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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA
CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
CURSO DE MATEMÁTICA-LICENCIATURA PLENA
ESTUDO DOS MÉTODOS GEOMÉTRICO E SIMPLEX DE
PROGRAMAÇÃO LINEAR: UMA APLICAÇÃO NA ANÁLISE
ENVOLTÓRIA DE DADOS
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
Fabiane Volpato Chiapinoto
Santa Maria, RS, Brasil
2014
ESTUDO DOS MÉTODOS GEOMÉTRICO E SIMPLEX DE
PROGRAMAÇÃO LINEAR: UMA APLICAÇÃO NA ANÁLISE
ENVOLTÓRIA DE DADOS
Fabiane Volpato Chiapinoto
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Matemática, Licenciatura Plena, da
Universidade Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito para aprovação na
disciplina Trabalho de Conclusão de Curso II (CCM 1001)
Orientadora: Profa Dra. Karine Faverzani Magnago
Santa Maria, RS, Brasil
2014
Universidade Federal de Santa Maria
Centro de Ciências Naturais e Exatas
Departamento de Matemática
Curso de Matemática-Licenciatura plena
A Comissão Examinadora, abaixo assinada, aprova o Trabalho de Conclusão de Curso
ESTUDO DOS MÉTODOS GEOMÉTRICO E SIMPLEX DE PROGRAMAÇÃO
LINEAR: UMA APLICAÇÃO NA ANÁLISE ENVOLTÓRIA DE DADOS
elaborado por
Fabiane Volpato Chiapinoto
como requisito para aprovação na Disciplina Trabalho de Conclusão de Curso II
(CCM 1001)
COMISSÃO EXAMINADORA:
Karine Faverzani Magnago, Dra. (UFSM)
(Orientadora)
Alice de J. Kozakevicius, Dra. (UFSM)
Antônio C. L. Bidel, Dr. (UFSM)
Santa Maria, RS, Brasil
2014
RESUMO
Trabalho de Conclusão de Curso
Curso de Matemática-Licenciatura plena
Universidade Federal de Santa Maria
ESTUDO DOS MÉTODOS GEOMÉTRICO E SIMPLEX DE
PROGRAMAÇÃO LINEAR: UMA APLICAÇÃO NA ANÁLISE
ENVOLTÓRIA DE DADOS
AUTORA: FABIANE VOLPATO CHIAPINOTO
ORIENTADORA: PROFa DRA. KARINE FAVERZANI MAGNAGO
Data e Local da Defesa: Santa Maria, 02 de dezembro de 2014.
Este trabalho apresenta os Métodos Geométrico e Simplex que fazem parte da Progra-
mação Linear; o estudo destes métodos é realizado dentro de um problema aplicado, com o
objetivo de maximizar o lucro de uma padaria. Ainda como aplicação, estuda-se um problema
da Análise Envoltória de Dados, pois um modo de resolvê-lo é usando a Programação Linear.
Cada Problema de Programação Linear abordado aqui pode ser resolvido utilizando o software
MATLAB, o que permite solucionar os problemas de maiores dimensões com mais pragma-
tismo. O trabalho está dividido em capítulos: Introdução, que faz uma abordagem histórica
da origem dos métodos, Introdução à Programação Linear: Métodos Geométrico e Simplex,
que explana como os métodos funcionam e alguns resultados que os embasam; Aplicação da
Programação Linear na Análise Envoltória de Dados, na qual é exibido um problema de ma-
ximização, que é modelado para ser resolvido a partir da Programação Linear e �nalmente o
cpítulo com as Considerações Finais, que trata da relevância do trabalho para a formação em
Matemática-Licenciatura Plena.
Palavras-chave: Programação Linear. Método Geométrico. Método Simplex. Análise Envol-
tória de Dados.
ABSTRACT
Completion of Course Work
Undergraduate Program in Mathematics - License
Federal University of Santa Maria
ESTUDO DOS MÉTODOS GEOMÉTRICO E SIMPLEX DE
PROGRAMAÇÃO LINEAR: UMA APLICAÇÃO NA ANÁLISE
ENVOLTÓRIA DE DADOS
AUTHOR: FABIANE VOLPATO CHIAPINOTO
ADVISOR: PROFa DRa KARINE FAVERZANI MAGNAGO
Defense Place and Date: Santa Maria, December 02st, 2014.
This paper presents the Geometric and Simplex Methods that are part of the Linear
Programming; �eld the study of such methods is performed for an applied problem. Anan as
application, we study a problem of Data envelopment analysis, because Linear Programming is
one of the possible methods a way to solve it. Each one of the Linear Programming Problems
discussed here can be solved by using MATLAB software, which allows the resolution of larger
problems with more pragmatism.This work is divided into chapters: 1. Introduction, which
provides a historical approach to the origin of the methods; 2. Introduction to Linear Program-
ming: Geometric Method and Simplex, which explains how the methods work and some results
that support them; 3. Application of Linear Programming to Data Envelopment Analysis, in
which a problem is shown, which is modeled to be solved by Linear Programming and Final
Considerations, which deals with the relevance of this work for the Math formation.
Key-words: Linear Programming. Geometric Method. Simplex Method. Data Envelopment
Analysis.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO 7
1. INTRODUÇÃOÀ PROGRAMAÇÃO LINEAR: MÉTODOS GEOMÉTRICO
E SIMPLEX 9
1.1 Problema de motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Problema Padrão de Programação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Método Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Tratamento matricial e Método Simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2. APLICAÇÃO DA PROGRAMAÇÃO LINEAR NA ANÁLISE ENVOLTÓ-
RIA DE DADOS 24
2.1 Modelo DEA com um recurso e um produto . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Modelo DEA com múltiplos recursos e múltiplos produtos . . . . . 28
CONSIDERAÇÕES FINAIS 34
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 35
APÊNDICE A - Código do software MATLAB 36
INTRODUÇÃO
No contexto da Matemática Aplicada, a Programação Linear (PL) teve desenvolvimento
recente, por volta dos anos 1940. Inicialmente, tinha como objetivo resolver problemas do
governo dos Estados Unidos, tais como melhorar a utilização do material bélico, durante a
Segunda Guerra Mundial (STRANG, 2010).
Em 1941, Histchcock (1875-1957) elabora o problema do transporte de carga, o qual
foi desenvolvido anos mais tarde por Koopmans (1910-1985), cujo objetivo era que a entrega
da carga fosse efetuada no menor tempo e com o menor custo total. Em 1945, Stigler (1911-
1991) formula o problema da dieta, no qual se tem o objetivo de combinar a quantidade de
nutrientes adequados, de modo que se minimize o custo com os alimentos (MIRSHAWKA,1971
apud SCHENEKEMBERG, 2012).
Com o �m da Segunda Guerra, a força aérea americana criou um grupo de estudos que
trouxe contribuições como a formulação do problema padrão de PL e a criação do Método
Simplex. A partir de então a PL passou a ser empregada para resolução de problemas de
diversas áreas.
Um problema de PL pode ser resolvido usando o Método Geométrico ou o Método
Simplex. A determinação do método depende da quantidade de variáveis envolvidas, sendo que
ao Método Geométrico cabem problemas bidimensionais, ou até tridimensionais, e o Simplex
adéqua-se a modelos em geral.
A PL está, portanto, ligada a problemas que precisem de uma tomada de decisão nos
quais é necessário que se maximize ou minimize alguma quantidade modelada por uma função
linear, sendo necessária a identi�cação das variáveis de decisão, da função objetivo e a imposição
de restrições. Nesse contexto, esta pesquisa tem os objetivos destacados a seguir.
Objetivo Geral
Estudar as teorias básicas de Programação Linear sob a ótica matemática e suas aplica-
ções típicas, utilizando conceitos já abordados durante o curso e dando uma �nalidade diferente
ao que já foi explorado através destes conteúdos até então.
Objetivos Especí�cos
• Estudar a estrutura de um Problema Padrão da Programação Linear;
• Estudar os Métodos de resolução Geométrico e Simplex no processo de resolução de um
problema aplicado;
8
• Explanar exemplo de aplicação na Análise Envoltória de Dados.
Este trabalho se justi�ca pois, ao longo do curso de Matemática Licenciatura da Uni-
versidade Federal de Santa Maria, são estudados conteúdos relacionados à Programação Linear
como, por exemplo, a ideia geométrica de função a�m, inequações, conjuntos conexos, sistemas
lineares e matrizes. Estes conceitos são explorados nas disciplinas de Álgebra Linear, Geometria
Analítica, Matemática Básica, Análise Real e Topologia, as quais integram a grade curricular
do curso.
Visto isso, a PL tange em muitos aspectos a matemática que fez parte do curso e tende a
agregar qualidade à formação pois, os une com um propósito distinto de todas as nuances dadas
durante o curso de licenciatura, podendo ainda assumir um caráter didático ou pragmático.
O capítulo 1 trata de casos de aplicação da PL, sob vários aspectos, explorando conceitos
dentro de um problema que busca maximizar o lucro de uma padaria, analisando os critérios
para determinar uma solução ótima pelo Método Geométrico, e posteriormente a de�nição do
Problema Padrão para resolução a partir do Método Simplex. Ainda trata o Método Simplex
pelo seu aspecto matricial, característica essa amparada pela Álgebra Linear. Já o capítulo
2 faz a aplicação na Análise Envoltória de Dados; para tanto são abordados alguns conceitos
inerentes ao entendimento deste modelo, como produtividade, e�ciência e e�cácia e o estudo
do modelo unidimensional, com únicos recurso e produto, para posterior extensão ao caso
multidimensional. Na sequência, encerra-se o trabalho apresentando-se Considerações Finais e
Referências Bibliográ�cas.
1. INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO LINEAR: MÉTODOS
GEOMÉTRICO E SIMPLEX
1.1 Problema de motivação
Tanto no comércio, quanto na indústria, existe o interesse de tomar decisões que maximi-
zem lucro e produtividade ou minimizem custos, tempo e distâncias na realização de processos.
Dentro deste contexto será proposto o problema a seguir:
Problema 1 : (Problema de produção)
Uma pequena padaria produz dois tipos de pães por dia: branco e integral, que diferem
apenas nos ingredientes A e B. Considere que cada quilo de pão branco contém 2 medidas
do ingrediente A e 1 medida do ingrediente B, enquanto cada quilo do pão integral contém 1
medida do ingrediente A e 2 medidas do ingrediente B. Suponha também que o lucro a cada
quilo de pão branco seja de 8 centavos, e de 10 centavos para o pão integral. Se a padaria tem
50 medidas do ingrediente A e 70 medidas do ingrediente B disponíveis por dia, quantos quilos
de pão branco e quantos quilos de pão integral devem ser produzidos por dia para maximizar
o lucro, considerando que a empresa em questão possa vender tudo que produz?
Formulação matemática:
Admita que x é o número de quilos do pão branco e que y é o número de quilos de pão
integral.
De acordo com o enunciado e com o que acaba-se de estabelecer, temos que a quantidade
necessária do ingrediente A é
2x+ y. (1)
Do mesmo modo estabelecemos que a quantidade necessária de ingrediente B será
x+ 2y. (2)
Deve-se lembrar que a quantidade disponível dos ingredientes é de 50 medidas do ingre-
diente A e de 70 medidas para o ingrediente B, assim �cam estabelecidas as seguintes relações:
2x+ y ≤ 50; (3)
x+ 2y ≤ 70. (4)
Ainda, x e y não podem ser negativos:
x ≥ 0 e y ≥ 0. (5)
10
O objetivo é encontrar valores de x e y que maximizem a seguinte função, denominada
função objetivo:
z = 8x+ 10y, (6)
sujeita às restrições que seguem
2x + y ≤ 50
x + 2y ≤ 70
x ≥ 0
y ≥ 0
. (7)
Solução geométrica
O problema em questão de Programação Linear possui duas variáveis, assim é cabível
uma solução geométrica.
Um ponto que satisfaz um Problema de Programação Linear (PPL) é denominado solu-
ção viável; o conjunto de todos esses pontos é dita região viável.
O objetivo é encontrar uma solução viável que faça com que z = 8x+10y assuma o maior
valor possível dentro desta região viável. Essa solução é dita solução ótima. Para obtermos
esta região de forma geométrica inicialmente representamos as restrições (5). A Figura 1 e
Figura 2 mostram duas delas e a Figura 3 a interseção das mesmas.
Figura 1: x ≥ 0
11
Figura 2: y ≥ 0
As restrições de (5) simultaneamente encontram-se na Figura 3 (região mais escura)
Figura 3: x ≥ 0 e y ≥ 0
No entanto, todas as restrições de (7) estão expressas na Figura 4 produzindo portanto
a região viável associada ao problema inicial. Estão destacados, na Figura 4 pontos que fazem
parte da região viável (A, B, C, D, E e O) e pontos que não fazem parte dela (F e G). Salienta-
se que os pontos A, B, C e O são extremos e D, E são pontos escolhidos da região viável para
�ns de testagem.
Figura 4: Todas as restrições
12
O Método Geométrico prevê a aplicação de um teste com a função objetivo, atribuindo-
lhe os valores A,B,C,D,E,O. Como F e G não fazem parte da região viável, não serão testados
(Figura 4). O resultado dessa avaliação é apresentado na Tabela 1.
Tabela 1: Avaliação de pontos na função objetivo
Ponto Valor de z = 8x+ 10y
O(0, 0) 0
A(0, 35) 350
B(10, 30) 380
C(25, 0) 200
D(5, 10) 140
E(20, 5) 210
Fonte: STRANG, 2009, p.514
Com isso pode-se perceber que o valor que otimiza z, dentre os valores A,B,C,D,E,O
é B(10, 30). No entanto a região viável possui in�nitos pontos e ainda não podemos a�rmar
que B seja o mais adequado ao problema; aquele que é considerado uma solução ótima.
Para possibilitar a determinação de uma solução viável serão expostas de�nições e teo-
rema que embasem a resolução do PPL, fazendo a restrição ao R2.
De�nição 1 O segmento de reta que une os pontos distintos P1(x1, y1) e P2(x2, y2) de R2 é o
conjunto de todos os pontos em R2 do tipo x = λx1+(1−λ)x2 e y = λy1+(1−λ)y2, 0 ≤ λ ≤ 1.
De�nição 2 Um conjunto não vazio S de pontos em R2 é chamado convexo se o segmento de
reta que une quaisquer dois de seus pontos em S também está inteiramente contido em S.
De�nição 3 Um conjunto convexo é dito conjunto convexo limitado se ele pode ser colocado
dentro de um retângulo su�cientemente grande, e não limitado quando não é possível.
De�nição 4 Um ponto extremo em um conjunto convexo S é um ponto pertencente a S que
não é um ponto interior a qualquer segmento de reta em S.
A De�nição 1 pode ser veri�cada no segmento de reta DE da Figura 4. Ainda a
De�nição 2 também ocorre para a região mais escura dessa mesma Figura, note que ao unir
quaisquer dois pontos, o segmento está inteiramente contido nessa região viável. Ainda, a região
viável é um conjunto convexo, é perceptível que podemos abrager a região mais escura com um
13
retângulo, como sugere a De�nição 3. Se unirmos um extremo (A, B, C e O) com outro
ponto qualquer da região viável, o extremo não será ponto interior deste segmento, conforme a
De�nição 4.
Teorema 1 Seja S a região viável de um Problema de Programação Linear.
1. Se S é limitado então a função objetivo z = ax + by assume tanto um valor máximo
quanto um valor mínimo em S: esses valores ocorrem em extremos de S;
2. Se S é ilimitado então pode ou não haver um valor máximo ou mínimo em S. Se ele
ocorrer é num extremo.
Para demonstrar este Teorema é necessário mostrar que a região viável é um conjunto
convexo. Isso é feito através de um tratamento matricial, com operações próprias de matrizes.
Após, ainda utilizando matrizes, supõem-se, por absurdo, que o máximo, analogamente
para o mínimo, não ocorre num extremo.
A demonstração do Teorema 1, na íntegra, entre outros resultados, podem ser encontra-
dos em Puccini, 1980.
Deste modo é possível estabelecer um algoritmo de resolução como segue.
Algoritmo 1: Resolução pelo Método Geométrico
• Esboçar a região viável S;
• Determinar todos os extremos de S;
• Calcular a função objetivo em cada um dos extremos;
• Escolher o ponto no qual a função objetivo atinge seu maior valor ou seu menor valor,
em caso de maximização ou minimização, respectivamente.
Assim retomando o Problema 1 ocorre uma solução ótima em B(10, 30). Ela é única,
pois é o único extremo no qual a função objetivo atinge seu maior valor.
Ao estudar um PPL é possível que não exista apenas uma solução ótima, podem existir
outras situações tais como:
• Não haver região viável, de modo que não há pontos que satisfaçam as restrições;
• Não haver um único valor máximo ou valor mínimo, assim escolhe-se um ponto da região
viável que faça com que a função objetivo seja tão grande ou tão pequena quanto se
queira.
14
1.2 Problema Padrão de Programação Linear
De�nição 5 É um Problema Padrão de Programação Linear (PPPL) o problema tal que se
queira encontrar x1, x2, · · · , xn que maximizarão a função objetivo:
z = c1x1 + c2x2 + · · ·+ cnxn (8)
restrita às condições:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn ≤ b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn ≤ b2
· · ·
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn ≤ bn
. (9)
Tem-se o objetivo de buscar meios de tornar qualquer PPL em um PPPL. Os PPL são
aqueles em que se busca maximizar ou minimizar, enquanto os PPPL buscam apenas maximizar
e as restrições são sempre menores ou iguais a alguma quantidade, conforme posto em (8) e
(9).
Com o objetivo de tentar sempre maximizar consideremos que o mínimo de c1x1+c2x2+
· · ·+ cnxn equivale ao máximo de −(c1x1 + c2x2 + ·+ cnxn).
Ainda é possível inverter uma desigualdade, deste modo:
d11x1 + d12x2 + · · · + d1nxn ≥ −b (10)
equivale a esta desigualdade:
−d11x1 − d12x2 − · · · − d1nxn ≤ b. (11)
O PPPL pode ainda receber um tratamento, que é o acréscimo de variáveis de folga.
Considere d1x1+d2x2+ · · ·+dnxn ≤ b, deste modo a expressão do lado esquerdo é menor do que
b, assim é possível adicionar uma variável u, não negativa, ao lado esquerdo da desigualdade
de modo que d1x1 + d2x2 + · · · + dnxn + u = b, tal valor u é denominado de variável de folga.
Como se percebe, obtem-se uma igualdade, fato esse que é de grande importância para o uso
do Metódo Simplex, o qual será tratado na Seção 2.3.
Uma nova formulação do PPPL, com a utilização de variáveis de folga, é tal que busca-se
encontrar x1, x2, · · · , xn, xn+1, · · · , xn+m que maximizão z = c1x1+ c2x2+ · · ·+ cnxn, sujeita às
restrições:
15
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn + xn+1 = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn + xn+2 = b2...
......
. . ....
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn + xn+m = bn
. (12)
A nova formulação (12) temm equações em+n incógnitas, em que xn+1, · · · , xn+m são variáveis
de folga. Pode-se mostrar que a solução do novo problema satisfaz o anterior.
De fato, por (12) temos que
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 − xn+1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2 − xn+2
......
......
...
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bn − xn+m
, (13)
como xn+1, xn+2, · · · , xn+m são variáveis maiores ou iguais a zero, segue que
b1 − xn+1 ≤ b1
b2 − xn+2 ≤ b2...
.... . .
......
bn − xn+m ≤ bn
, (14)
e por conseguinte
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn + xn+1 ≤ b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn + xn+2 ≤ b2...
......
. . ....
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn + xn+m ≤ bn
. (15)
Com isso a solução do no problema é ainda solução do anterior.
1.3 Método Simplex
Ao trabalhar com o planejamento de problemas do governo americano em 1947, Dantzig
(1914 − 2005) desenvolveu este método. Kolman (2011, p. 534) diz que "o método Simplex
move-se de um ponto a outro ponto extremo adjacente de modo a aumentar o valor da função
objetivo".
16
Toma-se um problema qualquer de Programação Linar e transforma-se em um Problema
Padrão de Programação Linear, essa transformação se dá pela busca de maximização e de desi-
gualdades adequadas, conforme descrito em (11). Então o sistema obtido recebe um tratamento
sobre suas linhas a �m de obter uma solução. Este tratamento será descrito no exemplo em
que se dá a solução pelo Método simples tabular.
Procura-se maximizar:
z = c1x1 + c2x2 + · · ·+ cnxn (16)
sujeito a:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn ≤ b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn ≤ b2
· · ·
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn ≤ bn
, (17)
xj ≥ 0 (1 ≤ j ≤ n). (18)
Solução pelo método simplex (tabular)
O Método Simplex será apresentado de modo prático, atavés da disposição dos coe�ci-
entes da função objetivo e das restrições numa tabela, para resolver o Problema 1.
Reescreve-se a equação (6) da forma:
z − 8x− 10y = 0. (19)
É necessário acrescentar variáveis de folga às inequações (3) e (4) a �m de se obter as
seguintes igualdades:
2x+ y + u = 50; (20)
x+ 2y + v = 70. (21)
A esquematização tabular necessária à aplicação do Simplex é apresentada na Tabela 2.
Tabela 2: Coe�cientes
Variáveis z x y u v b
Coe�cientes da equação (16) 1 −8 −10 0 0 0
Coe�cientes da equação (17) 0 2 1 1 0 50
Coe�cientes da equação (18) 0 1 2 0 1 70
17
Note que a primeira linha da Tabela 2 é destinada aos coe�cientes da equação (16), a
segunda linha para os coe�cientes da equação (17) e a terceira linha para os coe�cientes da
equação (18).
Atribuindo zero às variáveis originais x e y, nas restrições (17) e (18), encontra-se a solu-
ção básica inicial, que será u = 50 e v = 70. O Método Simplex prevê que esta não é a solução
ótima pois, ainda existem valores negativos na primeira linha da Tabela 2, que correspondem
aos coe�cientes das variáveis x e y da função objetivo. Esses coe�cientes representam as contri-
buições que cada unidade de x e de y, respectivamente, tem na formulação (6) e as condições
em (5). Provavelmente a solução básica inicial não era a solução ótima. Assim continua-se o
algoritmo em busca da solução ótima, que prevê anular os coe�cientes "negativos"da primeira
linha da Tabela 2 por meio de combinações lineares de linhas (que correspondem a combinações
lineares de equações).
A escolha da variável que "entra"é dada pela observação da variável que mais contribui
para a maximização, que neste caso é a variável y. Isto decorre do fato que o coe�ciente desta
variável tem o maior módulo.
A determinação da variável que "sai"será realizada pela divisão dos elementos da coluna
b pelos correspondentes elementos da coluna y (a partir da segunda linha da tabela), que é a
variável que "entra", determinada no passo anterior. Assim temos 50÷ 1 = 50 e 70÷ 2 = 35.
O menor valor (35), ocorreu com a operação dos elementos da terceira linha, portanto esta é a
linha que "sai". Logo devemos calcular uma nova linha que irá substituí-la.
Na Tabela 2, observe qual o valor está no cruzamento da terceira linha (que é a que
"sai") e da coluna y (que é da variável que "entra"), este valor é o número 2, este é o dito pivô.
Assim a coluna da variável de que "entra"é a coluna do pivô; a linha da variável que "sai"é a
linha do pivô. Deste modo a terceira linha deverá ser dividida por este valor, de modo que a
posição do pivô tenha valor 1, ou seja, l3 ←−l32, em que o símbolo ←− indica que a terceira
linha será substituída porl22. Portanto a nova terceira linha será:
0 12
1 0 12
35. (22)
Neste momento, será determinada a nova primeira linha. Observamos na primeira linha
o elemento da coluna y, neste caso é −10. Multiplicaremos a nova terceira linha (19), pelo
oposto do elemento −10, que é 10 e adicionamos a esta linha, a primeira linha, obtendo então
a nova primeira linha:
1 −3 0 0 5 350. (23)
18
Este procedimento pode ser descrito sistematicamente como l1 ←− l1 + 10l3. Para
determinar a nova segunda linha, procedemos de forma análoga: l2 ←− l2 − 1l3. Deste modo a
nova segunda linha é dada por:
0 32
0 1 −12
15. (24)
É possivel reescrever a Tabela 2 com as novas linhas recém obtidas conforme é apresen-
tado na Tabela 3.
Tabela 3: 1a Iteração
z x y u v b
1 −3 0 0 5 350
0 32
0 1 −12
15
0 12
1 0 12
35
Esta ainda não é a solução ótima, visto que ainda existem valores negativos na primeira
linha da Tabela 3 (−3). Com isto, deve-se repetir o mesmo procedimento sobre as linhas da
Tabela 3, até que não se tenha mais valores negativos na primeira linha.
A variável que "entra"é x, visto que é a que tem o maior valor absoluto na primeira
linha, e que portanto, é a que mais tem a contribuir com a maximização.
A linha que "sai"é segunda linha, pois na divisão dos elementos da coluna b pelos
correspondentes da coluna x, o menor quociente ocorre na segunda linha.
O cruzamento entre a coluna de x e a segunda linha ocorre no elemento 32, que é o novo
pivô, deste modo l2 ←−l23/2
, e será encontrada a nova segunda linha, que é:
0 1 0 23−1
310. (25)
Para atualizar a primeira e a terceira linhas faz-se: l1 ←− l1 + 3l2 e l3 ←− l3 −l22,
obtendo-se a nova primeira linha:
1 0 0 2 4 380. (26)
E a nova terceira linha é
19
0 0 1 −1
3
2
330. (27)
Pode-se então reescrever a Tabela 3, com as novas linhas que foram recém calculadas,
obtendo-se então a Tabela 4.
Tabela 4: 2a Iteração
z x y u v b
1 0 0 2 4 380
0 1 0 23−1
310
0 0 1 −13
23
30
Esta é a solução ótima pois, não temos mais valores negativos na primeira linha. Da
primeira linha da Tabela 4 podemos escrever
z +2u +4v = 380. (28)
Como busca-se o valor máximo de z e os coe�cientes das variáveis de folga u e v são
positivos, a solução ótima ocorrerá em quando u = 0 e v = 0. Substituindo estes valores nas
equações
x +2
3u −1
3v = 10. (29)
y −1
3u +
2
3v = 30. (30)
decorrentes das segunda e terceira linhas da Tabela 4, obtemos x = 10 e y = 30.
Concluí-se que z = 380 é o valor máximo para a função objetivo (6) e que esse valor
ocorre em (x, y) = (10, 30).
Com isso, pode-se estabelecer um algoritmo de resolução, conforme segue.
Algoritmo 2: Resolução pelo Método Simplex tabular.
• Acrescentar variáveis de folga a cada uma das desigualdades, a �m de obter igualdades;
20
• Montar a tabela, cuja primeira linha é composta pelos coe�cientes da função objetivo, e
as linhas seguintes pelos coe�cientes das igualdades;
• Estabelecer uma solução inicial (solução básica), atribuindo zero às variáveis originais e
encontrando valores positivos paras as variáveis de folga;
• Para escolher a variável que "entra", observar aquela que dá maior contribuição para a
maximização da função objetivo, ou seja, a variável que tem o maior valor negativo na
primeira linha;
• Para escolher a variável que sai, faz-se o seguinte:
i) Dividim-se os elementos da última coluna, coluna (b), pelos correspondentes da coluna
da variável que "entra", aquela escolhida no item anterior a partir da segunda linha;
ii) O menor quociente, indica pela linha, a variável que deve sair;
• Aplicamos operações elementares sobre as linhas da tabela, a �m de transforma-lá, de
modo a encontrar uma nova solução básica;
• Caso na primeira linha os coe�cientes sejam nulos ou positivos, não há necessidade de
uma nova iteração e encontramos a solução ótima. Caso contrário repetimos as operações.
1.4 Tratamento matricial e Método Simplex
Agora será dado o tratamento matricial ao Método Simplex.
Considere que busca-se a maximização de (13), sujeito a (14), em termos de matriz,
tem-se
A =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · ·
am1 am2 · · · amn
(31)
x =
x1
x2
· · ·
xn
(32)
21
b =
b1
b2
· · ·
bm
(33)
c =
c1
c2
· · ·
cn
. (34)
Deste modo busca-se o vetor x em Rn que maximizará a função objetivo
z = cTx (35)
sujeito às restrições expressas por:
Ax ≤ b (36)
x ≥ 0, (37)
considerando que x ≥ 0 signi�ca que cada elemento de x é não negativo e que Ax ≤ b signi�ca
que cada elemento de Ax é menor ou igual ao correspondente em b.
Um vetor que satisfaz (33) e (34) é chamado de uma solução viável. Caso este vetor
maximize (32), ele é chamado de solução ótima.
Solução pelo Método Simplex (matricial)
Aplicando o Método Simplex matricial ao Problema 1, o objetivo é encontrar um vetor
x
x =
x
y
(38)
em R2, que maximizará
z =[8 10
]·
x
y
(39)
sujeito a
22
2 1
1 2
· x
y
≤ 50
70
. (40)
x
y
≤ 0
0
. (41)
A equação matricial (36) equivale à equação (6), assim como as espressões (37) e (38)
equivalem às restrições expressas em (7).
Incluindo as variáveis de folga u e v temos a formulação do Problema 1 como é dado
por (16), (17) e (18). Estas três equações correspondem a um sistema de equações algébricas
lineares nas variáveis z, x, u, u e v, cuja representação matricial é:
−1 −8 −10 0 0
0 2 1 1 0
0 1 2 0 1
·
z
x
y
u
v
=
0
50
70
. (42)
A matriz aumentada associada à equação (39) é:
−1 −8 −10 0 0 0
0 2 1 1 0 50
0 1 2 0 1 70
. (43)
A matriz aumentada (40) é a representação matricial da Tabela 2. Se analisarmos a
sequência de Tabelas 2, 3, 4 (correspondentes às etapas do Método Simplex tabular), é possível
identi�car um processo de Eliminação de Gauss-Jordan (Kolman, 2011, p. 61) sujeito a sucessão
de procedimentos próprios do Método Simplex.
Do ponto de vista matricial, a aplicação do Simplex consiste numa redução Gauss-Jordan
da matriz aumentada (40), sujeita a sequência metedológica (escolha da variável que "entra",
escolha da variável que "sai"), de forma a se obter a matriz escada reduzida:
1 0 0 2 4 380
0 1 02
3−1
310
0 0 1 −1
3
2
330
(44)
23
que corresponde a Tabela 4.
Com isso a solução ótima é o vetor:
x =
10
30
. (45)
2. APLICAÇÃO DA PROGRAMAÇÃO LINEAR NA ANÁLISE
ENVOLTÓRIA DE DADOS
Neste capítulo apresenta-se uma aplicação da Programação Linear, e do subsequente uso
do Problema de Programação Linear direcionado à gestão empresarial.
Um dos problemas enfrentados na gestão de empresas é a determinação de métodos
adequados para avaliação do desempenho de unidades. Seja de algum setor ou da empresa
toda, é preciso apontar quais das unidades são ine�cientes, e as metas a serem adotadas para
que se atinjam os padrões de e�ciência. Este problema se torna mais complexo ao passo que
aumentam os fatores que são considerados, os quais podem ser recursos e produtos. Num
grupo de empresas do setor madeireiro, por exemplo, pode-se estar interessado em um só tipo
de madeira e um só tipo de apresentação para comercialização, aumentando-se a variedade de
madeira e de apresentações, aumentar-se-ia a complexidade.
Em 1978, Charnes, Cooper e Rhodes (CHARNES, COOPER e RHODES, 1978), pro-
põem um método chamado de Análise Envoltória de Dados (do inglês Data Envelopment Analy-
sis � DEA), que consiste em determinar a e�ciência de uma unidade produtiva, considerando-se
um grupo de unidades que tenham características comuns entre si, por meio de uma fronteira
de e�ciência. Esta fronteira de e�ciência é construída de um modo não paramétrico, consi-
derando os recursos e os produtos; a partir dela pode-se estimar a e�ciência de cada unidade
e determinar as unidades referenciais para os casos de ine�ciência. Este método é aplicado
em diversos tipos de segmentos, sejam organizações sem �ns lucrativos, ou no setor industrial,
agrícola, entre outros.
O desempenho de uma empresa, pode ser analisado sob a ótica de seu faturamento
bruto, porém, para tal resultado a empresa pode não ter aproveitado ao máximo os insumos
disponíveis, enquanto que outra do mesmo segmento faz melhor aproveitamento ou ainda, as
empresas podem usar a mesma proporção de recursos, no entanto uma pode se sobressair em
termos de produtos em relação às demais. Para estas limitações o modelo DEA é satisfatório,
uma vez que considera recursos e produtos de um grupo (ANDRADE, 2011).
A Análise Envoltória de Dados é uma ferramenta matemática que calcula a e�ciência de
unidades que tomam decisões (do inglês Decision Making Unit-DMU). Assim é necessário que
saibamos o que é e�ciência. Este conceito, entre outros, faz-se necessário para o desenvolvimento
desta teoria.
25
Assim a e�cácia é a capacidade que uma unidade produtiva tem de atingir a produção
que possui como meta, sem considerar os recursos dos quais necessita para atingir tal meta. Por
exemplo, se a média de sacas colhidas por hectare de determinada cultura é 60 e um produtor
colheu, em média, 57 sacas por hectare, podemos dizer que foi e�caz, no entanto não sabemos
quanto de insumos foram necessário para tanto, nem se algum outro produtor da mesma cultura
obteve maior safra. O enfoque é dado apenas para a quantidade de produto.
Já a produtividade pode ser entendida como a relação entre o que foi produzido e o que
foi gasto para produzir. A relação é dada por um quociente entre estas quantidades, e como são
de naturezas diferentes, as unidades de medida variam de acordo com cada caso. Por exemplo,
a produtividade de um agricultor pode ser medida pela quantidade de sacas colhidas dividida
pela quantidade de hectares plantados, dada deste modo em sacas por hectare.
Ainda a e�ciência é a comparação entre o que foi produzido, considerando os recursos
disponíveis, com o que poderia ter sido produzido com os mesmos recursos, existem vários
métodos para estabelecer esta quantidade. Os métodos paramétricos supõem uma relação pré
de�nida entre os recursos e o que foi produzido, em geral usam médias para determinar o que
poderia ter sido produzido. No entanto, outros métodos como a Análise Envoltória de Dados,
não fazem essas suposições e consideram que o máximo a ser produzido é obtido por meio das
unidades mais produtivas observadas. O parâmetro é a produtividade daDMU mais produtiva.
Não é interessante para uma unidade produtiva oferecer um determinado tipo de pro-
duto, se para tanto, os recursos utilizados forem de tal ordem que inviabilizem a rentabilidade
do negócio; isto é analisado pela e�ciência. Da mesma forma, não basta ser altamente produ-
tivo, se os recursos e produtos não atingirem as metas ou objetivos esperados sob a ótica da
e�cácia.
Serão elucidados alguns desses pontos analisando o grá�co da Figura 5, nele tem-se a
curva chamada de Fronteira de E�ciência, na qual o eixo horizontal representa os recursos, e o
eixo vertical representa a Produção. A região que está abaixo da curva é chamada de Conjunto
Viável de Produção. Ainda os pontos A, B e C são as DMUS, sendo que A e B estão sobre a
Fronteira e C abaixo.
26
Figura 5: Produtividade e e�cência
É possível perceber a diferença entre os conceitos de produtividade e e�ciência na Figura
5. As unidades A e B são e�cientes pois situam-se sobre a curva, que é a fronteira de e�ciência.
Destaca-se que A é a unidade mais produtiva dentre todas. Esta análise é possível a partir da
observação dos coe�cientes angulares das retas OA, OB e OC. Admitindo que o coe�ciente
angular é dado pelo quociente entre o que é produzido e o que se tem de recursos, a unidade
mais produtiva é aquela cuja reta que a liga a origem tem o maior coe�ciente angular possível.
Já a unidade C é classi�cada como uma unidade não produtiva e não e�ciente.
Basicamente a unidade não e�ciente pode tornar-se e�ciente de duas maneiras. Um
modo é reduzindo os recursos, mantendo constantes os produtos (orientação a inputs) e o outro
é maximizando os produtos, mantendo constantes os recursos (orientação a outputs).
Neste primeiro momento será analisado o caso particular, com recurso e produto úni-
cos, posteriormente, familiarizados com os conceitos, estende-se o estudo para modelo DEA
multidimensional.
2.1 Modelo DEA com um recurso e um produto
Através de argumentos geométricos, busca-se a determinação da e�ciência de umaDMU ,
considerando o modelo com um recurso, um produto e que a fronteira de e�ciência é dada por
uma reta, que passa pela origem cuja declividade é dada pela produtividade da DMU mais
produtiva. É o que está posto na Figura 6, a DMU mais e�ciente é representada pelo ponto
(Xef , Yef ). Já a DMUo é ine�ciente e representada por (Xo, Yo).
27
Figura 6: Recurso e produto únicos
Fonte: MELLO (2005, p.17)
Note que o ponto O′′ é a projeção de O no eixo da produção e o ponto O′ é a projeção de
O na fronteira de e�ciência. Visto isso as coordenadas de O′′ são (0, Yo) (pois está sobre o eixo
da produção e possui mesma ordenada de O). As coordenadas do ponto O′ podem ser obtidas
considerando o fato dele ser a interseção da reta horizontal que passa por O e da fronteira de
e�ciência, logo o sistema: Y = Yo
Y =YefXef
X(46)
traz as coordenadas de O′ como Xo′ =YoXef
Yefe Yo′ = Yo.
A produtividade da DMU e�ciente é o coe�ciente angular da reta que foi considerada
a fronteira de e�ciência e que é dada porYefXef
. Para calcular a e�ciência (Ef) de O pela
orientação a recursos, por de�nição tem-se
Ef =Po
Pef
(47)
que neste caso de estudo pode ser escrita como:
Ef =
YoXo
YefXef
(48)
Ef =
YoXef
YefXo
(49)
Ef =Xo′
Xo
(50)
28
veja que o numerador é a abscissa de O′ e que o denominador é a abscissa de O.
Este modelo é chamado de Modelo Envolope, pois a análise é desenvolvida a partir de
uma curva que limita a região onde podem existir DMUs.
Agora passa-se ao estudo do caso multidimensional para o cálculo da e�ciência, que será
explorada como uma quantidade resultante da razão entre uma soma ponderada dos produtos
e uma soma ponderada dos recursos.
2.2 Modelo DEA com múltiplos recursos e múltiplos produtos
Será tratado neste momento do modelo conhecido como CCR (CHARNES, COOPER e
RHODES, 1978).
Este modelo trabalha com retornos constantes de escala, assim qualquer variação nos
recursos produz uma proporcional variação nos produtos, por isso é também conhecido como
modelo CRS-Constant Returns to Scale.
A e�ciência da DMUo, que é a DMU que se deseja encontar a e�ciência é, por de�nição,
Efo =Po
Pef
. (51)
No entanto, a princípio, não se identi�cou qualDMU é a mais e�ciente. Então assume-se
um processo de maximização de expressão
IEfo = Po, (52)
admitindo que no caso da DMU de referência sua e�ciência seja a máxima, ou seja, tenha valor
1, daí
Efef =Pef
Pef
= 1. (53)
Nas demais unidades produtivas, o valor calculado de IEf será um percentual em relação
ao valor da unidade de referência.
No modelo CRS o cálculo do índice de e�ciência se dá pela otimização da razão entre a
soma ponderada das saídas (output virtual) e a soma ponderada das entradas (input virtual).
É permitido que cada DMU escolha os coe�cientes dos pesos para cada variável (entrada
ou saída), com a restrição de que esses pesos aplicados às outras DMUs não produzam um
quociente maior que 1 (MELLO, 2005).
29
Esta situação pode ser equacionada considerendo que IEfo é a e�ciência da DMUo, em
que vi é o peso de input i, i = 1, . . . , r e uj é o peso de output j, j = 1, . . . s; xik representa o
coe�ciente de input i e yjk representa o coe�ciente de output j da DMU k; xio representa o
coe�ciente de input i e yjo representa o coe�ciente de output j da DMUo. Assim tem-se que
maximizar
IEfo =
s∑j=1
ujyjo
r∑i=1
vixio
, (54)
sujeita à restrição
s∑j=1
ujyjk
r∑i=1
vixik
≤ 1,∀ k, (55)
vi, uj ≥ 0,∀ i, j. (56)
O problema posto nas equações acima é de programação frácionária, para �ns de reso-
lução é interessante que seja transformado em um Problema de Programação Linear (PPL),
conforme segue, maximizar
IEfo =s∑
j=1
ujyjk, (57)
com restrições
r∑i=1
vixio = 1, (58)
s∑j=1
ujyjk −r∑
i=1
vixik ≤ 0, ∀ k, (59)
vi, uj ≥ 0,∀ i, j. (60)
Note que a restrição (55) impõem que o denominador da função objetivo, que é aquela
que deseja-se maximizar, neste caso IEfo, seja igual a unidade, fator importante para que
30
tenhamos de�nido um PPL. Ainda deve-se considerar que no caso do PPL os pesos vi e uj são
as variáveis de decisão.
Estes conceitos e condições serão analisados dentro de um exemplo. Para tanto será
exposto um problema no qual as DMUs utilizam dois recursos e um produto, no processo de
produção, conforme a Tabela 5.
Tabela 5: Dados do exemplo
DMU Input 1 Input 2 Output
A 4 3 2
B 1 6 5
C 2 3 4
D 1 2 1
E 10 5 8
Fonte: MELLO, 2005, p.22
Uma vez que se tem cinco DMUs, é necessário que se resolva um PPL referente a
cada uma delas, totalizando então, cinco problemas. Após a resolução de cada um dos PPLs
obtém-se os pesos, expressos na Tabela 6.
Tabela 6: Pesos determinados a partir dos dados da Tabela 5
Pesos
DMU Input 1 Input 2 Output
A 0, 045 0, 273 0, 227
B 0, 200 0, 133 0, 200
C 0, 050 0, 300 0, 250
D 0, 429 0, 286 0, 429
E 0, 025 0, 150 0, 125
Fonte: MELLO, 2005, p.22
31
Assim é possível retornar à função objetivo de cada um PPL e determinar o índice de
e�ciência de cada DMU , que estão expostos na Tabela 7.
Tabela 7: E�ciências determinadas a partir dos dados da Tabela 6
DMU E�ciência (%)
A 45, 45
B 100, 00
C 100, 00
D 42, 85
E 100, 00
Fonte: MELLO, 2005, p.22
Segue a apresentação do PPL daDMUA aplicando-se os dados da Tabela 5 nas equações
(54) à (57). Evidentemente, igual modelagem pode ser realizada para cada uma das demais
DMUs.
DMU A
O problema consiste em maximizar
IEfA = 2u1, (61)
com restrições
4v1 + 3v2 = 1,
2u1 − 4v1 − 3v2 ≤ 0,
5u1 − 1v1 − 6v2 ≤ 0,
4u1 − 2v1 − 3v2 ≤ 0,
1u1 − 1v1 − 2v2 ≤ 0,
8u1 − 10v1 − 5v2 ≤ 0,
u1, v1, v2 ≥ 0.
(62)
Após a resolução deste PPL, através do software MATLAB, obtiveram-se os pesos v1 =
0, 045, v2 = 0, 273 e u1 = 0, 227, dos quais o último valor foi substituído na equação (58)
gerando o índice de e�ciência de 45, 45. Segue a formulação de cada PPL, correspondente a
cada DMU .
32
DMU B
O problema consiste em maximizar
IEfB = 5u1, (63)
com restrições
v1 + 6v2 = 1,
2u1 − 4v1 − 3v2 ≤ 0,
5u1 − 1v1 − 6v2 ≤ 0,
4u1 − 2v1 − 3v2 ≤ 0,
1u1 − 1v1 − 2v2 ≤ 0,
8u1 − 10v1 − 5v2 ≤ 0,
u1, v1, v2 ≥ 0.
(64)
DMU C
O problema consiste em maximizar
IEfC = 4u1, (65)
com restrições
2v1 + 3v2 = 1,
2u1 − 4v1 − 3v2 ≤ 0,
5u1 − 1v1 − 6v2 ≤ 0,
4u1 − 2v1 − 3v2 ≤ 0,
1u1 − 1v1 − 2v2 ≤ 0,
8u1 − 10v1 − 5v2 ≤ 0,
u1, v1, v2 ≥ 0.
(66)
DMU D
O problema consiste em maximizar
IEfD = u1, (67)
33
com restrições
v1 + 2v2 = 1,
2u1 − 4v1 − 3v2 ≤ 0,
5u1 − 1v1 − 6v2 ≤ 0,
4u1 − 2v1 − 3v2 ≤ 0,
1u1 − 1v1 − 2v2 ≤ 0,
8u1 − 10v1 − 5v2 ≤ 0,
u1, v1, v2 ≥ 0.
(68)
DMU E
O problema consiste em maximizar
IEfE = 8u1, (69)
com restrições
10v1 + 5v2 = 1,
2u1 − 4v1 − 3v2 ≤ 0,
5u1 − 1v1 − 6v2 ≤ 0,
4u1 − 2v1 − 3v2 ≤ 0,
1u1 − 1v1 − 2v2 ≤ 0,
8u1 − 10v1 − 5v2 ≤ 0,
u1, v1, v2 ≥ 0.
(70)
A resolução de cada um desses PPL para cada umas das DMUs fornece os dados da
Tabela 6, os quais substituídos em cada uma das funções objetivo geram os índices de e�ciências
dadas na Tabela 7. Após este processo, conclui-se que apenas asDMUs A eD não são e�cientes,
pois o valor encontrado é inferior aos valores das que possuem maior índice de e�ciência, neste
caso B, C e E.
Deste modo, dado um problema, faz-se a modelagem adequada e então obtém-se os
PPLs, os quais podem ser resolvidos pelo Método Simplex e suas variações, utilizando por
exemplo o software MATLAB. Assim, de acordo com o valor de e�ciência obtido é possível
julgar as DMUs como e�ciêntes ou não, no âmbito da Análise Envoltória de Dados.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O presente trabalho se mostrou relevante por unir conceitos estudados no decorrer do
curso de graduação com uma �nalidade distinta das abordagens vistas até então. A experiência
matemática adquirida ao longo da graduação permite explorar outras áreas, sendo para tanto
necessária apenas a apropriação de conceitos peculiares para que haja uma maior interação com
os temas.
A necessidade da utilização do editor de texto matemático LaTex, sem dúvida aproveitou
e ampliou a experiência com o mesmo. O uso do software MATLAB foi uma novidade, que
contribuiu para a obtenção dos resultados de forma e�ciente e precisa para �ns de veri�cação
de resulatdos e entendimento da teoria.
Ainda ressalta-se que a aplicação de conteúdos matemáticos em problemas associados
a outras áreas do conhecimento dá sentido aos estudos do curso e incentiva a pesquisa em
Matemática Aplicada. Para o entendimento do Método Geométrico é fundamental que se
tenham conhecimentos de Geometria Analítica e Matemática Básica, para comoreender o seu
funcionamento o embasamento está na Análise Real e Topologia. O Método Simplex, tanto
tabular quanto matricial, tem respaldo dentro da Álgebra Linear.
Com isso, pode-se dizer que o trabalho foi de todo enriquecedor para a formação, mo-
tivador, no que tange o gosto pela pesquisa e satisfatório com relação a utilização e domínio
de temas que são estritamente matemáticos, a priori, mas que no entanto podem embasar
pesquisas em outras áreas, como é o caso da Análise Envoltória de Dados.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANDRADE, E. L. de. Introdução à Pesquisa Operacional. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
CHARNES, A.; COOPER, W.W.; RHODES, E. Measuring the e�ciency of decision-making
units. European of Agricultural Research, v.2, p. 429, 1978.
KOLMAN, Bernard. Introdução à álgebra linear: com aplicações. Rio de Janeiro: LTC,
2011.
MELLO, J.C.C.B.S Curos de Análise de Envoltória de Dados. Universidade Federal
Fluminense, 2005, 27f.
MIRSHAWKA, V. Pesquisa Operacional. São Paulo: Nobel, 1981.
PUCCINI, A. de L. Introdução à Programação Linear. Rio de Janeiro: LTC, 1980.
SCHENEKEMBERG, C.B. Uma abordagem matemática para o estudo de alguns mé-
todos de programação linar. Monogra�a. Universidade do Estado de Santa Catarina,
Joinville, 2012, 78f.
STRANG, G. Programação linear. São Paulo: Cengage Learning, 2009.
APÊNDICE A - Código do software MATLAB
O PPL apresentado em (58) e (59), referente a DMUA foi resolvido através do recurso
Linprog, do software MATLAB, com a seguinte estrutura:
f = [0; 0;−2];
A = [−3− 32;−1− 65;−2− 34;−1− 21;−10− 58];
b = [0; 0; 0; 0; 0];
Aeq = [430];
beq = [1];
lb = zeros(3, 1);
[x, fval, exitflag, output, lambda] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb);
disp(′X =′)
disp(x)
disp(′V alorMximo :′)
disp(−fval)
Analogamente pode ser feito para os demais PPLs.