Ondas sonoras

(* Preparado por C.A. Bertulani para o projeto de Ensino de Física a Distância)

Som

As ondas sonoras são produzidas por deformações provocadas pela diferença de pressão em um meio elástico qualquer (ar, metais, isolantes, etc), precisando deste meio para se propagar. Desta forma, percebemos que o som é uma onda mecânica, não se propagando no vácuo. A maioria dos sons acaba sendo obtido através de objetos que estão vibrando, como é o caso do alto-falante. Quando o diafragma contido no alto-falante se movimenta para fora da caixa acústica ele cria uma região de alta pressão pois comprime o ar que está nas proximidades. Da mesma forma, ocorre uma rarefação quando o diafragma se move para dentro da caixa.

Quando as variações de pressão chegam aos nossos ouvidos, os tímpanos são induzidos a vibrar e nos causam a sensação fisiológica do som.

Um ouvido normal consegue ouvir uma faixa de freqüências que varia aproximadamente entre 20 e 20000 Hz, sendo que as ondas que apresentam freqüencias inferiores a 20 Hz são denominadas infra-sônicas ao passo que os sons superiores a 20000 Hz são chamadas de ultra-sônicas. Já outros animais podem produzir e ouvir sons em freqüências inacessíveis aos ouvidos humanos como é o caso do morcego.

Leia: O ouvido humano.

A velocidade do som

A velocidade do som em qualquer meio é dada por

                  [11.1]onde  é a densidade do meio e B é o módulo de compressão volumétrica, definido por

              [11.2]onde uma mudança na pressão p causa uma mudança no volume V de um meio.  Sugerimos a leitura do livro do Moyses Nussenzveig, ou do Halliday&Resnick, para uma demonstração desse resultado.

A velocidade do som no ar em condições normais é

343 m/s = 1234 Km/h              [11.3]A velocidade do som foi ultrapassada por um avião há muitos anos atrás. Mas, sómente em outubro de 1997, ela foi ultrapassada por um automóvel.  

Meio Temperatura, 0C Metros/segundo

ar 0 331,4

hidrogênio 0 1286

oxigênio 0 317,2

água 15 1450

chumbo 20 1230

alumínio 20 5100

cobre 20 3560

ferro 20 5130

granito 0 6000

borracha vulcanizada 0 54

O som pode ser descrito como uma onda de pressão. Em função do caminho e do tempo percorrido, a equação que descreve esta onda é dada por

p = pm sen (kx - t)          [11.4]onde x é o caminho percorrido pela onda, e t o tempo decorrido. k é o número de onda, e a sua frequência angular. pmé a pressão máxima da onda sonora. Pode-se mostrar (veja livro do Halliday, ou do Moyses) que

pm = (v)sm          [11.5]onde sm é o deslocamento máximo das camadas de ar (ou de cada molécula de ar individuamente) a partir da posição de equilíbrio.

Difração

É possível ouvir o som produzido por uma explosão que se situa atrás de um muro delimitador, mesmo que este tenha grande espessura de tal forma que as ondas sonoras não consigam atravessá-lo. Da mesma forma, se algum membro da sua família que está trancado sozinho num dos quartos colocar uma música num volume bem alto num aparelho de som potente, todos os outros irão ouvi-la.

Deste modo, percebemos que o som (e todos os outros tipos de ondas) tem a capacidade de contornar obstáculos. A esta habilidade definiu-se o nome de difração, que ocorre devido ao fato do comprimento de onda dos sons variarem de alguns centímetros a vários metros, de forma que estas ondas são "grandes" em comparação com as aberturas e obstáculos frequentemente encontrados na natureza.

Quando partes de uma onda são ceifadas pela presença de obstáculos, sua propagação no meio considerado torna-se bem mais complicada, fugindo ao que o bom senso esperaria. Isto pode ser exemplificado imaginando-se um tanque cheio d'água com ondas planas se propagando em sua superfície. De início, poderia se pensar que além do orifício, a onda só se propagaria nos pontos situados entre as extremidades da passagem. Porém, o que realmente acontece é que o orifício funciona como se fosse uma fonte de ondas puntiforme, produzindo ondas circulares (Caso a passagem seja muito grande comparado com o comprimento de onda da onda incidente, apenas nas regiões próximas às bordas é que será notado alguma curvatura nas ondas).

Deste modo, podemos definir como difração a curvatura que uma onda faz ao passar por um obstáculo. Esta curvatura pode ocorrer em maior ou em menor grau, dependendo da forma e das dimensões do obstáculo a ser transpassado.

O fenômeno da difração pode ser entendido com base no princípio de Huygens, descoberto em 1678 pelo holandês Christiaan Huygens. O referido princípio considera que cada ponto de uma dada frente de onda age como se fosse uma fonte puntiforme de ondas. A nova frente de onda (num instante posterior), é determinada pela superfície envoltória de todas estas ondículas esféricas emitidas por estas fontes puntiformes que se propagaram durante o intervalo pertinente.

Cumpre notar que no caso das ondas luminosas, seus comprimentos de onda variam de 4000 a 8000 angstrons aproximadamente. Por esta razão não se observa a difração da luz com facilidade, pois as aberturas e fendas são muito maiores do que o comprimento desta ondas.

Batimentos

Designamos por batimento ao fenômeno que acontece quando existe uma superposição entre duas fontes emissoras de ondas que produzam ondas que possuam a mesma direção, amplitude e freqüências próximas f1 e f2. Pelo fato das freqüências diferirem uma da outra, haverá momentos de interferência construtiva, onde a amplitude resultante será grande e momentos de interferência destrutiva, acarretando numa amplitude diminuta.

Um exemplo familiar de batimento é aquele produzido por dois diapasões, ou por duas cordas de guitarra de freqüências parecidas. Neste caso, ouvimos um som de intensidade variável, cuja freqüência de batimento fbat é a subtração das duas freqüências envolvidas dividida por 2 (fbat = (|f1 - f2|)/2).

A função de cada onda pode ser descrita através de uma senóide, com vetores de onda k, além de fases 1 e 2, respectivamente.

Pelo princípio da superposição de ondas, a onda resultante será determinada pela soma algébrica das duas ondas individuais.

y(x,t) =   ym [sen(kx - t + ) + sen(kx - t + )]               [11.6]Através do uso da relação entre a soma de dois senos, verificamos que a expressão anterior pode ser reescrita sob a forma:

y(x,t) =   ym  cos(batt + bat) sen(kx - medt + med )]               [11.7]

onde a fase de batimento bat=|1 - 2| / 2 e as freqüência e fase médias são dadas pelas média aritmética das freqüências e  fases iniciais (fmed = med / 2f1+f2)/2 e med = (1 + 2)/2).

Escala de intensidade do som: decibel

Decibel é uma unidade inventada para medir a intensidade do som. Ela é uma razão entre valores, com um valor de referência. Como a intensidade absoluta dos sons varia em uma escala muito grande, a unidade é definida em termos de uma escala logarítimica.

Para se medir a intensidade do som é necessário uma pressão de referência, P0. Usamos uma pressão sonora que é aproximadamente igual ao limiar de audibilidade a 1000 Hz, isto é, a pressão exercida por uma onda de som de um som de 1000 Hz no tímpano, que é apenas o suficiente para ser ouvida. Esta pressão é tomada como sendo 2 x 10-5 N/m2.  A escala de intensidade do som é então dada por

20 log10(P/P0)   dB               [11.8](Note que a fórmula para a escala usa  20 log em vez de 10 log, já que a intensidade é proporcional  ao quadrado da amplitude de pressão.)

A intensidade do som no limiar da audibilidade, I0, é 10 -12 W/m2. A intensidade som indica o fluxo da potência acústica sobre uma dada área. Para a intensidade, a fórmula acima fica

10 log10(I/I0)   dB               [11.9]A intensidade do som pode ser obtida em função do deslocamento máximo dos elementos do fluido onde ele se propaga. Pode-se mostrar (veja o livro do Moyses, ou o do Halliday) que

I = (v 2 sm2) / 2               [11.10]

Exemplos de níveis de som típicos:  

Pressão do som 2 x 10-5 N/m2 dB

Intensidade do som 10-12 W/m2 Exemplos típicos

63,2 130 10 limiar da percepção

20 120 1,0 grande avião a jato

6,3 110 0,1 grande orquestra

2,0 100 0,01 arrebitamento

0,63 90 10-3 trem

0,2 80 10-4 escritório ruidoso

0,063 70 10-5 motor de carro 

0,02 60 10-6 discurso

6,3 x 10-3 50 10-7 escritório médio

2 x 10-3 40 10-8 escritório quieto

6,3 x 10-4 30 10-9 biblioteca

2 x 10-4 20 10-10 sussurro

6,3 x 10-5 10 10-11 sussuro bem baixo

2 x 10-5 0 10-12 limiar da audibilidade (a 1000 Hz)

As áreas dinâmicas  de audição são mostradas na figura abaixo. A linha superior é o limiar da dor, a diferentes frequências. A linha inferior é o limiar da audibilidade. Se o númedo de dB - decibéis - aumentar de 10 dB, o som é duas vezes mais alto! Numa linguagem popular dizemos que isto é o mesmo que passar um autofalante de 10 Watts para 100 Watts. A mudança é 10 dB, ou duas vezes mais alto.

O efeito Doppler

O efeito Doppler é um fenômeno observado com todas as ondas. Ele possui o nome do cientista austríaco Christian Doppler (1803-1853).

(a) Observador em movimento

Suponha que uma fonte estacionária está gerando ondas sonoras com frequência  f0 = 240 Hz  (Si) e comprimento de onda 0 =  v / f0.  Um observador estacionário a uma certa distância da fonte ouvirá um som com frequência f0.  240 vezes por segundo o tímpano do observador será empurrado para dentro e para fora à medida que os máximos e mínimos da pressão alcançam o ouvido. O período de tempo entre dois máximos consecutivos é  T = 1 / f0 = (1/240) s. Suponha que o observador suba em uma motocicleta e diriga no sentido oposto ao da fonte. Suponha que no tempo  t1 um máximo de pressão alcança o ouvido na posição x. O próximo máximo estará na posição x no tempo  t1 + T. Mas, o ouvido não estará mais nesta posição. O observador se moveu.  O máximo tem que percorrer uma distância extra antes de alcançar o ouvido. Esta distância extra toma um tempo extra  t. O intervalo de tempo entre máximos sucessivos que alcança o ouvido do observador é agora  T + t. O período aumentou, a frequência aparente da onda diminui. O observador ouve uma outra nota menor do que o Si. Este é um exemplo do efeito  Doppler. Se o obervador estiver dirigindo no sentido da fonte, o intervalo de tempo entre os máximos alcançando o ouvido será mais curto que  T. Suponha que no tempo t1 um máximo de pressão alcançe o ouvido na posição x. O próximo máximo chegará na posição x no tempo  t1 + T. Mas, ele chegará ao ouvido antes de ele alcançar a posição  x, já que o observador se move no sentido da fonte. O observador ouve uma nota maior do que o Si.

A frequência aparente do som que alcança o observador é

f = f0 (v + vo) / v               [11.11]

onde  v é a velocidade do som, e vo é a componente da velocide do observador na direção da fonte (vo é negativo se o observador estiver se movendo para longe da fonte.). Normalmente não observamos o efeito  Doppler quando nos movemos a pé, já que a velocidade do som é muito maior do que a nossa. Mas, movendo-se em uma motocicleta a  90 km/h = 25 m / s na direção de uma fonte, temos que f  =  f0 (340 + 24.6) / 340 = 1.07 f0. Movendo-se para longe da fonte dá f = f0 (340 ? 24.6) / 340 = 0.93 f0. Quando passamos pela fonte, observamos então uma variação de frequência da ordem de  14%, uma variação razoável.

(b) Fonte em movimento

A frequência observada de uma onda sonora também varia se o observador estiver se movendo. A frequência aparente neste caso é dada por

f = f0 v / (v - vs)               [11.12]

onde  vs é a componente da velocidade da fonte na direção do observador  (vs é negativo se a fonte se mover para longe do observador.).

Na figura acima os anéis simbolizam os máximos da onda sonora. O intervalo de tempo entre as emissões sucessivas é  T. Quanto maior o círculo, mais tempo faz que a emissão foi feita. Todos os círculos expandem com a mesma velocidade. Se um observador estiver estacionário, então o intervalo de tempo entre a chegada dos círculos sucessivos ao ouvido é  T.

Nesta figura a fonte está se movendo para o observador. O centro de cada círculo está na posição da fonte no momento em que ela emite o máximo. Como a fonte está se movendo para a direita, o centro dos círculos sucessivos move-se para a direita. Se o observador estiver parado, então o intervalo de tempo entre a chegada dos círculos sucessivos ao ouvido é menor do que  T.

Nesta figura a fonte está movendo-se para longe do observador. Como a fonte move-se para a esquerda, o centro dos círculos sucessivos move-se para a esquerda. Se o observador está estacionário, então o intervalo de tempo ente a chegada dos círculos sucessivos é maior do que  T.

Desde que a fonte e o observador se movam relativamente entre si, o comprimento de onda do som será deslocado pelo efeito Doppler. Mas a fórmula do deslocamento de Doppler depende de quem está se movendo, a fonte ou o observador. Se a fonte estiver movendo-se para o observador com a velocidade próxima à do som, o comprimento de onda chegando ao ouvido será muito curto e a frequência muito alta. Na fórmula, f = f0 v/(v - vs), o denominador ficará muito pequeno. Quando  vs = v, o denominador é zero, e  f se torna infinito. Um estrondo será produzido na localização do observador: a barreria do som é alcançada.

Problema: Um trem apita com frequência de 400 Hz. Você é um observador estacionário e ouve o apito,  mas o ouve com frequência de  440 Hz. Qual é a velocidade com que o trem se aproxima de você?

Solução: A frequência é maior, de modo que o trem está se movendo para você. A velocidade relativa é encontrada da fórmula  f = f0 v/(v - vs). Temos que (v - vs) = (v/f)f0, logo v / f = (400 /s) (340 m/s)/ (440 /s) = 309 m/s. Portanto, vs = 340 m/s ? 309 m/s = 31 m/s = 111.6 mph.

Quando uma fonte de luz e um observador se aproximam, a luz que alcança o observador é deslocada para frequências maiores, ou comprimentos de onda mais curtos. Dizemos que a luz está deslocada para o azul. Quando a fonte de luz e o observador se afastam, a luz que alcança o observador é deslocada para frequências mais baixas, ou comprimentos de onda mais altos. Dizemos que a luz é deslocada para o vermelho. O deslocamento para o vermelho, ou para o azul, das linhas espectrais pode ser usado para determinar a velocidade da luz de objetos astronômicos com respeito a nós.

Leia: a origem do universo.

Sistemas de radares obtém informação por reflexão de ondas por objetos. Metereologistas examinam chuvas e outros fenômenos atmosféricos usando um tipo de radar especial chamado de radar Doppler. Uma antena de alta potência gira e emite pulsos de ondas de rádio. Os pulsos refletem na chuva e retornam à fonte de radar. Medindo-se o tempo entre os pulsos e o tempo que leva para os ecos voltarem, o sistema de radar calcula a distância e a direção da chuva. O radar Doppler também mede

mudanças nas ondas de rádio, que indicam velocidade  e direção. Um computador combina a informação do radar em um mapa, e pode informar aonde a chuva está caindo. Programas especiais de computador permitem analisar áreas pequenas, permitindo que os metereologistas examinem o tempo em cidades e mesmo em pequenos bairros.

Música

Dentre os diferentes tipos de sons produzidos pela natureza e audíveis ao ser humano, a música para alguns é sinônimo de criação divina ou então a expressão máxima de sensibilidade do ser humano.

Quando algum objeto vibra de forma completamente desordenada, dizemos que o som produzido por esta vibração é um ruído, como por exemplo o barulho de uma explosão, um trovão. O ruído é o resultado da soma de um número muito grande de freqüências, de forma que exprimi-lo matematicamente é necessário levar em conta um número muito grande de termos (leia a seção de análise de Fourier do capítulo anterior). Deste modo, um vulcão, quando em erupção ou um instrumento musical qualquer pode produzir um grande número de freqüências. A diferença entre os sons musicais e outros quaisquer é que nos instrumentos musicais utilizamos apenas algumas dentre as inúmeras freqüências possíveis, que foram estabelecidas por convenção, constituíndo-se nas notas musicais. Quando um instrumento por alguma razão começa a produzir freqüências diferentes daquelas que estamos acostumados a ouvir, dizemos que o referido instrumento está desafinado, precisando de um ajuste a fim de retornar a produzir sons na escala convencional.

As notas musicais por sua vez podem ser agrupadas de modo a formar um conjunto. Este conjunto recebe o nome de gama e um conjunto de gamas se constitui numa escala musical. Cumpre observar que tanto as gamas quanto as escalas musicais podem ser construídas de diversas maneiras, não sendo única (isto pode ser exemplificado verificando-se que a música oriental usa uma gama de cinco notas musicais ao passo que o mundo ocidental utiliza uma gama de sete). Entre as diversas gamas existentes, a mais popular de todas é a chamada gama natural ou gama de zarlin, que utiliza as notas denominadas dó, ré, mi, fá, sol, lá, si e novamente dó. Estes nomes foram atribuídos a Guido de Arezzo, que foi um músico italiano que viveu no século XI.

Obviamente devemos utilizar alguma notação que diferencie as diversas gamas que constituem a escala de Zarlin. Para isto, é utilizado índices nas notas musicais, ou seja, o dó da primeira gama será o dó1, o da segunda gama dó2 e assim por diante. O dó1 ocupa um lugar de destaque na escala natural, já que é a primeira nota da gama, recebendo o nome de nota fundamental.

O conhecimento da nota fundamental é importante pois serve de referência para se construir a escala musical completa, pois podemos obter as demais notas simplesmente multiplicando-se a freqüência da nota fundamental por determinados valores (veja tabela abaixo).

Exemplo 1: A freqüência universalmente aceita como padrão é a do lá de índice 3 (lá3), cujo valor é igual a 435 Hz. Calcular deste modo a freqüência da nota dó3: Resp.: Sendo lá3= 435 Hz, temos dó3= (3/5). lá3 = 261 Hz.

Exemplo 2: Sabendo-se que a freqüência do dó4 é igual a 261 Hz, calcular a freqüência da nota fundamental (dó1): Resp.: Como dó4= 261 Hz, temos dó1= (1/4). dó4= 65,25 Hz.

O denominado intervalo acústico entre duas notas, que pode ser definido como a razão entre duas freqüências f1 e f2, onde (f1 > f2). Em decorrência da própria definição, o intervalo acústico T será sempre maior ou igual a 1 (quando I =1,  f1=f2).

I =  f1 / f2              [11.13]

Deste modo, conforme vemos pela tabela, os intervalos entre as notas consecutivas da gama natural podem assumir apenas os valores 1 (uníssono), 9/8 (tom maior), 10/9 (tom menor), 16/15 (semitom) e 2 (oitava).

Para introduzir uma nota intermediária entre duas notas consecutivas, de freqüências f1 e f2 temos a liberdade de proceder de duas maneiras distintas: A primeira delas é aumentar a freqüência de f1 e a segunda é reduzir a freqüência da nota f2. A primeira modalidade chama-se sustenir e a segunda bemolizar. Sustenir uma nota consiste em aumentar a sua freqüência, multiplicando-a por 25/24. Para indicar que uma nota foi sustenida, escrevemos o índice # à direita da nota. Bemolizar uma nota significa diminuir a sua freqüência, multiplicando-a por 24/25. Para indicar que uma nota foi bemolizada, escrevemos o índice b à direita da nota.

Exemplo 3:  A nota lá3 de uma certa gama tem a freqüência de 435 Hz. Calcular a freqüência do lá sustenido (lá#) e do lá bemolizado (láb): Resp.: Sendo lá3= 435 Hz, temos: a) lá# = (25/24). lá = 453 Hz. b) láb= (24/25). lá = 417,6 Hz.

Considere agora que você esteja ouvindo o som produzido por algum instrumento. Caso a audição de duas notas musicais (sucessivas ou simultâneas), provocar uma sensação agradável, dizemos que entre essas duas notas existe um intervalo musical. Essa sensação, depende exclusivamente da razão entre as freqüências dos sons, embora varie de ouvinte para ouvinte a nível sensitivo. Os intervalos musicais são classificados em consonantes e dissonantes. Os intervalos consonantes são expressos por frações em que o numerador e o denominador são termos menores que 6. Intervalo de quarta (dó-fá): 4/3. Intervalo de quinta (dó-sol): 3/2. Já os intervalos dissonantes são expressos por frações cujos termos aparecem inteiros maiores que o número 6. Intervalo de sétima maior (dó-ré): 15/8. Intervalo de segunda maior (dó-sol): 9/8.

Se a escala musical é a mesma como conseguimos diferenciar os sons dos instrumentos musicais? Conseguimos distinguir os sons produzidos pelos intrumentos musicais através de uma característica sonora denominada timbre. O timbre depende da fonte sonora e da forma de vibração que produz o som. Por exemplo, uma mesma nota musical emitida por uma harpa e uma guitarra produzem ao nossos ouvidos sensações diferentes, mesmo que suas intensidades sejam iguais. Matematicamente o timbre Tb é a forma da onda resultante quando levamos em conta todas as ondas produzidas num instrumento. De um modo geral, estas ondas possuem amplitudes A, freqüências ie fases diferentes, de forma que o timbre deve ser conseguido através de uma somatória das N  freqüências. Deste modo:

               [11.14]onde o índice i representa a varredura em todas as freqüências i produzidas no instrumento musical. Pelo fato do resultado final desta somatória ser diferente, variando de instrumento para instrumento é que conseguimos determinar as diferenças de sons entre os diversos intrumentos musicais. Como vimos do capítulo anterior, isto é uma análise de Fourier do som do instrumento.

Outra característica importante do som é a altura do som (ou tom), que é a qualidade do som que permite distinguir som grave (baixo) do som agudo (alto). Deste modo, som alto é o que possui alta freqüência ao passo que som baixo é aquele que tem baixa freqüência.

 Os instrumentos musicais são acústicos: datam desde os tempos antigos e podem ser divididos em cordas (violão, harpa, guitarra, etc), sopro (flauta, saxofone, sanfona, etc) e percussão (bateria, bongô, sino, etc) ou eletrônicos: datam da década de 60 e é composto pelos sintetizadores.

Inicialmente vamos falar um pouco sobre os instrumentos acústicos de cordas. Como o próprio nome diz, todos eles possuem pelo menos uma corda esticada, apresentando suas duas extremidades fixas. Uma perturbação é fornecida a esta corda através da própria mão ou de algum outro agente externo (palheta, arco no caso do violino ou violoncelo, etc), fazendo a corda entrar em vibração. Esta vibração está confinada entre as extremidades da corda e através de interferências entre os pulsos refletidos nas

extremidades acabam formando uma onda estacionária com uma freqüência bem definida.

Como vimos no capítulo anterior, as frequências possíveis são:

f = n / 2 L               [11.15]

Desta forma, para n = 1 temos a freqüência fundamental ou primeiro harmônico. Todos os outros harmônicos (n = 2,3,4, ...) são múltiplos inteiros da freqüência fundamental, sendo este o princípio de funcionamento de todos os intrumentos de cordas como o violão, banjo, berimbau, etc.

Passamos agora a falar um pouco a respeito dos intrumentos de sopro, os quais nada mais são do que tubos sonoros, sendo que dentro deles uma coluna de ar é posta a vibrar. Estas vibrações são obtidas através de sistemas denominados embocaduras, que se classificam em dois tipos:

Embocadura tipo flauta: Neste tipo, o músico injeta um jato de ar que é comprimido por um calço para depois colidir contra um corte em diagonal, efetuado na parede do tubo. Nestas circunstâncias, o jato de ar sofre turbilhonamentos e variações de pressão que o lançam alternadamente ora para fora, ora para dentro do tubo. Dessa maneira, a coluna gasosa interna do tubo é golpeada interminentemente, dando origem a uma onda longitudinal que se propaga no interior do tubo.

Embocadura tipo palheta: Neste tipo, o operador injeta um jato de ar do mesmo modo que a embocadura anterior. Logo na entrada, o ar é comprimido pelo calço, tendo sua velocidade aumentada antes de passar ao interior do tubo, o qual é por uma folga existente entre uma lâmina flexível (palheta) e a parede do tubo. A passagem de ar se dá com turbilhonamentos e variações de pressão, que fazem a lâmina vibrar. Em conseqüência, esta passa a golpear o ar no interior do tubo, dando origem a uma onda.

De acordo com as extremidades dos tubos sonoros, podemos classificá-los em abertos ou fechados, sendo que os abertos possuem as duas extremidades livres enquanto que nos fechados apresentam uma de suas extremidades obstruída.

Tubo aberto: São tubos que apresentam as duas extremidades livres, de modo que em cada extremidade aberta sempre existe um ventre.  Os primeiros harmônicos estão mostrados nas figuras abaixo: o primeiro harmônico (fundamental) e o segundo harmônico.

Tubo fechado: São tubos que apresentam uma extremidade aberta e outra fechada, de modo que na extremidade aberta sempre existe um ventre e na fechada um nó. Com isto, a freqüência dos harmônicos fica determinada por f = (2n - 1) / 2L, onde L é o comprimento do tubo e n o número de ventres dentro do instrumento. Pela própria definição, percebemos que apenas a ocorrência de harmônicos ímpares. Alguns harmônicos estão mostrados nas figuras abaixo.

OBS.: Quando existir um furo nos tubos (como é o caso da flauta, saxofone, clarinetes, pistão, órgãos antigos, etc), acarretará na formação de um ventre naquele local.

Problema: A comprimento de onda fundamental em um tubo aberto em ambos os extremos é maior do que, igual, ou menor do que o comprimento de onda fundamental em um tubo de uma extremidade aberta e outra fechada?

Solução: Em um tubo com dois extemos abertos f = v/2L, = v/f = 2L. Em um tubo com um extremo aberto e outro fechado f = v/4L, = v/f = 4L.  O comprimento de onda fundamental em um tubo aberto em ambos os extremos é menor do que o comprimento de onda fundamental em um tubo aberto em um extremo e fechado em outro.

Problema: Você sopra na abertura de uma garrafa para produzir um som. Qual deve ser aproximadamente a altura da garrafa para que a nota fundamentatl seja um  Si médio?

Solução: A garrafa é um tubo com um extremo aberto e outro fechado. Temos que  = 4L. O comprimento de onda do Si médio é  1,29 m. Logo,  L = 32,25 cm.

Projeto: Ensino de Física a distância Desenvolvido por: Carlos Bertulani