A Construcao dos Numeros Naturais a partir dos Axiomas dePeano

Simeia Barbosa dos Reis, Claudia Barrozo Dias,Depto de Educacao a Distancia - EAD, UNIFAP/ UAB,

68.903-419, Macapa, AP

E-mail: simeiabarbosa@gmail.com, dias.claudiadias@hotmail.com,

Marcio Aldo Lobato BahiaUNIFAP - Colegiado de Matematica

Campus Marco Zero

68.903-419, Macapa, AP

E-mail: marciobahia@unifap.br.

Palavras-chave: Numeros Naturais, Axiomas, Princıpio de Inducao

Resumo: Apresentamos a Construcao formal do Conjunto dos Numeros Naturais a partir daaxiomatica de Peano. Para que os conceitos primitivos sejam empregados adequadamente e ne-cessario fixar regras que regulamentem sua utilizacao e estabelecam suas propriedades. Peano,em sua fundamentacao de 1879, admite tres entes intuitivos que denominaremos de Numero na-tural, Zero e Sucessor. Nao e necessaria nenhuma ideia concebida sobre esses entes, e preferıvelpartir do princıpio que nao sabemos o que eles sao, apenas devemos saber que eles existem.Tambem, de forma especıfica, definimos as operacoes de soma e produto para o referido con-junto, bem como verificamos algumas propriedades decorrentes dessas operacoes. Finalizando,estabelecemos uma relacao de ordem em N.

1 Introducao

O que e um conjunto? O que e um numero? Motivaram grande parte dos matematicos edos filosofos dos fundamentos da matematica durante o seculo XIX e parte do seculo XX. Acaracterizacao dos numeros inteiros, racionais e dos numeros reais foi um problema centralpara as investigacoes de Weierstrass, Dedekind, Kronnecker, Frege, Peano, Russell, Whitehead,Brower e outros.

O conhecimento dos numeros nas series iniciais do ensino fundamental e transmitido de formaintuitiva. Diz-se que o conjunto dos numeros naturais e constituıdo dos elementos 0, 1, 2, 3...Aprende-se a somar, multiplicar esses numeros e tambem informa sobre as propriedades essen-ciais dessas operacoes.

O desejo de fazer uma abordagem sobre o tema “A construcao dos Numeros Naturais a par-tir dos Axiomas de Peano” nasceu destes questionamentos. A definicao intuitiva de contagempode ser resumida com base no senso comum, no entanto, para a Matematica, e necessario umarigorosa teoria axiomatica-dedutiva dos numeros naturais porque nos permite organizar os con-ceitos e propriedades relevantes desses numeros numa estrutura logica bem definida, permitindoa investigacao de suas propriedades e tambem a realizacao de aplicacoes em outras areas. Estaobservacao conduziu o desenvolvimento do trabalho aqui apresentado, a qual busca abordar ateoria dos conjuntos e a construcao logico-formal do conjunto dos Naturais, usando como alicercepara esta construcao, a teoria axiomatica de Peano.

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2 Metodologia

Este estudo baseou-se na pesquisa teorica - bibliografica e documental - e analise de trabalhosde autores e/ou pesquisadores renomados na area da Algebra.

3 Resultados

Peano considera tres entes primitivos: numero natural, zero e sucessor, correlacionados porcinco axiomas. Indicaremos por σ(n) o “sucessor” do numero n e, para indicar o zero utiliza-seo sımbolo 0.Os axiomas apresentados sao os seguintes:

1. 0 e um numero natural

2. Todo numero natural n tem um “sucessor” σ(n)

3. 0 nao e “sucessor” de nenhum numero.

4. Se σ(n) = σ(m), entao n = m

5. Considere S um conjunto de numeros naturais tal que:

(a) 0 ∈ S

(b) Se n ∈ S, implicar σ(n) ∈ S.

Entao, S = N.

Note que a ultima condicao define o metodo de inducao matematica. Os axiomas de Peanosustentam-se nas ideias intuitivas de conjunto e funcao, em que o conceito primitivo de sucessorindica uma funcao, isto e, cada numero associa-se a outro, e, de acordo com o princıpio deinducao, essa funcao esta definida em todo N. E possıvel verificar que as operacoes matematicassao determinadas pelas 3 primitivas e pelos 5 axiomas.

Percebe-se claramente, que existe uma funcao σ: N −→ N denominada sucessora. Estaoperacao sucessora, indutivamente, origina uma nova operacao: a operacao soma, partindo deum numero a, definimos m+ 0 = m e dizemos que a + (σ(n)) e sucessor de (m+ n) para todon. Em outras palavras, partindo de 0, e possıvel “contar” quantas sucessoes foram precisas parase chegar a n e a m. O numero expresso por m+ n e entao o numero equivalente a contar essassucessoes repetidas, partindo do 0. O produto de numeros naturais se define de modo analogoa soma.

A partir dos Axiomas de Peano podemos deduzir as Operacoes de Soma e Produto sobreos numeros naturais. Para formalizar a ideia intuitiva de que n e menor do que ou igual a mdefinimos a relacao de ordem em N.

4 Conclusoes

Num certo sentido, os axiomas de Peano podem ser entendidos como um modelo de que, in-tuitivamente entendemos que sejam os numeros naturais. A verificacao das propriedades queatribuımos aos numeros naturais e o fato de podermos definir intrinsecamente as Operacoes deSoma e Produto e Relacao de Ordem mostram que a Axiomatica de Peano constitui-se numamodelagem satisfatoria dos numeros naturais. Vale observar que a descoberta nem sempre dizrespeito a um novo objeto, pode ser uma nova maneira de olhar para algo ja conhecido portodos. O merito de Peano deve-se mais a descoberta de que seus axiomas sao suficientes para

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caracterizar satisfatoriamente o conjunto dos numeros naturais do que na propria descobertados axiomas os quais podem ate ser considerados intuitivamente obvios e conhecidos no que sediz respeito ao conceito de contar. Correspondendo a isso, as dificuldades do estudante con-frontado pela primeira vez com os axiomas de Peano nao estao tanto no entendimento dessesaxiomas, mas na compreensao das suas finalidades e usos e tambem na apreensao das tecnicasmatematicas associadas.

Referencias

[1] HEFEZ, Abramo. Curso de Algebra. Vol.1. Colecao Matematica Universitaria. IMPA, 2002.

[2] FERREIRA, Jamil. A Construcao dos Numeros. 1a ed., Rio de Janeiro: SBM (ColecaoTextos Universitarios), 2010.

[3] LIMA, E.L. e outros. A Matematica do Ensino Medio. Vol.1. 9a ed., Rio de Janeiro: SBM(Colecao do Professor de Matematica), 2006.

[4] MILIES, C.P.; COELHO, S.P. Numeros - Uma Introducao a Matematica. 3a ed., Sao Paulo:Edusp - Editora da Universidade de Sao Paulo, 2001.

[5] Jornal do Professor de Matematica. Laboratorio do Ensino da Matematica. Maio, 2006.Disponıvel em <http://www.ime.unicamp.br/>. Acesso em 20 de novembro de 2010.

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