o problema de corte de estoque características típicas: problema de várias mochilas - seleção...
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O Problema de Corte de Estoque
Características típicas:
• problema de várias mochilas - seleção de objetos
• muitos itens devem ser produzidos, porém, de poucos tipos (alta repetição)
• muitos objetos (barras) dever ser cortados, porém, de poucos tipos. Muitos objetos serão igualmente cortados (padrões de corte)
• Qual o número mínimo necessário de barras ?
• Como devem ser cortadas as barras (padrões de corte) ?
Exemplo: Cortar barras de 240 cm (estoque) para a produção de1000 itens de 30 cm (tipo 1)
1250 itens de 42 cm (tipo 2) 2000 itens de 45 cm (tipo 3)
• total de 4250 itens cortados de apenas 3 tipos (bin-packing?)
• muitas barras devem ser igualmente cortadas (padrão de corte = maneira particular de cortar uma barra, que deve ser repetida várias vezes)
A cada padrão de corte associamos um vetor m-dimensional que contabiliza os itens produzidos:
onde i é o número de itens do tipo i no padrão.
ma ,...,, 21
a = ( 2 1 0 2 )T
mi
Llll
i
mm
,...,2,1 inteiro, e 0
...2211
Um vetor (1 2 ...m ) corresponde a um padrão de corte se:
(1) (1) (2) (4) (4)
L
l1 l1 l2 l4 l4
Restrições adicionais de processo
• F = Número Máximo de Facas
2 Facas laterais paraimperfeições!
5 Facas 4 itens!
Facas
(1) (1) (3) (4)
1 1 2 2
1 1 2 2
1 2
Maximizar ...
Sujeito a: ...
... 1
0 e inteiro, 1,..., .
m m
m m
m
i
v x v x v x
l x l x l x L
x x x F
x i m
Restricões de processo
Compartimentos carregados com itens de mesma classe
Ex. medicamentos, alimentos, roupas limpas, roupas sujas, etc.
Os compartimentos têm tamanhos máximos e mínimos e cada novo compartimento inserido na mochila perde-se espaço
Restrições adicionais de processo: Cortagem em estágios
O Problema da Mochila Compartimentada
L = 30
limites mínimo e máximo e perdas para os compartimentos
Lkmax = 9Lk
min = 5 Sk = 1
++
Restricões de processo
O Problema da Mochila Compartimentada
A2
2 2
A2
2 2
A1
1 2
C2
6
fase 1
fase 2
Observações:
• Ao reconhecer um padrão de corte pelo seu vetor associado, não distinguimos entre padrões do tipo:
(2 1 2)T
(2 1 2)T
Padrões equivalentes
(1) (1) (2) (3) (3)
(3) (1) (1) (3)(2)
Modelagem matemática:
1. Defina todas as possíveis maneiras de se cortar os objetos em estoque, isto é, todos os padrões de corte
problema combinatório
2. Decida quantas vezes cada padrão de corte deve ser utilizado para atender a demanda
O Problema de Corte de Estoque
hom
ogên
eos
Exemplo: Comprimento das barras em estoque: L = 120cmComprimentos (demanda) dos itens: (m = 3) l1 = 30cm (d1= 1000) l2 = 42cm (d2=1250) l3 = 45cm (d3=2000)
a1 = (4 0 0)T30303030
Padrão 1:
304545
Padrão 3: a3 = (0 0 2)T
364242
Padrão 2: a2 = (0 2 0)T
304545Padrão 4: a4 = (1 0 2)T
O Problema de Corte de Estoque
Variáveis de decisão:
xj : número de vezes que o padrão j é utilizado, j = 1,2,...
dxaxaxaxa ...44332211
2000
1250
1000
...
2
0
1
2
0
0
0
2
0
0
0
4
4321 xxxx
Base inicial formada pelos padrões homogêneos
O Problema de Corte de Estoque
• Apenas um tipo de barra em estoque em quantidade ilimitada.
• Diversos tipos de barra em estoque em quantidade ilimitada.
• Diversos tipos de barra em estoque em quantidade limitada.
• Problemas de dimensão maiores que 1.
Modelagem Matemática
Apenas um tipo de barra em estoque
Dados do problema:
m : número de tipos de itens
li : comprimento do item tipo i
di : quantidade demandada do item tipo i
L : comprimento (único) da barra em estoque
c : custo de cada barra em estoque
O Problema de Corte de Estoque
Objetivo: Atender a demanda ao custo mínimo.
modelo básicoEtapa 1: Defina todos os possíveis padrões de corte, ou seja,
determine todas as soluções do sistema:
1
2
n
nn
mn
a
Padrão n
...12
222
2m
a
Padrão 2
11
211
1m
a
Padrão 1
O Problema de Corte de Estoque
mi
Llll
i
mm
,...,2,1 inteiro, e 0
...2211
Suponha que as soluções sejam:
Resolva:
1 2
1 1 2 2
1 2
Minimizar ( ) ( ... )
sujeito a: a ...
0, 0,..., 0 e inteiros.
n
n n
n
f x c x x x
x a x a x d
x x x
Otimização linearmétodo simplex – geração de colunas
O Problema de Corte de Estoque
Etapa 2: Seja xj o número de vezes que o objeto (barra) é cortado
usando o padrão de corte j, j = 1,…,n.
m equações – algumas dezenasn variáveis – centenas de milhares !
Alterações no modelo básico
1. Demanda com tolerância:
di 1
i
i i
d
d
1
i
i i
d
d
Ex: i = 0,05
Minimizar ( )
sujeito a:
0
Tf x c x
d Ax d
x
O Problema de Corte de Estoque
Alterações no modelo básico
1 1 ...j j mj mc L l l
1 1 2 2 ( ) ... n nf x c x c x c x
O Problema de Corte de Estoque
2. Função “perda”:
(1)(1) (2)(2)(2) (m)
L
1j l1 2j l2 mj lmcj
Padrão j:
L
(i) (i)
li
ij i
Tl
L = peso (ton) dos itens i no padrão j
T/L = peso específico
(ton/cm)
i
Tl
L = peso do item i
O Problema de Corte de Estoque
Alterações no modelo básico
3. Unidade de demanda em toneladas(bobinas na indústria de papel, metalúrgica,…)
Dados adicionais: T : peso (ton) de cada objeto
1
1,...,n
ij i j ij
Tl x d i m
L
Número de bobinas cortadas usando o padrão j.
j jy T xMudança de variável
ton. no padrão j
4. Corte de retângulos (indústria de papel)
fibra
wi
li
Facas
(1) (1) (3) (4)
O Problema de Corte de Estoque
Alterações no modelo básico
fibrawi
li
Sentido da fibra irrelevante bobina pode ser cortada nos comprimentos:
1 2 1 2, ,..., , , ,...,m ml l l w w w
1ml 2ml 2ml
1 2 1, 2, 2 ,, ,..., , , ,...,T
j j mj m j m j m jw
mesmo item: retângulo l1 w1
1j + m+1,j = qde. do item 1 no padrão j
O Problema de Corte de EstoqueAlterações no modelo básico
Padrão j:
1 1,
2 2,
2 ,
j m j
j m j
j
mj m j
a
Mochila com 2m itens
Diversos tipos de barra em estoque em quantidade ilimitada
• Máquinas diferentes produzem os objetos (comp. diferentes)
em quantidades suficientemente grandes para atender toda a
demanda (indústria de papel).
• Objetos adquiridos no mercado, em tamanhos diferentes, onde
a oferta é grande (construção civil).
O Problema de Corte de Estoque
• Dados de demandam : número de tipos de itens
li : comprimento do item tipo i
di : quantidade demandada do item tipo i
O Problema de Corte de EstoqueBarras ilimitadas em estoque
k1m
k21
k11
k1a
k2m
k22
k12
k2a
jmn
jn2
kn1
k,n
k
k
k
ja
...
Dados de estoque: N : número de tipos de objetos em estoque Lk : comprimento do objeto (barra) tipo k ck : custo da barra tipo k
Padrões de corte para barra de comprimento Lk
Etapa 2: xij o número de vezes que o objeto j é cortado usando o padrão de corte i.
O Problema de Corte de EstoqueBarras ilimitadas em estoque
inteiros. e 0
... a sujeito
...,...),( Minimizar
1122
111
1122
1112111
21
21
ij
n
iiNiN
n
iii
n
iii
n
iiNN
n
ii
n
ii
x
dxaxaxa
xcxcxcxxf
N
N
Diversos tipos de barra em estoque em quantidades limitadas
Dado adicional: ej : quantidade disponível da barra j, j=1,…,N.
inteiros. e 0
... a sujeito
...,...),( Minimizar
1
122
111
1122
111
1122
1112111
2
1
21
21
ij
n
iNiN
n
ii
n
ii
n
iiNiN
n
iii
n
iii
n
iiNN
n
ii
n
ii
x
ex
ex
ex
dxaxaxa
xcxcxcxxf
N
N
N
O Problema de Corte de Estoque
Problemas de dimensões maiores que 1
Regras de cortagem: cortes guilhotinados, estagiados, não guilhotinados guillotinados
O Problema de Corte de Estoque
Etapa 1: definição dos padrões de corte (mais dificil) caso unidimensional: o número de itens no padrão descreve facilmente o padrão de corte. Caso bidimensional: arranjar uma quantidade de retângulos sobre uma placa, sem sobreposição, não é trivial.
Etapa 2: quanto usar de cada padrão para atender a demanda (mesmo modelo de otimização linear)
A modelagem anterior ainda é válida:
L W
(1)
(2)
(3)
(5)
li wi
(4)
(3) (3) (3) (3)
(5)
(2)
(2)(1)
(4) (4)
O Problema de Corte de Estoque Bidimensional
Definição. Um corte sobre uma placa retangular que produza
dois novos retângulos é chamado corte guilhotinado ortogonal,
ou simplesmente, corte guilhotinado.
1 2
3
5
6
12
1
13 3
45 a = (3, 1, 2, 0, 1)T.
Uma sequência de cortes guilhotinados, aplicados sobre a placa e
sobre os retângulos resultantes produz um
padrão de corte guilhotinado
Definição Se o número permitido de estágios é limitado por k, dizemos que o padrão de corte resultante é um padrão de corte guilhotinado em k-estágios.
Os cortes guilhotinados podem ser organizados em estágios da seguinte forma: Num primeiro estágio, cortes guilhotinados são feitos sobre a placa. Em seguida, num segundo estágio, os retângulos obtidos são cortados perpendicularmente ao cortes do estágio anterior, e assim por diante, são definidos estágios de corte.
Um padrão de corte bidimensional guilhotinado 2-estágios: 1º estágio: corte vertical e 2º estágio: corte horizontal
1º estágio
2º estágio 2 1
5
24
O problema de corte bidimensional guilhotinado em 2-estágios
i) Determinar os melhores padrões para as faixas: Lw1 , Lw2 … Lwm.
Itens que podem ser cortados na faixa k: Wk = { i tal que: wi wk }
L
wk
jk i
ik 0, inteiro, i=1,..,m
kWi
ikik vMáximoV
LlkWi
iki
sujeito a:
ii) Determinar quantas vezes cada faixa deve ser utilizada no padrão bidimensional.
Como cada faixa k tem largura wk e a largura da placa é W, temos então de resolver o seguinte problema da mochila:
V= Maximizar V11 + V22 + …+Vrr
sujeito a: w11 + w22 + …+wrr W
10, 2 0,…, r0 e inteiros.
Exemplo. Placa LW = 110110 m = 4 itens,
comprimentos, larguras e valores de utilidade:i li wi vi
1 20 30 62 30 40 123 50 60 304 60 60 36
Faixa 1: 11030 Faixa 2: 11040 Faixa 3: 11060
W1 = { 1 } W2 = { 1, 2 } W3 = { 1, 2, 3,4 }
1 1 1 1 1
L=110
12 2 2
L=110
43
L=110
V1 =30 V2 =42 V3 =66
V = Maximizar 30 1 + 42 2 + 663
sujeito a: 301 + 402 + 603 110
10, 2 0, 30 e inteiros.
Solução: 1 =1, 2 = 1, 3 = 1, V = 138.
43
L=110
1 1 1 1 1
1
2 2 2 W=110
Heurísticas de arredondamento da solução
0~ x
Repetir até que:
Problema Residual: dd-Ay
x~
geração de colunas
xy ~
Arredondamento da solução
Minimizar
sujeito a
0 e inteiro.
Tf x c x
Ax d
x
O Problema de Corte de Estoque Inteiro
?
heurísticas alternativas:
Revisão do arredondamento