geometria dinÂmica: um blog dedicado às curvas...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS
MATEMÁTICA LICENCIATURA
GEOMETRIA DINÂMICA: Um blog dedicado às
curvas planas
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
Adriano Fior Dos Santos
Santa Maria, RS, Brasil
2014
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GEOMETRIA DINÂMICA: Um blog dedicado às
curvas planas
Adriano Fior Dos Santos
Trabalho de Conclusão de Curso (TCC) apresentado ao Curso de
Matemática Licenciatura, do Centro de Ciências Naturais e Exatas, da
Universidade Federal de Santa Maria (UFSM-RS), como requisito parcial
para obtenção do grau de Graduado em Matemática Licenciatura
Orientadora: Carmen Vieira Mathias
Santa Maria, RS, Brasil
2014
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Universidade Federal de Santa Maria
Centro de Ciências Naturais e Exatas
Curso de Licenciatura em Matemática
A Comissão Examinadora, abaixo assinada,
aprova o Trabalho de Conclusão de Curso
GEOMETRIA DINÂMICA: Um blog dedicado às curvas planas
elaborado por:
Adriano Fior dos Santos
Comissão Examinadora:
Carmen Mathias Vieira, Dr
(orientadora)
Edson Sidney Figueiredo, Dr
Inês Farias Ferreira, Dr
Santa Maria, 02 de dezembro de 2014
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RESUMO
Este trabalho de conclusão de curso, tem como objetivo a apresentação de blog,
desenvolvido pelo autor, no qual expõem-se algumas curvas planas. A ideia do trabalho
é dar suporte as pesquisas virtuais sobre curvas planas na rede.
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SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................ 6
1. AS TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO ........................................ 8
2. CURVAS PLANAS ............................................................................................................ 11
3. O BLOG: ALGUMAS CURVAS PLANAS....................................................................... 13
3.1 Secções Cônicas .......................................................................................................... 14
3.2 Parábola ....................................................................................................................... 15
3.2.1 Mecamismo articulado ............................................................................................... 15
3.2.2 Parametrização .......................................................................................................... 17
3.2.3 Aplicação .................................................................................................................... 18
3.3 Elipse ........................................................................................................................... 19
3.3.1 Mecanismo Articulado ............................................................................................... 19
3.3.2 Parametrização ........................................................................................................... 21
3.3.3 Aplicação .................................................................................................................... 23
3.4 Hipérbole ..................................................................................................................... 23
3.4.1 Mecanismo Articulado ........................................................................................ 24
3.4.2 Parametrização .................................................................................................... 27
3.4.3 Aplicação ............................................................................................................. 28
3.5 Ciclóide ....................................................................................................................... 29
3.5.1 Parametrização .................................................................................................... 30
3.5.2 Ciclóide reduzida e Alongada ............................................................................. 31
3.6 Epiciclóide ................................................................................................................... 32
3.6.1 Parametrização .................................................................................................... 33
3.6.2 O traço da epiciclóide .......................................................................................... 34
3.6.3 Epiciclóide reduzida e alongada .......................................................................... 36
3.6.4 Casos especiais .................................................................................................... 37
3.7 Hipociclóide ................................................................................................................ 38
3.7.1 Parametrização .................................................................................................... 39
3.7.2 O traço da hipociclóide ....................................................................................... 40
3.7.3 Hipociclóide reduzida e alongada ....................................................................... 41
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................................... 43
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................... 44
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INTRODUÇÃO
Vive-se sob um fluxo intenso e dinâmico de informação e comunicação, talvez
inimaginável para muitos que viveram a algumas décadas atrás. Segundo Kenski (2007,
p. 28) o avanço tecnológico das últimas décadas garantiu a produção e propagação de
informações, assim como a interação e a comunicação em tempo real, ou seja, no
momento em que o fato acontece. Neste contexto, a internet, tem tomado um papel
importante, não apenas como um meio de interação entre indivíduos, mas também como
veículo de informações. Com seu uso, tornou-se muito prática a realização de pesquisas
dos mais variados assuntos, desde entreterimento a conhecimentos científicos.
Os conteúdos matemáticos não representam uma exceção, para as pesquisas
virtuais, e com isso é importante que existam sites capazes de suprir com confiabilidade
tais pesquisas. Com isso, propõe-se neste trabalho o desenvolvimento de um blog, sobre
algumas curvas planas, contendo definições, desenvolvimento e organização histórica.
A construção desse blog tem o intuito de facilitar a compreensão deste assunto.
Pretende-se apresentar nesse espaço elementos dinâmicos, com os quais serão
exploradas as propriedades das curvas, assim como os efeitos da variação dos
parâmetros que as determinam.
Os elementos dinâmicos presentes no blog são applets, desenvolvidos por meio
do software GeoGebra, que contém animações que exemplificaram como a curva é
obtida. Por exemplo, no caso da ciclóide, que é um curva descrita por um ponto de um
circunferência que rola, sem deslizar, ao longo de uma reta. Para representar esse
movimento, foi produzida uma animação de um círculo girando sobre uma reta e
deixando um rastro do ponto �. Acredita-se que isso ajuda no entendimento, visto que
representa a situação de forma dinâmica.
A escolha do assunto, curvas planas, foi devido a um trabalho realizado durante
a graduação, na disciplina de Cálculo III, no qual recebeu-se a definição de uma
determinada curva e como tarefa foi solicitado sua parametrização, um apanhado
histórico e apresentação de aplicações de tal curva. Durante a realização desse trabalho,
pouco se encontrou sobre tais curvas no meio virtual. Se percebeu ainda, no decorrer
das aulas da disciplina, a grande dificuldade que a maioria dos colegas de turma
possuíam na visualização através da representação estática dada pelo “giz e quadro
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negro”. Tal disciplina possui uma grande evasão, possivelmente esta dificuldade foi
uma das responsáveis por esse número de alunos desistentes. Desta forma, o intuito
deste trabalho é dar um apoio didático aos alunos, para que através de visualizações
mais dinâmicas, possam melhor compreender os conceitos envolvidos em curvas
planas.
A escolha do software GeoGebra para produção dos applets se deve
principalmente por se tratar de um software de domínio público, que gera applets quase
automaticamente. Com isso, as pessoas que acessarem o blog, poderão baixar o
GeoGebra e trabalhar o assunto de forma autônoma, ou depois de analisarem as
construções podem desenvolver outros applets sobre o assunto.
O presente trabalho possui a seguinte organização. Os dois primeiros capítulos
refém-se a referenciais teóricos, respectivamente às Tecnologias da Informação e
Comunicação e às curvas planas. No terceiro capítulo, apresenta-se o blog produzido,
nesta seção, encontra-se em textos as postagens realizadas no blog. Por fim, são
realizadas as considerações finais.
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1. AS TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO
Quando se faz uso da expressão “tecnologia”, as primeiras coisas que vêm em
mente são equipamentos e aparelhos eletrônicos, como celulares, computadores entre
outros. No entanto, o conceito de “tecnologia” engloba muito mais que isso, sendo a
totalidade de coisas que o homem com sua engenhosidade consegue criar em todas as
épocas, suas formas de uso e suas aplicações.
Neste contexto, as Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) são vistas
como toda criação realizada com a finalidade de comunicação e trocas de informações.
Referimos-nos, desde a linguagem oral, que se desenvolveu de forma particular em cada
agrupamento humano, criando a possibilidade de que o conhecimento e a cultura de
cada agrupamento fosse transmitido de geração em geração. Passando pela escrita que
proporcionou uma forma para que a transmissão do conhecimento e da cultura não
dependesse unicamente da repetição e memorização de diálogos, além de possibilitar
um maior afastamento físico e temporal daquele que escreve para os que lêem. Entre
outras tantas criações humanas com a finalidade de ampliar a comunicação e difundir as
informações. Segundo Kenski:
Jornais, revistas, rádio, cinema, vídeos etc, são suportes midiáticos populares, com enorme penetração social. Baseados no uso da linguagem oral, da escrita e da síntese entre som, imagem e movimento, o processo de produção e uso desses meios compreendem tecnologias específicas de informação e comunicação, as TICs. (KENSKI, 2007, p. 27).
Com os avanços tecnológicos das últimas décadas, surgiram Novas
Tecnologias de Informação e Comunicação (NTIC), como a televisão e recentemente as
redes digitais, a internet. Com a difusão do uso dessas tecnologias, o adjetivo “novas”
vai sendo largado e todas são ditas TIC. A utilização das NTIC no ensino,
especificamente a internet e os softwares educacionais, tem sido alvo de grande
interesse. Visto que, estas tecnologias tornaram-se grandes aliadas na busca por novas
proposta de ensino, nas quais visa-se despertar a curiosidade e o interesse sobre um
assunto específico.
Assim, pensando na inclusão das tecnologias no ensino, muitos pesquisadores
investigam sobre a utilização de ferramentas interativas destinadas ao ensino e
aprendizagem. Uma dessas ferramentas são os blogs, originalmente criados para outros
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fins, conforme argumenta Bitencourt (2014), segundo essa autora, blogs são páginas na
internet onde as pessoas escrevem sobre diversos assuntos, que podem vir
acompanhadas de figuras e sons. Tais sites podem ter caracter colaborativos, ou seja,
outras pessoas poderem colocar comentários sobre o que está sendo escrito e ou
colaborar com conteúdo para incrementar o site. É um recurso que pode servir de
comunicação entre família, amigos, grupos de trabalho, ou até mesmo empresas. Muitos
utilizam como diários virtuais, escrevendo mensagens envolvendo o lado pessoal,
emocional e profissional.
Ainda sobre blogs Montovani afirma que:
Os blogs, em seu aspecto estrutural de publicação, se apresentam na forma de uma página web atualizada frequentemente, composta por pequenos parágrafos apresentados de forma cronológica, como uma página de notícias ou um jornal que segue uma linha de tempo com um fato após o outro. Estes blocos de textos são chamados de posts que podem ser escritos apenas pelo autor do blog ou por uma lista de membros que ele convide e autorize a postar mensagens. (MONTOVANI, 2006, p. 331)
No caso o Blog que se propõem nesse trabalho, será voltado à área
educacional, que corroborando com o que diz Boeira (2008), esa ferramenta é um
importante instrumento de comunicação, interação e compartilhamento de idéias,
informações e conhecimentos de forma colaborativa, e por essas características, torna-se
importante e pode ser explorada potencialmente na área educacional.
Acredita-se que, por meio da utilização de um blog, que é mais uma entre as
várias ferramentas tecnológicas que podem ser encontradas na rede, o professor de
Matemática e ou outras áreas, pode introduzir essa ferramenta em meia às aulas, criando
oportunidades diferentes aos seus alunos, podendo motivá-los e desafiá-los com outros
tipos de recursos.
Algumas pesquisas realizadas vem ao encontro das possibilidades vislumbra-
das, como por exemplo o trabalho de Saviscki (2013), que apresenta resultados do uso
de um blog no ensino de trigonometria na 2ª série do Ensino Médio. Essa autora,
destaca que por meio desses recursos, professores e estudantes podem fazer pesquisas,
analisar, refletir e encontrar soluções para problemas propostos, ao mesmo tempo em
que se apropriam de maneiras diversas do uso das tecnologias dígitais.
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Além dessa pesquisa, destaca-se o trabalho de Rancan e Giraffa (2011) que
investigou o uso de um blog como elemento de extensão às atividades presenciais.
Segundo as autoras.
A proposta metodológica se fundamenta na criação de atividades utilizando materiais concretos e atividades complementares disponibilizadas no Blog, apresentando uma abordagem diferente da tradicional. Os resultados obtidos com esta investigação indicaram que a criação de propostas metodológicas que incluam os recursos de comunicação utilizados por esta geração digital, associados a materiais concretos, facilitam o entendimento e o estudo dos alunos, além de auxiliarem na e aproximarem a melhora a comunicação da turma entre si e com o professor. (RANCAN, GIRAFFA, 2011, p.1)
Ambas pesquisas apontam pontos positivos na utilização de ferramentas do
tipo blog no processo de ensino aprendizagem de conteúdos de Matemática, sejam eles
da grade curricular, como é o caso da trigonometria, ou como é o caso dos origamis, no
trabalho de Rancan e Giraffa. Além disso, acredita-se que o trabalho realizado por
Santos (2013), mereça destaque, visto que utiliza de um blog para investigar seu uso
como apoio para a formação de professores, proporcionando aos mesmo, uma
experiência sobre o uso de recursos tecnológicos na sua prática docente.
Para criar um ambiente dinâmico, no blog, foram usados applets, que são
softwares aplicativos executados no contexto de outro programa. No caso deste
trabalho, os applets foram gerados com o software GeoGebra, os quais foram incluído
no blog que foi criado.
O GeoGebra é classificado como um software de geometria dinâmica.
Segundo Alves e Soares.
O termo geometria dinâmica foi inicialmente usado por Nick Jakiw e Steve
Rasmussen da Key Curriculum Press, Inc. com o objetivo de diferenciar este
tipo de software dos demais softwares geométricos. Comumente ele é
utilizado para designar programas interativos que permitem a criação e
manipulação de figuras geométricas a partir de suas propriedades, não
devendo ser visto como referência a uma nova geometria. (ALVES E
SOARES, 2003, p. 4)
Através das representações dinâmicas oferecidas pelo GeoGebra, os aplicativos
construidos e incluidos no blog possuem ter uma representação mutável, diferentemente
das representações estáticas dadas pelo “lápis e papel” ou “giz e quadro negro”. Por
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exemplo, a presença de controles deslizantes, que permitem modificar os parâmetros
que definem as construções das curvas, assim alterando as mesmas.
2. CURVAS PLANAS
Nessa seção, a bibliografia de apoio foi Alencar (2003), cuja definição intuitiva
de curva plana é dada da seguinte forma.
(...) gostaríamos de pensar em uma curva no plano como um subconjunto que tenha dimensão igual a 1, por exemplo, o gráfico de uma função de uma variável real ou figuras “desenhadas” com um único traço, sem tira o lápis do papel. De forma um pouco mais precisa, uma curva é uma deformação contínua de um intervalo, ou ainda, a trajetória de um deslocamento de uma partícula no plano. (ALENCAR, 2003, p.11)
Ainda conforme o mesmo autor, em um primeiro ponto de vista, pode-se
considerar uma curva plana como o conjunto de pontos ��, �� ∈ ℝ, que satisfazem
uma equação do tipo
���, �� = 0
Nesse ponto de vista, são exemplos de curvas planas: as Elipses, as Hipérboles, a
Lemniscata. Todavia, nem sempre é fácil descrever uma curva desse modo. E também,
existem curvas que se enquadram muito bem nessa visão, mas que não se enquadram na
idéia intuitiva de uma figura “traçada” sem tirar o lápis do papel, por exemplo a
hipérbole, que para trabalhar com essa cônica neste trabalho iremos considerá-la a união
de duas curvas, que serão seus dois ramos.
Em Geometria Diferencial, Alencar (2003, p. 14) toma a idéia intuitiva que
uma curva plana descreve a trajetória contínua do movimento de uma partícula no
plano. Assim, dado que um ponto ���� represente a posição de uma partícula em
movimento contínuo, quando o tempo � varia num intervalo [� , �], o conjunto que
iremos considerar é � = � ���� ∈ ℝ, � ∈ [ �, �] �. A vantagem dessa abordagem é que
ela poderá ser facilmente formalizada e conterá várias informações sobre como o ponto ���� percorre o subconjunto �, o sentido que o ponto “anda”, podemos definir a sua
velocidade e sua aceleração no instante � entre outras informações.
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Uma definição formal para curvas planas encontrada em Alencar (2003, p14) é a
que segue: Uma curva contínua no plano ℝ é uma aplicação contínua � ∶ � → ℝ, definida num intervalo � ⊂ ℝ. A aplicação �, dada por ���� = �����, �����, é
contínua se cada função coordenada �, � ∶ � → ℝ é uma função contínua.
O conjunto imagem � dessa aplicação, é chamado de traço da curva. Observe
que, essa definição permite estudar todo movimento da partícula, não apenas o seu
traço. Por exemplo, a curva dada pela aplicação ���� = �2 cos �, 2 "#$ �� com � real,
tem como traço uma circunferência de raio 2 centrada na origem, no entanto quando t
percorre os reais, o ponto ���� move-se sobre esta circunferência um número infinito de
vezes.
Se ���� é uma curva num intervalo � = [�, �] e ���� = ����, a curva é dita
fechada. Se a cada ponto da curva correspondente um único valor do parâmetro t
(exceto quando � = � e � = �), a curva é dita simples. Uma curva �: ℝ → ℝ é dita
periódica se existe un número real & > 0, tal que:
��� + &� = ����, ∀ � ∈ ℝ. O menor valor &* para o qual a equação acima se verifica é chamado de período
de �. A curva fica totalmente determinada por uma restrição a um intervalo da forma [�*, �* + &*]. Exemplos de curvas períodicas são as ciclóides, as elipses, entre outras.
No que segue, descreve-se o blog sobre curvas planas que foi construído com
base nas definições e considerações anteriormente colocadas.
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3. O BLOG: ALGUMAS CURVAS PLANAS
Como mencionado na introdução o blog aqui apresentado foi pensado para
alunos de diversos níveis, não especificamente àqueles que estão cursando alguma
disciplina de graduação. O mesmo foi desenvolvido pelo autor deste trabalho, utilizando
a ferramenta online Blogger (SANTOS,2014). A figura 1, apresenta a tela inicial.
Figura 1: Tela inicial do blog: Algumas curvas planas
Um problema na produção do blog foi a escrita de termos matemáticos, visto
que a linguagem HTML ainda não propicia a escrita de equações matemáticas com boa
estética nos textos publicados (pelo menos, não facilmente). As equações inseridas no
blog foram inseridas com o uso de imagens. Para realizar as inserções utilizou-se o
editor online de equações CODECOGS.
A seguir, apresentamos as postagens do blog na sua ordem cronológica. As
figuras aqui expostas representam elementos inseridos no site, que representam,
imagens, vídeos e applets.
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3.1 Secções Cônicas
Parábola, elipse e hipérbole são conhecidas como as secções cônicas, por serem
curvas que inicialmente eram obtidas da secção de cones: acutângulo, retângulo e
obtusângulo. A figura 2, apresenta um esboço da situação acima descrita.
Figura 2: Secções cônicas
Por não serem definidas como lugares geométrico num plano que satisfaziam
uma propriedade, e por isso, eram classificadas por geômetras gregos como “lugares
sólidos” (Boyer, 1996, p. 101). E por cerca, de um século e meio, foram apenas
designadas pelo modo de sua descoberta, por exemplo, secção de um cone acutângulo.
Segundo Rooney (2012, p. 101), o primeiro trabalho importante sobre cônicas,
foi escrito por Apôlonio de Perga, o qual, superou todos os demais trabalhos realizados
já publicados na época sobre cônicas. Apôlonio, aparentemente pela primeira vez,
mostrou que era possível obter todas as secções de um único cone, apenas alternando a
inclinação do plano de secção. Visto que, até então, tais planos de secção eram sempre
perpendiculares a um elemento do cone seccionado. Além de substituir o cone de uma
só folha, por um duplo, aproximando as curvas antigas, ao ponto de vista moderno. E
com isso, a hipérbole passou a ter dois ramos, como conhecemos hoje.
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Apôlonio, ainda introduziu os nomes elipse e hipérbole, possivelmente seguindo
sugestão de Arquimedes, que já teria se referido a secção de um cone retângulo por
parábola. (Boyer, 1996, p. 101)
Atualmente, essas curvas apresentam uma definição por lugares geométricos, em
relação a pontos chamados focos. Nas próximas postagens trataremos um pouco mais de
cada uma dessas cônicas.
3.2 Parábola
A parábola é descrita pela trajetória, em um plano, de um ponto P que se
mantém equidistante de um ponto F, nomeado como foco, e de uma reta desse plano,
nomeada por reta diretriz.
3.2.1 Mecamismo articulado
Assim como foi concebido o compasso, para traçar uma circunferência, tem se o
parabológrafo (figura 3), que traça parte de uma parábola.
Figura 3: Parabológrafo
Uma reprodução do parabológrafo, no GeoGebra, se baseia em um losango
ABCD articulado nos vértices, cujos lados possuem um comprimento fixo, o foco da
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parábola é o vértice B o qual é fixado, o vértice oposto D percorre a reta diretriz. E os
vértices A e C se movem, e variam os ângulos do losango. E completando o
mecanismo, um segmento perpendicular a reta diretriz que intercepta a diagonal AC, no
ponto P, o qual é o local onde é alocada no mecanismos a lapiseira, que traçará a
parábola. A figura 4 é uma representação do applet que reprodução o mecanismo no
GeoGebra. Para fazer uso dela, basta movimentar o ponto D sobre a reta.
Figura 4: Reprodução do parabológrafo no GeoGebra
Note que, o mecanismo usa o fato da diagonal AC estar contida na mediatriz do
segmento BD, que é o lugar geométrico dos pontos que equidistam das extremidades do
segmento BD.
Observe que não foram reproduzidos todos os elementos do parabológrafo
(figura 3) na reprodução com o GeoGebra, porém os que não estão reproduzidos são
meros suportes do mecanismo real, os quais mantém as propriedades necessárias, sendo
que no aplicativo utilizado não são fundamentais visto que os elementos foram
construídos de forma que as propriedades se mantenham.
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3.2.2 Parametrização
Para a parametrização da parábola, consideremos primeiramente que o foco
tenha as coordenadas +0, ,-, onde . é a distância do foco a reta diretriz (conforme a
figura 5).
Figura 5: Parábola
A figura 5, representa a imagem de um applet, onde pode ser alterada a distância
entre o foco F e a diretriz (reta tracejada), assim como movimentar o ponto D sobre a
reta.
Considera-se, sem perda de generalidade, o vértice da parábola com coordenadas �0, 0�, ou seja, será a origem do plano cartesiano. Com isso, o ponto P que descreve a
parábola, terá coordenadas ��, ��.
Assim, considera-se o parâmetro t, a abscissa do ponto P, ou seja, � = �.
Considerando D a projeção perpendicular de P, sobre a reta diretriz, tem-se (observa-se
que no decorrer do texto a notação /01111 denotará a medida do segmento XY, onde X e Y
são pontos quaisquer).
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�21111 = � + .2
e
��1111 = 3�² + +� − .2-. Como por definição, �21111 = ��1111, então:
� + .2 = 3�² + +� − .2-, O que implica
+� + .2- = � + � − �. + .4 . E portanto,
�. = � − �.. Daí,
2�. = �² ⇒ � = �2.. Logo, as equações paramétricas são:
8 � = �� = �2.
E para encontrar a equação cartesiana canônica, basta substituir t por x e
obtém-se:
� = �2.. 3.2.3 Aplicação
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Uma aplicação bem conhecida dessa curva, são as antenas parabólicas que
utilizam se da propriedade refletora do parábola, para ampliar a captura de sinal, para o
receptor, que é posicionado no foco, e assim todos os sinais que incidem na direção do
eixo da superfície parabolóide, ao serem refletidos pela antena tomam a direção do
receptor.
3.3 Elipse
Dados, dois pontos no plano, �9 e �, nomeados como focos, um ponto P, que se
move no plano de forma que a soma das distâncias dos focos ao ponto P, se mantém
sempre igual a uma constante 2�, descreve uma elipse.
3.3.1 Mecanismo Articulado
Um dos mecanismos mais utilizados para traçar elipses foi o Elipsógrafo de
Arquimedes. Apesar do seu nome, não existem nenhum documento que ateste sua
autoria, por este matemático. Todavia, Arquimedes foi um grande mecânico e construiu
mecanismos muito mais complexos que o elipsógrafo. A figura 6, é uma imagem de um
vídeo postado no blog que apresenta tal mecanismo.
Figura 6: Elipsógrafo de Arquimedes
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A reprodução do elipsógrafo de Arquimedes no GeoGebra, na figura 7, é
constituída por uma semirreta, na qual o ponto L representa a lapiseira do mecanismo. A
semirreta é fixada em dois pontos A e B móveis, os quais se movem sobre dos
segmentos fixos e perpendiculares. Com isso, ao passo que se move a semirreta, como a
distância entre A e B é fixa, estes pontos se movem sobre os segmentos para manter
essa distância. Nesse movimento o ponto L traça a elipse. E para realizar tal movimento
no GeoGebra o ponto B teve suas coordenadas associadas a um controle deslizante t, de
modo que ao variar esse controle, o ponto B percorre o um segmento fixo, e com isso
dando movimento a reprodução. Ao selecionar, a caixa “conferir se é uma elipse” são
exibidos, os focos �9 e �, os segmentos :�9 e :� e um texto dinâmico no qual pode se
verificar que a soma das distância do ponto L aos focos se mantém constante.
Figura 7: Elipsógrafo de Arquimedes
A figura 7, imagem do applet que possui movimento, para ativá-lo basta clicar
no botão no canto inferior esquerdo, ou variar o controle deslizante t.
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No elipsógrafo de Arquimedes os focos não são pontos do mecanismo, como no
caso do parabológrafo, então para criá-los afim de realizar a verificação, primeiro
precisamos determinar qual é a elipse que o mecanismo esta traçando.
Tomando como origem do plano cartesiano, a intersecção dos segmentos
perpendiculares fixos. E considerando :;1111 = �, :<1111 = � e o ângulo � que a semirreta
faz com o segmento fixo horizontal, das coordenadas do ponto L tiramos as seguintes
equações
=�� = cos ��� = sen � . Elevando se ambas as equações ao quadrado e as somando temos:
�� + �� = cos � + sen � , Logo,
�� + �� = 1
Chegamos assim, na equação cartesiana de uma elipse. De acordo com o sistema
cartesiano adotado, temos que os focos são os pontos �9 = �−A , 0� e � = �A, 0�, onde A² = �² − �.
3.3.2 Parametrização
Para determinar as equações paramétricas de uma elipse, com focos �9 =�−A, 0�, � = �A, 0� de modo que a soma das distância dos pontos L da elipse aos focos
seja 2�, vamos considerar duas circunferência de centro na origem de raio � e �, onde �² = �² − A². Note que isso implica que � > �.
A figura 8, é a imagem de um applet, que apresenta uma elipse entre duas
circunfências especificadas acima, ao alterar os controles deslizantes a e c altera a
elipse.
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Figura 8: Elipse
Com isso, seja um ponto : = ��, �� da elipse, por ele traçamos uma
perpendicular ao eixo das abscissas que intercepta a circunferência de raio � em um
ponto B = ��, �C� no mesmo quadrante.
Considerando o ângulo �, formado entre o segmento OC, onde O é a origem do
plano cartesiano, com o eixo x positivo, temos:
� = a cos �
E portanto
: = �� cos � , ��. Como L é um ponto da elipse então:
�� + �� = 1,
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Como L é um ponto da elipse então:
�� + �� = 1, Logo,
� = � sen �. Com isso podemos concluir, que a paralela ao eixo x passando por L, intercepta
o segmento OC, no ponto D, o qual é a intersecção da circunferência de raio b com o
segmento OC.
E portanto a elipse, tem como equações paramétricas:
E� = � cos �� = � sen �. 3.3.3 Aplicação
Segundo Pérez (2006 p. 236), o primeiro a estudar a elipse foi Menecmo (380-
320 a.c). Os focos de uma elipse foram estudados por Pappus de Alexandria. A elipse
foi aplicada na teoria de movimentos de planetas, por Johannes Kepler (1571-1630).
3.4 Hipérbole
Dados, dois pontos no plano, �9 e �, nomeados focos, um ponto P, que se move
no plano de forma que a diferença das distâncias dos focos ao ponto P, se mantém
sempre igual a uma constante 2�, ou seja, |��911111 − ��11111| = 2�, descreve no plano um
ramo de uma hipérbole.
Se os focos dados tem coordenadas: �9 = �−A, 0� e � = �A, 0�, para A > 0, e
seja � = ��, �� então:
GH�� + A� + � − H�� − A� + �G = 2�.
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Simplificando a equação acima, temos a equação cartesiana de uma hipérpole:
�� − �A − � = 1. Fazendo �² = A² − �², ficamos com a equação:
�� − �� = 1 , �1�
3.4.1 Mecanismo Articulado
Um dos mecanismos usados para traçar hipérbole é o Hiperbológrafo de
Delaunay, apresentado na figura 9.
Figura 9: Hiperbológrafo de Delaunay
Uma reprodução do Hiperbológrafo de Delaunay, no GeoGebra, é constituída
por um losango ABCD articulado, três retas, concorrentes num mesmo ponto O, das
quais duas são perpendiculares entre si, e a outra é oblíqua. Nesta última reta, tem-se um
ponto M, o qual esta ligado, por segmentos de mesma medida e menor que a medida do
losango, aos vértices A e C do losango, os quais estão sobre uma das outras duas retas.
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Com isso, a medida que o ponto M se move na reta oblíqua, ele movimenta os
vértices A e C sobre outra reta. Nos vértices B e D, que representam as lapiseiras, as
quais traçam, cada uma, um ramo da hipérbole. A figura 10, representa um applet da
reprodução do hiperbológrafo no GeoGebra, nela pode-se variar as medidas das varetas
que compõem o mecanismo, para dar movimento ao mecanismo deve-se movimentar o
ponto M sobre a reta obliqua.
Figura 10: Hiperbológrafo reproduzido no GeoGebra
Uma pergunta que pode ser realizada é se acurva apresentada se trata mesmo de
uma hipérbole? Vamos verificar que o mecanismo traça, de fato, uma hipérbole. Para
isso, escolhe-se as duas retas do mecanismo, perpendiculares entre si, como os eixos de
um sistema de coordenadas retangulares. Mostraremos que as coordenadas dos pontos
que traçam a curva, respeitam uma equação do tipo (1).
Designando como o eixo das ordenadas a reta na qual se movem os vértices A e
C, e o ponto O , que é a intersecção entre as três retas do mecanismo, será a origem do
sistema de eixos. E portanto como o eixo das abscissas a reta perpendicular a ela.
Considerando a diagonal BD do losango ABCD, das propriedades desse
quadrilátero, sabemos que o segmento BD, está contido na mediatriz do segmento AC, e
que portanto é perpendicular ao eixo das ordenadas. Como M é equidistante dos pontos
26
.
A e C ele também pertence a mediatriz do segmento AC. As coordenadas dos pontos M,
B, D são respectivamente ��C, ��, �−�, �� e ��, ��. Conforme figura 11.
Figura 11: Hiperbológrafo
Temos que o ponto M pertence a uma reta que passa pela origem, portanto suas
coordenadas respeitam uma equação do tipo: � = I�, onde k é um número real, não
nulo. Daí temos que suas coordenadas são +JK , �-. Agora considerando L a medida dos lados do losango e M a medida dos
segmentos AM e CM, note que com isso L > M. E sendo S a intersecção das diagonais
AC e BD, temos pelo triângulo retângulo SAD que:
� + N<B2 O = L, �2�
E pelo triângulo retângulo SAM temos que:
+�I- + N<B2 O = M², �3�
Então subtraindo (3) de (2) vem,
� − �I = �L − M�.
27
.
Dividindo ambos os membros da equação por �L − M� temos,
�L − M − �I�L − M� = 1 . Fazendo �² = L² − M² e �² = I²�L − M� chegamos em (1).
Observe que o exposto acima é válido para as coordenadas do ponto B, sendo
que suas coordenadas são �−�, ��, que irão respeitar a mesma equação visto que �−�� = �².
Agora analisemos um pouco o mecanismo, a medida que � determina o valor
do semi-eixo da hipérbole, e são os tamanhos dos lados do losango e do segmento AM,
que determinam o valor de �. Se nos perguntarmos quais os elementos que determinam
as coordenadas dos focos, sabemos que os focos possuem coordenadas �−A, 0� e �A, 0�
onde A² = �² + �². E com isso, analisando veremos que as coordenadas dos focos
dependem da inclinação I da reta onde o ponto M se desloca além, é claro, das medidas
dos lados do losango e do segmento AM.
3.4.2 Parametrização
Considerando as funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico dadas,
respectivamente, por
cosh � = #R + #SR2
e
"#$ℎ � = #R − #SR2 . Como cosh � − "#$ℎ � = 1, podemos parametrizar o ramo direito da hipérbole
pelo traço da curva �: ℝ → ℝ, definida pelas seguintes equações paramétricas:
U� = � cosh �� = � senh �.
28
.
3.4.3 Aplicação
A hipérbole tem como propriedade refletora que se a partir de qualquer ponto C
for direcionado um sinal a um dos focos, estando este foco no lado oposto a um dos
ramos da curva, em relação ao ponto C, então o sinal ao incidir sobre um ramo da
hipérbole, será refletido tomando a direção do outro foco. A figura 12, é uma applet que
apresenta esta propriedade, onde os controles deslizantes a e b referem-se aos
coeficientes da equação cartesiana mencionada acima.
Figura 12: Propriedade refletora da hipérbole
Uma aplicação dessa propriedade, são os telescópios de reflexão. Os quais são
constituídos basicamente por dois espelhos, um maior, chamado de primário, o qual é
parabólico, e um menor, hiperbólico. Os espelhos são dispostos, de forma que os eixos
da parábola e da hipérbole coincidam e que o foco da primeira coincida com um dos
focos da segunda.
29
.
Quando os raios de luz paralelos ao eixo da parábola, são refletidos pelo espelho
primário são dirigidos ao foco, pela propriedade refletora da parábola. E como este
também é foco da hipérbole, pela propriedade refletora da hipérbole os raios de luz são
refletidos e dirigidos ao outro foco da hipérbole. Os raios passam por um orifício, no
centro do espelho primário, atrás do qual encontra-se um lente ocular que permite
corrigir a trajetória da luz, que chega finalmente aos olhos do observador ou à película
fotográfica.
3.5 Ciclóide
A ciclóide é definida como o lugar geométrico do ponto fixo P da circunferência
de um círculo de raio V, que rola com velocidade constante e sem deslizar sobre uma
reta de um mesmo plano que o círculo. A figura 13 representa um applet sobre a
ciclóide, onde vizualiza-se o movimento descrito na definição acima.
Figura 13: Ciclóide
Segundo Pérez (2006, p. 93), o primeiro a estudar a ciclóide foi Nicolás de Cusa
(1401-1464), em 1450, quando tentava encontrar a área de um círculo por integração.
Marin Mersenne (1588-1648), deu a primeira definição própria da ciclóide e expressou
algumas propriedades elementares, como por exemplo: que a distância entre duas
cúspides adjacentes é igual a circunferência do círculo rolante. Mersenne tentou
encontrar a área abaixo da curva por integração, porém não obteve sucesso, e com isso,
em 1615, propôs a questão a outros matemáticos. O nome, ciclóide, foi atribuído por
30
.
Galileu Galilei (1564-1642) em 1599, que estudou suas propriedades durante 40 anos,
escrevendo sobre a ciclóide para Evangelista Torricelli (1608-1647), em 1639.
Segundo (Martins, 2005, p. 4) a ciclóide é a solução para um famoso problema:
Determinar entre todas as curvas suaves de um plano vertical, que une dois pontos �9 e �, estando o primeiro acima do segundo, na qual uma partícula deslizará de �9 a � no
menor tempo possível. Esse problema foi resolvido por Johann Bernoulli em 1696 e
recebeu o nome de problema da Braquistócrona (do grego tempo mais curto). A solução
também foi apresentada por Leibniz (1646-1716), Newton (1642-1727), Jacob Bernoulli
(1654-1705) e L’Hôspital (1661-1704).
3.5.1 Parametrização
Para a parametrização da ciclóide, consideraremos sem perda de generalidade
que o ponto P está na origem do sistema cartesiano e o eixo � é a reta na qual o círculo
de raio V rola, conforme a figura 14.
Figura 14: Ciclóide
31
.
Note que quando o círculo gira um ângulo t, seu centro O se move um
comprimento ;<1111. E como não existe deslizamento no movimento, temos que ;<1111 =<�W = V�. Como P pertence ao círculo, temos também que: X<1111 = V, XB1111 = V cos �
e �B1111 = V sen �. E com isso, as equações paramétricas da ciclóides são:
U���� = ;<1111 − �B1111 = V� − V sen ����� = X<1111 − XB1111 = V − V cos � .
3.5.2 Ciclóide reduzida e Alongada
Uma generalização dessa curva, é dada ao fixar uma haste de comprimento �,
sobre o raio que contém o ponto P, de tal forma que uma das extremidades da haste
coincida com o centro O do círculo. O lugar geométrico descrito pela outra
extremidade da haste, quando o círculo rola, tem como equações paramétricas:
U���� = ;<1111 − �B1111 = V� − � sen ����� = X<1111 − XB1111 = V − � cos � . Se V > �, obtém-se uma ciclóide reduzida. Que tende a se tornar uma reta,
quanto menor for o valor de �, conforme a figura 15.
Figura 15: Ciclóide reduzida
Se V Y �, obtém-se uma ciclóide alongada ou trocóide, conforme apresenta a
figura 16.
32
.
Figura 16: Trocóide.
3.6 Epiciclóide
A epiciclóide é definida como a trajetória de um ponto P, fixo a uma
circunferência de um círculo de raio r, que rola exteriormente, sem deslizar e com
velocidade constante, sobre a circunferência exterior de outro círculo fixo de raio R. A
figura 17, representa um applet sobre a curva. Nela pode-se variar os valores dos raios
dos círculos, além poder restringir o número de voltar que círculo rolante dá sobre o
fixo, usando o controle deslizante n.
Figura 17: Epiciclóide
33
.
A epiciclóide pode ser vista como uma generalização da ciclóide, onde troca-se
a reta, na qual um círculo rola, por outro círculo fixado. E como o círculo, rola sobre a
circunferência exterior do fixo, o que explica o nome de epiciclóide, visto que epi vem
do grego (sobre ou acima).
Segundo Pérez (2006, vol 1, p. 239), entre alguns dos nomes que estudaram, a
epiciclóide, se encontram: Alberto Durero (1471-1528), Girard Desargues (1591-1661),
Isaac Newton (1642-1727), Jacob Bernoulli (1654-1705) e Leonhard Euler (1707-
1783).
3.6.1 Parametrização
Para determinar a parametrização, da epiciclóide, iremos considerar como
origem do sistema cartesiano o centro O do círculo fixo. Por definição, os círculos são
tangentes, com isso temos que, o ponto de tangência A, esta sobre o segmento XXC, onde X’ é o centro do círculo rolante. Para determinar as coordenadas do ponto P,
iremos analisar as coordenadas do ponto X’, e assim encontrar as coordenadas de P, em
relação a X’. Tomaremos, que no início do movimento o ponto P, coincidia com o ponto
de tangência, com coordenadas �[, 0�, conforme figura 18.
Figura 18: Epiciclóide
34
.
Primeiramente, toma-se como parâmetro o ângulo � formado, entre o segmento XX′ e o eixo � positivo. Assim sendo as coordenadas do ponto X′ são dadas por:
U� = �[ + V� cos �� = �[ + V� sen �. Sendo ; = �[, 0�, o ponto de partida do ponto P, como não ocorre deslizamento
no movimento, temos que para qualquer ângulo �, os arcos <;W # <�W possuem a mesma
medida. E com isso temos que o ângulo � = XX′] � é igual a:
� = [V �. E considerando a reta perpendicular ao eixo � passando por X′, temos também
que o ângulo entre ^X′] �, onde H é o pé da perpendicular sobre o eixo �, é igual a:
^X′] � = � − +_2 − �- = [ + VV � − _2. E com isso, podemos determinar as coordenadas do ponto P, que são:
=� = �[ + V� cos � + V sen N[ + VV � − _2O� = �[ + V� sen � − V cos N[ + VV � − _2O.
Usando agora as propriedades de diferença de arcos temos:
=� = �[ + V� cos � − V cos N[ + VV �O� = �[ + V� sen � − V sen N[ + VV �O.
3.6.2 O traço da epiciclóide
O traço da epiciclóide, é sensível a razão ` = [ V⁄ . Se m for um número inteiro,
então o traço será constituído por m ramos, que não se cruzam, possuindo também m
cuspídes, que são os pontos de contatos da curva com círculo fixo. A figura 19,
apresenta um exemplo.
35
.
Figura 19: Epiciclóide com m sendo inteiro
Se m, for uma fração do tipo � �⁄ com `bA��, �� = 1, com � c 1, então o traço
terá � ramos que se cruzam, conforme figura 20, e o círculo rolante completará um
período em b voltas sobre o círculo fixo. E se m for um número irracional, então ao
contrário dos outros dois casos, a curva não será fechada, não possuíndo assim um
período.
Figura 20: Epiciclóide de razão m=2,5.
36
.
3.6.3 Epiciclóide reduzida e alongada
Analogamente ao caso da ciclóide, pode-se generalizar fixando se uma haste de
comprimento A, sobre o raio que contém o ponto P, de tal forma que uma das
extremidades da haste coincida com o centro X′ do círculo rolante. O lugar geométrico
descrito pela outra extremidade da haste, quando o círculo rola, tem como equações
paramétricas:
=� = �[ + V� cos � − A cos N[ + VV �O� = �[ + V� sen � − A sen N[ + VV �O.
E quando V > A, chama-se a curva de epiciclóide reduzida, e quando V Y A
chama-se de epiciclóide alongada ou epitrocoide. A figura 21, representa um applet,
semelhante a da figura 17, onde além dos raios pode-se variar o tamanho da “haste” de
comprimento c..
Figura 21: Epitrocoide,
37
.
3.6.4 Casos especiais
Há dois casos especiais da epiciclóide, quando [ = V, tem-se a cardioide,
conforme a figura 22.
Figura 22: Cardióide
Quando [ = 2V, tem-se a nefroide, conforme a figura 23.
Figura 23: Nefróide.
38
.
O primeiro a atribuir o nome cardióide a curva, segundo Pérez (2006, p. 81), foi
Francesco de Castillon (1704-1791). Seu nome é devido a sua semelhança com um
coração: da palavra grega kardia (coração) e eidos (forma).
E o nome da nefróide tem sua origem no termo grego nephros, que significa
forma de rim, e foi empregado por Proctor em 1878. Essa curva começou a ser estudada
por Huygens e Tschirnhausen em 1679. Alguns anos depois, os irmãos Bernoulli
dedicaram seus esforços: Jacob Bernoulli em 1692 e Daniel Bernoulli em 1725.
3.7 Hipociclóide
Dado um círculo fixo de raio R, e outro círculo de raio r, sendo que [ > V. Hipociclóide é o lugar geométrico, do ponto P fixo sobre a circunferência do círculo de raio r, quando este move-se sobre a parte interna da círcunferência do círculo de raio R, com velocidade constante e sem deslizar. A figura 24, representa um applet, sobre a curva, nela pode-se variar os valores dos raios dos círculos, além poder restringir o número de voltar que círculo rolante dá sobre o fixo, usando o controle deslizante n.
Figura 24: Hipociclóide
39
.
3.7.1 Parametrização
Considera-se, sem perda de generalidade, o sistema cartesiano cuja origem será o centro O do círculo fixo. Por definição, os círculos são tangentes, com isso temos que, o centro X′ do circulo rolante, esta sobre o segmento X<, onde A é o ponto de tangência entre os círculos. Para determinar as coordenadas do ponto P, iremos analisar as coordenadas do ponto X’, e assim encontrar as coordenadas de P, em relação a X’. E tomaremos, que no ínicio do movimento o ponto P, coincidia com o ponto de tangência, com coordenadas �[, 0�. Veja na figura 25.
Primeiramente, toma-se como parâmetro o ângulo � formado, entre o segmento XX′11111 e o eixo � positivo. Assim sendo as coordenadas do ponto X′ são dadas por:
U� = �[ − V� cos �� = �[ − V� sen �.
Figura 25: Hipociclóide.
Sendo ; = �[, 0�, o ponto de partida do ponto P, como não ocorre deslizamento
no movimento, temos que para qualquer ângulo �, os arcos <;W # <�W possuem a mesma
medida. E com isso temos que o ângulo � = <X′] � é igual a:
40
.
� = [V �. E considerando a reta perpendicular ao eixo � passando por X′, temos também
que o ângulo entre ^X′] �, onde H é o pé da perpendicular sobre o eixo �, é igual a:
^X′] � = <X′] � − <XCW^ = [V � − +_2 + �- = N[V − 1O � − _2. E com isso, podemos determinar as coordenadas do ponto P, que são:
=� = �[ − V� cos � − V sen N[ − VV � − _2O� = �[ − V� sen � − V cos N[ − VV � − _2O.
Usando as propriedades de diferença de arcos tem-se:
=� = �[ + V� cos � + V cos N[ + VV �O� = �[ + V� sen � − V sen N[ + VV �O.
3.7.2 O traço da hipociclóide
O traço da hipociclóide, é sensível a razão ` = [ V⁄ . Se m for um número inteiro, então o traço será constituído por m ramos, que não se cruzaram, possuindo também m cuspídes, que são os contatos da curva com círculo fixo. Na figura 26, temos que a razão é 4, e verifica-se que a curva possui quatro cúspides.
Figura 26; Hipociclóide com m=4
41
.
Se m, for uma fração do tipo � �⁄ com `bA��, �� = 1, com � c 1, então o traço terá � ramos que se cruzam, conforme figura 27. E se m for um número irracional, então ao contrário dos outros dois casos, a curva não será fechada, não possuíndo assim um período.
Figura 27: Hipociclóide de razão m=10/3
3.7.3 Hipociclóide reduzida e alongada
E como no caso da ciclóide e da epiciclóide, pode-se generalizar a hipociclóide fixando se uma haste de comprimento A, sobre o raio que contém o ponto P, de tal forma que uma das extremidades da haste coincida com o centro X′ do círculo rolante. O lugar geométrico descrito pela outra extremidade da haste, quando o círculo rola, tem como equações paramétricas:
=� = �[ − V� cos � + A cos N[ − VV �O� = �[ − V� sen � − A sen N[ − VV �O.
42
.
Quando V > A, chama-se a curva de hipociclóide reduzida, e quando V Y A chama-se de hipociclóide alongada ou hipotrocoide. A figura 28, representa um applet,
na qual pode-se variar as medidas dos raios e da “haste” de comprimento c.
Figura 28: Exemplo de uma hipociclóide reduzida.
E quanto as hipociclóides reduzidas, existe um tipo de régua especial, conhecida como régua mágica (figura 29), que desenha hipociclóides reduzidas.
Figura 29: Régua Mágica.
A régua, é composta por regiões circulares dentadas, com raios diferentes. E três peças circulares de tamanhos diferentes com dentes, para encaixarem nas regiões. E nessas peças existem furos, nos quais se introduz uma caneta ou lápis, e ao fazer que a peça movimente-se sobre as circunferências das regiões, obtem-se uma hipociclóide reduzida.
43
.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A ideia inicial do trabalho era realizar a construção de um site.No entanto, visto
que no projeto “Aplicativos para o Ensino de Geometria”, do qual participou-se em
2013, apresentou problemas de hospedagem do site, optou-se pela construção de um
blog para evitar problemas semelhantes, e para que tivessemos êxito em nossa proposta
de divulgação do trabalho na rede.
A ideia central do trabalho foi mostrar a capacidade de usar meios virtuais para
disseminar o conhecimento sobre conteúdos matemáticos, especificamente sobre
curvas. Acredita-se que o blog poderá continuar recebendo publicações, sendo estas de
autoria do proponente, ou caso algum professor do curso tenha interesse e queira
continuar, poderá desenvolver um projeto com alunos, ou ser ele próprio o responsável
por alimentar o ambiente. Pensamos que a ideia de um projeto com este viés
(tecnologias e matemática), é algo extremamente interessante, visto que propiciaria uma
oportunidade a alunos do curso de Matemática, de associar os aprendizados da
disciplina de Recursos Tecnológicos, recentemente colocada no currículo, com os
contéudos de Matemática Superior.
Por fim, acredita-se que o trabalho possibilitou ao autor uma experiência com a
ferramenta blog, voltado para o ensino de matemática, que poderá ser útil caso queira
desenvolver algo semelhante na prática docente. Além disso, esse trabalho proporcionou
uma revisão dos conceitos de curvas planas e um aprendizado maior sobre as mesmas,
visto que as construções realizadas demandaram um estudo mais aprofundado sobre o
tema.
44
.
REFERÊNCIAS
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45
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