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Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008

Mecânica dos Sólidos6ªAula

1

Sumário e Objectivos

Sumário: Relações Tensões - Deformações. Energia de Deformação. Critérios de Cedência.

Objectivos da Aula: Ser Capaz de estabelecer e utilizar a lei de Hooke Generalizada. Fazer Controlo de Resistência.



2

Ponte



3

Aeroplano



4

Relações Tensões -Deformações

Os ensaios de tracção e compressão efectuados sobre provetes paralelepipédicos lineares de Mat. Isotrópicos

xx xx 11 11E ou E= =σ ε σ ε

E representa o Módulo de Elasticidade ou Módulo de Young



5

Relações Tensões -Deformações

Os ensaios de tracção e compressão efectuados sobre provetesparalelepipédicos lineares conduzem a modelos simplificados de comportamento do material que numa perspectiva qualitativa podemconsiderar-se nalguns casos com a geometria representada na figura

σ

ε

E

1

σ

ε

E

1

Linear Elástico Elasto - Plástico

ET



6

Coeficiente de Poisson

Por efeito da tensão de tracção xxσ o elemento prismático sofre um alongamento (1)xxε

na direcção xx e sofre encurtamentos nas direcções de yy e de zz, (1)yyε e (1)

zzε que são proporcionais a (1)

xxε sendo o coeficiente de proporcionalidade, ν, designado por Coeficiente d Poisson.



7

Tracção em três Direcções Ortogonais

≡ +

++



8

Lei de Hooke Generalizada

xx(1)xx E

σ=ε (1) (1)yy xx xxE

ν= −ν = −ε ε σ (1) (1)

zz xx xxEν

= −ν = −ε ε σ

(2) (2)xx yy yyE

ν= −ν = −ε ε σ yy(2)

yy Eσ=ε

(2) (2)zz yy yyE

ν= −ν = −ε ε σ

(3) (3)xx zz zzE

ν= −ν = −ε ε σ (3) (3)

yy zz zzEν

= −ν = −ε ε σ zz(3)zz E

σ=ε

( )(1) (2) (3)xx xx xx xx xx yy zz

1E

⎡ ⎤= + + = − ν +ε ε ε ε σ σ σ⎣ ⎦

( )(1) (2) (3)yy yy yy yy yy xx zz

1E

= + + = − ν +⎡ ⎤ε ε ε ε σ σ σ⎣ ⎦

( )(1) (2) (3)zz zz zz zz zz xx yy

1E

⎡ ⎤= + + = − ν +ε ε ε ε σ σ σ⎣ ⎦



9

Relações Tensões Deformações

( )

( )

( )

xx xx yy zz

yy yy xx zz

zz zz yy xx

E 1 ( )(1 )(1 2 )

E 1 ( )(1 )(1 2 )

E 1 ( )(1 )(1 2 )

⎡ ⎤σ = − ν ε + ν ε + ε⎣ ⎦+ ν − ν

⎡ ⎤σ = − ν ε + ν ε + ε⎣ ⎦+ ν − ν

⎡ ⎤σ = − ν ε + ν ε + ε⎣ ⎦+ ν − ν



10

Módulo de Distorção

As tensões tangenciais na ausência de tensões normais só produzem distorções no plano em que actuam que lhe são proporcionais. A constante de proporcionalidade entre a tensão tangencial ou de corte e a distorção designa-se por Módulo de Distorção do Material e representa-se por G

xy xyxy

xz xzxz

yz yzyz

12G12G12G

= =γ ε τ

= =γ ε τ

= =γ ε τ

xy xyxy xy

xz xzxz xz

yz yzyz yz

2(1 ) ou

G E2(1 ) ou

G E2(1 )

ou G E

τ + ν τγ = γ =

τ + ν τγ = γ =

τ + ν τγ = γ =



11

Lei de Hooke Generalizada em

termos das constantes de Lamé

Materiais isotrópicos



12

Obtenção duma Relação entre o Módulo de Distorção e o Módulo de Young

l

l

σ σ

xlΔ

ylΔ

2π

−γτ

τ

( )xxx xx yy

1 1lE El

Δ + ν= = − ν = σε σ σ

( )yyy yy xx

1 1lE El

Δ + ν= = − ν = − σε σ σ

x1ll E

+ ν= σΔ

y1ll E

+ ν= − σΔ



13

Relação entre o Módulo de Distorção e o Módulo de Young

l

l

σ σ

xlΔ

ylΔ

2π

− γτ

τ

x1ll E

+ ν= σΔ

y1ll E

+ ν= − σΔ

y4 2

x4 2

ltan g tan g ltan g4 2 1 tan g tan g l l

γπ

γπ

+ Δ−π γ⎛ ⎞− = =⎜ ⎟ + +⎝ ⎠ Δ

11 12 E111 E2

γ +ν− − τ=

γ +ν+ τ+

12 Eγ + ν

= τ

ou seja tendo em conta que τ =Gγ

( )EG

2 1=

+ ν



14

Módulo de CompressibilidadeVolumétrica

A deformação volumétrica pode relacionar-se com a pressão hidrostática através de uma constante de proporcionalidade que se designa por módulo de compressibilidade volumétrica do material e que se representa por K

v xx yy zz m1K

= + + =ε ε ε ε σ

( ) ( )v xx yy zz m

3 1 21 2E E

− ν− ν= + + =ε σ σ σ σ

( )EK

3 1 2=

− ν



15

Energia de DeformaçãoProblema Uniaxial

As energias de deformação Elástica, eU , num caso e noutro e a energia dissipada noprocesso de deformação plástica , dU , estão representadas nas referidas figuras.

ε

σ Eσ = ε

edU

σ

ε

dU

edU

a) b)

A densidade de energia de deformação elástica, ou energia armazenada por unidade de volume pode ser calculada a partir da tensão e deformação e no caso da barra traccionada é

2 2e xx xx

1 1 1 EdU2 2 2E 2

= = σε = =σ ε σ ε



16

Energia de DeformaçãoProblema Uniaxial

A energia de deformação elástica total na barra traccionadaobtém-se integrando a densidade de energia de deformação elástica e é

2 2e xx xx xx xxV V V

1 1 EdV dV dVU2 2E 2

= = =σ ε σ ε∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫



17

Energia de Deformação

No caso tridimensional a Densidade de Energia de Deformação é

( )e xx xx yy yy zz zz xz xz xy xy yz yz1d 2 2 2U 2

= + + + + +σ ε σ ε σ ε τ ε τ ε τ ε

A Energia de Deformação Elástica total no sólido de volume V é

( )e xx xx yy yy zz zz xy xy xz xz yz yzV1 2 2 2 dVU2

= + + + + +σ ε σ ε σ ε τ ε τ ε τ ε∫∫∫



18

Critérios de Cedência-1

Alguns materiais, nomeadamente os materiais dúcteis, especialmente os materiais plásticos, têm um comportamento quando traccionados que pode ser designado por elástico perfeitamente plástico, este modelo de comportamento caracteriza-se pela existência de uma Tensão de Cedência, , a qual estabelece o início da deformação plástica.

ε

σσ

ε

a) b)

cσ

cσ

ε

σσ

ε

a) b)

cσ

cσ Tensão de Cedência Uniaxial



19

Critérios de Cedência-2

No caso tridimensional a caracterização do estado de Tensão passa pela existência de seis componentes do tensor das tensões independentes, obrigando àconsideração de funções que possam ser consideradas para definir a cedência nessas condições de solicitação. Desenvolveram-se várias teorias para quantificar a cedência de Estados tridimensionais de tensão, algumas dessas teorias são de uso mais frequente no caso dos metais e por isso só essas vão ser referidas.



20

Teoria da Tensão de Corte Máxima - Caso Uniaxial

1max 2

±σ=τ1

max cr2±σ= ≤τ τ

A teoria da Tensão de Corte Máxima, resulta da constatação experimental de que os materiais dúcteis tendem a sofrer deslizamentos ao longo de planos criticamente orientados durante a cedência plástica. No caso da teoria da Tensão de Corte máxima esses planos são considerados como correspondendo a tensões de corte máxima, tendo estas tensões atingido um valor crítico nos referidos planos.

1 cp≤σ σ



21

Teoria da Tensão de Corte Máxima - Caso Bidimensional

1

2σ 2

2σ 2 1

2−σ σou ou

Os potenciais valores das tensões de corte máxima são

A aplicação da Teoria da tensão de corte máximo implica que se verifique uma das desigualdades seguintes

1 cp≤σ σ 2 cp≤σ σ 2 1 cp− ≤σ σ σou ou



22

Critério de Cedência de Tresca

A representação gráfica destas condições está feita na figura, no espaço de tensões de Westergard, o critério que resulta da aplicação desta teoria émuitas vezes designado por Critério de Cedência de Tresca, embora tenha sido primeiro apresentado por Coulomb.



23

Critério de Cedência de Tresca-Caso Tridimensional

3 2 cp− ≤σ σ σ 2 1 cp− ≤σ σ σ

No caso tridimensional, o Critério de Cedência de Tresca, considerando as tensões principais, é

3 1 cp− ≤σ σ σ

sendo no espaço de Westergard representado por um prisma hexagonal.



24

Teoria da Energia de Distorção Máxima

( )2 2 2e 1 2 3 1 2 1 3 2 3

1d 2U 2E= + + − ν + +⎡ ⎤σ σ σ σ σ σ σ σ σ⎣ ⎦

( ) ( )22dil 1 2 3

3 1 2 1 2dU m2E 6E− ν − ν

= = + +σ σ σ σ

A densidade de energia de deformação, como foi referido anteriormente pode calcular-se a partir das tensões principais fazendo uso da expressão

A parcela da energia de deformação por unidade de volume responsável pela dilatação do sólido pode ser expressa em termos da pressão média e é

Subtraindo a densidade de energia de dilatação à densidade de energia de deformação obtém-se a densidade de energia distorcional ou de desvio

( ) ( ) ( )2 2 2dis 1 2 1 3 3 2

1dU12G

⎡ ⎤= − + − + −σ σ σ σ σ σ⎣ ⎦



25


( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 1 3 3 2 cp2⎡ ⎤− + − + − ≤σ σ σ σ σ σ σ⎣ ⎦

De acordo com a teoria básica da energia distorcional, o valor da densidade de energia de desvio ou distorcional não deve exceder o valor correspondente ao máximo admissível em tracção simples o qual é

Critério de Cedência de von Mises e no espaço de Westergard é representado por um cilindro.

( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2xx yy yy zz zz xx xy yz xz cp6 6 6 2− + − + − + + + ≤σ σ σ σ σ σ τ τ τ σ



26


Caso Bidimensional

( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 2 cp− + ≤σ σ σ σ σ

No caso particular de se tratar de um Estado Plano de Tensão este critério, Critério de Cedência de von Mises,toma a forma

em termos das componentes do tensor das tensões no sistema de eixos Oxy, toma a forma

22 2 2yy yy xx xy cpxx 3+ − + ≤σ σ σ τ σσ



27

Teoria da Energia de Distorção MáximaCaso Bidimensional

O Critério de Cedência de vonMises no caso Bidimensionalcorresponde no espaço de tensões a uma elipse

O hexágono de Tresca fica inscrito na elipse de von Misesse forem representados na mesma figura.



28

A energia de Deformação Elástica é:

Princípio da energia Potencial mínima

Trabalho Virtual

Energia potencial total



29

Princípio da energia Potencial mínima



30

Teorema de Castigliano



31




32




33

Teorema de Clapeyron

Enunciado do Teorama de Clapeyron



34

Princípio de Saint Venant



35

Coordenadas Cilíndricas



36




37




38




39


Se não houver dependência de θ as equações tomam a forma:



40




41

Problemas Propostos

1. Mostre que os campos de deformações seguintes são compatíveis: a) 22

xx 3 4xy 4yx= + −ε b) 22xx 12 6 4zyx= − −ε

2 2yy 3 xyy x= + +ε 2 2

yy 12 6 4zy x= − +ε zz 0=ε zz 12x 4y z 5= + − +ε

22xy 6xy 4yx= − − −γ xy 4z 24xy 3= − −γ

yz 2x y= +γ yz y z 4= + −γ

xz z 3= +γ zx 4x 4y 6= + −γ



42

Problemas Propostos

45

45 a

c

b

2. Considere uma roseta de extensómetros montada numa peça de uma máquina como se mostra na figura.As leituras efectuadas conduzem aos seguintes resultados: 10350;10150;10500 6

c6

b6

a−−− ×=×=×= εεε

a)Determine as Deformações Principais e as Direcções Principais neste ponto damáquina. b)Determine as tensões principais e as direcções principais de tensão. O Coeficiente de Poisson é 0.3 e o Módulo de Young é 210000Mpa.



43

Problemas Propostos

3. Considere um prisma de dimensões 20×50×10 cm3 constituído por um material linear elástico, homogéneo e isotrópico.

Sabendo que: - sob a acção de uma pressão uniforme p=200MPa, estado de tensão hidrostático,

o volume passa a ser 10030cm3 - sob a acção de uma tensão tangencial τ = 100MPa, a distorção γ = 0.1146º Determine o tensor das deformações correspondente ao estado de tensãocaracterizado pelo tensor das tensões:

MPa1001000100400200

0200300

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡



44

Problemas Propostos

4 ) A p la c a r e p r e s e n t a d a n a f ig u r a 1 é d e a ç o c o m E = 2 1 0 G P a e ν = 0 ,3 . A f ig u r a at r a c e ja d o r e p r e s e n ta a d e f o r m a d a d a p la c a a p ó s a a p l i c a ç ã o d e u m a d a d a c a r g a .A d m i t in d o q u e a s d im e n s õ e s n a d i r e c ç ã o h o r i z o n ta l n ã o s e a l t e r a m d u r a n te ad e f o r m a ç ã o , q u e a e s p e s s u r a é u n i t á r i a e q u e o e s t a d o d e d e f o r m a ç ã o é i g u a l p a r a to d o s o s p o n to s , d e te r m in e :

A

B

C

3 m m2 m m

3 0 0 m m

B ’

x

y

250m

m

A

B

C

3 m m2 m m

3 0 0 m m

B ’

x

y

250m

m

F ig u r a 1 : P la c a

a ) A e x te n s ã o a o lo n g o d o la d o A B . b ) A d i s to r ç ã o n o p la n o d o s e ix o s x e y ( l e m b r e q u e n o p la n o ( 0 , i , j ) γ i j= π / 2 - θ ’ ) . c ) A s te n s õ e s p r in c ip a i s e r e s p e c t iv a s d i r e c ç õ e s p r in c ip a i s d e t e n s ã o e m c a d ap o n to . R e p r e s e n te g r a f i c a m e n te o e s t a d o d e t e n s ã o n u m p o n to e in d iq u e a sd i r e c ç õ e s p r in c ip a i s . d ) A e n e r g ia d e d e f o r m a ç ã o a c u m u la d a n a p la c a s o b o e f e i to d e s ta s o l i c i t a ç ã o .



45

Problemas Propostos

5. Considere um estado plano de tensão, num ponto do qual se sabe que: - numa faceta inclinada de 0º em relação ao eixo dos yy, a tensão tangencial é

nula e a tensão normal é de 20MPa - numa faceta inclinada de 45º em relação ao eixo dos xx no sentido contrário

ao dos ponteiros do relógio a tensão tangencial é de 20MPa

(1.5) a)Determine o Tensor das Tensões. (1.0) c) Determine o Tensor das Deformações sabendo que o Módulo de Young éE=200GPa e o Coeficiente de Poisson é ν = 0.30.



46

Problemas Propostos

6. Considere o Tensor das Tensões seguinteMPa

a) Determine o valor das forças de massa em equilíbrio com o campo de tensões dado.

b) No ponto de coordenadas (1,2,1) considere um plano igualmente inclinado em relação aos eixos coordenados e determine a tensão normal e a tensão tangencial.

c) Considere que o material do sólido é tal que o módulo de Young é 200GPa e o coeficiente de Poisson é 0.3 e determine o tensor das deformações.

d) Determine as extensões principais.

( )

( ) ( )

32 23

3 42ij

2

y x 1 0yx

1x 1 x 4y 0y y2

0 0 2z

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= − −⎢ ⎥σ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦



47

Problemas Propostos

7. As extensões, medidas numa roseta de extensómetrosinstalada numa peça linear de alumínio de acordo com a figura 1,são: a)Determine as Extensões Principais e Direcções Principais de Extensãob)Determine as Tensões Principais e Direcções Principais de Tensão. c)Determine a Tensão Normal e de Corte numa faceta igualmente inclinada em relação ao eixo dos xx e dos yy .d) Determine a tensão de corte máxima fazendo uso do circulo de Mohr.

a b c200 m / m, 300 m / m e 300 m / m= μ = μ = − με ε ε



48

Problemas Propostos

Considere que o material do sólido tem as propriedades seguintes:Módulo de Young E=70GPa ; Coeficiente de Poisson n = 0.25

y

60º

ε a

εbεc

60ºx



49

Problemas Propostos

8. O sólido do qual se extraiu o tetraedro da figura éconstruído por um material que pode ser considerado isotrópico e homogéneo e com comportamento linear elástico. Durante o processo de deformação pura e homogénea a que está sujeito o tetraedro deforma-se de tal modo que:

o volume do sólido não se alterao novo comprimento de é de 2.001 cmo ângulo BOC não se alteraas novas coordenadas do ponto D são

{1.0005,0.0005,1.0025) cm

OB



50

Problemas Propostos

a)Determine o Tensor das deformações, b) Determine o Tensor das Tensões, sabendo que:o Módulo de Young é E=200Gpaum cubo de lado 10 cm construído do material do tetraedro está sujeito a uma tensão de compressão segundo x de 20MPa e sofre um alongamento por unidade de comprimento segundo y e z de 2× .c) Determine o versor da normal á faceta que está sujeita àtensão resultante {82,478;82,478;206,362}MPad)Determine as Tensões e as Direcções Principais de Tensão.

10 5−



51

Problemas Propostos

A B

C

xy

z

2cm

2cm2cmO

D



52

Problemas Propostos

9.Considere o tensor das tensões

MPapara o qual a faceta cuja normal é tem tensão

tangencial nula.a) Determine o Tensor das Tensões.b) Determine as Tensões Principais e Direcções Principais

de Tensão. c) Determine o Tensor das Deformações sabendo que o

Módulo de Young é E=150GPa e o Coeficiente de Poisson é n = 0.30.

0 x yx 0 200y 200 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( )2 1 1 02



53

Resolução Problema 1)

2 22yy xyxx

2 22

x yy xε∂ ∂ ε∂ ε + =

∂ ∂ ∂∂2 22

xx xzzz2 2

2x zz x

ε∂ ε ∂ ε∂+ =∂ ∂ ∂ ∂2 22

yy yzzz22

2y zyz

∂ ε ε ∂ ε∂+ =∂ ∂ ∂∂

As deformações têm de verificar as equações de compatibilidade que são:

2xy yzxz xx

x z y x y z∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂ε εε ∂ ε+ − =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2xy yz yyxz

y z y x x z∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂ε ε ∂ εε− + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2xy yzxz zz

z z y x x y∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂ε εε ∂ ε− + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠



54

Resolução 2a)

a

b

c

2 2xx a yy a a axy

2 2xx b yy b b bxy

2 2xx c yy c c cxy

sen coscos sen

sen coscos sen

sen coscos sen

θ

θ

θ

= + + γε ε θ ε θ θ θ



2. Considere uma roseta de extensómetros montada numa peça de uma máquina como se mostra na figura.As leituras efectuadas conduzem aos seguintes resultados: 10350;10150;10500 6

c6

b6

a−−− ×=×=×= εεε

a)Determine as Deformações Principais e as Direcções Principais neste ponto damáquina. b)Determine as tensões principais e as direcções principais de tensão. O Coeficiente de Poisson é 0.3 e o Módulo de Young é 210000Mpa.

4a xx

4b xx yy xy

4a yy

5 101 1 11.5 102 2 2

3.5 10

−

−

−

ε = × = ε

ε = × = ε + ε + γ

ε = × = ε



55

Resolução 2a)cont.

4xx

4yy

4xy

5 10

3.5 10

2.75 10

−

−

−

ε = ×

ε = ×

ε = − ×

44 1

42

5 2.75 7.1 1010 0

2.75 3.5 1.4 10

−−

−

− ε − ⎧ε = ×× = ⇒ ⎨− − ε ε = ×⎩

4l 15 7.1 2.75 l 110 0

2.75 3.5 7.1 m m 0.764−− − =⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧

× = ⇒⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥− − = −⎣ ⎦ ⎩

=

⎭ ⎩

Deformações Principais

Direcções Principais

Normalizando, obtém-se: l=0.795,m=-0.607, (Direcção 1)45 1.4 2.75 l 1

10 02.75 3.5 1.4 m m 1.30

l 19

−=− − =⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧× = ⇒⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥− − =⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩

Normalizando, obtém-se: l=0.607, m=0.795, (Direcção 2)



56

Resolução 2b)

( )

( )

( )

xx xx yy zz

yy yy xx zz

zz zz yy xx

E 1 ( )(1 )(1 2 )

E 1 ( )(1 )(1 2 )

E 1 ( )(1 )(1 2 )

⎡ ⎤σ = − ν ε + ν ε + ε⎣ ⎦+ ν − ν

⎡ ⎤σ = − ν ε + ν ε + ε⎣ ⎦+ ν − ν

⎡ ⎤σ = − ν ε + ν ε + ε⎣ ⎦+ ν − ν

Por Aplicação da Lei de Hooke Generalizada obtém-se as tensões Principais tendo em conta que εzz=0

41

42

7.1 101.4 10

−

−

⎧ε = ×⎨

ε = ×⎩



57

Resolução 2b)

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

94 4 9

1

94 4 9

2

94 4 9

3

210 10 1 0.3 7.1 10 0.3 1.4 10 2.18 10 Pa1 0.3 1 0.6

210 10 1 0.3 1.4 10 0.3 7.1 10 1.256 10 Pa1 0.3 1 0.6

210 10 0.3 1.4 10 7.1 10 1.03 10 Pa1 0.3 1 0.6

− −

− −

− −

× ⎡ ⎤σ = − × × + × = ×⎣ ⎦+ −

× ⎡ ⎤σ = − × × + × = ×⎣ ⎦+ −

× ⎡ ⎤σ = × + × = ×⎣ ⎦+ −



58

Resolução do Problema 3)

Deformação Volumétrica ΔV/V=(10030-10000)/10000=0.003

Distorção γ=(0.1146×π)/180=0.0026

m12

v v6

P 200 10 EK0.003 3(1 2 ) E 1.33 10 ,

=0.25100 10 EG0.002 2(1 )

⎧ σ ×= = = =⎪ ε ε − ν ⎧ =⎪ ⇒⎨ ⎨

ντ × ⎩⎪ = = =⎪ γ + ν⎩



59

Resolução do Problema 3)cont.

( ) [ ]

( ) [ ]

( ) [ ]

xx xx yy zz 6

yy yy xx zz 6

zz zz yy xx 6

6xy

xy 11

1 1 300 0.25(400 100) 0.00032E 1.33 101 1 400 0.25(300 100) 0.00038E 1.33 101 1 100 0.25(400 300) 0.00021E 1.33 10

200 10 0.0004G 5 10

⎡ ⎤= − ν + = − + =ε σ σ σ⎣ ⎦ ×

= − ν + = − + =⎡ ⎤ε σ σ σ⎣ ⎦ ×

⎡ ⎤= − ν + = − + =ε σ σ σ⎣ ⎦ ×τ ×

γ = = =×

xzxz 11

6yz

yz 11

0 0.0G 5 10

100 10 0.0002G 5 10

τγ = = =

×τ ×

γ = = =×

Aplicação da Lei de Hooke



60

Resolução Problema 4a) e 4b)

A extensão segundo AB é:

A

B

C

3mm2mm

300mm

B’

x

y

250m

m

A

B

C

3mm2mm

300mm

B’

x

y

250m

m

1 1 1 1 2-3

2 2 2 1

-3 -3 -31 2

-3 -3 -3 -32

yy

u a x b y c x=0 y=0 é u=v=0 c c 0

v a x b y c x=300 10 y 0 é u=v=0 a 03 2 x=0 y=250 10 é u=3 10 v=-2 10 b e b

250 250 x=300 10 y=250 10 é u=3 10 v=-2 10 a 0

2 /

= + + ⇒ = =

= + + × = ⇒ =

× × × ⇒ = = −

× × × × ⇒ =ε = −

xy

250

3/ 250γ =



61

Resolução Problema 4c)

Tensor das Deformações e Extensões Principais

1

2

0 1.5 / 250 0 1.5 / 250 l0

1.5 / 250 2 / 250 1.5 / 250 2 / 250 m

0.003210 1.5 / 2500

0.01121.5 / 250 2 / 250

− ε⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ε = ⇒ × =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − ε⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

ε =− ε ⎧= ⇒ ⎨ε = −− − ε ⎩

Tensões Principais por Aplicação da Lei de HookeGeneralizada



62


( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

98

1

99

2

98

3

210 10 1 0.3 0.00321 0.3 0.0112 4.5 10 Pa1 0.3 1 0.6

210 10 1 0.3 ( 0.0112) 0.3 0.00321 2.78 10 Pa1 0.3 1 0.6

210 10 0.3 0.00321 0.0112 9.7 10 Pa1 0.3 1 0.6

×σ = − × + − = − ×⎡ ⎤⎣ ⎦+ −

×σ = − × − + = − ×⎡ ⎤⎣ ⎦+ −

×σ = − = − ×⎡ ⎤⎣ ⎦+ −

As direcções Principais de Tensão são coincidentes com as direcções principais de deformação e são:

1 2

1 2

l l0.882 0.472 e

m m0.472 0.882−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫

= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭



63


( )

( )

e xx xx yy yy zz zz xy xy xz xz yz yzV

xx xx yy yy xy xyV

1 2 2 2 dVU2

1 2 dV2

= + + + + + =σ ε σ ε σ ε τ ε τ ε τ ε∫∫∫

= + +σ ε σ ε τ ε∫∫∫



64

Resolução Problema 5a)

5. Considere um estado plano de tensão, num ponto do qual se sabe que: - numa faceta inclinada de 0º em relação ao eixo dos yy, a tensão tangencial é

nula e a tensão normal é de 20MPa - numa faceta inclinada de 45º em relação ao eixo dos xx no sentido contrário

ao dos ponteiros do relógio a tensão tangencial é de 20MPa

(1.5) a)Determine o Tensor das Tensões. (1.0) c) Determine o Tensor das Deformações sabendo que o Módulo de Young éE=200GPa e o Coeficiente de Poisson é ν = 0.30.

A Tensão σxx=20MPa e a Tensão τxy=0MPa



65

Resolução 5a

2cos( , ) cos135º2

2cos( , ) cos 45º2

l n x

m n y

= = = −

= = =x

y Faceta

45º

n

2 22 2 2 2t

2 10 220 0 220 2

22

22 1210 2 10

2 222

1 100 10 204

6020

x

y yy yy

n yy yy

x y n yy yy

yy

TT

T T T T MPa

MPaMPa

⎧ ⎫ ⎧ ⎫−−⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥σ σ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

⎧ ⎫−⎪ ⎪⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪σ = − σ = + σ⎨ ⎬⎨ ⎬

⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

= + τ = − σ = + σ − σ =

⎧=σ ⎨−⎩



66

Resolução do Problema 8

a) Tendo em conta as condições em que se processa a deformação de acordo com a informação conclui-se que:

0zzyyxx =++ εεε0005.0

2001.0

yy ==ε

0.0yz =γ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−

0025.00005.00005.0

101

DD

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

εεεεεεεεε donde:

0025.00005.0

zzxz

xzxx

=+=+

εεεε

a)



67


0025.00005.0

zzxz

xzxx

=+=+

εεεε Juntando a estas duas equações a

equação (a)

0005.00025.00005.0

zzxx

zzxz

xzxx

−=+=+=+

εεεεεε

00075.0;00125.0;00175.0 zzxxxz =−== εεε

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

00075.0000175.000005.00005.0

00175.00005.000125.0ε



68


b) O coeficiente de Poisson é tal que:

εεν

xx

yy=

Tendo em conta que:

102e105.010200

1010E

5yy

49

6xx

xx−− ×=×=

××== ε

σε

obtém-se

4.0102105.0

5

4=

××=

−

−

ν ( )

( )

( )

xx xx yy zz

yy yy xx zz

zz zz yy xx

E 1 ( )(1 )(1 2 )

E 1 ( )(1 )(1 2 )

E 1 ( )(1 )(1 2 )

⎡ ⎤σ = − ν ε + ν ε + ε⎣ ⎦+ ν − ν

⎡ ⎤σ = − ν ε + ν ε + ε⎣ ⎦+ ν − ν

⎡ ⎤σ = − ν ε + ν ε + ε⎣ ⎦+ ν − ν



69


14286.10700075.04.110200

4286.710005.04.110200

57143.17800125.04.110200

9

xx

9

yy

9

xx

=××

=

=××

=

−=××

−=

σ

σ

σ

)1(2EG

ν+=

00.04.110200G2

25000175.04.12

102002G2

4286.710005.04.12

102002G2

9

yzyz

9

xzxz

9

xyxy

=××

==

=×××

×==

=×××

×==

εσ

εσ

εσ

MPa143.1070250

0429.71429.71250429.71571.178

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=σ

O tensor das tensões é portanto:



70


⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

362.206478.82478.82

zyx

143.10702500429.71429.71

250429.71571.178

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

57735.057735.057735.0

c)Por resolução do sistema de equações seguinte :

os cossenos directores da normal à faceta, que são:



71

Problema 9



72

Problema 9



73

Resolução Problema 9



74




75




76




77




78




79

Problema 10



80




81




82




83

Resolução Problema 10Pelo Circulo de Mohr



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90


objectivos da aula: ser capaz de estabelecer e utilizar ...ldinis/mecsol6.pdf · potencial mínima...

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