Objetivo

Nosso objetivo é desenvolver uma proposta de aula simples, utilizando alguns

recursos do software graphmatica (na verdade o utilizaremos apenas para a

construção e comparação de gráficos), que possa ser adotada por qualquer

professor de matemática que tenha a sua disposição um laboratório de informática

(e um pouco de boa vontade).

A idéia é desenvolver uma alternativa para a construção de gráficos, além daquela que é usualmente vista nas escolas, onde os

alunos constroem o gráfico a partir de uma tabela com alguns pares ordenados, uma vez que essa medida é suscetível ao erro, pois, por exemplo, o gráfico de y = x³ poderia ser confundido com o gráfico da reta y = x, se considerarmos apenas os pares ordenados (0,0), (1,1) e (-1,-1).

Para Quem?

Preparamos essa proposta pensando no primeiro ano do Ensino Médio, sendo ela um complemento ao estudo de funções.

No entanto, vale ressaltar que nessa aula não seriam abordados conceitos de

funções como relação entre variáveis, domínio e imagem, sendo esses

conhecimentos prévios para esta aula.

A Proposta

Nossa proposta é desenvolver uma atividade simples para auxiliar os alunos na compreensão dos gráficos de funções

quadráticas.Partindo de uma função-mãe (y=x²), iremos

usar translações, compressões, alongamento e reflexões no gráfico desta

função, chegando assim em qualquer gráfico de função quadrática.

Trabalharemos apenas com funções quadráticas, pois acreditamos que com

elas já é possível desenvolver os conceitos envolvidos na construção das

demais funções.

Para desenvolvermos esta proposta, usaremos o método de completar

quadrados, o que comumente não é ensinado nas escolas, que acabam

ensinando apenas o método da Fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes das funções. Acreditamos que esse método pode facilitar a compreensão tanto das

funções quanto de seus gráficos, característica que a Fórmula de Bhaskara

não atinge.

Recurso

Para desenvolver esta proposta, iremos utilizar o recurso do Graphmatica, que é de grande auxílio visual, na medida em que mostra claramente as diferenças

entre os gráficos das funções em relação ao gráfico da função-mãe, y=x².

No caso dos gráficos que sofrem um alongamento ou uma compressão, por

exemplo, essas alterações são bastante visíveis com o recurso do software, o que pode não ser tão evidente ou ser menos preciso se feito à mão. Outra vantagem é a rapidez com que o gráfico é feito, pois se feito a mão, o tempo despendido para realizar tal tarefa, talvez desviasse o foco

do objetivo, que é a comparação dos gráficos.

Exercícios Propostos

1) Reconhecimento do programa

Inicialmente iremos propor aos alunos um momento de contato com o programa para que, aqueles que não o conhecem, possam reconhecer suas funções básicas, bem como sua linguagem.

2) Desenhe o gráfico da função y = x².

3) Como você imagina que seria o gráfico da função y = x² + 1 ?

Desenhe o gráfico e veja se sua suposição estava correta. Qual foi a modificação que ocorreu? Tente explicar o porquê desta alteração.

4) Faça o mesmo para as seguintes funções, comparando-as com y = x².

a) y = x² + 2b) y = x² – 2c) y = x² – 1

5) Como você espera que seja o gráfico da função y = x² + k, sendo k um número inteiro qualquer?

É esperado, com estes exercícios, que os alunos percebam que k é o parâmetro de

deslocamento vertical do gráfico de

y = x² + k.

Os gráficos das funções dos exercícios 2 ao 4 são:

6) Queremos, agora, entender o que acontece quando multiplicamos a função y = x² por uma constante. Para isso, compare o gráfico das seguintes funções com o gráfico de y = x² e escreva as modificações ocorridas em cada um deles.

a) y = -x² b) y = 2x²

c) y = -2x² d) y = 1/3x²

e) y = -1/3x² g) y = 1/6x²

h) y = 5x² i) y = 10x²

j) y = kx²

Os gráficos das funções do exercício 6 são:

É esperado que com este exercício os alunos percebam que o parâmetro k

causa:

reflexão em torno do eixo x quando k<0, um alongamento do gráfico de

y = x² quando |k| >1 e ainda uma compressão do mesmo, quando

0 < |k| < 1.

Antes de seguir para o próximo exercício, mostraremos no quadro a técnica de completar quadrados, para que os alunos consigam transformar funções do tipo y = x² + bx + c em funções do tipo y = k(x + m)² +h . 

7)Reescreva as funções a seguir, completando quadrados.

a) y = x² + 4x + 4

b) y = x² - 2x + 1

c) y = x² + 6x + 9

d) y = x² - 8x + 16

8) A partir de suas respostas, como você imagina que serão os gráficos das funções acima? Utilize o Graphmatica para verificar suas deduções. Compare, então, cada um dos itens do exercício anterior com o gráfico de y = x² e escreva as modificações ocorridas.

Os gráficos das funções do exercício 8 são:

9) Ao compararmos o gráfico de y = x² com o de y = (x + k)², sendo k um número inteiro, qual a modificação esperada?

É esperado que os alunos percebam que k é o parâmetro responsável pelo deslocamento horizontal da função.

10) Utilizando todos os conceitos vistos nos exercícios anteriores, esboce as seguintes funções quadráticas, utilizando o gráfico da função y=x² para se basear.a) f(x) = 2x2 +1 b) f(x) = x²/4 – 4

c) f(x) = x² - 2x + 2

d) f(x) = 2x² - 4x

Com essa lista de exercícios é esperado que o aluno utilize o software

graphmatica e empiricamente possa fazer deduções sobre a relação entre os

gráficos e as equações de suas respectivas funções.

REFERÊNCIAS

•Carneiro,Vera Clotilde. Funções Elementares. Porto Alegre-Editora da Universidade / UFRGS,1993.

•Doering A.M.S., Doering L.R., Sant’Ana A. A., Sant’Ana M. F., Brietzke, Búrigo, Branco, Nácul, Fachin, Kraemer. Apostila de Pré-Cálculo-Programa Pró-Cálculo – Instituto de Matemática-UFRGS-2007.

•Lima E.L., Carvalho P. C. P., Wagner E., Morgado A. C. A Matemática do Ensino Médio: volume 1- Nona edição - Rio de Janeiro: SBM, 2006.