um algoritmo para o problema de roteirizaÇÃo de veÍculos
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UM ALGORITMO PARA O PROBLEMA
DE ROTEIRIZAÇÃO DE VEÍCULOS
COM FROTA HETEROGÊNEA
Matheus Diógenes Andrade
Dmontier Pinheiro Aragão Júnior
Ramom Santana
“No processo de distribuição da logística, geralmente é necessário
fazer a distribuição de bens e serviços para clientes dispersos
geograficamente, e é nesse processo que encontra-se o Vehicle Routing
Problem (VRP). O VRP, ou Problema de Roteirização de Veículos, é o
nome de uma classe de problemas contendo visita a clientes dispersos
geograficamente com um conjunto
Palavras-chave: Problema de Roteirização de Veículos, Roteirização,
frota heterogênea, Roteirização de veículos
XXXVIII ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO “A Engenharia de Produção e suas contribuições para o desenvolvimento do Brasil”
Maceió, Alagoas, Brasil, 16 a 19 de outubro de 2018.
1. Introdução
Dentre os principais processos da logística, destaca-se o processo de gerenciamento
efetivo do fluxo total de bens, desde a aquisição da matéria-prima até o fim da distribuição
dos produtos para o cliente final (GOLDEN, 1975). É durante esse processo que acontece a
distribuição de produtos para clientes dispersos geograficamente.
Christofides (1976) diz que o Vehicle Routing Problem (VRP), ou Problema de
Roteirização de Veículos, é um nome dado para toda uma classe de problemas envolvendo a
visita a clientes por veículos. No VRP, um conjunto de veículos, localizados no depósito, é
otimamente roteirizado para atender clientes com demandas conhecidas de acordo com as
restrições dos veículos (BALDACCI et al., 2008). O VRP tem um papel central nos campos
de distribuição física e logística, preocupando-se com a roteirização dos veículos para
minimizar a distância viajada (ou tempo necessário, custo incorrido, dentre outros objetivos
almejados).
O Traveling-Salesman Problem (TSP), ou Problema do Caixeiro Viajante, pode ser
generalizado no VRP pela adição de algumas condições (DANTZIG; RAMSER, 1959). O
leitor mais interessado em TSP pode consultar Dantzig et al. (1954) para mais detalhes.
Laporte (1992) define o VRP como o problema de concepção de entrega ideal de um ou
muitos depósitos para um número de cidades/clientes geograficamente dispersos, sujeitos a
diferentes restrições. Já Bodin et al. (1981), afirmam que o VRP requer um conjunto de rotas
de entrega partindo do depósito central para vários pontos de demanda, cada ponto tendo
requisitos de serviço, com o objetivo de minimizar a distância total coberta pela frota.
Observando a utilização de veículos com capacidade limitada, o VRP pode ser chamado de
Capacitated VRP (CVRP), ou Problema de Roteirização de Veículos Capacitados.
Ao considerar uma frota de veículos com capacidades (ou mesmo custos) diferentes,
tem-se o Problema de Roteirização de Veículos Heterogêneo (em inglês, Heterogeneous VRP
– HVRP) (GENDREAU et al., 1999). Outra definição deste mesmo problema é chamado de
Heterogeneous Fleet VRP (HFVRP), ou de Problema de Roteirização de Veículos com Frota
Heterogênea.
Esse trabalho propõe um algoritmo para o HVRP, usando a meta-heurística Variable
Neighborhood Descent (VND), ou Descida em Vizinhança Variável. Para isso, foi realizado
uma revisão da literatura de heurísticas e meta-heurísticas aplicadas aos problemas de: TSP,
VRP e HVRP. Por fim, este trabalho realiza um benchmarking dos resultados obtidos com
este algoritmo utilizando-se de instâncias encontradas na literatura. Os resultados obtidos com
1
o algoritmo proposto foram próximos dos algoritmos estudados no benchmarking realizado.
Contudo, superando alguns destes em apenas uma das instâncias das oito instâncias utilizadas.
Para alcançar o algoritmo proposto neste trabalho, foram seguidos os passos da Figura
1. Na primeira etapa, são realizados estudos de algoritmos HVRP a partir da literatura,
comparando as soluções já existentes utilizando os critérios de resultado, tempo de execução e
complexidade. Já na etapa 2, é feita uma busca por instâncias que serviram de comparativo
para testes e, na etapa 3, seleciona-se dos algoritmos a serem implementados e testados. Se
houver algum algoritmo com alta complexidade, então retorna-se para etapa 1, se não,
executa-se etapa 4. Na etapa 4, é feita a implementação de alguns dos algoritmos selecionados
nas etapas 1 e 3. A etapa 5 faz uma comparação dos resultados dos algoritmos implementados
na etapa 3. Finalmente, na etapa 6, são feitas combinações dos algoritmos comparados na
etapa 5, com o objetivo de encontrar uma combinação que produza boas soluções em tempo
eficiente.
Figura 1: Metodologia
Fonte: Elaborada pelo autor
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2. Fundamentação teórica
No gerenciamento de distribuição, é frequentemente necessário determinar uma
combinação de custo mínimo de rotas de veículo através de um conjunto de clientes, sujeitas a
restrições, onde o caso mais frequentemente estudado é onde todos veículos são idênticos
(GENDREAU et al., 1999).
Dado que a maioria dos problemas de roteirização e escalonamento são NP-
Difícil, que é uma classe de problemas que são pelo menos tão difíceis
quanto os problemas mais difíceis em NP, abordagens conhecidas para
resolver esses problemas otimamente sofrem de um crescimento exponencial
em carga computacional de acordo com o tamanho do problema. Quando
tradados como problemas NP-Hard, frequentemente recorre-se para
heurísticas ou procedimentos aproximados para obter solução próximas da
solução ótima ao invés da solução ótima. Um algoritmo heurístico é um
procedimento que usa a estrutura do problema em uma abordagem
matemática (e usualmente intuitiva) para prover soluções próximas do
ótimo. Uma heurística é considerada efetiva se as soluções que provê são
consistentemente próximas da solução ótima (BODIN et al., 1981, tradução
nossa).
Lenstra e Kan (1981) provou que o Fleet Size and Mix Vehicle Routing Problem
(FSMVRP), ou Problema de Roteirização de Veículos com Frota de Tamanho Misto, com
custos fixos é NP-Difícil.
A alocação de veículos heterogêneos para clientes com diferentes demandas durante a
roteirização possui uma complexidade maior do que a simples roteirização com frota
homogênea que não considera restrições de diferentes capacidades dos veículos. Diferente da
simples roteirização, em que não é necessário se preocupar com alocação de veículos a
roteiros. Quando as capacidades dos veículos são heterogêneas, realiza-se verificações para
estabelecer a quantidade de clientes atendidos por veículo de uma dada capacidade e qual
veículo de determinada capacidade será usado para atender um conjunto de clientes.
A roteirização de veículos é uma área onde uma solução para um determinado tipo de
problema, seus dados e condições, pode não ser adequada para outro problema similar
(TEIXEIRA; CUNHA, 2002).
As variantes do VRP geralmente têm um conjunto de rotas que deve ser projetado para
os veículos e as rotas iniciam e terminam em um depósito central, onde cada rota visita um
3
conjunto de locais de clientes com demandas conhecidas, cuja soma não deve exceder a
capacidade do veículo atribuído a essa rota (GOLDEN, 1975).
O HVRP envolve projetar um conjunto de rotas de veículos, cada uma começando e
terminando no depósito central, para uma frota de veículos tendo várias capacidades (CHOI;
TCHA, 2007). Os HVRPs podem ser divididos de acordo com diferentes recursos, incluindo a
disponibilidade do veículo (limitado ou ilimitado) e os custos do veículo (fixos ou variáveis)
(PENNA et al., 2013).
2.1. Formulação do problema
Gendreau et al. (1994) descreve o VRP como um grafo direcionado G = (V, A), onde o
conjunto V = {0, 1, ..., n} é composto por n + 1 vértices, tal que o vértice 0 denota o depósito
onde a frota com m veículos idênticos de capacidade Q está localizada. O conjunto V’ = V \
{0} é composto pelos vértices restantes que representam os n clientes, onde cada cliente i ∈
V’ tem uma demanda não negativa qi e é visitado exatamente uma vez por exatamente um
veículo. O conjunto A = {(i, j) : i, j V, i ∈ ≠ j} é o conjunto de arcos. As rotas começam e
terminam no depósito e a demanda total de cada rota não deve exceder a capacidade Q. A
frota de veículos é composta por NV veículos.
A Figura 2 descreve o modelo de Bodin et al. (1981), é um o modelo de programação
linear inteira para VRP, que é um índice duplo de fluxo de veículos que usa O(n²) variáveis
binárias x, para indicar se um veículo passa ou não pelo arco na solução ótima. Em outras
palavras, x i , jv tem valor 1 se o arco (i, j) A∈ pertence a solução ótima e é visitado pelo
veículo v, e o valor 0 caso contrário.
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Figura 2: Modelo de programação linear inteira para VRP
Fonte: Adaptada de Bodin et al. (1981)
A Função Objetivo 2.1 busca a minimização da distância total percorrida, onde n é o
número de nós e NV o número de veículos. As Equações 2.2 e 2.3 dizem que para cada arco,
há apenas um veículo que percorre esse arco. A Equação 2.4 diz que se um veículo atender um
cliente, então o veículo deve partir desse cliente. Na Equação 2.5, está a representação da
restrição de capacidade dos veículos. As Equações 2.6 e 2.7 garantem que a disponibilidade
de veículos não é excedida.
O HVRP segue os mesmos princípios do VRP, com exceção da questão dos veículos.
Subramanian et al. (2012) define o HVRP como: O vértice 0 denota o depósito, onde a frota
de veículos com diferentes capacidades está localizada, essa frota é composta por m diferentes
tipos de veículos. O conjunto M = {1, ..., m} possui as seguintes características: Para cada u ∈
M, há uma quantidade de mu veículos disponíveis, cada um com a capacidade Qu , cada
tipo de veículo tem associado um custo fixo denotado por f u . Finalmente, para cada arco
(i, j) A∈ há um custo c i , ju =d i , jr u , onde d i , j é a distância entre os vértices (i, j) e ru
é o custo variável de viagem por unidade de distância de um veículo do tipo u.
A Figura 3 apresenta o modelo de Golden et al. (1984), o modelo é de programação
matemática. A variável x i , ju tem valor 1 se veículo de tipo u percorre arco (i, j) A∈ e o arco
pertence a solução ótima, e o valor 0 caso contrário.
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Figura 3: Modelo de programação matemática para o HVRP
Fonte: Adaptada de Golden et al. (1984)
Esse modelo assume que há um número infinito de cada tipo de veículo disponível. No
termo ∑j=1
n
x0 ju na Equação 2.9 está a representação do número de veículos do tipo u usados,
e o termo ∑u=1
m
f u∑j=1
n
x0 ju representa o custo fixo total. O termo ∑
u=1
m
∑i=0
n
∑j=0
n
cij xiju representa
o custo total variável. As Equações em 2.10 e 2.11 garantem que cada cliente é visitado
exatamente uma única vez e que um veículo que chega em um cliente deve partir dele.
2.2. Heurísticas relacionadas
Alguns métodos heurísticos foram desenvolvidos para resolver o HVRP. Algoritmos
heurísticos são métodos de tentativa e erro que não garantem encontrar a solução ótima, mas
são projetados para encontrar soluções próximas da ótima em uma fração de tempo mais
eficiente do tempo requerido pelo método ótimo (KARADIMAS et al., 2008).
Mole e Jameson (1976) desenvolveram um novo algoritmo de construção sequencial
de rotas, que expande uma rota por vez, e logo após a construção, aplica o método de
melhoria 3-Opt. Para mais detalhes sobre a melhoria 3-Opt, consulte Lin e Kernighan (1973).
O algoritmo de construção varredura constrói um agrupamento de clientes viável pelo
giro de um raio centralizado no depósito. Algumas implementações incluem uma fase de pós-
otimização. Pelo conhecimento de Laporte et al. (2000) a primeira menção desse método foi
encontrada no livro Wren (1971) e no trabalho de Wren e Holliday (1972), mas o algoritmo de
varredura é comumente atribuído a Gillett e Miller (1974), quem popularizaram o algoritmo.
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2.3. Meta-heurísticas relacionadas
A meta-heurística é formalmente definida como um processo de geração iterativa que
guia uma heurística subordinada pela combinação inteligente de diferentes conceitos para
explorar o espaço de busca, aprendendo estratégias que são usadas para estruturar informação
visando encontrar eficientemente soluções próximas da ótima (LAPORTE; OSMAN, 1995
apud OSMAN; LAPORTE, 1996) e (OSMAN; KELLY, 1996 apud OSMAN; LAPORTE,
1996).
A meta-heurística Tabu Search (TS), ou Busca Tabu, inicia de uma solução inicial
x1 , e para cada iteração t de x t , move-se para uma solução melhor x t+1 , até que o
critério de parada é satisfeito. Se f(x) denota o custo de x, então f ( x t+1 ) não
necessariamente é menor que f ( x t ) . Alguns autores aplicaram TS no VRP em seus
trabalhos, como Gendreau et al. (1994), Taillard (1993) e Xu e Kelly (1996).
Gendreau et al. (1999) utiliza o método de construção GENIUS (GENDREAU et al.,
1992), com uma abordagem da meta-heurística Tabu Search (TS) e um procedimento
Adaptative Memory (AM) em seu algoritmo HVRP.
Wassan e Osman (2002) desenvolveram novas variantes da meta-heurística TS para o
HVRP, com mistura de diferentes componentes, como TS reativa, vizinhanças variáveis,
estruturas especiais de memória de dados e funções hash para o HVRP.
Lee et al. (2008) desenvolveram uma heurística eficiente para o HVRP usando método
modificado de varredura , TS e um conjunto de problemas de particionamento.
Mladenović e Hansen (1997) definem o Variable Neighborhood Search (VNS) como
uma meta-heurística simples e efetiva obtida por um procedimento de uma mudança
sistemática da vizinhança com um algoritmo de busca local. Ao contrário da maioria das
buscas locais, o VNS não segue uma trajetória, mas explora as vizinhanças mais distantes da
solução atual, e toma a vizinhança como nova solução atual, se uma melhoria foi feita na
solução atual.
3. Algoritmo proposto
O algoritmo que será descrito nesse trabalho utiliza a meta-heurística VND para
melhoria de roteiro, com buscas locais intra-roteiro e inter-roteiro e inserção de clientes de
forma aleatória. O algoritmo considera que há um número ilimitado de veículos de cada tipo
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disponível. O conjunto S de rotas apresentado como saída do algoritmo é definido como S =
{(u,SR) : u M, SR = (0,a,...,0), a V’}∈ ∈ .
O Figura 4 apresenta o algoritmo com o passo a passo para a construção de roteiros.
Figura 4: Algoritmo de construção de roteiros
Fonte: Elaborada pelo autor
Na linha 1, define-se o conjunto solução S como conjunto vazio. Na linha 2, são
percorridos todos os clientes da entrada. Na linha 3, seleciona-se um veículo de um tipo de
veículo de M, tal que esse veículo tenha capacidade de atender o cliente i. Na linha 4, será
adicionada no conjunto solução S uma dupla relacionando um veículo e os clientes que são
atendidos por esse veículo. Na linha 5 é executado o algoritmo da Figura 5.
O procedimento VND descrito nesse trabalho utiliza as buscas locais na ordem
apresentada:
Intra-roteiro:
1. Exchange;
2. Or-Opt;
3. 2-Opt;
4. 3-Opt.
Inter-roteiro:
1. String Cross (SC);8
2. String Relocation (SR) com 1-vértices, ou Shift (0, 1);
3. String Relocation (SR) com 2-vértices, ou Shift (0, 2);
4. String Exchange (SE) com 1-vértices, ou Swap (1, 1);
5. Shift (2, 1);
6. 3-cyclic 2-transfer.
As buscas locais produzem soluções factíveis. A sequência IVnd irá conter as buscas
locais intra-roteiro e a sequência EVnd irá conter as buscas locais inter-roteiro, tal que EVnd,
IVnd = (R1, ..., Rmax). A Figura 5 mostra o funcionamento do algoritmo VND utilizado nesse
trabalho.
Figura 5: Algoritmo Variable Neighborhood Descent (VND)
Fonte: Elaborada pelo autor
Na linha 1, é definida uma variável β com o valor 10, essa variável será usada no
algoritmo da Figura 5. Na linha 3, é feita uma cópia da solução S em X. Nas linhas 4 e 6,
executa-se o algoritmo da Figura 6 para a sequência de buscas locais intra-roteiro I e inter-
roteiro E. Na linha 5, é executado o algoritmo da Figura 7. Na linha 7, é verificado se o custo
da solução obtida com as linhas 3, 4 e 5 permanece igual, ou seja não houve melhorias, se sim
o algoritmo encerra.
9
No algoritmo da Figura 5, pode-se inserir outra condição na linha 2 para evitar um
espera indeterminada, por exemplo número máximo de iterações.
A aplicação de buscas locais na solução é feita pelo algoritmo da Figura 6.
Figura 6: Algoritmo Aplica Buscas Locais
Fonte: Elaborada pelo autor
O algoritmo da Figura 6, aplica uma sequência de buscas locais sobre um conjunto de
rotas, e para cada aplicação verifica se há uma melhoria com a aplicação da busca local, se
sim, então a melhoria é mantida e a aplicação de busca local retorna para a primeira busca
local, se não, então continua com a próxima busca local da sequência.
Na linha 1, percorre-se todas as buscas locais da sequência R. na linha 2, é aplicado a
busca local Ri na entrada S. Na linha 3, verifica-se se o custo obtido com a aplicação da busca
local obteve melhor resultado, se sim, S recebe S’ e serão percorrida todas as buscas locais
novamente.
No algoritmo da Figura 6, igualmente ao algoritmo da Figura 5, pode-se inserir outra
condição nas linhas 1 e/ou 3 para evitar uma espera indeterminada.
O procedimento de usar mais veículos é descrito no algoritmo da Figura 7.
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Figura 7: Algoritmo Usar Mais Veículos
Fonte: Elaborada pelo autor
Esse procedimento, tem o objetivo de inserir no conjunto S, β veículos de cada tipo em
roteiros sem clientes para serem atendidos. Isso é feito para que as buscas locais Inter-roteiro
adicionem clientes de outros roteiros nesses roteiros sem clientes.
Na linha 1, é percorrido de 1 até fator β, que representa a quantidade de veículos de
cada tipo que serão adicionados no conjunto S. Na linha 2, precorre-se todos os tipos de
veículos. Na linha 3, é obtido um veículo v do tipo u. Na linha 4, executa-se a função coloque,
que insere no conjunto S a dupla com o veículo v com uma rota apenas com o depósito como
origem e destino.
4. Resultados
O algoritmo VND proposto foi aplicado em oito instâncias HVRP citadas no trabalho
de Gendreau et al. (1999), que contém 50, 75 e 100 clientes. Cada instância possui veículos
com capacidades e custos variáveis. Os custos que serão apresentados na Figura 6 são
calculados multiplicando o custo variável do veículo pela distância percorrida pelo veículo.
As instâncias utilizam distâncias euclidianas e satisfazem a desigualdade triangular.
O algoritmo VND foi executado em um computador Desktop com 3,5 GB de memória
RAM, processador Intel® Celeron(R) CPU [email protected]×2, sistema operacional Ubuntu
16.04 LTS 64 bits e 103,5 GB de HD.
11
A Figura 8 apresenta os resultados do algoritmo VND, Gendreau et al. (1999), Wassan
e Osman (2002) e Lee et al. (2008). Os trabalhos escolhidos para o benchmarking foram
selecionados por serem trabalhos que apresentam algoritmos HVRP para as instâncias de
Gendreau et al. (1999). A coluna instância apresenta a numeração da instância utilizada por
Gendreau et al. (1999), a coluna n diz a quantidade de clientes da instância, a coluna custo
representa o custo da solução obtida e a coluna tempo, informa o tempo em segundos que o
algoritmo levou para executar.
Figura 8: Resultado dos algoritmos
Fonte: Elaborada pelo autor
5. Conclusões e trabalhos futuros
O algoritmo VND proposto apresentou um resultado melhor para uma das instâncias
em comparação ao algoritmo de Gendreau et al. (1999) e Lee et al. (2008) e um resultado
igual em comparação ao algoritmo de Wassan e Osman (2002), e os demais resultados
próximos aos deles. Por mais que não tenha obtido resultados melhores para a maioria das
instâncias, o algoritmo VND obteve bons resultados. Pois para todas as intâncias o algoritmo
VND não apresentou um custo maior que 9% em comparação aos resultados de Gendreau et
al. (1999), Wassan e Osman (2002) e Lee et al. (2008).
Como trabalhos futuros, pode ser feita uma nova proposta de um algoritmo para o
VRP with Time Windows (VRPTW) ou VRP com Janela de Tempo. Para tanto, pode-se
utilizar uma variação do próprio VND ou mesmo de outros métodos, como os observados em
outros trabalhos: Busca Tabu, VNS, dentre outros algoritmos heurísticos e meta-heurísticos.
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REFERÊNCIAS
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