os desafios da escola pÚblica paranaense na … · os conteúdos, por sua vez, pouco têm a ver...

Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Produções Didático-Pedagógicas

PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA

TURMA - PDE/2013

Uso dos Sólidos Geométricos na Perspectiva da Educação Matemática Realística

Autor Marcos Rogerio Miranda

Disciplina/Área (ingresso no PDE)

Matemática

Escola de Implementação

Colégio Estadual Humberto de Alencar Castelo Branco

Município da escola Cascavel

Núcleo Regional de Educação

Cascavel

Professora Orientadora

Andréia Büttner Ciani

Instituição de Ensino Superior

UNIOESTE

Relação Interdisciplinar

Não há interdisciplinaridade direta.

Resumo

Nossa experiência em sala de aulas de mais de 10 anos nos apontou para a necessidade dos estudantes estarem em contato com situações que eles pudessem imaginar e se sentissem motivados a interagir a partir delas, ou seja, que eles se sentissem capazes de resolvê-las. A revisão bibliográfica nos indicou que para atacar esta problemática é necessário apresentar a eles problemas de contexto para que seja possível a matematização a partir deles. Acreditamos que devido à falta de possibilidades de matematização escolares estes estudantes, em sua grande maioria, já nos chegam com uma autoestima baixa, por não acreditarem mais em seu potencial na vida escolar, até desconsiderando uma futura vida acadêmica. A fim de construir problemas de contexto tomamos o material disponibilizado recentemente às escolas de Ensino Médio, os Sólidos Geométricos em Acrílico. Considerando que a maioria dos professores de Matemática ainda não explora o potencial deste material em sala de aula, resolvemos desenvolver nosso trabalho apoiados neste material para criar contextos viáveis de matematização a estudantes do Ensino Médio.

Palavras-chaves Geometria; Geometria Espacial; Educação Matemática Realística.

Formato do Material Didático

Unidade didática

Público Alvo Alunos do Ensino Médio

1 - INTRODUÇÃO

O projeto é construído para organizar ações para o ensino de Geometria

Espacial no Ensino Médio de forma a propor uma contextualização por meio da

utilização dos sólidos geométricos confeccionados em acrílico.

Para que o educando possa visualizar cada situação problema, e não apenas

lidando com enunciados sem sentido, e ficar limitado à linguagem. O professor deve

oportunizar a ele alguma contextualização, e a proposta deste projeto é possibilitar

tal contextualização por meio da verificação do sólido e do seu manuseio.

2 – JUSTIFICATIVA

O projeto destaca a importância do uso dos sólidos geométricos no ensino da

disciplina de matemática.

A geometria é um conteúdo que os estudantes têm dificuldade de

compreensão na matemática, é de fundamental importância o uso de metodologias

diversificadas para a melhor compreensão e aprimoramento do conhecimento.

Para que a utilização dos sólidos geométricos seja produtiva deve-se fazer

com que os estudantes tenham o material manipulável, eles poderão manusear os

elementos, e o estudo das atividades propostas bem como a utilização deste

instrumento mais atrativo. Esta é uma forma de planejamento de ensino, onde

professor e o aluno interagem na construção do aprender participativo, tornando o

conteúdo proposto através do objeto concreto mais atrativo.

Depende de como o estudante entende os conteúdos será a maneira que irá

abordá-lo. O conhecimento é construído por meio das interações de cada individuo e

sua realidade, vivenciada de cada um de nós, devido suas características.

A ideia deste trabalho surgiu mediante a necessidade de tentar fazer com que

o estudante consiga entender melhor a matemática, por que uma grande parcela

dos estudantes em todos os níveis de escolarização apresenta muitas dificuldades

em entender a matemática. O uso do sólido geométrico será utilizado para facilitar o

entendimento da matemática.

Não queremos repetir um ensino que, segundo Vasconcelos (1995, p.18)

[...] pode ser assim sintetizado: o professor passa para o aluno, através do método de exposição verbal da matéria, bem como de exercícios de fixação e memorização, os conteúdos acumulados culturalmente pelo homem, considerados como verdades absolutas. Nesse processo predomina a autoridade do professor, enquanto o aluno é reduzido a um mero agente passivo. Os conteúdos, por sua vez, pouco têm a ver com a realidade concreta dos alunos, com sua vivência. Os alunos menos capazes devem lutar para superar as suas dificuldades, para conquistar o seu lugar junto aos mais capazes.

O estudante ao utilizar o sólido geométrico deixa de ser apenas ouvinte,

passivo das explicações do professor para ser um elemento ativo, construindo com

sua prática sua aprendizagem.

3 - PROBLEMA/PROBLEMATIZAÇÃO

A ideia deste trabalho surgiu mediante a necessidade de tentar fazer com que

os educando consigam a entender melhor a matemática, por que uma grande

parcela dos estudantes em todos os níveis de escolarização apresenta muitas

dificuldades em entender a matemática. O uso do sólido geométrico será utilizado

para facilitar o entendimento da matemática, e possa acontecer uma

contextualização para a aprendizagem de Matemática, a qual contemplasse todas

as formas geométricas. Em nossa trajetória docente, priorizamos a contextualização,

por acreditar que a aprendizagem ocorre a partir dela.

O aluno ao utilizar o sólido geométrico deixa de ser apenas ouvinte, passivo

das explicações do professor para ser um elemento ativo, construindo com sua

prática sua aprendizagem.

Depende de como o estudante entende os conteúdos será a maneira que irá

abordá-lo. O conhecimento é construído por meio das interações de cada individuo e

sua realidade, vivenciada de cada um de nós, devido suas características.

4 – OBJETIVOS

4.1 – Geral

Apresentar uma proposta de contextualização para o ensino de Geometria

Espacial por meio da utilização do material Sólidos Geométricos em Acrílico na

perspectiva da RME.

4.2 - Específicos

Levantar alguns conhecimentos prévios de Geometria Espacial de estudantes

do Ensino Médio de uma escola pública, por meio de uma atividade exploratória.

Utilizar estes conhecimentos na elaboração de uma trajetória hipotética de

aprendizagem, tomando os conhecimentos prévios como fonte de contextualização.

Elaborar os roteiros para a realização das aulas para o ensino de Geometria

Espacial, utilizando os Sólidos Geométricos em Acrílico, a um grupo de estudantes

do Ensino Médio.

A princípio, as atividades versarão sobre o conhecimento e classificação dos

elementos dos sólidos geométricos, suas propriedades e aplicações.

Guiar o grupo de estudantes a resolver os tópicos de cada Atividade levando-

os a “reinventar” fórmulas, a partir da tentativa de resolver situações problemas

inerentes ao seu cotidiano, conduzindo-os, a partir de contextos imagináveis para

eles, na dedução de relações advindas das propriedades dos sólidos.

5 - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Provavelmente, a Matemática teve suas origens devido à necessidade da

resolução de problemas da humanidade e, desde então, ainda vem evoluindo ao

longo dos anos devido ainda às necessidades dos povos, mas também devido aos

problemas inerentes à própria Matemática, o que gerou um ramo do conhecimento

denominado “Matemática Pura”. No entanto, acreditamos que o desenvolvimento da

Matemática se justifique para proporcionar um desenvolvimento da humanidade,

proporcionando melhores condições de vida.

Novos desafios surgem a cada instante e temos que buscar maneiras ou

métodos para tentar solucioná-los. Esta busca possibilita a evolução da Matemática

e, consequentemente, aumenta seu leque de possibilidades de aplicação e

resolução de problemas do ser humano. No entanto, o ensino da matemática, ou a

escola, de uma maneira geral, não consegue acompanhar esta evolução e, muito

mesmo, colocá-la de maneira clara aos estudantes. Chevallard (1991, apud Pais,

2002, p.19) explica esta defasagem por meio do conceito de transposição didática.

Um conteúdo do conhecimento, tendo sido designado como saber a ensinar, sofre então um conjunto de transformações adaptativas que vão torná-lo apto a tomar um lugar entre os objetos de ensino. O trabalho que, de um objeto de saber a ensinar faz um objeto de ensino, é chamado de transposição didática.

Nossos estudantes têm acesso a todo tipo de informação, em grande

quantidade. No entanto, a quantidade se sobrepõe à qualidade, uma vez que estas

informações já vêm apresentadas “prontas”, muitas vezes com conclusões, não

restando ao receptor, reflexão alguma, tudo parece pronto e acabado. Esta maneira

de “conhecer” vai de encontro à maneira que julgamos adequada para aprender o

que concebemos por matemática, acreditamos que por esta razão seja tão difícil

desenvolver em nossos estudantes a atitude de reflexão, pois matematizar exige

reflexão, paciência, raciocínio, organização e comparação.

Mesmo ciente da dificuldade e até impossibilidade de uma transposição

didática em tempo real, acreditamos na necessidade de trazer aos estudantes

situações de contexto viáveis de matematização. Por isso pensamos no trabalho

com um material para construir situações imagináveis aos estudantes.

Segundo Abrantes, Leal e Ponte (1996, p. 4)

A riqueza e variedade da geometria constituem, de facto, argumentos muito fortes para a sua valorização no currículo e nas aulas de Matemática. Em geometria, contacta-se com uma grande variedade de objectos e situações. Trabalha-se no plano ou no espaço, com figuras planas ou com poliedros, por exemplo, podendo descobrir-se e explorar-se um grande número de propriedades e conexões. A relação entre situações da realidade concreta e situações matemáticas encontra na geometria inúmeros exemplos e concretizações. [...].

As formas geométricas fazem parte do nosso dia a dia, grande parte dos

objetos que manuseamos ao longo do dia tem semelhança com alguma forma

geométrica.

Segundo as Orientações Curriculares para o ensino Médio,

O estudo da Geometria deve possibilitar aos alunos o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas práticos do quotidiano, como, por exemplo, orientar-se no espaço, ler mapas, estimar e comparar distâncias percorridas, reconhecer propriedades de formas geométricas básicas, saber usar diferentes unidades de medida. Também é um estudo em que os alunos podem ter uma oportunidade especial, com certeza não a única, de presenciar a faceta da Matemática que trata de teoremas e argumentações dedutivas. Esse estudo apresenta dois aspectos – a geometria que leva à trigonometria e a geometria para o cálculo de comprimentos, áreas e volumes. (BRASIL, 2006, p. 75).

Segundo Freudenthal (1967, p. 5), “é bem certo que a humanidade já fazia

cálculos e pensava a respeito de figuras geométricas antes de ter sido inventada a

escrita”. Hoje em dia, apesar de toda matemática formalizada disponível, algumas

pessoas ainda trabalham fazendo cálculos e resolvendo problemas que podem ser

considerados matemáticos, à margem da matemática escolar, sustentados pelo

conhecimento prático advindo das necessidades impostas pela sua profissão. Muitas

vezes, são conhecimentos não validados pela escola, mas transmitidos de

profissional a profissional, conhecimento validado apenas pela prática do exercício

da profissão. Por exemplo, na construção de uma casa, os pedreiros e mestres de

obra, ao fazerem a cobertura, constroem as tesouras de sustentação em forma

triangular, sem justificar teoricamente a sua escolha.

Fomos pesquisar e encontramos em Giovanni Jr e Castrucci (2009, p. 267)

que “o triângulo é o único polígono rígido (não deformável). Uma vez definidos seus

lados, ele não sofre deformações. É por isso que o triângulo é muito utilizado em

construções que necessitam de estabilidade”.

Em Beimbengut e Hein (2000, p. 63) encontramos uma abordagem mais

ampla para a utilização das formas triangulares e sugere uma discussão a respeito

do porque os telhados apresentarem a forma triangular.

Figura 1: Tesoura de sustentação

Fonte: Beimbengut; Hein, 2000.

Segundo os autores,

a forma triangular aparece em diversas estruturas, como portões, telhados, pontes, dentre outras. Em portões ou porteiras feitos de madeira, costuma-se colocar uma tábua – travessa. Isso porque o triângulo é uma figura rígida, ao contrário de quadrados e retângulos que podem mudar de forma, ou seja, os lados não se alteram com a variação do ângulo. (BEIMBENGUT; HEIN, 2000, p. 63).

Tivemos a oportunidade de entrevistar informalmente um profissional da

construção civil que, ao ser questionado sobre a utilização de triângulos, ele nos

exemplificou a construção de uma porteira e justificou a necessidade de uma tábua

transversal que atravessa toda a forma retangular da porteira pelo fato dela impedir

uma movimentação deformando a estrutura.

Figura 2: Porteira

Fonte: http://www.baixaki.com.br.

Não apenas na construção civil, mas em outros setores também, muitas

vezes, os profissionais não tem dúvidas de como proceder para solucionar situações

problemas, que poderiam até ser consideradas matemáticas, do seu cotidiano

profissional, mas saberiam justificar matematicamente a sua resolução.

Segundo Freudenthal (1991) apud Monteiro, Pinto e Figueiredo (2005, p. 51),

a Matemática deveria ser assim também para os alunos, uma atividade. Estes deveriam aprender Matemática, por meio do fazer Matemática, matematizando assuntos da realidade do dia-a-dia e matematizando a sua própria atividade.

Partindo do conhecimento vivenciado pelo estudante é que pretendemos

desenvolver seu raciocínio matemático.

Segundo Vergnaud (1990)

um dos maiores problemas na educação decorre do fato que muitos professores consideram os conceitos matemáticos como objetos prontos, não percebendo que estes conceitos devem ser construídos pelos alunos... de alguma maneira os alunos devem vivenciar as mesmas dificuldades conceituais e superar os mesmos obstáculos epistemológicos encontrados pelos matemáticos... solucionando problemas, discutindo conjeturas e métodos, tornando-se conscientes de suas concepções e dificuldades, os alunos sofrem importantes mudanças em suas ideias.

A Matemática tem um papel muito importante na vida de nossos estudantes,

no seu desenvolvimento lógico, e na sua vida cotidiana.

Segundo Parâmetros Curriculares Nacionais Ensino Médio

Em seu papel formativo, a Matemática contribui para o desenvolvimento de pessoas de pensamento e a aquisição de atitudes, cuja utilidade e alcance transcendem o âmbito da própria Matemática, podendo formar no aluno a capacidade de resolver problemas genuínos, gerando hábitos de investigação, proporcionando confiança e desprendimento para analisar e enfrentar situações novas, propiciando a formação de uma visão ampla e cientifica da realidade, a percepção da beleza e da harmonia, o desenvolvimento da criatividade e de outras capacidades pessoais. (BRASIL, 1999, p.82).

O aprendizado da Matemática é um processo lento, exige uma boa leitura

interpretativa do assunto e dos enunciados dos problemas, para que possamos

utilizar as diversas ferramentas na sua resolução.

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio [...] é preciso que o aluno perceba a Matemática como um sistema de códigos e regras que a tornam uma linguagem de comunicação de ideias e permite modelar a realidade e interpretá-la. Assim, os números e a álgebra como sistemas de códigos, a geometria na leitura e interpretação do espaço, a estatística e a probabilidade na compreensão de fenômenos em universos finitos são subáreas da Matemática especialmente ligadas às aplicações. (BRASIL, 1999, p.251-252, negrito nosso).

Para isso é necessário desenvolver nos estudantes uma habilidade de

interpretar as informações, para que possam tomar as decisões necessárias de

acordo com cada tipo de situação, desenvolver neles a capacidade de avaliar com

responsabilidade e de buscar formas de pensar matematicamente, para que possam

obter uma resposta coerente a cada tipo de situação enfrentada nos mais diversos

tipos de realidade.

Segundo Fabro (1996, p. 32)

Na escola, as operações possíveis de viabilizar raciocínio conclusivo tem sido, muitas vezes, aprendidas de forma algorítmica e fragmentada, aplicadas e cobradas de forma imediatista, fora de contexto significativo. Desse modo, quando o aluno é incitado a resolver uma situação problemática de forma livre, o caminho a ser percorrido é penoso e cheio de armadilhas, e uma das dificuldades está em trocar os conhecimentos adequados a partir da identificação das relações descritas no enunciado e do tratamento lógico a ser dado a elas.

6 - CRONOGRAMA

ATIVIDADES

2013 2014

1º Sem 2º Sem 1º Sem 2º Sem

Delimitação do Tema X

Leitura e Fundamentação X X X X

Pesquisa Bibliográfica X X X

Encontros de Orientação X X X X

Elaboração do Projeto X

Entrega do Projeto no NRE X

Produção Didática Pedagógica X

Apresentação da Proposta de Trabalho à comunidade escolar

X

Implementação da Proposta na Escola X

Grupo de Trabalho em Rede – GTR X

Elaboração do Trabalho Final – Artigo X

7 - ESTRATÉGIAS DE AÇÃO

No desenvolvimento desta Produção Didático Pedagógica, a primeira ação

desenvolvida, a fim de colher material que orientasse nossos planos de aula e

nossas atividades didáticas, foi a elaboração de um questionário, o qual é

apresentado a seguir. Ele é composto por 16 questões. Destas, as 10 primeiras são

de caráter pessoal e tem por objetivo recolher dos estudantes suas expectativas

profissionais e de estudo, suas impressões e opiniões a respeito do ensino público e

privado, tanto no nível da Educação Básica quanto no nível do Ensino Superior.

Tínhamos a pretensão de avaliar o quanto os estudantes acreditavam em seu

potencial e na qualidade de seu ensino. As demais questões dizem respeito a algum

conhecimento elementar de Geometria Plana e Espacial.

7.1 – Questionário

1) Você trabalha? Sim ( ) Não ( ) Com o quê?

2) O que você pensa a respeito do seu futuro?

3) Você pretende continuar estudando após a conclusão do Ensino Médio?

Sim ( ) Não ( ) Por quê?

4) Você gostaria de cursar uma Universidade? Sim ( ) Não ( ) Por quê?

5) Qual curso universitário você gostaria de cursar? Seria em uma universidade

pública ou particular? Em qual instituição? Por que esta escolha?

6) Você acredita que ao concluir o 3º ano estará preparado para ingressar no

Ensino Superior?

Sim ( ) Não ( ) Por quê?

7) Você gostaria de estudar em uma escola que exigisse mais de seus estudantes?

Sim ( ) Não ( ) Explique por quê?

8) Você gostaria de estudar em uma escola particular? Sim ( ) b) Não ( )

9) Você acredita que os alunos que estudam em escolas particulares têm mais

chances de progredir profissionalmente? Sim ( ) Não ( )

10) Você gostaria de estudar na Unioeste? Sim ( ) Não ( ) Por

quê?

11) Como você calcularia a área de um quadrado de lados de medida 2 cm? Como

calcularia o perímetro?

12) A figura ao lado representa um cubo de lados 2 cm.

Como você calcularia a área da superfície total e o volume deste cubo?

13) Supondo que este cubo foi dividido em partes menores, em cubinhos de lado 1

cm, pergunta-se:

a) Quantos cubinhos resultaram da divisão?

b) Qual o volume de cada um deles?

c) Qual a área da superfície total deste cubinho?

d) Qual a relação entre os volumes dos dois cubos considerados, o maior e o

menor?

14) O desenho a seguir representa a porteira de uma fazenda.

a) Sabendo que ela mede 3 m por 1,6 m qual seria a área desta porteira?

b) Qual seria a medida do comprimento da tábua diagonal da porteira?

15) O desenho a seguir representa a tesoura de uma casa.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Pocket_cube_solved.jpg

a) Sabendo que a medida da base do triângulo representado na figura é de 6,4

metros, calcule a área total do triângulo.

b) Sabendo que o comprimento de 8 metros, qual seria o volume do sótão desta

casa?

16) Você saberia explicar por que foram utilizados triângulos na composição das

duas construções apresentadas nas perguntas 14 e 15?

7.2 – Informações revaladas pelo Questionário

No dia 16 de outubro 2013 foi aplicado o questionário em uma sala de terceiro

ano Ensino Médio matutino do Colégio Ieda Baggio Mayer, composta por 36 alunos.

No dia da aplicação compareceram 29 alunos, aos quais foi entregue um

questionário,

A partir das respostas dos alunos elaboramos a síntese seguinte.

A maioria da sala entrevistada se constitui em trabalhadores. Doze alunos

que não trabalham e dezessete trabalham, sendo a maioria dos entrevistados. Por

ser um curso matutino, consideramos que o índice de trabalhadores é alto. Os

trabalhos que estes alunos exercem são diversos, como consultor de seguros,

chapeiro, secretário, caixa de supermercado, torneiro, técnico em informática,

prótese, metalurgia, desenvolvimento de sites, operador e operadora de tele

marketing, menor aprendiz, computador, escritório e transportadora. Esta realidade

vem a confirmar o que já observáramos durante nossos anos de magistério. Em

geral, os alunos da escola pública trabalham. Esta necessidade, em geral, é devido

à sua condição financeira ou à estrutura familiar.

Quanto ao seu futuro, todos responderam que pretendem continuar

estudando após a conclusão do Ensino Médio e 23 deles são otimistas em relação a

seu futuro, prevendo-o promissor. “Penso, que terá um bom sucesso em meu

futuro”; sendo que a maioria, “Que serei bem sucedido e muito feliz em meu trabalho

e família” faz referencia a uma futura profissão como: “Me formar em Ciências

Contábeis, trabalhar com auditoria e ser um grande empresário nacional e

internacional”. Estas respostas, de certa forma, nos surpreenderam, uma vez que

imaginávamos que a maioria não pretendia continuar estudando, mas apenas

ingressar no mercado de trabalho.

Quase todos responderam que gostariam de cursar uma Universidade,

apenas um estudante respondeu que não gostaria e justificou que a Universidade

não apresenta sua pretensa área profissional que, a qual seria de um “grande

empresário nacional e internacional”.

Quanto ao desejo de estudar na Unioeste, ou em outra Universidade pública,

20 entrevistados responderam que gostariam, sendo que a maioria, 14, justificou sua

escolha pela qualidade do ensino, e o restante pela questão financeira. Daqueles

que indicaram como preferência a Universidade ou faculdade particular, metade

justificou pela qualidade e estrutura que a particular oferece, sendo que os restantes

apresentaram justificativas particulares, como a distância, preferência dos pais, por

ser a única a oferecer o curso pretendido e pela condição financeira, pois poderiam

continuar trabalhando e caso viessem a na Unioeste não poderiam trabalhar.

Dos alunos que responderam o questionário 15 gostariam de estudar em uma

escola particular, 12 não gostariam de estudar em escola particular e dois não

souberam responder. A maioria, 22 dos entrevistados, acredita que os alunos que

estudam em escolas particulares tem mais chances de progredir profissionalmente e

apenas sete acreditam que não. Parece que os estudantes tem uma ideia

equivocada quanto ao processo de seleção dos docentes da escola pública e da sua

formação. Muitos desvalorizam a sua escola e o seu professor, imaginam, sem

conhecimento de causa, que em um colégio particular tudo seria melhor. No entanto,

desconhecem que nos cursos superiores mais concorridos, como, por exemplo, o de

Engenharia Civil da UNIOESTE (2013), muitos dos ingressantes vieram das escolas

públicas.

Quanto ao conhecimento específico de Matemática, a maioria não respondeu

todas as questões, mas conseguimos retirar algumas informações daqueles que

responderam.

Das questões que solicitavam o cálculo da área de um quadrado diretamente

e o cálculo da área de uma cerca retangular, oito não apresentaram qualquer

produção escrita, 14 responderam ambas, quatro só responderam sobre a área do

quadrado e três pessoas apenas sobre a área da cerca.

Dos 14 que resolveram as duas, 12 responderam corretamente, acertando

tanto a estratégia quanto o procedimento. Um aluno deles respondeu que a área do

quadrado seria 2² = 4 cm³ e escreveu que a área da cerca seria igual à soma dos

lados, 3 m + 1,6 m, resultando em 4,6 m. No entanto, ele acertou o procedimento de

somar. Parece que este aluno confunde a nomenclatura das medidas de

comprimento, área e volume. O outro aluno escreveu A² = a.a, A² = 2.2, A² = 4 e

escreveu que a área do quadrado seria A = , concluindo que A = 2. E a outra

questão ele não respondeu, apenas no seu espaço calculou a diagonal da cerca.

Talvez este aluno tenha memorizado que a fórmula da área do quadrado seja A = a²,

mas não tenha a ideia de unidade de área, pois não resolveu para o retângulo.

Parece que ele utilizou de maneira mecânica a fórmula, não vinculando o enunciado

à aplicação da fórmula, pois passou a resolver o problema como se fosse resolver

uma equação.

Da resolução destas questões, concluímos que a ideia de área deva ser

trabalhada.

Quanto às questões que envolviam conhecimento para calcular o volume, 7

alunos não responderam, 15 responderam parcialmente e 7 responderam

totalmente. Daqueles que responderam totalmente 3 responderam corretamente,

acertando tanto a estratégia quanto o procedimento, 2 resolveram com o cálculo A =

b.h = 2.2 = 4 cm², como se fosse um cálculo de área, um escreveu apenas volume =

6 sendo que havia calculado a área total da superfície pelo cálculo 4x6, daí

entendemos que ele tomou o número de faces do cubo como sendo o volume. Outro

participante escreveu A2 = a.a, A2 = 2.2, A2 = 4, A = , A = 2, parece que este

participante se confundiu com a linguagem matemática.

Quanto à utilização de figuras rígidas nas construções, 8 responderam e 21

deixaram em branco. Em relação aos que responderam, 5 apresentaram uma

resolução correta e 3 responderam que seria para “facilitar o cálculo”, apresentaram

uma resposta que não faz sentido em relação à pergunta.

As resoluções deste questionário confirmam o que nossa experiência já nos

indicara: uma parcela dos jovens está desmotivada com os estudos em Matemática

e apresenta baixo rendimento em relação aos conteúdos de Geometria básica.

Parece que muitos jovens da escola pública, tomando como base nossa

experiência na docência e o questionário aplicado, estão sem estímulo para o

estudo por não acreditarem em si mesmo, muito desanimados, alguns estão na

escola só por que o pai obriga que estude, ou pela obrigatoriedade da lei que exige

a sua permanência no banco escolar. Muitas vezes, o aluno permanece sem

perspectiva, não acreditando no valor do conhecimento adquirido com o estudo.

Devido à autoestima em baixa muitos nem tentam o vestibular nas Universidades,

acreditando que não poderiam conseguir ingressar em algum curso de ensino

superior. Mas apesar de toda essa desmotivação, ainda tem um agravante maior,

que é a falta de comprometimento com o estudo, ou seja, não levam a sério e não

demonstram força de vontade. Não acreditam que por meio do estudo poderiam ter

uma condição de vida melhor do que a que se encontram no momento ou não se

responsabilizam por uma melhora.

O professor tem a possibilidade de perceber aqueles estudantes que

realmente buscam o conhecimento e pode ajudá-los ou tentar motivar aqueles mais

desmotivados. É o que pretendemos com as aulas e atividades que seguem.

7.3 – As aulas

Ao retornar à escola, apresentaremos nosso projeto de intervenção

pedagógica à direção, equipe pedagógica e aos professores, em uma reunião.

A partir da análise das produções escritas dos alunos do 3º A do Ensino

Médio matutino, identificamos contextos para iniciar nossas atividades de

aprendizagem com os alunos de um 3º ano que ainda não sabemos qual será. Por

exemplo, levando-se em consideração que grande parte dos estudantes demonstrou

ter dificuldades quanto ao cálculo de uma área simples, iniciamos com uma atividade

que retoma este conteúdo.

A Implementação do Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola, por meio

desta Unidade Didática, totalizará 64 horas-aula, sendo que 32 destas serão

destinadas para a preparação dos materiais e correção e análise de questões dos

alunos, e 32 horas-aula serão de aplicação efetiva em sala de aulas com os alunos.

Iniciaremos a Implementação no mês de fevereiro de 2014 e a encerraremos no mês

de junho de 2014. Os encontros ocorrerão em dia e horário a serem definidos com a

direção, equipe pedagógica e os participantes do projeto, sendo que ela ocorrerá

nas dependências da escola Serão aplicadas as atividades, intercaladas às aulas

expositivas, em duas horas-aula de 50 minutos.

As aulas estão descritas a seguir com seus objetivos, justificados a partir da

análise das produções escritas e com as estratégias de ação descritas na

sequencia.

A avaliação da aprendizagem será realizada por meio de observações do

desempenho individual e coletivo dos alunos, identificando o envolvimento, a

cooperação, o interesse e a criatividade durante a resolução das atividades

propostas. Ela ocorrerá também se utilizando das produções escritas dos alunos na

resolução das atividades. Cabe à avaliação fornecer informações sobre como está

ocorrendo à aprendizagem: os conhecimentos adquiridos, os raciocínios

desenvolvidos, o domínio em certas estratégias, as competências de cada aluno em

resolver problemas, em utilizar a linguagem matemática adequadamente para

comunicar suas ideias e integrar todos esses aspectos do conhecimento

matemático. E se for necessário o professor na aula seguinte retomará o conteúdo,

lançará perguntas específicas aos alunos e, se for necessário, modificará alguma

atividade ou estratégia de ação. É importante deixarmos indicado que a principal

ideia que permeia o trabalho é o da avaliação da aprendizagem contínua, ou seja, a

produção de uma aula norteia a aula seguinte.

Intercalamos nas atividades questões retiradas do ENEM para que eles

possam conhecer o que é cobrado e percebam que são capazes de resolver e,

assim, sentir uma motivação e a possibilidade de avançar em seus estudos, e de até

ingressar em uma Instituição Pública de Ensino Superior.

Plano de Aula 1

Objetivos específicos

Identificar e diferenciar formas planas e formas não planas;

Representar e identificar pontos, retas, segmentos de retas e planos;

Interagir, colaborar e trocar experiências matemáticas em grupo;

Resolver situações problemas envolvendo figuras planas.

Estratégias de ação

No primeiro encontro com os alunos apresentaremos as ideias gerais com os

objetivos propostos pelo projeto, demonstrando a importância do envolvimento deles

nas atividades. Nesta aula já realizaremos uma revisão do conceito de área, do

significado de unidade de comprimento, do significado de unidade de área, do

sistema métrico decimal. Partindo da área de um retângulo, solicitar que eles

concluam as áreas de outras figuras planas.

Entregar uma cópia da Atividade 1 para cada aluno e informar que eles

devem resolvê-la individualmente. Dessa forma, terão a oportunidade de raciocinar a

partir de suas próprias estratégias. Os alunos serão orientados sobre a necessidade

e a importância do registro de suas construções mentais, pois a partir destes

registros o professor poderá tomar conhecimento do que eles sabem e realizar uma

análise de seus processos de aprendizagem e assim, encontrar uma maneira de

auxiliá-los.

Num segundo momento, poderão se agrupar em, no máximo, três alunos para

que possam conhecer como outros colegas resolveram e discutir com eles sobre a

atividade proposta. O trabalho em grupo favorece e estimula a discussão entre os

alunos, facilitando a interação entre eles na resolução das atividades propostas.

Antes de fazer a correção, fazer uma discussão coletiva para que tomem

conhecimento de todas as estratégias que foram utilizados para a resolução. Assim,

a turma percebe que, às vezes, uma mesma atividade pode ser resolvida de

diferentes maneiras.

Duração: 05 aulas (50 minutos cada)

Recursos Didáticos: Folha com as atividades, multimídia, lápis, borracha, quadro

negro, giz.

Atividade 1

a) Qual é a área de uma região retangular cujas medidas dos lados são 24 cm

por 12,5 cm?

b) Qual seria a área de um triângulo retângulo de base 24 cm e altura 12,5 cm?

c) E de um triângulo com a mesma base e mesma altura, mas que não fosse

retângulo?

d) Um terreno retangular tem 8,4 m por 15 m e está sendo gramado. Sabendo

que um quilo de semente de grama é suficiente para gramar 3m2 de terreno,

quantos quilos de semente de grama serão necessários para gramar o

terreno todo?

e) Uma lajota retangular tem 30 cm por 20 cm. Qual é a área da lajota? Quantas

lajotas são necessárias para cobrir o piso de uma garagem de 96 m2 de área?

f) Uma cerâmica de forma quadrada tem 30 cm de lado. Qual é a área dessa

cerâmica?

g) Para cobrir totalmente uma parede de 27 m2 de área foram usadas peças

quadradas de 15 cm de lado. Quantas peças foram usadas?

Os itens acima foram retirados e adaptados de Giovanni (1994).

h) E para calcular a área de uma figura de uma região curva, como você faria?

i) Dos sólidos em acrílico, quais deles não são poliedros?

O cálculo da área de regiões curvas é um problema que vem desde a Grécia

Antiga e apenas no século XVII que o homem conseguiu resolvê-lo por meio de

ferramentas do Cálculo Diferencial e Integral. Somente a área do círculo é que

vamos calcular.

As figuras delimitadas por segmentos de retas são chamadas polígonos.

Um polígono é uma figura geométrica plana limitada por segmentos de reta

consecutivos chamados lados. A palavra “polígono” advém do grego e quer dizer

muitos (poly) e ângulos (gon). É uma linha fechada simples.

Os polígonos são as faces dos poliedros, ou seja, são porções de plano

limitadas por linhas poligonais fechadas. Um polígono possui os seguintes

elementos: lados e vértices.

Polígonos Regulares quando os lados têm o mesmo comprimento e os

ângulos a mesma medida.

j) (ENEM 2011) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de

espaços de lazer reivindicam à prefeitura municipal a construção de uma

praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la em

formato retangular devido às características técnicas do terreno. Restrições de

natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180m de tela

para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as

medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça:

Terreno 1: 55 m por 45 m





Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas

pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno

A 1.

B 2.

C 3.

C 4.

D 5.

Plano de aula 2


Analisar, classificar e construir, figuras geométricas planas, aplicando noções

geométricas, estabelecendo relações e identificando propriedades;

Estruturar e organizar o raciocínio lógico matemático.


Entregar uma folha de papel sulfite para cada aluno, onde irão construir uma

caixa que irá verificar sua área e volume de acordo com as medidas usadas. Dessa

forma, terá a oportunidade de raciocinar sobre a resolução com suas próprias

estratégias. O educando será orientado sobre a necessidade e a importância do

registro de suas resoluções, pois a partir desses registros o professor poderá fazer a

análise de seu processo de aprendizagem. Num segundo momento, poderão formar

grupos com três pessoas para que possa observar como cada um resolveu as

atividades propostas.

Antes de fazer a correção, dar oportunidade aos alunos de se expressarem

oralmente diante da turma, para que os demais colegas tenham conhecimento dos

procedimentos que foram utilizados na resolução. Assim, a turma descobre que, às

vezes, uma mesma atividade pode ser resolvida de diferentes maneiras. É

importante que o professor proporcione sempre a oportunidade da reflexão, para

que os alunos possam compreender a resolução do problema.


Recursos didáticos: Multimídia, lápis, borracha, quadro negro, giz, tesoura, régua.

Atividade 2

Com a folha de papel sulfite construa uma caixa e calcule o seu volume e a

área de sua base.

Se esta caixa estivesse fechada seria um exemplo de poliedro chamado de

prisma reto de base retangular ou simplesmente paralelepípedo. Um prisma

consiste de dois polígonos iguais situados em planos paralelos, chamados base e

topo, e uma família de faces laterais, paralelogramos que possuem lados em

comum, com a base e com o topo.

1) No caso da caixa e de degrau, como representado abaixo, como podemos

chamar as faces destes sólidos?

Segundo Giovanni, Bonjorno e Giovanni Jr (1994, p. 439) poliedro é um

sólido limitado por polígonos planos que têm, dois a dois, um lado em comum. Os

polígonos são denominados faces do poliedro. Os lados e os vértices dos

polígonos denominam-se, respectivamente, arestas e vértices do poliedro.

2) Se você tomar dois pontos na superfície da caixa construída e unir estes

pontos vai obter uma reta que une estes pontos. A reta estará totalmente

contida na caixa?

3) Isso acontece com qualquer sólido? Verifique com o sólido em forma de

degrau.

Um poliedro diz-se convexo, como o cubo, quando um segmento de reta,

unindo quaisquer dois pontos do poliedro, está totalmente dentro do poliedro.

O sólido em forma de degrau é um exemplo de poliedro não convexo. Os poliedros

convexos possuem nomes especiais, de acordo com o número de faces:

Tetraedro = Poliedro convexo com quatro faces

Pentaedro = Poliedro convexo com cinco faces.

Hexaedro = Poliedro convexo com seis faces.

Heptaedro = Poliedro convexo com sete faces.

Octaedro = Poliedro convexo com oito faces.

Icosaedro = Poliedro convexo com vinte faces.

Um poliedro convexo se diz regular se suas faces são regiões poligonais

regulares, e se em todo vértice do poliedro converge o mesmo número de arestas.

4) Mas em todos os sólidos as faces são polígonos? Dê exemplos.

5) (ENEM, 2012) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender

caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as

planificações dessas caixas.

Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas

planificações?

A) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.

B) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.

C) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.

D) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.

E) Cilindro, prisma e tronco de cone.

Plano de aula 3


Ampliar e aprofundar noções geométricas em figuras espaciais;

Conhecer e classificar elementos dos sólidos geométricos.


Entregar uma cópia das atividades para cada aluno resolvê-la

individualmente. Dessa forma, terá a oportunidade de raciocinar sobre a resolução

com suas próprias estratégias. O educando será orientado sobre a necessidade e a

importância do registro de suas construções, pois a partir desses registros o

professor poderá fazer a análise de seu processo de aprendizagem.

Num segundo momento, poderão formar grupos para que se possa observar

como cada um resolveu as atividades propostas. O trabalho em grupo favorece e

estimula a discussão entre os alunos, facilitando a interação entre eles na resolução

das atividades propostas.

Antes de fazer a correção, fazer uma discussão coletiva para conhecer os

procedimentos que foram utilizados para a resolução. Assim a turma descobre que,

às vezes, uma mesma atividade pode ser resolvida de diferentes maneiras.


Recursos didáticos: Multimídia, lápis, borracha, quadro negro, giz.

Atividade 3

a) Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de vértices é 12.

Calcular o número de arestas.

b) Determinar o número de arestas e de vértices de um poliedro convexo com seis

faces quadrangulares e quatro faces triangulares.

c) Quantos são os poliedros convexos dentre os sólidos em acrílico?

d) Complete a tabela a seguir utilizando os poliedros em acrílico e o degrau.

Nº de faces

F

Nº de vértices

V

Nº de arestas A

Nome e nº do sólido

4

4

5

5

5

6

6

6

6

6

7

8

21

8

12

20

“Degrau” 21

c) Qual a relação existente entre a soma do número de faces (F) com o número de

vértices (V) e o número de arestas (A)?

d) Escreva uma igualdade que associe o número faces (F) com o número de

vértices (V) e o número de arestas (A).

Esta relação V + F - A = 2 é bem famosa e recebeu o nome de relação de

Euler, podendo ser representada por

A + 2 = V + F

e vale para todos os poliedro convexos. A soma do número de arestas (A) com o

número 2 é igual ao número de vértices (V) somado ao número de faces (F).

Plano de aula 4


Deduzir e aplicar fórmulas para cálculo da área de superfícies planas e para

cálculo de volumes de sólidos geométricos;

Resolver problemas.











Antes de fazer a correção, fazer uma discussão coletiva para conhecer os

procedimentos que foram utilizados para a resolução. Assim a turma descobre que,

às vezes, uma mesma atividade pode ser resolvida de diferentes maneiras.


Recursos didáticos: Multimídia, lápis, borracha, quadro negro, giz, sólido

geométrico.

Atividade 4

1) Um prisma quadrangular regular tem 8 cm de aresta lateral e 6 cm de aresta da

base. Calcule:

a) área da base

b) área lateral 8 cm

c) área total

d) volume 6 cm

Item retirado de Barreto Filho (2000).

2) Um prisma triangular regular apresenta 9 cm de aresta lateral e 4 cm de aresta da

base. Determinar

a) área da base

b) área lateral 9 cm

c) área total

d) volume

4cm

4cm 4cm


3) (ENEM, 2012) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por

um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de

resfriamento, como mostrado na figura.

O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo

volume fosse de 2400cm3?

A) O nível subiria 0,2cm, fazendo a água ficar com 20,2cm de altura.

B) O nível subiria 1cm, fazendo a água ficar com 21cm de altura.

C) O nível subiria 2cm, fazendo a água ficar com 22cm de altura.

D) O nível subiria 8cm, fazendo a água transbordar.

E) O nível subiria 20cm, fazendo a água transbordar.

Plano de aula 5



Conhecer e classificar elementos dos sólidos geométricos;



Resolver problemas.












Recursos didáticos: Multimídia, lápis, borracha, quadro negro, giz, solido

geométrico.

Segundo Giovanni, Bonjorno e Giovanni Jr (1994, p. 452), as pirâmides são

poliedros cuja base é uma região poligonal e as faces laterais são regiões

triangulares.

Atividade 5

A base é um quadrilátero.

Pirâmide triangular regular ou tetraedro Pirâmide pentagonal regular

Elementos da Pirâmide:

Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a

pirâmide.

Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da

pirâmide.

Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região

poligonal é simétrica ou regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo

vértice e pelo centro da base.

Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.

Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da

pirâmide e por dois vértices consecutivos da base.

Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da

pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base.

Vértice da pirâmide

Aresta lateral

Aresta da base

Vértice da base

Face lateral

Apótema: É a altura de cada face lateral.

Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces

laterais.

Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.

1) Uma pirâmide quadrangular regular tem 8 m de altura e 12 m de aresta da base.

Determine:

a) medida do apótema da base.

b) medida do apótema da pirâmide.

c) área lateral.

d) área da base.

e) área total.

f) volume.


Plano de aula 06



Calcular a área e o volume de um cilindro;



Resolver problemas.



individualmente. Apresentar o conteúdo oralmente, e demonstrar a figura cilindro

utilizando os sólidos geométricos, sempre que necessário. Dessa forma, terá a

oportunidade de raciocinar sobre a resolução com suas próprias estratégias. O

educando será orientado sobre a necessidade e a importância do registro de suas

construções, pois a partir desses registros o professor poderá fazer a análise de seu

processo de aprendizagem.







geométrico.

Atividade 6

1) A altura h de um cilindro reto é 6 m e o raio r da base mede 2 m. Determine:

a) área da base

b) área lateral

c) área total

d) volume

2) O raio da base de um cilindro reto mede 3 cm e a altura, 9 cm. Determine:

a) Área total

b) volume


3) (ENEM 2011) O dono de uma oficina mecânica precisa de um pistão das

partes de um motor, de 68 mm de diâmetro, para o conserto de um carro. Para

conseguir um, esse dono vai até um ferro velho e lá encontra pistões com

diâmetros iguais a 68,21 mm; 68,102 mm; 68,001 mm; 68,02 mm e 68,012 mm.

Para colocar o pistão no motor que está sendo consertado, o dono da oficina terá

de adquirir aquele que tenha o diâmetro mais próximo do que precisa.

Nessa condição, o dono da oficina devera comprar o pistão de diâmetro:

A) 68,21 mm.

B) 68,102 mm.

C) 68,02 mm.

D) 68,012 mm.

E) 68,001 mm.

4) (ENEM 2011) É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-las.

Muitas pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, para atrair beija-

flores. Mas é importante saber que, na hora de fazer a mistura, você deve

sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água. Além disso, em dias

quentes, precisa trocar a Água de duas a três vezes, pois com o calor ela pode

fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O excesso de açúcar,

ao cristalizar, também pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de se

alimentar. Isso pode até matá-la.

Ciência Hoje das Crianças. FND1; Instituto Ciência Hoje, ano 19, n. 166, mar. 1996.

Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-

flores. 4 copos tem formato cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm de

diâmetro. A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é cerca de (utilize

v = 3).

A 20 ml.

B 24 ml.

C 100 ml.

D 120 ml.

E 600 ml.

Plano de aula 7



Deduzir e aplicar fórmulas para cálculo da área de superfície total e para

cálculo do volume do cone;

Resolver problemas.







Num segundo momento, poderão formar grupos para que se possa observar como

cada um resolveu as atividades propostas. O trabalho em grupo favorece e estimula

a discussão entre os alunos, facilitando a interação entre eles na resolução das

atividades propostas.



geométrico.

Atividade 7

1) Para um cone reto com g = 10 cm e r = 6 cm, calcule:

a) área lateral

b) área da base

c) área total

d) volume

(Item retirado de Barreto Filho (2000).)

2) Qual é o volume de sorvete que cabe dentro de um copinho de forma cônica

(casquinha de sorvete), sabendo que o diâmetro do copinho é 6 cm e sua altura é 10

cm? (Item retirado de Giovanni (1994).)

3) (ENEM, 2011) A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em

países orientais.

Disponível em: http://mdmat.psico.ufrgs.br. Acesso em: 1 maio 2010.

Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de

A) pirâmide.

B) semiesfera.

C) cilindro.

D) tronco de cone.

E) cone.

Plano de aula 8


Identificar o raio, e o diâmetro de uma circunferência;

Deduzir e aplicar fórmulas para cálculo da área de superfície e para cálculo

do volume da esfera;

Resolver problemas.













geométrico.

Atividade 8

1) Uma esfera apresenta raio r = 4 cm. Determine:

a) área da superfície esférica.

b) volume


2) A figura ao lado nos mostra uma esfera inscrita num cubo de aresta 4 cm ( note

que o plano de cada face do cubo é tangente á esfera ). Calcule a área da superfície

esférica.

4 cm

4 cm (Item retirado de Giovanni (1994)).

3) (ENEM, 2012) A cerâmica possui a propriedade da contração, que consiste na

evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico submetido a uma

determinada temperatura elevada: em seu lugar aparecendo ”espaços vazios“ que

tendem a se aproximar. No lugar antes ocupado pela água vão ficando lacunas e,

consequentemente, o conjunto tende a retrair-se. Considere que no processo de

cozimento a cerâmica de argila sofra uma contração, em dimensões lineares, de

20%. Levando em consideração o processo de cozimento e a contração sofrida, o

volume V de uma travessa de argila de forma cúbica de aresta a, diminui para um

valor que é

A) 20% menor que V, uma vez que o volume do cubo é diretamente proporcional ao

comprimento de seu lado.

B) 36% menor que V, porque a área da base diminui de a² para ((1 – 0,2)a)².

C) 48,8% menor que V, porque o volume diminui de a³ para (0,8a)³.

D) 51,2% menor que V, porque cada lado diminui para 80% do comprimento original.

E) 60% menor que V, porque cada lado diminui 20%.

8. REFERÊNCIAS

ABRANTES, Paulo; CUNHA, Leal L.; PONTE, João Pedro da. Introdução. In:

ABRANTES, Paulo; CUNHA, Leal L.; PONTE, João Pedro da. (Orgs.), Investigar

para aprender matemática: Textos selecionados, Lisboa: Projecto Matemática Para

Todos e Associação de Professores de Matemática, 1996, p. 1-15.

BARRETO FILHO, Benigno, 1952 – Matemática aula por aula: volume único:

ensino médio / Benigno Barreto Filho, Cláudio Xavier Barreto. – São Paulo: FTD,

2000.

BIEMBENGUT, Maria Sallet; HEIN, Nelson. Modelagem Matemática no Ensino. São Paulo: Contexto, 2000. BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. – Brasília: Ministério da Educação, 1999. BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros curriculares nacionais: Ensino Médio: ciências da natureza, matemática e suas tecnologias/Ministério da Educação. - Brasília: Ministério da Educação/Secretaria de Educação Média e Tecnológica,1999. BRASIL. Ministério da educação e cultura. Parâmetros curriculares nacionais: Ensino médio. Volume 2: Ciência do descobrir-se e explorar-se um grande número de propriedades e conexões da natureza, matemática e tecnologia. Brasília: MEC, 2006. BRASIL. Ministério da Educação e Cultura. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Ciência da natureza, matemática e tecnologia. vol. 2, Brasília: MEC, 2006. CHEVALLARD, Yves. La transposición didáctica del saber sabio al saber enseñado. Buenos Aires: Aique, 1991. CIANI, Andréia Büttner. O Realístico em Questões não-rotineiras de matemática. 2012, tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Departamento de Matemática, UEL, Londrina. D’AMBROSIO, Beatriz Silva. Formação de professores de matemática para o século XXI: o grande desafio. Pro-Posições, v. 4, n. 1, 1993. FABRO, Silvia Gomes Vieira. (Org.) Discurso matemático na escola: reflexões. Cascavel: UNIOESTE/DME, 1996. 74p. FREUDENTHAL, Hans. Mathematics as an educational task. Dordrecht: Reidel. 1973.

FREUDENTHAL, Hans. Revisiting mathematics education. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1991. GIOVANNI, José Ruy, 1937. Matemática fundamental, 2º grau: volume único/ José

Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. São Paulo: FTD, 1994.

Pedagógica, 1995. MONTEIRO, Cecília; PINTO, Hélia; FIGUEIREDO, Nisa. As fracções e o desenvolvimento do sentido do número racional. Revista Educação e Matemática, 2005, p. 48-51.

PAIS, Luis Carlos. Didática da matemática: uma análise da influência francesa. 2. ed. Belo Horizonte: Atêntica, 2002.

VASCONCELLOS, Celso dos Santos. Construção do conhecimento em sala de

aula. 13. ed. São Paulo: Libertad, 2002.

VERGNAUD. Gérard. La théorie des champs conceptuels. Recherches em Didactique des Mathématiques, 1990, p. 133-170.

os desafios da escola pÚblica paranaense na … · os conteúdos, por sua vez, pouco têm a ver...

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