O Número de Ouro  Proporção e Harmonia

O que é o Número de Ouro ? • O Número de Ouro é um número

irracional misterioso e enigmático que nos surge numa infinidade de elementos da natureza na forma de uma razão, sendo considerada por muitos como uma oferta Divina ao mundo.

• A designação adoptada para este número, (Phi maiúsculo), é a inicial do nome de Fídias que foi escultor e arquitecto encarregado da construção do Pártenon, em Atenas.

• Um exemplo desta maravilha é o facto de que se desenharmos um rectângulo cujos lados tenham uma razão ente si igual ao Número de Ouro este pode ser dividido num quadrado e noutro rectângulo em que este tem, também ele, a razão entre os dois lados igual ao Número de Ouro. Este processo pode ser repetido indefinidamente mantendo-se a razão constante .

A História do Número de Ouro

• A história deste enigmático número perde-se na antiguidade. No Egipto as pirâmides de Gizé foram construídas tendo em conta a razão áurea : A razão entre a altura de um face e metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro. O Papiro de Rhind refere-se a uma «razão sagrada» que se crê ser o Número de Ouro. Esta razão ou secção áurea surge em muitas estátuas da antiguidade .

Egipto

• Construído muitas centenas de anos depois (entre 447 e 433 a.c.), o Partenon Grego, templo representativo do século de Péricles contém a Razão de Ouro no rectângulo que contêm a fachada (Largura / Altura), o que revela a preocupação de realizar uma obra bela e harmoniosa.

Grécia

• Os Pitagóricos usaram também a Secção de Ouro na construção da estrela pentagonal.

• Não conseguiram exprimir como quociente entre dois números inteiros, a razão existente entre o lado do pentágono regular estrelado (pentáculo) e o lado do pentágono regular inscritos numa circunferência. Quando chegaram a esta conclusão ficaram muito espantados, pois tudo isto era muito contrário a toda a lógica que conheciam e defendiam que lhe chamaram irracional.

• Foi o primeiro número irracional de que se teve consciência que o era. Este número era o Número ou Secção de Ouro apesar deste nome só lhe ser atribuído uns dois mil anos depois.

Pitagóras

O Pentagrama pitagórico

Os pitagóricos adoptaram como símbolo o Pentágono regular estrelado. Também se lhe chamou Pentagrama ou Pentalfa (cinco pontas em forma de alfa). Á parte da simbologia do seu número, a sua propriedade geométrica é que todos os segmentos estão em progressão áurea.

As superfícies dos triângulos assim divididos guardam a proporção áurea. A superfície do Pentágono regular, como vemos na última figura, é R5 vezes a do triângulo central. A proporção manifesta-se em todas as partes, como um sistema perfeitamente coerente

O triângulo do pentalfa, também chamado Triângulo Sublime e Triângulo áureo maior, tem os seus lados em proporção áurea, e os seus ângulos em razão singela 1:2:2. Aparece em diversas formas no pentágono e no decágono

• Posteriormente, ainda os gregos consideraram que o rectângulo cujos lados apresentavam esta relação apresentava uma especial harmonia estética que lhe chamaram rectângulo áureo ou rectângulo de ouro, considerando esta harmonia como uma virtude excepcional.

• Endoxus foi um matemático grego que se tornou conhecido devido à sua teoria das proporções e ao método da exaustão, criou uma série de teoremas gerais de geometria e aplicou o método de análise para estudar a secção que se acredita ser a secção de ouro.

• Uma contribuição preciosa foi-nos dada por Fibonacci ou Leonardo de Pisa

No fim da Idade Média a escola do comércio e dos mercadores à qual pertencia Fibonacci com uma finalidade mais prática e objectiva. A sua contribuição para o número de ouro está relacionada com a solução do seu problema dos coelhos publicado no seu livro Liber Abaci, a sequência de números de Fibonacci. Que consiste em uma sequência de números, tais que, definindo os dois primeiros números da sequência como sendo 0 e 1, os números seguintes são obtidos através da soma dos seus dois antecessores. Portanto, os números são: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,...

A sequência de Fibonacci • Retângulo Áureo • Se anexarmos dois quadrados

com lado=1, teremos um rectângulo 2x1, sendo o lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. Se anexarmos agora outro quadrado com lado=2 (o maior lado do rectângulo 2x1) e teremos um rectângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos rectângulos obtidos no passo anterior. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,...

Usando um compasso e se traçarmos um quarto de círculo no quadrado de lado L=13, de acordo com o desenho ao lado. De acordo com o desenho ao lado, traçarmos quartos de círculos nos quadrados de lado L=8, L=5, L=3, L=2, L=1 e L=1, obtemos uma ESPIRAL

Leonardo  Da Vinci

• Uma contribuição que não pode ser deixada de referir foi a contribuição de Leonardo Da Vinci (1452-1519) . A excelência dos seus desenhos revela os seus conhecimentos matemáticos bem como a utilização da razão áurea como garante de uma perfeição, beleza e harmonia únicas.

• É lembrado como matemático apesar da sua mente irrequieta não se concentrar na aritmética, álgebra ou geometria o tempo suficiente para fazer uma contribuição significativa. Representa bem o homem tipo da renascença que fazia de tudo um pouco sem se fixar em nada. Leonardo era um génio de pensamento original que usou exaustivamente os seus conhecimentos de matemática, nomeadamente o Número de Ouro, nas suas obras de arte. Um exemplo é a tradicional representação do homem em forma de estrela de cinco pontas de Leonardo, que foi baseada nos pentágonos, estrelado e regular, inscritos na circunferência.

• Leonardo da Vinci, em seus estudos de Anatomia, trabalhou com um modelo padrão (o canon) para a forma de um ser humano, utilizando Vitrúvio como modelo. Tais dimensões aparecem na gravura abaixo. A notação a:b=c:d é uma proporção

Le Corbusier

• Neste século, o arquitecto francês Le Corbusier utilizou também de relações harmônicas para projectar estruturas. O padrão utilizado por ele nas relações humanas foi o Modulor, que aparece na gravura.

Dimensões áureas no homem

• Com o uso da gravura observe como um ser humano se adapta às

dimensões áureas.

e a Arte

na Arquitectura

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Educação Visual• A Forma e a Função dos objectos• Antropometria e Ergonomia• Proporção e Harmonia• Secção Áurea – número de ouro

• Conteúdo do 8º ano de escolaridade

Escola Básica Integrada c/JI Fialho de Almeida de Cuba Material produzido por:

António Manuel Fragoso Professor de Educação Visual

Curiosidades

Divina Proporção

• O número Phi (letra grega que se pronuncia “fi”) apesar de não muito conhecido tem um significado muito mais interessante.

• Durante anos o homem procurou a beleza perfeita, a proporção ideal. Os gregos criaram então o rectângulo de ouro. Era um rectângulo, do qual havia-se proporções... do lado maior dividido pelo lado menor e a partir dessa proporção tudo era construído. Assim eles fizeram o Pathernon... a proporção do rectângulo que forma a face central e lateral. A profundidade dividia pelo comprimento ou altura, tudo seguia uma proporção ideal de 1,618.

• Os Egípcios fizeram o mesmo com as pirâmides cada pedra era 1,618 menor do que a pedra de baixo a de baixo era 1,618 maior que a de cima, que era 1,618 maior que a da 3a fileira e assim por diante.

• Bom, durante milénios, a arquitectura clássica grega prevaleceu O rectângulo de ouro era padrão mas depois de muito tempo, veio a construção gótica, com formas arredondadas que não utilizavam o rectângulo de ouro grego.

• Mas em 1200... Leonardo Fibonacci um matemático que estudava o crescimento das populações de coelhos criou aquela que é provavelmente a mais famosa sequência matemática a Série de Fibonacci.

• A partir de 2 coelhos, Fibonacci foi contando como eles se aumentavam a partir da reprodução de várias gerações e chegou numa sequência onde um número é igual a soma dos dois números anteriores

• 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89...• 1+1=2

2+1=3 3+2=5 5+3=8 8+5=13 13+8=2121+13=34

• E assim por diante.• Aí entra a 1ª "coincidência"; proporção de crescimento média da série é... 1,618.

Os números variam, um pouco acima às vezes, um pouco abaixo mas a média é 1,618, exactamente a proporção das pirâmides do Egipto e do rectângulo de ouro dos gregos

• Então, essa descoberta de Fibonacci abriu uma nova ideia de tal proporção que os cientistas começaram a estudar a natureza em termos matemáticos e começaram a descobrir coisas fantásticas.

• E não só na Terra se encontra tal proporção. Nas galáxias as estrelas se distribuem em torno de um astro principal numa espiral obedecendo à proporção de 1,618 também

• Por isso, o número Phi ficou conhecido como A DIVINA PROPORÇÃO. Porque, os historiadores descrevem que foi a beleza perfeita que Deus teria escolhido para fazer o mundo.

• Por volta 1500 com a vinda do Renascentismo à cultura clássica voltou à moda... Michelangelo e principalmente Leonardo da Vinci, grandes amantes da cultura pagã, colocaram esta proporção natural em suas obras. Mas da Vinci foi ainda mais longe; ele como cientista, pegava cadáveres para medir a proporção do seu corpo e descobriu que nenhuma outra coisa obedece tanto a DIVINA PROPORÇÃO do que o corpo humano... obra-prima de Deus

• Por exemplo:• -Meça sua altura e depois divida pela altura do seu umbigo até o chão; o

resultado é 1,618. • -Meça seu braço inteiro e depois divida pelo tamanho do seu cotovelo até o dedo;

o resultado é 1,618.• -Meça seus dedos, ele inteiro dividido pela dobra central até a ponta ou da

dobra central até a ponta dividido pela segunda dobra. O resultado é 1,618;• -Meça sua perna inteira e divida pelo tamanho do seu joelho até o chão. O

resultado é 1,618;• -A altura do seu crânio dividido pelo tamanho da sua mandíbula até o alto da

cabeça. O resultado 1,618;• -Da sua cintura até a cabeça e depois só o tórax. O resultado é 1,618;• Tudo, cada osso do corpo humano é regido pela Divina Proporção.

• -A proporção de abelhas fêmeas em comparação com abelhas machos em uma colmeia é de 1,618;

• -A proporção que aumenta o tamanho das espirais de um caracol é de 1,618; • -A proporção em que aumenta o diâmetro das espirais sementes de um girassol

é de 1,618; • -A proporção em que se diminuem as folhas de uma árvore a medida que

subimos de altura é de 1,618; • Coelhos, abelhas, caramujos, constelações, girassóis, árvores, artes e o homem;

coisas teoricamente diferentes, todas ligadas numa proporção em comum. • Então até hoje essa é considerada a mais perfeita das proporções. Meça seu

cartão de crédito, largura / altura, seu livro, seu jornal, uma foto revelada. (lembre-se: considere erros de medida da régua ou fita métrica que não são objectos acurados de medição).• Encontramos ainda o número Phi nas famosas sinfonias como a 9ª de Bethoven

e em outras diversas obras. • Então, isso tudo seria uma coincidência?...ou seria o conceito de Unidade com

todas as coisas sendo cada vez mais esclarecido para nós?

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