Versão On-line ISBN 978-85-8015-076-6Cadernos PDE

OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE

Artigos

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO CÁLCULO DE VOLUMES

SILVA, Carlos Antonio Tanajura da1

CARVALHO, Túlio Oliveira de2

Resumo Este artigo é o resultado obtido da implementação da Unidade Didática com uma turma do 7º Ano do Ensino Fundamental da Escola Estadual “Anastácio Cerezine”, no município de Alvorada do Sul, Núcleo Regional de Educação de Londrina, Estado do Paraná. O trabalho teve como objetivo pedagógico desenvolver as habilidades de interpretar e expressar informações sobre as Medidas de Volume a partir da resolução de problemas. Este trabalho oportunizou aos alunos uma forma de compreensão mais abrangente dos conceitos envolvidos, por meio de comparações e relações entre diferentes grandezas. As atividades seguem os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), na proposição de que cabe ao professor trabalhar práticas que ampliem, aprofundem e construam novos sentidos para os conhecimentos prévios que os alunos possuem.

Palavras-Chave: Educação Matemática. Resolução de Problemas. Grandezas e Medidas.

Cálculo de Volumes.

1 INTRODUÇÃO

Este artigo apresenta os resultados do desenvolvimento da Proposta de

Implementação Pedagógica com alunos do 7º ano do Ensino Fundamental da

Escola Estadual “Anastácio Cerezine”, da cidade de Alvorada do Sul, Estado do

Paraná. São as respostas do trabalho de conclusão do Programa de

Desenvolvimento Educacional (PDE-2013/2014), que busca um diálogo entre o

Governo do Estado, Universidades e profissionais da Educação Básica que, em

parceria, agregam conhecimentos na esperança de estabelecerem melhores

metodologias e estratégias no processo de ensino e de aprendizagem.

Esta proposta teve como tema a “Resolução de Problemas no Cálculo de

Volumes” evidenciando a relevância da compreensão dos conceitos e de sua

aplicabilidade no cotidiano.

1 Professor da Rede Pública Estadual de Ensino do Paraná. E-mail de contato: carlos@seed.pr.gov.br 2 Professor da Universidade Estadual de Londrina – UEL – PR. E-mail de contato: tcarvalho@uel.br

Para avaliar as respostas obtidas considerou-se o fato da escola pública

receber alunos vindos de diferentes realidades socioculturais e econômicas,

contemplando a heterogeneidade se obteve certa diversidade em relação aos

resultados esperados, fato que, no entanto, não atrapalhou o aprendizado, muito

pelo contrário, transformou a busca em motivação.

A proposta se apoiou nas ideias de Onuchic (1999), Polya (1978) e Buriasco

(1995), que discutem a resolução de problemas como recomendação para o ensino

da Matemática, como uma forma de abordagem mais significativa que pode

contribuir também para o aprendizado do cálculo de volumes.

Vale lembrar que o referido Plano de Implementação teve origem na busca de

novas formas de tornar o processo do ensino e de aprendizagem da Matemática

mais atraente, com a proposta de ensinar o cálculo de volumes a partir de uma nova

metodologia, motivadora, fator considerado fundamental para esta disciplina. Os

recursos utilizados, as propostas de Resolução de Problemas, todos de fácil acesso,

permitiram o uso de heurísticas pelos alunos.

A partir da escolha do tema, passou-se a integrar conteúdo didático e

métodos de trabalho, para que as atividades fossem contextualizadas com a

realidade (em si, diversa) do grupo de alunos que participaram desta prática,

fazendo com que fosse eliminada qualquer relação que sugerisse hierarquia ou

autoritarismo por parte do professor em relação a eles, de forma que puderam

perceber um diálogo franco, não se sentindo obrigados a trabalhar, mas, fazendo-o

por motivação, por desejo de aprender.

Sendo assim, o cálculo de volumes, tantas vezes tido com de difícil

aprendizado, foi trabalhado de acordo com a percepção deles, entendendo que este

assunto faz parte de suas vidas e, por isso, puderam constatar que são eles os

responsáveis pelos resultados dos problemas cotidianos que envolvem o cálculo de

volumes e a matemática, de forma geral. Eles perceberam que as medidas de

volume estão muito mais próximas do que poderiam imaginar. E esta constatação

facilitou o desenvolvimento das atividades.

Ao trabalhar com cálculo de volumes durante a elaboração da Unidade de

Implementação, pensou-se em ir além do plano teórico, enquanto se desenvolvia um

material prático com este objetivo, além do objetivo maior de fazer com que o aluno

se auto avaliasse durante a tomada de decisões na resolução dos problemas

propostos, concordando assim com a intenção do autor desta Proposta Pedagógica.

Os alunos trabalharam com medidas padronizadas e não padronizadas,

respeitando as etapas de Polya (1978) e apresentando discussões que, muitas

vezes, obrigaram o docente à retomada de conceitos ou de operações, para que

eles pudessem compreender melhor o significado daquela atividade e, assim,

buscassem os resultados.

Concluiu-se que a Educação Matemática tem que sair das páginas do

caderno e ser facilitada pela prática, com alusão e contextualização à realidade do

aluno, para que, a partir das atividades concretas, eles percebam o quanto é

importante e eficiente aprender matemática. Todos os alunos se envolveram e

colaboraram para que os resultados apresentados, agora, tivessem a conotação do

sucesso fruto da participação deles nas atividades propostas pelo primeiro autor.

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Os alunos costumam dizer que não gostam de Matemática e acabam sendo

desmotivados em aprender chegando a desistir da disciplina. Nestes casos julga-se

que possa existir uma deficiência no aprendizado deles, mas nem sempre se

repensa a competência do Sistema Educacional e as Metodologias empregadas no

Ensino de Matemática.

A Matemática é uma Ciência Exata, mas a Educação Matemática é uma

Ciência Social, que vai exigir inúmeras competências do profissional da Educação

que vão além de conhecer a disciplina que ele leciona. No caso da Educação

Matemática espera-se que ela venha produzir conhecimento matemático apropriado,

a multiplicidade de capacidades de cada aluno compreender e adquirir habilidades

durante o processo, que é justamente o objetivo principal.

2.1 A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO CÁLCULO DE VOLUMES

Há alguns anos, o ensino e o aprendizado da Matemática eram

tradicionalmente conhecidos pelas técnicas de memorização. Quem tem

aproximadamente 40 anos pode se lembrar de que foi obrigado a escrever a

tabuada centenas de vezes, preenchendo as linhas de diversos cadernos,

especialmente quando não conseguia responder oralmente ao professor sobre tais

multiplicações.

Nesta época, lembra Onuchic (1999), o caminho de trabalho da Matemática

era a aritmética, a álgebra e a geometria. Mas, no caminhar histórico da Educação

Matemática, passando pela técnica de repetição, por exemplo, percebeu-se que

sempre havia muita abstração no ensino da Matemática. Eram muitos símbolos e

uma gama de conceitos de difícil abordagem, com excessiva formalidade, o que

afastava o ensino da realidade sociocultural dos estudantes. Tudo isto contribuía

para desanimar os alunos e os professores que viam suas estratégias fracassarem.

Onuchic (1999) esclarece que foi então que a resolução de problemas passou

a receber atenção dos educadores matemáticos em todo o mundo, no final da

década de 1970, e a partir de 1980 ficaram sendo conhecidas as recomendações

para o ensino de matemática, tendo a resolução de problemas como uma das

principais linhas de ensino da Matemática. A resolução de problemas passou a ser

uma concepção relevante, pois, a partir dela o aluno aprendia matemática

resolvendo problemas, tendo que aprendê-la para resolvê-los.

Trata-se de uma abordagem mais significativa e que está fundamentada nas

recomendações dos Parâmetros Curriculares Nacionais, que informam que os

conceitos e habilidades matemáticas são passiveis de serem aprendidos no contexto

da resolução de problemas (ONUCHIC, 1999);

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998, p.40):

A prática mais frequente na Resolução de Problemas, consiste em ensinar um conceito, um procedimento ou técnica e depois apresentar um problema para avaliar se os alunos são capazes de empregar o que lhes foi ensinado. Para a maioria dos alunos, resolver um problema significa fazer cálculos com números do enunciado ou aplicar algo que aprendam nas aulas. Desse modo o que o professor explora na atividade matemática não é mais a atividade, ela mesma, mas seus resultados, técnicas e demonstrações.

A solução de um problema irá exigir uma série de investigações, a partir da

formação de um conceito que será o primeiro passo para se alcançar o objetivo

esperado. É a operação mental fazendo com que na atividade prática, da resolução

de problemas, o aluno seja levado a buscar possíveis caminhos para atingir o

resultado, motivado pelo desafio anunciado.

Também Polya, em seu livro A Arte de Resolver Problemas (1978), apresenta

um conjunto de passos que deverá levar os alunos a fazerem descobertas na

matemática, desenvolvendo o raciocínio. Esses passos são: a compreensão do

problema, a concepção de um plano, a execução do plano e a reflexão sobre o que

foi feito. Utiliza o termo heurística, para demonstrar os passos que são exigidos na

arte da resolução de problemas. Para ele, resolver um problema é encontrar um

caminho a partir de uma dificuldade.

Para Buriasco (1995) a Resolução de Problemas deve ser desenvolvida

sempre partindo de problemas que serão utilizados como meio para alcançar

determinados fins, podendo servir como justificativa, motivação, recreação,

desenvolvimento de novas habilidades e como prática da técnica aprendida.

É uma estratégia que busca atingir outros objetivos. Este seria um dos

significados da resolução de problemas, mas, além dele também é necessário que a

resolução de problemas seja vista como uma habilidade em si mesma que poderá

se tornar um instrumento para a aquisição de conceitos matemáticos básicos, da

capacidade de resolver problemas rotineiros e não rotineiros, bem como, é preciso

que esta estratégia sirva para “fazer matemática” (grifo da autora). Aprender

matemática é aprender a resolver problemas (BURIASCO, 1995).

O problema a ser resolvido será sempre uma situação nova que desafiará a

utilização de estratégias para a tomada de decisões em busca dos resultados, o que

deverá levar o aluno a converter-se em aprendiz independente, intérprete e usuário

da matemática. Exposta esta tendência, esta pesquisa segue investigando como

utilizar tal metodologia para o cálculo de volumes.

2.2 GRANDEZAS E MEDIDAS

Com a Revolução Francesa os padrões universais de medidas consolidaram-

se, o que não impediu que as pessoas continuassem utilizando outras formas não

padronizadas de medir.

Ao sistema escolar cabe o ensino sistematizado com medidas, que deve partir

do conhecimento que o aluno apresenta sobre o tema, cuidando para que, ao

apresentar o conteúdo nas aulas de Matemática, tal trabalho seja de forma

investigativa e a partir da resolução de problemas que possibilite o resgate do

conhecimento de cada um deles para a construção de um saber elaborado e formal

a respeito do conteúdo programado.

A proposta apresentada para o Ensino Fundamental pelos Parâmetros

Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998) é a de que no ensino de Grandezas e

Medidas se busque comparar grandezas de mesma natureza, com a escolha de

uma unidade de medida da mesma espécie do atributo a ser mensurado;

identifiquem-se as grandezas mensuráveis no contexto diário, como comprimento,

massa, capacidade, etc.; reconheça-se e utilize-se de unidades usuais de medida

como o metro, o grama, o litro, o quilômetro, etc.; reconheça-se e utilize-se das

unidades usuais de tempo e temperatura; estabeleçam-se relações entre as

unidades usuais de medida de uma mesma grandeza, etc.

O aluno deverá compreender que grandeza é tudo aquilo que pode ser

medido, contado, e que estas grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou

diminuídas. Por isso, situações cotidianas servirão de exemplos para que eles

possam relacionar uma ou mais grandezas, e exercitarem o conceito na prática.

Visto que o tema Grandeza e Medidas têm cunho social muito forte, os alunos já

vem para a escola com experiências, mesmo que informais, desta natureza.

2.3 MEDIDAS DE VOLUME

As medidas de volume são também conhecidas como medidas de

capacidade. A unidade usual de volume deve ser utilizada de acordo com as

unidades das dimensões do corpo, que ocupará um espaço ou comportará alguma

substância, o que então será chamado de volume.

A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado

às medidas lineares. As unidades de volume são apresentadas de acordo com o

Sistema Internacional de Medidas (SI) abordando as medidas de metros

cúbicos=m³; a do decímetro cúbico=dm³; e a de centímetro cúbico = cm³, bem como,

são ensinadas as medidas de capacidade, o litro=l e o mililitro =ml.

Se torna bem mais motivador apresentar ou rever o conceito de volume

associado à visualização e ao raciocínio espacial, por sugerir outras investigações,

pois, as imagens possibilitam o esclarecimento e a simplificação de conceitos

geométricos e matemáticos, segundo estudos de Battista e Clements (1998 apud

SERRA, 2010).

É possível encontrar outros sólidos de outras formas que possuem volume e

capacidade. No caso da medida de capacidade de 1 litro (l), há a correspondência

de 1000 mililitros (ml).

A medida padrão de volume ou capacidade é representada simbolicamente

por m3 (metro cúbico), que é uma unidade derivada do metro. Além do metro cúbico

(m3), neste projeto são apresentados o decímetro e centímetro cúbico (dm3, cm3).

2.3.1 Medida de Volume e a Resolução de Problemas

O volume representa o que um corpo ocupa no espaço; e a capacidade, o

quanto ele é capaz de armazenar em seu interior, torna-se interessante partir para a

proposta de resolução de problemas para observar o quanto o aluno reconhece esta

medição no seu dia a dia. Tais situações-problemas permitem que os alunos

rememorem os conceitos já aprendidos.

A prática diária de cada aluno pode dar a conhecer quantos milímetros

cúbicos cabem dentro de um litro, mas é muito difícil que já tenham compreendido

que um litro é igual a um decímetro cúbico, fato que importa para a escolha das

situações problemas que surgem no decorrer do aprendizado de grandezas e

medidas, especialmente no caso da medida de volume.

São muitas as situações que necessitam do cálculo de volumes. E elas

devem ser dadas a refletir para que os alunos consigam resolver problemas que lhes

sejam úteis. Antes eles precisam imaginar momentos em que este cálculo é usado,

como, por exemplo, o volume do concreto a ser usado numa fundação, o volume de

água em uma piscina, a capacidade de armazenamento de um silo de grãos ou de

carga em um caminhão.

Trata-se de uma visão mais ampla e integrada do cálculo da medida de

volume, cálculo este que deve ser iniciado com a revisão do conceito de área,

buscando encontrar uma forma para simplificar essa contagem.

Os alunos precisam compreender o que vai ser medido (volume); para que

escolham o instrumento que utilizaram para fazer a medição; e, por último, decidam

a forma como os resultados serão apresentados.

Métodos não usuais, ou medidas não convencionais, são mais atraentes, pois

podem possibilitar a proximidade do problema a ser resolvido com a realidade do

aluno. Ademais, podem-se explorar os números racionais em sua notação

fracionária (½ litro) e decimal (500 ml), num momento em que os alunos deverão

mudar a unidade escolhida.

Antes de falar em litro, por exemplo, o professor pode se utilizar de copos

para medir volume, e desenvolver, a partir disso muitas atividades exploratórias para

traçar um diagnóstico do conhecimento prévio de cada aluno.

A partir deste tipo de comunicação eles percebem um padrão para chegar às

soluções dos problemas apresentados.

3 PRODUÇÃO E IMPLEMENTAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO PEDAGÓGICO

3.1 MEDIDAS NÃO-PADRONIZADAS E PADRONIZADAS

Inicialmente o professor observou as dificuldades apresentadas pela turma

fazendo uma sondagem, para verificar a melhor forma de desenvolver o trabalho.

Em seguida comentou sobre a metodologia utilizada em conformidade com Polya,

que em seu livro A arte de Resolver Problemas (1978), apresenta os seguintes

passos: a compreensão do problema, a concepção de um plano, a execução do

plano e a reflexão do que foi feito. Foi explicado que esta metodologia tem o objetivo

de levar os alunos a fazerem descobertas na matemática, desenvolvendo o

raciocínio.

Quando da primeira atividade, os alunos com a posse de gavetinhas de

caixas de fósforo adaptadas e cubinhos de 1 cm3, deveriam verificar o volume

ocupado pela gavetinha.

Figura 1: Gavetinhas de caixa de fósforos adaptada e cubinhos de 1 cm3

Fonte: arquivo do autor

Verificou-se que, os alunos seguiram as etapas de Polya (1978), isto é,

através da leitura do problema, compreenderam o que estava sendo abordado,

construíram um plano, o executaram e discutiram os resultados obtidos. Como esta

atividade era considerada fácil, a etapa mais difícil foi, após a leitura, interpretar o

que estava sendo pedido no problema.

A figura abaixo mostra o resultado obtido na elaboração do problema.

Figura 2: Resultado da atividade do volume da gavetinha de caixa de fósforos Fonte: arquivo do autor

A atividade foi um bom preparo para os alunos realizarem os demais

problemas propostos e atingirem o objetivo que era verificar o volume e conceituá-lo

como medida, e também, aprofundar o conhecimento do tridimensional e outros

conteúdos da geometria.

Para inserir o conteúdo estruturante do ensino de medida de volume, foi

necessário revisar outros conceitos e operações, para que os alunos entendessem o

significado do conteúdo, seu caráter prático e utilitário, obedecendo ao que é

proposto pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998, p.25) quando diz

que “o conhecimento matemático em relação à quantificação real, contagem,

medição de grandezas, vai muito além [...]”. O aluno pode fazer conexões com

diversos temas matemáticos, com as demais áreas do conhecimento e situações do

meio em que ele vive.

Por isso, é necessário sempre desenvolver habilidades para interpretar e

expressar informações sobre a Medida de Volume no contexto da resolução de

problemas, de forma que se possa reconhecer sua importância conceitual.

3.2 INTEGRAÇÃO DOS CONTEÚDOS MATEMÁTICOS COM OUTRAS ÁREAS

De acordo com Onuchic (2012) o ensino da Matemática pode ser melhorado

observando alguns pontos. Dentre eles, cabe notar que é preciso ensinar tanto as

habilidades básicas quanto as de ordem superior; que os estudantes devem ser

levados a acreditar que podem imaginar, representar e compreender o que

aprendem, que o ensino da Matemática deve ser uma atividade para a vida toda e

que todas as facilitações para isto devem estar sempre disponíveis, a Matemática

deve ser aprendida como um todo integrado – com atividades concretas e intuitivas,

que os alunos devem perceber que a Matemática pode ser utilizada com eficiência e

que é preciso que os professores conheçam diversos caminhos para ajudar os

estudantes a aprenderem Matemática.

É preciso, portanto, ir ao encontro das necessidades dos alunos,

especialmente no momento atual onde as mudanças ocorrem de forma tão rápida

exigindo que o aprendizado seja útil para ser interessante.

Buscando a integração dos conteúdos matemáticos com outras áreas do

conhecimento, a segunda atividade envolveu-se com os conteúdos de língua

portuguesa e história em que se inicia com o relato de um dos três problemas

clássicos da geometria grega ocorrido por volta de V e IV a.C., a “Duplicação do

Cubo”, consistindo em construir um cubo com o dobro do volume do outro.

Por quanto se deve multiplicar a aresta do primeiro cubo para que se tenha

um segundo cubo com o dobro do volume do primeiro?

V1 = a3 V2 = 2.a

3

Figura 3: Volume do cubo 1 Figura 4: Volume do cubo 2 Fonte: arquivo do autor Fonte: arquivo do autor

Este problema foi o que mais chamou a atenção da equipe pedagógica, no

momento da apresentação na semana pedagógica, e o autor teve que resolver o

problema no quadro, satisfazendo assim, as curiosidades de todos participantes

daquele encontro.

Os professores participantes do Grupo de Trabalho em Rede, na ocasião do

fórum, questionaram sobre o grau de dificuldade que os alunos encontraram para

resolver o problema que envolvia o cálculo de raiz cúbica, reiteraram que este

conteúdo é trabalhado no ano seguinte, ou seja, 8 º ano do Ensino Fundamental;

mas foi respondido que o aluno iria depender apenas do conhecimento de números

racionais, pois iria utilizar à calculadora e fazer as devidas aproximações.

3.3 ESTABELECENDO A RELAÇÃO ENTRE MEDIDA DE VOLUME E

CAPACIDADE

Para estabelecer a relação entre medida de volume e capacidade foi

solicitado que os alunos trouxessem embalagens no formato de bloco retangular,

como exemplo: embalagens de leite, de sucos, água de coco e outras que tivessem

o formato solicitado para a realização da atividade.

Figura 5: Embalagem de leite Fonte: arquivo do autor

As Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná (PARANÁ, 2008), já

esclarecem que se deve trabalhar as noções de medidas por meio de atividades

significativas, de forma que a unidade em estudo possa ser comparada com a

grandeza a ser medida, bem como conheça os instrumentos utilizados nos dias

atuais, e ainda recordem que no decorrer do tempo histórico houve uma evolução

nas escolhas destes instrumentos.

De acordo com as DCE/PR para o Ensino Fundamental, dentro do Conteúdo

Estruturante Grandezas e Medidas, se encontram o conteúdo de “medidas

derivadas”, onde se enquadra a medida de volume, tema abordado juntamente com

outros conteúdos matemáticos (PARANÁ, 2008).

Por isso, quando do trabalho com o conteúdo de Medida de Volume para a

Educação Básica (no Ensino Fundamental) foi necessário que os conhecimentos

geométricos fossem valorizados, pois este conhecimento geométrico engloba a

geometria espacial, nomenclaturas, estruturas e dimensões dos sólidos geométricos,

bem como os cálculos de medidas de arestas, volume de prismas retangulares

(paralelepípedo e cubo) (PARANÁ, 2008).

Os alunos realizaram as medidas das embalagens, eles transcreveram os

dados obtidos no caderno e efetuaram os cálculos comparando os valores da

capacidade com o valor aproximado do volume, conforme o ilustrado na figura 6 a

seguir:

Figura 6: Resultado do volume da embalagem de leite Fonte: arquivo do autor

Os resultados alcançados no cálculo dos volumes foram próximos aos valores

da capacidade observados nas embalagens, logo, os alunos estabeleceram as

relações entre a medida de capacidade e volume. Esta atividade, de certa forma,

envolveu as famílias dos alunos na seleção dos materiais e poderia ser também

trabalhado com o reaproveitamento das mesmas juntamente com a disciplina de

Arte, tais como: porta canetas, vasos decorativos, dentre outros.

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Os resultados alcançados pela implementação pedagógica foram

satisfatórios, tendo em vista o grande avanço na aprendizagem, bem como na

aceitação dos alunos pela utilização da metodologia de resolução de problemas. Em

mediações com os mesmos, o autor percebeu também um aumento na autoestima

dos educandos e certamente uma curiosidade nas realizações das atividades

descritas.

Neste sentido, este trabalho ressaltou aspectos qualitativos, ou seja,

procedimentos, atitudes e conceitos; pois as dificuldades na aprendizagem variam

em cada indivíduo dentro de um mesmo contexto. A ênfase é naturalmente maior no

processo do que no produto.

Foi possível perceber a dificuldade dos alunos na aprendizagem das

operações matemáticas, mesmo sabendo que muitos destes já trabalham, recebem,

fazem compras, entre outras atividades; necessitando ainda mais destas operações

básicas para o seu cotidiano.

A utilização da resolução de problemas no cálculo de volumes proporcionou

aos alunos o sentido do objeto de estudo, eles conseguiram construir um

pensamento indutivo, sem a necessidade de fórmulas e/ou cópias de modelos

repetitivos das situações problemas, pois aprenderam refletindo e pensando no

saber matemático.

Os professores do Grupo de Trabalho em Rede participaram, interagiram e

contribuíram de forma satisfatória e os resultados obtidos na implementação

pedagógica foram muito além dos esperados, de forma que satisfez o autor e toda

equipe pedagógica, que concluíram que plano de intervenção teve êxito, podendo e

pode ser utilizado a qualquer momento junto a alunos que compõem a rede pública

de educação, nas séries finais do ensino fundamental.

5 REFERÊNCIAS

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Ensino de 5° a 8° séries. Brasília-DF: MEC, 1998.

BURIASCO, R. L. C. de. Sobre a Resolução de Problemas (I). Nosso Fazer. Londrina, 1, n.5. Londrina, 1995, p. 1. ONUCHIC, L. R.. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de Problemas. In: Maria Aparecida Viggiani Bicudo. (Org.). Pesquisa em educação matemática. São Paulo: Editora da UNESP, 1999.

______. A resolução de problemas na Educação Matemática: onde estamos e para onde iremos? IV Jornada Nacional de Educação Matemática. XVII Jornada Regional de Educação Matemática. Passo Fundo-RS. Universidade de Passo Fundo, 06 a 09 de maio de 2012. Disponível em: <http://www.upf.br/jem/index.php?option=com_content&task=view&id=10&Itemid=> Acesso em: 02 jun. 2013.

PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica - Matemática. Curitiba: SEED/PR, 2008.

POLYA, G.. A. arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Rio de Janeiro: Interciência, 1978.

SERRA, S. C. C.. Conceito de Volume: uma experiência no 6º ano de escolaridade. Dissertação de Mestrado. Escola de Educação Superior de Lisboa. Lisboa, 2010.