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OTIMIZAÇÃO DE VELOCIDADE EM FLYWHEELS: ESTUDO EM SISTEMAS DUAIS DE ALIMENTAÇÃO EM VEÍCULOS ELÉTRICOS

HUGO RIBEIRO BALDIOTI

Departamento de Engenharia Elétrica, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro CEP 22453-900, Rio de Janeiro – RJ

E-mail: [email protected]

JANAÍNA GONÇALVES DE OLIVEIRA

Núcleo de Automação e Eletrônica de Potência, Universidade Federal de Juiz de Fora CEP 36036-330, Juiz de Fora – MG

E-mail: [email protected]

Abstract⎯ With the rise of electric vehicles, new ideas to improve the efficiency of batteries have emerged over the years. One solution was found using a dual system, combining battery and flywheel energy storage device. Therefore, in addition to labora-tory tests required to develop and verify the feasibility, including efficiency and performance measurements, it is also required a study about system improvements and optimization. The proposal of this work is to implement the simplex algorithm, using Matlab, to solve an optimization problem on the speed control of a flywheel system located at Uppsala University, Sweden. The main objective of the study aims at maximizing the battery lifetime by reducing its consumption, which can be verified by the achieved results.

Keywords⎯ Linear Programming, Simplex, Electric Vehicles, Flywheel

Resumo⎯ Com o surgimento dos veículos elétricos, novas ideias para melhorar a eficiência das baterias vem surgindo ao longo dos anos. Uma das soluções encontradas foi a utilização de sistemas duais que combinam baterias e flywheels. Portanto, além de testes de laboratório necessários para o desenvolvimento e verificação da viabilidade deste sistema, incluindo medições de efici-ência e desempenho, também se faz necessário um estudo sobre o aprimoramento e a utilização ótima do mesmo. A proposta des-te trabalho é implementar o algoritmo simplex, através do Matlab, na resolução de um problema de otimização de controle de ve-locidade do flywheel que se encontra na Universidade de Uppsala, Suécia. O objetivo do trabalho visa maximizar a vida útil da bateria utilizada, reduzindo seu consumo, o que pode ser comprovado pelos resultados obtidos.

Palavras-chave⎯ Programação Linear, Simplex, Veículos Elétricos, Flywheel.

1 Introdução

Veículos elétricos têm se tornado cada vez mais populares ao redor do mundo. Motivados pela ideia de sustentabilidade e energia limpa, a comunidade científica vem se empenhando em desenvolver novas tecnologias capazes de suprir as necessidades cada vez maiores de consumo da população.

Uma das necessidades de consumo popular é a aquisição de veículos novos. Sabe-se que a tendência de crescimento da frota de carros, tanto elétricos como convencionais, é positiva para os próximos anos (Mierlo, 2004).

Sendo a tendência positiva e, levando em consi-deração a redução constante na disponibilidade de fontes de energia renováveis, juntamente com a ques-tão do meio ambiente, há uma necessidade grande de se investir em novas tecnologias.

O desenvolvimento de flywheels já é antigo. En-contram-se registros históricos datados de sua utili-zação desde 1902. Flywheels, ou volantes de inércia, são utilizados com o objetivo principal de armaze-namento de energia na forma de energia cinética. A energia armazenada En depende do momento de inércia J e da velocidade de rotação ω (Young, 2008):

𝐸! =12𝐽𝜔! (1)

Flywheels são capazes de absorver e fornecer alta

potência com alta eficiência. Essas vantagens fize-ram-lhes uma escolha muito atraente para aplicações em veículos elétricos, cujo interesse tem aumentado ao longo dos anos por causa de problemas ambien-tais. A combinação de flywheels e baterias, nos cha-mados sistemas duais (Mellor, 2000), tem sido estu-dada de forma a obter os requerimentos de potência e energia de um veículo elétrico.

Na Universidade de Uppsala, Suécia, um sistema dual baseado na conexão em série de uma bateria e um flywheel vem sendo investigado (Baldioti, 2012), (Oliveira, 2011). O flywheel em estudo é uma má-quina elétrica que, basicamente, une as características de um motor com um transformador. Através da sua rotação ele armazena energia em forma de energia cinética, seus enrolamentos de alta e baixa tensão são responsáveis pela transferência de energia sem que seja necessário, a princípio, consumir potência do elemento girante, isto só ocorre quando há uma vari-ação na demanda de energia.

Uma foto do flywheel utilizado e um esquemáti-co do sistema investigado, onde bateria e flywheel são conectados em série podem ser vistos nas figuras

Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014

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1 e 2, respectivamente. Note que a bateria funciona como uma fonte primária de energia, enquanto o flywheel funciona como um buffer de potência. O motor de tração é mostrado na Figura 2 como PMSM (Permanent Magnet Synchronous Machine).

Figura 1. Imagem real do flywheel aberto.

Figura 2. Esquemático do sistema utilizado.

Ao todo este artigo está divido em 6 seções co-

mo se segue: a segunda parte é referente a descrição do problema em estudo, seguido da formulação ma-temática do problema, simplex e plano de cortes. A quarta parte apresenta o pseudocódigo desenvolvido. Os resultados são apresentados na quinta parte, se-guidos da conclusão sobre o trabalho e resultados obtidos.

2 Descrição do problema

A grande variação de corrente ocorrida ao longo de um trajeto urbano típico que uma bateria de veículo elétrico deve suportar, incluindo picos instantâneos, graças aos movimentos de aceleração e frenagem, faz com que a vida útil e a carga da bateria se esgotem precocemente. Um exemplo de uma variação de potência no eixo do motor da roda de um veículo, ao longo de um trajeto urbano de aproximadamente 4 minutos pode ser visto na figura 3.

Figura 3. Variação da potência mecânica ao longo de um trajeto

urbano típico (Schwarzer, 2013).

É possível notar, através da figura 3, que a potência instantânea consumida por um veículo elétrico pode

ser muitas vezes maior que seu valor médio, causan-do assim uma redução da vida útil da bateria. Ao utilizar-se um flywheel como buffer de potência, garante-se que o mesmo irá fornecer os picos de potência necessários para frenagem e aceleração, enquanto a bateria fornece a energia média necessá-ria para percorrer o trajeto descrito.

Uma vez que a energia armazenada no flywheel depende de sua massa girante e velocidade, sendo apenas a segunda controlável, deseja-se otimizar a mesma de forma que a potência instantânea fornecida pela bateria seja indiretamente minimizada. Com isso, a bateria sofrerá um número menor de ciclos de carga e descarga, favorecendo assim um aumento da vida útil da mesma.

Avanços computacionais têm nos proporcionado resolver problemas cada vez mais complexos, com não linearidades e com uma velocidade cada vez maior. Especificamente sobre a questão da não linea-ridade, os modelos desenvolvidos para retratar situa-ções reais tendem a ser não lineares porque essa característica está intrínseca na natureza. Alternativas e métodos vêm se desenvolvendo para que esses tipos de problemas possam ser solucionados.

Dentro do contexto de programação linear encon-tramos algumas alternativas para resolver problemas de otimização de características não lineares, geral-mente fazendo linearização por partes (Veiga, 1991), (Chvátal, 1983).

O estudo aqui apresentado utilizou o método do plano de cortes, ou decomposição de Bender de 2 estágios, com o objetivo de linearizar por partes e resolver, utilizando o simplex revisado, através do programa matlab, o problema de controle de veloci-dade do flywheel. A resolução deste problema se faz importante para obtenção de um alto rendimento durante a utilização do sistema. A energia armazena-da no flywheel depende de sua velocidade, mas tam-bém do fluxo de potencia injetada pela bateria e consumida pelo motor de tração do carro. Todas essas variáveis serão consideradas na formulação matemática do problema, a qual será descrita na próxima seção.

3 Formulação Matemática

3.1 Simplex revisado

O método do simplex revisado consiste em um procedimento sistemático para programar os passos do simplex, economizando assim tempo e espaço na memória.

Da forma que o método foi utilizado nesse traba-lho, ele se baseia na estrutura canônica de um pro-blema de maximização, sendo da forma:

max! 𝑐!𝑥 (2)


1328

Sujeito a:

𝐴𝑥 ≤ 𝑏 (3) 𝑥 ≥ 0 (4)

O método simplex se baseia na troca das variáveis

básicas pelas não básicas de modo a excursionar pelo poliedro simpelx a fim de se encontrar o ponto ótimo para a função objetivo. Esse “pivotamento” é reali-zado até que os novos custos reduzidos não melho-rem a função objetivo.

3.2 Plano de Cortes

O problema do plano de cortes surge quando te-mos um acoplamento das variáveis nas restrições, ou seja, uma variável depende do estado da outra e vice-versa.

Caso isso não existisse seria possível resolver o problema dividindo-o em partes e resolvendo cada sistema individualmente.

A ideia do plano de cortes é que, dado uma função convexa, sabemos que é possível aproximá-la por planos tangentes. Dessa forma quanto mais cortes (planos tangentes) tiverem na função, mais fiel esta-remos da original. Com isso o problema de otimiza-ção com a seguinte característica:

Min!!,!!

𝑐! 𝑥! + 𝑞!𝑥! (5)

Sujeito a:

𝐴𝑥! ≥ 𝑏 (6) 𝐷𝑥! + 𝐸𝑥! ≥ 𝑒 (7) 𝐹𝑥! ≥ 𝑔 (8)

Passa a ter a característica:

Min!! 𝑐! 𝑥! + 𝐶!∗ 𝑥! (9)

Sujeito a:

𝐴𝑥! ≥ 𝑏 (10) 𝐶!∗ 𝑥! = min! 𝑡

𝑠. 𝑎 𝑡 ≥ 𝑦 !! 𝑥 − 𝑥(!)

+ 𝐶 𝑥(!) (11)

Assim, o problema passa a ter dois níveis de oti-

mização, sendo que ambos podem ser resolvidos através do método simplex.

O pseudocódigo do método será apresentado na próxima seção, para verificação de como o plano de cortes foi implementado.

3.3 Problema proposto

Como dito na seção anterior, o objetivo desse tra-

balho é otimizar a velocidade de um flywheel dado um torque e uma velocidade aplicados no eixo do motor de tração. A otimização da velocidade visa aumentar a vida útil da bateria, reduzindo indireta-mente seu consumo. Na figura 4 vê-se um esquema simplificado da estrutura do problema.

Figura 4. Esquema simplificado da estrutura do problema proposto

[4].

A velocidade e o torque são aplicados na máqui-na PMSM (permanent magnet synchronous motor, máquina de tração do veículo), sendo assim, uma corrente Im, fornecida pelo flywheel, tenta compensar o torque para que a velocidade seja mantida. Primei-ramente, para este problema, temos que levar em conta as componentes da potência mecânica no mo-tor. De acordo com (Chapman, 2003), sabemos que:

𝑃!"# = 𝜏𝜔 (11)

Onde: Pmec é a potência mecânica no eixo do motor, τ é o torque, ω é a velocidade.

Essa potência mecânica pode ser igualada com a potência elétrica exigida pelo motor (considerando que as perdas são muito pequenas e podem ser des-prezadas), dessa forma teremos que a corrente na saída do flywheel, que alimenta o motor, é dada por:

𝐼! =𝑃!"#𝑉!

(12)

Onde, Im = Corrente do motor de tração (sai do Flywheel), Vl = Tensão nominal do motor.

Supondo que a velocidade final do flywheel é

dada pela combinação de duas componentes de velo-cidade, uma referente ao processo de aceleração do flywheel e a outra pelo processo de desaceleração. A primeira componente depende linearmente da corren-te fornecida pela bateria enquanto a segunda depende do produto de uma constante com o quadrado da corrente que é fornecida ao motor de tração.

𝑣!"#$% = 𝑣! − 𝑣! = = −0,7𝐼! + 1530 − 8𝐼!!

(13)

Onde, va = Velocidade no processo de aceleração, vd = Velocidade no processo de desaceleração,


1329

Ib = Corrente fornecida pela bateria, cujo valor má-ximo é 15 A.

Os valores referentes a cada componente da velo-cidade foram obtidos pela simplificação das compo-nentes reais de aceleração e desaceleração. Tais sim-plificações foram realizadas através da linearização da componente de aceleração e de uma aproximação por uma função quadrática da componente de desace-leração.

As restrições referentes aos valores de Ib e Im são devidos a proteção do sistema, formado por disjunto-res, e devido à existência de correntes parasitas. Outra restrição do sistema é referente à relação de transformação interna do flywheel, essa transforma-ção não é exata justamente pelos problemas de perda no sistema, sempre ficando em valores abaixo do que o esperado.

Dado as condições acima, e lembrando que o ob-jetivo é otimizar a velocidade do flywheel, o proble-ma pode ser formulado como se segue:

min!!,!!

−0,7𝐼! + 1530 − 8𝐼!! (14)

Sujeito a:

3𝐼𝑚 − 𝐼𝑏 ≤ 0 (15) −15 ≤ 𝐼𝑏 ≤ 15 (16) −5 ≤ 𝐼𝑚 ≤ 5 (17)

3 Pseudocódigo

Primeiramente segue o pseudocódigo referente ao simplex revisado:

% Simplex para um problema de max{cTx|Ax≤b} SE min(b) < 0 adicionar variável artificial w; % Sim-

plex_fase1 minimizar w; SE w = 0 retirar coluna de w e reorganizar

dicionário; Ir Para Simplex Fase 2; SE_NÃO Problema Inviável FIM_SE SE_NÃO Ir para Simplex Fase 2 FIM_SE % Simplex Fase 2 Selecionar variável básica mais restritiva; Selecionar variável não básica que melhore a fun-

ção objetivo;

Trocar as variáveis selecionadas; SE custos reduzidos não melhoram a função obje-

tivo Ótimo encontrado; Retorna resultados; SE_NÃO SE melhoram indefinidamente Problema ilimitado; SE_NÃO Retorna para o início do Simplex

Fase 2; FIM_SE FIM_SE Pseudocódigo referente ao problema de plano de

corte: % Plano de Corte % Inicialização Inicializar x(0); Calcular Q(x(0)); Calcular o valor da derivada de Q(x) em x = x(0); Inicializar LB = -inf; Inicializar UB = Q(x(0)); Inicializar tolerância; Inicializar k = 1; ENQUANTO (UB - LB) ≥ tolerância FAÇA k = k + 1; [x(k), LB(k)] = SIMPLEX (A(k),b(k),t); UB(k) = min{UB(k-1), Q(k)}; y(k) = Calcular o valor da derivada de Q(x) em x = x(k); SE (UB – LB) > tolerância Incluir plano encontrado (y(k) e Q(k)); SE_NÃO Ótimo encontrado; PARE; FIM_SE FIM_ENQUANTO

final deste artigo aparecem alguns exemplos.

5 Estudo de Caso

Esta seção dedica-se a apresentação dos resultados obtidos nas simulações realizadas para a otimização da velocidade do flywheel, dado uma potência mecâ-nica aplicada no eixo do motor de tração. Todas as simulações foram realizadas em um computador Triple-Core com 2.2 GHz e 4 Gb RAM. Os resulta-dos de simulação foram comparados a resultados experimentais obtidos para um mesmo ciclo de dire-ção.


1330

Uma rotina foi criada no Matlab, a partir de um cenário real, para escolher aleatoriamente um valor referente a potência mecânica. Essa potência é resul-tado do produto da velocidade com o torque, sendo ambos mostrados na figura 5. Tais valores são dados do drive cycle europeu urbano, utilizado para testar emissões dos carros em um típico trajeto urbano de um cidade cheia, o padrão utilizado é conhecido como ECE-15 Urban Drive Cycle (Barlow, 2009).

Figura 5. Velocidade e torque aplicados no eixo do motor, respec-

tivamente [6]

A partir deste valor randômico gerado, o algoritmo do plano de corte inicia os cálculos para encontrar o valor ótimo. Uma forma interessante de se validar esse modelo é comparando com resultados reais medidos em laboratório.

Primeiramente foram realizados testes compa-rando valores medidos de velocidade, obtidos a partir do torque e velocidade exigidos pela máquina PMSM, com os calculados no processo de otimiza-ção. Durante este teste variou-se o valor da tolerância do plano de corte, o número de iterações e o valor inicial de Im. Na Tabela 1 são mostradas, nas colunas da esquerda para direita, tolerância, número de itera-ções máximo, valor inicial de Im, número de iterações efetiva, tempo computacional de execução, velocida-de do flywheel otimizada e a velocidade real (veloci-dade medida).

Tabela 1. Comparação dos resultados otimizados com medidos. Valores referentes ao primeiro teste.

No teste acima os valores de corrente otimizados para Im, nas margens de tolerância apresentadas, resultaram em valores negativos, isso não é um pro-blema porque valores negativos, além de não viola-rem as restrições, apresentam uma interpretação física para este problema, no caso, equivale dizer que a bateria está sendo carregada já que o fluxo de po-tência está no sentido negativo (a utilização do flywheel permite esse tipo de comportamento).

O próximo teste é uma comparação dos valores otimizados com os valores reais medidos em labora-tório. A figura 6 apresenta o gráfico da velocidade real (medida) do flywheel dado as entradas acima e a figura 7 a velocidade otimizada do flywheel utilizan-do o simplex revisado.

É possível notar que, apesar de apresentarem um intervalo de variação similar, as variações obtidas quando o método de otimização foi utilizado foram de menor duração, graças à previsibilidade e maior robustez do sistema de controle.

Figura 6. Velocidade real do flywheel considerando as entradas de

torque e velocidade.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-4

-2

0

2

4

6

8

Sec

Nm

Torque

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

50

100

150

200

250

Sec

RPM

Speed Motor

tolerâncianúmero de

iterações máximovalor inicial de

Im (A)número de iterações

tempo computacional (s)

Velocidade otimizada (rpm)

Velocidade real (rpm)

10 100 5 2 0,04468 1508 1508

5 100 5 5 0,03951 1507 1508

2 100 5 12 0,04072 1507 1508

1 100 5 100 0,16129 1507 1508

1 200 5 200 0,22167 1507 1508

1 500 5 500 1,20183 1507 1508

10 100 4 2 0,04228 1516 1520

5 100 4 2 0,05656 1516 1520

3 100 4 5 0,03805 1515 1520

5 100 3 76 0,18312 1522 1524

2 100 3 76 0,13624 1521 1524

10 100 2 5 0,0417 1526 1528

0,7 100 2 5 0,04768 1526 1528


1331

Figura 7. Velocidade otimizada do flywheel utilizando simplex

revisado.

Outro teste foi realizado com a geração randô-mica de dados inteiros a partir de valores de corrente obtidos através dos experimentos. Os valores gerados foram atribuídos aos índices das matrizes referentes à entrada dos dados, responsáveis pelos cálculos, e ao índice da matriz de saída (velocidade), responsável pelas comparações. Tais resultados são apresentados na Tabela 2.

Tabela 2. Comparação dos resultados obtidos com os resultados

reais. Valores referentes ao segundo teste.

Por fim, o último teste é uma comparação do tempo de execução do programa utilizando o linprog e o simplex revisado programado. Os resultados para situações diversas podem ser vistos na Tabela 3.

Tabela 3. Comparação dos tempos de execução do programa

linprog e simplex revisado. Valores referentes ao terceiro teste.

Neste último teste observa-se que o linprog e o simplex revisado obtiveram resultados semelhantes, tendo o linprog apresentado um desempenho superi-or, o que pode ser atribuído a uma maior maturidade da ferramenta.

6 Conclusão

O trabalho realizado nesse artigo nos permite dar continuação no desenvolvimento de plataformas de estudo para os sistemas flywheel. A quantidade de variáveis a serem otimizadas e agregadas na modela-gem do problema são inúmeras, visto que o sistema envolve eletrônica de potência, automação e controle.

Resultados mostraram que o processo de otimiza-ção conseguiu modificar a variação de velocidade do flywheel, consequentemente minimizando a energia vinda da bateria, especialmente durante picos de frenagem e aceleração. Isso indica que algumas ca-racterísticas do sistema devem ser analisadas e que melhorias podem ser feitas no sistema de controle da velocidade do flywheel utilizado. Observa-se também que alguns resultados não reduziram a velocidade, isso pode representar certas características elétricas não modeladas no trabalho.

Através deste trabalho também foi possível consta-tar alguns pontos interessantes frente ao método do plano de cortes junto com o simplex revisado. O simplex revisado programado pode ser mais rápido que o simplex normal, vide comparação feita com o linprog, mas ainda assim o linprog executa mais rápido do que a programação desenvolvida neste trabalho.

Uma observação pertinente e importante é o fato de que ao variarmos o número de iterações do pro-grama o resultado não sofre alteração, o que realmen-te influencia, inclusive na velocidade de execução, são a tolerância e o número de cortes que o programa realiza, quanto maior a precisão e mais cortes tiver a função, melhor o resultado.

A continuação deste trabalho envolve a desconsi-deração de simplificações realizadas como, por exemplo, a linearização das componentes da acelera-ção do flywheel e a limitação no valor da corrente se dar em 15 amperes. Tais simplificação fazem com que o resultado da otimização não capture da melhor maneira possível o tempo de aceleração real necessá-rio da máquina utilizada.

Além disso, a otimização da velocidade do flywheel se faz bastante importante em aplicações onde o trajeto é conhecido, como por exemplo no caso de ônibus urbanos. Com isso, pode-se obter o “drive cycle” para o trajeto em estudo e aplicar um algoritmo de otimização da velocidade, o qual pode ser implementado juntamente com o controle do sistema, de forma a auxiliar o funcionamento visando o aumento da eficiência total.

O estudo de um trabalho prático, utilizando ferra-mentas teóricas, como feito aqui, se mostra extre-

velocidade flywheel

velocidade esperada do flywheel

tolerânciatempo

computacionalponto ótimo

número de iterações

número de iterações máximo

Im inicial

1399 1421 5 0,0485 -‐0,1735 2 100 0,5206

1391 1520 5 0,07934 -‐1,0176 2 100 3,059

1522 1465 5 0,0395 -‐1 4 100 2,964

1393 1400 5 0,0471 -‐0,8785 2 100 2,635

1391 1478 5 0,03797 -‐1,0735 4 100 3,1986

1373 1493 5 0,04324 -‐1,8306 5 100 5,4835

1518 1451 5 0,0416 -‐1,23 6 100 3,677

1372 1453 5 0,0434 -‐1,867 2 100 5,6

1326 1371 5 0,0436 -‐3,04 10 100 9,126

1394 1371 5 0,04407 -‐0,8024 2 100 2,407

1530 1341 5 0,04873 -‐0,087 2 100 0,263

tolerâncianúmero de iterações

máximovalor inicial de Im (A)

tempo computacional simplex_revisado

tempo computacional linprog

10 100 5 0,04468 0,04306

5 100 5 0,03951 0,04169

2 100 5 0,04072 0,04349

1 100 5 0,16129 0,04137

1 200 5 0,22167 0,06541

1 500 5 1,20183 1,3723

10 100 4 0,04228 0,0423

5 100 4 0,05656 0,04231

3 100 4 0,03805 0,03281

5 100 3 0,18312 0,02197

2 100 3 0,13624 0,02163

10 100 2 0,0417 0,04253

0,7 100 2 0,04768 0,04373


1332

mamente importante para o desenvolvimento e me-lhoramento dos sistemas já existente e, ainda mais relevante, em sistemas mais recentes, por exemplo, antes de um produto ser comercializado em grande escala, estudos de otimização para aperfeiçoamento do mesmo devem ser realizados.

Agradecimentos

Os autores gostariam de agradecer aos colegas da Division for Electricity, na Universidade de Uppsala na Suécia, pela ajuda no desenvolvimento deste tra-balho. Também ao Prof. Francisco José Gomes e aos colegas Arthur Reis e Flavio Queiroz, da Universi-dade Federal de Juiz de Fora, por sua participação na obtenção dos dados medidos aqui utilizados. Agrade-ce-se também ao Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Juiz de Fora pelo apoio.

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