os desafios da escola pÚblica paranaense na … · a matemática gera hábitos de autonomia,...

Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

Ficha para identificação da Produção Didático-pedagógica – Turma 2013

Título: Estudos dos Métodos Históricos de Resolução de Equações do Segundo Grau

Autor: Roseli Aparecida Flóes

Disciplina/Área: Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização:

Colégio Estadual do Jardim Independência

Município da escola: Sarandi - PR

Núcleo Regional de Educação: Maringá - PR

Professor Orientador: Lucieli M. Trivizoli

Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual de Maringá

Resumo:

Este trabalho se propõe a apresentar uma atividade didática que aborde os métodos de resolução de equações de segundo grau – um conteúdo histórico e sempre presente nos programas curriculares – buscando superar o ensino tradicional do tema com atividades desenvolvidas por meio da história da matemática e de outros materiais e recursos seguindo uma abordagem cultural e histórica a fim de que os alunos se sintam motivados e consigam dar significado a construção e aplicação das resoluções de equação de segundo grau. O aluno deve conhecer e fazer o uso de diversos métodos históricos utilizados para resolver situações que envolviam equações de segundo grau até chegar ao entendimento e generalização da resolução de qualquer equação quadrática, e ainda desenvolver outros aspectos de interesse pela matemática, dando significado ao seu aprendizado.

Palavras-chave Equação de Segundo Grau; Resolução; História

da Matemática.

Formato do Material Didático: Unidade Didática

Público: Alunos do 1º Ano do Ensino Médio

INTRODUÇÃO

Esta Unidade Didática se propõe a apresentar atividades que abordem os

métodos de resolução de equações de segundo grau - um conteúdo histórico e

sempre presente nos programas curriculares - buscando superar o ensino

tradicional do tema com atividades desenvolvidas por meio da história da

matemática e de outros materiais, a fim de que os alunos se sintam motivados e

consigam dar significado a construção e aplicação das resoluções de equação de

segundo grau.

A álgebra faz parte do conhecimento escolar, sendo um conceito muito

abrangente e possuindo uma linguagem permeada por convenções diversas de

modo que o conhecimento algébrico não pode ser concebido pela simples

manipulação dos conteúdos abordados isoladamente. As Diretrizes Curriculares

da Educação Básica da Secretaria de Estado da Educação do Paraná (PARANÁ,

2008, p.51) reconhecem que a álgebra é um campo de conhecimento matemático

que se formou sob contribuições de diversas culturas, egípcia, babilônica, grega,

chinesa, hindu, arábica e da cultura europeia renascentista.

No contexto matemático é necessário que a álgebra seja compreendida

de forma ampla sendo abordadas situações em que ela possa ser explorada.

A aprendizagem da Matemática consiste em criar estratégias que possibilitam ao aluno atribuir sentido e construir significado às idéias matemáticas de modo a tornar-se capaz de estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar. Desse modo, supera o ensino baseado apenas em desenvolver habilidades, como calcular e resolver problemas ou fixar conceitos pela memorização ou listas de exercícios (PARANÁ, 2008 p.45).

Os PCN + (BRASIL, 1999, p.122) apontam que, com relação à álgebra, o

estudo de equações polinomiais e sistemas de equações devem receber um

tratamento que enfatize sua importância cultural, de modo que estenda os

conhecimentos que os alunos possuem sobre a resolução de equação de primeiro

e de segundo graus, sistemas de duas equações, e que sejam capazes de aplicar

esse estudo à resolução de problemas e em outras áreas do conhecimento.

Como processo fundamental do ensino é necessário que o aluno estude,

interprete, aplique e desenvolva métodos de resolução para situações que

envolvem equação de 2º grau e entenda sua lógica. O aluno deve conhecer e

fazer o uso de métodos até chegar ao entendimento e generalização da resolução

de qualquer equação quadrática, e ainda desenvolver outros aspectos de

interesse pela matemática, dando significado ao seu aprendizado.

É esse o sentido da Matemática no Ensino Médio: os conhecimentos

matemáticos também devem agregar valor nas decisões na vida pessoal e

profissional do estudante. A Matemática gera hábitos de autonomia, capacidade,

confiança, criatividade, respeito entre os alunos e, dentro disto, é necessário que

eles percebam regras e linguagens da própria Matemática. É por isso que o

ensino da matemática deve seguir uma abordagem cultural, histórica, real e

significativa para os alunos. A história da Equação do Segundo Grau poderá

orientar os alunos e ajudá-los na melhor compreensão do conteúdo e poderá

ajudá-los a desenvolver um pensamento crítico sobre o assunto.

OBJETIVOS

Objetivo Geral:

Desenvolver os métodos de resolução de equações de segundo grau por

meio dos métodos históricos apresentados ao longo da história da matemática.

Objetivos Específicos:

- Identificar diferentes métodos de resolução da equação de segundo grau.

- Conhecer aspectos da história da matemática por meio do estudo da

história da equação de segundo grau.

- Aplicar os processos de resolução da equação de segundo grau em

situações-problemas.

- Utilizar métodos geométricos e algébricos para a resolução de equações

do segundo grau.

UNIDADE DIDÁTICA

ATIVIDADE 1: TRABALHANDO VÍDEOS

Objetivos: Conhecer a história da matemática desde o Antigo Egito até os dias

atuais.

Duração: 5 horas/aula.

Para iniciar a discussão sobre a história da matemática e a contribuição de

diversas culturas para a construção deste conhecimento, vamos trabalhar com

dois vídeos:

*A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA-(Ep.1) A LINGUAGEM UNIVERSAL [BBC]

Disponível em <http://www.youtube.com/watch?v=_XBJBG3vKS8>

*A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA-(Ep.2) O GÊNIO DO ORIENTE [BBC]

Disponível em <http://www.youtube.com/watch?v=ORVQ7Eym_qo>

Antes da apresentação dos vídeos, faremos uma breve introdução com as

principais ideias que serão abordadas. Para nortear a atenção dos estudantes

para determinados aspectos, mostrando a importância no momento de assisti-los,

indicaremos algumas questões:

1) Como os egípcios ordenavam o mundo à sua volta?

2) Como foi a invenção do sistema numérico e de que maneira registravam

esses números?

3) Qual foi o mais importante papiro que sobreviveu naquela época? O que

era mostrado neste papiro?

4) Onde os escribas registravam seus números e suas letras?

5) Como era o sistema de numeração dos babilônios?

6) De que modo os babilônios usavam seu calendário?

7) Atenção ao problema que esta escrito no manual de argila.

8) Qual foi a parte da matemática que os gregos foram grandes

conhecedores?

9) Qual foi a mulher matemática entre os gregos?

10) O que Pitágoras fez em relação aos números irracionais?

11) Quais os sólidos de Platão apresentados no vídeo?

12) Qual foi a obra escrita por Euclides de Alexandria?

13) Como era o manual dos chineses? O que continha nele?

14) Os chineses tinham um tema central de problemas, qual?

15) Qual o número que os indianos apresentariam ao mundo?

16) De que modo surgiram os números negativos?

17) Quais foram as incógnitas que os indianos encontraram?

18) O que somos capazes de fazer com a Álgebra criada pelos árabes?

19) Cite os matemáticos que faziam parte da Europa?

http://www.youtube.com/watch?v=_XBJBG3vKS8

http://www.youtube.com/watch?v=ORVQ7Eym_qo

20) Se necessário, faremos interrupções no decorrer da apresentação dos

vídeos para fazer comentário e direcionar a realização das atividades.

ATIVIDADE 2: IDENTIFICANDO EQUAÇÕES

Objetivos: Reconhecer as equações do 2º grau, identificando seus elementos,

coeficientes e incógnitas.

Conhecimentos prévios: Linguagem algébrica, expressões algébricas.

Duração: 2 hora/aula.

Iniciaremos com a apresentação do problema:

Alegram-se os macacos divididos em dois bandos: sua oitava parte ao

quadrado no bosque brincava. Com alegres gritos, doze gritando no campo

estão. Sabes quantos macacos há na manada total?

Encontre uma equação que satisfaça esta situação-problema.

Espera-se que os alunos consigam interpretar o problema, identificando o que

precisam descobrir (quantidade total de macacos) e que consigam elaborar uma

expressão algébrica que traduza o problema para a linguagem matemática.

A seguir, formalizaremos a definição: Equação é uma sentença matemática

formada por uma igualdade composta por expressões matemáticas contendo ao

menos uma incógnita. Cada uma das igualdades contém coeficientes e

incógnitas. Os coeficientes são os valores determinados e as incógnitas são os

valores desconhecidos.

E então, trabalharemos o problema:

O triângulo e o quadrado têm o mesmo perímetro. Determine a equação

que corresponde a essa situação.

2x +3

3x x+3

3x 4x - 1

Espera-se que os alunos encontrem uma equação que satisfaça esse problema.

Em seguida, daremos a continuidade da discussão, com as indicações:

a) Identifique os coeficientes e a incógnita dessas equações. b) Qual o nome dado a estas equações? c) Dê três exemplos de equações do 2º grau.

ATIVIDADE 3: PESQUISA DE CONHECIMENTOS HISTÓRICOS SOBRE OS

EGÍPCIOS

Objetivo: Conhecer a história da matemática egípcia via contextos históricos.


Solicitaremos aos alunos que façam uma pesquisa no laboratório de informática

(ou como atividade extraclasse) tentando responder as seguintes questões sobre

a história da matemática no Egito Antigo.

1-Onde e quando se desenvolveu a cultura egípcia?

2-Como e porque eram construídas as pirâmides do Antigo Egito?

3-Qual a necessidade que um antigo faraó de nome Sesóstris (3000a.C)

repartiu as terras preciosas entre os agricultores daquela época?

4-Como eram os símbolos de contagem dos homens desse período?

5-Quais foram as necessidades que fizeram com que os egípcios

desenvolvessem a escrita?

6-Como eram essas escritas dos povos egípcios?

7-Como surgiram os números? A matemática de hoje, o cálculo e a

álgebra?

8- Qual era o sistema de numeração?

9-Existiam dois importantes papiros de informações à matemática egípcia

antiga. Quais foram? Suas datas? O que continham escritos neles? Onde

se encontram hoje?

10-Sobre o que falavam os problemas contidos nos dois papiros?

11-Qual era a solução para o problema que estava descrito no papiro

Rhind?

Depois da pesquisa realizada, faremos um momento para apresentação oral

sobre as respostas das questões propostas acima. Espera-se que os alunos

comentem sobre as informações encontradas verificando as ideias parecidas, os

dados diferenciados e possíveis curiosidades.

ATIVIDADE 4: FALSA POSIÇÃO

Objetivo: Resolver equações do 2º grau incompletas, conhecer o método de

resolução dos egípcios para este tipo de equação.

Conhecimentos prévios: Produtos notáveis, M.M.C., radiciação.


Iniciaremos retomando as ideias sobre alguns papiros que foram escritos no séc.

XVII a.C. No antigo Egito existiram o famoso papiro de Rhind e o papiro de

Moscou, onde haviam equações que envolviam problemas históricos do tipo ax2 =

b. Esses documentos mostram que os egípcios tinham um método para resolver

essas equações que era chamado de “regra da falsa posição”.

Uma parte do papiro Rhind. Encontra-se no Museu Britânico, em Londres.

Disponível em <www.matematica.br/historia/prhind.html>

Reprodução do problema 14 do papiro Moscou mostrando o problema do volume de um tronco de pirâmide quadrada, com a transcrição hieroglífica. Disponível em

<www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/pmoscou.html>.

A regra da falsa posição é assim chamada, não porque ela ensina qualquer

fraude ou falsidade, mas por que, por meio de números tomados à sorte, ensina a

encontrar o número verdadeiro que é pedido. (David Eugene Smith, History of

Mathematics, vol. II, p.441).

Vamos apresentar um exemplo, tomando um dos problemas envolvendo equação

do 2º grau que está presente no papiro de Moscou:

Um retângulo tem área 12. Sua largura é

do comprimento +

do

comprimento. Determine os lados do retângulo.

Vamos resolver pelo método da regra da falsa posição.

Inicialmente, vamos traduzir o problema para a linguagem algébrica, que será:

-

Por meio de números tomados à sorte, vamos tentar encontrar o número

verdadeiro:

1ª Tentativa: C = 2 e L = 3

Substituindo:

2ª Tentativa: C = 4 e L = 3

Em seguida, vamos abordar uma possível resolução na forma atual (método da

substituição)

Substituindo L na equação (I).

C

C

C

C2 = 12

3C2 = 48

C2 = 16

C =

C = 4 Portanto C = 4 e L = 3, que são os lados do retângulo.

Sabendo o método que os Egípcios usavam, vamos tentar resolver outros

problemas da mesma maneira. Existem outros problemas semelhantes e que

foram trabalhados por outros matemáticos no decorrer da história.

Um desses matemáticos foi Leonhard Euler (1707-1778).

Leonhard Euler nasceu em 15 de abril de 1707, e morreu em 18 de setembro de 1783.

Foi o matemático mais prolífico na história. Os 866 livros e artigos dele representam

aproximadamente um terço do corpo inteiro de pesquisa em matemática, teorias físicas, e

engenharia mecânica publicadas entre 1726 e 1800. Em matemática pura, ele integrou o

cálculo diferencial de Leibniz e o método de Newton em análise matemática; refinou a

noção de uma FUNÇÃO; criou muitas notações matemáticas comuns, incluindo o e, i, o

símbolo do pi e o símbolo do sigma; e pôs a fundação para a teoria de funções especiais,

introduzindo as FUNÇÕES TRANSCEDENTAIS beta e gamma.

Euler nasceu em Basel, Suíça. Seu pai, um pastor, queria que o filho seguisse os passos

dele e o enviou para a Universidade de Basel para prepará-lo para o ministério, mas

geometria se tornou logo o assunto favorito dele. Pela intercessão de Bernoulli, Euler

obteve o consentimento de seu pai para mudar para a matemática. Depois de não

conseguir uma posição de físico em Basel em 1726, ele se uniu a St. Academia de Ciência

de Petersburg em 1727. Quando foram retidos capitais da academia, ele serviu como

médico-tenente na marinha russa de 1727 a 1730. Ele se tornou o professor de Física na

academia em 1730 e professor de Matemática em 1733, quando ele casou e deixou a

casa de Bernoulli. A reputação dele cresceu depois da publicação de muitos artigos e o

seu livro Mechanica (1736-37), que apresentou extensivamente pela primeira vez

dinâmica Newtoniana na forma de análise matemática.

Em 1741, Euler se juntou à Academia de Ciência de Berlim, onde ele permaneceu durante

25 anos. Em 1744 ele se tornou o diretor da seção de matemática da academia. Durante a

permanência dele em Berlim, ele escreveu mais de 200 artigos, três livros em análise

matemática, e uma popularização científica, Cartas para Princesa de Alemanha (3 vols.,

1768-72). Em 1755 ele foi eleito um membro estrangeiro da Academia de Ciência de

Paris; durante sua carreira ele recebeu 12 desses prêmios bienais prestigiosos.

Em 1766, Euler voltou à Rússia, depois de Catherine a Grande fazer-lhe uma oferta

generosa. Na ocasião, Euler estava tendo diferenças com Frederick o Grande em cima da

liberdade acadêmica e outros assuntos. Frederick ficou enfurecido na partida dele e foi

convidado Lagrange a substituí-lo. Na Rússia, Euler se tornou quase completamente cego

depois de uma operação de catarata, mas pôde continuar com sua pesquisa e

escrevendo. Ele teve uma memória prodigiosa e pôde ditar tratados em óticas, álgebra, e

movimento lunar. Em sua morte em 1783, ele deixou uma reserva vasta de artigos. A

Academia de St.Petersburg continuou a publicá-los durante os próximos 50 anos.

Biografia disponível em <www.somatematica.com.br/biografia/euler.php>.

Agora que os alunos conheceram quem foi Euler, trabalharemos com o método

da falsa posição em dois exercícios que publicou em 1770, em São Petersburg.

1-Qual o número cuja metade multiplicada por sua terça parte resulta em

24?

2-É procurado um número com as seguintes características: Se

adicionarmos 5 a ele e se subtrairmos 5 dele, o produto da soma pela

diferença é igual a 96.


BABILÔNIOS

Objetivos: Conhecer a matemática dos babilônios pela história.




a história da matemática na Babilônia (antiga Mesopotâmia).

1-Onde é situada a Babilônia no séc.IX a.C.?

2-Quais os conhecimentos que o povo babilônico era avançado para

aquela época?

3-Onde os sumérios escreviam a escrita que desenvolveram em torno do

quarto milênio a.C.?

4-Como eram os tabletes onde faziam suas escritas?

5-Quais as escritas que estavam nas tábuas de argila?

6-Como era o sistema de numeração dos babilônios?

7-Em quais situações o sistema numérico sexagesimal era usado pelos

babilônios?

8-Qual o Código de lei criado por Hamurabi (1792-1750 a.C.)?

9-Como os babilônios resolviam as equações quadráticas por meio da

álgebra?

Depois da pesquisa realizada, faremos um momento para uma apresentação

verbal sobre as respostas das questões propostas acima. Espera-se que os

alunos comentem sobre as informações encontradas verificando as ideias

parecidas, os dados diferenciados e possíveis curiosidades.

ATIVIDADE 6: CONHECENDO A FÓRMULA RESOLUTIVA DOS BABILÔNIOS.

Objetivos: Resolver equações do 2º grau completa com o conhecimento

adquirido dos babilônios.

Conhecimentos prévios: Área, radiciação, interpretação.


Iniciaremos retomando a pesquisa feita sobre os Babilônios, e que deixaram seus

tabletes de escrita, nas quais já se observava que resolviam equações sem o uso

de fórmulas, pois tinham seu método próprio de resolução, que assemelham ao

processo algébrico atual.

Este problema está presente em tabletes babilônicos (Problema 1, BM 13901).

Eu somei a área e o lado de um quadrado e o resultado é

.

Babilônios Forma algébrica

moderna

*Eu somei a área e o lado de um quadrado e o x2 + x =

resultado é

*Tome o coeficiente = 1 b = 1

*Divida o coeficiente pela metade, o resultado é

*Multiplique

e o resultado é

2 =

2 =

*A

acrescente

e o resultado é 1

2 + c =

= 1

*A raiz quadrada de 1 é 1

= = 1

*

que foi multiplicado, deve ser subtraído de 1, e

resultado é

-

= 1 -

=

Este é o valor do lado do quadrado. x =

-

Agora que os alunos conheceram como eram os métodos dos babilônicos, eles

poderão trabalhar com a seguinte situação que é o (Problema 2, BM 13901)

presente em tabletes babilônicos:

Eu subtraí o lado de um quadrado de sua área e o resultado é 870.

1- Resolva a equação usando o método babilônico.

2- Resolva a equação usando a forma algébrica moderna.


GREGOS

Objetivos: Desenvolver a capacidade de investigar a história para entender

situações matemáticas.




a história da matemática na Grécia.

1-Quais os pensadores pré-socráticos na Antiga Grécia?

2-Quantos teoremas na matemática Tales estabeleceu na história da

antiguidade?

3-Represente como eram os números figurados usados pelos pitagóricos?

4-Pesquise e leia sobre a Evolução da Matemática na Grécia. Relatar

como foi.

5-Escreva sobre a Teoria dos Números que foi identificada na Grécia e que

entendemos hoje.

6-Quem foi Euclides de Alexandria?

7-Qual a contribuição de Diofanto de Alexandria na história da matemática?

Depois da pesquisa realizada, faremos um momento para uma análise oral sobre

as respostas das questões propostas acima. Espera-se que os alunos comentem

sobre as informações encontradas verificando as ideias parecidas, os dados

diferenciados e possíveis curiosidades.

ATIVIDADE 8: CHEGANDO À FÓRMULA DE DIOFANTO COM A EQUAÇÃO

ax2 + bx = c.

Objetivos: Identificar quando uma situação problema pode ser traduzida para a

linguagem simbólica por meio da equação do 2º grau.


Iniciaremos esta atividade com a apresentação de um problema que está

presente em tabletes babilônicos, traduzindo-a para uma linguagem matemática.

Eu somei 11 áreas com 7 lados de um quadrado e obtive 6

. (Problema 7,

BM 13901)

Resolução:

11x2 + 7x = 6

11x2 + 7x =

.

*Escreva 7 e 11; *Escreva b e a;

*Multiplique 11 por

que é

; *Multiplique a por c = ac;

*Divida 7 em duas partes que é

; *Divida b em duas partes =

;

*Multiplique

ou ele ao quadrado:

; *Multiplique

por

=

;

*Some

=

= 81; *Some

com ac ;

*Ache a raiz quadrada de 81; *Ache a

*Isso é a raiz : 9;

*Subtraia

de 9 =

; *Subtraia

-

*O lado do quadrado é

.

Sabendo o método que Diofanto usava, vamos tentar resolver outro problema da

mesma maneira. Existem outros problemas semelhantes e que foram trabalhados

por outros matemáticos no decorrer da história.

Resolva este problema escrito pelo matemático Leonhard Euler (1707-1778).

Procure dois números de forma que um seja o dobro do outro, e que a soma

adicionada ao produto de ambos seja 90.

Depois de resolvido o problema por meio da linguagem matemática, utilizaremos

a fórmula encontrada no exemplo acima.


ÁRABES

Objetivos: Compreender o desenvolvimento histórico da matemática para

formação de conceitos.




a história da matemática na Arábia.

1-Onde está localizada a Arábia? Como estava dividida até o fim do

séc.VI?

2-Como funcionava o comércio árabe?

3-Qual a religião da Arábia?

4-Quais eram as principais realizações culturais dos árabes?

5-Qual foi a matemática que herdamos dos árabes?

6-Pesquise sobre Al-Khwarizmi e as equações do 2º grau.

7- Quem foi Brahmagupta?

Depois da pesquisa realizada, faremos um momento para uma apresentação

sobre as respostas das questões propostas acima. Espera-se que os alunos

comentem sobre as informações encontradas verificando as ideias parecidas, os

dados diferenciados e possíveis curiosidades.

ATIVIDADE 10: COMPLETANDO QUADRADOS-TRINÔMIO QUADRADO

PERFEITO

Objetivos: Resolver equações do 2º grau, com o conhecimento adquirido por um

antigo escriba da Mesopotâmia.

Conhecimentos prévios: Potenciação, radiciação, trinômio quadrado perfeito.


Iniciaremos esta atividade com o seguinte problema do contador e desconhecido

escriba da Babilônia que, há aproximadamente 4000 anos, com um pequeno

estilete, inscreveu numa tabuleta de barro:

Qual é o lado do quadrado, se a área menos o dobro do lado é vinte e

quatro?

x2 - 2x = 24 (Equação que traduz os dados do problema)

Para resolver a equação, transformamos o primeiro membro num trinômio

quadrado perfeito:

x2 - 2x +

= 24 +

x2 - bx +

= c +

x2 - 2x +

= 24 +

x2 - 2x + 1 = 24 + 1

(x - 1)2 = 24 + 1 →

= c +

Usamos a radiciação, que é a operação inversa da potenciação:

x - 1 = → x -

=

x = + 1

x =

→ x =

+

Observando o conhecimento que os alunos tiveram sobre o método que o escriba

resolveu o problema, iniciaremos a atividade com estes problemas completando o

quadrado de uma fórmula quadrática que se pode fatorar e que tenha coeficientes

numéricos:

1-Um beduíno levou suas cabras à feira para vender. Todo o lote custaria

180 moedas. No entanto, 2 cabras morreram durante a viagem. Para não ter

prejuízo ele vendeu as cabras restantes por 3 moedas a mais cada uma.

Quantas eram as cabras?

2-Qual é o lado de um terreno quadrado, se a área menos o lado é 12?

Agora usando a fórmula encontrada pelos babilônios, resolva os mesmos

problemas.

ATIVIDADE 11: COMPLETANDO QUADRADOS

Objetivos: Completar o quadrado da equação do 2º grau pelo método geométrico

e pelo método algébrico.

-

Conhecimentos prévios: Equação do 1º grau, potência, radiciação e números

decimais.


Para iniciarmos a atividade, veremos como o matemático Al-Khwarizmi (ca.780-

850), teve figura principal no mundo Árabe e teve ligações com os povos hindus.

Foi membro da “casa da sabedoria” em Bagdá.

Ele não usava números negativos e não usava símbolos.

Al-Khwarizmi estudou a álgebra geométrica de Euclides para resolver as

equações do 2º grau.

Al-Khwarizmi classifica as equações quadráticas em seis formas:

1. Quadrados iguais a raízes ax2 = bx

2. Quadrados iguais a números ax2 = c

3. Raízes iguais a números bx = c

4. Quadrados mais raízes iguais a números ax2 + bx = c

5. Quadrados mais números iguais a raízes ax2 + c = bx

6. Raízes mais números iguais a quadrados bx + c = ax2.

O seguinte exercício é o tipo do grupo de equações do 4º tipo de Al-Khwarizmi.

Um quadrado e dez raízes do mesmo equivalem a 39 denares, ou seja,

qual deve ser o quadrado que, quando aumentado de dez de suas raízes, é

equivalente a trinta e nove?

Equação: x2 + 10x = 39

Solução dada por Al-Khwarizmi:

Tome a metade do número de raízes, obtendo cinco. Isto é multiplicado por

si mesmo, o produto será vinte e cinco. Adicione isto a trinta e nove, a

soma é sessenta e quatro. Tome então a raiz quadrada disto, que é igual a

oito, e subtraia disto a metade do número de raízes que é cinco. A

diferença é três. Esta é a raiz do quadrado procurado, e o próprio quadrado

é nove.

Solução geométrica:

1. Desenhou um quadrado de lado x, sua área é o termo x2.

x

x

2. A área de um retângulo 10 e x, é o termo 10x, e dividiu em quatro retângulos de

áreas iguais.

x

10 2,5

3. Aplicava cada um dos novos retângulos sobre os lados do quadrado de área

x2.

2,5x

2,5x x2 2,5x

2,5x

A área da figura formada é igual a x2 + 4.(2,5x) = x2 + 10x

Como x2 + 10x = 39, a área dessa figura é 39.

4. Ele completou o quadrado da figura anterior, assim a área do quadrado é igual

a:

2,5

2,5

x x2

39 + 4.(2,5.2,5) = 39 + 25 = 64, o lado do quadrado é raiz quadrada de 64 = 8.

Assim Al-Khwarizmi deduzia a raiz da equação:

2,5 + x + 2,5 = 8

x + 5 = 8

x = 8 – 5 → x = 3

A raiz se 64 é ± 8.

Então x + 5 = ± 8, logo x = 3 e x = -13.

Depois da solução da equação dada por Al-Khwarizmi, da linguagem escrita e

geométrica, podemos resolver por estes dois métodos achando a raiz positiva do

problema que foi a contribuição de Leonhard Euler(1707-1778) no mundo

matemático.

Eu tenho dois números sendo que um deles é 6 unidades maior que o

outro e o produto deles é 91. Quais são estes números?

1) Os resultados foram os mesmos?

2) Fazer a solução geométrica em papel cartolina.

A construção da solução em papel cartolina será feita em grupos para garantir o

entendimento das ideias e para formalização do conceito.

ATIVIDADE 12: CONHECENDO O MATEMÁTICO HINDU BHÃSKARA.

Objetivos: Pesquisar e conhecer a história de Bhãskara para compreender como

resolvemos hoje a equação do 2º grau de acordo com os métodos apresentados.

Conhecimentos prévios: Equação do 2º grau estudado no 9º ano.


Para iniciarmos esta atividade, faremos uma pesquisa sobre a história da

matemática hindu tentando explorar informações que tratem da existência de dois

personagens de nome Bhãskara.

1-Pesquise quem foi Bhãskara I e Bhãskara II.

2-Foi Bhãskara que inventou a fórmula resolutiva da equação do 2º grau?

3-Apresente a dedução da fórmula resolutiva da equação do 2º grau.

4-Alguns matemáticos contribuíram para a dedução da fórmula: pesquise

quais foram.

Encontrada a fórmula geral da equação, resolva este problema:

As pessoas que participavam de um banquete trocaram apertos de mãos.

Um dos serviçais notou que foram 435 cumprimentos e que

dos

convidados eram mulheres. Quantos homens estavam presentes?

Para tentar um entendimento do enunciado do problema, os alunos poderão

trocar apertos de mãos, e então, em grupos, tentar buscar uma possível solução.

REFERÊNCIAS

BBC. A Linguagem Universal. Disponível em: <www.youtube.com/watch?v=_XBJBG3vKS8>. Acesso em: 02 out. 2013.

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