UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA CIVIL MTODOS MATEMTICOS Problemas e exerccios propostos parte 2 (aplicao em dinmica das estruturas) Alunos: Filipe Rocha Guedes Professor: Paulo Marcelo V. Ribeiro RECIFE MAIO, 2014 PROBLEMAS E PROJETOS REALIZADOS 1. Torre em sistema discreto em vibrao livre no-amortecida em um sistema de 01 grau de liberdade Determinao das constantes de integrao para vrias condies inciais. 2.Vibraolivreno-amortecidaemumsistemade01graudeliberdadeeVibrao livreno-amortecidaemumsistemade01graudeliberdadeProblemadatorre submetida a um deslocamento inicial. 3.Vibraolivreno-amortecidaemumsistemade01graudeliberdadeeVibrao livreno-amortecidaemumsistemade01graudeliberdadeProblemadatorre submetida a uma excitao dinmica. 1.Torreemsistemadiscretoemvibraolivreno-amortecidaemum sistema de 01 grau de liberdade Considerandooproblemadeumatorreemsistemadiscretoemvibraolivre, determinarasconstantesdeintegraoeasrespectivassoluesdaE.D.O.paraas condies iniciais a seguir: a) ()

()

b) ()

() c) () ()

Temos que, para o caso deste problema a EDO envolvida : () Nota-sequenoestpresenteotermodeamortecimento(poisumcasode vibraono-amortecida).Assimaequaodiferencialpodeserclassificadacomouma equaodiferenciallineardesegundaordemdotipohomognea.Nota-sequeavarivel independenteestausentenaEDO.Aaplicaodaestratgiadesubstituiodeveexigir uma manipulao extra (utilizao da regra da cadeia), demonstrada na aula 07. A soluo da EDO , portanto: ()() () ()

() ()() ()() Para as condies iniciais em (a) temos: ()() ()

()() ()

Da mesma forma, para os demais casos: b)

e c) e

AestratgiaparasoluodeumaEDOdotipo

foidemonstradana auladenmero07apartirdatcnicadereduodeordemutilizandoumamanipulao que partia da regra da cadeia de derivadas e da seguinte forma: ()() () () Nota-se que a EDO do nosso problema (1.1) tem justamente tal formato, com k = w. 2. Projeto 01 Aplicao prtica de uma EDO de ordem superior 2.1 Grupo 1 Vibrao livre no-amortecida em um sistema de 01 grau de liberdade Aindareferindo-seaoproblemadatorreemsistemadiscretoemvibraolivre,ser realizada mais uma anlise utilizando dados de entrada em dois grupos, sendo um em vibrao livre no-amortecida e outro envolvendo o termo de amortecimento. 2.1.1 Frequncia natural e perodo de vibrao do reservatrio aaliafiiaiarigizabarrarralizaaparira tabelas de mecnica das estruturas para o caso de barra engastada-livre. Assim:

() E a frequncia natural, w, dada por (como visto no problema anterior):

() Sendo assim, os parmetros a serem determinados podem ser obtidos. Foi utilizado o software Mathcad 14 para facilitar os clculos. 2.2 Grupo 2 Vibrao livre amortecida em um sistema de 01 grau de liberdade O termo de amortecimento agora ser incluso na EDO: () Onde: () Naauladenmero12(22/04/14),cujoassuntoprincipaltratavade consideraesprticasparaoproblemadevibraesforadas,foiverificado,apsos devidosajustesemanipulaes,queovalordofatordeamortecimentoest diretamente relacionado com as funes governantes do problema, uma vez que a equao caractersticapoderesultaremduasrazesreaisdistintas,duasrazesreaisiguaiseum conjugado complexo. Assim, chegou-se concluso de que: {ga pl ( )a raz rai igai ( ) a raz rai iia ( ) Ouseja,otipodasrazesm1em2daequaocaractersticaficamdeterminadasem funo do valor de . Sabe-qalDhgaripa b(caso da equao 2.2 do nosso problema) dada pela forma geral: ()

() Assim a EDO 2.2 tem soluo: ()

() Para o caso do conjugado complexo (CASO 1) temos: i i()

() i()() Substituindo (2.6) e (2.7) na soluo (2.5), podemos chegar soluo para o CASO 1: ()

(()()) () Onde A e B so constantes reais. A demonstrao e manipulao de (2.5) em (2.8) foi realizada na aula 11 (15/04/2014). iaaaalafiilizaaaragiafiiaalirarapr alhiaparararralparaazq quando temos m1 = m2, teremos duas solues linearmente dependentes. Assim, para fugir do problema da dependncia linear entre as duas solues temos, para o CASO 2 (lembrando que m1 = m2 = m): ()

() E,finalmente,paraoCASO3,ondeasrazessodiferentesereais,temosaforma padro apresentada em (2.5). Assimtem-seacomparaoentreasrespostasamortecida(grficodebaixo)eno-amortecida(grficodecima)paraomesmodeslocamentoimpostonogrupo01e . 3. Projeto Semelhante ao Projeto 01, s que agora a estrutura, que anteriormente haviasidoanalisadaemvibraolivre,agorasersubmetidaaumaexcitao dinmica produzida por um carregamento atuante no ponto central do reservatrio. Grupo01Vibraoforadano-amortecidacomexcitaodinmicaemum sistema de 01 grau de liberdade. Parte 1) Obteno das solues homogneas e particular na forma simblica Para o problema da vibrao forada temos uma EDO de ordem 2 no-homognea. Ou seja, da forma: () () A equao caracterstica pode ser aplicada para a avaliao da soluo homognea. Assim o problema consiste exatamente em obter uma soluo particular. Paraestecasoaavaliaodasoluoparticular,xp,serdadaapartirdomtododos coeficientes a determinar. Deve-se,ento,suporumasoluocomcoeficientesdesconhecidos,substituirasoluo proposta na EDO e assim avaliar os coeficientes. Utilizando a tabela prtica para identificao de famlia de solues, para o caso da funo F(t) = Posen(wt) ir pr a soluo particular do tipo seno/cosseno, assim:

() ()() Deve-seagoradeterminaroscoeficientesesubstituindo(3.2)naEDO(3.1),assim resulta em: (m

+ k)sen(wt) + (k

)cos(t) =

()(3.3) O que resulta nos coeficientes:

()

() Assim a soluo particular :

() () Sendo a frequncia do carregamento e os demais parmetros m e k conforme definidos no projeto 01.AsoluohomogneaparaaEDO(3.1)sedparaaEDOhomogneaassociada,ou seja,substituindooladodireitodaequaoporzero.Assimasoluohomognea, conforme visto no projeto anterior (equao 1.2):

()() ()() E para determinar os coeficientes A e B necessitamos aplicar as condies de contorno nasoluogeral.Paraumsistemapartindodorepouso,isto,x(0)=0e () temos:

() () E substituindo (3.8) e (3.9) em (3.7):

()()() Assim a soluo geral : ()

()

()

() () Parte 2) Encontrando a resposta dinmica do sistema para os dados em questo Para os dados fornecidos chegamos : ()() ()() Sendo (3.12) a resposta dinmica para ra e

. Surge tambm a ideia de ser comparada a mxima resposta de deslocamentos para o caso anterior (equao 3.12) e o valor obtido para a fora Po aplicada estaticamente. Para o caso da fora aplicada estaticamente, temos, para o modelo da estrutura, o valor do deslocamento mximo (no topo da barra engastada):

Esta comparao tambm foi feita para um caso onde ra. Assim tem-se:

()() ()() E o valor para o deslocamento mximo:

Notou-se,destaforma,quedobrandoovalordafrequnciaosresultadosde deslocamentosaumentaramsignificativamente,conduzindoavaloresdequasedois metros de deslocamento devido ao dinmica (conforme anexo planilha do mathcad). Issosedeveporqueafrequnciadocarregamentochegouasermuitoprximada frequncia da estrutura, conduzindo um caso de ressonncia. Parte 3) Excitao com duas componentes distintas Fazendo agora a equao (3.1) ter o lado direito (excitao P(t)) tendo o valor de: ()() () () Quer-se determinar o quanto a segunda componente (1000sen(0.9t)) modifica o resultado dedeslocamentosx(t),ouseja,asoluodaequaodiferencial.Paraefeitosde comparao foram plotados os grficos das solues x(t) para excitaes P(t) com valores diferentes de amplitudes. Foi utilizado o comando ODEsolvea partir de um solve block do Mathcad14.Notou-se,conformesermostrado,queasegundacomponente(com amplitude menor) praticamente no modifica o resultado. Grupo 02 Vibrao forada amortecida com excitao dinmica em um sistema de 01 grau de liberdade. Nesta etapa sero realizados os mesmos procedimentos do projeto anterior, s que agora para um caso de vibrao forada amortecida, com um fator = 0,10. Assimaequao(3.1)devibraesdinmicasagorairincluiraparcelado amortecimento (c ): ()() Onde: () ()

() () Parte 1) Obteno das solues homognea e particular na forma simblica Para a avaliao da soluo particular, xp, ser dada a partir do mtodo dos coeficientes a determinar. Deve-se,ento,suporumasoluocomcoeficientesdesconhecidosesubstituirasoluo proposta na EDO de origem (3.15) e assim avaliar os coeficientes. Utilizando a tabela prtica para identificao de famlia de solues, para o caso da funo g()()ipirpralparilarip seno/cosseno, assim:

() ()() Deve-seagoradeterminaroscoeficientesesubstituindo(3.18)naEDOdeorigem (3.15), assim resulta em: (m

c + k)sen(wt) + (

)cos(t) =

()(3.19) Assim igualando o termo do seno e o termo do cosseno podemos chegar a um sistema de equaes: {{

Utilizando novamente o software Mathcad para resolver o sistema literalmente para os coeficientes e . Valor dos coeficientes e (qfar fra haa ipl, da mesma forma que foi chamado apenas de w). Assim: {

()

() AsoluohomogneaparaaEDO(3.5)sedparaaEDOhomogneaassociada,ou seja,substituindooladodireitodaequaoporzero.Assimasoluohomognea, conforme visto no projeto anterior (CASO 01 - equao 2.8):

()

(()()) () Ondei iso as razes da equao caracterstica, que se do por um complexo conjugado, uma vez que menor que 1. EparadeterminaroscoeficientesAeB(noconfundircomoscoeficienteseda soluoparticular)necessitamosaplicarascondiesdecontornonasoluogeral. Para um sistema partindo do repouso, isto , x(0) = 0 e (). Ou seja, a soluo geral : ()

com:

() ()fii e j encontrados e

()

(()() com os coeficientes A e B ainda a serem determinados. Assim sendo: ()() ()

(()()) (3.21) Onde (3.21) a soluo geral do problema, com as seguintes condies de contorno: x(0) = 0 e ()(3.22) ParadeterminaroscoeficientesAeB(dasoluohomognea)iremosaplicaras condies de contorno, ou seja, aplicando (3.22) em (3.21) temos:

()

() Lembrandoqueesoaspartesreaiseimaginriadasrazesdaequao caracterstica: i i() Sendo a equao caracterstica para a EDO homognea associada de (3.15): () Logo:

() Chamandoasduasrazesdem1em2(aoinvsdelambda,somenteparapreservara notao), e sabendo que () ento temos: (

)

i() (

)

i () Sabe-se que m1 e m2 formam um conjugado complexo pois . Emresumo,temosaEDOcorrespondenteaummodelodevibraomecnicacom excitao P(t): ()() Onde: () ()

() () Cuja soluo geral : ()() ()

(()()) () Que corresponde soma das solues homognea e particular. Os valores dos coeficientes so:

()

()

()

() Onde e so as partes real imaginria, respectivamente, das razes m1 e m2 da equao caracterstica da EDO homognea associada de (3.15), que so dadas por: (

)

i() (

)

i () O que permite com que o problema seja resolvido para dados de entrada de m, k, ,

e . 2 parte) Resolver o problema para dados de entrada fornecidos Neste caso sero utilizados os mesmos dados do projeto anterior, ou seja: {

g

ra 3 parte) Consideraes Nota-se que, para o caso amortecido, desta vez, no h a tendncia da estrutura se estabilizar(zerarosdeslocamentosapartirdeumdeterminadotempo),poishuma excitaodinmicasendoaplicadaconstantemente.Oqueocorrequeasrespostasdos deslocamentostendeaseestabilizar,diferentementedoqueocorrenocasono amortecido (ver grficos). Para um caso de ressonncia no modelo no-amortecido, ou seja, faremos com que afrequnciadaexcitaotendafrequnciadaestrutura,teramosumcasoondeos deslocamentos tenderiam a crescer at o infinito. Em termos prticos, o que ocorre que a excitaoestsendosomadacomavibraodaestrutura,fazendocomqueos deslocamentos s tendam a aumentar cada vez mais. Casosdeacidentesestruturaisempontesdeconcretodevidoaoefeitode ressonncia j foram registrados. O efeito dinmico e de ressonncia em termos prticos levadoemcontaquandoobservamosgruposdesoldadosmilitaresinterrompendoa marchaaoatravessaras pontes,paraevitarcomqueabatidadospsgereesteefeitona estrutura.Naprticanormativa,ocoeficientedeimpactopermitesubstituiraexcitao dinmicaP(t)por uma cargaestticaPmajorada(poreste coeficiente).Algunstrabalhos realizados mostram que este coeficiente resulta em uma boa aproximao. Caso de ressonncia.