poço potencial

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Aplica¸ c˜oes da equa¸ ao de Schr¨odinger independente do tempo Po¸co potencial finito e infinito Robenil dos Santos Almeida Universidade Federal do Recˆoncavo da Bahia Centro de Forma¸c˜ ao de Professores Curso de Licenciatura em F´ ısica

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Poço potencial

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  • Aplicacoes da equacao de Schrodingerindependente do tempo

    Poco potencial finito e infinito

    Robenil dos Santos Almeida

    Universidade Federal do Reconcavo da BahiaCentro de Formacao de Professores

    Curso de Licenciatura em Fsica

  • Sumario

    Equacao de Schrodinger unidimensional

    Interpretacao probabilstica da funcao de onda

    Normalizacao

    Equacao de Schrodinger unidimensional independente do tempo

    Poco potencial quadrado infinito

    Poco potencial quadrado finitoCaso E > V0

  • Equacao de Schrodinger unidimensional

    i~(x , t)

    t= ~

    2

    2m

    2(x , t)

    x2+ V (x , t)(x , t) (1)

    Operadores diferenciais

    p 7 ~ x

    (Operador momento)

    E 7 i~2 t

    (Operador energia)

  • Interpretacao probabilstica da funcao de onda

    O modulo do quadrado da funcao de onda (x , t) e uma quantidadereal, que representa a localizacao aleatoria da partcula microscopica,que chamamos de densidade de probabilidade:

    |(x , t)|2 = (x , t)(x , t)

  • Normalizacao

    +|(x , t)|2dx = 1

    I Se satisfazer a condicao de normalizacao, 0 quando|x | .

    I Esta condicao impoe restricoes a`s possveis solucoes de quenao tendem a zero quando |x | . Neste caso, estas solucoesnao sao aceitaveis como funcao de onda.

  • Equacao de Schrodinger unidimensional independentedo tempo

    Quando V depende somente de x , ou seja, V = V (x), podemosseparar a dependencia em x da dependencia em t de (x , t), assu-mindo que a solucao da eq.(1) seja (x , t) = (x)(t), de modoque obtemos

    (t) = e iEt/~

    ~2

    2m

    d2

    dx2(x) + V (x)(x) = E(x) (2)

    Voltar

  • Poco potencial quadrado infinito

  • V (x) =

    [, se x 0 e x L0, se 0 < x < L

    I As solucoes do poco infinito sao confinadas no interior do mesmo,ja que seria necessario uma energia infinita para encontrar apartcula fora do poco.

    I Portanto, precisamos considerar apenas a equacao de Schrodin-ger na regiao 0 < x < L, que para uma partcula de massa mtem a forma:

    ~2

    2m

    d2(x)

    dx2= E(x) (3)

    Ver eq.(2)

  • V (x) =

    [, se x 0 e x L0, se 0 < x < L

    I As solucoes do poco infinito sao confinadas no interior do mesmo,ja que seria necessario uma energia infinita para encontrar apartcula fora do poco.

    I Portanto, precisamos considerar apenas a equacao de Schrodin-ger na regiao 0 < x < L, que para uma partcula de massa mtem a forma:

    ~2

    2m

    d2(x)

    dx2= E(x) (3)

    Ver eq.(2)

  • V (x) =

    [, se x 0 e x L0, se 0 < x < L

    I As solucoes do poco infinito sao confinadas no interior do mesmo,ja que seria necessario uma energia infinita para encontrar apartcula fora do poco.

    I Portanto, precisamos considerar apenas a equacao de Schrodin-ger na regiao 0 < x < L, que para uma partcula de massa mtem a forma:

    ~2

    2m

    d2(x)

    dx2= E(x) (3)

    Ver eq.(2)

  • Para resolver a eq.(3), assumimos (x) = Aex e a solucao fica

    (x) = Ae ikx + B eikx

    onde k =

    2mE/~. Assumindo A = B , temos

    (x) = B (e ikx + eikx) = 2B cos(kx) = B cos(kx) (4)

    Por outro lado, se assumirmos B = A, temos(x) = A(e ikx eikx) = 2Ai sin(kx) = A sin(kx) (5)

    Como ambas as eqs.(4) e (5) sao solucoes, para um mesmo valor deE , entao a soma delas tambem e solucao

  • Para resolver a eq.(3), assumimos (x) = Aex e a solucao fica

    (x) = Ae ikx + B eikx

    onde k =

    2mE/~.

    Assumindo A = B , temos

    (x) = B (e ikx + eikx) = 2B cos(kx) = B cos(kx) (4)

    Por outro lado, se assumirmos B = A, temos(x) = A(e ikx eikx) = 2Ai sin(kx) = A sin(kx) (5)

    Como ambas as eqs.(4) e (5) sao solucoes, para um mesmo valor deE , entao a soma delas tambem e solucao

  • Para resolver a eq.(3), assumimos (x) = Aex e a solucao fica

    (x) = Ae ikx + B eikx

    onde k =

    2mE/~. Assumindo A = B , temos

    (x) = B (e ikx + eikx) = 2B cos(kx) = B cos(kx) (4)

    Por outro lado, se assumirmos B = A, temos(x) = A(e ikx eikx) = 2Ai sin(kx) = A sin(kx) (5)

    Como ambas as eqs.(4) e (5) sao solucoes, para um mesmo valor deE , entao a soma delas tambem e solucao

  • Para resolver a eq.(3), assumimos (x) = Aex e a solucao fica

    (x) = Ae ikx + B eikx

    onde k =

    2mE/~. Assumindo A = B , temos

    (x) = B (e ikx + eikx) = 2B cos(kx) = B cos(kx) (4)

    Por outro lado, se assumirmos B = A, temos(x) = A(e ikx eikx) = 2Ai sin(kx) = A sin(kx) (5)

    Como ambas as eqs.(4) e (5) sao solucoes, para um mesmo valor deE , entao a soma delas tambem e solucao

  • (x) = A sin(kx) + B cos(kx) , (0 < x < L) (6)

    com k =

    2mE/~.

    I No caso das regioes externas, o potencial e infinito e, portanto,a probabilidade de encontrarmos a partcula fora do poco enecessariamente nula.

    I A funcao de onda tera de ser nula entao na regiao externa

    (x) = 0, em x 0 e x L

  • (x) = A sin(kx) + B cos(kx) , (0 < x < L) (6)

    com k =

    2mE/~.I No caso das regioes externas, o potencial e infinito e, portanto,

    a probabilidade de encontrarmos a partcula fora do poco enecessariamente nula.

    I A funcao de onda tera de ser nula entao na regiao externa

    (x) = 0, em x 0 e x L

  • (x) = A sin(kx) + B cos(kx) , (0 < x < L) (6)

    com k =

    2mE/~.I No caso das regioes externas, o potencial e infinito e, portanto,

    a probabilidade de encontrarmos a partcula fora do poco enecessariamente nula.

    I A funcao de onda tera de ser nula entao na regiao externa

    (x) = 0, em x 0 e x L

  • I A continuidade da funcao de onda impoe que

    (0) = (L) = 0

    I A derivada da funcao de onda, d(x)/dx , nao pode ser nulanestes pontos extremos, ja que, se fosse o caso, entao (x) = 0para todo valor de x .

  • I A continuidade da funcao de onda impoe que

    (0) = (L) = 0

    I A derivada da funcao de onda, d(x)/dx , nao pode ser nulanestes pontos extremos, ja que, se fosse o caso, entao (x) = 0para todo valor de x .

  • Para definirmos as constantes A e B da eq.(6), aplicamos as condicoesde contorno.Em x = 0, temos

    (0) = A sin(0) + B cos(0) B = 0Entao, a eq.(6) fica

    (x) = A sin(kx) (7)

  • Para definirmos as constantes A e B da eq.(6), aplicamos as condicoesde contorno.Em x = 0, temos

    (0) = A sin(0) + B cos(0) B = 0

    Entao, a eq.(6) fica

    (x) = A sin(kx) (7)

  • Para definirmos as constantes A e B da eq.(6), aplicamos as condicoesde contorno.Em x = 0, temos

    (0) = A sin(0) + B cos(0) B = 0Entao, a eq.(6) fica

    (x) = A sin(kx) (7)

  • A condicao de contorno (x) = 0 quando x = L, restringe ospossveis valores de k e, portanto, os valores da energia E . Apli-cando esta condicao de contorno, temos

    (L) = A sin(kL) = 0

    Esta condicao e satisfeita quando

    k kn = npiL, n = 1, 2, 3, ... (8)

  • A condicao de contorno (x) = 0 quando x = L, restringe ospossveis valores de k e, portanto, os valores da energia E . Apli-cando esta condicao de contorno, temos

    (L) = A sin(kL) = 0

    Esta condicao e satisfeita quando

    k kn = npiL, n = 1, 2, 3, ... (8)

  • O valor de k havia sido determinado anteriormente como

    k kn =

    2mE

    ~2= k2n =

    2mE

    ~2(9)

    Elevando a eq.(8) e igualando-a com a eq.(9), obtemos

    n2pi2

    L2=

    2mE

    ~2

    E En = n2~2pi2

    2mL2(10)

  • O valor de k havia sido determinado anteriormente como

    k kn =

    2mE

    ~2= k2n =

    2mE

    ~2(9)

    Elevando a eq.(8) e igualando-a com a eq.(9), obtemos

    n2pi2

    L2=

    2mE

    ~2

    E En = n2~2pi2

    2mL2(10)

  • O valor de k havia sido determinado anteriormente como

    k kn =

    2mE

    ~2= k2n =

    2mE

    ~2(9)

    Elevando a eq.(8) e igualando-a com a eq.(9), obtemos

    n2pi2

    L2=

    2mE

    ~2

    E En = n2~2pi2

    2mL2(10)

  • Para cada valor de n, existe uma dada funcao de onda (x) n(x)dada por

    n(x) =

    {0, para x < 0 e x > L

    An sin(npix/L

    ), para 0 < x < L

    Normalizando, podemos determinar a constante An:

    L0

    |(x)|2dx = L0

    A2n sin2(npix/L

    )dx = 1

  • Para cada valor de n, existe uma dada funcao de onda (x) n(x)dada por

    n(x) =

    {0, para x < 0 e x > L

    An sin(npix/L

    ), para 0 < x < L

    Normalizando, podemos determinar a constante An:

    L0

    |(x)|2dx = L0

    A2n sin2(npix/L

    )dx = 1

  • An =

    2

    L

    Entao, obtemos, para a regiao 0 < x < L, a seguinte funcao de onda

    n(x) =

    2

    Lsin(npix/L

    )(11)

  • Poco potencial quadrado finito

  • Nesta situacao, o potencial e

    V (x) =

    {0 para a

  • Nesta situacao, o potencial e

    V (x) =

    {0 para a

  • Nesta situacao, o potencial e

    V (x) =

    {0 para a

  • Entao,

    (x) = A sin(kx) + B cos(kx) , para a < x < a (13)

    Na regiao x a e x a, a equacao de Schrodinger diz que

    ~2

    2m

    d2(x)

    dx2+ V0(x) = E(x)

    Cuja solucao para x a, e(x) = Ce lx + Delx (14)

    onde l =

    2m(V0 E )/~.

  • Entao,

    (x) = A sin(kx) + B cos(kx) , para a < x < a (13)Na regiao x a e x a, a equacao de Schrodinger diz que

    ~2

    2m

    d2(x)

    dx2+ V0(x) = E(x)

    Cuja solucao para x a, e(x) = Ce lx + Delx (14)

    onde l =

    2m(V0 E )/~.

  • Entao,

    (x) = A sin(kx) + B cos(kx) , para a < x < a (13)Na regiao x a e x a, a equacao de Schrodinger diz que

    ~2

    2m

    d2(x)

    dx2+ V0(x) = E(x)

    Cuja solucao para x a, e(x) = Ce lx + Delx (14)

    onde l =

    2m(V0 E )/~.

  • A eq.(14) diverge quando x , assim, a solucao fisicamenteadmissvel e

    (x) = Ce lx , para x a (15)

    Para x a, a solucao e(x) = Fe lx + Gelx (16)

    onde l =

    2m(V0 E )/~. A eq.(16) diverge quando x +,assim, a solucao fisicamente admissvel e

  • A eq.(14) diverge quando x , assim, a solucao fisicamenteadmissvel e

    (x) = Ce lx , para x a (15)Para x a, a solucao e

    (x) = Fe lx + Gelx (16)

    onde l =

    2m(V0 E )/~. A eq.(16) diverge quando x +,assim, a solucao fisicamente admissvel e

  • (x) = Gelx , para x a (17)

    O proximo passo e impor condicoes de contorno: e d/dx contnuasem a e +a. No entanto, podemos poupar tempo observando queesse potencial e uma funcao par, e assim podemos supor, sem perdade generalidade, que as solucoes sao pares e mpares. A vantagemdisso e que precisamos impor as condicoes de contorno apenas deum lado, pois (x) = (x)

  • (x) = Gelx , para x a (17)O proximo passo e impor condicoes de contorno: e d/dx contnuasem a e +a.

    No entanto, podemos poupar tempo observando queesse potencial e uma funcao par, e assim podemos supor, sem perdade generalidade, que as solucoes sao pares e mpares. A vantagemdisso e que precisamos impor as condicoes de contorno apenas deum lado, pois (x) = (x)

  • (x) = Gelx , para x a (17)O proximo passo e impor condicoes de contorno: e d/dx contnuasem a e +a. No entanto, podemos poupar tempo observando queesse potencial e uma funcao par, e assim podemos supor, sem perdade generalidade, que as solucoes sao pares e mpares.

    A vantagemdisso e que precisamos impor as condicoes de contorno apenas deum lado, pois (x) = (x)

  • (x) = Gelx , para x a (17)O proximo passo e impor condicoes de contorno: e d/dx contnuasem a e +a. No entanto, podemos poupar tempo observando queesse potencial e uma funcao par, e assim podemos supor, sem perdade generalidade, que as solucoes sao pares e mpares. A vantagemdisso e que precisamos impor as condicoes de contorno apenas deum lado, pois (x) = (x)

  • Trabalhando com as solucoes pares, temos:

    (x) = Gelx , para x a (18)

    (x) = B cos(kx) , para a < x < a (19)(x) = (x) , para x < 0 (20)

    A continuidade de (x), em x = a, diz que

    Gela = B cos(ka) (21)

  • Trabalhando com as solucoes pares, temos:

    (x) = Gelx , para x a (18)

    (x) = B cos(kx) , para a < x < a (19)(x) = (x) , para x < 0 (20)

    A continuidade de (x), em x = a, diz que

    Gela = B cos(ka) (21)

  • E a continuidade de (d(x)/dx) diz que

    lGla = Bk sin(ka) (22)

    Dividindo a eq.(22) pela eq.(21), descobrimos que

    l = k tan(ka) (23)

    Essa e uma formula para as energias permitidas, pois k e l sao funcoesde E . Como, l =

    2m(V0 E )/~ e k =

    2mE/~, temos que

  • E a continuidade de (d(x)/dx) diz que

    lGla = Bk sin(ka) (22)

    Dividindo a eq.(22) pela eq.(21), descobrimos que

    l = k tan(ka) (23)

    Essa e uma formula para as energias permitidas, pois k e l sao funcoesde E . Como, l =

    2m(V0 E )/~ e k =

    2mE/~, temos que

  • tan

    (2ma2E

    ~2

    )=

    V0 E

    E(24)

    Esta e uma equacao transcendental para E . Pode ser resolvidagraficamente, organizando tan(

    (2ma2E )/~2) e

    (V0 E )/E na

    mesma grade e buscando pontos de intersecao.

  • tan

    (2ma2E

    ~2

    )=

    V0 E

    E(24)

    Esta e uma equacao transcendental para E . Pode ser resolvidagraficamente, organizando tan(

    (2ma2E )/~2) e

    (V0 E )/E na

    mesma grade e buscando pontos de intersecao.

  • I Caso E > V0

    Esse caso, e bem parecido com o problema da barreira de potencialem que a energia e maior que a altura da barreira.

    (x) = Fe ikx + Geikx , a < x < a (25)

    com k =

    2mE/~. No caso das regioes externas, a equacao deSchrodinger tem a forma

    ~2

    2m

    d2(x)

    dx2+ V0(x) = E(x) (26)

  • I Caso E > V0

    Esse caso, e bem parecido com o problema da barreira de potencialem que a energia e maior que a altura da barreira.

    (x) = Fe ikx + Geikx , a < x < a (25)

    com k =

    2mE/~.

    No caso das regioes externas, a equacao deSchrodinger tem a forma

    ~2

    2m

    d2(x)

    dx2+ V0(x) = E(x) (26)

  • I Caso E > V0

    Esse caso, e bem parecido com o problema da barreira de potencialem que a energia e maior que a altura da barreira.

    (x) = Fe ikx + Geikx , a < x < a (25)

    com k =

    2mE/~. No caso das regioes externas, a equacao deSchrodinger tem a forma

    ~2

    2m

    d2(x)

    dx2+ V0(x) = E(x) (26)

  • Cuja solucao e a equacao de onda correspondente a` de uma partculalivre com energia total (E V0):

    (x) = Ae ikx + Beik

    x , x < a(x) = Ce ik x + Deik x , x > a

    (27)

    com k =

    2m(E V0)/~.

    Assumimos D = 0, que corresponde a uma onda incidente pela es-querda sobre o poco de potencial.Para determinar as constantes A,B ,C ,F , e G , igualamos os valoresda funcao de onda e da sua derivada em x = a:

  • Cuja solucao e a equacao de onda correspondente a` de uma partculalivre com energia total (E V0):

    (x) = Ae ikx + Beik

    x , x < a(x) = Ce ik x + Deik x , x > a

    (27)

    com k =

    2m(E V0)/~.Assumimos D = 0, que corresponde a uma onda incidente pela es-querda sobre o poco de potencial.

    Para determinar as constantes A,B ,C ,F , e G , igualamos os valoresda funcao de onda e da sua derivada em x = a:

  • Cuja solucao e a equacao de onda correspondente a` de uma partculalivre com energia total (E V0):

    (x) = Ae ikx + Beik

    x , x < a(x) = Ce ik x + Deik x , x > a

    (27)

    com k =

    2m(E V0)/~.Assumimos D = 0, que corresponde a uma onda incidente pela es-querda sobre o poco de potencial.Para determinar as constantes A,B ,C ,F , e G , igualamos os valoresda funcao de onda e da sua derivada em x = a:

  • Fe ika + Geika = Ce ika

    ik(Fe ika Gika) = ik Ce ik a (28)

    F

    G=

    (k + k

    k k )eika (29)

    Da mesma forma, em x = a, temosFeika + Ge ika = Aeik

    a + Be ika

    ik(Feika Ge ika) = ik (Aeik a Be ik a) (30)

  • Fe ika + Geika = Ce ika

    ik(Fe ika Gika) = ik Ce ik a (28)

    F

    G=

    (k + k

    k k )eika (29)

    Da mesma forma, em x = a, temosFeika + Ge ika = Aeik

    a + Be ika

    ik(Feika Ge ika) = ik (Aeik a Be ik a) (30)

  • Fe ika + Geika = Ce ika

    ik(Fe ika Gika) = ik Ce ik a (28)

    F

    G=

    (k + k

    k k )eika (29)

    Da mesma forma, em x = a, temosFeika + Ge ika = Aeik

    a + Be ika

    ik(Feika Ge ika) = ik (Aeik a Be ik a) (30)

  • F/G + e ika

    F/G e ika =k

    k A/B + e ik

    a

    A/B e ik a (31)

    As eqs.(29) e (31) permitem calcular o quociente B/A e obter ocoeficiente de reflexao R . De forma analoga, podemos calcular C/Ae obter o coeficiente de transmissao T .

    R =|B |2|A|2 =

    [1 +

    4k2k 2

    (k2 k 2)2 sin2(ka)

    ]1(32)

    T =|C |2|A|2 =

    [1 +

    (k2 k 2)2 sin2(ka)4k2k 2

    ]1(33)

  • F/G + e ika

    F/G e ika =k

    k A/B + e ik

    a

    A/B e ik a (31)

    As eqs.(29) e (31) permitem calcular o quociente B/A e obter ocoeficiente de reflexao R . De forma analoga, podemos calcular C/Ae obter o coeficiente de transmissao T .

    R =|B |2|A|2 =

    [1 +

    4k2k 2

    (k2 k 2)2 sin2(ka)

    ]1(32)

    T =|C |2|A|2 =

    [1 +

    (k2 k 2)2 sin2(ka)4k2k 2

    ]1(33)

  • Referencias

    GRIFFITHS, D. J. Introduction to quantum mechanics. 1a. ed.Upper Saddle River: Prentice Hall, 1994.

    LIMA, C. R. A. Notas de Aula: Fsica Moderna. Disponvel em:http://www.fisica.ufjf.br/cralima/index arquivos/Page491.htm. Acesso em: 03 de maio de 2015.

    TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Fsica para cientistas e engenheiros.5a. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.

    Equao de Schrdinger unidimensionalInterpretao probabilstica da funo de ondaNormalizaoEquao de Schrdinger unidimensional independente do tempoPoo potencial quadrado infinitoPoo potencial quadrado finitoCaso E>V0