Matemática

Editora Exato 41

NÚMEROS NATURAIS

1. INTRODUÇÃO

Desde épocas mais antigas, a idéia de números a-companha a humanidade, e sempre o homem utilizou-se de símbolos, como marcações em paredes de cavernas, em os-sos, para registrar sua idéia de quantidade. Com o tempo fo-ram aparecendo outras maneiras de se registrar a quantidade de determinados objetos.

Demorou muito para chegarmos à escrita numérica que usamos atualmente. Os povos foram substituindo as anti-gas marcações por símbolos e regras utilizados para represen-tar os números. Esse ajuste de símbolos e regras é chamado de sistema desistema desistema desistema de numeração. numeração. numeração. numeração. O sistema de numeração mais utili-zado atualmente, é o decimal cujos símbolos são: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.

2. DEFINIÇÃO

O conjunto representado pela letra N, cujos números expressam o resultado de uma contagem, e chamado de cocococon-n-n-n-junto dosjunto dosjunto dosjunto dos números naturais.números naturais.números naturais.números naturais.

Representação: ,...}6,5,4,3,2,1,0{=N

{ }...7,6,5,4,3,2,1*

=N é a representação dos nú-

meros naturais exceto o zero.

2.1) Propriedades: � Todo número natural tem um sucessor. O sucessor

de um número natural é obtido somando a esse número o número 1.

� O antecessor de um número natural é obtido sub-traindo 1 a esse número

� O zero (0) é o único natural que não tem anteces-sor.

� O zero é o menor número natural. � Dois ou mais números naturais em seqüência são

chamados números consecutivos.

Exemplos: 1°) 1°) 1°) 1°) Sucessor de 4 é 4 + 1 = 5. 2°) 2°) 2°) 2°) Antecessor de 7 é 7 – 1 = 6.

3. COMPARAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS

Dado dois números naturais, representados pelas le-tras aaaa e bbbb usamos os seguintes símbolos para compará-los:

=

<

>

lê-se: é igual a

lê-se: é diferente de

lê-se: é menor que

lê-se: é maior que

=

Exemplos: � 3 = 3 três é igual a três. � 4 ≠ 5 quatro é diferente de cinco.

� 2 < 4 dois é menor que quatro. � 6 > 1 seis é maior que um.

4. OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS

4.1) Adição A operação de adição esta ligada a idéia de unir, a-

crescentar, juntar.

Exemplo: Nos jogos poli-esportivos anuais do Distrito Federal

(DF), foram distribuídas 216 medalhas de ouro, 115 medalhas de prata e 292 medalhas de bronze. Qual o total de meda-lhas distribuídas nesses jogos?

216115292

623

ParcelaParcelaParcela

Soma ou total

++

Propriedades � Fechamento A soma de dois números naturais é um outro número

natural. � Comutativa A ordem das parcelas não altera a soma. Assim:

4+5 = 9 5+4 = 9

� Associativa Em uma adição de três ou mais números naturais, po-

demos associar as parcelas, de modos diferentes, que a soma permanece a mesma. Exemplo:

3+(4+5) = (3+4)+5 = (3+5)+4 = 3+9 = 7+5 = 8+4 = 12 12 12 � Elemento neutro

O zero é o elemento neutro da adição. Isto é: 0+1=0 0+5 = 5 7+0 = 7

4.2) Subtração Á subtração está ligada a idéia de reduzir, tirar. Veja a

situação abaixo: Os elefantes correm o perigo de ser mais uma das es-

pécies em extinção. O responsável por isso é o grande comer-cio de marfim. Há dez anos, cerca de 1300000 elefantes habitavam a África. Hoje existem aproximadamente 625000. Para calcular a quantidade de elefantes existentes na África, fazemos:

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1300000625000

675000

MinuendoSubtraendo

Diferença

-

4.3) Multiplicação A multiplicação está ligada a idéia de adicionar parce-

las iguais.

Exemplo: Ao ir ao supermercado “Pague tudo caro”, dona Joa-

na percebeu que uma bandeja de ovos era composta de 5 fi-leiras. Cada fileira tinha 6 ovos, quantos ovos tem a bandeja? Se cada ovo custa 2 reais, quanto dona Joana pagará pela bandeja de ovos?

1ª fileira2ª fileira3ª fileira4ª fileira5ª fileira

6 ovos6 ovos6 ovos6 ovos6 ovos

6+6+6+6+6=65

fatorfator

30 produtox

Como cada ovo custa R$ 2,00 e cada bandeja contem 30 ovos, dona Joana vai pagar

30

x 2R$60,00

Propriedades � Fechamento O produto de dois números naturais resulta em um

número natural. � Comutativa

A ordem dos fatores não altera o produto.

623

632

=×

=×

� Associativa Numa multiplicação de três ou mais números naturais,

podemos associar quaisquer dos fatores que o produto per-manece o mesmo.

Exemplo:

2x(3x4)=2x12=

24ou

(2x3)x4=6x424

� Elemento neutro O elemento neutro da multiplicação é o número 1.

Exemplos:

331

221

=×

=×

� Distributiva Considere a seguinte situação:

3x(4+1)=3x4+3x1

Numa multiplicação de um número natural por uma soma, podemos multiplicar esse número por cada uma das parcelas da soma, e somar os resultados.

Veja:

3x(4+1)=3 x 5=

15e

3x4+3x1=12+3

15

Essa propriedade é conhecida como distributiva da multiplicação em relação à adição.

4.4) Divisão A divisão está ligada a ação de repartir em partes i-

guais.

Exemplo: Procurando organizar seu escritório, Fernanda com-

prou 5 portas CD iguais e neles colocou todos os seus 95 CD que estavam espalhados por diversos lugares. Quantos CD ela colocou em cada porta CD.

dividendo 95 5

045 19

divisorquociente

resto

Em cada porta CD foram colocar 19 CDs.

Observações: A divisão pode ser exata ou não exata. � Divisão exata: É a divisão cujo resto é zero.

dividendo 27 3

0-27 9

divisorquociente

resto

� Divisão não-exata: É a divisão cujo resto é maior que zero e menor que o

divisor.

27 21 13resto

� Em toda divisão vale:

DIVIDENDO = DIVISOR X QUOCIENTE + RESTO

Exemplo: Na divisão acima: 27 = 2 ×13 + 1.

4.5) Potenciação Ao efetuar um produto de fatores iguais, estamos reali-

zando uma operação chamada de potenciação.

Exemplo: 1)

5222222 =×××× = 32

Onde: � 2 é chamado de base; � 5 é chamado de expoente;

� 5

2 é a potência.

2) 3

3333 =×× =27

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� Como se lê as potências

a) Quando o expoente é dois, lê-se quadrado. Assim, 2

3 lê-se três elevado ao quadrado;

b) Quando o expoente é três, lê-se cubo. Assim, 3

4 lê-se quatro elevado ao cubo;

c) Quando o expoente é 4, 5, 6, 7, 8... lê-se: quarta po-tência, quinta potência,...

Propriedades � Multiplicação de potências na mesma base Numa multiplicação de potências de bases iguais,

conserva-se a base e soma os expoentes.

Observe: {

2 3

2fatores 3 fatores

2 3 5

5 fatores

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 32+

× = × × × × =

= × × × × = = =

14243

1442443

� Divisão de potência de mesma base Na divisão de potências de bases iguais, conserva-se a

base e subtrai os expoentes.

Observe:

{82222

22

222222:2

3

3

2

5

25==××=

×

××××= 43421

44 844 76

fatores

fatores

fatores

� Potência de Potência Conserva-se a base e multiplica os expoentes:

Exemplo: ( ) ( ) { { {

3 32

2 fatores 2 fatores 2 fatores

2 3 6

2 3 fatores

3 3 3 3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3×

×

= × = × × × × × =

= × × × × × = =144424443

� Toda potência de expoente 1 é igual a base

Exemplos:

200200

22

1

1

=

=

� Toda potência de expoente zero é igual a 1

Exemplos: 12

0= , 110

0= , 130

0= .

4.6) Radiciação A radiciação é uma operação que consiste em desco-

brir a base de uma potência. Considere a seguinte situação: Qual é o numero natural que elevado ao quadrado dá

25?

Resposta: É o 5, pois 2552

= . Qual é o número natural que elevado ao quadrado da

16?

Resposta: É o 4, pois 1642

= . Quando fazemos essa conta, estamos realizando uma

operação chamada radiciação.radiciação.radiciação.radiciação.

Símbolo da radiciação: - chamado radical

Nos exemplos acima dizemos que 5252 = , pois

255552

=×= .

Assim como 4162 = , onde :

{2

radicando

indice 25 5 raiz← = →

Observação: Quando o índice for igual a 2, não há necessidade es-

creve-lo. Assim, 5252 = pode ser escrito como 525 = .

5. EXPRESSÕES NUMÉRICAS

Chamamos expressões numéricas a um conjunto de números reunidos entre si por sinais de operações. As opera-ções podendo ser a adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.

Exemplo: Fábio grava todos os seus trabalhos em disquetes. Ao

verificar que só tinha 2 disquetes ele comprou 3 caixas com 10 disquetes em cada uma. Com quantos disquetes Fábio fi-cou?

Para saber a quantidade de disquetes que Fábio ficou calculamos a seguinte expressão:

32

302

1032

=+

=×+

Observe que não podemos somar 2 + 3, pois estarí-amos somando 2 disquetes com 3 caixas, devemos efetuar primeiro a multiplicação de 3 por 10, encontrando a quanti-dade de disquetes das caixas e, depois, somar com a quanti-dade de disquetes que Fábio tinha.

Para resolvermos uma expressão numérica, devemos obedecer a seqüência abaixo:

� 1°) Resolver as operações dentro dos parêntesesparêntesesparêntesesparênteses ( ), colchetescolchetescolchetescolchetes [ ] e chaveschaveschaveschaves { } respectivamente;

� 2°) Resolver as potenciações e radiciações na or-dem em que aparecerem;

� 3°) Resolver as multiplicações e divisões na ordem em que aparecerem;

� 4°) Resolver as adições e subtrações na ordem em que aparecerem.

EXERCÍCIOS

1 Determine: a) O antecessor e o sucessor de 36. b) O sucessor do sucessor de 159. c)O antecessor do antecessor de 2345. d) Os números naturais entre 5 e 10. e) Os números naturais menores ou iguais a 5.

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2 Na decisão de um campeonato de futebol, foram realiza-das duas partidas. Na primeira o público pagante foi de 36.398, e o não-pagante foi de 3.812. Na segunda par-tida, o público pagante foi de 42.547, e o não-pagante foi 4.893. Determine: a) O público total da primeira partida. b) O total de não-pagantes das duas partidas. c) O público total das duas partidas.

3 Paulinho saiu de casa com 5 notas de 10 reais, 3 moe-das de 1 real e 2 notas de 2 reais. Chegando ao Shop-ping, ele gastou 36 reais. Com quanto Paulinho ficou?

4 O hidrômetro é um aparelho que mede o consumo de água de uma casa. Na casa de João, o consumo regis-trado pelo aparelho foi: Fevereiro → 254 metros cúbicos; Março → 319 metros cúbicos; Abriu → 387 metros cúbicos.

Qual o consumo de água, na casa de João, nesse trimes-tre? a) 940 metros cúbicos b) 950 metros cúbicos c) 960 metros cúbicos d) 970 metros cúbicos e) 980 metros cúbicos

5 Dona Adelaide possui três filhos, de modo que o mais novo tem 31 anos. Sabendo que cada irmão é dois anos mais velho que o anterior. Determine a soma das idades desses três irmãos? a) 95 anos b) 96 anos c) 97 anos d) 98 anos e) 99 anos

6 Na chácara de seu Luis, tem 51 caixas de ovos de codor-na. Sabendo que em cada caixa são colocados 36 ovos. Determine quantos seu Luis tem na chácara: a) 1833 ovos b) 1846 ovos c) 1856 ovos d) 1836 ovos e) 1866 ovos

7 Na floricultura de Maria das Dores, no mês de agosto, foram vendidas 93 orquídeas. Em setembro, vendeu o dobro das vendas de agosto. E em outubro, vendeu o tri-plo das vendas de agosto. Quantas orquídeas Maria das Dores vendeu nesse trimestre? a) 538 orquídeas b) 558 orquídeas c) 578 orquídeas d) 588 orquídeas e) 598 orquídeas

8 Na casa de Bartolomeu, há uma torneira pingando há 18 dias. Sabendo que uma torneira gotejando provoca um desperdício de aproximadamente 43 litros de água por dia. Qual foi o desperdício de água na casa de Bartolo-meu? a) 774 litros b) 724 litros c) 764 litros d) 754 litros e) 794 litros

9 Em uma prova de atletismo, os atletas devem percorrer 10.000 metros. Sabendo que uma volta completa na pis-ta são 400 metros. Quantas voltas os atletas devem dar para completar a prova? a) 35 voltas b) 25 voltas c) 15 voltas d) 28 voltas e) 30 voltas

10 Quantos garrafões de 4 litros serão são necessários para engarrafar 96 litros de água? a) 34 garrafões b) 92 garrafões c) 14 garrafões d) 44 garrafões e) 24 garrafões

11 Em uma piscina estão depositados 2400 litros de água. Dela foi retirado 12 baldes com 18 litros em cada. Abriu-se então uma torneira que derrama 32 litros de água por minuto até que a piscina ficasse totalmente cheia, isto é, 5000 litros. a) Antes de abrir a torneira, quantos litros faltam para que

a piscina fique cheia? b) Quantos minutos a torneira deve permanecer aberta?

12 Em uma divisão, o divisor é 8, o quociente é 13 e o resto é 5. O valor do dividendo é: a) 36 b) 40 c) 99 d) 109 e) 115

13 Na família de dona Rosa aconteceu uma grande coinci-dência. Cada um de seus dois filhos lhe deu 2 netos; ca-da um de seus netos lhe deu 2 bisnetos; e cada um de seus bisnetos lhe deu 2 trinetos. Quantos trinetos têm do-na Rosa? a) 8 b) 12 c) 16 d) 20 e) 22

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14 (UFRJ) (UFRJ) (UFRJ) (UFRJ) Em uma divisão cujo divisor é 29, temos o quoci-ente igual a 15. sabendo-se que o resto dessa divisão é o maior possível, podemos afirmar que o seu dividendo é igual a: a) 797 b) 407 c) 391 d) 435 e) 463

15 Ao resolver a expressão 4949 −+ , encontra-mos: a) 45 b) 54 c) 8 d) 9 e) 10

16 O valor da expressão ( )[ ]0210972 −−⋅ é:

a) 47 b) 84 c) 94 d) 48 e) 49

GABARITO

1 a) 35 e 37 b) 161 c) 2343 d) 6, 7, 8 e 9 e) 5, 4, 3, 2, 1, 0

2 a) 40210 b) 8705 c) 87650

3 21

4 C

5 E

6 D

7 B

8 A

9 B

10 E

11 a) 2184 b) 88

12 D

13 C

14 E

15 C

16 C