matemÁtica e ilusÃo de Óptica: construÇÕes com o...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS
CURSO DE GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA - LICENCIATURA
MATEMÁTICA E ILUSÃO DE ÓPTICA:
CONSTRUÇÕES COM O GEOGEBRA
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
Marlei Tais Dickel
Santa Maria, RS, Brasil
2015
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Marlei Tais Marlei Tais Dickel
MATEMÁTICA E ILUSÃO DE ÓPTICA: CONSTRUÇÕES COM O GEOGEBRA
Dickel
Trabalho de Conclusão de curso apresentado ao
Curso de Graduação em Matemática -
Licenciatura, da Universidade Federal de Santa
Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para
obtenção do grau de Licenciada em Matemática.
Orientadora: Profª Drª Inês Farias Ferreira
Santa Maria, RS, Brasil
2015
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Marlei Tais Dickel
MATEMÁTICA E ILUSÃO DE ÓPTICA: CONSTRUÇÕES COM O GEOGEBRA
Trabalho de Conclusão de curso apresentado ao
Curso de Graduação em Matemática -
Licenciatura, da Universidade Federal de Santa
Maria (UFSM, RS), como requisito parcial para
obtenção do grau de Licenciada em Matemática.
Aprovada em 02 de dezembro de 2015:
Inês Farias Ferreira, Drª (UFSM)
(Presidente/Orientadora)
Leandra Anversa Fioreze, Drª (UFRGS)
Rita de Cássia Pistóia Mariani, Drª (UFSM)
Sandra Eliza Vielmo, Drª (UFSM)
Santa Maria, 02 de dezembro de 2015.
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AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por ter me concedido a oportunidade de realizar o Curso, me amparado
espiritualmente, me guiando nos momentos de dúvidas e incertezas.
A minha família pelo apoio e incentivo durante o curso.
À minha orientadora, professora Inês Farias Ferreira, pela dedicação e contribuição com
seus conhecimentos e sugestões. Também, por me transmitir segurança e apontar caminhos nos
momentos de incertezas e tomadas de decisões. Obrigada por tudo!
Aos professores do Curso de Graduação em Matemática – Licenciatura - UFSM, que
contribuíram direta ou indiretamente com o desenvolvimento desta pesquisa.
Aos professores da banca examinadora que aceitaram o convite e colaboraram com
sugestões acerca da pesquisa.
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RESUMO
MATEMÁTICA E ILUSÃO DE ÓPTICA: CONSTRUÇÕES COM O
GEOGEBRA
AUTORA: MARLEI TAIS DICKEL
ORIENTADORA: PROFª DRª INÊS FARIAS FERREIRA
Este trabalho está embasado em uma pesquisa aplicada e tem como proposta realizar uma
abordagem que alia matemática e arte através do uso de um recurso computacional, no caso, o software
GeoGebra. O contexto da arte escolhido foi obras de arte inseridas na op art e de imagens que abordam
a ilusão de óptica. A partir da escolha de obras de arte e de imagens de ilusão de óptica foram elaboradas
réplicas no software. Inicialmente, para cada uma, realizou-se uma análise preliminar que possibilitou
serem identificados alguns conteúdos matemáticos que poderiam ser explorados a partir da análise visual
das mesmas. No entanto, ao se fazer uso do GeoGebra para a elaboração das réplicas, diversos conteúdos
e possibilidades de análise emergiram. As réplicas elaboradas foram constituídas fazendo-se uso do
caráter dinâmico, manipulável que o recurso tecnológico possibilita. Através deste trabalho de pesquisa
foi possível relacionar diferentes conteúdos matemáticos, tanto do Ensino Fundamental como do Médio
através do tema escolhido. Sendo que, o uso do software de matemática dinâmica permitiu a articulação
entre diversos conteúdos que, sem o seu uso, não seriam contemplados. Experiências desse tipo
contribuem no desenvolvimento profissional do futuro professor, pois possibilitam ampliar em sua
formação aspectos relacionados ao uso de ferramentas tecnológicas em sua prática docente.
Palavras-chave: Matemática. Arte. Ilusão de óptica. Recursos Tecnológicos. GeoGebra.
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ABSTRACT
MATHEMATICS AND OPTICAL ILLUSION OF: BUILDINGS WITH
GEOGEBRA
AUTHOR: MARLEI TAIS DICKEL
ADVISER: PROFª DRª INÊS FARIAS FERREIRA
This work is grounded into an applied research and it aims conducting an approach that
combines mathematics and art using a computational resource, in this case, GeoGebra software.
The context of art chosen was artworks inserted in op art and images that address the optical
illusion. From the choice of art and optical illusion pictures works, replicas were prepared in
the software. Initially, for each one, it was carried out a preliminary analysis where became
possible to identify some mathematical contents that could be explored from the visual analysis
of them. However, to make use of GeoGebra for the preparation of replicas, various contents
and analysis possibilities emerged. The elaborate replicas were set up making use of the
dynamic, manageable character that the technological resource allows. Through this research
work, it was possible to relate different mathematical content, from Elementary to Middle
School through the chosen theme. In addition, the use of dynamic mathematics software
allowed the articulation between various contents that without its use it would not be covered.
Such experiences contribute in the professional development of future teachers, because they
expand their training in aspects related to the use of technological tools in their teaching
practice.
Keywords: Mathematics. Art. Optical Illusion. Technological Resources. GeoGebra.
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Obras de arte: (a) "Zebra", 1938; (b) “Britannia”, 1961. .......................................... 14
Figura 2: Obras de arte: (a) "Concreção 9678”, 1997; (b) “G173”, 1974. ............................... 14
Figura 3: Imagens de ilusão de óptica: (a) A moça e a velha; (b) Completamento visual do
cubo. ......................................................................................................................................... 15
Figura 4: Tela inicial do software GeoGebra. .......................................................................... 19
Figura 5: Imagens: (a) obra de arte de Lothar Charoux, 1971; (b), ilusão de óptica envolvendo
retas. .......................................................................................................................................... 20
Figura 6: Imagens de obra de arte: (a) Artista brasileiro Rubem Valentin, 1952; (b) do artista
holandês Piet Mondrian, 1913 e de uma tapeçaria do Azerbaijão, séc. XIX. .......................... 21
Figura 7: Imagens de obra de arte: Paul Klee, 1934 e da brasileira Tarsila do Amaral, 1924. 21
Figura 8: Imagem de ilusão de óptica de Ebbinghaus. ............................................................. 23
Figura 11: Identificação de circunferências concêntricas e também de circunferências
tangentes entre si. ..................................................................................................................... 27
Figura 12: Primeira verificação do questionamento inicial da ilusão de óptica. ...................... 28
Figura 13: Segunda verificação do questionamento inicial da ilusão de óptica. ...................... 28
Figura 14: Sequência de circunferências construídas ao redor da circunferência. ................... 30
Figura 15: Obra de arte de Luiz Sacilotto, “Concreção 9216”, 1992. ...................................... 31
Figura 16: Réplica da obra “Concreção 9216”. ........................................................................ 33
Figura 17: Fachada de um café em Bristol, Inglaterra. ............................................................ 35
Figura 18: Imagem de Ilusão de óptica, denominada “Cafe wall”. .......................................... 35
Figura 19: Retas paralelas e perpendiculares. .......................................................................... 38
Figura 20: Sequências de quadrados. ....................................................................................... 38
Figura 21: Observação na construção: (a) com deslocamento igual 0 ou 1; (b) com
deslocamento igual a 0,5. ......................................................................................................... 39
Figura 22: Obra de arte de Victor Vasarely, “Vonal Stri”, 1975.............................................. 41
Figura 24: Funções aproximadas modeladas através do GeoGebra. ........................................ 44
Figura 25: Sequência de pontos definidos sobre as funções modeladas. ................................. 45
Figura 26: Réplica da obra de arte “Vonal Stri”. ...................................................................... 45
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SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................... 9
2. OBJETIVOS .................................................................................................. 11
Objetivo Geral ..................................................................................................................... 11
Objetivos Específicos .......................................................................................................... 11
3. REFERENCIAL TEÓRICO ........................................................................ 12
3.1 Educação Matemática e a Arte .................................................................................... 12
3.2 Arte Óptica (Op Art) ..................................................................................................... 13
3.3 Ilusão de óptica .............................................................................................................. 15
3.3.1 Percepção ............................................................................................................................................. 16
3.4 Recursos Computacionais na Educação Matemática ................................................ 17
3.4.1 Software GeoGebra como uma Ferramenta Didática ........................................................................... 18
4. METODOLOGIA ......................................................................................... 20
4.1 Descrição da construção das imagens de ilusão de óptica e obras de arte .............. 22
4.1.1 Imagem de ilusão de óptica: Ilusão de Ebbinghaus ............................................................................. 22 4.1.2 Obra de arte de Luiz Sacilotto: “Concreção 9216” .............................................................................. 30 4.1.2 Imagem de ilusão de óptica: Cafe Wall ............................................................................................... 34 4.1.3 Obra de arte de Victor Vasarely: “Vonal Stri” .................................................................................... 40
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................... 47
REFERÊNCIAS ................................................................................................ 48
APÊNDICE: Protocolo de construção no GeoGebra dos principais arquivos
das réplicas ......................................................................................................... 51
1 – “Ilusão de Ebbinghaus” .......................................................................................................................... 51 2 – “Concreção 9216” ................................................................................................................................... 52 3 – “Cafe Wall” ............................................................................................................................................ 54 4 – “Vonal Stri” ............................................................................................................................................ 55
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1. INTRODUÇÃO
No decorrer da história, a matemática sempre caminhou ao lado da arte, estando
relacionadas pela criatividade, beleza e o dinamismo. Essa união se apresenta de tal forma que,
muitas vezes, estão implícitos conceitos matemáticos nas experiências artísticas, ou vice e
versa. Por exemplo, na arquitetura, isso pode ser observado em monumentos como o museu do
Louvre (Paris-França), o palácio de Alhambra (Granada – Espanha), onde formas geométricas
no plano e no espaço são identificadas naturalmente. Sendo que, para construí-las foram
necessários além da geometria, conhecimentos da álgebra, do cálculo diferencial e integral,
entre outros. Da mesma forma, em obras de arte, nos mais variados estilos e tipos como,
esculturas, pinturas em telas, grafismos podem ser explorados diversos conceitos e
procedimentos matemáticos.
Por outro lado, a Educação Matemática vem passando por profundas transformações,
nas quais os professores devem estar preparados para propor e desenvolver novas práticas de
ensino e aprendizagem em sala de aula (FAINGUELERNT, K; NUNES, K, 2009). Diante dessa
perspectiva, o perfil do professor passa a ser, essencialmente, de um mediador no processo de
aprendizagem, auxiliando o aluno na busca do novo. Para isso, há a necessidade de o mesmo
possuir uma formação mais ampla, que vai além do domínio do conteúdo matemático a ser
ensinado. Este aspecto é condição imprescindível, no entanto, não suficiente. Para que, em sua
prática, o professor possa exercer um papel de mediação entre os alunos e o conhecimento a ser
adquirido por estes, é primordial ter no seu desenvolvimento profissional diferentes
experiências que possam subsidiar seu trabalho. Neste contexto, é indispensável então dar ao
ensino de matemática uma dimensão mais dinâmica, rompendo com o mecanismo de
memorização e reprodução de conteúdos, no qual está tradicionalmente vinculado. Buscando-
se assim, se desenvolver em sala aula práticas que possam tornar esta área do conhecimento
mais significativa ao aluno, contribuindo para uma melhor aprendizagem destes. Em termos de
ferramentas didáticas, têm-se que os avanços tecnológicos das últimas décadas proporcionaram
o desenvolvimento de inúmeros recursos computacionais que podem também contribuir como
recursos importantes no processo de ensino e aprendizagem de matemática.
Sob estas perspectivas, são inúmeros os caminhos e histórias que levaram a autora a
desenvolver este trabalho de pesquisa, que constitui seu trabalho de conclusão de curso. Cabe
ressaltar que, partiram, principalmente, de sua participação em projetos de extensão e pesquisa
relacionados com o uso de softwares no ensino de matemática. Sendo que, no último tem
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desenvolvido estudos e pesquisa envolvendo a arte e a matemática, tendo o GeoGebra como
ferramenta computacional.
Portanto, a presente pesquisa apresenta uma proposta em que se procurou aliar
tendências na área de Educação Matemática, tendo como tema a arte e, como recurso didático,
o software GeoGebra a fim de serem discutidos alguns conceitos matemáticos. Para delimitar
o tema, o contexto da arte escolhido foi o da elaboração de réplicas de obras de arte inseridas
no movimento op art, bem como de imagens ligadas a ilusão de óptica.
Assim, procurou-se responder, no percurso da pesquisa, a seguinte questão: “Como e
quais conceitos matemáticos podem ser explorados a partir da utilização do GeoGebra na
reprodução de réplicas de algumas obras de arte e imagens vinculadas a ilusão de óptica?”
Inicialmente, os primeiros aspectos motivadores deste trabalho de pesquisa estão
relacionados a constatação, a partir de uma pesquisa, feita em diversos livros didáticos do
Ensino Fundamental e Médio, onde pode-se observar diversas imagens e obras de arte
envolvendo a ilusão de óptica, interligadas com o respectivo conteúdo matemático da respectiva
unidade. Estas imagens aparecem nestes livros, tanto no início de unidades, como motivadores
para a discussão de um novo conceito matemático; quanto em atividades propostas, assim
como, em seções contendo materiais complementares.
Ao se realizar uma análise investigativa mais detalhada em obras e imagens de ilusão
de óptica, são perceptíveis alguns conceitos matemáticos emergentes, citam-se: figuras planas,
transformações geométricas de figuras planas: isometrias e homotetias, sequências numéricas,
relações trigonométricas, funções, entre outros. Além disso, acredita-se que, ao se aliar o uso
do software GeoGebra a esta análise, pode-se observar melhor algumas características e
propriedades de alguns objetos através de potencialidades do recurso computacional.
Explorando-se dessa forma, alguns comandos que fazem também emergir conceitos ocultos que
acabam sendo identificados no desenvolvimento da réplica.
Como consequência deste trabalho, espera-se discutir alguns conceitos matemáticos
envolvendo os objetos inseridos nas imagens, interligando-os de uma forma dinâmica com as
artes.
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2. OBJETIVOS
Objetivo Geral
Investigar através da elaboração de algumas réplicas de imagens e obras de ilusão de óptica
utilizando-se o software GeoGebra, quais os conteúdos matemáticos que podem emergir.
Objetivos Específicos
Identificar conteúdos matemáticos nas construções de réplicas de imagens e obras de ilusão
de óptica, através da análise detalhada da imagem original das mesmas.
Retomar os conteúdos matemáticos que emergem a partir da elaboração das réplicas no
software GeoGebra.
Construir réplicas das imagens e obras de arte selecionadas fazendo-se uso de diversos
comandos, ferramentas e recursos disponíveis no software GeoGebra.
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3. REFERENCIAL TEÓRICO
3.1 Educação Matemática e a Arte
A arte está presente na matemática e a matemática está presente na arte, pois ambas se
encontram unidas nos mais variados meios e expressões. Como exemplos de interligação entre
as mesmas, apresentam-se inúmeros aspectos abordados na arquitetura, nas formas geométricas
encontradas na natureza, na constituição de músicas utilizando-se os mais variados
instrumentos, na visualização de obras de arte, desenhos, entre outros. Entretanto, normalmente
na sala de aula há uma fragmentação de conteúdos e conceitos que poderiam ser relacionados,
separando uma disciplina da outra. Dessa forma dificultando que o aluno possa perceber as
relações existentes entre estas áreas do conhecimento. Isso é corroborado nos documentos
oficiais criados para orientar professores em novas práticas e metodologias. Estes documentos
denominados Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (BRASIL, 1998) na área de
matemática, afirmam que:
O tratamento dos conteúdos em compartimentos estanques e numa rígida sucessão
linear deve dar lugar a uma abordagem em que as conexões sejam favorecidas e
destacadas. O significado da Matemática para o aluno resulta das conexões que ele
estabelece entre ela e as demais áreas. (BRASIL, 1998, p.57).
Desta forma é perceptível que, quando o aluno faz conexões tanto com o cotidiano
quanto com as demais disciplinas ele se torna mais investigador e interessado, favorecendo
assim a sua formação integral, corroborando tanto em termos pessoais, como acadêmicos.
Além da área da matemática, também, na área de Artes os PCN indicam que:
[...] O aluno que conhece arte pode estabelecer relações mais amplas quando estuda
um determinado período histórico. Um aluno que exercita continuamente sua
imaginação estará́ mais habilitado a construir um texto, a desenvolver estratégias
pessoais para desenvolver um problema matemático. (BRASIL, 1997, p.19).
Dessa forma, acredita-se em uma abordagem de ensino que possa ser baseada, em alguns
momentos, em uma aprendizagem contextualizada, onde surgem possibilidades de utilização
de diversos recursos, aliando-se resultados e mesclando práticas para a aprendizagem de novos
conceitos. Nesta perspectiva, este trabalho se propõe em abordar aspectos da arte, mais
especificamente, da op art, relacionando-os com a matemática, pois, constatou-se que, ao serem
construídas réplicas de imagens e de obras de arte desse tipo, com o uso do software GeoGebra
foi possível realizar diversas conexões entre a arte e a matemática. Embora a proposta deste
trabalho não esteja constituída na elaboração de uma sequência de atividades que possam ser
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implementadas em uma prática de sala de aula, acredita-se que o mesmo possa servir como
subsídio para a constituição de atividades neste contexto. Sendo possível, através das mesmas
explorar o raciocínio lógico e crítico, a sensibilidade e a criatividade dos alunos.
Em particular, existe uma forte relação entre a geometria e a arte. Uma vez que os
primeiros contatos com a geometria foram através do desenho e das formas que estão
intimamente ligados a arte. Assim, percebe-se que, estas áreas tem uma ligação natural e
histórica entre si. Exemplificando, segundo Gullar (2006) o artista plástico belga, Georges
Vantongerloo (1886-1965) possuía amplos conhecimentos matemáticos que influíram de
maneira decisiva na sua arte. Ainda, o matemático Barco (2005) afirma que: “O homem fez arte
usando matemática, e construiu matemática observando as artes”.
No ensino de matemática o estudo dos conceitos geométricos é extremamente
importante, pois ajuda o aluno a compreender, descrever e representar de forma organizada o
seu cotidiano. Nesse contexto, os PCN indicam que:
É fundamental que os estudos do espaço e forma sejam explorados a partir de objetos
do mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, de modo
que permita ao aluno estabelecer conexões entre a matemática e as outras áreas do
conhecimento. (BRASIL, 1998, p.51).
Assim, entende-se que explorar a elaboração de réplicas de imagens e obras de podem
enriquecer e auxiliar na construção de diversos conhecimentos necessários à formação básica
dos alunos.
3.2 Arte Óptica (Op Art)
A arte óptica, mais conhecida por op art é um estilo artístico visual que faz uso de ilusões
ópticas. Segundo, Alencar (2008) os trabalhos de op art são, em geral, abstratos concretos.
Sendo que, diversas obras foram criadas somente em preto e branco. Quando estas obras são
visualizadas, dão a impressão de movimento, clarões ou vibração, ou por vezes, parecem
inchar-se ou deformar-se, proporcionando a sensação de movimento.
Apesar do movimento da arte óptica ter surgido na década de 1930, a op art passou por
um desenvolvimento relativamente lento, o qual ganhou força efetivamente entre as décadas de
1950 e 1960, segundo Secchi e Bus (2011). O pintor húngaro Victor Vasarely (1908-1997) é o
precursor da op art. Alguns de seus trabalhos, como a obra "Zebra" (1938), ilustrada na Figura
1(a), é inteiramente composta por listas diagonais em preto e branco, curvadas de tal modo que
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dão a impressão tridimensional de uma zebra. Outros artistas se destacaram neste movimento,
citam-se: o francês François Morellet (1926-); a inglesa Bridget Riley (1931-), ver obra na
Figura 1(b); o venezuelano Jesús-Rafael Soto (1923 – 2005) e o americano Alexander Calder
(1898-1976), entre outros.
(a) (b)
Fonte: Imagens disponíveis em: (a) http://pt.wahooart.com/a55a04/w.nsf/Opra/BRUE-6WHLWT; (b)
http://www.op-art.co.uk/bridget-riley.
(a) (b)
Fonte: Imagens disponíveis em: http://www.sacilotto.com.br/.
Figura 1: Obras de arte: (a) "Zebra", 1938; (b) “Britannia”, 1961.
Figura 2: Obras de arte: (a) "Concreção 9678”, 1997; (b) “G173”, 1974.
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Em especial, no Brasil, um dos percursores foi Luiz Sacilotto (1924-2003), onde na
Figura 2 são ilustradas duas de suas obras de arte. Segundo a artista plástica Paula Caetano
(2015), Luiz Sacilotto em suas obras apresentava uma sistematização do movimento, sendo a
repetição e os jogos ópticos os pontos fundamentais para a construção de suas obras. As
imagens por ele criadas em seus trabalhos permitem a percepção da multiplicidade das formas
geométricas, dos giros e do jogo interminável das ilusões ópticas.
3.3 Ilusão de óptica
Ilusão de óptica refere-se a todas as imagens que momentaneamente enganam o cérebro,
fazendo com que a visão enxergue erroneamente. Como por exemplo, em algumas figuras é
difícil perceber o que existe. Por outro lado, em outras imagens podem ser vistas figuras que
não estão realmente presentes. As imagens da Figura 3, respectivamente, retratam o que está
sendo colocado.
As ilusões de óptica têm sido estudadas por psicólogos durante anos e indicam que nem
sempre, aquilo que a pessoa vê é o que se pensa que seja. Malba Tahan (1973), em seu livro
“As maravilhas da matemática”, no capítulo 8, retrata a ilusão de óptica sob o título “As
aparências enganam”. James Newman (apud TAHAN, 1973), reconhece que este tema não é
específico da matemática. Porém, é assunto de alto interesse para um estudioso da geometria,
no qual é sempre interessante saber como poderá o raciocínio interferir nas ilusões de óptica
que desvirtuam a visão natural das coisas.
Figura 3: Imagens de ilusão de óptica: (a) A moça e a velha; (b) Completamento visual do
cubo.
(a) (b)
Fonte: Imagens: (a) apresentada em LEIVAS (2013); (b) disponível em: http://ilusaodeotica.com.
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Numa descrição de ilusão de óptica, as pessoas descrevem diferentes formas, a partir do
que estão visualizando ou percebendo, no momento em que se apresenta uma imagem. Nesse
sentido, reporta-se novamente à Figura 3(a), produzida em 1915, pelo cartunista William Ely
Hill. Esta imagem causa uma ilusão de óptica, onde duas imagens podem ser visualizadas. Uma
delas seria uma jovem, posicionada de perfil olhando para longe e a outra seria o rosto de uma
senhora idosa que olha para o chão.
3.3.1 Percepção
Segundo Sternberg (2000) percepção é o conjunto de processos pelos quais se
reconhece, se organiza e se entende as sensações recebidas dos estímulos ambientais. Esta pode
ser classificada em diferentes aspectos. Porém, neste trabalho, será abordada apenas a
percepção visual, pois alguns estudos em relação a mesma a justificam e irão auxiliar no
entendimento de como são feitas as imagens de ilusão de óptica.
De acordo com Filho (2004), agrega-se a este tipo de percepção, os princípios
Gestálticos, tais conceitos também explicam a existência das ilusões de óptica. A Gestalt é
conhecida como a “psicologia da forma” e fundamenta-se na ideia de que “o todo difere da
soma de suas partes”. Neste trabalho, para a reprodução de algumas obras e imagens, far-se-á
necessário a utilização destes conceitos, tais como:
Boa forma ou pregnância das formas: qualidade que determina a facilidade com
que se percebem figuras. A percepção ocorre de forma mais fácil para as boas formas, ou seja,
as formas simples, regulares, simétricas e equilibradas.
Similaridade ou semelhança: objetos similares em forma ou tamanho ou cor são
mais facilmente interpretados como um grupo.
Acabamento: tende-se a acabar ou completar perceptivamente os objetos que não
estão, de fato, completos.
Proporções: linhas retas podem parecer inclinadas, assim como traços do mesmo
tamanho podem dar a impressão de que são diferentes. Tudo depende da maneira como essas
composições estão organizadas.
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Contraste de cores: objetos pequenos de tamanhos semelhantes organizados por cor
ou dimensão aparentarão estar agrupados. Assim como, linhas e cores são utilizadas para dar
profundidade a imagens bidimensionais.
Portanto, a percepção visual pode enganar, ou seja, não se engana pela visão e, sim,
somente pela compreensão ou percepção.
3.4 Recursos Computacionais na Educação Matemática
Há tempos, vem-se falando da integração de recursos tecnológicos no ensino e
aprendizagem em todos os níveis de ensino. Embora existam inúmeros recursos tecnológicos
que podem se constituir em ferramentas importantes na educação, no âmbito da sala de aula
ainda são poucas as práticas de ensino de matemática que contemplam, além da inserção da
tecnologia, a sua integração no processo de ensino e aprendizagem. No que tange ao uso do
computador, o pesquisador Victor Giraldo (2012) entende que:
[...] A respeito da integração de recursos computacionais na sala de aula de
Matemática, temos como meta uma incorporação efetiva à prática docente – sem que
o computador se reduza a um mero adereço, alegórico para a abordagem, e que a aula
no laboratório de informática adquira um caráter de curiosidade, desconectada da aula
“de verdade”, aquela com quadro negro e giz. (GIRALDO, 2012, p.7).
Sob esta ótica, pode-se ressaltar que os recursos tecnológicos, como um todo, são
ferramentas didáticas que podem auxiliar de forma significativa o ensino e aprendizagem dos
alunos. Os PCN (BRASIL, 1998) apontam o uso de tecnologias, como um dos caminhos para
se “fazer Matemática” em sala de aula. Segundo estes documentos, o recurso tecnológico
oferece as seguintes contribuições:
Possibilita o desenvolvimento, nos alunos, de um crescente interesse pela realização
de projetos e atividades de investigação e exploração como parte fundamental de sua
aprendizagem e permite que os alunos construam uma visão mais completa da
verdadeira natureza da atividade matemática e desenvolvam atitudes positivas diante
desse seu estudo. (BRASIL, 1998, p.44).
Desta forma, se considera importante que o professor possa aliar às suas práticas
pedagógicas os novos recursos tecnológicos, que vão além do quadro, giz e do livro didático.
Porém, como foi mencionado anteriormente há uma grande dificuldade, por parte destes
profissionais, em incorporá-los na sala de aula. Sendo que, um fator bastante relevante é o fato
destes não se sentirem, muitas vezes, seguros em desenvolver atividades que façam uso de
outros recursos onde sua prática pedagógica se modifica necessitando, muitas vezes, que se
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torne um mediador do processo de aprendizagem. Sendo que, isso se manifesta mais fortemente
junto aos professores que não possuem experiências nesse sentido.
Refletindo acerca do exposto, ressalta-se como fundamental que o professor de
matemática, conheça diferentes softwares que possam ser utilizados no ensino de matemática
para variados conteúdos. Ainda, que estes sejam capazes de reorganizar a sequência de
conteúdos e metodologias apropriadas para o trabalho com a tecnologia computacional.
3.4.1 Software GeoGebra como uma Ferramenta Didática
O pesquisador Markus Hohenwarter (2005) desenvolveu em sua tese de doutorado, na
Aústria, o software GeoGebra1. Este foi criado dentro da concepção da matemática dinâmica a
fim de ser usado em ambiente de sala de aula.
Nesse sentido, cabe evidenciar que os softwares de matemática dinâmica podem
proporcionar um ambiente propício, pois segundo Gravina e Contiero (2011), são aplicativos
que tem o recurso de “estabilidade sob ação de movimento”, isto é, após uma construção
geométrica, podem-se movimentar os objetos geométricos na tela do computador, variando seu
tamanho e posição. Entretanto, são preservadas as propriedades geométricas que foram
impostas no processo de construção, além das propriedades delas decorrentes. Ainda, Gravina
(1996) afirma que:
Assim, para um dado objeto ou propriedade, temos associada uma coleção de
“desenhos em movimento”, e os invariantes que aí aparecem correspondem as
propriedades geométricas intrínsecas ao problema. E este é o recurso didático
importante oferecido: a variedade de desenhos estabelece harmonia entre os aspectos
conceituais e figurais; configurações geométricas clássicas passam a ter
multiplicidade de representações; propriedades geométricas são descobertas a partir
dos invariantes no movimento. (GRAVINA, 1996, p.6).
O GeoGebra é um software computacional que permite desenvolver o estudo de
diferentes conteúdos matemáticos, tornando o seu ensino mais dinâmico e facilitado,
possibilitando despertar um maior interesse por parte dos alunos pela busca do conhecimento
matemático. É um software de código aberto, disponível para download na internet,
multiplataforma, que pode ser utilizado em diversos níveis de ensino. Além disso, abrange
diversas áreas do conhecimento matemático, pois engloba: geometria básica e avançada em
1 Disponível para download em: http://www.geogebra.org
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duas dimensões (2D) e três dimensões (3D), álgebra e cálculo. Possibilitando, ainda, relacioná-
los entre si, sendo possível também se fazer uso de planilhas e gráficos. Incluem-se como
características, a disponibilidade de inúmeros recursos exibidos em barras de comandos.
O formato inicial apresentado na tela, conforme ilustrado na Figura 4, é caracterizado
através de duas representações: a janela algébrica, onde ficam armazenadas as representações
algébricas e vetoriais e a janela de visualização, destinada a zona gráfica onde ficam dispostas
as representações geométricas dos objetos construídos. Dessa forma, o GeoGebra permite
simultaneamente a articulação entre a geometria e a álgebra.
Figura 4: Tela inicial do software GeoGebra.
Fonte: Autoria.
Gravina e Basso (2012) descrevem outras características relativas a interface deste
aplicativo, citando que:
A sua tela de trabalho disponibiliza, em linguagem clássica da geometria, recursos
para construção de figuras a partir das propriedades que as definem. O processo de
construção é feito mediante escolhas de primitivas que são disponibilizadas nos
diferentes menus – pontos, retas, círculos, retas paralelas, retas perpendiculares,
transformações geométricas, por exemplo. A base inicial de menus pode ser expandida
com a inclusão de automatização de rotina de construção – são as novas ferramentas
que se incorporam ao software. (GRAVINA; BASSO, 2012, p.19).
Especificamente, para essa pesquisa foram exploradas algumas funcionalidades e
potencialidades do GeoGebra, as quais encontram-se detalhadas ao longo do capítulo de
metodologia.
20
4. METODOLOGIA
A metodologia utilizada para desenvolver esta pesquisa é a pesquisa aplicada. Esta tem
por objetivo, segundo Gerhardt (2013), gerar conhecimentos para a aplicação prática dirigidos
na solução de problemas específicos.
Sob esta perspectiva, a presente pesquisa aborda aspectos matemáticos contidos em
obras de arte do tipo op art e de imagens que envolvam a ilusão de óptica, através do uso de
um recurso computacional. Dessa forma serão discutidos alguns conceitos geométricos, de
matemática discreta e contínua, estudados na educação básica tendo como tema gerador obras
de arte, em particular a ilusão de óptica. Tal tema surgiu pelo fato da autora ter observado que
em diversos livros didáticos aparecem imagens de obras de arte em geral e, também, de ilusão
de óptica interligadas com o conteúdo matemático.
Nesse sentido, pesquisou-se em alguns livros didáticos do ensino fundamental final e
do ensino médio por imagens desse tipo. Sendo que, fora constatado, em diversos capítulos a
existência de inúmeras imagens de ilusão de óptica e também de obras de arte, relacionando-as
com determinados conteúdos matemáticos. Em alguns livros elas se apresentam no início do
capítulo, como recurso motivador, em outros, aparecem em atividades propostas e, também,
observou-se sua presença em seções de materiais complementares. Para ilustrar, a Figura 5
apresenta tais situações, uma delas como introdução de conteúdo e outra como atividade
proposta, contidas no livro de Barroso (2007).
Figura 5: Imagens: (a) obra de arte de Lothar Charoux, 1971; (b), ilusão de óptica envolvendo
retas.
(a) (b)
Fonte: BARROSO, 2007.
21
Na Figura 6(a), a imagem é utilizada no capítulo para discutir aspectos de semelhança
de figuras inseridos na obra de arte, encontra-se no livro de Giovanni (2002).
Ainda, a partir da pesquisa realizada nos livros didáticos, destaca-se na Figura 6(b), no
capítulo de sólidos geométricos, ângulos e polígonos do livro do projeto teláris de autoria Dante
(2012), no 9º ano, atividades que envolvem a geometria e arte. Nesta, apresenta-se imagens de
uma obra de arte e de um artesanato de tapeçaria onde, no contexto é solicitada a identificação
de formas geométricas. Já, no 6º ano, nesta mesma coleção, são apresentadas no capítulo de
sólidos geométricos, regiões planas e contornos outras obras de arte, conforme ilustra a Figura
7.
(a) (b)
Fonte: (a) GIOVANNI, 2002; (b) DANTE, 2012.
Fonte: DANTE, 2012.
Figura 6: Imagens de obra de arte: (a) Artista brasileiro Rubem Valentin, 1952; (b) do artista
holandês Piet Mondrian, 1913 e de uma tapeçaria do Azerbaijão, séc. XIX.
Figura 7: Imagens de obra de arte: Paul Klee, 1934 e da brasileira Tarsila do Amaral, 1924.
22
Concomitante, foi realizada uma pesquisa bibliográfica, a respeito do ensino de
matemática e arte, a fim de constituir-se melhor um referencial teórico sobre o tema escolhido.
Dentre as obras e imagens identificadas neste contexto, foram selecionadas quatro, das
quais, duas são imagens de ilusão de óptica e duas são obras de arte (op art). Posteriormente,
foram feitas as construções das réplicas através do software GeoGebra. Alguns arquivos
elaborados para cada réplica encontram-se com descrição passo a passo no apêndice B. Nesta
etapa, foi necessário serem retomados diversos conteúdos matemáticos, bem como, ocorrer
apropriação de inúmeros comandos avançados do recurso. A descrição mais detalhada do
processo encontra-se na subseção a seguir.
No decorrer de cada elaboração das réplicas surgiram alguns questionamentos, os quais
estão descritos no apêndice A. Tais indagações poderão ser utilizadas em atividades
exploratórias que envolvam a discussão de alguns conceitos matemáticos aqui apresentados.
4.1 Descrição da construção das imagens de ilusão de óptica e obras de arte
Nesta subseção serão descritas com maior detalhe cada uma das quatro réplicas
elaboradas no recurso, bem como, de outras construções relacionadas que foram necessárias
para auxiliarem nas discussões e reflexões que emergiram durante o desenvolvimento do
trabalho.
4.1.1 Imagem de ilusão de óptica: Ilusão de Ebbinghaus
Descrição:
A ilusão de Ebbinghaus, também conhecida como os círculos titchener, é uma ilusão de
óptica de percepção de tamanho relativo. Além disso, ela é considerada tradicionalmente por
Rose (2002), como sendo uma ilusão cognitiva, pelo fato desta Figura ter sido vista pela
primeira vez em um livro de psicologia experimental, a qual fora usada em experimentos de
testes de inteligência.
O desafio da ilusão de Ebbinghaus é através da visualização responder: “As
circunferências centrais de cada Figura são congruentes? ”.
23
Figura 8: Imagem de ilusão de óptica de Ebbinghaus.
Fonte: LUCKIESH, 1965.
Conceitos matemáticos e construções geométricas envolvidas:
Para contribuir com a análise e o desenvolvimento da construção no recurso, julgou-se
imprescindível fazer uma breve apresentação dos conceitos e construções geométricas
envolvidas na elaboração da réplica, ou seja, conceitos que foram revistos e que serviram de
subsídios e indicações para a elaboração da mesma, estes encontram-se no Quadro 1.
Quadro 1: Conceitos Matemáticos
Conceito Definição Autor
Lugar
Geométrico
É um conjunto de pontos caracterizado por certa
propriedade. Assim, diz-se que, um conjunto X é o
lugar geométrico dos pontos que satisfazem a
propriedade P quando forem satisfeitas as duas
condições:
1) se X ∈ X, então X satisfaz a propriedade
P;
2) se X satisfaz a propriedade P então X ∈
X.
TINOCO,
2011.
Congruência de
Figuras planas
Em geral, de modo intuitivo, duas Figuras planas
são congruentes se uma delas puder ser deslocada,
sem que sejam modificadas sua forma nem suas
medidas, até que passe a coincidir com a outra.
REZENDE;
QUEIROZ,
2008.
1 2
24
Isometria
A isometria ou simetria é um movimento rígido no
plano que aplica um ornamento sobre si mesmo.
Isto quer dizer que ao efetuar um movimento em
uma figura ou elemento gerador sua forma e seu
tamanho não variam.
BIEMBENGU
T; HEIN,
2000.
Translação
Uma translação determinada pelo vetor 𝑣 é a
transformação geométrica 𝑇𝑣: Π → Π que leva cada
ponto 𝐴 do plano Π no ponto 𝐴′ = 𝐴 + 𝑣 desse
plano, ou seja, transforma toda reta em outra
paralela, e por ser uma isometria, transforma
qualquer figura em outra congruente.
WAGNER,
1993.
Proporcionalidad
e entre segmentos
A proporcionalidade entre segmentos é obtida
através da razão entre suas medidas de
comprimento em uma mesma unidade.
DANTE, 2013.
Semelhança entre
duas figuras
Duas figuras F e F’ são semelhantes quando
guardam entre elas uma proporção. Isto é, existe
uma correspondência biunívoca entre os pontos de
F e os pontos de F’, tal que 𝑋𝑌
𝑋′𝑌′= 𝑟, onde X e Y
são pontos de F e X’ e Y’ são pontos de F’ e r é a
constante da razão de semelhança.
WAGNER,
1993.
Circunferências
concêntricas
São todas as circunferências que possuem o mesmo
centro e raios diferentes.
LEVY;
RAMOS,
2012.
Relações
trigonométricas
na circunferência
Todo ponto em uma circunferência pode ser escrito
utilizando-se as relações trigonométricas do ciclo
trigonométrico, definindo, assim, o ponto de
coordenadas (𝑟 cos(𝜃) , 𝑟 𝑠𝑒𝑛(𝜃)).
GIOVANNI,
2002.
Sequências
É qualquer função 𝑓 cujo domínio é ℕ∗. Por
exemplo, (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, … ), onde 𝑎𝑛 é o termo
geral da sequência, onde o subscrito (índice) indica
a posição do termo ou do elemento na sequência.
Se a sequência possui o último termo dizemos que
a mesma é finita, caso contrário, é infinita. Ainda,
GIOVANNI,
2002.
25
uma sequência pode ser considerada um padrão
numérico.
Quadro 2: Construções Geométricas
Conceito Construção geométrica Autor
Centro de uma
circunferência
Determinação com régua e compasso do centro de
uma circunferência dada: Inicialmente, traçam-se
duas retas secantes ou cordas, em qualquer posição,
determinando-se na circunferência os pontos A, B, C
e D. Após constrói-se a mediatriz de cada uma dessas
cordas. Determina-se a interseção dessas mediatrizes,
definindo o ponto “O” que corresponde ao centro da
circunferência, conforme ilustrado na Figura 9.
Figura 9: Determinação do centro de uma
circunferência dada com régua e compasso.
LEVY; RAMOS,
2012.
Mediatriz
Determinação da mediatriz de um segmento dado:
Primeiramente, traça-se um segmento qualquer AB,
determinando o segmento base. Em seguida, constrói-
se uma circunferência de raio AB e centro em A. Da
mesma forma, determina-se a circunferência de raio
AB com centro em B. Após, identifica-se os pontos de
intersecção entre as circunferências construídas. Por
fim, a partir dos pontos de intersecção traça-se a reta,
que corresponde a mediatriz do segmento AB.
LEVY; RAMOS,
2012.
26
Figura 10: Construção da reta mediatriz de um
segmento dado.
Fonte: Construção elaborada no GeoGebra pela autora.
Análise preliminar:
A primeira parte da construção constituiu-se na análise da imagem em forma estática,
ou seja, em uma cópia impressa no papel. Neste momento, foram identificadas algumas ideias
principais, como a verificação da ilusão. Isto é, fez-se através da utilização de régua e compasso,
a comprovação de que as circunferências centrais, das duas Figuras eram congruentes. No
entanto, apenas foi constatado que ambas as circunferências apresentavam aproximadamente a
mesma medida. Posteriormente, buscou-se validar este resultado matematicamente. Para isso,
foi necessário, apropriar-se de ferramentas do desenho geométrico, como compasso, para
determinar os centros de todas as circunferências contidas na imagem, concluindo-se assim que
as circunferências realmente eram congruentes. Para tal, buscou-se seguir a construção descrita
por Levy e Ramos (2012) que fora apresentada anteriormente.
Ao se examinar mais detalhadamente a imagem, a fim de construí-la no software
GeoGebra, verificou-se que existiam nas duas Figuras algumas proporcionalidades entre as
circunferências centrais e as que estavam ao seu redor. Além disso, foi possível perceber uma
relação de proporcionalidade entre as circunferências da Figura 8. Assim, ao realizar as
medições, observou-se em relação a medida do raio, que as circunferências maiores na Figura
1 eram o dobro do que a medida do raio da circunferência central, e que, na Figura 2, tinha-se
a metade da medida do raio da circunferência central.
27
Neste contexto, ainda não era possível construir a imagem, foi então que se observou
que existiam circunferências concêntricas, a partir dos lugares geométricos apresentados nas
figuras, conforme ilustra a Figura 11.
Figura 9: Identificação de circunferências concêntricas e também de circunferências tangentes
entre si.
Fonte: Construção elaborada no GeoGebra pela autora.
Em consequência disso, pode-se notar que tais circunferências concêntricas também
possuíam uma proporcionalidade entre si e, entre elas e a circunferência central correspondente.
A partir de todas estas constatações, partiu-se para a construção de fato, da réplica.
Construção no recurso:
Inicialmente, procurou-se adequar a construção da réplica da imagem com a
potencialidade do recurso computacional. Isso, pelo fato do recurso apresentar uma concepção
de matemática dinâmica que possibilita o uso de potencialidades que auxiliam na visualização
e confirmação ou não de conjecturas. A partir disso, surgiram alguns questionamentos
imprescindíveis para a construção, os quais foram:
É possível verificar se as circunferências centrais são congruentes através da
sobreposição?
Se as circunferências fossem de outros tamanhos, será que a ilusão de óptica
permaneceria?
Se o número de circunferências ao redor fosse alterado, o que aconteceria com a
ilusão de óptica?
28
Com estes questionamentos sendo considerados deu-se a construção no recurso, onde
foram criadas três construções em arquivos distintos. Sendo que, nos quais se procurou
responder aos mesmos. Para isso, se fez uso de ferramentas como controle deslizante, caixas
para exibir/ocultar e comandos auxiliares presentes no GeoGebra.
Assim, para responder a pergunta proposta pela ilusão de óptica, ou seja, “as
circunferências centrais são congruentes?”, foram elaboradas translações, tanto das
circunferências centrais, como das circunferências ao seu redor, conforme mostra a Figura 12.
Nesta imagem é possível perceber que se utilizou uma translação da circunferência central, para
que esta possa se sobrepor a segunda, mantendo as demais circunferências estáticas.
Figura 10: Primeira verificação do questionamento inicial da ilusão de óptica.
Fonte: Construção elaborada no GeoGebra pela autora.
A Figura 13 relata a translação das circunferências ao redor, deixando os centros
fixados, para que assim seja possível perceber que ambas as circunferências sejam congruentes
a “olho nu”.
A partir destas verificações feitas através de transformações geométricas, em particular
isometrias, pode-se concluir que ambas as circunferências centrais são congruentes,
respondendo o primeiro questionamento.
Figura 11: Segunda verificação do questionamento inicial da ilusão de óptica.
29
Fonte: Construção elaborada no GeoGebra pela autora.
Em um segundo arquivo, a fim de serem geradas circunferências com raios de medidas
variáveis, utilizou-se um controle deslizante. Dessa forma foi possível, visualizar a imagem
com diferentes tamanhos de circunferências e observar até que momento a ilusão de óptica
ainda permaneceria. Além disso, verificou-se a necessidade de ser mantida uma certa distância
entre ambas as figuras. Neste instante, o recurso serviu como ferramenta de teste para a
verificação e tomada de conclusões a respeito dos limites de distanciamento necessários entre
as figuras.
Por outro lado, questionou-se sobre o que aconteceria se fossem modificadas as
quantidades de circunferências ao redor da circunferência central em ambas as figuras. Em
virtude desse terceiro questionamento percebeu-se que pode se obter a partir dos centros das
circunferências, os vértices de um polígono regular que, no caso da imagem original, Figura 8,
seria um hexágono, e que este, ainda, estaria inscrito na circunferência concêntrica identificada
anteriormente.
Posteriormente, sob esta perspectiva, buscou-se criar uma sequência finita de pontos
sobre a circunferência descrita a partir dos centros, ou seja, uma sequência de pontos que
dividisse a circunferência concêntrica. Esta sequência irá constituir a quantidade de
circunferências que podem estar ao redor da circunferência, ou seja, define os vértices do
polígono que pode ser construído. Após análise e estudo, chegou-se que o ponto do centro da
circunferência poderia ser representado por 𝐴 = (𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋(𝑛−1)
𝑛) , 𝑟 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (
2𝜋(𝑛−1)
𝑛)), onde 𝑟
corresponde ao raio da circunferência e 𝑛 a quantidade de pontos sobre a circunferência.
Assim, com os pontos construídos pode-se criar uma sequência de circunferências, cujos
centros correspondem aos elementos da sequência de pontos construída. Na Figura 14, ilustra-
se tal construção quando 𝑛 = 5.
30
Figura 12: Sequência de circunferências construídas ao redor da circunferência.
Fonte: Construção elaborada no GeoGebra pela autora.
Portanto, com estas construções foi possível responder ao terceiro questionamento, pois
se forem mantidas as proporções não importará a quantidade de circunferências, a ilusão de
óptica permanecerá para uma quantidade finita de circunferências ao seu redor.
No decorrer da análise e/ou construção da réplica surgiram alguns questionamentos que
futuramente podem compor uma proposta de atividades de ensino envolvendo o tema escolhido.
Os questionamentos são os seguintes:
1. O que você visualiza na Figura?
2. O que podemos afirmar ao observar atentamente as duas circunferências centrais?
Elas apresentam o mesmo tamanho?
3. Para cada uma das Figuras, você consegue identificar os lugares geométricos a partir
dos centros?
4. É possível identificar outras circunferências com o mesmo centro?
5. Como podemos denominar essas circunferências?
6. Duas circunferências quaisquer são semelhantes?
7. Você consegue identificar a razão de semelhança entre as medidas dos raios da
circunferência da central e da circunferência ao seu redor?
8. Qual a relação destas circunferências com as transformações geométricas do tipo
isometrias: rotação, translação, reflexão?
4.1.2 Obra de arte de Luiz Sacilotto: “Concreção 9216”
Descrição:
31
A obra de arte visualizada na Figura 15 foi desenvolvida pelo artista plástico Luiz
Sacilotto em 1992, onde utilizou tinta têmpera acrílica em uma tela de 120 x 150 cm. Neste
trabalho, Sacilotto consegue criar uma ilusão de óptica gerando na superfície plana uma ilusão
de profundidade através da mudança de cores, variando-as em claras e escuras. Como
mencionado anteriormente por Steinberger (2000), o contraste de cores auxilia na ilusão de
profundidade.
Fonte: FAINGUELERNT; NUNES, 2009.
Conceitos matemáticos envolvidos:
Para subsidiar o desenvolvimento da réplica desta imagem de ilusão de óptica foram
identificados alguns conceitos matemáticos que são descritos no Quadro 2.
Quadro 3: Conceitos Matemáticos
Conceito Definição Autor
Reta A reta é formada por infinitos pontos que estão
alinhados. Ela é ilimitada nos dois sentidos.
BARROSO,
2007.
Retas paralelas
Duas retas no plano são paralelas quando não têm
ponto em comum.
BARROSO,
2007.
Retas
perpendiculares
São retas concorrentes que quando se encontram
formando quatro ângulos retos iguais. LIMA, 2006.
Figura 13: Obra de arte de Luiz Sacilotto, “Concreção 9216”, 1992.
32
Isometria
A isometria ou simetria é um movimento rígido no
plano que aplica um ornamento sobre si mesmo. Isto
quer dizer que ao efetuar um movimento em uma
figura ou elemento gerador sua forma e seu tamanho
não variam.
BIEMBENGUT
; HEIN, 2000.
Reflexão
A reflexão em torno de uma reta r é a transformação
geométrica 𝑆𝑟 que faz corresponder a cada ponto A
do plano o ponto 𝐴′ = 𝑆𝑟(𝐴), simétrico de A em
relação a reta r. A reflexão é uma isometria e,
portanto, transforma cada figura em outra
congruente a ela.
WAGNER,
1993.
Polígono
É a região do plano limitada por uma linha quebrada
ou poligonal fechada. Entenda-se aqui como linha
poligonal uma linha formada pela junção de
segmentos de reta, de extremidade a extremidade.
LEVY;
RAMOS, 2012.
Decomposição
de polígonos em
triângulos
utilizou-se o resultado que: “Todo polígono admite
uma triangulação”.
MARQUES,
2012.
Congruência de
figuras planas
Em geral, de modo intuitivo, duas Figuras planas
são congruentes se uma delas puder ser deslocada,
sem que sejam modificadas sua forma nem suas
medidas, até que passe a coincidir com a outra.
REZENDE;
QUEIROZ,
2008.
Quadrado
É uma Figura plana poligonal formada por quatro
lados que possuem a mesma medida e cujos ângulos
internos são congruentes entre si.
TINOCO, 2011.
Sequências
É qualquer função 𝑓 cujo domínio é ℕ∗. Por
exemplo, (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, … ), onde 𝑎𝑛 é o termo
geral da sequência, onde o subscrito (índice) indica
a posição do termo ou do elemento na sequência. Se
a sequência possui o último termo dizemos que a
mesma é finita, caso contrário, é infinita. Ainda,
uma sequência pode ser considerada um padrão
numérico.
GIOVANNI,
2002.
33
Análise preliminar:
A obra de arte “Concreção 9216” de Luiz Sacilotto foi inicialmente analisada de forma
estática. Através desta, identificou-se alguns elementos geométricos importantes, como
polígonos, retas paralelas e perpendiculares. No entanto, nesta obra o que se reporta a ilusão de
óptica não são as formas geométricas, mas sim, as cores escuras e claras que nos fazem
visualizar uma profundidade na imagem, dando a ideia de a mesma estar no espaço.
Por outro lado, não se observando mais as cores e, sim os polígonos, pode-se identificar
translações geométricas, em particular isometrias, tais como: translações e reflexões. A partir
destas constatações elaborou-se a réplica no GeoGebra.
Construção no recurso:
Primeiramente, construiu-se a réplica com as cores e polígonos exatamente como na
obra de arte original, para tal foram utilizados comandos no software envolvendo
transformações geométricas, em particular, translações. Após, foram definidas as cores através
das propriedades de cada objeto criado, fez-se necessário, então, pesquisar a tabela de cores
RGB para a variação e identificação dos valores a serem utilizados na criação das cores e seus
tons que melhor se aproxima da imagem original.
Por outro lado, para uma melhor visualização da obra de arte sem as cores, estas que
fazem o observador imaginar que existe uma profundidade na obra, criou-se, empregando
comandos de sequências finitas, os quadrados apresentados na mesma. Para finalizar a
construção da réplica, definiu-se os paralelogramos, conforme ilustra a Figura 16.
Figura 14: Réplica da obra “Concreção 9216”.
Fonte: Imagem elaborada no GeoGebra pela autora.
Além dos comandos e ferramentas citadas acima, foram utilizados, como apoio e melhor
organização visual, caixas para exibir/esconder objetos e controles deslizantes, entre outros.
34
No transcorrer da análise e/ou construção da réplica foram identificados alguns
questionamentos que futuramente podem compor uma proposta de atividades de ensino
envolvendo o tema escolhido. Os questionamentos são os seguintes:
1. Quais os polígonos que constituem esta obra?
2. Quantos quadrados figuram na obra? Quantos triângulos surgem?
3. Como são classificados cada um dos triângulos que figuram na obra, quanto à medida
de seus lados? Quanto à medida de seus ângulos?
4. Considerando todos os triângulos que podem ser considerados na obra, quanto
representa a soma de suas áreas, em fração, em relação a área de toda a obra?
5. A soma da área de todos os quadrados da obra representam que fração da área total
da obra?
6. Existe alguma razão entre as frações citadas anteriormente? Se sim, qual?
7. Existe alguma relação de isometria na obra? Qual?
8. Pode se reduzir a obra somente a um objeto pertencente a mesma?
4.1.2 Imagem de ilusão de óptica: Cafe Wall
Descrição:
Esta imagem de ilusão de óptica foi primeiramente descrita em um artigo dos
pesquisadores Gregory e Heard (1979), foi intitulada “Café Wall”, por fazer parte de uma
fachada de um café na Inglaterra. Eles observaram este efeito curioso nas linhas da parede de
um café, conforme mostra a Figura 17. Esta ilusão de óptica faz com que linhas horizontais
paralelas se pareçam levemente “tortas”. É essencial para a ilusão que, os “tijolos” estejam
envoltos por uma camada de “cimento”, no caso, representados na imagem pelas linhas de cor
cinza, conforme Figura 18.
35
Fonte: Gregory e Heard, 1979.
Figura 16: Imagem de Ilusão de óptica, denominada “Cafe wall”.
Fonte: http://www.richardgregory.org/papers/cafe_wall/cafe-wall.pdf .
Conceitos matemáticos envolvidos:
Ao estudar mais atentamente esta imagem de ilusão de óptica foram identificados alguns
conceitos matemáticos que são descritos no Quadro 3.
Quadro 4: Conceitos Matemáticos
Conceito Definição Autor
Reta A reta é formada por infinitos pontos que estão
alinhados. Ela é ilimitada nos dois sentidos.
BARROSO,
2007.
Retas paralelas
Duas retas no plano são paralelas quando não têm
ponto em comum.
BARROSO,
2007.
Isometria A isometria ou simetria é um movimento rígido no
plano que aplica um ornamento sobre si mesmo. Isto
BIEMBENGUT
; HEIN, 2000.
Figura 15: Fachada de um café em Bristol, Inglaterra.
36
quer dizer que ao efetuar um movimento em uma
figura ou elemento gerador sua forma e seu tamanho
não variam.
Reflexão
A reflexão em torno de uma reta r é a transformação
geométrica 𝑆𝑟 que faz corresponder a cada ponto A
do plano o ponto 𝐴′ = 𝑆𝑟(𝐴), simétrico de A em
relação a reta r. A reflexão é uma isometria e,
portanto, transforma cada figura em outra congruente
a ela.
WAGNER,
1993.
Polígono
É a região do plano limitada por uma linha quebrada
ou poligonal fechada. Entenda-se aqui como linha
poligonal uma linha formada pela junção de
segmentos de reta, de extremidade a extremidade.
LEVY;
RAMOS, 2012.
Congruência
de figuras
planas
Em geral, de modo intuitivo, duas Figuras planas
são congruentes se uma delas puder ser deslocada,
sem que sejam modificadas sua forma nem suas
medidas, até que passe a coincidir com a outra.
REZENDE;
QUEIROZ,
2008.
Quadrado
É uma Figura plana poligonal formada por quatro
lados que possuem a mesma medida e cujos ângulos
internos são congruentes entre si.
TINOCO, 2011.
Sequências
É qualquer função 𝑓 cujo domínio é ℕ∗. Por
exemplo, (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, … ), onde 𝑎𝑛 é o termo geral
da sequência, onde o subscrito (índice) indica a
posição do termo ou do elemento na sequência. Se a
sequência possui o último termo dizemos que a
mesma é finita, caso contrário, é infinita. Ainda, uma
sequência pode ser considerada um padrão numérico.
GIOVANNI,
2002.
37
Análise preliminar:
Na análise estática desta figura foram verificados, inicialmente, se realmente as retas
horizontais, em particular os segmentos, eram paralelos. Para a comprovação desta suposição,
foram aproveitados conceitos de geometria plana, principalmente de desenho geométrico, pois
segundo Levy e Ramos (2012) retas paralelas “[...] são as retas que conservam sempre a mesma
distância entre si, isto é, não possuem ponto em comum. Ou seja, nunca se encontram.”
Consequentemente, fez-se a comprovação de que os quadrados figurados na imagem
são congruentes, tanto os pretos quanto os brancos. Em virtude disso, percebeu-se que existiam
relações entre estes quadrados, podendo ser formado a partir de um destes os demais. Isso,
através de transformações geométricas do tipo isometrias, como reflexão, rotação e translação.
Construção no recurso:
Tendo em vista os aspectos observados estaticamente, considerou-se relevante construir
a réplica desta ilusão de óptica duas formas diferentes. Em uma delas, os quadrados brancos e
pretos foram constituídos apenas a partir de transformações geométricas do tipo translações.
Por outro lado, construiu-se, em um segundo arquivo, os mesmos quadrados através da
utilização de comandos de sequência finita, gerando-se os inúmeros de quadrados da imagem.
Na primeira construção levou-se em conta, essencialmente, uma elaboração que pudesse
averiguar o questionamento proposto originalmente: “As retas horizontais não são paralelas?”.
Para isto, foram utilizadas ferramentas disponíveis no GeoGebra, de exibir e ocultar objetos a
fim de ser retirada as cores dos quadrados, as quais contribuíam para que as retas horizontais
parecerem não serem paralelas entre si.
Em consequência disso, criou-se, ainda, segmentos perpendiculares aos horizontais,
com o propósito de comprovar que os segmentos horizontais são equidistantes e não possuem
nenhum ponto em comum, mesmo traçando as retas suportes destes segmentos, conforme
ilustrado na Figura 19.
38
Figura 17: Retas paralelas e perpendiculares.
Fonte: Imagem elaborada no GeoGebra pela autora.
Outro fator perceptível na imagem da Figura 19 é o lugar geométrico das retas paralelas
no sentido vertical, as quais passam pelos lados dos quadrados de algumas das sequências de
quadrados definidas.
Por outro lado, na segunda construção foi dada ênfase na ilusão de óptica criada pela
imagem. Perguntando-se qual seria a posição limite que os quadrados correspondentes a duas
faixas consecutivas deveriam estar dispostos para se manter a ilusão de óptica. Para tal, se fez
uso comandos específicos no GeoGebra para gerar três sequências finitas de quadrados, pois na
imagem original foi observada três posições distintas para as faixas, conforme ilustra a Figura
20.
Figura 18: Sequências de quadrados.
Fonte: Construção feita no GeoGebra pela autora.
39
Desta forma, na Figura 20 é possível observar que a sequência de quadrados de cor
vermelha esta deslocada horizontalmente a uma distância de 1
3 dos quadrados de cor verde, já a
sequência de quadrados de cor preta está a uma distância de 1
6 dos quadrados de cor verde. Após,
surgiu o seguinte questionamento: Até que ponto o deslocamento entre as faixas de quadrados,
afetaria a ilusão de óptica? Para respondê-lo, construiu-se no GeoGebra um controle deslizante
que variasse entre 0 e 1, para definir a distância, identificada anteriormente como sendo, 1
3 e
1
6
. Neste caso, a mesma se torna variável.
Posteriormente, com a construção realizada no recurso, analisou-se a partir da variação
do deslocamento o que aconteceria. Concluiu-se que, para valores próximos a 0, 0,5 e 1 a ilusão
de óptica é perdida, pois nesses valores é visível que a retas horizontais são paralelas, como
mostra a Figura 21.
Figura 19: Observação na construção: (a) com deslocamento igual 0 ou 1; (b) com
deslocamento igual a 0,5.
(a) (b)
Fonte: Construção feita no GeoGebra pela autora.
Por fim, foi analisado se o número de faixas de quadrados influenciaria na ilusão de
óptica. Para isso, procurou-se responder quantas sequências horizontais de quadrados seriam
necessárias para ocorrer a ilusão de óptica. Nesse sentido, concluiu-se que, a partir da terceira
sequência se inicia a ilusão, fazendo com que o observador suponha que as retas evidenciadas
sejam concorrentes.
Cabe salientar que, os comandos e ferramentas do GeoGebra, citados anteriormente,
foram utilizados como apoio e para uma melhor organização visual, desenvolvendo-se dessa
forma uma réplica dinâmica que pudesse contribuir nas discussões realizadas.
40
No perpassar da análise e/ou construção da réplica surgiram alguns questionamentos
que futuramente podem compor uma proposta de atividades de ensino envolvendo o tema
escolhido. Os questionamentos são os seguintes:
1. Quais os polígonos que constituem esta imagem de ilusão de óptica?
2. Como se classifica cada um dos polígonos que Figuram na imagem?
3. A área de todos os quadrados de cor branca representam que fração da área total da
imagem? E os quadrados de cor preta?
4. Quanto aos segmentos de reta, como pode-se classificá-los?
5. É possível identificar um deslocamento entre os quadrados de cada linha? Existe alguma
relação de distância entre estes? Se houver, qual seria?
6. Ao identificar as retas verticais, o que se pode afirmar sobre elas?
7. Existe alguma relação de isometria na imagem? Se houver, qual seria?
8. Pode-se reduzir a imagem somente a um objeto pertencente a mesma?
4.1.3 Obra de arte de Victor Vasarely: “Vonal Stri”
Descrição:
Silva et al (2013) mencionam que foi a partir de 1947 que o pintor e escultor húngaro
Victor Vasarely, considerado o pai da op art, passou a mudar as suas pinturas de abstratas
representando imagens para obras abstratas inteiramente compostas por formas geométricas.
Ainda, segundo informações de Mora (2015), a obra “Vonal Stri” do artista, considerado o pai
da op art, foi criada em 1975. Além disso, as cores em suas obras desempenham um papel
fundamental no desenvolvimento de uma situação de curiosidade, possibilitando a imaginação
de cada observador no que se refere ao final da curvatura. A obra selecionada foi pintada sobre
uma tela de 200 x 200 cm, com tinta acrílica, cuja imagem é ilustrada na Figura 22.
41
Figura 20: Obra de arte de Victor Vasarely, “Vonal Stri”, 1975.
Fonte: http://www.op-art.co.uk/op-art-gallery/victor-vasarely/vonal-stri
Conceitos matemáticos envolvidos:
Novamente, menciona-se os conceitos matemáticos, utilizados na elaboração da réplica
da obra “Vonal Stri”, conforme Quadro 5.
Quadro 5: Conceitos Matemáticos
Conceito Definição Autor
Polígono
É a região do plano limitada por uma linha
quebrada ou poligonal fechada. Entenda-se aqui
como linha poligonal uma linha formada pela
junção de segmentos de reta, de extremidade a
extremidade.
LEVY;
RAMOS, 2012.
Isometria
A isometria ou simetria é um movimento rígido no
plano que aplica um ornamento sobre si mesmo. Isto
quer dizer que ao efetuar um movimento em uma
figura ou elemento gerador sua forma e seu tamanho
não variam.
BIEMBENGUT
; HEIN, 2000.
Reflexão
A reflexão em torno de uma reta r é a transformação
geométrica 𝑆𝑟 que faz corresponder a cada ponto A
do plano o ponto 𝐴′ = 𝑆𝑟(𝐴), simétrico de A em
WAGNER,
1993.
42
relação a reta r. A reflexão é uma isometria e,
portanto, transforma cada figura em outra congruente
a ela.
Função
quadrática
A função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
com a, b e c reais e 𝑎 ≠ 0, denomina-se função
quadrática. Os números representados por a, b, e c
são os coeficientes da função.
GIOVANNI,
2002.
Translação
horizontal de
uma função
Aplicando a translação horizontal (𝑥, 𝑦) → (𝑥 +
𝑚, 𝑦) ao gráfico da função 𝑓: ℝ → ℝ, obtém-se o
gráfico da função 𝑓1: ℝ → ℝ, tal que, 𝑓1(𝑥) =
𝑓(𝑥 − 𝑚), para todo 𝑥 ∈ ℝ.
LIMA, 2006.
Translação
vertical de
uma função
A translação vertical (𝑥, 𝑦) → (𝑥, 𝑦 + 𝑘) transforma
o gráfico da função 𝑓: ℝ → ℝ no gráfico da função
𝑓1: ℝ → ℝ, tal que, 𝑓1(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑘, para todo 𝑥 ∈
ℝ.
LIMA, 2006
Sequências
É qualquer função 𝑓 cujo domínio é ℕ∗. Por
exemplo, (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, … ), onde 𝑎𝑛 é o termo geral
da sequência, onde o subscrito (índice) indica a
posição do termo ou do elemento na sequência. Se a
sequência possui o último termo dizemos que a
mesma é finita, caso contrário, é infinita. Ainda, uma
sequência pode ser considerada um padrão numérico.
GIOVANNI,
2002.
Análise preliminar:
Ao analisar a obra “Vonal Stri” foram constatadas algumas características relevantes
que puderam contribuir de forma significativa na elaboração da réplica através do GeoGebra,
tais como, o lugar geométrico dos pontos que satisfazem determinadas funções que tendem a
levar o observador aos vértices do quadrado central da obra. Para isso foi necessário considerar-
se uma rotação de 90° no sentido anti-horário, a fim de serem utilizadas funções quadráticas
para modelar a posição dos vértices dos polígonos definidos, conforme ilustrado na Figura 23.
43
Figura 23: Identificação de funções quadráticas na obra “Vonal Stri”.
Fonte: Construção feita no GeoGebra pela autora.
Ao contrário das outras obras e imagens, nesta não se obteve muitas informações, além
desta, na observação da imagem estática. Assim, recorreu-se ao software GeoGebra a fim de
serem identificadas mais características da obra. Nesse sentido, pode-se concluir que, as quatro
funções identificadas na Figura 23, podem ser representadas analiticamente por uma única lei
de associação, pois a partir de uma delas, é possível através de translações constituir as demais.
Além disso, é perceptível uma sequência de polígonos que são formados a partir de
pontos sobre o gráfico destas funções.
Construção no recurso:
Após a análise anterior, iniciou-se a construção da réplica. No entanto, para a definição
da lei de associação da função que serviria de base para a construção das outras foi necessário,
modelar através da análise do comportamento da função quadrática à medida que os seus
parâmetros fossem alterados. Isso foi feito através do GeoGebra, pois este permite a inclusão
de imagens na tela gráfica. Assim, com a variação dos parâmetros e, tendo conhecimento do
que cada um destes poderiam afetar na representação geométrica, obteve-se algebricamente a
representação de uma função que melhor se aproximasse dos pontos que corresponderiam aos
vértices dos polígonos definidos na imagem da obra de arte. Cabe salientar, que inicialmente,
criou-se no GeoGebra um quadrado de lado medindo 0,4 u.c. (quadrado central) e outro
medindo 12 u.c. (quadrado maior), sendo que, os pontos destes quadrados serviram como
pontos que satisfariam a representação algébrica das referidas funções.
44
A função quadrática modelada dessa forma foi representada por
𝑓(𝑥) = −6
34,8𝑥² −
2,4
69,6𝑥.
Sendo que a mesma satisfaz os pontos: A=(0,0), B=(-6,-6) e C=(-0,2, 0). A partir dessas, as
outras três funções foram obtidas. Para a função refletida em relação ao eixo das ordenadas,
utilizou-se a definição de função quadrática, pois nesta nova função o argumento b é positivo,
assim a função resultou, em termos algébricos,
𝑔(𝑥) = −6
34,8𝑥2 +
2,4
69,6𝑥.
Para as outras duas funções que estão localizadas no primeiro e segundo quadrante, foi
necessário utilizar alguns conceitos de translação horizontal e vertical de funções. Para tanto,
foram transladas as funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥), respectivamente. Assim, obteve-se 𝑓1(𝑥) =
(−6
34,8(𝑥 − 6)² −
2,4
69,6(𝑥 − 6)) + 6 e 𝑔1(𝑥) = (
−6
34,8(𝑥 + 6)2 +
2,4
69,6(𝑥 + 6)) + 6.
As quatro funções descritas foram determinadas em um intervalo apropriado, no qual
estes variaram de acordo com os valores dos pontos dos quadrados construídos inicialmente.
Ou seja, 𝑓(𝑥) = −6
34,8𝑥² −
2,4
69,6𝑥 , definida em −6 ≤ 𝑥 ≤ −0,2; 𝑔(𝑥) =
−6
34,8𝑥2 +
2,4
69,6𝑥, em
0.2 ≤ 𝑥 ≤ 6; 𝑓1(𝑥) = (−6
34,8(𝑥 − 6)² −
2,4
69,6(𝑥 − 6)) + 6, em 0,2 ≤ 𝑥 ≤ 6 e 𝑔1(𝑥) =
(−6
34,8(𝑥 + 6)2 +
2,4
69,6(𝑥 + 6)) + 6, definida em −6 ≤ 𝑥 ≤ −0,2. Para uma melhor
compreensão ilustra-se as mesmas na Figura 24.
Figura 214: Funções aproximadas modeladas através do GeoGebra.
Fonte: Construção feita no GeoGebra pela autora.
A partir da construção das funções, foi possível criar uma sequência finita de pontos, os
quais foram definidos sobre as respectivas funções, ou seja, seriam pontos cujas coordenadas
45
correspondem a (𝑎, ℎ(𝑎)), onde 𝑎 varia de acordo com o intervalo 𝑥 já pré-determinado e h,
corresponde às funções f, g, f1 e g1. A Figura 25 mostra as sequências assim definidas.
Figura 225: Sequência de pontos definidos sobre as funções modeladas.
Fonte: Construção feita no GeoGebra pela autora.
Com os pontos das sequências definidos conseguiu-se construir os quadriláteros
compostos por um ponto de cada uma das sequências resultando, na réplica da obra de arte em
questão, conforme ilustrado na Figura 26.
Figura 236: Réplica da obra de arte “Vonal Stri”.
Fonte: Construção feita no GeoGebra pela autora.
46
Ainda, convém lembrar que, ao finalizar a construção da réplica percebeu-se que, ao
rotacionar a figura inicial da obra, havia uma impressão de mudança na questão visual da
mesma. No entanto, sabe-se que as propriedades dos objetos que a constituem se mantém.
No transcorrer da análise e/ou construção da réplica foram identificados alguns
questionamentos que futuramente podem compor uma proposta de atividades de ensino
envolvendo o tema escolhido. Os questionamentos são os seguintes:
1. Em termos geométricos, o que se visualiza na obra?
2. Quanto a ideia visual de profundidade identificada na obra, o que pudesse associar
algebricamente para descrevê-la? E geometricamente?
3. Como pode se classificar as funções que modelam a ideia de profundidade identificada?
4. Quais são as características deste tipo de função?
5. Existe alguma relação entre os quatro ramos que podem ser identificados na obra?
47
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
As considerações descritas aqui não têm a pretensão de serem entendidas como
acabadas ou prontas. No entanto, podem ser vistas como resultado desta pesquisa partindo dos
subsídios teóricos apresentados interligados com os conhecimentos adquiridos pela acadêmica
durante o desenvolvimento deste trabalho.
Pautando-se nos aspectos já mencionados e observados no desenvolvimento desta
pesquisa, e que foram relatados detalhadamente no capítulo de metodologia, pode-se concluir
que, a partir de diferentes momentos, sejam eles nas análises preliminares e/ou na elaboração
das réplicas das imagens selecionadas envolvendo a ilusão de óptica, diversos conteúdos
matemáticos emergiram, relacionando-se entre si, em diferentes representações. Sendo
necessária a retomada de vários conceitos e propriedades envolvendo conteúdos de geometria,
álgebra, matemática discreta e cálculo.
Dessa forma, este trabalho contribuiu para que determinadas conexões fossem feitas
entre os conteúdos. Além disso, o uso do GeoGebra esteve presente na pesquisa como uma
ferramenta de apoio importante, pois houve a necessidade de uso de diversos conteúdos
matemáticos para compor a elaboração das réplicas.
Por outro lado, durante a etapa de constituição das réplicas, a partir de reflexões e estudo,
diversos questionamentos foram feitos. Tanto no sentido, dos conteúdos necessários para a sua
elaboração, bem como, de questionamentos relativos ao que influenciava diretamente para que
fossem mantidas as ilusões de ótica apresentadas em cada imagem. Sendo que, o caráter
dinâmico do recurso utilizado foi de grande valia para auxiliar a validar, ou não, as conjecturas
feitas em cada construção.
Também, uma das contribuições que este trabalho proporcionou foi a pesquisa e estudo
realizados para constituir a relação entre a matemática e as artes. Diversos aspectos da ilusão
de ótica contidas em obras de arte e imagens foram aprendidos. Ainda, mencionam-se os
conhecimentos adquiridos, relativos a artistas brasileiros, que se dedicaram em produzir seus
trabalhos na linha da op art. Além disso, foi possível constatar que este tipo de arte está presente
em diversos livros didáticos de matemática.
Para finalizar, espera-se que este trabalho possa ter continuidade futuramente na
realização de uma pós-graduação pela autora, em particular, no Mestrado em Educação
Matemática e Ensino Física da Universidade Federal de Santa Maria.
48
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51
APÊNDICE: Protocolo de construção no GeoGebra dos principais arquivos das réplicas
1 – “Ilusão de Ebbinghaus”
52
2 – “Concreção 9216”
53
54
3 – “Cafe Wall”
55
4 – “Vonal Stri”
56
57