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ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS FASCÍCULO I

ELABORAÇÃO

Mariluce Maria da Silva Regina Celi de Melo André

2019

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]

Prezado (a) Professor (a),

A partir da construção e publicação do Currículo de Pernambuco para o Ensino

Fundamental, a Secretaria de Educação e Esportes do Estado, em parceria com a

Undime, apresenta os Cadernos de Orientações Metodológicas como material

de apoio. Estes cadernos foram elaborados com o objetivo de proporcionar

sugestões didático-metodológicas que contribuam com a prática docente. Eles se

constituem em documentos complementares que abordam objetos de

conhecimento, unidades temáticas e temais contemporâneos, entre outros

aspectos, contemplando todos os componentes curriculares, com ênfase na

conexão entre a teoria e a prática, promovendo a articulação ora entre as

competências gerais e específicas, ora entre estas e as habilidades a serem

desenvolvidas a cada ano escolar. Ressaltamos que este é o primeiro fascículo de

uma série de outros cadernos que serão publicados posteriormente.

As atividades propostas no Caderno de Orientações Metodológicas poderão

servir de inspiração para a elaboração e o desenvolvimento de outras atividades

que busquem promover o engajamento dos estudantes no processo de ação e

reflexão, favorecendo a construção e sistematização dos conhecimentos.

Esperamos que este material contribua para enriquecer a sua prática de sala

de aula, auxiliando você, professor, no planejamento das atividades e fortalecendo

o processo de ensino-aprendizagem.

APRESENTAÇÃO

Ana Coelho Vieira Selva Sônia Regina Diógenes Tenório Coordenadora Estadual - SEE Coordenadora Estadual UNDIME/PE

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Para início de conversa...

Este Caderno de Orientações Metodológicas apresenta propostas de atividades e

situações de ensino que podem ser organizadas e desenvolvidas em sala de aula,

servindo de referência para o seu planejamento e respaldando o seu papel de

mediador. São sugestões que abordam temas e objetos de conhecimentos em

diversas unidades temáticas. As linhas metodológicas que norteiam estas

orientações estão pautadas pela resolução de problemas e pelo trabalho em grupo.

Quanto à metodologia da resolução de problemas, ela se caracteriza pelo

exercício constante da reflexão crítica diante de situações-problema. Isto significa

que, a cada questão proposta, não é suficiente a obtenção de uma resposta correta,

mas a análise da resposta e da própria questão. Desse modo, é necessário que se

coloquem outros problemas a partir do inicial para o estudante, instigando-o com

alguns questionamentos:

- Esta é a única resposta?

- Há outras maneiras de se obter a resposta? Vamos comparar?

- Que mudanças sofre a resposta do problema se alterarmos um ou outro

dado?

- Que outros problemas podem ser sugeridos pelo problema original?

O exercício da postura crítica exige a reflexão sobre cada parte do problema e sobre

ele como um todo, levando o estudante a analisar cuidadosamente seus erros e o

pensamento de outros que podem divergir ou complementar seu raciocínio.

Enquanto isso, o trabalho em grupo, além de uma estratégia de ensino, deve ser

considerado como fundamental nas relações entre as interações sociais e o

desenvolvimento cognitivo do estudante. Ela permite a troca de ideias, a busca

coletiva de soluções e o compartilhamento de saberes e experiências vivenciadas

dentro e fora da sala de aula.

Essas estratégias de ensino convidam o estudante a “fazer matemática”, a

desenvolver a sua capacidade de mobilizar os conhecimentos apreendidos como

resposta a uma situação problema. Esta ideia exige esforço, engajamento e

iniciativa. Mas, para isso, a sala de aula deve ser um ambiente no qual os

estudantes sejam convidados a buscar soluções para os problemas apresentados,

instigando-os a pensar, argumentar e dar sentido, a compreender ativamente os

conceitos matemáticos explorados, testar ideias e fazer conjecturas, desenvolver

raciocínios e apresentar explicações de forma escrita ou verbal (Currículo de

Pernambuco, 2018). É importante também levar em consideração o ciclo de

alfabetização da criança dos anos iniciais. A alfabetização matemática é o processo

de organização dos saberes que a criança traz de suas vivências anteriores, de

forma a levá-la a construir um corpo de conhecimentos matemáticos articulados

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que potencializem sua atuação na vida cidadã. Esse é um longo processo que

deverá, posteriormente, permitir ao sujeito utilizar as ideias matemáticas para

compreender o mundo no qual vive e instrumentalizá-lo para resolver as situações

desafiadoras que encontrará em sua vida na sociedade.

Professor, a partir de agora você está convidado a pensar em situações que

estimulem o fazer pedagógico e que estejam conectadas com as mudanças e

tendências de um novo olhar para o currículo. Destacamos que, no planejamento

das atividades a serem vivenciadas em sala de aula, é necessário também observar

as competências específicas da área articuladas a cada objeto de conhecimento e

habilidade correspondentes.

Esperamos que as atividades propostas se constituam em um material de

apoio diversificado de estratégias didáticas que auxiliem o professor no papel de

instigar a curiosidade, o interesse e a investigação por parte dos estudantes, bem

como sirvam de inspiração para dinamizar e potencializar a prática docente de

modo a contribuir para a aprendizagem significativa e efetiva dos estudantes.

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PARA INÍCIO DE CONVERSA...

O pensamento algébrico envolve a formação de generalizações a partir de

experiências com números e operações, a formalização dessas ideias com o uso

de um sistema significativo de símbolos bem como a exploração dos conceitos de

padrão e de função.

A capacidade de prestar atenção e observar as regularidades existentes no

nosso cotidiano leva-nos a fazer generalizações e aplicá-las a outras situações.

Assim, o foco na etapa de ensino dos anos iniciais é na percepção de regularidades

em sequências figurativas repetitivas (ou padrões) com o objetivo de que o

estudante reconheça essa regularidade (ou padrão), seja capaz de descrevê-la, de

dar continuidade a ela, de comparar com outras sequências e de criar as próprias

sequências. Para isso, é interessante elaborar sequências de atividades que

envolvam movimentos corporais, uso de materiais manipuláveis, uso de tablet,

cantigas de roda, brincadeiras, ou seja, atividades que favoreçam a compreensão

de padrões e relações a partir de diferentes contextos. A ideia é trabalhar com

situações lúdicas em que o corpo e o movimento estejam também presentes. A

álgebra desenvolve o pensamento algébrico que permeia toda a Matemática, sendo

essencial e útil na vida cotidiana.

O que diz o Currículo de PE?

É recomendável que o ensino de álgebra seja desenvolvido desde os anos

iniciais do ensino fundamental com o cuidado de não o reduzir a simples

manipulação simbólica, mas estimulando o desenvolvimento do pensamento

algébrico.

Com relação à formação em álgebra, a ênfase deve ser não o trabalho

com símbolos, mas a busca, por parte do estudante, de identificar regularidades

em sequências, sejam elas numéricas, de figuras ou de outro tipo. As atividades

propostas pelo professor devem, entre outros aspectos, procurar levar o

estudante a identificar os elementos e as regras de formação dessas sequências.

Neste caso, espera-se, entre outras habilidades, que a criança descreva o padrão

em uma sequência recursiva ou não recursiva (como por exemplo: a sequência

dos divisores de um número). Tal trabalho pode ser muito bem articulado com o

estudo dos números, em especial com o emprego da reta numérica.

Sequência com uso de materiais manipuláveis

O material manipulável faz parte do cotidiano da Educação Infantil e também

da primeira etapa do Ensino Fundamental. Geralmente as escolas possuem

UNIDADE TEMÁTICA: ÁLGEBRA

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materiais diversificados, como: brinquedos, recursos pedagógicos (massas de

modelar, blocos lógicos, barras Cuisenaire, blocos de encaixe, miniaturas de

animais ou carros, coleções diversas), os quais poderão ser utilizados para

composição de sequências repetitivas.

As sequências com materiais manipuláveis permitem um movimento mais

dinâmico, pois, uma vez criadas, podem ser discutidas com os colegas e com você,

professor, e podem ser refeitas, caso não tenham um motivo de repetição. Lembre-

se do seu papel central nos questionamentos e nas problematizações que faz ao

grupo, de forma que as crianças possam explicitar qual é o motivo da sequência.

E, no caso de dificuldade, você poderá fazer mediações, favorecendo o

desenvolvimento do pensamento algébrico.

As atividades propostas nesta sessão visam o reconhecimento do motivo de

uma sequência pela percepção de sua regularidade, pela continuidade a uma

sequência repetitiva e pela identificação dos discursos matemáticos dos

estudantes, que emergem durante o processo de ensino e aprendizagem.

ATIVIDADE INTRODUTÓRIA – Resgatando os conhecimentos prévios

Material necessário: Massa de modelar, pedaço de barbante (ou similar) e

miçangas ou contas de diferentes cores.

Desenvolvimento:

Etapa 1: Você cria uma centopeia com massa de modelar para que os

estudantes, em roda, identifiquem como as cores se repetem no corpo da

centopeia, ou seja, o motivo da sequência. Em seguida, solicita aos estudantes

que continuem o motivo, aumentando o corpo da centopeia, como representado.

Etapa 2: Em duplas, as crianças criam centopeias com um motivo de repetição

para o colega descobrir e continuar.

Etapa 3: As crianças poderão fazer o registro de uma das sequências criadas.

Registro do professor:

No desenvolvimento da atividade você acompanha as crianças trabalhando nos

pequenos grupos, observando como produzem as sequências, fazendo

questionamentos para se certificar de que há compreensão do que seja o motivo

de repetição. Nesse momento, as diferentes estratégias poderão ser revistas com

as suas mediações. Uma opção interessante é fotografar as sequências produzidas

pelas duplas e projetar para discussão posterior de toda a turma.

As discussões poderão ser encaminhadas com questões como:

- Há um segredo (ou motivo de repetição) nessa sequência? Qual é?

- Se você fosse continuar a sequência criada pelos colegas, qual cor usaria

para o corpo da centopeia?

No seu registro pessoal poderá anotar aspectos da participação das crianças: se

elas utilizaram o material manipulativo de forma lúdica; se foram capazes de criar

sequências.

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ATIVIDADE: O fio de contas

Desenvolvimento:

Etapa 1: Entregue para as crianças, em pequenos grupos, miçangas/contas e

fios de barbantes ou similar para que manuseiem livremente. Questione o que

fizeram com o material.

Notas para o professor:

O material precisa ser selecionado cuidadosamente, certificando-se de que: os

buracos das contas permitem a passagem do fio; os estudantes dessa faixa etária

conseguirão manusear; o material não traz riscos para as crianças (pôr na boca,

no ouvido ou no nariz, comer…). Uma substituição do material seria possível com

o uso de círculos de EVA recortados ou canudos coloridos cortados.

Etapa 2: Você apresenta aos estudantes uma sequência pronta,

preferencialmente com duas cores de conta. Por exemplo: uma azul e uma

vermelha. Reproduza o motivo por três vezes e inicie a quarta repetição,

conforme figura a seguir:

Figura – Modelo de sequência de contas

É importante que você não amarre as pontas do barbante para não dar a ideia

de colar ou pulseira. As pontas poderão ser presas separadamente com fita crepe

para que as contas não se soltem. Apresente o fio de contas aos estudantes e

questione:

I) Observem o fio de contas. Quais as cores que se repetem?

II) Se vocês fossem continuar, qual seria a cor da próxima conta? Como vocês

sabem disso?

Outra proposta para essa atividade seria a contação de uma história como forma

de despertar o interesse e motivar a turma.

Por exemplo: “Uma fada precisa abrir a porta de seu castelo com sua chave

mágica. A chave é composta de contas coloridas. Como ela é muito desastrada

e deixou a chave cair, agora precisa arrumá-la de forma que fique certinha.

Vamos ajudá-la? A chave precisa ter 10 contas”.

Proponha, então, que os estudantes reproduzam a chave feita (o fio que pode

ser construído com pedaços de ‘macarrão’ de piscina) e continuem até chegar na

décima conta da sequência. Ao final, faça perguntas para se certificar de que

houve compreensão e que as sequências foram montadas corretamente. As

questões anteriores poderão ser utilizadas.

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Etapa 3: As crianças elaboram as sequências. Organize as crianças em duplas

e distribua o material para que criem sequências para outra dupla descobrir o

segredo. Use duas ou três cores diferentes.


Se você considerar que os estudantes não conseguirão criar a sequência, poderá

levar outros modelos já iniciados, com três ou quatro cores, para que as crianças

continuem.

Etapa 4: Proponha a troca das sequências entre as duplas, caso elas tenham

sido criadas pelas próprias crianças.

Registro do professor:

No desenvolvimento da atividade, você acompanha as crianças trabalhando nos

pequenos grupos, observando como produzem as sequências, fazendo

questionamentos para se certificar de que compreenderam o motivo de repetição.

Nesse momento, as diferentes ideias poderão ser revistas com as suas

intervenções. No momento da socialização das sequências, você precisa dar

oportunidades para que todos possam expor o raciocínio utilizado. Lembre-se de

que falar como pensou é uma das formas de desenvolver o pensamento algébrico.

No seu registro pessoal, você poderá anotar se a criança utilizou o material

manipulativo de forma lúdica, se foi capaz de criar motivos de repetição, se

conseguiu dar continuidade à sequência, explicitando o motivo. E poderá também

avaliar se elas manifestaram avanços na percepção de regularidades.

COMPETÊNCIA ESPECÍFICA – 2ª

OBJETO DE CONHECIMENTO: Padrões figurais e numéricos: investigação de

regularidades ou padrões em sequências.

HABILIDADE:

(EF01MA09PE) Organizar e ordenar objetos familiares ou representações por

figuras, por meio de atributos, tais como cor, forma e medida.

ANO ESCOLAR: 1º

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DETALHAMENTO DA HABILIDADE

A organização e a ordenação de objetos se relacionam com a observação de um

conjunto de objetos do cotidiano, identificação de um padrão (forma, cor, tamanho

etc.) e aplicação do padrão observado na organização de sequências.

Abordagem possível: Agrupar, classificar e ordenar favorece o trabalho com

padrões, em especial se os estudantes explicitam suas percepções oralmente, por

escrito ou por desenho. Os padrões constituem uma forma pela qual as crianças

mais novas conseguem reconhecer a ordem e organizar seu mundo, revelando-se

muito importantes para explorar o pensamento algébrico.

SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES – PERCEPÇÃO DE REGULARIDADES E PADRÕES


As atividades propostas centram-se em exemplos de sequências de repetição,

em que os elementos que se repetem formam o padrão da sequência. Por

exemplo, na Figura 1, o padrão de repetição é: triângulo azul e triângulo

vermelho.

Figura 1

NA SALA DE AULA...

ATIVIDADE 1: Qual o segredo?

Etapa 1: Esta atividade consiste em organizar uma fila, de modo que haja um

padrão (motivo) de repetição, conforme a Figura abaixo.

INTERFACE

INTRACOMPONENTE

Articula-se com (EF01MA03), (EF01MA05), (EF01MA13) e

(EF01MA14).

INTERFACE

INTERCOMPONENTE

Articula-se com (EF01LP15) e com (EF15AR23)

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Exemplos de padrão de repetição:

– em pé, agachado, em pé, agachado;

– menino, menina, menino, menina;

– de sandálias, de tênis, de sandálias, de tênis;

– calçado, descalço, calçado, descalço.

Pode-se iniciar a brincadeira coletivamente com toda a turma ou parte dela e,

enquanto uma turma organiza a fila sob o seu comando, a outra observa a fila;

ao final, trocam-se os papéis. Você pode começar a organização da fila, dispondo

as crianças segundo um padrão. A sugestão é que o padrão tenha apenas dois

ou três elementos. Após a repetição de dois ou três padrões, você solicita aos

demais estudantes que entrem na fila, seguindo o segredo iniciado. Explore a

ideia de que o segredo se refere aos elementos que se repetem numa mesma

posição.

Etapa 2: Em roda, coletivamente, você explica a brincadeira: duas crianças

sairão da sala, pois elas terão que descobrir o segredo da fila que as demais

crianças criarão. A brincadeira pode ser repetida enquanto as crianças estiverem

envolvidas.

Etapa 3: Ao final, você poderá propor uma roda de conversa, discutindo com as

crianças o que elas observaram e quais segredos (motivos de repetição) foram

criados.

Etapa 4: Esta tarefa poderá ser registrada pelas crianças desta forma: ao final da

roda de conversa, proponha que desenhem uma das filas organizadas na

brincadeira. A expectativa não é de avaliar se os estudantes desenham de forma

ideal, mas se conseguem colocar, no desenho, elementos que indiquem a

compreensão do motivo de repetição na brincadeira. Esse registro poderá ser

compartilhado com os colegas da classe.

Você pode aproveitar esse momento para fazer intervenções com questões que

ajudem os estudantes a explicitar suas ideias.

Atividade adaptada da Coleção SBEM (Volume 12, 2018)


OBJETO DE CONHECIMENTO: Sequências recursivas: observação de regras

usadas utilizadas em seriações numéricas (mais 1, mais 2, menos 1, menos 2,

por exemplo).

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HABILIDADE:

(EF01MA10PE) Descrever, após o reconhecimento e a explicitação de um

padrão (ou regularidade), os elementos ausentes em sequências recursivas de

números naturais, objetos ou figuras.

Detalhamento da Habilidade

Descrever um padrão implica em observar e explorar sequências numéricas ou

geométricas, de modo a perceber sua regularidade e, então, expressá-la.

Chamamos de sequência recursiva (ou recorrente) quando um determinado termo

pode ser calculado em função de termos antecessores, como, por exemplo, na

sequência numérica 0, 2, 4, 6, 8..., na qual cada elemento a partir do segundo é

obtido da soma do seu antecessor com 2. É importante acrescentar já no primeiro

ano a exploração da ideia de igualdade.

Abordagem possível: É importante destacar um trabalho envolvendo noções que

facilitam o desenvolvimento do pensamento algébrico, como a identificação de

regularidades ou padrões. Por meio das experiências escolares com busca de

padrões, os estudantes deverão ser capazes de identificar o termo seguinte em

uma sequência e expressar a regularidade observada em um padrão. Outro

aspecto relevante é a exploração da ideia de igualdade, por exemplo, com

situações nas quais seja necessário criar um conjunto em que o número de objetos

seja maior que, menor que ou igual ao número de objetos em outro conjunto.

Considera-se relevante incentivar os estudantes a criarem representações visuais

das regularidades observadas, bem como o estímulo para que expliquem oralmente

suas observações e hipóteses.

ATIVIDADE 1 - As Peripécias de Alice

Alice é uma menina criativa que adora fazer coisas novas e criar mistérios com

enigmas. Sempre que pode, inventa mil e uma histórias com segredos para seus

amigos descobrirem.

INTERFACE

INTRACOMPONENTE

Articula-se com (EF01MA04), (EF01MA05), (EF01MA13) e

(EF01MA14)

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Ela resolveu criar seu primeiro segredo! Olha o que Alice fez com as imagens

que tinha em seu computador:

Que tal descobrirmos o segredo que Alice usou para criar essas imagens?

Questionamentos que o professor pode fazer:

a) O que observam nessas imagens?

b) As imagens se repetem em alguma ordem? O que você descobriu?

c) Você acha que foi esse o segredo que Alice usou?

Atividade adaptada da Coleção SBEM (Volume 12, 2018)

Respostas esperadas:

a) A expectativa é que os estudantes percebam que há a repetição das imagens do

cachorro e do urso.

b) Essas imagens se repetem nesta ordem: cachorro-panda.

c) Neste item, analise as respostas dadas pelos estudantes, buscando chegar ao

consenso de que a repetição das fotos na ordem indicada foi o segredo que Alice

usou.

ATIVIDADE 2 - As Estripulias de Pedrinho

Pedrinho é um garoto muito esperto e brincalhão. Ele também gosta de inventar

mistérios para os amigos descobrirem. Vejam a ideia que ele teve:

a) Nessas imagens, o que observam?

b) Os piões são todos iguais?

c) Os piões se repetem em alguma ordem? O que você descobriu?

d) Você acha que foi esse o segredo que Pedrinho usou?

e) Usando o segredo que você descobriu, quais seriam as próximas figuras?

Atividade adaptada da Coleção SBEM (Volume 12, 2018) [livro eletrônico]

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a) A expectativa é que os estudantes percebam que os quatro primeiros piões

constituem o motivo de repetição. Assim, na sequência, há a repetição de dois

motivos e o início do terceiro motivo.

b) Os piões são iguais, mas estão em posições diferentes. Dois deles estão virados

para a esquerda; e dois, para a direita.

c) Sim, há uma ordem de repetição: dois virados para a esquerda e dois para a

direita.

d) Esperamos que haja o consenso de que foi esse o segredo que Pedrinho usou.

e) Se a continuidade da sequência for à extremidade direita, a expectativa é que os

estudantes desenhem um pião virado para a esquerda e dois para a direita. Se

essa continuidade for na extremidade esquerda, eles desenharão dois piões

virados para a esquerda e dois para a direita. Eles poderão repetir o motivo quantas

vezes quiserem.

Atividade 3 – As novas peripécias de Alice

Alice resolveu fazer brincadeiras com as fotos de suas amigas: Júlia, Bia, Cris,

Paulinha, Manuela e Mel.

Júlia Bia Cris Paulinha Manuela Mel

a) E nessas imagens, o que observam?

b) Qual foi o segredo que ela usou para fazer essa estripulia?

c) Ainda faltam colocar quatro amigas: Carol, Dani, Fabi e Gabi. Como ficaria a

montagem dessas fotos?

d) Alice resolveu tirar da brincadeira Paulina, Manuela e Mel e deixou as amigas

Júlia, Bia e Cris. Ao tirar a fotografia das amigas, resolveu fazer mais uma de

suas estripulias. Veja como ficou e continue a sequência.

Atividade adaptada da Coleção SBEM (Volume 12, 2018) [livro eletrônico]

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a) As crianças poderão identificar diferentes regularidades quanto à posição do

corpo, das mãos ou dos pés, ao formato das mãos (com dedos e sem dedos), às

pintinhas no rosto, ao tipo de cabelo, etc. No entanto, quaisquer que sejam as

características identificadas pelos estudantes, o que precisa ser observado é se

elas se repetem em sequência. Só constituirão uma sequência repetitiva se houver

esse tipo de motivo.

A riqueza da atividade está nas discussões que surgirão.

b) O motivo será aquele de consenso da classe.

c) A continuidade depende do motivo escolhido pelos estudantes.

d) Agora o motivo da sequência ficou definido. Visualizamos duas possibilidades;

no entanto, as crianças poderão encontrar outras, desde que haja um motivo de

repetição. Seriam elas: 1) repetição dos nomes: Julia, Bia e Cris; 2) a posição do

corpo e das mãos: em pé com as mãos para cima, de ponta cabeça com as mãos

para baixo, em pé com as mãos para baixo.

Registro do professor

Você poderá fotografar as filas organizadas pelas crianças e projetar as fotos no

momento da roda para discussão dos motivos criados. E, ainda, registrar os

avanços dos estudantes, o quanto conseguem perceber os motivos de repetição e

falar sobre eles. Caso tenha sido solicitado o desenho, anote as principais

características dos desenhos, os avanços das crianças, a forma como elas

explicam, etc. Diante da exposição dos desenhos e das ideias das crianças a

respeito da brincadeira, você poderá realizar registros e comparar as observações

das crianças quanto à construção da sequência em si e à apropriação – ou não –

do motivo da sequência.

ATIVIDADE – A GINCANA DE BRINQUEDOS

A turma do 1º Ano participou de uma gincana escolar que durou 5 dias. O desafio

era levar a maior quantidade de brinquedos em uma semana. A professora

organizou grupos de crianças e desenhou quantos brinquedos levaram por dia.

Descubra quantos brinquedos falta desenhar.

IMPORTANTE: Em uma sequência de repetição, o que chamamos de segredo recebe o nome de motivo ou padrão. Você poderá voltar nas três sequências anteriores e discutir com os estudantes qual é o motivo de cada uma delas.

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GRUPO A

1º Dia –

2º Dia –

3º Dia -

4º Dia –

5º Dia –

GRUPO B

1º Dia –

2º Dia –

3º Dia –

4º Dia –

5º Dia –

GRUPO C

1º Dia –

2º Dia –

3º Dia –

4º Dia –

5º Dia –

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Conexão Intracomponente: Sugere-se explorar esta atividade

fazendo articulação com a unidade temática Números, focando nas

habilidades referentes ao objeto de conhecimento sobre as estruturas

aditivas, com foco na operação da adição.

Pode-se levantar as seguintes questões:

a) Quantos brinquedos cada grupo conseguiu levar para a gincana?

b) Qual grupo levou mais brinquedos?

c) Qual o total de brinquedos de todos os grupos?

COMPETÊNCIA ESPECÍFICA – 2ª e 4ª

OBJETO DE CONHECIMENTO: Construção de sequências repetitivas e de

sequências recursivas

HABILIDADE:

(EF02MA09PE) Construir sequências de números naturais em ordem crescente

ou decrescente a partir de um número qualquer, utilizando uma regularidade

estabelecida.


Descrever um padrão implica em observar e explorar sequências numéricas ou

geométricas, de modo a identificar uma de suas regularidades e, então, expressá-

las. Uma sequência é repetitiva quando tem um mesmo padrão de organização que

se repete a cada elemento. Por exemplo, na sequência 2, 4, 6, 8, 10..., o padrão de

repetição é que um termo é obtido somando 2 ao anterior. Uma sequência recursiva

explicita seu primeiro valor (ou primeiros valores) e define outros valores na

sequência em termos dos valores iniciais segundo uma regra. Por exemplo, na

sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, a recursividade está em que, a partir do segundo

termo, que é 1, os demais são obtidos da soma dos dois anteriores: 2 = 1 + 1; 3 =

1 + 2; 5 = 2 + 3 e assim por diante.

Abordagem possível: Em termos gerais, o coração da álgebra nos anos iniciais

está na identificação dos padrões observados e na descrição dessas regularidades.

Observar sequências já iniciadas, construir sequências, representar sequências em

retas numéricas e investigar elementos faltantes de uma sequência serão contextos

naturais de situações que os estudantes precisarão resolver. As generalizações

ANO ESCOLAR: 2º

INTERFACE

INTRACOMPONENTE

Introduz (EF02MA10) e (EF02MA11)

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podem ser expressas de várias maneiras — por meio da linguagem natural, de

desenhos, de símbolos e, futuramente, nos anos finais do ensino fundamental, com

o uso da linguagem algébrica.

PARA INÍCIO DE CONVERSA...

Trabalhar com sequências recursivas fazendo uso de materiais manipulativos

possibilita aos estudantes compreenderem que cada elemento da sequência é

determinado a partir do anterior com a repetição e o acréscimo de novos elementos.

Este trabalho é a base das sequências numéricas recursivas: cada elemento da

sequência é o anterior acrescido de algumas unidades. Por exemplo, nos números

naturais, cada fator é o anterior somado a um; nos números pares, é o anterior mais

dois. Veja o exemplo da figura a seguir:

Nesse tipo de sequência não há um padrão de repetição, pois o número de lápis

aumenta de um em um.

SEQUENCIA - Atividades manipulativas com motivos (padrões)

Nas atividades propostas, as crianças continuarão manipulando objetos; no

entanto, o motivo já vem estabelecido. A definição desses motivos visa contribuir

para que o processo de generalização comece a ser trabalhado, isto é, para que a

lei de formação da sequência repetitiva seja apropriada. Esta pode, por exemplo,

ser vista na seguinte sequência de contas: vermelha, branca, vermelha, branca,

vermelha. Essa sequência figurativa pode ser associada com números ímpares e

pares: os ímpares correspondem à cor vermelha e os pares equivalem à branca. A

percepção dessa regularidade possibilita que o estudante identifique que uma conta

na posição 39 será vermelha, pois 39 é um número ímpar. Esse tipo de trabalho

deve ser feito com o vocabulário próprio da faixa etária. Nessas atividades, também

já iniciamos o estabelecimento de relações entre sequências figurativas e

numéricas.

Os estudantes podem trabalhar independentemente, em duplas ou trios de

estudantes para continuar padrões feitos com materiais simples: botões, blocos

coloridos, cubos encaixantes, palitos, itens de formas geométricas que você

consiga reunir facilmente. Para cada conjunto de materiais, desenhe duas ou três

repetições completas de um padrão em tiras de papel com cerca de 5 cm por 30

cm. A tarefa dos estudantes é usar materiais reais, copiar o padrão mostrado e

continuá-los até onde eles desejarem. Selecione possíveis padrões para uma

variedade de materiais. Faça de 10 a 15 tiras de padrões diferentes para cada

conjunto de materiais. Com seis a oito conjuntos, sua turma toda pode trabalhar ao

mesmo tempo, em pequenos grupos trabalhando com padrões e materiais

diferentes.

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NA SALA DE AULA...

Nesta atividade, espera-se que a criança faça o reconhecimento do padrão/motivo

de uma sequência pela percepção de sua regularidade, generalize o motivo de uma

sequência e também identifique, a partir das falas dos demais estudantes, os

discursos matemáticos que emergem das tarefas.

Material necessário:

Cordão (pode ser barbante);

Contas coloridas (com três cores diferentes) e furadas (para passar o barbante).

O total de contas necessárias dependerá do número de estudantes de sua turma.

Garanta que haja material para todos os grupos.

ATIVIDADE 1: Sequências com Contas de Duas Cores

(Pode ser impressa e entregue a cada dupla ou trio)

Construir um fio de contas colocando uma conta VERDE, uma AMARELA, uma

VERDE, uma AMARELA, até completar 13 contas.

a) Se você fosse continuar o fio de contas, qual seria a cor da próxima conta?

Como você sabe disso?

b) Qual é o motivo da sequência?

c) Qual seria a cor da 20ª conta? Como você sabe disso?

d) Qual seria a cor da 51ª conta? Como você sabe disso?

Desenvolvimento da atividade:

Organizar os estudantes em duplas (ou trios).

Distribuir para cada grupo:

- Pedaço de barbante;

- 7 Contas verdes e 6 contas amarelas.

Os estudantes trabalharão em duplas (ou trios) e realizarão os registros. No caso

de turmas não alfabetizadas, você poderá ler a tarefa com eles.

Mesmo que os estudantes solicitem mais contas para continuar a sequência, não

as forneça, pois o objetivo é que eles comecem a ser capazes de estabelecer

relações entre a cor e sua posição.

Quando todos os grupos terminarem, é importante fazer a socialização da tarefa.

Você pode repetir as questões acima para a turma e formular outras de acordo

com a observação que você fez durante o trabalho nos pequenos grupos.

É fundamental que você faça uma síntese coletiva. É significativo que os

estudantes a anotem. Outra opção seria fazer essa síntese oralmente e você,

como escriba, grafá-la na lousa, em um papel pardo, no flipchart, etc. Esse

registro pode ficar fixado em sala de aula para posteriores consultas.


a) A próxima cor é verde.

b) O motivo é verde e amarelo.

20

c) A 20ª conta é amarela. Socialize as diferentes respostas e verifique quais

estratégias os estudantes utilizaram: continuaram contando no próprio fio de

contas, associaram com o ímpar e o par, fizeram o desenho, contaram nos dedos,

etc.

d) A 51ª conta é verde. Proceda como indicado acima.

Nota para o Professor:

As atividades seguintes podem apoiar as crianças na compreensão de como a

sequência foi construída, observando como o padrão foi modificado de um passo

ao seguinte. Isto revela a ideia da relação recursiva, permitindo examinar a

quantidade adicionada e perceber a recursividade do padrão.

ATIVIDADE 2: Continuando com Palitos

Observe a sequência abaixo:

1. Com os palitos distribuídos por seu professor, reproduza a sequência dada.

2. Agora, responda:

a) Como você pode observar, nessa sequência há um padrão. Conte a respeito

do que descobriu?

b) Qual seria a próxima figura da sequência? Como você sabe disso?

c) De que forma ficaria a 12ª figura? Explique como você chegou a essa

conclusão.

d) De que forma ficaria a 31ª figura? Explique como você chegou a essa

conclusão.

Desenvolvimento:

Etapa 1 - Organize os estudantes em duplas ou trios e distribua um total de 15

palitos para cada um com a cópia da folha de tarefas. Em seguida, peça para que

organizem os palitos na carteira de acordo com a sequência apresentada.

Etapa 2 - Após essa distribuição, os estudantes deverão fazer a leitura das

questões e discutir a respeito de cada uma delas, registrando suas conclusões.

Caso os estudantes ainda não sejam alfabetizados, o professor poderá ler os

enunciados e os registros poderão ser realizados coletivamente. É importante

limitar o número de palitos – neste caso, 15 palitos –, pois o objetivo é que os

estudantes busquem caminhos e estratégias para refletir acerca dos números

maiores propostos nos itens c e d.

21

Etapa 3 - Quando todos os grupos terminarem os registros, é importante garantir

o momento da socialização da tarefa. Nesses espaços de discussões, os

estudantes podem refletir acerca de suas respostas e das soluções de outros

grupos, validando algumas de suas respostas anteriores ou entrando em conflito

com elas, o que compõe um momento de grande importância para os estudantes.

É fundamental que você, professor, realize a síntese dessas colocações,

coletivamente na lousa, ou individualmente, utilizando algum outro recurso. O

essencial é garantir essa síntese para voltar a essas anotações sempre que

necessário.

Respostas esperadas: 2

a) Queremos que os estudantes identifiquem o padrão de crescimento da

sequência. Cada figura da sequência tem um palito a mais que a ilustração anterior.

Outra observação importante é se a quantidade de palitos da figura corresponde

ao número desta.

b) A próxima figura da sequência será:

c) Os estudantes dos anos iniciais podem fazer o desenho. No entanto, se eles

perceberam que o total de palitos é o número da figura, a 12ª figura tem 12 palitos.

d) A 31ª figura tem 31 palitos.

ATIVIDADE 3: Continuando com triângulos

Observe a sequência abaixo

1. Com os palitos distribuídos por seu professor, reproduza a sequência dada.

2. Agora, responda:

a) Como você pode observar, nessa sequência há um padrão. Conte a respeito

do que descobriu.

b) Qual seria a próxima figura da sequência? Como você sabe disso?

c) De que forma ficaria a 12ª figura? Explique como você chegou a essa

conclusão.

d) De que forma ficaria a 31ª figura? Explique como você chegou a essa

conclusão.

22

Desenvolvimento:

Etapa 1 - Organize os estudantes em pequenos grupos (duplas ou trios) e distribua

15 palitos a cada um destes. Oriente-os a reproduzir a sequência representada na

folha de tarefas. O número limitado de palitos é para que os estudantes, no

processo de construção, tenham que encontrar outra estratégia para a identificação

das figuras seguintes que não seja a construção por meio de palitos, chegando à

conclusão de que a cada novo triângulo, são acrescentados dois palitos à figura

anterior. A expectativa é que eles sejam capazes de observar o padrão de

crescimento e fazer generalizações. Acompanhe o trabalho dos estudantes

enquanto realizam a tarefa. Faça mediações em caso de dúvidas das crianças.

Etapa 2 - Terminada a tarefa nos pequenos grupos, promova a socialização. Dê

oportunidades para que todos os grupos apresentem suas conclusões e medeie o

processo. Ao final, promova a síntese com a turma.


Há possibilidade de tornar a tarefa mais complexa modificando os itens c e d, que

focalizam a quantidade de triângulos. A mudança envolve trocar o foco para a

quantidade de palitos. Fica a seu critério trabalhar ou não com esta. Nesse caso,

você poderá propor outras questões que se aproximem dos conhecimentos de seus

estudantes. O importante é que os estudantes percebam que sempre há um

acréscimo de dois palitos a cada nova figura.


a) A expectativa é que os estudantes percebam que o número de triângulos é o

mesmo que representa a posição da figura.

b) A próxima figura da tarefa é:

c) Ouça os argumentos dos estudantes, ou seja, as explicações de como estes

pensaram para construir a figura.

d) Focalizando nos triângulos, a 10ª figura tem 10 triângulos. Centrando-se nos

palitos, a 10ª figura tem 21 palitos. Os estudantes dos anos iniciais poderão

desenhar todas as figuras. Outra possibilidade é associarem a quantidade de

palitos com os números ímpares: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21. Além disso, há a

alternativa de, ao escreverem essa sequência, perceberem que a quantidade de

palitos equivale ao dobro da posição da figura acrescido de 1.

e) Tendo como centro os triângulos, a 27ª figura tem 27 triângulos. Com o foco nos

palitos, a compreensão do item c facilitará a resposta a esta questão.

23

OBJETO DE CONHECIMENTO: Identificação de regularidade de sequências e

determinação de elementos ausentes na sequência.

HABILIDADES:

(EF02MA10PE) Descrever um padrão (ou regularidade) de sequências

repetitivas e de sequências recursivas, por meio de palavras, símbolos ou

desenhos.

(EF02MA11PE) Descrever os elementos ausentes em sequências repetitivas e

em sequências recursivas de números naturais, objetos ou figuras.


Construir sequências numéricas em ordem crescente e decrescente envolve

conhecer a sequência numérica de rotina e diferentes procedimentos de contagem

ascendente e descendente (escala de 2 em 2, 3 em 3, 5 em 5, 10 em 10 etc.). Além

disso, é importante identificar outras regularidades dessas sequências. Por

exemplo, na sequência de 5 em 5 a partir do 0 (0, 5, 20, 15, 20, ...) os números

terminam em 0 ou 5 e na sequência de 5 em 5 a partir do 2 (2, 7, 12, 17, 22, ...) os

números terminam em 2 ou 7.

Descrever elementos ausentes em uma sequência exige observar e identificar o

padrão ou regularidade que a constitui e, a partir disso, descrever as características

ou como se calcula os elementos faltantes para, então, completá-la.

Abordagem possível: Um dos aspectos mais importantes para ser considerado

em relação à álgebra dos anos iniciais é que ela não se assemelha ao tipo de

álgebra que se conhece dos anos finais do Ensino Fundamental e que envolve

técnicas algébricas, resolução de equações, por exemplo. O trabalho com

regularidades inicia-se pela organização e pela ordenação de elementos que

tenham atributos comuns. A relação da Álgebra com a unidade temática Números

é bastante natural no trabalho com sequências numéricas, seja na ação de

completar uma sequência com elementos ausentes, seja na construção de

sequências segundo uma determinada regra de formação. Por exemplo, construir

uma sequência numérica começando pelo número três e que cresça de 5 em 5.

Esse trabalho contribui para que os estudantes percebam regularidades nos

números naturais. Esta habilidade explora um aspecto de buscar padrões e

expressá-los em situações de contagem que são muito desafiadoras para

estudantes desta idade se for proposto como um jogo, um problema a ser

INTERFACE

INTRACOMPONENTE

Articula-se com (EF05MA09), (EF05MA23), (EF06MA30) e (EF07MA34)

24

investigado. É importante destacar também que o pensamento algébrico evolui se

houver possibilidade de se representar o padrão observado e de se falar a respeito

dele.

As atividades relacionadas a esta habilidade decorrem imediatamente das

considerações feitas para as habilidades EF02MA09 e EF02MA10.

Retomada dos conhecimentos prévios...

Orientações: Inicie discutindo conceitos prévios sobre uma sequência, os

elementos que a compõem e como determinamos um padrão existente em uma

dada sequência. Apresente as duas sequências e peça que investiguem a

regularidade de cada uma, se há números que se repetem, como ela foi construída.

Investigando a primeira, observamos que os números possuem uma variação de

dois números, ou seja, 10 + 2 = 12, 12 + 2 = 14, e assim por diante. Na segunda

sequência, o número inicial é 3. Se somarmos 3 + 2 = 5, e 5 + 2 = 7, logo

perceberemos que a variação também é 2 acrescentado ao número anterior.

Discuta com a turma:

- Só existem sequências de figuras e objetos?

- Podemos construir uma sequência de números?

- Que elementos compõem essa sequência?

- Qual o próximo elemento da primeira sequência? E da segunda?

- Como você chegou a essa conclusão?

ATIVIDADE: Jogo da Resposta Secreta

Participantes: Duplas ou trios

Tempo sugerido: 25 minutos.

Recursos necessários:

- Folha de papel A4 branca;

- Atividades impressas em folhas, coladas no caderno ou não.

- Envelopes numerados.

Regras do jogo:

Observe as sequências seguintes:

3 – 5 – 7 – 9 – 11

10 – 12 – 14 – 16 - 18

25

Do lado direito da lousa estão colocadas 15 sequências numéricas. Cada

sequência possui um elemento ausente que deve ser descoberto.

Do lado esquerdo da lousa, estão 12 envelopes numerados. Cada

envelope contém uma pergunta. Responda corretamente a pergunta e

encontre o número que falta em uma das sequências.

Cada dupla possui uma tentativa. Se ao final de todas as rodadas não

completarem todas as sequências, volta-se à primeira dupla.

Se a dupla fizer a retirada da pergunta e não souber a resposta, coloca-se

novamente no envelope e passa a vez para a próxima dupla.

Cada pergunta e cada sequência possuem apenas uma resposta correta,

porém diferentes maneiras de resolvê-las.

A dupla poderá utilizar o caderno para fazer anotações e discutir com o

colega.

Nota para o professor:

Deixe claro para os estudantes que o jogo possui duas etapas, em uma ele deve

responder à pergunta contida no envelope, em seguida encontrar a sequência cujo

elemento é o encontrado. Instigue que todos comecem a investigar as sequências

antes de iniciar o jogo, ou enquanto uma dupla verifica sua resposta, os demais já

comecem a verificar os elementos das demais sequências. Para a investigação

pode ser usado o caderno para anotação ou a discussão livre com o colega.

SEQUÊNCIAS SUGERIDAS:

1 – 3 – 5 - ? 4 – 6 – 7 – 8 – 10 - ? 40 – 30 – 20 - ?

2 – 4 – 6 – 8 – 10 - ? 3 – 6 - ? – 12 - 15 10 – 20 – 30 – 32 - ?

25 – 20 – 15 – 10 - ? 4 – 8 – 12 - ? – 20 - 24 6 – 12 – 18 - ? - 30

5 – 10 – 15 – 20 - ? 10 – 11 – 12 - ? - 14 1 – 5 – 9 – 13 - ?

8 – 10 – 12 - ? - 16 11 – 12 – 13 - ? - 20 1 - ? – 14 – 21 - 28

Desenvolvimento do jogo:

Com a turma reunida em duplas, apresente a proposta da atividade e deixe que os

estudantes realizem a leitura das regras. Depois enumere as duplas ou os organize

em sequências para que haja controle e organização durante a execução da

atividade. Reforce a linguagem matemática que será utilizada, a leitura das regras

servirá como um momento para retirar possíveis dúvidas na execução do jogo. As

tarjetas com as sequências devem estar do lado esquerdo da lousa, pois serão as

primeiras que os estudantes deverão ter contato visual. Se possível, imprima em

um tamanho que seja visualizado por todos ou produza em papel ofício branco com

cores destacadas. Do lado direito da lousa deverão estar os envelopes numerados.

Uma sugestão é que o ambiente seja preparado antes de iniciar a aula para que o

26

tempo seja suficiente e os estudantes não vejam as sequências ou as perguntas

antes. A intenção desta atividade é Investigar elementos ausentes em uma

sequência através do jogo.

Discutir com a turma:

a) Que números estão faltando nesta sequência que vocês escolheram?

b) Porque escolheram ela?

c) Há alguma outra sequência que pode ser completada por este mesmo número

que vocês encontraram?

Discutindo as soluções encontradas...

Orientações: Ao final do jogo, todas as perguntas do envelope devem ter sido

retiradas e respondidas pelos estudantes. No início foram expostas 15 sequências,

porém apenas 12 possuem respostas corretas. Cada dupla pode ter usado um

método diferente para responder as sequências. Peça que alguns estudantes

expliquem como encontraram a resposta, essa é apenas uma sugestão de solução,

alguns podem ter feito através de desenhos, deduções, esquemas. Peça que

apresentem suas anotações para a turma. Apresente aos estudantes as 3

sequências que ficaram sem resposta e investigue com eles uma das hipóteses de

solução. Para aqueles que não conseguirem investigar nenhuma sequência, peça

que mostrem suas anotações para que seja discutido onde houve o entrave da

solução. Incentive que os estudantes busquem explicar como encontraram o

padrão da sequência

Analisando algumas sequências e seus padrões

1 – 3 – 5 - ?

Iniciando pelo número 1 e somando mais 2, obteremos 3. Ao somar o 3 com 2,

obtemos o 5. Ao somar o 5 mais 2, obtemos o 7. Então, o número ausente na

sequencia é 7. O padrão é + 2.

25 – 20 – 15 – 10 - ?

Nesta sequencia, os números estão em ordem decrescente e vão diminuindo de 5

em 5. Logo, 10 – 5 = 5. O número ausente nesta sequencia é 5.

3 – 6 - ? – 12 - 15

Nesta sequencia, os números se diferenciam entre pares e ímpares. Entre o

número 3 e 6, há uma diferença de 3, pois 3 + 3 = 6. Os números 12 e 15 também

se diferem por 3, pois 12 + 3 = 15. Logo, o número ausente é a soma de 6 + 3 = 9.

1 - ? – 14 – 21 - 28

Para descobrir o número ausente, iniciamos a subtração pelo último número, logo

encontramos a resposta, pois 28 – 21 = 7, 21 – 14 = 7, 14 – 7 = 7.

10 – 20 – 30 - 32 - ?

Esta sequência não possui recursividade em todos os números. Aqui temos duas

possibilidades: retirar um número ou trocá-lo. No primeiro caso, o número 32 está

27

fora da regularidade, pois a sequência alterna-se de 10 em 10 números, ou

substituí-lo pelo próximo número que é 30 + 10 = 40.

PERGUNTAS DO ENVELOPE:

1- ENTREI EM UM TÁXI, ENCONTREI 8 PASSAGEIROS. DEPOIS DE ALGUNS MINUTOS,

DESCERAM DUAS PESSOAS E ENTROU UMA. QUANTAS PESSOAS HÁ NO TÁXI?

2- JOÃO TINHA NOVE CARRINHOS, EMPRESTOU QUATRO PARA O ARTHUR. COM

QUANTOS CARRINHOS JOÃO FICOU?

3- GUILHERME POSSUI 15 BOLAS DE GUDE, MAS EM UMA PARTIDA PERDEU 2. QUANTAS

LHE RESTARAM?

4- NO ÔNIBUS ESTAVAM 10 CRIANÇAS E 15 ADULTOS. QUANTAS PESSOAS NO TOTAL?

5- A ESTANTE DE LIVROS DE MARIANA POSSUI 4 LIVROS AZUIS, 6 VERDES E 6

VERMELHOS. SE ELA RETIRAR UM LIVRO PARA LER, QUANTOS AINDA FICARÃO NA

ESTANTE?

6- UM ESTOJO DE LÁPIS POSSUI 25 LÁPIS, SE VOCÊ RETIRA UM, QUANTOS RESTAM?

7- SE UM CACHO DE BANANAS TEM 7 BANANAS, QUANTAS BANANAS TERÃO 2 CACHOS

JUNTOS?

8 - QUANTOS LADOS TÊM 3 TRIÂNGULOS?

9- JOÃO JOGOU DOIS DADOS, NA PRIMEIRA VEZ FEZ 7 PONTOS, NA SEGUNDA FEZ 5 E

NA TERCEIRA MAIS 5. QUANTOS PONTOS ELE FEZ AO FINAL DAS JOGADAS?

10- GUILHERME TEM 6 ANOS E SEU IRMÃO 5, QUANTOS ANOS POSSUEM JUNTOS?

11- MARIANA TINHA 15 BONECAS, MAS RESOLVEU DOAR 5 BONECAS PARA CRIANÇAS

CARENTES. QUANTAS ELA AINDA POSSUI PARA BRINCAR?

12- SE MINHA MÃE COMPRAR UMA BANDEJA COM 15 OVOS E UTILIZAR 1 DÚZIA

DURANTE UMA SEMANA, QUANTOS RESTARÃO?


OBJETOS DE CONHECIMENTO:

1 - Identificação e descrição de regularidades em sequências numéricas

recursivas.

2 - Relação de igualdade

HABILIDADES:

(EF03MA10PE) Identificar regularidades em sequências ordenadas de números

naturais resultantes da realização de adições ou subtrações sucessivas por um

mesmo número, descrever uma regra de formação da sequência e determinar

IMPORTANTE: Para descobrir os elementos

ausentes em uma sequência numérica, é

necessário primeiro investigar e descobrir o

padrão que ela possui.

ANO ESCOLAR: 3º

28

elementos faltantes ou seguintes (por exemplo, 3, 13, 23, 33... – adição sucessiva

de 10; ou 91, 85, 79, 73... – subtração sucessiva de 6).

(EF03MA11PE) Compreender a ideia de igualdade para escrever diferentes

sentenças de adições ou de subtrações de dois números naturais que resultem

na mesma soma ou diferença (por exemplo, 3 + 4 = 7, então 7 = 3 + 4, indicando

sentido de equivalência na igualdade; ou ainda a ideia de que é possível que

adições e subtrações entre números diferentes deem o mesmo resultado. Assim

15 – 10 = 5, 25 – 20 = 5 são subtrações diferentes com resultados iguais. Então

15 – 10 = 25 – 20 ou ainda 30 + 20 = 15 + 35, pois as duas somas são iguais).


Identificar regularidades em sequências ordenadas de números naturais

resultantes da realização de adições ou subtrações sucessivas por um mesmo

número (2, 13, 24, 35... — adição sucessiva de 11; ou 150, 135, 120, 105... —

subtração sucessiva de 15), sendo que a descrição do padrão se assemelha ao

que já foi definido como foco da habilidade (EF02MA10).

Abordagem possível: É necessário esclarecer que a investigação de padrões

numéricos que relacionam adição e subtração será o contexto para que os

estudantes ampliem seu raciocínio algébrico nesta etapa escolar. Embora o foco

sejam sequências envolvendo adições e subtrações, podem ser propostas

sequências com figuras geométricas para o desenvolvimento desta habilidade. Os

diferentes aspectos envolvidos na habilidade (descobrir termos faltantes, identificar

a recursividade etc.) podem ser abordados sob o enfoque da problematização, uma

vez que a investigação de padrões é uma atividade importante para o

desenvolvimento do pensamento algébrico. A análise de sequências numéricas, o

modo como elas variam e a representação das percepções de forma organizada

por meio de esquemas, desenhos ou palavras deve ser objeto de atenção e,

portanto, indicada na elaboração do currículo.

ATIVIDADE: TIRAS

Propor a formação de grupos;

Em equipes, resolver a atividade, discutindo as possíveis respostas.

Descobrir quais são os números que faltam na tira de números que vai receber:

INTERFACE

INTRACOMPONENTE

Articula-se com (EF03MA03), (EF03MA04) e

(EF03MA05)

29

1 3 9 2187

3 10 17 52

72 64 56 16

2 4 8 256

45 40 35 10

Desenvolvimento:

- Propor a formação de grupos;

- Em equipes, resolver a atividade, discutindo as possíveis respostas.

- Ainda em equipes, e depois de chegarem a uma conclusão sobre o padrão de

regularidade em suas sequências, cada estudante irá colocar na tabela de

registro quais foram as estratégias que o grupo testou para descobrir a

regularidade entre os números.

EQUIPE ____________

HIPÓTESE DE RESOLUÇÃO CONCLUSÃO

Orientações: Para ampliar os conhecimentos trabalhados anteriormente,

questione os estudantes sobre as estratégias que podem ser utilizadas na

descoberta de um padrão de regularidade em uma sequência, verificando se eles

compreendem a utilização de operações como adição, subtração e multiplicação

como métodos de descobrir elementos faltantes em sequências.

Discuta com a turma

Para descobrir a diferença entre o primeiro e o segundo elemento de uma

sequência, o que podemos fazer?

Alguém pode exemplificar essa ideia?

VAMOS INVESTIGAR?

30

ATIVIDADE – O BRINQUEDO

Bia está fazendo economias para comprar um brinquedo que custa 32 reais. Ela

fez um combinado com seu pai e, todos os dias, irá guardar moedas em seu

cofrinho. Veja quanto Bia decidiu guardar a cada dia e calcule quantos dias ela

levará para conseguir o valor que precisa para comprar o brinquedo.

1º DIA 2º DIA 3º DIA

Professor, esta atividade pode ser uma oportunidade de

abordar o tema da educação financeira com a turma. Faça uma

discussão com as crianças sobre a importância de poupar.

Além disso, você pode ajudá-las a ter um local para guardar

suas economias.

Usando sucata e papel colorido, faça cofrinhos em sala de aula.

Caixinhas, potes de margarina e até garrafa pet podem ser

usados com essa finalidade. Revistas e cola podem ser ideais para que as crianças

decorem.

Durante a atividade, reforce o motivo de ter um cofre, sobre a importância de poupar

e, dependendo da idade, relacione o ato de poupar no cofre com o de ter uma

poupança, para que eles entendam como os pais conseguem guardar dinheiro.

Durante a diversão em sala de aula, conceitos simples podem ser ensinados.

E isso será levado para toda a vida do estudante.

31


OBJETO DE CONHECIMENTO: Propriedades da igualdade

HABILIDADES:

(EF04MA14PE) Reconhecer e mostrar, por meio de exemplos, que a relação de

igualdade existente entre dois termos permanece quando se adiciona ou se

subtrai um mesmo número a cada um desses termos.

(EF04MA15PE) Determinar o número desconhecido que torna verdadeira uma

igualdade que envolve as operações fundamentais com números naturais. Nota para o Professor: Em relação ao 4º Ano, estão previstos três objetos de

conhecimentos com suas respectivas habilidades: (EF04MA11), (EF04MA12) e

(EF04MA13). Porém, para dar continuidade ao encadeamento de atividades que

buscam apresentar o desenvolvimento da progressão das aprendizagens, com foco

em sequência recursiva e não recursiva, optamos, a partir deste ano, em dar ênfase

ao objeto de conhecimento “propriedades da igualdade”.


Reconhecer e mostrar, por meio de exemplos, que a relação de igualdade existente

entre dois termos permanece quando se adiciona ou se subtrai um mesmo número

a cada um desses termos, requer, primeiramente, que se compreenda o sentido de

equivalência: se a + b = c + d, então c + d = a + b. Partindo dessa compreensão,

por meio de investigação e observação de regularidades, será possível dar

exemplos para indicar a relação expressa na habilidade, como: se 2 + 6 = 7 + 1,

então 2 + 6 + 3 = 7 + 1 + 3; se 16 – 5 = 11, então, 16 – 5 – 3 = 11 – 3; se 4 x 5 =

20, então 4 x 5 – 7 = 20 – 7; se 18 : 3 = 6, então, 18 : 3 + 4= 6 + 4 .

Determinar o número desconhecido que torna verdadeira uma igualdade que

envolve as operações fundamentais depende da compreensão da relação entre as

operações, bem como o entendimento do significado do sinal de igualdade como a

ideia de que, se somar ou subtrair quantidades iguais aos membros de uma

igualdade, a relação de igualdade existente não se altera.

INTERFACE

INTRACOMPONENTE

Articula-se com (EF04MA04), (EF04MA05), (EF04MA12) e (EF04MA13)

ANO ESCOLAR: 4º

32

Abordagem possível: Deve ficar clara a importância de se compreender os

significados do sinal de igualdade para o desenvolvimento do pensamento

algébrico. Uma compreensão relacional do sinal de igualdade implica entender que

ele representa uma relação de equivalência. Nos anos iniciais, essa relação é,

muitas vezes, interpretada como significando "é a mesma quantidade que" ao

expressar uma relação entre quantidades equivalentes. Quando se explora a

equivalência, os estudantes precisam saber que 8 = 8 e 8 = 3 + 5 são escritas

verdadeiras e que 8 + 3 = 11 + 8 é falso, já que 8 + 3 e 11 + 8 não são equivalentes.

Essa compreensão é necessária para o uso do pensamento relacional na resolução

de equações em situações, tais como 9 + 4 = b + 7. Usando o pensamento

relacional, é possível argumentar que, uma vez que 7 é 3 mais do que 4, então b

deve ser 3 menos do que 9. Essa capacidade de argumentar sobre a estrutura na

comparação de duas quantidades é um aspecto do pensamento algébrico. É

recomendado, também, que, ao explorar a ideia de equivalência, os estudantes

percebam que, se 4 = 6 - 2, então, 6 - 2 = 4 ou, ainda, que 2 x 4 x 3 = 3 x 6 x 1, isto

é, que uma mesma quantidade pode ser escrita de formas diversas. As

investigações a respeito da equivalência são feitas com análise de escritas

matemáticas diversas, bem como pela expressão e registro de conclusões.

É importante explicitar que o conhecimento desta habilidade depende de

conhecimentos anteriores (expressos nas habilidades EF04MA04, EF04MA05,

EF04MA12, EF04MA13 e EF04MA14). No entanto, aqui, as relações anteriores

podem ser materializadas para resolver problemas cuja solução envolve o cálculo

de um valor desconhecido em uma igualdade. Não se trata de reduzir a habilidade

a um simples trabalho mecânico de calcular o valor desconhecido da sentença, mas

de utilizar as relações estudadas para determinar esse valor, tendo compreensão

das relações e justificando as escolhas feitas. Atividades e problemas sugeridos na

descrição das habilidades conexas mencionadas são bons contextos para o

desenvolvimento desta habilidade, que, em resumo, pode ser entendida como

síntese das demais.

VAMOS INVESTIGAR?

ATIVIDADE – A GANGORRA

Os primos da família Miranda sempre passam

as férias na casa do avô. Nessas férias, houve

um dia em que todos resolveram se equilibrar

em uma gangorra. Até o Rex, o cachorro do

vovô participou da brincadeira. Decidiram se

pesar para pensar na melhor forma de se

dividirem na gangorra. Todos conseguiram

33

se pesar, menos o Artur, pois o Rex fez xixi na balança e ela parou de funcionar

bem na vez dele.

Observe o peso de cada um:

Pedro: 55 kg

João: 35 kg

Antônio: 35 kg

Gabriel: 40 kg

André: 70 kg

Rex: 25 kg

Como ficaram sem saber o peso do Artur, foram subindo na gangorra de várias

formas para ver como ela ficava equilibrada. E isso aconteceu quando subiram

assim: João, Antônio, Pedro e o Rex de um lado e Artur, André e Gabriel do outro.

Você pode responder as duas perguntas de duas formas: com o uso de um

desenho de gangorra e com o uso da escrita da igualdade. Se quiser, depois

pode encontrar outra forma de solucionar as questões.

1) Se André sair da gangorra, o que precisa ocorrer para que ela permaneça

equilibrada?

2) Como a gangorra está em equilíbrio, é possível determinar o peso do Artur?

Nota para o professor

Algumas intervenções podem ser feitas, sempre que necessário. Por exemplo, a

criança pode apresentar algumas dificuldades na realização da atividade, tais

como: no momento de solucionar o problema através da escrita da igualdade, o

estudante pode representar dessa maneira: João + Antônio + Rex + Pedro = Artur

+ André + Gabriel, com os nomes em vez dos números e ter dificuldade para deixar

registrado no papel como ele chegou à solução para a primeira pergunta (o que

deve acontecer para a gangorra permanecer equilibrada se André descer).

Mostre para a criança que, mais do que a resposta, o importante é que todos

saibam como ela pensou. Também é importante relembrar ao estudante que não é

sempre que ele terá a oportunidade de explicar oralmente como ele resolveu um

problema ou respondeu a uma pergunta, então ele precisa encontrar uma maneira

de justificar no papel como ele pensou e chegou àquela conclusão. Questione:

- Como você fez para chegar a essa resposta?

- Registre isso que você me disse no papel para que qualquer um que veja sua

resolução saiba como foi que pensou. Da mesma forma, o estudante pode não

conseguir representar a situação proposta com a igualdade e expressões

aritméticas. Pode querer representar dessa maneira: João + Antônio + Rex + Pedro

= Artur + André + Gabriel. E dessa forma não conseguiria responder à pergunta

sobre o peso de Artur. É importante dizer que essa representação, de acordo com

o que pede o enunciado, não está incorreta. Através dela, os estudantes

conseguem representar a solução para a primeira pergunta, porém, o estudante

34

poderá ficar em dúvida no momento de retirar o Gabriel da balança, pois não há a

possibilidade de retirar nenhum nome de criança que faça a igualdade se manter.

Nesse momento é importante que o estudante substitua os nomes por números.

Pergunte ao estudante:

- Você organizou as crianças na igualdade pelo nome delas?

- Há alguma outra forma de organizar essa igualdade de acordo com as

informações do problema?

- Se você substituir os nomes das crianças pelo quanto elas pesam, será que isso

te ajuda a responder a essa pergunta do problema?

ATIVIDADE COMPLEMENTAR

João e Pedro estão colecionando juntos um álbum de figurinhas do campeonato

pernambucano de futebol. Carla e Renata também estão colecionando juntas as

figurinhas do mesmo álbum. Eles resolveram comparar a quantidade de

figurinhas repetidas que cada dupla tinha e descobriram que a dupla de meninos

e a dupla de meninas tinha exatamente a mesma quantidade. Sabemos que João

tinha 5 figurinhas a mais que Carla e Pedro tinha 12 figurinhas. Com essas

informações, como poderemos saber a quantidade de figurinhas que Renata

tinha?


OBJETO DE CONHECIMENTO: Propriedades da igualdade e noção de

equivalência.

HABILIDADES:

(EF05MA10PE) Concluir, por meio de investigações e para construir a noção de

equivalência, que a relação de igualdade existente entre dois membros

permanece ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir cada um desses membros

por um mesmo número.

(EF05MA11PE) Resolver e elaborar problemas cuja conversão em sentença

matemática seja uma igualdade com uma operação em que um dos termos é

desconhecido.

INTERFACE

INTRACOMPONENTE

Introduz com (EF05MA11)

Articula com (EF04MA04), (EF04MA05), (EF04MA12), ( EF04MA13) e (EF04MA14)

ANO ESCOLAR: 5º

35


Concluir, por meio de investigações e para construir a noção de equivalência, que

a relação de igualdade existente entre dois membros permanece ao adicionar,

subtrair, multiplicar ou dividir cada um desses membros por um mesmo número,

implica que seja compreendido, primeiramente, o sentido de equivalência (se a + b

= c + d, então c + d = a + b) associado ao sinal de igualdade. Partindo dessa

compreensão, por meio de investigação e observação de regularidades, será

possível compreender a relação expressa na habilidade: se 3 +17 = 12 + 8, então

3 +17 + 5 = 12 + 8 + 5; se 2 + 6 = 8, então 4 x (2 + 6) = 4 x 8; se 16 - 6 = 10, então,

(16 - 6) : 5 = 10 : 5.

Logo, para resolver e elaborar problemas cuja conversão em sentença matemática

seja uma igualdade com uma operação em que um dos termos é desconhecido

implica em resolver problemas tais como "Eu tinha 20 reais e agora tenho 12. O

que pode ter acontecido?" ou "a diferença entre dois números é 18 e o maior deles

é 37. Qual é o outro número?" ou "Pensei em um número, multipliquei por 12 e

obtive 84. Em que número pensei?". O pleno desenvolvimento da habilidade

envolve o conhecimento das relações entre as operações (adição e subtração;

multiplicação e divisão), assim como o sentido do sinal de igualdade como

equivalência, o conhecimento previsto na habilidade (EF05MA10) e, ainda,

experiência de resolver e elaborar problemas.

Abordagem possível: Deve-se destacar a importância de compreender o

significado do sinal de igualdade na aritmética para o desenvolvimento do

pensamento algébrico. Uma compreensão relacional do sinal de igualdade implica

em entender que ele representa uma relação de equivalência. Nos anos iniciais,

essa relação é, muitas vezes, interpretada com o significado "é a mesma

quantidade que" ao expressar uma relação entre quantidades equivalentes.

Quando se explora a equivalência, os estudantes precisam saber que 8 = 8 e 8 = 3

+ 5 são escritas verdadeiras e que 8 + 3 = 11 + 8 é falso, já que 8 + 3 e 11 + 8 não

são equivalentes. Essa compreensão é necessária para o uso do pensamento

relacional na resolução de equações em situações como 9 + 4 = b + 7. É importante

que o estudante perceba que se existe uma relação de igualdade entre dois

membros, isso implica que se operar um dos membros por um número e o mesmo

for feito para o outro membro a relação de igualdade permanece. As investigações

a respeito da equivalência são feitas com análise de escritas matemáticas diversas,

bem como pela expressão e registro de conclusões.

É importante explicitar que o conhecimento desta habilidade depende

integralmente de conhecimentos anteriores (expressos nas habilidades

EF04MA04, EF04MA05, EF04MA12, EF04MA13 e EF04MA14). No entanto, aqui,

as relações anteriores são materializadas como processos de resolução de

problemas, envolvendo um valor desconhecido. Não se trata de reduzir a habilidade

ao antigo "determinar o valor do quadradinho: 3 + = 8", mas de usar as relações

estudadas e generalizadas como ferramenta de resolução e elaboração de

problemas mais complexos, tendo consciência das relações empregadas e sendo

36

capaz de justificar e explicitar a escolha feita no processo de encontrar o valor

desconhecido. Atividades e problemas sugeridos na descrição das habilidades

conexas mencionadas são bons contextos para o desenvolvimento desta

habilidade, que, em resumo, pode ser entendida como síntese das demais.

ATIVIDADE - A DIETA

A obesidade infantil pode afetar a saúde das crianças pelo resto de suas vidas.

Sabendo disso, a mãe de André o levou a uma nutricionista que, após exames,

recomendou uma dieta.

No primeiro dia, ele conseguiu o que foi proposto pela nutricionista: consumir pela

manhã 323 calorias, e no restante do dia, 1211 calorias. No segundo dia, pela

manhã, consumiu 523 calorias.

- É possível saber a quantidade de calorias determinada pela nutricionista?

- Quais as possibilidades de calorias consumidas por André à tarde e à noite no

primeiro dia?

Desenvolvimento: Esta atividade poderá ser realizada em grupos. Ressalte para

os estudantes a importância de fazer a leitura atenta de cada questionamento para

a compreensão do que o problema está pedindo. Sugiro que faça uma leitura do

problema com os estudantes. Aguarde que façam a resolução, circule pela sala de

aula enquanto os estudantes estão trabalhando e verifique se há dúvidas na

resolução da situação-problema proposta. O estudante poderá utilizar a estratégia

que achar melhor. Após isso, faça análise das estratégias utilizadas por eles e

incentive as crianças a socializarem as soluções encontradas; isso auxiliará na

ampliação do conhecimento. Se os estudantes perguntarem que tipo de operação

utilizar, ou como resolver, faça questionamentos que os ajude a fazer suas

escolhas, contudo não responda diretamente.

Discussão com o grupo:

- E possível descobrir a quantidade de calorias consumidas por André à tarde e à

noite do segundo dia?

- E se nos próximos dois dias André resolver seguir a mesma quantidade de

calorias, mas retirando 100 calorias da noite. Qual seria a nova quantidade

consumida?

- Você sabe me contar a quantidade de calorias consumidas por André no período

da manhã do primeiro dia? E no período da tarde e da noite?

- Em qual período do primeiro dia de dieta Felipe ingeriu mais calorias?

- É possível descobrir o consumo de calorias no primeiro dia da dieta de André?

- Conte-me qual estratégia utilizar para descobrir o consumo do primeiro dia. E no

segundo dia?

37

Conexão Interdisciplinar: Ciências e Matemática Professor, a partir desta atividade, pode-se fazer um trabalho

articulado com o componente curricular de Ciências Naturais,

abordando a problemática da obesidade infantil, suas causas e

consequências para a saúde da criança. Para isto, sugere-se promover debates

em sala de aula e propor atividades complementares como pesquisas na escola

para investigar os hábitos alimentares dos estudantes matriculados nos anos

iniciais.

Outra possibilidade é o desenvolvimento de projetos de trabalho que visem a

melhoria da qualidade de vida da comunidade escolar.

ATIVIDADE 2 – OS CICLISTAS

Um grupo de ciclistas participou de uma prova de mountain bike realizada em

um parque da cidade. O percurso é sinalizado por placas com distância de

150 metros uma da outra.

Vitor, um dos participantes, contou 19 placas na primeira volta da trilha.

Heitor, outro participante, chegou em primeiro lugar, completando a prova

após pedalar por 8550 metros.

Diante das afirmativas, responda:

Se na trilha há 19 placas, qual o comprimento da trilha?

Qual o número de voltas necessárias para completer o percursso?

Discuta com o grupo:

Se triplicarmos o percurso da prova e o número de placas contadas por Vitor,

qual será a distância percorrida de cada um?

Desenvolvimento: Essa atividade poderá ser realizada individualmente ou em

grupos. Entregue aos estudantes a atividade. Durante o momento da resolução

pelos estudantes percorra pela classe observando como eles interpretam os dados

do problema e elaboram suas estratégias para resolução do mesmo. Neste

momento não faça intervenção. A expectativa é fazer com que os estudantes

utilizem os conhecimentos que já possuem de multiplicação e divisão para

solucionar o problema.

Conexão Interdisciplinar: Educação Física e Matemática

Esta atividade pode fazer articulação com algum tema abordado em

Educação Física. Verifique quais as habilidades que podem ser

exploradas dentro dessa perspectiva


ANO ESCOLAR: 6º

38


Propriedades da igualdade

HABILIDADES:

(EF06MA14PE) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se

altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um

mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na

resolução de problemas (por exemplo, explorando a metáfora da balança).

NA SALA DE AULA

ATIVIDADE 1

A Papelaria Modelo montou alguns Kits promocionais para o início das aulas

10 LÁPIS E 2 CADERNOS

R$ 9,00

Podemos determinar o valor dos lápis e cadernos?

Porém, algumas turmas da Escola Aprender precisam de diferentes quantidades

de materiais.

kit educação infantil 1 : 5 lápis e 1 caderno

kit educação infantil 2: 20 lápis e 4 cadernos

kit educação infantil 3: 14 lápis e 2 cadernos

- Como podemos determinar o valor para cada um dos novos Kits?

- Há alguma relação entre a quantidade do material e o valor total a ser pago?

Fonte: Atividade adaptada (Acervo Nova Escola)

Desenvolvimento:

Peça que, individualmente, os estudantes leiam a atividade e a realizem, utilizando

a estratégia que julgarem adequadas. Em seguida, deixe que discutam com um

colega suas soluções e modos de representar a atividade. Reserve um tempo para

INTERFACE

INTRACOMPONENTE

Introduzir com (EF06MA15)

Articula-se com

(EF06MA14)

39

um debate coletivo e deixe que as duplas compartilhem o que discutiram. Utilize

um guia de intervenções para discutir com os estudantes as formas e possibilidades

de resolução da atividade. É importante orientar os estudantes a pensarem na

equivalência da igualdade e reconhecerem que a igualdade não se altera ao

adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir em seus dois membros.


- Qual é a relação entre os valores dos lápis e cadernos e o valor total?

- Quais os possíveis valores para o lápis e caderno encontrados pelos estudantes?

- Existe apenas uma possibilidade para esses valores?

- Há alguma relação entre as quantidades de material e o valor total?

Peça que os estudantes reflitam sobre a relação entre as quantidades do kit

promocional e os outros kits.

Orientações: Depois que os estudantes compartilharem as estratégias deles,

apresente o passo a passo de como refletimos sobre o problema, levantamos

algumas hipóteses e testamos essas hipóteses, como validamos algumas e

descartamos outras. Nesse processo de tentativa e erro, podemos observar a

equivalência das igualdades e verificar que uma igualdade não se altera ao

adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir o mesmo valor em seus dois membros.

É interessante questionar qual estratégia ou registro de representação os

estudantes utilizaram e verificar que se ao apresentarem outras representações

essas auxiliaram na compreensão dos resultados.


- Qual é a relação entre o valor unitário dos materiais e o valor total? (Enfatizar a

ideia das igualdades)

- Qual é a relação das igualdades antes e depois de modificar a quantidade de

materiais solicitados?

Professor, esta atividade é uma boa oportunidade para explorar

a temática da educação financeira e consumo consciente com

os estudantes. O consumo consciente pode ser praticado no

dia a dia por meio de gestos simples que levem em conta os

impactos da compra, uso ou descarte de produtos ou serviços

ou pela escolha das empresas da qual comprar em função do

seu compromisso com o desenvolvimento sócio-ambiental.

Conexão Interdisciplinar: Ciências Naturais e Matemática

Levantamento de hipóteses: Estimular o interesse e a

preocupação dos educandos pelo consumo consciente com uma

análise dos principais produtos encontrados em uma livraria, por

exemplo. Leve para a sala de aula encartes de jornais ou livrarias com produtos

de papelaria e seus respectivos preços. A seguir, peça que investiguem as

informações que estes oferecem, como peso, data de fabricação e validade; se

os produtos possuem selo de qualidade, local de fabricação, se o material da

40

embalagem é reciclável e se o descarte da embalagem pode trazer prejuízo para

o meio ambiente.

Para organizar tais informações, as crianças podem desenhar um quadro no

caderno ou montar uma planilha no computador. Será definido com os educandos

quais itens são importantes. Após a observação e anotação dos dados, proponha

a formação de pequenos grupos para que cada um fique responsável por

pesquisar detalhes sobre determinado produto, sua matéria prima, quanto tempo

leva a sua embalagem para se desfazer no meio ambiente e o que poderia ser

feito para essas embalagens causarem menos impacto ao meio ambiente. Por

dia milhares de embalagens, copos plásticos, sacola plásticas são jogados no

meio ambiente causando diversos problemas; que problemas são estes? Como

evitá-los?


OBJETO DE CONHECIMENTO: Equivalência de expressões algébricas:

identificação da regularidade de uma sequência numérica.

HABILIDADE: (EF07MA16PE) Reconhecer se duas expressões algébricas

obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são

ou não equivalentes.

ATIVIDADE SUGERIDA – TRIÂNGULOS E QUADRADOS

Observe a sequência de figuras abaixo, onde cada termo é formado por uma

quantidade de triângulos e quadrados:

a) Sem realizar qualquer desenho, determine a quantidade de triângulos e a

quantidade de quadrados do 5º termo.

INTERFACE

INTRACOMPONENTE

Articula-se com (EF07MA13) a (EF07MA18)

ANO ESCOLAR: 7º

41

b) Compare os dois resultados encontrados. Há alguma relação entre eles?

c) Observe a quantidade de triângulos e a quantidade de quadrados em cada

termo, é possível determiná-los por meio de expressões? Quais? Elas são

equivalentes? Por quê?

Fonte: Atividade extraída do Acervo Nova Escola

Orientação: Solicite que os estudantes, de maneira individual, leiam a atividade e

tentem realizá-la, utilizando lápis e folha de papel (ou do caderno). Logo depois,

deixe que cada estudante discuta com o colega do lado as suas soluções e,

principalmente, os caminhos percorridos até encontrarem as respostas. Fique

atento (a) para fazer suas intervenções, através da mediação, com perguntas que

tenham como objetivo, principalmente, explorar o raciocínio dos estudantes na

busca pela resolução. Não deixe de anotar tudo aquilo que você considerar

relevante para futuras observações. O foco é fazer com que os estudantes

investiguem formas de identificar quando duas expressões algébricas são

equivalentes.

Nota para o professor:

O principal objetivo dessa atividade é levar o estudante a verificar se duas ou mais

expressões algébricas que representam uma sequência de regularidades são (ou

não) equivalentes entre si, ou seja, se elas possuem a mesma representação

mesmo com escritas diferentes.

Nesta atividade, a expectativa é que o estudante possa utilizar a disposição das

figuras como suporte para identificar o padrão e, em seguida, chegar às duas

expressões algébricas que representem uma mesma generalização da sequência.

Em seguida, os estudantes devem comparar se as duas expressões encontradas

vão representar o mesmo resultado, ocasionando, assim, uma equivalência entre

as duas formas de representação da generalização algébrica.

É imprescindível, no momento de execução da atividade, a sua participação efetiva,

enquanto mediador/condutor dos estudantes, sem, contudo, dar-lhes os caminhos

diretos de solução e sim interpelando-os sobre os métodos e caminhos utilizados

na busca das soluções.

As perguntas devem, em geral, aguçar a curiosidade (e criatividade dos

estudantes), além de promover a confiança necessária em sua capacidade de

resolver problemas, bem como auxiliá-lo a desenvolver procedimentos de

autogestão da aprendizagem tais como:

- Eu já fiz tudo o que poderia nesta resolução?

- Esse é o melhor caminho para resolver esse problema?

- Eu vou desenvolver um jeito meu de resolver isso?

- Teria uma forma diferente de fazer isso?

42


OBJETO DE CONHECIMENTO: Sequências recursivas e não recursivas

HABILIDADES:

(EF08MA10PE) Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural

não recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita

indicar os números ou as figuras seguintes.

(EF08MA11PE) Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva

e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os

números seguintes.

ATIVIDADES SUGERIDAS

Para desenvolver esta atividade, o professor prepara os estudantes introduzindo os

conceitos essenciais para compreenderem o enunciado da atividade principal. Em

seguida, pode desenvolver a habilidade proposta a partir de um desafio.

É importante estimular que os estudantes exponham suas ideias apresentando as

estratégias utilizadas para resolver a atividade, fazendo a comparação entre eles e

estabelecendo conclusões. Por fim, o professor deve apresentar o conceito formal

que foi trabalhado na atividade principal.

Aquecimento: Para isto, projete (em slides) ou leia o texto com os alunos,

relembrando os conceitos existentes no estudo de sequências recursivas e não

recursivas. Em seguida, peça aos alunos para identificar e representar através de

uma sentença matemática o termo seguinte da sequência. Aguarde alguns minutos

para que eles façam a representação solicitada. Após a resposta dos alunos,

converse com eles sobre a regularidade existente nessa sequência e sobre como

INTERFACE

INTRACOMPONENTE

Articula-se com (EF07MA14), (EF07MA15) e (EF07MA16)

INTERFACE

INTERCOMPONENTE

consolida EF07EF02

ANO ESCOLAR: 8º

43

a identificação desta é importante para determinarmos o termo que falta na sua

continuidade.

Objetivo: Retomar a ideia de sequência recursiva e não recursiva,

representando por sentença matemática o termo seguinte na continuidade

da sequência.


- Qual regularidade você percebe nos termos dessa sequência?

- Consegue identificar o termo seguinte dessa sequência?

- Qual a cor da barra do termo seguinte?

- Qual a cor da barra do 20º termo?

VOCÊ SABIA?

A cada quatro anos, o mês de fevereiro tem 29 dias, em vez de 28 dias, como

ocorre nos outros anos. Vamos ver porque isso acontece?

O ano é o tempo que a Terra demora a dar uma volta completa em torno do sol:

365 dias e aproximadamente 6 horas. Essas horas não são contadas ano a ano,

mas são acumuladas e contadas de uma vez, a cada quatro anos, acumulando

pouco mais* de 24 horas. Por isso, em um século, a cada quatro anos temos um

ano bissexto, que é aquele que tem um dia a mais (ou seja, 366 dias).

*Esse excesso é compensado na virada de séculos.

Orientações:

Leia o texto anterior sobre ano bissexto. Se preferir, aprofunde o estudo mostrando

outros exemplos. Oriente os estudantes sobre os passos que deverão utilizar para

resolver a atividade. Organize os estudantes em duplas e distribua a folha com a

atividade (uma por aluno, pois os dois deverão fazer os registros). Peça nesse

momento que os alunos leiam a atividade e depois explique que eles devem

observar os dados disponíveis.

Objetivo: Identificar uma sequência de números bissextos, seguindo o

passo a passo do fluxograma.

Discutir com a turma:

- O primeiro ano bissexto encontrado é também o primeiro termo da

sequência?

- Qual é o primeiro ano bissexto da sequência?

- Qual a regularidade dessa sequência?

- O passo a passo do fluxograma serve para outras sequências?

- Essa sequência é recursiva ou não recursiva?

44

Observe a sequência de barras coloridas. Você conseguiria desenhar

o próximo termo dessa sequência?

- Quantos quadradinhos terá o 20º termo?

- Que operação pode ser feita com o número 20 para chegar a esse

resultado?

- Essa sequência é recursiva ou não recursiva?

ATIVIDADE – SEQUENCIA DOS ANOS BISSEXTOS

Considere os anos 2101 a 2107. Nesse período existe apenas um ano bissexto.

Descubra esse ano e, utilizando o fluxograma a seguir, encontre quatro termos

da sequencia de anos bissextos do século 22. Em seguida, verifique para que

intervalo de valores de n a sentença matemática a = 4 (525 + n) representa um

ano bissexto deste século.

45

FLUXOGRAMA

Fonte: Atividade extraída do Acervo Nova Escola

Desenvolvimento:

Estimule os estudantes a falarem sobre as estratégias que utilizaram para resolver

as questões. Monte um painel de soluções das respostas realizadas nas duplas e

ouça as diferentes e possíveis formas de pensar dos alunos e deixe que eles

apresentem seus argumentos para defender suas soluções, privilegiando acertos e

erros, e fazendo intervenções quando necessário. Em seguida, apresente as

possíveis soluções no quadro ou projeção, por exemplo, destacando nesse

momento o passo a passo do fluxograma para determinar a formação dessa

sequência, destacando a diferença entre sequência recursiva e não recursiva, e

ESCOLHA UM

ANO DO

SÉCULO 22

DIVIDA O

NÚMERO

POR 4

SOME 1 AO

NÚMERO

NÃO

ARMAZENE

O 1º ANO

SOME 4

AO

NÚMERO

ARMAZENE

O 2º ANO

SOME 4

AO

NÚMERO

ARMAZENE

O 3º ANO

SOME 4

AO

NÚMERO

ARMAZENE

O 4º ANO

Esse ano

é do séc

22?

VOCÊ TEM QUATRO ANOS

BISSEXTOS DO SÉC. 22

SUBTRAIA 16 DOS QUATRO

NÚMEROS ARMAZENADOS

SIM

NÃO

O RESTO

É ZERO?

46

mostrando que uma sequência pode ser ao mesmo tempo recursiva e não

recursiva. Mostre para os alunos que a sentença a = 4 (525 + n), é formada, devido

às divisões: 2100 : 4 = 525; 2104 : 4 = 526; 2108 : 4 = 527; 2112 : 4 = 528; 2116 :

4 = 529. Logo, percebemos que cada termo posterior é acrescido n a 525 e

multiplicado por 4.

Explique aos alunos que nas viradas de século (ou seja, quando o ano é múltiplo

de 100), o ano não é bissexto, mesmo sendo múltiplo de 4. Isso só muda quando

o ano é múltiplo de 400, como foi o ano 2000 e será o ano 2400.

É importante discutir as possíveis soluções, fazendo um fechamento das ideias

discutidas até o momento. Também instigue os estudantes a perceberem que o

único número da sequencia divisível por 4 é 2104. Depois de determinar o ano,

basta seguir os passos do fluxograma, que vamos encontrar vários anos bissextos.

Observar também que os quatro termos da sequencia são 2104, 2108, 2112 e

2116. Todos são divisíveis por 4.

É importante também que eles cheguem à conclusão de que a sequencia é não

recursiva, pois não é necessário conhecer os termos anteriores, para determinar

um termo qualquer.

Apresente o passo a passo de construção de uma sequência de anos bissextos.

Destaque que no fluxograma, o passo a passo utilizado para a formação de uma

sequência que tenha as mesmas condições dos anos bissextos, será sempre o

mesmo.

Em resumo, sistematize a ideia de sequências seguindo o passo a passo do

fluxograma. Para determinar uma sequencia de anos bissextos dentro de um

século, basta seguir os passos:

1 – Identificar o primeiro ano bissexto da sequência. Esse número precisa ser

divisível por 4, mas não por 100 (excetuando os múltiplos de 400).

2 – Somar esse ano com 4, para determinar o seguinte o termo seguinte. Repetir

esse processo 23 ou 24 vezes, verificando se o número resultante não é divisível

por 100.

Seguindo esses passos, é possível encontrar todos os anos bissextos, a partir do

primeiro ano da sequencia.

Proponha novas atividades para os estudantes responderem, tais como:

Descreva por escrito os passos para a formação de uma sequência que atenda as

seguintes condições:

a) Formada por números pares;

b) Números maiores que 100;

c) Números que não sejam divisíveis por 4.

Orientações:

Apresente as condições para formação de uma sequência. Explore essa

representação, fazendo alguns questionamentos do item discuta com a turma. Peça

que, individualmente, os alunos leiam a atividade e tentem responder os

47

questionamentos utilizando os conceitos estudados sobre sequências. Reserve, se

possível, alguns minutos para discutir as soluções. Deixe que os alunos expliquem

como pensaram para responder e discuta com a turma a solução.

Conexão Interdisciplinar: Matemática e Geografia

Professor, a partir desta atividade envolvendo o tema do ano

bissexto, pode-se fazer um trabalho articulado com o componente

curricular de Geografia, abordando sobre o movimento de

translação, entre outros. Seria interessante propor uma atividade que promova o

diálogo entre os dois componentes. Para isto, sugere-se promover debates em

sala de aula e propor projetos em parceria com o professor de Geografia, de

modo a combinar como desenvolver a interdisciplinaridade e despertar a

curiosidade dos estudantes, promovendo a relação entre os conhecimentos

matemáticos e geográficos.

UNIDADE TEMÁTICA: PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

PARA REFLETIR:

Ao lançar um dado, qual é a chance da face com o número 6 estar voltada

para cima?

E se as faces do dado especial forem numeradas com os seis primeiros

números ímpares, qual é a chance de obter um 6 ao lançá-lo? Nenhuma,

não é mesmo?

Agora, nas mesmas condições, o que acontece se jogarmos dois dados ao

mesmo tempo? Podemos apostar na possibilidade que o resultado será o

mesmo, ou seja, 6 e 6?

Indagações como essas é que deram origem ao estudo das probabilidades. É claro

que, hoje em dia, seu emprego ultrapassa de muito essa origem. O cálculo de

probabilidade é utilizado em muitos ramos do conhecimento, mais principalmente

na estatística, quando se deseja fazer inferências a respeito de uma população a

partir de dados coletados numa amostra. Para construir conceitos no campo da

probabilidade, é importante que o estudante vivencie situações de ensino que:

Envolvam diferentes conceitos probabilísticos;

Possibilitem relações entre a estimativa e a medida de chance;

Envolvam medida de chance em diferentes contextos e conceitos

probabilísticos;

Tenham perspectiva problematizadora e favoreçam a comunicação de

ideias, a reflexão, experimentação etc.

48

Voltando ao início da conversa... Exemplo 1. Qual é a probabilidade de se obter um resultado maior que 4 ao se

lançar um dado honesto?

Nesse Fascículo, você vai aprender como associar números a acontecimentos

casuais. No exemplo anterior, ao lançar um dado “honesto” (quer dizer, construído

de forma perfeitamente cúbica e homogênea), todas as faces têm a mesma chance

de sair. Como as faces são 6, esperamos que cada uma delas ocorra em

aproximadamente 1

6 dos lançamentos. Dizemos, então, que cada uma delas tem a

probabilidade 1

6 de sair. Porém, diante do exemplo citado acima, o resultado maior

do que 4 é equivalente a dizer que sai 5 ou 6. Como cada uma dessas faces têm

probabilidade 1

6 de ocorrer, a probabilidade de sair um número maior do que 4 é

igual a 1

6 +

1

6 =

2

6 =

1

3

Lembrando que um resultado probabilístico pode ser representado numa

linguagem matemática, através de:

Pense um pouco sobre os seguintes experimentos aleatórios:

Jogar uma moeda três vezes consecutivas e observar quantas caras são

obtidas.

Retirar uma carta de um baralho comum de 52 cartas e observar seu naipe.

Observar qual é o resultado de uma gestação humana.

Escolher entre os países participantes para ser o favorito na copa do mundo.

Um experimento aleatório tem as seguintes características:

Pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições;

Em qualquer repetição do experimento, não sabemos, com certeza, qual

particular resultado, de todos os possíveis, irá ocorrer, embora possamos

precisar quais sejam esses possíveis resultados.

FRAÇÕES

PORCENTAGENS

POR UM SEGMENTO DE RETA CONTÍNUO

COM INTERVALO DE 0 A 1.

49

Considere o experimento de lançar uma moeda três vezes consecutivas e

observar a sequência de caras ou coroas.

Nesse caso, o espaço amostral

associado a essa experiência é o

conjunto Ω descrito ao lado. Ele é

constituído por 8 sequências de três

elementos cada um

A ordem em que esses elementos

aparecem nas sequências significa que o

primeiro é um resultado possível para o

primeiro lançamento, o segundo

elemento é o resultado possível de ser

obtido na segunda jogada e o terceiro

elemento é o resultado possível do

terceiro lançamento.

Atribuímos Probabilidade a conjuntos de

resultados possíveis, chamados de

eventos.

A probabilidade de um evento é

simplesmente a soma das probabilidades

dos resultados que o compõem.

A partir de agora você está convidado a pensar em situações que

estimulem o pensamento probabilístico conectado com as mudanças e tendências

de um novo olhar para o Currículo de Matemática. Lembrando que precisamos

estar sempre focando as competências gerais, de acordo com a BNCC, porém

articulando-as com as competências específicas, que estão em consonância com

cada objeto de conhecimento e habilidade correspondente.

Três lances de moeda

Ω = ( cara, cara, cara)

(cara, cara, coroa)

(cara, coroa, cara)

(coroa, cara, cara)

(cara, coroa, coroa)

(coroa, cara, coroa)

(coroa, coroa, cara)

(coroa, coroa, coroa)

8 resultados possíveis!

Um experimento aleatório pode gerar

um ou mais resultados que chamamos

de eventos.

Importante saber...

Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral. Eles são representados

por letras maiúsculas, como A, B, C, etc... O conjunto vazio é representado

Ø.

Assim, espaço amostral associado a um experimento é também um

evento. Ele é representado pela letra grega maiúscula Ω (ômega).

Um evento é dito simples se é construído por apenas um elemento do

espaço amostral.

50

COMPETÊNCIA ESPECÍFICA - 6º

OBJETO DE CONHECIMENTO: Noção de acaso

HABILIDADES:

(EF01MA20PE) Classificar eventos envolvendo o acaso, tais como “acontecerá

com certeza”, “talvez aconteça” e “é impossível acontecer”, em situações do

cotidiano.


Classificar eventos envolvendo o acaso diz respeito a analisar e descrever as

possibilidades de algo acontecer ou não. A classificação envolve conhecer e refletir

sobre termos tais como provável, improvável, muito ou pouco provável, bem como

discutir o grau de probabilidade usando palavras como certo, possível e impossível.

Abordagem possível: Merece destaque que, nesta etapa, as experiências iniciais

com probabilidade são informais e visam responder questões acerca da chance de

ocorrer determinado acontecimento, recorrendo a expressões como as indicadas

na habilidade ou, de modo similar, mais provável, menos provável. A ideia é

promover a compreensão entre as crianças de que nem todos os fenômenos são

determinísticos, ou seja, que o acaso tem um papel importante em muitas

situações. Para isso, o início da proposta de trabalho com probabilidade está

centrado no desenvolvimento da noção de aleatoriedade, de modo que os

estudantes compreendam a existência de eventos certos, outros prováveis ou

improváveis e também os impossíveis. Os cálculos de probabilidade só serão

estudados depois. As questões acerca de acontecimentos mais ou menos

prováveis podem ser feitas a partir das experiências com dados, lançamento de

moeda ou situações tais como "tem um cachorro na minha casa, o que é provável

que ele faça? O que é impossível que ele faça? O que é certo que ele faça?" Discutir

as hipóteses dos estudantes e analisar as respostas constituem formas de ajudá-

los a analisar possibilidades e previsões.

Alguns recortes de atividades vivenciadas por crianças nessa fase e suas produções:

INTERFACE

INTERCOMPONENTE

Articula-se com

(EF01LP21)

ANO ESCOLAR: 1º

51

Um dos pontos positivos será o planejamento das atividades, as

intervenções realizadas, a segurança e objetividade no manejo de sala de aula.

Esse recorte da atividade complementar servirá como sugestão na elaboração de

futuras atividades para serem vivenciadas na rotina escolar, assim como a seguinte

que apresenta um grau de complexidade maior.

53

Outro ponto inovador é a amarração final da aula feita através da

sistematização do conceito aprendido e depois o encerramento.


OBJETO DE CONHECIMENTO: Análise da ideia de aleatório em situações do

cotidiano.

HABILIDADE:

(EF02MA21PE) Classificar resultados de eventos cotidianos aleatórios como

“pouco prováveis”, “muito prováveis”, “improváveis” e “impossíveis”.


Classificar resultados de eventos (acontecimentos, fenômenos) cotidianos

aleatórios envolve perceber que há certos acontecimentos que, quando repetidos

inúmeras vezes em processos semelhantes, não se pode prever qual será o

resultado, mas pode-se indicar os resultados possíveis e os impossíveis. O

lançamento de um dado é exemplo de um evento aleatório — no caso dos dados,

ANO ESCOLAR: 2º

54

pode-se ter seis possíveis resultados diferentes 1, 2, 3, 4, 5, 6, mas nunca se terá

certeza qual desses números aparecerá quando o dado for lançado. Nesse mesmo

exemplo, é provável sair qualquer número de 1 a 6 e impossível sair o 7, porque

esse número não está nas faces do dado. Se um dado for jogado cinco vezes não

é impossível sair o 6 nas cinco jogadas, embora seja pouco provável.

Abordagem possível: A probabilidade deve merecer cuidado por ser um tema

mais novo aos educadores, em especial dos anos iniciais. A probabilidade é a

Matemática da incerteza e se aproxima mais da realidade. Em nosso dia a dia,

lidamos mais com a estimativa do que com a precisão.

A ideia de aleatório em que não se sabe qual será o resultado, mas se pode prever

os resultados possíveis e os impossíveis, são questões centrais ao raciocínio

probabilístico. A análise de eventos cotidianos para indicar se eles podem ou não

ocorrer, se é muito ou pouco provável é o foco da probabilidade neste ano. Neste

momento da escolaridade, as experiências com probabilidade devem ser informais,

mas deve ser incentivado o uso de termos que explicitem as análises das chances

de algo ocorrer: muito provável, pouco provável, nada provável, impossível e

certeza. Essas ideias centrais podem ser exploradas por meio de jogos, análises

de situações desenvolvidas para isso ou de perguntas que levem os estudantes a

analisarem chances de algo acontecer. Em um jogo com dois dados, por exemplo,

vale analisar quais as somas que podem sair e quais são impossíveis de sair (13,

por exemplo). Jogar um dado 30 vezes, é improvável que saia o 6 nas 30 jogadas,

mas não é impossível. Montar uma tabela com todas as somas possíveis e ver

quais aquelas que têm mais chance de sair (é mais provável sair soma 7 do que

soma 12, por exemplo) é uma boa estratégia para a compreensão dos significados

de mais provável, menos provável e igualmente provável. Também será necessário

que você já tenha explorado com o estudante o conceito de eventos aleatórios, em

que muitas vezes o resultado que temos nem sempre é aquele que esperamos e,

até mesmo, que as soluções podem ser muito ou pouco prováveis de acontecer,

improvável ou impossível de acontecer. Exponha imagens de jogos e brincadeiras

utilizadas pelas crianças, como cara ou coroa, par ou ímpar e sorteio.


Que tipo de acontecimento no nosso dia a dia pode apresentar situações muito ou

pouco prováveis de acontecer, improváveis ou impossíveis de acontecer?

Experimentando:

Pegue duas moedas e as jogue para cima.

É possível que, ao cair, as duas tenham o mesmo lado virado para cima? Por

quê?

Resolução:

Não há uma resolução definida. Trata-se de uma situação de análise de eventos

aleatórios, onde os estudantes deverão reconhecer resultados que sejam pouco

55

prováveis, improváveis ou impossíveis.

No caso de lançamentos de duas moedas, é pouco provável ou improvável que o

estudante consiga ao lançá-las ao mesmo tempo, que as duas caiam com a mesma

face para cima. Existe a possibilidade, porém a probabilidade do evento acontecer

é pouco provável, provável ou improvável.

Júlio e Marcos irão jogar bolinhas de gude. Para saber quem iniciará a partida,

resolveram tirar cara ou coroa. Quem tem mais chances de ganhar o cara ou

coroa e iniciar a partida? Por quê?

Cada uma das crianças escolhe um lado e atira-se a moeda para o ar. Então,

verifica-se qual dos dois lados ficou voltado para cima após sua queda. Ganha a

criança que escolheu aquele lado. A forma de saber quem iniciará um jogo ou uma

brincadeira utilizando o “cara ou coroa”, é um método que apresenta apenas duas

possibilidades de resultado, consequentemente, as duas crianças têm as mesmas

chances de ganhar e iniciar a jogada. A queda da moeda é um evento aleatório,

pois não é possível prever o resultado que teremos. O que podemos afirmar é que

são duas opções de resultados e há apenas dois prováveis resultados.

OUTRA SUGESTÃO

COMPETÊNCIA ESPECÍFICA - 6º

OBJETO DE CONHECIMENTO: Análise da ideia de acaso em situações do

cotidiano: espaço amostral.

HABILIDADE:

(EF03MA25PE).Identificar, em eventos familiares aleatórios, todos os resultados

possíveis (analisar e registrar o que pode ocorrer em um evento sobre o qual se

conhecem possíveis resultados, mas não se têm certeza sobre quais resultados

podem acontecer nem a ordem desses acontecimentos), estimando os que têm

maiores ou menores chances de ocorrência.


Identificar, em eventos familiares aleatórios, todos os resultados possíveis implica

ANO ESCOLAR: 3º

56

em analisar e registrar o que pode ocorrer em uma ação sobre a qual se conhecem os possíveis resultados, mas não se têm certeza sobre quais desses resultados podem sair, nem em que ordem. Por exemplo, ao jogar dois dados e anotar a diferença entre os pontos das faces, os resultados possíveis são 0, 1, 2, 3, 4, 5,, embora não se saiba em cada jogada qual deles sairá. No entanto, é possível saber que o resultado 0 tem mais chance de sair do que o resultado 5 porque há seis subtrações com diferença 0 e apenas uma subtração com a diferença 5.

Abordagem possível: A indicação de situações de jogos com dados são bons

contextos para desenvolver a habilidade prevista. Analisar, por exemplo, quais são

todas as somas que podem aparecer quando se jogam dois dados e calcular a

adição dos números nas faces superiores, organizar uma tabela de resultados e

observar se é mais comum a soma 7 ou a soma 3, por exemplo, permite decidir

qual das duas somas têm mais chance de sair durante um jogo que envolva adição

de números em dois dados. Por isso, é importante considerar que a compreensão

e aplicação de conceitos iniciais de probabilidade também auxiliam que os

estudantes desenvolvam a capacidade de fazer previsões (levantar hipóteses) e

avaliar a razoabilidade delas por meio de testes.

ATIVIDADE 01

EM UM JOGO DE TABULEIRO, UM PARTICIPANTE LANÇOU 2 DADOS QUE RESULTARAM NA SOMA 7.

Quais são as outras possibilidades de lançamento dos 2 dados que podem resultar na soma 7? O estudante deve considerar as possibilidades de somar 7 jogando 2 dados.

1 + 6 = 7 2 + 5 = 7 3 + 4 = 7 4 + 3 = 7 5 + 2 = 7 6 + 1 = 7

Alguns estudantes podem representar as somas através de desenhos usando os

pontos dos próprios dados conforme seja solicitado também:

_________________________________________________________________ Existem quantas possibilidades da soma dos 2 dados resultar em 13?

Para a segunda questão, os estudantes devem considerar que é impossível a soma

de 2 dados comuns resultar 13, pois a maior soma só poderá ser 12, 6 + 6 = 12.

Este resultado seria possível em um dado adaptado com mais faces!

57

ATIVIDADE 02

Conexão: Intracomponente – Geometria

Intercomponentes: Arte

COMPETÊNCIA ESPECÍFICA – 5ª e 6ª

OBJETO DE CONHECIMENTO: Análise de chances de eventos aleatórios

HABILIDADE:

(EF04MA26PE) Identificar, entre eventos aleatórios cotidianos, aqueles que têm

maior chance de ocorrência, reconhecendo características de resultados mais

prováveis, sem utilizar frações.


Identificar entre eventos aleatórios cotidianos, sem utilizar frações, aqueles que têm

mais chance de ocorrência, reconhecendo características de resultados mais

prováveis, implica ser capaz de reconhecer, em eventos familiares aleatórios, todos

os resultados possíveis de ocorrer. Assim, por exemplo, ao jogar dois dados e

anotar a soma dos números das faces, os resultados possíveis 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

INTERFACE

INTRACOMPONENTE

Articula-se com (EF04MA08)

Como construir um dado, clique aqui

ANO ESCOLAR: 4º

https://artes.umcomo.com.br/artigo/como-fazer-um-dado-de-cartolina-106.html

58

9, 10, 11, 12, verifica-se que entre as 36 possibilidades (6x6=36) algumas dessas

somas são mais prováveis que outras. Assim, é possível saber que o resultado 7

(5 + 2, 2 + 5; 4 +3, 3 + 4; 6 + 1; 1 + 6) tem mais chance de ocorrer do que o resultado

12 (6+6), porque há seis adições com soma 7 e apenas uma com soma 12. Neste

exemplo, é esperado como aprendizagem expressar essas chances de ocorrência

(sem o uso de frações) como há 6 chances em 36 de sair soma 7 e 1 chance em

36 de sair soma 12.

Abordagem possível: Pode ser esclarecido que, nos anos iniciais, a noção de

probabilidade de um evento futuro se baseia muito em sua experiência pessoal e

isso pode causar certa confusão no uso de termos como eventos possíveis, certos

e prováveis. Por isso, para evitar incompreensões e decisões baseadas em senso

comum, é importante vivenciar situações primeiro para identificar eventos possíveis

e eventos não possíveis e, posteriormente, prováveis, improváveis e eventos certos

(explorando, aí sim, situações do cotidiano em que eles tenham que analisar e

decidir se elas são ou não prováveis). A ideia chave para desenvolver probabilidade

é ajudar as crianças a ver que alguns desses eventos possíveis são mais prováveis

ou menos prováveis do que outros. Por exemplo, se um grupo de estudantes tiver

uma corrida, a chance de que Luis, um corredor muito rápido, seja primeiro, não é

certa, mas é muito provável. Em seguida, fazer experimentos aleatórios, como o

lançamento de dois dados, e anotar as somas ou produtos possíveis entre os

números que saem nas faces, decidindo depois qual deles tem mais chance

(probabilidade de acontecer), também auxilia no processo de compreensão

proposto pela habilidade.


Já ouviram falar em possibilidades e probabilidades?

Em que situações podemos usar o termo possibilidade? E em quais

situações usamos o termo probabilidade?

ATIVIDADE:

JOGO

José e Lívia estão disputando um jogo de tabuleiro usando 1 dado comum. José

está jogando com o peão de cor preta e Lívia com o peão vermelho. A 6 casas

de ser o vencedor, João joga o dado e obtém o número 2.

Avançando as 2 casas, ele tem a opção de jogar o dado novamente.

Tendo José avançado as casas de sua última jogada, quais as possibilidades

dele ganhar a partida jogando o dado só mais 1 vez?

Na situação proposta, inicialmente o estudante terá que analisar quais os

movimentos feitos para o peão de José após retirar no dado o número 2.

59

Ou seja, avançando 2 casas temos a seguinte posição:


Faz-se necessário que o estudante compreenda quais as possibilidades para o

lançamento de um dado comum, ou seja, temos as possibilidades de saída do

número: 1, 2,3,4,5 e 6.

Partindo dessa informação e sabendo que José está a 4 casas de vencer a partida,

para que ele vença com apenas mais 1 jogada terá que tirar um número igual ou

maior que 4, ou seja, José pode tirar os números 4, 5 e 6.

Como existem 6 números possíveis para José tirar no dado, a probabilidade de

José vencer o jogo em tais condições é de 3 em 6.

Vale apenas lembrar que questionamentos do tipo: “Quais números José poderia

tirar na última jogada para ser vencedor?”, podem auxiliar o estudante na

superação de algumas dificuldades. Caso o estudante ainda não tenha

compreendido, continua-se fazendo perguntas a ele como: “Existem algum outro

número além do 4 que daria a vitória a José? Qual seria este outro número neste

caso?”.

60

COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS – 5º e 6º


1- Espaço amostral: análise de chances de eventos aleatórios.

2- Cálculo de probabilidade de eventos equiprováveis.

HABILIDADES:

(EF05MA22PE) Apresentar todos os possíveis resultados de um experimento

aleatório (como, por exemplo, lançamentos de dados, moedas, etc.) estimando

se esses resultados são igualmente prováveis ou não.

(EF05MA23PE) Determinar a probabilidade de ocorrência de um resultado em

eventos aleatórios quando todos os resultados possíveis têm a mesma chance

de ocorrer (equiprováveis).

Detalhamento das Habilidades

Apresentar todos os possíveis resultados de um experimento aleatório, estimando

se esses resultados são igualmente prováveis ou não, implica em ser capaz de

indicar o espaço amostral relativo a um experimento aleatório, identificando se nele

há chances iguais (igualmente prováveis ou equiprováveis) de um determinado

resultado ocorrer. Por exemplo, ao decidir qual time de futebol começa a partida

jogando uma moeda, as chances de sair cara ou coroa são iguais, isto é, no espaço

amostral do evento jogar uma moeda, há duas possibilidades com chances

equiprováveis de acontecer: cara ou coroa.

No jogo de dois times de futebol A e B, o espaço amostral tem três possibilidades,

geralmente não equiprováveis: empate, vitória de A e vitória de B. Entretanto, ao

determinar a probabilidade de ocorrência de um resultado em eventos aleatórios,

quando todos os resultados possíveis têm a mesma chance de ocorrer

(equiprováveis), é preciso conhecer o conjunto de todas as possibilidades que

fazem parte deste problema, ou seja, o espaço amostral, e comparar a chance de

cada evento desse espaço amostral acontecer no total de possibilidades,

associando a representação fracionária como forma de registro da probabilidade

de um evento acontecer. Por exemplo, ao se lançar uma moeda, o espaço amostral

é cara ou coroa, ou seja há 1 em duas possibilidades de sair cara, logo a

probabilidade de termos cara é de 1/2, o mesmo vale para coroa. Já no caso do

INTERFACE

INTRACOMPONENTE

Articula-se com

(EF05MA09) e (EF05MA23)

ANO ESCOLAR: 9º

61

lançamento de um dado comum, há 1/6 de probabilidade de sair qualquer um dos

números do espaço amostral.

Abordagem possível: É importante indicar que o contexto natural para explorar o

desenvolvimento desta habilidade é o de atividades nas quais os estudantes

possam compreender e indicar o espaço amostral para a resolução do problema,

analisando as possibilidades de ocorrência de um evento em relação a todas as

possibilidades, verificando se elas são ou não iguais, de modo a suscitar a

formulação de hipóteses. Por exemplo, a definição de quais são os números

possíveis de saírem no lançamento de um dado comum e se esses números têm

chances iguais ou diferentes. Ou ainda na investigação de quais os possíveis

resultados da soma ao lançar dois dados em forma de tetraedros (dados com 4

faces numéricas de 1 a 4), veremos que serão 16 somas possíveis. Há uma

possibilidade de sair soma 2 e três de sair soma 6, logo a probabilidade de sair

soma 2 é de 1 em 16 e de sair soma 6 é de 3 em 16.

ATIVIDADE 01

Considerando os possíveis resultados de um Jogo de Par ou Ímpar entre dois

colegas (em que cada Jogador só pode usar os dedos de uma das mãos),

classifique com uma das palavras do quadro, a seguir, os acontecimentos citados:

ATIVIDADE 02

Represente por Fração, Porcentagem e Segmento de Reta, as respostas obtidas

62

na atividade 01 – Jogo Par ou Ímpar.

*As pessoas que resolvem problemas com mais eficiência e criatividade, engajam-se em um processo de Metarreflexão, ou de “refletir sobre a reflexão”.

COMPETÊNCIA ESPECÍFICA – 2º

OBJETO DE CONHECIMENTOS:

1- Cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados

favoráveis e o total de resultados possíveis em um espaço amostral

equiprovável.

2- Cálculo de probabilidade por meio de muitas repetições de um

experimento (frequências de ocorrências e probabilidade frequentista).

HABILIDADE:

(EF06MA30PE) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-

a por número racional (forma fracionária, decimal e percentual) e comparar esse

número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.

INTERFACE

INTRACOMPONENTE

Articula-se com (EF02MA05),

(EF04MA03), (EF04MA04), (EF04MA05)

(EF05MA09), (EF05MA22), (EF05MA23), (EF06MA012) e (EF06MA13).

A junção das atividades 01 e 02 é algo NOVO ou é uma NOVIDADE para você?

Ambas as atividades foram baseado na palestra do Prof. Sérgio Vasconcellos –

XVI Congresso internacional de Tecnologia na Educação. A falta de

convencimento da necessidade de inovar faz pensar assim: “Sempre foi assim”,

“Todo mundo faz assim”, “Fizeram assim comigo”...

SUGESTÃO COMPLEMENTAR

ANO ESCOLAR: 6º

63

Conexão Intercomponente: História Conte um pouco sobre a origem do termo Cara ou Coroa. A

expressão Cara ou Coroa tem a ver com as antigas moedas

portuguesas, que numa face tinham uma cara e na outra a imagem

de uma coroa. Nessas antigas moedas, a cara representava o valor da moeda,

enquanto a coroa fazia menção à Coroa portuguesa.


Resgatar os conhecimentos prévios para o encaminhamento da habilidade

proposta, como: fatos fundamentais da adição e subtração do 2º ano, com fatos

fundamentais da multiplicação e divisão do 4º ano; Compreensão das relações

entre as representações fracionárias, decimal e percentual; resolução de

problemas simples de contagem utilizando diferentes formas de representação,

temas do 5º ano; analisar espaço amostral para se representar a probabilidade e

finalmente equação de primeiro grau, ambos conteúdo do 6º Ano.

Retomando a probabilidade de um determinado evento ocorrer em que essa

probabilidade será determinada pela razão entre o número de casos favoráveis em

relação ao total de resultados possíveis. Pergunte sobre as estratégias que eles

usariam para resolvê-lo e tome nota de suas observações no quadro. Retomar o

conceito de probabilidade em uma discussão com a turma, reforçando que se trata

da transição dos anos iniciais para os finais: Quantas opções de resultados temos

ao lançar um dado? E quantas delas são maiores que 2? Como calculamos a

probabilidade desse evento? A qual conjunto pertence esse número que

calculamos? O que podemos fazer para que o resultado fique o mais simples

possível? O que significa simplificar uma fração? E se usássemos dois dados, qual

seria a probabilidade de ter uma soma maior que dois? Ela seria maior, menor ou

igual a que calculamos? (Obs.: Relembre com os estudantes o conceito de frações

equivalentes e que existem infinitas frações equivalentes a esse resultado

encontrado).

Abordagem possível: Organize a turma em duplas e entregue a atividade

proposta. Após isso, permita que os pares discutam e resolvam as questões

propostas sozinhos. Enquanto as duplas pensam nos questionamentos propostos,

circule pela sala e verifique as estratégias de resolução propostas por eles e as

dificuldades que estão tendo durante o processo, caso precise faça as perguntas a

turma para auxiliar no processo de aprendizagem. Discuta com a turma: O que você

entendeu desses questionamentos? Você poderia me explicar? Por que você está

resolvendo dessa maneira? Teria uma outra maneira? Explique sua resposta.

Como o experimento é aleatório, escolha o resultado de algumas das duplas (2 ou

três dependerá do progresso da discussão) para utilizar como exemplo e peça que

eles compartilhem suas observações com a classe. Você pode chamá-los para ir

até a frente ou ouvir suas observações e pedir a eles que as anotem no quadro

para a turma visualizar, explicando seu ponto de vista a todos. É importante

também analisar e discutir as estratégias de resolução encontradas.

64

Continue usando os exemplos da dupla e após as duplas concluírem apresentem

todas possibilidades que estão na atividade para que eles possam comparar com

as próprias.

ATIVIDADE 01

Baseado nos estudos da prof. Jaqueline Lixandrão Santos –CAA/UFPE

A) Você considera esse Jogo Justo? O que é um jogo justo para você?

B) Se lançarmos uma moeda para cima, qual a face que terá mais chance de sair

Cara ou Coroa? Porquê?

C) Qual o resultado do jogo para Chapeuzinho Vermelho vencer?

D) Quais as possibilidades de resultado que tornará o Lobo mau vencedor do jogo?

E) Quem tem mais chances de ficar com os doces? Porquê?

(Façam o Lançamento de uma moeda por 2 minutos, registrando quantas caras e coroas foram obtidas).

ATIVIDADE 02

São necessários dois jogadores, onde um jogador aposta no resultado par e o outro

no resultado ímpar. A aposta deve ser registrada no tabuleiro com a letra P, se o

resultado for par, e I se for ímpar.

O resultado é obtido a partir da multiplicação dos números obtidos nas

faces de dois dados.

Vence quem tiver maior número de resultados em 10 jogadas.

Um jogo pode ser considerado justo se houver mecanismo

que permita que os jogadores confirmem a equidade do

processo do jogo.

65

Diante do Jogo dos Produtos, responda:

a) Quem venceu o jogo?

b) Quais as chances do Par vencer o jogo? E do Ímpar?

c) Você acha que esse jogo é justo? Por quê?

VALE DIZER QUE...

Existem cinco propriedades que são aplicadas nos números pares e ímpares

quando efetuamos a soma ou o produto deles.

A soma de dois números pares sempre forma um número par.

Ao somarmos dois números ímpares, obteremos um número par.

Quando multiplicamos dois números ímpares, obtemos como resultado um

número ímpar.

Ao multiplicarmos um número qualquer por um número par, sempre

obteremos como resultado um número par.

Ao multiplicarmos dois números pares, obteremos como resultado um

número par.


66


OBJETO DE CONHECIMENTO: Experimentos aleatórios: espaço amostral e

estimativa de probabilidade por meio de frequência de ocorrências.

HABILIDADE:

(EF07MA34 PE) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que

envolvem cálculos de probabilidades ou estimativa por meio de frequência de

ocorrências.


Procurar ler o problema junto com o estudante e perguntar onde ele encontrará

determinadas informações. Se necessário escreva alguns dados no quadro, como

exemplo a idade de cada estudante da turma, e peça que eles montem uma tabela.

É necessário que o estudante compreenda que a probabilidade frequentista é uma

estimativa feita com base em experimento reais, por isso o resultado encontrado

refere-se exclusivamente à situação apresentada. Não podemos generalizar para

outras situações diferentes.

Abordagem possível: Após leitura da situação apresentada como exemplo, peça

que os estudantes expliquem o que entenderam. Faça perguntas do tipo: “O que

você entendeu do problema? ”, “Me explique qual estratégia você pretende seguir

para resolver este problema? ” E “Destaque quais as informações que você

considera importante nesse problema.” Se continuar a observar alguma dificuldade

de compreensão, procure escrever na lousa os principais tópicos dos problemas

para organizar as ideias dos estudantes. Pode ocorrer de algum grupo encontrar

na estimativa da probabilidade uma dízima periódica. Nesse caso o valor obtido

deve ser arredondado. Explique que para fazer um arredondamento correto

precisamos atender algumas regras:

- Sempre que o número a ser descartado for maior que 5 o número imediatamente

antes é acrescido de 1 unidade. Ex: 0,388… = 0,39

- Sempre que o número a ser descartado for menor que 5, permanece como está.

Ex: 0,322... = 0,32

INTERFACE

INTERCOMPONENTE

Articula com

(EF07EF05) (EF07EF12 ) e (EF07EF15)

ANO ESCOLAR: 7º

67

- Sempre que o número a ser descartado for igual a cinco devemos observar:

Se após o 5 seguir, em qualquer casa, um algarismo diferente de zero, aumenta-

se uma unidade ao algarismo que permanece. Ex: 0,25006 = 0,3. Se o 5 for o último

algarismo ou após o 5 só se seguirem zeros, o último algarismo a ser conservado

só será aumentando de uma unidade se for ímpar. Ex: 0,25 = 0,2 e 0,3500 = 0,4.

NA SALA DE AULA

ATIVIDADE 01 O departamento de trânsito da cidade de Júlia fez um

levantamento no último semestre para avaliar os

conhecimentos dos motoristas sobre a lei que torna

obrigatório o uso de farol baixo aceso durante o dia nas

rodovias. Obteve os seguintes resultados:

Com base na amostra representada pela tabela, qual a probabilidade de um

motorista dessa cidade desconhecer totalmente essa lei:

Resposta: a estimativa da probabilidade de um motorista dessa cidade

desconhecer completamente essa lei é aproximadamente 13,3%.

Solução:

Neste problema, a proposta apresentada visa estimar a probabilidade a partir da

frequência de um evento apresentado em uma tabela. Esse evento corresponde a

“desconhecer completamente a lei que torna obrigatório o uso de farol baixo aceso

durante o dia nas rodovias”. Para essa estimativa, é preciso inicialmente calcular o

número total de repetições do evento, que nesse caso corresponde ao número total

de motoristas consultados. Observando a tabela temos que:

Nº total de motoristas consultados = 67 + 87 + 26 + 15 = 195

Para a estimativa da probabilidade é preciso fazer a seguinte relação:

P (A) = 𝐍ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐝𝐞 𝐯𝐞𝐳𝐞𝐬 𝐞𝐦 𝐪𝐮𝐞 𝐨 𝐞𝐯𝐞𝐧𝐭𝐨 𝐀 𝐨𝐜𝐨𝐫𝐫𝐞

𝐍ú𝐦𝐞𝐫𝐨 𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝐝𝐞 𝐫𝐞𝐩𝐞𝐭𝐢çõ𝐞𝐬 𝐝𝐨 𝐞𝐱𝐩𝐞𝐫𝐢𝐦𝐞𝐧𝐭𝐨

Considerando A como o evento “ desconhecer completamente a lei que torna

obrigatório o uso de farol baixo aceso durante o dia nas rodovia”.

P (A): probabilidade de ocorrência do evento A

Os estudantes podem apresentar as soluções usando uma das representações:

fracionária, decimal ou percentual.

Opinião Conheço bem Conheço um

pouco Desconheço totalmente

Não respondeu

Número de motoristas

67 87 26 15

68

P(A) = 26

195 = 0,133 = 13, 3%

Observe que o valor estimado corresponde a um valor aproximado, pois o resultado

encontrado foi uma dízima periódica e foi feito um arredondamento no valor.



Recordar o que é Espaço e Evento, a relação do número de elementos do evento

pelo espaço. O espaço amostral é comparar a chance de cada evento desse

espaço amostral acontecer no total de possibilidades, associando a representação

fracionária ou decimal como forma de registro da probabilidade de um evento

acontecer. Utilizar o princípio multiplicativo é reconhecer que a soma das

probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1. Comentar

com os estudantes sobre anagramas e trabalhar com a palavra “BOCA” como

exemplo. Que pode vir a ser “CABO”, ou ainda “BCAO”. Mostre que “BOCA” e

“CABO” possui um significado, mas “BCAO” não, contudo para formação de

anagramas não importa se terá sentido ou não o termo apresentado.

Quais os anagramas da palavra luz? Quantos anagramas possui a palavra navio? Como podemos utilizar o princípio multiplicativo para determinar a quantidade de anagramas?

Abordagem possível: Durante as atividades usaremos o termo “pelo menos”,

expressões que envolvem uma união de probabilidades, pois haverá mais de um

INTERFACE

INTRACOMPONENTE

Articula-se com

(EF05MA09), (EF05MA23), (EF06MA30) e (EF07MA34)


Princípio multiplicativo da contagem;

Soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral.

HABILIDADE:

(EF08MA22PE) Calcular a probabilidade de eventos com base na construção do

espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo e reconhecer que a soma

das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.

ANO ESCOLAR: 8º

69

evento que satisfaz a probabilidade. Comente que o tempo limita inferiormente as

possibilidades favoráveis. Ex: Pelo menos 2 horas de estudo diário, indica que no

mínimo duas horas são necessárias diariamente, porém se for 2,5 horas, 3 horas,

etc. todas satisfarão a condição. O que representa a expressão “OU”? Definir a

expressão “OU” como conectivo de afirmações, mostrando que uma, outra ou

ambas podem ocorrer. Ex: No lançamento de um dado OU a face é par OU será

ímpar. Assim a união (soma) das duas é o próprio espaço.

ATIVIDADE – AS PALAVRAS

Bruno observou que as palavras ROMA e AMOR são formadas pelas mesmas

letras A, M, O e R. Curioso, descobriu que essas palavras são chamadas de

anagramas, isto é, palavras formadas com as mesmas letras, possuindo um

significado ou não.

Caso Bruno resolvesse encontrar todos os anagramas formados pelas letras que

compõem seu nome, isto é: B, R, U, N e O; qual seria a probabilidade de

encontrar anagramas iniciados por vogais?

Solução 1:

Trabalhando com o princípio multiplicativo temos:

Número de elementos do espaço: O total de anagramas possíveis

1ª Letra 1ª Letra 1ª Letra 1ª Letra 1ª Letra

5 4 3 2 1

Assim: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 possibilidades

Número de elementos do espaço: iniciar com vogal O.

1ª Letra 1ª Letra 1ª Letra 1ª Letra 1ª Letra

5 4 3 2 1

Inicia com “O”

Qualquer uma

das 4 letras

restantes

Qualquer uma

das 3 letras

restantes

Qualquer uma

das 3 letras

restantes

A última letra

que ficou

Assim: 1 x 4 x 3 x 2 x 1 = 24 possibilidades

Como 24 possibilidades iniciam com “O”, outras 24 iniciam com “U”, totalizando

assim 48 elementos pertencentes ao evento.

Logo:

P = 48

120 =

24

60 =

12

30 =

4

10 ou p = 40%

Solução 2: Observe a árvore de possibilidades:

70

Espaço: Há exatamente 24 anagramas iniciados com B, outros 24 iniciados com

R..., sendo assim o número de elementos do espaço é 24 x 5 = 120.

Evento: Há 24 anagramas iniciados com O e outros 24 iniciados com U, totalizando

48 elementos pertencentes ao evento.

Logo, a probabilidade será:

P = 48

120 =

24

60 =

12

30 =

4

10 ou p = 40%

Jogos on line sobre probabilidade para ser aplicados no laboratório, aqui.

Recordando a Regra da Soma de Probabilidades aqui.


OBJETO DE CONHECIMENTO:

Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e

independentes.

HABILIDADE:

(EF09MA20PE) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos

independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência nos

dois casos.

Sugestões Digitais

ANO ESCOLAR: 9º

http://www.atividadeseducativas.com.br/index.php?id=6819

http://soniavieira.blogspot.com/2014/10/teorema-da-soma-ou-regra-do-ou.html

71


Observar e ressaltar aos estudantes que quando se trata de eventos simultâneos

podemos ter dois ou mais eventos acontecendo ao mesmo tempo ou

sucessivamente. Fazer questionamentos que resgatem o conhecimento prévio dos

estudantes: “O que você lembra sobre eventos simultâneos”, “dependentes e

independentes?”, “noção intuitiva de probabilidade”, “noção do conceito de espaço

amostral”; exemplo: O que vem em mente quando se fala de simultâneo? Por

exemplo: “Paulo e Marcos chegaram simultaneamente na escola”.

Abordagem possível: Quando jogamos um dado quais são todas as

possibilidades? Espera-se que os estudantes respondam 1,2,3,4,5,6. Logo, o

espaço amostral está relacionado com o conjunto de todos os resultados possíveis

de um experimento. Já o evento relaciona-se ao conjunto resultado do experimento.

Você pode utilizar o exemplo simples: Qual a probabilidade de um estudante da

nossa escola ser do 9º ano? Observe com os estudantes que o espaço amostral

são todos os estudantes da escola e o evento esperado é ser do 9º ano. Professor,

deixe claro aos estudantes que os exemplos devem envolver o uso de

probabilidade, como por exemplo: “Qual a probabilidade de, ao lançar dois dados,

sair seis no primeiro e cinco no segundo? ”. Mostre aos estudantes que devem ser

exemplos que sigam esse contexto, no entanto apontando a natureza dos eventos,

isto é, se são dependentes ou independentes. Questione sempre os estudantes se

o que eles estão sugerindo envolve o uso de probabilidades. Outro exemplo que

pode ser dado: “Se lançarmos uma moeda duas vezes, e considerando que tenha

saído coroa na primeira, qual a probabilidade de sair coroa duas vezes?”. Deixe

claro aos estudantes que os eventos independentes ocorrem quando não há

alteração no espaço amostral e nas possibilidades de cada evento, diferentemente

dos eventos dependentes quando a probabilidade de ocorrência do evento B

depende da ocorrência do evento A. Peça aos estudantes que busquem exemplos

usuais na vida cotidiana deles, por exemplo: qual a probabilidade de na sala de

INTERFACE

INTRACOMPONENTE

Articula-se com (EF05MA29), (EF05MA23), (EF06MA30), (EF06MA34) e (EF08MA22)

INTERFACE

INTERCOMPONENTE

articula com

(EF09CI09)

72

aula, ao sorteamos dois estudantes para escrever no quadro, saírem duas

meninas?

ATIVIDADE – JOGO BATATA QUENTE

REGRAS DO JOGO: O professor irá colocar uma música e passará duas bolas,

uma azul e uma vermelha. Quando a música parar: Bola azul: Dar um exemplo de

evento dependente; Bola Vermelha: Dar um exemplo de evento independente.

Exemplo de tabela:

EVENTOS DEPENDENTES EVENTOS INDEPENDENTES

Desenvolvimento: Coloque as carteiras em círculo para que os estudantes

possam se ver. O jogo é no estilo “batata quente”, a bola deve ser passada de

estudante para estudante. Deixe que os estudantes escolham a música. Atente-se

para que seja uma música divertida e agitada. Na lousa realize um quadro com

duas colunas. A ideia é você anotar na lousa as respostas dos estudantes, sem

corrigi-las. Atente-se para pausar a música de modo que todos possam participar.

Professor, você pode fazer as bolinhas, mas podem ser outros objetos distintos

entre si. Leve uma caixinha de som e um computador. Ou apenas um rádio.

Interessante será expor os exemplos apresentados pelos estudantes.

Discuta com a turma: Esses exemplos são encontrados em nosso cotidiano?

Vocês já haviam percebido que essas situações expostas, do cotidiano, têm relação

com o conteúdo que estamos estudando?

Orientação: Agora é o momento de propor uma discussão acerca dos exemplos

apresentados pelos estudantes. O objetivo central é ler com os estufantes os

exemplos citados e solicitar que a classe diga se está correto e justifique o porquê,

baseando-se nas definições de eventos dependentes e independentes. A ideia é

que os estudantes deem exemplos de eventos que envolvam o uso de

probabilidade, tais como jogo de baralho, lançamento de moedas, retirada de bolas

em urnas, etc.

Nota para o professor: Dois eventos A e B de um espaço amostral são

independentes se a probabilidade de ocorrência do evento B não depende da

probabilidade de ocorrência do evento A e consequentemente os eventos

dependentes são aqueles em que o evento B depende da ocorrência do evento A.

Discuta com a classe o que leva o evento ser considerado dependente ou

independente. Você pode pegar alguns exemplos dados pelos estudantes e

modificá-los para verificar se foi atendido o objetivo da aula. Poderá discutir também

73

as respostas dadas pelos estudantes e fixar o conceito e quais os principais pontos

que diferenciam os dois eventos.


DESAFIO:

1) Em uma cidade existem duas famílias que são vizinhas e planejam ter filhos. A

primeira quer ter 3 filhos e a outra 4 filhos. Admitamos que o sexo das crianças

das duas famílias é igualmente provável. Agora vamos considerar o evento A

terem crianças de ambos os sexos e o evento B ter no máximo um menino.

Desse modo, identifique em qual família os dois eventos são dependentes ou

independentes. Por quê?

UNIDADE TEMÁTICA: NÚMEROS

Apesar do acervo de conhecimentos matemáticos ser organizado

didaticamente entre campos/eixos e agora em unidade temática, a Matemática não

deve ser encarada como uma justaposição de subdisciplinas estanques, mas como

um campo em que os conhecimentos são fortemente articulados entre si.

A decisão pela divisão do ensino de Matemática em áreas precisa ser

vista como uma opção didática, que envolve uma concepção de ensino e

aprendizagem que se contrapõe à tendência de um ensino fragmentado. Embora a

organização seja feita por área temática, é essencial assumir que os estudantes

aprendem fazendo conexões e relações entre diferentes conceitos e procedimentos

matemáticos implícitos nesses campos.

O conceito de números e as operações numéricas, por exemplo,

permeiam todos os demais campos da matemática. A matemática comporta uma

diversidade de formas simbólicas presentes em corpo de conhecimento.

É muito importante definir os focos da metodologia pela qual a

Matemática será ensinada na escola. Não é qualquer metodologia que leva ao

letramento matemático e ao desenvolvimento das competências específicas. É

preciso um enfoque problematizador que envolva desafios, que permita estabelecer

relações com outras áreas do conhecimento e mesmo o desenvolvimento de

projetos.

FRAÇÕES

Tanto a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), como o nosso Currículo de PE,

propõem uma reorganização, pois esse conteúdo permeia as duas etapas do

Ensino Fundamental, seguindo uma progressão da aprendizagem de modo a

ampliar e aprofundar o nível de complexidade. Entretanto, precisa-se refletir sobre

o que é relevante nesse processo - em particular sobre os números fracionários - e

no que se fundamenta.

Transição do Ensino Infantil para os Anos Iniciais

Apresentamos algumas considerações e sugestões que poderão ser aproveitadas

e aperfeiçoadas.

74

A situação vivenciada nesse período de convivência escolar nos reporta

intuitivamente às ações com as divisões. Dividir os lanches, como a divisão do

sanduíche, da laranja ou do doce em duas partes iguais, ocorre espontaneamente

e vamos chamá-las, de modo natural, de metades do sanduíche, da laranja ou do

doce.

A metade pode surgir, também, em situações-problema, como na divisão

de três laranjas para duas crianças ou de duas laranjas para 4 crianças. Pode-se

usar também a palavra meio ou meia. Esteja atento a usar as palavras envolvidas

não apenas no sentido de nome de uma parte ou pedaço, mas também como

quantificador daquela parte. Uma estratégia é perguntar, após divisões, não por o

que ganhou (nome da parte), mas por quanto da laranja ganhou (enfatizando a

relação de quantidade). Outras situações (que não devem ocorrer só num bimestre,

mas devem voltar sempre ao longo do ano):

Dividir igualmente, para dar suco a duas crianças, o conteúdo de um copo

cheio em dois copos, resultando em meio copo para cada uma. Enfatizar

diferentes quantidades de líquido que se pode formar: um ou mais copos,

meio copo, dois copos e meio etc.

Explorar a metade do rosto, do corpo, do banco, do tampo da mesa.

Ao fazer uma dobradura, ensinar o que significa “dobrar uma folha ao meio”.

Mostrar que, ao fazer isso, obtemos duas metades iguais da folha. Se

pegamos uma metade, ainda sobra outra. Se reunimos as duas metades,

voltamos a ter a coisa inteira (noções de complemento e de formação do

inteiro). Pode ocorrer de duas crianças dividirem a folha ao meio de modos

diferentes, como:

Nesse caso, trabalhar para que percebam que os pedaços diferentes

valem o mesmo tanto.

Em um jogo, explorar metade do caminho.

Na divisão de 2 laranjas (ou outra coisa) para 4 crianças, explorar bem a

situação, ressaltando o fato de dar meia laranja a cada um.

Também é interessante explorar concretamente: o metro inteiro, a metade do

metro, o litro inteiro, a metade do litro. Por exemplo: pegar uma fita do

tamanho de um metro e dobrá-la ao meio; pegar um frasco onde caiba um

litro, enchê-lo de água e dividir em duas partes iguais. Fazer perguntas que

tornem a situação significativa: qual de vocês mede mais do que um metro?

O passo de cada um é maior ou menor que meio metro? Quem consegue

beber meio litro de suco ou água de uma só vez? A quantidade de refrigerante

EDUCAÇÃO INFANTIL E 1º ANO

75

na lata é mais ou menos que meio litro? Essas atividades envolvem medidas.

É muito comum aparecerem frações quando efetuamos medidas.

Apesar de não haver intenção de introduzir o registro ½ nessa fase, pode

ocorrer das crianças verem em algum lugar essa representação e lerem, talvez,

“um dois”. O papel do professor é informar, sem maior ênfase, sobre o significado

daquela escrita numérica, dizendo, por exemplo: “aí está escrito um meio. Quer

dizer metade. É o 1 separado do 2 por um risco”. Somente nesse caso, de

aparecimento do símbolo em algum lugar que chame a atenção das crianças, o

símbolo será informado. Não é necessário pedir que as crianças escrevam.

Nessa fase - Educação Infantil e 1ª Ano - caso surja alguma coisa

dividida em um outro número de partes iguais, pode-se informar no momento o

nome de cada parte. Por exemplo: algum doce repartido em quatro partes - um

quarto - uma jarra de um litro que apareça graduada em décimos - um décimo - etc.

Não é necessário repetir e voltar a esses termos a não ser que a situação se renove.

Propondo situações

Segundo Vergnaud, o primeiro constituinte da formação de um conceito

é um conjunto de situações que tornem o conceito (a surgir) útil e significativo. Por

isso, a constatação de metades não deve ser feita somente em situações estáticas,

mas deve ser provocada por situações que dão sentido ao conceito.

Vejamos um exemplo da formação de conceitos de acordo com o mesmo autor:

Maria cortou uma laranja para dividi-la bem certinho entre si e uma colega.

Quanto de laranja cada uma recebeu?

Estimular o pensamento de cada aluno, bem como qualquer tipo de

expressão da resposta: falada, escrita, desenhada. Com isso, estaremos

desenvolvendo o segundo e o terceiro componentes da formação de um conceito,

conforme Vergnaud: a atuação livre dos estudantes, na qual manifesta-se a

produção de esquemas próprios, e a informação ou criação de representações da

situação na forma verbal, de desenhos ou outras. Lembrar que, nessa fase, as

crianças têm necessidade de registrar todas as partes obtidas na divisão (e não

apenas dizer o que coube a uma delas para ser generalizado para as demais).

Se, no primeiro ano, a chave da divisão já foi introduzida, é comum que

representem o resultado por:

1 laranja 2 crianças

Se, em vez de uma laranja para duas crianças, tiverem uma laranja para

4 crianças, fazem desenhos (da laranja real, não de um quadrado ou um retângulo),

dizem que “deu menor”, “só deu um pedacinho” e, perguntados sobre quanto deu

da laranja, expressam-se por “deu a metade dividida em 2” ou “deu metade da

metade”.

É uma boa oportunidade para dizer que essa quantidade tem um nome:

1 quarto. (Pode-se até explicar que muitas casas de moradia são feitas divididas

76

em quatro partes iguais: sala, cozinha, banheiro e um quarto; e, em seguida, fazer

relação com o nome).

As ações dos estudantes conduzem-nos ao conceito de metade da

metade e a um conhecimento: se dividir o objeto em mais vezes, obtém-se uma

parte menor. Ou, como costumam dizer: quanto mais divide, menor fica.

As crianças chegam a exemplos do que Vergnaud chama de conceito

em ação (a noção de metade da metade e, possivelmente, seu nome) e teorema

em ação - a propriedade de que quanto mais divide, menor fica. São conhecimentos

invariantes, válidos em qualquer situação - a metade da metade corresponde

sempre à divisão do objeto em 4 partes iguais, e, qualquer que seja o objeto, quanto

mais for dividido, menor será a parte obtida.

É importante destacar que não é necessário ensinar a resolver a

situação proposta. Só deixar as crianças pensarem, fazerem hipóteses,

apresentarem respostas de um grupo a outro e repensarem... até se certificarem

de uma solução a que podem chegar sozinhas. A resposta está associada a uma

divisão em duas partes iguais, a qual, embora eles não saibam fazer formalmente,

podem calcular com os conhecimentos prévios.


OBJETO DE CONHECIMENTO: Problemas envolvendo significados de dobro,

metade, triplo e terça parte.

HABILIDADES:

Resolver e elaborar problemas envolvendo dobro, metade, triplo e terça parte

com o suporte de imagens ou material manipulável, utilizando estratégias

pessoais. (EF02MA08PE)

Resolver problemas em linguagem verbal, envolvendo as ideias de repartir

uma coleção em partes iguais e de determinar quantas vezes uma quantidade

cabe em outra. (EF02MAXPE).

INTERFACE

INTRACOMPONENTE

Articula-se com (EF02MA05), (EF02MA06), (EF02MA07),EF02MA17)

(EF02MA20) e (EF02MA22)

ANO ESCOLAR: 2º

77

DETALHAMENTO DAS HABILIDADES

Nessa fase, espera-se que as crianças devam continuar a aprender e a

compreender os primeiros números fracionários, que é possível quebrar uma

unidade em partes menores, mas sem necessariamente representar essa

quantidade em um número. De modo análogo à aprendizagem dos primeiros

números naturais, isso pode se estender por vários anos, talvez cerca de dois anos,

para que as crianças construam bem esse entendimento.

Abordagem possível: Nos primeiros contatos, aproveite a divisão de objetos. Usa-

se tanto conjuntos discretos (separar balas em grupos menores) quanto conjuntos

contínuos (divisão da pizza) para trabalhar a ideia de metade e terço.

Situações para a introdução de números fracionários

Os seguintes problemas devem ser resolvidos sem regras e sem usar os

nomes das frações. Gradativamente, o nível de complexidade poderá aumentar.

1 - Tia Lucy tinha 5 doces para dividir igualmente entre 4 sobrinhos. Como ela

poderia fazer essa divisão?

2 - Quatro crianças compraram 3 barras de chocolate e querem dividi-las

igualmente entre eles. Como eles podem fazer isso?

3 - A mãe dividiu um bolo igualmente para dar aos 4 filhos. Mas chegaram 4

amigos, que também queriam comer o bolo. Como a mãe poderia fazer?

4 - Quantas metades de litro cabem em um litro e meio? E quantos quartos de

litro cabem em um litro e meio?

5 - A mãe dividiu um doce em 8 partes iguais. Joelmir, Maria e Gláucia vieram e

comeram tudo. Joelmir comeu metade do doce. Maria comeu uma das partes

cortadas. Quantas partes do bolo Gláucia comeu?

6 - Uma professora tinha 10 alunos. Ela dividiu uma goiabada em 10 pedaços,

para dar um pedaço a cada aluno. Mas três alunos não quiseram. Dois deles

eram irmãos e deram seus pedaços para um primo, o outro deu seu pedaço para

um amigo. No lanche, os colegas comeram os pedaços que ganharam. Quantos

alunos comeram goiabada? Quantos alunos comeram mais do que um pedaço?

Quantos pedaços eles comeram? Quantos alunos comeram só um pedaço?


Deixe as crianças resolverem e discutirem os problemas acima do jeito que elas

quiserem. Pode ser só pensando ou desenhando.

Lembre-se que elas ainda não aprenderam nenhuma conta com as frações. Na

Situação 3, provavelmente as crianças chegarão à ideia de dividir cada um dos

4 pedaços iniciais ao meio, dobrando o número de pedaços. Pode-se informar

que o nome de cada pedaço é relacionado com o número de partes em que o

bolo foi dividido: oito oitavo. Também perceberão que, dividindo mais, os pedaços

ficarão menores.

78

COMPETÊNCIA ESPECÍFICA – 3ª E 6ª

OBJETO DE CONHECIMENTO: Significados de metade, terça parte, quarta

parte, quinta parte e décima parte.

HABILIDADE:

EF03MA09PE) Associar o quociente de uma divisão com resto zero de um

número natural por 2, 3, 4, 5 e 10 às ideias de metade, terça, quarta, quinta e

décima partes (por exemplo, 15:3 = 5 pode ser escrito como 15/3 = 5, indicando

que 5 é a terça parte de 15).


Resolver e elaborar problemas de divisão de um número natural por

outro se relaciona com explorar novos processos de contagem para dividir em

partes iguais (10 dividido igualmente por 2 resulta em 5 para cada um) e medir (2

cabe 5 vezes em 10). A representação da divisão pode ser feita por desenhos,

palavras, esquemas e símbolos. A habilidade prevê a divisão entre números até 10,

com resto zero e resto diferente de zero - no caso de resto zero, serão explorados

os fatos fundamentais da divisão. A relação com a multiplicação deve ser feita.

Abordagem possível: Pode se explicitar que a proposição desta habilidade

envolve um princípio no qual se considera que conceitos e procedimentos

matemáticos são desenvolvidos mediante a resolução de problemas. Assim, as

ideias trazidas na habilidade devem ser desenvolvidas por meio de problemas -

inclusive a problematização de jogos - envolvendo significados da multiplicação e

da divisão. Os estudantes deverão ser convidados a representar suas resoluções

usando diferentes recursos (papel quadriculado, desenhos, materiais diversos,

registros numéricos, entre outros). Se faz necessário que os estudantes possam

comunicar e justificar seus procedimentos de resolução de problemas, bem como

organizar registros escritos das conclusões sobre as soluções dos problemas

propostos. É recomendável introduzir as escritas matemáticas relativas à

multiplicação e à divisão, bem como explorar, com os estudantes, o sentido do resto

na divisão.

Conexão Intercomponentes: História e Língua Portuguesa

1. Uma ideia para introduzir a noção de um quinto

Pode-se fazer uma integração com a aula de História, relatando que quando o

Brasil era colônia de Portugal, os reis portugueses exigiam que 1 quinto do ouro

ANO ESCOLAR: 3º

79

produzido nas minas do Brasil fosse enviado à Portugal. A embarcação que

levava esse ouro era chamada Nau dos Quintos.

2. Problemas em forma de Poemas

QUE HORAS SÃO?

No relógio do Caio não tem nenhum número, não.

No lugar do número 12 tem um raio,

No lugar do 6, um vulcão.

Em vez de 3, tem um gato xadrez.

Em vez de 9,

Um coração escrito Love.

Se o ponteiro do relógio, partindo do vulcão,

Der um quarto de volta, pra onde ele apontará então?

Trabalhar com o gênero textual poema a partir da leitura e interpretação

de textos para aprender matemática, é uma forma divertida e

interdisciplinar, favorecendo a conexão com a Língua Portuguesa.

A partir do texto do poema, explorar o conceito de fração. Por exemplo,

fazer o seguinte questionamento: Um quarto de volta corresponde a que

fração de uma hora?

Há, também, a oportunidade para o trabalho interdisciplinar com as

habilidades de Língua Portuguesa (EF03LP11) e (EF03LP16) no que se

refere à leitura, compreensão e utilização de divisão em receitas.


OBJETO DE CONHECIMENTO: Números racionais: frações unitárias mais

usuais (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/10 e 1/100)

HABILIDADE:

(EF04MA09PE) Reconhecer as frações unitárias mais usuais (1/2, 1/3, 1/4, 1/5,

1/10 e 1/100) como unidades de medida menores do que uma unidade, utilizando

a reta numérica como recurso, entre outros

INTERFACE

INTRACOMPONENTE


ANO ESCOLAR: 4º

80


Reconhecer as frações unitárias (frações com numeradores iguais a 1)

como unidades de medida menores do que um, significa identificar uma parte de

um todo ou inteiro e verificar quantas vezes ela cabe no inteiro, associando que a

fração unitária mede ou vale menos do que o inteiro fracionado. A utilização da reta

numérica é um recurso que permite a compreensão da relação entre o inteiro e uma

de suas partes. As representações da fração (esquema, desenho, numérica e

escrita) bem como os nomes específicos dos termos da fração (numerador e

denominador) são recomendadas.

Abordagem possível: O principal avanço na aprendizagem dos estudantes em

relação ao ano anterior será a introdução da reta numérica para identificar as

unidades na reta e entender como as frações se localizam, sua relação com

grandezas e medidas e a variação do todo, como já foi vivenciado no 3º ano. É

importante destacar que a resolução de problemas e o recurso a materiais

manipuláveis são essenciais para a aprendizagem do conceito de fração. É

indicado um cuidado especial com as diversas representações da fração (desenho,

reta numérica, escrita em palavras e escrita numérica), assim como a introdução

das ideias centrais: fração como parte de um todo e fração como quociente; as

representações apoiarão a compreensão do conceito de fração e devem ser

valorizadas como componentes do processo de ensino e aprendizagem e não como

uma finalidade em si. Será sempre importante manter o trabalho com conjuntos

discretos e contínuos.

COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS - 3ª, 5ª E 6ª

OBJETO DE CONHECIMENTO: Representação fracionária dos números

racionais: reconhecimento, significados, leitura e representação na reta

numérica.

HABILIDADES:

(EF05MA03PE) Identificar e representar frações (menores e maiores que a

unidade), associando-as ao resultado de uma divisão ou à ideia de parte de um

todo, utilizando a reta numérica e outros materiais concretos como recurso.

INTERFACE

INTRACOMPONENTE

Articula-se (EF05MA02), (EF05MA04), (EF05MA05) e (EF05MA06)

ANO ESCOLAR: 5º

81


Identificar e representar frações (menores e maiores que a unidade),

associando-as ao resultado de uma divisão ou à ideia de parte de um todo implica

em compreender, simultaneamente, que o traço da fração pode significar a divisão

entre o numerador e o denominador e também como indicador de que um inteiro

foi dividido em certo número de partes iguais (indicadas no denominador) sem

sobrar resto e que, dessas partes, foram tomadas algumas (indicadas no

numerador). Assim, a fração 2/5 pode significar 2:5 e um inteiro dividido em 5 partes

das quais se tomou 2. Essa relação deve ser explorada em frações maiores,

menores ou iguais a um inteiro como, por exemplo: 1/2; 2/2 ou 3/2. Não há

necessidade de nomear as frações estudadas em própria, imprópria ou aparente,

uma vez que o que importa na habilidade são as duas ideias envolvendo fração

(como produto de uma divisão e como parte de um todo) e a representação na reta

numérica. Além de relacionar esses números com outras representações (decimais

e porcentagem).

Abordagem possível: É importante explicitar que esta é uma habilidade que

envolve muitas ideias importantes. A sugestão é que ela seja desdobrada em três:

uma que trata de frações como parte de um todo e divisão (em todos discretos e

contínuos); outra que aborde as representações de frações maiores, menores ou

iguais ao inteiro associadas às duas ideias e, finalmente, a representação das

frações maiores, menores ou iguais ao inteiro na reta numérica. É importante que

todas elas se relacionem com grandezas e medidas, de modo que os estudantes

possam fazer conexões matemáticas relativas às duas áreas temáticas em

questão. É indicado que sejam propostos desafios nos quais haja que se pensar no

que ocorre quando fracionamos um todo discreto e um todo contínuo e o que

diferencia a fração como parte de um todo ou como divisão. Por exemplo, pode-se

propor situações nas quais os estudantes tenham que fracionar uma folha de papel,

um pedaço de barbante, uma quantidade de fichas ou de botões. Também

associarão que a folha e o barbante (exemplo de todo contínuo) são fracionados

em partes com o mesmo tamanho, enquanto as fichas e os botões (exemplo de

todo discreto), fracionáveis em grupos com a mesma quantidade de unidades. A

reta numérica terá uma função relevante na medida em que, associada aos

conhecimentos da habilidade (EF05MA02), favorece a compreensão de que

existem números racionais, que são escritos em formas diferentes, que

representam a mesma quantidade, como é o caso de 1/2 e 0,5 ou 5/10. Da mesma

maneira, é interessante propor que representem 1,2 e 1/2 na reta numérica para

que vejam graficamente que essas duas escritas não representam a mesma

quantidade porque ocupam pontos distintos na reta. Outro material recomendado

para explorar frações são quebra-cabeças, tais como o tangram.

OBJETO DE CONHECIMENTO: Comparação e ordenação de números

racionais na representação decimal e na fracionária utilizando a noção de

equivalência.

82

HABILIDADES:

(EF05MAXPE) Comparar e relacionar diferentes representações de uma mesma

fração, utilizando materiais manipuláveis no intuito de construir a noção de fração

equivalente.

(EF05MA04PE) Identificar frações equivalentes.

(EF05MA05PE) Comparar e ordenar números racionais positivos

(representações fracionária e decimal), relacionando-os a pontos na reta

numérica.


Comparar e ordenar números racionais positivos (representações

fracionária e decimal), relacionando-os a pontos na reta numérica implica em

compreender o significado de numerador e denominador em uma fração, a

compreensão de que uma escrita fracionária representa uma quantidade (de um

todo discreto ou contínuo) e que é possível analisar se uma escrita fracionária

representa uma quantidade maior, menor ou igual à outra, expressando essa

comparação tanto verbalmente (maior que, menor que, igual a, diferente de) quanto

pelo uso dos sinais de igualdade ou desigualdade correspondentes às expressões

verbais (<,>, = ou ≠).

Identificar frações equivalentes implica em compreender que há escritas

fracionárias distintas que representam a mesma quantidade ou a mesma parte de

um todo. O desenvolvimento desta habilidade se relaciona diretamente com as

aprendizagens referentes à habilidade anterior. Pode-se destacar que a ideia de

equivalência é uma das mais importantes a serem aprendidas até o 5º ano de

escolaridade. Ela permite que os estudantes comparem números racionais na

forma fracionária com denominadores diferentes e também que realizem as

operações de adição e subtração de frações com denominadores diferentes.

Envolve o pensamento algébrico se a equivalência for explorada como uma

regularidade entre frações que representam quantidades iguais de um mesmo todo,

ainda que expressas com números diferentes. Um aspecto a ser considerado é a

utilização, pelos estudantes, das expressões 'equivalente a', 'maior que', 'menor

que', ' o mesmo valor' como linguagem a ser adquirida ao longo da exploração dos

conceitos envolvidos na habilidade. Problemas com materiais manipulativos, tais

como tiras de frações, tangram, entre outros, são adequados para criar contextos

de aprendizagem da habilidade. Problemas do seguinte tipo: " Natália e Eduarda

INTERFACE

INTRACOMPONENTE

Articula-se (EF05MA02), (EF05MA03), (EF05MA05), (EF05MA06), (EF05MA07) e

(EF05MA08)

83

estão completando um álbum com 240 figurinhas. Natália já colou metade das

figurinhas de seu álbum e Eduarda colou dois quartos do total de figurinhas do

álbum. Quantas figurinhas cada menina já colou?", são boas situações para colocar

em discussão a ideia de frações equivalentes.

A representação de frações equivalentes na reta numérica auxilia na

observação de que escritas fracionárias diferentes representam quantidades iguais,

quando se referem ao mesmo todo, e por isso são representadas pelo mesmo

ponto na reta numérica. Merece atenção que os alunos sejam estimulados sempre

a representar as ideias aprendidas de formas diferentes (por escrito,

numericamente, com desenhos), justificar suas resoluções e, ainda, escrever as

aprendizagens feitas. É preciso considerar que as aprendizagens esperadas por

esta habilidade decorrem diretamente do que os estudantes aprendem nas

habilidades (EF05MA03) e (EF05MA04). Em especial, esta habilidade deverá

permitir a utilização de frações equivalentes para que a comparação entre frações

aconteça, além da observação da ordem de grandeza de uma fração por sua

representação na reta numérica. Assim, não se espera que seja utilizada qualquer

regra de comparação de frações, em especial a redução a um mesmo denominador

por uso de mínimo múltiplo comum.

A utilização de problemas relacionando frações com medidas são bons

contextos para favorecer a aprendizagem da habilidade como, por exemplo,

comparar 2/5 de um metro com 4/10 de um metro; reconhecer qual a peça do

tangram que representa a maior fração do quadrado formado pelas 7 peças; usar

malha quadriculada para mostrar frações que representem menos do que 1/6 da

área de um retângulo formado por 24 quadradinhos; investigar frações que

representem 1/4 do círculo todo e registrar isso com desenhos e escritas

numéricas.


Jogo http://mdmat.ufrgs.br/anos_iniciais/objetos/ratio_linha.htm.

Nesse jogo, os estudantes devem procurar frações equivalentes em um tabuleiro.

Notas para o Professor

Pesquisas recentes têm mostrado que o procedimento do mínimo múltiplo

comum (mmc) para reduzir frações ao mesmo denominador, a fim de

compará-las, não faz o menor sentido para a criança. Em razão disso, estamos

optando pelas frações equivalentes e sempre em situações contextualizadas.

OBJETO DE CONHECIMENTO: Cálculo de porcentagens e representação

fracionária.

HABILIDADE:

(EF05MA06PE) Associar as representações 10%, 25%, 50%, 75% e 100%

respectivamente à décima parte, quarta parte, metade, três quartos e um inteiro

http://mdmat.ufrgs.br/anos_iniciais/objetos/ratio_linha.htm

84

para calcular porcentagens, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e

calculadora em contextos de educação financeira, entre outros.


Nesse caso, é necessário relacionar uma representação fracionária a

outra em porcentagem. Para tanto, os alunos estabelecem relações entre as

representações fracionárias e porcentagens simples (50%, 25%, 20%, 10%). Eles

podem considerar que 100% correspondem ao inteiro: nesse caso, 4

4 . A metade

seria 50%, ou ,2

4 , Então ,

3

4 equivaleriam a 75%.

Abordagem possível: É preciso considerar que as aprendizagens esperadas por

esta habilidade decorrem diretamente do que os estudantes aprenderam nas

habilidades anteriores. Porém, propor atividades com porcentagem associadas ao

trabalho com frações equivalentes e suas representações, facilitará a compreensão

da relação entre as diferentes escritas e também que o valor relacionado a elas é

equivalente.

COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS – 2ª E 5ª

OBJETO DE CONHECIMENTO: Frações: significados (parte/todo, quociente),

equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número

natural; adição e subtração de frações.

HABILIDADES:

(EF06MA07PE) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias

INTERFACE

INTRACOMPONENTE

Articula-se (EF05MA02), (EF05MA03), (EF05MA05), (EF05MA06), (EF05MA07) e

(EF05MA08))

INTERFACE

INTERCOMPONENTE

Articula-se com (EF05GE01)

ANO ESCOLAR: 6º

85

de partes de inteiros (parte/todo) e resultado de divisão e suas aplicabilidades no

cotidiano por meio da utilização de materiais manipuláveis, identificando também

frações equivalentes.

(EF06MA08PE) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser

expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas

representações, passando de uma representação para outra e relacioná-los a

pontos na reta numérica.

(EF06MA09PE) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração

de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural com e sem uso de

calculadora.

(EF06MA10PE) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou

subtração com números racionais positivos na representação fracionária.


A fração é entendida como parte do conjunto dos números racionais

positivos. A partir da introdução da soma e subtração das frações e de um estudo

sobre a ideia de equivalência, espera-se que o estudante procure uma fração

equivalente a cada uma que foi dada para efetuar efetivamente soma ou subtração.

Precisa-se levar em conta o fato de que o denominador é, ao mesmo tempo, um

número múltiplo entre si para, em seguida, considerar a fração que falta para

completar o inteiro. Exemplo: Maria leu 1

3 de um livro num dia e

1

4 no outro. Contou

para Pedro, que disse: “Que bom! Faltam apenas 2

5 para você terminar!”. Pedro está

correto? Por quê? Promova a discussão coletiva e observe os argumentos da turma

que deve concluir que o menino estava errado já que a soma das frações não

completa o inteiro.

Abordagem possível: Para as operações, traga problemas e situações reais.

Quanto para transformar, comparar e ordenar as frações e os números decimais,

os problemas sem contexto social são os ideais.

COMPETÊNCIAS ESPECÍFICAS – 2ª E 5ª

INTERFACE

INTRACOMPONENTE

Articula-se com (EF06MA01), (EF06MA02), (EF06MA08), (EF06MA09) e (EF06MA10)

ANO ESCOLAR: 7º

86

OBJETO DE CONHECIMENTO: Fração e seus significados: como parte de

inteiros, resultado da divisão, razão e operador.

HABILIDADES:

(EF07MA08PE) Reconhecer, comparar e ordenar frações associadas às ideias

de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.

(EF07MA09PE) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e

fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas partes de uma

grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.


Reconhecer, comparar e ordenar essas habilidades às suas

representações fracionárias do número racional pode estar associada a diferentes

significados. Uma fração pode ser parte de um todo, pode ser uma medida, pode

representar um quociente, a razão entre dois números e ainda ser um operador.


No site a seguir, encontram-se situações-problema com animações que

ajudarão na compreensão das múltiplas concepções dos números racionais na forma

de fração: parte/todo, medida, quociente, razão e operador.

http://www.mat.ufrgs.br~vclotilde/disciplinas/html/racionais

web/racionais_diferentes_concepcoes.htm(acesso,

OBJETO DE CONHECIMENTO: Números racionais na representação

fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta

numérica e operações.

HABILIDADES:

(EF07MA10PE) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos

nas suas diferentes representações e associá-los a pontos da reta numérica.

(EF07MA11PE) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números

racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.


Os estudantes precisam aplicar aos números negativos os conceitos que

estudaram antes para identificarem que o conjunto dos números racionais inclui

outros números, que são os números racionais negativos. É como se o conjunto

INTERFACE

INTRACOMPONENTE

Articula-se com (EF07MA07) e

(EF07MA09)

http://www.mat.ufrgs.br~vclotilde/disciplinas/html/racionais%20web/racionais_diferentes_concepcoes.htm(acesso

http://www.mat.ufrgs.br~vclotilde/disciplinas/html/racionais%20web/racionais_diferentes_concepcoes.htm(acesso

87

dos números racionais fosse formado pelos números fracionários reunido com o

que poderíamos chamar seus opostos (para imaginar o que poderia significar o

oposto de um número fracionário, pense na situação: “a temperatura atual é de - ½

grau”). Veja um esquema que nos dá certa visualização do conjunto dos números

racionais e a parte desse conjunto identificada com os números fracionários. Como

também perceber a disposição dos números racionais na reta numérica. Nessa

fase, a relação com as frações torna-se mais abstrata para pensar nos

procedimentos de resolução. Também se aprende a multiplicação e a divisão.

Abordagem possível: Colocar o estudante para pensar sobre o significado dos

conceitos matemáticos será um exercício muito importante. Um exemplo: após

discutir o tema em sala de aula, peça que escreva um texto explicando para uma

criança o que é um 3/5. Destacar que a relação parte/todo é apenas um dos

significados de número racional na forma fracionária. Discuta também o fato de

uma fração poder ser um resultado de uma divisão. Dessa maneira, está ligada ao

quociente de dois números naturais. Lembre ainda que ela representa uma

constante de proporcionalidade como uma escala, uma velocidade ou uma

porcentagem. A resolução de situações-problema já aparecia anteriormente, mas

é reforçada. É importante que o estudante entenda que todas podem ser resolvidas

com o mesmo procedimento.


OBJETO DE CONHECIMENTO: Dízimas periódicas: fração geratriz

HABILIDADE:

(EF08MA05PE) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma

fração geratriz para uma dízima periódica e vice-versa.


Quando dividimos o numerador de uma fração (ou número fracionário) pelo

denominador, para achar sua representação decimal, ocorre uma das duas

INTERFACE

INTRACOMPONENTE


ANO ESCOLAR: 8º

88

situações abaixo:

1) O resto é nulo. A representação decimal da fração é finita ou exata.

2) O resto nunca se anula. O quociente tem um número infinito de casas decimais

que se repetem após certo ponto. Dizemos que a fração tem uma representação

decimal infinita periódica. Portanto, só há duas formas para a representação

decimal de uma fração: exata (número finito de casas decimais), e infinita

periódica (número infinito de casas decimais, com período).

Abordagem possível: Com o conceito de fração geratriz, introduz-se a ideia de

infinito, o que incrementa o nível de abstração. Para trabalhar essa noção, um

caminho é utilizar a aritmética, a álgebra e a geometria e aproximar o conteúdo

desses elementos que eles já conhecem.

Nota para o Professor

Você aprendeu a passar da forma fracionária para a forma decimal.

Mas como seria o contrário? Passar da forma decimal para a forma fracionária?

Se você partir de uma representação decimal finita ou exata de uma

fração, isso será fácil:

12, 859 = 12 + 859

1000 = 12

859

1000

Se você tiver uma representação decimal infinita periódica, será um

pouco mais complicado passá-la para a forma fracionária pois para entender isto

precisará usar equações. Apenas para dar uma ideia:

1) Imagine que você quer saber a forma fracionária de 0,77777.... Como você

não conhece essa fração, pode chamá-la de x:

x = 0,7777....

(1)

Podemos fazer muitas mudanças nessa equação, de modo que as

novas equações terão ainda a mesma solução x. Algum matemático descobriu

que uma mudança útil para descobrir a forma fracionária é multiplicar a equação

por 10:

10x = 7,777.....

(2)

Descobriu também que, em seguida, devemos subtrair a equação (1)

da equação (2):

10x = 7,777.....

_

...x = 0,7777....

9x = 7,000 ...

Temos 9x = 7 e podemos concluir que x = 7/9. Será verdade? Faça a

divisão de 7 por 9 (pode ser na calculadora) e comprove o resultado.

89

2) Se a representação decimal tiver um período com 2 algarismos, multiplique por

100 e faça de modo parecido ao anterior. Para descobrir a representação

fracionária de 0, 383838... :

x = 0, 383838....

100 x = 38, 383838.....

100x - x = 38,383838... - 0, 3838....

99x = 38

x = 38/99. Novamente, faça a divisão e comprove!

DICAS PARA A SUA FORMAÇÃO

https://novaescola.org.br/conteudo/12098/10-livros-e-3-videos-para-se-

aprofundar-na-bncc-de-matematica - publicado em 02 de Janeiro | 2017.

https://novaescola.org.br/conteudo/12546/matematica-dez-dos-melhores-planos-

de-aula-com-as-novidades-propostas-pela-bncc-de - Publicado em 11 de set 2018

https://novaescola.org.br/conteudo/12098/10-livros-e-3-videos-para-se-aprofundar-na-bncc-de-matematica

https://novaescola.org.br/conteudo/12098/10-livros-e-3-videos-para-se-aprofundar-na-bncc-de-matematica

https://novaescola.org.br/conteudo/12546/matematica-dez-dos-melhores-planos-de-aula-com-as-novidades-propostas-pela-bncc-de

https://novaescola.org.br/conteudo/12546/matematica-dez-dos-melhores-planos-de-aula-com-as-novidades-propostas-pela-bncc-de

orientaÇÕes metodolÓgicas · 2019. 7. 2. · 3 ] prezado (a) professor (a), a partir da...

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