otimização linear - unesp: câmpus de bauruadriana/pos/po6.pdf · departamento de matemática...
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Revisão – Método Simplex
Solução básica factível:
Solução geral usando a partição básica:
,x̂
x̂x̂
N
B
1ˆ 0
ˆ 0
B
N
x B b
x
em que
N
B
x
xx
Revisão
N
T
N
x
N
11T
B xc)NxBbB(c)x(f
B
N
T
NN
1T
B
1T
B xcNxBcbBc
valor da soluçãobásica associadaa partição
A função objetivo f(x)=cTx considerando a partição básica:
( )BT T T T T
B N B B N N
N
xf x c x c c c x c x
x
ˆ( )f x
N
B
x
xx
Revisão
Definição (vetor multiplicador simplex) é o vetor (m 1),
também chamado de vetor das variáveis duais dado por:
1T
B
BcTB
TB c
Vetor multiplicador simplex na expressão de f(x):
ˆ( ) ( ) ( ) ( )1 1 N n m n m n m1
T T
N N N N Nf f c x c x
x x λ a λ a
T -1 T T T TB N N N N N N N N
ˆ ˆ ˆ(x) (x) c B Nx c x (x) Nx c x ( ) ( )Tf f f f x c λ N x
Custos relativos ou custos reduzidos
1ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )
N 2 2 n m n m1N N N N Nf f c x c x c x
x x
jˆ ( )
j j
T
N N Nc c λ a
Revisão
Propriedade: (condição de otimalidade) Considere umapartição básica factível com solução básica factívelassociada e seja vetor multiplicadorsimplex.
Se , então a solução básica é ótima.
1T
B
T Bc
NBA
0bBx̂ 1
B
mn,,1j,0)c(NN jj
T aλ
“Se a condição de otimalidade for verificada, então a solução básica é ótima”.
Caso não seja ótima ( ), perturbamos essa
solução básica factível de modo a diminuir o valor da
função objetivo.
0ˆk
NNN
T
kkcc aλ
Revisão
Estratégia Simplex: perturbar soluções básicas factíveis queconsiste em alterar as variáveis não-básicas por:
.,,....,2,1,0
negativo) relativo custo com (variável,0ε
kimnjx
x
N
N
j
k
A função objetivo passa a valer:
mnN
mn
kN
k
N
NNcccff
N
xxx
0ˆεˆ0ˆ)ˆ()(
1
1xx
εˆ)ˆ(N k
cf x )ˆ(xf
Revisão
Alteração nas variáveis não-básicas: k
x
x
x
N
N
mn
k
N
0
ε
01
N
x
εεBBNB N k
yx̂aBx̂NxBbBx
y
-1-1-1
Alteração nas variáveis básicas:
Direção Simplex
Fornece os coeficientes de como as variáveis básicas são alteradas na estratégia simplex.
Revisão
Equação vetorial: εBB
yx̂x
Como:
como devemos ter
0iB
x 0ε
0 εˆ iBB
yxxii
i
B
y
xi
ˆε
Menor valor de :
miyy
x
y
xi
i
BB i ,...,1,0que talˆ
mínimoˆ
ε̂
Tamanho do passo
então para todo0yi
0yi 0yx̂x iBB ii
Tamanho do passo ?
Revisão
Ao resolvermos
Nova partição:
A variável básica se anula (sair da base)
A variável não-básica torna-se positiva (entrar na base)
Bx̂
kNx̂
0y/y
x̂min
y
x̂ˆ
i
i
BB i
kNB
]a,,a,,[aBBBB m1
]a,,a,,[a NNNN mnk1
]a,,a,,[aB́BNB mk1
]a,,a,,[aN´NBN mn1
Método Simplex - comentários
• Há uma versão do método usando tabelas,conhecida como “Tableau”.
• Estratégias para determinar partição inicial (Fase I).
• Algoritmo é finito, porém pode ocorrer ciclagem.
• Na análise de pior caso (complexidade dealgoritmo) é um algoritmo simplex pode ter umnúmero exponencial de iterações.
• Na prática, têm obtido sucesso na resolução deproblemas de programação linear.
• Utiliza três sistemas lineares que devem serresolvidos de forma eficiente (LU).
Método Simplex – Exemplo
Considere o problema de otimização linear:
Introduzindo variáveis de folga, temos:
Exemplo
Os coeficientes das variáveis de folga formam uma matriz identidade:
Fase II:
Fase I:
Exemplo
Exemplo
B N
Exemplo
Exercício: continue até obter a solução ótima.
Método Simplex em Tabelas
Maneira prática de se trabalhar
Interessante para a compreensão do método
Não é eficiente computacionalmente
◦ Simplex revisado
Método Simplex em Tabelas
Os parâmetros necessários para resolução aparecem na tabela abaixo:
Exemplo
Na forma padrão, temos:
Matriz básica. No método por tabelas, será sempre a matriz identidade
Se todos os valores forem positivo A solução é ótima, cc, a variável mais negativa é candidata a entrar na base
Variável básica: custo relativo é zero! Se não for , então temos q torna-lo nulo.
Exemplo
Sabemos que podemos escrever cada variável básica em função das demais variáveis (no caso, das variáveis não-básicas, x1 e x2). Como B = I, isso é feito muito facilmente:
Basta atribuir valores às variáveis não-básicas x1 e x2 para obter uma solução que satisfaça Ax = b.
Exemplo
• Se fixarmos as variáveis não-básicas x1 e x2 em seus limites, x1 = 0 e x2 = 0, então as demais variáveis têm como valores x3 = 6, x4 = 4, x5 = 4 e produzem uma solução factível para o problema que corresponde a um vértice da região factível.
• Em uma tabela simplex, a função objetivo é sempre escrita em termos das variáveis não-básicas: f = – x1 – 2x2
Exemplo
Aumentando x1 ou x2, a função objetivo diminui. Portanto, a solução básica:
(x1 = 0, x2 = 0, x3 = 6, x4 = 4 e x5 = 4 )
não é ótima.
Aumentar x2 e mantendo x1 = 0 , a função objetivo diminui com uma taxa de variação –2 e quanto maior o valor de x2, menor será o valor de f.
Ao aumentar x2, o que acontece com as variáveis básicas ?
Exemplo
Se x2 cresce e x1 = 0 os valores das variáveis básicas podem aumentar ou diminuir, entretanto, deve-se preservar a não-negatividade das variáveis:
Devemos nos preocupar apenas com x3 e x5
Exemplo – Solução ilimitada
Se no caso anterior tivéssemos:
Solução ilimitada!!
Exemplo
Aumentando o valor de x2 e mantendo x1 = 0 os valores das variáveis básicas podem aumentar ou diminuir. Para preservar a não-negatividade das variáveis:
x2 6
x2 4
Para x2 = 4, x5 se anula. Temos uma nova solução:
variáveis não-básicas: x1 = 0, x2 = 4 entra na base
variáveis básicas: x3 = 2, x4 = 8 e x5 = 0 sai da base
Valor da f.o.: f = 0 – 2 x2 = - 8.
Partição anterior: B = [3, 4, 5] NB = [1, 2]Nova partição: B = [3, 4, 2] NB = [1, 5]
Exemplo
Nova base: B = [3, 4, 2] NB = [1, 5]
As colunas da base devem formar uma identidade
entra na base
sai da base
Efetuar um pivotamento!!!
Exemplo
Nova base: B = [3, 4, 2] NB = [1, 5]
As colunas da base devem formar uma identidade
entra na base
sai da base pivô Restrição atingida
Exemplo
Tabela simplex – iteração 1. Variáveis básicas: x3, x4, x2
Os coeficientes das variáveis não básicas x1 e x5 são chamados de custos relativos
Exemplo
Aumentando o valor da variável x1 e x5 = 0 diminui o valor da f. o. diminui com uma taxa de variação –3.
Equações do sistema com x5 = 0x1 1
Exemplo
Enquanto a variável não-básica x1 = 1, a variável x3 se anula.
Temos uma nova solução básica :
variáveis não-básicas: x1 = 1, x5 = 0 entra na base
variáveis básicas: x3 = 0, x4 = 8 e x2 = 5 sai da base
• Redefinindo as variáveis:
variáveis não-básicas: x3 = 0, x5 = 0
variáveis básicas: x1 = 1, x4 = 8 e x2 = 5
Partição anterior: B = [3, 4, 2] NB = [1, 5]Nova partição: B = [1, 4, 2] NB = [3, 5]
Exemplo
entra na base
sai da base
Nova base: B = [1, 4, 2] NB = [3, 5]
As colunas da base devem formar uma identidade
Exemplo
entra na base
sai da base
Nova base: B = [1, 4, 2] NB = [3, 5]
As colunas da base devem formar uma identidade
pivô
Efetuar um pivotamento!!!
Exemplo
Com essa tabela:
𝟏
𝟐
Exemplo
Como essa tabela: (x3, x5) = (0, 0), (x1, x4,x2 ) = (1, 8, 5) (solução básica) e f = -11.
Atribuindo-se valores positivos a x3 ou x5) a função objetivo cresce, ou seja, f(x) ≥ -11 para qualquer solução factível x, o que significa que a solução atual é ótima.
Todos os custos relativos são não-negativos condição de otimalidade foi verificada!!
Representação gráfica
Algoritmo Simplex (em tabelas)
Base Inicial
Para que o método simplex possa ser aplicado, precisamos de uma solução básica factível inicial (Fase I)
Até agora supomos que sabemos facilmente encontrar uma base factível inicial. Isso é verdade, quando todas as restrições forem de ≤. Por exemplo:
Após a introdução das variáveis de folga:
Base Inicial
A matriz dos coeficientes das restrições agora é dada por [A I] e uma partição básica factível é dada por:
Base Inicial
Suponha agora que as restrições são, originalmente, de igualdade:
Precisamos encontrar uma partição básica factível de A, isto é, uma partição da forma A = [B N] tal que existe B-1 e xB = B-1b 0
Quantas partições existem?
Seja A10 x 20
Precisamos identificar dez colunas L.I. de A para formar B, e a solução do sistema BxB = b, deve satisfazer xB ≥ 0.
Procedimento possível:
◦ 1. Escolher dez (m) colunas e resolver o sistema.
◦ 2. Verificar se xB ≥ 0.
◦ 3. Se não, escolher outras dez colunas e retornar ao
passo 2.
Quantas partições existem?
Se formos testar partição a partição, quantos testes
temos que fazer ?
Impraticável para problemas grandes!
Método das duas fases
As variáveis de folga foram úteis para a classe de problemas:
Se não for o caso, podemos introduzir novas variáveis como se fossem de folga:
equivalente a:
uma partição [I N] em que as variáveis de folga começam como as variáveis básicas.
Fase I
Obviamente, essas variáveis não podem aparecer na solução final (pois elas não existem - são variáveis artificiais).
Método duas-fases: resolvemos primeiro um problema:
Variáveis artificiais. Não fazem parte do problema original e devem ser eliminadas
Fase I
Se conseguimos uma solução de custo zero para o problema acima (fase I), a base final não contém nenhuma variável artificial (por quê ?)
Neste caso, a base final do problema da fase I é uma base inicial para o problema real (fase II).
Fase I
E se não conseguimos uma solução de custo zero ? (Isto é, na solução ótima da fase I, existe uma variável artificial na base).
(Não existe solução factível para o nosso problema)
Exemplo
Forma padrão
Qual o problema da Fase I a resolver? Caso A: introduzimos uma variável artificial pra
cada restrição:
e minimizamos o custo destas variáveis.
Qual o problema da Fase I a resolver? Caso B: note que x4 já fornece uma coluna da
matriz identidade. Assim, a rigor, precisamos apenas de uma variável artificial
e minimizamos o custo destas variáveis.
Fase I
Uma vez encontrada uma solução básica em que todas as variáveis artificiais são não-básicas, temos uma base formada por colunas originais e, portanto, podemos aplicar o método simplex para resolver o problema original a partir dessa base.
Método Simplex duas fases:
◦ Fase I – resolve o problema artificial.
◦ Fase II – resolve o problema original, a partir da base factível obtida na Fase I.
Exemplo• Considere o problema:
E o problema artificial definido no caso B em que apenas uma variável artificial é introduzida:
Exemplo• Para resolver o problema artificial, aplicamos o método
simplex:
Exemplo
Exemplo
Exemplo
• Fase II: Aplicar o método simplex a partir da base obtida na Fase I. A variável artificial é descartada e os índices não-básicos são redefinidos: N1 = 4, N2 = 3.
Base formada pro variáveis originais do problema. A variável artificial x5 torna-se não básica. Fim da Fase I.
Método M-grande
Em vez de resolver um problema auxiliar (Fase I) para encontrar a base, simplesmente penalizamos as variáveis artificiais no problema original (Fase II), de modo a garantir que elas sejam nulas na solução ótima. Um objetivo alternativo para o problema artificial é:
Método M-grande
Valor suficientemente grande para garantir que x5
não aparece na solução ótima.