o uso da histÓria da matemÁtica enquanto...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CURSO DE MATEMÁTICA LICENCIATURA PLENA
O USO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA ENQUANTO RECURSO DIDÁTICO AO ENSINO DA MATEMÁTICA:
PARECERES DE EDUCADORES MATEMÁTICOS
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
Karen Rodrigues Copello
Santa Maria, 02 de dezembro de 2014
O USO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA ENQUANTO
RECURSO DIDÁTICO AO ENSINO DA MATEMÁTICA:
PARECERES DE EDUCADORES MATEMÁTICOS
Karen Rodrigues Copello
Trabalho de conclusão de curso apresentado ao Curso de Matemática – Licenciatura Plena – do Centro de Ciências
Naturais e Exatas, Área de Educação Matemática, da Universidade Federal de Santa Maria (UFSM,RS),como
requisito parcial para obtenção do grau de licenciado em Matemática.
Santa Maria, Rio Grande do Sul, Brasil
2014
Universidade Federal de Santa Maria Centro de Ciências Naturais e Exatas
Departamento de Matemática Curso de Matemática Licenciatura Plena
A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova o Trabalho de Conclusão de Curso
O USO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA ENQUANTO RECURSO DIDÁTICO AO ENSINO DA MATEMÁTICA:
PARECERES DE EDUCADORES MATEMÁTICOS
Elaborada por
Karen Rodrigues Copello
como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciado em Matemática
Comissão Examinadora
Prof. Dr. João Carlos Gilli Martins(UFSM) (Presidente/Orientador)
Prof. Dr. Ricardo Fajardo (UFSM)
Profª. Drª. Rita de Cássia Pistóia Mariani (UFSM)
02 de dezembro de 2014
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar, agradeço a Deus por me ajudar a concluir este trabalho e
me orientar em todas as minhas tarefas.
Ao meu esposo, por me auxiliar, incentivar e ajudar durante estes quatro anos
de formação e por sempre estar ao meu lado.
Aos meus pais por orarem por mim e me apoiaram a prestar o vestibular,
estudar e concluir este curso.
Aos amigos e demais familiares que me apoiaram, oraram e me incentivaram
durante estes anos.
Ao professor orientador que me auxiliou na conclusão deste projeto, me
direcionando e auxiliando em todas as atividades.
RESUMO
Trabalho de Conclusão de Curso Curso de Licenciatura Plena em Matemática
Universidade Federal de Santa Maria
O USO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA ENQUANTO RECURSO DIDÁTICO AO ENSINO DA MATEMÁTICA:
PARECERES DE EDUCADORES MATEMÁTICOS Autora: Karen Rodrigues Copello
Orientador: João Carlos Gilli Martins 02 de Dezembro de 2014, Universidade Federal de Santa Maria
Este trabalho apresenta uma pesquisa bibliográfica em obras publicadas por educadores matemáticos brasileiros, tais como Miguel (1993) e Vianna (1998), que expressam suas opiniões a respeito do uso da História da Matemática como recurso didático ao ensino da Matemática, destacando os pontos em comum e os distanciamentos entre essas opiniões. Em seguida, expõe uma análise da coleção Matemática: Ensino médio, elaborado por Kátia Cristina Stocco Smole e Maria Ignez de Souza Diniz, classificando o uso da História da Matemática enquanto recurso didático conforme as categorias de análise apresentada por Vianna (2000). Por fim, exporemos as opiniões de educadores matemáticos a respeito de aspectos importante da contribuição da História da Matemática para o ensino da Matemática e as dificuldades encontradas para utilização deste recurso didático
Palavras-chave: História da Matemática; Matemática; Educação Matemática.
ABSTRACT
Completion of course work Full Degree Course in Mathematics Federal University of Santa Maria
USE OF THE HISTORY OF MATHEMATICS TEACHING RESOURCES WHILE THE TEACHING OF MATHEMATICS:
OPINIONS OF EDUCATORS MATHEMATICAL Author: Karen Rodrigues Copello Advisor: João Carlos Gilli Martins
December 2, 2014, Federal University of Santa Maria
This work presents a literature search in works published by Brazilian math educators such as Miguel (1993) and Vianna (1998), expressing their opinions about the use of the History of Mathematics as a teaching resource to the teaching of mathematics, highlighting the points common and the distances between these views. It then sets an analysis of the Mathematics collection: High school, prepared by Katia Stocco Smole Cristina and Maria Ines de Souza Diniz, classifying the use of the History of Mathematics as a teaching resource as categories of analysis by Vianna (2000). Finally, we will expose the opinions of mathematics educators about important aspects of mathematics history of contribution to the teaching of mathematics and the difficulties encountered in using this teaching resource Key words: History of Mathematics; mathematics; Mathematics Education.
LISTA DE ANEXOS
ANEXO A – ALEX CLAUDE CLAIRAUT…………………………………………….....56 ANEXO B – EMMA CASTELNUOVO……………………………………………….......57 ANEXO C – FELIX KLEIN……………………………………………………………......58 ANEXO D – HENRI POINCARÉ………………………………………………………....59 ANEXO E - MORRIS KLEINE………………………………………………………........60 ANEXO F – FRANK J. SWETZ………………………………………………………......61 ANEXO G – ZUÑIGA………………………………………………………………….......62 ANEXO H – PAULUS PIERRE JOSEPH GERDES……………………………….......63 ANEXO I – ANDRE LICHROWISC…………………………………………………....…64 ANEXO J – EDWIN EVARIST MOISE…………………………………………………..65 ANEXO K – HERMANN HANKEL……………………………………………………….66 ANEXO L – IVOR GRATANN-GUINESS………………………………………………..67
SUMÁRIO
1INTRODUÇÃO...........................................................................................................8 2 UM MERGULHO NA OBRA TRÊS ESTUDOS SOBRE A HISTÓRIA E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, DE MIGUEL (1993)....................................................11 3 OUTROS ESTUDOS SOBRE O USO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA...........................................................................................................18 3.1 Sobre História na Educação Matemática: Propostas e desafios, de Miguel e Miorim (2008)............................................................................................................18 3.2 Sobre Usos Didáticas Para a História da Matemática, de Vianna (1998)......22 3.3 Sobre História da Matemática na Educação Matemática, de Vianna (2000).........................................................................................................................25 3.4 Sobre A História da Matemática no ensino fundamental uma análise de livros didáticos e artigos sobre história, de Peters (2005)...................................26 3.5 Sobre a utilização da História da Matemática em atividades didáticas para o nono ano do ensino fundamental, de Santos (2012)............................................33 3.6 Sobre História da Matemática em atividades didáticas: Uma proposta de trabalho para o sexto ano do Ensino Fundamental, de Rosales (2011)..............34 4 APROXIMÇÕES E DISTNÂNCIAMENTOS............................................................37 5 ANÁLISE DOS LIVROS DA COLEÇÃO MATEMÁTICA: ENSINO MÉDIO, DE SMOLLE E DINIZ (2010).......................................................................................... 43 5.1 Resultados referentes a análise dos livros..................................................... 46 CONSIDERAÇÕES FINAIS...................................................................................... 49 REFERÊNCIAS......................................................................................................... 51 ANEXOS....................................................................................................................54
1 INTRODUÇÃO
Este trabalho consiste em uma pesquisa bibliográfica sobre as opiniões de
alguns Educadores Matemáticos quanto ao uso da História da Matemática como
recurso didático ao ensino da Matemática na Educação Básica, destacando os
pontos em comum e as divergências nas opiniões desses educadores. Apresenta,
também, uma análise de uma coleção de três volumes de um livro didático de
Matemática do Ensino Médio, sobre o uso da História da Matemática enquanto
recurso didático.
Uma das linhas de pesquisa em Educação Matemática é o estudo de novos
recursos didáticos e metodológicos para o ensino da Matemática. Entre esses meios
encontramos a resolução de problemas, a etnomatemática, o uso das tecnologias de
Informação e Comunicação (TIC), o uso de jogos e atividades lúdicas, entre outros.
Nas últimas décadas, nota-se que não são poucas as pesquisas realizadas no
âmbito da Educação Matemática que investigam o uso da História da Matemática
com este propósito. Dentre os educadores matemáticos que realizam essas
pesquisas encontramos Viana (1998) e Santos (2012).
Sobre esse uso, os Parâmetros Curriculares Nacionais orientam que: “A
História da Matemática, mediante um processo de transposição didática e
juntamente com outros recursos didáticos e metodológicos, pode oferecer uma
importante contribuição ao processo de ensino e aprendizagem em matemática.”
(BRASIL,1997, p. 5)
Uma análise em livros didáticos de Matemática voltados à Educação Básica,
publicados nas últimas décadas, mostra o uso de recortes da História da Matemática
de distintas maneiras e com objetivos diversos. Um exemplo disso pode ser visto na
coleção MATEMÁTICA: ENSINO MÉDIO, Volumes 1, 2 e 3 de Smole e Diniz(2010).
Viana (1998), analisando os diversos usos da História da Matemática em
livros didáticos de Matemática classifica esses usos em quatro categorias: a que se
propõe à motivação do aluno, a que objetiva tornar o ensino mais interessante, a
9
que se volta à gênese dos conceitos matemáticos para justificá-los e, também, a
aqueles usos como curiosidades de diversas naturezas.
Não obstante esses diferentes usos existem também, entre os educadores
matemáticos, aqueles que questionam, sob as mais diferentes alegações, a eficácia
da aprendizagem da Matemática na Educação Básica através desse recurso
didático. Dentre as justificativas para esse questionamento estão a falta de tempo
que os professores da Educação Básica têm para pesquisar a História da
Matemática, a pouca literatura existente sobre o tema, o modo como essa história é
abordada nessas poucas literaturas, entre outros fatores.
O presente trabalho justifica-se, então, na medida em que, ao investigar
esses diversos olhares sobre a História da Matemática, procura esclarecê-los à luz
do que dizem sobre o assunto os educadores matemáticos.
Além da relevância deste tema na área de Educação Matemática, este
trabalho tem por motivação o fato de que durante a participação no Programa
Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID), subprojeto Interdisciplinar -
Educação do Campo da Universidade Federal de Santa Maria, eu recebi a tarefa de
falar sobre a Matemática para os demais colegas participantes do projeto. Para
cumprir esta tarefa foi necessário fazer uma pesquisa sobre a História da
Matemática e, conforme ela se desenvolvia, muitas dúvidas que eu possuía sobre
conteúdos e sobre a maneira de ensiná-los foram se esclarecendo.
Além disto, outros dois fatores motivaram a escolha deste tema. O primeiro foi
o contato com a disciplina de História da Matemática que contribuiu para despertar
ainda mais o interesse por esta área do conhecimento e, o segundo, uma conversa
com o professor João Carlos Gilli Martins, do Departamento de Matemática da
UFSM, sobre o tema do TCC, onde me foi colocado que existem autores que
apresentam críticas quanto à eficácia do uso da História da Matemática no ensino
desta disciplina.
Mesmo tendo conhecimento de dois outros trabalhos que analisaram os
diferentes usos da História da Matemática em livros didáticos do Ensino Médio, a
curiosidade em querer saber se minhas investigações sobre o tema me levariam às
mesmas conclusões desses dois autores, Vianna (2000) e Santos(2012), foi mais
um fato que me motivou a investigar o assunto.
Diante deste quadro, esta pesquisa buscou investigar, através de uma
pesquisa bibliográfica, as diferentes opiniões defendidas por Educadores
10
Matemáticos brasileiros quanto ao uso da História da Matemática como recurso
didático ao ensino da Matemática e analisar livros didáticos de Matemática para o
Ensino Médio que abordam o uso da História da Matemática.
Para isso, buscou-se classificar as diferentes opiniões defendidas por
Educadores Matemáticos a respeito do uso da História da Matemática no ensino da
Matemática; pesquisar e analisar trabalhos acadêmicos publicados que descrevem
atividades realizadas com alunos de Matemática da Educação Básica, usando a
História da Matemática; analisar livros didáticos de Matemática para a Educação
Básica que abordam o uso da História da Matemática no ensino Matemática e
elencar quais as maneiras de como a História da Matemática é utilizada nesses
livros didáticos.
Falando sobre pesquisa bibliográfica, Gill (2008) a descreve da seguinte
maneira:
A pesquisa bibliográfica é desenvolvida a partir de material já elaborado, constituído principalmente de livros e artigos científicos. Embora em quase todos os estudos seja exigido algum tipo de trabalho desta natureza, há pesquisas desenvolvidas exclusivamente a partir de fontes bibliográficas (...) (GIL, 2008,p.44).
Sendo assim, para realizar este trabalho será feita uma pesquisa bibliográfica,
sobre trabalhos acadêmicos (teses, dissertações, monografias), sobre artigos e
relatos de experiências publicados, sobre livros e/ou capítulos de livros a respeito do
uso da História da Matemática no ensino de Matemática na Educação Básica,
realizados por educadores matemáticos brasileiros.
Em seguida será feita uma resenha de cada texto buscando observar as
aproximações e os distanciamentos entre as obras analisadas, cumprindo os
objetivos determinados anteriormente.
Por fim, será analisada a coleção de livros para o ensino médio de Smole,
Kátia Cristina Stocoo e Diniz,Maria Iginez de Souza (2010) e será elencada a
maneira como a História da Matemática foi utilizada neste livro.
A escolha desta coleção justifica-se por ser um livro atual que estava sendo
utilizado pela no Colégio Tecnológico Industrial de Santa Maria e que auxiliou meu
estágio no Ensino Médio realizado no segundo semestre de 2014.
2 UM MERGULHO NA OBRA TRÊS ESTUDOS SOBRE A HISTÓRIA E
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, DE MIGUEL (1993)
O texto Três estudos sobre a História e Educação Matemática é a tese de
doutorado de Miguel (1993), defendida em 1993 na Universidade Estadual de
Campinas. Neste trabalho, mais especificamente no primeiro estudo, Miguel se
dispõe a analisar de forma crítica as diversas opiniões de educadores matemáticos
sobre o uso da História da Matemática no ensino de Matemática na Educação
Básica. No segundo estudo ele faz um resgate da Educação Matemática ao longo
da história e, no terceiro, ele apresenta um estudo histórico-pedagógico-temático
sobre os números irracionais, buscando mostrar como a história pode operar em um
campo temático bem específico da Matemática. Porém no presente trabalho vou me
deter somente no primeiro desses três estudos.
No início do seu trabalho, Miguel deixa claro que seu estudo não é novo
afirmando que:
Certamente, o problema da relação entre a história, e mais particularmente a história da matemática, e a educação matemática não é novo. Já se pode afirmar que ele tem a sua própria história, tal a insistência com que é posto e recolocado desde o momento em que se teve uma clara consciência de sua importância. (....) (MIGUEL, 1993, p.12)
Miguel justificando o seu trabalho, escreve ainda que:
Finalmente, partindo de um pressuposto ao nível da metodologia da pesquisa histórica, de que o estudo de um empreendimento na história é mais completo(...)quando se leva em consideração não apenas os argumentos das pessoas que acreditaram e/ou acreditam na sua validade e necessidade, mas também daqueles que apresentaram ou apresentam restrições e críticas no sentido de desacredita-lo, procuramos também levantar e analisar aquelas “propostas”(no sentido negativo) que apresentam obstáculos e resistências para levar adiante um empreendimento dessa natureza.(MIGUEL, 1993,p.17)
No seu estudo, analisando o que, ao longo da história, o que diversos
educadores matemáticos disseram sobre o uso da História da Matemática enquanto
recurso didático, Miguel começa falando de Alexis Claude Clairaut 1(1741) que optou
por percorrer um caminho análogo ao feito pela humanidade para construção da
geometria.
1 Veja a biografia de Alex Claude Clairaut no Anexo A
12
Emma Castelnuovo2 (1966) também é citada por Miguel, pois publicou uma
obra baseada em Clairaut, tratando os conhecimentos geométricos desde a pré-
história. Segundo ele, tanto Castelnuovo quanto Clairaut advogam que a História da
Matemática é um recurso pedagógico adicional e tem a função de repensar o
ensino. Sobre isso, escreve: “Entre Clairaut e Castelnuovo e após os nossos dias é
significativo o número de matemáticos e educadores matemáticos que recolocam
esse problema da história como recurso pedagógico.” (MIGUEL,1993, p.14)
Miguel critica esses autores pelo fato de usarem o Princípio Genético para
justificar o uso da História da Matemática no ensino. Para ele existem contradições
nessa justificativa, contradições essas que o levaram a questionar sobre qual
poderia ser uma outra justificativa para o uso da História da Matemática como
recurso pedagógico.
Em seu trabalho Miguel afirma que Felix Klein 3(1854-1925) pensa a História
da Matemática como guia metodológico. Para Felix Klein, apenas o método histórico
seria potencialmente adequado para atingir o ideal pedagógico de levar a pensar
cientificamente. Klein destaca como obstáculo ao uso da história da Matemática no
ensino o fato dos professores não terem muito conhecimento dos acontecimentos
históricos.
Henri Poincaré 4(1854-1912), por sua vez, sugere o uso da História da
Matemática como instrumento de conscientização epistemológica. Para esse
matemático as crianças não conseguem entender aquelas definições que satisfazem
os matemáticos e por isso o professor precisa conceder a elas através do
conhecimento histórico, o aspecto intuitivo dos conceitos antes de chegar às
formalizações.
Já Morris Kleine 5traz um papel ético-axiológico e unificador da Matemática.
Miguel (1993), analisando a concepção de Kleine, “o papel pedagógico da história
não se constitui em objeto central de reflexão, mas insinua-se, sempre, como
argumento para defesa de uma abordagem intuitiva da matemática na escola em
contraposição à uma abordagem dedutiva”. (Miguel,1993, p.48)
2 Veja a biografia de Castelnuovo no Anexo B
3 Veja a biografia de Felix Klein no Anexo C
4 Veja a biografia de Henri Poincaré no Anexo D
5 Veja a biografia de Morris Kleine no Anexo E
13
Na seqüência, Miguel se propõe a falar sobre alguns autores que pensavam
na História da Matemática como fonte de motivação. Dentre esses destaca Hassler
e Simons, na década de 20 do século passado, que acreditavam na possibilidade de
despertar o interesse do aluno pela Matemática através da História da Matemática.
Sobre isso, Miguel afirma que o uso da história para motivar o aluno tem ligação
com a resolução de problemas históricos e na análise de suas resoluções.
Outro autor destacado por Miguel (1993) é Swetz6 que é defensor do uso da
História da Matemática como motivação. Ele expôs as cinco razões, abaixo, para
justificar seu ponto de vista.
1) possibilitam o esclarecimento e o reforço de muitos conceitos que estão sendo ensinados; 2) constituem-se em veículos de informação cultural e sociológica; 3) refletem as preocupações práticas ou teóricas das diferentes culturas em diferentes momentos históricos; 4) constituem-se em meio de aferimento da habilidade matemática de nossos antepassados; 5) permitem mostrar a existência de uma analogia ou continuidade entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente. (MIGUEL,1993, p. 66)
Para Miguel, entretanto, justificar o uso da História da Matemática enquanto
procedimento motivador ao ensino da Matemática é problemático, pois se ela por si
só fosse motivadora, a disciplina de história também o seria. Sendo assim, ele
conclui que a história não motiva a todos do mesmo modo.
Analisando a visão de Zúñiga7 quanto ao uso da História da Matemática
enquanto elemento motivador ao ensino de Matemática, Miguel cita três idéias
defendidas por esse matemático, quais sejam:
1) a diversidade teórica das matemáticas, isto é, ruptura com o postulado da existência de uma unidade entre os campos distintos da matemática; 2) a defesa do caráter empírico das matemáticas; 3) a defesa de que o conhecimento resulta de uma síntese dialética de três fatores funcionalmente importantes:o sujeito, a sociedade e o objeto material (MIGUEL, 1993, p.71-72).
Além de considerar que o uso da História da Matemática faria surgir uma
atitude pedagógica na Educação Matemática que revelasse uma nova filosofia deste
campo do conhecimento, Zúñiga ainda acredita que a história pode trazer motivação
e esclarecimento do sentido e dos conceitos que são abordados na sala de aula.
6 Veja a biografia de Frank J. Swetz no Anexo F
7 Veja a biografia de Ángel Ruiz Zuñiga no Anexo G
14
O matemático Jones, por sua vez, conforme Miguel (1993), relaciona o uso da
História da Matemática como instrumento de explicação dos porquês e como fonte
de objetivos para o ensino.
Para Jones, existem três tipos de perguntas feitas pelo aluno ao professor,
que ele classifica como três porquês. O porquê cronológico é aquele cuja resposta
tem razões históricas, culturais, casuais e convencionais tais como: Por que uma
hora tem 60 segundos? O porquê lógico é aquele cujas explicações se baseiam na
decorrência lógica de proposições, tais como: Por que a raiz quadrada de dois é
igual a dois elevado ao expoente um meio? E o porquê pedagógico está relacionado
às respostas às perguntas como, por exemplo: Porque você ensina o conteúdo
desta forma?
Comentando esse uso da História da Matemática, Miguel escreve:
Essa categoria poderia sugerir-nos que a história só interviria como instrumento auxiliar na explicação da primeira categoria de porquês, isto é, dos porquês cronológicos. Não é isso, porém, o que pensa Jones. Para ele, a história não só pode como deve ser o fio condutor que amarra as explicações que poderiam ser dadas aos porquês pertencentes a qualquer uma das três categorias. É na defesa dessa possibilidade que se revela o poder da história para o ensino-aprendizagem da matemática baseado na compreensão e na significação. (MIGUEL1993, p.78)
Miguel (1993) destaca, também, o uso da História da Matemática como
instrumento para a formalização de conceitos, idéia que é defendida pelos
professores que fazem parte do Seminário de História e Educação Matemática do
Instituto de Matemática, Estatística e Ciências da computação da Universidade
Estadual de Campinas. Santos (2012, p.33), em seu estudo sobre a tese de Miguel,
analisando o que dizem esses professores, nos diz que:
(...) O grupo verifica que ao longo do desenvolvimento histórico da matemática foram apresentadas diferentes formalizações para os mesmos conceitos, e são essas diferenças que devem ser objeto de estudo no processo de ensino e de aprendizagem, abrangendo as instâncias histórica e cognitiva da formalização(...)
Outro autor analisado por Miguel é Gerdes8, que realizou sua pesquisa em
Moçambique. Para ele a História da Matemática deveria ser usada como
instrumento de resgate da identidade cultural. Sobre isso, Miguel (1993, p.82) traz a
seguinte citação:
A necessidade dessa reconstrução impõe-lha o dever de fazer-se historiador a fim de desvelar o que se chama da “matemática oprimida” – isto é, aqueles elementos matemáticos presentes na vida diária das massas populares e que
8 Veja a biografia de Paulus Pierre Joseph Gerdes no Anexo H
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não são reconhecidos como matemática pela ideologia dominante- ou então, “descongelar” o pensamento matemático que se encontra oculto ou “congelado” em técnicas antigas. (Gerdes, 1991, p. 29 Apud MIGUEL,1993, p.82)
Quanto aos autores que criticam o uso da História da Matemática no ensino
de matemática, Miguel vai destacar Lichenerowicz9 (1950) que acreditava ser
necessário um rompimento com a história para que pudesse dar início ao
pensamento científico e, assim, quebrar a defasagem entre o ensino de matemática
das escolas e o ensino de matemática das universidades. Ele coloca a característica
da matemática de repensar internamente seus próprios conteúdos como um
obstáculo para o uso da história no ensino daquela.
Edwin E. Moise 10(1950) acredita que o passado da matemática está morto
em sentido estilístico e, portanto, esta não deve ser usada no ensino de uma
matemática moderna.
Para Miguel (1993), esses autores se baseiam no pensamento de Hermann
Hankel11 que afirmava que cada nova geração na matemática elabora uma nova fala
para os mesmos conceitos antigos.
Esta afirmação gera duas atitudes pedagógicas diferentes. A primeira
considera que os conceitos atuais são releituras dos anteriores e nesta perspectiva
seria melhor fazer uma abordagem mais atual pois se tornaria mais rigorosa e
alcançariam mais rapidamente os objetivos.
A segunda defende que é difícil compreender os novos conceitos a partir
deles mesmos. Assim surge a pergunta sobre como os estudantes irão reinterpretar
um conceito que ainda não interpretaram? Isso revela que existem alguns
obstáculos que precisam ser analisados quando se desconsidera a evolução
Histórica da Matemática.
Grattan-Guinnes 12descreve que os cursos ministrados e impressos na École
Normale e na École Polytechnique de Paris, no século VIII, motivaram a propagação
de um estilo pedagógico que se desobrigou da historicidade, pois os livros
fornecidos pelas escolas priorizavam conter o máximo de conteúdo possível, sem
preocupar-se com a evolução dos conceitos, para que os livros não fossem
9 Veja a biografia de André Lichnerowicz no Anexo I
10 Veja a biografia de Edwin Evarist Moise no Anexo J
11 Veja a biografia de Hermann Hankel no Anexo K
12 Veja a biografia de Ivor Grattan-Guinnes L
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extensos. Para esse autor a falta de material sobre a História da Matemática justifica
sua ausência no ensino desta disciplina.
Justificando o não uso da História da Matemática no ensino de matemática,
Byers (1982) ainda acrescenta que a maior parte da literatura disponível não é
adequada para o ensino de matemática, dificultando ainda mais seu uso. Miguel
(1993) argumenta que isso deve motivar pesquisadores a escrever a História da
Matemática para fins educacionais e não desanimá-los.
Estes dois autores acreditam que o tempo e esforço que seria usado para
compreender os elementos históricos poderiam ser usados para que o aluno
aprendesse mais conceitos e que abordar o conteúdo dessa forma torna a tarefa de
ensinar um trabalho mais árduo pois os livros possuem uma linguagem difícil.
Contudo, Miguel afirma que Grattan- Guinness considera como um benefício
da História da Matemática para o ensino o fato de dar significado e esclarecimento
aos conteúdos.
Mas se a história é, para Grattan-Guinness, um elemento que dificulta mas ao mesmo tempo esclarece e dá sentido, um elemento que torna o processo de aprendizagem árduo e moroso mas ao mesmo tempo criativo e natural, a questão que se coloca no plano pedagógico é: como fazer a opção? A resposta para Grattan-Guinnessé que, em nível universitário, a história não só pode como deve estar presente na abordagem dos conteúdos. Não se trata, acrescenta ele, de fazer da história da matemática uma disciplina a parte como se ela fosse um ramo separado da matemática, mas encará-la como parte essencial para todos os ramos(Grattan- Guinness, 1973, p.446 e 449)Porém, nos demais níveis de ensino, sobretudo na educação primária, a história é, para ele, inútil se encararmos sua utilização do modo como foi proposto para o nível universitário.(MIGUEL, 1993,p.96,97)
Grattan-Guinness defende que, nos outros níveis de ensino, deve-se abordar
o que ele chama de história-satírica.
Em que consiste a proposta pedagógica da “história-satírica”? Trata-se, para ele, de imitar o desenvolvimento de um determinado tema ou teoria omitindo os contextos históricos nos quais ela se desenvolve. A proposta de história-satírica é, portanto, a da história cronológica descontextualizada de um tema. (MIGUEL,1993, p.97)
A história cronológica pode dificultar o ensino, pois as crianças possuem
dificuldade em ordenar linearmente os acontecimentos e relacionar situações
sucessivas.
Para finalizar o estudo Miguel classifica em funções da história da matemática
quanto ao seu uso no ensino da Matemática.
1)Uma fonte de motivação para o ensino-aprendizagem (história-motivação); 2)Uma fonte de seleção de objetivos para o ensino-aprendizagem (história-objetivo);
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3)Uma fonte de métodos adequados de ensino-aprendizagem (história-método); 4)Uma fonte para a seleção de problemas práticos, curiosos ou recreativos a serem incorporados de maneira episódica nas aulas de matemática (história-recreação); 5)Um instrumento que possibilita a desmistificação da matemática e a desalienação de seu ensino (história-desmistificação); 6)Um instrumento na formalização de conceitos matemáticos (história-formalização); 7)Um instrumento para a constituição de um pensamento independente e crítico (história-dialética); 8)Um instrumento unificador dos vários campos da matemática (história-unificação); 9)Um instrumento de promotor de atitudes e valores (história-axiologia); 10)Um instrumento de conscientização epistemológica (história-consientização); 11) Um instrumento de promoção de aprendizagem significativa e compreensiva (história-significação); 12)Um instrumento de resgate da história cultural (história-cultura); 13) Um instrumento revelador da natureza da matemática (história-epstemologia). (MIGUEL, 1993,p.106)
Miguel (1993), nas considerações finais coloca que dá preferência para o uso
da história da matemática como instrumento de promoção de aprendizagem
significativa e compreensiva e reforça a dificuldade de encontrar textos de história da
matemática adequados para o uso em sala de aula.
3 OUTROS ESTUDOS SOBRE O USO DA HISTÓRIA DA
MATEMÁTICA
3.1 Sobre História na Educação Matemática: Propostas e desafios, de Miguel e
Miorim (2008)
Este livro inicia com uma citação de Graham Bell que diz: “Nunca ande pelos
caminhos traçado, pois ele conduz somente até onde os outros foram”.
Os autores afirmam que a maioria dos interlocutores chamados para dialogar
com eles neste livro pensa o contrário, pois acreditam que “os caminhos percorridos
influenciam, de algum modo, os que estamos percorrendo e os que devemos
percorrer. (...) eles parecem acreditar nas potencialidades pedagógicas positivas da
História da Matemática.” (MIGUEL E MIORIM, 2008, p.9).
Logo após, os autores relatam o crescimento das pesquisas em História na
Educação Matemática. Para isso, eles trazem algumas considerações, tais como:
Em nosso país, embora o movimento organizado em torno da história da matemática tenha se intensificado visivelmente, sobretudo a partir da criação da Sociedade Brasileira de História da Matemática (SBHMat) no II Seminário Nacional de História da matemática, ocorrido em março de1999, na cidade de Vitória (ES),as motivações, ações e estudos isolados – quer individuais, quer de grupos organizados de pesquisa- relacionados a essa temática poderiam ser identificados, pelo menos, desde meados da década de 80 do século XX.(Miguel e Miorim, 2008,p.16)
Ao iniciar o primeiro capítulo Miguel e Miorim (2008) trazem uma citação dos
Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) que expressam a compreensão de que se
a História da Matemática for utilizada em sala de aula como assunto específico ou
conteúdo, ela será insuficiente para contribuir para o processo de ensino-
aprendizagem da matemática.
Os pesquisadores questionam que a defesa por este uso da história da
matemática tem sido defendida por alguns investigadores em Educação Matemática
de diferentes épocas, principalmente em 1920 e 1930.
Miguel já havia mencionado em 1993 que neste período os pesquisadores
consideravam o uso da História da Matemática para motivar os alunos por sua
função relax, pensando que a matemática exigisse esforço e seriedade enquanto a
História aliviaria a tensão e confortaria.
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Neste livro, escrito em 2008, Miguel e Miorim descrevem peculiaridades
dessas reflexões aqui no Brasil. Eles afirmam que esta posição estava ligada ao
Movimento Escola Nova, no século XX e encontra-se nas orientações dadas pelo
Primeiro Ministro do Ministério da Educação e Saúde Francisco Campos em 1931
que afirmou:
E, por fim, com o intuito de aumentar o interesse do aluno, o curso será incidentalmente entremeado de ligeiras alusões a problemas clássicos e curiosos e aos fatos história da matemática bem como a bibliografia dos grandes vultos desta ciência. (Portaria Ministerial, de 30-6-1931 apud MIGUEL e MIORIM,2005,p.17)
Seguindo estas orientações, os livros didáticos produzidos na década de 20 e
30 do século passado passaram a incorporar textos de história em sua obra.
Miorim e Miguel (2008) destacam o livro de Cecil Thiré e Mello e Souza que
traz textos de história produzidos pelos autores, por professores brasileiros e
fragmentos de obras de autores nacionais e estrangeiros.
Neste livro os textos de história eram geralmente apresentados no final de
cada capítulo e serviam de complemento ao trabalho realizado sobre o tema. Porém,
não há uma explicação sobre uma maneira de utilizá-los.
Miguel e Miorim destacam que o estudo da história não motiva os alunos.
Para justificarem esse pressuposto relatam a opinião do alemão Gert Schubring que
considera que nas sociedades mais desenvolvidas parece não predominar os
valores do historicismo e da burguesia do século XX.
Ainda justificando seu ponto de vista, os autores citam o trabalho de Gerdes,
desenvolvido em Moçambique, – mencionado por Miguel (1993) no capítulo anterior
deste trabalho – e relacionam a motivação propiciada pela história com o papel
exercido por ela de elemento fundamental para inclusão social. Eles complementam
que a motivação encontrada foi gerada pela discussão de aspectos políticos, sociais
e culturais da matemática.
Na sequência, afirmam que a introdução de elementos históricos em livros
didáticos, por orientação da legislação brasileira, ocorreu de forma mais explícita,
com a Reforma Francisco Campos, em 1930, muito embora no final do século XIX e
início do século XX os livros didáticos, atendendo orientações positivistas,
apresentavam os métodos produzidos historicamente, com uma linguagem
atualizada e integradas ao conteúdo e traziam relatos históricos, geralmente em
notas de rodapé. Essas notas não buscavam somente trazer informações históricas
20
mas, também, compartilhar dúvidas e questionamentos do autor sobre a gênese e o
desenvolvimento dos objetos tratados historicamente.
Na seqüência, Miguel e Miorim se propõem a falar sobre história, positivismo
e matemática escolar. Iniciam com uma citação de Augusto Comte (1978) que
acredita que toda ciência pode ser exposta por dois caminhos, sendo eles o histórico
e o dogmático. Qualquer outro caminho seria mera combinação destes dois.
Esta orientação positivista de que a história é uma fonte pedagógica de
métodos para ensinar matemática já se manifestava desde o século XVIII. Como
exemplo disso, Miguel e Miorin (2008) citam Clairaut – cujas opiniões já foram
apresentadas no capítulo anterior do presente trabalho – e Klein que advoga, como
já dissemos, que apenas o método histórico seria potencialmente adequado para
atingir o ideal pedagógico de conduzir a juventude a pensar cientificamente. Para ele
esse ideal pedagógico deveria constituir o objeto e o objetivo de toda educação
verdadeiramente científica.
Miguel e Miorim (2008) destacam, ainda, que no Brasil as orientações
positivistas foram interpretadas e manifestadas de diferentes maneiras. Uma delas
pode ser vista na obra de Aarão Reis (1902) que optou por incluir notas de rodapé
com textos históricos. Outra obra relacionada ao positivismo foi a tradução da obra
do Francês Aléxis Claude Clairaut buscando uma literatura positivista em português.
Euclides de Medeiros Guimarães Roxo manifestou-se em favor do método
histórico pedagógico como um princípio pedagógico de ordem geral justificado pelo
fato de acreditar que a criança deve passar novamente por onde passaram seus
antepassados sem omitir etapas.
A partir do final da década de 80 ocorreu um crescimento das manifestações
da participação da História da Matemática em textos sobre a prática pedagógica de
matemática. Na mesma época, intensificaram-se as críticas ao movimento da
Matemática Moderna.
Um exemplo foi a Proposta Curricular de Matemática - 1° Grau - de São
Paulo, produzida na última metade desta década, que orientava sobre o estudo dos
números. Segundo essa orientação, esse estudo poderia ser feito a partir de sua
organização em conjuntos numéricos, como preconizava o Movimento de
Matemática Moderna, ou acompanhando a evolução da noção de número,
“deixando-se guiar pelo fio condutor que a história propicia e trocando assim uma
21
sistematização prematura por uma abordagem mais rica em significados.” (São
Paulo 1980, p.11 apud Miguel e Miorim 2008, p.45).
Dessa maneira a História apresenta-se como uma fonte de busca de
significados e de compreensão para o ensino-aprendizagem da Matemática escolar.
Neste livro, Miguel e Miorim (2008) citam Jones e Zuñiga que – conforme
apresentamos no capítulo anterior – consideravam a história da matemática como
um elemento esclarecedor do sentido das teorias e conceitos matemáticos
estudados na escola.
Outra forma de considerar o uso da História da Matemática, expressada na
proposta curricular do Estado de São Paulo, foi o uso de problemas históricos.
Miguel e Miorim (2008) acreditam que a busca por elementos motivadores
das aulas de Matemática utilizando a História da Matemática tem se relacionado
mais com a resolução de problemas.
Outro matemático mencionado por Miguel e Miorim (2008) neste livro é Swetz
(1989) que, como já vimos no capítulo anterior, enumera cinco porquês para
justificar o uso da História da Matemática como motivação ao ensino da Matemática.
No entanto, esses autores criticam o uso motivacional da História da Matemática
com argumentos já apresentados anteriormente no capítulo anterior.
Por outro lado, Miguel e Miorim (2008) trazem à luz, nesta obra, a
possibilidade da história poder ser usada para desmistificar a Matemática,
destruindo a falsa impressão causada pelo tratamento puramente formal que muitos
livros didáticos dão a essa disciplina e que leva os alunos a crerem que a
matemática já está pronta e acabada.
Na década de 90 ocorre, no Brasil, um aumento de trabalhos com elementos
históricos em propostas curriculares e nos livros didáticos. Sobre isso, Miguel e
Miorim (2008) destacam alguns livros que trazem diferentes maneiras de abordar a
História da Matemática:
1. O livro da 8°serie, Matemática na vida e na escola13 (1999) traz o uso de
situações problema integradas a textos históricos sobre o desenvolvimento da
álgebra.
2. O livro Matemática atual14 (1994) da 6° série que traz a história dos 35
camelos contido no livro O homem que calculava para que os alunos discutissem
13 Autoras: Ana Lúcia Bordeaux, Cléa Rubinstein, Elizabety França, Elizabety Ogliarini e Gilda Portela.
22
sobre o problema que estaria implícito. Para Miguel e Miorim (2008) seria a
apresentação de elementos da história da educação matemática brasileira.
3. O livro do 8° serie denominado Matemática para todos15 (2002) traz uma
discussão acerca do nome Bhaskara para a formula resolutiva da equação de 2°
grau.
Para finalizar o primeiro capítulo dessa obra, os autores apresentam alguns
problemas que colocam em cheque potencialidade pedagógica da História da
Matemática, dentre os quais destacamos:
1. Ausência de literatura adequada;
2. A literatura disponível é imprópria para este fim;
3. A história é um fator complicador;
4. Ausência de sentido de progresso histórico.
Em que pesem os problemas relacionados à ausência e a indisponibilidade de
literaturas sobre a História da Matemática para fins pedagógicos, os autores
consideram que esses problemas geram um apelo para que mais educadores
pesquisem e escrevam sobre a História da Matemática, o que poderia gerar avanços
para a superação de tais problemas.
No segundo capítulo, os autores decidem questionar os argumentos
mostrados no primeiro capítulo mais intensamente e, no terceiro, eles trazem um
exemplo realizado por eles nas disciplinas de Fundamentos da Metodologia de
Ensino da Matemática I e II, no curso de licenciatura em Matemática da
Universidade Federal de Campinas.
3.2 Sobre Usos Didáticas Para a História da Matemática, de Vianna (1998)
Vianna, no I Seminário Nacional de História da Matemática em 1998, faz uma
modificação do primeiro capítulo de sua dissertação de mestrado para provocar um
debate em uma mesa redonda que trataria do uso didático da História da
Matemática.
14 Autor: Antônio José Lopes Bigode
15 Autores: Luis Mácio Imenes e Marcelo Lellis
23
Este texto descreve opiniões diferentes sobre o assunto e fala um pouco
sobre a abordagem feita nos livros de matemática sobre a História da Matemática.
Logo na introdução, ele já aponta a importância do tema por ser de interesse
contemporâneo e afirma que seu objetivo é estabelecer uma relação de pontos que
são questionados por diversos autores.
Vianna (1998), falando sobre as objeções ao uso didático da História da
Matemática, destaca a opinião de André Lichnerowicz que, como já vimos na tese
de Miguel (1993), não considerava que um ensino do tipo histórico fosse confiável. O
que Vianna traz de novo é o fato de que muitas razões apontadas por Lichneriwicz
no passado hoje são usadas pelos defensores do uso didático da História da
Matemática. “Por exemplo, só a História da Matemática é que pode contribuir para
anular a sensação de ser a Matemática uma coisa pronta e acabada.”
(VIANNA,1998, p.3)
Em seguida Vianna faz uma lista de razões apontadas por diversos autores
(não nomeados) sobre suas objeções ao uso da história da matemática como
recurso didático.
1)O passado da matemática não é significativo para a compreensão da matemática atual; 2)Não há literatura disponível para o uso dos professores de primeiro e segundo graus. 3)Os poucos textos existente destacam os resultados mas nada revelam sobre a forma como se chegou a esse resultado; 4)O caminho histórico é mais árduo para os estudantes que o lógico. 5)O tempo dispensado no estudo da História da Matemática deveria ser utilizado para aprender mais matemática.(VIANNA, 1998,p.4)
Vianna (1998) também fala sobre os autores que estão a favor do uso didático
da História da Matemática. Porém, ele afirma que em seus discursos existem certas
contradições.
O primeiro texto é de André Weil que afirma ter a matemática sua própria
história. Ainda considera que a história é a arte da descoberta e divulgar seu método
através de exemplos ilustres e que aquela pode ser uma disciplina suplementar.
Para Vianna, Weil tem uma visão estruturista de conhecimento e busca
“colocar uma camisa de força no desenvolvimento da matemática de tal modo que
toda a criação matemática do passado é pensada como formadora, em linha
evolutiva, das estruturas matemáticas identificadas no presente” (VIANNA,1998,p.6).
O segundo autor citado por Viana (1998) é Dirk Jan Struik que defende que o
estudo da História da Matemática serve para:
24
1)Satisfazer nosso desejo de saber como os conceitos da matemática se originaram e desenvolveram; 2)O ensino e a pesquisa mediante o estudo dos autores clássicos, o que vem a ser uma satisfação em si mesmo; 3)Entendermos nossa herança cultural através das relações com outras ciências(...); 4)O encontro entre o especialista em Matemática e profissionais de outras áreas científicas; 5)Oferecer um pano de fundo para a compreensão das tendências da educação matemática no passado e no presente; 6)Ilustrar e tornar mais interessante o ensino da matemática.(VIANNA, 1998,p.7)
Sobre as recomendações de uso da História da Matemática, Vianna
apresenta a seguinte citação de Lakatos ([11], p.14): “O formalismo desliga a
História da Matemática da Filosofia da Matemática, uma vez que, de acordo com o
conceito formalista da matemática, não há propriamente História da Matemática”; e
ainda que “História da Matemática e a lógica do descobrimento matemático [...] não
se podem desenvolver sem a crítica e rejeição do formalismo” (Vianna, 1998,p.17) .
Referindo-se a esses autores, Vianna afirma que “é neste contexto que
podemos situar as mais recentes tentativas de associação da História da
matemática com o seu ensino”, (VIANNA,1998, p.9)
O autor também menciona o princípio genético16, mas não entra em detalhes
sobre a questão. Somente afirma que ora ele é aceito e ora é rejeitado. Termina
com: “a observação feita por Polya (1988-1984) citada por Byers: O Princípio
Genético é um guia, não um substituto, para o julgamento” (VIANNA,1998,p.9).
Vianna fala, também, sobre a preocupação com a História Social da
Matemática, que nasce a partir da instauração de uma tradição de historiadores
ligados ao Marxismo e de sua confrontação com o pensamento positivista. Ele
afirma que se instala um debate entre os internalistas que defendem a história da
16 “A expressão ‘princípio genético’ é usada para designar uma versão pedagógica da ‘Lei
biogenética’ de Ernst Haeckel (1934, 1919). Essa lei sugeriu que durante o seu desenvolvimento o
embrião humano atravessaria os mais importantes estágios pelos quais teriam passado os seus
ancestrais adultos (RONAN, 1987, IV,p, 79). A versão pedagógica dessa lei considera que todo
indivíduo, em sua construção particular do conhecimento, passaria pelos mesmos estágios que a
humanidade teria passado na construção desse conhecimento.
A partir do século XIX, tornou quase que prática corrente recorrer ao chamado ‘princípio
genético’ como um modo aparentemente sensato e natural de se justificar a participação da história
no processo de ensino-aprendizagem da Matemática escolar.” (Antonio Miguel, Maria Ângela Miorin;
2008, p.40)
25
ciência com desenvolvimento a partir de seus próprios problemas e os externalista
que vêem a história baseada em outros problemas.
Ao falar sobre a organização dos livros de História da Matemática, Vianna
classifica-os segundo a maneira de estruturação de seu conteúdo da seguinte forma:
a)Dão um desenvolvimento cronológico da matemática, desde a antiguidade até épocas mais recentes. b)Apresentam biografias de alguns matemáticos, normalmente em tom fortemente apologético. c)Desenvolvem uma história de tópicos da matemática. d)Memórias pessoais e correspondências entre matemáticos. e)Resenhas sobre publicações recentes em determinados assuntos. f)compilação de fontes de dofícil acesso e comentários(....) g)Apresentação de uma história social da matemática,dando ênfase ao contexto político,econômico, religioso que determinva o momento de criação da idéias. h)Estudos etnográficos e antropológicos com a perspectiva de observar o surgimento e desenvolvimento das idéias matemáticas em diversos povos e culturas.(VIANNA,1998,P.11,12)
. Vianna (1998), nas considerações finais, afirma não ter encontrado nenhum
estudo sobre os efeitos provocados nos alunos pelos novos livros didáticos que
trazem recortes históricos.
Para concluir, Vianna (1998) traz o exemplo retirado de um livro, onde se
relata a história do número Pi somente como curiosidade no início da unidade.
Com este exemplo, o autor mostra o mau uso da história da matemática em
livros didáticos e finaliza dizendo que a história deve ser fonte de significados mais
abrangentes para o conteúdo de matemática e não uma motivação.
3.3 Sobre História da Matemática na Educação Matemática, de Vianna (2000)
Dois anos depois, em 2000, também baseado em sua dissertação, Vianna
escreve um texto onde são expostas quatro categorias em que podem ser
classificados os recortes históricos que aparecem nos livros didáticos. A primeira
dessas categorias tem função motivacional onde a história é apresentada na forma
de textos que aparecem no início de um capítulo ou unidade didática. A segunda
categoria engloba as notas históricas e são classificados como informação, pois não
auxiliam e nem contribuem para o desenvolvimento do capítulo em estudo. Numa
terceira categoria está o texto classificado como estratégia didática que sugere
26
idéias para que o aluno possa compreender o conteúdo. Por fim, Vianna apresenta
os textos classificados como imbricados no conteúdo que são aqueles onde a
história aparece de forma implícita e ajuda na maneira de estruturar o conteúdo.
Analisando a coleção “Matemática e Vida”, em sua primeira edição, Vianna
concluiu que:
O total de vezes em que aparecem textos de história da matemática nos quatro volumes da coleção é de 50, distribuídas da seguinte forma: Motivação: 20 vezes, 40% do total Informação: 22 vezes, 44% do total Estratégia Didática: 3 vezes, 6% do total Imbricado: 5 vezes, 10% do total Resulta evidente a forte preponderância das duas primeiras categorias em detrimento das demais. (VIANNA, 2000, p.3)
Vianna (2000) encerra a sua análise afirmando:
Daí, retorno à questão inicial: há um papel para a História da Matemática na Educação Matemática? Mas esse papel – seja qual for – que se defende é compatível com aquilo que se realiza em sala de aula? Creio que não existe tal compatibilidade. Mais que isso: sou contra toda e qualquer inclusão da História da Matemática nos moldes do que está aí (nesse meu estudo de 1991-1995) pois penso que isso mais atrapalha do que ajuda (e eu não havia assumido essa atitude quando do meu mestrado!). Todavia, sou a favor do “Uso Didático da História da Matemática” como uma Tendência dentro da Educação Matemática. Como? Ora, é muito simples: associando o conhecimento da História da Matemática às demais tendências; por exemplo: a história da matemática pode ser uma fonte relevante de problemas para serem trabalhados na resolução de problemas, o estudo da solução dada aos problemas reais que foram enfrentados em épocas diversas pode fornecer contribuições relevantes para o desenvolvimento de técnicas de modelagem e para o aprimoramento de modelos já elaborados, o conhecimento da história da matemática dos diversos povos entrelaça-se inevitavelmente com os trabalhos de Etnomatemática(...)Assim, tal como temos que falar em um determinado idioma, também deveríamos pensar os conteúdos matemáticos, as tendências em educação matemática, de uma modo histórico, imersas na história, e diríamos que o problema de “usar” a história da matemática deixaria de ser um “problema” teórico e se tornaria uma ação didática efetiva (VIANNA 2000,p.3,4).
3.4 Sobre A História da Matemática no Ensino Fundamental uma análise de
livros didáticos e artigos sobre história, de Peters (2005)
Em sua dissertação, José Roberto Peters (2005) têm por objetivo investigar a
presença qualitativa e quantitativa da História da Matemática nos livros didáticos do
27
Ensino Fundamental e nas revistas que estão à disposição do professor de
matemática.
O autor afirma que a Matemática é apresentada para as escolas como uma
ciência absoluta e acabada, e entende que:
(...) que a utilização da história da matemática no ensino da disciplina contribui sobremaneira para que se crie, nos educandos, uma compreensão maior e melhor dos mecanismos de apropriação do conhecimento científico e, em particular, do conhecimento matemático. Comungo com a tese defendida por Dieudonné (1990), que afirma não ser possível compreender a matemática atual sem ter idéias — no mínimo sumárias — de sua história. (PETERS, 2005, p.4-5)
Apesar de acreditar que a história atuaria como um antídoto à
descontextualização da disciplina e que possibilitaria ampliar nossos limites e
entender nossas limitações, o próprio autor traz uma citação de Lauand (1996)
lembrando que:
(...)livros e professores, nem sempre sabem dirigir a atenção àquilo que realmente interessa, conduzindo-nos antes a apressadas correrias superficiais pelos estereotipados ‘pontos turísticos` da história sem que captemos nada de significativo. Ou, ainda pior, levando-nos a lojas com ele aconchavadas e onde a mercadoria é falsificada e o preço exorbitante (PETERS, 2005, p.5)
Peters (2005) ainda traz um relato de suas aulas, onde utilizava a História da
Matemática para motivar os alunos.
Uma experiência interessante que começou a me fazer “virar os olhos com mais atenção” para a história da matemática — num aspecto que transcendia a simples motivação. Foi quando, numa aula de álgebra que ministrava para alunos de Processamento de Dados, li o seguinte texto: Para representar a incógnita nesse tratado de álgebra, Khayyam utiliza o termo árabe Chay,que significa ´coisa`; essa palavra, grafada Xay nas obras científicas espanholas, foi progressivamente substituída por sua inicial x, que se tornou o símbolo universal do desconhecido (MAALOUF, 1991, p. 43). Uma aluna comentou que se soubesse disso na primeira vez que teve contato com a álgebra — no Ensino Fundamental — teria “dado significado àquela letra no meio de tantos números”.(PETERS, 2005, p.8)
Para analisar as revistas o autor escolheu o método de análise de conteúdo
que “é um meio para estudar as “comunicações” entre homens, com ênfase no
conteúdo das mensagens, privilegiando a linguagem escrita, por ser estável e
disponível. ” ( PETERS, 2005,p.10)
Logo após, ele descreve as três revistas que serviram de fonte para sua
pesquisa, relatando um pouco de suas estruturas. As revistas escolhidas são:
Zetetiké é uma publicação do Círculo de Estudo, Memória e Pesquisa em Educação
Matemática (CEMPEM) da Faculdade de Educação da UNICAMP (FEUNICAMP), de
28
Campinas, São Paulo, iniciada em 1993; Bolema, que pertence ao Programa de pós
graduação em Matemática da UNESP de Rio Claro, São Paulo, iniciada em 1985 e
Educação Matemática em Revista que é uma publicação da Sociedade Brasileira
de Educação Matemática (SBEM) desde de 1993. Depois disto, o autor separou os
artigos das três revistas usando o quadro desenvolvido por Fiorentini (mostrado em
seu trabalho), para analisar mais especificamente aqueles artigos que trazem como
foco a História da Matemática. Com isto, ele buscava um suporte teórico para sua
dissertação.
Após falar sobre os aspectos metodológicos, o autor traz os aspectos teóricos
e relata a opinião de alguns autores quanto ao uso da História da Matemática
enquanto recurso metodológico.
Peters admite que Baroni e Nobre (1999) consideram errado tratar a História
da Matemática somente como recurso metodológico e que é necessário considerar a
História da Matemática em todas as discussões sobre o ensino da matemática,
porque ela engloba elementos voltados a interligação entre os conteúdos e sua
atividade educacional.
Peters (2005) afirma que muitos autores concordam que usar a História da
Matemática somente para motivar os alunos é usá-la de forma ingênua e traz uma
citação de Fossa (1991, p.85) que entende que:
(...) a história da matemática “dificilmente despertará qualquer interesse na Matemática em si”, pois, para o autor, na verdade, a história poderá afugentar os alunos contrariando a sua utilização pedagógica se for tratada de maneira apenas decorativa. O autor continua afirmando que é o importante é encarar a história da matemática também como recurso para a apresentação de conteúdos matemáticos. (FOSSA, 1991, p.85 Apud PETERS, 2005, p.19)
Peters (2005) cita as opiniões de Brito e Cardoso (1997) que acreditam que a
história da matemática unicamente contada como uma narração não colabora para a
construção de conceitos matemáticos. O autor apresenta, ainda, a citação de Silva
da Silva (2001) para mostrar que a história não pode resolver sozinha todos os
problemas do ensino desta disciplina. Este pesquisador afirma que para usar a
história da matemática é preciso mudar a forma como entendemos a matemática,
assim não será mais uma ciência autossuficiente e sim uma das muitas formas de
conhecimento.
Peters (2005) ainda afirma que Fauvel, em sua obra A utilização da História
em Educação Matemática acredita que a História da Matemática pode aumentar a
29
motivação, dar uma face humana à Matemática, mostrar aos alunos como os
conceitos são desenvolvidos, auxiliar sua compreensão; mudar a percepção dos
alunos sobre a Matemática e fornece oportunidades para explicar o papel da
Matemática na sociedade.
Peters ainda cita recorte do trabalho Teorema de Pitágoras: lembranças e
desencontros na matemática, de Pereira (2002) para mostrar a importância do
professor e do aluno estudar a História da Matemática, pois ele acredita que:
(...) a história da matemática possui elementos que podem imprimir ao ensino e à aprendizagem das concepções matemáticas uma maior qualidade e significação, fazendo, assim, dos agentes envolvidos no âmbito escolar, professor e aluno, indivíduos mais críticos, integrados a um saber que perpassa os séculos e que envolve inúmeras áreas (PEREIRA, 2002, p. 20 Apud PETERS 2005, p.21)
Baseado em alguns autores, como Chervel (2002), Peters (2005) expõe que
os livros didáticos de cada época são muito parecidos, praticamente idênticos.
Também é exposta a maneira errada que os livros trazem pontos da história e que
não contribui para o desenvolvimento do conteúdo criando duas matemáticas, uma
mais séria e que cai na prova e outra mais recreativa. Peters (2005) explicita, ainda,
a opinião de autores sobre a maneira que a história da matemática pode ser
utilizada nas aulas da disciplina de matemática.
Uma – referindo-se à Mendes, Iran Abreu – onde o professor levanta, na
História da Matemática, problemas que necessitem de respostas para ser o ponto de
partida das atividades desenvolvidas em sala de aula. Esta investigação pode
contribuir para que os estudantes possam perceber os “porquês” matemáticos e é
mais viável no Ensino Superior. O outro se refere a usar as informações históricas
presente nos livros para fomentar a construção de conceitos pelo educando. Em seu
trabalho, Peters (2005) questiona que Mendes não deixa claro quais são as
informações e qual a participação dos livros-textos neste método.
Peters (2005) traz ainda a opinião de Fragoso (2000) que:
(...)sugere uma abordagem histórica dos temas a serem ensinados para evidenciar o desenvolvimento dos conteúdos desde a sua origem. Nesta abordagem o aluno entra em contato com os métodos de resolução de problemas e também com as notações de cada tempo. Para o autor isso vai valorizar ainda mais a colaboração dos matemáticos que participaram do seu desenvolvimento. (PETERS, 2005, p.25)
A afirmação de Grattan-Guinnes (1997), mencionada pelo autor, diz que o
ensino de cálculo perde algumas tradições e conflitos que poderiam ser passados,
por não se usar a história.
30
Brito e Cardoso (1997) quando ensinam cálculo diferencial em cursos para
professores, utilizam a história da matemática como fonte de problemas.
Schubring (1998) é mencionado por Peters (2005) por relatar o fato de
aproveitar a história da matemática para analisar os problemas técnicos ou
epistemológicos do saber matemático que provocam erros por parte dos alunos.
Por fim Peters (2005) afirma que: “No mundo inteiro a maneira de como a
utilizar a história da matemática no ensino da disciplina ainda não obteve consenso”.
Arcavi e Bruckheimer, citados por Peters, mencionam que o uso das fontes
primárias como os elementos de Euclides, e das fontes secundárias que seriam
livros de história da matemática. Para ele as fontes secundárias apresentam
problemas quanto a apresentação em seqüência cronológica, os tópicos omitidos, a
visão particular do autor, a transmissão de julgamentos de valores, de julgamentos
das condições dos conceitos matemáticos.
Entretanto, Peters (2005) cita algumas vantagens vistas por estes
pesquisadores, tais como:
Entre as vantagens (e maneiras) de se utilizar a história da matemática no ensino da disciplina, os autores apontam para: mostrar as representações alternativas; explicitar a existência de dúvidas e contradições na matemática; o uso das fontes primárias como interlocutores; a simplicidade e motivação didática; a possibilidade de, com a história, mostrar a evolução das idéias e a história da matemática como fonte de redescobrimento e de “vitrine” para os aspectos culturais. (PETERS, 2005, p.30)
Ainda é considerado que a história da matemática é capaz de suscitar as
dúvidas e contradições existentes na matemática.
Peters (2005) afirma que Fried (2001) acredita que se pode usar somente
casos, curtas e problemas isolados da história no início das aulas ou a adequação
do currículo as circunstâncias históricas, ambas, porém, estão ligadas a um currículo
sobrecarregado e o professor teria de escolher o que é ou não relevante. Nesse
aspecto o educador corre o risco de não contar a história. Porém se optar por não
fazer essas escolhas ele pode gastar muito tempo em questões teóricas.
Peters resume esta questão no seguinte trecho:
E esta escolha é cruel, pois, se de um lado o professor tem o compromisso de ensinar a matemática moderna, por outro pode cair nas “irrelevâncias históricas”, se o método de abordagem histórica não for corretamente escolhido ou aplicado. Para Fried, ou se adota uma abordagem de “acomodação radical”, onde “o estudo da matemática torna-se o estudo de textos matemáticos, assim como a literatura é o estudo de grandes obras de prosa e poesia” (p. 401), ou, então, de “separação radical”, para “obter o engajamento dos significados, que pode posicionar a história da matemática em uma trilha diferente daquela do curso regular” (p. 403). As duas escolhas
31
são radicais “porque vão direto às fundações de como pensar matemática, o ensinar matemática, e, quanto a isso, o ensinar a história da matemática” (p. 408). (PETERS,2005, p.33)
Consequentemente, o autor faz uma discussão sobre o uso de pedaços da
história e traz alguns autores que se baseiam na sua insuficiente para não usá-la
como recurso metodológico. Porém dentre eles é nomeado Mathews afirmando que
a situação e os alunos é que iram definir o quão complexa ou simplificada a história
deve apresentada. O uso da história é um bom momento para os alunos observarem
a maneira como lemos os textos e interpretamos.
Peters também traz as considerações de alguns autores sobre o uso da
história da matemática na formação dos professores de matemática, citando D’
Ambrosio (1996), Pires (2000), Miguel e Brito (1996), Pavanello e Andrade (2002)
que acreditam ser de grande valia o estudo da história nos cursos de licenciatura em
matemática, pois o professor precisa ser capaz de entender a matemática com base
histórica e crítica. Por esse motivo a história não deveria ser uma disciplina acabada,
mas sim estar integrada em todos os conteúdos.
Dentro deste tópico o autor cita alguns dados, tais como:
Silva da Silva (2001) constata que existem mais de 130 cursos de licenciatura e bacharelado em instituições brasileiras. A autora recolheu os currículos de 28 instituições e, destas, apenas 16 oferecem a disciplina de História da Matemática: 13 como obrigatórias e três como optativas. As maiores dificuldades apontadas pelas instituições para ofertar a disciplina estão: falta de professores qualificados e dificuldade de acesso à bibliografia e outros materiais para o ensino. Silva da Silva apresenta uma lista com 35 obras de história da matemática em língua portuguesa e espanhola. (PETERS, 2005, p37.)
Em outro tópico, Peters (2005) apresenta o que os governos no Brasil têm
falado sobre o tema, trazendo citações dos Parâmetros Curriculares Nacionais e
algumas considerações da Secretaria de Educação e Desportos de Santa Catarina
que incentivam o uso da história da matemática como recurso didático e
metodológico.
Antes de revelar os resultados alcançados, o pesquisador relatou o porquê de
escolher para analisar a Revista do Professor de Matemática e os 53 livros de 5° a
8° série do ensino fundamental que foram usados nas escolas de ensino
fundamental de Joinvile, Santa Catarina.
O autor descreve o que deveria ser, no seu modo de ver, o roteiro de
pesquisa através de um quadro onde coloca as seguintes questões:
32
1. Tipo e organização da informação histórica: Matemáticos ou evolução da
matemática;
2. Materiais usados para apresentar as informações históricas: imagens de
matemáticos, equipamentos, textos originais ou de fontes secundárias e outros;
3. Contesto no qual a informação histórica está relacionada: cientifico, político,
religioso, social ou tecnológico;
4. Qualidade do conteúdo histórico: papel do conteúdo no ensino e população
alvo;
5. Atividades de aprendizado que lidam com questões históricas: estudo das
atividades, nível das atividades, tipo de atividade;
6. Consistência interna do livro: homogêneo ou heterogêneo;
7. Bibliografia sobre a História da Matemática: livros históricos ou livros de
Matemática com informações históricas.
No início de sua análise, ele transcreveu o que os autores de cada livro
afirmam sobre o uso da história da matemática, destacando que somente cinco das
19 coleções sugerem que a História da Matemática estará presente.
Para ilustrar melhor, o autor constrói gráficos sobre cada série dos pontos que
se propôs a analisar.
Serie Páginas Pág. c/ hist.. exercícios Ex. c/ hist.
5° 3801 264-(6,9%) 12277 83-(0,7%)
6° 3226 173-(5,4%) 10072 43-(0,4%)
7° 4168 271-(6,5%) 11681 22-(0,2%)
8° 3421 404-(0,8%) 9501 76-(0,8%)
Total 14616 1113-(7,6%) 43531 224-(0,5) Quadro 1. Resumo da tabela de frequência quantitativa dos livros didáticos. (PETERS 2005).
Em suas considerações finais, o autor destaca o fato de: “acreditava que
qualquer história era melhor que nenhuma história. Pensava que o simples fato de
dar a conhecer aos alunos alguns aspectos que revelassem os porquês das coisas”
(Peters, 2005,p.101). Ele afirma que utilizava uma história que estava desvinculada
do conteúdo e servia para motivar, na verdade a história “preparava o cenário, mas
não participava do desenrolar do roteiro. Dessa forma, não havia espaço para
controvérsias, para as versões diferentes”.
Peters (2005) afirma, então, que:
Se não há tempo para a história e a matemática nos currículos já abarrotados, façamos a matemática ser contada através de sua história e não separada como tópicos de curiosidade. Se a única história possível não é a genuína — há uma diferença entre a perspectiva do matemático e a do
33
historiador —, façamos com que o matemático se torne historiador e isso é uma prerrogativa dos cursos de formação de professores. Se não há literatura adequada, vamos investir em pesquisa, em debates e em discussões. (PETERS, 2005, p.104)
Sobre os livros, o autor, afirma ter se surpreendido com a quantidade de
material encontrado, porém a qualidade poderia ser melhor, pois as informações
históricas que encontradas, na maioria das vezes, deixavam lacunas ao tratar de um
conteúdo e do outro não. Além disso, não apresentavam as fontes, nem
possibilitavam controvérsias e discussões. Os textos originais eram apresentados
em pedaços e ao falar dos matemáticos não exploravam o contexto social, traziam
mais as datas. Para ele, o professor pode começar utilizando os livros, mas deve ir
além deles.
3.5 Sobre a utilização da História da Matemática em atividades didáticas para o nono ano do ensino fundamental, de Santos (2012).
Em trabalho sobre a utilização da História da Matemática em atividades
didáticas para o nono ano do ensino fundamental, Santos (2012) busca realizar um
estudo em três livros de matemática do nono ano, seguindo as categorias
explicitadas por Vianna e, a partir disto, realizar algumas atividades com turmas do
nono ano do ensino fundamental da Escola de Educação Básica Margarida Lopes,
fundamentando-se nos textos de Miguel (1993), Vianna (2000) e Gilli Martins (2005).
No final da análise realizada nos livros, ela obteve um resultado semelhante
ao de Vianna (2000), pois de um total de sessenta e oito textos relacionados com
História da Matemática encontrou-se a seguinte relação: 2,6% era motivação, 79%
informação, 13% estratégia didática e 4,4% imbricada no conteúdo. Sendo assim, a
maior parte dos textos de história da matemática encontrada nos livros estava
classificado nas duas primeiras categorias, porém houve uma diminuição na
categoria motivação e a maior parte como informações.
Santos (2012, p.80) afirma que:
É lamentável que o material mais utilizado pela maioria dos professores, ainda não disponibilize, na maioria das vezes, muito espaço para aspectos e atividades históricas, sendo o livro didático a principal fonte de embasamento na elaboração das aulas.
34
Referente às atividades aplicadas em cada turma, ela conclui que obteve
êxito, pois os alunos foram receptivos e consideraram as atividades interessantes.
Na construção das atividades a autora se preocupou em desenvolver uma
aprendizagem significativa com os alunos e usou a História da Matemática para
cumprir seu objetivo.
Foram feitas atividades sobre oito assuntos diferentes, os quais são: Notação
científica e potência, propriedade das potências, radiciação, plano cartesiano,
teorema de Talles, semelhança de triângulos, área e perímetro e funções seno e
cosseno.
Ao final das atividades a autora constatou que os alunos gostaram e
consideraram as atividades interessantes e curiosas e mostravam interesse sobre o
conhecimento dos fatos históricos.
No final, Santos (2012) conclui que:
(...) Contudo, em determinadas situações é importante uma vinculação entre a História da Matemática e outros recursos que podem ser utilizados em sala de aula, como o uso de novas tecnologias, resolução de problemas, dentre outra, pois a união dos recursos podem possibilitar uma complementação na redução de possíveis lacunas no processo de aprendizagem. (SANTOS, 2012, p.80).
3.6 Sobre História da Matemática em atividades didáticas: Uma proposta de
trabalho para o sexto ano do Ensino Fundamental, de Rosales (2011)
Rosales (2011), em sua monografia de especialização, buscava mostrar
possibilidades reais para o uso da História da Matemática como estratégia de ensino
da matemática. Para embasar teoricamente as atividades recorre a Eves (2005),
Garbi (2006), Gonzáles (2001) e Guelle (2004). Além destes autores, é realizado um
estudo sobre Miguel(1993).
Rosales (2011) aponta alguns problemas que ocorrem na disciplina de
matemática, tais como, o desinteresse dos alunos, a dificuldade de compreender
certos conceitos que levam ao alto índice de reprovação.
Devido a estes fatos, ela se propõe a desenvolver atividades, fundadas na
História da Matemática para auxiliar o professor em sala de aula.
35
Antes de expor as atividades, Rosales mostra algumas dificuldades
encontradas quando buscamos utilizar a história da matemática como recurso ao
ensino da matemática.
São elas:
1.a formação do professor, que por vezes não estudou a história da
matemática;
2.a falta de tempo, pois para construir estas atividades é necessário muito
tempo de pesquisa e para elaboração do material;
3.a pouca literatura existente sobre o assunto;
4.dados incorretos que aparecem nestas literaturas;
5.a maneira como é pesquisada e divulgada a história da matemática é,
algumas vezes, inadequada para o uso em sala de aula;
6. existem poucas atividades relacionadas a história da matemática.
Ao todo, em sua monografia, foram construídas trinta e duas atividades sobre
temas como construção do ábaco, representação do sistema decimal com ábaco,
formas geométricas espaciais, os antigos sistemas decimais, multiplicação e divisão
egípicia, quadrado mágico, construções com régua e compasso, entre outras.
Dessas trinta e duas atividades construídas, observou-se que havia um pouco
de história nas seguintes atividades:
Atividade 3, sobre as formas geométricas espaciais, que traz um texto sobre a
história da geometria e faz uma tarefa para construir pirâmides.
Atividade 5 refere-se aos números figurados, e baseia -se num texto que traz
a origem e a definição.
Atividade 6 compara os antigos sistemas de numeração, contando a história e
resolvendo alguns exercícios.
A atividade 7 apresenta a origem do quadrado mágico e busca fixar o
conhecimento sobre a numeração maia, egípcio, romana e babilônica.
A atividade 9 e 10 trazem as maneiras como os egípcios multiplicavam e
dividiam e pede que os alunos realizem as operações desta maneira.
A atividade 11 refere-se a possibilidade de medir usando o corpo e traz textos
históricos e exercícios.
A atividade 12 apresenta os números amigos.
A atividade 13 conta a história a partir de um texto.
36
A atividade 14 traz a história do tangram que será usado para trabalhar a
simetria.
A atividade 15 apresenta como eram utilizadas as frações no Egito.
A atividade 16 traz a história dos calendários antigos e a matemática por traz
disso. E neste mesmo ritmo, a atividade 17 busca construir um relógio de sol.
A atividade 23 traz a história dos mosaicos e tem por objetivo trabalhar a
geometria.
Para concluir, Rosales (2011) afirma que a história deve ser usada de forma
contextualizada e crítica que ainda existe pouca construção de atividades que se
embasam na História da Matemática e se gasta muito tempo em pesquisa para
concluí-las.
Pode-se verificar que apenas 11 atividades usaram explicitamente a História
da Matemática e conclui-se ainda, que a autora usou o conhecimento histórico e
outros elementos como foi mencionado por Vianna (2000) e Santos (2012).
4 APROXIMAÇÕES E DISTÂNCIAMENTOS
Dentre os autores estudados foram considerados diversos meios e funções
para o uso da História da Matemática como recurso ao ensino da Matemática nas
escolas. A primeira destas funções seria para tornar a aula mais interessante e
assim promover a motivação dos alunos. Ela é citada por todos os autores e
igualmente criticada por eles pelo fato da história por si só não é motivadora.
Peters (2005), que afirma ter usado a História como motivação nas suas
aulas, depois de seus estudos afirmou que acredita ser uma maneira ingênua de
utilizar a História da Matemática e que somente a narração de fatos históricos não
contribui para a construção de conceitos.
Miguel (1998) e Miguel e Miorim (2008) descrevem o exemplo de Gerdes em
Moçambique e destacam que a motivação dos alunos está ligada a inclusão social e
ao grau de dificuldade dos problemas apresentados.
Acrescido a isso, mostrou-se que ao usar a História como motivação parece
que se têm duas matemáticas. Uma rígida e que será avaliada em provas e outra
que é mais fácil que serve para relaxar e aliviar a tensão provocada pela anterior.
O uso da História da Matemática como fonte de objetivos para o ensino e
aprendizagem é mencionada por Miguel (1998) que cita como exemplo a obra de
Clairaut (1741). Peters (2005) acredita que seria como evidenciar o conteúdo desde
sua origem.
A História poderia servir como uma fonte de métodos para ensinar
Matemática. Miguel e Miorim (2008) apresentam alguns livros que consideram esta
função ao serem escritos e organizados.
Outra função considerada foi a de fonte de seleção de problemas. Para
Peters (2005) os problemas podem ser os pontos de partida para evidenciar os
conceitos matemáticos.
Uma função mencionada por todos os autores é a que considera a História da
Matemática como meio para desmistificar, para minimizar a concepção de que a
matemática é uma ciência auto-suficiente, pois através da sua História podemos
observar como foi construída a Matemática. Desta maneira a História da Matemática
poderia evidenciar a natureza da Matemática e sua herança cultural.
38
Ainda foi considerado, por Vianna, que a História da Matemática oferece um
plano de fundo para entender as tendências em Educação Matemática.
A História da Matemática foi considerada como instrumento de formalização
dos conceitos Matemáticos. Miguel (1998) acredita que as diferentes maneiras com
que os conceitos foram formalizados e estudados no decorrer da História deveria ser
apresentada aos alunos.
Peters afirma que é um ponto positivo apresentar as dúvidas e contradições
geradas no decorrer dos séculos aos alunos e Vianna afirma que a História da
Matemática suscita dúvidas e contradições sobre a existência da matemática.
Assim, o uso da História da Matemática é considerado como positivo por
levar os alunos a desenvolver um senso crítico e independente. Peters (2005) afirma
que o fato de muitos dados estarem incorretos em algumas fontes levaria, também,
o aluno a pensar criticamente.
Miguel (1993) apresentou o uso da História da Matemática como instrumento
unificador dos conceitos matemáticas e Vianna (1998) foi mais longe, ao considerar
que a História da Matemática poderia proporcionar o encontro da matemática com
outras áreas do conhecimento.
A História poderia ser utilizada como instrumento de conscientização
epistemológica, pois o professor poderia observar a dificuldade dos alunos a partir
da dificuldade encontrada pelos matemáticos na construção dos conceitos
matemáticos. Peters (2005) afirma que seria bom aproveitar a História para analisar
os problemas técnicos ou epistemológicos do saber matemático que provocam erro
nos alunos.
O uso da História da Matemática para resgatar a cultura e permitir a inclusão
social foi citado por Miguel (1993) e Miguel e Miorim (2008) ao mostrar o exemplo de
Gerdes.
Peters (2005) acredita que a História pode explicar o papel social da
Matemática, mostrando a sua contribuição para o desenvolvimento das sociedades.
Apesar de alguns autores considerarem que é necessário romper com a
história para desenvolver o conhecimento científico, Vianna (1998) traz a
possibilidade da História da Matemática contribuir para a compreensão do
conhecimento científico, pois é possível considerar que para entender a releitura que
se faz dos conceitos matemáticos é preciso compreender a sua história.
39
Miguel (1993) mencionou que considera melhor o uso da História da
Matemática para promover um aprendizado significativo. Concordando com ele,
Peters (2005) afirma que a História ajuda na compreensão pelo aluno dos conceitos
matemáticos e que podemos utilizá-la para fomentar a construção de conceitos pelo
educando.
A história da Matemática foi considerada como instrumento que auxilia no
esclarecimento dos conceitos e que pode ser uma fonte de resposta aos
questionamentos dos alunos. Nesse contexto é citado Jones e sua classificação
sobre os porquês. Para este autor a História responderia as três categorias de
perguntas expostas pelos alunos em sala de aula.
Vianna (1998) também abordou como justificativa para o uso da História da
Matemática o fato do aluno observar e aprender a ler e interpretar os textos
matemáticos.
Miguel e Miorim (2008) tomam como exemplo do livro de Antonio José Lopes
Bigode, Matemática Atual, 6° série, de 1994, que apresenta uma preocupação com a
introdução de elementos da História da Educação Matemática Brasileira ao trazer
um problema do livro O homem que calculava, de Malba Taham, e sugere sua
leitura.
Concluindo a história da Matemática poderia ser usada:
1.Para motivar os alunos;
2.Como fonte de objetivos;
3.Como fonte de métodos;
4.Como fonte de seleção de problemas;
5.Para desmistificar a Matemática;
6.Para compreender a natureza da matemática e nossa herança cultural;
7.Para entender as tendências da Educação Matemática;
8.Como instrumento de formalização dos conceitos matemáticos;
9.Suscitar dúvidas e contradições sobre a existência da matemática;
10.Para auxiliar na formação de um cidadão crítico;
11.Para unificar os conceitos da disciplina;
12.Para interagir com outras áreas do conhecimento;
13. Para conscientização epistemológica;
14.Para resgatar a cultura;
15.Para promover a inclusão social;
40
16.Para explicar o papel social da Matemática;
17.Para contribuir com a construção do conhecimento científico;
18.Promover o esclarecimento sobre os conceitos e responder nossas
dúvidas;
19.Promover um aprendizado significativo;
20.Incentivar a leitura e interpretação de textos matemáticos.
Contrapondo-se a essas razões temos as objeções levantadas. Dentre elas,
as principais foram:
1.É necessário romper com a história para desenvolver o pensamento
cientifico e quebrar a defasagem que existe entre a matemática das escolas e a
matemática da universidade;
2.Trechos são insignificantes e trazer recortes pode não ser contar a história;
3. A matemática do passado está morta estilisticamente;
4.Falta material;
5. O material existente é muitas vezes inadequado;
6.A história como assunto específico não é suficiente;
7.Falta de atividades divulgadas que utilizam a história da Matemática;
8.O tempo gasto é maior.
Entretanto, os autores afirmam que se a literatura é pouca ou inadequada isso
deve ser um incentivo para mais autores pesquisam sobre este assunto.
Além disso, é melhor gastar tempo e ter um estudo significativo do que só
passar conteúdos.
Vianna (2000) acredita que é preciso gastar tempo pesquisando a maneiras
práticas sobre o uso da História da Matemática e não procurando motivos para usá-
la ou não.
Peters (2005), Vianna (2000) e Santos (2012) realizaram ainda uma analise
dos livros do ensino fundamental.
Vianna (2000) e Santos (2012) se basearam nas seguintes categorias de
classificação:
* motivação são os textos que aparecem no início de um capítulo ou unidade
didática.
* informação engloba as notas históricas, pois não auxiliam e nem contribuem
para o desenvolvimento do capitulo.
41
* estratégia didática é aquele que sugere idéias para que o aluno possa
compreender o conteúdo
* imbricados no conteúdo são aqueles onde a história aparece de forma
implícita e ajuda na maneira de estruturar o conteúdo.
Os dois descobriram que a maioria dos livros traz a história como motivação
ou como informação. O que para eles é um erro.
Santos (2012, p.80) afirma que:
É lamentável que o material mais utilizado pela maioria dos professores, ainda não disponibilize, na maioria das vezes, muito espaço para aspectos e atividades históricas, sendo o livro didático a principal fonte de embasamento na elaboração das aulas.
Peters (2005) faz uma análise mais aprofundada, considerando as seguintes
questões:
1.Tipo e organização da informação histórica: Matemáticos ou evolução da
matemática
2. Materiais usados para apresentar as informações históricas: imagens de
matemáticos, equipamentos, textos originais ou de fontes secundárias e outros.
3. Contesto ao qual a informação histórica está relacionada: cientifico, político,
religioso, social ou tecnológico.
4.Qualidade do conteúdo histórico: papel do conteúdo no ensino e população
alvo.
5.Atividades de aprendizado que lidam com questões históricas: estudo das
atividades, nível das atividades, tipo de atividade.
6.Consistência interna do livro: homogêneo ou heterogêneo
7.Bibliografia sobre a História da Matemática: livros históricos ou livros de
Matemática com informações históricas.
Porém, os resultados obtidos também não são satisfatórios, pois apesar de
ser surpreendido com a quantidade, ele observou que a qualidade ainda não é
considerada apta.
Para ele, entretanto, o livro didático é um começo e depois o professor pode
pesquisar outras fontes.
Santos (2012) e Rosales (2011) desenvolveram atividades usando a História
da Matemática.
A primeira autora desenvolveu e aplicou as atividades, em seguida concluiu
que:
42
(...)Contudo, em determinadas situações é importante uma vinculação entre a História da Matemática e outros recursos que podem ser utilizados em sala de aula, como o uso de novas tecnologias, resolução de problemas, dentre outra, pois a união dos recursos podem possibilitar uma complementação na redução de possíveis lacunas no processo de aprendizagem. (SANTOS, 2012, p.80).
Esta afirmação está de acordo com o pensamento de Vianna (2000) que
aponta para o uso da História da Matemática junto com outros elementos.
Rosales (2012) desenvolveu trinta e duas atividades, das quais aplicou
somente uma. Ela concluiu que a História deve ser usada de forma contextualizada
e critica que ainda existe pouca construção de atividades que se embasam na
História da Matemática e afirma que se gasta muito tempo em pesquisa para
concluí-las.
5 ANÁLISE DOS LIVROS DA COLEÇÃO MATEMÁTICA: ENSINO
MÉDIO, DE SMOLLE E DINIZ (2010)
Após observar a análise dos livros didáticos do ensino fundamental feita por
Vianna (2000), Santos (2012) e Peters (2005), decidi realizar uma analise nos livros
didáticos do ensino médio a fim de constatar se os resultados serão semelhantes
aos que já foram obtidos por eles ou se haverá controvérsias.
Para realizar esta analise seguirei a classificação de Vianna (2000) por
considerá-la mais precisa, já que considera a localização do texto.
Optei por analisar a coleção Matemática: Ensino Médio de SMOLE, Kátia
Cristina Stocco e DINIZ, Maria Ignez de Souza usada no colégio técnico industrial de
Santa Maria (CTISM), por ser atual e estar sendo utilizado no momento em que fiz a
pesquisa. Além disso, foi um livro que me auxiliou durante o estágio no ensino
médio.
Cada volume desta coleção é dividido em partes que se subdividem em
unidades. Cada unidade possui algumas seções que buscam trabalhar áreas e
aspectos diferentes dentro do mesmo conteúdo.
A seção “Ler para resolver” e os textos das unidades foram criados com o
objetivo de ensinar os alunos a ler melhor os textos matemáticos.
Existem os exercícios resolvidos que são exemplos que trazem dicas de
como resolver os exercícios propostos na unidade e a seção “Recordar e jogar”
busca melhorar a compreensão do aluno sobre o conteúdo apresentado.
A seção ”Para ler” traz sugestões de livros de história e crônicas para
incentivar o aluno a ler sobre a matemática e ler textos que não fazem parte do livro
didático.
A seção “No computador” ou “Na calculadora” trabalha os conceitos
matemáticos usando tecnologias.
Os alunos são desafiados a resolver e construir problemas, a identificar um
problema e investigar soluções para ele nas seções “Invente você” e “Projetos”,
respectivamente.
Este livro ainda traz as seções “Calculo rápido” e “Palavra chave” que
incentivam o cálculo mental e a escrever sobre matemática.
44
A seção “Conexões” busca relacionar a matemática com diferentes áreas do
conhecimento, trazendo questões interessantes e sociais.
“Para saber” mais é uma seção construída para trazer um complemento para
o conteúdo e algumas curiosidades.
O Volume 1 é o livro utilizado pelo primeiro ano e trata sobre números,
estatística, funções e trigonometria.
O primeiro recorte histórico encontra-se na primeira unidade, onde se aborda
o conceito de número. Ele é classificado como motivação, pois aparece no inicio do
capitulo e conta sobre os diferentes sistemas de numeração.
Ao abordar o conceito de Números Irracionais é mencionado o fato da
descoberta destes números estarem relacionada à utilização do teorema de
Pitágoras e mostra como é calculada a diagonal de um quadrado de lado um.
Na seção “Para Saber Mais” conta-se sobre o surgimento do número de ouro
e mostram-se algumas curiosidades. Em outra página, porém dentro da mesma
seção, é apresentado o diagrama de Euler-Venn e um pouco de sua história. Esta
apresentação auxiliará a resolução dos exercícios propostos.
A unidade dois aborda os assuntos da estatística e não possui nenhum dado
histórico.
Na unidade três é abordado os temas referentes a funções e ao tratar sobre
plano cartesiano é trazido como motivação um texto sobre a origem deste.
Dentro da segunda parte, na unidade cinco, apresenta-se o método de
completar quadrados e a partir deste encontra-se a fórmula de Baskara. Para
complementar, é sugerido que os alunos pesquisem sobre o matemático hindu que
deduziu essa fórmula. Este recorte foi classificado como Estratégia didática.
Na unidade seis é visualizada uma informação sobre a seqüência de
Fibonacci.
Antes de iniciar o conteúdo sobre Soma dos Termos de uma Progressão
Aritmética, é relatada a história do matemático alemão Carl Friendrich Gauss como
motivação.
O conceito de logaritmo é mostrado na seção oito e conta a história da sua
origem como uma informação na seção “Para Saber Mais”.
Ao falar sobre Trigonometria do Triangulo Retângulo é apresentada, para
motivação, um texto sobre as grandes navegações do século XV.
45
Como informação é evidenciada a origem da palavra trigonometria, as termas
Pitagóricas, a história de Talles de Milleto e os objetos utilizados para medir ângulos.
A última unidade, fala sobre as relações trigonométricas de um triangulo
qualquer e não apresenta trechos históricos.
Neste volume a seção Para Ler apareceu nove vezes trazendo sugestões de
livros e vídeos.
O segundo ano do Ensino Médio estuda o Volume 2 desta coleção. Este livro
aborda os assuntos referentes à trigonometria, estatística, contagem, probabilidade,
geometria espacial e álgebra.
A Unidade 1 traz o estudo sobre arcos de circunferência e circulo
trigonométrico. No inicio, para motivar, é mencionada a história da Astronomia e da
trigonometria e, no final da unidade, é mencionada algumas informações sobre a
história do pendulo de Focault.
Na parte de estatística é solicitado na seção projetos que os alunos
pesquisem sobre a história da probabilidade e menciona-se o nome do algebrista
Michael Stifel.
A terceira parte estuda a geometria e inicia com um texto sobre a origem
deste nome e do seu estudo.
1’Como informação é trazida à história de Euclides, citam-se os nomes de
alguns matemáticos no decorrer do texto e fala-se sobre a história de outras
geometrias.
São trabalhadas as construções com régua e compasso e alguns problemas
antigos sem ser mencionada a história.
Ao introduzir o conteúdo sobre a área da superfície de uma esfera conta-se a
maneira que Arquimedes deduziu a fórmula.
No final da parte quatro é apresentado na seção conexões um texto sobre o
desenvolvimento do conhecimento matemático.
A história de Tales, de Carl Friedrich Gauss é contada na Unidade 13 e, em
seguida, é exposto a resolução de sistemas por escalonamento.
Nesse livro, podemos encontrar dezesseis sugestões de livros e vídeos para
os alunos aprofundarem seus estudos.
O terceiro volume é estudado no terceiro ano e abordam conteúdos sobre
matemática financeira, geometria analítica, estatística, trigonometria e álgebra.
46
O livro começa com os conteúdos de matemática financeira e o primeiro
recorte histórico é uma informação sobre a história da cobrança de juros.
Na seqüência, é proposto o estuda da geometria analítica que traz um texto
de motivação sobre o discurso do método feito por Descartes.
Na parte três, estuda-se a estatística e traz como informação a história da
família Bernoulli.
A quarta parte do livro aborda os conceitos de trigonometria, e informa em
seu texto a história das funções trigonométricas e a etimologia dos nomes de cada
função.
A última parte do livro trata de questões referentes a álgebra e ao estudar os
números imaginários traz a sua história para motivar os alunos.
Em uma nota informativa conta-se sobre a história de Caucle que divulgou a
representação dos números imaginários no plano cartesiano.
Como último recorte, é trazida a informação da história da exaustão.
Nesse volume são sugeridas onze leituras e vídeos para os alunos.
5.1 Resultados referente a análise dos livros
Após realizar a análise desta coleção, baseada na classificação de Vianna
(2000), foi possível observar que nos livros do Ensino Médio ocorre a maior
incidência de recortes classificados como informação e como motivação.
Nos três volumes encontrou-se um total de trinta textos históricos dos quais
oito foram classificados como motivação, dezessete como informação, quatro como
estratégia didática e um como imbricado no conteúdo.
Sendo assim 83,3% dos recortes históricos desses livros são classificados
como motivação ou informação. Atingindo resultados semelhantes a Santos (2012) e
Vianna (2000).
As figuras abaixo foram retiradas da coleção em questão. A primeira foi
classificada como motivação, pois encontrava-se no início da unidade. A segunda
classificou-se como informação, pois estava no interior da unidade e não estabelecia
uma relação com o texto.
47
(Matemática: Ensino Médio, vol.1, STOCCO e DINIZ, 2010, p.234)
(Matemática: Ensino Médio, vol.2, STOCCO e DINIZ, 2010, p.190)
48
Além disso, conforme ocorre um avanço nas séries, os livros começam a
diminuir a exposição de textos históricos. No livro utilizado no primeiro ano
encontramos treze textos históricos, no segundo volume foram dez e sete no terceiro
volume.
Outro fato importante sobre estes livros são as sugestões para a leitura de
outros livros de matemática que não são classificados como didáticos que, baseado
no exemplo apontado por Miguel e Miorim (2008), seria uma introdução a história da
educação matemática.
Estas sugestões, se usadas pelo professor permitirão que os alunos ampliem
seus conhecimentos com relação à Matemática e auxiliam a ação do professor em
sala de aula.
Observou-se também que na apresentação do livro a História da Matemática
não foi menciona.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao iniciar este trabalho acreditava que a História da Matemática deveria ser
utilizada pelo professor em sala de aula, pois poderia motivar os alunos e explicar
porque os conceitos foram criados. Entretanto, descobri que além destas funções a
História pode ter outras, sendo a motivação considerada como inapropriada.
Compreendi que o uso da História da Matemática não é uma formula mágica
para melhorar o ensino, mas é sim um recurso didático que se utilizado da maneira
adequada pelo professor pode contribuir para melhorar a aprendizagem.
Como todo recurso didático, a história pode agradar a uns alunos e
desagradar outros, pois cada pessoa tem aptidões, gostos diferentes e são
motivadas, incentivadas e se desenvolvem de forma diferente.
Sobre tudo, não basta contar um trecho da história para relaxar, é preciso ter
uma finalidade, um motivo melhor para usá-la. A História da Matemática não deve
ser utilizada simplesmente para preencher a aula ou para descontrair.
Infelizmente, a análise dos livros do Ensino Médio apresentou resultados
semelhantes aos obtidos pelos demais autores, Vianna (2000) e Santos (2012).
Entretanto, gostaria de destacar que, em outros livros que foram observados, muitos
não traziam textos históricos. Isso torna ainda mais difícil o uso da História da
Matemática como recurso didático ao ensino da Matemática.
Porém, acredito que o professor pode usar o pouco material que existe de
maneira adequada, e assim eles contribuíram para o desenvolvimento dos alunos. O
professor, como afirmou Peters (2005), pode começar utilizando o conteúdo dos
livros e depois realizar outras pesquisas.
Além disso, este autor trouxe a opinião de Mathews que acredita que a
situação dos alunos define o quão complexa ou simplificada a história deverá ser
apresentada. Sendo assim cabe ao professor escolher a maneira e o tempo de usá-
la.
Por ser o mediador na sala de aula, o professor pode conduzir o aluno e
auxiliá-lo sobre o que pesquisar. Pode trazer questões para serem discutidas em
sala de acordo com o interesse dos alunos.
50
Concluindo, esse campo da Educação Matemática ainda tem muito a ser
explorado e pesquisas podem ser feitas sobre as atividades que usam a História da
Matemática, pois são poucas as obras publicadas sobre o assunto.
A influência da História da Matemática na formação do professor de
matemática e suas conseqüências no ensino, a construção de livros e suportes
adequados para o uso da história em sala de aula são alguns exemplos de
pesquisas que poderão ser feitas nessa área de inquérito.
REFERÊNCIAS
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52
MAESTRO, Franco Lorenzoni.Emma Castelnuovo(1913-2014).Disponível em: <http://moked.it/blog/2014/04/17/emma-castelnuovo-1913-2014/#sthash.mvPIqPBk.dpuf> Acesso em 14 nov. 2014. MIGUEL, Antonio. Três estudos sobre história e educação matemática. Tese de Doutorado, Faculdade de Educação, UNICAMP, 1993 . MIGUEL, Antonio e MIORIM, Maria Ângela. História na Educação Matemática: Propostas e desafios. 1ed., Belo Horizonte: Autêntica, 2008. Morris Kleine. Disponível em: : <http://en.wikipedia.org/wiki/Morris_Kline> Acesso em 14 nov. 2014 PEREIRA, Luiz Henrique Ferraz. Teorema de Pitágoras: lembranças e desencontros na matemática. Passo Fundo : UFP, 2002. PETERS, José Roberto. A História da Matemática no Ensino fundamental: Uma análise de livros didáticos e artigos sobre história. Dissertação de mestrado, Universidade Federal de Santa Catarina, UFCS, 2005. ROSALES, Olga Regina Silva. História da Matemática em atividades didáticas: Uma proposta de trabalho para o sexto ano do Ensino Fundamental. Monografia de especialização, Centro de Ciências Naturais e Exatas, UFSM, 2011. SANTOS, Thanise Azzolin dos. Sobre a utilização da História da Matemática em atividades Didáticas para o nono ano de Ensino Fundamental. Monografia de especialização, Centro de Ciências Naturais e Exatas,UFSM, 2012. SÉRGIO,Paulo. FELIX KLEIN. Disponível em: <http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2013/04/felix-klein.html> Acesso em 14 nov. 2014. SILVA, Ana Paula da. Jules Henri Poincaré: Matemático, físico e filósofo. Disponível em: <http://www.ghtc.usp.br/Biografias/Poincare/Poincare3.html> Acesso em 14 nov. 2014. SMOLE, Kátia Cristina Stocco e DINIZ, Maria Ignez de Souza.Matemática:Ensino Médio:volume 1. 6 ed. São Paulo:Saraiva, 2010.
53
SMOLE, Kátia Cristina Stocco e DINIZ, Maria Ignez de Souza.Matemática:Ensino Médio:volume 2. 6 ed. São Paulo:Saraiva, 2010. SMOLE, Kátia Cristina Stocco e DINIZ, Maria Ignez de Souza.Matemática:Ensino Médio:volume 3. 6 ed. São Paulo:Saraiva, 2010. VIANNA,C.R. História da matemática na educação matemática.In: Anais VI Encontro Paranaense de Educação Matemática.Londrina:Editora da UEL,2000,pp. 15-19 VIANNA,C.R. Usos Didáticas Para a História da Matemática.In: Anais I Seminário Nacional de História da Matemática.Recife-PE: Editora Fernando Raul Neto,1998.pp.65-79.
ANEXOS
56
ANEXO A – ALEX CLAUDE CLAIRAUTE
Alex Claude Clairaute nasceu no dia 7 de maio de 1713 em
Paris. Filho do professor de matemático João Baptist Clairaute.
Clauraite é considerado um dos matemáticos mais precoces,
pois aprendeu a ler com o livro “OS ELEMENTOS” de Euclides.
Desde então, continuou lendo e estudando cálculo. Aos treze
anos publicou seu primeiro trabalho matemático, aos dezoito
anos redigiu um tratado de matemática que foi considerado o
ponto inicial do estudo da geometria analítica no espaço.
Através de uma licença, em 1731, se tornou membro da Academia de Ciências
(Académie des Sciences) .
Clairaut ainda contribuiu para determinar o comprimento do meridiano,
ensinou como calcular o raio da terra. Estudou os movimentos lunares, as equações
diferenciais e calculo diferencial.
Dois de seus livros foram muito usados na França no Ensino da Matemática,
os quais são Elements d’algébre em 1749 e Elements de géometrie em 1765.
Foi eleito membro das academias: Royal Society of London, Academia de
Berlin, Academia de St. Petersburgo e Academia de Bologna.
E no dia 17 de maio de 1765, ele morreu na cidade de Paris aos 52 anos.
(Alex Claude Clairaute. Disponível em: http:/www.somatematica.com.br/biograf/clairaut.php)
57
ANEXO B - EMMA CASTELNUOVO
Emma Castelnuovo nasceu dia 12 de dezembro de 1913,
filha de Filha de Guido Castelnuovo e Enriques Elbina, era
conhecida como Emmatemática.
Ela se formou em Matemática-licenciatura no ano de 1936
no Instituto Matemático da Universidade de Roma.
Lecionou em uma escola judaica de 1939-1943.
Em 1943 a família Castelnuovo escapa das perseguições nazistas refugiando-
se na casa de amigos,hospitais e instituições religiosas.
Através de suas idéias, Castelnuovo, motivava seus colegas a reformular os
programas e métodos de ensino da Matemática, principalmente da Geometria
Euclidiana.
Ela entendia a escola como um lugar cheio de formação dos futuros cidadãos.
Renovou o ensino da geometria construindo um método que possibilitasse entender
e amar geometria.
A Comissão Internacional de Instrução Matemática estabeleceu o prêmio
“Emma Castelnuovo” em reconhecimentos aos seus estudos e práticas importantes
da Educação Matemática.
Entre suas obras publicadas temos: Geometria intuitiva em1948, Didática da l
Matemática Moderna em 1963, De viajem com a Matemática: imaginação e
raciocínio matemático em 1993, entre outros.
Emma Castelnuovo morreu no dia 14 abril 2014. (MAESTRO, 2014)
58
ANEXO C – FELIX KLEIN
Felix Klein nasceu no dia 25 de abril de 1849 na cidade de
Dusseldorf na Alemanha. Ele era filho de Elise Sophie Kayser e
Caspar Klein.
Estudou em sua cidade até 1865 e depois, foi estudar
matemática e física na Universidade de Bonn.
Em Paris no ano de 1970, conhece Sophus Lie e estuda a teria
dos grupos.
Ele foi professor em gottingen, comandou a revista Annalen Mathematische e
se aposentou em 1913 com problemas de saúde.
Mesmo assim, Felix Klein continuou ensinando em sua casa.
No ano 1908 criou a Comissão Internacional de Instrução Matemática e de
1908-1920 pesquisou a evolução da Educação Matemática em diversos países do
mundo.
Ele morreu dia 25 de junho de 1925, mas desde 2003 a Comissão
Internacional de Instrução Matemática (ICMI) galardoa o pesquisador que possui
uma grande realização em toda a sua vida com a medalha Felix Klein. (SÉGIO,
2014)
59
ANEXO D - HENRI POINCARÉ
Jules Henri Poincaré nasceu em Nancy na França, no dia 29 de
abril de 1854.
Estudou no Liceu de Nancy e, ao participar e vencer um concurso
entre todos os Liceus da França, demonstrou ter habilidade em
matemática.
Entre 1873 e 1875 estudou na Escola Politécnica e em 1875 iniciou
seus estudos na Escola Superior de Minas.
Fez doutorado em 1879 com uma tese sobre equações diferenciais.
Poincaré se tornou professor da Universidade de Paris em 1881, ministrando
as aulas de física matemática e permaneceu até 17 de julho de 1912, dia em que
faleceu.
A obra deste matemático foi muito importante para o desenvolvimento desta
ciência no século XIX. Ele estudou sobre teoria das funções, teoria dos números,
equações diferenciais, geometria não-euclidiana, entre outros.
Ele desenvolveu muitos trabalhos, entre eles,os três volumes de Os novos
métodos da mecânica celeste publicados entre 1892 e 1899, Lições de mecânica
celeste,(1905),como Ciência e hipótese (1902),O valor da ciência (1904) e Ciência e
método(1908). (SILVA, 2014)
60
ANEXO E – MORRIS KLEINE
Morris Kline nasceu no dia 01 de maio de 1908, cresceu e se
formou na escola do Brooklyn, estudou matemática- bacharelado
na Universidade de Nova York em 1930, um mestrado em 1932 e
doutorado em 1936. Ele continuou na NYU como instrutor até
1942.
Ele foi um professor de Matemática, um escritor sobre a história,
filosofia e ensino de matemática, e também um divulgador de temas matemáticos.
Durante a Segunda Guerra Mundial, Kline foi enviada para o Exército dos
Estados Unidos de New Jersey e trabalhou no laboratório de engenharia onde o
radar foi desenvolvido, depois da guerra investigou o eletromagnetismo e foi diretor
da divisão de pesquisa eletromagnética no Instituto Courant de Ciências
Matemáticas.
Kline nos anos 1952-1975 foi professor de matemática na Universidade de
Nova York. Ele falava constantemente sobre a necessidade de ensinar as
aplicações e utilidade da matemática. Foi protagonista na reforma curricular em
educação matemática que ocorreu na segunda metade do século XX.
Kline criticava a educação matemática e escreveu muitos artigos, entre eles:
em 1956 no principal jornal do Conselho Nacional de Professores de Matemática
intitulado "textos matemáticos e professores: uma tirada", "Os intelectuais e as
escolas: a história de caso" (1966), "A lógica contra a pedagogia"(1970).
Em 1977 Kline virou-se para o ensino universitário de graduação; ele assumiu
a criação matemática acadêmica com a sua obra: Porque o professor não pode
ensinar: o dilema da educação universitária.
Morris Kleine faleceu no dia 10 de junho de 1992. ( MORRIS KLEINE.
Disponível em: http:/em.wikipedia.org/wiki/Morris Kleine)
61
ANEXO F – FRANK J. SWETZ
Frank J. Swetz foi graduado na Teachers College da Universidade de
Columbia, Nova York e trabalhou como professor durante vinte oito
anos na Universidade Estadual da Pensilvânia.
Ele tem viajado dando como palestras por todo mundo e realizou uma
pesquisa sobre o desenvolvimento histórico da educação matemática.
Atualmente serve como editor dos Tesouros da matemática para a
Associação Matemática da América e para a revista Convergência. (Frank Swetz.
Disponível em: http://math.hbg.psu.edu/~fjs2/)
62
ANEXO G – ZUÑIGA
Angel Ruiz nasceu é San José, Costa Rica.
Estudou sobre: educação matemática, história e filosofia da
matemática, filosofia política e desenvolvimento social, sociologia
e história da ciência e tecnologia, questões de ensino superior, e
as questões de paz mundial e progresso humano.
É Autor de numerosos livros e artigos acadêmicos, palestrante internacional,
organizador científico de eventos nacionais e internacionais, consultor e assessor
em assuntos cientistas políticos, acadêmicos, universitários.
É diretor do Centro de Pesquisa e Formação em Educação Matemática desde
a sua criação em 2010 e participa do Projeto: Reforma da Educação Matemática, na
Costa Rica. (Angél Ruiz. Disponível em:
http:/www.centroedumatematica.com/wordpress)
63
ANEXO H – PAULUS PIERRE JOSEPH GERDES
Paulus Pierre Joseph Gerdes nasceu no dia onze de
novembro de 1952, foi autor de diversos livros sobre
geometria, cultura e história da matemática.
Ele recebeu muitos prêmios e ocupou funções
pedagógicas em universidades moçambicanas e esteve
ligado a instituições acadêmicas moçambicanas, entre elas desempenhou o cargo
de diretor da Faculdade de Educação de 1983 a 1987. Depois disto, foi diretor da
Faculdade de Matemática até 1989. Em 1989 foi Reitor da Universidade Pedagógica
até 1996.
Em 2006 foi eleito presidente da Comissão da Universidade Lúrio que
localiza-se em Nampula.
Desde 1986, ele foi presidente da Comissão Internacional para a História da
Matemática na África e no período de 2000 a 2004 foi presidente da Associação
Internacional para Ciência e Diversidade cultural.
Também em 2000 assumiu o cargo de presidente do Grupo Internacional de
Estudo da Etnomatemática e em 2005 foi eleito vice-presidente da Academia
Africana de Ciências.
Sendo assim, fica evidente que Gerdes atuou diretamente na Educação
Matemática.
Ele ainda se preocupa em transformar o estudo feito em Moçambique em
uma agenda de pesquisa nacional e continental africana que resultara numa
parceria com a comunidade internacional. Estabelecendo, junto com Ubiratan
d’Ambrosio, as bases de Etnomatemática como campo de ação e pesquisa
educativa.
Gerdes faleceu no dia dez de novembro de 2014.( COLONESE, 2014)
64
ANEXO I – ANDRÉ LICHNEROWICZ
André Lichnerowicz nasceu no dia vinte um de janeiro de
1915 na frança e estudou geometria diferencial e física
matemática.
Participou da École Normale Supérieure, em Paris.
Foi professor da Universidade de Estrasburgo e de 1949-
1952 ensinou na Universidade de Paris.
Em 1952 ele foi nomeado para o Collège de France, onde trabalhou até sua
aposentadoria em 1986.
Também foi nomeado membro da Académie des Sciences em 1963.
Em 1967, o governo francês criou a Comissão Lichnerowicz composta por 18
professores de matemática que estabeleceu reformas que foram chamados uma
nova matemática e têm sido repetidos internacionalmente.
O Prêmio André Lichnerowicz em geometria de Poisson foi criado em 2008
para homenagear contribuições notáveis para geometria de Poisson na "Conferência
Internacional sobre Geometria Poisson em Matemática e Física”.
Faleceu no dia onze de dezembro de 1998. (André Lichnerowicz. Disponível
em: http://pt.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9_Lichnerowicz)
65
ANEXO J – EDWIN EVARISTE MOISE
Edwin Evariste Moise nasceu no dia 22 de dezembro de 1918 em Nova
Orleans, Lousiana. Ele foi um matemático americano e um educador reformador.
Formou-se na Universidade de Tulane, em 1940 e em 1958 juntou-se ao
Grupo de Estudos de Matemática Escolar como um membro da equipe de roteiristas
geometria.
Trabalhou como criptoanalista e tradutor japonês para o Gabinete do Chefe
de Operações Navais durante a Segunda Guerra Mundial. Foi professor da
Universidade de Michigan de 1947 a 1960 e na Universidade de Harvard de 1960 a
1971.
Ele também foi presidente da Associação Matemática da América, vice-
presidente da American Mathematical Society, membro da Academia Americana de
Artes e Ciências, e estava no Comitê Executivo da Comissão Internacional de
Instrução Matemática.
Durante 1949-1951, ele realizou um encontro no Instituto de Estudos
Avançados, durante o qual ele provou o teorema de Moise.
Após se aposentar do Queens College, em 1987, iniciou outra carreira
estudando poesia do século 19.
Moise morreu em Nova York em 18 de dezembro de 1998, com idade entre
79 anos.
(Edwin Evariste Moise. Disponível em: http://en.wikipedia.org/wiki/Edwin_E._Moise)
66
ANEXO K – HERMANN HANKEL
Hermann Hankel nasceu no dia 14 de fevereiro de 1839, em Halle na
Alemaha.
Estudou e trabalhou com Möbius, Riemann e Weierstrass Kronecker.
Fez uma exposição em 1867 sobre números complexos e quaternions que é
memorável.
Por exemplo, Fischbein observa que ele resolveu o problema dos produtos
de números negativos.
Hankel chama a atenção para a álgebra linear que Hermann Grassmann
tinha desenvolvido na sua Teoria de extensão em duas publicações.
Ele morreu em Schramberg na Alemanha no dia 29 de agosto de 1873.
(Hermann Hankel. Disponível em :http://pt.wikipedia.org/wiki/Hermann_Hankel)
67
ANEXO L - IVOR GRATTAN-GUINNESS
Ivor Grattan-Guinness nasceu em 23 de junho de 1941 na
cidade de Bakewell na Inglaterra. Ele foi um historiador da
matemática e da lógica.
Ganhou seu diploma de bacharel em Matemática no Wadham
College em Oxford,
Ele é professor de História da Matemática e Lógica na
Universidade de Middlesex, e um pesquisador visitante na Escola de Economia em
London.
Grattan-Guinnes ganhou a Medalha Kenneth O. May pela Comissão
Internacional para a História da Matemática (ICHM) em 31 de julho de 2009 na
cidade de Budapeste.
Em 2010, foi eleito Membro Honorário da Bertrand Russell Society.
Passou grande parte de sua carreira na Universidade de Middlesex e tem sido
um membro do Instituto de Estudos Avançados de Princeton em New Jersey.
Também é membro da Académie Internationale d'Histoire des Sciences.
( Ivor Grattan-guiness. Disponível em http://en.wikipeia.org/wiki/ Ivor Grattan-
Guiness)
