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424-5-1ªAval3a_Matemática/25.02.05

PROVA APLICADA ÀS TURMAS DO 3PROVA APLICADA ÀS TURMAS DO 3PROVA APLICADA ÀS TURMAS DO 3PROVA APLICADA ÀS TURMAS DO 3OOOO ANO DO ENSINO MÉDIO ANO DO ENSINO MÉDIO ANO DO ENSINO MÉDIO ANO DO ENSINO MÉDIO DO COLÉGIO ANCHIETA EM MARÇO DE 2009.DO COLÉGIO ANCHIETA EM MARÇO DE 2009.DO COLÉGIO ANCHIETA EM MARÇO DE 2009.DO COLÉGIO ANCHIETA EM MARÇO DE 2009.

ELABORAÇÃO: ELABORAÇÃO: ELABORAÇÃO: ELABORAÇÃO:

PROFESSORESPROFESSORESPROFESSORESPROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ.OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ.OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ.OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ.

RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: PROFESSORAPROFESSORAPROFESSORAPROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

1. O segmento AB possui, no sentido de A para B, os pontos C, P e D, nesta ordem. Sabe-se que AB = 20, AD = 10 e CD = 6. Calcule PC sabendo que a razão entre PA e PB é igual a dois terços.

01) 2 02) 2,5 03) 3 04) 3,5 05) 4

RESOLUÇÃO:

Sendo ⇒= 3

2

PB

AP que se pode considerar AP = 2x e PB = 3x. Assim 2x + 3x = 20 ⇒ 5x = 20 ⇒

x = 4. Logo AP = 2x = 8 e PB = 3x = 12. De AD = 10 e CD = 6, temos que AC = 4. Logo: 4 + CP = 8 ⇒ CP = 4

RESPOSTA: Alternativa 05 2. O comprimento do círculo equatorial da Terra, suposta esférica, é aproximadamente igual a 40.000km. Imagine uma corda em volta desse círculo. Se esta corda aumenta 1m em seu comprimento, ela se afasta x centímetros do círculo equatorial em toda a sua extensão. O valor de x é aproximadamente. 01) 0,01 02) 0,1 03) 1 04) 4 05) 16

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RESOLUÇÃO: O comprimento de um círculo qualquer é determinado pela expressão: C = 2πR. Então considerando como R o raio da Terra, o comprimento do círculo equatorial, bem como da corda que supostamente o contorna, é C = 2πR. Se o comprimento dessa corda aumenta de 1, então o comprimento do raio do círculo formado por ela, aumenta de x, ou seja, ela se afasta x centímetros do círculo equatorial em toda a sua extensão, e o comprimento desse novo círculo será: C1 = 2π(R+x).

Tem-se então: 2πR + 1 = 2π(R+x) ⇒ 2πR + 1 = 2πR + 2πx ⇒ 2πx = 1 ⇒ π2

1 x = ⇒

x ≡ 0,1592 ≡ 16.

RESPOSTA: Alternativa 05 3. O raio da roda dianteira de uma bicicleta excede em 10 cm o raio da roda traseira. Ao percorrer a distância de x metros, a roda dianteira dá 50 voltas enquanto a traseira dá 75 voltas. Considerando π = 3,14 o valor de x em metros é:

01) 72,2 02) 75,4 03) 81,6 04) 94,2 05) 198,2

RESOLUÇÃO: A roda dianteira ao percorrer a distância x dá 50 voltas e seu raio é 10 + Rt, logo x =50.[2.π.(10 + Rt )]. A roda traseira ao percorrer a distância x dá 75 voltas e seu raio é Rt , assim o valor de x também pode ser representado por: x = 75.[2.π.Rt]. Desta forma: 50.[2.π.(10 + Rt )]=75.2.π. Rt ⇒ 2(10 + Rt)= 3 Rt ⇒ 20 + 2 Rt = 3 Rt ⇒ Rt = 20. O valor numérico de x é:x = 50.2.3,14.(10 + 20) ⇒ x = 9420cm ⇒ x = 94,20m.

RESPOSTA: Alternativa 04.

4. Na figura CD é diâmetro do círculo. e

têm medidas menores que 180o.

Sabendo que e , a medida

do ângulo BCA é aproximadamente

01)51o 03)62o 05)68o 02)58o 04)65o


RESOLUÇÃO: Considerando o arco BD igual a x, o arco AC será 4x, o arco AD será 180o–4x e o arco BC medirá 360o-8x.

Como CD é um diâmetro, pela figura acima tem-se: 360o-8x + x = 180o ⇒ x = 7

180o

.

O arco AB mede então: 180o- 4x+x = 180o-3x = 7

720

7

540180

ooo

=− ⇒

4,517

360

7

720

2

1BCA

oo

≅=×=

RESPOSTA: Alternativa 01. 5. Na figura, os triângulos ABC e CDE são

isósceles de bases, respectivamente, BC e

CE .

Calcule a medida do ângulo BÂC sabendo

que ela excede em 30o a do ângulo EDC e

que CD // AB

01)50o 02)60o 03)70o 04)75o 05)80o

RESOLUÇÃO:

Sendo med( BÂC )= 30o + m e considerando med( BÂC )= x, tem-se m( EDC )= x – 30o.

Como CD // AB e AC um segmento a eles transversal, a med( BÂC ) = med( DCE ) que é igual à

med( CÊD ), por ser o triângulo CDE isósceles.

Logo: x – 30o + x+ x = 180o ⇒ 3x = 210o ⇒ x = 70o.



RESOLUÇÃO: No pentágono ABCDE , os ângulos de vértices A, C e D são retos (ângulos de quadrados) e os assinalados nos vértices E e B são, respectivamente congruentes (OPV). A soma dos ângulos de um pentágono é dada por: Si = 180o(5–2)=540o. Então: 3 × 90o + (x + y) = 540o ⇒ x + y = 270o.


7. Na figura, a medida do arco excede em 10o à medida do ângulo α.

Calcule a medida do arco , menor que 180o, sabendo que a sua medida é o quádruplo da medida do ângulo α. 01)20o 02)30o 03)40o 04)50o 05)60o

RESOLUÇÃO:

De acordo com os dados da questão tem-se: m( ) = α +10o, m( )= 4α.

Sendo o ângulo DPC excêntrico externo, tem-se:

oooo

40α410α2α10 α3α2

)10(α4α=⇒=⇒=−⇒=

+−. Assim a m( )= 40o.


6. (Olimpíada de Matemática) A figura mostra dois quadrados sobrepostos. Qual é o valor de x + y em graus? 01)200o 03)300o 05)340o

02)270o 04)320o


8. Na figura, o círculo está inscrito no triângulo

ABC e M é o ponto médio de AB . Sabendo que o perímetro do triângulo ABC é igual a 16cm e que AB = 3NC, calcule a medida,

em centímetros, de AB . 01)2 02)3 03)4 04)5 05)6

RESOLUÇÃO: AB = 3NC, NC = CP = x (segmentos tangentes a um círculo a partir de um mesmo ponto C, AB=3x, AM=BM=3x/2, BM = BN e AM = AP). (idem)

Logo, 2x168x162

3x42x =⇒=⇒=

+ ⇒

AB = 6cm.


9. Na figura temos: DE // AB r, // BC s,r //

A soma das medidas dos ângulos FED e EDC é igual a 60o. Qual o valor de x?

01)12o 02)15o 03)20o 04)25o 05)30o


RESOLUÇÃO: Prolongando o segmento AB até encontrar o segmento CD no ponto H e traçando paralelas às

retas r e s pelos pontos B, H e D.

� x HBCBGÂ == (ângulos correspondentes formados pelas paralelas r e BC com a transversal

AB );

� a ÊF D EDJ == (ângulos alternos internos formados pelas paralelas u e s com a transversal

DE ).

� x IHB HBC == (ângulos alternos internos formados pelas paralelas t e BC com a transversal

CD );

� a IHB EDJ == (ângulos alternos internos formados pelas paralelas AB e DE com a transversal

CD );

� Das três afirmações anteriores, conclui-se que a = x.

� 2x JDC DCB == (ângulos alternos internos formados pelas paralelas u e BC com a

transversal CD );

Sendo o60 F)Em(D E)Dm(C =+ (dado da questão), tem-se:

2x + 2a = 60o ⇒ 4x = 60o ⇒ x = 15o.

RESPOSTA: Alternativa 02

10. Na figura acima, CD // AB e a distância

entre esses segmentos é igual a 8u.C. O valor de x é: 01)1u.c. 02)1,5u.c 03)2u.c. 04)2,5u.c. 05)3u.c.


RESOLUÇÃO: De acordo com os dados da questão foi construída a figura acima. Os triângulos ABE e CDE são semelhantes (os seus três ângulos são, respectivamente, congruentes) e, portanto seus lados homólogos e suas cevianas* correspondentes, são proporcionais. Então:

2x06x3x10xx2x16xx8

x10x

2x 222=⇒=−⇒+=−⇒

−

=

+

.


* Cevianas são segmentos que ligam qualquer vértice de um triângulo a qualquer ponto de um lado qualquer.

11. Dentre os candidatos inscritos num concurso, 40% são homens e 60% são mulheres. Destes já tem emprego 30% dos homens e 10% das mulheres. Sabendo que o número de candidatos empregados é 90, determine quantas mulheres desempregadas se inscreveram no concurso.

01) 135 02) 180 03) 225 04) 270 05) 315

RESOLUÇÃO: Preenchendo uma tabela com as informações da questão: Candidatos % % de empregados % de desempregados MULHERES 60% 10% de 60% = 6% 60% - 6% = 54% HOMENS 40% 30% de 40% = 12% 40% - 12% = 28% TOTAL 100% 18% 82%

Consultando a tabela, vê-se que o percentual de candidatos empregados, em relação ao total de candidatos, é 18%, o que corresponde a 90 pessoas. Logo, considerando x o número total de candidatos, podemos escrever: 18% de x = 90. ⇒

0,18x = 90 ⇒ 50018

9000===

0,1890

x ⇒ O número total de candidatos é 500.

Como 54% dos 500 candidatos é o número de mulheres desempregadas, tem-se: M = 0,54 ×500 = 270.


RESOLUÇÃO: 12.Como antes da doença, 80% dos peixes do aquário eram amarelos e 20%, vermelhos, considere-se 80 o número de peixes amarelos e 20 o de peixes vermelhos. Pode-se então construir a tabela:

Peixes Mortos Sobreviventes Amarelos 80 x 80 – x Vermelhos 20 0 20 TOTAL 100 x 100 – x

Sendo 60% dos peixes sobreviventes, no aquário, amarelos: 0,6(100 – x) = 80 – x ⇒ 60 – 0,6x = 80 – x ⇒ 0,4x = 20 ⇒ x = 50 ⇒ que morreram 50 peixes amarelos.

Então o percentual de peixes amarelos que morreram foi de: %.5,62625,080

50==



13. Sabendo que, no ano de 2008, o dólar teve uma valorização de 40% em relação ao real e o euro teve uma desvalorização de 20% em relação ao dólar, podemos afirmar que: 01) o euro teve uma valorização de 12% em relação ao real. 02) o euro teve uma valorização de 20% em relação ao real. 03) o euro teve uma desvalorização de 12% em relação ao real. 04) o euro teve uma desvalorização de 20% em relação ao real. 05) o euro se manteve estável em relação ao real.

RESOLUÇÃO: Representando dólar por d, real por r, euro por e, pelos dados da questão temos as igualdades:

=

=

0,8de

1,4rd

Multiplicando os dois membros da primeira equação por 0,8:

=

=

0,8de

1,12r0,8d

Na segunda equação substituindo 0,8d por seu valor na primeira equação: e = 1,12r ⇒ que o euro teve uma valorização de 12% em relação ao real.

RESPOSTA: Alternativa 01. 14. Uma pessoa aplicou metade do seu capital à taxa de 30% ao semestre no regime de juros compostos e a outra metade à taxa de 27% ao quadrimestre no sistema de juros simples e obteve ao final de um ano um montante de R$ 4.200,00. Qual o capital inicial desta pessoa?

01) 2400 02) 2500 03) 2600 04) 2700 05) N.R.A.

RESOLUÇÃO:

� Como a pessoa aplicou metade do seu capital, considere-se como 2C o capital aplicado. � A primeira metade, ou seja, C, foi aplicada à taxa de 30% ao semestre no regime de juros

compostos, durante o período de um ano, daí: � M1 = (1+0,3)2.C. � A outra metade à taxa de 27% ao quadrimestre no sistema de juros simples, também por 1

ano, assim: � M2 = C + 3.0,27.C. � Como ao final de um ano o montante resultante das duas aplicações foi de R$ 4.200,00:

(1,3)2.C + C + 3.0,27.C = 4 200 ⇒ 1,69C + C + 0,81C = 4 200 ⇒ 3,5C = 4 200 ⇒ C = 1 200 ⇒ 2C = 2400(capital aplicado).

RESPOSTA: Alternativa 01


15. Júlio fez uma compra de R$ 600,00, sujeita à taxa de juros compostos de 2% ao mês. No ato da compra, fez o pagamento de um sinal no valor de R$ 150,00. Fez ainda pagamentos de R$ 159,00 e R$ 206,00, respectivamente, 30 e 60 dias depois de contraída a dívida. Se quiser quitar a dívida 90 dias depois da compra, quanto deverá pagar, em reais?

01) 110,00 02) 108,00 03) 106,00 04) 104,00 05) 102,00

RESOLUÇÃO:

� Como no ato da compra fez o pagamento de R$150,00, restou para financiar a uma taxa de 2% ao mês: (600 – 150) reais = 450 reais.

� 30 dias após o ato da compra pagou 159 reais, logo ainda ficou devendo: 450(1+0,02) – 159 = 300 reais.

� 60 dias depois de contraída a dívida fez um pagamento de 206 reais então ainda ficou devendo:

� 300(1,02) – 206 = 100. � 90 dias depois de contraída a dívida para quitá-la pagará: 100(1,02) = 102 reais

Outro modo de resolver esta questão é aplicar a relação:: ......i)(1

P

i)(1

P

i)(1

PVA

33

221

+

+

+

+

+

+

=

Sendo o valor da compra 600 reais e o comprador tendo dado uma entrada de 150 reais, o valor atual (VA) a ser financiado é de 450 reais. Utilizando a relação acima:

⇒=−⇒++=⇒++= x210,12165,4236-477,5436x1.02.206.1591.02450.1.021.02

x

1.02

2061.02159

450 2332

⇒=⇒=+= 375,5436-477,5436x210,12165,4236477,5436 x x= 102.

RESPOSTA: Alternativa 05. 16. Um capital aplicado no prazo de dois anos, a uma taxa de juros compostos de 60% ao ano, resulta em um certo montante. Qual a taxa anual de juros simples que, aplicada ao mesmo capital durante o mesmo prazo, resultará no mesmo montante?

01) 30% 02) 66% 03) 69% 04) 75% 05) 78%

RESOLUÇÃO: Considerando C como o capital aplicado:

1) Juros compostos: M = (1+0,6)2 C. 2) Juros simples: M = C + 2.x.C. 3) Como os montantes devem ser iguais nas duas aplicações: (1+0,6)2 C = C + 2.x.C ⇒ 2,56 = 1 + 2x ⇒ x = 0,78.



17. Na figura , os círculos se tangenciam externamente no ponto D. Sendo A e B os pontos de contacto de uma tangente comum a esses círculos, demonstre

que o ângulo BDA é reto.

RESOLUÇÃO:

Fazendo um recorte da figura dada, destacando seus elementos e utilizando o dado:

y D)Bmed(A e x med(BÂD) == , tem-se a figura acima da qual pode-se concluir:

1. Os triângulos ACD e DEB são isósceles (apresentam dois lados congruentes), logo

A)Dmed(C m(CÂD) = = 90o – x e y90 E)Bmed(D E)Dmed(B o−==

2. Do triângulo ADB vem x + y + αααα = 180o (I)

3. 180 E)Dmed(B B)Dmed(A A)Dmed(C o=++ ⇒ 90o–x +90o–y+αααα = 180o (II)

4. Comparando as igualdades (I) e (II) tem-se que: x + y + αααα = 90o–x +90o–y+αααα ⇒⇒⇒⇒ 2x + 2y = 180o ⇒⇒⇒⇒ x + y = 90o

RESPOSTA: x + y = 90o.

oooo do colÉgio anchieta em marÇo de 2009.do … · 424-5-1ªaval3a_matemática/25.02.05 2...

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