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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS NATURAIS E MATEMÁTICA

ANDREIA JULIO DE OLIVEIRA

O ENSINO DOS LOGARITMOS A PARTIR DE UMA

PERSPECTIVA HISTÓRICA

Natal – RN2005

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ANDREIA JULIO DE OLIVEIRA

O ENSINO DOS LOGARITMOS A PARTIR DE UMA

PERSPECTIVA HISTÓRICA

Dissertação apresentada ao Programa dePós-Graduação em Ensino de CiênciasNaturais e Matemática, da UniversidadeFederal do Rio Grande do Norte, comoexigência para obtenção do grau de Mestreem Ensino de Ciências Naturais eMatemática.

Orientadora: Profª Drª Arlete de Jesus Brito

Natal RN

2005

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Catalogação da publicação. UFRN/Biblioteca Setorial do Centro de

Ciências Exatas e da Terra

Oliveira, Andréia Julio de O Ensino dos logaritmos a partir de uma perspectiva histórica/Andréia Julio de Oliveira.- Natal, RN, 2005. 123 p.

Orientador: Arlete de Jesus Brito.

Dissertação (Mestrado) Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática.

1. Matemática História Tese. 2. Logaritmo Tese. 3. Matemática Música Tese. 4. História da Matemática Tese. I. Brito, Arlete de Jesus. II. Título.

RN/UF/BCEET CDU 51(091)

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ANDREIA JULIO DE OLIVEIRA

O ENSINO DOS LOGARITMOS A PARTIR DE UMA

PERSPECTIVA HISTÓRICA

Dissertação apresentada ao Programa dePós-Graduação em Ensino de CiênciasNaturais e Matemática, da UniversidadeFederal do Rio Grande do Norte, comoexigência para obtenção do grau de Mestreem Ensino de Ciências Naturais eMatemática.

Natal, 10 de junho de 2005

BANCA EXAMINADORA

Profª Drª Arlete de Jesus BritoPresidente

Prof. Dr. Antonio Miguel1º Examinador

___________________________________________________________________Prof. Dr. Iran Abreu Mendes

2º Examinador

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Dedico este trabalho a meu filho, Mateus

Rocha, meu esposo, Carlos Rocha e a minha

família.

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AGRADECIMENTOS

A Deus que iluminou o meu caminho em toda essa trajetória;

A professora Drª. Arlete de Jesus Brito, pela sua contribuição como amiga e

orientadora, pelas sugestões e pleno apoio em todo o processo;

Aos meus pais Miguel e Nasaré a quem agradeço pelo apoio e confiança;

A minhas irmãs: Zélia, Adriana, Fabiana e meus irmãos pelo apoio

incondicional durante a realização deste processo.

A minha irmã Lenise pelo apoio total, respeito e confiança no meu crescimento

intelectual e profissional;

Aos amigos que me incentivaram nessa jornada, em especial a Anilda, Maria

Marques, Regina, Rejane, Carmem, Fátima Cascudo e Ana Maria;

A Maria da Guia, Amanda, Priscila, pelo apoio durante a realização do trabalho;

Ao Professor Gilson pela amizade e contribuição na revisão do texto;

Aos alunos que participaram da pesquisa pela oportunidade que nos deram

para a realização da mesma.

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Há pelo menos dois modos de se fazer frente à ordem

estabelecida (ou à desordem) estabelecida. Pode-se ratificá-la

como precedente de uma legitimidade, interiorizá-la como

procedente de uma racionalidade; ou, então, ao contrário,

questionar-se aqui e agora sobre esses dois atributos que,

singularmente em matéria de educação, são sempre

pressupostos consubstanciais às maneiras de fazer ou de ser.

Michelle Baquet

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RESUMO

O presente estudo tem como objetivo apresentar uma seqüência de atividades parao trabalho pedagógico, tendo como fio condutor a historia da matemática, buscandoa origem do conceito de logaritmos, e a relação da matemática com a música, como objetivo de entender qual o potencial que uma atividade sob uma perspectivahistórica, teria no que diz respeito ao processo de ensino aprendizagem.Para atingir esse objetivo, realizamos uma pesquisa sobre as potencialidadespedagógicas do uso da historia da matemática. Em seguida realizamos umapesquisa histórica sobre os logaritmos, numa tentativa de mostrar sua relevânciahistórica e a relação da matemática com a música, buscando relatar a descobertadessa relação, assim como abrir caminhos para o surgimento de novas pesquisas.Realizadas as pesquisas apresentamos nossa metodologia para a análise dasatividades. Em seguida realizamos a aplicação da atividade em sala de aula.Finalmente tendo por base as atividades realizadas e nossas pesquisas, analisamosos resultados assim como elaboramos nossa conclusão.

Palavras-chave: História da matemática; Logaritmos; Pedagógico.

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ABSTRACT

The present study present a sequence of activities for the pedagogical work, havingas the starting point the history of the mathematics, to seek the origin of the conceptof logarithms, and the relation of the mathematics with music, to try to understandwhich is the potential that an activity, under a historical perspective, would haveconcerning the teaching and learning process. To reach this objective, qe carried outa historical research on the pedagogical potentialities of the historical use of themathematics, then we carried out another historical research, this time about thelogatithms, in an attempt to show its historical importance and the relation of themathematics with music, tryng to relate the discovery of that relation, as wel as opennew ways to other researches. Such bibliographical researches, we presented ourmethodology used for the work analysis, and then we applied this work to somestudents. Finally, taking into account the works that were applied to the students andour researches,we both analyzed theresults and formulated our conclusion.

Key words: Históry of the mathematics; Logarithms; Pedagogical.

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 11

2 ESTUDO HISTÓRICO DOS LOGARITMOS 26

2.1 Um Breve Estudo Sobre as Regras de Prostáferese 272.2 A Descoberta dos Logaritmos 292.3 Uma Demonstração do número e 342.4 Das Relações entre Matemática e Música 472.5 No que diz respeito à Música 50

3 METODOLOGIA 61

3.1 Dificuldades apresentadas a priori 623.2 Os Sujeitos 633.3 O Material 643.4 As atividades 643.5 Descrição das aulas 65

4 ANÁLISE 70

4.1 Quanto à Utilização da História 714.2 Análise das atividades 724.2.1 Atividades relacionando Matemática e Música 98

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS 102

REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS 106

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 108

ANEXOS 111

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1 - INTRODUÇÂO

Pitágoras de Samos (séc. V)

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A realização desta pesquisa justifica-se pela inquietação de uma professora

de matemática do ensino Fundamental e Médio, há 8 anos, que percebeu algumas

dificuldades que direta ou indiretamente influenciavam o processo de aprendizagem

do conceito de logaritmos. Quais sejam:

• Que a matemática seria uma ciência estática.

Em nosso entendimento, estático seria algo que não sofre mudanças, a

matemática seria a mesma desde seus primórdios; essa concepção de matemática

apresenta-se constantemente em sala de aula, nos comentários dos alunos;

Acreditamos que isso se deve ao fato de a matemática, ser trabalhada de forma

tradicional, sem a apresentação de sua história, sua origem e os motivos que

motivaram sua criação.

• A matemática não seria feita por homens comuns e sim pessoas com

inteligência acima do normal;

O matemático, ainda que em menor grau, é visto como uma pessoa

extremamente inteligente , o que a nosso ver não se constitui uma verdade, pois

acreditamos ser essa concepção uma herança do ensino tradicional .

• A forma como o conteúdo de logaritmos é transmitido não tem nenhum

sentido a não ser trazer complicações em termos matemáticos;

Em nossa prática, os alunos apresentavam uma grande dificuldade em

compreender as operações envolvidas na aprendizagem do conceito de logaritmos,

para os mesmos era apenas um conteúdo de difícil entendimento, não conseguiam

fazer relações práticas com esse conteúdo, acreditavam ser o exponencial um pré-

requisito em sua aprendizagem.

• Quais as razões de natureza histórica para o estudo do logaritmo?

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Quando questionado, pelos alunos, quase sempre tínhamos dificuldade em

responder tais questões para eles.

Frente a essas inquietações, verificamos que se faz necessária uma mudança

na prática pedagógica, no que diz respeito ao ensino de logaritmos, que atualmente

limita-se aos livros didáticos, e técnicas de memorização, restringindo-se à uma

análise superficial; essa constatação justificaria nossa busca por uma alternativa

para o ensino de logaritmos, o que nos coloca a seguinte questão de pesquisa: qual

o potencial de uma seqüência didática que utilize a história do logaritmo no processo

de ensino aprendizagem neste conteúdo?

Acreditamos que um estudo histórico do surgimento de um conceito é um

fator de suma importância para todos os participantes do processo de ensino

aprendizagem, por considerarmos como um enriquecimento para as aulas, assim

como acreditando ser esta uma maneira de fornecer a todos (alunos e professores)

uma visão das dificuldades encontradas na época para a construção epistemológica

de um conceito, em nosso caso o de logaritmo. Com o estudo dos obstáculos vividos

pelos matemáticos do passado, poderemos ter a possibilidade de obter algumas

explicações a respeito das dificuldades que se apresentam em tempos atuais.

Acreditamos que, alunos e professores devam ter uma formação profunda da

matemática e isso não significa apenas saber demonstrar teoremas ou trabalhar com

a linguagem matemática de modo mecânico e, sim, que além de conhecer os

teoremas, consigam fazer relações entre diferentes campos de conhecimento,

refletindo sobre os fundamentos da matemática, percebendo seu dinamismo,

utilizando diferentes sistemas de registro, entendendo que o conhecimento

matemático coloca problemas e não apenas soluções.

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Sabemos que devido à multiplicidade de fatores que interferem no processo

de ensino-aprendizagem, não há receitas infalíveis para determinar situações que

ocorrem no cotidiano de uma sala de aula. Acreditamos que deva haver uma

interação entre a História e as ações a serem realizadas, favorecendo o surgimento

de novos rumos a um saber cada vez mais científico.

Nossa preocupação é essencialmente pedagógica, por isso recorremos a

História com uma finalidade que está diretamente direcionada para a prática

pedagógica. Uma preocupação foi a de criar situações que possibilitassem emergir

discussões para a aprendizagem do conceito de Logaritmos. Convém informar que

os problemas apresentados durante as atividades não são obrigatoriamente os

mesmos encontrados na História da Matemática, e sim uma recriação dos mesmos

ou a criação de problemas baseados na historia e na construção do conceito.

Outra preocupação foi buscar procedimentos diferentes daqueles que

atualmente possuem uma certa hegemonia no ensino de Matemática, utilizando a

História para a promoção de uma aprendizagem significativa, que segundo Morreto

(2004, p.17) é definida, Quando o ensino proporciona desenvolvimento de

habilidades e a aquisição de conhecimento, que conduzem às competências

almejadas não nos esquecendo de que há uma rede de significados, que envolve

as idéias matemáticas.

O ensino das ciências, aparentemente inquestionável, está sendo analisado

nas suas metodologias e essência, o ensino da matemática, em particular o

conteúdo de Logaritmo, não poderia ficar alheio a esse processo, que busca romper

com uma visão autoritária, meramente transmissora de informações, para uma

relação democrática e construtora de representações. Acreditamos que a História

seria um dos caminhos que nos auxiliaria nessa democratização.

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A História como Ferramenta de Ensino

É nossa intenção utilizar a História segundo a utilização dada por Jones

(1969, p. 1-17) em seu artigo A história da matemática como ferramenta de ensino .

Segundo esse autor, o uso da história estaria como uma associação entre o

conhecimento atualizado de matemática e suas aplicações, o que levaria o estudante

a perceber a matemática como sendo uma criação humana, buscando razões pelas

quais é feita a matemática, assim como as conexões que existem entre a matemática

e as outras ciências ou conhecimentos.

Enfatizamos em nosso estudo histórico sobre os logaritmos, as necessidades

práticas, sociais, que freqüentemente servem de estímulo ao desenvolvimento de

idéias matemáticas, assim como a percepção por parte do aluno da natureza e do

papel desempenhado pela abstração e generalização na história do pensamento

matemático. Jones em seu artigo (apud MIGUEL, 1993, p.76), acredita que a

utilização adequada da história, desde que associada a um conhecimento atualizado

de matemática, poderia trazer ao estudante a percepção de que:

a) A matemática é uma ciência feita por homens;

b) De que podemos entender as razões pelas quais é feita a matemática;

c) Das conexões entre a matemática e as outras ciências;

d) De que os estímulos para as idéias matemáticas provêm de necessidades

práticas, sociais, econômicas;

e) De que a curiosidade pode levar a generalização e a extensão de idéias e

teorias;

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f) De que as percepções com relação aos objetos matemáticos mudam e se

desenvolvem ao longo do tempo;

Miguel (1993, p. 77), em sua análise sobre o artigo de Jones (1969) assim

se expressa é na possibilidade de desenvolvimento de um ensino de matemática

baseado na compreensão e na simplificação que ele acredita realizar-se a função

pedagógica fundamental da história .

Jones (1969) acredita na existência de três categorias de porquês que devem

ser levadas em consideração por todos que se propõem a ensinar matemática:

1) Os porquês cronológicos que são as razões de natureza histórica, cultural,

casual ou outro tipo de base aceitável.

2) Os porquês lógicos que são aplicações baseadas no desejo de

compatibilizar entre si duas ou mais afirmações, não necessariamente

compatíveis.

3) os porquês pedagógicos que conforme Miguel (1993, p. 78), são aqueles

que não se incluem em quaisquer das categorias citadas anteriormente.

Seriam os procedimentos operacionais que geralmente são utilizados pelo

professor em sala de aula e que se justificariam mais por razões de ordem

pedagógica do que históricos. Seriam questionamentos feitos pelo professor

do tipo: por que você ensina o logaritmo, utilizando os exponenciais e não as

progressões aritméticas ou geométricas? As respostas poderiam ter algumas

justificativas do tipo: é mais fácil! ou é dessa forma que se encontra nos livros

didáticos! A questão tempo entre outros é fundamental.

Para Jones (1969, p. 1-17), a história não só pode como deve ser o fio

condutor que amarraria as explicações que poderiam ser dadas aos porquês .

Segundo Miguel (1993, p. 86), Jones acredita ser na defesa dessa possibilidade que

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se revelaria o poder da história para o ensino aprendizagem da matemática baseado

na compreensão e na significação. Por exemplo, quando surgiu a primeira descrição

dos logaritmos, era pura e simplesmente uma tabela útil para simplificar grandes e

trabalhosos cálculos, como veremos no capítulo 2, sobre a história dos logaritmos.

Foram necessários muitos anos para que os matemáticos transformassem esta

tabela numa idéia muito mais complexa e usada atualmente em vários ramos das

ciências, e foi apenas com o estudo histórico, que tivemos a oportunidade de

observar que esse conteúdo era trabalhado por Napier de maneira totalmente

diferente dos dias atuais, pois privilegiou o estudo dos logaritmos sob uma ótica

geométrica, que será apresentada no segundo capítulo de nosso trabalho sobre a

história dos logaritmos.

Essa idéia não é passada aos nossos alunos, encoberta, desfigurada por

infindáveis equações e inequações, dos mais diversos tipos e que servem apenas

para ocultar, a nosso ver, as idéias fundamentais do conceito de logaritmo que são a

transformação da multiplicação em adição e a divisão em subtração. Sabemos ser

útil que o aluno aprenda a resolver equações, sistemas e inequações envolvendo

logaritmos, pois auxiliam na compreensão atual das propriedades. Mas por que não

usarmos a história para facilitar a construção deste conceito e destas propriedades?

Embora nosso trabalho tenha como objetivo usar a história como essência ,

ele também é pedagógico, uma vez que sua finalidade é investigar como podemos

utilizar pedagogicamente as idéias que deram origem aos logaritmos no contexto

pedagógico, o que será exposto no capítulo 4 que discorrerá sobre as atividades

realizadas durante nossa pesquisa. Acreditamos ser dessa forma que a história da

matemática participa como ferramenta que auxiliará o professor no ensino com

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significado e compreensão, auxiliando na construção do conhecimento matemático,

o que pode levar à compreensão da matemática como uma ciência dinâmica.

Dissensos sobre a utilização da História

Sabemos que a utilização pedagógica da história não é consensual entre os

matemáticos e educadores matemáticos. Miguel (1993), faz algumas considerações

e reflexões sobre essa não consensualidade, analisando o posicionamento dentre

outros de: André Lichnerowicz , Edwin E. Moise; Grattan-Guinnes.

Linchnerowicz (apud MIGUEL, 1993) acredita que um dos objetivos ou

necessidades é a iniciação científica contemporânea, pois observa uma defasagem

entre a matemática ensinada na escola ( 1º ciclo, 2º ciclo, 3º ciclo, 4º ciclo e Ensino

Médio) e aquela ensinada nas universidades.

[...] segundo Linchnerowicz, de um choque de concepções uma vez que oensino pré-universitário da matemática é tributário da concepção dematemática precedente dos gregos, enquanto que na Universidade, amatemática é ensinada por intermédio de uma concepção não clássicadesenvolvida nos últimos 100 anos através de trabalhos revolucionários(apud MIGUEL, 1993, p. 86).

O problema só poderia ser resolvido com o rompimento de um ensino

tradicional, atrelado à história, para com isso chegarmos à transmissão de uma

concepção contemporânea dos conhecimentos que se pretendem ensinar (cf.

MIGUEL, 1993, p.86).

Lichnerowicz (apud MIGUEL, 1993, p. 87), concebe o histórico como não

contemporâneo epistemológico supérfluo, como podemos observar na citação

abaixo:

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A dificuldade essencial, o obstáculo fundamental para um ensino de tipohistórico reside no fato de que é uma característica da matemática repensarintegralmente seus próprios conteúdos, e nisso reside inclusive umacondição essencial de seu progresso. Não pode dar-se, segundo creio, deuma vez para sempre, uma concepção suficiente da aritmética elementar ouda geometria elementar, uma concepção que bastaria afinar-se com asexperiências da psicologia humana. Ao contrário, devido à unidade damatemática, o esclarecimento das noções primeiras e dos teoremasexperimenta notáveis modificações. O que antes era quase o ponto departida de um caminho de investigação, converte-se agora, à luz de umaóptica nova, em um simples exercício, e vice-versa.

Para Lichnerowicz, a crença na unidade da matemática associada a uma

crença de ser a matemática uma ciência de superioridade epistemológica destroem

qualquer pretensão pedagógica de recorrer à história. Esse pensamento é apoiado

por Edwin E. Moise, na década de 60. O mesmo justifica sua opção, na crença de

que algumas partes matemáticas, que foram desenvolvidas no passado, já não

existem, pelo menos no que diz respeito ao estilo, se compararmos a forma com que

foram desenvolvidas em seus primórdios e a forma com que são apresentadas no

presente.

Frazon (2004, p.17), analisando a afirmação anterior conclui que o ensino da

Matemática nos níveis Fundamental e Médio de concepções contemporâneas com a

forma atual e acabada priva o aluno de um estudo quanto à origem e modificações

que tais conteúdos possam ter passado. Sobre esse fato Caraça (1978, p.13) afirma

que:

A ciência pode ser encarada sob dois aspectos diferentes. Ou se olha paraela tal como exposta nos livros de ensino, como coisa criada, e o aspecto éo de um todo harmonioso, onde os capítulos se encadeiam em ordem, semcontradições. Ou se procura acompanhá-la no seu desenvolvimentoprogressivo, assistir à maneira como foi sendo elaborada, e o aspecto étotalmente diferente - descobrem-se hesitações, dúvidas, contradições, quesó um longo trabalho de reflexão e apuramento consegue eliminar, para quelogo surjam hesitações, outras dúvidas, outras condições.

Concordamos com Miguel (1993), quando afirma que os argumentos

apresentados por Lichnerowicz, parecem se fundamentar nas idéias de Hermam

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Hankel, matemático alemão do século XIV, segundo o qual, ao contrário das outras

ciências, na matemática as teorias são reelaboradas não derrubadas, construindo-se

assim um novo discurso para antigas estruturas.

Esta concepção pode ser aceita, pois os núcleos temáticos sofrem sucessivas

transformações, tornando-se cada vez mais genéricos, mais abstratos e por que não

dizer, mais rigorosos.

Entretanto podemos adotar uma atitude pedagógica oposta a essa,

levantando as possibilidades de trabalhar de forma compreensiva e significativa

nessas abordagens didáticas contemporâneas; a história dará então oportunidades

para que não só professores e pesquisadores em educação matemática, mas

também aos alunos que terão a oportunidade de reinterpretar algo que ainda não

interpretaram em primeira instância.

...como podem os aprendizes da atualidade legitimar significativamente oestilo contemporâneo se o confrontaram com os diferentes estilos que oprecederam e nem apreenderam o núcleo fundamental daquilo quepermanece e ao qual esses diferentes estilos se aplicam em última instância(MIGUEL, 1993, p. 92).

Grattan-Guiness (apud Miguel, 1993, p. 94) argumenta sobre as dificuldades

em encontrar literatura disponível e adequada para o uso pedagógico da história da

matemática pelo menos a anterior aos dois últimos séculos. Pensamento este que é

reforçado pela constatação de ser a literatura disponível imprópria ao uso didático,

pois destacam os resultados, sem darem importância à forma de sua produção.

Em seus estudos, Miguel (1993, p. 95) acredita ser possível encarar essas

dificuldades como um estímulo para continuar as investigações nesse sentido, isso

tendo em vista não ser este um problema somente de historiadores matemáticos.

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Outra dificuldade apresentada por Guinness, refere-se ao uso do elemento

histórico que pode ter um efeito contrário, qual seja, em vez de tornar o ensino mais

fácil , o torna-lo-ia mais dispendioso.

O terceiro obstáculo levantado por Grattan-Guinnes é de que a história da

matemática deve ser somente abordada na Universidade, nos outros níveis se

utilizaria de História satírica definida por Guinnes como sendo a história

cronológica descontextualizada de um tema, pois, para ele, justificando esse fato de

as crianças não percebem nenhum sentido no progresso histórico.

Para Miguel, (1993, p.97) se fizermos uso de História satírica desligaríamos a

matemática do seu contexto produtivo, dando ênfase pedagógica às idéias, aos

processos e métodos matemáticos; pois para o mesmo, no campo da educação

histórica, faz-se necessário entender a História como uma representação da

compreensão do passado histórico e não construída de fatos isolados.

A Utilização da História e os PCN

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais, para o Ensino Médio

proposto pelo Ministério da Educação de 1999, a matemática deve ser ensinada

abrangendo aspectos formativos (desenvolvimento de pensamentos e aquisição de

atitudes), instrumental (conjunto de técnicas e estratégias para serem aplicadas a

outras áreas do conhecimento), científico (deve ser vista como um sistema

axiomático que possibilita validar intuições e da sentido a técnicas aplicadas).

Contudo, segundo esse documento, a matemática no Ensino Médio não

possui apenas caráter formativo ou instrumental mas também deve ser vista como

uma ciência, com suas características estruturais específicas. É importante que o

22

aluno perceba que definições, demonstrações encadeamentos conceituais e lógicos

têm a função de construir novos conceitos e estruturas a partir de outros, servindo

para validar intuições e dar sentido às técnicas aplicadas.

No Ensino Fundamental, os alunos devem ter tido uma aproximação de vários

campos de conhecimento matemático e que agora esses alunos estariam em

condições de utilizá-los e ampliá-los, desenvolvendo sua capacidade de abstrair,

raciocinar resolvendo problemas, investigando e analisando fatos matemáticos, por

fim, interpretando a própria realidade.

A História pode ser um recurso para conseguir o objetivo de formação acima

citado, pois seria uma saída para retirar o aluno da condição passiva. Mesmo com

algumas dificuldades, sua utilização pode tornar a aprendizagem significativa,

mobilizando o aluno e estabelecendo entre ele e o objeto de conhecimento uma

relação de reciprocidade (Cf. BRASIL, 1999, p.252 270).

A nosso ver, uma das formas significativas de se dominar a Matemática

seria retomando a sua criação, seus problemas e as suas soluções e isso somente

seria possível através da História.

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Nossa opção: atividades que utilizam, em sua elaboração, a história da

matemática

Concordamos com Mendes (2001, p. 69) quando afirma que para o ensino da

matemática ocorrer, é necessária uma interação entre o aluno, o objeto de

conhecimento e o professor, pois dessa forma teríamos a socialização do

conhecimento, o que acreditamos ser o caminho para a internalização do

conhecimento pelo individuo. O autor afirma que a escola que orientada dessa

forma, pode tomar como base cognitiva todas as experiências prévias dos alunos;

assim como os saberes da tradição da sociedade, pois seria na escola que esses

saberes se tornariam universais, estabelecendo uma reorganização cognitiva o que

caracterizaria o processo de interação do conhecimento numa perspectiva

construtivista.

Mendes (2001, p. 70) mostra, através do esquema abaixo, que o caminho da

construção do conhecimento dá oportunidade ao aluno para o estabelecimento de

diálogo tanto com o professor, quanto com seu objeto de conhecimento,

estabelecendo uma reflexão contínua sobre o ensino dado pelo professor e as suas

experiências.

Conhecimento Aluno

Professor

Para que o ensino da matemática possa alcançar esse objetivo, a orientação do

professor é fundamental para o desenvolvimento da investigação como princípio da

aprendizagem matemática, o mesmo deve perceber a necessidade da inserção em

suas aulas de uma dinâmica de investigação, a qual deve ser vista como princípio

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que norteará o processo educativo, ou seja, como o fator formativo dos alunos.

(cf. MENDES, 2001, p. 71).

Esse processo educativo deve basear-se no uso de atividades construtivistas

que definimos conforme Mendes (2001, p. 72), como os encaminhamentos didáticos

dado ao processo construtivista de ensino-aprendizagem, provocando a criatividade

e o espírito desafiador do aluno para construir suas idéias sobre o que pretende

aprender . O conhecimento histórico, acreditamos, pode contribuir para que os

alunos reflitam, formalizem leis matemáticas a partir de certas propriedades e

artifícios usados hoje, mas que foram construídos no passado, o que poderá dar ao

aluno a oportunidade de compreender mais amplamente essas propriedades.

A história da matemática atuaria como um elemento de motivação e geração

de habilidades matemáticas, cuja apresentação traria o esclarecimento de porquês ,

matemáticos que comumente são questionados pelos alunos em quase todos os

níveis de ensino. Buscam-se com a história da matemática, os fatos e problemas

que de uma forma ou outra provocaram, discussões ou estudos; assim como o

empenho de indivíduos para que ocorresse uma organização sistemática desses

estudos.

As atividades propostas, em nossa pesquisa, procuram apresentar uma

seqüência de atividades que possam desencadear questionamentos e descobertas

por parte dos alunos. Procuramos resgatar o processo histórico de construção do

conceito de logaritmos, com o objetivo de que o aluno tivesse a oportunidade de

compreender o significado matemático dessas idéias.

Assim sendo, elaboramos uma seqüência didática objetivando:

• a ampliação do conceito de logaritmos através da historia da matemática;

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• o estabelecimento da relação entre o logaritmo e as progressões aritméticas e

geométricas;

• a realização de comparações entre as características dos logaritmos de

bases diferentes; assim como o entendimento das condições de existência.

• o estabelecimento de correspondências entre as progressões;

• o trabalho com a linguagem matemática.

No capítulo 2, realizamos um estudo histórico sobre os logaritmos e sua

descoberta, assim como um estudo histórico sobre a ligação entre matemática e

música.

No Capítulo 3, discorremos sobre nossa proposta para introduzir o conceito

de logaritmo (metodologia), fazendo uma descrição de nossos sujeitos; do material;

das aulas, a seqüência de atividades realizadas. bem como, sugerimos atividades,

ligando logaritmo à música.

No Capítulo 4, realizamos a análise de nossas atividades através das falas

dos alunos. Por fim, no capítulo 5, apresentamos as considerações finais de nossa

pesquisa.

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2 ESTUDO HISTÓRICO DOS LOGARITMOS

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2.1 Um Breve estudo sobre as Regras de Prostaférese

No fim do século XVI, o desenvolvimento da Astronomia, da navegação e das

tábuas de juros, exigia longos e laboriosos cálculos aritméticos. Um auxílio a esses

cálculos, obtido ainda nessa época, foi a invenção das frações decimais, embora

ainda não fossem suficientemente difundidas. Mesmo assim, achar um método que

permitisse efetuar com presteza multiplicações, divisões, potenciação e extração de

raízes era um problema fundamental.

Segundo Hogbem (1970, p.484), as tarefas, provocadas pela expansão

comercial e pelos melhoramentos técnicos da arte de navegar (séc. XV), obrigaram

a criação de algorismos mais compactos . Desse modo se economizaria muito

trabalho, se pudessem reduzir, por exemplo, uma multiplicação a uma simples

adição, pois o algoritmo da adição é muito mais simples que o da multiplicação.

O final do século XVI, segundo Boyer (1974, p.222-227), foi um período onde

muitos estudos, sobre a trigonometria estavam sendo realizados em todas as partes

da Europa. Entre esses estudos, havia um grupo de fórmulas conhecidas como

regras de prostaférese , eram fórmulas que transformavam um produto de funções

numa soma ou diferença (daí o nome prosthaphaeresis, palavra grega que significa

adição e subtração). Eram também conhecidas como fórmulas de Werner. As

fórmulas são:

)cos()cos(2)()(cos2)()(cos2)cos()cos(coscos2

BABAsenAsenBBAsenBAsenAsenBBAsenBAsenBsenABABABA

+−−=−−+=−++=−++=

Na segunda metade do século XVI, a Dinamarca tornou-se um centro

cultural, que se preocupava com os problemas relacionados com a navegação.

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Dois matemáticos dinamarqueses Wittich (1584) e Clavius (1593), este

ùltimo com a obra, O Astrolábio (1593), sugeriram o uso desse método para

abreviar os cálculos. Como pode-se observar abaixo:

( I ) sen ( A + B ) = sen A . cos B + sen B . cos

( II ) sen ( A B ) = sen A . cos B sen B . cos A

Somando-se as duas expressões:

sen ( A + B ) + sen ( A B ) = 2 sen A . cos B

ou

sen A . cos B = 1/2 sen ( A + B) + 1/2 sen ( A B ) =

1/2 [ sen ( A + B ) + sen ( A B) ]

Por exemplo, utilizando o método acima para efetuar o produto entre 0,17365

x 0,9927 temos:

Consultando a tabela Trigonométrica:

sen 10o = 0,17365

cos 8o = 0,99027

A fórmula afirma que:

sen 10o . cos 8o = 1/2 ( sen 18o + sen 2o )

As tábuas informam que:

sen 18o = 0,30902

sen 2o = 0,03490

sen 18o + sen 2o = 0, 34392

1/2 . ( sen 18o + sen 2o ) = 0,17196

Assim, sem cometer erro superior a um décimo de milésimo, podemos

escrever:

0,17365 x 0,99027 = 0,17196.

29

Uma das desvantagens desse método trigonométrico é a dificuldade em aplicá-

lo para produtos de mais de três fatores, sem falar na sua inutilidade para cálculo de

potências e raízes.

2.2 A Descoberta dos Logaritmos

Jost Bürgi (1552 1632), suíço, fabricante de instrumentos para astronomia,

matemático e inventor, e John Napier (1550 1617), um nobre escocês, teólogo

matemático e inventor, publicaram as primeiras tábuas de logaritmos. A palavra

Logarithmos é composta de duas palavras gregas, Lógos (ou razão) e Arithmós (ou

número).

Segundo Lima (1999, p.1), A influência de Napier no desenvolvimento dos

Logaritmos foi muito maior que a de Bürgi, devido a suas publicações e seu

relacionamento com professores universitários .

Existem evidências de que os trabalhos de Bürgi acerca dos Logaritmos já

estivessem em andamento desde 1588, mas a publicação dos mesmos somente

ocorreu em 1620, num livro editado em Praga, sob o título: Tábuas de

Progressões Aritméticas e Geométricas” O título da obra de Bürgi aponta para a

conexão que ele teria estabelecido entre as progressões e os logaritmos e foi

provavelmente inspirado no método de Prostaférese na simplificação de cálculos.

Essa conexão também está presente nos trabalhos de Napier (cf. MIORIM; MIGUEL,

2002, p. 47), mas Boécio (séc. IV) em seus tratados sobre a música já utilizava as

relações entre PA e PG e sob a ótica atual, podemos afirmar que ali já estavam os

primeiros rudimentos dos logaritmos. Outro matemático que esteve envolvido na

30

invenção dos logaritmos foi Briggs. Lê-se, na edição de 1631 da Aritmética

Logarítmica de Briggs (apud HOGBEN, 1970, p. 485):

Logaritmo São Números Inventados Para Possibilitar A Solução MaisRápida Dos Problemas Aritméticos E Geométricos [...] Por Seu IntermédioEvitam-Se Multiplicações E Divisões Trabalhosas, E Efetuam-Se Todos OsCálculos Por Adição, Ao Invés De Multiplicação E Subtração Ao Invés DeDivisão. Também A Curiosa E Trabalhosa Extração De Raízes É EfetuadaCom Grande Facilidade [...] Em Suma, Todos Os Problemas, Não Só DeAritmética E Geometria, Mas Também De Astronomia, São Resolvidos ComMais Simplicidade E Facilidade ...

Napier estava particularmente interessado em estudos relacionados à

simplificação de cálculos. Durante vinte anos ele teria se dedicado a trabalhos sobre

este assunto, antes da publicação de suas obras dedicadas aos Logaritmos. Nesse

período (séc. XVI), Napier pensava em seqüências de potências, que vez por outra

eram publicadas, como na Arithmetica integra de Stifel. Em tais seqüências, as

diferenças dos índices correspondiam a produtos e quocientes das próprias

potências; mas Napier observou que seqüências de potências inteiras de uma base,

como o 2, não podiam ser usadas para as computações, pois se tornariam

imprecisas.

Enquanto Napier refletia sobre este assunto, um médico, Dr. John Craig, que

numa de suas viagens havia conversado com Tycho Brahe, trouxe-lhe a informação

sobre o método de prostaférese, que era muito utilizado na Astronomia. Essa

informação encorajou Napier a publicar seu primeiro livro em 1614, intitulado Uma

Descrição da Maravilhosa regra dos Logaritmos

Em sua capa, segundo Miorim e Miguel (2002, p.48-49), aparece a

explicitação do contexto de uso dos Logaritmos, e de seu uso em uma ou outra

trigonometria, bem como em todo cálculo matemático, com uma explicação mais

ampla, mais fácil e mais livre de complicações . Essa explicitação se justifica, uma

31

vez que essa obra continha uma parte sobre trigonometria esférica, o que nos revela

o fato de que um dos propósitos de Napier estava associado às preocupações

presentes, naquele momento histórico, no que diz respeito à simplificação de

cálculos necessários à astronomia.

Conforme já foi dito anteriormente, Napier se propôs a inventar algum artifício

que facilitasse os cálculos imensos que eram feitos para construir as tábuas

trigonométricas para a Navegação e Astronomia, conseguiu atingir seu objetivo

abreviando as operações de multiplicação e divisão com a utilização dos Logaritmos.

Sua concepção de Logarithmos era baseada em uma comparação entre dois

pontos em movimento, um dos quais gera uma progressão aritmética e o outro, uma

geométrica.

Vamos utilizar um exemplo desta relação antes de analisarmos como Napier

a elaborou. Sejam as duas progressões:

Aritmética: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ...

Geométrica: 1 2 4 8 16 32 64 128 256 ...

Entre essas duas progressões, há uma relação, se consideramos os termos

da progressão aritmética como expoentes (potências) de 2, os termos

correspondentes na progressão geométrica representam a quantidade resultante da

operação indicada. Assim, 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32 e assim

sucessivamente, além disso, para determinar o valor do produto 22 X 23 , basta

somar os expoentes, obtendo 22+3 = 25 , que é o produto procurado. Utilizando

32

nossa notação atual, podemos escrever que rnaqb nc ).1(log 1

11 −+=− , como 11 =b e

01 =a , temos que rnqb nc ).1(log 1

1 −=− . Denominando kn =−1 , teremos rkqkc .log = .

Chamando-se 2 de base, cada termo da progressão aritmética é o logaritmo

do termo correspondente na progressão geométrica.

Napier explicou esta noção geometricamente da seguinte maneira: um ponto

S move-se ao longo de uma linha reta, AB, com uma velocidade, em cada ponto

S1B. Outro ponto R move-se ao longo de uma linha sem fim, CD, com uma

velocidade uniforme, igual à velocidade inicial de S. Se os dois pontos partem de A e

C ao mesmo tempo, o logaritmo do número medido pela distância S1B é medido

pela distância CR1.

(Interpretação Dinâmica dos Logaritmos)

Por este método, à proporção que S1B diminui, seu logaritmo CR1. aumenta.

(cf. KASNER; NEWMAN, 1968 apud MIORIM; MIGUEL, 2002 p.50)

Em sua definição, imaginou uma situação na qual dois pontos móveis P e P ,

a partir dos pontos A e A , iniciaram simultaneamente seus movimentos ao longo de

duas trajetórias retilíneas AB e A , respectivamente, como um segmento de reta

fixo igual a 107 (medida do raio de uma circunferência e ao longo do qual eram

determinados outros segmentos menores representativos dos senos de certos

ângulos que seriam multiplicados por 107) e uma semi reta (ao longo da qual eram

S1 B

R1 D

33

fornecidos os logaritmos dos senos desses ângulos). (cf. MIORIM; MIGUEL, 2002, p.

50).

Napier estabeleceu que esses pontos móveis não se deslocavam com

velocidade iguais; a velocidade P, varia, em cada momento, numericamente igual à

sua distância ao ponto B. A variação da velocidade de P se dava por um coeficiente

constante igual a (1-107) em cada intervalo de tempo t∆ , escolhido

convenientemente. P’ se deslocava com velocidade constante e numericamente

igual à distância AB, isto é, a 107. Com essas condições, Napier definia para cada

instante desse movimento coordenado, o logaritmo de cada um dos segmentos PiB

como sendo, respectivamente, cada uma das distâncias A Pi. (MIORIM; MIGUEL,

2002, p.51).

Representando essa situação num quadro elaborada por Miorim e Miguel

teríamos:

Tempo i PiB

T0= 0 0 107

T1=10-7 1 107.(1-10-7)2

T2= 2.10-7 2 107.(1-10-7)3

Napier não tinha o conceito de base de um sistema de logaritmos, pois sua

definição era diferente da nossa, já que no caso da PG não se iniciava com 1. Para

demonstrar isso os autores supõem (p.61), por absurdo que b é essa tal base:

)10/11.(10)10/11(102)10/11(10log

)10/11(10110/11(10log

10010log

7272772277

77177

707

−==−=→=−

−==→=−

=→=

bbNbbN

bN

b

b

b

34

Mas se modificarmos o sistema original de Napier, esse problema pode ser

contornado. Essa modificação seria dividir os termos da PA e da PG desse sistema

por 107.

PG = 710 )10/11(10 77 − 277 )10/11(10 − 377 )10/1/1(10 ...

PA = 0 710/1 710/2 710/3 ...

Nesse novo sistema teríamos:

000.000.1070000002,0/27

0000001,0/1770000001,077

0

)10/11()10/11(

)10/11()10/11(10/1)10/11(log101log

−=→−=→

−=→−=→=−

=→=

bb

bbb

b

b

O novo sistema de logaritmos, obtido a partir de uma modificação, passa a ter

uma base única e definida 000.000.107 )10/11( − . Esse número é o inverso do número

...7182818,2=e tido como a base dos logaritmos naturais ou limite fundamental (Cf.

MIORIM e MIGUEL 2002).

2.3 Uma Demonstração do Número e

O número e só pode ser expresso , com precisão, como o limite de uma série

infinita e convergente ou de uma fração contínua, conforme a demonstração abaixo:

Chama-se assim ox

xx11lim

+∞→

1) )(xf = ⟨x11+ ⟩ x é definida C = ]0,1[R

= ⟨x

x 1+ X⟩

2) +∞ é ponto de acumulação: significa que C não é limitado superiormente, pois

por definição: +∞ é ponto de acumulação de conjunto limitado superiormente.

35

3) Se fizermos uma restrição C para N. provaremos que:

)(ng = n

n⟩+⟨

11 ( é a restrição de )(xf a N).

Aplicando o Binômio de Newton na função temos:

1) Termo 11.)1.(100 =⟩⟨= on

nta

2) Termo 11.)1.(!1

1111 =⟩⟨= −

nnta n

Termon

nnn

nnta n 1!2

)1.(1.1.!2

)1.( 2222

−=⟩⟨

−= − ⟩−⟨=

−=

nnn 11.

!211.

!21

Último: nn

n nnt 11.)1.(1 0

1 =⟩⟨=−

Então: ⟨ nnni

nnnn1...11...21.11

!3111

!211111 +⟩

−−⟨+⟩−⟨⟩−⟨+⟩−⟨++=⟩+

Podemos escrever que:

)(ng =n11 +⟨ ⟩ = ∑

=

n

iai

0 onde:

ia = 1 quando i = 0

ia = ⟩−

−⟨⟩−⟨n

ini

11...11!

1

3) Cada →Nia : R

!1i

ain =→n11−⟨

n21. −⟨⟩

ni 11... −

−⟨⟩ )(nai=⟩

1)( =→ nan i

⟩−

⟨=⟩−⟨=→n

nn

nan 12111.

21).(2

Então:

36

Como )(ng = ∑=

n

oiai e ai são crescentes (soma de funções crescentes)

Quando n cresce o número de termos )(ng e também cada termo de ai

também aumentam.

4) → Supremo:!

1i

ai = pois ⟩−

−⟨⟩−⟨⟩−⟨=n

inn

ai 11...21.11.!2

1

⟩−

−⟨⟩−⟨⟩−⟨≥n

innii

11...21.11!1

!1

Ex: 121

!21

−≤ i

P/ 210 ≤→=i

P/ ...21

21

21

!212 1 ≤≤→= poisi

P/ 221

!313 ≤→=i

5) Por indução:

P/ 0=i é válido.

P/ 121

!1

−≤⇒= kkki

Para 1+= ki temos: kk 21

11

≤+

Então:

=)(ng ni aaaaaa ......3210 ++++++

)(ng nnni

nnn1...11...21.11

!3111

!2111 +⟩

−−⟨+⟩−⟨⟩−⟨+⟩−⟨++=

Obs.: Todo elemento da função é menor ou igual ao seu supremo.

)(ng!

1...!

1...!3

1!2

111ni

+++++≤

37

)(ng 112 21...

21...

2111 −− +++++≤ ni

6) Soma dos termos de uma PG de2111 =⇒= qa

nS = (11

)1(=

−−

qqai

n

)211.(2

121

)121(

121

)121(

n

nn

−=−

−=

−

−

= 32

132

132

1212221

21121 111 <−=−=−+=−+=⟩−⟨+− −−− nnnnn

Mas: g é crescente e )1(g = 3)(22 <≤⇒ ng

Então: )(ng é limitado em N

∞+ é o único ponto de acumulação.

)(ng é convergente para n tendendo a ∞+

Então:

n

nx⟩+⟨

∞→∃

11lime este limite está entre 2 e 3. Este limite indicamos

pela e e é chamado de base dos logaritmos neperianos ou naturais; seu valor

aproximado é ...71828,2=e

7) Calcularemos que en

n =⟩+⟨11lim

Função maior inteiro:

)(xf kx == ][ )1[ ++∈ kkx

Ex: 0)()1,0[ =⇒∈ xfx

1)()0,1[ =⇒∈ xfx

Obs.: Se f(x) é monotônica nas vizinhanças de ∞+ e for não limitada

superiormente então têm-se ∞=)(lim xf

38

Tomando ][xt pela observação acima: ∞=tlim

Ntx ∈⇒+∞∈ [,1[

ntnnx =⇒+∈ [1,[

11111,+

>≥⇒+<≤∀nxn

nxnx

11

11111+

+>+≥+

nxn11111

11

+<+≤++

⇒nxn

111111

11 +⟩+⟨<⟩+⟨<⟩+

+⟨⇒ nxn

nxn

Pelo teorema do confronto exx

x =⟩+⟨∞→

11lim teremos uma idéia sobre o

valor de e , atribuindo valores naturais não-nulos à variável n da série:

n

n⟩+⟨

11

21111 1 =⟩+⟨⇒=n

25,22112 2 =⟩+⟨⇒=n

370370369,24113 3 =⟩+⟨⇒=n

44140625,2411(4 4 =⟩+⇒=n

.

.

.

59374246,2101110 10 =⟩+⟨⇒=n

704813829,2100

11100 100 =⟩+⟨⇒=n

39

716923932,21000

111000 1000 =⟩+⟨⇒=n

718280469,2000.1000

11000.1000 000.1000 =⟩+⟨⇒=n

Se continuarmos, teremos infinitos valores que se aproximam de e .

Atualmente, o ensino de Logaritmo não está utilizando a relação deste com

progressões, mas considera-se ,a ,b c sendo três números ligados pela equação

ba = c , então ,b expoente de ,a é o Logaritmo na base a de c . Então, o Logaritmo

base n⟩ de um número é a potência a que a deve ser elevado para obter esse

número. Abaixo tem-se as propriedades essenciais dos logaritmos:

(1) alog ( b x c ) = alog b + alog c

(2) alogcb = alog b - alog c

(3) alog b c = c x alog b

(4) alog b =c1

alog b

Vamos compará-las com as que surgem da relação de uma PA e PG,

conforme já expusemos.

Sejam as seqüências aritméticas e geométricas (no que diz respeito às

propriedades dos logaritmos) que serão descritas abaixo: (cf. MIORIM e MIGUEL,

2002, p.55 - 55).

PA : 0 1 2 3 4 5 6 7 ...

PG : 1 3 9 27 81 243 729 2187 ...

• A soma de uma PA corresponde a produtos numa PG. Pois a adição de dois

termos quaisquer da PA (exemplo: 2 e 5), produz um número (no caso 7) que ocupa

uma determinada posição na PA (a 8ª posição); esta mesma posição na PG é

40

ocupada por um número (2187) que é o produto dos dois termos da PG. (9 e 243)

correspondentes aos números da PA que foram adicionados.

• A diferença na PA corresponde a quocientes na PG, pois se efetuarmos a

subtração entre dois termos de uma PA (exemplo 7 e 4), produz um número(no

caso), que ocupa uma determinada posição (a 4 posição), esta mesma posição na

PG é ocupada por um número (27) que é o quociente dos dois termos da PG (2187

e 81) correspondentes aos números da PA que foram subtraídos.

• O resultado das potencias de uma base (um termo qualquer da PG) elevada ao

expoente igual à razão da PG. (por exemplo: 9) é encontrado da seguinte forma:

multiplicar o termo da PA a ela correspondente (no caso o 2) pelo expoente (no caso

o 3); o termo da PA igual ao produto obtido (no caso o 7 termo, o número 6)

corresponde a um termo da PG (no caso 729) que é a potência procurada. Em

resumo as potências de termos da PG são obtidas mediante multiplicações dos

termos a eles correspondentes na PA pela razão da PG.

• As raízes de termos da PG são obtidas mediante divisões dos termos a eles

correspondentes na PA pela razão da PG. Podemos entender essa propriedade da

seguinte forma: Por exemplo, o termo da PG (729) é encontrado da seguinte forma:

dividir o termo da PA a ele correspondente (no caso o 6) pelo índice da raiz (no caso

3), o termo da PA igual ao quociente obtido (no caso o 3 termo, o número 2)

corresponde a um termo da PG (no caso o 9), que é a raiz procurada.

Essa análise das propriedades mostra que a intenção de Napier era construir

uma PA e uma PG particulares, cujas propriedades correlativas pudessem funcionar

como uma máquina de cálculos que viesse realizar multiplicações, divisões,

potenciações e radiciações e as adições e subtrações.

41

Logo após a publicacão dos trabalhos de Napier, grandes tábuas de

logaritmos foram logo construídas na base 10 e na base natural e ou neperiana.

Estas tábuas foram amplamente divulgadas o que fez com que matemáticos de toda

a Europa pudessem usar os Logaritmos pouco tempo após sua invenção.

Kepler (séc. XVI ), tomando conhecimento das tábuas de Napier, auxiliou

seu desenvolvimento; foi assim um dos primeiros da legião de cientistas que veio a

se utilizar dessa descoberta.

A segunda obra de Napier, foi publicada após sua morte em 1619, foi Uma

construção da Maravilhosa regra dos logaritmos”.

Nessas obras, os logaritmos foram concebidos dentro de um quadrosimultaneamente geométrico, cinemático aritmético, funcional etrigonométrico. Geométrico, porque o logaritmo não aparecia como umnúmero puro, mas como a medida de um segmento de reta, cinemático,porque a situação utilizada para descrever tal conceito envolvia acoordenação de dois movimentos aritméticos, porque o mesmo conceito eraexpresso por meio do relacionamento entre duas seqüências de números,uma geométrica e outra aritmética; funcional, porque a situação cinemáticaenvolvia uma grandeza variando em função da outra; e trigonométrico,porque Napier se propôs a determinar, não os logaritmos de segmentos deretas genéricos, mas os logaritmos de segmentos de retas representativosdos senos de certos ângulos. (cf. MIORIM; MIGUEL, 2002, p. 50)

Tal relação entre Logaritmo, Progressão Aritmética e Progressão Geométrica

podia ser encontrada ainda no começo do século XX, como podemos observar pela

definição de Logaritmo de um livro da época: Logaritmos são os termos de uma

Progressão arithmétrica começando por zero, correspondentes aos termos de uma

Progressão Geométrica começando pela unidade (SERRASQUEIRO, 1900, p. 320

apud MIORIM; MIGUEL, 2002).

O princípio fundamental da tábua de Logaritmos de Napier já havia sido

compreendido por Arquimedes, ou seja :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 PA

42

21 22 23 24 25 26 27 28 29 Série geradora

2 4 8 16 32 64 128 256 512 PG

Segundo o princípio de Arquimedes, se quisermos multiplicar dois números

quaisquer da série inferior, adicionamos os números correspondentes da série

superior e procuramos o número correspondente a essa soma na série inferior.

Para efetuar: 256 x 2, basta observar que:

• 256 na segunda linha corresponde a 8 na primeira;

• 2 na segunda linha corresponde a 1 na primeira;

• como 8 + 1 = 9,

• 9 na primeira linha corresponde a 512 na segunda linha.

Assim, 256 x 2 = 512 resultado este que foi encontrado através de uma

simples operação de adição.

Segundo Hogben (1970, p. 489) - O sinal Log, posto à frente de um número

significa: Procure-se na Tábua a potência a que se tem que elevar a para obter este

número . Antilog, posto à frente de um número significa : procure-se na tábua o

valor da base quando elevada a potência representada por este número .

P = am

m = loga P

P = antiloga m

As regras de potenciação, foram enunciadas na Idade Média, por Oresmus,

num livro chamado Algorismus Proportionum”, publicado em 1350. Segundo

Hogben (1970, p.492), foram precisos, mais de mil anos, para que a humanidade

transpusesse o abismo existente entre a regra de Arquimedes e o segundo passo da

evolução das tábuas Logarítmicas .

43

A possibilidade de se construir tábuas de logaritmos utilizando as

propriedades de potências e PA e PG podem ser encontradas em várias obras do

século XVI, de Aritmética Comercial, segundo Hogben (1970, p. 485), Simon Jacob

teria sugerido a organização de várias destas tábuas, e pouco depois da publicação

dos Logaritmos de Napier, Jobst Bürgi, apresentava as suas tábuas de Progressões

Aritméticas e Geométricas . Estas eram em geral idênticas às demonstradas

anteriormente, a diferença era apenas a sua base, qual seja, (b = 1,0001) e

limitavam-se a aperfeiçoar as tábuas de juros compostos de Stevinus. Os dois

números básicos das tábuas modernas não foram utilizados nem por Napier nem por

Bürgi. Isto é os logaritmos de base 10 e e .

A publicação, em 1614 do sistema de logaritmos, teve um grande impacto.

Entre seus muitos admiradores estava Henry Briggs, o primeiro professor de

geometria de Oxford. Ele visitou em 1615, Napier em sua casa na Escócia, e discutiu

modificações no método dos logaritmos. Briggs propôs o uso de potências de dez, e

Napier concordou pois já havia pensado em usar log 1 = 0 e log 10 = 1010, com a

intenção de evitar frações.

Com a morte de Napier, Briggs se incumbiu de construir a primeira tabela de

logaritmos comuns (Briggsianos). Briggs, iniciou exatamente com log 10 = 1. Isso

significa, atualmente, dizer que o logaritmo decimal de uma potência qualquer de 10

era igual ao expoente, ao qual a base estaria elevada, mas como poderíamos

calcular os logaritmos entre 1 e 10?

Para construir a sua tábua com a maior precisão possível, Briggs pensou

esse número como potências de 10, cujos expoentes seriam frações próprias,

(aquelas maiores do que zero e menores do que a unidade) da forma qp , como

pode ser observado abaixo:

44

Nn 10log= nantiN 10log=

000,1 )0,10(0000,10

87875,0 → 8 7104989,7 →

43750,0 → 4 6106234,5 →

85625,0 → 8 4102170,4 →

. .

. .

. .

Foi William Gardiner, no seu livro Tables of Logarithmos , quem forneceu a

primeira exposição sistemática dos Logaritmos concebidos como expoentes. Nessa

obra, o Logaritmo é definido como o índice ou expoente da potência de 10, que é

igual a esse número. Isso ocorreu entre o final do séc. XVII e início do séc. XVIII.

As primeiras tábuas de logaritmos continham imprecisões, periodicamente

denunciadas e corrigidas. Mas esse processo de cálculo era muito dispendioso, o

que incentivou pesquisas para se descobrir maneiras mais simples de se calcular

esses logaritmos. Isso deu um grande impulso ao estudo das séries infinitas.

Os primeiros logaritmos para a base e foram publicados por Speidell (1619),

ou seja, cinco anos após a publicação da primeira obra de Napier sobre logaritmos.

O valor e presta-nos, ainda, inestimável serviço, permitindo-nos obter uma série

ilimitada para representar o seno e o co-seno dos ângulos, simplificando assim a

construção de tábuas trigonométricas precisas e aplicáveis à astronomia, à geodésia

e à navegação.

45

Os dois sistemas de logaritmos nas duas bases, 10 e e (as bases de Briggs e

natural respectivamente), são os principais ainda em uso. no caso da base e ,

convém lembrar que possui certas propriedades singulares de valor nos ramos da

Matemática, particularmente o cálculo, por causa da relação entre funções

logarítmicas e exponencial, é a base natural dos sistemas logarítmicos. Como π , o

número e é transcendental (π é transcendental, porque não é raiz de nenhuma

equação algébrica com coeficientes inteiros. O trabalho de George Cantor com os

infinitos provou que, de todos os números em Matemática, os transcendentes são os

mais comuns). A primeira demonstração de que e é transcendental foi feita pelo

matemático francês Hermite, em 1873, nove anos antes de aparecer a

demonstração de Lindemann do caráter transcendental de π

Nenhuma outra constante matemática é tão utilizada nem mesmo o π , para

a resolução de problemas nas mais diversas áreas de estudo. O valor de e é usado

em Economia, Estatística, na Teoria das Probabilidades, além da função

exponencial.

A ligação entre logaritmos e equação ou função exponencial exigiu, no plano

histórico, muito tempo e esforço para ser estabelecida. No início do séc. XVIII, o

conceito de função estava apenas no início de seu processo de desenvolvimento.

Somente após se perceber que os logaritmos, além de instrumento facilitador de

cálculos aritméticos, podiam expressar analiticamente e quantitativamente

fenômenos naturais envolvendo a variação de duas grandezas interdependentes, é

que essa noção começou a ser vista como uma equação, como uma função e como

uma expressão analítica.

John Wallis (séc. XVII), e Johan Bernoulli (séc. XVII), ressaltaram a

possibilidade de definir o Logaritmo por via estritamente algébrica. Mas essa

46

concepção algébrica de logaritmo não chegou a ser formulada antes do

desenvolvimento de trabalhos sobre aplicações das propriedades dos logaritmos em

várias áreas como Ciências Náuticas, Teoria Atmosférica e Teoria da Música.

Pierre Mongoli ( 1626 1685), um padre, que ocupou a catédra de ensino em

Matemática superior, na Universidade de Bolonha, (vaga esta deixada por Cavalière

após a sua morte), realizava estudos nos mais diferentes campos de conhecimento ,

dentre os quais podemos citar as áreas de : Matemática, Medicina, Filosofia, e

Fisiologia. O interesse pela Fisiologia fez com que elaborasse um projeto, que fazia

uma associação entre Logaritmos e os sons.

Essa associação assim se resumia, segundo Naux ( l971, tomo II, p. 53 apud

MIORIM; MIGUEL, 2002, p. 88) As vibrações sonoras agem sobre o tímpano

externo; os pequenos ossos as transmitem ao tímpano interno; e é desse modo que

ocorre a misteriosa transformação de um material em impressão sonora, a qual

Mongoli resume nessa frase lapidar anima ne astrae il logarithmo , isto é, a alma

absorve os logaritmos . O que mostra Segundo Miorim e Miguel (2002, p. 88), isso

mostra que se falarmos em linguagem atual, os logaritmos estariam conectados com

o número de vibrações por segundo e uma onda sonora. Mas, a relação entre a

matemática e sons é muito mais antiga, tendo se iniciado com estudos pitágoricos.

Como veremos nos próximo tópico.

47

2.4 Das Relações entre Matemática e Música

Desde a Antiguidade, a música fazia parte do programa de artes liberais,

porém, ora a tradição relacionava-a à gramática, ora às matemáticas. Cicero (De

oratore, I, 187 e III, 127 apud BRITO, 1999, p. 107) inseria a música na matemática.

Agostinho (séc. IV) em seu De Ordine (l. 2, XIV E XV, apud BRITO, 1999, p 107),

relacionava explicitamente a gramática e a música.

Segundo Lintz, (2002, p. 93), Arquitas de Tarento, viveu na primeira metade

do século IV a.C. e, portanto foi contemporâneo de Platão. Seus interesses eram

muito amplos e incluíam não só a matemática, como a física, a música, entre outros

saberes. Foi o primeiro a sistematizar o estudo da proporção aritmética, geométrica

e harmônica. Para Arquitas, a fusão entre a música e a matemática é perfeita, como

pode ser observado abaixo:

Há três proporções em música: a aritmética, a geométrica e em terceiro lugar,a contraposta, assim chamada harmônica. A aritmética, quando três termosse manifestam de modo análogo à seguinte diferença: o segundo superatanto o primeiro quanto o terceiro supera o segundo. E, nesta analogia,percebe-se que a relação dos termos maiores é menor e a dos menores émaior. A geométrica, quando o primeiro termo está para o segundo como osegundo para o terceiro. As maiores guardam as mesmas relações que asmenores. A contraposta assim chamada proporção harmônica, quando (ostermos) se comportam da seguinte maneira: quanto da própria grandeza, oprimeiro termo supera o segundo, tanto o médio supera o terceiro. Nestaanalogia, a relação dos termos maiores á maior, a dos menores, menor.(LINTZ, 2002, p. 93).

Assim, como vemos, para Arquitas, a teoria das proporções era parte da

música bem como da geometria, isto é, as relações entre as grandezas geométricas

deveriam estar associadas às relações entre sons (LINTZ, 2002, p. 93).

Para entender melhor essa inter-relação, é preciso analisar uma experiência

que foi fundamental para a consolidação ou, por que não dizer, para a descoberta

48

inicial, que explicitou o relacionamento entre Matemática e Música, experiência esta

atribuída à Pitágoras (séc.v), que teria se utilizado de um monocórdio, um

instrumento composto por uma única corda estendida entre dois cavaletes fixos

sobre uma prancha ou mesa possuindo, ainda, um cavalete móvel colocado sob a

corda para dividi-la em duas seções. Pitágoras teria observado que, pressionando

um ponto situado a ¾ do comprimento em relação à sua extremidade (reduzi-la a ¾

do tamanho original) e tocando a seguir, ouvia-se uma quarta acima do emitido pela

corda inteira. Do mesmo modo se exercida a pressão a 32 do tamanho original da

corda, ouvia-se uma quinta acima e se exercida pressão a ½ obtinha-se a oitava do

som original, ou seja, se considerarmos, por exemplo, uma corda de violão de 60cm

de comprimento, distendida ao máximo e deslocarmos sua posição inicial, a corda

emitirá um som, num determinado tom.

Supondo, que só a metade da corda (30cm) vibre, um novo tom será ouvido,

ou seja, uma oitava harmônica acima da primeira; quando só 32 da corda vibrarem

(40cm), o tom será uma quinta harmônica (quinta nota ascendente) acima do

primeiro tom considerado. A importância desse fato para Pitágoras era que os novos

tons eram relacionados com o original por meio de frações.

Pitágoras notou que os intervalos mais harmoniosos correspondiam aos de

fração simples. Por exemplo, 32 (quinta harmônica) era mais harmônica que 9

8

(segunda harmônica) pois segundo os pitagóricos (OLIVEIRA, [s.d.], p.163) A

harmonia de um tom é expressa pela simplicidade de sua razão . E por esse motivo

razão, os pitágoricos destacavam entre todos os tons a oitava, a quinta e a quarta

( 21 , 3

2 , 43 ) e consideravam-as harmônicas perfeitas .

Embora certamente não tenham sido os pitágoricos, os primeiros a

observarem que a vibração de uma corda tencionada é capaz de produzir sons

49

variados, pode-se observar aspectos puramente numéricos, nesta experiência, com

o monocórdio como foi descrita anteriormente.

Esse pensamento influenciou Pitágoras na sua teoria sobre o Universo. Para

ele o Universo se achava dividido em três esferas, cujos raios se encontravam em

proporções: 21 , 3

2 , 43 . Era a Harmonia das Esferas . A primeira era constituída pela

Terra e pela Lua; a segunda, pelos céus móveis limitados pelas estrelas fixas, e a

última correspondia à morada dos Deuses O Olimpo. Essas esferas quando em

movimento emitiriam sons inaudíveis pelos humanos.

Esse pensamento se relacionava tão bem com a teoria musical dos intervalos

musicais que, para os Pitagóricos, não havia dúvida: a música era parte da

matemática. Platão, influenciado pelos pitagóricos repete no livro VII, 531c de sua

obra A República, a teoria da harmonia das esferas.

Nicômâco (séc. IV -1,3,1, apud BRITO, 1999), define a música como O

estudo dos números relativos e Boécio (Séc. VI - De Arithm I, 1, ML, 1081b. apud

BRITO, 1999), utilizou-se da mesma definição e dedicou os cinco livros de seu

tratado De Musica ao estudo das relações numéricas existentes na harmonia

musical. No século VI, Boécio (OLIVEIRA , ([s.d.], p.161) realizou estudos acerca

das teorias pitágoricas. Alguns autores afirmam que os trabalhos de Boécio

constituíam uma importante fonte a partir da qual os europeus na Idade Média

puderam obter informações sobre a ciência Grega. Outros autores, porém,

acreditam que os trabalhos de Boécio sobre a música não foram conhecidos.

Numa de suas traduções, Boécio, nos seus comentários, introduziu uma nova

terminologia.

proportia dupla para 21

proportia sesquialtera para 32

50

proportia sesquitertia para 43

Dividia a Música ainda em música mundana (música do mundo) , Música

Humana e Música instrumentalis (quando a música estivesse subordinada ao

canto, de modo que o instrumento seguia a mesma linha melódica que a voz).

A concepção pitágorica permaneceu na música por mais de 2000 anos,

sofrendo modificação no século XVII com a necessidade de um sistema que

concedesse aos músicos a liberdade para tocar despreocupados com possíveis

distorções. Nessa época, o logaritmo passou a ser usado na escala musical.

Segundo Miorim e Miguel, (2002, p.134), Os logaritmos estão envolvidos na

definição e na expressão ou quantificação do que em Acústica se denomina nível de

intensidade sonora (b) . Para analisar as relações entre a matemática e a música,

precisaremos de alguns conceitos utilizados nesta última. Assim, a seguir

discorreremos sobre tais conceitos.

2.5 No que diz respeito à Música

Na música, são usados sons regulares, alcançados em instrumentos com

notas definidas, por exemplo: o piano, mas também instrumentos de sons irregulares

alcançados em instrumentos de percussão, como: o tambor.

As principais características do som são: Altura (determinada pela freqüência

das vibrações); Duração (determinada pelo tempo de emissão do som); Intensidade

grau do volume sonoro e Timbre (considerado a cor do som de cada instrumento

ou voz, é derivado da intensidade dos sons harmônicos que acompanham os sons

principais) (MED, 1996, p. 12).

51

É preciso fazer uma distinção entre os conceitos de intensidade de som e

altura de som. Intensidade é o maior ou menor volume com que o som se

manifesta. Como exemplo: quando ligamos uma televisão e aumentamos seu

volume apertando um botão. Já a altura não está relacionada com a intensidade

propriamente dita, como se poderia pensar à primeira vista. O som é mais alto ou

mais agudo, quanto mais alta for a sua freqüência.

Os sons com os quais podemos criar nossas músicas constituem o que

chamamos de escala musical . Podem ser definidos a partir de relações

matemáticas muito precisas e, quando combinados de determinadas maneiras,

podem produzir resultados agradáveis aos nossos ouvidos. Estas relações

matemáticas, junto com as características das vibrações sonoras, são a base da

harmonia.

As oscilações produzidas pelas vibrações de um corpo (ex: corda de violão),

propaga-se pelo ar, sob a forma de ondas, e atingem nosso ouvido. O ouvido

humano só pode perceber como sons as ondas que tenham de 20 oscilações por

segundo até 20.000 oscilações por segundo. Dentro da faixa dos sons audíveis,

aqueles que têm oscilações mais baixas (20 a 200 oscilações por segundo) são

chamados graves , enquanto os que têm oscilações mais altas (5.000 a 20.000) são

chamados de agudos ; os sons na faixa intermediária são chamados médios como

afirma RATTON (2002 p. 34).

Segundo Miorim e Miguel (2002, p. 134), a intensidade I de uma onda sonora

é definida, em acústica, como a energia E que atravessa uma área S num intervalo

de tempo t, isto é:

tSEI∆

=

52

No terreno da acústica, estabelece-se que a freqüência f do som emitido poruma nota musical qualquer da escala cromática de um piano por exemplo,o dó, quando tomamos a freqüência n do dó mais grave como referência,varia do seguinte modo em relação às altura ou tonalidades dos vários sonsemitidos por essa mesma nota musical, quando tomada as oitavassucessivas. (MIORIM; MIGUEL, 2002, p. 140).

Altura (a) de uma nota musical Freqüência ( f ) do som emitido

(número de vibrações emitidos por unidade de tempo)

Dó mais grave tomado como referência ......................n. 2o = n

Dó uma oitava acima (1ª oitava) ..................................n. 21 = 2n

Dó duas oitavas acima (2ª oitava). ..............................n. 22 = 4n

Dó três oitavas acima (3ª oitava)..................................n. 23 = 8n

.......................................................................................................

Dó m oitavas acima (m - ésima oitava) .......................n.2m = 2m. n

( MIORIM; MIGUEL, 2002, p. 140)

Percebe-se que enquanto a altura vária de acordo com uma PA de razão 1, a

freqüência desse mesmo som vária de acordo com uma PG de razão 2. Em

linguagem logarítmica, a altura do som emitido por uma nota, medindo-se intervalos

musicais de oitava acima da nota tomada como referência, no caso o Dó, é igual ao

logaritmo de base 2 de sua freqüência, ou seja: a = log2 f, onde a é a altura e f a

freqüência.

Segundo Gaspar (2002, p. 66), o gráfico abaixo mostra as regiões em que o

ouvido humano é capaz de ouvir sons. Ele apresenta o nível de intensidade em

decibéis no eixo das ordenadas e a freqüência do som emitido (e percebido) nas

abcissas a partir de avaliações estatísticas.

53

Considerando que a nossa sensação auditiva , é muito subjetiva (não há

como medi-la), define-se outra grandeza relacionada à intensidade sonora, voltada

especificamente ao ser humano. Chamaremos como Gaspar, de nível de

intensidade B , istó é intensidade sonora média percebida pelo ouvido humano. A

definição dessa grandeza e da unidade correspondente é baseada em padrões

fisiológicos médios. Admite-se que a intensidade sonora mínima percebida pelo ser

humano seja, em média, 2120 /10 mwI −= para a freqüência de Hz1000 . A intensidade

B varia em escala logarítmica de base 10.

Em matemática, essas condições traduzem-se na definição do nível de

intensidade sonora B :

=I Intensidade sonora do fenômeno

0

log.10IIB = =0I Intensidade sonora padrão = 212 /10 mW−

54

Tendo em vista o caráter pouco prático das pequenas quantidades envolvidas

na definição do nível de intensidade sonora, assim como a dificuldade de se operar

matematicamente com as mesmas, resolveu-se utilizar o logaritmo de base 10, pois

com sua utilização, os níveis de intensidade puderam ser expressos em diferentes

situações de maneira mais usual e intuitiva.

Se substituirmos na fórmula anterior os valores de I respectivamente, pelos

limites inferior e superior de intensidades sonoras audíveis pelo ouvido humano

compreendidos entre 10-12W/m2 até 1 W/ m2 e considerando os valores de B como

unidade o decibel teremos:

B = 10 log (10-12 / 10 12) = 10 log 1 = 0 dB

B = 10 log (1 / 10 12) = 10 log 10 12 = 120 dB

Dessa forma, segundo Miorim e Miguel, (2002, p. 136) os níveis de

intensidade sonora associados aos diferentes fenômenos sonoros audíveis pelo ser

humano variam de 0 db a 120 db, o que não significa que não existam situações que

produzam níveis de intensidade sonora superiores ou inferiores a esses limites .

Como explicado anteriormente, a função que o logaritmo desempenha na

fórmula que expressa o nível de intensidade sonora de um fenômeno é expressar a

razão entre quantidades diferentes relativas a uma mesma grandeza Ele constitui

uma entidade representativa da ordem de grandeza que subsiste entre essas

quantidades. O coeficiente 10, no entanto, foi introduzido com o propósito de se

evitar o surgimento de números decimais na expressão dessa grandeza, uma vez

que, na prática, é suficiente que ela seja expressa somente até a primeira casa

decimal (cf. MIORIM; MIGUEL, 2002, p. 136 - 137).

Na música, existem escalas diferentes, utilizadas em obras musicais que se

utilizam de pequenas frações matemáticas A escala segundo Oliveira ([s.d.], p.162),

55

chamada de Zarlim, ou escala natural, representa os intervalos, em números

fracionários:

Dó Ré Mi Fá Sol Lá Si Do

189

45

34

23

35

815 2

Os números, nessa escala, exprimem a razão das freqüências, que todas as

outras notas formam com Dó. Supondo que a primeira nota, Dó, tenha freqüência 1,

obteremos para as outras notas as seguintes freqüências:

FrequênciaFrequência =

18

91

45=

FrequênciaFrequência

Na França, pelo Decreto de 1859, convencionou-se, para Lá, uma freqüência

de 435Hz, o que indica para dó a freqüência de 261 Hertz:

Frequência de5

31=Do HzHz 261435.

53

=

Frequência de 53=Lá

Conseqüentemente:

56

261.45326 == HertzMi

261.34348 == HertzFá

261.23392 == HertzSol

261.35435 == HertzLá

261.35389 == HertzSi

Se, na escala de Zarlim, calcularmos os intervalos entre duas notas

consecutivas, encontraremos os seguintes valores:

89

18

9==

DoRé

89

34

23

==FáSol

1516

815

2==

SiDó

910

89

45

==RéMi

910

23

35

==SolLá

1516

45

34

==MiFá

89

35

815

==LáSi

Obtêm-se assim, apenas três espécies de intervalos quais sejam, ,89 ,

910

,1516 que têm os nomes:

→89 Tom maior

→9

10 Tom menor

→1516 Semitom

57

A interação entre matemática e música está embasada também na

necessidade de solucionar o problema de Consonância, buscando fundamentos

científicos capazes de justificar esse conceito. Neste contexto, surgem distintas

explicações para Consonância e Dissonância. Entre essas explicações estão

incluídas as concepções físicas e matemáticas. A consonância proporciona uma

sensação de repouso e estabilidade, já a dissonância proporciona uma sensação de

movimento e tensão.

A Revolução Científica nos séculos XVI e XVII, possibilitou o surgimento de

interpretações e argumentações inovadoras, contrapondo-se às doutrinas

Aristotélicas à luz das quais os estudos tinham caráter fundamentalmente qualitativo.

A ciência exigia uma interpretação por fórmulas e teorias matemáticas o que levou a

música a buscar explicações mais racionais para os seus fenômenos.

A busca de um sistema que concedesse aos músicos a liberdade para tocar

despreocupados com possíveis distorções, culminou com o conceito de

Temperamento e as séries de Fourier. Mas como explicar o temperamento igual?

A escala com intervalos denominados de naturais definida por Pitágoras foi

usada durante muito tempo até a idade Média, ou seja a música dessa época ainda

era restrita a regras rígidas de composição e também de execução. Os experimentos

realizados anteriormente por chineses, indianos e helênicos já revelaram distintas

tentativas de encontrar uma distância comum nas escalas, dividindo a oitava de

modo a respeitar a afinidade harmônica, não foram suficientes. (WEBER, p.129-130

apud ABDOUNUR,1995, p. 83).

Com o Renascimento, uma série de novas idéias surgiram nas Artes em

geral. Na Música, os compositores tentavam ultrapassar essa rigidez imposta pela

forma com que se tocava na época. Surge então a necessidade de se transpor as

58

melodias para outras tonalidades, pois até então, uma melodia feita para a

tonalidade de dó não podia ser executada na tonalidade de fá (por exemplo), pois os

intervalos entre as notas soariam desafinados. Então, para resolver esse problema,

surge a Escala de Temperamento Igual , proposta em 1691, por Andréas

Werkmeister, que se utilizou de conhecimentos matemáticos em sua descoberta.

Essa escala atualmente chamada de escala temperada , possui doze notas ( sete

naturais e cinco acidentes), mais em vez de preservar os intervalos perfeitos (

aqueles cujas frações eram 32 , 4

3 ... especificadas anteriormente na experiência de

Pitágoras ), essas notas foram ajustadas levemente. Werkmeister tomou o

comprimento inteiro dividiu-o exponencialmente em doze partes, baseando-se na

raiz duodécima de 2. Dessa forma a razão entre a freqüência de qualquer nota e da

sua vizinha anterior sempre será igual à raiz duodécima de 2 (aproximadamente

1,0594), o que permitiu a execução de qualquer música em qualquer tonalidade,

pois a relação entre os intervalos iguais são sempre as mesmas, não importa qual a

referência (tonalidade) que se use como pode ser observado abaixo:

QUADRO DE TEMPERAMENTO

NOTAINTERVALO

Temperado

INTERVALO

NATURAL

DÓ 1.0000 1.0000

DO# 1,0595

RÉ 1,1225 1,1250 = 9/8

RÉ# 1,1892

MI 1,2600 1,250 = 5/4

59

FÁ 1,3348 1,3333 = 4/3

FÁ# 1,4142

SOL 1,4983 1,5000 = 3/2

SOL# 1,5874

LÁ 1,6818 1,6666 = 5/3

LÁ# 1,7818

SI 1,8877 1,8750 = 15/8

( RATTON, 2002, p. 34-35 ).

Essa nova escala foi divulgada rapidamente quando o compositor John

Sebastian Bach (séc. XVIII), escreveu o Cravo Bem - Temperado, provando com

isso que a proposta de Werkmeister não era só viável, como não comprometia de

forma alguma a qualidade e a beleza da Música , conforme aponta RATTON, (2002,

p. 34-35).

No Renascimento e início do Barroco, prosperaram temperamentos

desiguais. Mas o temperamento igual já havia sido recomendado por teóricos do

século XVII, tornando-se mais presente e recomendado por Rameau (1737) e por

Bach (1762).Os distintos temperamentos assumidos em Música ao longo dos

tempos, convergiram culturalmente para o temperamento igual assim como na

matemática, as bases numéricas convergiram para a atual base dez.

No fim da Idade Média e no início do Renascimento, a música buscava o

desprendimento de concepções melódicas (como citado acima), numa tentativa de

conquistar um caráter mais harmônico. Esse período foi dinamizado pela

emergência da chamada era polifônica , que por sua vez contribuiria fortemente

para expansão do universo musical desenvolvido por Bach. O Temperamento igual

60

era então o estabelecimento de um suporte libertador para Música e para isso a

matemática teve um papel fundamental.

Historicamente, observamos a relação entre PA, PG, logaritmos e música

assim percebemos a possibilidade de desenvolvermos o ensino de logaritmo,

relacionando-o à música. Em nosso próximo capítulo, analisaremos possíveis

atividades que utilizem a história dos logaritmos e sua relação com a história da

música.

61

3 - METODOLOGIA

62

Neste capítulo, discorreremos sobre a nossa proposta para introduzir o

conceito de logaritmo. Descreveremos a nossa população (os sujeitos), o material

utilizado assim como a sua elaboração.

Embora tenha sido realizada uma pesquisa histórica, nosso objetivo era

pedagógico, uma vez que utilizamos uma seqüência de atividades nas quais a

intenção era verificar qual o potencial de uma seqüência didática que utilize a

história do logaritmo no processo de ensino aprendizagem neste conteúdo.

Utilizamos, como instrumento para a análise, registros escritos feitos por nós

durante os encontros, a transcrição de fitas de áudio gravadas durante as aulas e os

cadernos dos alunos.

3.1 Dificuldades apresentadas à priori

Durante nossa pesquisa, acreditávamos que os alunos teriam algumas

dificuldades durante a resolução das questões. Tais dificuldades foram levantadas

a partir de nossa prática docente e a partir das dificuldades que as elaboradoras

das atividades tiveram ao estudar a história do logaritmos. Quais sejam:

• relacionar a definição histórica ao que lhe foi apresentado pelo

ensino atual;

• dar uma definição de logaritmo, associada a progressões

aritméticas e progressões geométricas;

• transpor o conceito apreendido a outras situações;

• reconhecer as propriedades quando exploradas em diferentes

contextos;

63

• compreender as condições de existência dos logaritmos;

• perceber que o logaritmo transforma uma operação em outra de

menor nível. Por exemplo a multiplicação em adição.

• perceber que, em sua origem histórica, o logaritmo prescindiu de

uma base e do exponencial;

• desconhecer que a base do sistema de logaritmos de Napier

aproxima-se do inverso multiplicativo de e.

• desconhecer a construção de uma tábua de logaritmos;

• trabalhar com expoente racional na representação decimal;

• relacionar os expoentes com a tábua de logaritmos construída por

eles;

• desconhecer a relação entre logaritmo e música.

3.2 Os Sujeitos

O nosso estudo foi realizado com um grupo experimental durante 7 aulas

duplas (cerca de 14h/aulas). Trabalhamos inicialmente com 5 alunos, todos

pertencentes a uma mesma turma com 22 alunos, do curso de Licenciatura em

Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN), no ano de

2004. Eram estudantes do 6º semestre com idades de 41, 28, 22, 40, e 32 anos.

Esses estudantes já tinham o hábito de realizar trabalhos em grupo como

apresentação de seminários e pesquisas entre outras atividades.

O grupo demonstrava uma integração conosco, e uma familiarização com

métodos diferenciados que utilizávamos, para ensinar os diversos conteúdos, Isso

64

explica o fato de as nossas intervenções serem sempre aguardadas com grande

expectativa por parte do grupo.

Consideramos, em nossa pesquisa, somente aqueles alunos que

participaram do estudo completo (avaliação diagnóstica, atividades). Desse modo,

nossa amostra resumiu-se em 4 alunos, justificando essa escolha pelo fato de

termos aplicado uma avaliação diagnóstica e na mesma pudemos observar que

esses alunos, apresentaram um conhecimento prévio sobre diferentes utilizações

dos logaritmos; utilizamos um gravador para o grupo, com a finalidade de

possibilitar uma análise do desempenho e de possíveis observações feitas pelos

alunos.

3.3 O Material

Para a realização desta seqüência didática, fez-se necessário o uso dos

seguintes materiais: papel, lápis, borracha, calculadora científica, o texto de Boyer,

(p.228 a 231-1974), um gravador, avaliação diagnóstica (anexo) e as atividades.

Convém ressaltar que tivemos acesso aos cadernos dos alunos.

3.4 As Atividades

A partir das dificuldades a priori, elaboramos as atividades. As mesmas

foram elaboradas pela professora da turma conjuntamente com a pesquisadora.

(seqüência elaborada a partir de informações contidas no livro: O Logaritmo na

Cultura Escolar Brasileira de Miorim, M. A. e Miguel A. - 2002 - assim como das

pesquisas realizadas sobre a relação matemática e música). Após resolução de

65

tais atividades, analisamos os resultados, realizando um contraponto entre as

dificuldades dos alunos e as levantadas à priori.

3.5 Descrição das Aulas

1ª e 2ª aulas:

Durante a aula, procuramos nos familiarizar com os alunos, informamos que

estávamos fazendo uma pesquisa, e que a mesma serviria como base para um

trabalho de mestrado, e agradeceríamos a participação de todos.

3ª e 4ª aulas:

Foi realizada uma avaliação diagnóstica, (anexo A) com a finalidade de

fazermos uma sondagem sobre os conhecimentos prévios dos alunos. Vale

salientar que essa avaliação foi aplicada para toda a turma.

Temos consciência de que uma avaliação desse tipo não necessariamente

pode retratar o conhecimento real do aluno, já que existem fatores que podem

interferir em seu desempenho tais como problemas de ordem emocional, cognitiva,

entre outros.

Das avaliações realizadas, selecionamos 5, pois, a mesma revelou ter

esses alunos um conhecimento prévio sobre diferentes utilizações do logaritmo;

desta seleção montamos o grupo de análise.

66

5ª e 6ª aulas:

Foi realizada uma exposição oral pela professora da turma, em que buscou

dar a idéia das condições históricas que levaram ao surgimento do logaritmo.

Comentou sobre a importância da descoberta para a Astronomia,

lembrando que as navegações (caravelas) se guiavam pelas distâncias entre as

constelações, pois, naquela época, não existiam GPS e relógios digitais.

Falou aos alunos sobre o porquê do surgimento dos logaritmos, e que o

mesmo foi o responsável por facilitar laboriosos cálculos, assim como comentou

que, em sua primeira definição, o logaritmo não tinha nada a ver com exponencial ;

relembrou também os conceitos de velocidade, espaço, aceleração, movimento

Retilíneo Uniforme, entre outros.

Os alunos selecionados foram então separados em um grupo na sala de

aula, onde receberam a atividade. Iniciamos a gravação das discussões no grupo.

Foram realizadas as discussões sobre os itens de a até o e, assim como

suas resoluções.

7ª e 8ª aulas:

Foram realizadas discussões sobre os itens f até o j, assim como suas

resoluções.

9º e 10º aulas:

Foram realizadas discussões sobre as questões 2, 3 e 4, assim como suas

resoluções.

67

11º e 12º aulas:

Foram realizadas discussões sobre o item 5, mas os alunos não

elaboraram sua resolução.

A professora realizou uma correção das atividades, em que os alunos

expuseram suas opiniões e dificuldades. Quais sejam:

• nunca tinham trabalhado logaritmos da forma apresentada;

• as atividades eram muito interessantes porém de difícil entendimento, mas que

depois de entendidas mostravam realmente a definição de logaritmo.

• tiveram dificuldades em reconhecer o conceito nas diferentes situações.

• esse trabalho deveria ser feito no ensino médio.

• deveria este trabalho ser realizado com os professores.

• não tinha pensado que logaritmo estava ligado a música.

• tiveram dificuldades para elaborar as condições de existências para C e para

IR.

13ª e 14ª aulas:

Foi realizada uma exposição oral por parte da pesquisadora, sobre a

relação entre a matemática e a música.

Durante sua exposição, a pesquisadora comentou sobre a experiência

atribuída a Pitágoras, na qual, o mesmo buscava estudar os sons. Pitágoras teria

observado, como já o dissemos no capitulo I, que no monocórdio (instrumento de

uma corda só) se pressionássemos sua corda num ponto situado a 43 , do

comprimento em relação à extremidade (reduzi-la a 43 do tamanho original) e

68

tocando-a a seguir, ouvia-se uma quarta acima do som emitido pela corda inteira;

do mesmo modo se exercida a pressão a 32 do tamanho original da corda, ouvia-

se uma quinta acima, e se exercida a 21 do tamanho original da corda, obtinha-se

a oitava do som original. Ressaltou ainda a pesquisadora que, a partir dessa

experiência atribuída a Pitágoras, foram estabelecidas as 7 notas fundamentais,

pois se determinou uma maneira de produzi-las, por meio de frações de cordas.

Sobre as notas, comentou-se que uma oitava iria de um dó a outro, assim

como que na música ocidental temos as 7 notas fundamentais e 5 acidentes

(sustenidos) quais sejam:

DO do# RÉ ré# MI FÁ fá# SOL sol# LÁ lá# SI DÓ

A pesquisadora, ainda em sua exposição, falou sobre o temperamento

igual que se originou na busca de um sistema que concedesse aos músicos a

liberdade para tocar despreocupados com possíveis distorções. Mas o que seria

então esse temperamento igual?

A escala com intervalos acusticamente perfeitos, definida pela experiência

de Pitágoras, foi usada durante muito tempo até a Idade Média. A música dessa

época ainda era restrita a regras rígidas de composição e também de execução.

No Renascimento, uma série de novas idéias surgiram nas artes em geral.

Na música, os compositores tentavam ultrapassar essa rigidez imposta pela forma

com que se tocava na época. os experimentos realizados por chineses, indianos e

helênicos revelaram distintas tentativas de encontrar uma distância comum nas

escalas. Com isso, surgiu a necessidade de se transpor as melodias para outras

tonalidades, pois até então uma melodia feita para uma tonalidade de dó, não

podia ser executada na tonalidade de fá (por exemplo), isso porque os intervalos

entre as notas soariam desafinados. Surge com isso a Escala de Temperamento

69

Igual , proposta em 1691, por Andréas de Werkmeister, que se utilizou de

conhecimentos matemáticos em sua descoberta, pois em vez de preservar os

intervalos perfeitos , (aqueles cujas frações eram 43

32 , ... especificados

anteriormente na experiência de Pitágoras), ajustou essas notas levemente;

Werkmeister, tomou o comprimento inteiro e dividiu-o exponencialmente em doze

partes; permitindo a execução de qualquer música em qualquer tonalidade, pois a

relação entre os intervalos iguais são sempre as mesmas.

Antes de iniciarem a atividade, os alunos receberam um monocórdio

construído e adaptado para o trabalho em sala de aula (um cavaquinho com uma

corda só) onde seria possível fazer as operações necessárias para a realização

das atividades.

Foram discutidas as questões sobre matemática e música , assim como

suas resoluções

70

4 - ANÁLISE

71

Neste capítulo, discorremos sobre a análise realizada das questões

apresentadas, cuja a idéia era saber se os objetivos, para cada uma das questões,

foram alcançados, utilizamos as falas dos alunos para a nossa análise, assim como

os objetivos traçados no início de cada item.

4.1 Quanto à utilização da história

Uma preocupação, ao elaborarmos nossa seqüência didática, foi a de buscar

procedimentos diferentes daqueles que possuem atualmente uma hegemonia para o

ensino de logaritmos.Utilizamos a História para a promoção de uma aprendizagem

significativa. Consideramos como definição de aprendizagem significativa a mesma

dada por Morreto (2004, p.17) Quando o ensino proporciona desenvolvimento de

habilidades e a aquisição de conhecimentos, que conduzem às competências

almejadas .

Concordamos com Mendes (2001, p.123), quando afirma que os estudantes

devem participar da construção do seu próprio conhecimento de forma ativa,

reflexiva e crítica, relacionando cada saber construído com as necessidades

históricas, sociais e culturais existentes nele.

72

4.2 Análise das atividades

Atividade:1

Item A:Logaritmos II

Definição de logaritmo:Logaritmos são os termos de uma progressão aritmética começando por zero,

correspondentes aos termos de uma progressão geométrica começando pela unidade(SERRASQUEIRO, 1900, P. 320).

1- Observe a definição anterior. Dadas as seqüências:

I) PA: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

PG: 1, 2, 3, 4 , 8, 16, 32, ...

II) PA: 0, 2, 4, 6, 8, 10, ...

PG: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

A) Qual seria, na seqüência I, o logaritmo de 8? E na II?

No item A, tínhamos os seguintes objetivos:

• Revisar a partir do referencial de progressões aritméticas e progressões

geométricas as propriedades dos logaritmos;

• Reconhecer, uma correspondência entre as progressões aritméticas e

geométricas;

• Compreender que, na progressão aritmética, os elementos são os logaritmos

e, na progressão geométrica, os elementos são os logarítmandos.

73

Resolução dos alunos:

32282log 382 =⇒=⇒=⇒= uu uu

632

228)2(log 21

82 =⇒=⇒=⇒=⇒= uuu

uu

Na P.A. os elementos são os logaritmos.

Na P.G. os elementos são os logaritmandos.

Fala dos alunos:

- Nossa! Logaritmos e progressões têm mesmo ligação! Só estudando a história.

- Logaritmos é a P.A logaritmando é a PG.

Durante a resolução deste item, um dos alunos apresentou dificuldades em

relacionar logaritmos com progressões aritméticas e geométricas. Conseguia

definir logaritmo da forma encontrada nos livros de matemática atuais, como a

encontrada no livro de Paiva, (1995, v1, p. 294), qual seja: Sejam a e b números

reais positivos e b≠ 1 chama-se de logaritmos de a na base b e expoente x tal que

abx = .

Em símbolos: abx xab =⇔=log

Onde a é chamado de logaritmando

B é chamado de base do logaritmo

X é chamado de logaritmo de a na base b

Este mesmo aluno questionou o porque de ser .2

74

Segundo Vygotsky (1977), a Zona de desenvolvimento proximal é definida

como aquela que define funções ainda não amadurecidas, (no que diz respeito ao

processo de ensino-aprendizagem, significa que o aluno ainda não conseguiu

alcançar o entendimento do conceito apresentado) mas que estão em processo de

amadurecimento, podendo ser alcançado com o auxilio do professor e dos

colegas.

A nosso ver, o aluno acima demonstrou estar nessa zona de desenvolvimento,

pois não conseguia transpor da definição atual para a definição apresentada,

somente conseguindo com o auxilio do grupo. Essa dificuldade apresentada vai de

encontro com a mesma levantada (à priori) em nossa metodologia, pois

acreditávamos que os alunos se prenderiam ao conceito atual de logaritmos para a

compreensão da questão.

Os objetivos de nossa atividade embora o aluno supracitado tenha tido

algumas dificuldades foram alcançados.

Atividade 1

Item B

B) O que está fazendo com que as duas correspondências de seqüências sejam

diferentes?

No item B da primeira questão, tínhamos os seguintes objetivos:

• Revisar a partir do referencial de progressões aritméticas e progressões

geométricas as propriedades dos logaritmos;

75

• Calcular as razões das progressões aritméticas e geométricas;

• Perceber as diferentes bases nas duas seqüências apresentadas.

Resolução dos alunos:

As razões das progressões aritméticas são diferentes pois na seqüência I, a razão

é 1 e na seqüência II a razão é 2.

Fala dos alunos:

- Agora ficou mais claro! Depois que eu achei a razão !

- PROFESSORA: O que está fazendo corresponder a razão?

- O fato das seqüências serem diferentes?

- As operações?

- Cuidado! As razões das progressões aritméticas são diferentes.

Durante a resolução, a intervenção da professora fez com que os alunos

direcionassem a resposta, ou seja, tiveram dificuldades em responder a questão por

uma interpretação equivocada, pois, em primeira instância, acreditavam ser a

resposta o fato de os números serem diferentes; isso demonstra uma certa

displicência quanto ao enunciado da questão, assim como em entender a definição

dada inicialmente. Isso nos leva a crer que a concepção de logaritmos com

exponencial continua presente, o que vai ao encontro com a hipótese levantada (à

priori) em nossa metodologia, que era de que os alunos teriam dificuldade em

reconhecer a definição apresentada.

76

Pela resolução dos alunos, assim como por suas falas e objetivos traçados para

a questão, concluímos que os objetivos não foram totalmente alcançados, pois não

perceberam que as bases eram diferentes nas seqüências apresentadas.

Atividade 1:

Item C

C) Qual a base está sendo utilizada na seqüência I? e na II?

No item C, tínhamos os seguintes objetivos:

• Revisar, a partir do referencial de progressões aritméticas e progressões

geométricas, as propriedades dos logaritmos;

• Determinar a base de cada um dos sistemas;

• Compreender que a base deve permanecer a mesma para todos os pares

correspondentes das progressões aritméticas e geométricas;

• Verificar a relação existente entre a base de um sistema qualquer de

logaritmos e a razão das progressões aritméticas e geométricas.

Resolução dos alunos:

Se calcularmos por exemplo:

42)2(log 244

22

1

21 ==⇒= x

então podemos concluir que:

Na seqüência I, a base é 2.

77

Na seqüência II a base é 2 .

Fala dos alunos:

_ Bem, a base da primeira é 2.

_ A da segunda é 2 .

_ Razão 2 ? Porquê?

_Por que a é 212 ou seja, 2 .

Durante a resolução da questão, não houve a intervenção do professor,

convém ressaltar que a questão basicamente foi respondida por um aluno, enquanto

os outros escutaram, levantaram questionamentos sobre o porquê de ser raiz de 2, o

que demonstrou uma dificuldade em estabelecer a diferença entre razão e base,

mas concluíram ser esta a resposta.

Tendo em vista os objetivos traçados para a questão, assim como pelas

falas dos alunos, concluímos que, apesar das respostas estarem corretas, nem

todos os objetivos traçados foram alcançados, pois, em nenhum momento, o grupo

levantou a relação existente entre a base de um sistema de logaritmos e a razão das

progressões. Neste item, o grupo não apresentou nenhuma das dificuldades (à

priori) levantadas em nossa metodologia.

78

Atividade 1

Item D

D) Descreva, em linguagem matemática, a definição acima, determinando as

condições de existência dos logaritmos para IR e para C.

No item D, tínhamos os seguintes objetivos:

• Revisar, a partir do referencial de progressões aritméticas e progressões

geométricas, as propriedades dos logaritmos;

• Determinar as condições de existência, através da linguagem matemática;

• Perceber que, somente quando a razão da progressão aritmética for igual a 1,

a base dos logaritmos coincide com a razão da progressão geométrica;

• Compreender as condições de existência nos conjuntos dos IR e nos C, para

que o logaritmo das progressões exista;

• Utilizar a definição e aplicar a propriedade de potências dos logaritmos;

Resolução dos alunos:

Seja: ,log cba = sendo que ,aub = onde ..GPau ∈ então 1−= nqb e auc = onde

,PAau ∈ então ,).1(1 ruaa −+= e zn =−1

ruaCqbb

n

un

).1(.

1

11

−+=

= −

Seja ,).1(log 11.1 rucuq

b

u −+=−

sendo 11 =b e 01 =c

runq

u ).1(0log1.1 −+=

−

79

runq

u ).1(log1.1 −=

−

, como ,1 zn =− então:

,.log rzzq

u = aqui ocorreu a aplicação da propriedade de potência dos

logaritmos.

As condições de existência dos logaritmos nos números reais é que:

1>q e 10 ≠< u

Estas condições têm que existir, pois não existem nenhum número diferente de

0, que elevado a uma potência qualquer,seja zero.

Exemplo:

00log0 =∃⇒=⇒= uun nnu

No caso da base sendo 1, a seqüência seria constante.

A base sempre precisa ser positiva.

Com relação aos números complexos, base tem que ser diferente de zero, e

de 1.

Fala dos alunos:

_ 1>q e ,10 ≠< u essas são as condições nos Reais.

_ Não entendi!!!

_Isso porque nenhum número diferente de zero, elevado a uma potência zero, dá

zero.

_PROFESSORA: Espera aí, então se q for negativo, a base do sistema, pode

assumir valores fora desse domínio nos Reais?

_ Acho que sim.

_ Para C, a base tem que ser diferente de zero e diferente de 1.

80

Vygotsky (apud MATUI, 1998, p. 121), afirma que uma organização da

aprendizagem conduz a um desenvolvimento mental, o que ativaria todo um

processo de desenvolvimento .

Durante a resolução da atividade, houve a intervenção da professora no

sentido de encaminhar a atividade; as discussões no grupo levaram a uma

organização dos objetivos a serem alcançados; Essa organização nos mostra um

desenvolvimento do potencial de cada aluno e do grupo. Nesta questão, o grupo

não apresentou nenhuma das dificuldades (à priori) por nós levantadas na

metodologia.

Tendo em vista as falas dos alunos, a resolução das atividades e os objetivos

traçados no início da atividade, constatamos que o objetivo da questão foi

alcançado.

Atividade 1

Item E

E) Determine, na primeira seqüência, a média aritmética entre o segundo e o sexto

termo da PA. Determine a média geométrica entre os termos correspondentes

segundo e sexto na PG. O que você observa? Este fato é generalizável para os

demais termos da seqüência I? E para a seqüência II?

No item E, tínhamos os seguintes objetivos:

• Revisar, a partir do referencial de progressões aritméticas e progressões

geométricas, as propriedades dos logaritmos;

81

• Determinar a média geométrica e a média aritmética;

• Verificar a correspondências entre as progressões aritméticas e geométricas,

através da média geométrica e média aritmética.

• Reconhecer as propriedades, quando exploradas em diferentes conceitos.

• Perceber que o logaritmo transforma uma operação em outra de menor nível.

Por exemplo, multiplicação em adição, potenciação em multiplicação.

Resolução dos alunos:

326

251

262 ==

+=⇒

+= MaaaMa

86432.2 =⇒== MgMg

Observamos que a correspondência entre as progressões aritméticas e

geométricas ainda permanece.

naa

S uPA ).

2( 1 +

= en

uPG aaP ).( 1=

Existe uma correspondência entre a média aritmética das progressões

aritméticas e a média geométrica das progressões geométricas, onde a soma na

progressão aritmética corresponde ao produto da progressão geométrica.

Isso seria generalizável para a seqüência II.

82

2816,8

248,4

224,4

22,1

==

==

==

==

Mg

Mg

Mg

Mg

Fala dos alunos:

_ Tem uma relação entre as médias!

_É, existe uma correspondência entre a média geométrica e a média aritmética.

_Gente, eu não estou conseguindo entender essa relação, não!!

_É assim, a soma na PA é multiplicação na PG, e divisão corresponde a raiz da PG.

_ Certo.

Durante a resolução da questão, não houve a intervenção da professora, no

entanto foram colocadas algumas discussões no intuito de facilitar a compreensão .

Um dos alunos demonstrou dificuldades em entender a correspondência entre as

médias, no que foi orientado pelos colegas. Convém ressaltar que era o mesmo

aluno com dificuldades em transpor o conceito em diferentes situações, como

dissemos anteriormente. O grupo apresentou ainda dificuldade em reconhecer que

o logaritmo transforma uma operação em outra de menor nível, confirmando a

hipótese levantada à priori.

Pelas resoluções dos alunos, suas falas e pelos objetivos traçados para a

atividade, acreditamos que os objetivos da atividade tenham sido alcançados.

78,656,434,2

11,0

========

MaMaMaMa

83

Atividade 1

Item F

F) Na seqüência II, some os terceiros e quarto termos da PA. Qual o termo

correspondente, na PG, a esta soma? Como conseguiríamos este termo da PG,

utilizando apenas os termos da progressão geométrica?

No item F, tínhamos os seguintes objetivos:

• Revisar, a partir do referencial de progressões aritméticas e de progressões

geométricas, as propriedades dos logaritmos.

• Compreender que a soma nas progressões aritméticas corresponde à

multiplicação na progressão geométrica.

• Perceber que o logaritmo transforma uma operação em outra de menor nível.

Resolução dos alunos:

O produto dos logaritmandos corresponde a soma dos logaritmos.

32841064

=•=+ Ex: 5log32loglogloglog 8.4

28.4.2

82

42

8.42 =⇒+=⇒+=

A soma dos logaritmos corresponde ao produto dos logaritmos.

84

Fala dos alunos:

-Nossa ! legal! Deixa ver se eu entendi, a soma dos logaritmos corresponde a

multiplicação dos logaritmandos.

_ E fácil depois que a gente entende, é muito diferente!!

Pela resolução dos exercícios e pelas falas dos alunos, e considerando os

objetivos traçados no início de nossa atividade, concluímos que o objetivo foi

alcançado, mesmo utilizando-se de termos usados atualmente como logaritmos e

logaritmando e não progressões aritméticas e progressões geométricas,

confirmando a dificuldade por nós levantada (à priori) em nossa metodologia, qual

seja, de que os alunos reportariam ao conceito de logaritmos com exponencial para

a resolução das questões. Somente assim conseguiriam compreender a resolução

através da definição apresentada. Os alunos ainda perceberam que o logaritmo

transforma uma operação em outra de menor nível.

Atividade 1

Item G

G) Sabemos que 864 = . O que teríamos que fazer, na seqüência I, com o termo

da PA correspondente ao termo da PG, 64, para determinarmos, na PA, o termo

correspondente ao termo da PG, 8? E na seqüência II?

85

No item G, tínhamos os seguintes objetivos:

• Revisar, a partir do referencial de progressões aritméticas e de progressões

geométricas, as propriedades dos logaritmos.

• Estabelecer as correspondências entre as progressões aritméticas e

progressões geométricas.

• Perceber que raízes de termos da progressão geométrica são obtidas mediante

divisões de termos a eles correspondentes na progressão aritmética pela razão

da progressão geométrica.

• Reconhecer as propriedades, quando exploradas em diferentes contextos;

Resolução dos alunos:

864 = na seqüência I632.2log51

logloglog 32

22

32.22

=⇒+⇒+=

Na seqüência II10log82

logloglog3.2

2

3

2

22

3.2

2

21

21

21

21

=⇒+⇒

+=

64, na progressão geométrica, corresponde a 6, na progressão aritmética.

E como na progressão geométrica corresponde à divisão por 2 na progressão

aritmética temos: ,864 = corresponde a 326

=

Durante a resolução da questão, o grupo demonstrou uma certa facilidade em

usar a definição, mesmo recorrendo ao conceito de logaritmos com exponencial em

86

alguns momentos, confirmando nossa hipótese de que os mesmos recorreriam a

essa definição para depois compreender a definição apresentada.

De acordo com a resolução dos alunos e os objetivos traçados no inicio da

questão, acreditamos que os objetivos foram alcançados.

Atividade 1

Ítem H

H) A partir das observações anteriores, como determinaríamos, utilizando a PA,

seqüência I, o logaritmo de 8 ? E na seqüência II?

No item H, tínhamos os seguintes objetivos:

• Revisar, a partir do referencial de progressões aritméticas e progressões

geométricas as propriedades dos logaritmos.

• Utilizar as conclusões anteriores e calcular o logaritmo de raiz quadrada de 8.

Resolução dos alunos:

2322.

21log

21loglog 38

282

82

21

=⇒=⇒=⇒== uuu u

Na seqüência II, o procedimento é idêntico.

87

Fala dos alunos:

_ Se já sabemos que a base é 2, então é só calcular o .log 82

_Na seqüência II, só precisamos fazer o mesmo.

As discussões no grupo, durante a resolução da atividade demonstraram um

retorno à definição tradicional de logaritmos. Mesmo assim acreditamos ter sido

alcançado o objetivo da questão, pois se utilizaram de conclusões de questões

anteriores.

Atividade 1

Ítem I

I) Em qualquer uma das seqüências, a subtração de dois termos da PA corresponde

a que operação com os termos correspondentes da PG?

No item I, tínhamos os seguintes objetivos:

• Revisar, a partir do referencial de progressões aritméticas e de progressões

geométricas, as propriedades dos logaritmos;

• Reconhecer que subtrações, na progressão aritmética, correspondem a

quociente na progressão geométricas.

• Reconhecer as propriedades, quando exploradas em diferentes contextos.

Resolução dos alunos:

88

Como a subtração é a operação inversa da adição, a divisão é a operação

inversa da multiplicação, então temos que a subtração , na PA, corresponde à

divisão, na PG.

cb

ab

ca

b logloglog −=

Fala dos alunos:

_ Olha! ... A subtração é operação inversa da soma, então a divisão é a operação

inversa da multiplicação, então a subtração é a operação inversa da PA, que vai ser

a divisão na PG.

Durante a resolução deste item, houve uma espécie de euforia do grupo. A

interação comentada em nossa metodologia ficou evidente durante as discussões

e a resolução da questão. Não houve necessidade da intervenção da professora,

pois os alunos se reportaram às conclusões anteriores sem a sua interferência.

Pela fala do aluno e pela resolução, assim como os objetivos traçados para

a atividade, concluímos que o grupo alcançou o objetivo traçado para a questão.

Atividade 1

Ítem J

J) Em qualquer uma das seqüências, a duplicação de um termo da PA corresponde

a que operação ao termo correspondente da PG?

No item J, tínhamos os seguintes objetivos:

89

• Revisar, a partir do referencial de progressões aritméticas e de progressões

geométricas, as propriedades dos logaritmos;

• Compreender que as potências de termos da PG são obtidas mediante

multiplicações dos termos a eles correspondentes na PA pela razão da PG.

• Perceber que o logaritmo transforma uma operação em outra de menor nível.

Resolução dos alunos:

A divisão por 2 na progressão aritmética é o mesmo que raiz, na progressão

geométrica, ou seja o que é produto na progressão aritmética é potência na

progressão geométrica .

Falas dos alunos:

- Se divisão por 2 na PA é a raiz na PG ... divisão por 21 , o produto na PA ...

corresponde a potência na PG.

- Espera! vamos entender, dividir por 2 na PA, corresponde à raiz na PG, o

que é multiplicação na PA é potência na PG.

A atividade foi realizada com muita segurança por parte do grupo, com

colocações que foram reunidas para a conclusão encontrada. Isso demonstra que

houve um amadurecimento com relação ao conceito apresentado no início da

atividade; o que levou os alunos a alcançarem os objetivos traçados para a

90

atividade. Nesta questão, os alunos não demonstraram as dificuldades levantadas

(à priori).

Atividade 2

Na segunda questão, tínhamos os seguintes objetivos:

• Construir uma progressão aritmética e uma progressão geométrica particular,

partindo da situação histórica apresentada.

• Reconhecer o conceito apresentado na construção da tabela.

Resolução dos alunos:

Napier, em sua obra publicada em 1619, concebeu os logaritmos a partir de

aspectos, simultaneamente geométrico, cinemático, aritmético, funcional e

trigonométrico. Para tal, imaginou uma situação cinemática, na qual, dois pontos

móveis P e P , a partir dos pontos A e A , iniciavam simultaneamente seus

movimentos ao longo de duas trajetórias retilíneas AB e A , respectivamente.

Considerou que AB possuía comprimento fixo de 107. A era considerada uma

semi-reta ao longo da qual eram fornecidos os logaritmos.

AP

B

B’ P’ B’

91

Os pontos P e P , porém, não se deslocavam com velocidades iguais: P se

deslocava com velocidade variável e, em cada momento, numericamente igual à

sua distância ao ponto B. A variação de velocidade de P se dava por um coeficiente

constante igual a (1-10-7) em cada intervalo de tempo t∆ , escolhido

convenientemente. P se deslocava com velocidade constante e numericamente

igual à distancia AB, isto é, a 107 .

Napier definia, para cada instante desse movimento coordenado, o logaritmo de

cada um dos segmentos PI B como sendo, respectivamente cada uma das

distâncias A P i .

a) A partir destas informações, complete a tabela abaixo, fazendo corresponder a

cada instante, distâncias Pi B e A i dos pontos P E P .

Tempo A i PiB

T0= 0 1 107 = 000000.10

T1=10-7 2 999999.9

T2= 2.10-7 3 997.999.9

A i = espaço e PiB = velocidade (1-10-7)

A i = S∆

997.999.9)101.(.998.999.9)1010.(.

999.999.9)101.(10.

72323

71212

77101

=−=⇒=

=−=⇒=

=−=⇒=

−

−

−

VVKVVVVKVV

VKVV

92

310.10.3210.10.2

110.10

77

7.7

77

==∆

==∆

==∆

∆−=∆

−

−

−

SSS

tvS

b) Que tipo de progressões formam as seqüências A i e Pi B?

i é a progressão aritmética e Pi B é a progressão geométrica.

c) Qual a razão de cada uma delas?

A razão da i =1

A razão da Pi B = )101( 7−−

d) Qual a base deste sistema de logaritmos criado por Napier?

Não responderam.

Fala dos alunos:

_ Não entendi não!

_ P é o deslocamento ou a aceleração?

_ Eu considerei smV /1070 = então: K

VV

=0

1 daí,

9999999)101.(10. 77101 =−=== −VkVV agora é só calcular o resto.

_ PROFESSORA: como você chegou a essa conclusão?

93

_ Considerando A i = como espaço e PI B = como velocidade de 7101( −− ) e

também .TVV

∆∆

=

_ Isso mesmo! daí se continuarmos para 2, 3 vamos ter uma PA.

_ É só olhar para o quadro, pois A i é a PA e Pi B é uma PG

_ Mas os números não teriam que diminuir?

Durante a resolução, os alunos demonstraram dificuldades para entender o

que se pretendia na questão. Um dos alunos conseguiu completar a atividade,

porém acreditava que os números na verdade, teriam que diminuir, isso antes de ter

feito os cálculos necessários nelas, não soube explicar o porquê. O grupo demonstra

ainda ter dificuldade em reconhecer a base de um sistema. Pelas dificuldades

apresentadas concluímos que o grupo não alcançou, em sua totalidade, os objetivos

traçados para a questão.

Atividade 3

Na terceira questão, tínhamos os seguintes objetivos:

• Analisar o sistema de logaritmos de Napier.

• Reconhecer que a base de um sistema de logaritmos prescindiu de uma base e

de um exponencial.

• Reconhecer que a base do sistema de logaritmos de Napier aproxima-se do

inverso multiplicativo de e.

1) Vamos realizar uma alteração no sistema de logaritmos de Napier.

a) Complete a tabela abaixo:

94

TEMPO710IAP

710BpI Arc sen 710

BpI

00 =T 710.0 − 1 o90

71 10−=T 710.1 − 9999999,0 974376297,89

72 10.2 −=T 710.2 − 9999998,0 96376297,89

73 10.3 −=T 710.3 − 9999997,0 95561888,89

b) As seqüências da segunda e da terceira coluna ainda são progressões? Em

caso positivo, quais as razões destas progressões?

Sim, na primeira coluna é 1 e na segunda coluna é )101( 7−

c) Qual a base deste novo sistema de logaritmo?

7107101710 10:10101log777 −−− =⇒=⇒−=

−

cccc

Logo,

79999999,0

1

10log

0log−=

=

b

b

Mas,

9999999,0log9999999,0log9999999,0log)9999998,0(log

9999997,0log9999998,0log.21

109999998,0log.21

2110.29999998,0log

21

77

bc

bc

bc

bc

=⇒

=⇒

=⇒

=⇒

= −−

logo: bC =

95

d) Calcule o inverso multiplicativo do valor desta base. O que você observa?

eb

bb

13678794,0

9999999,0

109999999,0log710

7

==

=

=−

−

Quando achamos o inverso multiplicativo, achamos e .

Fala dos alunos:

_ É só calcular 01log =b , não é ?

_ mas, 0,9999999 vai ter que ser arredondado não?

_ PROFESSORA :SIM, se não seriam maiores ainda.

_ Ainda bem que existe calculadora cientifica, pois os números são enormes!

Durante a realização da atividade, os alunos tiveram algumas dificuldades.

Houve a intervenção da professora no que diz respeito aos arredondamentos e

também para comentar que foi a partir do momento da descoberta da base, que teria

nascido, a relação entre logaritmo e exponencial. Ainda durante a resolução, os

alunos concluíram que a base do sistema de logaritmos de Napier, aproxima-se do

inverso multiplicativa de e, conforme afirmou MIORIM e MIGUEL 2002.

Concluímos pela resolução da atividade e pelas falas dos alunos que os objetivos

traçados para atividade foram alcançados. Nesta questão, não foi apresentada as

dificuldades levantadas. (à priori).

96

Atividade 4

Na quarta questão, tínhamos os seguintes objetivos:

• Construir uma tabela de valores aproximados dos logaritmos na base 10.

• Calcular o logaritmo dos números inteiros de 1 a 9.

• Trabalhar com expoente racional na representação decimal;

Resolução dos alunos:

4) Vamos construir uma tábua de valores aproximados dos logaritmos, na base 10,

dos primeiros nove números inteiros positivos.

Consideremos 210 = 1024

1024, difere de 1000 por um erro de 2,4%. Este será o erro de nossos cálculos do

log 2.

210 = 1000 aproximadamente

210 = 103 aproximadamente

2 = 100,3 aproximadamente

Portanto, log 2 é 0,3 aproximadamente.

Analogamente, 39 = 19683

19683 difere de 20000 por um erro de 1,6%.

39 = 20000 aproximadamente

39 = 100,3 . 104 aproximadamente

39 = 2 . 10000 aproximadamente

97

39 = 93,4

10 aproximadamente

log3 = 0,48 aproximadamente

Agora, utilizando as propriedades estudadas no 1º exercício desta seqüência,

calcule os logaritmos dos demais números inteiros positivos de 1 a 9. (Dica: para

sete, considere que sete ao quadrado é aproximadamente 50).

21024log10242 1010 =⇒=

Pela resolução dos alunos e pelos registros realizados pela pesquisadora,

percebemos que os alunos tiveram dificuldades em trabalhar com expoente racional,

na representação decimal o que confirma a hipótese levantada à priori em nossa

metodologia. Concluímos que os objetivos para a questão foram parcialmente

alcançados, pois os mesmos não concluíram a atividade.

85,07log27,17log7,17log.2

17,07log10log5log7log)10.5(7log50log7log

78,048,030,03log2log)3.2log(6log

7,03,012log10log)2

10log(5log

6,03,03,02log2log)2.2log(4log48,03log30,02log

01log

222

2

≅⇒=⇒=

+=⇒+=⇒=

=

=+⇒+==

=−⇒−==

=+⇒+=====

98

Atividade 5

5) Com sua tabela de logaritmos na base 10, sem usar a calculadora, como faríamos

para calcular 48. 125?

_ Esta questão não foi resolvida pelo grupo.

4.2.1 Atividades relacionando Matemática e Música :

O objetivo para a primeira questão era de:

• Compreender a experiência de Pitágoras;

• Reconhecer a relação entre logaritmos e música;

• Trabalhar, partindo de uma situação real;

• Familiarização com as notas musicais;

Resolução dos alunos:

1) marque no instrumento as notas pela escala pitagórica.

ré9

8

mi5

4

fa4

3

sol3

2

la5

3

si5

8

dó2

1

dó1

99

Fala dos alunos:

_ Nossa é complicado, temos que dividir a corda toda? Ou só o braço?

_ PROFESSORA: Somente o braço, a parte que está coberta. Lembre-se que de

Dó para Dó vocês tem uma oitava.

_ É um círculo?

_ basta fazer as divisões;

Durante a resolução da questão, ficou evidente, uma não familiarização com

o instrumento musical por parte de alguns componentes do grupo, assim como

estranharam a ligação da música com a matemática com as progressões.

Mesmo com uma certa dificuldade, os alunos conseguiram alcançar os objetivos

traçados para a questão.

2ª QUESTÃO:

O objetivo para a segunda questão era:

• Reconhecer uma progressão aritmética;

• Compreender a idéia matemática trabalhada no temperamento igual;

• Calcular a razão entre as notas;

• Calcular a freqüência das notas, partindo de uma particularidade;

2) a) Sabendo que a freqüência de um Dó é o dobro do outro, calcule as razão

entre cada nota.

DO do# RÉ ré# MI FÁ fá# SOL sol# LÁ lá# SI DÓ

100

12113

1

11

2.12

12

.

=⇒=

===

=

−

−

qq

aaPA

qaa

n

nn

Freqüência é 12 2 .

Fala dos alunos:

_ Sinceramente não sei por onde começo.

- PROFESSORA: Que tal, analisando pela definição das progressões aritméticas e

das geométricas

_ Vamos usar a fórmula da razão para a PA;

_ Se são 12 notas porque 13? Já entendi!

Pelas falas dos alunos, assim como pela resolução da questão, pudemos

observar que houve muita dificuldade durante a atividade pois, acreditavam que por

não terem nenhum conhecimento de música não teriam condições de responder à

questão. Somente conseguiram entender o que se pedia com a intervenção da

professora, mas, apesar das dificuldades, o objetivo da questão foi alcançado.

b) Se a freqüência do primeiro Dó for 1, calcule a freqüência das demais notas e

marque no instrumento uma escala de DÓ a DÓ, medindo com a régua.

Resolução da questão:

Freqüência é 12 2 .

101

Fala dos alunos:

_ È só olhar para a questão 2

Durante a resolução da questão, os alunos não discutiram este item, pois já

chegaram à conclusão que a resposta seria a dada. Pela resposta ao exercício,

assim como pela fala do aluno e, considerando o objetivo da questão, concluímos

que o mesmo não foi alcançado, pois o grupo não fez as medições pedidas no

exercício, nem explicar de onde veio a resposta matematicamente.

Atividade 3

O objetivo para a terceira questão era de:

• Reconhecer o conceito de Logaritmos.

• Transpor o conceito apreendido a outras situações.

Resolução dos alunos:

3) Qual o conceito implícito na atividade anterior?

O de logaritmos

Fala dos alunos:

_ O de logaritmos;

De acordo com a resposta dada, acreditamos que os objetivos da questão

tenham sido alcançados.

102

5 - CONSIDERAÇÕES FINAIS

103

Apresentamos, no início de nosso trabalho, um breve apanhado sobre a

utilização da história para o ensino da matemática, com o intuito de passar a idéia de

que a utilização da história da matemática seria uma alternativa à rigidez didática

vigente, no que diz respeito ao ensino de logaritmos. Assim seria um instrumento

através do qual conseguiríamos ao menos abrandar algumas inquietações, como

quais seriam as razões históricas para o estudo do logaritmo?

Tínhamos como pressuposto que a história da matemática pode colaborar para

que professores e alunos tenham uma formação profunda da matemática e isso não

significa saber demonstrar teoremas ou trabalhar com a linguagem matemática de

modo mecânico e sim, além de conhecerem os teoremas, consigam fazer relações

entre diferentes campos de conhecimento, refletindo sobre os fundamentos da

matemática.

Tal pressuposto, foi confirmado em alguns momentos durante nossa

pesquisa, pelos alunos em seus comentários, como o apresentado nas seguintes

falas: - Nossa! Logaritmos e progressões têm mesmo ligação! Só estudando a

história.

Os alunos demonstraram surpresa quando descobriram a relação entre os

logaritmos e as progressões geométricas, afirmando em seguida que isso somente

foi possível com o estudo da história, o que nos leva a acreditar que são grandes as

potencialidades de um trabalho pedagógico norteado pela história da matemática.

Durante uma correção (realizada após nossa pesquisa) sobre a atividade para

discutir os conhecimentos construídos, mais uma vez, foi explicitado por um aluno a

importância do estudo da história da matemática: _ para mim o curso de

matemática deveria ser sempre assim, por que estudaríamos o que está por trás do

que nós já sabemos

104

Em nossas atividades, apesar das dificuldades apresentadas, foi notória a

interação com o conteúdo, pois buscamos em nossa pesquisa, uma alternativa

pedagógica e decidimos, portanto, pela integração com a história.

Retomando a questão colocada no inicio da presente dissertação, qual seja,

investigar qual o potencial pedagógico de uma seqüência didática que utilizasse a

historia do logaritmo no processo de ensino-aprendizagem, concluímos que este

potencial existe, mas entendemos, no decorrer de nossa pesquisa, que a construção

de um conceito é um processo lento que exige a exploração continua por meio da

apresentação de situações-problema que explorem os diferentes aspectos desse

conceito.

Sabemos que um trabalho pedagógico que venha a ser feito com esse ou

outro tipo de atividade, em que os logaritmos se mostrem úteis não deve, a nosso

ver, limitar-se à exploração mecânica, mas sobretudo envolver-se com situações ou

aplicações que possam interferir de maneira a auxiliar a construção do

conhecimento.

A atividade realizada demonstra que o conteúdo de logaritmos nos traz

inúmeras possibilidades de trabalho pedagógico, como por exemplo, se

aprofundarmos o estudo da relação música e logaritmos; ou até mesmo criar novas

situações que o relacionem com as progressões geométricas e aritméticas que

poderiam levar a situações de um reconhecimento mais profundo sobre as

propriedades dos logaritmos.

Concluímos que uma seqüência didática que utiliza a história do logaritmo

como um direcionador, trás à tona discussões sobre conceitos, propriedades, e

aplicações, que serão de grande utilidade para a compreensão desse conteúdo. No

entanto, é necessário que se considerem os conhecimentos prévios dos alunos, pois

105

como vimos na atividade com o instrumento musical, os alunos chegaram aos

conceitos matemáticos envolvidos sem, no entanto, atingirem uma compreensão

significativa da relação entre os números obtidos e o significado musical dos

mesmos, pois desconheciam a teoria musical envolvida.

106

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111

ANEXOS

112

AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA

O objetivo desta avaliação é analisar o conhecimento inicial no que diz respeito aoensino de Logaritmo. Partindo desta avaliação, desenvolveremos um trabalho de fundamentação teóricaquanto à aprendizagem do mesmo.

Leia atentamente as questões abaixo e responda:1. Nome: _________________________________________________________2. Sexo: ( ) masculino ( ) feminino3. Idade:4. Semestre em curso:5. Cursou o ensino médio em instituição: ( ) Pública ( ) Particular6. Cursou o ensino médio em:

( ) Natal ( ) outras cidades Quais: ___________________________7. Você já leciona? ( ) sim ( ) não8. Você já ensinou o conteúdo Logaritmo? _____________________________9. Saberia explicar como e porque surgiram os Logaritmos?

10. Quais as utilizações dos Logaritmos hoje?

11. Dentre os itens seguintes, assinale aqueles que você acredita ter alguma relação comLogaritmos:

a) ( ) Cálculo do índice pluviométrico anual médio de uma regiãob) ( ) determinação do volume de um conec) ( ) crescimento de bactériasd) ( ) representação gráfica de funçõese) ( ) eletrocardiogramaf) ( ) potenciaçãog) ( ) intensidade sonorah) ( ) resfriamento de um corpo aquecidoi) ( ) função exponencialj) ( ) movimento retilíneo uniformemente variadok) ( ) simplificação de cálculos aritméticos trabalhososl) ( ) juros compostosm) ( ) comprimento de um arco de parábolan) ( ) área de uma faixa sob uma hipérboleo) ( ) cartografiap) ( ) tábuas trigonométricasq) ( ) jogos de azarr) ( ) sons emitidos pelas teclas de um pianos) ( ) progressões aritméticas e geométricast) ( ) movimento circular uniformeu) ( ) luminosidade das estrelasv) ( ) energia cinética de um corpow) ( ) pH de uma solução químicax) ( ) luminosidade de uma lâmpada elétricay) ( ) desintegração radioativaz) ( ) linearização de curvas

113

12. Considere os itens marcados na questão anterior e tente justificar cada uma de suasescolhas.

13. Narre em que situações de aprendizagem você aprendeu Logaritmos (abordagem doprofessor; usou ou não do livro didático; quais disciplinas; outros.)

14. Quais as dificuldades que você tem com relação ao Logaritmo? A que você atribuiessas dificuldades?

15. Para você quais seriam os métodos de ensino do Logaritmo?

Bibliografia: Miorim, Maria Ângela Miguel, Antonio Os Logaritmos na Cultura Escolar Brasileira. Editora SBHMAT 2002 São Paulo. (Item 11 textointegral páginas 8 e 9)

114

Seqüência de atividades

Logaritmos II

Definição de logaritmo:Logaritmos são os termos de uma progressão aritmética começando por zero,

correspondentes aos termos de uma progressão geométrica começando pela unidade(SERRASQUEIRO, 1900, P. 320).

1 - Observe a definição anterior. Dadas as seqüências:

I) PA: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

PG: 1, 2, 3, 4 , 8, 16, 32, ...

II) PA: 0, 2, 4, 6, 8, 10, ...

PG: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

A) Qual seria, na seqüência I, o logaritmo de 8? E na II?

B) O que está fazendo com que as duas correspondências de seqüências sejam

diferentes?

C) Qual a base está sendo utilizada na seqüência I? e na II?

D) Descreva, em linguagem matemática, a definição acima, determinando as

condições de existência dos logaritmos para R e para C.

E) Determine, na primeira seqüência, a média aritmética entre o segundo e o sexto

termo da PA. Determine a média geométrica entre os termos correspondentes

segundo e sexto na PG. O que você observa? Este fato é generalizável para os

demais termos da seqüência I? E para a seqüência II?

*As atividades desta lista foram elaboradas a partir das informações contidas no livro Os logaritmos na cultura escolar brasileira de MIORIM, M.A e MIGUEL,A. Natal, SBHMat. 2002

115

F) Na seqüência II, some os terceiros e quarto termos da PA. Qual o termo

correspondente, na PG, a esta soma? Como conseguiríamos este termo da PG

utilizando apenas os termos da progressão geométrica?

G) Sabemos que 864 = . O que teríamos que fazer, na seqüência I, com o termo

da PA correspondente ao termo da PG, 64, para determinarmos, na PA, o termo

correspondente ao termo da PG, 8? E na seqüência II?

H) A partir das observações anteriores, como determinaríamos, utilizando a PA,

seqüência I, o logaritmo de 8 ? E na seqüência II?

I) Em qualquer uma das seqüências, a subtração de dois termos da PA corresponde

a que operação com os termos correspondentes da PG?

J) Em qualquer uma das seqüências, a duplicação de um termo da PA corresponde

a que operação ao termo correspondente da PG?

2

Napier em sua obra, publicada em 1619, concebeu os logaritmos a partir de

aspectos, simultaneamente, geométrico, cinemático, aritmético, funcional e

trigonométrico. Para tal, imaginou uma situação cinemática na qual dois pontos

móveis P e P , a partir dos pontos A e A , iniciavam simultaneamente seus

movimentos ao longo de duas trajetórias retilíneas AB e A , respectivamente.

Considerou que AB possuía comprimento fixo de 107. A era considerada uma

semi-reta ao longo da qual eram fornecidos os logaritmos.

*As atividades desta lista foram elaboradas a partir das informações contidas no livro Os logaritmos na cultura escolar brasileira de MIORIM, M.A e MIGUEL,A. Natal, SBHMat. 2002

116

Os pontos P e P , porém, não se deslocavam com velocidades iguais: P se

deslocava com velocidade variável e, em cada momento, numericamente igual à

sua distância ao ponto B. A variação de velocidade de P se dava por um coeficiente

constante igual a (1-10-7) em cada intervalo de tempo t∆ , escolhido

convenientemente. P se deslocava com velocidade constante e numericamente

igual à distancia AB, isto é, a 107 .

Napier definia, para cada instante desse movimento coordenado, o logaritmo de

cada um dos segmentos PI B como sendo, respectivamente cada uma das

distâncias A P i .

a) A partir destas informações, complete a tabela abaixo, fazendo corresponder a

cada instante, distâncias Pi B e A i dos pontos P E P .

Tempo i PiB

T0= 0 107

T1=10-7

T2= 2.10-7

b) Que tipo de progressões formam as seqüências A i e Pi B?

c)Qual a razão de cada uma delas?

*As atividades desta lista foram elaboradas a partir das informações contidas no livro Os logaritmos na cultura escolar brasileira de MIORIM, M.A e MIGUEL,A. Natal, SBHMat. 2002

AP

B

B’ P’ B’

117

d) Qual a base deste sistema de logaritmos criado por Napier?

3) Vamos realizar uma alteração no sistema de logaritmos de Napier.

a) Complete a tabela abaixo:

TEMPO710IAP

710BpI Arc sen 710

BpI

00 =T

71 10−=T

72 10.2 −=T

73 10.3 −=T

b) As seqüências da segunda e da terceira coluna ainda são progressões? Em

caso positivo, quais as razões destas progressões?

c) Qual a base deste novo sistema de logaritmo?

d) Calcule o inverso multiplicativo do valor desta base. O que você observa?

4) Vamos construir uma tábua de valores aproximados dos logaritmos, na base 10,

dos primeiros nove números inteiros positivos.

Consideremos 210 = 1024

*As atividades desta lista foram elaboradas a partir das informações contidas no livro Os logaritmos na cultura escolar brasileira de MIORIM, M.A e MIGUEL,A. Natal, SBHMat. 2002

118

1024, difere de 1000 por um erro de 2,4%. Este será o erro de nossos cálculos do

log 2.

210 = 1000 aproximadamente

210 = 103 aproximadamente

2 = 100,3 aproximadamente

Portanto, log 2 é 0,3 aproximadamente.

Analogamente, 39 = 19683

19683 difere de 20000 por um erro de 1,6%.

39 = 20000 aproximadamente

39 = 100,3 . 104 aproximadamente

39 = 2 . 10000 aproximadamente

39 = 93,4

10 aproximadamente

log3 = 0,48 aproximadamente

Agora, utilizando as propriedades estudadas no 1º exercício desta seqüência,

calcule os logaritmos dos demais números inteiros positivos de 1 a 9. (Dica: para

sete, considere que sete ao quadrado é aproximadamente 50).

5) Com sua tabela de logaritmos na base 10, sem usar a calculadora, como faríamos

para calcular 48. 125?

2. 5- Atividades Relacionando matemática e música :

• Responda as questões abaixo considerando a pesquisa sobre a relação

matemática e música.

*As atividades desta lista foram elaboradas a partir das informações contidas no livro Os logaritmos na cultura escolar brasileira de MIORIM, M.A e MIGUEL,A. Natal, SBHMat. 2002

119

1)Marque no instrumento as notas pela escala pitagórica.

2) a) Sabendo que a freqüência de um Dó é o dobro do outro, calcule as razão

entre cada nota.

DO do# RÉ ré# MI FÁ fá# SOL sol# LÁ lá# SI DÓ

b) Se a freqüência do primeiro DÓ for 1 calcule a freqüência das demais notas

e marque no instrumento uma escala de DÓ a DÓ, medindo com a régua.

2) Qual o conceito implícito na atividade anterior

*As atividades desta lista foram elaboradas a partir das informações contidas no livro Os logaritmos na cultura escolar brasileira de MIORIM, M.A e MIGUEL,A. Natal, SBHMat. 2002

120

RESUMO DO TRABALHO

QUESTÃO NORTEADORA DA PESQUISA:

Qual o potencial de uma seqüência de atividades pedagógicas sobre logaritmos elaboradastendo como fio condutor a história da matemática?

OBJETIVO:

Apresentar uma seqüência de atividades para o trabalho pedagógico, tendo como fiocondutor a História da Matemática, buscando a origem do conceito de logaritmos, e a relaçãoda matemática com a música. Objetivando, analisar qual o potencial que uma atividade sobuma perspectiva histórica, teria no que diz respeito ao processo de ensino aprendizagem.

ESTUDO HISTÓRICO DOS LOGARITMOS

§ ORIGEM: Necessidade prática de um método que simplificasse os cálculosutilizados para a navegação e astronomia.

§ REGRA DE PROSTAFÉRESE: Regras que transformavam produto em soma oudiferença.

§ NAPIER: Apresenta os logaritmos numa concepção geométrica estabelecendo arelação entre o mesmo e as progressões aritméticas e geométricas. Apresenta umamaneira mais simples para a realização de cálculos - transformando a multiplicaçãoem adição e a divisão em subtração.

RELAÇÕES ENTRE A MATEMÁTICA E A MÚSICA:

§ Pitágoras de Samos - Os intervalos perfeitos 3/4 - 2/3 –1/2§ Andréa de Werkmeister

- Temperamento Igual

PRESSUPOSTOS E PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

DIFICULDADES APRESENTADAS À PRIORI:

§ Relacionar a definição histórica ao que lhe foi apresentado pelo ensino atual;§ Dar uma definição de logaritmo, associada a progressões aritméticas e progressões

geométricas;§ Transpor o conceito apreendido a outras situações;§ Reconhecer as propriedades quando exploradas em diferentes contextos;§ Compreender as condições de existência dos logaritmos;

§ Perceber que o logaritmo transforma uma operação em outra de menor nível. Porexemplo a multiplicação em adição;

121

§ Perceber que em sua origem histórica o logaritmo prescindiu de uma base e doexponencial;

§ Desconhecer que a base do sistema de logaritmos de Napier aproxima-se do inversomultiplicativo de e.

§ Desconhecer a construção de uma tábua de logaritmos;§ Trabalhar com expoente racional na representação decimal;§ Relacionar os expoentes do item anterior com a tábua de logaritmos construída por

eles;§ Desconhecer a relação entre logaritmo e música.

SUJEITOS DA PESQUISA:

§ Alunos do 6º período do curso de Licenciatura em Matemática da UniversidadeFederal do Rio Grande do Norte.

§FASES DA PESQUISA:

§ Aplicação de uma avaliação diagnóstica;§ Seleção de cinco alunos;§ Aplicação das atividades.

CRITÉRIOS DE ANÁLISE:

§ Analisar através das falas e das resoluções dos alunos se em cada atividadedesenvolvida as hipóteses levantadas à priori foram confirmadas.

ATIVIDADES DESENVOLVIDAS:

Foram desenvolvidas uma série de atividades cujo os objetivos contemplassem as hipóteselevantadas à priori.Em termos Gerais as atividades tinham o seguintes objetivos:§ Revisar a partir do referencial de progressões aritméticas e progressões geométricas o

conceito de logaritmos e suas propriedades.

Reconhecer:§ A correspondência entre as progressões aritméticas e geométricas;§ As propriedades, quando exploradas em diferentes contextos;§ Que as subtrações, na progressão aritmética, correspondem a quociente na

progressão geométrica;§ O conceito apresentado na construção da tabela;§ Que a base do sistema de logaritmos de Napier aproxima-se do inverso

multiplicativo de e;§ A relação entre logaritmos e música.

122

Perceber:§ As diferentes bases;§ Que o logaritmo transforma uma operação em outra de menor nível;§ Que as raízes de termos da progressão geométrica são obtidas mediante

divisões de termos a eles correspondentes na progressão aritméticas pela razãoda progressão geométrica.

Determinar:§ As condições de existência, através da linguagem matemática;§ A média geométrica e a média aritmética.

Construir:§ Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica particular partindo

de uma situação histórica;§ Uma tabela de valores aproximados dos logaritmos na base 10;§ Analisar o sistema de logaritmos de Napier.

ANÁLISE GERAL:

Pontos negativos:

§ No inicio os alunos tiveram dificuldades em relacionar o conceito delogaritmos com as progressões aritméticas e geométricas;

§ Não reconheceram a relação existente entre as bases do sistema de logaritmoe as razões das progressões;

§ Apresentaram dificuldades em reconhecer a base do sistema de Napier;§ Os alunos tiveram dificuldades em trabalhar com expoente racional;§ Ficou evidente a não familiarização com o instrumento musical.

Pontos positivos:

§ As intervenções da professora durante a atividade;§ Os alunos se reportaram as conclusões anteriores para responder as questões;§ Houve uma reeleboração do conceito apresentado durante a realização das

atividades;§ Apesar das dificuldades apresentadas em sua maioria as atividades foram

realizadas.

123

CONSIDERAÇÕES FINAIS:

A atividade realizada demonstra que o conteúdo de logaritmos nos traz inúmeraspossibilidades de trabalho pedagógico, como por exemplo, se aprofundarmos o estudo darelação música e logaritmos; ou até mesmo criar novas situações que o relacionem com asprogressões geométricas e aritméticas que poderiam levar a situações de um reconhecimentomais profundo sobre o conceito e as propriedades dos logaritmos.

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