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Prof. Silvio Alexandre de Araujo

AULA DE HOJE

Programa, Critério de Avaliação e Datas das Provas

Introdução

Modelagem matemática: conceitos básicosConstrução de um modelo matemático

Modelos de otimização

Sistemas computacionais de modelagem e resolução

Exercícios

PROGRAMA

1. Introdução aos problemas de otimização linear

2. Construção de modelos de otimização linear

3. Ferramentas computacionais: linguagens de modelagem esistemas de otimização

4. Conceitos de Álgebra Linear e Análise Convexa

5. Método simplex

6. Teoria da Dualidade

7. Análise de Sensibilidade

8. Aplicação: Problema do transporte, Problema da Designação,Outros

BIBLIOGRAFIA BÁSICA

1. ARENALES, M., ARMENTANO, V., MORABITO, R. E YANASSE, H.-Pesquisa Operacional-2007 Editora Campus.

2. Bazaraa, M.S. & Jarvis, J.J., Linear Programming and Network Flows. John Wiley & Sons Inc,. New York, 2004

3. Goldbarg, M. C. e Luna, H. P. Otimização Combinatória e Programação Linear: Modelos e Algoritmos. Editora Campus. Rio de Janeiro, 2000.

4. Maculan, N. e Fampa, M. H. C., Otimização Linear, Editora UnB, 2009.

5. Willians, H.P. -Model Bulding in Mathematical Programming, John Wiley & Sons, 1990.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR1. Campelo, R.E e N. Maculan, Algoritmos e Heuristicas , Editora da

Universidade Federal Fluminebse, 1994.

2. Hillier, F. S. e G. J. Lieberman. Introdução à Pesquisa Operacional, Campus, 3aed., 1988.

3. CHVÁTAL, V. - Linear Programming, W.H. Freeman and Company, 1983

4. DANTZIG. G.B. e TAPPA,M.N. - Linear Programming - 1: Introduction, Springer, 1997.

5. Gonzaga, Algoritmos de Pontos Interiores para Programação Linear, 17o Colóquio Brasileiro de Matemática, 85

6. LACHTERMACHER, G. – Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões, Ed. Campus, 2002.

7. PRADA, D. – Programação Linear, Editora DG, 1999.

8. PUCCINI, A.L. e PIZZOLATO, N.D. - Programação Linear, LTC, 1987.

9. Schrijver, Theory of Linear and Integer Programming, Wiley 86

10. RANGEL, S. Introdução à construção de modelos de otimização linear e inteira. 1. ed. São Carlos-SP SBMAC, 2005. v. único. 82

Critério de Avaliação

VERIFICAÇÕES DA APRENDIZAGEM

Média Final (MF): MF = (P1 + P2) / 2

Se MF>= 5 � Aprovado Se MF<5 � Prova de Recuperação (PR)-dia 11/02/15

Avaliações 1ª (17/12/14) 2ª (04/02/15)

PESO 1 1

Introdução

- Neste curso veremos aplicações de Pesquisa Operacional(Operations Research)

Definição de Pesquisa Operacional (PO):• A PO é uma ciência aplicada voltada para a resolução de

problemas reais. Tendo como foco a tomada de decisões;

• Aplica conceitos e métodos de várias áreas científicas naconcepção, planejamento ou operação de sistemas.

IntroduçãoComo surgiu a PO:• O termo Pesquisa Operacional: invenção do radar na

Inglaterra em 1934 (Operações Militares)

• Segunda Guerra Mundial: para lidar com problemas denatureza logística, tática e de estratégia militar.

• Criaram-se grupos multidisciplinares de matemáticos, físicose engenheiros e cientistas sociais.

• Desenvolve-se a ideia de criar modelos matemáticos, apoiadosem dados e fatos, que permitisse perceber os problemas emestudo, simular e avaliar o resultado hipotético de estratégiasou decisões alternativas.

Introdução

O desenvolvimento da PO:• Após a guerra, esses grupos de cientistas e a sua nova

metodologia se transferiram para as empresas.

• Destaque para George Dantzig com o Método Simplex paraproblema de otimização linear

• No Brasil a partir de 1960

• Hoje, com o apoio de meios computacionais de crescentecapacidade e disseminação, permite-se trabalhar empraticamente todos os domínios da atividade humana, daEngenharia à Medicina, passando pela Economia e a GestãoEmpresarial.

Introdução

• O desenvolvimento da PO:

• Em alguns países, em que prevaleceu a preocupação com osfundamentos teóricos, a PO se desenvolveu sob o nome deCiência da Gestão ou Ciência da Decisão;

• Em outros, em que predominou a ênfase nas aplicações, como nome de Engenharia Industrial ou Engenharia deProdução.

IntroduçãoAlgumas aplicações práticas

Roteirização de VeículosProblema:entrega de mercadoria aos clientes.

Decisão: qde de carga a ser colocada em cada caminhão; quais caminhões irão atender quais clientes.

Decisão:otimizar as rotas dos veículos considerando eventual necessidade de reabastecimento.

Aplicações: entrega de correspondência, empresas atacadistas, coleta de lixo urbano, etc.

Ensalamento em Escolas e Universidades (Timetabling)Problema: alocação de horários de aulas para os docentes e alocação de salas para as disciplinas,

Decisão: gerar uma tabela de horários, visando minimizar os conflitos, maximizar preferências, compactar horários de professores e alunos

Aplicações: instituições de ensino

Introdução

Corte de Materiais Problema:cortar peças grandes em pedaços menores de acordo com as demandas dos clientes.

Decisão:otimizar a maneira de cortar as peças grandes de modo que o desperdício seja minimizado e que as demandas dos clientes sejam atendidas.

Aplicações:industrias de fabricação de vidro, metal, madeira, rolos de papel, colchões, etc.

Empacotamento Problema:empacotar itens de modo que o espaço necessário para guardá-los seja o menor possível (inverso do problema de corte)

Decisão:otimizar a maneira de empacotar itens minimizando o espaço necessário.

Aplicações:paletização de cargas, carregamento de caminhões, etc.

Escalonamento de Trabalho HumanoProblema:alocar funcionários às tarefas.

Decisão:otimizar tais alocações considerando restrições trabalhistas e restrições operacionais de forma que todas as tarefas sejam cumpridas e os gastos com mão-de-obra sejam minimizados

Aplicações:companhias aéreas, centrais telefônicas, hospitais, transporte coletivo, etc.

Introdução

Localização de FacilidadesProblema:deseja-se determinar quais os melhores locais para instalação das facilidades

Decisão:otimizar as decisões sobre as localizações de forma que todos os clientes sejam atendidos aum custo mínimo.

Aplicações:instalação de depósitos industriais, pronto-socorro, corpo de bombeiros.

Projeto de Redes Problema:projetar redes com algumas restrições de conectividade.

Decisão:otimizar as ligações da rede com o menor custo possível de forma que nós importantes tenham a comunicação assegurada (inclusive com rotas alternativas para o caso de problemas de conectividade) enquanto outros menos importantes e podem servir apenas como um nó intermediário

Aplicações:construção de redes em geral, energia, telefonia, computadores, etc.

Introdução

Dimensionamento de Lotes (Planejamento de Produção)Problema:planejar a produção para um determinado horizonte de tempo.

Decisão:decidir quanto deve produzir a cada período de forma a atender toda a demanda e minimizar os custos. Pode-se considerar restrições de capacidade de produção.

Aplicações:industrias em geral;

Sequenciamento de Tarefas em Máquinas Problema: fabricar determinado produto final a partir da execução de tarefas

operacionais.

Decisão:otimizar a ordem em que as tarefas devem ser processadas em cada máquina deforma a minimizar o tempo de produção. As tarefas podem ter regras de precedência entre si.

Aplicações:industrias em geral;

1.1 Construção de um modelo matemático1. Modelagem matemática: conceitos básicos

Um Exemplo Simples: da Prática para Matemática

Uma empresa de consultoria financeira tem um capital disponível para novos investimentos. Ela pré-selecionou 16 bons investimentos com diferentes níveis de risco e de retorno. A decisão a ser tomada consiste em escolher ou

não determinado investimento.

Matematicamente podemos considerar esta decisão utilizando uma variável binária:

para j=1,...,16wj = 1 se o investimento j for selecionado

0 caso contrário


a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido

• Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas1.1 Construção de um modelo matemático

1. Modelagem matemática: conceitos básicos

a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido8

jj 1

w 1=

≥∑




jj 1

w 1=

≥∑b) no máximo 3 dos últimos 8 devem ser selecionados



a) pelo menos um dos oito primeiros projetos deve ser escolhido8

jj 1

w 1=


16

jj 9

w 3=

≤∑




jj 1

w 1=


c) dentre os investimentos 4 e 9 um e só um deles deve ser selecionado

16

jj 9

w 3=

≤∑




jj 1

w 1=



16

jj 9

w 3=

≤∑

w4 + w9 = 1




jj 1

w 1=



d) o investimento 11 pode ser selecionado só se o 2 também for

16

jj 9

w 3=

≤∑

w4 + w9 = 1




jj 1

w 1=



d) o investimento 11 pode ser selecionado só se o 2 também for

16

jj 9

w 3=

≤∑

w4 + w9 = 1

w11≤w2



Exemplo com Números: da Prática para a MatemáticaElementos Conhecidos:Uma empresa tem $14.000 de capitaldisponível para novos investimentos. Ela pré-selecionou 4 bonsinvestimentos cujos respectivos lucros esperados são $16.000,$22.000, $12.000 e $8000. Cada investimento só pode ser feito umaúnica vez e necessita um desembolso de $5000, $7000, $4000 e$3000, respectivamente.Formule um modelo matemático que determine os investimentos quemaximizam o lucro esperado.

Para construir um modelo matemático devemos considerar:

Elementos Desconhecidos:o que queremos determinar?

Função Objetivo:qual o objetivo que queremos otimizar?

Restrições:quais são as restrições que devem ser consideras?

1.1 Construção de um Modelo Matemático1. Modelagem matemática: conceitos básicos

Modelo matemático:

Função Objetivo: max z = 16 x1 + 22 x2 + 12 x3 + 8 x4

Restrições: sujeito a 5x1 + 7 x2 + 4 x3 + 3 x4 <= 14

xj = 0 ou 1; j=1,2,3,4

Elementos Desconhecidos:Variáveis de decisão (paraj=1,...,4)

1 se o investimentoj for escolhidoxj =

0 caso contrário


Considere agora as restrições adicionais:1. Se se decidir pelo investimento 2, então tem-se que fazertambém o 12. Se se decidir pelo investimento 2, então não se pode fazer o 4.

Exercício: Modele estas novas situações:

1. x2 ≤ x1

2. x2 + x4 ≤ 1


Modelo Final:

max z = 16x1 + 22x2 + 12x3 + 8 x4

sujeito a 5x1 + 7 x2 + 4 x3 + 3 x4 <= 14x2 <= x1

x2 + x4 <= 1xj = 0 ou 1; j=1,2,3,4


1. Modelagem matemática: conceitos básicos1.1 Construção de um modelo matemático 1.1 Construção de um modelo matemático


Descrição do Problema:

• uma fundição deve produzir 30 toneladas de um tipo liga a partir de quantidades variadas de diversos produtos de forma a

minimizar o custo de produção desta liga

Exemplo real: o problema da mistura

Descrição do Problema: dadosIngredientes

Composição %

Lingotes Grafite Restos

Industriais

Restos

Domicil.

Carbono 0.5 0.9 0.5 0.15Silício 0.2 - 0.02 0.29

Manganês 0.23 - 0.16 0.05CustoR$/ton 90 180 25 35

Ferro-gusaComposição %

Composição Mínima

Carbono 0.43Silício 0.19

Manganês 0.12


Matéria-prima: ingredientes


Liga Metálica (Mistura)


Fabricação da Peça


Descrição do Problema: dadosIngredientes

Composição %


Industriais

Restos

Domicil.

Carbono 0.5 0.9 0.5 0.15Silício 0.2 - 0.02 0.29




Carbono 0.43Silício 0.19

Manganês 0.12



Construindo um modelo para o Problema da Mistura

Neste problema temos:

elementos conhecidos: composição e custo dos ingredientes

elementos desconhecidos: quanto colocar de cadaingrediente na mistura

objetivo a ser alcançado: obter uma mistura de baixo custo

restrições: a mistura deve ter uma quantidade mínima decomponentes


Variáveis de decisão:- A mistura deve ser feita a partir mistura de 4 itens (j= 1,2,3,4) - xj: quantidade (em kg) do ingrediente j a ser colocada na mistura

- Função Objetivo:Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4

- Restrições de Composição Mínima:0.50 x1 + 0.9 x2 + 0.50 x3 + 0.15 x4 ≥ 30 (0.43) :C0.20 x1 + 0.0 x2 + 0.02 x3 + 0.29 x4 ≥ 30 (0.19) :Si0.23 x1 + 0.0 x2 + 0.16 x3 + 0.05 x14 ≥ 30 (0.12) :Mn

- Restrições de Não Negatividade das Variáveis:x1 ≥0; x2 ≥0; x3 ≥0; x4 ≥0

- Restrições de Atendimento da Demanda:x1 + x2 + x3 + x4 = 30


Modelo Matemático

Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4

Sujeito a:

0.50 x1 + 0.9 x2 + 0.50 x3 + 0.15 x4 ≥ 30 (0.43)

0.20 x1 + 0.0 x2 + 0.02 x3 + 0.29 x4 ≥ 30 (0.19)

0.23 x1 + 0.0 x2 + 0.16 x3 + 0.05 x4 ≥ 30 (0.12)

x1 + x2 + x3 + x4 = 30

x1 ≥0; x2 ≥0; x3 ≥0; x4 ≥0



Modelo Matemático

Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4

Sujeito a:

0.50 x1 + 0.9 x2 + 0.50 x3 + 0.15 x4 ≥ 30 (0.43)

0.20 x1 + 0.0 x2 + 0.02 x3 + 0.29 x4 ≥ 30 (0.19)

0.23 x1 + 0.0 x2 + 0.16 x3 + 0.05 x4 ≥ 30 (0.12)

x1 + x2 + x3 + x4 = 30

x1 ≥0; x2 ≥0; x3 ≥0; x4 ≥0


Mistura: x1 = 19,3333; x2 = 0; x3 = 4,66667; x4 =6Valor do f.o.=2066,666667

Solução

Modelo Matemático

Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4

Sujeito a:

C: 0.50x1+ 0.9 x2+ 0.50 x3+ 0.15 x4 ≥ 30 (0.43)

Si: 0.20x1+ 0.0 x2+ 0.02 x3+ 0.29 x4 ≥ 30 (0.19)

Mn: 0.23x1+ 0.0 x2+ 0.16 x3+ 0.05 x4 ≥ 30 (0.12) => 4,447+0+0,745+0,3=5,492≥3,6

x1 + x2 + x3 + x4 = 30

x1 ≥0; x2 ≥0; x3 ≥0; x4 ≥0


Mistura: x1 = 19,3333; x2 = 0; x3 = 4,66667; x4 =6Valor do f.o.=2066,666667

Solução

Revisão 1:gerente percebe que a quantidade de manganês está excessiva e informa que também existe um limite máximo para

cada componente. No caso do manganês 0.18*30=5.4Ingredientes

Composição %


Industriais

Restos

Domicil.

Carbono 0.5 0.9 0.5 0.15Silício 0.2 - 0.02 0.29




Composição Máxima

Carbono 0.43 0.65Silício 0.19 0.30

Manganês 0.12 0.18


Modelo Matemático

Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4

Sujeito a:

30 (0.43) ≤ 0.50 x1 + 0.9 x2 + 0.50 x3 + 0.15 x4 ≤ 30 (0.65) :C30 (0.19) ≤ 0.20 x1 + 0.0 x2 + 0.02 x3 + 0.29 x4 ≤ 30 (0.30) :Si30 (0.12) ≤ 0.23 x1 + 0.0 x2 + 0.16 x3 + 0.05 x4 ≤ 30 (0.18):Mnx1 + x2 + x3 + x4 = 30

x1 ≥0; x2 ≥0; x3 ≥0; x4 ≥0


Modelo Matemático

Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4

Sujeito a:

30 (0.43) ≤ 0.50 x1 + 0.9 x2 + 0.50 x3 + 0.15 x4 ≤ 30 (0.65) :C30 (0.19) ≤ 0.20 x1 + 0.0 x2 + 0.02 x3 + 0.29 x4 ≤ 30 (0.30) :Si30 (0.12) ≤ 0.23 x1 + 0.0 x2 + 0.16 x3 + 0.05 x4 ≤ 30 (0.18) :Mnx1 + x2 + x3 + x4 = 30

x1 ≥0; x2 ≥0; x3 ≥0; x4 ≥0


Mistura: x1 = 18,9573; x2 = 0,234543; x3 = 4,45009; x4 =6,26805Valor do f.o.=2081,260471

Solução


Modelo Matemático

Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4

Sujeito a:


x1 ≥0; x2 ≥0; x3 ≥0; x4 ≥0


Mistura: x1 = 18,9573; x2 = 0,234543; x3 = 4,45009; x4 =6,26805Valor do f.o.=2081,260471

Solução

IngredientesComposição %


Industriais

Restos

Domicil.

Carbono 0.5 0.9 0.5 0.15Silício 0.2 - 0.02 0.29

Manganês 0.23 - 0.16 0.05CustoR$/ton 90 180 25 35Estoque (ton) 15 20 12 10



Composição Máxima

Carbono 0.43 0.65

Silício 0.19 0.30Manganês 0.12 0.18

Revisão 2:existe uma política nova da empresa de limitar a quantidade de matéria prima estocada

Modelo Matemático

Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4

Sujeito a:


0≤ x1 ≤ 15; 0≤ x2 ≤20; 0≤ x3 ≤12; 0≤ x4 ≤10


Modelo Matemático

Minimizar 90 x1 + 180 x2 + 25 x3 + 35 x4

Sujeito a:


0≤ x1 ≤ 15; 0≤ x2 ≤20; 0≤ x3 ≤12; 0≤ x4 ≤10

Mistura: x1 = 15; x2 = 2,70297; x3 = 3,20792; x4 =9,08911Valor do f.o.=2234,851485

Solução

Exemplo real: o problema da mistura1.1 Construção de um modelo matemático


Tela Inicial Composição de cada Liga

Composição de cada Ingrediente Composição de cada Liga

Cálculo da Liga

Sol. Ind Sol. Prog. % CF-8 725,55 554,21 31,1

CF-8M 1066,78 736,89 44,7 HH 984,90 748,01 31,6

CA-15 227,48 195,87 16,1

Diferença Significativa

considerando que a indústria produz 10 cargas por dia

Diferença para algumas ligas em uma fornada 360 kg


- Composição Química dos Ingredientes Incorreta;

- Peso de uma Compra de Ingredientes Incorretos;

- Informações de Estoques Incorretas;

- Custos de Estocagem Imprecisos, etc.

Dificuldades Encontradas Durante o

Desenvolvimento

Durante o desenvolvimento do programa

foram detectados vários problemas


Possíveis Melhorias Obtidas

- Melhoria na Qualidade de Informações Básicas;

- Melhoria na Qualidade de Compra dos Fornecedores;

- Melhoria da Qualidade da Liga Feita;

- Redução nos Custos das Ligas;

- Melhoria no Armazenamento de Novas Informações

Possíveis Problemas Resolvidos Após o

Desenvolvimento do Programa


- Simular para Estabelecer Preço de Venda

- Simular para Discutir Preço de Compra

- Simular para Prazo de Entrega aos Clientes

- Simular para Prazo de Recebimento de Matéria-prima

Melhorias Inesperadas pelo Gerente Obtidas por meio de Simulações


Passos para Resolução do Problema

• Modelagem Matemática

• Organização dos dados

• Implementação computacional: Método Simplex

• Desenvolvimento da Interface


1.2 Modelos de Otimização1. Modelagem matemática: conceitos básicos

1.2 Modelos de Otimização1. Modelagem matemática: conceitos básicos

Algumas Classes de Modelos de Otimização• Modelos de Otimização Linear Contínua• Modelos de Otimização Inteira• Modelos de Otimização Inteira Mista• Modelos de Otimização Não linear

(OL): - Se a função-objetivo e as restrições forem lineares.- Se variáveis puderem assumir qualquer valor real, temos ummodelo de

otimização linear contínuo (OL).

n

T

Rxx

bAx

asujeito

xcz

∈≥≤

=

,0

:

min

onde: c ∈ Rn, A ∈ Rm x n, b ∈ Rm

−−−=

11

54

59

A

−=

1

5

45

b

Exemplo OL: max z=10x1+6x2

sujeito a:

Observe que, neste exemplo: cT =(10, 6),

751

13z =.

Modelos de Otimização Linear Contínua

9x1 + 5x2 ≤ 45-4x1 + 5x2 ≤ 5-x1 - x2 ≤ -1x≥0, x∈ R2

(OI): - Se no Modelo anterior restringirmos as variáveis de forma que só possamassumir valores inteiros, teremos um modelo de otimização linear inteira (OI).

- Em alguns modelos os valores inteiros que as variáveis podem assumir são0 e 1 (variáveis binárias).

Exemplo OI:max z=10x1+6x2sujeito a:

.

Modelos de Otimização Inteira

- Solução do exemplo OL está bem distante da solução do exemplo OI .

- A solução arredondada (3, 3) também está distante;

Solução ótima x=(5,0) e z=50 9x1 + 5x2 ≤ 45-4x1 + 5x2 ≤ 5-x1 - x2 ≤ -1x≥0, x∈ Z2

Ζ∈≥≤

=

xx

bAx

asujeito

xcz T

,0

:

min

(OIM): Em determinadas circunstâncias interessa que apenas um subconjunto devariáveis esteja restrito a assumir valores inteiros. Neste caso, temos um modelo deotimização inteira mista (OIM).

Exemplo OIM:max z=10x1+6x2sujeito a:

9x1 + 5x2 ≤ 45-4x1 + 5x2 ≤ 5-x1 - x2 ≤ -1x≥0, x1 ∈ R1, x2 ∈ Z1

.

.

1(3 ,3)

3=x

151

3z =solução ótima e

Modelos de Otimização Inteira Mista

)(,...,1,,0

:

min

nppjxx

bAx

asujeito

xcz

j

T

<=Ζ∈≥≤

=(ONL): Modelos tais que a função-objetivo é não linear e/ou o conjunto de restrições

é formado por equações ou inequações não lineares são chamados de modelos de otimização não-linear (ONL).

- Situações que envolvam modelos não-lineares e que não possam ser representadas por modelos lineares fogem do escopo deste curso e não serão discutidas

Modelos de Otimização não Linear

Tipos de Ferramentas

• Específicas– Modelagem:

• LINGO, MPL, AMPL, OPL,XPRESS-MOSEL, ZIMPL

– Resolução• LINGO, CPLEX, GUROBI

XPRESS-MP, LPSOLVE, CLP

• Gerais– Planilhas de cálculo

– EXCEL, LOTUS 123

• Simulação

1.3 Sistemas computacionais de modelagem e resolução1. Modelagem matemática: conceitos básicos

Sistemas Algébricos de Modelagem:Objetivos

• Interface com sistemas de resolução

• Separar o modelo dos dados

• Facilitar a construção de um modelo

• Documentar

• Facilitar a manutenção do modelo


Sistemas de Resolução• Comerciais

– CPLEX, XPRESS-MP• Problema de otimização: contínua, inteira, quadrática• Arquivos no formato:MPS, próprio (algébrico)• Possuem linguagem de modelagem

• Não-Comerciais– CLP (COIN-OR Linear Program Solver)– LPSOLVE


Sistemas Algébricos de Modelagem:Estrutura Geral

• Conjuntos e índices– locais:{Rio, SP, Goiânia}, códigos:{A11, B45}, mês:{jan, fev,...}

• dados, parâmetros, tabelas– separa o modelo de um exemplar do mesmo– fornecidos em arquivos de dados; retirados de planilhas de cálculo

ou banco de dados• variáveis de decisão

– agrupar por tipos, definir para subconjuntos de índices• função objetivo

– linear ou não linear• Restrições

– agrupar por tipos e expandir, definir para subconjuntos de índices


MPL• Modelagem:

– otimização contínua, inteira, não linear

• Formato de arquivos (MPS, CPLEX,...)

• Conexão com EXCEL, Banco de dados

• Gráfico da Estrutura da matriz de restrições

• Conexão com sistemas de resolução (CPLEX, FORTMP,...)

XPRESS-MOSEL• Linguagem Procedural

• Integração com Linguagens de Programação (C, Java, Visual Basic)

AMPL• Linguagem Procedural

• Modelagem– otimização contínua, inteira, quadrática

• Interface gráfica com poucos recursos• Permite a criação de subrotinas

Linguagens de Modelagem: Principais Comandos

MPLTITLEINDEXDATAVARIABLESMODEL

MIN (ou MAX)SUBJECT TOEND

AMPLSET

define um índice;PARAM

define uma estrutura (vetor ou matriz) que irá armazenar os elementos conhecidos do

exemplar, fornecidos no arquivo nomemodelo.dat;

VARdefine variáveis de decisão;

MINIMIZE (ou MAXIMIZA)define a função-objetivo e o critério de otimização

SUBJECT TOdefine um conjunto de restrições

XPRESS-MOSEL

MODEL nome do model

Instruções para compilação

Definição de parâmetros

Definição do modelo

Definição de algoritmosEND-MODEL

Endereços na WWW

• Comerciais (versão de estudante ou Licença Acadêmica gratuita)MPL : http://www.maximal-usa.com/

XPRESS: http://www.dashoptimization.com/

AMPL : http:www.ampl.com//

GUROBI: http://www.gurobi.com/products/gurobi-optimizer/try-for-yourself

•Não ComerciaisCLP (COIN-OR Linear Program Solver)

http://www.coin-or.org/Clp/

LPSOLVE - http://lpsolve.sourceforge.net/5.5/



Exemplo, usando o AMPL e o Excel, de resolução do problema da

mistura na fundição

Exercícios

Produção de rações:

• Uma agro-indústria produz rações para dois tipos de animais

• Essas rações são preparadas fazendo-se uma mistura de farinhas de quatro ingredientesbásicos: milho, osso, soja e resto de peixe

• Cada um desses ingredientes contém diferentes quantidades de dois nutrientesnecessários à uma boa dieta nutricional: proteína e cálcio

• O nutricionista especifica que as rações devem atender às exigências mínimas e máximasde composição desses nutrientes

• O mercado define os custosunitários de cada tipo de ingrediente

• A produção deve ser baseada nas disponibilidades em estoquedas matérias-primas e a demanda de mercado deve ser atendida.

Exercícios

IngredientesNutrientes %

Milho Osso Soja Peixe

Proteína 0.2 0.4 0.5 0.8Cálcio 0.6 0.4 0.4 0.1

Estoque (ton) 10 10 14 12CustoR$/ton 27 35 51 41

RaçõesComposição

RaçãoAnimal 1

RaçãoAnimal 2

Proteína 0.4 0.5 0.3 0.5Cálcio 0.3 0.6 0.5 0.8

Demanda (ton) 19 12

Determinar as quantidades de cada ingrediente que devemos misturar para que satisfaça às

restrições nutricionais, de disponibilidade e de consumo,

com o mínimo custo.

Exercício Considerações sobre o Exercício

• Duas misturas devem ser produzidas a partir dos mesmos ingredientes em quantidades diferentes:

• As quantidades Mínimas e Máximas de cada componente dependem da mistura que está sendo feita

• As limitações de estoque devem ser consideradas para as duas misturas

Sugestão: Ingredientes: misturas:x11

E1 x12

E2 Variáveis: x jk=qde. do ingrediente j na mistura k.

xn1En xn2

1

2

n

1

2

Resposta do ExercícioMinimizar 27x11+ 35x21+ 51x31+ 41x41+ 27x12+ 35x22+ 51x32+ 41x42

Sujeito a:

19 (0.4) ≤ 0.5x11 + 0.4x21 + 0.5 x31 + 0.8x41 ≤ 19(0.5) :Proteína19 (0.3) ≤ 0.6x11 + 0.4x21 + 0.4x31 + 0.1x41 ≤ 19(0.6) :Cálcio

12 (0.3) ≤ 0.5x12 + 0.4x22 + 0.5 x32 + 0.8x42 ≤ 12(0.5) :Proteína12 (0.5) ≤ 0.6x12 + 0.4x22 + 0.4x32 + 0.1x42 ≤ 12(0.8) :Cálcio

x11 + x21 + x31 + x41 = 19x12 + x22 + x32 + x42 = 12

0≤ x11 + x12≤ 10; 0≤ x21 + x22≤10; 0≤ x31 + x32≤14; 0≤ x41 + x42≤12

Animal 1: x11 = 2.83333; x21 = 10; x31 = 0; x41 =6.16667Animal 2: x12 = 7.16667; x22 =0 ; x32 =4.05556 ; x42 =0.777778Valor do f.o.=1111.555556

Solução

Formulação Genérica: exercício (casa)minimizar f(x11 , x21 ,…, xn1; x12 , x22 ,…, xn2;….;x1k x2k ,…, xnk ) = c1x11+ c2x21 + …+ cnxn1 + c1x12+ c2x22 + …+ cnxn2 + …… + c1 x1k+ c2x2k + …+ cn xnk

sujeito a:l11 Q1 ≤ a11x11 + a12 x21 + …+ ainxn1 ≤ Q1 u11

l21 Q1 ≤ a21x11 + a22x21 + …+ a2nxn1 ≤ Q1 u21

:lm1 Q1 ≤ am1x11+ am2x21 + …+ amnxn1 ≤ Q1 um1

………………………………………………Repetir k vezes (uma para cada mistura)

x11 + x21 + ... + xn1 = Q1

x12 + x22 + ... + xn2 = Q2

…………………………..x1k + x2k + ... + xnk = Qk

0≤ x11+x12+…+x1k≤ E1; 0≤ x21+x22+…+x2k≤ E2; ...; 0≤ xn1+ xn2+…+ xnk≤ En

Desafio 1 (Programação Linear)

- Considere o Problema: A companhia de eletricidadeCPFLLsupre 4 cidades com energia. As potências de suas 3 subestaçõessão 35, 50 e 40. As demandas de pico das 4 cidades são: 45, 20, 30e 30. Os custos de perda para enviar energia para as cidades são:

Como distribuir energia de modo a minimizar o custo de perda esuprir a demanda de pico?Fazendo uso de indexação e somatórios é possível escrevermodelos matemáticos compactos usando a forma literal

Cidade 1 Cidade 2 Cidade 3 Cidade 4

Sub1 8 6 10 9

Sub2 9 12 13 7

Sub3 14 9 16 5

Capacidade das subestações Demanda das Cidades

Sub1s1=35

Sub2s2=50

Sub3s3=40

Cid1 d1=45

Cid1 d2=20

Cid1 d3=30

Cid1 d4=30

x11

x12

x13x14

x21 x22

x23

x24

x31 x32

x33

x34

Desafio 1 (Programação Linear)

Elementos Presentes na Modelagem Matemática• dados do problema: são constantes conhecidas

• função objetivo:qualifica as soluções

• restrições do problema:limitam as decisões a serem tomadas

• variáveis de decisão: são incógnitas do problema

Modelagem Matemática

Modelagem Matemática: forma geralMinimizar ou Maximizar Função objetivosujeito a

Restrições do Problema - equações ou inequaçõesRestrições sob as Variáveis de Decisão

Variável de decisão:

xij = quantidade de energia enviada da subestação i à cidade j

Modelo Matemático:

Construção de Modelos: exercício

min z = 8x11+ 6x12+ 10x13+ 9 x14+ 9x21+ 12x22+ 13x23+ 7x24+ 14x31+9x32+ 16x33+ 5x34

sujeito a:x11+ x12+ x13+ x14 = 35x21+ x22+ x23+ x24= 50x31+ x32+ x33+ x34= 40

x11+ x21+ x31 = 45x12+ x22+ x32= 20x13+ x23+ x33= 30x14+ x24+ x34= 30

xij ≥ 0 i=1,2,3 e j=1,2,3,4

Restrições de capacidade

Restrições de demanda

Variáveis de Decisão

Modelo de Transporte em forma literal: possibilita a representação compacta de modelos com muitas variáveis e restrições

Construção de Modelos: exercício

m n

ij iji 1 j 1

n

ij ij 1

m

ij ji 1

ij

min z c x

sujeito a :

x s i 1, ...,m

x d j 1, ...,n

x 0 i 1, ...,m j 1, ...,n

= =

=

=

=

= =

= =

≥ = =

∑∑

∑

∑

Restrições de capacidade

Restrições de demanda

Variáveis de Decisão

Função Objetivo

Observe que: cij, si e dj são os: Dados do Problema

Resposta (Programação Linear)

- Considere o Problema: A companhia de eletricidadeCPFLLsupre 4 cidades com energia. As potências de suas 3 subestaçõessão 35, 50 e 40. As demandas de pico das 4 cidades são: 45, 20, 30e 30. Os custos de perda para enviar energia para as cidades são:

Como distribuir energia de modo a minimizar o custo de perda esuprir a demanda de pico?

Cidade 1 Cidade 2 Cidade 3 Cidade 4

Sub1 0 10 25 0

Sub2 45 0 5 0

Sub3 0 10 0 30

Resp.1020

Capacidade das subestações Demanda das Cidades

Sub1s1=35

Sub2s2=50

Sub3s3=40

Cid1 d1=45

Cid1 d2=20

Cid1 d3=30

Cid1 d4=30

x11=0x12=10

x13=25x14=0

x21=45x22=0

x23=5

x24=0

x31=0 x32=10x33=0

x34=30

Resposta (Programação Linear)

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