o deslocamento de goos-hÄnchen e os fenÔmenos da...

MANOEL PEDRO DE ARAÚJO

O DESLOCAMENTO DE GOOS-HÄNCHEN E OS FENÔMENOS DA QUEBRA

DE SIMETRIA PARA FEIXES GAUSSIANOS

CAMPINAS

2015

i

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Instituto Física “Gleb Wataghin”

MANOEL PEDRO DE ARAÚJO

O DESLOCAMENTO DE GOOS-HÄNCHEN E OS FENÔMENOS DA QUEBRA

DE SIMETRIA PARA FEIXES GAUSSIANOS

Tese de doutorado apresentada ao Instituto de Física da

Universidade Estadual de Campinas como parte dos re-

quisitos exigidos para obtenção do título de Doutor em

Ciências.

Orientador: Prof. Dr. Stefano De Leo

Co-orientador: Prof. Dr. Luís Eduardo Evangelista de Araujo

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO

FINAL DA TESE DEFENDIDA PELO ALUNO

MANOEL PEDRO DE ARAÚJO, E ORIENTADA

PELO PROF. DR. STEFANO DE LEO.

Assinatura do Orientador

CAMPINAS

2015

iii

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Física Gleb WataghinValkíria Succi Vicente - CRB 8/5398

Araújo, Manoel Pedro de, 1980- Ar15d AraO deslocamento de Goos-Hänchen e os fenômenos da quebra de simetria

para feixes gaussianos / Manoel Pedro de Araújo. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

AraOrientador: Stefano De Leo. AraCoorientador: Luis Eduardo Evangelista de Araujo. AraTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física

Gleb Wataghin.

Ara1. Goos-Hänchen, Deslocamento. 2. Simetria quebrada (Física). 3. Feixes

gaussianos. I. De Leo, Stefano,1966-. II. Araujo, Luis Eduardo Evangelistade,1971-. III. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Física GlebWataghin. IV. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: The Goos-Hänchen shift and the phenomena of symmetry breakingfor gaussian beamsPalavras-chave em inglês:Goos-Hänchen shiftSymmetry breaking (Physics)Gaussian beamsÁrea de concentração: FísicaTitulação: Doutor em FísicaBanca examinadora:Stefano De Leo [Orientador]Alex Eduardo de BernardiniAntonio Zelaquett KhouryGustavo Silva WiederheckerNewton Cesário FrateschiData de defesa: 08-06-2015Programa de Pós-Graduação: Física

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iv

Resumo

Esta tese apresenta uma análise sobre o deslocamento de Goos-Hänchen, o desvio

angular da lei de Snell e o efeito de interferência entre feixes ópticos gaussianos.

Em nosso estudo o deslocamento de Goos-Hänchen foi obtido por meio do método

da fase estacionária. No regime de incidência crítica, tal deslocamento apresenta uma

forte dependência com a largura do feixe, em contraste com as expressões clássicas de

Artmann, que predizem um deslocamento infinito. Também na incidência crítica, obser-

vamos que, dependendo da magnitude da largura da cintura do feixe, ocorre uma quebra

de simetria na distribuição de momento. A maximização da quebra de simetria leva ao

desvio angular da lei de Snell. Mostramos como reproduzir a máxima quebra de simetria

por uma estrutura dielétrica. Como resultado, obtivemos uma nova fórmula analítica para

o desvio angular. Ademais, foi possível estimar o deslocamento de Goos-Hänchen por

meio do efeito de interferência entre feixes. Nesta análise, observamos que, na incidên-

cia crítica, a estimativa usada na literatura para o deslocamento de Goos-Hänchen não é

válida. Portanto, uma nova fórmula foi introduzida para estimar tal deslocamento.

vii

Abstract

This thesis presents some of the main phenomena associated with Goos-Hanchen shift,

the angular deviation of the Snell’s law and the interference effect among Gaussian optical

beams.

In our study the Goos-Hänchen shift was obtained by using the stationary phase

method. In the case of incidence at critical angle, such displacement shows a strong de-

pendence on the beam width in contrast with the classical expressions of Artmann, which

predict an infinite displacement. Also in the critical incidence we observed that, depen-

ding on the magnitude of the beam waist, there is a symmetry breaking in the momentum

distribution. The maximization of symmetry breaking leads to the angular deviations of

the Snell’s law. In this analysis we showed how to maximize this breaking of the sym-

metry by a dielectric structure. As a result, we obtained an analytical formula to the

Snell’s law angular deviation. Furthermore, we could estimate the displacement of Goos-

Hänchen through the interference effect among beams. The results of this analysis reveal

that, for the critical incidence, the estimative used in the literature for the Goss-Hänchen

shift is not valid. Therefore, a new formula was introduced to estimate such displacement.

ix

Sumário

1 Introdução 1

1.1 Contribuições originais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Estrutura da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Teorias fundamentais 6

2.1 As leis de reflexão e refração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 O deslocamento de Goos-Hänchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Transmissão em blocos dielétricos 13

3.1 Laser de perfil gaussiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2 Estrutura dielétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Fase óptica 24

4.1 Fase de Snell e a Lei de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.1 Ângulos de incidência maior que o ângulo crítico (θ > θcri) . . . . . . . . . . 29

4.2.2 Incidência no ângulo crítico (θ = θcri) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2.3 Análise numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 O fenômeno da quebra de simetria na distribuição gaussiana 35

5.1 Modelando a quebra de simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

xi

5.2 Realização da quebra de simetria em experimentos ópticos . . . . . . . . . . . . . . 39

5.3 A Lei de Snell e o fenômeno de múltiplos picos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6 Medida do deslocamento de Goos-Hänchen por meio do efeito de interferência 48

6.1 Interferência entre feixes de diferentes polarizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.2 Dependência axial do deslocamento de Goos-Hänchen . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.3 Efeito de interferência em experimentos ópticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.4 O comportamento do máximo principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

7 Conclusões 65

7.1 Resultados obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.2 Perspectivas de trabalho futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Bibliografia 72

xii

Construí amigos, enfrentei derrotas, venci obstácu-

los, bati na porta da vida e disse-lhe: Não tenho medo

de vivê-la.

Augusto Cury

xiii

Agradecimentos

Agradeço em primeiro lugar a Deus que iluminou o meu caminho durante esta caminhada.

À minha família, que forneceram as ferramentas necessárias para que eu estudasse e sempre me

incentivaram a valorizar o conhecimento.

Ao professor doutor Stefano De Leo, orientador desta tese, por todo empenho, sabedoria, compre-

ensão e paciência na orientação. Também, gostaria de ratificar suas discussões, revisões e sugestões

que tornaram possível a conclusão deste trabalho.

Ao professor doutor Luís Araújo pelo aceite de coorientação desta tese.

Agradeço aos professores doutores Newton Cesario Frateschi e Marcos Cesar de Oliveira, que

participaram como membros da banca de qualificação de pré-requisito deste trabalho, em face de suas

sugestões e discussões.

Também gostaria de agradecer aos professores doutores Alex Eduardo de Bernardini, Antonio

Zelaquett Khoury, Gustavo Silva Wiederhecker e Newton Cesário Frateschi por suas sugestões e dis-

cussões.

Aos alunos que fazem parte de nosso grupo pesquisa, por tantos anos de convivência e amizade,

em especial queles que estiveram envolvidos mais diretamente no desenvolvimento desta tese.

Por fim, ressalto a Capes, pelo apoio governamental que manteve o financiamento desta pesquisa.

Também, um particular agradecimento à UNICAMP, onde pude obter a condição necessária e sufici-

ente para o sucesso de minha vida profissional.

xv

Lista de Figuras

1.1 Propagação da luz no regime de reflexão total (b). O deslocamento lateral D representa

o deslocamento de Goos-Hänchen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.1 Propagação da luz no regime de reflexão parcial, através de dois meios dielétricos

de índices de refração n1 e n2 . Nesta figura ϕin , ϕref e ϕtra representam os ângulos

de incidência, reflexão e transmissão, respectivamente. A lei de reflexão garante que

ϕin = ϕref . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Propagação da luz no regime de reflexão parcial (a) e total (b). Em (b) dGH representa

o deslocamento obtido por Goos-Hänchen em 1947 [1]. . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Evolução do deslocamento de Goos-Hänchen em função do ângulo de incidência.

Tal deslocamento apresenta um comportamento infinito para a incidência no ângulo

crítico, ϕcri = arcsin(1/n). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Representação esquemática do experimento de Goos-Hänchen retirada do artigo ori-

ginal Annalen der Physik 1947 [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

xvii

3.1 Representação geométrica. (a) Esquema representativo da geometria do bloco die-

létrico, dos sistemas de coordenadas e um feixe incidente proveniente de uma fonte S.

O feixe incide sobre a superfície sob o ângulo de reflexão interna total. Na incidência

crítica (b), apresentamos a correção do caminho óptico (dGH) com relação ao caminho

óptico previsto pela lei de Snell (ySnell). (c) A amplificação do deslocamento de GH é

dada por meio de múltiplas reflexões da luz em uma estrutura dielétrica composta por

N blocos em série. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1 A distribuição gaussiana de momento. Evolução da distribuição gaussiana de mo-

mento para diferentes ângulos de incidência. A linha pontilhada representa a dis-

tribuição com coeficiente de reflexão real, kz∗ > 0. A linha contínua representa a a

distribuição com coeficiente de reflexão complexo, kz∗ < 0. . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 O deslocamento de Goos-Hänchen. Evolução do deslocamento de Goos-Hänchen

em função do ângulo de incidência para o índice de refração fixo n =√

2 e para três

diferentes valores do parâmetro kw0. Os dados numéricos (linhas tracejadas) estão

em excelente acordo com a nossa predição analítica para o deslocamento de Goos-

Hänchen, d[s, p]

GH,cri(ponto) e d

[s, p]

GH(linha contínua para kw0 = 500). . . . . . . . . . . . . 32

4.3 O deslocamento de Goos-Hänchen. Evolução numérica do deslocamento de Goos-

Hänchen em função do índice de refração para o ângulo de incidência, θ = 0 e três

valores diferentes de kw0. Os dados numéricos (linhas tracejadas) estão em excelente

acordo com a nossa predição analítica para o deslocamento de Goos-Hänchen, d[s, p]

GH,cri

(ponto) e d[s, p]

GH(linha contínua para kw0 = 500). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.1 O modelo da quebra de simetria. A quebra de simetria da distribuição gaussiana de

momentos gera uma dependência axial para o pico do feixe óptico (b). Esta dependên-

cia é mostrada em (c). Para o valor médio transversal é possível obter uma expressão

analítica axial linear, como na Eq. (5.7), que é confirmada em (d). . . . . . . . . . . 37

xviii

5.2 Representação geométrica. A quebra de simetria gera um desvio angular α da lei de

Snell como está representado em (a) junto com o deslocamento de Goos-Hänchen. A

quebra de simetria é maximizada por uma contribuição de N blocos (b) que em um

experimento óptico pode ser realizado por um prisma longo de lados N BC e AB. . . 39

5.3 A quebra de simetria para N blocos dielétricos. Os gráficos mostram que, para

maximizar a quebra de simetria, temos que diminuir a cintura do feixe, aumentar o

número de blocos e usar ondas polarizadas p. Para tais ondas, uma escolha apropriada

para obter a quebra máxima de simetria é representada por N = 50 e kw0 = 103. . . . 40

5.4 O desvio angular da lei de Snell. Evolução da dependência axial do pico e o va-

lor médio transversal na incidência crítica para a cintura do feixe w0 fixa para dife-

rentes números de blocos N. O desvio angular é evidente em (b) e (d). Notamos

que os pontos físicos nos quais podem ser feita a análise experimental são dados por

zout = zin +N tanϕc AB (pontos× nos gráficos). Os pontos • representam os pontos da

análise numérica para os blocos de borossilicato e sílica fundida (Tab. 5.1). . . . . . 43

5.5 O fenômeno de múltiplos picos. Para kw0 = 103, o feixe óptico transmitido apre-

senta o fenômeno de múltiplos picos. Tal fenômeno é diretamente relacionado ao

alargamento do feixe óptico e é pelo fato de que na distribuição de momento as com-

ponentes de momento negativas são superadas pelas componentes positivas. . . . . . 45

5.6 O efeito focal. Para kw0 = 104, o fenômeno de múltiplos picos não é muito evidente.

Porém, um novo fenômeno aparece. Pelo fato da contribuição de segunda ordem da

fase de óptica, no feixe transmitido podemos observar o efeito de focalização como

mostra em (f). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

xix

6.1 Configuração experimental. Montagem experimental para observar a distância entre

o pico principal do feixe para duas rotações opostas, ±∆ε, do segundo polarizador.

O feixe incidente antes do primeiro polarizador (α = π/4) possui uma mistura igual

de ondas polarizadas s e p, passa pelo bloco dielétrico (zin < z < zout) e passa pelo

do analisador em z = zA perdendo a fase ∆φGH . A interferência óptica é realizada por

meio da mudança do ângulo de rotação do segundo polarizador (β = 3π/4± |∆ε|).

Para ∆ε = 0 o feixe se propaga com dois máximos iguais centrados em ±w(z)/√

2. . 51

6.2 As curvas do deslocamento de Goos-Hänchen para blocos de borossilicato. Os

dados numéricos para o deslocamento ∆dGH para os feixes gaussianos, transmitidos

através de um bloco dielétrico de borossilicato, são ilustrados no intervalo 10cm ≤

z ≤ 15cm, para diferentes valores da largura da cintura do feixe w0 = 200µm (a),

300µm (b), e 500µm (c). A transição do comprimento de onda e da cintura do feixe na

incidência crítica é evidente e a dependência axial representa um fenômeno adicional. 53

6.3 As curvas do deslocamento de Goos-Hänchen para blocos de sílica fundida. Os

dados numéricos para o deslocamento ∆dGH para os feixes gaussianos, transmitidos

através de um bloco dielétrico de sílica fundida são ilustrados no intervalo 10cm≤ z≤

15cm para diferentes valores da largura da cintura do feixe w0 = 200µm (a), 300µm

(b) e 500µm (c). A transição do comprimento de onda e da cintura do feixe na in-

cidência crítica é evidente e a dependência axial representa um fenômeno adicional.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.4 dependência angular de τ e ∆ΦGH . A dependência angular de τ (taxa entre os mó-

dulos das amplitudes para a luz polarizada s e p) e ∆φGH (diferença de fase entre as

ondas polarizadas s e p) são ilustradas em (a) para blocos dielétricos de borossilicato

e (c) sílica fundida. Na região crítica, τ é aproximada igual a um. Isso foi usado para

simplificar a expressão para feixe transmitido, como mostra a Eq. (6.12). . . . . . . 60

xx

6.5 As curvas do efeito de interferência óptica para blocos de borossilicato. As curvas

previstas para a distância entre os picos principais dos feixes saindo de um bloco

dielétrico borossilicato e passando através do segundo polarizador para duas rotações

opostas |∆ε| são ilustradas no intervalo 10cm ≤ z ≤ 15cm para diferentes valores da

largura da cintura do feixe w0 = 200µm (a), 300µm (b) e 500µm (c). Para reduzir a

dependência axial, temos que aumentar a largura da cintura do feixe w0. Note que a

curva de amplificação 1/|∆ε|, válida para incidência distante da incidência crítica, é

perdida quando a incidência aproxima-se do ângulo crítico. . . . . . . . . . . . . . . 61

6.6 As curvas do efeito de interferência óptica para blocos de sílica fundida. As cur-

vas previstas para a distância entre os picos principais dos feixes saindo de um bloco

dielétrico de sílica fundida e passando através do segundo polarizador para duas rota-

ções opostas |∆ε| são ilustradas no intervalo 10cm≤ z≤ 15cm para diferentes valores

da largura da cintura do feixe w0 = 200µm (a), 300µm (b) e 500µm (c). Para reduzir

a dependência axial, temos que aumentar a largura da cintura do feixe w0. Note que

a curva de amplificação 1/|∆ε|, válida para incidência distante da incidência crítica, é

perdida quando a incidência aproxima-se do ângulo crítico. . . . . . . . . . . . . . 62

6.7 As curvas do deslocamento de GH para blocos borossilicato e sílica fundida. Os

dados numéricos para o deslocamento ∆dGH para os feixes gaussianos transmitidos

através de blocos dielétricos de borossilicato(a) e de sílica fundida(b) são ilustrados

no intervalo 10cm≤ z≤ 15cm para a largura da cintura do feixe w0 = 1.0mm. A mu-

dança de comportamento do comprimento de onda e da cintura do feixe na incidência

crítica é evidente. Por outro lado, a dependência axial foi reduzida. . . . . . . . . . . 63

xxi

6.8 As curvas do efeito de interferência óptica para blocos de borossilicato e sílica

fundida. As curvas previstas para a distância entre os picos principais dos feixes

saindo de blocos dielétricos de borossilicato (a) e de sílica fundida(b) e passando atra-

vés do segundo polarizador para duas rotações opostas |∆ε| são ilustradas no intervalo

10cm ≤ z ≤ 15cm, para a largura da cintura do feixe w0 = 1.0mm. Observamos que

a dependência axial foi reduzida para tal cintura de feixe. Note que a curva de ampli-

ficação 1/|∆ε|, válida para incidência distante da incidência crítica, é perdida quando

a incidência aproxima-se do ângulo crítico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.1 Distribuição gaussiana de momentos. Evolução da distribuição gaussiana de mo-

mento para um ângulo de incidência maior que o ângulo crítico, k w0 σ(n, θ) =−5. A

linha contínua representa a distribuição com coeficiente de reflexão complexo, kz∗ < 0. 65

7.2 Distribuição gaussiana de momentos. Evolução da distribuição gaussiana de mo-

mento para a incidência no ângulo crítico, k w0 σ(n, θ) = 0. A linha pontilhada re-

presenta a distribuição com coeficiente de reflexão real, kz∗ > 0. A linha contínua

representa a a distribuição com coeficiente de reflexão complexo, kz∗ < 0. . . . . . . 66

7.3 Quebra de simetria para N blocos dielétricos. Para ondas polarizadas p, os gráficos

mostram que para maximizar a quebra de simetria, temos que aumentar o número de

blocos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.4 Curvas do efeito de interferência para blocos de borossilicato. As curvas previstas

para a distância entre os picos principais dos feixes saindo de um bloco dielétrico e

passando através do segundo polarizador para duas rotações opostas |∆ε| são ilustradas

no intervalo 10cm≤ z≤ 15cm para largura da cintura do feixe 300µm. . . . . . . . 68

xxii

Lista de Tabelas

5.1 A desviação da lei de Snell para blocos dielétricos de borossilicato e sílica fundida.

A posição numérica do pico ymax,T e valor médio transversal 〈y〉T do feixe transmitido

na incidência crítica são listados para ondas polarizadas s e p para índices de refração

diferentes em função do número de blocos N e para a taxa fixa da largura da cintura do

feixe/comprimento de onda kw0 e da distância axial z. Notamos que com o aumento

do número de blocos ocorre o aumento do desvio da lei de Snell. . . . . . . . . . . 44

xxiii

Capıtulo 1Introdução

O efeito de Goos-Hänchen é um fenômeno óptico em que a luz linearmente polarizada sofre um

deslocamento lateral (deslocamento paralelo ao plano de incidência), quando é totalmente refletida

(veja Fig. 1.1).

b

D

b bc

Figura 1.1: Propagação da luz no re-gime de reflexão total (b). O desloca-mento lateral D representa o desloca-mento de Goos-Hänchen.

Na reflexão total da luz, uma onda evanescente aparece no meio

de menor índice refrativo. Estas ondas evanescentes e o efeito de

interferência entre as ondas incidente e refletida no meio de maior ín-

dice refrativo são responsáveis pelo deslocamento lateral da luz refle-

tida. Este fenômeno foi observado experimentalmente pela primeira

vez em 1947 pelos físicos Goos e Hänchen e explicado teoricamente

por Kurt Artmann em 1948 pelo uso do método da fase estacioná-

ria [2].

Além do deslocamento de Goos-Hänchen, foi descoberto em

1955 por Fedorov [3] outro efeito semelhante a este. Fedorov [3],

observou que quando um feixe circularmente ou elipticamente pola-

rizado é totalmente refletido, este sofre um deslocamento transverso

(deslocamento perpendicular ao plano de incidência). Imbert [4] cal-

culou este deslocamento pelo uso do método do fluxo de energia desenvolvido por Renard [5] para o

deslocamento de Goos-Hänchen. Este fenômeno ficou conhecido por efeito de Imbert-Fedorov.

Estes deslocamentos não são efeitos particulares para a luz, são efeitos ondulatórios e que podem

1

2

acorrer tanto para onda de luz quanto para ondas de partículas da mecânica quântica. Em Mecânica

quântica não relativística, o deslocamento de Goos-Hänchen está associado com “delay time” [6].

Neste contexto, destacamos o trabalho de Renard [5], no qual ele obteve expressões para o desloca-

mento lateral para onda de luz da óptica clássica e para ondas associadas com partículas da mecânica

quântica. Por outro lado, o efeito Imbert-Fedorov está relacionado ao efeito Hall do spin da luz [7, 8]

devido à separação ortogonal em relação ao plano de incidência de duas componentes do spin do feixe

refletido ou transmitido.

Estudos teóricos e experimentais têm sido realizados sobre o deslocamento de Goos-Hänchen. A

começar por Artmann, que foi o primeiro a obter expressões analíticas, estas expressões apresentam

um comportamento infinito na incidência crítica. Muitas tentativas foram realizadas para resolver o

problema do infinito [5,9], Horowitz e Tamir [10] obtiveram uma expressão para o deslocamento pelo

uso da aproximação de fresnel. A expressão obtida apresenta validade para ângulos de incidência

próximos do ângulo crítico. Além disso, temos também as dificuldades experimentais para medir tal

deslocamento. O processo de media do deslocamento de Goos-Hänchen é em geral uma tarefa difícil

por ser um deslocamento da ordem do comprimento de onda da luz. Muitas técnicas foram utilizadas

para a medida desse deslocamento, detre elas destacamos a técnica de múltiplas reflexões [1] e a

técnica de interferência entre feixes que, pode ser entendia como a medida fraca óptica. Esta técnica é

um análogo óptico da medida faca quântica, conceito introduzido por [11]. A técnica de interferência

permite amplificar o efeito de Goos-Hänchen, permitindo resultados validos somente no regime de

reflexão interna total.

Ao longo dos anos, o deslocamento de Goos-Hänchen tem sido objeto de consideráveis estudos,

não somente da sua importância sobre as propriedades fundamentais da luz, mas também por sua

aplicação em muitas áreas da física, tais como acústica [12], física de plasmas [13] e mecânica quântica

[14].

Nesta tese analisaremos o efeito de Goos-Hänchen para feixes gaussianos transmitidos através

de blocos dielétricos estratificados e homogêneos. Em tal análise usaremos uma técnica de cálculo

usada em problemas em mecânica quântica, com base nos artigos feitos por Rotelli e De Leo [15–17].

A descrição do feixe baseia-se no formalismo de pacotes de onda, considerando uma distribuição

gaussiana de momentos.

2

1.1. Contribuições originais 3

1.1 Contribuições originais

Apesar de grande parte deste trabalho incidir sobre temas já abordados, apresentamos algumas

novas contribuições precedentes as seguintes:

•Mudança de comportamento da largura da cintura do feixe e do comprimento de onda para o

deslocamento de Goos-Hänchen [18];

Nesta etapa, solucionamos o problema da infinidade na incidência crítica para o deslocamento de

Goos-Hänchen. Em tal incidência, obtemos o deslocamento de Goos-Hänchen amplificado por um

fator√

w0/λ, em que w0 representa a largura da cintura do feixe e λ o comprimento de onda.

• Efeito de Goos-Hänchen assimétrico [19];

Nesta análise, observamos que a quebra de simetria na distribuição de momento na incidência

crítica causa um efeito dinâmico ao deslocamento de Goos-Hänchen.

• Quebra máxima de simetria no ângulo crítico e expressão fechada para desvios angulares da

lei de Snell [20];

A amplificação da quebra de simetria na distribuição de momento na incidência crítica leva a um

desvio angular máximo da lei de Snell. Em consequência, foi possível obter uma fórmula analítica

para o desvio angular.

• Dependência axial na interferência entre feixes na região crítica [21].

Na incidência crítica, a estimativa para o deslocamento de Goos-Hänchen via interferência entre

feixes ópticos não é válida. Conseguimos aperfeiçoar esta técnica para a incidência crítica e uma nova

fórmula foi introduzida para estimar tal deslocamento.

1.2 Estrutura da tese

A presente tese encontra-se estruturada em sete capítulos, correspondendo o Capítulo 1 à sua

introdução. Os restantes capítulos encontram-se organizados da seguinte forma: Capítulo 2-Teorias

fundamentais, Capítulo 3-Transmissão em blocos dielétricos, Capítulo 4-Fase óptica, Capítulo 5-O

fenômeno da quebra de simetria na distribuição gaussiana, Capítulo 6-Medida do deslocamento de

Goos-Hänchen por meio do efeito de interferência e, por fim, o Capítulo 7- Conclusões e perspectivas

3

4 1.2. Estrutura da tese

de trabalho futuro.

• Capítulo 2

Neste capítulo introduzimos as leis de reflexão e refração da luz e a teoria de Artmann para o

deslocamento de Goos-Hänchen. O capítulo 2 encontra-se organizado em duas seções. Na seção

2.1 fazemos uma pequena introdução histórica sobre as leis de refração e reflexão. Na seção 2.2

apresentamos a teoria de Artmann com base no formalismo de pacote de onda para o deslocamento de

Goos-Hänchen.

• Capítulo 3

Neste capítulo introduzimos a geometria do sistema dielétrico, e abordamos a propagação do feixe

gaussiano através desse sistema. O capítulo 3 encontra-se organizado em duas seções. Na seção

3.1 introduzimos o laser de perfil gaussiano, de modo a realizar uma pequena introdução de suas

propriedades matemáticas e físicas. Na seção 3.2 apresentamos o sistema dielétrico e a evolução do

feixe gaussiano através deste meio. A evolução do feixe baseia-se na analogia com o potencial da

mecânica quântica.

• Capítulo 4

Neste capítulo analisamos para feixe transmitido às fases de Snell e adicional. Este capítulo está

organizado em duas seções. A seção 4.1 tem como objetivo a obtenção do caminho óptico para um

feixe obtido por meio do método da fase estacionária que representa uma alternativa aos métodos

da óptica geométrica. Na seção 4.2 abordamos a condição para a existência da fase adicional que é

responsável pelo deslocamento de Goos-Hänchen, sendo esta seção dividida em três subseções. Na

subseção 4.2.1 analisamos o deslocamento de Goos-Hänchen para ângulos de incidência maior que o

ângulo crítico. Na subseção 4.2.2 abordamos o problema da infinidade no ângulo crítico. Por fim, na

seção 4.2.3 apresentamos uma análise numérica para o deslocamento de Goos-Hänchen.

• Capítulo 5

Neste capítulo efetuamos o estudo do fenômeno da quebra de simetria na distribuição gaussiana.

A amplificação deste efeito leva ao desvio angular da lei de Snell. O capítulo 5 encontra-se estruturado

em três seções. Na primeira seção, 5.1, apresentamos de forma sucinta a quebra máxima de simetria

para um feixe modelado assimetricamente. Na seção, 5.2 fazemos somente uma proposta para ob-

servar a quebra de simetria em experimentos reais ópticos e observar em quais circunstâncias isso é

4

1.2. Estrutura da tese 5

possível reproduzir o desvio máximo angular. Por fim, na seção, 5.3 analisamos em quais condições

será possível maximizar a quebra de simetria e obter uma fórmula analítica para o desvio angular da

lei de Snell.

• Capítulo 6

Neste capítulo apresentamos a estimativa do deslocamento de Goos-Hänchen por meio da medida

fraca óptica. O capítulo 6 está organizado em três seções. Na seção 6.1 efetuamos a análise do efeito

de interferência entre feixes de diferentes polarizações, analisando a distância entre os picos do feixe

transmitido. Na seção 6.2 analisaremos a dependência axial no deslocamento de Goos-Hänchen. Na

seção 6.3 estudamos o comportamento dos picos dos feixes. Na seção 6.4 analisamos em que condi-

ções é possível evitar deformações axiais e reproduzir as curvas do deslocamento de Goos-Hänchen.

Para finalizar, no Capítulo 7 são apresentadas as conclusões obtidas ao longo da tese, tendo especial

atenção os resultados de maior importância, assim como as perspectivas de trabalho futuro.

5

Capıtulo 2Teorias fundamentais

Esta seção contém uma breve introdução histórica sobre as leis, de reflexão, de refração e o efeito

de Goos-Hänchen. O efeito de Goos-Hänchen será analisado com base na teria de Artmann pelo uso

do formalismo de pacote de onda do tipo gaussiano.

2.1 As leis de reflexão e refração

ϕin ϕref

ϕtra

b

n1

n2

I R

T

b bc

Figura 2.1: Propagação da luz no regime dereflexão parcial, através de dois meios dielétri-cos de índices de refração n1 e n2 . Nesta fi-gura ϕin , ϕref e ϕtra representam os ângulos deincidência, reflexão e transmissão, respectiva-mente. A lei de reflexão garante que ϕin = ϕref .

A lei da reflexão (o ângulo de incidência é igual ao ân-

gulo de reflexão, ϕin = ϕref , veja Fig.2.1) foi objeto de estudo

por parte do matemático grego Euclides de Alexandria já em

(300 a.C.). No tratado, denominado Catóptrica, ele descre-

veu o comportamento de raios luminosos refletidos por espe-

lhos planos e esféricos [22–24].

Em 1621, o holandês Willebrord van Royen Snell des-

cobriu experimentalmente a lei de refração, um dos grandes

pilares da óptica geométrica. Por meio desta lei, podemos

conhecer a deflexão de um raio luminoso quando este atra-

vessa uma interface entre dois meios de diferentes índices de

refração [24].

René Descartes publicou em 1637 a formulação familiar

6

2.1. As leis de reflexão e refração 7

da lei de refração em termos da razão dos senos (sinϕin/sinϕtra = constante). Ele deduziu esta lei

usando o modelo em que a luz era uma pressão transmitida por um meio elástico [25].

A razão dos senos representa a segunda lei de refração, que é conhecida também como lei de Snell,

lei de Descartes ou lei de Snell-Descartes.

Atualmente, a lei refração da luz é representada da seguinte maneira:

• A primeira lei da refração

O raio de luz incidente (I), o raio refratado (T) e a normal (linha pontilhada) à inter-

face que separa os dois meios, estão contidos no mesmo plano, denominado plano de

incidência da luz.

• A segunda lei da refração

A razão entre o seno do ângulo de incidência e o seno do ângulo refratado é uma cons-

tante.

Matematicamente, pode ser expressa pela equação

sinϕin

sinϕtra

= n21 (2.1)

ou

n1 sinϕin = n2 sinϕtra . (2.2)

Nestas equações, n1 e n2 representam os índices de refração referentes ao meios 1 e 2, e n21 o índice de

refração do meio 2 relativo ao meio 1. ϕin é denominado ângulo de incidência entre o feixe incidente

(I) e a normal (representada pela linha pontilhada), e ϕtra o ângulo de refração entre o feixe refratado

(T) e a normal. Inicialmente, a segunda lei foi apresentada na forma da Eq. (2.1). No entanto, ela é

mais fácil de ser deduzida na forma da Eq. (2.2). Para detalhes da dedução da primeira e segunda lei

de refração veja a referência [23].

7

8 2.2. O deslocamento de Goos-Hänchen

2.2 O deslocamento de Goos-Hänchen

Observando-se a Eq. (2.2) é interessante ressaltar que, quando o feixe de luz se propaga a partir de

um meio dielétrico mais denso (n1) para outro menos denso (n2) e o ângulo de incidência for maior

que o ângulo crítico de reflexão total, ϕin > ϕcri = arcsin(n2/n1 ), o feixe refletido na interface do

segundo meio sofre reflexão total. A luz linearmente polarizada com campo elétrico perpendicular

ao plano de propagação (polarização s) sofre um deslocamento lateral quando refletida totalmente.

A existência desse efeito foi observado por Newton, com base no seu trabalho “Opticks”, publicado

em 1718 [26]. Na presença de reflexão total, Hermann Fritz Gustav Goos e Hilda Lindberg-Hänchen

observaram experimentalmente um deslocamento lateral do feixe refletido, como também obtiveram

fenomenologicamente as expressões para tal deslocamento. Em reconhecimento a seus descobridores,

este fenômeno ficou conhecido por deslocamento de Goos-Hänchen.

Posteriormente, Hilda recebeu seu título de doutora em 1943 na Universidade de Hamburg sob a

supervisão de Fritz Goos, com dissertação intitulada:

“Penetração da luz totalmente refletida em um meio raro”.

Seu trabalho resultou em um artigo intitulado:

“Novo e fundamental experimento sobre reflexão total”,

publicado na revista alemã Annalen der Physik em 1947 [1] .

Em 1948, Von Kurt Artmann propôs a primeira derivação teórica para este fenômeno [2] com

base no método. A partir das equações de Fresnel, Artmann observou no regime de reflexão total

uma diferença de fase entre os feixes incidente e refletido. Por meio desta análise, apresentou duas

expressões diferentes para este fenômeno: uma para onda polarizada s e outra para onda polarizada p

(campo magnético perpendicular ao plano de propagação). Em 1949, Goos e Hänchen fizeram novos

experimentos e confirmaram, que o deslocamento lateral depende da polarização da luz [27].

Nesta seção, vamos ilustrar a ideia de Artmann usando o formalismo que será usado nesta tese,

consideramos uma distribuição gaussiana angular centrada em ϕ0,

g(ϕ−ϕ0) =k w0

2√

πexp[−(k w0 )

2(ϕ−ϕ0)

2/4]. (2.3)

8

2.2. O deslocamento de Goos-Hänchen 9

na qual k = 2π/λ representa o número de onda associado ao comprimento de onda λ e w0 a largura da

cintura do feixe. O campo elétrico incidente para onda polarizada s é obtido fazendo-se a convolução

da onda plana,

exp [ i(nk sinϕy+nk cosϕz)]

com a distribuição gaussiana, Eq. (2.3), da seguinte forma,

E[s]

in(y,z) = E0

∫dϕ g(ϕ−ϕ0) exp [ i(nk sinϕy+nk cosϕz)] . (2.4)

O feixe incidente se propaga de um dielétrico, com índice de refração n, para o ar, como mostra na

Fig. 2.2-a, o campo incidente ao encontrar o ar produz um campo refletido e um transmitido, cujas

equações são respectivamente dadas por

E[s]

ref(y,z) = E0

∫dϕ g(ϕ−ϕ0)R

[s]exp [ i(nk sinϕy−nk cosϕz)]

E[s]

tra(y,z) = E0

∫dϕ g(ϕ−ϕ0)T

[s]exp [ i (k sin ϕy+ k cos ϕz)] .

(2.5)

Os coeficientes

R[s]=

ncosϕ−√

1−n2 sin2ϕ

ncosϕ+

√1−n2 sin

2ϕ

e T[s]=

2n cosϕ

ncosϕ+

√1−n2 sin

2ϕ

(2.6)

representam as amplitudes de Fresnel para ondas polarizadas de tipo s [22].

Utilizando-se o método da fase estacionária [28, 29], podemos determinar o caminho óptico para

o centro dos feixes incidente, refletido e transmitido. A ideia principal desse método apoia-se no

cancelamento das oscilações senoidais devido à variação rápida da fase. A contribuição dominante

para integral ocorre quando a fase é estacionária, ou seja, quando a derivada da fase é nula.

No caso de reflexão parcial, temos n sinϕ< 1, conforme mostra a Fig. 2.2-a, e os caminhos ópticos

9


ϕ0 ϕ0

ϕ0

z

y

I R

T

n

Ar

n sin ϕ0 < 1

n sin ϕ0 = sin ϕ0

b

(a)

n sin ϕ0 > 1

dGH

b bc

(b)

Figura 2.2: Propagação da luz no regime de reflexão parcial (a) e total (b). Em (b) dGH

representa o deslocamento obtido por Goos-Hänchen em 1947 [1].

para o centro dos feixes, incidente, refletido e transmitido, são

y =

tanϕ0 z (Feixe incidente)

− tanϕ0 z (Feixe refletido)

tan ϕ0 z (Feixe transmitido) .

(2.7)

Diante dessa análise, observamos que o caminho para estes feixes não depende da polarização do

feixe.

No caso da reflexão total, temos n sinϕ > 1, como mostra a Fig. 2.2-b, e o coeficiente de reflexão

R[s]=

ncosϕ−√

1−n2 sin2ϕ

ncosϕ+

√1−n2 sin

2ϕ

(2.8)

torna-se complexo. Consequentemente, o feixe refletido ganha uma fase adicional,

10

2.2. O deslocamento de Goos-Hänchen 11

dG

H/

λ

ϕ0

0

1

2

3

4

5

30 35 40 45 50 55 60

d[s]

GH

d[p]

GH

n =√

2

Figura 2.3: Evolução do deslocamento de Goos-Hänchen em função do ângulo de incidência. Tal des-locamento apresenta um comportamento infinito paraa incidência no ângulo crítico, ϕcri = arcsin(1/n).

Φ[s]=−2arctan

√n2 sin

2ϕ−1

n cosϕ

.

Utilizando-se o método da fase estacionária para esta

fase, obtemos o caminho óptico modificado por um

deslocamento adicional (veja Fig. 2.2-b)

y =− tanϕ0 z + d[s]

GH, (2.9)

conhecido por deslocamento de Goos-Hänchen e dado

por

d[s]

GH=−∂Φ

[s]

k ∂ϕ

∣∣∣ϕ=ϕ0

=λ

π

tanϕ0√n2 sin

2ϕ0−1

. (2.10)

De maneira análoga, podemos obter o deslocamento

para a onda polarizada p, como

d[p]

GH=

λ

π

tanϕ0√n2 sin

2ϕ0−1

1

n2 sin2ϕ0− cos2

ϕ0

. (2.11)

Resumidamente, a análise de Artmann leva às seguintes conclusões sobre o deslocamento de Goos-

Hänchen (veja Fig. 2.3):

1) Apresenta dependência sobre a polarização;

2) É clara a evidência deste deslocamento com o comprimento de onda λ para ângulo suficiente maior

que ϕcri;

3) Na incidência crítica, o deslocamento apresenta a divergência

d[s,p]

GH−→

ϕ→ϕcri

∞ ,

11


em contraste com os resultados obtidos experimentalmente [30, 31], que mostram um compor-

tamento finito.

Figura 2.4: Representação esquemática do experimento de Goos-Hänchen retirada do artigo original Annalen der Physik 1947 [1]

Além do problema teórico so-

bre a infinidade, temos, tam-

bém, as dificuldades experimen-

tais as quais devem-se ao fato de

que o deslocamento é da ordem

de grandeza do comprimento de

onda da luz. Portanto, para detec-

tar tal deslocamento, é necessário

um experimento óptico de múlti-

plas reflexões a fim de amplificar

o deslocamento do feixe, como ilustra a Fig. 2.4. No próximos capítulos trataremos da superação

da superação do problema da infinidade para o deslocamento de Goos-Hänchen, assim como outra

maneira de amplificar este deslocamento meio da técnica de interferência entre feixes de diferentes

polarizações.

12

Capıtulo 3Transmissão em blocos dielétricos

Neste capítulo introduzimos a notação e a geometria do sistema dielétrico utilizado nesta tese. Para

este sistema, calculamos os coeficientes de transmissão e reflexão em cada interface do dielétrico, para

um feixe gaussiano com polarizações s e p. Os cálculos para estes coeficiente são feitos com base na

técnica de cálculo análogo ao usado em potencial degrau da mecânica quântica.

3.1 Laser de perfil gaussiano

Nesta seção, introduzimos o feixe laser de perfil gaussiano que representará o feixe incidente na

próxima seção. Consideramos a seguinte distribuição de momentos,

g(kx, ky) = exp[−

k2

x + k2

y

4w

2

0

], (3.1)

na qual w0 representa a cintura mínima do feixe e kx e ky são as componentes do número de onda

na direção ortogonal à direção de propagação do laser, eixo z. A amplitude do campo elétrico que

representa este feixe laser pode ser definida pela convolução da onda plana

exp[i(kxx+ kyy+ kzz)] (3.2)

13

14 3.1. Laser de perfil gaussiano

com a distribuição de número de onda, g(kx, ky), da seguinte forma

E(r) = E0

w2

0

4π

∫∫dkx dky g(kx, ky)exp[i(kx x+ ky y+ kz z)] , (3.3)

na qual kz =√

k2− k2x− k2

y e que k = 2π/λ representa o número de onda e λ o comprimento de

onda. Para cinturas de feixes maiores que o comprimento de onda, isto é, w0 > λ, podemos usar a

aproximação paraxial

kz ≈ k−k

2

x + k2

y

2k.

Isso nos permite integrar analiticamente a Eq. (3.3). Assim, a equação para o campo elétrico pode ser

reescrita na forma

E(r) ≈ E0

w2

0

4πei k z

∫∫dkx dky exp

[−

k2

x + k2

y

4w

2

0

]exp[

i

(kx x+ ky y−

k2

x + k2

y

2kz

) ]

≈ e i k z A(r) . (3.4)

Observando-se que A(r) é solução paraxial de Helmholtz [22, 32],

[∂xx +∂yy +2 i k ∂z] A(r) = 0 . (3.5)

Introduzindo a função

G(y , z) =w0

2√

π

∫ +∞

−∞

dky exp[−k

2

y w2

0 /4]

exp

[i

(ky y−

k2

y

2kz

)]

= exp

− y

2/w

2

0

1+2 iz

k w20

/

√1+2 i

zk w2

0

, (3.6)

podemos escrever a Eq. (3.4) como o produto de duas funções só de x, z e y, z da seguinte forma

E(r )≈ E0 e( i k z)G (x , z) G (y , z) . (3.7)

14

3.2. Estrutura dielétrica 15

Esta equação representa a distribuição gaussiana da amplitude do campo elétrico de um feixe gaussi-

ano livre (simétrico em x e y) propagando-se na direção do eixo z.

A intensidade é dada por,

I(r) = |E(r)|2≈ E

2

0

w2

0

w2(z)

exp[−2

x2+ y

2

w2(z)

], (3.8)

na qual

w(z) = w0

√1+(

λzπw2

0

)2

descreve a evolução da largura do feixe ao longo da direção de propagação z, w0 representa o raio de

1/e2

da intensidade em z = 0 e w(z) o raio da intensidade após a propagação a uma distância z.

A potência total do feixe de laser é definida pela integração da intensidade I(r) sobre a área de

seção transversal, ou seja,

P≡∫∫

dxdy I(r) =∫∫

dxdy |E(r)|2=

πw2

0

2E

2

0 . (3.9)

Podemos observar que a potência total é independente da direção de propagação z do feixe. A partir

desta equação, podemos escrever a intensidade em função da potência total do feixe

I(r)≈ 2Pπw2

(z)exp[−2

x2+ y

2

w2(z)

]. (3.10)

A divergência de um feixe pode ser entendida como a medida do ritmo com que esta se afasta de sua

cintura. Esta é contida em um cone, que, no limite assintótico, pode ser definida por

tanΘ≡ limz→∞

w(z)z

=λ

πw0. (3.11)

3.2 Estrutura dielétrica

Nesta seção, vamos calcular os coeficientes de reflexão de transmissão para um feixe transmi-

tido através de blocos dielétricos e obter a expressão para o campo elétrico do tipo gaussiano para

15

16 3.2. Estrutura dielétrica

este feixe. A estrutura dielétrica a ser considerada é um bloco dielétrico homogêneo com índice

de refração n e dimensões da ordem de cm, como mostra a Fig.(3.1). Um feixe de luz polarizado

tipo TE (Transverso-Elétrico) ou polarização s, ou seja, campo elétrico perpendicular ao plano y− z,

emerge de uma fonte S, veja Fig. 3.1-a. Este feixe, ao incidir sobre a primeira interface do dielétrico

(ar/dielétrico), sofre uma transmissão, subsequentemente duas reflexões nas interfaces (dielétrico/ar)

e emerge à esquerda como apresenta o diagrama abaixo.

up

1

��

•

Rup

�"left •

Tleft

�"

•

Tright

��

right

•

Rdown

@H

down

Em razão das dimensões do dielétrico serem maiores do que a largura da cintura do laser, cada inter-

face do dielétrico funciona como um potencial degrau da mecânica quântica. Neste caso, podemos

utilizar a analogia com tal potencial para calcular os coeficientes de transmissão e reflexão em cada

interface. Para fazer isso, temos que antes determinar os números de ondas no ar e no dielétrico. Para

esta análise vamos definir três sistemas de eixos (veja Fig. 3.1-a), nos quis z é definida ao longo da

direção z de propagação (ou seja, o perfil transversal x− y perpendicular à direção z não percebe a

mudança ar/dielétrico), os eixos z∗ e z são sempre perpendiculares às interfaces sob análise. Estes

eixos estão relacionados entre si da seguinte forma

16


(a)

(b)

b

b

nπ4

π4

3π4

3π4

θ

ψ ϕ

SD

D

D∗A

BC

y

z

z

z∗

left

down

up

right

bc

b

b

b

b

A

BC

• n =√

2 • θ = 0 • AC = AB •

S

dGH

dSnell = AB

bc

b

b bc

b bc

b

b b b b b

b b b b b

1 2 3 N

b b b b b b

Figura 3.1: Representação geométrica. (a) Esquema representativo da geometria do bloco dielétrico, dos sistemasde coordenadas e um feixe incidente proveniente de uma fonte S. O feixe incide sobre a superfície sob o ângulo dereflexão interna total. Na incidência crítica (b), apresentamos a correção do caminho óptico (dGH ) com relação aocaminho óptico previsto pela lei de Snell (ySnell ). (c) A amplificação do deslocamento de GH é dada por meio demúltiplas reflexões da luz em uma estrutura dielétrica composta por N blocos em série.

y∗

z∗

= R

(π

4

)y

z

= R

(π

4+θ

)y

z

, (3.12)

na qual

R(θ) =

cosθ sinθ

−sinθ cosθ

representa R(θ) uma rotação horária.

17


Na descontinuidade ar/dielétrico, temos as componentes dos vetores de ondas no ar e no dielétrico

na direção z dadas por

ar ar dielétrico

(kx, ky, kz)R(θ) // (kx, ky, kz)

left +3 (kx, ky, qz) .

(3.13)

De maneira similar temos que na descontinuidade dielétrico/ar as componentes dos vetores de onda

no dielétrico e no ar na direção z∗ são

dielétrico dielétrico ar

(kx, ky, qz)R(π/4)+3 (kx, qy∗, qz∗)

left // (kx, qy∗, kz∗) .

(3.14)

Para obter os coeficientes, vamos iniciar com a descrição da propagação do laser no ar usando bases

de ondas planas para a solução da equação

[∇

2+ k

2]ψ(r) = 0 , (3.15)

na qual ∇2 é dado em coordenadas cartesianas e k representa o número de onda. Aplicando as con-

dições de continuidade para as soluções no ar e no dielétrico (interface à esquerda) podemos obter

os coeficientes de transmissão e reflexão. Esta técnica será estendida ao cálculo do coeficientes nas

interfaces inferior, superior e direita.

Então, o operador para a solução de ondas planas na interface à esquerda (veja Fig. 3.1-a) é ex-

presso por

[∇

2+ k

2n

2(z)], n(z) =

1, z < D ar

n, z > D dielétrico, (3.16)

na qual z é perpendicular à primeira superfície e n é o índice de refração. As fases espaciais dos feixes

18


incidente e refletido são, respectivamente,

ky y + kz z = ky y + kz z e ky y − kz z , (3.17)

na qual as coordenadas y, z e y, z são relacionados através da rotação horária, Eq. (3.12), e os impulsos

são dados por

ky

kz

=

cosθ senθ

−senθ cosθ

ky

kz

. (3.18)

Tendo em conta a descontinuidade ao longo do eixo z, as componentes y dos impulsos não mudam

quando o feixe cruza a interface ar/dielétrico, temos

{qy, qz

}=

{ky,√

n2k2− k2x− k2

y

}. (3.19)

A fase espacial do feixe movendo-se dentro do dielétrico da interface à esquerda (ar/dielétrico) para a

interface inferior (dielétrico/ar) é

ky y + kz z = qy y + qz z . (3.20)

As soluções de onda plana no ar e dentro do dielétrico são dadas por

ψleft(r) = exp[

i(kxx+ ky y)]×

exp [ i kz z ]+Rleft exp [− i kz z ] z < D ,

Tleft exp [ iqz z ] z > D ,(3.21)

nas quais Rleft e Tleft representam os coeficientes de reflexão e transmissão, respectivamente. Impondo a

condição de continuidade de ψleft(r) e ∂z ψleft(r) na interface ar/dielétrico, ou seja, em z = D, obtemos

os coeficientes

Rleft =kz − qz

kz + qzexp[

2 i kz D]

e Tleft =2kz

kz + qzexp[

i(kz−qz) D]. (3.22)

Após a refração na interface à esquerda, o feixe propaga-se na direção da interface inferior, o

19


operador para as soluções nessa interface é expresso por

[∇

2 + k2n2(z∗)], n(z∗) =

n, z∗ < D∗ dielétrico

1, z∗ > D∗ ar, (3.23)

na qual z∗ é perpendicular à segunda superfície. As coordenadas y∗, z∗ e y, z são relacionados através

da rotação horária, Eq. (3.12).

A fase espacial do feixe movendo-se dentro do dielétrico da interface à esquerda (ar/dielétrico)

para a interface inferior (dielétrico/ar) é

qy y+qz z = qy∗ y∗+qz∗ z∗ . (3.24)

As fases do feixe refletido e transmitido na interface inferior (dielétrico/ar) são respectivamente,

qy∗ y∗−qz∗ z∗ e ky∗ y∗+ kz∗ z∗ . (3.25)

Os impulsos nesse novo sistema de eixos são

qy∗

qz∗

=

1√2

1 1

−1 1

ky

qz

. (3.26)

Tendo em conta que a descontinuidade é ao longo do eixo z∗ e as componentes y∗ dos momentos não

mudam quando o feixe cruza a interface inferior (dielétrico/ar), temos

{qy∗ , kz∗

}=

{ky∗ ,

√k2− k2

x− k2y∗

}. (3.27)

Portanto, as soluções de onda plana, dentro e fora do dielétrico, em termos dos novos eixos, são

escritas assim

ψdown(r) = exp [ i(kxx+qy∗ y∗ ) ]×

exp [ iqz∗ z∗ ]+Rdownexp [− iqz∗z∗] z∗ < D∗ ,

Tdown exp [ i kz∗ z∗ ] z∗ > D∗ ,(3.28)

20


Usando a continuidade para a função em z∗ = D∗ , obtemos os coeficientes

Rdown =qz∗ − kz∗qz∗ + kz∗

exp[

2 iqz∗ D∗]

e Tdown =2qz∗

qz∗ + kz∗exp[i(qz∗ − kz∗ )D∗

]. (3.29)

O feixe de laser, ao ser refletido na interface inferior, segue na direção da interface superior, sendo

refletido e transmitido. Para o cálculo dos coeficientes nessa interface, podemos usar o resultado

obtido para a interface inferior. Devido à direção de propagação do feixe ser na direção oposta ao

eixo-z∗, podemos utilizar

(kz∗ , qz∗ ) ⇒ −(kz∗ , qz∗ ) e D∗ ⇒AB√

2−D∗ ,

na Eq.(3.29). Então, os coeficientes de reflexão e transmissão para a interface superior podem ser

escritos na forma

Rup =qz∗ − kz∗qz∗ + kz∗

exp[

2 iqz∗

(AB√

2−D∗

)]e Tup =

2qz∗qz∗ + kz∗

exp[

i(qz∗ − kz∗ )

(AB√

2−D∗

)]. (3.30)

Ao ser refletido na superfície superior, o feixe propaga-se para a interface à direita. Os coeficientes

para essa interface podem ser obtidos diretamente a partir dos coeficientes para a interface à esquerda.

Substituindo

kz ⇔ qz

na Eq.(3.22) e observando a descontinuidade localizada em z = D+BC/√

2, obtemos

Rright =qz − kz

qz + kzexp[

2 iqz

(D+

BC√2

)]e Tright =

2qz

qz + kzexp[

i(qz− kz)

(D+

BC√2

)]. (3.31)

Nestas condições, podemos definir o coeficiente de transmissão total pelo produto das transmissões

nas interfaces à esquerda e direita e pelas reflexões nas interfaces inferior e superior, tal como

T[s](kx,ky) = Tleft Rdown Rup Tright =

4kz qz

(qz + kz)2

(qz∗ − kz∗qz∗ + kz∗

)2

exp[ iΦSnell ] , (3.32)

na qual

ΦSnell =√

2qz∗ AB+(qz− kz )BC√

2,

representa a fase geométrica, a qual chamamos de fase de Snell. No próximo capítulo, a fase de Snell

permite, pelo uso do método da fase estacionária, obter o caminho óptico previsto pela lei de Snell

21


[22, 32] (veja Fig. 3.1-b). E no regime de reflexão interna total θ > θc, os coeficientes das interfaces

inferior e superior tornam-se complexos (k2

z∗ ), o que implica em uma fase adicional, conhecida por

fase de goos-Hänchen, a qual é responsável pelo deslocamento adicional ao caminho geométrico.

O coeficiente de transmissão para onda do tipo TM (Transverso-Magnético) ou polarização p, ou

seja, campo elétrico paralelo ao plano y-z, pode ser obtido a partir do coeficiente da onda polarizada

s. Utilizando a transformação

(kz , kz∗ )⇒ n(kz , kz∗ ) e (qz , qz∗ )⇒ (qz, qz∗ )/n

na amplitude da Eq. (3.32), obtemos o coeficiente para a onda polarizada p,

T[p](kx,ky) =

4n2kz qz

(qz + n2 kz)2

(qz∗ − n

2kz∗

qz∗ + n2 kz∗

)2

exp[ iΦSnell ] . (3.33)

Para a propagação do feixe em um sistema dielétrico composto por N blocos dielétricos paralelos,

como ilustra a Fig. 3.1-c. Neste caso, para garantir duas reflexões em cada bloco e que a altura da

posição do feixe de saída seja igual a do feixe incidente, devemos impor a seguinte relação geométrica

entre os lados AB e BC de cada bloco

BC =√

2 tanϕAB . (3.34)

Em consequência, a propagação de feixe óptico através dessa estrutura é caracterizada por 2N refle-

xões interna. Portanto, para um bloco longo de lado N BC, os coeficientes de transmissão para ondas

polarizadas s e p são expressos por

T[s, p]

N(kx,ky) =

4qz kz

(qz + kz)2


)2N

,4n

2qz kz

(qz +n2 kz)2

(qz∗ −n

2kz∗

qz∗ +n2 kz∗

)2N exp[iN ΦSnell] ,

(3.35)

na qual

ΦSnell =[√

2qz∗ +(qz− kz ) tanϕ

]AB .

22


De acordo com as análises para os coeficientes e fases, podemos definir o campo elétrico para

feixe transmitido como sendo o produto do campo incidente, Eq. (3.3), por T[s, p]

, assim

E[s, p]

T(r) = E0

w2

0

4π

∫dkx dky T

[s, p]

N(kx, ky) exp

[−

k2

x + k2

y

4w

2

0

]exp[ i k · r ] .

(3.36)

De modo a simplificar a integração da amplitude do campo E[s, p]

T(r), utilizamos o fato das rotações

serem em torno do eixo de coordenada x e somente a segunda ordem de kx contribuir no coeficiente

de transmissão, T[s,p]

(kx,ky). Diante disso, observamos que T[s,p]

(kx,ky) ≈ T[s,p]

(0,ky). Neste caso,

desconsideramos o termo de segunda ordem em kx devido a sua contribuição ser apenas para o alaga-

mento do feixe, que foge do escopo dessa tese. Para detalhes, veja [33]. Diante da aproximação usada

e juntamente com a aproximação paraxial, a expressão para a amplitude do campo, resulta

E[s, p]

T(r) = E0 ei k z G (x , z)G

[s, p]

T(y , z) , (3.37)

com

G[s, p]

T(y , z)=

w0

2√

π

∫dky T

[s, p]

N(0, ky ) exp

[−

k2

y w2

0

4

]exp

[i

(ky y−

k2

y

2kz

)]. (3.38)

Esta equação representa a distribuição de campo nas direções do eixos-y e z, modificada pelo coefici-

ente de transmissão na direção do eixo-y. Para esta distribuição de campo, será analisado no próximo

capítulo o deslocamento adicional com respeito ao previsto pela lei de Snell.

23

Capıtulo 4Fase óptica

Este capítulo apresenta a análise da fase óptica. No regime de reflexão interna total, a fase óptica

contém as fases geométrica e adicional (fase de Goos-Hänchen). A fase geométrica é independente da

polarização e contém o caminho geométrico previsto pela lei de Snell. Por outro lado, a fase adicional

é responsável por um deslocamento adicional, conhecido por deslocamento de Goos-Hänchen. Apre-

sentamos uma análise detalhada sobre a mudança de comportamento da largura da cintura do feixe e

do comprimento de onda para o deslocamento de Goos-Hänchen. O estudo feito em diferentes regiões

de incidência põe uma nova luz sobre a validade das fórmulas analíticas encontradas na literatura.

4.1 Fase de Snell e a Lei de Snell

Esta seção apresenta o caminho óptico para um feixe obtido por meio do método da fase estacioná-

ria que representa uma alternativa aos métodos da óptica geométrica prevista pela Lei de Snell [34,35].

O método da fase estacionária é o princípio básico da análise assintótica aplicada a integrais oscilató-

rias [28,29]. A ideia principal do método da fase estacionária apoia-se no cancelamento das oscilações

senoidais devido à variação rápida da fase, então a contribuição dominante para integral ocorre quando

a fase é estacionária, ou seja, quando a derivada da fase é nula. Isto significa que muitas oscilações

com a mesma fase podem ser adicionadas construtivamente, resultando em uma função aproxima-

damente constante. Para ilustrar este método, vamos tomar como exemplo a equação para o campo

24

4.1. Fase de Snell e a Lei de Snell 25

incidente, Eq.(3.3). Neste caso, para maximizar a integral devemos impor

[∂

∂kx(kx x+ ky y+ kz z)

]

(0,0)

=

[∂

∂ky(kx x+ ky y+ kz z)

]

(0,0)

= 0 .

O subscrito (0, 0) aponta que as derivadas devem ser calculadas no valor máximo da função convolu-

ção, na qual kx = ky = 0. Para o feixe óptico incidente da Eq.(3.3), a função convolução é a distribuição

gaussiana. Em consequência, o máximo do feixe incidente é localizado em

x = y = 0 .

É importante observar que, pelo uso do método da fase estacionária, podemos obter a posição do

máximo sem fazer qualquer integração. Esta posição do máximo obtida pelo uso do método da fase

estacionária é confirmada pela Eq. (3.7).

No regime de reflexão interna parcial (θ < θcri), o feixe óptico transmitido ganha uma fase com

relação ao feixe óptico incidente, a fase de Snell

ΦSnell =[√

2qz∗ +(qz− kz ) tanϕ

]AB . (4.1)

Para obter a posição do feixe transmitido, Eq. (3.36), pelo uso do método da fase estacionaria, devemos

impor o seguinte vínculo

[∂

∂kx(ΦSnell + k · r)

]

(0,0)

=

[∂

∂ky(ΦSnell + k · r )

]

(0,0)

= 0 .

Observando que

∂qz

∂kx,y= −

ky

qz

∂ky

∂kx,y= −

ky

qz

[cosθ

∂ky

∂kx,y+ sinθ

∂kz

∂kx,y

],

∂qz∗∂kx,y

=∂

∂kx,y

(qz− ky√

2

)= −

ky +qz

qz√

2

[cosθ

∂ky

∂kx,y+ sinθ

∂kz

∂kx,y

], (4.2)

∂kz

∂kx,y=

[− sinθ

∂ky

∂kx,y+ cosθ

∂kz

∂kx,y

],

25

26 4.2. Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen

e usando a relação sinθ = nsinψ na interface à esquerda, veja Fig.4.1-a, podemos encontrar de ime-

diato a posição de saída em

xSnell = −[

∂ΦSnell

∂kx

]

(0,0)

= 0 (4.3)

e

dSnell = −[

∂φSnell

∂ky

]

(0,0)

= [cosθ− sinθ] tanϕAB . (4.4)

A Eq. (4.4) representa o deslocamento de Snell, como ilustra a Fig. 3.1-b. Sendo, portanto, confirmado

pelo cálculo do caminho óptico pela lei de Snell [36]. No regime de reflexão interna parcial, somente

a fase Eq. (4.1) contribui para o cálculo via método da fase estacionária. É importante observar que

no regime de reflexão interna total (θ > θcri) surge uma fase adicional (fase de Goos-Hänchen), a qual

implica em um deslocamento adicional que não pode ser previsto pela lei de Snell. Tal deslocamento

será analisado em detalhes a seguir.

4.2 Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen

O caminho óptico obtido na seção precedente utilizando o método da fase estacionária pode ser

determinado pela lei de Snell. Nesta seção, será apresentado o cálculo da fase adicional que não pode

ser prevista pela óptica geométrica. Nas interfaces inferior e superior, os coeficientes de reflexão para

onda polarizada s e p são


)2

,

(qz∗ − n

2kz∗

qz∗ + n2kz∗

)2 . (4.5)

Recorrendo à expansão de kz∗ em torno do centro da distribuição gaussiana do número de onda loca-

lizada em kx = ky = 0, obtemos

k2

z∗ = k2

z∗ +

[∂k

2

z∗∂ky

]

(0,0)

ky + O[k2

x,k2

y]

= k2

z∗ + 2qz∗

[∂qz∗∂ky

]

(0,0)

ky + O[k2

x,k2

y] . (4.6)

26

4.2. Fase adicional e o deslocamento de Goos-Hänchen 27

Utilizando

k2

z∗ = k2(1−n

2sen

2φ) , qz∗ = nk cosφ e

[∂qz∗∂ky

]

(0,0)

=− cosθ senφ

cosψ.

Podemos reescrever kz∗ na forma

k2

z∗

k2 ≈ 1−n2sen

2ϕ− n sin(2ϕ)cosθ

cosψ

ky

k

=n sin(2ϕ)cosθ

cosψ

[σ(n,θ)−

ky

k

](4.7)

com

σ(n, θ) =cosψ

n sin(2ϕ)cosθ

(1−n

2sin

2ϕ

). (4.8)

Para ky > σ(n,θ)k, temos reflexão interna total, ou seja, k2

z∗ 6 0, em consequência, uma fase adicional

(fase de Goos-Hänchen) deverá ser considerada no cálculo do caminho óptico,

{Φ

[s]

GH, Φ

[p]

GH

}=

Arg

[(qz∗ − i |kz∗ |qz∗ + i |kz∗ |

)2 ], Arg

(

qz∗ − in2|kz∗ |

qz∗ + in2|kz∗ |

)2

= −4

{arctan

[ |kz∗ |qz∗

], arctan

[n

2|kz∗ |qz∗

]}. (4.9)

As derivadas destas fases,

{∂Φ

[s]

GH

∂ky,

∂Φ[p]

GH

∂ky

}=

4|kz∗ |

∂qz∗∂ky

{1 ,

n2k

2

k2+(n2

+1) |kz∗ |2

}, (4.10)

serão usadas para obter o deslocamento de Goos-Hänchen.

Para determinar o valor ky, analisamos a distribuição de momentos para diferentes ângulos de inci-

dência. Para σ(n,θ)k w0≤−5 (Fig.4.1-a), a distribuição de momento é simétrica. Portanto, a derivada

da fase adicional deverá ser calculada no centro da distribuição, ky = 0. Neste caso, as derivadas são

válidas para ângulos de incidência maior que o ângulo crítico θ > θcri . Para σ(n,θ)k w0 ≤ 5 (Fig.4.1-

e), significa que kz∗ é real. Portanto, não existe fase adicional. O caso intermediário, σ(n,θ)k w0 = 0

27


b

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0

kw0σ(n, θ) = − 5

(a)e−

(kyw

0)2/4

b

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0

kw0σ(n, θ) = − 1

(b)e−

(kyw

0)2/4

b 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0

kw0σ(n, θ) = 0

(c)e−

(kyw

0)2/4

b

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0

kw0σ(n, θ) = 1

(d)e−

(kyw

0)2/4

b

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0

kw0σ(n, θ) = 5

(e)e−

(kyw

0)2/4

kyw0

Figura 4.1: A distribuição gaussiana de momento. Evolução da distribuição gaussiana de momento para diferen-tes ângulos de incidência. A linha pontilhada representa a distribuição com coeficiente de reflexão real, kz∗ > 0. Alinha contínua representa a a distribuição com coeficiente de reflexão complexo, kz∗ < 0.

(Fig.4.1-c) representa a incidência no ângulo. Neste caso, somente metade da distribuição de momento

contém uma fase adicional. Em consequência, as derivadas serão calculadas em ky = kcri ,

kcri =

∫ +∞

0dky ky exp

[−(kyw0)

2/2]∫ +∞

−∞dky exp

[−(kyw0)

2/2] =

1√2π w0

. (4.11)

28


4.2.1 Ângulos de incidência maior que o ângulo crítico (θ > θcri)

• σ(n,θ)k w0 ≤−5

Neste caso, devemos calcular as derivadas Eq. (4.10) no centro de distribuição de momentos

(kx, ky) = (0, 0). Assim, é possível encontrar

{∂Φ

[s]

GH

∂ky,

∂Φ[p]

GH

∂ky

}

(0,0)

= −{

d[s]

GH, d

[p]

GH

}, (4.12)

com

{d[s]

GH, d

[p]

GH

}=

4 cosθ senϕ

k cosψ

√n2 sen2

ϕ−1

{1,

1n2 sen2

ϕ− cos2ϕ

}. (4.13)

na qual d[s p]

GHrepresenta o deslocamento de Goos-Hänchen para luz polarizada s e p. Ao analisar

Eq. (7.1), é clara a evidência desse deslocamento com o comprimento de onda. Porém, na incidência

crítica, o deslocamento apresenta um comportamento infinito

d[s,p]

GH−→

ϕ→ϕcri

∞ ,

em contraste com os resultados obtidos experimentalmente [30,31], que mostram um comportamento

finito. A superação desta infinidade na incidência crítica será discutida na próxima subseção.

4.2.2 Incidência no ângulo crítico (θ = θcri)

• σ(n,θ)k w0 = 0

Para a incidência no ângulo crítico, devemos calcular as derivadas Eq. (4.10) em (kx, ky) = (0, kcri) e

mediadas pelo fator 1/2 devido ao fato de que somente metade da distribuição de momentos possui a

29


fase adicional. Sendo assim, temos

{d[s]

GH, d

[p]

GH

}

(0,kcri )= −1

24

|kz∗ (0, kcri)|

[∂qz∗∂ky

]

(0,kcri )

{1 ,

n2k

2

k2+(n2

+1) |kz∗ (0, kcri)|2

}. (4.14)

Lembrando que na incidência crítica, nsenφcri = 1, a Eq. (4.7), pode ser expressa na forma

|kz∗ | ≈ k

√ncosθcri sen2φcri

cosψcri

kcri

k, (4.15)

observando que [∂qz∗∂ky

]

(0,kcri )

≈[

∂qz∗∂ky

]

(0,0)

ecosθcri

cosψcri

≈ 1 , (4.16)

as expressões para o deslocamento podem ser escritas em termos do ângulo crítico ou do índice de

refração n como seguem

{d[s]

GH,cri, d

[p]

GH,cri

}=

√k w0

k

√2√

2πtanϕcri

n

{1 , n

2}

=

√k w0

k

√2√

2π1

n√

n2−1

{1 , n

2}. (4.17)

Observamos que o deslocamento de Goos-Hänchen apresenta uma forte dependência com a largura

da cintura do feixe w0 em contraste com as expressões clássicas existentes na literatura que predizem

um deslocamento infinito.

Estas análises para o deslocamento de Goos-Hänchen serão testadas por meio de uma simulação

numérica.

30


4.2.3 Análise numérica

Nesta seção, apresentamos a análise numérica do deslocamento para feixes ópticos gaussianos. A

intensidade do feixe transmitido através de um bloco dielétrico (N = 1) é dada por

I[s, p]

T(r)= |ET (r, t) |

2= I0

∣∣∣G (x , z)G(s, p)

T(y , z)

∣∣∣2

(4.18)

= I0 |G (x , z)|2

∣∣∣∣∣w

2

0

4π

∫dky T

[s, p](0, ky) exp

[−

k2

y w2

0

4+ i

(ky y−

k2

y

2kz

)]∣∣∣∣∣

2

.

A estimativa do deslocamento de Goos-Hänchen é calculada pela diferença entre o máximo da equação

acima em yMax com relação ao máximo previsto pelo lei de Snell ySnell ,

yMax− ymax = dGH . (4.19)

Nesta análise desconsideramos os efeitos axiais z = 0, que serão analisados nos capítulos seguintes.

Na Fig.4.2 ilustramos os dados numéricos correspondentes ao deslocamento de Goos-Hänchen para

as polarizações s e p, obtido para índice de refração fixo, n =√

2, variando o ângulo de incidência e

k w0(= 30, 50, 500). Os gráficos na Fig.4.3 referem-se ao ângulo de incidência, θ = 0 e variando o

índice de refração. Podemos observar que a análise numérica, Eq. (4.19), mostra um excelente acordo

com as predições analíticas para o deslocamento no ângulo crítico, Eq. (4.17). Observe que

√kw0

d[s, p]

GH,cri

apresenta dependência do índice de refração n, Eq. (4.17).

Para σ(n,θ)k w0 ≤ −5, a expressão analítica para o deslocamento de Goos-Hänchen analítica é

expressa por Eq.(7.1). Agora, √kw0

d[s, p]

GH

é proporcional a 1/√

k w0 (nas Figs.4.2 e 4.3, foi usado k w0 = 500 para as curvas analíticas). Para um

31


b

b

s -pol

n =√2

kw0 = 30

50

500

SPM[θ]

SPM[θcri]

(a)

√k/w

0d

GH

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102.4

2.2

2.0

1.8

1.6

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0

b

b

p -pol

n =√2

kw0 = 30

50

500

SPM[θ]

SPM[θcri]

(b)

kw0 θ

4.8

4.4

4.0

3.6

3.2

2.8

1.2

2.0

1.6

1.2

0.8

0.4

0

Figura 4.2: O deslocamento de Goos-Hänchen. Evolução do deslocamento de Goos-Hänchen em função doângulo de incidência para o índice de refração fixo n =

√2 e para três diferentes valores do parâmetro kw0. Os

dados numéricos (linhas tracejadas) estão em excelente acordo com a nossa predição analítica para o deslocamentode Goos-Hänchen, d

[s, p]

GH,cri(ponto) e d

[s, p]

GH(linha contínua para kw0 = 500).

índice de refração fixo, n =√

2, temos

σ(√

2,θ)k w0 ≤ −5 ⇒ tanθ2− sin

2θ

2 cos2θ≥ 5

k w0

.

32


b

b

s -pol

θ = 0

kw0 = 30

50

500

SPM[n]

SPM[ncri]

(a)

√k/w

0d

GH

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 102.4

2.2

2.0

1.8

1.6

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0

b

b

p -pol

θ = 0

kw0 = 30

50

500

SPM[n]

SPM[ncri]

(b)

kw0 (n− √2 )

4.8

4.4

4.0

3.6

3.2

2.8

1.2

2.0

1.6

1.2

0.8

0.4

0

Figura 4.3: O deslocamento de Goos-Hänchen. Evolução numérica do deslocamento de Goos-Hänchen emfunção do índice de refração para o ângulo de incidência, θ = 0 e três valores diferentes de kw0. Os dados nu-méricos (linhas tracejadas) estão em excelente acordo com a nossa predição analítica para o deslocamento deGoos-Hänchen, d

[s, p]

GH,cri(ponto) e d

[s, p]

GH(linha contínua para kw0 = 500).

Considerando θ� 1 é possível obter

θ ≥ 5k w0

.

Para tais ângulos, a expressão analítica Eq. (7.1) mostra um excelente acordo com os dados numéricos,

Eq. (4.19), veja Fig.4.2.

33


A análise numérica apresentada neste capítulo confirma uma transição da largura do feixe para

o deslocamento de Goos-Hänchen, no regime de incidência crítica, como prevê o método da fase

estacionária. Os dados numéricos também confirmam um deslocamento máximo de Goos-Hänchen

para ângulo de incidência maior que o ângulo crítico [37], facilitando a investigação experimental

deste deslocamento nesta região.

34

Capıtulo 5O fenômeno da quebra de simetria na

distribuição gaussiana

Uma análise detalhada da propagação de feixe óptico gaussiano na incidência crítica mostra em

quais condições é possível maximizar a quebra de simetria da distribuição de momento e para quais

valores do comprimento de onda e da largura da cintura do feixe é possível encontrar uma fórmula

analítica para o desvio angular da lei de Snell. Para a propagação através de N blocos dielétricos e

para uma quebra máxima de simetria, superamos o problema da infinidade no ângulo crítico, uma

expressão fechada para o deslocamento de Goos-Hänchen é obtida. Além disso, será analisado o

fenômeno de múltiplos picos, que é uma evidência adicional da quebra de simetria na distribuição de

momento do feixe óptico.

5.1 Modelando a quebra de simetria

Nesta seção mostraremos como a quebra de simetria na distribuição de momento de um feixe

óptico é fundamental para o desvio angular [38–40] do caminho óptico previsto pela lei de Snell

[32, 34]. Para entender por que a quebra de simetria é responsável por tal efeito, será discutido de

forma sucinta a quebra máxima de simetria para um feixe modelado assimetricamente. O efeito da

quebra máxima de simetria sobre o pico e o valor médio da posição do feixe óptico revela uma nova

luz sobre uma possível realização experimental.

35

36 5.1. Modelando a quebra de simetria

Para começar a análise, considere a distribuição gaussiana simétrica g(kx, ky) dada na Eq. (3.1). O

feixe óptico propagando-se na direção do eixo z é representado pela Eq. (3.3). Na aproximação para-

xial, a amplitude do feixe gaussiano é descrita pela Eq.(3.7). Observamos que este campo propaga-se

ao longo da direção z e manifesta uma simetria em torno dessa direção. A intensidade óptica para

esse campo, Eq.(3.8), apresenta dependência das coordenadas axial z e transversais x, y. Observamos

que o máximo decresce com o aumento de z, permanece localizado em x = y = 0. Por exemplo, a

simetria da Eq.(3.8) permite a escolha da função gaussiana |G(y,z)|. Tal função tem seu pico máximo

sobre o z em y = 0 e sua largura aumenta com a distância axial z como mostra a Fig. 5.1-a. Isso ocorre

pelo fato da distribuição gaussiana de momento, Eq.(3.1), ser uma distribuição simétrica centrada em

kx = ky = 0.

〈y〉|G | =

∫dyy |G(y,z)|

2

∫dy |G(y,z)|

2= 0 . (5.1)

Os resultados analíticos mostram que, para distribuição simétrica, a posição do pico e o valor

médio transversal coincidem e não apresentam dependência com o parâmetro z. Em suma, temos que

a simetria na distribuição de momento, g(kx, ky), é responsável pelo comportamento estacionário do

pico do feixe gaussiano.

Para ilustrar como a quebra de simetria muda a situação anterior, vamos modelar a quebra máxima

de simetria, considerando a seguinte distribuição de momento assimétrica,

exp[− k

2

x4

w2

0

]f (ky) , (5.2)

na qual f (ky) é dada por

f (ky) =

0 ky < 0

exp[−(ky w0)2/ 4 ] ky ≥ 0 .

(5.3)

Esta distribuição determina o comportamento do novo campo elétrico,

36

5.1. Modelando a quebra de simetria 37

|F(y

,z

)|y/w0

|G(y

,z

)|

y/w0

〈y/

w0

〉 |F|

z/w0

[ym

ax/

w0] |F

|

z/w0

(a)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

−4 −2 0 2−4 −2 0 2

bc

bc

bc

z/kw2

0= 0

0.51

k w0 = 103

(b)

−4 −2 0 2

bb

b

z/kw2

0= 0

0.51

k w0 = 103

(c)

4 × 1030 1 2 3

20

16

12

8

4

00

4

8

12

16

20

bb

b

k w0 = 200

500

1000

(d)

4 × 1030 1 2 3

k w0 = 200

500

1000

Figura 5.1: O modelo da quebra de simetria. A quebra de simetria da distribuição gaussiana de momentos gerauma dependência axial para o pico do feixe óptico (b). Esta dependência é mostrada em (c). Para o valor médiotransversal é possível obter uma expressão analítica axial linear, como na Eq. (5.7), que é confirmada em (d).

E(r) = E0 ei k z G(x,z)w0

2√

π

∫∞

0

dky f (ky)exp[

i

(kyy−

k2y

2kz

) ]

≈ E0 ei k z G(x,z)F (y,z) , (5.4)

37

38 5.1. Modelando a quebra de simetria

com

F (y,z) = G(y,z){

1+ Erf[

iy

w0

/√

1+2 iz/k w20

]}(5.5)

A assimetria da distribuição de momento f (ky) na Eq.(5.3) é responsável pela dependência axial da

posição do pico, veja Fig. 5.1-b. Esta dependência z é inerente à interferência entre a função gaussiana

e a função erro, que aparecem na Eq.(5.5). A análise numérica feita para valores diferentes de kw0 e

ilustrada nas Fig. 5.1-c e 5.1-d mostra diferentes comportamentos entre a posição do máximo e o valor

médio transversal e confirma a expressão analítica

〈y〉|F | =

∫dyy |F (y,z)|

2

∫dy |F (y,z)|

2=

− i2

∫dky f (ky)e−i

k2y

2k z ∂

∂ky

[f (ky)e−i

k2y

2k z

]∗

∫dky f

2(ky)

+ h.c.

=

∫dky ky f

2(ky)

k∫

dky f2(ky)

z =

√2/π

k w0

z . (5.6)

Por fim, a quebra de simetria na distribuição de momento, Eq.(5.3), gera desvios com relação ao

caminho óptico, y = 0, previsto pela óptica geométrica. Portanto, o feixe modelado mostra um desvio

angular, dado por

αmax = arctan

[√2/π

k w0

]. (5.7)

Nesta equação, o índice subscrito foi introduzido para lembrar que este desvio angular é causado pela

quebra máxima de simetria introduzida na distribuição gaussiana. Este desvio pode ser fisicamente

entendido observando que para a distribuição simétrica, veja g(kx, ky) na Eq.(3.8), os valores positivos

e negativos contribuem para que o caminho óptico permaneça centrado em y = 0. No caso da distri-

buição assimétrica f (ky) dada na Eq.(5.3) somente os valores positivos contribuem para o movimento

e esta gera um desvio máximo angular que claramente depende do parâmetro k w0. No limite de onda

plana, este desvio tende a zero.

Este resultado estimula a investigar em que situação feixes gaussianos, propagando-se através de

blocos dielétricos, poderão experimentar uma quebra de simetria em sua distribuição de momento

similar ao modelo da quebra de simetria apresentado nesta seção. Se isso acontecer, o desvio angular

38

5.2. Realização da quebra de simetria em experimentos ópticos 39

do caminho óptico previsto pela lei de Snell será igual ao ângulo α dado na Eq. (5.7).

5.2 Realização da quebra de simetria em experimentos ópticos

Esta seção trata do problema da transmissão de um feixe óptico gaussiano através de um bloco

dielétrico e como realizar a quebra de simetria que permite reproduzir os efeitos discutidos na seção

anterior. Faremos somente uma proposta para observar a quebra de simetria em experimentos reais

ópticos e observar em quais circunstâncias é possível reproduzir o desvio máximo angular αmax , veja

Eq.(5.7).

(a)

(b)

A

BC

• n =√

2 • θ = 0 • AC = AB •

S

αmax

αmax = arctan

√2/π

kw0

bc

b

b bc

b bc

b

b b b b b

b b b b b

1 2 3 N

b b b b b b

Figura 5.2: Representação geométrica. A quebra de simetria gera um desvio angular α da lei de Snell como estárepresentado em (a) junto com o deslocamento de Goos-Hänchen. A quebra de simetria é maximizada por umacontribuição de N blocos (b) que em um experimento óptico pode ser realizado por um prisma longo de lados N BCe AB.

39

40 5.2. Realização da quebra de simetria em experimentos ópticos

∣ ∣ ∣ ∣ ∣g[s

,p

]

T(k

y)∣ ∣ ∣ ∣ ∣

w0ky w0ky

(a)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2N = 10

3050

kw0 = 103s - pol

(b)N = 103050

kw0 = 104s - pol

(c)

−4 −2 0 2 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2N = 10

3050

kw0 = 103p - pol

(d)

−4 −2 0 2 4

N = 103050

kw0 = 104p - pol

Figura 5.3: A quebra de simetria para N blocos dielétricos. Os gráficos mostram que, para maximizar a quebrade simetria, temos que diminuir a cintura do feixe, aumentar o número de blocos e usar ondas polarizadas p. Paratais ondas, uma escolha apropriada para obter a quebra máxima de simetria é representada por N = 50 e kw0 = 10

3.

Para feixes com ângulos de incidência menor que o ângulo crítico θ < θcri, a amplitude do campo

elétrico transmitido pode ser representada pela função

G[s, p]

T(y , z) =

w0

2√

π

∫ +∞

−∞

dky T[s, p]

N(0, ky ) exp

[−

k2

y

4w

2

0

]exp

[i

(ky y−

k2

y

2kz

)]

=w0

2√

π

∫ +∞

−∞

dky g[s,p]

T(ky) exp

[i

(ky y−

k2

y

2kz

)](5.8)

40

5.2. Realização da quebra de simetria em experimentos ópticos 41

que se propaga paralela ao eixo-z e com seu pico localizado em

ySnell = N dSnell = N (cosθ− sinθ) tanϕ AB , (5.9)

De acordo com a análise feita no Cap. 4, é importante lembrar que para ângulos de incidência maior

que o ângulo crítico (sinϕ > 1), o feixe óptico ganha uma fase adicional

N Φ[s,p]

GH, (5.10)

responsável pelo deslocamento de Goos-Hänchen.

O desvio angular αmax , dado na Eq. (5.7), é devido ao fato da quebra máxima de simetria apre-

sentada na seção precedente, veja Eq. (5.3). Na estrutura dielétrica mostrada na Fig. 5.2-b (observe

que em um experimento real óptico esta estrutura pode ser reproduzida por um prisma alongo de lado

N BC), o feixe óptico experimenta 2N reflexões internas e isso será fundamental na reprodução para

incidência no ângulo crítico, a quebra máxima de simetria apresentada na seção precedente. De fato,

para a incidência no ângulo crítico, a distribuição de momento g[s,p]

T(ky) centrada em ky = 0 sofre em

cada interface, inferior e superior, uma transmissão parcial par ky < 0 e reflexão total para ky > 0. Para

poucos blocos, o experimento real óptico é muito diferente do modelo apresentado na seção anterior.

Porém, para N� 1 otimizamos a quebra de simetria e, com isso, podemos simular a quebra máxima

de simetria apresentada na seção precedente. Na Fig. 5.3, na qual ilustramos o módulo da distribuição

de momento g[s,p]

T(ky), podemos observar que a quebra de simetria é otimizada não só pelo aumento

do número de blocos, mas pelo uso de ondas polarizadas p ou diminuindo o valor da cintura do feixe.

Como ilustrado na Fig. 5.3-c, para kw0 = 103

(para λ = 633nm significa que w0 ≈ 100µm), N = 50 e

ondas polarizadas p, podemos reproduzir perfeitamente o modelo da quebra de simetria apresentado

na seção precedente. Pelo aumento do número de blocos ou equivalentemente o lado do prisma longo,

podemos alcançar a quebra máxima de simetria Eq. (5.3). Observando que tal distribuição leva a um

desvio máximo angular.

41

42 5.3. A Lei de Snell e o fenômeno de múltiplos picos

5.3 A Lei de Snell e o fenômeno de múltiplos picos

Como mencionado na seção precedente, é possível realizar em experimento real óptico o modelo

da quebra de simetria. O ângulo de incidência preferido é θ = θcri. Neste caso, para uma escolha

apropriada do número de blocos (N = 50) e da largura da cintura do laser (kw0 = 103), é possível

tomar a seguinte aproximação

g[s,p]

T(ky) =

∣∣∣g[s,p]

T(ky)

∣∣∣ eiN(

ΦSnell + Φ[s,p]GH

)≈ f (ky)eiN

(ΦSnell + Φ

[s,p]GH

). (5.11)

O valor médio transversal para o feixe transmitido é expresso por

〈y〉[s,p]

T,cri=

− i2

∫dky g

[s,p]

T(ky)e−i

k2y

2k z ∂

∂ky

[g[s,p]

T(ky)e−i

k2y

2k z

]∗

∫dky

∣∣∣g[s,p]

T(ky)

∣∣∣2 + h.c.

=

∫dky

[−N

∂

∂ky

(ΦSnell + Φ

[s,p]

GH

)+

ky

kz]

f2(ky)∫

dky f2(ky)

= ySnell,cri + y[s,p]

GH,cri+

√2/π

k w0

z . (5.12)

Note que o desvio angular da lei de Snell α, como mostra a Eq. (5.7) e a Fig. 5.2-a, obtida na

seção precedente para o modelo da quebra de simetria, pode ser reproduzida em experimento real

óptico. Para uma quebra parcial de simetria, o desvio angular é reduzido e uma simulação numérica

é necessária para estimar tal desvio, como apresenta a Fig. 5.4. A posição do pico e o valor médio

transversal, ilustrados na Fig. 5.4 para n =√

2, foram escolhidos porque um bloco dielétrico com tal

índice de refração possui um ângulo crítico θcri = 0 (ϕcri = π/4), também foram calculados para blocos

dielétricos de sílica fundida (n = 1.457) e borossilicato (n = 1.515), como mostra a Tab. 5.1.

{n ,

180oθcri

π,

180oϕcri

π

}={√

2 , 0o, 45

o},{

1.457 ,−2.42o, 43.34

o},{

1.515 ,−5.60o, 41.31

o},

42

5.3. A Lei de Snell e o fenômeno de múltiplos picos 43

(ym

ax,T

−y

Snel

l)/d

Snel

l

(〈y

〉 T−

ySn

ell)/

dSn

ell

z/dSnell z/dSnell

(a)s - pol

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

×

b

×b

×b

N = 50

30

10

(b)s - pol

×

b×

b

×b

N = 50

30

10

(c)p - pol

0.04

0.08

0.12

0.16

0.20

0.24

0.28

0.32

10 30 50 70 90

×

b

×b

×bN = 50

30

10

(d)p - pol

10 30 50 70 90

×

b

×b

×bN = 50

30

10

Figura 5.4: O desvio angular da lei de Snell. Evolução da dependência axial do pico e o valor médio transversalna incidência crítica para a cintura do feixe w0 fixa para diferentes números de blocos N. O desvio angular éevidente em (b) e (d). Notamos que os pontos físicos nos quais podem ser feita a análise experimental são dadospor zout = zin +N tanϕc AB (pontos × nos gráficos). Os pontos • representam os pontos da análise numérica paraos blocos de borossilicato e sílica fundida (Tab. 5.1).

É importante observar que, aumentando o número de blocos, podemos alcançar quebra máxima

de simetria. Nos deslocamentos de Snell e Goos-Hänchen, observamos uma dependência linear com

o número de blocos,

43


Tabela 5.1: A desviação da lei de Snell para blocos dielétricos de borossilicato e sílica fundida. A posição numéricado pico ymax,T e valor médio transversal 〈y〉T do feixe transmitido na incidência crítica são listados para ondas polarizadass e p para índices de refração diferentes em função do número de blocos N e para a taxa fixa da largura da cintura dofeixe/comprimento de onda kw0 e da distância axial z. Notamos que com o aumento do número de blocos ocorre oaumento do desvio da lei de Snell.

ymax,T−ySnelldSnell

〈y−ySnell〉TdSnell

nN 10 30 50 10 30 50

√2 0.050 0.080 0.108 0.053 0.079 0.104

s-pol1.457 0.049 0.079 0.105 0.052 0.077 0.102

1.515 0.047 0.077 0.102 0.051 0.075 0.099√2 0.063 0.112 0.156 0.066 0.117 0.170

p-pol1.457 0.064 0.113 0.158 0.066 0.119 0.171

1.515 0.064 0.114 0.159 0.067 0.120 0.174

• kw0 = 103 • θ0 = θcri • z = 50dSnell •

ySnell,cri = N (cosθcri− sinθcri ) tanϕcri AB ,

= N

√2−n2

+2√

n2−1−1+√

n2−1√2(n2−1)

AB ,

= N δSnell,cri AB , (5.13)

44


∣ ∣ ∣ ∣ ∣G[s

,p

]

T(y

,z

)∣ ∣ ∣ ∣ ∣

(y − ySnell)/dSnell (y − ySnell)/dSnell

0.2

0.4

0.6

0.8

N = 10s - polz/b = 10

50100

(a)z/b = 10

50100

N = 10p - pol (b)

0.2

0.4

0.6

0.8

N = 30s - pol (c) N = 30p - pol (d)

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.04 0.08 0.12 0.16

N = 50s - pol (e)

0 0.04 0.08 0.12 0.16

N = 50p - pol (f)

Figura 5.5: O fenômeno de múltiplos picos. Para kw0 = 103, o feixe óptico transmitido apresenta o fenômeno de

múltiplos picos. Tal fenômeno é diretamente relacionado ao alargamento do feixe óptico e é pelo fato de que nadistribuição de momento as componentes de momento negativas são superadas pelas componentes positivas.

e

{y[s]

GH,cri, y

[p]

GH,cri

}= N

{1 , n

2}

4k

∫dky

√cosθcri tanϕcri

n cosψcri ky/kf

2(ky)∫

dky f2(ky)

= N{

1 , n2} 4Γ(1/4)√

π√

2

2 − n

2+ 2

√n2−1

4(n2−1)(

n2+ 2

√n2−1

)

1/4 √w0

k

= N{

1 , n2}

δGH,cri

√w0

k. (5.14)

45


A análise numérica ilustrada na Fig. 5.5 e Tab. 5.1 confirma tal predição.

∣ ∣ ∣ ∣ ∣G[s

,p

]

T(y

,z

)∣ ∣ ∣ ∣ ∣

(y − ySnell)/dSnell (y − ySnell)/dSnell

0

0.2

0.4

0.6

0.8

N = 10s - polz/b = 100

5001000

(a)z/b = 100

5001000

N = 10p - pol (b)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

N = 30s - pol (c) N = 30p - pol (d)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6

N = 50s - pol (e)

−0.2 0.0 0.2 0.4 0.6

N = 50p - pol (f)

Figura 5.6: O efeito focal. Para kw0 = 104, o fenômeno de múltiplos picos não é muito evidente. Porém, um novo

fenômeno aparece. Pelo fato da contribuição de segunda ordem da fase de óptica, no feixe transmitido podemosobservar o efeito de focalização como mostra em (f).

Em relação ao fenômeno de múltiplos picos, como mostra a Fig. 5.5, é clara a evidência da quebra

de simetria na distribuição de momento. No feixe óptico, as distribuições de momento negativo são

superadas ao aumentar o número de blocos. Isso implica somente contribuições de momento posi-

tivo no alargamento do feixe e consequentemente o fenômeno de múltiplos picos. Como pode ser

observado na Fig. 5.5, esse fenômeno é amplificado não somente pelo aumento do número de blocos,

mas pelo uso de ondas polarizadas p. Na Fig. 5.6, podemos observar outro fenômeno interessante. O

46


feito focal no feixe transmitido é uma consequência da contribuição de segunda da fase óptica que é

responsável pelo alargamento do feixe. A análise da Fig. 5.6-f mostra o aumento do valor máximo do

campo elétrico transmitido e é clara a evidência da focalização do feixe. O detalhamento desse efeito

foge do escopo desta tese e pode ser encontrado na referência [33].

47

Capıtulo 6Medida do deslocamento de Goos-Hänchen por

meio do efeito de interferência

Este capítulo apresenta de forma sucinta e clara o estudo sobre a interferência entre feixes ópti-

cos de diferentes polarizações que são importantes na reprodução do análogo óptico da medida fraca

do spin do elétron. O ponto importante no efeito de interferência é representado pela possibilidade

de estimar com precisão o deslocamento de Goos-Hänchen. A partir de uma análise numérica do

deslocamento de Goos-Hänchen, mostramos claramente uma amplificação, uma mudança de compor-

tamento da cintura do feixe e do comprimento de onda para a incidência próxima do ângulo crítico.

Isso modifica o perfil das curvas e uma nova fórmula será introduzida para estimar o deslocamento de

Goos-Hänchen.

6.1 Interferência entre feixes de diferentes polarizações

A medida do deslocamento de Goos-Hänchen tem sido uma tarefa difícil porque é um efeito muito

pequeno. Uma possibilidade é usar múltiplas reflexões [1], outra possibilidade é usar a técnica de in-

terferência entre feixes ópticos de diferentes polarizações. Esta técnica tem sido usada para a medida

do efeito Imbert–Fedorov e o efeito Hall do spin da luz [11, 41]. Esta técnica de interferência ser

entendida como medida fraca óptica que é um análogo óptico da medida fraca quântica [11], a luz

polarizada faz o papel de partículas de spin-1/2. Hosten and Kwiat [7] foi o primeiro a usar esta ana-

48

6.1. Interferência entre feixes de diferentes polarizações 49

logia para medir deslocamento de feixes ópticos. Eles relataram a primeira observação experimental

do efeio Hall da luz. Análises teóricas do efeito de interferência para a observação de deslocamentos

ópticos têm sido realizadas em [11, 42, 42, 43].

A técnica de interferência entre feixes para a medida destes deslocamentos é ainda objeto de in-

vestigação e continua a estimular novas discussões. Em um recente trabalho experimental [44], pelo

uso do efeito de interferência, o comportamento do deslocamento de Goos-Hänchen foi reproduzido

na região em que o ângulo de incidência está longe do ângulo crítico para permitir algumas aproxima-

ções, ou seja, na região em que o deslocamento de Goos-Hänchen é proporcional ao comprimento de

onda λ. Para a incidência no ângulo crítico, o deslocamento de Goos-Hänchen é amplificado por um

fator√

w0/λ . Essa mudança de comportamento será fundamental para a medida do deslocamento de

Goos-Hänchen na região de incidência crítica.

Para tornar esta análise clara para o leitor, vamos apresentar o esquema experimental para a medida

do deslocamento de Goos-Hänchen via efeito de interferência (veja Fig. 6.1). O aparato consiste de um

bloco dielétrico que introduz um deslocamento d[s]

GH(d

[p]

GH) para polarização s (p) de um feixe gaussiano

no regime de reflexão interna total. Consideramos um sistema de coordenadas cartesianas em que z

está na direção de propagação. Um analisador e um polarizador que seleciona as polarizações inicial

e final nos ângulos α e β com respeito ao plano-xy. O efeito de interferência [44], os parâmetros

que caracterizam o comportamento da medida dos deslocamento de Goos-Hänchen são os ângulos de

polarização do primeiro e segundo polarizador, (veja Fig. 6.1). α e β = α+ π

2 + ∆ε. Para ângulos de

pequenas rotações, ou seja, ∆ε� 1, para um feixe incidente com uma mistura igual de polarizações,

α = π/4. E para ângulos de incidência longe do ângulo crítico, a condição

∆ε� ∆dGH/w(z)≈ λ/w(z) com ∆dGH = d[p]

GH−d

[s]

GH, (6.1)

é satisfeita, e será vista em detalhes depois, a distância entre os picos do feixe de saída para duas

rotações opostas do segundo polarizador, ou seja, β± =34 π ±|∆ε|, é dada por

∆Ymax ≈ ∆dGH/|∆ε| . (6.2)

49

50 6.2. Dependência axial do deslocamento de Goos-Hänchen

Consequentemente, para rotações do polarizador que satisfazem o vínculo (6.1), a curva experimental

de ∆Ymax reproduz o deslocamento de Goos-Hänchen amplificada pelo fator 1/|∆ε|. O comportamento

da curvas do deslocamento de Goos-Hänchenb e sua amplificação (na região longe da região de inci-

dência crítica) foi confirmada em uma investigação experimental na referência [44].

Como observado no início desta introdução, a mudança de comportamento da largura da cintura e

do comportamento de onda do feixe leva para

∆dGH,cri ∝

√λw0 � λ . (6.3)

Esta mudança de comportamento do deslocamento de Goos-Hänchen crítico estimula a investigação

do que acontece na incidência próxima do ângulo crítico, pelo fato da amplificação√

w0/λ a condi-

ção usada na literatura [44] não será válida. Tal amplificação modificará o perfil das curvas e uma

nova fórmula será introduzida para estimar o deslocamento de Goos-Hänchen. Em vista de uma pos-

sibilidade de uma implementação experimental via interferência para a incidência próxima do ângulo

crítico, analisamos as cuvas previstas experimentalmente para feixes gaussianos com λ = 633 nm e

w0 = 200, 300, 500 µm, propagando através de blocos dielétricos de borossilicato e sílica fundida. Em

vista destes comentários, nossa discussão pode ser vista como um trabalho complementar aos que

aparecem nas referências [11, 41].

6.2 Dependência axial do deslocamento de Goos-Hänchen

Para a estimativa numérica do deslocamento de Goos-Hänchen do feixe transmitido, E[s,p]

out, propagando-

se no plano y-z através do bloco dielétrico (veja Fig. 6.1), é importante lembrar, Eq. (4.19)

que no regime de reflexão interna total o máximo campo elétrico está localizado em

y[s, p]

Max= dSnell +d

[s, p]

GH, (6.4)

ou seja, na posição prevista pela lei de Snell adicionado para o deslocamento de Goos-Hänchen. A

dependência axial no deslocamento de Goos-Hänchen é calculada pela diferença relativa entre os

50

6.2. Dependência axial do deslocamento de Goos-Hänchen 51

CONFIGURAÇÃO EXPERIMENTAL

FONTE DELASER

TE ⊕ TM ondas

TM onda TE onda

zC

zα α

zA A

zβ β

zout

zmin

LENTE

POLARIZADOR

ANALIZADOR

POLARIZADOR

DIELÉTRICO

CÂMERA

b

b

O b

z

y

b

b

b

b

Figura 6.1: Configuração experimental. Montagem experimental para observar a distância entre o pico principaldo feixe para duas rotações opostas, ±∆ε, do segundo polarizador. O feixe incidente antes do primeiro polarizador(α = π/4) possui uma mistura igual de ondas polarizadas s e p, passa pelo bloco dielétrico (zin < z < zout ) e passapelo do analisador em z = zA perdendo a fase ∆φGH . A interferência óptica é realizada por meio da mudança doângulo de rotação do segundo polarizador (β = 3π/4±|∆ε|). Para ∆ε = 0 o feixe se propaga com dois máximosiguais centrados em ±w(z)/

√2.

51

52 6.2. Dependência axial do deslocamento de Goos-Hänchen

máximos do feixe polarizado p com respeito ao polarizado s, da seguinte forma

y[p]

Max− y

[s]

Max= ∆dGH . (6.5)

Os dados numéricos para a propagação através de blocos de borossilicato (n = 1.515) e sílica fundida

(n = 1.457) para o intervalo (10cm < z < 15cm) são respectivamente ilustrados nas Fig. 6.2 e Fig. 6.3.

Os dados mostram claramente a amplificação para a incidência na região crítica e eles mostram um

excelente acordo com predição teórica para a incidência longe do ângulo crítico, descrita no Cap. 4.

Os gráficos para o deslocamento de Goos-Hänchen para borossilicato e sílica fundida mostram uma

dependência axial. Esta dependência axial tem sido investigada como uma possível origem do desvio

angular no caminho óptico previsto pela lei de Snell, Cap. 5. Entender como esta dependência axial

modifica as curvas do efeito de interferência na região crítica é um dos objetivos principais de nossa

análise.

52

6.3. Efeito de interferência em experimentos ópticos 53

∆d

GH

[µm

]

θ

20

16

12

8

4

0

w0 = 200 µm

Borossilicato (a)

20

16

12

8

4

0

Borossilicato

w0 = 300 µm

(b)

20

16

12

8

4

0−5.7◦ −5.6◦ −5.5◦ −5.4◦ −5.3◦

Borossilicato

w0 = 500 µm

(c)

Figura 6.2: As curvas do deslocamento de Goos-Hänchen para blocos de borossilicato. Os dados numéricospara o deslocamento ∆dGH para os feixes gaussianos, transmitidos através de um bloco dielétrico de borossilicato,são ilustrados no intervalo 10cm ≤ z≤ 15cm, para diferentes valores da largura da cintura do feixe w0 = 200µm(a), 300µm (b), e 500µm (c). A transição do comprimento de onda e da cintura do feixe na incidência crítica éevidente e a dependência axial representa um fenômeno adicional.

6.3 Efeito de interferência em experimentos ópticos

Nesta seção vamos apresentar a análise do efeito de interferência entre dois feixes de polarizações

diferentes para a medida do deslocamento de Goos-Hänchen. A expressão matemática do campo

53

54 6.3. Efeito de interferência em experimentos ópticos

∆d

GH[µ

m]

θ

20

16

12

8

4

0

w0 = 200 µm

Sílica fundida (a)

20

16

12

8

4

0

w0 = 300 µm

Sílica fundida (b)

20

16

12

8

4

0−2.5◦ −2.4◦ −2.3◦ −2.2◦ −2.1◦

w0 = 500 µm

Sílica fundida (c)

Figura 6.3: As curvas do deslocamento de Goos-Hänchen para blocos de sílica fundida. Os dados numéricospara o deslocamento ∆dGH para os feixes gaussianos, transmitidos através de um bloco dielétrico de sílica fundidasão ilustrados no intervalo 10cm ≤ z ≤ 15cm para diferentes valores da largura da cintura do feixe w0 = 200µm(a), 300µm (b) e 500µm (c). A transição do comprimento de onda e da cintura do feixe na incidência crítica éevidente e a dependência axial representa um fenômeno adicional.

transmitido E[s,p]

T, propagando-se no plano y-z através do bloco dielétrico (veja Fig. 6.1) é dada pela

Eq. (3.37). Na incidência próxima do ângulo crítico e para um bloco dielétrico podemos tomar a

54

6.3. Efeito de interferência em experimentos ópticos 55

seguinte aproximação

T[s,p]

(0,ky) =∣∣∣T [s,p]

0

∣∣∣ exp[i (ΦSnell +Φ[s, p]

GH)] .

Isso permite que a equação para o campo elétrico transmitido seja escrita como segue

E[s, p]

T(r) = E0 ei k z G (x , z)

∣∣∣T [s,p]

0

∣∣∣√

1+2 iz

k w20

exp

−

(y−dSnell−d

[s,p]

GH

)2

w20 +2 i

zk

+ i(

ΦSnell +Φ[s,p]

GH

) , (6.6)

na qual ΦSnell e dSnell representam a fase e o deslocamento de Snell, e Φ[s,p]

GHe d

[s,p]

GHrepresentam a

fase e o deslocamento de Goos-Hänchen, o qual é estimado numericamente nos gráficos das Fig. 6.2

e Fig. 6.3 .

• Polarizador α

A intensidade do feixe gaussiano passando pelo polarizador α e saindo do bloco dielétrico e,

movendo-se na direção do polarizador (zout < z < zA na Fig. 6.1) é expressa por

IT(y,zout < z < zA) =∣∣∣sinαE

[s]

T(r)+ cosαE

[p]

T(r)∣∣∣

2

∝

∣∣∣∣∣∣τ tanα exp

−

(y−dSnell−d

[s]

GH

w(z)

)2

+ i∆ΦGH

+ exp

−

(y−dSnell−d

[p]

GH

w(z)

)2∣∣∣∣∣∣

2

,

(6.7)

na qual τ =∣∣∣T [s]

0 / T[p]

0

∣∣∣ representa a razão entre as amplitudes dos coeficientes de transmissão para a

luz polarizada s e p, e ∆ΦGH = Φ[s]

GH−Φ

[p]

GHa diferença de fase. A dependência de θ em τ e ∆ΦGH é

ilustrada na Fig. 6.4 (borossilicato e sílica fundida). Além da diferença de fase, os feixes emergem do

bloco deslocados pelas quantidades, d[s]

GHe d

[p]

GH.

• Analisador A

Após a remoção da diferença de fase entre a luz polarizada s e p pelo analisador localizado em

55

56 6.3. Efeito de interferência em experimentos ópticos

z = zA , a intensidade torna-se

IT(y,zout < z < zA) =∣∣∣sinαE

[s]

T(r)+ cosαE

[p]

T(r)∣∣∣

2

∝

∣∣∣∣∣∣τ tanα exp

−

(y−dSnell−d

[s]

GH

w(z)

)2+ exp

−

(y−dSnell−d

[p]

GH

w(z)

)2∣∣∣∣∣∣

2

.

(6.8)

• Polarizador β

Finalmente, o segundo polarizador localizado em z = zβ

combina as polarizações s e p produzindo

a intensidade do feixe transmitido como

IT(y,z > zβ) =

∣∣∣sinα sinβE[s]

T(r)+ cosα cosβE

[p]

T(r)∣∣∣

2

∝

∣∣∣∣∣∣τ tanα tanβ exp

−

(y−dSnell−d

[s]

GH

w(z)

)2+ exp

−

(y−dSnell−d

[p]

GH

w(z)

)2∣∣∣∣∣∣

2

,

=

∣∣∣∣∣∣∣∣τ tanα tanβ exp

−

Y +∆dGH

2w(z)

2+ exp

−

Y − ∆dGH

2w(z)

2

∣∣∣∣∣∣∣∣

2

(6.9)

com

Y = y − dSnell −d[s]

GH+d

[p]

GH

2e ∆dGH = d

[p]

GH− d

[s]

GH.

Na Eq. (6.9) α e β são os ângulos de polarização do primeiro e do segundo polarizador, veja

Fig. 6.1. A dependência angular de τ é ilustrada nas Fig. 6.4-a (borossilicato) e Fig. 6.4-c (sílica fun-

dida) para ângulos de incidência na região crítica. Esta escolha permite reescrever a intensidade do

56

6.4. O comportamento do máximo principal 57

feixe transmitido como segue

IT(y,z > zβ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣tanα tanβ exp

−

Y +∆dGH

2w(z)

2+ exp

−

Y − ∆dGH

2w(z)

2

∣∣∣∣∣∣∣∣

2

.

(6.10)

Na forma desta equação é evidente que a intensidade é uma superposição de duas gaussianas centradas

em ±∆dGH . A técnica de interferência utiliza o controle dos ângulos α e β para a medida indireta do

deslocamento de Goos-Hänchen através da medida da distância entre os máximos desta função. Isso

será analisado na próxima seção.

6.4 O comportamento do máximo principal

Para a análise do comportamento do máximo da intensidade apresentada na seção precedente, o

ponto de partida no efeito de interferência óptica é a definição dos ângulos do primeiro e do segundo

polarizador

{α , β}={

π

4,

π

2+α

}.

Admitindo que dGH é da ordem do comprimento de onda λ,

∆dGH

w(z)∼ λ

w(z)� 1 .

Para esta escolha é possível encontrar uma função simétrica para a intensidade do feixe transmitido,

IT(Y ) ∝ Y2

exp

[− 2Y

2

w2(z)

], (6.11)

57

58 6.4. O comportamento do máximo principal

com dois picos centrados em Y±

max= ± w(z)/

√2 e um mínimo centrado em Ymin = 0. Alterando o

ângulo do segundo polarizador de β para β+∆ε (∆ε� 1), quebramos a simetria da distribuição,

IT(Y,∆ε) ∝

[∆ε +

∆dGH

w2(z)

Y]2

exp

[− 2Y

2

w2(z)

]. (6.12)

Em termos de ∆ε, obtemos

Ymin(∆ε) =− ∆ε

∆dGH

w2(z) (6.13)

e

Y±

max(∆ε) =

−∆ε ±√

(∆ε)2+2 [∆d2

GH/ w2

(z) ]

2∆dGH

w2(z) . (6.14)

É evidente que para ∆ε positivo, o Y+

max(|∆ε|) representa a posição do pico principal da intensidade do

feixe transmitido. Por outro lado, para ∆ε negativo, o pico principal está centrado em Y−

max(−|∆ε|).

Utilizando a Eq. (6.14), a distância entre esses dois picos é dada por

∆Ymax = Y+

max(|∆ε|)−Y

−

max(−|∆ε|) =

−|∆ε| +√|∆ε|2 +2 [∆d2

GH/ w2

(z) ]

∆dGH

w2(z) . (6.15)

Em suma, temos que através da separação dos máximos correspondentes a duas rotações opostas±∆ε,

o deslocamento de Goos-Hänchen pode ser determinado.

Na região 0≤ |∆ε| ≤ ∆dGH/w(z), obtemos

(√

3−1) w(z) ≤ ∆Ymax ≤√

2 w(z) . (6.16)

Isso mostra evidentemente que pelo aumento do valor de |∆ε|, reduzimos a distância entre os picos.

Para |∆ε| � ∆dGH/w(z),

∆Ymax ≈ ∆dGH/|∆ε| . (6.17)

Para ângulo de incidência distante da região crítica, devido ao fato do deslocamento de Goos-Hänchen

58


ser proporcional ao comprimento de onda do laser, a condição

∆dGH

w(z)≈ λ

w(z)� |∆ε|

pode ser satisfeita. Portanto, distante da região crítica, as curvas experimentais de ∆Ymax reproduzem

as curvas de de Goos-Hänchen amplificadas por um fator 1/|∆ε|.

Para uso experimental, é conveniente expressar o deslocamento de Goos-Hänchen, ∆dGH , em ter-

mos da quantidade experimental ∆Ymax . Da Eq. (6.15), podemos obter

∆dGH =|∆ε| ∆Ymax

1−∆Y 2max

/2w2(z)

. (6.18)

A expressão (7.6) descreve o comportamento do deslocamento de Goos-Hänchen em função da

distância dos picos e da coordenada axial. As medidas experimentais para este estudo teórico estão

sendo realizadas e confirmam de fato a validade dessa equação na região de incidência crítica. Na

região crítica, a dependência axial e a transição do comprimento de onda e da cintura do feixe são

ilustradas nas Fig. 6.2 (borossilicato) e Fig. 6.3 (sílica fundida). Podemos observar que, a dependência

axial e a transição do comprimento de onda e da cintura do feixe vão em contradição à validade do

vínculo |∆ε| � ∆yGH/w(z). Isso significa que, nessa região, as curvas experimentais de ∆Ymax reprodu-

zem as curvas de Goos-Hänchen. As curvas previstas experimentalmente da distância dos dois picos

são ilustradas para diferentes valores de |∆ε| nas Fig. 6.5 (borossilicato) e Fig. 6.6 (sílica fundida).

Os gráficos confirmam que, na incidência crítica, a amplificação não reproduz a proporcionalidade de

1/|∆ε|. A dependência axial pode afetar as curvas experimentais e, para pequenas rotações do segundo

polarizador produz uma região praticamente plana, veja as Fig. 6.5-a e Fig. 6.6-a para |∆ε|= 0.01. A

dependência axial é removida pelo aumento da cintura do feixe w0 como se verifica nas Fig. 6.7 (sí-

lica fundida) e Fig. 6.8 (borossilicato). Observamos que a amplificação da 1/|∆ε| é reproduzia para

ângulos distantes da região crítica.

59


θ

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

−5.7◦ −5.6◦ −5.5◦ −5.4◦ −5.3◦

τ

∆φGH

Borossilicato (a)

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

τ

∆φGH

Sílica fundida (b)

−2.5◦ −2.4◦ −2.3◦ −2.2◦ −2.1◦

Figura 6.4: dependência angular de τ e ∆ΦGH . A dependência angular de τ (taxa entre os módulos das amplitudespara a luz polarizada s e p) e ∆φGH (diferença de fase entre as ondas polarizadas s e p) são ilustradas em (a) parablocos dielétricos de borossilicato e (c) sílica fundida. Na região crítica, τ é aproximada igual a um. Isso foi usadopara simplificar a expressão para feixe transmitido, como mostra a Eq. (6.12).

60


∆Y

max

[µm

]

θ

600

500

400

300

200

100

0

(a)

|∆ε| = 0.01

0.03

0.050.1

w0 = 200 µm

Borossilicato

600

500

400

300

200

100

0

(b)

|∆ε| =0.01

0.030.05

0.1

w0 = 300 µm

Borossilicato

600

500

400

300

200

100

0−5.7◦ −5.6◦ −5.5◦ −5.4◦ −5.3◦

(c)|∆ε| =0.01

0.03

0.05

0.1

w0 = 500 µm

Borossilicato

Figura 6.5: As curvas do efeito de interferência óptica para blocos de borossilicato. As curvas previstas paraa distância entre os picos principais dos feixes saindo de um bloco dielétrico borossilicato e passando através dosegundo polarizador para duas rotações opostas |∆ε| são ilustradas no intervalo 10cm≤ z≤ 15cm para diferentesvalores da largura da cintura do feixe w0 = 200µm (a), 300µm (b) e 500µm (c). Para reduzir a dependênciaaxial, temos que aumentar a largura da cintura do feixe w0. Note que a curva de amplificação 1/|∆ε|, válida paraincidência distante da incidência crítica, é perdida quando a incidência aproxima-se do ângulo crítico.

61


∆Y

max

[µm

]

θ

600

500

400

300

200

100

0

(a)

|∆ε| = 0.01

0.030.050.1

w0 = 200 µm

Sílica fundida

600

500

400

300

200

100

0

(b)

|∆ε| =0.01

0.030.050.1

w0 = 300 µm

Sílica fundida

600

500

400

300

200

100

0−2.5◦ −2.4◦ −2.3◦ −2.2◦ −2.1◦

(c)

|∆ε| =0.01

0.03

0.050.1

w0 = 500 µm

Sílica fundida

Figura 6.6: As curvas do efeito de interferência óptica para blocos de sílica fundida. As curvas previstas para adistância entre os picos principais dos feixes saindo de um bloco dielétrico de sílica fundida e passando através dosegundo polarizador para duas rotações opostas |∆ε| são ilustradas no intervalo 10cm≤ z≤ 15cm para diferentesvalores da largura da cintura do feixe w0 = 200µm (a), 300µm (b) e 500µm (c). Para reduzir a dependênciaaxial, temos que aumentar a largura da cintura do feixe w0. Note que a curva de amplificação 1/|∆ε|, válida paraincidência distante da incidência crítica, é perdida quando a incidência aproxima-se do ângulo crítico.

62


∆d

GH

[µm

]

θ

30

25

20

15

10

5

0−5.7◦ −5.6◦ −5.5◦ −5.4◦ −5.3◦

(a)

w0 = 1.0 mm

Borossilicato

30

25

20

15

10

5

0−2.5◦ −2.4◦ −2.3◦ −2.2◦ −2.1◦

(b)

w0 = 1.0 mm

Sílica fundida

Figura 6.7: As curvas do deslocamento de GH para blocos borossilicato e sílica fundida. Os dados numéricospara o deslocamento ∆dGH para os feixes gaussianos transmitidos através de blocos dielétricos de borossilicato(a) ede sílica fundida(b) são ilustrados no intervalo 10cm≤ z≤ 15cm para a largura da cintura do feixe w0 = 1.0mm.A mudança de comportamento do comprimento de onda e da cintura do feixe na incidência crítica é evidente. Poroutro lado, a dependência axial foi reduzida.

63


∆Y

max

[µm

]

θ

30

25

20

15

10

5

0−5.7◦ −5.6◦ −5.5◦ −5.4◦ −5.3◦

(a)

w0 = 1.0 mm

Borossilicato

|∆ε| = 0.01

0.03

0.050.1

30

25

20

15

10

5

0−2.5◦ −2.4◦ −2.3◦ −2.2◦ −2.1◦

(b)

w0 = 1.0 mm

Sílica fundida

|∆ε| = 0.01

0.03

0.050.1

Figura 6.8: As curvas do efeito de interferência óptica para blocos de borossilicato e sílica fundida. As curvasprevistas para a distância entre os picos principais dos feixes saindo de blocos dielétricos de borossilicato (a) ede sílica fundida(b) e passando através do segundo polarizador para duas rotações opostas |∆ε| são ilustradas nointervalo 10cm≤ z≤ 15cm, para a largura da cintura do feixe w0 = 1.0mm. Observamos que a dependência axialfoi reduzida para tal cintura de feixe. Note que a curva de amplificação 1/|∆ε|, válida para incidência distante daincidência crítica, é perdida quando a incidência aproxima-se do ângulo crítico.

64

Capıtulo 7Conclusões

Nesta seção, resumimos os resultados de maior relevância obtidos durante o doutorado. Apresen-

taremos, também, tópicos de pesquisa que podem representar estímulo para futuros trabalhos.

7.1 Resultados obtidos

No capítulo 2 usamos o método da fase estacionária para obter o deslocamento de Goos-Hänchen

[18]. Nosso estudo fornece uma nova luz sobre a região de validade das fórmulas analíticas. No

b

− − − − − − −

kw0σ(n, θ) = − 5

FASE

e−

Figura 7.1: Distribuição gaussiana de momentos. Evolução da distribuiçãogaussiana de momento para um ângulo de incidência maior que o ângulo crítico,k w0 σ(n, θ) = −5. A linha contínua representa a distribuição com coeficiente de re-flexão complexo, kz∗ < 0.

regime de reflexão interna total, observamos que toda a distribuição de momentos contém uma fase

adicional (veja Fig. 7.1) e consequentemente as derivadas podem ser calculadas no centro da distribui-

65

66 7.1. Resultados obtidos

ção, ky = 0. Isso leva ao deslocamento da ordem do comprimento de onda λ,

{d[s]

GH, d

[p]

GH

}=

λ

π

2 cosθ senϕ

cosψ

√n2 sen2

ϕ−1

{1,

1n2 sen2

ϕ− cos2ϕ

}. (7.1)

Em nossa análise, o método da fase estacionária foi estendido para o regime de incidência crí-

tica. Para incidência no ângulo crítico, somente metade da distribuição de momentos contém a fase

adicional (veja Fig. 7.2).

b

kw0σ(n, θ) = 0

FASE

e−

Figura 7.2: Distribuição gaussiana de momentos. Evolução da distribuição gaussi-ana de momento para a incidência no ângulo crítico, k w0 σ(n, θ) = 0. A linha pon-tilhada representa a distribuição com coeficiente de reflexão real, kz∗ > 0. A linhacontínua representa a a distribuição com coeficiente de reflexão complexo, kz∗ < 0.

Em consequência, as derivadas devem ser calculadas em

kcri =

∫ +∞

0dky ky exp

[−(kyw0)

2/2]∫ +∞

−∞dky exp

[−(kyw0)

2/2] =

1√2π w0

. (7.2)

O deslocamento de Goos-Hänchen é agora amplificado pelo fator√

w0/λ,

{d[s]

GH,cri, d

[p]

GH,cri

}≈ λ

√w0

λ

[2π

1n2(n2−1)

] 14 {

1 , n2}. (7.3)

No capítulo 3, observamos que na incidência crítica, a assimetria da fase adicional produz a uma

quebra de simetria na distribuição de momento g[s, p]

T(ky) (veja Fig. 7.3) [19, 20].

A maximização da quebra de simetria da distribuição de momento leva ao desvio angular da lei de

Snell. Mostramos como reproduzir a máxima quebra de simetria na distribuição de momento de feixe

66

7.1. Resultados obtidos 67

por uma estrutura composta por N blocos dielétricos (veja Fig. 7.3). Nesta análise mostramos que

o desvio angular máximo é obtido para um feixe gaussiano com λ = 633nm e largura w0 = 100µm

utilizando ondas polarizadas p e uma estrutura composta por 50 blocos (veja Fig. 7.3). Neste caso, é

possível encontrar um desvio angular da lei de Snell

αmax = arctan

∫dky ky f

2(ky)

k∫

dky f2(ky)

= arctan

[√2/π

k w0

]≈√

2/π

k w0

≈ 0.05o π

180o . (7.4)

N = 15

1050

kw0 = 103p - pol

Figura 7.3: Quebra de simetria para N blocosdielétricos. Para ondas polarizadas p, os gráficosmostram que para maximizar a quebra de simetria,temos que aumentar o número de blocos.

No capítulo 4 foi elaborado um estudo sobre o

efeito de interferência entre feixes [21]. Neste estudo,

observamos que as curvas do deslocamento de Goos-

Hänchen são reproduzidas pela fórmula analítica pa-

drão, ou seja, a proporcionalidade entre as curvas ex-

perimentais da distância dos picos e as cuvas do des-

locamento de Goos-Hänchen

∆Ymax ≈∆dGH

|∆ε|(7.5)

pode ser reproduzida somente na região distante da

incidência crítica (veja Fig. 7.4).

Na incidência crítica devido à amplificação de√

w0/λ, a consequente proporcionalidade entre

as curvas experimentais da distância dos picos e as cuvas do deslocamento de Goo-Hänchen não

é reproduzida (veja Fig. 7.4). Portanto, uma nova fórmula analítica foi introduzida para estimar o

deslocamento de Goos-Hänchen,

∆dGH =|∆ε| ∆Ymax

1−∆Y 2max

/2w2(z)

. (7.6)

A partir dessa equação é importante notar que para uma distância entre os picos da ordem do compri-

67

68 7.2. Perspectivas de trabalho futuro

600

500

400

300

200

100

0

|∆ε| = 0.01

0.030.05

0.1

w0 = 300 µm

Borossilicato

Figura 7.4: Curvas do efeito de interferência para blocos de boros-silicato. As curvas previstas para a distância entre os picos principaisdos feixes saindo de um bloco dielétrico e passando através do segundopolarizador para duas rotações opostas |∆ε| são ilustradas no intervalo10cm≤ z≤ 15cm para largura da cintura do feixe 300µm.

mento de onda,∆Ymax

w(z)≈ λ

w(z)� 1 ,

podemos obter a fórmula analítica padrão usada na literatura

∆dGH ≈ |∆ε| ∆Ymax . (7.7)

É importante observar (veja Fig. 7.4) a dependência axial no efeito de interferência entres os feixes

em proximidade do ângulo crítico. Um recente estudo experimental feito numa colaboração entre

os professores doutores Stefano De Leo, Luis Araujo, Silvânia Carvalho e o mestrando Octávio José

mostra a validade da nova fórmula proposta e consequentemente a dependência axial no efeito de

interferência. A dependência axial antes do ângulo crítico representa desvios angulares da lei de

Snell.

7.2 Perspectivas de trabalho futuro

Existem alguns tópicos que não foram abordados nesta tese e que merecem atenção:

1) Uma fórmula analítica completa para o deslocamento de Goos-Hänchen na região de incidência

68

7.2. Perspectivas de trabalho futuro 69

crítica. Além disso, analisaremos a dependência do deslocamento de Goos-Hänchen sobre a

distribuição do feixe;

2) Comportamento do máximo e do valor médio da intensidade em proximidade da região crítica;

3) Estimativa dos desvios angulares antes da região crítica;

Para o feixe no regime de reflexão parcial, pretendemos obter uma fórmula analítica para o

desvio angular da lei de Snell para o feixe refratado e o desvio da lei de reflexão para o feixe

refletido.

4) Efeito de interferência entre feixes incluindo a fase óptica;

Para esta análise vamos considerar o campo elétrico transmitido polarizado s e p dado por

E[s, p]

T(r) ∝ exp

−

(y−dSnell−d

[s,p]

GH

)2

w20 +2 i

zk

+ i(

ΦSnell +Φ[s,p]

GH

) (7.8)

Neste estudo faremos uma avaliação do efeito da diferença da fase de Goos-Hänchen ∆φGH =

Φ[s]

GH−Φ

[p]

GHno efeito de interferência e, na potência do feixe.

5) Efeitos dos termos de segunda ordem da fase óptica;

Nesta análise podemos observar que a quebra de simetria axial e o alargamento axial transversal

apresentam dependência sobre o ângulo de incidência. Para ângulo de incidência θ = π/4 observamos

que o efeito do termo de segunda ordem da fase geométrica modifica a simetria axial e alargamento

axial transversal

w

z− k

[∂

2ΦSnell

∂k2x

]

(0,0)

, w

z− k

[∂

2ΦSnell

∂k2y

]

(0,0)

.

Neste estudo as contribuições mais significativas advêm da fase geométrica pelo fato das contribuições

serem proporcionais às dimensões do bloco enquanto que as contribuições da fase de Goos-Hänchen

são proporcionais ao comprimento de onda. Esta análise foi realizada para feixes gaussianos e do tipo

Hermite-Gauss e, resultou em dois artigos:

69

70 7.2. Perspectivas de trabalho futuro

Quebra de simetria transversal e modificação do alargamento axial para feixes ópticos

gaussianos, submetido ao “ J. Mod. Opt. (2015)”.

Efeito focal para feixes ópticos do tipo Hermite-Gauss, submetido ao “Eur. Phys. J. D

(2015)”.

Em continuação, estendemos esta análise para feixes ópticos do tipo Laguerre-Gauss que está em

fase de preparação.

Para futuras investigações pretendemos investigar a possibilidade da quebra de simetria axial e o

alargamento axial transversal para ângulos de incidência que ativam os efeitos de segunda ordem da

fase de Goos-Hänchen. Discutiremos em que região de incidência podemos maximizar a quebra de

simetria axial e modificar o alargamento do feixe.

70

7.2. Perspectivas de trabalho futuro 71

Publicações e submissões no período do doutoramento

Publicações

• M. P. Araújo, S. De Leo and G. G. Maia, Axial dependence of optical weak measurements in the

critical region, J. Optics. 17, 035608 (2015).

• M. P. Araújo, S. A. Carvalho, and S. De Leo, Maximal breaking of symmetry at critical angle and

closed-form expression for angular deviations of the Snell law, Phys. Rev. A 90, 033844-11 (2014).

• M. P. Araújo, S. A. Carvalho and S. De Leo, The asymmetric Goos-Hänchen effect, J. Optics. 16,

015702 (2014).

• M. P. Araújo, S. A. Carvalho and S. De Leo, The frequency crossover for the Goos-Hänchen shift,

J. Modern Opt. 60, 1772-1780 (2013).

Submissões

• M. P. Araújo, S. A. Carvalho and S. De Leo, Focal effect for Hermite-Gaussian beams, submetido

ao Eur. Phys. J. D (2015).

• M. P. Araújo, S. De Leo and M. Lima, Transversal symmetry breaking and axial spreading modifi-

cation for gaussian optical beams, submetido ao J. Mod. Opt. (2015).

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and closed-form expression for angular deviations of the Snell law. Phys. Rev. A, 15:033844–11,

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o deslocamento de goos-hÄnchen e os fenÔmenos da...

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