e determinação, agradeço hoje e todos os dias pelo dom da vida.
A toda minha família, Berarda, Eunir, Renan, Juan, pelo suporte fornecido, pela confiança transmi-tida e por serem meu porto seguro.
A minha namorada, Stephane, que me transmitiu todo apoio e amor necessários para superar asdificuldades durante os estudos.
Ao meu orientador, Prof. Dr. Renato Pavanello, não apenas pelos ensinamentos e conselhos, mastambém pela compreensão, paciência e amizade durante todo o mestrado.
Ao meu professor e orientador de TCC, Prof. Dr. Ilson, por ter me introduzido ao meio acadêmicoe ter sido um grande companheiro durante os desafios encontrados na graduação.
Aos amigos e companheiros de laboratório e de departamento, dos quais pretendo levar a amizadepara toda a vida.
As minhas tias, Célia e Rita, por terem me dado carinho e amor de família em São Paulo.
À Faculdade de Engenharia Mecânica da UNICAMP, em especial ao DMC, representada pelosprofessores e funcionários, pela organização e seriedade nas atividades fornecidas, os quais meconcederam a oportunidade de realizar este trabalho.
Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq pelo suporte finan-ceiro essencial para desenvolvimento desta pesquisa.
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O êxito da vida não se mede pelo que vocêconquistou, mas sim pelas dificuldades quesuperou no caminho.
Abraham Lincoln
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Resumo
CALIXTO, Tainan Khalil Leite. Otimização Topológica Evolucionária Multiescala Aplicada a Pro-blemas de Elasticidade Linear. 2015. 124p. Dissertação (Mestrado). Faculdade de Engenharia Me-cânica, Universidade Estadual de Campinas, Campinas.
A utilização de materiais de alta performance se tornou uma realidade em diversos camposda engenharia, como na indústria automotiva e aeroespacial, devido aos avanços nas técnicas demanufatura aditiva. De outro lado, sabe-se que a otimização topológica estrutural é uma ferramentade desenvolvimento de estruturas com ampla aplicação industrial. Dentre os vários métodos deotimização topológica existentes, a otimização estrutural evolucionária tem se destacado pela suaversatilidade, podendo ser utilizada em diversos tipos de problemas de engenharia. Na tentativa decombinar esses campos, este trabalho consiste no estudo do método de otimização evolucionáriaBESO (Bi-directional Evolutionary Structural Optimization) aplicado a sistemas bidimensionaismultiescala a fim de se projetar as topologias ótimas de uma estrutura, em ambas as escalas. Aanálise do modelo multiescala é feita através do método da homogeneização, no qual o padrãodo material microestrutural é considerado periódico. O algoritmo implementado pode buscar doisobjetivos distintos: a minimização da flexibilidade média, que resulta na maximização da rigidezglobal; ou a maximização da frequência fundamental. Resultados numéricos do algoritmo são apre-sentados para o projeto de materiais, onde apenas a microestrutura é otimizada, e de estruturas, noqual otimiza-se as topologias nas duas escalas. Finalmente, para a análise do desempenho do mé-todo de otimização multiescala, são propostos um índice de eficiência estrutural e uma metodologiade fabricação de estruturas periódicas.
Palavras-chave: Otimização Topológica Estrutural, Modelo Multiescala, Método da Homogenei-zação, Método BESO.
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Abstract
CALIXTO, Tainan Khalil Leite. Multi-scale Evolutionary Topology Optimization Applied to Li-near Elasticity Problems. 2015. 124p. Dissertação (Mestrado). Faculdade de Engenharia Mecânica,Universidade Estadual de Campinas, Campinas.
High-performance materials utilization became a reality in many fields of actual enginee-ring, such as in automotive and aerospace industries, due to advances in additive manufacturingtechniques. At the same time, structural topology optimization is a powerful tool for the structuredevelopment with wide industrial application. Among the various optimization methods, evoluti-onary structural optimization stands out for its versatility and it can be used in many engineeringproblems. As an attempt to combine these fields, this work intends to study the Bi-directional evolu-tionary Structural Optimization method applied to two-dimensional multi-scale systems in order todesign the optimal topologies of structures in both scales. The analysis of multi-scale model is madeusing the homogenization method, which the pattern of the micro-structural material is consideredperiodic. The implemented algorithm can use two different objective function: mean complianceminimization, which results in maximizing the global stiffness; or fundamental frequency maxi-mization. Numerical results are presented for material design, which only the micro structure isoptimized, and for structural design, in which the topologies in both scales are optimized. Deepe-ning the study in multiscale optimization, it is proposed an index to analyse the structural efficiencyand also a manufacturing methodology of periodic structures.
Keywords: Structural Topology Optimization, Multi-scale Model, Homogenization Method, BESOMethod.
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Lista de Ilustrações
1.1 Exemplos de materiais “ultra-light” de alta performance. (a) Material de microbar-ras; (b) Material celular linear; (c) Material poroso com tamanho controlado dosporos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1 Modelo de um meio microestrutural periódico regular . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Comportamento de uma função F arbitrária periódica regular na macroescala e na
microescala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Modelo do problema de elasticidade plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Modelo de uma célula-base periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5 Condições de contorno e uma deformação ilustrativa da estrutura periódica . . . . . 353.1 Ilustração da célula-base genérica que resulta nas propriedades do elemento finito
macroestrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2 Microestrutura inicial utilizada para o algoritmo de otimização (malha 100× 100) . 533.3 Instabilidade numérica (tabuleiro de xadrez): (a) Topologia obtida com o método
ESO (sem filtro); (b) Ilustração de um tabuleiro de xadrez estrutural . . . . . . . . 543.4 Filtro numérico: Nós contabilizados para o número de sensibilidade do i-ésimo
elemento (Região Ai) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5 Fluxograma do método BESO aplicado a problemas em multiescala . . . . . . . . 594.1 Esquema da otimização topológica estrutural evolucionária do material . . . . . . . 614.2 Estrutura engastada-livre utilizada para validação do caso estático. (L = 40 eH = 20) 634.3 Comparação entre as topologias otimizadas para maximização da rigidez conside-
rando materiais celulares: (a) obtida pelo algoritmo implementado; (b) obtida porHuang et al. (2013) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4 Comparação entre as topologias otimizadas para maximização da rigidez conside-rando materiais compositos: (a) obtida pelo algoritmo implementado; (b) obtida porHuang et al. (2013) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5 Topologias otimizadas obtidas para materiais celulares, visando à maximização darigidez, em diferentes condições de contorno: (a) Viga engastada-livre; (b) Vigabiapoiada; (c) Viga biengastada 1; (d) Viga biengastada 2 . . . . . . . . . . . . . . 65
4.6 Condição de contorno anisotrópica: plano de simetria de uma viga biapoiada: (a)Topologia final e Matriz DH ; (b) Esquema da solução estrutural obtida . . . . . . . 66
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4.7 Análise da influência da topologia inicial na solução ótima obtida para materiais ce-lulares, visando à maximização da rigidez, para uma viga engastada-livre: Volumesiniciais (a) 100%; (b) 40%; (c) 30%; (d) 50% (tabuleiro de xadrez) . . . . . . . . . 68
4.8 Topologias otimizadas obtidas para materiais compósitos, visando à maximizaçãoda rigidez, em diferentes condições de contorno: (a) Materiais A e B; (b) MateriaisA e C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.9 Estrutura biengastada utilizada para validação do caso dinâmico. (L = 80 e H = 40) 724.10 Comparação entre as topologias finais otimizadas para maximização da frequência
fundamental considerando materiais celulares: (a) obtida pelo algoritmo implemen-tado; (b) obtida por Zuo et al. (2013a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.11 Comparação entre as topologias finais otimizadas para maximização da frequênciafundamental considerando materiais compositos: (a) obtida pelo algoritmo imple-mentado; (b) obtida por Zuo et al. (2013a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.12 Topologias otimizadas obtidas para materiais celulares, visando à maximização dafrequência fundamental, em diferentes condições de contorno: (a) Viga engastada-livre; (b) Viga engastada; (c) Viga em L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.13 Análise dos resultados para uma viga engastada-livre: (a) Comparação do primeiromodo de vibração: estrutura original (vermelha) e otimizada (azul); (b) Históricodo processo de otimização evolucionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.14 Análise dos resultados para uma viga biengastada: (a) Comparação do primeiromodo de vibração: estrutura original (vermelha) e otimizada (azul); (b) Históricodo processo de otimização evolucionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.15 Análise dos resultados para uma viga em L: (a) Comparação do primeiro modo devibração: estrutura original (vermelha) e otimizada (azul); (b) Histórico do processode otimização evolucionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.16 Topologias otimizadas obtidas para materiais compósitos, visando à maximizaçãoda frequência fundamental, em diferentes condições de contorno: (a) Materiais A eB; (b) Materiais A e C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.17 Esquema da otimização topológica estrutural evolucionária aplicada para duas escalas 804.18 Viga engastada-livre projetada para o problema estrutural . . . . . . . . . . . . . . 82
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4.19 Topologias otimizadas na macroescala (mapa de cores proporcional às tensõesde Von Mises) e na microescala para materiais celulares, visando à maximiza-ção da rigidez, para uma viga engastada-livre, adotando um volume final de 40%da estrutura e usando diferentes frações de volume em cada escala: (a) V mac
f =
1.0/V micf = 0.4; (b) V mac
f = 0.8/V micf = 0.5; (c) V mac
f = 0.5/V micf = 0.8; (d)
V macf = 0.4/V mic
f = 1.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.20 Viga em L analisada para o problema estático com materiais compósitos . . . . . . 844.21 Topologias na macroescala (mapa de cores proporcionais às tensões de Von Mises)
e na microescala utilizando duas combinações de materiais compósitos para umaestrutura em L, visando à maximização da rigidez, adotando uma fração de volumefinal de 50% em ambas as escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.22 Viga biengastada com massa concentrada analisada para o problema dinâmico commateriais celulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.23 Topologias otimizadas na macroescala deformada (1º modo) e na microescala paramateriais celulares, visando à maximização da frequência fundamental, para umaviga biengastada, adotando uma fração de volume final de 40% da estrutura eusando diferentes frações de volume em cada escala: (a) V mac
f = 1.0/V micf = 0.4;
(b) V macf = 0.8/V mic
f = 0.5; (c) V macf = 0.5/V mic
f = 0.8; (d) V macf = 0.4/V mic
f = 1.0 864.24 Viga engastada-livre com massa concentrada analisada para o problema dinâmico
com materiais compósitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.25 Topologias obtidas na macroescala e microescala utilizando duas combinações de
materiais compósitos, visando à maximização da frequência fundamental, para umaviga engastada-livre com massa concentrada, adotando uma fração de volume finalde 50% em ambas as escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.26 Análise para comparação entre os dois modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.27 Eficiência estrutural de uma viga engastada-livre 40 × 20 para diferentes reduções
de material: Análise (a) Estática; (b) Dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.28 Eficiência estrutural de uma viga biapoiada 80 × 20 para diferentes reduções de
material: Análise (a) Estática; (b) Dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.29 Eficiência estrutural de uma viga biengastada 80 × 20 para diferentes reduções de
material: Análise (a) Estática; (b) Dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.30 Resultado numérico de uma otimização contendo dois tipos de material . . . . . . 93
xix
4.31 Topologias obtidas na macroescala e nas microescalas utilizando duas células unitá-rias de materiais celulares, visando à maximização da frequência fundamental, parauma viga engastada-livre com massa concentrada, adotando uma fração de volumefinal de 50% em todas as escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.32 Topologias obtidas na macroescala e nas microescalas utilizando duas células uni-tárias de materiais compósitos, visando à maximização da frequência fundamental,para uma viga engastada-livre com massa concentrada, adotando uma fração devolume final de 50% em todas as escalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.33 Resultado numérico para uma viga engastada-livre de uma otimização topológicacom múltiplas células unitárias: (a) Cada elemento finito macroestrutural com suamicroestrutura correspondente; (b) Ilustração de uma malha 3 × 3 da célula-basefinal em cada elemento; (c) Histórico do processo evolucionário . . . . . . . . . . 97
4.34 Viga biapoiada usada para otimização topológica multiescala com múltiplas células 984.35 Resultado numérico para uma viga biapoiada de uma otimização topológica com
múltiplas células unitárias: (a) Cada elemento finito macroestrutural com sua mi-croestrutura correspondente; (b) Ilustração de uma malha 3× 3 da célula-base finalem cada elemento; (c) Histórico do processo evolucionário . . . . . . . . . . . . . 99
4.36 Viga biengastada utilizada para o domínio macroestrutural . . . . . . . . . . . . . 1014.37 Microestrutura otimizada (40x40) para uma viga biengastada com força central: (a)
célula unitária, (b) malha de 4x4 células (c) célula-base deslocada (d) evolução daflexibilidade média e da fração de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.38 Malhas reproduzidas na macroestrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.39 Estudo da convergênca da flexibilidade média para diferentes malhas: 4× 2, 8× 4,
12× 6, 16× 8 e 20× 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.40 Modelo virtual utilizado para fabricação de uma viga biengastada . . . . . . . . . . 1044.41 Estrutura final produzida por manufatura aditiva (DT3D - CTI): (a) vista frontal;
(b) vista isométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.42 Metodologia de fabricação por manufatura aditiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
xx
Lista de Tabelas
4.1 Parâmetros do método BESO para o projeto de materiais . . . . . . . . . . . . . . 624.2 Propriedades dos tipos de materiais utilizados para meios compósitos . . . . . . . . 704.3 Parâmetros do método BESO para o projeto de estruturas . . . . . . . . . . . . . . 814.4 Propriedades mecânicas do material utilizado: Poliamida SLS . . . . . . . . . . . . 101
xxi
Lista de Abreviaturas e Siglas
Letras Latinas
Ai - Área de filtragem do filtro numéricoARmax - Taxa de adição máxima de materialb - Matriz global das deformaçõesbe - Matriz de derivadas das funções de forma elementar na microescalaBe - Matriz de derivadas das funções de forma elementar na macroescalaC - Flexibilidade média da estruturaD - Tensor elástico do material isotrópicod1,d2,d3 - Respectivos vetores coluna da matriz DDH - Tensor de elasticidade do homogeneizadoE - Módulo de elasticidadeER - Razão de volume evolucionáriaF - Função escalar, vetorial ou tensorial Y-periódicaf - Força de corpo aplicada na estruturafA, fB, fC - Vetor de força global dos casos A, B e CfA,e, fB,e, fC,e - Vetor de força elementar a célula unitária em cada casof - Vetor de força global condensadoF - Vetor global de carregamento aplicado à macroestruturaI - Matriz identidadek - Matriz de rigidez global da célula unitáriake - Matriz de rigidez elementar da célula unitáriak - Matriz global de rigidez condensadaK - Matriz global de rigidez da macroestruturaKe - Matriz de rigidez elementar da macroestrutura
xxiii
M - Número de elementos finitos na célula-baseM - Matriz global de massa do domínio macroscópicoMe - Matriz de massa elementar da macroestruturame - Matriz de massa elementar do domínio microscópicoN - Matriz diagonal de números arbitrários internosNe - Matriz das funções de forma elementar na macroescalaN - Número de elementos finitos na macroestrutura
- Número de iterações para convergênciaNm - Número total de elementos macroestruturais de um tipo de materialNe - Número de elementos ligados a um nóNGL - Número de graus de liberdade no domínio microscópicoNER - Número de equações de restrição do sistema microscópicop - Expoente de penalidadermin, r
macmin, r
micmin - Raio mínimo do filtro numérico
R - Resíduo da equação de equilíbrio microestruturalT - Matriz de condensaçãou - Matriz de deslocamento nodalu - Solução do sistema condensadauA,uB,uC - Campo de deslocamentos nodal global dos casos A, B e CuA,e,uB,e,uC,e - Campo de deslocamentos nodal elementar dos casos A, B e CU - Vetor global de deslocamentos nodais da macroestruturaUk - Autovetor do k-ésimo modo de vibrarvi - Função interpoladora arbitráriav - Funções interpoladoras do método dos resíduos ponderadosVi - Fração de volume inicial da otimizaçãoV maci , V mic
i - Fração de volume inicial em cada domínioVf - Fração de volume final da estruturaV macf , V mic
f - Fração de volume final em cada domíniowi - Fator de ponderação do i-ésimo elementox - Vetor posição na escala globalxmac - Variável de projeto da macroestruturaxmic - Variável de projeto da microestruturaxmin - Valor da densidade do elemento vazio (soft-kill)y - Vetor posição na escala local
xxiv
Y - Vetor contendo os períodos ao longo das direções ortogonais do meioheterogêneo
Ys - Domínio de material sólido na célula unitáriaYv - Domínio de material vazio na célula unitáriaYe - Domínio do elemento finito da célula-base|Y | - Volume da célula-base
Letras Gregas
αmaci - Número de sensibilidade elementar na macroescalaαmicj - Número de sensibilidade elementar na microescalaαnoj - Número de sensibilidade nodalαelemi - Número de sensibilidade dos elementos ligado a um nó i
Γd - Domínio restrito da estrutura elásticaγs, γd - Índice de eficiência estruturalε - Dimensão característica de não-homogeneidadeε0A, ε
0B, ε
0C - Vetor de deformação inicial para cada caso
λ - Matriz de multiplicadores de Lagrangeν - Coeficiente de Poissonξp - Constante de integraçãoρ - Massa específica do materialρH - Massa específica homogeneizadaτ - Tolerância da convergênciaΥ - Operador elípticoχkl - Campo de deslocamento microscópicoωk - k-ésima frequência naturalΩe - Domínio de um elemento macroestruturalΩ - Domínio da estrutura
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Siglas
BESO - Otimização Estrutural Evolucionária BidirecionalCTI - Centro de Tecnologia da InformaçãoDMC - Departamento de Mecânica ComputacionalDT3D - Divisão de tecnologias tridimensionaisEF - Elementos finitosESO - Otimização Estrutural EvolucionáriaMBB - Estrutura biapoiada (Messerschmitt-Bölkow-Blohm)MMA - Método das assíntotas móveisPAMP - Porous Anisotropic Material with PenalizationSIMP - Material sólido isotrópico com penalidades
Outras Notações
AT - Transposto de uma matriz AAε - Dependência da matriz A com relação à dimensão característica de não-
homogeneidade
A - Operador de montagem dos elementos finitos2D - Bidimensional3D - Tridimensional
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SUMÁRIO
Lista de Ilustrações xvii
Lista de Tabelas xxi
Lista de Abreviaturas e Siglas xxiii
SUMÁRIO xxvii
1 Introdução 11.1 Motivação e Escopo Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Revisão Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Método de homogeneização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Otimização topológica estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 Otimização topológica estrutural multiescala . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Objetivos e Contribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Descrição do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Análise da Elasticidade Plana em Multiescala 132.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Periodicidade e Expansão Assintótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Homogeneização do Problema de Elasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 Problema de valor de contorno da elasticidade linear . . . . . . . . . . . . 172.3.2 Análise do comportamento mecânico microestrutural . . . . . . . . . . . . 192.3.3 Cálculo do tensor de elasticidade homogeneizado . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Solução Numérica das Equações da Homogeneização . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4.1 Formulação de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4.2 Condições de contorno para materiais periódicos . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Otimização Topológica Estrutural Aplicada à Multiescala 373.1 Otimização Estrutural Evolucionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Formulação do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.1 Definição do problema de maximização da rigidez . . . . . . . . . . . . . 38
xxvii
3.2.2 Definição do problema de maximização da frequência natural . . . . . . . . 403.3 Interpolação do Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4 Análise da Sensibilidade para Problemas em Multiescala . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4.1 Cálculo da sensibilidade para o problema estático . . . . . . . . . . . . . . 443.4.2 Cálculo da sensibilidade para o problema dinâmico . . . . . . . . . . . . . 49
3.5 Descrição do Método de Otimização Evolucionária e dos Parâmetros Utilizados . . 523.5.1 Filtro numérico e estabilização da sensibilidade . . . . . . . . . . . . . . . 533.5.2 Adição/remoção de material e critério de convergência . . . . . . . . . . . 56
3.6 Procedimento BESO da Otimização Multiescala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Resultados Numéricos e Discussão 614.1 Projeto de Materiais usando Otimização Topológica Evolucionária . . . . . . . . . 61
4.1.1 Critério de maximização da rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.1.1.1 Projeto da microestrutura para materiais celulares: problema estático . 644.1.1.2 Projeto da microestrutura para materiais compósitos: problema estático 70
4.1.2 Critério de maximização da frequência fundamental . . . . . . . . . . . . . 724.1.2.1 Projeto da microestrutura para materiais celulares: problema dinâmico 734.1.2.2 Projeto da microestrutura para materiais compósitos: problema dinâmico 78
4.2 Projeto de Estruturas usando Otimização Topológica Evolucionária . . . . . . . . . 804.2.1 Critério de maximização da rigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.1.1 Projeto estrutural para materiais celulares: problema estático . . . . . . 814.2.1.2 Projeto estrutural para materiais compósitos: problema estático . . . . 83
4.2.2 Critério de maximização da frequência fundamental . . . . . . . . . . . . . 854.2.2.1 Projeto estrutural para materiais celulares: problema dinâmico . . . . . 854.2.2.2 Projeto estrutural para materiais compósitos: problema dinâmico . . . 87
4.3 Análise da Eficiência Estrutural da Otimização Topológica Multiescala para Mate-riais Celulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4 Análise do Algoritmo Multiescala com Múltiplos Tipos de Materiais . . . . . . . . 924.4.1 Otimização considerando dois modelos multiescala . . . . . . . . . . . . . 924.4.2 Otimização considerando múltiplos modelos multiescala . . . . . . . . . . 95
4.5 Metodologia de Análise para Fabricação da Estrutura Otimizada . . . . . . . . . . 100
5 Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros 1075.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.2 Sugestões de Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
xxviii
Referências 111
APÊNDICES 121
A Algoritmo Implementado para Modelagem Microestrutural 121
xxix
1 Introdução
Este capítulo tem como objetivo apresentar o escopo geral do trabalho realizado, desenvol-vendo os principais conceitos envolvidos na dissertação. Inicialmente, comenta-se sobre a moti-vação para a realização deste estudo. Em seguida, uma breve revisão bibliográfica dos principaisassuntos abordados neste trabalho é feita. São apresentados os objetivos gerais e específicos. Porfim, é feita uma descrição geral do trabalho, possibilitando uma visão global de cada capítulo.
1.1 Motivação e Escopo Geral
As teorias da mecânica dos sólidos e do contínuo têm sido utilizadas por décadas como a basedo projeto estrutural para pesquisa e prática de engenharia. Com o desenvolvimento das técnicasde manufatura aditiva 3D, a possibilidade de se construir materiais com alta eficiência se tornouuma realidade para engenheiros. Espera-se que estes novos materiais possuam propriedades comoleveza (“ultra-light”) e alta rigidez estrutural, condutividade térmica ótima, coeficiente de Poissoncontrolado, entre outros (Niu et al., 2009; Zheng et al., 2014). A figura 1.1 mostra alguns materiaisde alta performance em trabalhos já apresentados anteriormente.
Na prática, muitos materiais industriais e de engenharia são heterogêneos e apresentam des-continuidades que são distinguíveis em algumas escalas de comprimento. Em muitas aplicações,estes materiais são formados por um padrão repetitivo periódico. O comportamento desses mate-riais heterogêneos periódicos é determinado pelas propriedades dos materiais constituintes e pelastopologias no nível microscópico.
Na microescala, pode-se considerar apenas um tipo de material e vazios, o que caracteriza osmateriais celulares, ou a combinação de dois ou mais materiais, o que caracteriza os compósitos.
Para a análise do modelo multiescala, a teoria da homogeneização é considerada como umametodologia coerente de modelagem para caracterização dos comportamentos mecânicos de ma-teriais celulares e compósitos em microestruturas periódicas (Bensoussan et al., 1978; Terada eKikuchi, 2001; Sangani e Lu, 1987). De uma maneira mais ampla, é possível considerar o materialperiódico em subdomínios da estrutura real.
1
(a) Deshpande et al. (2001) (b) Hayes et al. (2004) (c) Wen et al. (2008)
Figura 1.1: Exemplos de materiais “ultra-light” de alta performance. (a) Material de microbarras;(b) Material celular linear; (c) Material poroso com tamanho controlado dos poros
Com o intuito de obter um melhor projeto estrutural e um menor consumo de material, ocampo de projeto de otimização de estruturas tem sido rapidamente expandido com o aumento darobustez computacional desde a formulação das teorias de projeto ótimo moderno propostas porPrager e Rozvany (1977). Dentre as modalidades de otimização estrutural existentes, a otimizaçãotopológica estrutural tem se destacado tanto no meio acadêmico quanto na prática, mostrando seruma ferramenta computacional versátil para aplicação em vários tipos de análises na engenharia.A otimização topológica, de uma maneira geral, visa encontrar a distribuição de material de umaestrutura tal que o desempenho estrutural seja otimizado.
Em meio à problemática apresentada, deseja-se aplicar a otimização topológica estruturaltanto na escala macroscópica quanto na microscópica. O método de otimização topológica estrutu-ral utilizado neste trabalho foi o evolucionário (Xie e Steven, 1997; Huang e Xie, 2010). Com isso,será possível projetar microestruturas periódicas (ou seja, materiais) mais eficientes, em paralelocom uma otimização da topologia macroestrutural, para um certo tipo de comportamento estrutural.
1.2 Revisão Bibliográfica
Nesta seção, serão tecidos alguns comentários acerca dos trabalhos consultados para a rea-lização desta dissertação, com o objetivo de apresentar um breve histórico do desenvolvimento dapesquisa na área investigada. Inicialmente, a modelagem microestrutural é analisada, juntamentecom os desenvolvimentos da otimização estrutural. Por fim, mostram-se os trabalhos existentes doacoplamento desses dois campos.
2
1.2.1 Método de homogeneização
A análise de estruturas com descontinuidades em diferentes escalas é necessária para mo-delagem do comportamento de materiais heterogêneos. Neste contexto, o método matemático dahomogeneização tem sido extensivamente estudado desde os anos 70, a partir de Babuska (1976),para meios heterogêneos utilizando o método de expansão em duas escalas.
Um dos primeiros trabalhos desenvolvidos para modelagem matemática de estruturas commateriais periódicos foi feito por Bensoussan et al. (1978), no qual foi aplicada a expansão assintó-tica para materiais periódicos. A aplicação dessa teoria implica na passagem, por procedimentos deexpansão assintóticas, de uma descrição microscópica para uma descrição macroscópica do com-portamento de um sistema. Para utilizá-la, o tamanho característico da heterogeneidade periódicada microestrutura deve ser muito menor do que o tamanho da região na qual o sistema é estudado.Sanchez-Palencia (1980) aplicou também o rigoroso fundamento matemático da expansão assintó-tica para estruturas heterogêneas periódicas, porém abordando principalmente a teoria da vibraçãoem modelos multiescalas. Outros trabalhos, como o de Cioranescu e Paulin (1979), também desen-volveram relevantes contribuições para a compreensão desses modelos.
Posteriormente, com o avanço do desempenho computacional no decorrer dos anos, umaanálise de elementos finitos foi aplicada a materiais modelados pela teoria da homogeneização emGuedes e Kikuchi (1990). Nesse trabalho, foi solucionado o problema de homogeneização para aelasticidade plana e foi gerado um algoritmo de pré e pós-processamento das propriedades elásticasdos materiais.
Hassani e Hinton (1998a) e Hassani e Hinton (1998b) fazem uma revisão do método da ho-mogeneização. Com base no trabalho de Guedes e Kikuchi (1990), as equações de homogeneizaçãoe a solução destas a partir do método de elementos finitos são apresentadas. Um programa para de-terminação dos módulos elásticos efetivos de materiais idealizados sob estado plano de tensão ecom microestrutura bilateralmente simétrica é construído.
Usando diretamente o conceito de homogeneização, foram desenvolvidos trabalhos de oti-mização topológica no grupo do Departamento de Mecânica Computacional da UNICAMP.Destacam-se os trabalhos de Porto (Porto, 2006; Porto e Pavanello, 2007), nos quais se usou umaestrutura elástica periódica com inclusões retangulares, e os trabalhos de Silva Junior (Silva Ju-
3
nior, 2007; Silva Junior e Pavanello, 2010; Silva e Pavanello, 2010), em que se usou a teoria dahomogeneização aplicada em sistemas poroacústicos.
1.2.2 Otimização topológica estrutural
A otimização topológica estrutural busca alcançar o melhor desempenho de uma estrutura,satisfazendo várias restrições como, por exemplo, uma certa quantidade de material. Esse campotem sido amplamente estudado nas últimas décadas e é responsável pelo grande avanço atual doprojeto mecânico em diversas aplicações industriais.
Inicialmente, Cheng e Olhoff (1981) introduziram o conceito de microestrutura para otimiza-ção estrutural estudando o projeto da espessura ótima de uma placa sólida elástica para minimizar aflexibilidade média. Combinando a otimização de forma com o método da homogeneização, Bend-soe e Kikuchi (1988) implementaram a otimização topológica a partir da homogeneização e esta-beleceram uma nova base para a otimização topológica estrutural. O modelo de material cuja célulaunitária é quadrada com vazios retangulares centrais é introduzido na formulação do problema deotimização. A ideia é, a partir do tamanho do vazio retangular na célula-base de cada elemento, cal-cular uma densidade intermediária de material para cada região da estrutura. Utilizando o métodointroduzido por Bendsoe e Kikuchi (1988), Suzuki e Kikuchi (1991) aprofundaram a otimizaçãotopológica e de forma para estruturas elásticas planas.
Posteriormente, Hassani e Hinton (1998c) implementaram um algoritmo de otimização topo-lógica baseado no método de homogeneização aplicados a problemas de minimização da energiapotencial total da estrutura. Para análise estática e utilizando um novo critério de otimalidade deatualização das variáveis de projeto, o algoritmo é validado e mostra-se que os exemplos numéricosobtidos apresentam rápida convergência e uma topologia similar aos trabalhos anteriores.
Mais recentemente, Porto (2006) realizou uma revisão da metodologia de otimização topoló-gica baseada na homogeneização, baseado no trabalho de Hassani e Hinton (1998c). Um algoritmofoi implementado visando à maximização da rigidez para carregamentos pontuais e peso próprio, eà maximização da frequência natural.
Outro modelo de material usado na otimização topológica amplamente estudado e que apre-
4
senta inúmeras aplicações se chama material sólido isotrópico com penalidades (SIMP - Solid
Isotropic Material with Penalization). Alguns primeiros trabalhos publicados deste método foramfeitos por Bendsoe (1989), Rozvany et al. (1992) e Zhou e Rozvany (1991). Este método consistena utilização de uma variável de projeto contínua, que representa uma pseudo-densidade do ma-terial. Portanto, materiais intermediários (em escala de cinza) podem estar presentes na topologiafinal, dificultando a interpretação da topologia e causando problemas para definição do contornoestrutural. Esta dificuldade é geralmente solucionada usando técnicas de penalização e filtragemadequadas. Uma abordagem mais completa do método, contendo estudos realizados dessa teoria edas várias aplicações possíveis, é apresentada por Bendsoe e Sigmund (2004).
Diferentemente dos métodos de otimização topológica baseados na homogeneização e nomodelo SIMP que apresentam pseudo-densidades, o método de otimização estrutural evolucionária(ESO - Evolutionary Structural Optimization), proposto por Xie e Steven (1993), utiliza variáveisde projeto discretas (sólido ou vazio) para definição da topologia. Essa metodologia foi desenvol-vida baseada no simples conceito de remoção gradual do material ineficiente de uma estrutura, deforma que a topologia resultante evolua para um ponto ótimo (Xie e Steven, 1997). Devido a al-guns problemas de instabilidades numéricas, como dependência da malha e tabuleiros de xadrez natopologia final, uma adaptação do método ESO foi desenvolvida por Huang e Xie (2007), chamadade BESO (bi-directional ESO). O BESO permite tanto a remoção, quanto a adição de materialno domínio de projeto ao longo do processo de otimização (Huang e Xie, 2009). Ao longo dosanos, mostrou-se que o método BESO é ferramenta computacional capaz de ser aplicada a diver-sos campos de engenharia e de gerar estruturas similares a outros métodos clássicos de otimizaçãotopológica (Huang e Xie, 2010).
Uma abordagem de otimização topológica alternativa pode ser feita através do método Level
Set, que também foi desenvolvido nas ultimas décadas. Os trabalhos de Sethian e Wiegmann (2000),Allaire et al. (2002) e Wang et al. (2003), entre outros, apresentaram as formulações básicas dométodo Level Set e o aplicaram a exemplos numéricos clássicos.
A literatura destes métodos é muito extensa e não será detalhada nesta breve revisão, na qualsão apenas mencionados alguns marcos destas áreas de trabalho.
5
1.2.3 Otimização topológica estrutural multiescala
Com o avanço dos métodos de otimização topológica, o método de otimização topológicamultiescala surgiu da possibilidade de aplicar a otimização topológica de materiais periódicos.
O projeto de materiais através da otimização topológica se iniciou com o trabalho de Sigmund(1994), que propôs um problema de homogeneização inversa. Esse problema consiste em achar atopologia interior de uma célula-base tal qual o custo é minimizado e as restrições são definidaspelos parâmetros constitutivos predeterminados. Resultados numéricos de materiais, incluindo ma-teriais com coeficiente de Poisson negativo, são mostrados para barras considerando apenas duasdimensões na microestrutura.
Na sequência, Sigmund (1995) retoma o projeto de microestruturas periódicas de um materialpara obter propriedades constitutivas predeterminadas (homogeneização inversa). Neste trabalho,a microestrutura é modelada como uma estrutura de barra ou placa fina e são mostrados resulta-dos numéricos em duas e três dimensões. Ampliando o trabalho anterior, Sigmund (1995) obtém,pelo método proposto, materiais isotrópicos com coeficientes de Poisson próximos de -1, 0 e 0.5.Além disso, algumas microestruturas projetadas foram testadas em macromodelos para demostraro comportamento esperado.
Utilizando também o método de homogeneização para obtenção das propriedades mecânicasequivalentes do material, Neves et al. (2000) implementaram um algoritmo para projetar as micro-estruturas periódicas de materiais celulares com propriedades elásticas otimizadas. A formulaçãoadotada busca maximizar a densidade de energia de deformação para vários campos de deformaçãomacroscópicos. No problema de otimização, o método das assíntotas móveis (MMA - Method of
Moving Asymptotes) foi adotado, como proposto por Svanberg (1987), e a fração de volume e asimetria do material são consideradas como restrição.
No trabalho de Guest e Prévost (2007), os avanços em otimização topológica de escoamentode fluidos aplicados ao projeto de materiais porosos periódicos são apresentados. O objetivo é deter-minar as topologias das fases sólida e fluida na microestrutura que maximizam a permeabilidade domaterial. A permeabilidade é calculada através da homogeneização. As soluções para um problemade homogeneização inversa propostos pelo autor são apresentadas para células-base bidimensionaise tridimensionais.
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Já no campo da condução de calor, de Kruijf et al. (2007) estudaram a influência da oti-mização multiobjetivo no projeto de materiais em duas dimensões. A formulação proposta procuraencontrar estruturas ótimas com a máxima rigidez e a mínima resistência à dissipação de calor, paramateriais compósitos de duas fases. O tensor elástico e a condutividade térmica de uma célula-basesão derivadas do método da homogeneização com condições de contorno periódicas. O métodoSIMP associado ao método das assíntotas móveis foi explorado para a solução do problema deotimização, com restrições de volume e de simetria.
Mais recentemente, Huang et al. (2011) apresentaram uma nova abordagem para o projeto demicroestruturas periódicas utilizando o método de otimização evolucionária BESO. O problema deotimização busca encontrar a topologia microestrutural que maximiza os módulos de elasticidade ede cisalhamento, sujeito à restrição de volume. Para isso, a homogeneização foi adotada, usando-seo método de elementos finitos na célula-base sob condições de contorno periódicas. Resultados nu-méricos em 2D e 3D são apresentados para a metodologia proposta. Radman et al. (2013) retomamessa metodologia para a obtenção de estruturas com coeficiente de Poisson negativo.
Dentre as inúmeras aplicações do método de otimização multiescala, Andreasen e Sigmund(2012) apresentam um método para projetar materiais poroelásticos sob pressurização interna. Osatuadores são modelados através de uma abordagem em duas escalas com iteração fluido-estrutura.O objetivo da otimização de atuadores poroelásticos é maximizar sua deflexão/extensão vertical,utilizando o método baseado em densidades contínuas SIMP.
Ainda no projeto de materiais, o trabalho de Huang et al. (2013) introduziu a otimizaçãotopológica para encontrar a topologia otimizada da microestrutura periódica que resulta no melhorcomportamento macroestrutural. O algoritmo BESO implementado busca minimizar a flexibili-dade média das estruturas, sendo que a célula-base pode ser composta de materiais celulares oucompósitos.
Além da extensa e recente bibliografia em otimização estrutural aplicada em cada escala(macro e micro separadamente), a otimização topológica em ambos os modelos simultaneamentetambém tem sido aprofundada nos últimos anos. Rodrigues et al. (2002) propuseram um métodode otimização para lidar com o projeto hierárquico de material e estrutura. Essa metodologia con-siste no projeto do material celular juntamente com o projeto da macroestrutura. O algoritmo deotimização utiliza o método de baseado em densidades contínuas SIMP e é testado para problemasbidimensionais clássicos de minimização da flexibilidade média.
7
O estudo do método de otimização hierárquica introduzido por Rodrigues et al. (2002) paramateriais celulares é estendido no trabalho de Coelho et al. (2008), para estruturas elásticas tridi-mensionais. Zhang e Sun (2006) seguiram no campo da otimização integrada de materiais celularese estruturas para painéis em camadas. O procedimento de projeto consiste em maximizar a rigidezestrutural combinando as topologias bidimensionais da macroescala e da microescala.
Além do método hierárquico, a otimização topológica multiescala pode ser realizada atravésdo método concorrente (projeto estrutural). Nesta metodologia, projeta-se tanto a macroestruturaquanto a microestrutura, porém a célula-base é periódica uniforme e aplicada a toda estrutura, oque facilita a construção desses sistemas. Liu et al. (2008) introduziram a otimização topológicaconcorrente de materiais e estruturas. Foi utilizado variáveis de projeto contínuas com penalização,sendo adotado o modelo SIMP na microescala e o modelo PAMP (Porous Anisotropic Material with
Penalization) na macroescala. O algoritmo foi implementado para minimização da flexibilidademédia de estruturas bidimensionais.
Yan et al. (2008) estenderam o método concorrente multiescala para minimização da flexi-bilidade média para estruturas termoelásticas 2D. Nesse trabalho, é mostrado que os efeitos dadiferença de temperatura também afetam a solução ótima encontrada. Para casos onde são apli-cados na estrutura ambos carregamentos térmicos e mecânicos, a configuração porosa do materialpode ajudar a reduzir a flexibilidade do sistema. A continuação deste trabalho é feita por Denget al. (2013), que propõe a otimização topológica de estruturas termoelásticas. Exemplo numéricosenglobam estruturas de casca sanduíche curvada, estruturas axissimétrica e estruturas 3D.
Para obtenção de materiais ultra-light em problemas dinâmicos, Niu et al. (2009) apresentama primeira abordagem multiescala para problemas dinâmicos. A formulação do problema consistena maximização da primeira frequência natural do sistema, sujeito a restrições de volume em cadauma das escalas. Assim como nos trabalhos anteriores, a microestrutura periódica e a macroestru-tura são modeladas respectivamente através dos métodos SIMP e PAMP, com variáveis de projetoindependentes. A variável de projeto contínua resulta em elementos com densidades intermediáriasna estrutura final (“regiões cinzas”).
Adotando variáveis de projeto discretas na otimização topológica, Zuo et al. (2013a) imple-mentaram um algoritmo evolucionário bidirecional BESO para maximização da frequência fun-damental considerando materiais compósitos em malhas bidimensionais. Várias fases de materialsão consideradas na célula-base e o projeto de otimização é acoplado para as duas escalas. Yan
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et al. (2014) aplicaram o método BESO para maximização da rigidez considerando materiais com-pósitos. Diferente dos outros trabalhos, a restrição da otimização topológica multiescala é o pesoestrutural, que depende das topologias macroscópica e microscópica. Soluções numéricas 2D e 3Dsão apresentadas no trabalho.
A partir da revisão bibliográfica realizada, percebeu-se a existência de um campo de pesquisaemergente, onde diversos assuntos podem ser explorados. Tendo em vista o desenvolvimento reali-zado pelo Departamento de Mecânica Computacional (DMC) da UNICAMP na área de otimizaçãotopológica, como apresentado por da Silva (2001), Pizzirani (2003), Porto (2006), Silva Junior(2007), Picelli (2011), Vicente (2013) e Rodriguez (2015), a inserção da abordagem multiescala éuma contribuição relevante, como mostrado por Calixto e Pavanello (2015) e Vicente et al. (2015).Logo, este trabalho busca introduzir e aprofundar os estudos de otimização topológica multiescala.
1.3 Objetivos e Contribuições
Neste trabalho, um algoritmo de otimização topológica estrutural utilizando o método evo-lucionário bidirecional (BESO) para sistemas multiescala foi desenvolvido e implementado. Parauma estrutura composta de dois modelos (macroescala e microescala), propôs-se uma sistemáticapara a análise da otimização multiescala considerando o problema estático de maximização da rigi-dez e o problema dinâmico de maximização da frequência fundamental. Como objetivos específicosdeste trabalho, tem-se a lista apresentada a seguir:
Implementação e validação do modelo microestrutural periódico através da teoria da homo-geneização;
Implementação e validação do algoritmo multiescala de otimização topológica BESO clás-sico para maximização da rigidez e maximização da frequência fundamental;
Apresentação de exemplos numéricos do algoritmo para comprovar a robustez do algoritmoimplementado para estruturas com materiais periódicos celulares e compósitos;
Proposição um índice de eficiência estrutural para a análise das topologias obtidas pelo mé-todo otimização topológica multiescala para materiais celulares;
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Implementação de uma metodologia de otimização multiescala com várias células-base dis-tintas, onde o tipo de material varia ao longo da macroestrutura;
Desenvolvimento de uma metodologia de validação para fabricação por manufatura aditivade estruturas obtidas pelo método de otimização topológica estrutural multiescala;
Com relação às contribuições ao DMC, pode-se citar alguns pontos mostrados na sequência:
Modelagem por elementos finitos de uma célula unitária bidimensional com material com-pósito para utilização na otimização estrutural evolucionária BESO;
Desenvolvimento e aplicação de um algoritmo de otimização topológica evolucionária mul-tiescala a partir do método da homogeneização para materiais celulares e compósitos;
Ampliação do algoritmo implementado para obtenção de uma microestrutura viável ao longodo domínio macroscópico;
Viabilização da fabricação de estruturas periódicas através de uma metodologia de validaçãodas soluções obtidas pelo algoritmo implementado;
1.4 Descrição do Trabalho
Este trabalho está dividido em cinco capítulos. Primeiramente, este capítulo apresenta deforma geral o escopo do problema que será analisado no decorrer do trabalho. Mostra-se tambémos objetivos gerais e específicos que serão alcançados no desenvolvimento da dissertação.
No Capítulo 2, o modelo de elasticidade plana em multiescala é analisado utilizando a te-oria da homogeneização. Para a aproximação ser válida e a aplicação da teoria ser coerente, sãoconsideradas estruturas com pequenas heterogeneidades. A formulação do comportamento mecâ-nico microestrutural é feita utilizando expansão assintótica. Ao final desta análise, pode-se obter aspropriedades elásticas homogeneizadas de um material periódico.
O Capítulo 3 aplica o método de otimização topológica estrutural evolucionária bidirecional(BESO) em sistemas multiescala. O problema de otimização foi formulado para estruturas visando
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a maximização da rigidez e a maximização da frequência natural. A análise da sensibilidade ele-mentar é desenvolvida em ambas as escalas para os casos estático e dinâmico. O algoritmo deotimização topológica evolucionária multiescala implementado é apresentado.
No Capítulo 4, mostra-se os resultados numéricos obtidos para o método BESO multiescala.Dois tipos de projeto são apresentados: projeto de materiais (otimização na microescala) e de es-truturas (otimização em ambas as escalas), para materiais celulares e compósitos. As topologiasotimizadas são obtidas considerando os critérios de maximização da rigidez e da maximização dafrequência fundamental. Para o projeto de material, um índice de eficiência estrutural é propostopara materiais celulares e uma metodologia de fabricação de estruturas é apresentada. Mostra-seainda resultados numéricos obtidos de uma abordagem envolvendo dois ou mais tipos de materialna mesma estrutura.
Por fim, no Capítulo 5, apresentam-se as conclusões dos resultados obtidos, assim como assugestões para trabalhos futuros.
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2 Análise da Elasticidade Plana em Multiescala
A análise de uma estrutura composta por um material com microescala periódica pode serfeita usando-se o método da homogeneização. Neste capítulo serão apresentados os fundamentosda teoria da homogeneização para materiais celulares ou compósitos. O objetivo é utilizar as condi-ções de periodicidade e expansão assintótica aplicadas a um problema de elasticidade plana. Dessaforma, pode-se calcular as propriedades homogeneizadas equivalentes de um meio com microes-cala heterogênea e repetitiva. Hassani e Hinton (1998a), Hassani e Hinton (1998b) e Bendsoe eKikuchi (1988) foram os trabalhos utilizados como referências principais para o entendimento e aanálise da formulação apresentada neste capítulo.
2.1 Introdução
A resolução de um problema de valor de contorno em um meio heterogêneo usando métodosnuméricos de aproximação envolve um custo computacional inviável se o número de heterogenei-dades for muito grande, tais como em compósitos laminados, espumas porosas, materiais celulares(honeycomb), entre outros. A homogeneização consiste, então, em substituir o meio heterogêneopor um homogêneo equivalente.
A aplicação da teoria da homogeneização implica em considerar que o material compósitodeve ser composto de uma microestrutura regular ou quase regular. Se o meio possui muitas he-terogeneidades regulares, é possível considerar a hipótese de uma estrutura periódica. Enfatiza-se que, comparado com as dimensões da estrutura total a ser analisada, o tamanho dessas não-homogeneidades deve ser muito pequeno (Hassani e Hinton, 1998a).
Para se analisar e resolver um problema de otimização topológica multiescala, um estudode homogeneização é necessário para a descrição matemática do material compósito em sua mi-croescala. Assim, o objetivo deste capítulo é apresentar uma modelagem matemática de um meioheterogêneo que apresenta propriedades periódicas.
A teoria da homogeneização aqui apresentada baseia-se na expansão assintótica das proprie-dades locais e na hipótese de periodicidade de uma estrutura. A ideia geral é substituir as equaçõesdiferenciais com coeficientes oscilantes por equações diferenciais nas quais os coeficientes são
13
constantes e equivalentes (Ong et al., 1988).
Conceitos fundamentais como o de periodicidade e de expansão assintótica são necessáriospara a formulação do problema de homogeneização de um meio periódico regular. Esses conceitosserão apresentados na próxima seção.
2.2 Periodicidade e Expansão Assintótica
Um meio heterogêneo é definido como periódico regular, se as funções F que representamalguma quantidade física do meio tiverem a seguinte propriedade:
F(x + NY) = F(x) (2.1)
onde x = [x1, x2, x3]T é o vetor posição, N é uma matriz 3 × 3 diagonal de números arbitráriosinteiros n1, n2 e n3 na forma:
N =
n1 0 0
0 n2 0
0 0 n3
(2.2)
e Y = [Y1, Y2, Y3]T é um vetor constante que determina os limites da estrutura periódica em cadadimensão. A função F pode ser uma propriedade do meio de qualquer ordem, ou seja, uma funçãoescalar, vetorial ou tensorial de uma posição x. Isso significa que, em um meio com distribuiçãoperiódica de heterogeneidades, as propriedades descritas na forma da função F devem se repetirpara cada célula-base de dimensões Y.
Por exemplo, tem-se uma estrutura heterogênea plana mostrada na Figura 2.1. Em sua micro-estrutura, define-se células de base de dimensões Y, como comentado anteriormente. Para o meioheterogêneo ser definido como regular periódico, o valor da função F deve ser o mesmo para todosos pontos que estão a uma certa distância no sistema de referência local (de cada célula-base).
Assim, o valor das propriedades do material nos pontos mostrados devem ser iguais, paratodos os valores de n1 e n2:
F(P1) = F(P2) = F(P3) = F(P4) = F(P5) (2.3)
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Y1
Y2
Célula Unitária
P1
P4
P3
P2
P5
Figura 2.1: Modelo de um meio microestrutural periódico regular
Na teoria da homogeneização, as dimensões Y da célula periódica são consideradas muitopequenas quando comparadas ao tamanho do corpo. Dessa forma, as funções características vãovariar rapidamente em uma pequena vizinhança de um ponto x. Duas escalas de trabalho podemser utilizadas para analisar o comportamento da estrutura: uma escala macroscópica x, onde asfunções características F(x) apresentam variações lentas, e uma microscópica y, onde as funçõesF(y) variam rapidamente para cada célula periódica, cujo tamanho é dado por Y.
A figura 2.2 mostra o comportamento de uma função arbitrária F em um meio periódicoregular para as duas escalas x e y. A relação entre as escalas local e global é dada pela equação 2.4.
ε =xy
(2.4)
O parâmetro ε é a razão entre a escala microestrutural e a macroestrutural e é conhecido comoa dimensão característica de não-homogeneidade. Por hipótese, para a teoria da homogeneizaçãoser válida, a variável ε deve ser suficientemente pequena (Hassani e Hinton, 1998a).
O termo 1/ε pode ser compreendido como um fator de ampliação das dimensões da célulaperiódica. O comportamento da função F ampliado de uma célula em um meio heterogêneo regularperiódico é também mostrado na figura 2.2.
15
F(x)
x
y=x/
F(x,y)
Figura 2.2: Comportamento de uma função F arbitrária periódica regular na macroescala e namicroescala
Considerando as duas escalas, uma função geral F (x), definida em função da variável globalx, torna-se também dependente da variável local, a partir da relação: F (x) = F (εy) = F (x, y).
Assumindo um sistema de coordenadas x = (x1, x2, x3) no <3, o domínio macroestruturalserá representado por um paralelepípedo com dimensões εY1, εY2 e εY3, onde Y1, Y2 e Y3 são oslados da célula-base periódica na escala microscópica. Uma função é dita Y-periódica quando, parauma posição fixa global x, essa função depende de y e do fator de ampliação 1/ε.
Considera-se também que a forma e a composição da célula-base podem variar suavementecom a variável macroscópica x. Isso significa que, para diferentes pontos, a estrutura do meiocompósito pode variar, porém, no nível microscópico em um ponto x, o padrão periódico se mantém(Hassani e Hinton, 1998a).
Uma função ϕ de um material compósito pode ser expandida assintoticamente como mos-trada na equação 2.5.
F ε(x) = F0(x, y) + εF1(x, y) + ε2F2(x, y) + ... (2.5)
16
A dimensão característica de não-homogeneidade ε é muito pequena em relação às dimensõesda estrutura e as funções F0(x, y), F1(x, y), F2(x, y),... são suaves com respeito à escala macroscó-pica e Y-periódicas em nível microscópico.
2.3 Homogeneização do Problema de Elasticidade
O comportamento de um meio com estrutura periódica pode ser modelado utilizando a equa-ção da expansão assintótica 2.5, que fornece a relação de uma função que depende das variáveisem duas escalas: microscópica e macroscópica.
Propõe-se inicialmente apresentar o desenvolvimento das equações da homogeneização,tomando-se como base o problema de valor de contorno da elasticidade linear. O meio macroscó-pico é considerado heterogêneo com uma microestrutura regular periódica. Dessa forma, deseja-seobter as propriedades elásticas macroscópicas equivalentes para uma dada célula-base qualquer.
A metodologia aqui utilizada no equacionamento da teoria da homogeneização foi inicial-mente sugerida por Bensoussan et al. (1978). Posteriormente, nos artigos de Hassani e Hinton(1998a) e Hassani e Hinton (1998b), essa metodologia foi retomada e bastante detalhada. Nestetrabalho, o equacionamento para múltiplas escalas será desenvolvido conforme essas bibliogra-fias, mostrando as passagens matemáticas necessárias para o entendimento do método. Os artigosclássicos de Guedes e Kikuchi (1990) e Hassani e Hinton (1998b) foram utilizados como base nodesenvolvimento das equações. Mais recentemente, Porto (2006) e Silva Junior (2007) apresenta-ram uma formulação da teoria da homogeneização usando uma nomenclatura semelhante a aquiadotada e também foram usados como referência neste trabalho.
2.3.1 Problema de valor de contorno da elasticidade linear
O problema de elasticidade linear, ilustrado na figura 2.3, foi considerado para esta análisedo modelo multiescala.
Trata-se de um problema de valor de contorno de segunda ordem para o caso de elasticidadeplana, que pode ser representado matematicamente através da equação 2.6 sujeito às condições de
17
d
f
Célula-baseMicroestrutura
Periódica
YV
YS
Figura 2.3: Modelo do problema de elasticidade plana
contorno mostradas na equação 2.7.
Υεuε = −f em Ω (2.6)
uε = 0 em Γd (2.7)
onde f é a força de corpo aplicada presente no domínio da estrutura Ω e Υε é o operador elípticodado por:
Υε =∂
∂xj
(Dijkl
(x,
xε
) ∂
∂xl
)(2.8)
O termo subscrito ε representa a dependência do operador elíptico Υε e do campo de des-locamento uε com relação à dimensão característica de não-homogeneidade. Γd corresponde aodomínio restrito no contorno da estrutura, e x é o vetor das coordenadas globais do modelo. Otensor Dijkl representa o tensor dos módulos elásticos do material, que é considerado simétrico ecorresponde às propriedades mecânicas do mesmo.
Mostra-se ainda, na figura 2.3, um modelo de microestrutura periódica presente em Ω e umacélula-base destacada, onde Ys e Yv representam os domínios preenchidos de material sólido evazio respectivamente. Ressalta-se que são consideradas células unitárias com padrão sólido nãouniformes, ou seja, nenhuma restrição de simetria é imposta.
18
O objetivo do método da homogeneização é permitir que a equação 2.6 do problema de valorde contorno seja reescrita a partir de um termo homogeneizado, conforme se segue:
DHijkl
∂2uk(x)
∂xj∂xl= −fi em Ω (2.9)
onde DHijkl representa o tensor de propriedades elásticas homogeneizadas.
2.3.2 Análise do comportamento mecânico microestrutural
Pela teoria da homogeneização, pode-se adotar que o tensor das propriedades elásticas domaterial Dijkl é uniforme na escala macroscópica. Logo, Dijkl(x, x/ε) = Dijkl(y).
Aplicando uma expansão assintótica em duas escalas, como mostrado na equação 2.5, a so-lução do problema das equações 2.6 e 2.7 pode ser escrita como,
uε(x) = u0(x, y) + εu1(x, y) + ε2u2(x, y) + ... (2.10)
sabendo que uj(x, y) são funções Y-periódicas na escala microestrutural. Aplicando a regra dacadeia, o operador elíptico 2.8 pode ser reescrito da seguinte forma:
Υε =∂
∂xj
(Dijkl(y)
∂
∂xl
)+∂y
∂x
∂
∂yj
(Dijkl(y)
∂
∂xl
)(2.11)
Como foi apresentado na equação 2.4, a razão entre as escalas microscópica e macroscópicaé dada pelo parâmetro ε. Logo, a equação 2.11 resulta em:
Υε =∂
∂xj
(Dijkl(y)
∂
∂xl
)+
1
ε
∂
∂yj
(Dijkl(y)
∂
∂xl
)(2.12)
Substituindo a expressão do operador elíptico 2.12 e da expansão assintótica da variável uε
(2.10) na equação de equilíbrio 2.6, tem-se o seguinte resultado:
∂
∂xj
[Dijkl(y)
(∂u0
k
∂xl+
1
ε
∂u0k
∂yl+ ε
∂u1k
∂xl+∂u1
k
∂yl+ ε2
∂u2k
∂xl+ ε
∂u2k
∂yl
)]= −fi (2.13)
19
O tensor das propriedades elásticas do material é homogêneo na escala macroscópica. Logo,reordenando os termos da integral e aplicando a regra da cadeia pela segunda vez, obtém-se:
Dijkl∂2u0
k
∂xj∂xl+
1
ε
∂
∂yj
(Dijkl
∂u0k
∂xl
)+
1
εDijkl
∂2u0k
∂xj∂yl+
1
ε2∂
∂yj
(Dijkl
∂u0k
∂yl
)+
εDijkl∂2u1
k
∂xj∂xl+
∂
∂yj
(Dijkl
∂u1k
∂xl
)+Dijkl
∂2u1k
∂xj∂yl+
1
ε
∂
∂yj
(Dijkl
∂u1k
∂yl
)+
ε2Dijkl∂2u2
k
∂xj∂xl+ ε
∂
∂yj
(Dijkl
∂u2k
∂xl
)+ εDijkl
∂2u2k
∂xj∂yl+
∂
∂yj
(Dijkl
∂u2k
∂yl
)= −fi
(2.14)
Da equação 2.14, pode-se observar a presença de três operadores distintos bem definidos,cada um específico para uma potência de ε:
Υ1 =∂
∂yj
(Dijkl
∂
∂yl
)(2.15)
Υ2 =∂
∂xj
(Dijkl
∂
∂yl
)+
∂
∂yj
(Dijkl
∂
∂xl
)(2.16)
Υ3 =∂
∂xj
(Dijkl
∂
∂xl
)(2.17)
Reescrevendo a equação de equilíbrio 2.14 em função dos operadores diferenciais, obtém-sea seguinte expressão:
(ε−2Υ1 + ε−1Υ2 + Υ3)(u0 + εu1 + ε2u2) = −f (2.18)
ou ainda, a igualdade pode ser escrita como:
ε−2Υ1(u0) + ε−1Υ1(u1) + Υ1(u2) + ε−1Υ2(u0) + Υ2(u1) + εΥ2(u2)+
Υ3(u0) + εΥ3(u1) + ε2Υ3(u2) = −f(2.19)
Igualando os termos de mesma potência de ε em ambos os lados da equação 2.19, as seguintes
20
relações podem ser definidas:
Υ1(u0) = 0 (2.20)
Υ2(u0) + Υ1(u1) = 0 (2.21)
Υ3(u0) + Υ2(u1) + Υ1(u2) = −f (2.22)
Para solucionar as equações apresentadas anteriormente, deve-se primeiramente analisar osfatos seguintes. Dado uma variável u genérica:
Υ1(u) = F em Y (2.23)
A equação 2.23 definida em u apresentará solução única e determinada somente se F tiver suaintegral no domínio Y igual a zero, ou seja:
F =1
|Y|
∫Ys
F (y)dy = 0 (2.24)
onde |Y| representa o volume da célula-base microscópica (Hassani e Hinton, 1998a).
Dada a equação 2.24 onde F é uma função periódica, a integral do período sobre a derivadatambém é igual a zero.
1
|Y|
∫Ys
∂F (y)
∂ydy = 0 (2.25)
Por fim, o volume da célula-base é dado pela seguinte equação:∫Ys
dy = |Y| (2.26)
A partir das equações 2.23 e 2.24, obtém-se que a equação 2.20 deve apresentar uma soluçãoúnica, visto que F = 0.
Para que a equação tenha solução única, a variável u0 deve ser uma função de x, ou seja
21
u0 = f(x) depende exclusivamente da variável macroscópica x.
∂
∂yj
(Dijkl(y)
∂u0k
∂yl
)= 0 ⇒ u0 = u0(x) (2.27)
Sabendo da relação obtida em 2.27, a equação 2.21 pode ser simplificada e resulta na igual-dade abaixo:
∂
∂xj
(Dijkl(y)
∂u0k(x)
∂yl
)︸ ︷︷ ︸
=0
+∂
∂yj
(Dijkl(y)
∂u0k(x)
∂xl
)+
∂
∂yj
(Dijkl(y)
∂u1k
∂yl
)= 0
∂
∂yj
(Dijkl(y)
∂u1k
∂yl
)= − ∂
∂yj
(Dijkl(y)
∂u0k(x)
∂xl
)(2.28)
Integrando a equação 2.28 em yj e simplificando o tensor de propriedades, fica:
∂u1k
∂yl= −∂u
0k(x)
∂xl(2.29)
A solução da equação anterior 2.29 para o termo u1 pode ser obtida integrando novamenteambos os lados em relação a yl:
u1p(x, y) = −χklp (y)
∂u0k(x)
∂xl+ ξp(x) (2.30)
onde χkl é uma variável Y-periódica dependente apenas da variável microscópica y e ξp é a cons-tante da integração em y, logo é função apenas de x.
Substituindo a solução de u1 em 2.28, tem-se:
− ∂
∂yj
(Dijpq(y)
∂χklp (y)
∂yq
)∂u0
k(x)
∂xl= −∂Dijkl(y)
∂yj
∂u0k(x)
∂xl
o que resulta em:∂
∂yj
(Dijpq(y)
∂χklp (y)
∂yq
)=∂Dijkl(y)
∂yj(2.31)
22
A equação 2.31 corresponde à expressão que rege o comportamento local do material celular,tendo χkl(y) como sua solução, descrevendo o campo de deslocamento microscópico Y-periódico.
2.3.3 Cálculo do tensor de elasticidade homogeneizado
Uma vez obtida a solução local dada pela variável χkl(y), pode-se continuar a análise a fimde encontrar a equação geral que caracteriza na macroescala um certo comportamento microes-trutural. Ou seja, deseja-se obter uma equação para determinar o tensor de propriedades elásticashomogeneizadas DH .
A terceira equação apresentada em 2.22 deve ser solucionada para u2(x, y). Logo, essa equa-ção pode ser reescrita, isolando-se o operador Υ1 aplicado em u2:
Υ1(u2) = −f−Υ3(u0)−Υ2(u1) (2.32)
Aplicando o fato apresentado nas equações 2.23 e 2.24, o termo Υ1(u2) apresentará soluçãoúnica apenas se o lado direito da equação 2.32 respeitar a seguinte relação:
1
|Y|
∫Ys
[−f−Υ3(u0)−Υ2(u1)]dy = 0 (2.33)
Expandindo os operadores diferenciais e reorganizando os termos, obtém-se:
1
|Y|
∫Ys
Dijkl∂2u0
k
∂xj∂xldy +
1
|Y|
∫Ys
[∂
∂xj
(Dijkl
∂u1k
∂yl
)+
∂
∂yj
(Dijkl
∂u1k
∂xl
)]dy = −fi (2.34)
Como já foi apresentado na equação 2.25, a integral no período sobre a derivada de umafunção periódica deve ser nula. Dessa forma:
1
|Y|
∫Ys
∂
∂yj
(Dijkl
∂u1k
∂xl
)dy = 0 (2.35)
Assim, o último termo do lado esquerdo da equação será nulo. A equação 2.34 pode, então,
23
ser reescrita como:
∂2u0k
∂xj∂xl
(1
|Y|
∫Ys
Dijkldy
)+
∂
∂xj
(1
|Y|
∫Ys
Dijkl∂u1
k
∂yldy
)= −fi (2.36)
Substituindo e desenvolvendo a solução obtida para u1(x, y) da equação 2.29, chega-se em(Hassani e Hinton, 1998a; Porto, 2006):
∂2u0k
∂xj∂xl
(1
|Y|
∫Ys
Dijkldy
)− ∂
∂xj
(1
|Y|
∫Ys
Dijpq
∂χklp∂yq
∂u0k
∂xldy
)= −fi (2.37)
∂2u0k
∂xj∂xl
(1
|Y|
∫Ys
Dijkldy
)− ∂2u0
k
∂xjxl
(1
|Y|
∫Ys
Dijpq
∂χklp∂yq
dy
)= −fi (2.38)
∂2u0k
∂xj∂xl
[1
|Y|
(∫Ys
Dijkldy −∫Ys
Dijpq
∂χklp∂yq
dy
)]= −fi (2.39)
A equação 2.39 resulta na seguinte expressão homogeneizada (macroscópica) para u(x):
DHijkl
∂2u0k(x)
∂xj∂xl= −fi (2.40)
Correlacionando a equação 2.40 com as equaçãos apresentadas em 2.39 e 2.9, obtemos aexpressão abaixo:
DHijkl =
1
|Y|
∫Ys
(Dijkl(y)−Dijpq(y)
∂χklp (y)
∂yq
)dy (2.41)
A equação 2.41 representa o tensor homogeneizado das propriedades elásticas, calculadoapenas a nível microscópico, para um problema de elasticidade linear.
2.4 Solução Numérica das Equações da Homogeneização
Para a obtenção da solução numérica para a homogeneização, o método dos elementos fi-nitos foi aplicado. Inicialmente, a equação 2.31 do deslocamento microscópico é escrita em sua
24
forma fraca (variacional). Aplicando o método de elementos finitos, obtém-se o campo de desloca-mentos da célula unitária e, utilizando na equação 2.41, o tensor de elasticidade homogeneizado édeterminado.
Multiplicando a equação 2.31 pelos termos de ponderação, obtém-se a seguinte integral pon-derada: ∫
Ys
vi∂
∂yj
(Dijpq(y)
∂χklp (y)
∂yq
)dy =
∫Ys
vi∂Dijkl(y)
∂yjdy (2.42)
onde vi representa uma função ponderadora arbitrária.
Aplicando o Teorema de Green (integração por partes) na equação 2.42, a forma fraca doproblema de elementos finitos é determinada:[
vi
(Dijpq(y)
∂χklp (y)
∂yq
)]Ys
−∫Ys
(∂vi∂yj
Dijpq(y)∂χklp (y)
∂yq
)dy =
= [viDijkl(y)]Ys −∫Ys
Dijkl(y)∂vi∂yj
dy
(2.43)
Reorganizando os termos da equação 2.43, tem-se:
∫Ys
Dijkl(y)∂vi∂yj
dy −∫Ys
(∂vi∂yj
Dijpq(y)∂χklp (y)
∂yq
)dy =
= [viDijkl(y)]Ys −
[vi
(Dijpq(y)
∂χklp (y)
∂yq
)]Ys
(2.44)
Enfim, sabe-se que os termos do lado direito da equação 2.44 correspondem às condiçõesde contorno naturais do problema. Excluindo as condições de contorno naturais da formulação, aforma fraca do problema local da célula-base pode ser obtida:
∫Ys
(∂vi∂yj
Dijpq(y)∂χklp (y)
∂yq
)dy =
∫Ys
Dijkl(y)∂vi∂yj
dy (2.45)
25
Tendo-se definida a formulação fraca do problema dada pela equação 2.45, o método doselementos finitos pode ser aplicado para determinação do campos de deslocamentos da célula uni-tária. Considerando as equações 2.45 e 2.41, através da variação dos índices i, j, k, l, p, q, é possívelsolucionar o problema e calcular o tensor de elasticidade homogeneizado DH .
Neste estudo, apenas problemas bidimensionais são analisados (i, j, k, l, p, q = 1, 2). Adotou-se o material sólido presente na célula-base como isotrópico. Logo, o tensor das propriedades elás-ticas desse material D é simétrico e pode ser escrito na forma matricial como sendo:
D =
D1111 D1122 0
D1122 D2222 0
0 0 D1212
= [d1 d2 d3]; (2.46)
Como não há restrição das topologias utilizadas na célula unitária, as microestruturas podemnão apresentar dois planos de simetria (ortotropia). Nesses casos, a matriz das propriedades homo-geneizadas obtida é anisotrópica e, para um problema bidimensional, pode ser escrita da seguinteforma:
DH =
DH1111 DH
1122 DH1112
DH1122 DH
2222 DH2212
DH1112 DH
2212 DH1212
(2.47)
Ou seja, utilizou-se topologias microestruturais com propriedades de um material isotrópico2.46 para encontrar a matriz de elasticidade homogeneizada, que pode ser anisotrópica ou ortotró-pica (DH
1112 = DH2212 = 0).
2.4.1 Formulação de elementos finitos
Uma vez que, neste estudo, problemas bidimensionais são analisados, os seguintes casos sãosuficientes para o cálculo da matriz homogeneizada:
Caso (a): k = 1, l = 1⇒ Cálculo de DH1111
Caso (b): k = 2, l = 2⇒ Cálculo de DH1122, e DH
2222
26
Caso (c): k = 1, l = 2⇒ Cálculo de DH1112, DH
2212 e DH1212
As equações resultantes, para cada caso (a), (b) e (c) acima apresentados, são desenvolvidasseparadamente a seguir. As condições de contorno de periodicidade utilizadas para cada solução doproblema microestrutural são apresentadas na próxima subseção.
• Caso (a): k = 1, l = 1
Expandindo os índices i, j, p, q da equação 2.45, obtém-se a seguinte expressão:∫Ys
∂v1
∂y1
(D1111
∂χ111
∂y1
+D1122∂χ11
2
∂y2
)+
(∂v1
∂y2
+∂v2
∂y1
)D1212
(∂χ11
1
∂y2
+∂χ11
2
∂y1
)+
+∂v2
∂y2
(D1122
∂χ111
∂y1
+D2222∂χ11
2
∂y2
)dy =
∫Ys
(D1111
∂v1
∂y1
+ D1122∂v2
∂y2
)dy
(2.48)
Aplicando a teoria clássica de elementos finitos (Zienkiewicz et al., 2000; Reddy, 2006) eusando uma notação matricial, a equação acima pode ser reescrita por meio de operadores diferen-ciais em sua formulação fraca, como é mostrado a seguir:
∫Ys
vTbTDbuAdy =
∫Ys
vTbT
D1111
D1122
0
dy (2.49)
onde b é a matriz global de deformações, uA representa o campo de deslocamentos global do Caso(a) e v são as funções ponderadoras do método dos resíduos ponderados. Cancelando as funçõesponderadoras e simplificando a equação 2.49, tem-se:∫
Ys
bTDbdy uA =
∫Ys
bTd1dy (2.50)
o que leva a:k uA = fA (2.51)
sendo k é a matriz de rigidez global da célula unitária, d1 é um vetor coluna que contém a primeiracoluna de D (equação 2.46) e fA é a força global aplicada para esse caso.
27
A nível elementar, a matriz de rigidez ke é calculada a partir da matriz de derivada das funçõesde forma elementar be:
ke =
∫Y e
bTeDbedy (2.52)
e o vetor de força elementar fA,e é dado por:
fA,e =
∫Y e
bTed1dy (2.53)
sendo Ye o domínio do elemento finito da célula-base discretizada.
O vetor de força da homogeneização tem um sentido físico que é um caso específico decarregamento imposto por uma deformação inicial (Zienkiewicz et al., 2000). Para o Caso (a), ovetor de deformação inicial é da forma ε0A = 1, 0, 0, como mostra a relação seguinte:
fA,e =
∫Y e
bTeDε0Ady =
∫Y e
bTe
D1111 D1122 0
D1122 D2222 0
0 0 D1212
1
0
0
dy =
∫Y e
bTe
D1111
D1122
0
dy
(2.54)
A célula-base é discretizada em elementos finitos quadrilaterais e cada elemento tem umacontribuição na montagem do sistema global. A ordenação das posições, onde os termos da matrizde rigidez elementar ke e do vetor de força elementar fA,e serão aplicados na matriz de rigidez globalk e no vetor de força global fA respectivamente, depende da conectividade de cada elemento. Enfim,resulta-se no sistema global apresentado na equação 2.51. Aplicando as condições de contorno doproblema e resolvendo o sistema linear, o campo de deslocamentos global uA é determinado.
Uma vez que os deslocamentos nodais são obtidos, o termo DH1111 da matriz de elasticidade
homogeneizada pode ser obtido. Tomando-se a equação 2.41 e expandindo os índices p, q, parai = j = 1, obtém-se:
DH1111 =
1
|Y |
∫Ys
(D1111 −D1111
∂χ111
∂y1
−D1122∂χ11
2
∂y2
)dy (2.55)
28
Reescrevendo a equação 2.55 na forma de elementos finitos, a nível elementar, tem-se:
DH,e1111 =
1
|Y |
∫Ys
(D1111 − dT
1beuA,e)dy (2.56)
onde uA,e representa o vetor de deslocamentos nodais elementar do Caso (a). Vale ressaltar que otermo negativo da integral resulta em um número escalar.
O termo de rigidez homogeneizado DH1111 é dado como o somatório de todas as contribuições
elementares, como mostra a equação 2.57.
DH1111 =
M∑i=1
DH,e1111 =
1
|Y |
M∑i=1
∫Ys
(D1111 − dT
1beuA,e)dy (2.57)
sendo M o número de elementos finitos utilizados na discretização da célula unitária.
A metodologia dos outros dois casos são similares ao Caso (a). Por essa razão, os Casos (b)e (c) serão apresentados de forma sucinta.
• Caso (b): k = 2, l = 2
Analogamente ao Caso (a), expande-se os índices i, j, p, q da equação 2.45, como mostra aequação seguinte:∫
Ys
∂v1
∂y1
(D1111
∂χ221
∂y1
+D1122∂χ22
2
∂y2
)+
(∂v1
∂y2
+∂v2
∂y1
)D1212
(∂χ22
1
∂y2
+∂χ22
2
∂y1
)+
+∂v2
∂y2
(D2211
∂χ221
∂y1
+D2222∂χ22
2
∂y2
)dy =
∫Ys
(D1122
∂v1
∂y1
+ D2222∂v2
∂y2
)dy
(2.58)
Aplicando o método de elementos finitos, o sistema global resultante é mostrado a seguir:∫Ys
bTDbdy uB =
∫Ys
bTd2dy ⇒ k uB = fB (2.59)
o que resulta em:k uB = fB (2.60)
29
As matrizes de rigidez e os vetores de força elementares, equivalentes a um vetor de defor-mação inicial da forma ε0B = 0, 1, 0, que compõem o sistema global são calculados através dasexpressões seguintes:
ke =
∫Y e
bTeDbedy (2.61)
fB,e =
∫Y e
bTed2dy (2.62)
Ao solucionar o sistema linear apresentado em 2.60 e obter o campo de deslocamentos doCaso (b) dado por uB, é possível encontrar os termos DH
1122 e DH2222 da matriz elástica homogenei-
zada.
Inicialmente para i = j = 1, expandindo a equação 2.41, obtém-se:
DH1122 =
1
|Y |
∫Ys
(D1122 −D1111
∂χ221
∂y1
−D1122∂χ22
2
∂y2
)dy (2.63)
Aplicando a teoria de elementos finitos, a contribuição de cada elemento finito para o termoDH
1122 pode ser calculado através da seguinte equação matricial:
DH,e1122 =
1
|Y |
∫Ys
(D1122 − dT
1beuB,e)dy (2.64)
Enfim, o termo da matriz homogeneizada DH1122 é calculado pela equação 2.65:
DH1122 =
M∑i=1
DH,e1122 =
1
|Y |
M∑i=1
∫Ys
(D1122 − dT
1beuB,e)dy (2.65)
Para i = j = 2 e lembrando que k = l = 2 para esse caso, um novo termo da matrizhomogeneizada pode ser obtido:
DH2222 =
1
|Y |
∫Ys
(D2222 −D1122
∂χ221
∂y1
−D2222∂χ22
2
∂y2
)dy (2.66)
30
Considerando-se a formulação de elementos finitos, a equação 2.66 pode ser reescrita paradeterminação da contribuição de cada elemento na rigidez global da célula-base:
DH,e2222 =
1
|Y |
∫Ys
(D2222 − dT
2beuB,e)dy (2.67)
O termo DH2222 é a soma de todas as contribuições de cada elemento finito discretizado. Logo:
DH2222 =
M∑i=1
DH,e2222 =
1
|Y |
M∑i=1
∫Ys
(D2222 − dT
2beuB,e)dy (2.68)
• Caso (c): k = 1, l = 2
Finalmente, aplicando a expansão dos índices i, j, p, q da equação 2.45 e eliminando os ter-mos nulos da matriz elástica isotrópica, resulta-se na seguinte expressão:∫
Ys
∂v1
∂y1
(D1111
∂χ121
∂y1
+D1122∂χ12
2
∂y2
)+
(∂v1
∂y2
+∂v2
∂y1
)D1212
(∂χ12
1
∂y2
+∂χ12
2
∂y1
)+
+∂v2
∂y2
(D1122
∂χ121
∂y1
+D2222∂χ12
2
∂y2
)dy =
∫Ys
D1212
(∂v1
∂y2
+∂v2
∂y1
)dy
(2.69)
Pelo método de elementos finitos, a equação 2.69 pode ser escrita na forma matricial globalcomo mostrado a seguir: ∫
Ys
bTDbdy uC =
∫Ys
bTd3dy (2.70)
k uC = fC (2.71)
A nível elementar, as matrizes de rigidez e os vetores de carregamento são calculados como:
ke =
∫Y e
bTeDbedy (2.72)
fC,e =
∫Y e
bTed3dy (2.73)
31
onde os vetores de carregamento podem ser interpretados como sendo resultantes de um vetor dedeformação inicial dado por ε0C = 0, 0, 1.
Realizando-se a montagem das matrizes e vetores elementares no sistema global, o sistemalinear global apresentado em 2.71 é resolvido e o campo de deslocamento uC é obtido. A partir dosdeslocamentos nodais, os termos DH
1112, DH2212 e DH
1212 da matriz homogeneizada são determinados.
Inicialmente, para i = j = 1, a equação diferencial 2.41 expandida, eliminando os termosnulos, é formulada como:
DH1112 =
1
|Y |
∫Ys
(−D1111
∂χ121
∂y1
−D1122∂χ12
2
∂y2
)dy (2.74)
Aplicando o método de elementos finitos, a equação 2.74 é reescrita na forma elementar daseguinte maneira:
DH,e1112 =
1
|Y |
∫Ys
(−dT
1beuC,e)dy (2.75)
O termo DH1112 é então escrito como:
DH1112 =
M∑i=1
DH,e1112 =
1
|Y |
M∑i=1
∫Ys
(−dT
1beuC,e)dy (2.76)
Para i = j = 2, repete-se o procedimento de expansão dos índices variáveis da equação 2.41,obtendo-se:
DH2212 =
1
|Y |
∫Ys
(−D1122
∂χ121
∂y1
−D2222∂χ12
2
∂y2
)dy (2.77)
Utilizando a formulação de elementos finitos, reescreve-se a equação 2.77 da forma matricialpara cada elemento:
DH,e2212 =
1
|Y |
∫Ys
(−dT
2beuC,e)dy (2.78)
32
O termo DH2212 é determinado como mostra a equação 2.79:
DH2212 =
M∑i=1
DH,e2212 =
1
|Y |
M∑i=1
∫Ys
(−dT
2beuC,e)dy (2.79)
Por fim, para i = 1 e j = 2 e relembrando que k = 1 e l = 2, a equação diferencial 2.41expandida fica:
DH1212 =
1
|Y |
∫Ys
(D1212 −D1212
∂χ121
∂y2
−D1212∂χ12
2
∂y1
)dy (2.80)
Aplicando o método de elementos finitos, a equação 2.80 é reescrita na forma elementar daseguinte maneira:
DH,e1212 =
1
|Y |
∫Ys
(D1212 − dT
3beuC,e)dy (2.81)
O último termo de cisalhamento DH1212 é então definido apresentado a seguir:
DH1212 =
M∑i=1
DH,e1212 =
1
|Y |
M∑i=1
∫Ys
(D1212 − dT
3beuC,e)dy (2.82)
Assim, demostrou-se o equacionamento utilizado para o cálculo da matriz das propriedadeselásticas homogeneizadas pelo método de elementos finitos. Neste contexto, a matriz homogenei-zada pode representar um material anisotrópico, como mostra a equação 2.47, o que representaum tensor elástico geral para o problema de estado plano de tensões. As condições de contornoessenciais necessárias para a solução do problema são apresentadas na sequência.
2.4.2 Condições de contorno para materiais periódicos
A fim de se determinar as condições de contorno apropriadas, considera-se a principal hipó-tese da teoria da homogeneização: periodicidade. Um modelo de célula unitária é apresentado nafigura 2.4.
Assim, recorrendo à equação 2.1 de uma propriedade periódica, pode-se escrever qualquer
33
Y1
Y2
y2
y1
A B
C D
Figura 2.4: Modelo de uma célula-base periódica
função na célula unitária, por exemplo o deslocamento, como:
u(y1, y2) = u(y1 + Y1, y2) = u(y1 + Y1, y2 + Y2) = u(y1, y2 + Y2) (2.83)
Devido a periodicidade da célula-base, os deslocamentos dos lados correspondentes devemser iguais (direita-esquerda e base-topo). Ou seja, os campos de deslocamentos dos nós pertencentesàs linhas AB e AC, mostradas na figura 2.4, são iguais aos campos dos nós pertencentes às linhasCD eBD respectivamente. Percebe-se também que o deslocamento da extremidade inferior direitaé igual em todos os outros cantos da célula-base. Uma vez que os deslocamentos das extremidadessão simétricos, o campo de deslocamentos resulta em dois comportamentos distintos na célulaunitária: movimento de corpo rígido e deformação na célula-base. Sabendo que o movimento decorpo rígido não causa efeitos nos campos de tensão e deformação no domínio da célula, essaextremidade foi fixada como mostra a figura 2.5.
As restrições internas entre os graus de liberdade dos nós podem ser expressas por um con-junto de equações de restrição que deve ser introduzido às equações de elementos finitos. Isto é,as condições de contorno periódicas podem ser tratadas como um conjunto de equações de restri-ção. Vários métodos podem ser aplicados para a modelagem das equações de restrição, entre elesa condensação ou redução estática, o método de multiplicador de Lagrange e o método de penali-dade. Nesse trabalho foi utilizado o método de condensação estática, como apresentado em Cooket al. (2001). Yang e Becker (2004) também usaram o método da condensação para condições de
34
Figura 2.5: Condições de contorno e uma deformação ilustrativa da estrutura periódica
contorno periódicas.
Nesse método, os graus de liberdade dos nós pertencentes às linhas CD e BD serão conden-sados aos respectivos graus de liberdade dos nós das linhas AB e AC, por meio de uma matriz decondensação T. Portanto, o sistema global resultante da condensação tem menos graus de liberdadeque o inicial.
A matriz de condensação pode ser escrita como uma matriz retangular NGL× (NGL−NER)
com valores 0 ou 1, onde NGL é o número de graus de liberdade e NER é o número de equaçõesde restrição de um sistema. Por exemplo, para um sistema onde há apenas uma restrição uI = uJ
(logo, NER = 1), a matriz de condensação T pode ser escrita como:
T =
1 2 · · · I · · · J · · · (NGL − 1)
1 0 · · · 0 · · · 0 · · · 0
0 1 · · · 0 · · · 0 · · · 0...
... · · · ... · · · ... · · · ...0 0 · · · 1 · · · 0 · · · 0...
... · · · ... · · · ... · · · ...0 0 · · · 1 · · · 0 · · · 0...
... · · · ... · · · ... · · · ...0 0 · · · 0 · · · 0 · · · 1
1
2...I...J...
NGL
(2.84)
35
A matriz de rigidez e o vetor de força condensados são calculados da seguinte forma:
k = TTkT e f = TTf (2.85)
A equação de equilíbrio pode ser escrita como:
k u = f (2.86)
e, uma vez encontrada a solução do sistema condensado u, a resposta global u pode ser calculadacomo:
u = Tu (2.87)
Esse procedimento de condensação é aplicado na célula unitária para solução do problema deelementos finitos nos três casos mostrados anteriormente. A partir dos deslocamentos, pode-se obteros campos de deformações e assim encontrar os termos da matriz de elasticidade homogeneizada,como apresentado na seção 2.4.1.
36
3 Otimização Topológica Estrutural Aplicada à Multiescala
Uma abordagem multiescala da otimização estrutural evolucionária foi adotada neste traba-lho. A formulação do problema evolucionário multiescala e a análise da sensibilidade elementar se-rão mostradas neste capítulo, considerando sistemas estáticos e dinâmicos. Finalmente, descreve-seo algoritmo de otimização topológica multiescala utilizado.
3.1 Otimização Estrutural Evolucionária
O método de otimização estrutural evolucionária (em inglês, “Evolutionary Structural Opti-
mization” ESO) foi primeiramente proposto por Xie e Steven (1997) e, a partir de então, a apli-cação desse método em problemas de otimização topológica foi intensificada. Diferentemente dométodo de otimização baseado no SIMP (em inglês, “Solid Isotropic Material with Penalization”)(Bendsoe, 1995) onde a variável de projeto é contínua (materiais intermediários), a principal carac-terística dos métodos evolucionários é a utilização de uma variável de projeto discreta (0 ou 1), ouseja, apenas é possível a existência de material sólido ou vazio.
A otimização estrutural evolucionária consiste resumidamente na remoção gradual dos ele-mentos finitos menos eficientes da estrutura, dependendo de um algoritmo predeterminado, como intuito de maximizar ou minimizar algum comportamento estrutural. A escolha dos elementosa serem retirados depende da sensibilidade elementar, calculada diferentemente para cada tipo deanálise estrutural. Trabalhos recentes constatam que o método ESO desconsidera problemas numé-ricos importantes em otimização topológica, por exemplo a existência de solução, o tabuleiro dexadrez e a dependência da malha (Huang e Xie, 2010).
A fim de se superar as deficiências do método ESO, um algoritmo aprimorado chamado demétodo de otimização estrutural evolucionária bidirecional (em inglês, “Bi-directional ESO” ouBESO) foi desenvolvido (Huang e Xie, 2007). A principal diferença do método BESO é a possibi-lidade de adicionar e remover elementos no processo de otimização evolucionária, resguardando asua característica básica de utilizar variáveis de projeto discretas. Um filtro numérico para garantira independência da malha e a eliminação de tabuleiros de xadrez na topologia final foi imple-mentado. As instabilidades numéricas do método foram amenizadas através da estabilização doprocesso evolucionário.
37
Neste trabalho, o método de otimização topológica BESO foi utilizado para problemas emmultiescala.
3.2 Formulação do Problema
Para a otimização topológica estrutural multiescala, dois modelos devem ser levados em con-sideração no processo evolucionário: o macroestrutural e o microestrutural. Dessa forma, dois do-mínios de projeto são necessários para a realização do estudo. O algoritmo de otimização utilizadobusca encontrar as topologias da célula unitária e da macroestrutura que melhoram um certo com-portamento global da estrutura. Cada modelo é discretizado e analisado por elementos finitos, e aligação entre os modelos é feita pela teoria da homogeneização.
Neste trabalho, dois tipos de análises foram feitas para o problema de otimização estrutural:estática e dinâmica. A análise estática consiste em buscar a macroestrutura e a microestrutura queapresentam a maior rigidez possível para uma certa condição de contorno. A análise dinâmicatem como objetivo determinar as topologias ótimas (locais ou globais), em ambas as escalas, quemaximizam uma certa frequência natural. A formulação do problema de otimização e as equaçõesde equilíbrio utilizadas são distintas para cada tipo de projeto. Logo, definiu-se separadamente osproblemas de otimização estrutural, como mostrado na sequência.
3.2.1 Definição do problema de maximização da rigidez
O problema de maximização da rigidez é formulado como a minimização da flexibilidademédia (em inglês, mean compliance) da estrutura. Assim, a otimização topológica estrutural mul-tiescala é definida da seguinte forma:
Achar: xmac, xmic
que minimiza: C = 12FTU
sujeito a: V macf −
∑Ni=1 V
maci xmaci = 0
V micf −
∑Mj=1 V
micj xmicj = 0
xmaci = 0 ∨ 1
xmicj = 0 ∨ 1
(3.1)
38
onde xmac e xmic representam os vetores das variáveis de projeto discretas macro e microestrutu-ral respectivamente. A função objetivo C do problema equivale à energia total de deformação daestrutura. A equação global de equilíbrio estático em elementos finitos é dada pela expressão:
KU = F (3.2)
sendo que K é matriz global de rigidez, U é o vetor global de deslocamentos nodais e F é o vetorde carregamento aplicado à macroestrutura.
Nas equações de restrição do processo de otimização mostrados em 3.1, V macf e N são, res-
pectivamente, a fração de volume final desejado e o número de elementos finitos na macroescala.Analogamente, V mic
f e M representam a fração de volume final predeterminado e o número deelementos finitos discretizados na microescala. A fração de volume final da estrutura Vf é entãocalculada pela multiplicação das frações de volume desejadas em cada escala, logo:
Vf = V macf × V mic
f (3.3)
Na análise microestrutural, a variável de projeto pode indicar diferentes materiais, sendoxmicj = 1 os elementos feitos do material do tipo 1 e xmicj = 0 os elementos feitos do material dotipo 2. Para o problema contendo materiais celulares, o volume final da microestrutura V mic
f repre-senta exatamente a quantidade de material que estará presente na célula unitária. Já para materiaiscompósitos, o volume final predeterminado corresponde ao volume do material mais rígido (tipo 1)na microestrutura otimizada. Este processo pode ser ampliado para mais de dois tipos de material,sem limitações teóricas, como pode ser visto nos exemplos numéricos mostrados adiante.
39
3.2.2 Definição do problema de maximização da frequência natural
Para um algoritmo de otimização evolucionária, o problema de maximização de uma frequên-cia natural pode ser apresentado como:
Achar: xmac, xmic
que maximiza: ωk
sujeito a: V macf −
∑Ni=1 V
maci xmaci = 0
V micf −
∑Mj=1 V
micj xmicj = 0
xmaci = 0 ∨ 1
xmicj = 0 ∨ 1
(3.4)
sendo a função objetivo ωk a k-ésima frequência natural.
Pelo método de elementos finitos, o comportamento dinâmico das estruturas, considerandoo caso de vibrações livres não amortecidas, pode ser descrito segundo o problema de autovalor aseguir:
(K− ω2kM)Uk = 0 (3.5)
onde Uk é o autovetor do k-ésimo modo de vibração. M e K são, respectivamente, as matrizesglobais de massa e de rigidez da estrutura.
3.3 Interpolação do Material
O método BESO envolve uma etapa de análise de sensibilidade, onde se obtém o gradienteda função objetivo em relação às variáveis de projeto. Para a realização de uma análise de sensibi-lidade, usa-se uma interpolação do material que consiste na descrição das propriedades do materialcom respeito às variáveis de projeto. A fim de garantir a existência de solução discreta (Huanget al., 2013), o modelo de penalização SIMP foi aplicado nesta interpolação. Os fundamentos apro-fundados dessa penalização são apresentados em Bendsoe e Sigmund (2004).
A completa remoção do elemento sólido do domínio de projeto pode resultar em dificuldadesna otimização topológica, além de ser necessária a reconstrução da malha de elementos finitos acada iteração. Uma forma alternativa de remover um elemento é reduzir o seu módulo de elastici-
40
dade ou uma de suas dimensões características (como a espessura) para um valor muito pequeno.Por exemplo, Hinton e Sienz (1995) reduziram o módulo de elasticidade de elementos que seriamremovidos dividindo por um fator 105. Rozvany e Querin (2002) sugerem um método de rejeiçãoe adição elementar sequencial (em inglês, SERA) na qual o elemento vazio é substituído por umelemento “suave” com baixa densidade. Uma abordagem similar para BESO foi proposta por Zhuet al. (2007) onde uma microestrutura celular ortotrópica é introduzida para substituir o elementovazio.
Em meio a esta problemática, Huang e Xie (2009) propuseram aplicar o método BESO uti-lizando a interpolação de material SIMP para evitar a remoção total de elementos na otimizaçãotopológica, resultando em uma solução sólido-vazio aproximada. Este método é denominado “soft-
kill”. Dessa forma, as variáveis de projeto xmac e xmic de um elemento i e j, respectivamente,apresentadas nas equações 3.1 e 3.4 são redefinidas como:
xmaci = xmin ∨ 1 e xmicj = xmin ∨ 1 (3.6)
onde xmin é o valor da densidade do elemento finito vazio.
O valor de xmin adotado deve ser pequeno. Isso implica que não é permitido que o elementoseja totalmente removido do domínio de projeto, convertendo esses elementos vazios em elemento“suaves”. Neste trabalho, adotou-se o método BESO soft-kill com xmin = 0.001 em todas as simu-lações realizadas.
O material é considerado isotrópico para cada elemento finito presente na célula-base. Assim,a interpolação do módulo de elasticidade E e da densidade ρ do material pode ser escrita da seguinteforma:
Emic = (xmicj )pE1 + [1− (xmicj )p]E2 (3.7)
ρmic = (xmicj )ρ1 + [1− (xmicj )]ρ2 (3.8)
onde xmicj é o j-ésimo elemento na malha microestrutural, os subscritos 1 e 2 correspondem às fases1 e 2 do material e p representa o expoente de penalidade do método de penalização. Adotou-sep = 3 neste trabalho (Bendsoe e Sigmund, 2004; Huang e Xie, 2010).
A partir das equações 3.7 e 3.8, pode-se escrever as matrizes elementares do sistema através
41
E , D1 1, 1
E , D2 2, 2
H HD ,
Malha Microestrutural
Elemento FinitoMacroestrutural
Figura 3.1: Ilustração da célula-base genérica que resulta nas propriedades do elemento finito ma-croestrutural
da interpolação do material na microestrutura, como mostra as equações 3.9, 3.10 e 3.11.
D = (xmicj )pD1 + [1− (xmicj )p]D2 (3.9)
ke = (xmicj )pk1 + [1− (xmicj )p]k2 (3.10)
me = (xmicj )m1 + [1− (xmicj )]m2 (3.11)
onde D1 e D2 são as matrizes das propriedades elásticas do material de fase 1 e 2, respectivamente.ke e me representam as matrizes de rigidez elementar e de massa elementar do domínio microes-trutural.
Por outro lado, tendo em vista as relações apresentadas nas equações 3.7 e 3.8 e sabendo quea macroestrutura é constituída apenas de um tipo de material periódico, as equações de interpolaçãode material para a macroescala são mostradas a seguir.
Di = DH(xmaci )p (3.12)
ρi = ρH(xmaci ) (3.13)
sendo ρH a soma ponderada das densidades dos elementos da célula unitária:
ρH =1
M
M∑j=1
(xmicj )ρ1 + [1− (xmicj )]ρ2
(3.14)
e DH é obtido segundo a teoria da homogeneização apresentada no capítulo 2.
42
As matrizes macroestruturais de rigidez elementar Ke,i e de massa elementar Me,i do i-ésimoelemento são calculadas a partir das equações 3.12 e 3.13, da seguinte forma:
Ke,i = Ke(xmaci )p e Me,i = Me(x
maci ) (3.15)
nas quais Ke e Me são descritas como:
Ke =
∫Ωe
BTeDHBedΩ e Me =
∫Ωe
ρHNTeNedΩ (3.16)
sendo que Ne e Be são respectivamente as funções de forma de um elemento e suas derivadas namacroescala, e Ωe é o domínio de um elemento macroestrutural. A figura 3.1 ilustra um elementofinito da escala macroscópica resultante de uma célula-base genérica.
Conforme a metodologia de elementos finitos (Zienkiewicz et al., 2000; Reddy, 2006), asmatrizes globais de rigidez K e de massa M do sistema são:
K =N
Ai=1
Ke(xmaci )p e M =
N
Ai=1
Me(xmaci ) (3.17)
sendo A o operador de montagem dos elementos finitos.
Por fim, pelas equações 3.17 e 3.9, a derivada das matrizes do sistema global M e K comrespeito à variável macroestrutural e a derivada da matriz das propriedades elásticas são necessáriaspara o cálculo da sensibilidade (Huang e Xie, 2010). Logo:
∂K∂xmaci
= p(xmaci )(p−1)(Ke) (3.18)
∂M∂xmaci
= Me (3.19)
∂D∂xmicj
= p(xmicj )(p−1)(D1 − D2) (3.20)
Com base na interpolação de material considerada no problema de otimização multiescala, ocálculo da sensibilidade elementar pode ser realizado para ambas as escalas.
43
3.4 Análise da Sensibilidade para Problemas em Multiescala
A análise da sensibilidade é crucial para o algoritmo de otimização, pois, a partir da orde-nação da sensibilidade, o procedimento de otimização topológica evolucionária BESO pode seraplicado. Neste problema de otimização multiescala, poderão haver dois números de sensibilidade:macroestrutural (αmac) e microestrutural (αmic), para cada tipo de problema. Inicialmente será dis-cutida a formulação da sensibilidade elementar para o caso estrutural estático e, posteriormente,para o caso dinâmico.
3.4.1 Cálculo da sensibilidade para o problema estático
No problema estático, deseja-se maximizar a rigidez estrutural. Deste modo, a flexibilidademédia da estrutura deve ser minimizada, considerando as topologias nos modelos macroscópico emicroscópico. Dois números de sensibilidade são necessários para a análise em cada escala.
A flexibilidade média da macroestrutura depende das propriedades do material de cada ele-mento. A derivada da flexibilidade média com relação à variável de projeto do elemento macroes-trutural xmaci pode ser calculada, considerando que a variação de um elemento não tem efeito naforça aplicada
(∂F
∂xmaci
= 0)
, o que conduz a (Huang e Xie, 2010):
dC
dxmaci
=1
2FT ∂U∂xmaci
(3.21)
Aplicando o método direto (Haug et al., 1986), onde se obtém explicitamente o termo ∂U∂xmac
i,
calcula-se a sensibilidade do vetor deslocamento derivando-se a equação 3.2 em relação à xmaci namacroescala:
∂K∂xmaci
U + K∂U∂xmaci
=∂F
∂xmaci
(3.22)
∂U∂xmaci
= K−1
(∂F
∂xmaci
− ∂K∂xmaci
U)
(3.23)
44
Substituindo a equação 3.23 na equação 3.21, tem-se:
dC
dxmaci
=1
2FTK−1︸ ︷︷ ︸
UT
(∂F
∂xmaci
− ∂K∂xmaci
U)
(3.24)
o que resulta em:∂C
∂xmaci
= −1
2UT ∂K∂xmaci
U (3.25)
Por fim, a sensibilidade de um elemento i na macroestrutura é a derivada da função objetivocom respeito a esse elemento. A partir da substituição da equação 3.18 na equação final obtida em3.25, a sensibilidade do elemento macroestrutural pode ser escrita como (Huang e Xie, 2010):
αmaci = −1
p
dC
dxmaci
=1
2(xmaci )(p−1)UT
i KeUi (3.26)
sendo que o número de sensibilidade elementar, mostrado na equação 3.26, equivale à energia dedeformação de cada elemento finito da malha macroscópica.
Para o problema proposto, assume-se que a estrutura é composta de um material celular oucompósito. A microestrutura periódica é homogeneizada, apresentando uma matriz das proprieda-des elásticas equivalente denominada DH . Dessa forma, as matrizes elementares do sistema ma-croestrutural são calculadas através da equação 3.16. A partir da formulação de elementos finitosmostrada no item 2.4.1, o cálculo da matriz de elasticidade homogeneizada pode ser condensadopara os três casos apresentados como mostra a equação 3.27 (Huang et al., 2013; Zuo et al., 2013a;Yan et al., 2014).
DH =1
|Y |
∫Y
D(I− bu)dY (3.27)
onde b é a matriz das derivadas das funções de forma na microescala, I é uma matriz identidade 3×3, u é a matriz de deslocamentos da microescala e |Y| é o volume da célula-base. Para um problemaem duas dimensões conforme mostrado no item 2.4.1, os deslocamentos na microestrutura sãocausados por três campos de deformações iniciais constantes: 1, 0, 0T, 0, 1, 0T e 0, 0, 1T.Dessa forma, a partir dos deslocamentos dos casos (a), (b) e (c), tem-se que:
u = [uA uB uC ] (3.28)
45
Uma vez condensados os casos da teoria da homogeneização e aplicando as condições decontorno periódicas no modelo microestrutural (Cook et al., 2001; Yang e Becker, 2004), a equaçãode equilíbrio na microescala pode ser escrita por:∫
Y
bTDbdY u =
∫Y
bTDdY (3.29)
que equivale à equação:
ku =
∫Y
bTDdY (3.30)
sendo que o lado direito da equação representa as forças resultantes dos campos de deformaçõesiniciais.
A retirada de um elemento xmicj na célula-base é relevante para todos os elementos na ma-croestrutura que contém este tipo de material. Assim, a sensibilidade da flexibilidade média C comrelação à xmicj é igual ao somatório da derivada de todas as energias totais de deformação doselementos da macroestrutura que contém esta célula-base:
dC
dxmicj
= −1
2
Nm∑i=1
UTi
∂Ki
∂xmicj
Ui (3.31)
= −1
2
Nm∑i=1
UTi
(∫Ωe
BTe
∂DH
∂xmicj
BedΩ
)Ui (3.32)
onde Nm é o número total de elementos no modelo macroestrutural cuja microestrutura contémo elemento xmicj . No caso de projeto de materiais, Nm equivale ao número total de elementos namacroescala N . Para o projeto de estruturas, Nm é igual o número de materiais sólidos. Logo, oselementos vazios não serão considerados para o cálculo da sensibilidade elementar microestrutural.
Na microescala, a derivada do tensor DH em relação à variável de projeto xmicj é obtidade acordo com o método da variável adjunta (Haug et al., 1986). Este método consiste em nãodeterminar o termo da derivada da resposta microestrutural ( ∂u
∂xmicj
) de forma explícita e sim através
de um problema adjunto, implícito à derivada de DH em relação à variável de projeto xmicj . Aequação 3.30 de equilíbrio do sistema microestrutural pode ser reescrita como uma equação deresíduo, conforme mostrado a seguir:
R =
∫Y
bTDdY − ku =1
|Y |
∫Y
bTDdY − 1
|Y |ku = 0 (3.33)
46
sendo |Y | o volume da célula unitária.
A derivada do resíduo em relação xmicj também deve ser nula e é dada pela equação abaixo:
dRdxmicj
=1
|Y |
∫Y
bT ∂D∂xmicj
dY − 1
|Y |∂k∂xmicj
u− 1
|Y |k∂u∂xmicj
= 0 (3.34)
Substituindo a expressão da matriz k e fatorando os termos, obtém-se:
dRdxmicj
=1
|Y |
∫Y
bT ∂D∂xmicj
dY − 1
|Y |
∫Y
bT ∂D∂xmicj
budY − 1
|Y |k∂u∂xmicj
(3.35)
=1
|Y |
∫Y
bT ∂D∂xmicj
(I− bu)dY − 1
|Y |k∂u∂xmicj
(3.36)
Na equação 3.27 do cálculo da matriz elástica homogeneizada, uma matriz de multiplica-dores de Lagrange λ multiplicada pela equação do resíduo pode ser adicionada sem alteração noresultado.
DH =1
|Y |
∫Y
D(I− bu)dY + λT(
1
|Y |
∫Y
bTDdY − 1
|Y |ku)
︸ ︷︷ ︸R
(3.37)
O resíduo é nulo na solução do equilíbrio estático, logo a equação 3.37 é verdadeira paraqualquer matriz λ. Derivando a equação 3.37 com respeito à xmicj , tem-se:
∂DH
∂xmicj
=1
|Y |
∫Y
(∂D∂xmicj
(I− bu) − Db∂u∂xmicj
)dY
+ λT(
1
|Y |
∫Y
bT ∂D∂xmicj
(I− bu)dY − 1
|Y |k∂u∂xmicj
) (3.38)
Nota-se que o termo da derivada da força microestrutural em relação à xmicj não é desprezível.Rearranjando os termos da equação anterior, pode-se colocar em evidência o termo da derivada dosdeslocamentos em relação ao material da microescala. Assim:
∂DH
∂xmicj
=1
|Y |
∫Y
(I + λTbT)∂D∂xmicj
(I− bu)dY − 1
|Y |
(∫Y
DbdY + λTk)
∂u∂xmicj
(3.39)
47
A fim de se eliminar o termo explícito ∂u∂xmic
jda equação 3.39, os multiplicadores de Lagrange
escolhidos devem respeitar a seguinte equação:∫Y
DbdY + λTk = 0 (3.40)
kλ = −∫Y
bTDdY (3.41)
Comparando a equação 3.41 com a equação de equilíbrio 3.30, obtém-se que a solução paraa matriz dos multiplicadores de Lagrange λ é:
λ = −u (3.42)
Substituindo o valor de λ na equação 3.39 e retirando os termos nulos, resulta-se em:
∂DH
∂xmicj
=1
|Y |
∫Y
(I− uTbT)∂D∂xmicj
(I− bu)dY (3.43)
Por fim, o primeiro termo entre parênteses da integral na equação acima pode ser transpostoe reescrito da seguinte forma:
∂DH
∂xmicj
=1
|Y |
∫Y
(I− bu)T ∂D∂xmicj
(I− bu)dY (3.44)
Ainda, aplicando a interpolação de material na microescala da equação 3.20, a equação 3.44é reescrita como:
∂DH
∂xmicj
=p(xmicj )(p−1)
|Y |
∫Yj
(I− buj)T(D1 − D2)(I− buj)dY (3.45)
Substituindo a derivada da matriz elástica homogeneizada, obtida pela equação 3.45, na equa-
48
ção 3.32, tem-se:
dC
dxmicj
= −p(xmicj )(p−1)
2|Y |
Nm∑i=1
UTi
∫Ωe
BTe
[∫Yj
(I− buj)T(D1 − D2)(I− buj)dY
]BedΩ
Ui
(3.46)
A sensibilidade de um elemento na microestrutura para minimização da flexibilidade médiade uma estrutura pode ser obtida como:
αmicj = −1
p
dC
dxmicj
αmicj =(xmicj )(p−1)
2|Y |
Nm∑i=1
UTi
∫Ωe
BTe
[∫Yj
(I− buj)T(D1 − D2)(I− buj)dY
]BedΩ
Ui
(3.47)
Nota-se que a sensibilidade elementar microestrutural depende não somente dos deslocamen-tos da célula-base, mas também dos deslocamentos macroscópicos da estrutura. Isso significa quea condição de contorno utilizada no problema influencia na topologia final da célula unitária.
3.4.2 Cálculo da sensibilidade para o problema dinâmico
Para o problema dinâmico, deseja-se maximizar uma frequência natural da estrutura. Assimcomo foi feito no caso estático, deve-se calcular a sensibilidade elementar para a macroescala emicroescala. Algumas deduções apresentadas no problema estático serão utilizadas na formulaçãoda sensibilidade elementar do caso dinâmico.
A relação entre ωk e Uk pode ser obtida a partir da equação 3.5 do equilíbrio dinâmico. Iso-lando o termo do autovalor ωk, obtém-se a relação denominada quociente de Rayleigh, apresentadana equação 3.48.
ω2k =
UTkKUk
UTkMUk
(3.48)
Considerou-se neste trabalho a maximização da frequência natural. Neste caso, a derivadada frequência natural com respeito ao i-ésimo elemento da macroestrutura é realizada a partir da
49
equação 3.48, resultando em:
∂ωk∂xmaci
=1
2ωkUTkMUk
2∂UT
k
∂xmaci
(K− ω2kM)Uk︸ ︷︷ ︸
=0
+UTk
(∂K∂xmaci
− ω2k
∂M∂xmaci
)Uk
(3.49)
Segundo a equação 3.5, o primeiro termo do lado direito da equação anterior pode ser elimi-nado. Aplicando os resultados da interpolação de material mostrados nas equações 3.18 e 3.19 naequação 3.49 e assumindo que o autovetor é normalizado pela massa (UT
kMUk = 1), a sensibilidadeelementar na macroestrutura é calculada como:
αmaci =∂ωk∂xmaci
=1
2ωkUTk
[p(xmaci )(p−1)Ke − ω2
kMe
]Uk (3.50)
Para a análise da sensibilidade na microescala, a teoria da homogeneização foi utilizada nacaracterização do material, através da matriz das propriedades elásticas homogeneizadas DH (equa-ção 3.27). A equação de equilíbrio na microestrutura é mostrada na equação 3.30. Tomando o quo-ciente de Rayleigh mostrado da equação 3.48, pode-se derivar a frequência natural da estrutura emrelação a uma variável de projeto microestrutural xmicj .
∂ωk∂xmicj
=1
2ωkUTk
(∂K∂xmicj
− ω2k
∂M∂xmicj
)Uk (3.51)
Assim como foi comentado no problema estático, a retirada de um elemento na malha mi-croestrutural influencia o comportamento de todos os elementos da macroestrutura que pertencema este tipo de material. Seguindo o mesmo raciocínio realizado na equação 3.31, as derivadas daequação 3.51 podem ser escritas como:
∂ωk∂xmicj
=1
2ωk
Nm∑i=1
UTk,i
∂Ki
∂xmicj
Uk,i −ωk2
Nm∑i=1
UTk,i
∂Mi
∂xmicj
Uk,i (3.52)
No modelo multiescala proposto, considera-se que a macroestrutura é composta de um ma-terial celular infinitesimal uniforme. Analisa-se separadamente o termo da referente à derivada damatriz de massa de um elemento macroestrutural (Mi) em relação à variável de projeto microes-
50
trutural xmicj , apresentado na equação 3.52. A partir do modelo de elemento finito macroscópico daequação 3.16, o termo ∂Mi
∂xmicj
pode ser definido como:
∂Mi
∂xmicj
=
∫Ωe
∂ρH
∂xmicj
NTeNedΩ (3.53)
Utilizando a definição de ρH mostrada na equação 3.14, a equação 3.53 pode ser reescrita daseguinte forma:
∂Mi
∂xmicj
=
∫Ωe
1
M
M∑j=1
∂
∂xmicj
(xmicj )ρ1 + [1− (xmicj )]ρ2
NTeNedΩ (3.54)
Aplicando a derivada em relação à variável de projeto microscópica no termo entre chaves,obtém-se a expressão abaixo:
∂Mi
∂xmicj
=
∫Ωe
1
M
M∑j=1
(ρ1 − ρ2)NTeNedΩ (3.55)
∂Mi
∂xmicj
=
∫Ωe
(ρ1 − ρ2) NTeNedΩ (3.56)
Para a formulação de ρH utilizada neste trabalho, a equação 3.56 mostra que a mudança damatriz de massa elementar na macroescala devido à alteração de cada elemento na microescalaé constante, uma vez que a expressão não depende das variáveis na escala microscópica. Para aprimeira frequência natural, essa formulação pode ser aplicada. Portanto, a segunda metade dolado direito da equação 3.52 não vai influenciar o ordenamento da sensibilidade, que determinaquais elementos serão adicionados e removidos no algoritmo de otimização evolucionária (Zuoet al., 2013a). Como uma simplificação, o número de sensibilidade pode ser definido como:
αmicj =∂ωk∂xmicj
+ωk2
Nm∑i=1
UTk,i
∂Mi
∂xmicj
Uk,i =1
2ωk
Nm∑i=1
UTk,i
∂Ki
∂xmicj
Uk,i (3.57)
Aplicando as passagens apresentadas no desenvolvimento da sensibilidade elementar micro-
51
estrutural para a minimização da flexibilidade média (equações 3.32 e 3.44), a derivada da rigidezmacroestrutural com relação a um elemento j da malha microscópica resulta em:
∂Ki
∂xmicj
=
∫Ωe
BTe
∂DH
∂xmicj
BedΩ =1
|Y |
∫Ωe
BTe
[∫Y
(I− bu)T ∂D∂xmicj
(I− bu)dY
]BedΩ (3.58)
Enfim, substituindo a equação 3.58 na equação 3.57 e utilizando a interpolação de mate-rial mostrada em 3.20, o número de sensibilidade elementar microestrutural para maximização dafrequência natural é dado por:
αmicj =p(xmicj )(p−1)
2|Y |ωk
Nm∑i=1
UTk,i
∫Ωe
BTe
[∫Yj
(I− buj)T(D1 − D2)(I− buj)dY
]BedΩ
Uk,i
(3.59)
Assim como no caso estático, os deslocamentos macroestruturais afetam a sensibilidade ele-mentar na microescala. Em uma dada iteração, as sensibilidades em cada escala apresentadas nasequações 3.50 e 3.59 são utilizadas no algoritmo de otimização para ordenar dos elementos. Apartir dessa ordenação, a escolha dos elementos que serão adicionados ou removidos é realizadaconsiderando um certo volume desejado em cada escala.
3.5 Descrição do Método de Otimização Evolucionária e dos Parâmetros Utiliza-dos
O método de otimização topológica estrutural evolucionária multiescala se inicia com a cons-trução das malhas macroscópica e microscópica de elementos finitos, para um certo volume inicialem cada escala. Geralmente o algoritmo de otimização BESO utiliza volume inicial de 100% dodomínio de projeto para as malhas. Porém, a célula base necessita de uma descontinuidade para seobter deslocamentos distintos na microestrutura e assim poder calcular a sensibilidade elementar.Neste trabalho, para uma malha microestrutural de 100% de volume, se retirou os quatro elementosfinitos centrais da estrutura. A figura 3.2 ilustra essa distribuição inicial para uma malha contendo100× 100 elementos.
A retirada dos elementos na microestrutura é necessária para o algoritmo de otimização mul-
52
Figura 3.2: Microestrutura inicial utilizada para o algoritmo de otimização (malha 100× 100)
tiescala e, caso os elementos dos extremos sejam retirados, haveria um deslocamento da célulaunitária, resultando em células-base idênticas ou com matrizes de elasticidade com termos simila-res. Essa análise é apresentada com detalhes em Huang et al. (2013).
A partir de uma certa topologia em ambas as escalas, soluciona-se o problema de elementosfinitos (estático ou dinâmico) para obtenção dos deslocamentos nodais das malhas. Em seguida,calcula-se a sensibilidade elementar multiescala como apresentada na seção 3.4.
3.5.1 Filtro numérico e estabilização da sensibilidade
A aplicação dos métodos de otimização topológica levam ao surgimento de problemas dedependência de malha e de tabuleiros de xadrez, conforme ilustrado na figura 3.3. Várias técnicasforam sugeridas para superar esses desafios, como os trabalhos de Haber et al. (1996), Jog (2002),Sigmund (1997) e Sigmund e Petersson (1998). No método BESO, Yang et al. (2003) tentaramaplicar o controle de perímetro para solução dessas instabilidades.
Com os estudos realizados, observou-se que esses problemas poderiam ser solucionadosponderando-se a sensibilidade por meio de um filtro numérico. Neste trabalho, foi aplicado o mé-todo de filtragem da sensibilidade elementar apresentado por Huang e Xie (2010) para o métodoBESO. Esse filtro numérico é semelhante ao apresentado por Sigmund e Petersson (1998), que foiaplicado à otimização topológica baseada no SIMP.
53
(a)
rmin
Ai
(b)
Figura 3.3: Instabilidade numérica (tabuleiro de xadrez): (a) Topologia obtida com o método ESO(sem filtro); (b) Ilustração de um tabuleiro de xadrez estrutural
A aplicação do filtro se inicia com o cálculo da sensibilidade nodal, a partir da sensibilidadeelementar de uma malha de elementos finitos. O número de sensibilidade nodal (αnoj ) é obtidorealizando uma média dos valores de sensibilidade dos elementos ligados a esse nó (αelemi ), daseguinte forma:
αnoj =Ne∑i=1
wiαelemi (3.60)
sendo Ne é o número de elementos ligados ao j-ésimo nó. wi é o fator de ponderação do i-ésimoelemento e
∑Ne
i=1wi = 1. Pode-se definir wi como:
wi =1
Ne − 1
(1− rij∑Ne
i=1 rij
)(3.61)
onde rij é a distância entre o centro do elemento i até o nó j. Neste trabalho, utilizou malhascontendo apenas elementos lineares quadrilaterais, ou seja, Ne = 4 rij = r. Assim:
wi =1
4− 1
(1− r
4r
)=
1
4(3.62)
Tendo a sensibilidade elementar sido convertida em sensibilidade nodal, utiliza-se o parâ-metro rmin para definir o tamanho do filtro, que independe do tamanho da malha. O objetivo doraio mínimo no filtro numérico é identificar quais são os nós que influenciarão na sensibilidade doi-ésimo elemento. A figura 3.4 ilustra a aplicação do parâmetro rmin para um elemento de umamalha mapeada.
54
rmin
Ai
Figura 3.4: Filtro numérico: Nós contabilizados para o número de sensibilidade do i-ésimo ele-mento (Região Ai)
O valor de rmin define uma área Ai que englobe no mínimo um elemento, a fim de que seobtenha sensibilidades nos elementos. Uma vez definido rmin, pode-se contabilizar a sensibilidadeelementar após a filtro numérico como:
αi =
∑Nn
j=1w(rij)αnoj∑Nn
j=1 w(rij)(3.63)
onde Nn é o número de nós contidos na região Ai e w(rij) é o fator de ponderação linear dado por:
w(rij) = rmin − rij (j = 1, 2, · · · , Nn) (3.64)
Observa-se que, após da aplicação do filtro, há uma suavização da sensibilidade elementar.Desta forma, um elemento sem material (vazio), que inicialmente apresenta sensibilidade nula,agora apresentará um número de sensibilidade não-nulo e poderá ser adicionado à topologia dapróxima iteração.
Apesar do filtro numérico ser puramente heurístico, sua aplicação é simples e soluciona mui-tos problemas em otimização topológica, como o tabuleiro de xadrez e dependência da malha,
55
como foi comentado anteriormente.
A otimização topológica evolucionária, por utilizar variáveis de projeto discretas (0 ou 1),apresenta uma dificuldade na convergência da função objetivo. Isso é explicado pela mudançabrusca de sensibilidade elementar quando se adiciona ou retira elementos da topologia. Huange Xie (2007) propuseram uma média histórica do número de sensibilidade com o intuito de so-lucionar esse problema. A média das sensibilidades é mostrada na equação 3.65 para o i-ésimoelemento.
αi =αqi + αq−1
i
2(3.65)
onde q é o número da iteração atual. Após a média histórica, a sensibilidade da iteração q deve seratualizada para as próximas iterações, logo αqi = αi. Assim, a atualização do número de sensibili-dade inclui todo o histórico da sensibilidade nas iterações anteriores (Huang e Xie, 2010). Como foiapresentado com maiores detalhes em Huang e Xie (2007), a utilização do procedimento mostradona equação 3.65 demonstrou ser uma maneira eficiente de evitar problemas de convergência.
3.5.2 Adição/remoção de material e critério de convergência
Antes da remoção e adição de material nos modelos, a fração de volume desejada para apróxima iteração (q + 1) é calculada. Uma vez que a fração de volume objetivo em cada escala(V macf e V mic
f ) pode ser maior ou menor do que a fração de volume da iteração (Vq), a fração devolume da próxima iteração poderá aumentar ou diminuir a cada iteração até alcançar a fração devolume final. A evolução da fração de volume no processo evolucionário é dada pelas equações3.66 e 3.67, respectivamente da macroescala e da microescala.
V macq+1 = V mac
q (1± ER) (q = 1, 2, 3, · · · ) (3.66)
V micq+1 = V mic
q (1± ER) (q = 1, 2, 3, · · · ) (3.67)
ondeER é a razão de volume evolucionária, que é definida como parâmetro de entrada do algoritmode otimização. Neste trabalho, utilizou-se o mesmo parâmetro ER para as duas escalas, ou seja, amesma porcentagem de volume será adicionada ou removida das malhas em uma dada iteração.
Uma vez atingida a porcentagem de volume final em cada escala, a fração de volume da
56
próxima iteração é dada por:
V macq+1 = V mac
f e V micq+1 = V mic
f (3.68)
A taxa de adição máxima de material ARmax é introduzida no algoritmo de otimização a fimde limitar a quantidade de material a ser adicionada a cada iteração. A adição excessiva de materialem uma iteração pode dificultar a convergência do método evolucionário.
A fim de analisar a convergência do processo evolucionário, o critério de convergência mos-trado na equação 3.69 deve ser satisfeito para finalizar o algoritmo de otimização estrutural.∣∣∣∑N
i=1 Fq−i+1 −∑N
i=1 Fq−N−i+1
∣∣∣∑Ni=1 Fq−i+1
≤ τ (3.69)
sendo q o número da iteração atual, F a função objetivo da otimização, τ a tolerância da conver-gência e N um número inteiro que é um parâmetro de entrada do algoritmo. Para os resultadosnuméricos, utilizou-se N = 5, implicando que a variação da função objetivo nas últimas 10 itera-ções será analisada.
3.6 Procedimento BESO da Otimização Multiescala
O algoritmo de otimização estrutural BESO aplicado a sistemas multiescala se baseia noprocedimento evolucionário proposto por Huang e Xie (2007). Todos os conceitos utilizados paraproblemas macroestruturais são aplicados ao algoritmo implementado para duas escalas. O pro-cesso iterativo evolucionário do método BESO é mostrado a seguir:
1. Definir os parâmetros iniciais da otimização: V macf , V mic
f , ER, ARmax rmacmin , rmacmin , τ e N .
2. Discretizar os domínios de projeto na macroescala e na microescala utilizando malhas deelementos finitos.
3. Realizar a análise de elementos finitos na microestrutura através da teoria da homogeneização(capítulo 2) e obter a matriz de propriedades elásticas homogeneizadas DH (equação 3.27).
57
4. Aplicar o termo homogeneizado DH na montagem da matriz de rigidez elementar no modelomacroestrutural e resolver o problema conforme a equação 3.2 de equilíbrio estático ou aequação 3.5 de equilíbrio dinâmico.
5. Calcular a função objetivo da estrutura para o critério de otimização conforme mostrado nasformulações dos problemas (equação 3.1 ou 3.4).
6. A partir dos deslocamentos nodais obtidos, calcular os números de sensibilidade dos elemen-tos da macroescala (equação 3.26 ou 3.50) e da microescala (equação 3.47 ou 3.59).
7. Processar a sensibilidade elementar com filtro numérico e estabilizar o processo evolucioná-rio (média histórica).
8. Calcular da fração de volume estrutural da seguinte iteração (Vq+1) em cada um dos modelos(equações 3.66 e 3.67 ou equação 3.68).
9. Atualizar as variáveis de projeto da macro e da microestrutura (adição e remoção de ele-mentos) de acordo com o número de sensibilidade e a fração de volume da próxima iteração(Vq+1).
10. Repetir os passos 3-8 até as restrições de volume (V macf e V mic
f ) serem alcançadas e o critériode convergência da função objetivo (equação 3.69) ser satisfeito.
O fluxograma do procedimento de otimização evolucionária multiescala é apresentado na fi-gura 3.5. Neste trabalho, o algoritmo BESO foi implementado em MATLAB, sendo que a validaçãodo método de elementos finitos foi realizada em ANSYS. O algoritmo implementado para o cálculoda matriz das propriedades elásticas homogeneizado é mostrado no apêndice A.
58
Definir os parâmetros iniciais do algoritmo de otimização
Análise de elementos finitos na microestrutura (DH)
Substituir DH na macroescala e resolver o problema de EF
Calcular a sensibilidade elementar nas duas escalas
Processamento da sensibilidade: filtro numérico e estabilização
Cálculo do volume da próxima iteração
Construção das estruturas novas no modelo multiescala
Restrição de volume?
Função objetivo convergiu?
INÍCIO DO ALGORITMO
SOLUÇÃO ÓTIMA LOCAL
Sim
Sim
Não
Discretizar os domínios em cada escala
Calcular a função objetivo da estrutura
Não
Figura 3.5: Fluxograma do método BESO aplicado a problemas em multiescala
59
4 Resultados Numéricos e Discussão
Neste capítulo serão apresentados os principais resultados obtidos na pesquisa. Aplicou-se ométodo de otimização estrutural evolucionária bidirecional (BESO) em problemas típicos encon-trados na literatura, a fim de se validar o algoritmo de otimização multiescala, e também em outrosproblemas propostos pelo autor. Os resultados numéricos são apresentados para dois critérios dis-tintos: maximização da rigidez (estático) e maximização da frequência fundamental (dinâmico).Inicialmente, estudou-se o problema de otimização de materiais, no qual apenas o domínio mi-croestrutural é analisado. Por fim, os resultados de otimização onde se altera tanto a macroescalaquanto a microescala são apresentados para diferentes condições de contornos.
4.1 Projeto de Materiais usando Otimização Topológica Evolucionária
O projeto de materiais é feito a partir da otimização topológica evolucionária aplicada àmicroescala. As propriedades elásticas equivalentes da topologia microestrutural são levadas emconsideração para o cálculo dos deslocamentos nodais e, assim, das sensibilidades elementares damalha na microescala. Por fim, ao final do algoritmo evolucionário, resulta-se em uma microestru-tura otimizada, como mostra a figura 4.1.
Otimização Evolucionária (BESO)
aplicada a Materiais
f fMicroestrutura
inicial (Cheia)
Microestruturafinal (Ótima)
Figura 4.1: Esquema da otimização topológica estrutural evolucionária do material
Para as análises estática e dinâmica do projeto de materiais, os parâmetros utilizados para ométodo BESO em multiescala são apresentados na tabela 4.1.
61
Parâmetros da Otimização: Projeto de MateriaisFração de volume inicial Vi = V mic
i
Fração de volume final Vf = V micf
Taxa de remoção de material ERTaxa de adição máxima de material ARmax
Raio do filtro na microescala rmicmin
Tolerância da convergência τNúmero de iterações para convergência N
Tabela 4.1: Parâmetros do método BESO para o projeto de materiais
As propriedades do material utilizado para a fase 1 do modelo multiescala foram: módulo deelasticidade E = 210 GPa, coeficiente de Poisson ν = 0.3 e massa específica ρ = 7800kg/m3,que correspondem às propriedades do aço. Os valores utilizados como parâmetros da otimizaçãopara cada exemplo são descritos no ao longo dos resultados numéricos. As malhas macroestruturale microestrutural utilizam apenas elementos finitos quadrilaterais, e a definição do tamanho dasmalhas também deve ser feita para cada solução analisada. Assim como foi apresentado na seção3.5.2, o número de iterações para convergência N = 5 é utilizado no decorrer deste trabalho.
4.1.1 Critério de maximização da rigidez
No critério de maximização da rigidez, tem-se como objetivo encontrar a estrutura mais rígidapossível, para uma série de parâmetros computacionais do método de otimização. Como mostradona equação 3.1, deseja-se minimizar a flexibilidade média final. O cálculo da sensibilidade na mi-croescala é feito através da equação 3.47. Serão apresentados resultados para materiais celulares(um material e vazio) e para materiais compósitos (dois materiais).
Como forma de validação do algoritmo implementado, reproduziu-se um exemplo numéricoexistente na literatura. Huang et al. (2013) apresenta resultados para uma estrutura engastada-livre(L = 40 e H = 20), considerando materiais celulares e compósitos. A condição de contornoutilizada é mostrada na figura 4.2.
Os materiais adotados foram: na fase 1, E1 = 1.0, ν1 = 0.3; na fase 2 para compósitos,E2 = 0.2, ν2 = 0.3. Os parâmetros de otimização utilizados são: ER = 2%, ARmax = 2% eτ = 0.01%. A malha de elementos finitos utilizada na microescala é composta por 100 × 100
62
L
F
H
Figura 4.2: Estrutura engastada-livre utilizada para validação do caso estático. (L = 40 e H = 20)
elementos. Na macroescala, uma malha quadrada com tamanho 1 × 1 é aplicada. A comparaçãodos resultados obtidos para o caso estático é mostrada na figura 4.3 para materiais celulares e nafigura 4.4 para materiais compósitos. As figuras apresentam as topologias finais da célula-base esuas respectivas matrizes de elasticidade DH .
Volume inicial: 100%Volume final: 40%E1 = 1.0; ν1 = 0.3
[0.319 0.047 00.047 0.058 00 0 0.051
](a)
[0.319 0.046 00.046 0.058 00 0 0.050
](b)
Figura 4.3: Comparação entre as topologias otimizadas para maximização da rigidez considerandomateriais celulares: (a) obtida pelo algoritmo implementado; (b) obtida por Huang et al. (2013)
Observa-se, pelos resultados mostrados nas figuras 4.3 e 4.4, que há uma concordância entreas topologias correspondentes. O valor das matrizes de propriedades elásticas homogeneizadas sãosimilares para as duas comparações. Logo, o algoritmo de otimização multiescala para o critériomaximização da rigidez apresentou resultados coerentes com os da literatura.
63
Volume inicial: 100%Volume final: 40%E1 = 1.0; ν1 = 0.3E2 = 0.2; ν2 = 0.3 [
0.548 0.097 00.097 0.323 00 0 0.113
](a)
[0.548 0.097 00.097 0.323 00 0 0.113
](b)
Figura 4.4: Comparação entre as topologias otimizadas para maximização da rigidez considerandomateriais compositos: (a) obtida pelo algoritmo implementado; (b) obtida por Huang et al. (2013)
4.1.1.1 Projeto da microestrutura para materiais celulares: problema estático
A fim de compactar os resultados e facilitar a análise dos mesmos, as soluções obtidas paradiferentes condições de contorno foram condensadas. Utilizou-se, para essa série de resultados,uma fração de volume final de 40% e uma força aplicada de módulo igual a F = 100 N. Osparâmetros de otimização utilizados foram: ER = 2%, ARmax = 2% e τ = 0.01%. A malhamicroestrutural utiliza 100 × 100 elementos finitos, enquanto a malha macroestrutural apresentaelementos finitos de tamanho 1mm× 1mm.
Primeiramente aplicou-se o algoritmo para estruturas sujeitas a quatro tipos de condição decontorno diferentes: engastada-livre, biapoiada, biengastada com força central e biengastada comforça central na borda superior. As topologias microestruturais obtidas são mostradas na figura4.5. O método de otimização estrutural iniciou com uma célula unitária cheia. Para suavizaçãoda sensibilidade microestrutural, utilizou-se: rmicmin = 7 (engastada-livre); rmicmin = 5 (biapoiada); ermicmin = 4 (biengastada).
Analisou-se inicialmente uma estrutura engastada-livre como mostra a figura 4.5(a). Observa-se que o comportamento pode ser associado ao caso de flexão de viga. Por isso, na literatura, estescasos são chamados de vigas. Por ser um problema clássico de otimização, a topologia encontrada éusada para validação do algoritmo implementado. Huang et al. (2013) obteve resultado semelhantepara o caso engastada-livre com essas dimensões, como apresentado na figura 4.3. Sabendo-se que
64
Condição de Contorno Célula Unitária / Matriz DH Microestrutura 4x4
40 mm
F
20 m
m
(a) Função Objetivo4.243 x 10−06 Nm
[66.159 10.159 010.159 12.292 0
0 0 11.054
]GPa
80 mm
F
20
mm
(b) Função Objetivo3.024 x 10−06 Nm
[53.507 10.830 010.830 31.455 0
0 0 10.087
]GPa
80 mm
F
20
mm
(c) Função Objetivo1.023 x 10−06 Nm
[54.545 12.530 012.530 21.754 0
0 0 13.328
]GPa
80 mm
F
20
mm
(d) Função Objetivo1.222 x 10−06 Nm
[50.449 15.126 015.126 21.902 0
0 0 15.404
]GPa
Figura 4.5: Topologias otimizadas obtidas para materiais celulares, visando à maximização da ri-gidez, em diferentes condições de contorno: (a) Viga engastada-livre; (b) Viga biapoiada; (c) Vigabiengastada 1; (d) Viga biengastada 2
essa condição de contorno resulta em um grande esforço de flexão na estrutura, a microestruturaotimizada apresenta ótima rigidez para tensões normais (na direção x). Isso é comprovado pelapresença de barras horizontais relativamente rígidas na célula unitária e pelo primeiro termo damatriz das propriedades elásticas homogeneizadas.
65
Para uma estrutura biapoiada conforme a figura 4.5(b), denominada de viga biapoiada, obtém-se a topologia otimizada considerando toda a macroestrutura. Nota-se que, assim como a engastada-livre, a viga biapoiada sofre pouco esforço de cisalhamento e muito esforço de flexão. Essa con-dição de contorno deve apresentar também uma rigidez significativa ao esforço de compressão nadireção y, como mostra sua matriz DH .
Outra possibilidade de solução da viga biapoiada é obtida considerando um plano de sime-tria vertical no centro da barra. Ou seja, apenas metade da viga é simulada, e a topologia finalencontrada é espelhada para a outra parte da estrutura. Para uma viga com as mesmas dimensõesapresentadas na figura 4.5(b) e considerando apenas o lado esquerdo da viga para a otimização, asolução final encontrada é uma microestrutura não-simétrica, que resulta em uma matriz de propri-edades elásticas anisotrópica. O resultado é mostrado na figura 4.6(a) e uma ilustração da estruturafinal é mostrada na figura 4.6(b).
[57.607 10.980 0.42110.980 26.208 5.9450.421 5.945 11.078
]GPa
(a)
F
Plano de Simetria
(b)
Figura 4.6: Condição de contorno anisotrópica: plano de simetria de uma viga biapoiada: (a) Topo-logia final e Matriz DH ; (b) Esquema da solução estrutural obtida
Apesar da utilização de um material isotrópico na aplicação do processo de otimização, apresença de termos não nulos nas posições DH
1112 e DH2212, como mostrado na equação 2.47, da ma-
triz de elasticidade homogeneizada DH comprova o comportamento anisotrópico dessa topologiaprojetada.
Finalmente, analisou-se a otimização multiescala de material para uma viga biengastada, sub-metida a uma mesma força aplicada em dois pontos distintos da estrutura, como mostra a figura4.5(c) e (d). Nota-se que, pelas matrizes homogeneizadas obtidas, essa condição de contorno im-
66
plica em valores maiores de rigidez cisalhante do que as anteriores. Comparando os dois casosda viga biengastada, tem-se que, quando a força central é aplicada na borda superior, a rigidez aocisalhamento é aumentada enquanto a rigidez à flexão diminui, porém a rigidez à compressão (emy) continua bem similar.
Por fim, para as vigas biapoiada e biengastada mostradas na figura 4.5(b) e (d) respecti-vamente, constata-se um aumento das barras nas direções do cisalhamento e uma diminuição darigidez normal para a viga biengastada. Isso era esperado devido ao momento máximo no casobiapoiado ser maior, apesar das duas condições de contorno estarem submetidas ao mesmo esforçocortante e, consequentemente, à mesma tensão cisalhante.
Uma análise da convergência do algoritmo foi feita para diferentes condições iniciais dacélula unitária. Utilizou-se uma estrutura engastada-livre como mostrada na figura 4.5(a). Partiu-sede quatro volumes iniciais diferentes da estrutura e os processos evolucionários são mostrados nafigura 4.7.
A figura 4.7 mostra: a topologia inicial utilizada e os parâmetros finais obtidos; o históricoda otimização evolucionária e as topologias intermediárias; e a topologia final obtida. Utilizandoos volumes iniciais de 100%, 40%, 30% e 50% do domínio inicial, as topologias microestruturaisfinais e as funções objetivo encontradas são similares.
Iniciando com Vi = 100%, observa-se que função objetivo (flexibilidade média) aumentaà medida que se remove elementos, conforme a figura 4.7(a). Isso é esperado pois a retirada dematerial implica em uma perda de rigidez estrutural. A partir do momento em que o volume finalé obtido, nota-se uma redução da função objetivo até a convergência da solução. A presença depicos da flexibilidade média no processo evolucionário é causada por uma mudança significativana topologia microestrutural, resultado da ruptura de barras na célula unitária em uma dada iteração.Essa solução é a mesma que foi mostrada na figura 4.5(a).
67
Topologia Inicial Histórico da Otimização Evolucionária Célula Unitária
(a) Volume inicial: 100%
Função objetivo
4.243 x 10−06 Nm 0 10 20 30 40 50 60
1.38
1.83
2.28
2.73
3.18
3.63
4.08
4.53
4.97
5.42x 10
−6
Iterações
Fun
ção
Ob
jeti
vo C
(N
m)
0 10 20 30 40 50 600
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fra
ção
de
Vo
lum
e (V
/Vi)
Flexibilidade MédiaFração de Volume
(b) Volume inicial: 40%
Função objetivo
4.282 x 10−06 Nm 0 10 20 30 40 50 604.07
4.69
5.32
5.95
6.58
7.2
7.83
8.46
9.09
9.71
10.3x 10
−6
Iterações
Fun
ção O
bjet
ivo C
(N
m)
0 10 20 30 40 50 600
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fra
ção
de V
olum
e (V
/Vi)
Flexibilidade MédiaFração de Volume
0 10 20 30 40 50 604.0669
4.8149
5.563
6.3111
7.0592
7.8073
8.5553
9.3034
10.0515
10.7996
11.5476x 10
−6
Iterações
Fun
ção
Obj
etiv
o C
(N
m)
0 10 20 30 40 50 600
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fra
ção
de V
olum
e (V
/Vi)
Flexibilidade MédiaFração de Volume
(c) Volume inicial: 30%
Função objetivo
4.284 x 10−06 Nm 0 10 20 30 40 50 60 700.407
0.62
0.834
1.05
1.26
1.47
1.69
1.9
2.12
2.33
2.54x 10
−5
Iterações
Fun
ção
Obj
etiv
o C
(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 700
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fra
ção
de V
olum
e (V
/Vi)
Flexibilidade MédiaFração de Volume
0 10 20 30 40 50 604.07
4.69
5.32
5.95
6.58
7.2
7.83
8.46
9.09
9.71
10.3x 10
−6
Iterações
Fun
ção
Obje
tivo
C (
Nm
)
0 10 20 30 40 50 600
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fra
ção d
e V
olu
me
(V/V
i)
Flexibilidade MédiaFração de Volume
(d) Volume inicial: 50%
Função objetivo
4.348 x 10−06 Nm 0 10 20 30 40 50 602.65
2.93
3.21
3.49
3.77
4.05
4.33
4.61
4.89
5.17
x 10−6
Iterações
Fun
ção
Obj
etiv
o C
(N
m)
0 10 20 30 40 50 600
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fra
ção
de V
olum
e (V
/Vi)
Flexibilidade MédiaFração de Volume
Figura 4.7: Análise da influência da topologia inicial na solução ótima obtida para materiais celula-res, visando à maximização da rigidez, para uma viga engastada-livre: Volumes iniciais (a) 100%;(b) 40%; (c) 30%; (d) 50% (tabuleiro de xadrez)
68
Para a fração de volume inicial igual a final (Vi = Vf = 40%), a solução obtida é apresentadana figura 4.7(b). Partindo de uma célula com um furo quadrado central, o histórico da otimizaçãoevolucionária mostra que a flexibilidade média diminui no decorrer das iterações. Nesse caso, éfácil observar a ação do algoritmo de otimização que busca minimizar a função objetivo.
Para uma célula unitária com um furo central resultando no volume inicial menor que o vo-lume final (Vi = 30%), tem-se que o algoritmo de otimização evolucionária gradualmente adicionamaterial a cada iteração, até o volume final ser atingido. A fim de obter uma simulação mais es-tável, utilizou-se, nesse exemplo, uma menor taxa de adição máxima e de remoção de elementos(ER = ARmax = 1%). Logo, uma vez que a função objetivo se inicia com valores bem maioresdo que apresentado no histórico anterior, diminuir a quantidade de material adicionada por iteraçãoevita uma queda brusca da flexibilidade média. Como mostrado na figura 4.7(c), o número maiorde iterações para esse caso, quando comparado aos dois casos anteriores, é explicado pela mudançados parâmetros de otimização.
O algoritmo foi utilizado para uma condição inicial com Vi ≈ 50% do volume total, sendo quetopologia inicial equivale a um tabuleiro de xadrez (figura 3.3). A solução para esta condição inicialé mostrada na figura 4.7(d). Nota-se que a não simetria da condição inicial resulta em uma soluçãotambém com uma leve não simetria, mas com uma topologia equivalente. O histórico do processoevolucionário apresentado mostra que há uma instabilidade numérica inicial da função objetivo,devido à topologia em tabuleiro de xadrez. Porém, após a remoção desse padrão, a flexibilidademédia converge com pouca variação na topologia da célula-base.
69
4.1.1.2 Projeto da microestrutura para materiais compósitos: problema estático
Para o estudo da otimização topológica multiescala usando materiais compósitos, considerou-se dois tipos de condição de contorno: estrutura engastada-livre quadrada, com dimensões 40mm×40mm, e estrutura biapoiada, com dimensões 80mm × 40mm. As frações de volume inicial efinal aplicadas nas simulações são, respectivamente, 100% (material cheio) e 40%. Adotou-se osmesmos parâmetros de otimização utilizados para o problema estático com materiais celulares.
Os tipos de materiais utilizados na simulação são mostrados na tabela 4.2. Quando se analisaa influência da alteração de materiais, devido à pouca variação do coeficiente de Poisson, o principalfator que influi na microestrutura final otimizada é a razão dos módulos de elasticidade E1/E2. Porisso, escolheu-se três materiais com EA, EB e EC distintos para resultar em duas razões: Caso AB(EA/EB) e Caso AC (EA/EC). Como EB/EC ≈ EA/EB, as topologias encontradas neste casosão similares às obtidas no Caso AB. O valor da massa específica é utilizado apenas nos problemasde maximização da frequência fundamental.
Propriedades dos materiaisPropriedades Material A Material B Material CMódulo de elasticidade (E) 210 GPa 70 GPa 40 GPaCoeficiente de Poisson (ν) 0.3 0.33 0.33Massa Específica (ρ) 7800 kg/m3 2800 kg/m3 1800 kg/m3
Tabela 4.2: Propriedades dos tipos de materiais utilizados para meios compósitos
A solução do problema para todos os casos e condições de contorno é mostrada na figura 4.8.A estrutura engastada-livre, assim como foi mostrado na otimização de material celular, é um exem-plo clássico que envolve esforços de flexão. Porém, como a estrutura utilizada é curta (quadrada),o cisalhamento e a compressão se tornam bem mais presentes e a microestrutura deve apresentaruma topologia que suporte esses esforços. Sobre os tipos de materiais, nota-se que, quando materi-ais com módulos de elasticidade próximos são adotados, a microestrutura resulta aproximadamenteem barras horizontais. A partir do momento que se aumenta a razão de elasticidade dos materiais,a topologia final encontrada se altera como mostra a figura 4.8.
Para uma estrutura biapoiada curta, os resultados apresentados podem ser esperados, devidoà predominância do efeito de compressão que a estrutura está sujeita. Por isso, as topologias en-contradas tendem a ter barras verticais. Apesar da mudança das topologias obtidas para diferentes
70
Condição de Contorno Célula Unitária / DH Microestrutura 4x4
40 mm
F
40
mm
(a) [138.951 38.453 038.453 110.421 0
0 0 35.038
]GPa
(b) [98.653 29.594 029.594 75.014 0
0 0 31.144
]GPa
80 mm
F
40 m
m
(a) [115.208 34.984 034.984 130.460 0
0 0 36.737
]GPa
(b) [74.448 27.770 027.770 101.873 0
0 0 29.432
]GPa
Figura 4.8: Topologias otimizadas obtidas para materiais compósitos, visando à maximização darigidez, em diferentes condições de contorno: (a) Materiais A e B; (b) Materiais A e C
conjuntos de materiais, os termos das matrizes de propriedades elásticas homogeneizadas têm amesma relação.
71
4.1.2 Critério de maximização da frequência fundamental
Para o caso dinâmico, o problema de otimização evolucionária multiescala é formulado pelaequação 3.4. Objetiva-se, nesta análise, aplicar o método BESO na microescala periódica a fim dese maximizar a primeira frequência natural de uma estrutura. A sensibilidade elementar é calcu-lada por meio da equação 3.59. Assim como foi apresentado no critério de rigidez, inicialmentemostram-se os resultados obtidos para microestruturas contendo materiais celulares, e, por fim,analisam-se as topologias encontradas para materiais compósitos.
Assim como no caso estático, uma validação do algoritmo de otimização multiescala é neces-sária para o critério de maximização da frequência fundamental. Com este intuito, reproduziu-seos resultados obtidos no trabalho de Zuo et al. (2013a) para uma estrutura biengastada. A condiçãode contorno adotada é mostrada na figura 4.9.
L
H
Figura 4.9: Estrutura biengastada utilizada para validação do caso dinâmico. (L = 80 e H = 40)
Adotou-se materiais com propriedades da seguinte forma: na fase 1, E1 = 1.0, ν1 = 0.3 eρ1 = 1.0; na fase 2 para compósitos, E2 = 0.2, ν2 = 0.3 e ρ2 = 2.0. Os parâmetros de otimizaçãoutilizados são: ER = 1%, ARmax = 1% e τ = 0.01%. A malha macroestrutural utiliza 80 × 40
elementos finitos quadrilaterais, enquanto uma malha de 40 × 40 elementos finitos quadrilateraisfoi utilizada na microestrutura. As comparações entre os resultados obtidos são mostradas na figura4.10 para materiais celulares e na figura 4.11 para materiais compósitos.
Pelas topologias mostradas nas figuras 4.10 e 4.11, nota-se uma similaridade entre as solu-ções obtidas pelo algoritmo de otimização multiescala para o critério dinâmico. Apesar de haveruma pequena diferença apresentada na matriz das propriedades elásticas e da célula-base final, oalgoritmo foi considerado validado para esse tipo de análise.
72
Volume inicial: 100%Volume final: 50%E1 = 1.0; ν1 = 0.3; ρ1 = 1.0
[0.313 0.115 00.115 0.121 00 0 0.112
](a)
[0.323 0.115 00.115 0.125 00 0 0.112
](b)
Figura 4.10: Comparação entre as topologias finais otimizadas para maximização da frequênciafundamental considerando materiais celulares: (a) obtida pelo algoritmo implementado; (b) obtidapor Zuo et al. (2013a)
Volume inicial: 100%Volume final: 50%E1 = 1.0; ν1 = 0.3; ρ1 = 1.0E2 = 0.2; ν2 = 0.3; ρ2 = 2.0 [
0.490 0.182 00.182 0.455 00 0 0.195
](a)
[0.498 0.183 00.183 0.467 00 0 0.197
](b)
Figura 4.11: Comparação entre as topologias finais otimizadas para maximização da frequênciafundamental considerando materiais compositos: (a) obtida pelo algoritmo implementado; (b) ob-tida por Zuo et al. (2013a)
4.1.2.1 Projeto da microestrutura para materiais celulares: problema dinâmico
Os parâmetros adotados para o algoritmo de otimização evolucionária para maximização dafrequência fundamental utilizando materiais celulares foram: rmicmin = 5, ER = 1%, ARmax = 1%
e τ = 0.1%. Na malha macroestrutural, elementos finitos quadrilaterais de tamanho 1mm × 1mm
foram usados; na modelagem microestrutural, por sua vez, utilizou-se uma malha de 100 × 100,isto é, 10000 elementos finitos.
73
Estruturas sujeitas a três condições de contorno foram analisadas: engastada-livre, biengas-tada e em L. Em todas as simulações, o volume inicial é 100% (célula cheia) e o final é 40% dodomínio microestrutural. Os resultados obtidos são mostrados na figura 4.12.
A primeira estrutura otimizada está sujeita a engaste na extremidade esquerda e tem dimen-sões 40mm × 20mm. A solução é apresentada na figura 4.12(a). Tem-se que, pela célula unitáriae pela matriz dos módulos elásticos homogeneizados, a microestrutura resultante dessa condiçãode contorno apresenta rigidez à flexão, devido ao esforço em x. Apesar da grande semelhança dedeslocamentos entre o primeiro modo de vibrar e o caso estático, há uma diferença no termo derigidez no eixo y (DH
2222). Isso é explicado pela ausência da força na direção vertical aplicada àestrutura.
Em seguida, uma estrutura biengastada clássica (80mm × 20mm) é analisada, como mostraa figura 4.12(b). Assim como a estrutura engastada-livre, a matriz homogeneizada DH apresentaos termos relativos ao comportamento em flexão predominantes. Porém, uma rigidez considerávelno eixo y e de cisalhamento é obtida. Comparando com o critério de minimização da flexibilidademédia, a mesma consideração pode ser feita com relação à rigidez em y, devido à inexistência deforça vertical.
Enfim, a figura 4.12(c) mostra uma estrutura em L engastada na parte superior que tambémobteve sua microestrutura otimizada. Diferentemente dos outros resultados apresentados nesta sub-seção que apresentam matrizes de elasticidade homogeneizada ortotrópicas, a topologia final obtidapara essa condição de contorno resulta em uma matriz homogeneizada anisotrópica. Ou seja, a ma-triz DH apresenta valores não nulos em todos os termos. Isso é explicado devido à falta de simetriana modelagem do problema macroestrutural.
A fim de analisar o comportamento das frequências naturais durante o processo de otimizaçãoestrutural, são mostrados gráficos da evolução das três primeiras frequências naturais ao longo daotimização para cada condição de contorno. Mostra-se também a comparação entre o primeiromodo de vibração no início e no final da otimização. Primeiramente, tem-se a solução para umaestrutura engastada-livre conforme a figura 4.13.
74
Condição de Contorno Célula Unitária / Matriz DH Microestrutura 4x4
40 mm
20 m
m
(a) Função Objetivo
4.112 x 1004 rad/s
70.432 6.781 06.781 2.833 00 0 9.440
GPa
80 mm
20
mm
(b) Função Objetivo
5.578 x 1004 rad/s
60.163 12.869 012.869 13.596 0
0 0 13.840
GPa
40 mm
20
mm
40 m
m
(c) Função Objetivo
2.308 x 1004 rad/s
5.463 9.192 0.1349.192 66.437 2.6220.134 2.622 8.545
GPa
Figura 4.12: Topologias otimizadas obtidas para materiais celulares, visando à maximização dafrequência fundamental, em diferentes condições de contorno: (a) Viga engastada-livre; (b) Vigaengastada; (c) Viga em L
O histórico das iterações no processo de otimização em 4.13(b) mostra que não há cruza-mento de modos com a primeira frequência natural. A comparação entre as estruturas deformadasapresentada na figura 4.13(a) mostra que há uma leve alteração do primeiro modo de vibração entrea estrutura inicial e final (otimizada), uma vez que foi utilizada a mesma normalização para a ilus-tração dos modos. Percebe-se que pode haver cruzamento de modos para as frequências maiores,porém isso não influencia o problema de otimização em questão.
75
(a)
0 20 40 60 80 100
0.614
0.84
1.07
1.29
1.52
1.75
1.97
2.2
2.43
2.65x 105
Iterações
Fun
ção
Obj
etiv
o ω (
rad/
s)
0 20 40 60 80 1000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fra
ção
de V
olum
e (V
/V i)
ω1
ω2
ω3
Fração de Volume
(b)
Figura 4.13: Análise dos resultados para uma viga engastada-livre: (a) Comparação do primeiromodo de vibração: estrutura original (vermelha) e otimizada (azul); (b) Histórico do processo deotimização evolucionária
Para uma viga biengastada, o histórico do processo evolucionário na figura 4.14(b) mostratambém que o primeiro modo não está sujeito a possíveis cruzamentos. A comparação entre oprimeiro modo de vibração das estruturas inicial e final é apresentada na figura 4.14(a).
(a)0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0.726
0.926
1.13
1.33
1.53
1.73
1.93
2.13
2.33
x 105
Iterações
Fun
ção
Obj
etiv
o ω (
rad/
s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fra
ção
de V
olum
e (V
/V i)
ω1
ω2
ω3
Fração de Volume
(b)
Figura 4.14: Análise dos resultados para uma viga biengastada: (a) Comparação do primeiro modode vibração: estrutura original (vermelha) e otimizada (azul); (b) Histórico do processo de otimiza-ção evolucionária
76
Finalmente, para a estrutura em L, a comparação entre as vigas deformadas e a evolução dafrequência natural durante a otimização estão presentes na figura 4.15(a) e (b), respectivamente.Assim como nos outros dois casos apresentados, o cruzamentos de modos no processo evolucioná-rio não parece ter ocorrido, embora neste caso os valores das frequências sejam mais próximos, emtorno da iteração 80, como mostrado no gráfico da figura 4.15(b).
(a)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.203
0.416
0.63
0.844
1.06
1.27
1.48
1.7
1.91
2.13
x 105
Iterações
Fun
ção
Obj
etiv
o ω (
rad/
s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fra
ção
de V
olum
e (V
/V i)
ω1
ω2
ω3
Fração de Volume
(b)
Figura 4.15: Análise dos resultados para uma viga em L: (a) Comparação do primeiro modo devibração: estrutura original (vermelha) e otimizada (azul); (b) Histórico do processo de otimizaçãoevolucionária
Para os três processos apresentados de otimização na topologia microestrutural, constata-seque o modo fundamental (primeira frequência natural) convergiu de forma satisfatória. Caso fossenecessário evitar esse cruzamento de modos, algoritmos específicos com essa finalidade deveriamser adicionados no processo de otimização (Tsai e Cheng, 2013). Observa-se também que, apesar doproblema ser a maximização da frequência fundamental, a frequência natural diminui no decorrerdo processo de otimização. Isso acontece pois a retirada de material no domínio microestruturalinfluencia mais a matriz rigidez do que a matriz de massa. Logo, a remoção de material resultaem frequências naturais menores. Caso o algoritmo iniciasse com o volume inicial igual ao final, afrequência fundamental aumentaria ao longo do processo de otimização.
77
4.1.2.2 Projeto da microestrutura para materiais compósitos: problema dinâmico
Na otimização microestrutural considerando materiais compósitos e a maximização dafrequência fundamental, utilizou-se os seguintes parâmetros: rmicmin = 5, ER = 1%, ARmax = 1%
e τ = 0.1%. O volume final para a célula-base tem 50% do material inicial. Assim como na ma-ximização da frequência fundamental para materiais celulares, a malha microestrutural de 10000elementos quadrilaterais lineares e a malha macroestrutural com elementos quadrilaterais de tama-nho 1mm× 1mm.
Os materiais utilizados para a otimização evolucionária foram os mesmos mostrados na ta-bela 4.2. Com isso, pode-se analisar a influência da alteração de materiais, como foi comentadoanteriormente no caso estático para materiais compósitos. A diferença é que, no caso dinâmico, amassa específica dos materiais também é utilizada.
Duas condições de contorno são analisadas para este caso. Uma estrutura com dimensões40mm × 20mm foi adotada sujeita a engaste em um lado e livre no outro (engastada-livre) e emambos os lados (biengastada). Dois casos de materiais foram utilizados, Caso AB e Caso AC paratodas as condições de contorno. Os resultados obtidos da otimização são mostrados na figura 4.16.
Primeiramente se analisou uma viga engastada-livre. Observou-se que as distribuições domaterial nas topologias encontradas nos dois conjuntos de materiais são idênticas. Isso mostra que,para essa condição de contorno, a rigidez ao esforço normal (devido à flexão) é predominante naestrutura. Desse modo, a alteração de material não influencia na topologia final.
Para uma viga biengastada, as microestruturas obtidas são distintas e apresentam ótima re-lação entre rigidez à flexão e à compressão. Isso era esperado devido ao deslocamento estruturalobtido do primeiro modo de vibração, no qual não há predominância de nenhum comportamento.Devido à ausência de predominância de esforços normais, esperava-se também que a rigidez aocisalhamento fosse maior na condição biengastada.
78
Condição de Contorno Célula Unitária / DH Microestrutura 4x4
40 mm
20
mm
(a) [151.630 36.921 036.921 117.210 0
0 0 39.698
]GPa
(b) [132.458 23.675 023.675 75.157 0
0 0 25.355
]GPa
40 mm
20
mm
(a) [131.542 46.519 046.519 127.333 0
0 0 48.592
]GPa
(b) [101.525 39.791 039.791 93.180 0
0 0 40.242
]GPa
Figura 4.16: Topologias otimizadas obtidas para materiais compósitos, visando à maximização dafrequência fundamental, em diferentes condições de contorno: (a) Materiais A e B; (b) Materiais Ae C
79
4.2 Projeto de Estruturas usando Otimização Topológica Evolucionária
Após ter sido analisada a microestrutura dos materiais, o projeto de estruturas em multiescalaconsiste em realizar uma otimização topológica evolucionária, utilizando o método BESO, tanto namacrostrutura quanto na microestrutura. Logo, partindo de um domínio estrutural completamentepreenchido, por exemplo, os volumes da macroescala e microescala serão reduzidos até um volumefinal predeterminado, resultando em uma macroestrutura otimizada contendo um material perió-dico. Nesse trabalho, o elemento finito macroscópico pode ter somente o material periódico (comvárias células-base) ou vazio. A figura 4.17 ilustra o problema de otimização em questão.
E , D1 1, 1
E , D2 2, 2
H HD ,
Malha Microestrutural
Elemento FinitoMacroestrutural
F
Célula-baseMacroestrutura
Material periódicomacxi
micxj
Figura 4.17: Esquema da otimização topológica estrutural evolucionária aplicada para duas escalas
Assim como foi feito na seção anterior, resultados serão mostrados para dois tipos de oti-mização diferentes: minimização da flexibilidade média e maximização da primeira frequêncianatural. O algoritmo de otimização deve ter duas malhas de elementos finitos distintas, uma paracada escala, com alguns parâmetros de otimização definidos independentemente. Apesar do nú-mero de elementos adicionados ou removidos em uma iteração ser independente, o modelo aindaé acoplado, uma vez que os deslocamentos da macroestrutura influenciam na sensibilidade mi-croestrutural, e a topologia da microestrutura afeta o comportamento macroestrutural. Ao final daotimização, a fração de volume final será a multiplicação entre as frações de volumes finais emcada escala.
Para a análise do projeto de estruturas, os parâmetros utilizados para o método BESO emmultiescala são apresentados na tabela 4.3. O material adotado para fase 1 da microestrutura apre-
80
Parâmetros da Otimização: Projeto de EstruturasFração de volume inicial nos modelos V mic
i , V maci
Fração de volume final nos modelos V micf , V mac
f
Taxa de remoção de material ERTaxa de adição máxima de material ARmax
Raio do filtro em cada escala rmicmin, rmacmin
Tolerância da convergência τNúmero de iterações para convergência N
Tabela 4.3: Parâmetros do método BESO para o projeto de estruturas
senta as seguintes propriedades: E = 210GPa, ν = 0.3 e ρ = 7800kg/m3. Como definido noitem 3.5.2, utiliza-se N = 5 nos resultados numéricos desta seção. Analogamente ao projeto demateriais, os valores adotados são definidos em cada exemplo numérico.
Primeiramente serão analisados resultados obtidos para o critério de rigidez, utilizando ma-teriais celulares e compósitos. Em seguida, o critério de frequência será aplicado também paramateriais celulares e compósitos.
4.2.1 Critério de maximização da rigidez
Para a maximização da rigidez estrutural, a estrutura final deve ter a menor flexibilidade mé-dia possível. Nesse caso, utiliza-se a formulação do problema de otimização apresentada na equação3.1. O cálculo da sensibilidade é feito através da equação 3.26, para elementos na macroestrutura,e da equação 3.47, para elementos na microestrutura.
4.2.1.1 Projeto estrutural para materiais celulares: problema estático
Para esse caso, a célula-base pode conter apenas um tipo de material e vazio. Tomou-se comoexemplo uma viga engastada-livre sujeita a um carregamento central do lado direito, como mostraa figura 4.18. Uma malha contendo 160 × 100 elementos quadrilaterais lineares foi utilizada namacroestrutura e 100× 100 na célula unitária da microestrutura.
81
50 mm
F
30
mm
Figura 4.18: Viga engastada-livre projetada para o problema estrutural
O algoritmo foi analisado para 4 combinações distintas de volumes finais da macroescala emicroescala. Em todas simulações, o volume final predeterminado da estrutura é Vf = 40% e o car-regamento aplicado é F = 100N. Os parâmetros da otimização utilizados na macroestrutura foram:ER = 1%, ARmax = 1% e rmacmin = 3mm. Já no projeto da microestrutura, os parâmetros usadosforam: ER = 1%, ARmax = 1% e rmicmin = 7. Para a convergência do processo evolucionário,adotou-se τ = 0.1%. Os resultados são apresentados na figura 4.19, onde para cada combinação defrações de volume finais, são mostrados os dados da otimização, o diagrama de cores da tensão deVon Mises para a macroestrutura, a célula unitária gerada e a matriz DH correspondente.
Analisando os resultados obtidos, inicialmente tem-se, na figura 4.19(a), a solução da otimi-zação topológica para material celulares e, na figura 4.19(d), a solução para a otimização topológicamacroscópica considerando material isotrópico (cheio). As figuras 4.19(b) e (c) apresentam fraçõesde volumes intermediárias em ambas as escalas, obtendo topologias distintas em cada domínio.
Para essa função objetivo e esse modelo proposto, é possível observar que, com o aumentoda redução de volume na macroestrutura, observa-se uma melhoria na função objetivo. Isso eraesperado devido à remoção de material ineficiente da estrutura por ser um problema estático deminimização da flexibilidade média. O mesmo comportamento pode ser encontrado na análise deproblemas de minimização da resposta dinâmica, conforme mostrado em Vicente et al. (2015).Porém, dependendo do tipo de função objetivo, as melhores frações de volume final em cada umadas escalas do modelo multiescala podem variar para problemas multiobjetivos (Yan et al., 2015).
82
Macroestrutura Célula-base Matriz DH (em GPa)
(a) Função Objetivo2.901 x 10−06 NmV macf = 100%
V micf = 40%
[62.067 12.258 012.258 16.380 0
0 0 12.260
]
(b) Função Objetivo2.412 x 10−06 NmV macf = 80%
V micf = 50%
[80.292 17.258 017.258 18.530 0
0 0 18.616
]
(c) Função Objetivo1.476 x 10−06 NmV macf = 50%
V micf = 80%
[155.383 37.543 037.543 84.284 0
0 0 44.642
]
(d) Função Objetivo1.086 x 10−06 NmV macf = 40%
V micf = 100%
[230.769 69.231 069.231 230.769 0
0 0 80.769
]
Figura 4.19: Topologias otimizadas na macroescala (mapa de cores proporcional às tensões de VonMises) e na microescala para materiais celulares, visando à maximização da rigidez, para umaviga engastada-livre, adotando um volume final de 40% da estrutura e usando diferentes fraçõesde volume em cada escala: (a) V mac
f = 1.0/V micf = 0.4; (b) V mac
f = 0.8/V micf = 0.5; (c) V mac
f =0.5/V mic
f = 0.8; (d) V macf = 0.4/V mic
f = 1.0
4.2.1.2 Projeto estrutural para materiais compósitos: problema estático
No caso dos materiais compósitos, considera-se que a microestrutura é formada por dois tiposde materiais diferentes. A restrição de volume na microescala será aplicada para a quantidade devolume final do material mais resistente (ou seja, maior módulo de elasticidade).
83
Um exemplo de uma estrutura em L é estudado, como mostra a figura 4.20, para uma fraçãode volume final de Vf = V mac
f × V micf = 50% × 50% = 25%. Utilizou-se uma malha de 6400
elementos finitos quadrilaterais quadrados na macroestrutura e 10000 elementos na microestrutura.
40 mm
16
mm
40 m
m 24 mm
F
Figura 4.20: Viga em L analisada para o problema estático com materiais compósitos
Os parâmetros da otimização foram: ER = 1%, ARmax = 1%, rmacmin = 1mm, rmicmin = 4 eτ = 0.1%. As combinações de materiais AB e AC, discutidas no item 4.1.1.2, foram analisadas,
Macroestrutura Célula Unitária Matriz DH (em GPa)
Caso ABFunção Objetivo
6.641 x 10−06 Nm
[117.210 36.921 036.921 151.630 0
0 0 39.698
]
Caso ACFunção Objetivo
8.475 x 10−06 Nm
[87.319 26.373 2.99826.373 125.184 1.1392.998 1.139 27.392
]
Figura 4.21: Topologias na macroescala (mapa de cores proporcionais às tensões de Von Mises)e na microescala utilizando duas combinações de materiais compósitos para uma estrutura em L,visando à maximização da rigidez, adotando uma fração de volume final de 50% em ambas asescalas
84
sendo que as propriedades dos materiais são mostradas na tabela 4.2. As topologias otimizadas sãoapresentadas na figura 4.21.
Pelos resultados apresentados, pode-se perceber que a alteração do conjunto de materiais namicroescala afeta levemente a topologia ótima local da macroestrutura. Para o Caso AB, como arazão dos módulos de elasticidade é baixa (EA/EB = 3), a microestrutura resultante é ortotrópica,apesar da ausência de simetria da condição de contorno da viga em L. No entanto, quando se au-menta a razão EA/EC = 5, 25, a anisotropia da célula-base começa a aparecer, como é apresentadopara o Caso AC.
4.2.2 Critério de maximização da frequência fundamental
Neste item, a otimização topológica visando à maximização da frequência fundamental éavaliada, obtendo-se domínios otimizados em ambas as escalas. A equação 3.4 é utilizada paraa definição do algoritmo de otimização evolucionária. A sensibilidade elementar macroestruturalé calculada por meio da equação 3.50, e o número de sensibilidade microestrutural é dado pelaequação 3.59. Esse tipo de análise será aplicada para materiais celulares e compósitos.
4.2.2.1 Projeto estrutural para materiais celulares: problema dinâmico
A fim de comparar o comportamento da frequência fundamental para diferentes combinaçõesde V mac
f e V micf , uma análise semelhante à realizada para o projeto estrutural com materiais celula-
res mostrada na figura 4.19 foi feita. O exemplo adotado é uma viga biengastada com uma massaconcentrada no centro, como mostra a figura 4.22.
70 mm
10
mmMcc
Figura 4.22: Viga biengastada com massa concentrada analisada para o problema dinâmico commateriais celulares
85
As malhas de elementos finitos aplicadas foram 280 × 40 elementos quadrilaterais na ma-croescala e 100 × 100 na microescala. No centro da viga, uma massa concentrada de 100 kg éadotada. Os parâmetros da otimização são: ER = 1%, ARmax = 1%, rmacmin = 0.75mm, rmicmin = 4 eτ = 0.1%. Os resultados obtidos são apresentados na figura 4.23.
Macroestrutura deformada Célula-base Matriz DH (em GPa)
(a) Função Objetivo3.575 x 1003 rad/sV macf = 100%
V micf = 40%
[70.642 8.123 08.123 3.487 00 0 9.371
]
(b) Função Objetivo4.350 x 1003 rad/sV macf = 80%
V micf = 50%
[82.106 14.215 014.215 23.631 0
0 0 16.106
]
(c) Função Objetivo5.160 x 1003 rad/sV macf = 50%
V micf = 80%
[157.023 34.009 034.009 85.690 0
0 0 41.034
]
(d) Função Objetivo5.997 x 1003 rad/sV macf = 40%
V micf = 100%
[230.769 69.231 069.231 230.769 0
0 0 80.769
]
Figura 4.23: Topologias otimizadas na macroescala deformada (1º modo) e na microescala paramateriais celulares, visando à maximização da frequência fundamental, para uma viga biengastada,adotando uma fração de volume final de 40% da estrutura e usando diferentes frações de volume emcada escala: (a) V mac
f = 1.0/V micf = 0.4; (b) V mac
f = 0.8/V micf = 0.5; (c) V mac
f = 0.5/V micf = 0.8;
(d) V macf = 0.4/V mic
f = 1.0
Nota-se que, com a diminuição do volume final para a macroestrutura, há um aumento na fun-ção objetivo para o problema de maximização da frequência fundamental, considerando o mesmovolume final da estrutura de 40%. Niu et al. (2009) observaram o mesmo comportamento parauma viga engastada-livre. As topologias encontradas mostram uma sequência coerente para os di-
86
ferentes volumes finais em ambas as escalas. Percebe-se também que o modo de vibração não éinfluenciado pela otimização multiescala, comprovando que não há cruzamentos de modos com afrequência fundamental.
Observando as matrizes das propriedades elásticas homogeneizadas paras os casos mostradosna figura 4.23, tem-se uma alta rigidez axial quando submetida a grandes reduções de volume namicroestrutura, como é apresentado em 4.23(a). À medida que o volume retirado diminui, o pesorelativo do primeiro termo da matriz também diminui, até resultar na microestrutura completa dematerial isotrópico.
4.2.2.2 Projeto estrutural para materiais compósitos: problema dinâmico
O projeto da macroestrutura também pode ser combinado com materiais compósitos perió-dicos. Assim como utilizado anteriormente, a tabela 4.2 de propriedades dos materiais foi aplicadapara este caso. Uma estrutura engastada-livre com uma massa concentrada no canto inferior direito,como mostra a figura 4.24, foi simulada para os casos AB e AC de combinação de material.
80 mm
50
mm
Mcc
Figura 4.24: Viga engastada-livre com massa concentrada analisada para o problema dinâmico commateriais compósitos
Ao fim da simulação, deseja-se obter qual a estrutura que maximiza a primeira frequêncianatural sujeita a: fração de volume final de Vf = V mac
f × V micf = 50% × 50% = 25% e massa
concentrada de 1000 kg. Assim como nos resultados mostrados anteriormente, os parâmetros dessaotimização são: ER = 1%, ARmax = 1%, rmacmin = 2.5mm, rmicmin = 4 e τ = 0.1%. Os resultadossão mostrados na figura 4.25.
87
Macroestrutura Célula Unitária Microestrutura 4x4 Matriz DH (em GPa)
Cas
oA
B
ω1 = 1.528 x 1003 rad/s
149.586 37.481 0.23637.481 120.264 0.4660.236 0.466 40.109
Cas
oA
C
ω1 = 1.364 x 1003 rad/s
124.840 27.662 3.47427.662 82.388 4.8323.474 4.832 30.105
Figura 4.25: Topologias obtidas na macroescala e microescala utilizando duas combinações demateriais compósitos, visando à maximização da frequência fundamental, para uma viga engastada-livre com massa concentrada, adotando uma fração de volume final de 50% em ambas as escalas
Pelas topologias obtidas, nota-se que a escolha dos materiais influencia tanto na microestru-tura quanto na macroestrutural finais. As células-base obtidas são anisotrópicas devido à assimetriacausada pela massa concentrada.
A seguir, uma análise da eficiência estrutural para otimização topológica multiescala da mi-croestrutura será apresentada.
4.3 Análise da Eficiência Estrutural da Otimização Topológica Multiescala paraMateriais Celulares
Nesta seção, será explicada a análise da eficiência estrutural proposta para materiais celula-res utilizando o projeto de microestruturas. Os resultados numéricos são obtidos para diferentescondições de contorno: engastada-livre, biapoiada e biengastada (Calixto e Pavanello, 2015).
88
A fim de verificar a eficiência desse tipo de procedimento de otimização, um índice de efici-ência estrutural preliminar é proposto. Para uma dada fração de volume final Vf , a função objetivoda estrutura obtida pelo algoritmo de otimização é comparada com o mesmo parâmetro de umaestrutura reduzida sem otimização, com o mesmo comprimento e uma redução proporcional dealtura. Portanto, ambas as estruturas terão o mesmo volume, a mesma condição de contorno e omesmo material.
Na estrutura reduzida, o vão L é mantido constante devido às restrições impostas pelo carre-gamento e pelas condições de contorno. Além disso, considerou-se a forma mais simples de umaestrutura ser fabricada, adotando um volume homogêneo para a estrutura reduzida. Por exemplo, afigura 4.26 mostra ambos os modelos que serão comparados para o caso de uma viga engastada-livre.
L
H
L
H.Vf
Base Cell
Vf=50%
Multiscale Optimization: Reduced Structure (Reference)
L
H
H.V*
L
Otimização Multiescala Estrutura Reduzida (Referência)
Célula-base
V*=50%
FF
Figura 4.26: Análise para comparação entre os dois modelos
A redução de material poderá variar entre 0% e 70%, com o incremento de 10% em cada aná-lise. Com isso, pode-se avaliar o comportamento da eficiência estrutural para diferentes reduçõesde material.
Para a análise estática em multiescala, o objetivo é realizar uma razão das flexibilidades médiaentre a estrutura reduzida e a obtida pelo problema de otimização topológica, como apresentadona figura 4.26. Para problema dinâmicos, o objetivo é analisar a razão da frequência fundamentalobtida pelo resultado da otimização em multiescala e pela estrutura reduzida. Ambos os parâmetrosde análise são apresentados na equação 4.1.
γs =Cred(Vf )
Copt(Vf )> 1 γd =
ωopt(Vf )
ωred(Vf )> 1 (4.1)
89
onde o índice de eficiência estrutural para o problema estático representado por γs deve ser maiorque 1, uma vez que o problema é minimizar a flexibilidade média da estrutura. Como o problemadinâmico consiste na maximização da frequência fundamental, o índice γd é o inverso do casoestático e também deve ser maior que a unidade.
Os parâmetros de otimização adotados foram: ER = 2%, ARmax = 2%, N = 5 e τ =
0.1%. O raio mínimo do filtro na microescala foi escolhido diferentemente para cada condição decontorno, sendo rmicmin = 7 na engastada-livre, rmicmin = 5 na biapoiada e rmicmin = 4 na biengastada.Aplicou-se uma força de módulo unitário F = 1 no caso estático, e utilizou-se propriedades domaterial genéricas: E = 1 e ν = 0.3.
Primeiramente, a figura 4.27 mostra os resultados para uma viga engastada-livre com di-mensões 40 × 20. Pode ser visto que, para todos os volumes finais calculados, as razões γs e γdsão maiores que 1, em outras palavras, a otimização multiescala sempre melhora a estrutura paraanálises estática e dinâmica.
0 10 20 30 40 50 60 700.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Redução de Material (%)
Mea
n C
ompl
ianc
e R
atio
γs:
(CR
ed/C
Opt
)
Structural Efficiency: Static
0 10 20 30 40 50 60 700.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Material Reduction (%)
Mea
n C
ompl
ianc
e R
atio
: (C
Red
/CO
pt)
Structural efficiency: Static
Índi
ce E
stát
ico
: (C
/C)
sre
dop
t
(a) Estática
0 10 20 30 40 50 60 700.5
1
1.5
2
Material Reduction (%)
Fun
dam
enta
l F
requ
ency
Rat
io:
(ωO
pt/ω
Red
) Structural Efficiency: Dynamic
0 10 20 30 40 50 60 700.5
1
1.5
2
Redução de Material (%)
Raz
ão d
as F
requ
ênci
as γ
d:
(ωO
pt/ω
Red
) Structural Efficiency: Dynamic
Índi
ce D
inâm
ico
: (
/)
dop
tre
d
(b) Dinâmica
Figura 4.27: Eficiência estrutural de uma viga engastada-livre 40× 20 para diferentes reduções dematerial: Análise (a) Estática; (b) Dinâmica
A figura 4.28 mostra os resultados para uma viga biapoiada com dimensões 80×20. Para estacondição de contorno, um plano de simetria vertical no centro da viga é utilizado e, portanto, apenasa metade esquerda da viga é considerada (conforme figura 4.6). Até uma redução de material de25%, as eficiências γs e γd são menores que 1, logo os resultados da otimização não são melhoresquando comparados à simples redução da altura da estrutura (para os casos estático e dinâmico).
90
0 10 20 30 40 50 60 700.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Redução de Material (%)
Mea
n C
ompli
ance
Rat
io γ
s: (C
Red
/CO
pt)
Structural Efficiency: Static
Índi
ce E
stát
ico
: (C
/C)
sre
dop
t
(a) Estática
0 10 20 30 40 50 60 70
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Material Reduction (%)
Fun
dam
enta
l F
requ
ency
Rat
io:
(ωO
pt/ω
Red
) Structural Efficiency: Dynamic
0 10 20 30 40 50 60 70
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Redução de Material (%)
Fun
dam
enta
l F
requ
ency
Rat
io γ
d:
(ωO
pt/ω
Red
)Ín
dice
Din
âmic
o
: (
/)
do
ptre
d
(b) Dinâmica
Figura 4.28: Eficiência estrutural de uma viga biapoiada 80× 20 para diferentes reduções de mate-rial: Análise (a) Estática; (b) Dinâmica
Finalmente, os resultados do índice de eficiência para uma viga biengastada com dimensões80 × 20 são mostrados na figura 4.29. Para a análise estática, a razão da flexibilidade média émenor que 1 até quase 40% da redução de material. Isso significa que a otimização multiescala deveser usada para grandes valores de redução de material (50% ou mais). Para a análise dinâmica, aestrutura biengastada é similar para a viga biapoiada, e o algoritmo de otimização deve ser utilizado
0 10 20 30 40 50 60 700.5
1
1.5
2
2.5
Redução de Material (%)
Mea
n C
ompl
ian
ce R
atio
γs:
(CR
ed/C
Opt)
Structural Efficiency: Static
Índi
ce E
stát
ico
: (C
/C)
sre
dop
t
(a) Estática
0 10 20 30 40 50 60 70
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Material Reduction (%)
Fun
dam
enta
l F
requ
ency
Rat
io:
(ωO
pt/ω
Red
) Structural Efficiency: Dynamic
0 10 20 30 40 50 60 70
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Redução de Material (%)
Fun
dam
enta
l F
requ
ency
Rat
io γ
d:
(ωO
pt/ω
Red
)Ín
dice
Din
âmic
o
: (
/)
dop
tre
d
(b) Dinâmica
Figura 4.29: Eficiência estrutural de uma viga biengastada 80 × 20 para diferentes reduções dematerial: Análise (a) Estática; (b) Dinâmica
91
para valores acima 30% de redução de volume.
É importante notar que, para uma análise da eficiência, os resultados apresentados nesta seçãoavaliam apenas o custo do material. Em outras palavras, nenhum custo ligado à fabricação foiconsiderado para todas as comparações.
4.4 Análise do Algoritmo Multiescala com Múltiplos Tipos de Materiais
Como foi mostrado anteriormente, a metodologia de otimização topológica multiescala podeser explorada de diversas maneiras (celular/compósito; material/estrutural). Apesar da eficiência dametodologia apresentada, o fato de se ter apenas uma célula periódica em toda a macroestrutura éconsiderado uma restrição do problema de otimização, uma vez que a microestrutura é projetada apartir de um comportamento global da estrutura. A fim de se solucionar este problema, o algoritmode otimização multiescala pode ser adaptado para vários tipos de materiais distintos, dependendode como o sistema é modelado.
4.4.1 Otimização considerando dois modelos multiescala
Primeiramente, foi analisada uma estrutura onde dois tipos de materiais são possíveis. Ouseja, a topologia de duas células-base são projetadas no algoritmo de otimização, e cada materialé distribuído separadamente na macroestrutura. Neste tipo de análise, há propriedades elásticasde quatro materiais isotrópicos distintos para a homogeneização, sendo duas para cada fase, res-pectivamente. Em caso de otimização topológica multiescala de materiais celulares, o número demateriais isotrópicos se reduz para dois. A figura 4.30 ilustra um resultado desse tipo de otimizaçãoconsiderando o caso dinâmico para materiais celulares.
As variáveis de projeto do problema de otimização são xmac, xmic1 e xmic2 , onde os índi-ces mic1 e mic2 representam cada uma das células unitárias existentes no modelo. Para a análiseem multiescala considerando duas células-base, a formulação do problema de maximização da
92
Materiais Periódicos
Material 1 Material 2
Figura 4.30: Resultado numérico de uma otimização contendo dois tipos de material
frequência fundamental é escrita como:
Achar: xmac, xmic1 , xmic2
que maximiza: ωk
sujeito a: V macf −
∑Ni=1 V
maci xmaci = 0
V mic1f −
∑Mj=1 V
mic1j xmic1j = 0
V mic2f −
∑Mj=1 V
mic2j xmic2j = 0
xmaci = 0 ∨ 1
xmic1j = 0 ∨ 1, xmic2j = 0 ∨ 1
(4.2)
sendo a função objetivo ωk a k-ésima frequência natural. V macf é o volume final da microestrutura
1 na macroestrutura. V mic1f e V mic2
f são os volume finais em ambas as células-base. A equação deequilíbrio do caso dinâmico é dada pela equação 3.5.
O algoritmo do problema envolvendo múltiplos materiais é o mesmo apresentado no capítulo3. A sensibilidade elementar macroestrutural é dada pela equação 3.50, e o número de sensibi-lidade na microescala é calculado pela equação 3.59. Entretanto, nesta análise, há um vetor desensibilidade elementar para cada tipo de material. Logo, cada célula-base pode convergir parauma topologia distinta.
Uma estrutura engastada-livre, com dimensões 80mm×50mm, com uma massa concentradade 1000kg no canto inferior da extremidade livre, como mostrada na figura 4.24 é usada para o algo-
93
ritmo de otimização multiescala. Primeiramente, simulou-se considerando dois materiais celularese, posteriormente, dois tipos de materiais compósitos periódicos. A primeira microestrutura contémos seguintes materiais: E1 = 210GPa, ν1 = 0.3, ρ1 = 7800kg/m3; e E2 = 70GPa, ν2 = 0.33,ρ2 = 2800kg/m3 (ou vazio). A segunda microestrutura apresenta as propriedades: E3 = 40GPa,ν3 = 0.33, ρ3 = 1800kg/m3; e E4 = 10GPa, ν4 = 0.33, ρ4 = 2500kg/m3 (ou vazio).
Macroestrutura Célula Unitária Microestrutura 4x4 Matriz DH (em GPa)
ω1 = 1.129 x 1003 rad/s
Mic
ro1 [
76.028 11.968 6.80011.968 40.402 7.6616.800 7.661 11.732
]M
icro
2 [8.172 6.480 1.0526.480 7.234 0.4901.052 0.490 5.492
]
Figura 4.31: Topologias obtidas na macroescala e nas microescalas utilizando duas células uni-tárias de materiais celulares, visando à maximização da frequência fundamental, para uma vigaengastada-livre com massa concentrada, adotando uma fração de volume final de 50% em todas asescalas
Para as duas análises, iniciou-se com volumes iniciais cheios (100%) e reduziu-se até umvolume predeterminado de 50% para as duas microestruturas e 50% para a macroestrutura, o queresulta em 50% de cada célula unitária na topologia final. Uma discretização de 80× 50 elementosfinitos foi usada no modelo macroscópico, e 100× 100 elementos foram utilizados nas microestru-turas. Os parâmetros de otimização adotados foram: rmicmin = 4, rmacmin = 5,ER = 2%,ARmax = 2%,τ = 0.01% e N = 5. Para materiais celulares, os resultados obtidos são mostrados na figura 4.31.As cores preta e azul na macroescala representa respectivamente as microestruturas 1 e 2 obtidas.Para materiais compósitos, as topologias finais se encontram na figura 4.31.
Observa-se que, pela ausência de simetria da condição de contorno imposta ao problema,espera-se que as células-base sejam anisotrópicas. Isso é verdade quando se utiliza materiais ce-lulares. Porém, para materiais compósitos, a microestrutura 1 apresenta ortotropia, assim comomostrado no caso anisotrópico estático 4.21, o que indica que a rigidez mais relevante dessa condi-
94
Macroestrutura Célula Unitária Microestrutura 4x4 Matriz DH (em GPa)
ω1 = 1.665 x 1003 rad/sM
icro
1 [151.630 36.921 036.921 117.210 0
0 0 39.698
]
Mic
ro2 [
21.442 8.388 0.0658.388 21.086 0.0680.065 0.068 8.300
]
Figura 4.32: Topologias obtidas na macroescala e nas microescalas utilizando duas células unitá-rias de materiais compósitos, visando à maximização da frequência fundamental, para uma vigaengastada-livre com massa concentrada, adotando uma fração de volume final de 50% em todas asescalas
ção de contorno é no eixo x. A topologia final da Micro 1 apresenta barras finas que resultam emuma microestrutura que talvez seja difícil de ser produzida. Isso pode ser solucionado aumentandoo raio do filtro na microescala, que suaviza a sensibilidade estrutural em mais elementos e acarretaem estruturas mais espessas na célula unitária.
4.4.2 Otimização considerando múltiplos modelos multiescala
Essa teoria pode ser expandida de forma a obter várias células unitárias diferentes em umamacroestrutura. A ideia é aumentar o nível de discretização do problema, resultando em topologiasna microestrutura variando ao longo da escala macroscópica. Para se realizar esse estudo, adotou-se que cada elemento finito da malha macroscópica pode apresentar uma topologia microestruturaldistinta. Em outras palavras, cada elemento finito apresentará um problema de otimização topoló-gica evolucionária de materiais.
É importante ressaltar que, devido aos múltiplos problemas de otimização topológica estru-tural acoplados nessa abordagem, esse tipo de análise necessita um alto custo computacional, o quelimita encontrar resultados numéricos com malhas muito refinadas.
95
As malhas macro e microestruturais contendo N e M elementos finitos foram utilizadas, res-pectivamente. Logo, neste problema de otimização proposto, há uma combinação de uma otimi-zação topológica macroestrutural com N problemas de otimização topológica evolucionária paramateriais celulares, sendo que cada célula-base contém M elementos finitos. A formulação do pro-blema de otimização topológica para múltiplas células-base pode ser escrita como mostra a equação4.3.
Achar: xmac, xmic1 , xmic2 , · · · , xmicN
que minimiza: C = 12FTU
sujeito a: V macf −
∑Ni=1 V
maci xmaci = 0
V mic1f −
∑Mj=1 V
mic1j xmic1j = 0
V mic2f −
∑Mj=1 V
mic2j xmic2j = 0
...V micNf −
∑Mj=1 V
micNj xmicNj = 0
xmaci = 0 ∨ 1
xmic1j , xmic2j , · · · , xmicNj = 0 ∨ 1
(4.3)
sendo x a variável de projeto para cada domínio, C a flexibilidade média da estrutura. V macf é
o volume final predefinido da macroestrutura, e V mic1f , V mic2
f , · · · , V micNf são respectivamente os
volumes finais predefinidos das microestruturas 1, 2, · · · , N . A equação de equilíbrio para o casoestático é dada pela equação 3.2.
O algoritmo de otimização topológica evolucionária multiescala com uma célula unitária paracada região de um elemento finito na macroescala foi aplicado a uma estrutura engastada-livre comdimensões 50mm× 30mm, como mostrada na figura 4.18, discretizada em uma malha de 50× 30
elementos finitos quadrilaterais. A força aplicada no ponto médio da face direita vale F = 100
N e as propriedades do material A, presentes na tabela 4.2, foram utilizadas. A fração de volumefinal da macroescala e da microescala são V mac
f = 50% e V micf = 50%, resultando em um volume
final resultante de Vf = 25%. Uma malha microestrutural de 40× 40 elementos finitos foi adotadapara todos os modelos microestruturais. Os parâmetros de otimização utilizados são: rmicmin = 7,rmacmin = 4mm, ER = 1%, ARmax = 2%, τ = 0.1% e N = 5. A topologia final encontrada émostrada na figura 4.33.
A função objetivo final encontrada é C = 2.955 x 10−06 Nm e o tempo de simulação foiaproximadamente 7 horas. Observa-se que esse algoritmo de otimização apresenta instabilidade
96
(a) (b)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0.922
1.27
1.62
1.97
2.32
2.67
3.02
3.37
3.72
x 10−6
Iterações
Fun
ção
Obj
etiv
o C
(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fra
ção
de V
olum
e (V
/V i)
Flexibilidade MédiaFração de Volume
(c)
Figura 4.33: Resultado numérico para uma viga engastada-livre de uma otimização topológicacom múltiplas células unitárias: (a) Cada elemento finito macroestrutural com sua microestruturacorrespondente; (b) Ilustração de uma malha 3 × 3 da célula-base final em cada elemento; (c)Histórico do processo evolucionário
numérica após o volume final ser atingido, o que dificulta a sua convergência. A alteração de umelemento finito na macroestrutura representa uma mudança da microestrutura que será analisada,que possivelmente é uma causa da variação da função objetivo na convergência. Apesar da variaçãoda função objetivo nas últimas iterações, o critério de parada do algoritmo (dado pela equação 3.69)foi satisfeito, uma vez que a expressão leva em consideração a média das últimas 2N iterações.O estudo deste problema de convergência precisa ser aprofundado e ficou fora do escopo destetrabalho.
97
Uma estrutura biapoiada também foi otimizada para minimização da sua flexibilidade média.Para isso, considerou-se um plano de simetria no centro da viga e analisou-se apenas a metadeesquerda da macroestrutura. A condição de contorno adotada é mostrada na figura 4.34.
80 mm
F2
0 m
m
Figura 4.34: Viga biapoiada usada para otimização topológica multiescala com múltiplas células
As malhas de elementos finitos são discretizadas em 80× 40 para a macroestrutura e 40× 40
para a microestrutura. O método de otimização busca um volume final de Vf = V macf × V mic
f =
50% × 50% = 25% e utiliza os mesmos parâmetros de entrada citados para o exemplo da vigaengastada-livre, com exceção de rmicmin = 5, rmacmin = 6mm, ER = 2%. As propriedades do materialtipo A (tabela 4.2) e F = 100 N também foram utilizados para esse caso. A figura 4.35 apresenta asolução numérica do algoritmo de otimização para essa condição de contorno.
Para a viga biapoiada, a função objetivo encontrada para a estrutura final vale C = 5.280 x10−06 Nm. As topologias apresentadas na figura 4.35(a) e (b) são coerentes com as obtidas paraa otimização considerando apenas o domínio macroscópico. Como mostrado na figura 4.35(c),pode-se observar que a convergência da função objetivo acontece de forma mais suave, quandocomparada com o exemplo da viga engastada-livre.
98
(a) (b)
0 10 20 30 40 501.14
1.72
2.31
2.89
3.47
4.06
4.64
5.23
5.81
6.39
x 10−6
Iterações
Fun
ção
Obj
etiv
o C
(N
m)
0 10 20 30 40 500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fra
ção
de V
olum
e (V
/V i)
Flexibilidade MédiaFração de Volume
(c)
Figura 4.35: Resultado numérico para uma viga biapoiada de uma otimização topológica com múl-tiplas células unitárias: (a) Cada elemento finito macroestrutural com sua microestrutura corres-pondente; (b) Ilustração de uma malha 3 × 3 da célula-base final em cada elemento; (c) Históricodo processo evolucionário
99
4.5 Metodologia de Análise para Fabricação da Estrutura Otimizada
O objetivo deste tópico é desenvolver uma metodologia de validação do projeto para fabrica-ção por manufatura aditiva de estruturas obtidas pelo método de otimização topológica estruturalmultiescala. Para aplicação dessa metodologia, analisou-se uma estrutura obtida pela otimizaçãodo material para minimização da flexibilidade média com material celular. No entanto, essa análisepode ser aplicada tanto para o caso estático, quanto para o caso dinâmico.
A utilização da teoria da homogeneização na modelagem multiescala da estrutura é válidasomente se houver uma periodicidade na microestrutura e se o tamanho da célula-base for infinite-simal quando comparado à macroestrutura. No entanto, para se fabricar essa estrutura, necessita-sesaber qual deve ser a relação entre os domínios macro e microestruturais para a teoria da homoge-neização ser válida. Logo, essa metodologia consiste em descobrir qual deve ser o tamanho real dacélula-base através de uma análise de convergência da função objetivo para fabricação das estrutu-ras obtidas.
Uma análise semelhante foi feita por Zuo et al. (2013b). No trabalho de Zuo et al. (2013b),comparou-se os resultados da otimização na microescala com as topologias ótimas obtidas pelaotimização de estruturas periódicas (Huang e Xie, 2008). Ou seja, cada malha de estruturas pe-riódicas consiste em um novo resultado de um algoritmo de otimização. Diferentemente do quefoi apresentado nesse trabalho, esta metodologia consiste na reprodução de células-base na malhamacroscópica, podendo-se avaliar a convergência da função objetivo com o aumento do númerode células macroscópicas. Isso significa que não é necessária a solução de vários problemas deotimização topológica intermediários para encontrar o tamanho real da microestrutura. Entretanto,é necessária a realização de sucessivas análises de elementos finitos com malhas de tamanho con-siderável.
Inicialmente, realiza-se a otimização topológica evolucionária multiescala e obtém-se a mi-croestrutura otimizada para uma certa condição de contorno. A topologia macroestrutural utilizadafoi uma viga biengastada com dimensões 100mm× 50mm, como mostrada na figura 4.36.
O material escolhido na simulação numérica foi a poliamida SLS (em inglês, Selective Laser
Sintering), que é amplamente utilizada para fabricação por manufatura aditiva. As propridadesmecânicas adotadas são mostradas na tabela 4.4.
100
F
100 mm
50
mm
Figura 4.36: Viga biengastada utilizada para o domínio macroestrutural
Propriedades Mecânicas: PoliamidaMódulo de Elasticidade 1.586 GPaCoeficiente de Poisson 0.38
Massa Específica 1000 kg/m3
Tensão Limite de Escoamento 25 MPa
Tabela 4.4: Propriedades mecânicas do material utilizado: Poliamida SLS
Para a análise multiescala, o volume final do método de otimização é 50%. Os parâmetrosutilizados na otimização topológica evolucionária multiescala são: ER = 2%, ARmax = 2%,rmicmin = 8, τ = 0.1% e N = 5. A malha de elementos finitos utilizada na microescala é compostapor 40 x 40 elementos. Na macroescala, uma malha de elementos quadrilaterais de 40 x 20 éaplicada. A topologia inicial para a célula unitária consiste em uma célula cheia (Vi = 100%) dematerial sólido, exceto para os quatro elementos do centro, que serão vazios. A força aplicada nocentro da estrutura tem módulo igual à 500 N.
A solução obtida, considerando a condição de contorno mostrada na figura 4.36 e o problemade maximização da rigidez estrutural, é mostrada na figura 4.37. O histórico da flexibilidade médiada estrutura e da fração de volume da fase sólida ao longo do processo evolucionário é mostradona figura 4.37(d).
Utilizando a topologia final obtida pelo método da homogeneização, replicou-se a malhamicroestrutural de tamanho 40×40. A fim de se manter a coerência da célula unitária ser quadrada,as seguintes malhas macroestruturais foram analisadas: 4× 2, 8× 4, 12× 6, 16× 8 e 20× 10. Paraque haja um ponto de aplicação de força no centro da estrutura (como mostrado na figura 4.36),utilizou-se a célula-base deslocada conforme a figura 4.37(c), que resulta na mesma microestrutura
101
(a) (b) (c)
0 5 10 15 20 25 30 35 402.16
3.28
4.41
5.53
6.66
7.78
8.91
10
11.2
12.3
13.4x 10
−4
Iterações
Fun
ção
Obj
etiv
o C
(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fra
ção
de V
olum
e (V
/V i)
Flexibilidade MédiaFração de Volume
(d)
Figura 4.37: Microestrutura otimizada (40x40) para uma viga biengastada com força central: (a)célula unitária, (b) malha de 4x4 células (c) célula-base deslocada (d) evolução da flexibilidademédia e da fração de volume
periódica e matriz de propriedades elásticas homogeneizadas obtidas com a célula da figura 4.37(a).As malhas adotadas são apresentadas na figura 4.38.
Uma vez obtidas as estruturas para simulação, soluciona-se o problema de elementos finitospara o caso estático e se obtém a flexibilidade média da estrutura. Para obter a solução numérica,utilizou-se o programa de elementos finitos comercial ANSYS. Para a modelagem de elementoquadrilateral 2D, adotou-se o elemento PLANE42. Os resultados obtidos de flexibilidade média sãomostrados na figura 4.39. No mesmo gráfico da análise de convergência, foi colocado o valor obtidopelo algoritmo de otimização multiescala para uma malha macroestrutural de 40 × 20 elementosfinitos, que implica em uma malha microscópica teórica infinitesimal.
Pela figura 4.39, é possível observar que, quando se aumenta a discretização de células-base
102
(a) 4× 2 (b) 8× 4
(c) 12× 6 (d) 16× 8
(e) 20× 10
Figura 4.38: Malhas reproduzidas na macroestrutura
na malha macroestrutural, há uma tendência de convergência da função objetivo para o valor obtidopela algoritmo em multiescala. Neste trabalho, adotou-se uma malha de 20 × 10 células unitáriaspara representar o problema multiescala teórico, por considerar que o erro percentual da funçãoobjetivo se torna pequeno a partir desse valor de discretização.
Em seguida, para a fabricação da estrutura utilizando manufatura aditiva, é necessário partirde um modelo virtual computacional produzido em CAD (projeto auxiliado por computador). Paraisso, uma malha tridimensional com formato .STL foi gerada, com o auxílio da linguagem de pro-gramação em ANSYS chamada APDL (em inglês, ANSYS Parametric Design Language). Como oproblema analisado é bidimensional e feito para o estado plano de tensões, uma espessura estrutu-ral deve ser considerada para a fabricação. Neste trabalho, utilizou-se uma espessura de 10mm. Omodelo virtual gerado por essa análise é mostrado na figura 4.40.
Para tornar mais realista a condição de contorno em um ensaio experimental, o engaste foimodelado como blocos de material contínuo ligados a estrutura, que serão fabricados juntamente
103
0 5 10 15x 10
4
7
8
9
10
11
x 10−4
Número de Elementos
Fle
xibi
lidad
e M
édia
(N
m)
Célula Macrostrutural ANSYSHomogeneização (Inf x Inf)
Figura 4.39: Estudo da convergênca da flexibilidade média para diferentes malhas: 4 × 2, 8 × 4,12× 6, 16× 8 e 20× 10
Figura 4.40: Modelo virtual utilizado para fabricação de uma viga biengastada
com a estrutura final a partir da manufatura aditiva.
104
A impressão 3D foi realizada através do Programa Industrial ProInd (Divisão de TecnologiasTridimensionais na Indústria), que faz uso da tecnologia de prototipagem rápida. A partir de ummodelo virtual, o protótipo ou modelo físico é construído com a ajuda de máquinas que produzemos modelos através do depósito de camadas sequenciais de materiais específicos. A infraestruturautilizada para fabricação pertence à Divisão de Tecnologias Tridimensionais DT3D do CTI (Centrode Tecnologia da Informação), em Campinas. As fotos da estrutura final obtida pela impressão 3Dsão mostradas na figura 4.41.
(a) (b)
Figura 4.41: Estrutura final produzida por manufatura aditiva (DT3D - CTI): (a) vista frontal; (b)vista isométrica
A metodologia de análise para fabricação de estruturas obtidas pelo algoritmo de otimizaçãomultiescala pode ser resumida da seguinte forma:
1. Definição do problema: tipo de análise, condições de contorno e carregamento aplicado.
2. Obtenção da célula-base pelo algoritmo de otimização topológica evolucionária multiescala.
3. Reprodução da célula unitária obtida para montagem da macroestrutura e solução do pro-blema de elementos finitos.
4. Análise de convergência da função objetivo com o aumento no número de células-base nodomínio macroscópico.
5. Construção do modelo virtual 3D no formato .STL para fabricação.
6. Fabricação por manufatura aditiva da estrutura multiescala final.
105
A metodologia descrita neste trabalho é ilustrada na figura 4.42. Pode-se realizar análisestanto estáticas quanto dinâmicas.
Definição do Problema:Condição de Contorno
Otimização Topológica Evolucionária Multiescala
Reprodução da célula-base na macroestrutura:
Análise de EF
Modelo virtual 3D em .STL para fabricação
Estrutura final obtida por manufatura aditiva
F
Figura 4.42: Metodologia de fabricação por manufatura aditiva
O seguinte passo deste trabalho é realizar uma análise experimental da estrutura fabricada.Dessa forma, pode-se comparar a rigidez real da estrutura multiescala com a obtida do modelo nu-mérico. Erros são esperados devido à dificuldade de reprodução das condições de contorno (apli-cação de força, engaste), à variabilidade das propriedades do material e geométricas, e à influênciado processo de manufatura aditiva sobre as propriedades dos materiais utilizados. A análise expe-rimental dos protótipos produzidos está fora do escopo desta dissertação.
106
5 Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros
Neste capítulo, são apresentadas as análises e conclusões referentes ao desenvolvimento destetrabalho, que teve como principal objetivo a implementação de algoritmo de otimização topológicaevolucionária multiescala para estruturas considerando problemas estáticos e dinâmicos. Ao finaldeste capítulo, sugestões para trabalhos futuros são feitas, visando o desenvolvimento e o aprofun-damento das análises realizadas neste trabalho.
5.1 Conclusões
Este trabalho apresentou um estudo sobre a otimização topológica evolucionária multiescala.Realizou-se a implementação e validação dos resultados obtidos para o problema de minimizaçãoda flexibilidade média e de maximização da frequência fundamental, considerando diferentes con-dições de contorno. Além disso, a metodologia apresentada foi aplicada para materiais celulares ecompósitos.
A teoria da homogeneização foi estudada e aplicada ao modelo de elasticidade plana em mul-tiescala. Com a análise por elementos finitos na célula-base periódica, pôde-se obter o campo dedeslocamentos nodais do modelo, que resultam de três campos de deformações iniciais. A partirdo campo de deslocamento na célula unitária, foi possível obter o comportamento estrutural (ma-triz das propriedades elásticas homogeneizadas). Em outras palavras, a topologia da célula-baseperiódica determina as propriedades elásticas do material resultante.
A aplicação da otimização topológica estrutural multiescala foi feita utilizando o método evo-lucionário BESO. A análise multiescala da sensibilidade elementar realizada se mostrou adequadapara os dois tipos de problema, uma vez que se trabalha apenas com a maximização da frequênciafundamental no caso dinâmico. A otimização multiescala foi utilizada em duas abordagens distin-tas: projeto de materiais e projeto de estruturas. Algumas considerações feitas sobre cada tipo deprojeto são comentadas a seguir.
107
Projeto de materiais
Nessa abordagem, o algoritmo implementado mostrou ser uma ferramenta computacionaladequada para projeto de materiais. Testes de validação foram realizados para garantir a fun-cionalidade desta ferramenta, comparando-se as soluções obtidas com resultados disponíveisna literatura. Soluções numéricas para várias condições de contorno foram mostradas e ana-lisadas. Observou-se que a condição de contorno macroscópica e a escolha dos materiais, nocaso compósito, são fatores determinantes na topologia ótima obtida da célula-base.
Para a análise estática, um estudo sobre a influência da topologia inicial na solução obtida foirealizado, mostrando uma independência da condição inicial do problema para uma estruturaengastada-livre. Entretanto, para outras condições de contorno, o algoritmo de otimização to-pológica multiescala pode convergir para diferentes topologias ótimas locais, dependendo datopologia inicial da microestrutura. Para maximização da frequência fundamental, observou-se que há uma boa convergência da frequência natural nos testes realizados. Não foi necessá-ria aplicar uma metodologia para evitar o cruzamento de modos, pois, a partir dos resultadosapresentados, nota-se que isso não acontece para a frequência fundamental.
Projeto de estruturas
Assim como foi feito para o projeto de materiais, aplicou-se o algoritmo multiescala imple-mentado para estruturas sob condições estáticas e dinâmicas, e obteve-se topologias macro emicroestruturais adequadas, tanto para materiais celulares, quanto para materiais compósitos.
Com a intenção de se compreender melhor o comportamento multiescala estrutural, foi pro-posto um estudo mais aprofundado sobre a variação da quantidade de material retirado emcada escala, tanto para o problema de minimização da flexibilidade média, quanto para amaximização da frequência fundamental. Notou-se que há uma melhora na função obje-tivo quando se reduz menos material na escala microscópica. Assim sendo, concluiu-se que,para os problemas estruturais apresentados, a otimização topológica apenas macroestruturalé mais adequada. Entretanto, esta afirmação nem sempre é verdadeira. Constata-se que, porexemplo, estruturas periódicas (celulares) apresentam melhores funções objetivo em compa-ração com estruturas contínuas para problemas de condução de calor (Yan et al., 2015).
108
No decorrer do trabalho, constatou-se a presença de material em regiões ineficientes da ma-croestrutura nas topologias obtidas pelo método de otimização topológica multiescala para mate-riais celulares. Por consequência, foi proposto um índice de eficiência estrutural, com o intuito deanalisar a viabilidade da aplicação do algoritmo nesses casos para várias porcentagens de reduçõesde material, considerando problemas elasto-estáticos e elasto-dinâmicos em diferentes condiçõesde contorno. Obteve-se que, para pequenas reduções de volume, não compensa utilizar o algoritmomultiescala para o projeto de materiais celulares. A aplicação do mesmo só se torna vantajosa paragrandes reduções de volume.
Considerou-se também, dois modelos multiescala na otimização topológica estrutural. Os re-sultados numéricos mostraram que essa metodologia pode ser utilizada para materiais celulares ecompósitos, fazendo com que a topologia macroestrutural também seja otimizada para selecionaronde cada tipo de material deve ser utilizado. Foi proposto, ao longo do trabalho, realizar a otimi-zação topológica estrutural considerando múltiplos modelos multiescala, de forma que a topologiada célula-base varie ao longo da estrutura. Resultados preliminares foram apresentados para ma-teriais celulares. Observou-se uma considerável variação da função objetivo até a convergência doalgoritmo. Um estudo mais aprofundado dessa metologia é necessário.
Por fim, uma metodologia de validação para fabricação por manufatura aditiva de estruturasobtidas pelo método de otimização topológica estrutural multiescala foi desenvolvida. Com o auxí-lio da DT3D do CTI, foi possível realizar a construção do protótipo a partir de um modelo virtualvalidado. A análise experimental não foi realizada neste trabalho.
5.2 Sugestões de Continuidade
Em seguida, são apresentadas algumas sugestões de trabalho para a continuidade do estudodesenvolvido:
Realização de um estudo do comportamento dinâmico microestrutural, para otimizar estru-turas multiescala visando a maximização de frequências naturais de ordem superior.
Implementação do código para modelagem de estruturas multiescala tridimensionais, tantona macroescala, quanto na microescala.
109
Aplicação da teoria da homogeneização e da otimização multiescala para problemas de con-dução de calor, considerando a presença de carregamento termo-mecânicos.
Estudo da otimização topológica multiescala para sistemas fluido-estrutura (poroso), sendonecessária uma modelagem da célula unitária para esse tipo de problema.
Aprofundar o método de otimização topológica multiescala com múltiplos materiais, paraoutros critérios de otimização.
Implementação de um código em FORTRAN para ampliar a eficiência computacional, prin-cipalmente para otimização de estruturas 3D e/ou com múltiplos modelos multiescala.
Aplicação do método multiescala para otimização de propriedades do material, como a pro-pagação de ondas.
Estudo de outras possibilidades de analisar a sensibilidade elementar para o problema multi-escala envolvendo vários materiais.
110
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119
A Algoritmo Implementado para Modelagem Microestrutural
Este apêndice tem como objetivo apresentar o algoritmo que foi desenvolvido para calculara matriz das propriedades elásticas homogeneizadas DH . O comportamento microestrutural é dadoa partir da método de homogeneização (Capítulo 2). Utiliza-se o método de elementos finitos paraa modelagem microestrutural. O domínio da célula unitária é discretizado em elementos finitosquadrilaterais (4 nós). Os dados de entrada do algoritmo são mostrados a seguir, bem como ocódigo em MATLAB. Os detalhes sobre as passagens estão comentados no algoritmo.
Matriz das coordenadas dos nós (Nodes):
Nodes =
Ni (x) (y)1 0 0
2 0 0.1...
......
Nnós 1 1
(A.1)
Matriz da conectividade dos elementos (Conectivity):
Conectivity =
Ej N1 N2 N3 N41 1 2 11 10
2 2 3 12 11...
......
......
Nel 90 91 100 99
(A.2)
Vetor das variáveis de projeto (mat). Softkill: mat(Ej) = 1 (sólido) ou 10−3 (vazio).
mat =[
1 1 · · · 10−3 1 · · · 10−3 1]
(A.3)
Matriz de elasticidade do material isotrópico (D). Para o estado plano de tensões, tem-se:
D =E
1− ν2
1 ν 0
ν 1 0
0 0 1−ν2
(A.4)
121
1 % Análise do problema de Homogeneização2 % Tainan Khalil Leite Calixto3 % Mestrado em Engenharia Mecânica - Departamento de Mecânica Computacional4 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5 % Algoritmo geral para o cálculo da matriz constitutiva homogeneizada6 % Aplicação da teoria da homogeneização com o método de elementos finitos7 % utilizando a metodologia softkill. (Vazio -> mat(el) = x_min)8 % A célula unitária deve ser feita por elementos quadrilaterais com 4 nós.9 % Dados de entrada:
10 % Matriz das coordenadas dos nós - Nodes = [nº pos_x pos_y]11 % Matriz da conectividade dos elementos - Conectivity = [nº n1 n2 n3 n4]12 % Vetor das variáveis de projeto - mat (softkill: mat(el) = 1e-3 ou 1)13 % Matriz de elasticidade do material isotrópico - D14 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%15 function [DH] = homog_cell(Nodes,Conectivity,mat,D)16 Lx = max(Nodes(:,2)); Ly = max(Nodes(:,3)); % Comprimentos da célula-base17 nel = size(Conectivity,1); % Número de elementos finitos18 ndof = 2; % Número de gdl por nó19 nnode = size(Nodes,1); % Número de nós20 sdof = nnode*ndof; % Total de gdl do problema de EF21 elem_list = 1:nel; % Listagem de todos os elementos finitos22 p = 3; % Expoente de penalidade: Softkill23
24 %% Cálculo dos Deslocamentos25 % Montagem da Matriz Elementar26 [Ke,Fe] = MEF_homog(1,Nodes,Conectivity,D);27 % Montagem das Matriz Global Kg e Fg28 id = reshape(1:sdof,ndof,nnode);29 Fg = zeros(2*nnode,3); Kg = zeros(2*nnode,2*nnode);30 for iel=elem_list31 index = id(:,Conectivity(iel,2:5));32 Kg(index(:),index(:))=Kg(index(:),index(:))+mat(iel)^p*Ke;33 Fg(index(:),:)=Fg(index(:),:)+mat(iel)^p*Fe;34 end35
36 %% Resolução do sistema com Condensação37 % Periodic Boundary Conditions - Condensation Method38 % Cálculo da matriz de condensação T39 CCy1=find(Nodes(:,3)==0)';40 CCy2=find(Nodes(:,3)==1)';41 CCx1=find(Nodes(:,2)==0)';42 CCx2=find(Nodes(:,2)==1)';43 edgenode = intersect([CCx1 CCx2],[CCy1 CCy2]);44 edge_dof = reshape(id(:,edgenode(2:end)),1,6);45 CCxy1 = [CCy1(2:end-1) CCx1(2:end-1)];46 CCxy2 = [CCy2(2:end-1) CCx2(2:end-1)];47 ref_dof = [CCxy1*ndof-1 CCxy1*ndof];48 ext_dof = [CCxy2*ndof-1 CCxy2*ndof];49 T = sparse(eye(2*nnode));50 T(ext_dof,:) = T(ref_dof,:);51 T(edge_dof,:) = repmat(T([1;2],:),3,1);
122
52 T(:,[ext_dof edge_dof]) = [];53
54 Kg_r = T'*Kg*T; % Matriz Global Reduzida55 Fg_r = T'*Fg; % Matriz de Força Global Reduzida56
57 % Evitar movimento de corpo rígido: Fixação do nó 1.58 U_r = zeros(size(T,2),3);59 fixeddofs = [1 2]; reduceddofs = 1:size(Kg_r,1);60 freedofs = setdiff(reduceddofs,fixeddofs);61 U_r(freedofs,:) = Kg_r(freedofs,freedofs)\Fg_r(freedofs,:);62 U = T*U_r; % Matriz dos deslocamentos global63
64 %% Cálculo das Deformações65 DH = zeros(3);66 for iel=elem_list67 index = id(:,Conectivity(iel,2:5));68 % Cálculo do "D homog" Elementar;69 De = MEF_homog(iel,Nodes,Conectivity,D,U(index(:),:),mat,p);70 DH=DH+De;71 end72 DH = DH/Lx/Ly; % DH = 1/Y*sum(De); (Divisão pelo volume da célula-base)73 end74
75 function [varargout] = MEF_homog(iel,Nodes,Conectivity,D,desloc_el,mat,pen)76 % Definição do número de elementos e das posições xy77 nel = Conectivity(iel,:);78 Pos_xy = Nodes(nel(2:length(nel)),2:3);79
80 % Escolha do número de pontos de Integração de Gauss81 np = 2; pg = [-0.577350269189626 0.577350269189626]; wg = [1 1];82 N_fun = length(nel)-1;83 K_el = zeros(2*N_fun);84 f_el = zeros(2*N_fun,3);85 De=zeros(3);86 Bs = zeros(3,2*N_fun);87 t = 1; % Espessura do elemento quadrilateral88 for i=1:np89 ksi=pg(i);90 for j=1:np91 eta=pg(j);92 % Derivada das funções de forma com relação à ksi93 dNqk(1) = -1/4+1/4*eta;94 dNqk(2) = 1/4-1/4*eta;95 dNqk(3) = 1/4+1/4*eta;96 dNqk(4) = -1/4-1/4*eta;97 % Derivada das funções de forma com relação à eta98 dNqe(1) = -1/4+1/4*ksi;99 dNqe(2) = -1/4-1/4*ksi;
100 dNqe(3) = 1/4+1/4*ksi;101 dNqe(4) = 1/4-1/4*ksi;102 % Determinação do Jacobiano103 J = [dNqk;dNqe]*Pos_xy;
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104 iJ = J^-1;105 % Determinação da Matriz de Deformação Bs106 p = 1:2:2*N_fun;107 Bs(1,p) = iJ(1,1)*dNqk + iJ(1,2)*dNqe;108 Bs(2,p+1) = iJ(2,1)*dNqk + iJ(2,2)*dNqe;109 Bs(3,p) = Bs(2,p+1);110 Bs(3,p+1) = Bs(1,p);111 if nargin≤4112 K_el = K_el + t*Bs'*D*Bs*det(J)*wg(i)*wg(j);113 f_el = f_el + Bs'*D*det(J)*wg(i)*wg(j); % Força Nodal (Homog)114 else115 De=De+mat(iel)^pen*D*(eye(3)-Bs*desloc_el)*det(J)*wg(i)*wg(j);116 end117 end118 end119 if nargin≤4; varargout1=K_el; varargout2=f_el;else varargout1=De;end;120 end
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