LUCIELE WU

O PROBLEMA DE ROTEIRIZAO PERIDICA DE

VECULOS

Dissertao apresentada Escola Politcnica da Universidade de So Paulo para obteno do Ttulo de Mestre em Engenharia de Transportes

So Paulo

2007

LUCIELE WU

O PROBLEMA DE ROTEIRIZAO PERIDICA DE

VECULOS

Dissertao apresentada Escola Politcnica da Universidade de So Paulo para obteno do Ttulo de Mestre em Engenharia de Transportes

rea de Concentrao: Engenharia de Transportes

Orientador: Prof. Dr. Cludio Barbieri da Cunha

So Paulo

2007

Este exemplar foi revisado e alterado em relao verso original, sob responsabilidade nica do autor e com a anuncia de seu orientador. So Paulo, 11 de junho de 2007. Assinatura do autor ____________________________ Assinatura do orientador _______________________

FICHA CATALOGRFICA

Wu, Luciele

O problema de roteirizao peridica de veculos / L. Wu. ed.rev. -- So Paulo, 2007 109 p.

Dissertao (Mestrado) - Escola Politcnica da Universidade

de So Paulo. Departamento de Engenharia de Transportes.

1. Roteirizao 2. Heurstica 3. Transportes 4.Logstica (Ad- ministrao de materiais) I. Universidade de So Paulo. Escola Politcnica. Departamento de Engenharia de Transportes II. t.

DEDICATRIA

Aos meus queridos pais e irms.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente, agradeo ao professor Cludio Barbieri da Cunha por toda orientao,

estmulo e pacincia durante o desenvolvimento da dissertao, buscando sempre a melhor

forma de expresso das idias. Alm do apoio e preocupao pessoal em um dos momentos

decisivos da minha vida; sem a sua ajuda, meu rumo seria totalmente diferente.

Aos professores Nicolau Gualda, Hugo Yoshizaki, Marco Brinati e Rui Botter pelo

aprendizado durante as aulas que moldaram o meu conhecimento ao longo do curso.

Aos meus avs, pelo esprito de luta ao emigrar para um pas de lngua e costumes muito

diferentes.

Aos meus pais, meus maiores mestres, cujos ensinamentos guardo com grande carinho e

considerao para toda vida.

s minhas irms, Cristiane e Clarisse, que sempre estiveram presentes em todos os momentos

com pacincia e alegria.

A todos meus amigos, que me apoiaram e incentivaram para o trmino desta etapa dos meus

estudos.

Ao CNPq, pelo apoio financeiro concedido durante a realizao do projeto.

E por fim, agradeo a todos aqueles que contriburam de alguma maneira para que este

projeto pudesse ser realizado.

EPGRAFE

Conhecer a si mesmo e conhecer os outros,

vencer todas as batalhas.

Sun Tzu A Arte da Guerra

RESUMO

O problema de roteirizao peridica de veculos pode ser considerado como uma

generalizao do problema clssico de roteirizao devido a duas caractersticas prprias: um

perodo de planejamento maior que um dia, em que os veculos fazem diversas viagens, e

freqncias de visitas associadas a pontos a serem servidos. Esse tipo de problema pode ter

muitas aplicaes prticas. Atualmente, algumas indstrias automobilsticas brasileiras j

utilizam um sistema de coleta que se baseia na idia de roteirizao peridica, com a

finalidade de reduzir o estoque de peas. Assim como os problemas originais de roteirizao

de veculos, o problema aqui tratado tambm difcil de ser resolvido, sendo impossvel o uso

de algoritmos exatos para a obteno de uma soluo tima para o tamanho de problemas

encontrados na prtica. Isso motivou o estudo, que direcionou seus esforos na explorao de

novas estratgias de soluo para esse problema atravs de novas abordagens, de modo que

houvesse um aumento na qualidade de solues e uma diminuio do tempo de

processamento computacional. Dois procedimentos diferentes foram propostos para a

alocao dos clientes aos dias de visitas: uma heurstica de insero seqencial que visa

equilibrar os esforos dos diferentes dias do perodo de planejamento, e uma heurstica

baseada em algoritmos genticos. As rotas dirias so construdas atravs da utilizao do

algoritmo de economias de Clarke e Wright, que permite a obteno de boas solues em

tempos de processamento curtos. Experimentos computacionais so realizados para a

avaliao da eficincia de cada uma das heursticas propostas atravs da utilizao de

benchmarks retirados da literatura e problemas-teste gerados aleatoriamente, e os resultados

so tambm comparados aos anteriormente mostrados na literatura.

Palavras-chave: Roteirizao peridica. Heurstica. Transportes. Logstica.

ABSTRACT

The period vehicle routing problem can be viewed as a generalization of the classic vehicle

routing problem due to two singular features: a planning period longer than one day in which

vehicles make several trips and frequencies of visit associated to points to be serviced. This

type of problem may arise in different practical applications. Nowadays, some Brazilian auto-

maker industries are already utilizing a collect system based on the idea of the period routing

in order to reduce parts inventory. Similarly to the original vehicle routing problem, the

period vehicle routing problem is also hard to solve, making it impossible to use exact in

order to obtain an optimal solution for problem sizes found in practice. This motivated this

research study, which directed its efforts to the exploration of new strategies of solution

through new reasoning, leading to an increase in the quality of the solution and a decrease in

the computational processing time. The proposed heuristics are composed of three

consecutive stages: (i) assigning customers to days of visit while respecting their given

frequencies, (ii) building routes that serve all customers assigned to each day of the planning

horizon, and (iii) improving the obtained solution. Despite the distinction between the stages,

we managed to take into consideration the integration among the three decisions. Two

different procedures were proposed to the assignment of customers to days of visit: a

sequential insertion heuristic that aims to balance the workload among different days in the

time horizon, and a heuristic based on genetic algorithms. The daily routes are then

constructed by using the Clarke and Wrights savings algorithm, which allows good solutions

to be obtained in short processing times. Computational experiments are made in order to

evaluate the efficiency of each proposed heuristic using both benchmark problem sets from

the literature and randomly generated problems as well, and the results are compared to the

previously reported in the literature.

Keywords: Period routing. Heuristic. Transportation. Logistics.

SUMRIO

Lista de Figuras

Lista de Tabelas

Lista de Quadros

1. INTRODUO .............................................................................................................. 1

1.1 Descrio e Relevncia do Problema.......................................................................1

1.2 Metodologia............................................................................................................3

1.3 Delineamento do Trabalho ......................................................................................4

2. REVISO BIBLIOGRFICA ....................................................................................... 5

2.1 Problemas de Roteirizao de Veculos na Literatura ..............................................5

2.2 Trabalhos Desenvolvidos no mbito da EPUSP .....................................................7

2.3 Problemas de Roteirizao Peridica ....................................................................12

2.3.1 Roteirizao em Ns .....................................................................................12

2.3.2 Roteirizao em Arcos ..................................................................................20

2.3.3 Roteirizao com Instalaes Intermedirias .................................................20

2.4 Consideraes Finais do Captulo .........................................................................21

3. CARACTERIZAO DO PROBLEMA.................................................................... 23

3.1 Caracterizao Geral.............................................................................................23

3.2 Definio do Problema .........................................................................................26

3.3 Formulao Matemtica........................................................................................28

4. ESTRATGIA DE SOLUO.................................................................................... 33

4.1 Introduo.............................................................................................................33

4.2 Heursticas ALOCf e ALOCd Frota, Demanda e Clarke e Wright ......................36

4.3 Heursticas GRASPf e GRASPd GRASP, Clarke e Wright, Frota e Demanda ....43

4.4 Heursticas AGs Algoritmo Gentico e Clarke e Wright.....................................46

5. RESULTADOS COMPUTACIONAIS........................................................................ 56

5.1 Problemas-Teste ...................................................................................................56

5.2 Parmetros das Heursticas....................................................................................59

5.2.1 Parmetros para a estratgia ALOC...............................................................61

5.2.2 Parmetros para a estratgia GRASP.............................................................62

5.2.3 Parmetros para a estratgia AG....................................................................62

5.3 Resultados ............................................................................................................64

5.3.1 Primeira Etapa de Testes ...............................................................................65

5.3.1.1. Problemas de 50 Pontos.............................................................................66

5.3.1.2. Problemas de 75 Pontos.............................................................................69

5.3.1.3. Problemas de 100 Pontos...........................................................................71

5.3.1.4. Utilizao de Valores de Custos ................................................................75

5.3.1.5. Concluso da Primeira Etapa de Testes......................................................79

5.3.2 Segunda Etapa de Testes ...............................................................................80

5.4 Anlise dos Resultados Obtidos ............................................................................83

6. CONSIDERAES FINAIS........................................................................................ 86

6.1 Concluses ...........................................................................................................86

6.2 Recomendaes e Prximos Passos.......................................................................88

7. REFERNCIAS............................................................................................................ 91

LISTA DE FIGURAS

Figura 3.1: Exemplos de situaes com e sem ocorrncia de subtours .................................31

Figura 4.1: Roteirizao com e sem a utilizao do mtodo de economias de Clarke e Wright

.....................................................................................................................................40

Figura 4.2: Pseudocdigo das estratgias heursticas ALOCf e ALOCd...............................43

Figura 4.3: Pseudocdigo das estratgias heursticas GRASPf e GRASPd...........................45

Figura 4.4: Representao cromossmica de um indivduo de 10 pontos .............................49

Figura 4.5: Exemplo de ranking de indivduos.....................................................................50

Figura 4.6: Exemplo do cruzamento entre dois indivduos...................................................51

Figura 4.7: Pseudocdigo das heursticas AG1c e AG2c......................................................54

Figura 4.8: Pseudocdigo das heursticas AG1cr0, AG1cr1, AG1cr10, AG2cr0, AG2cr1,

AG2cr10.......................................................................................................................54

Figura 4.9: Pseudocdigo das heursticas AG1cmv e AG2mv .............................................55

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1: Exemplo de combinaes permitidas de dias de visitas para T = 6 dias..............28

Tabela 4.1: Dados do exemplo explicativo das heursticas frota e demanda .........................38

Tabela 4.2: Combinaes permitidas de dias de visitas ........................................................48

Tabela 4.3: Resumo das variantes de AG.............................................................................53

Tabela 5.1: Problemas-teste de Christofides e Beasley (1984) .............................................57

Tabela 5.2: Resumo dos problemas-teste utilizados .............................................................59

Tabela 5.3: Resumo das estratgias de soluo ....................................................................60

Tabela 5.4: Parmetros utilizados nas etapas de testes .........................................................60

Tabela 5.5: Parmetros utilizados pelas variantes da estratgia ALOC.................................61

Tabela 5.6: Parmetros utilizados pelas variantes da estratgia GRASP...............................62

Tabela 5.7: Parmetros utilizados pelas variantes da estratgia AG......................................64

Tabela 5.8: Resultados do problema-teste 50A ....................................................................66

Tabela 5.9: Resultados do problema-teste 50B.....................................................................67

Tabela 5.10: Resultados do problema-teste 50C...................................................................68

Tabela 5.11: Resultados do problema-teste 75A ..................................................................69

Tabela 5.12: Resultados do problema-teste 75B...................................................................70

Tabela 5.13: Resultados do problema-teste 75C...................................................................71

Tabela 5.14: Resultados do problema-teste 100A.................................................................72

Tabela 5.15: Resultados do problema-teste 100B.................................................................73

Tabela 5.16: Resultados do problema-teste 100C.................................................................74

Tabela 5.17: Melhor custo total obtido para os problemas-teste de 50 pontos.......................76

Tabela 5.18: Melhor custo total obtido para os problemas-teste de 75 pontos.......................77

Tabela 5.19: Melhor custo total obtido para os problemas-teste de 100 pontos.....................77

Tabela 5.20: Resumo das melhores variantes de diferentes variveis de deciso ..................79

Tabela 5.21: Melhores variantes das melhores estratgias de soluo para cada conjunto de

problemas de Christofides e Beasley (1984) .................................................................81

Tabela 5.22: Parmetros e resultados dos problemas 2, 5, 8 e 10 de Christofides e Beasley

(1984)...........................................................................................................................82

Tabela 5.23: Resultados de artigos anteriores e do presente estudo ......................................82

Tabela 5.24: Porcentagem de desvio acima do melhor resultado obtido ...............................82

LISTA DE QUADROS

Quadro 4.1: Resumo das estratgias de soluo heurstica propostas ...................................36

Quadro 5.1: Resumo das mudanas das melhores variantes na Anlise de Sensibilidade .....79

1

1. INTRODUO

1.1 Descrio e Relevncia do Problema

O presente texto trata o problema de roteirizao peridica de veculos, que pode ser

entendido como uma generalizao do problema clssico de roteirizao. Este procura alocar

pontos a veculos, de maneira que os roteiros, ou seqncias de atendimento, otimizem os

recursos utilizados. Isto ocorre da mesma maneira na roteirizao peridica, no entanto, cada

ponto requer uma determinada freqncia de visitas ao longo do perodo de planejamento

(uma vez, trs vezes, diariamente, etc.). Consequentemente, alm da alocao a veculos, h a

necessidade de alocar os pontos em dias de visitas no perodo, respeitando a freqncia de

visitas requerida.

Aplicaes prticas para o problema de roteirizao peridica podem ser encontradas na

coleta de peas automobilsticas e coleta de lixo industrial caracterizando problemas de

atendimento em ns, tipo caixeiro viajante , e coleta de lixo residencial e limpeza de ruas

caracterizando problemas em atendimento de arcos, tipo carteiro chins.

O abastecimento de uma indstria automobilstica atravs da coleta de peas uma aplicao

bastante atual. Um grande nmero de montadoras no Brasil atua com sistema just-in-time, ou

seja, no mantm e nem armazena estoque de insumos e matrias-primas utilizados na

produo dos veculos, sendo que essas peas chegam linha da produo da montadora na

hora em que o automvel fabricado. Geralmente, um operador logstico contratado para

efetuar as coletas nos fornecedores das quantidades necessrias, seguindo uma programao

de produo definida previamente.

A partir disso, a montadora evita a complexa tarefa de recebimento e movimentao de peas

de um elevado nmero de fornecedores, transferindo a responsabilidade pela coleta,

conferncia e entrega para um operador logstico. Sendo assim, o processo fica otimizado,

diminuindo os custos e evitando a formao de filas nas reas de desembarque.

2

Na poca em que a inflao brasileira era alta e instvel, as grandes montadoras no se

preocupavam com a eficincia do seu sistema e, muito menos, em diminuir os estoques, pois

toda ineficincia do sistema era compensada com aplicaes no mercado. Entretanto, no

momento em que a inflao baixou e estabilizou, e houve uma abertura do mercado brasileiro

para empresa estrangeiras, as montadoras tiveram que acompanhar as mudanas e aumentar a

eficincia do sistema para se tornarem mais competitivas.

Inserida nesse cenrio, era preciso que a montadora fizesse estudos e investimentos em

estratgias baseadas em viso sistmica. Notou-se que a rea de logstica, que havia sido

deixada de lado, atendia essas necessidades de integrao dos sistemas, o que diminuiu os

custos e desperdcios, causando, por conseqncia, um aumento do lucro e da eficincia. Com

o advento da tecnologia e a incorporao desses conceitos de logstica dentro da montadora,

foi possvel adotar o sistema just-in-time.

Como dito anteriormente, com este novo sistema adotado no h estoques nas montadoras,

consequentemente, os materiais so necessrios em lotes menores, mas com freqncia maior.

Logo, para evitar filas na rea de desembarque, coletar os produtos com uma determinada

freqncia ao longo de um perodo de planejamento era mais apropriado. Adotou-se a

denominao de sistema de coleta milk-run para essa prtica por ter semelhanas com o

antigo sistema de coleta de leite nas fazendas por cooperativas de laticnios.

Antes da implantao desse sistema, cada fazenda levava o leite produzido a cada dia para as

cooperativas, para que estas pasteurizassem o produto. Isso ocasionava um aumento de custo

do leite, devido aos gastos em transporte e embalagem, alm do tempo gasto em filas na rea

de desembarque. A fim de aprimorar o sistema e diminuir esses custos que conduziam a

aumentos no preo do produto final e prejuzos, as prprias cooperativas passaram a coletar o

leite nas fazendas, utilizando embalagens padronizadas. Em outras palavras, um veculo

passava pelas fazendas coletando embalagens cheias de leite e deixando embalagens vazias

para serem coletadas cheias em outro dia. Para tanto, uma programao de coletas tinha que

ser feita, bem como os roteiros que cada veculo iria percorrer em cada dia. Sendo que

algumas fazendas no produziam a quantidade de leite suficiente para coletas dirias, elas

recebiam visitas com alguns intervalos de tempo (periodicidade).

3

Uma vez que o leite um produto perecvel, um tempo mximo entre a sua produo e o

consumo no pode ser ultrapassado. Conseqentemente, houve a instituio de horrios pr-

determinados de coleta, semelhantes s restries de janela de tempo dos problemas de

roteirizao.

Juntamente com o uso desses novos conceitos e sistemas, alguns benefcios para as

montadoras foram obtidos, como preciso da entrega de peas, maior controle de peas em

trnsito, agilidade de embarque e desembarque, reduo de trnsito de materiais interno,

agilidade na tomada de decises, otimizao da frota e reduo dos custos.

Portanto, devido ao que foi exposto, nota-se a importncia do estudo do problema e do

desenvolvimento de novas estratgias de soluo do mesmo, que agilizem a tomada de

deciso, melhorem a qualidade da soluo obtida, otimizem os custos e diminuam os tempos

de processamentos computacionais, sendo esse o objetivo do trabalho atravs da explorao

de novas estratgias de soluo para o problema de roteirizao peridica.

1.2 Metodologia

Trs estratgias de soluo heursticas foram propostas com a finalidade de se obter melhores

resultados de problemas de roteirizao peridica. A obteno de uma soluo tima

praticamente impossvel devido ao grande esforo computacional e ao tempo de

processamento requerido para isto, uma vez que o problema NP-Difcil. Para tanto,

desenvolveram-se duas heursticas (um baseada em insero e outra baseada em GRASP -

Greedy Randomised Adaptative Search Procedure) e uma metaheurstica, algoritmo gentico.

H a proposio de uma formulao matemtica para um problema geral de roteirizao

peridica para demonstrar as principais restries operacionais e as decises envolvidas.

A avaliao do melhor mtodo de soluo, bem como uma comparao com resultados

encontrados na literatura, tambm so realizados para averiguar se as estratgias propostas

podem realmente serem utilizadas em roteirizao peridica.

4

1.3 Delineamento do Trabalho

Os captulos deste texto esto organizados e estruturados para que a compreenso do assunto

e de suas possveis solues seja facilitada.

O captulo a seguir corresponde reviso bibliogrfica, em que so apresentadas, de forma

resumida, as pesquisas feitas por outros autores. Tem como finalidade o melhor entendimento

dos conceitos e das estratgias de soluo j exploradas na literatura.

O captulo 3 mostra a caracterizao do problema com suas peculiaridades e a maneira como

ele vai ser tratado. A formulao matemtica tambm apresentada nessa seo.

No captulo seguinte, so apresentadas as estratgias de soluo propostas e um detalhamento

maior de cada uma delas. A avaliao dessas estratgias foi realizada atravs de experimentos

computacionais, encontrados no captulo 5.

No captulo 6, h a apresentao de consideraes finais e recomendao para prximos

passos da pesquisa. O captulo final destinado s referncias utilizadas na pesquisa.

5

2. REVISO BIBLIOGRFICA

Este captulo tem como objetivo apresentar os trabalhos cientficos encontrados na literatura

que so correlatos ao tema da presente dissertao. Os textos estudados auxiliaram na

compreenso do problema e no conhecimento das estratgias de soluo j abordadas com o

objetivo de tentar solucionar o problema de roteirizao peridica. Verificou-se no ser um

assunto amplamente estudado, mas, como j mencionado anteriormente, demonstra ter uma

grande importncia no cenrio atual de diversas empresas e instituies.

2.1 Problemas de Roteirizao de Veculos na Literatura

A roteirizao peridica fundamenta-se nos conceitos bsicos de roteirizao de veculos, que

conhecido na literatura como Vehicle Routing Problem (VRP). Em linhas gerais, a

roteirizao de veculos pode ser definida como o atendimento de ns de demanda

geograficamente dispersos, sendo que, para cada ligao entre um par de ns, h distncias e

custos associados. A fim de atend-los, utiliza-se uma frota de veculos disponveis que

partem e retornam a um depsito central. O objetivo determinar o conjunto de rotas de

menor custo que atenda s necessidades dos ns, respeitando restries operacionais, tais

como capacidade dos veculos, durao da rotas, janelas de tempo, durao da jornada de

trabalho, entre outros.

O primeiro tipo de problema de roteirizao a ser estudado foi o caixeiro viajante (traveling

salesman problem). A idia encontrar o menor caminho possvel que um vendedor deve

percorrer, a partir de sua cidade, a fim de atender um conjunto de clientes (cidades), visitando

cada um deles exatamente uma nica vez. Ao longo de anos de estudos, novas restries

foram e esto sendo incorporadas ao caixeiro viajante, de modo a melhor representar os

diferentes problemas envolvendo roteiros de pessoas, veculos e cargas. De acordo com

Cunha (2000), os problemas de roteirizao so muitas vezes definidos como problemas de

mltiplos caixeiros viajantes com restries de capacidade e outras restries que dependem

de cada aplicao.

6

Tanto o problema do caixeiro viajante quanto os problemas de roteirizao so problemas que

podem ser formulados como problemas de programao linear inteira, e pertencentes

categoria de problemas NP-Difcil, ou seja, medida que o tamanho do problema aumenta, o

esforo computacional para resolv-lo cresce de maneira exponencial. Mesmo com o avano

da tecnologia dos computadores, problemas de maior porte encontrados em aplicaes

prticas apresentam muitas variveis e restries a serem consideradas; nem mesmo o mais

avanado computador existente no mercado poderia resolv-los (i.e. chegar a uma soluo

tima) em tempos de processamento aceitveis para instncias encontradas na prtica.

Logo, a fim de se obter uma soluo de boa qualidade com um tempo computacional

razoavelmente pequeno, resta a utilizao de heursticas e metaheursticas, que forneam uma

soluo apropriada ao que se deseja de uma soluo. Essas estratgias de soluo baseiam-se

em abordagens intuitivas, de modo que a estrutura particular do problema pode ser

considerada e explorada de forma inteligente (Cunha, 1997). Dada a diversidade dos

problemas de roteirizao em termos das suas restries, as estratgias de soluo baseadas

em heursticas so bastante especficas, carecendo de robustez, ou seja, elas no conseguem

produzir solues boas para problemas com caractersticas e restries diferentes daquelas

que foram levadas em considerao quando a estratgia foi planejada. Como apontado por

Hall e Partyka (1997), na roteirizao de veculos uma estratgia de soluo para um certo

tipo de problema com suas peculiaridades pode no ser adequada para um outro problema

similar (Teixeira, 2001).

Laporte et al. (2000) descrevem os principais mtodos para resoluo do problema de

roteirizao de veculos encontrados na literatura, classificados como heursticas clssicas e

tambm uma metaheurstica, a busca tabu, denominada pelos autores de heurstica moderna.

As heursticas clssicas analisadas so o algoritmo de economias de Clarke e Wright (1964)

em duas verses (paralela e seqencial); o algoritmo de varredura; o algoritmo de ptalas

(petal algorithm); o algoritmo do tipo agrupa-primeiro roteiriza-segundo (cluster-first, route-

second algorithm); e as heursticas de melhorias, do tipo 3-opt. Os autores comparam essas

heursticas clssicas de roteirizao atravs de testes com quatorze problemas considerados

benchmarks. Boas solues foram obtidas com um tempo de processamento menor quando

so utilizados o mtodo de economias de Clarke e Wright (1964) e o algoritmo de varredura

de Gillett e Miller (1974). A heurstica moderna analisada no artigo a busca tabu, assim

7

como algumas variantes desenvolvidas por outros autores. Embora a qualidade das solues

obtidas pela busca tabu, assim como suas variantes, seja bastante superior s das heursticas

clssicas, os tempos computacionais ainda so, em geral, muito elevados para aplicaes

comerciais. Segundo os autores, as metaheursticas, em particular a busca tabu, so muito

dependentes do contexto do problema e o ajuste de parmetros para cada caso afeta seu

desempenho, demonstrando a dificuldade em termos de robustez dessas estratgias de

soluo.

Conforme Laporte et al. (2000), uma tendncia futura de pesquisa a ser perseguida o

desenvolvimento de metaheursticas mais simples, rpidas e robustas que, mesmo com algum

prejuzo qualidade de solues, permitam a sua incorporao em pacotes comerciais.

Pirlot (1996) apresenta um detalhamento e uma anlise de trs metaheursticas muito

conhecidas e utilizadas. Para cada uma delas (busca tabu, algoritmo gentico e simmulated

annealing), o autor descreve a respectiva verso bsica, ilustrada pela aplicao em um

problema combinatrio de otimizao selecionado na literatura, bem como uma breve reviso

bibliogrfica e introduo discusso de tpicos mais avanados, como ajuste de parmetros,

refinamentos de idias bsicas e aspetos tericos. Outra opo que o autor descreve e afirma

ser uma tendncia a utilizao de mtodos hbridos, em que se utilizam duas metaheursticas

em conjunto.

2.2 Trabalhos Desenvolvidos no mbito da EPUSP

O presente trabalho integra um conjunto de pesquisas que vm sendo realizadas

principalmente nas reas de Engenharia Naval, Engenharia de Transportes e Engenharia de

Sistemas Logsticos da Escola Politcnica da Universidade de So Paulo. Envolvem,

genericamente, o desenvolvimento e a implementao computacional de novos algoritmos e

heursticas de soluo para problemas de roteirizao, programao e designao de veculos,

cujas principais contribuies mais recentes esto relacionadas a seguir:

8

Cunha (1997) trata o problema de roteirizao de veculos com restries operacionais,

tais como janelas de tempo e durao mxima de jornada de trabalho. A estratgia de

soluo proposta pelo autor baseada na relaxao lagrangeana das restries do modelo.

So desenvolvidas trs heursticas diferentes: duas para frota homognea (alocao

seqencial e alocao paralela) e outra para dois tipos de frota (agrupamento e alocao

seqencial). Ao final, compara-se o desempenho das trs heursticas propostas e depois se

utiliza a ltima heurstica para um caso prtico.

Brejon (1998) aborda um problema de programao de transporte de suprimentos para

unidades martimas de explorao de petrleo, visando a garantia de que os suprimentos

necessrios estejam na unidade martima solicitante na quantia correta e dentro dos

horrios solicitados. analisado como um problema de roteirizao e programao de

veculos com restrio de janelas de tempo. A estratgia de soluo utilizada se baseia na

heurstica de insero I1, proposta por Solomon (1987), modificada para se adequar s

restries do problema estudado. A alocao dos clientes s rotas segue um critrio de

primeiro inserir em uma rota os clientes mais distantes e depois os clientes no alocados

que tm menor valor de fim de janela de tempo, obviamente a insero feita juntamente

com um estudo de viabilidade de insero, que est relacionado a limites de capacidade,

distncia e tempo.

Souza (1999) prope uma estratgia de soluo para o problema de transporte do tipo

Carga nica Coleta e Entrega (Full Truckload Pickup and Delivery) com janelas de

tempo em duas etapas: na primeira so gerados todos os roteiros tecnicamente viveis

para atender as requisies de transporte dentro do perodo de programao, e na segunda

resolvido um problema de programao linear, do tipo partio de conjunto (set

partitioning) para a seleo dos melhores roteiros que minimizem o custo total do

transporte.

Znamensky (2000) aborda o problema de roteirizao e programao de veculos com

restries operacionais e temporais, visando o transporte de idosos e pessoas com

deficincias atravs de veculos de pequeno porte. Esse servio oferecido pela So

Paulo Transportes (SPTrans), no mbito do municpio de So Paulo, tendo como

denominao sistema ATENDE. Esse problema conhecido na literatura como dial-a-

9

ride de programao diria, que se caracteriza por transporte de passageiros de uma

origem a um destino porta-a-porta, com a possibilidade de solicitao do servio por

telefone. Uma caracterstica diferenciadora desse estudo a utilizao de mltiplos

depsitos de onde partem os veculos. A soluo proposta para o problema baseia-se em

uma heurstica de insero paralela; aps a gerao de uma primeira soluo, h uma

melhoria de busca local nas categorias de troca intra-rotas e inter-rotas (reinsero de

solicitaes ou troca de solicitaes). A heurstica produz bons resultados com reduo

significativa dos custos operacionais e de frota em relao maneira como feita a

programao atualmente.

Teixeira (2001) trata o problema de composio (ou dimensionamento) e roteirizao de

uma frota de veculos heterognea, levando em conta custos fixos e variveis, alm de

restries operacionais, com o objetivo de minimizar os custos de distribuio. A

estratgia de soluo est baseada em um algoritmo out-of-kilter para o agrupamento de

clientes segundo uma medida de economia que leva em conta no s a distncia como o

custo fixo dos clientes. Para o agrupamento de clientes, o problema de designao foi

modelado como de circulao com custo mnimo. As heursticas produzidas (bsica,

hbrida e soluo direta) se baseiam nas combinaes de rotas a partir da soluo dos

problemas de designao de frota, uma vez que ao compor e roteirizar uma frota de

veculos, os custos de distribuio so minimizados.

Feriancic (2005) estuda o problema de distribuio de combustveis com caminhes

tanque para postos de abastecimento. A grande particularidade deste problema a frota

ser heterognea devido a diferentes conjuntos possveis de compartimentao para

transporte dos produtos, permitindo assim o transporte de um ou mais produtos em um

mesmo caminho tanque para mais de um cliente. Apesar de ser permitido transportar

mais de um produto por caminho (gasolina, lcool e diesel), cada compartimento tem

que estar sempre completamente cheio ou vazio. A estratgia de soluo proposta baseia-

se em definir a alocao tima dos pedidos aos veculos e a seqncia de entrega de cada

veculo. A frota prpria j pr-determinada e h a possibilidade de uso de frota

terceirizada. Os clientes so alocados segundo uma ordem decrescente de dificuldade nos

veculos, tambm ordenados de acordo com a sua serventia. Isto feito para que a

heurstica de insero seqencial inclua os clientes segundo uma ordem decrescente em

veculos de maior serventia ainda disponveis. A fim de validar a formulao matemtica,

10

bem como testar a sua consistncia, foram utilizados o Solver do Excel e o CPLEX da

ILOG; entretanto no foi possvel obter a soluo tima mesmo para instncias de menor

porte. A heurstica proposta baseia-se no GRASP (Greedy Randomised Adaptative Search

Procedure) a fim de promover vrios reincios da heurstica de alocao seqencial,

realocando apenas alguns clientes escolhidos aleatoriamente.

Mourad (2005) trata de um problema de roteirizao de carga completa com janelas de

tempo que incorpora algumas singularidades encontradas nas empresas do mercado

brasileiro. Uma diferena relevante para o problema clssico comumente estudado na

literatura a possibilidade de utilizao de uma frota spot como complemento de uma

frota dedicada. So consideradas ainda janelas de tempo, paradas especiais para execuo

de servios (manuteno do veculo, por exemplo), e mltiplos depsitos, dentro de um

horizonte de planejamento semanal, conferindo ao problema uma caracterstica dinmica.

A frota dedicada j pr-dimensionada, ento os clientes que no puderem ser atendidos

pela frota dedicada ou mesmo aqueles cujo atendimento por ela no for vivel so

automaticamente atendidos por uma frota terceirizada, ou spot. Foram propostas quatro

diferentes heursticas, todas baseadas em busca tabu. A soluo inicial obtida atravs de

uma heurstica de insero inspirada em Solomon (1987). A diferena entre as quatro

heursticas propostas se encontra na estrutura de controle da busca, como tipos de

proibio e perodo tabu. Primeiramente, so geradas doze instncias com diferentes

nmero de viagens por dia e restries locais de coleta e entrega, denominadas como

problemas reduzidos. Em seguida, quatro cenrios com diferentes parmetros para

problemas triviais da literatura tambm foram gerados. A heurstica TS4 demonstrou

melhor desempenho em todos os testes, bem como no modelo exato, o que mostra que a

utilizao de busca tabu para solucionar problemas de roteirizao com janelas de tempo

permite obter bons resultados.

Bonasser (2005) estuda o problema de roteirizao de veculos com mltiplos depsitos e

frota heterognea fixa. Sua estratgia de soluo se baseia em heursticas de economias,

busca tabu, colnia de formigas e uma metaheurstica hbrida (mtodo Routing AnTS),

desenvolvida especialmente para a soluo do problema em questo. O autor tambm

explora o desempenho dos mecanismos de diversificao e intensificao embutidos nos

mtodos. So utilizados com a finalidade de testar as estratgias de soluo conjuntos de

instncias clssicas para problemas de roteirizao de veculos em sua forma padro, com

11

frota heterognea e com mltiplos depsitos. Conclui-se que a busca tabu efetua a

intensificao com maior eficincia, enquanto a colnia de formigas promove melhor

diversificao. A metaheurstica hbrida, por sua vez, apresenta melhor desempenho que

as estratgias anteriores de uma maneira geral. Alguns resultados obtidos por Bonasser

(2005) superam os encontrados na literatura. Alm da utilizao dos problemas retirados

da literatura, aplicou-se as estratgias de soluo para uma situao real da Fora Area

Brasileira, no caso, a operao de assistncia humanitria realizada pela mesma. O autor

comprova que possvel a aplicao dos mtodos neste caso.

Abraho (2006) prope uma estratgia de soluo baseada em colnia de formigas para

tratar do problema de programao de manuteno preventiva de veculos. Este tipo de

problema considerado bastante complexo, em que poucos mtodos de soluo so

estudados para otimizar este tipo de programao. Segundo o autor, um problema do

tipo NP-Difcil, impedindo assim a formulao e soluo a partir de mtodos exatos,

como a programao linear. Utiliza-se, ento, o mtodo de colnia de formiga combinada

com mecanismos de intensificao e busca local. Esta estratgia foi aplicada

programao de manuteno preventiva da frota de aeronaves da Fora Area Brasileira.

Os resultados foram bons para a soluo dos problemas-teste, demonstrando que colnia

de formigas apropriada para este tipo de problema.

Znamensky (2006) aborda um sistema logstico conhecido como Vendor Managed

Inventory, em que um fornecedor controla e coordena as decises de reabastecimento,

sendo responsvel por manter os estoques de seus clientes dentro de limites pr-fixados.

O modelo proposto pelo autor incorpora decises relativas produo e manuteno de

estoque por parte do fornecedor, juntamente com a utilizao de frota heterognea na

distribuio e a busca da minimizao dos custos totais do sistema. Quatro heursticas de

duas etapas so propostas para a resoluo do problema abordado. A primeira etapa,

comum a todas as heursticas, baseia-se em uma heurstica retirada da literatura e fornece

uma soluo inicial vivel, utilizada como ponto de partida para a etapa de melhoria. Para

esta outra etapa, Znamensky (2006) utiliza a metaheurstica busca tabu. As heursticas

propostas foram avaliadas em um conjunto de teste, sendo obtidos resultados melhores

que os encontrados na literatura em todas as instncias testadas. Dentre as estratgias de

soluo avaliadas, destaca-se a heurstica baseada em busca tabu com diversificao, que

demonstrou ser superior s demais heursticas propostas. Os resultados obtidos indicam

12

que, no caso da frota disponvel ser heterognea, vantajosa a utilizao de uma

adaptao no procedimento de obteno da soluo inicial, como forma de priorizar a

utilizao de veculos que demonstraram maior eficincia.

2.3 Problemas de Roteirizao Peridica

O problema abordado nesta dissertao um caso geral de roteirizao de veculos,

expandido a um certo perodo de dias de planejamento, sendo que os clientes requerem um

nvel de servio atravs de uma determinada freqncia de visitas dentro desse mesmo

perodo. Conseqentemente, necessrio determinar tambm os melhores dias de visitas,

levando em considerao os impactos na roteirizao.

2.3.1 Roteirizao em Ns

Antes de receber a denominao de roteirizao peridica, o problema era considerado como

de designao (assignment) de dias de visitas, conforme denominao de Beltrami e Bodin

(1974) que estudaram o problema de coleta de lixo municipal da cidade de Nova Iorque

produzido por grandes instituies, tais como escolas e hospitais. Os autores foram os

pioneiros na discusso da periodicidade deste tipo de problema, pois, atravs de anlises,

notaram que havia grandes vantagens, em termos de economia, em se visitar alguns pontos

diversas vezes ao dia, ou mesmo em um determinado perodo de tempo maior que um dia.

Logo, o problema foi tratado como de roteirizao peridica. Diferencia-se da coleta de lixo

residencial pelo fato de ser uma roteirizao em ns e no em arcos, como no caso de limpeza

de rua e remoo de neve. Os autores discutem algumas estratgias de soluo: (i) os ns so

agrupados e depois roteirizados, ou (ii) os roteiros so criados e a partir deles os dias de

visitas so definidos. O mtodo de economias de Clarke e Wright (1964) utilizado para a

realizao da roteirizao diria dentro do perodo, podendo at considerar uma rota que

comea e termina em pontos diferentes, alm da opo de um ponto ser visitado mais de uma

vez.

13

Russel e Igo (1979) desenvolveram heursticas para designar clientes a dias da semana com a

finalidade de minimizar a distncia total percorrida. Segundo os autores, heursticas tm que

ser utilizadas devido ao tamanho das instncias encontradas na prtica e intratabilidade de

problemas de roteirizao de ns. Trs estratgias de soluo so discutidas, sendo uma delas

baseada no conceito de agrupar os pontos com freqncia de servio semelhantes e, em

seguida, agrup-los por proximidade. O ponto do grupo mais prximo ao centride,

relacionado a esse mesmo grupo, assume a soma da demanda dos pontos do grupo inteiro. Isto

feito com a finalidade de diminuir o tamanho do problema, tornando mais fcil a

manipulao de dados e a prpria roteirizao do problema posteriormente. Depois que uma

soluo de designao de dias obtida, expandem-se novamente os grupos aos pontos

originais para resolver o problema de roteirizao diria. A partir dessa soluo inicial, as

outras duas heursticas propostas pelos autores tm como objetivo melhorar essa soluo

considerando a roteirizao juntamente com a designao dos pontos.

Um dos primeiros artigos que adota a denominao de problema de roteirizao peridica de

veculos o de Christofides e Beasley (1984), que caracterizam o problema e apresentam o

modelo matemtico completo para um caso genrico. Os autores adotam um mtodo

heurstico de soluo baseado inicialmente na escolha inicial da melhor combinao permitida

de dias de visitas para cada ponto. A fase seguinte caracterizada por trocas (interchanges) de

combinaes de alguns pontos como uma tentativa de diminuir o custo total resultante das

roteirizaes dirias no perodo de planejamento.

Os autores concluem, aps uma breve discusso do modelo matemtico, que o problema

muito complexo, pois envolve um enorme nmero de variveis. A fim de ajudar a resoluo,

os autores propem duas relaxaes do problema de roteirizao de veculos que transformam

os subproblemas de roteirizaes dirias em um problema de mediana (median problem) e um

problema de caixeiro viajante. A primeira relaxao est baseada em um estudo anterior de

Christofides e Eilon (1969), comprovando que a distncia esperada das rotas dos veculos est

relacionada soma das distncias radiais dos clientes a um centro, sendo este escolhido para

cada um dos dias do perodo. Assim sendo, ao minimizar essas distncias radiais, possvel

obter uma minimizao global de custos. A outra relaxao baseada no conceito de caixeiro

viajante. Nota-se que ao diminuir a distncia total percorrida nos roteiros dos caixeiros

viajantes, a distncia da soluo da roteirizao de veculos tambm minimizada. Assim,

14

esperado que o mesmo ocorra no caso da roteirizao peridica de veculos (isto

comprovado ao final do estudo).

A heurstica proposta pelos autores baseia-se primeiro na escolha inicial das combinaes de

dias de entrega para os clientes e, em seguida, aps a realizao de roteirizaes dirias, h

uma troca (interchange) dessa combinao dos clientes, na tentativa de reduzir o custo total.

A dificuldade dessa estratgia avaliar o efeito da mudana de dias de visitas aos clientes,

uma vez que necessrio realizar a roteirizao diria das mudanas e comparar o resultado

final obtido com o resultado anterior.

A fase de alocao das combinaes permitidas de dias de atendimento dos clientes iniciada,

primeiramente, com a ordenao desses clientes em ordem decrescente em relao a uma

medida de importncia, em que se colocam os clientes com dias de combinao fixas no

topo da lista (no h no texto exemplos de pontos com combinao fixa, mas fazendo um

paralelo com instncias reais, pode-se dizer que so aqueles clientes que somente podem ser

atendidos em determinados dias, sem nenhuma flexibilidade). Para os demais clientes, a

ordenao feita com base na demanda de cada um deles, ou seja, os que tiverem demandas

maiores requeridas por visitas so alocados primeiro, evitando problemas posteriores de

viabilidade, dada a capacidade do veculo e a frota disponvel. Aps a ordenao dos clientes,

para cada um deles avaliado o aumento do custo total no perodo para as combinaes

permitidas de dias que respeitam a exigncia de freqncia de cada um deles. A melhor

combinao escolhida para cada ponto aquela que oferece o menor aumento geral dos

custos. A fase de trocas (interchanges) da heurstica a tentativa de melhoria da soluo,

caracterizada pela mudana da combinao de dias dos clientes, e realmente efetuar aquelas

que oferecem custos menores. Isto feito atravs de uma escolha de um subgrupo pequeno de

clientes e, dentre eles, enumera-se todas as possibilidades de combinaes, procurando

minimizar os custos totais, que neste caso representada apenas pela distncia.

Os autores testaram as estratgias para 11 tipos de problemas, sendo que os resultados obtidos

com a relaxao para um problema de caixeiro viajante deram menores custos, se comparados

com os resultados das rotas geradas pela heurstica que utiliza o problema de medianas.

Outro artigo que adota a denominao de roteirizao peridica o de Tan e Beasley (1984).

A partir da formulao de Fisher e Jaikumar (1981) de um problema de roteirizao com

15

designao de pontos para os veculos, os autores propem uma extenso da formulao

matemtica e comprovam que o problema de roteirizao peridica muito complexo para se

resolver atravs de mtodos exatos; assim, resolvem primeiro de maneira exata aps efetuar

uma relaxao de programao linear, que a troca de uma das restries na formulao. A

roteirizao de cada dia do perodo de planejamento feita atravs do mtodo de designao

de Fisher e Jaikumar (1981), em que um ponto-semente alocado para cada veculo, para em

seguida serem inseridos os demais pontos. A escolha dos pontos-semente pode ser feita

atravs de uma regra automtica. Depois de decidir os pontos-semente para cada veculo, a

escolha dos dias a serem associados a esses pontos feita atravs da anlise de uma matriz

contribuio, que definida como o menor valor de acrscimo de distncia ao inserir um

determinado ponto em um roteiro; sendo que essa distncia considerada como o total

viajado, ida e volta, do depsito at o ponto-semente passando pelo ponto a ser inserido. A

fim de melhorar a soluo, necessrio repetir o processo de escolha da semente e de

montagem da matriz de contribuio, por diversas vezes. Os testes computacionais so feitos

com a mesma base de dados de Christofides e Beasley (1984), sendo os resultados obtidos

bastante competitivos. Apesar de no conseguirem distncias percorridas menores que do

artigo anterior, no caso em que se aplica a relaxao de caixeiro viajante, os tempos

computacionais so baixos. Esse seria um trade-off a ser estudado e levado em considerao.

Chao et al. (1995) propem uma heurstica para resolver o problema de caixeiro viajante

peridico. Com a finalidade de facilitar a etapa de alocao de clientes em dias de visitas, um

algoritmo de designao busca equilibrar o nmero de clientes que so servidos em cada dia

no perodo, a fim de se obter uma soluo inicial. A idia do algoritmo implica, por

conseqncia, uma minimizao do nmero mximo de clientes visitados em um nico dia,

evitando a concentrao deles em alguns dias. Uma vez obtida essa soluo inicial, executa-se

uma fase de melhoria da soluo, baseada na realocao de cada ponto em dias diferentes,

sendo feita atravs da realocao de um ponto por vez. A mudana s efetuada caso ela

provoque uma melhoria na funo objetivo. Aps a escolha final dos dias de visitas para cada

cliente, executa-se uma etapa de limpeza (clean-up), em que se tenta diminuir a distncia total

percorrida atravs da mudana dos clientes para roteiros diferentes, alm da utilizao de um

algoritmo de melhoria do tipo 2-opt. A heurstica foi testada para 10 problemas-teste da

literatura e para mais 13 problemas gerados. Os resultados obtidos so melhores e mais

eficientes que os encontrados na literatura.

16

Cordeau et al. (1997) propem uma estratgia baseada em busca tabu para resolver trs

problemas bastante conhecidos: (i) roteirizao peridica, (ii) caixeiro viajante peridico, e

(iii) roteirizao de veculos com mltiplos depsitos. Uma contribuio deste trabalho a

comprovao que o problema de mltiplos depsitos pode ser formulado como um caso

especial de roteirizao peridica. Os princpios da busca tabu do artigo tm semelhanas com

o Tabouroute de Gendreau et al. (1994), com exceo escolha da soluo inicial, uma vez

que no h falsos incios para identificar uma soluo promissora, o perodo tabu constante,

os critrios dos parmetros de penalidade so diferentes, no h re-otimizaes peridicas, o

nmero de iteraes definido no incio, os nveis de aspirao so dependentes dos atributos

e no aplicada uma fase de intensificao. Utilizou-se uma heurstica, denominada GENI

para realizar a insero de clientes no roteirizados e a remoo de clientes de suas rotas

atuais a fim de reinseri-los em outras diferentes, sendo que as mudanas so efetuadas para

aquelas que demonstrarem menores custos. As buscas tabu dos trs problemas estudados so

semelhantes entre si, exceto pela construo da soluo inicial, podendo essa ser vivel ou

no. A diversificao do mtodo baseada em uma funo de penalidade dos atributos mais

recorrentes nas solues que implicam em aumento na funo objetivo. Os resultados obtidos

atravs dos testes com instncias retiradas da literatura mostraram que os algoritmos

desenvolvidos so melhores que os encontrados anteriormente.

Vianna et al. (1999) propuseram uma metaheurstica hbrida paralela (i.e., utilizando vrios

processadores em paralelo) para o problema de roteirizao peridica; a mesma se baseia em

algoritmo gentico paralelo, scatter search e uma heurstica de busca local, utilizando o

modelo de ilha (island model) na qual a populao de cromossomos repartida em vrias

subpopulaes, sendo que a freqncia de migrao entre subpopulaes dos cromossomos

baixa, somente executada quando a renovao da subpopulao necessria. As etapas da

estratgia de soluo so: gerao de um grupo de alternativas viveis de combinaes de

visitas para cada cliente de acordo com a freqncia de visitas requerida, seleo de uma das

alternativas para cada cliente, representao de solues atravs dos cromossomos, gerao de

uma populao inicial, evoluo e reproduo, e diversificao da populao. Os indivduos

so representados por genes que caracterizam os pontos de demanda que devem ser atendidos,

sendo que o cdigo que est contido em cada um deles representa as combinaes de dias de

visitas permitidas, escolhida de acordo com a freqncia requerida pelo determinado ponto.

Vianna et al. (1999) contabilizam a demanda diria servida medida que um cliente alocado

em uma combinao de dias de visitas, pois a frota diria pr-determinada, ento h uma

17

capacidade mxima de atendimento por dia que pode ser utilizada. A regra para iniciar a

alocao dos cromossomos feita da seguinte maneira: a cada cliente, um grupo de

alternativas de combinaes de dias de visitas possveis atribudo, os clientes so ordenados

em grupos de nmero de alternativas possveis iguais, a alocao priorizada aos clientes que

tm um nmero menor de alternativas viveis de combinao de dias de visitas. Os clientes

dentro de cada grupo so escolhidos aleatoriamente e o grupo de alternativas viveis de

combinao de dias de visitas para este determinado cliente so testadas uma a uma. Caso este

cliente viole a capacidade total da frota de um determinado dia, a alternativa descartada. A

roteirizao diria realizada atravs do algoritmo de economias de Clarke e Wright (1964).

A fase de reproduo feita por cruzamento e mutao, sendo que nesta fase a capacidade

mxima diria da frota tambm tem que ser respeitada. A etapa de diversificao realizada

atravs de um operador de migrao (island model) com uma taxa de renovao pequena.

Foram realizados experimentos computacionais com instncias retiradas da literatura com

nmero de clientes variando de 50 a 417 e de horizonte de planejamento de 2 a 10 dias. Os

resultados obtidos so comparados com outros da literatura, verificando-se resultados

superiores em termos de tempo de processamento computacional e qualidade de soluo, o

que mostra que a utilizao de algoritmos genticos para este tipo de problema traz benefcios

em otimizao. Obviamente, uma boa codificao e definio de parmetros tambm so

importantes para alcanar estes resultados.

Shih e Chang (2001) estudaram o problema de coleta de resduo infecto-contagioso de

hospitais de Taiwan, que comeou a ser uma preocupao do governo devido aos problemas

ambientais decorrentes da falta de tratamento desse tipo de resduo. A estratgia de soluo

utilizada consiste em uma heurstica de duas fases: a primeira utiliza a heurstica space filling

curve mapping, atravs do particionamento timo por programao dinmica e melhoria do

tipo 2-opt; a segunda fase emprega um modelo de programao inteira mista para balancear a

carga de trabalho diria das rotas obtidas pela minimizao da mxima distncia viajada por

dia. Uma vez que se minimiza essa distncia, o custo operacional diminui por decorrncia.

Pode-se perceber, pelos resultados alcanados, que a distncia percorrida pelos veculos

pequena e a capacidade mxima veicular s atingida quando h coletas em hospitais

grandes, enquanto que a ocupao dos veculos que visitam vrios hospitais menores tambm

est bastante balanceada. Isto mostra que a segunda fase da heurstica proposta tem um bom

desempenho.

18

Baptista et al. (2002) propem uma nova formulao matemtica a partir da proposta por

Christofides e Beasley (1984), adaptada ao problema real de coleta de papel reciclvel na

cidade de Almada, em Portugal. O que diferencia esta formulao das anteriores o tamanho

do perodo (neste caso, um ms), o fato da frota no ser uma varivel, e a freqncia de visitas

de cada ponto se tornar uma varivel de deciso, uma vez que o volume de papel a ser

coletado varia de um perodo para o outro, inviabiliza a previso de demanda. Utiliza-se

tambm o mtodo de melhoria atravs de trocas (interchanges) desenvolvido por Christofides

e Beasley (1984). Devido s caractersticas particulares do problema, os resultados aps as

melhorias no so muito bons e dependem da soluo inicial adotada, que seria a escolha da

combinao permitida de dias de visitas para cada ponto.

Outro artigo encontrado que estuda a coleta de resduo reciclvel em Portugal o de Teixeira

et al. (2004). A diferena em relao ao trabalho de Baptista et al. (2002) so os trs tipos

distintos de resduos: vidro, papel e plstico/metal, que devem ser coletados separadamente. A

heurstica proposta tambm se baseia na de Christofides e Beasley (1984). A quantidade de

depsitos a serem visitados, bem como a quantidade e os tipos de resduos a serem coletados

so constantes, ou seja, as rotas e a designao de dias no precisam ser mudadas. Os roteiros

estticos no perodo so preferveis pela empresa de coleta uma vez que simplificam a

operao. O objetivo minimizar a distncia total, sujeito a restries de capacidade do

veculo e de durao dos roteiros. A capacidade de todos os veculos idntica, porm a

densidade de cada tipo de resduo diferente. A estratgia de soluo divide-se em trs fases:

(i) definio de zonas, (ii) definio de seqncias por tipo de resduo e (iii) construo das

rotas de coleta. Atravs dos resultados, percebe-se que a restrio de tempo de jornada de

trabalho mais limitante que a de capacidade veicular, devido disperso geogrfica dos

pontos de demanda. Devido falta de robustez do algoritmo, o mesmo no considerado

competitivo em relao aos de outros autores, como por exemplo, Cordeau et al. (1997),

quando a instncia tem um nmero menor de ns e um perodo de planejamento mais curto,

uma vez que a singularidade do problema estudado por Teixeira et al. (2004) justamente o

grande nmero de ns e o perodo de planejamento longo.

Alegre et al. (2004) estudam um caso de coleta de materiais para uma indstria

automobilstica em pontos geograficamente dispersos. A diferena reside no perodo de

planejamento, que muito longo (90 dias). A estratgia de soluo uma heurstica de duas

fases, sendo a primeira fase destinada designao dos dias de visitas e a segunda para

19

construo das rotas. A resoluo da designao dos fornecedores feita atravs de uma

adaptao da metaheurstica scatter search (Glover et al., 2003). O procedimento de soluo

testado atravs de dados de um problema real, assim como de problemas clssicos retirados da

literatura de roteirizao peridica. Os resultados alcanados so muito melhores que os

anteriores e, para o caso do problema real, a estratgia de soluo conduz a resultados

melhores que os atuais, que so obtidos manualmente.

Galvo (2004) estudou a otimizao do sistema de coleta de resduos de biomassa de madeira

para fins energticos no contexto de sua aplicao a um problema real relacionado ao

abastecimento de uma central produtora de energia e/ou vapor. O problema foi dividido em

duas partes: (i) seleo dos fornecedores e (ii) dimensionamento e a programao da frota em

cada dia de um perodo de planejamento, respeitando a restrio de jornada de trabalho; os

roteiros correspondem a viagens redondas. O problema da escolha dos fornecedores

formulado considerando uma estrutura semelhante ao problema de mochila binria (zero-one

knapsack problem), enquanto que para o problema de dimensionamento e programao da

frota utiliza-se uma estratgia de decomposio, dada a dificuldade de resolver o modelo

matemtico integrado, aparentemente de natureza combinatria. Nessa estratgia utilizado

algoritmo gentico para o dimensionamento de mnima frota necessria, enquanto que para a

programao dos veculos em cada um dos dias do perodo de planejamento usada a

resoluo de um problema do tipo bin-packing.

Tortelly e Occhi (2006) apresentam uma metaheurstica hbrida baseada em conceitos de

GRASP e busca tabu para resolver o problema de roteirizao peridica. A construo da

soluo inicial feita de duas maneiras, ambas utilizando GRASP para a designao aleatria

de dias de visitas aos pontos. A diferena est na utilizao ou no de um filtro para manter

apenas as solues melhores ao invs de apenas construir as solues sem critrio de escolha.

A roteirizao diria conseguida pelo mtodo de roteirizao em ptalas. Uma busca local

utilizando a busca tabu a cada iterao do GRASP realizada para melhorar a soluo inicial,

sendo esta soluo inicial utilizada como semente na busca tabu. A busca tabu incorpora

etapas de intensificao e diversificao utilizando memrias de curto e longo prazo, sendo

feita atravs de troca de clientes de rotas e de dias de visitas. Quando uma nova soluo

obtida melhor que a designada como semente, o valor de semente ento renovado. Aps

um determinado nmero de iteraes com busca tabu, uma nova semente construda atravs

de GRASP. Testes foram realizados com instncias retiradas da literatura e geradas

20

aleatoriamente, utilizando tambm a variante de busca tabu encontrada no estudo de Courdeau

et al. (1997). A utilizao de GRASP com filtro apresenta resultados bastante competitivos

comparados literatura sem aumentar o tempo de processamento, considerando a estratgia

sem filtro.

2.3.2 Roteirizao em Arcos

Um outro tipo de problema abordado em roteirizao peridica, e que se diferencia dos

anteriores, o de roteirizao peridica em arcos. Caracteriza-se pelo atendimento ao longo

de arcos, ao invs de ns. Os arcos de uma rede so no direcionados, e para que isso seja

considerado no modelo matemtico, cada ligao tem um custo extra a fim de que o veculo

no percorra o mesmo trecho de via duas vezes. Esse tipo de problema ocorre nos casos de

coleta de lixo domiciliar e limpeza de ruas, por exemplo. Lacomme et al. (2004) utilizam uma

penalidade (custo) para que o veculo no passe na mesma rua em direes diferentes. Outros

autores que estudam problemas deste tipo so Chu et al. (2004) e Ghiani et al. (2005). Ainda

uma novidade no meio cientfico, sendo assim, os autores no tm problemas benchmarks

para testar as heursticas desenvolvidas e compar-las para medir a sua eficincia.

2.3.3 Roteirizao com Instalaes Intermedirias

O trabalho de Angelelli e Speranza (2002) tambm inovador, no tendo sido identificados

outros semelhantes na literatura. Os autores abordam uma extenso do problema de

roteirizao peridica em que os veculos utilizados tem a possibilidade de restaurar suas

capacidades durante os roteiros atravs de instalaes intermedirias, podendo ser

reabastecidos ou no, e retornando ao depsito (ou garagem) apenas ao trmino da jornada de

trabalho. Em outras palavras, restaurar a capacidade significa que o veculo tem a

possibilidade de descarregar a carga que coletou dos pontos visitados nessas instalaes

intermedirias, podendo assim, ao sair de l, fazer a coleta de outros pontos com a capacidade

total zerada, como se tivesse sado do depsito central para visitar o primeiro ponto do roteiro

21

do dia. Sua utilizao pode ser vista em coletas de lixo em que o resduo tem que ser deixado

em estaes de tratamento e o veculo retorna ao depsito ao final da jornada, ou at mesmo

em problemas de distribuio em que alguns produtos so descarregados em armazns antes

do veculo retornar sua origem. A soluo inicial construda por um algoritmo de

varredura, e a melhoria obtida atravs do uso da metaheurstica busca tabu. A estrutura de

vizinhana utilizada na busca tabu tem quatro movimentos bsicos: (i) remoo de um cliente

e reinsero do mesmo em uma outra rota no mesmo dia, (ii) mudana de atribuio de dia de

visitas de um cliente, (iii) redistribuio de um grupo clientes pertencente a duas rotas de

mesmo dia para duas novas rotas, e (iv) simplificao de interseces que nada mais que a

troca de rotas entre veculos depois da passagem pela instalao intermediria. No h na

literatura problemas-teste para verificar a qualidade de solues da estratgia proposta. Logo,

a fim de testar a eficincia da busca tabu proposta, foram testadas para um problema simples

de roteirizao peridica com problemas retirados da literatura. Em seguida, instncias foram

geradas para checar a eficincia dos movimentos e a influncia da instalao intermediria.

2.4 Consideraes Finais do Captulo

Neste captulo, foram resumidos textos retirados da literatura que esto relacionados com o

tema do presente estudo, o problema de roteirizao peridica. Foi importante, antes de tudo,

entender a base do problema de roteirizao simples perodo de um dia para verificar as

caractersticas deste tipo de problema e entender como foi o incio do desenvolvimento das

estratgias de soluo. Pirlot (1996) e Laporte et al. (2000) mostraram que a tendncia, alm

da utilizao de heursticas clssicas, era o emprego das chamadas metaheursticas. Muitos

trabalhos da Escola Politcnica tambm trataram deste assunto.

O problema de roteirizao peridica, tambm conhecido como problema de alocao, j foi

estudado no passado, podendo tratar ns ou arcos. Christofides e Beasley (1984) foram os

primeiros a utilizar a denominao de problema peridico. Os autores seguintes se basearam

bastante em seus estudos. Pode-se averiguar que os problemas, na grande maioria, tm

caractersticas muito singulares, o que torna as estratgias de soluo pouco robustas se forem

utilizadas em problemas diferentes. Verificou-se tambm que a utilizao tanto de heursticas

22

quanto de metaheursticas no problema de roteirizao peridica tambm era bem adequada,

levando obteno de resultados muito bons, porm com tempos computacionais maiores, em

se tratando de metaheursticas.

H a possibilidade do emprego de restries, como as averiguadas para o problema de

roteirizao simples, como janelas de tempo, por exemplo. A frota tambm pode ser tanto

homognea quanto heterognea, o que depende da formulao inicial. No se verificou o

emprego desta caracterstica em nenhum artigo de problema de roteirizao peridica, apenas

no estudo de Feriancic (2005) que trata o problema de roteirizao simples.

A durao do perodo tambm caracteriza o problema a ser tratado, podendo ser de um dia

com diversas visitas, como no problema estudado por Beltrami e Bodin (1974), ou com

perodos grandes, sendo o maior encontrado na literatura nos estudos de Alegre et al. (2004)

que utiliza um perodo de 90 dias. Pode-se concluir que outras restries influem na

determinao do tamanho do perodo, tais como funcionamento das instalaes, ou mesmo o

tempo de produo de algum produto. No necessariamente, um perodo maior de tempo

significa que a roteirizao fique mais fcil, depende tambm da quantidade total de pontos.

Em suma, importante dizer que h um problema mais geral de roteirizao em um perodo

de tempo em que a freqncia de visitas no definida a priori, e depende da quantidade

entregue e do consumo de cada cliente, o que d origem a uma categoria de problemas

denominada problemas de distribuio/roteirizao com estoque gerido pelo fornecedor -

reviso mais abrangente de trabalhos pode ser encontrada em Znamensky e Cunha (2003) e

Znamensky (2006).

23

3. CARACTERIZAO DO PROBLEMA

3.1 Caracterizao Geral

Em linhas gerais, o problema de roteirizao peridica de veculos, objeto da presente

pesquisa, tem, em sua essncia, a mesma idia central de um problema de roteirizao simples

cujo objetivo atender pontos de demanda conhecida geograficamente dispersos, podendo ser

coleta ou entrega, porm no ambos simultaneamente, alocando-os em veculos que iro

percorrer roteiros de acordo com uma seqncia de atendimento. A diferena entre ambos os

problemas reside no tamanho do perodo de planejamento, sendo um dia para o problema de

roteirizao simples e mais de um dia para a roteirizao peridica. Logo, pode-se definir o

problema de roteirizao simples como um problema particular de roteirizao peridica, em

que se utiliza apenas um dia no perodo de planejamento; sendo que, a partir do momento em

que este maior que um, h a necessidade de alocar os pontos em dias de visitas ao longo do

perodo. Tanto um quanto o outro, dentro do seu perodo de planejamento, tem como

obrigao visitar os pontos de demanda no mximo uma vez ao dia e atender plenamente a

demanda requerida do dia nesta vista.

No caso da roteirizao peridica, como h mais dias no perodo de planejamento, os pontos

de demanda podem ter freqncias de visitas maiores que um. Isto significa, em outras

palavras, que um determinado ponto de demanda que tenha uma freqncia de visitas maior

que um, obrigatoriamente deve receber mais de uma visita durante o perodo de planejamento;

porm, cada visita apenas efetuada por um nico veculo por dia. Esse nmero de visitas,

que j previamente conhecido e deve ser obrigatoriamente respeitado dentro do perodo de

planejamento, acontece devido a diversos fatores, tais como demanda requerida do ponto,

disponibilidade de estoque no ponto ou depsito, disponibilidade de espao do depsito,

quantidade mnima requerida de produtos por dia, possibilidade de fabricao da quantidade a

ser coletada, entre outros.

A freqncia de visitas pode ser definida em intervalos regulares ou no. Por exemplo,

intervalos regulares para um perodo de planejamento de quatro dias e uma freqncia de

24

visitas de dois correspondem a visitas no primeiro e terceiro dias ou no segundo e quarto dias.

Por outro lado, visitas no-regulares para um mesmo perodo de tempo podem ocorrer em

qualquer momento dentro do perodo primeiro e quarto dias ou terceiro e quarto dias, por

exemplo, respeitando apenas o nmero de viagens no perodo.

Para efetuar as visitas aos pontos de demanda nos roteiros montados na roteirizao, para

ambos os casos de roteirizao, uma frota utilizada, sendo esta pr-determinada ou no,

podendo ser tanto homognea quanto heterognea. Cada veculo desta frota possui uma

capacidade veicular conhecida que define a quantidade de demanda que pode ser coletada ou

entregue em cada roteiro servido por um determinado veculo. Esses podem partir e retornar a

um mesmo depsito, passando ou no por instalaes intermedirias, como visto em Angelelli

e Speranza (2002).

As visitas e os roteiros devem sempre respeitar restries operacionais do sistema, tais como,

janela de tempo, a prpria capacidade do veculo, durao de jornada de trabalho, entre

outros. Janelas de tempo so bastante estudadas na literatura e mostram uma situao bastante

real, pois os pontos de demanda muitas vezes precisam ser atendidos em um certo intervalo,

sendo que passado esse intervalo, no h mais como atender este ponto no dia em questo,

implicando inclusive em possveis penalidades. Outra restrio considerada em problemas de

instncias reais a jornada de trabalho do motorista, na qual se deve contemplar paradas

previstas pela legislao trabalhista. Porm, esta restrio no facilmente implementada,

pois h de se saber o tempo gasto entre os pontos de demanda e, talvez, a velocidade mdia do

veculo nas vias de acesso. Alm de ser relevante apenas em roteiro com durao longa que

ultrapassa a jornada do motorista, usualmente em sistemas de coleta e entrega no regionais.

A montagem dos roteiros no feita pura e simplesmente de uma forma aleatria, pois visa,

alm de atender todos clientes, reduzir os custos totais associados a eles. Esses custos podem

ser medidos financeiramente (frete, aluguel) ou por variveis absolutas como tempo, tamanho

da frota e distncia sendo estas tambm podendo ser associadas a valores financeiros. Logo,

mtodos ou estratgias de soluo de montagem de roteiros objetivam geralmente montar

roteiros que reduzam o custo de atender todos os clientes. Por esta razo, diversas estratgias

de roteirizao foram amplamente estudadas na literatura.

25

Mostradas todas as caractersticas acima, para o problema de roteirizao peridica, uma das

principais decises a serem tomadas a definio dos dias de atendimento de cada ponto

dentro do perodo de planejamento, respeitando a freqncia de visitas de cada um dos

pontos. H a necessidade de tomar um cuidado na alocao dos mesmos para que no haja

uma sobrecarga de trabalho em alguns dias e ociosidade em outros, ocorrendo um

desbalanceamento de demanda; consequentemente, a frota de cada dia do perodo poder ser

bastante diferente entre si, podendo talvez aumentar a necessidade de nmero de veculos no

perodo de planejamento.

Aps a seleo desses dias, que podem ser efetuados em intervalos regulares ou no, a

roteirizao diria do perodo deve ser realizada de acordo com as restries relativas frota,

j dito anteriormente. Isto pode ser feito por um dos diversos mtodos existentes na literatura,

visando sempre a otimizao de uma das medidas de eficincia escolhida (custo total,

distncia, etc.).

importante dizer que no necessariamente as decises tm que ser tomadas

sequencialmente. H a possibilidade de se resolver o problema integrado, em que todas as

decises so consideradas simultaneamente. Foi mostrada anteriormente uma seqncia

normalmente encontrada na literatura para a tomada de deciso do problema de roteirizao

peridica.

No entanto, a primeira soluo obtida no necessariamente possa ser a melhor possvel em

termos da medida que se visa otimizar. Portanto, h a possibilidade de utilizar diversas

tcnicas de melhoria, podendo haver mudana de dias de atendimento dos pontos de demanda

ou simplesmente mudana de um ponto de roteiro para outro num mesmo dia. Como j visto

na reviso bibliogrfica, os problemas de roteirizao so do tipo NP-Difcil, por esta razo, a

obteno da soluo tima para problemas mais complexos torna o processamento muito

demorado e muitas vezes impossvel de alcanar o valor timo. A dificuldade se agrava na

roteirizao peridica em relao ao problema de roteirizao simples devido dificuldade de

se medir as melhorias efetuadas na soluo: caso haja uma mudana dos pontos alocados a

cada rota em um mesmo dia, necessrio refazer a roteirizao para aquele dia dos roteiros

modificados; mas se a melhoria se basear na mudana de dias de atendimento dos pontos, h

de se efetuar novamente a roteirizao de todos os dias do perodo de planejamento para

verificar a conseqncia dessa mudana. No caso de Christofides e Beasley (1984), os autores

26

estudam todas as possibilidades de mudana, uma a uma, para depois escolher aquela que

melhora o resultado final; isso pode acarretar em um esforo computacional e um tempo de

processamento muito elevados, o que no aplicvel ao uso comercial.

3.2 Definio do Problema

Conforme visto na seo anterior, o problema de roteirizao peridica tem diversas variantes

em termos de restries operacionais, perodo de planejamento, freqncia de visitas dos

pontos, entre outros. Descartar algumas restries no significa que o problema fique menos

real, pois as restries so utilizadas para representar especificamente cada caso. As restries

empregadas fazem parte do que se imagina ser um caso real.

No que tem se visto em aplicaes prticas no Brasil, principalmente as relacionadas

indstria automobilstica, o uso predominantemente de frota homognea. Janelas de tempo

so desejveis em alguns contextos, em que o cliente a ser atendido impe o horrio que

deseja, o que pode vir a prejudicar a montagem de roteiros, pois dois pontos de atendimento

prximos entre si podem ter horrios distantes, o que pode acarretar em veculos diferentes

para atend-los. Ou, at mesmo, o veculo retornar para um segundo atendimento. No caso do

milk-run, uma vez definidos os melhores roteiros em termos de distncia, as janelas de

atendimento so estabelecidas para cada empresa, e no o contrrio. Para o estudo, a varivel

tempo no foi considerada importante uma vez que o foco da pesquisa a atribuio de dias

de visitas aos pontos e a montagem dos roteiros dirios.

O perodo de planejamento foi considerado para que caracterizasse uma situao real, apesar

de no se basear em nenhum cenrio especfico. Optou-se por um perodo de seis dias, que

representa o funcionamento do processo entre a segunda-feira e o sbado. Obviamente, h a

possibilidade de se utilizar outros perodos diferentes de seis dias no caso do estudo, pois isto

depende dos dias de funcionamento das instalaes e da necessidade do que coletado. A

freqncia de visitas de cada um dos pontos de demanda, bem como a sua localizao

geogrfica e quantidade de demanda, so conhecidas a priori. Como o problema aqui estudado

27

de coleta, os veculos partem e retornam a um depsito ao final do turno de trabalho para

descarregar o veculo.

Freqncias de visitas regulares so mais facilmente planejadas, ajudando a coordenao de

operaes de coleta das indstrias. No caso do estudo, so definidas combinaes permitidas

de dias de visitas de acordo com a freqncia de visitas requerida, que so os dias que os

pontos sero atendidos no perodo. As possveis opes de freqncia de visitas so um, dois

ou trs, ou seja, um ponto de demanda pode ser ter coletas uma, duas ou trs vezes dentro do

perodo de seis dias; a cada visita, obrigatoriamente, um veculo coleta a demanda requisitada

daquele dia completamente. Ento, para cada um dos pontos de demanda h a necessidade de

designar uma combinao de dias de visitas.

A frota homognea e a capacidade do veculo no pode ser ultrapassada. O tamanho da frota

no pr-definido, o que significa que no h restrio de nmero de veculos para o

atendimento dos pontos. A programao de viagens dos veculos varia de acordo com os

pontos que sero visitados em cada dia; portanto, os roteiros podem mudar a cada dia, bem

como o nmero de veculos requeridos.

O custo total composto por custos fixo e varivel. O custo fixo determinado pelo maior

nmero de veculos por dia requeridos dentro do perodo de planejamento, o que,

normalmente, acontece no dia de maior volume de demanda, considerando a demanda medida

em espao no veculo. J o custo varivel baseado na distncia total percorrida em todo o

perodo por todos os veculos. Pode-se concluir, ento, que o resultado que conseguir

minimizar a frota e a distncia percorrida no perodo o melhor resultado para o problema.

No caso, como no se ir resolver um problema especfico, como, por exemplo, no caso de

Batista et al. (2002) e Shih e Chang (2001), no h custos pr-definidos para serem utilizados

no custo total. Logo, optou-se pela utilizao de frota como varivel principal de comparao

dos resultados, que se imagina ser uma varivel importante na tomada de deciso, e,

posteriormente, de distncia como varivel secundria.

Baseando-se no que foi exposto acima, pode-se resumir que se deseja seguir os seguintes

passos para se resolver o problema:

28

Atribuir as melhores combinaes permitidas de dias de visitas para o atendimento de

cada ponto, de acordo com a sua freqncia de visitas;

Definir os roteiros de cada dia do perodo, de modo a minimizar o custo total, este

diretamente relacionado ao tamanho da frota e distncia percorrida por cada veculo.

3.3 Formulao Matemtica

A formulao proposta a seguir est baseada na formulao original de Christofides e Beasley

(1984) com algumas modificaes que seguem o que foi exposto anteriormente.

Seja t = 1, 2, 3, ..., T, cada um dos dias de um perodo de planejamento com durao de T dias

e i = 1, 2, 3, ..., N, o conjunto de pontos (ou ns) a serem atendidos em T. A cada ponto i est

associada uma quantidade qi a ser coletada (ou entregue) em cada visita necessria durante o

perodo T. O ponto zero corresponde ao depsito central, de onde partem e para onde

retornam os veculos ao final dos roteiros em cada um dos dias t. Sejam k = 1, 2, ..., Ki, o

conjunto de combinaes permitidas de dias de visitas que cada ponto i requer em T, como

ilustrado na Tabela 3.1 para um horizonte de planejamento de T = 6 dias. Consequentemente,

define-se a constante kta que assume o valor um para os dias t em que deve ocorrer coleta na

combinao k, e zero, caso contrrio.

Tabela 3.1: Exemplo de combinaes permitidas de dias de visitas para T = 6 dias

Frequncia de visitas Combinao Dias de visita1 Seg2 Ter3 Qua4 Qui5 Sex6 Sab

1 Seg - Qua2 Ter - Qui3 Qua - Sex4 Qui - Sab

1 Seg - Qua - Sex2 Ter - Qui - Sab

3

1

2

A distncia entre dois pontos quaisquer i e j dada por dij.

29

Seja v = 1, 2, ..., NV, o ndice de cada um dos veculos disponveis de uma frota homognea

para ser utilizada ao longo do perodo T, sendo que NV indica o nmero de veculos

disponveis, apesar de, no caso estudado, no haver uma frota pr-determinada. A estimativa

de NV depende diretamente das combinaes selecionadas de k, pois caso em um determinado

dia haja um acmulo de pontos, o NV ser maior que em dias de menor demanda. O limitante

superior de NV quando ele tem o mesmo valor de N, ou seja, um veculo para cada cliente i.

A capacidade de cada veculo dada por Q, o custo varivel com a distncia percorrida

dado por Cv e o custo fixo de cada veculo no perodo T dado por Cf.

As variveis de deciso so:

k

iu = 1, se a combinao k escolhida para o ponto i;

zero, caso contrrio.

t

iy = 1, se ponto i visitado no dia t;

zero, caso contrrio.

vt

ijx = 1, se o veculo v vai do ponto i para o ponto j no dia t;

zero, caso contrrio.

fu = nmero de veculos da frota

A formulao dada a seguir.

Minimizar = = = =

+=T

t

NV

v

n

i

n

j

vt

ijijvuf xdCfCZ1 1 0 0

(3.1)

sujeito s seguintes restries:

30

=iKk

k

iu 1 ni ,...,2,1= (3.2)

=iKk

ktk

i

t

i auy niTt ,...2,1;,...,2,1 == (3.3)

=

+

NV

v

t

j

t

ivt

ij

yyx

1 2 ( )jinjniTt === ;,...,2,1;,...,2,1;,...,2,1 (3.4)

= =

=n

i

n

j

vt

pj

vt

ip xx0 0

npnjni ,...,2,1;,...,2,1;,...,2,1 ===

( )jiNVvTt == ;,...,2,1;,...,2,1 (3.5)

tjy , 0,,...,2,1 = jTt == =

NV

v

n

i

vt

ijx1 0

uf , 0,,...,2,1 == jTt (3.6)

Hi Hj

vt

ij Hx 1|| { }nHNVvTt ,...,2,1;,...,2,1;,...,2,1 == (3.7)

=

n

j

vt

ojx1

1 NVvTt ,...,2,1;,...,2,1 == (3.8)

= =

n

i

n

j

vt

ij

t

i Qxq1 0

NVvTt ,...,2,1;,...,2,1 == (3.9)

= =

NV

v

n

j

vt

ju xf1 1

0 Tt ,...,2,1= (3.10)

}1,0{tiy Ttni ,...,2,1;,...,2,1 == (3.11)

}1,0{kiu iKkni ,...,2,1;,...,2,1 == (3.12)

31

}1,0{vtijx Ttni ,...,2,1;,...,2,1 ==

NVvKk i ,...,2,1;,...,2,1 == (3.13)

A funo objetivo (3.1) visa minimizar o custo total, dado pelas parcelas de custo fixo da

utilizao dos veculos e custo varivel com a distncia total percorrida no perodo. A

restrio (3.2) assegura que apenas uma combinao permitida de dias de visitas seja

escolhida para cada ponto i, enquanto que a restrio (3.3) assegura que, para cada ponto i, as

visitas s ocorram nos dias t que lhe foram designados, baseada na combinao escolhida. J a

restrio (3.4) garante que um veculo s vai de um ponto i para um ponto j em um dia t, se

ambos os pontos i e j estiverem alocados para o dia t. A restrio (3.5) assegura a

continuidade de fluxo, ou seja, todo veculo que chega a um ponto i em um dia t sai desse

ponto. A restrio (3.6) garante que cada ponto i seja visitado somente nos dias de visitas

selecionados, e que todos os veculos retornam ao depsito central.

A impossibilidade de ocorrncia de subtours assegurada pela restrio (3.7), sendo H

qualquer subconjunto de pontos alocados a um veculo, excluindo-se o depsito, que no se

repetem e que fazem parte de um mesmo roteiro. O nmero mximo de arcos que podem

existir nesse roteiro no pode ser maior que o nmero de pontos menos uma unidade, evitando

assim, fechar o ciclo entre os pontos. Isto claramente observado na Figura 3.1. Na situao

em que ocorre o subtour, o nmero de arcos tem o mesmo