novo enem i
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CADERNO DE MATEMÁTICA
NOVO ENEM (I)
•Conhecimentos numéricos:operações em conjuntos numéricos (naturais, inteiros,racionais e reais), desigualdades, divisibilidade, fatoração, razões e proporções,porcentagem e juros, relações de dependência entre grandezas, sequências e progressões,princípios de contagem.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Todo conjunto numérico é expresso por uma letra (IN, Z, IR, ...), caso essa letra venha com um asterisco sobrescrito, deste conjunto se exclui o zero (0), se vier um sinal de mais (+) subscrito, deste conjunto se excluem os números negativos e se vier um sinal de menos ( – ) subscrito, deste conjunto se excluem os números positivos. 1. Números Naturais
É formado pela cardinalidade dos conjuntos.
...;4;3;2;1;0N
Naturais não-nulos: ...;4;3;2;1N*
NN*
2. Números Inteiros
É formado pelos números naturais juntamente
com os inteiros negativos.
...} ,3 ,2 ,1 ,0 ,1 ,2 ,3 {..., Z
Inteiros não-nulos: }0{* ZZ
Inteiros não-negativos: ,...}3,2,1,0{Z
= IN
Inteiros não-positivos:
}0,1,2,3{..., Z
Inteiros positivos: ,...}3,2,1{* Z = IN*
Inteiros negativos: }1,2,3{...,* Z
3. Números Racionais
Incluem-se neste conjunto os números inteiros, os decimais exatos (finitos) e as dízimas periódicas (infinitas com repetição de
decimais). Todo número racional pode ser escrito na forma a / b.
*Z e Z/ bab
aQ
4. Números Irracionais
É formado pelas dízimas não-periódicas. Os números irracionais não podem ser expressos na forma a / b.
Exemplos
2 ; 3 ; 141592... 3, ; .2,718281..e
OBSERVAÇÃO
Um número jamais poderá ser racional irracional ao mesmo tempo. Ou seja, os
conjuntos Q e I não possuem elementos em
comum, IQ .
5. Números Reais
Inclui todos os conjuntos anteriormente citados. Os únicos números que não fazem parte deste conjunto são as raízes de índices pares de números negativos.
IQR
OBSERVAÇÃO
Apenas dois tipos de números não são reais, são eles as raízes de índice par de números negativos e o resultado de uma divisão por zero.
6. Operações entre os conjuntos numéricos Se a e b são números naturais então:
• ba é natural
• ba pode ser natural ou inteiro
• ba é natural
• ba pode ser natural ou racional
Se a e b são números inteiros então:
• ba é inteiro
• ba é inteiro
• ba é inteiro
• ba pode ser inteiro ou racional
Se a e b são números racionais então:
• ba é racional
• ba é racional
• ba é racional
• ba é racional
Se a e b são números reais então:
• ba é real
• ba é real
• ba é real
• ba é real
OBSERVAÇÕES
Admita sempre nas divisões ba que 0b .
As operações entre números irracionais podem dar resultados dentro do conjunto dos irracionais ou então dos racionais.
7. Divisibilidade inteira
Dizemos que um número p é divisível por outro número q, quando p é múltiplo de q ou quando na divisão inteira de p por q obtemos resto igual a zero (0). Assim teremos que se p é divisível por q,
q divide p ou p = k.q, onde k Z.
Exemplo
15 é divisível por 3, pois 15 é múltiplo de 3, ou o resto da divisão de 15 por 3 é zero, ou ainda 15 = 5.3. Critérios de Divisibilidade 8. Números primos
Um número n é dito primo quando possui quatro divisores inteiros o próprio número n, o número – n, o número 1 e o número – 1.
Ex: 13 é um número primo, pois apenas o 13, -13, 1 e -1 são seus divisores inteiros. 9. Decomposição em fatores primos
Decompor um número em fatores primos significa encontrar quais são os números primos que multiplicados formam o número em questão. Ex: 23100 = 2
2 . 3 . 5
2 . 7 . 11.
OBSERVAÇÃO
Cada número tem uma única decomposição em fatores primos.
10. Número de divisores
Dado um número natural n escrito decomposto em seus fatores primos
nk
n
kkaaan ).( ... .).()( 21
21 podemos dizer que o
número de divisores naturais é dado pela fórmula:
)1(. ... ).1).(1()( 21 nkkknD , onde o D(n)
é o número de divisores naturais de n.
Exemplo 120 = 2
2.3.5, ou seja D(120) = (2+1).(1+1).(1+1) =
3.2.2 = 12 divisores naturais.
OBSERVAÇÃO
Caso se esteja procurando o número de divisores inteiros de um número n basta multiplicar o número de divisores naturais por 2, pois devemos adicionar a esses números os seus opostos.
Exemplo
No caso de 120, o número de divisores
inteiros será 12.2 = 24 divisores inteiros. 11. Mínimo Múltiplo Comum (MMC) e Máximo
Divisor Comum (MDC) Teorema: O mínimo múltiplo comum (MMC) entre n e m é o menor valor inteiro que seja múltiplo simultaneamente de n e m.
Uma forma prática de encontrar esse valor é fatorar os dois números em seus fatores primos e o MMC será o produto dos fatores comuns, com maior expoente e não-comuns.
Exemplo
Calcular o MMC entre 120 e 2772. Escritos na forma fatorada temos que 120 = 2
3.3.5 e 2772 =
22.3
2.7.11. Assim o MMC será o produto dos
fatores comuns com maior expoente (23 e 3
2) e os
fatores não-comuns (5, 7 e 11).
2772011.7.5.3.22772,120 MMC 23
Teorema: O máximo divisor comum (MDC) entre n e m é o maior valor inteiro que divida simultaneamente n e m.
Uma forma prática de encontrar esse valor é fatorar os dois números em seus fatores primos e o MDC será o produto dos fatores comuns com menor expoente.
Exemplo Calcular o MDC entre 120 e 2772. Escritos na
forma fatorada teremos que 120 = 23.3.5 e 2772 =
22.3
2.7.11. Assim o MDC será o produto dos
fatores comuns com menor expoente (22 e 3).
123.22772,120 MDC 2
OBSERVAÇÕES
O produto mnmnMDCmnMMC .),().,(
Todo MÚLTIPLO do ba, MMC é múltiplo
comum de a e b
Todo DIVISOR do ba, MDC é divisor
comum de a e b . Assim para calcular o
número de divisores comuns entre dois
números a e b devemos calcular quantos
divisores possui o ba, MDC .
12. Primos entre si
Dois números são chamados de números primos entre si quando o MDC entre eles é igual a um (1), ou seja não existe nenhum número (a exceção do um) que divida de forma inteira os dois números ao mesmo tempo.
Exemplo
54 e 25 são primos entre si, pois 54 = 33.2 e 25
= 52. Assim MDC(54, 25) = 1.
OBS: Geratriz de uma Dízima Periódica
É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica. Procedimentos para determinação de uma dízima:
Dízima simples
A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.
Exemplos:
Dízima composto
A geratriz de uma dízima composta é
uma fração da forma , onde: n parte não-periódica seguida do período, menos a parte não-periódica. d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não-periódica.
Exemplo:
12,53262626... = 12 + 0,53262626... =
Exercício de Aula
01) Calcule as frações geratrizes irredutíveis das
dízimas periódicas:
a) ...444,0
b) ...454545,0
c) ...2777,0
d) ...555,1
e) ...2777,0
f) ...32888,0
g) ...7565656,0
h) ...2737373,1
13. Racionalização Racionalizar uma expressão consiste em tornar o seu denominador um número racional. Vejamos os principais casos de racionalização.
1° caso) Expressões do tipo a
c
Exemplo
02) Racionalize as expressões:
a) 2
3
b) 3
6
c) 5
2
2º caso) Expressões do tipo n a
c
Exemplo
03) Racionalize as expressões:
a) 3 2
1
b) 5 3
3
c) 4 2
15
3º caso) Expressões do tipo ba
c
Exercício de Aula
04) Racionalize as expressões:
a) 12
2
b) 32
3
c) 15
12
ATIVIDADES (CONJUNTOS NUMÉRICOS)
01) (Fuvest) No alto de uma torre de uma emissora de televisão duas luzes “piscam” com freqüências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se certo instante as luzes piscarem simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a piscar simultaneamente?
a) 12
b) 10
c) 20
d) 15
e) 30
02) (UNIT) Três torneiras defeituosas pingam em intervalos regulares de tempo. A primeira pinga a cada 2 minutos, a segunda, a cada 3 minutos, e a terceira, a cada 5 minutos. Um menino observou que, às 14 h 5 min, as três torneiras pingaram ao mesmo tempo. Se a mesma regularidade for mantida, as três torneiras também pingarão juntas às:
a) 14 h e 30 min
b) 14 h e 45 min
c) 15 h e 10 min
d) 15 h e 35 min
e) 15 h e 55 min 03) (Ucsal) Uma escola programou uma visita a
um museu, com 117 rapazes e 99 moças. Para entrar em uma determinada sala, de visitação restrita, todos eles foram divididos em grupos, de tal modo que:
todos os grupos tinham pessoas de um mesmo sexo.
todos os grupos tinham o mesmo número de pessoas.
o número de pessoas por grupo era o maior possível.
Nestas condições, o número de grupos formados foi:
a) 9 b) 11 c) 13 d) 18 e) 24
04) (UNIT) ...111111111,0 vale:
a) 0,111 111 111...
b) 0,333 333 333...
c) 0,555 555 555...
d) 0,777 777 777...
e) 0,999 999 999...
05)(FUVEST-SP) Trechos complementares de duas cadeias de nucleotídeos de uma molécula de DNA. Observe que uma cadeia se dispõe em relação à outra de modo invertido.
5º
3º
3º
5º
A A
A
C
C
C
C
G
G
G
G
TT T
(Adaptado de LOPES, Sônia. Bio 3. São Paulo: Saraiva, 1993)
Considere as seguintes condições para a obtenção de fragmentos de moléculas de DNA:
- todos os fragmentos devem ser formados por 2 pares de bases nitrogenadas;
- cada fragmento deve conter as quatro diferentes bases nitrogenadas.
O número máximo de fragmentos diferentes que podem ser assim obtidos correspondem a:
a) 14
b) 18
c) 12
d) 24
06) É comum representar determinadas situações através de gráficos de barras de setores ou de segmentos. Por exemplo: o gráfico de setor abaixo representa o número de vitórias (V), empates (E) e derrotas (D) de um time de futebol em 40 partidas disputadas.
Com base no gráfico, qual foi o número de vitórias, empates e derrotas desse time nos 40 jogos?
a) 16V, 16E e 8D
b) 18V, 18E e 4D
c) 14V, 14E e 12D
d) 16V, 14E e 10D
e) 20V, 15E e 5D
07) A seguir, estão três afirmativas sobre números
reais:
I. O número 2,325666… é racional.
II. O número 7 pode ser escrito na forma
q
p, na qual p e q são inteiros, com q 0.
III. O valor de 3
)3( 2
m
é –1 ou 1.
O número de afirmativas corretas é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
08) (UNIT) Dois relógios tocam uma música periodicamente, um deles a cada 60 segundos e o outro a cada 62 segundos. Se ambos tocaram (simultaneamente. às 10 horas, que horas estarão marcando os relógios quando voltarem a tocar juntos (simultaneamente. pela primeira vez após as 10 horas?
a) 10 horas e 31 minutos
b) 11 horas e 02 minutos
c) 13 horas e 30 minutos
d) 17 horas
09) (UNIT) Uma faculdade dispõe de 66 computadores para serem utilizados em aulas práticas por seus 108 alunos. Qual o maior número de equipes que podemos formar de tal modo que cada uma tenha o mesmo número de computadores?
a) 11
b) 18
c) 21
d) 8
e) 6
10) Do Parque Halkfeld partem, às 5 horas da manhã, três ônibus A, B e C. Sabendo-se que os ônibus A, B e C voltam ao ponto de partida, respectivamente, a cada 30, 45 e 50 minutos, o próximo horário, após as 5 horas, em que os três ônibus partirão juntos será às:
a) 7 horas e 30 minutos;
b) 12 horas e 30 minutos;
c) 15 horas;
d) 20 horas;
e) 11 horas da manhã do dia seguinte.
GABARITO
01-A 02-D 03-E 04-B 05-B
06-A 07-B 08-A 09-E 10-B
PORCENTAGEM Utilizamos o calculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano .toda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o próprio nome por cem. Exemplo: 12/100 é igual a 0,12 que multiplicado por 100 será igual a 12% 5/100 é igual a 0,05 que multiplicado por 100 será igual a 5% Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento. Se repararmos em nosso volta, vamos perceber que este símbolo % aparece com muita freqüência em jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc.
RAZÃO Chama-se de razão entre dois números racionais
a e b, com 0b , ao quociente entre eles. Indica-
se a razão de a para b, por a
b ou :a b .
Exemplo:
Na sala da 3ª Série de um colégio há 20 rapazes e 25 moças. Encontre a razão entre o número de rapazes e o número de moças. (lembrando que razão é divisão)
20 5 4
25 5 5
(Indica que para cada 4 rapazes existe
5 moças)
Lendo Razões: 2
5, lê-se, 2 está para 5 ou 2 para
5.
Termos de uma Razão:
a Antecedente
b Consequente
Grandezas Especiais
Escala, é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.
Medida do desenho
EscalaMedida real
Exemplo: Em um mapa, a distância entre Montes Claros e Viçosa é representada por um segmento de 7,2 cm. A distância real entre essas cidades é de 4320 km. Vamos calcular a escala deste mapa.
As medidas devem estar na mesma unidade, logo 4320 km = 432 000 000 cm
7,2 1
432000000 60000000
cmEscala
Velocidade média é a razão entre a distância a ser percorrida e o tempo gasto. (observe que neste caso as unidades são diferentes)
Distância
VelocidadeTempo
Exemplo: Um carro percorre 320 km em 4h. Determine a velocidade média deste carro.
32080
4 Velocidade
Velocidade= 320/4 = 80
Densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes e a área.
º tanN de habi tes
Densidade demográficaÁrea
Exemplo: O estado do Ceará tem uma área de 148.016 km2 e uma população de 6.471.800 habitantes. Dê a densidade demográfica do estado do Ceará.
26.471.80043,72 /
148.016 Densidade hab km
Razões Inversas
Vamos observar as seguintes razões.
5
8e
8
5
O Produto das duas razões é igual a 1, isto é
5 81
8 5 (Dizemos que as razões são inversas).
PROPORÇÃO Proporção é uma igualdade entre duas razões.
120 5
48 2 e
40 5
16 2
Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse
caso, podemos afirmar que a igualdade 120 40
48 16
é uma proporção.
Elementos de uma proporção
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:
a c
a b c db d
Os números a, b, c e d são os termos da
proporção, sendo:
b e c os meios da proporção.
a e d os extremos da proporção.
Propriedade fundamental das proporções
Observe as seguintes proporções:
3 30
4 40
Produto dos meios = 4.30 = 120 Produto dos extremos = 3.40 = 120
De modo geral, temos que: a c
a d b cb d
Daí, podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Resolução de problemas envolvendo proporções
Exemplo:
Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água
salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para
obtermos 2 m3 de sal, quantos metros cúbicos de
água salgada são necessários?
Solução:
A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada. Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção:
3
3
1 lg
40
m Quantidade de água sa ada
dm Quantidade de sal
3
3 3
1
40 2
m x
dm m
Lembre-se que 40dm3 = 0,04m
3.
3
3 3
1
0,04 2
m x
dm m(aplicando a propriedade
fundamental)
1 2 0,04 x
0,04 2 x
3250
0,04 x m
Proporção contínua
Proporção contínua é toda a proporção que apresenta os meios iguais.
a b
b c
Média geométrica ou média proporcional
Dada uma proporção contínua a b
b c, o número b
é denominado média geométrica ou média proporcional entre a e c.
Exemplo: Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20.
255 20 100
20
100 10
bb b b
b
b b
Logo, a média geométrica positiva é 10.
Propriedades das proporções
1ª propriedade:
Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
Demonstração Considere a proporção:
a c
b d
Adicionando 1 a cada membro obtemos
1 1
a c
b d
a b c d
b d
2ª propriedade:
Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).
Demonstração
Considere a proporção:
a c
b d
Subtraindo 1 a cada membro obtemos:
1 11
a c
b d
a b c d
b d
3ª propriedade:
Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.
Demonstração Considere a proporção:
a c
b d
Permutando os meios, temos:
a b
c d
Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:
a c b d
c d
Permutando os meios, finalmente obtemos:
a c c a
b d d b
4ª propriedade:
Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes,assim como cada antecedente está para o seu consequente.
Demonstração Considere a proporção:
a b
c d
De forma análoga, temos:
a c c a
b d d b
5ª propriedade:
Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente.
Demonstração Considere a proporção:
a c
b d
Multiplicando os dois membros por a
b, temos:
2
2
a a c a a a c
b b d b b db
Assim:
2 2
2 2
a c a c
b d b d
Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida
para qualquer número de razões. Exemplo:
2 2 3
2 2 3
a c e a c e
b d f b d f
Proporção múltipla
Denominamos proporção múltipla uma série de
razões iguais. Assim:
2 4 6
5 10 15 é uma proporção múltipla.
Dada a série de razões iguais a c e
b d f, de
acordo com a 3ª e 4ª propriedade, podemos escrever:
a c e a c e
b d f b d f
GRANDEZAS
Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas.
Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção.
É comum ao nosso dia-a-dia situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por
exemplo:
Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.
Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção.
Grandezas diretamente proporcionais
Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo:
Tempo (minutos) Produção (Kg)
5 100
10 200
15 300
20 400
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que:
Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica.
5min 100 kg
10min 200 kg
Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica.
5min 100 kg
15min 300 kg
Assim:
Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª.
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.
5 100 1
15 300 3
10 200 1
20 400 2
Grandezas inversamente proporcionais Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo.
Velocidade (m/s) Tempo (s)
5 200
8 125
10 100
16 62,5
20 50
Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que:
Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade.
5 / 200m s s
10 / 100m s s
Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte.
5 / 200m s s
20 / 50m s s
Assim:
Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª. Na tabela, a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.
10 5 100 8
16 8 62,5 5
Razão inversa
8 2 125 5
20 5 50 2
Razão inversa
Medidas de superfície Superfície e área Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número. Metro Quadrado A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado.
O metro quadrado (m2) é a medida
correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.
Transformação de unidades
Na transformação de unidades de volume, no
sistema métrico decimal, devemos lembrar que
cada unidade de volume é 1.000 vezes maior
que a unidade imediatamente inferior.
Medidas de capacidade
A quantidade de líquido é igual ao volume
interno de um recipiente, afinal quando enchemos
este recipiente, o líquido assume a forma do
mesmo. Capacidade é o volume interno de um
recipiente.
A unidade fundamental de capacidade chama-se
litro.
Litro é a capacidade de um cubo que tem 1dm de
aresta.
1l = 1dm3
Múltiplos e submúltiplos do litro
Múltiplos Unidade
Fundamental
Submúltiplos
quilolitro
hectolitro
decalitro
litro decilitr
o centilit
ro mililitr
o
kl hl dal l dl cl ml
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001
l
Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Relações de equivalências: 1l = 1dm
3
1ml = 1cm3
1kl = 1m3
Transformação de unidades
Na transformação de unidades de capacidade, no
sistema métrico decimal, devemos lembrar
que cada unidade de capacidade é 10 vezes
maior que a unidade imediatamente inferior.
ATIVIDADES (PORCENTAGEM ,RAZÃO E PROPORÇÃO) 1) Uma pessoa recebe R$ 10.000 por 25 dias de trabalho. Quanto receberia se tivesse trabalhando 8 dias a mais? a) R$ 12.300,00 b) R$ 10.400,00 c) R$ 11.300,00 d) R$ 13.100,00 e) R$ 13.200,00 2) No mesmo instante em que um prédio de 4,5m de altura projeta uma sombra de 13,5 m, qual a sombra projetada por uma torre de 130 m de altura? a) 290m b) 390m c) 490m d) 590m e) 690m 3) A razão das idades de duas pessoas é 2/3. Achar estas idades sabendo que sua soma é 35 anos. a) 14 e 20 anos b) 14 e 21 anos c) 15 e 20 anos d) 18 e 17 anos e) 13 e 22 anos 4) (FGV) Em 1º . 03 . 95 , um artigo que custava R$ 250,00 teve seu preço diminuído em p% do seu valor . Em 1o . 04 . 95 , o novo preço foi novamente diminuído em p% do seu valor , passando a custar R$ 211,60 . O preço desse artigo em 31. 03 . 95 era : a) R$ 225,80 b) R$ 228,00 c) R$ 228,60 d) R$ 230,00 e) R$ 230,80 5) A razão das áreas de duas figuras é 4/7. Achar
essas áreas sabendo que a soma é 66 cm². a) 22cm² e 44cm² b) 20cm² 46cm² c) 21cm² e 45cm² d) 24cm² e 42 cm² e) 23cm² e 43cm² 6) A diferença dos volumes de dois sólidos é 9cm³ e a sua razão é 2/3. Achar os volumes. a) 17cm³ e 28cm³ b) 18cm³ e 27cm³ c) 19cm³ e 28cm³ d) 20cm³ e 27cm³ e) n.d.a 7) Uma pessoa emprega uma quantia a juros simples de 6% durante 5 anos e o montante a juros simples de 12% ao ano durante 2 anos e recebeu R$ 80.600,00 de montante . Qual o capital inicial ? a) R$ 50.000 b) R$ 60.000 c) R$ 70.000 d) R$ 80.000 e) R$ 90.000 8) (PUC) Em uma corrida de cavalos , o cavalo vencedor pagou aos seus apostadores R$ 9 por cada R$ 1 apostado . O rendimento de alguém que apostou no cavalo vencedor foi de: a) 800% b) 90% c) 80% d) 900% e) 9% 9) (FEI) O custo de produção de uma peça é composta por : 30% para mão de obra , 50% para matéria prima e 20% para energia elétrica . Admitindo que haja um reajuste de 20% no preço de mão de obra , 35% no preço de matéria prima e 5% no preço da energia elétrica, o custo de produção sofrerá um reajuste de: a) 60% b) 160% c) 24,5% d) 35% e) 4,5% 10) (UNESP) Entre 10 de fevereiro e 10 de novembro de 1990 o preço do quilograma de mercadorias num determinado "sacolão" sofreu
um aumento de 275% . Se o preço do quilograma em 10de novembro era de Cr$ 67,50 , qual era o preço em 10 de fevereiro ? a) Cr$ 19,00 b) Cr$ 18,00 c) Cr$ 18,50 d) Cr$ 19,50 e) Cr$ 17,00 11) (FUVEST) Suponha que a taxa de inflação seja 30% ao mês durante 12 meses ; daqui a um ano seja instituído o "cruzado novo ", valendo Cz$ 1000 ; e que sejam colocadas em circulação moedas de 10 centavos , 50 centavos e 1 cruzado novo . Qual será então o preço , em cruzados novos , de um cafezinho que custa hoje Cz$ 20,00 ? a) NCZ$ 0,20 b) NCZ$ 0,30 c) NCZ$ 0,40 d) NCZ$ 0,50 e) NCZ$ 0,60 12) (FUVEST) O salário de Antônio é 90% do de Pedro . A diferença entre os salários é de R$ 500,00 . O salário de Antônio é: a) R$ 5500,00 b) R$ 4500,00 c) R$ 4000,00 d) R$ 5000,00 e) R$ 3500,00 13) (FUVEST) Numa certa população 18% das pessoas são gordas , 30% dos homens são gordos e 10% das mulheres são gordas . Qual a porcentagem de homens na população ? a) 30% b) 35% c) 40% d) 45% e) 50% 14) (FAAP) Numa cidade , 12% da população são estrangeiros . Sabendo-se que 11.968.000 são brasileiros , qual é a população total ? a) 1.360.000 b) 13.600.000 c) 136.000.000 d) 10.531.840 e) 105.318.400
15) (FUVEST) O preço de uma certa mercadoria sofre anualmente um acréscimo de 100% . Supondo que o preço atual seja R$ 100,00 , daqui a 3 anos o preço será. a) R$ 300,00 b) R$ 400,00 c) R$ 600,00 d) R$ 800,00 e) R$ 1000,00 16) (FGV) Se uma mercadoria sofre dois descontos sucessivos de 15% e depois um acréscimo de 8% , seu preço final , em relação ao preço inicial: a) aumentou de 22% b) decresceu de 21,97% c) aumentou de 21,97% d) decresceu de 23% e) decresceu de 24% 17) (FGV) Uma fábrica de sapatos produz certo tipo de sapatos por R$ 18,00 o par , vendendo por R$ 25,00 o par . Com este preço , tem havido uma demanda de 2000 pares mensais . O fabricante pensa em elevar o preço em R$ 2,10. Com isto as vendas sofrerão uma queda de 200 pares . Com esse aumento no preço de venda seu lucro mensal: a) cairá em 10% b) aumentará em 20% c) aumentará em 17% d) cairá em 20% e) cairá em 17% 18) (FGV) Se João emagrecesse 10 kg , ele passaria a ter 75% do seu peso atual . Então , seu peso atual é: a) inferior a 30 kg b) 75 kg c) 50 kg d) superior a 75 kg e) 40 kg 19) (FGV) Um indivíduo ao engordar passou a ter 38% a mais em seu peso . Se tivesse engordado de tal maneira a aumentar seu peso em apenas 15%, estaria pesando 18,4 kg a menos . Qual era seu peso original ? a) 50 kg b) 60 kg c) 70 kg
d) 80 kg e) 40 kg 20) (FGV) Num colégio com 1000 alunos , 65% dos quais são do sexo masculino , todos os estudantes foram convidados a opinar sobre o novo plano econômico do governo . Apurados os resultados , verificou-se que 40% dos homens e 50% das mulheres manifestaram-se favoravelmente ao plano . A porcentagem de estudantes favoráveis ao plano vale: a) 43,5% b) 45% c) 90% d) 17,5% e) 26% 21) (PUC) Em uma certa comunidade existem 200.000 professores de 1º e 2º graus que trabalham na rede oficial do Estado, 25.000 professores de 1º e 2º graus que trabalham na rede particular de ensino e 12.000 professores de 3º grau . Se 2,5% dos professores da rede oficial trabalham na rede particular , se 0,25% dos professores da rede oficial trabalham no 3º grau , e se 2% dos professores da rede particular trabalham no 3º grau , quantos professores possui essa comunidade , se apenas 200 professores trabalham , simultaneamente , na rede pública , particular , e no 3º grau ? a) 213200 b) 231200 c) 212300 d) 223100 e) 231000 22) (ESPM) O salário médio de uma indústria de 354 funcionários é de R$ 3.300,00 . Se a indústria der um aumento de 20% para cada funcionário que possui , qual será o novo salário médio ? a) R$ 3.690,00 b) R$ 369,00 c) R$ 396,00 d) R$ 3.960,00 e) n.d.a 23) (OSEC) Em apenas 6 meses o preço de um litro de gasolina teve 320% de aumento. Como esse preço era inicialmente de R$ 0,25 , ele passou a ser: a) R$ 0,80 b) R$ 1,05 c) R$ 1,50 d) R$ 2,80 e) R$ 2,85 24) (FUVEST) Um recipiente contém uma mistura de leite natural e de leite de soja num total de 200
litros , dos quais 25% são de leite natural . Qual é a quantidade de leite de soja que deve ser acrescentada à essa mistura para que ela venha a conter 20% de leite natural ? a) 40 b) 43 c) 48 d) 50 e) 60 25) (FGV) Duas irmãs , Ana e Lúcia , têm uma conta de poupança conjunta . Do total do saldo , Ana tem 70% e Lúcia 30% . Tendo recebido um dinheiro extra , o pai das meninas resolveu fazer um depósito exatamente igual ao saldo na caderneta . Por uma questão de justiça , no entanto , ele disse às meninas que o depósito deveria ser dividido igualmente entre as duas . Nessas condições , a participação de Ana no novo saldo: a) diminui para 60% b) diminuiu para 65% c) permaneceu em 70% d) aumentou para 80% e) é impossível de ser calculada se não conhecermos o valor 26) (ESPM) O preço do papel sulfite , em relação ao primeiro semestre de 1989 , teve um aumento de 40% em agosto e um outro de 32% em setembro . No mês de novembro , teve um desconto de 25% . Qual seria o aumento do papel se ele fosse único? a) 37% b) 38,6% c) 36,8% d) 35,4% e) 34,5% 27) Um automóvel com velocidade de 80 km/h demora 3h para percorrer uma certa distância.Quanto o tempo demorará para percorrer a mesma distância um outro auto cuja velocidade é de 120 km/h? a) 2 horas b) 3 horas c) 4 horas d) 5 horas e) 6 horas 28) Uma roda de 30 dentes engrena com outra de 25 dentes. Quantas voltas dará esta última quando a primeira der 175 voltas. a) 10 voltas b) 110 voltas c) 210 voltas d) 310 voltas e) 410 voltas
GABARITO
01-E 08-A 15-D 22-D
02-B 09-C 16-B 23-B
03-B 10-D 17-C 24-D
04-D 11-D 18-E 25-A
05-D 12-B 19-D 26-B
06-B 13-C 20-A 27-A
07-A 14-B 21-B 28-C
REGRA DE TRÊS SIMPLES Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação. ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM 1) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? (R:112) 2) Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias levarão 6 eletricistas para fazer o mesmo trabalho? (R: 4) 3) Com 6 pedreiros podemos construir um a parede em 8 dias. Quantos dias gastarão 3 pedreiros para fazer a mesma parede? (R:16) 4) Uma fabrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 refrigerantes? (R: 8) 5) Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias 9 marceneiros fariam o mesmo armário? (R:8) 6) Trinta operários constroem uma casa em 120
dias. Em quantos dias 40 operários construiriam essa casa? (R: 90) 7) Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água em 20 minutos. Quantas horas levará para despejar 600 litros? (R: 4) 8) Na construção de uma escola foram gastos 15 caminhões de 4 m³ de areia. Quantos caminhões de 6 m³ seriam necessários para fazer o mesmo trabalho? (R: 10) 9) Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m². Quantos litros são necessários para pintar uma parede de 15 m²? (R: 6) 10) Um ônibus, a uma velocidade média de 60 km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h? (R:3) 11) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo são necessários para se obterem 7 kg de farinha? (R:10) 12) Cinco pedreiros fazem uma casa em 30 dias. Quantos dias levarão 15 pedreiros para fazer a mesma casa? (R:10) REGRA DE TRÊS COMPOSTA regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. Passos utilizados numa regra de três composta: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e isole a variável em um dos membros da equação para resolver . ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM 1) Uma olaria produz 1470 tijolos em 7 dias, trabalhando 3 horas por dia. Quantos tijolos produzirão em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia? (R=5600) 2) Oitenta pedreiros constroem 32m de muro em 16 dias. Quantos pedreiros serão necessários para construir 16 m de muro em 64 dias? (R=10)
3) Um ônibus percorre 2232 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerão em 10 dias, correndo 14 horas por dia? (R=4340) 4) Numa fábrica, 12 operários trabalhando 8 horas por dia conseguem fazer 864 caixas de papelão. Quantas caixas serão feitas por 15 operários que trabalhem 10 horas por dia? (R=1350) 5) Vinte máquinas, trabalhando 16 horas por dia, levam 6 dias para fazer um trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para executar o mesmo serviço, se trabalharem 20 horas por dia durante 12 dias? (R=8) 6) Numa indústria têxtil, 8 alfaiates fazem 360 camisas em 3 dias quantos alfaiates são necessários para que sejam feitas 1080 camisas em 12 dias ? (R=6) 7) Um ciclista percorre 150 km em 4 dias pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem de 400 km, pedalando 4 horas por dia? (R=8) 8) Uma máquina fabricou 3200 parafusos, trabalhando 12 horas por dia durante 8 dias. Quantas horas deverá trabalhar por dia para fabricar 5000 parafusos em 15 dias? (R=10) JUROS SIMPLES Quando se deposita ou empresta uma certa quantia, denominada capital por um certo tempo, recebe-se como compensação outra quantia , chamada juros. Capital __c___ (quantia emprestada) Taxa____ i___ (porcentagem envolvida) Tempo___t___ (período do empréstimo) Juros____j____(a renda obtida) Os problemas sobre juros simples podem ser resolvidos por meio de uma regra de três composta. Na pratica são resolvidos através de formula. Exemplo: O capital 100 em 1 ano produz i O capital c em t anos produzira j Capital______tempo______juros 100_________1____________i c___________ t____________J I/j=100/c.1/t
i/j= 100/c.t 100j= c.i.t
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM
(JUROS SIMPLES)
01-A pessoa A comprou um apartamento por R$ 50.000,00 e alugou-o a R$ 700,00 mensais. A pessoa B comprou um apartamento por R$ 85.000,00 e alugou-o a R$ 1105,00 mensais. Qual das duas pessoas está fazendo melhor negócio?
02-A que taxa simples deve ser aplicado um capital para que no fim de 10 meses produza um
rendimento igual a 35 de si próprio?
03-Certo capital, acrescido aos juros de 8 meses, eleva-se a R$ 56.000,00. O mesmo capital aplicado à mesma taxa simples, durante 1 ano e 6 meses, atinge R$ 76.000,00. Qual é o capital? Qual é a taxa?
04-Um capitalista dispõe de R$ 30.000.000,00. Prevendo mais um pacote econômico do governo, no qual ocorreria confisco de dinheiro em alguns setores ligados ao ganho de capital, resolve
diminuir suas prováveis perdas aplicando seu
dinheiro em diferentes operações: 25
deste em
ouro, cujo rendimento previsto é de 7% am; 14
deste em caderneta de poupança, cujo rendimentos previsto é de 8% am; e o restante em aplicações a curto prazo, cujos rendimentos previstos são de 8,5% am. Qual o valor total do juro simples que essa pessoa irá ganhar depois de 2 meses, caso não haja confisco?
05-Uma pessoa dividiu seu capital de R$ 90.000,00 em duas partes, aplicando-as a taxas diferentes, e observou que, para prazos iguais, o juro produzido era também igual. encontre o valor de cada parte, sabendo que, se a primeira parte tivesse sido aplicada à taxa da segunda e vice-versa, no final de 2 meses o juro simples seria, respectivamente R$ 3.200,00 e R$ 5.000,00.
06-Calcule o montante simples obtido a partir da aplicação de um capital de R$ 10.000,00, sob as seguintes condições:
a) taxa: 15% am; prazo 4 meses. b) taxa: 108% aa; prazo 5 meses.
07-Um capital de R$ 150.000,00 foi aplicado à taxa de juro simples de 40% ao trimestre, durante 1 ano. Qual o montante obtido no final dessa aplicação?
08-Que capital inicial, aplicado à taxa de juro simples de 72% aa eleva-se a R$ 131.600,00 em 1 ano, 2 meses e 20 dias?
09-Depositei a quantia de R$ 72.000,00 em um banco que remunera seus clientes à taxa simples de 36% aa. Depois de um certo tempo, verifica-se que meu saldo nesse banco era de R$ 73.800,00. Por quantos dias deu-se essa aplicação?
10-A soma de um capital, aplicado durante 110 dias à taxa de juro simples de 7% aa, com seu juro é igual a Cr$ 2.553,47. Determine o valor do juro, considerando o ano com 360 dias.
11-Um capital, aplicado por 5 meses, foi elevado a R$ 42.000,00. Caso esse capital tivesse sido aplicado por 10 meses, à mesma taxa simples, teria se elevado a R$ 54.000,00. Encontre esse capital e essa taxa.
12-Um capital, aplicado por 2 meses, elevou-se a
32
de si próprio. Qual foi a taxa de juro simples
considerada?
13-Encontre a taxa mensal simples a que esteve aplicado um capital de R$ 48.000,00, o qual, em 3 meses e 20 dias, elevou-se a R$ 52.400,00.
14-Uma loja oferece um aparelho por R$ 500,00, a vista. Na compra desse aparelho a prazo, pede-se 20% do valor a vista, como entrada, e mais um pagamento de R$ 550,00 no prazo de 2 meses. Que taxa de juro simples a loja está cobrando nessa operação?
15-Uma determinada mercadoria é vendida em uma loja por R$ 300,00 a vista. Nas compras a prazo, a loja aplica um reajuste no saldo a pagar com base na taxa simples de 19,5% am. Um cliente propões a compra da mercadoria dando R$ 100,00 de entrada e o restante em 2 meses. Qual o valor desse pagamento para 2 meses?
16-Que taxa mensal de juro simples faz com que um capital triplique de valor em 2 anos e 1 mês?
17-Em quanto tempo o montante relativo à aplicação de R$ 20.000,00, à taxa de 30% am, se iguala ao montante relativo à aplicação de R$ 40.000,00 a 120% aa de juro simples?
18-Um capital (C1) supera outro (C2) em 20%. Os dois foram aplicados a juro simples a taxas de 10% am e 7% am, respectivamente, e produziram juntos, em um mesmo prazo,um montante de R$ 205.000,00. Pede-se determinar esse prazo, sabendo-se que o juro do capital C2 supera C1 em R$ 25.000,00.
GABARITO 01-A
02-6% am
03-C R$ 40.000,00; i 5% am
04-J 4.665.000,00
05-C1 R$ 40.000,00 e C2 R$ 50.000,00
06-a) R$ 16.000,00 b) R$ 14.500,00
07-R$ 390.000,00
08-R$ 70.000,00
09-25 dias
10-Cr$ 53,47
11-R$ 30.000,00
12-i 0,25 am
13-i 2,5% am
14-18,75% am
15-R$ 278,00
16-8% am
17-10 meses
18-10 meses
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos: 1º mês: M =P.(1 + i) 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) Simplificando, obtemos a fórmula:
M = P . (1 + i)n
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:
J = M - P
Relação entre juros e progressões
No regime de juros simples: M( n ) = P + P.i.n ==> P.A. começando por P e razão J = P.i.n No regime de juros compostos: M( n ) = P . ( 1 + i )
n ==> P.G. começando por
P e razão ( 1 + i ) n
Portanto:
Num regime de capitalização a juros simples o saldo cresce em progressão aritmética .
Num regime de capitalização a juros compostos o saldo cresce em progressão geométrica
ATIVIDADES (SALA DE AULA) JUROS COMPOSTOS
01-(UNIT) Um capital de R$ 20 000,00 foi aplicado a juros simples, à taxa mensal de 3,125%, e ao final de 4 meses foi sacado o montante produzido. Esse montante foi então aplicado a juros compostos por um período de 2 anos, obtendo-se ao final desse período o montante de R$ 32 400,00.A taxa anual da segunda aplicação foi de
(A)30%
(B)27,5%
(C)25%
(D)22,5%
(E)20%
02-(UNIT) Em 01 de abril de 2003, Janete abriu
uma caderneta de poupança com a quantia de R$ 800,00.Nos dois meses subseqüentes as taxas de rendimento da poupança foram de 1,5% e 1,4%.Se nesse período ela não fez qualquer
retirada, o seu saldo no dia 01 de junho de 2003
era
(A)R$ 823,36
(B)R$ 827,48
(C)R$ 832,34
(D)R$ 834,26
(E)R$ 836,16
03- Responda os itens seguintes referentes a juros compostos.
A) Se uma dívida foi contraída a juros compostos, à taxa anual de 44%, então ao final de 2 anos, se não forem feitos pagamentos, ela terá o seu valor aumentado em quantos percentuais.
B) O juro produzido por um capital de R$ 4 000,00, aplicado a juros compostos por 2 meses e à taxa de 3% ao mês, é quanto.
C) Um capital, aplicado a juros compostos e
à taxa de %20 a.m., produziu ao final de
3 meses o montante de R$ 00,160.2 . O
valor desse capital era :
D) Um comerciante comprou 180 cadernos de um certo tipo ao preço de R$ 5,00
cada. Se ele vender 3
1 do total de
cadernos a R$ 7,00 cada e aplicar o capital resultante a juros compostos, à taxa de 3% ao mês, durante 2 meses, obterá o montante de:
E) Considerando que uma pessoa dispõe de um
capital de 000,00 15 $R
e pretende investi-lo pelo prazo de 1 ano, se o capital for aplicado a juros compostos, então, para que seja obtido o montante de
150,00 17 $R, a taxa anual de aplicação
deverá ser de :
SEQÜÊNCIAS 1. Conceito
É uma sucessão de termos que ocupam uma ordem fixa. Ex:
...;162;54;18;6;2
....;4;2;1;4;2;1;4;2;1
sabsexquiquatersegdom ,,,,,,
Chamaremos o termo que ocupa a posição n de
uma seqüência por na (lê-se a índice n ).
Exercício de Aula
1) Se hoje é quinta, daqui a 100 dias que dia da semana será?
2. Termo Geral de uma Seqüência
É uma expressão matemática que relaciona o
termo na com a posição n que ele ocupa na
seqüência.
Ex: nnan 23 2
Exercício de Aula
2) Escreva os 5 primeiros termos da seqüência
na n
n 22 .
3. Fórmula de Recorrência
É uma expressão matemática que relaciona
cada termo na com outros termos da seqüência.
Exercícios de Aula
3) Escreva os 5 primeiros termos da seqüência
definida por
2 ;3.2
5
1
1
naa
a
nn
.
4) Sendo a seqüência definida por
2 ;.
1,1
21
21
naaa
aa
nnn
, calcule 55a .
4. Soma dos Termos
Sendo a seqüência dada por
naaaa ...; ; ; ; 321 , a soma dos n primeiros
termos dessa seqüência é dada por
nn aaaaS ...321 .
Exercícios de Aula
5) Calcule a soma dos 10 primeiros termos da seqüência definida por
2 ;
1
11
21
naaa
aa
nnn
.
6) Calcule o 10º termo da seqüência cuja soma
é definida por 32 n
nS .
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)
1. Conceito
É uma seqüência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com uma razão constante r .
Exe:
... ;10 ;7 ;4 ;1 é uma PA de razão 3r
... ;2 ;4 ;6 ;8 é uma PA de razão 2r
... ;2 ;2 ;2 ;2 é uma PA de razão 0r
2. Fórmula do termo geral
rnaan .11
Exercícios de Aula
7) Calcule o 26º termo de seqüência ...;7;4;1 .
8) Calcule a razão de uma PA de 20 termos em que o 1º termo é igual a 6 e o último termo é igual 82.
9) Em uma PA, o 6° termo é igual a 40 e o 13° termo é igual a 26. Calcule sua razão e o primeiro termo.
10) Qual a quantidade de múltiplos de 3 que existe entre os números 40 e 1000?
3. Interpolação Aritmética
Consiste em inserir meios aritméticos entre
dois extremos ( a e b ) de tal modo que todos os
números formem uma PA.
ba ;saritmético meios;
11) Inserindo 12 meios aritméticos entre 13 e 78, qual a razão da PA formada?
12) Ao inserir n meios aritméticos entre 1 e 2n ,
determine a razão da PA formada.
4. Propriedades a) Uma PA de três termos pode ser escrita como:
rxxrx ; ;
b) Em qualquer PA todo termo, a partir do 2°, é a
média aritmética dos vizinhos.
;...;;..., 11 nnn aaa
2
11 nn
n
aaa ou nnnn aaaa 11
c) Numa PA finita a soma de dois termos
eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
nnn aaaaaa ;;;...;;; 12321
...23121 nnn aaaaaa
Exercícios de Aula
13) (UCS) O produto de três números em PA é 1989 a soma deles é 39. O menor destes números é:
14) Calcule o valor de x para que 1x , 35 x ,
72 x formem nesta ordem uma PA. Calcule
também a razão da PA obtida. 5. Soma dos n primeiros termos
naaaaPA ;...;;; 321 de razão r
2
.1 naaS n
n
Exercícios de Aula
15) Calcular a soma dos 20 primeiros múltiplos de 6 maiores do que 40.
16) (UFBA) Em uma seqüência, o termo geral é
12 nan , para *Nn . Calcule a soma
dos 100 primeiros termos dessa seqüência.
17) (UCS) O quinto termo de uma PA cuja soma dos
n primeiros termos é dada por nnSn 32 2 ,
*Nn é:
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
1. Definição É toda seqüência numérica onde cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por uma constante (razão).
a) 162;54;18;6;2 é uma PG de razão
3q .
b) ...;27;9;3;1 é uma PG de razão
3q .
c)
...;
2
1;1;2;4;8 é uma PG de razão
2
1q .
d) ...;15;30;60;120 é uma PG de
razão 2
1q .
e) ...;5;5;5;5 é uma PG de razão 1q .
f) ...;40;20;10;5 é uma PG de razão
2q .
OBSERVAÇÃO
Uma PG é chamada de convergente quando seus termos se aproximam cada vez mais de zero (0). Uma PG convergente tem a razão
11 q .
2. Fórmula do termo geral de uma PG
Seja a seqüência ...;...;;;; 321 naaaa .
1
1. n
n qaa
Exercícios de Aula
01) Qual o 101º termo da P.G. ;...2;2;1 ?
02) Em uma P.G. de 10 termos, sabe-se que o 5º termo é 5 e o 9º termo é 20. Se a razão da P.G. é positiva, qual o último termo?
03) Numa P.G. a soma do 3º termo com o 5º termo é igual a 360 e a soma do 4º com o 6º termo é igual à 1080. Qual a razão e o 1º termo dessa P.G.?
3. Interpolação Geométrica
Consiste em inserir meios geométricos entre
dois extremos ( a e b ) de tal modo que todos os
números formem uma PG.
ba ;sgeométrico meios;
04) Cinco meios geométricos foram inseridos entre 4 e 2916. Qual a razão da P.G. obtida?
4. Propriedades da P.G. 1ª) Uma P.G. de três termos pode ser escrita na forma:
qxx
q
x.;;
2ª) Na P.G. ;...;;;...;; 1121 nnn aaaaa temos
que:
n
n
n
n
a
a
a
a 1
1
Exercícios de Aula
05) Três números estão em P.G. de forma que o produto entre eles é 729 e a soma é 39. Quais são esses números?
06) Sabendo que x, x + 9 e x + 45 formam nessa ordem uma P.G. de termos não-nulos, determine x.
07) Considere uma seqüência de quatro números tais que:
os três primeiros formam um progressão aritmética de razão 3;
os três últimos formam uma progressão geométrica;
o primeiro número é igual ao quarto. A soma desses quatro números é
5. Soma dos “n” primeiros termos de uma PG A soma dos n primeiros termos da P.G.
naaaa ;...;;; 321 é dada por:
1
11
q
qaS
n
n , com 1q
08) Determine a soma:
a) dos dez primeiros termos da P.G. ;...6;3
b) dos termos da P.G. 102;...;4;2;1
09) A soma dos termos de uma P.G. finita é 728.
Sabendo que 486na e que 3q . Qual o
1º termo dessa seqüência? 6. Soma infinita dos termos de uma PG
convergente
A soma de todos os infinitos termos de
uma ...;;; 321 aaaPG de razão 11 q é
dada por:
q
aS
1
1
Exercícios de Aula
10) (FESP-SP) O valor de x na equação
4042
xx
x é:
11) (FESP-SP) Da
,
18
1,
6
1,
2
1PG , calcule a
soma de todos os termos:
ATIVIDADES DE REVISÃO
(SEQUÊNCIAS , P.A. e P.G.)
01-(UNIT)Uma progressão geométrica de 6
termos é tal que a soma dos três primeiros é 9 e
a soma dos três últimos
e 72. O 4º termo dessa progressão é um número
(A)divisível por 8
(B)múltiplo de 9
(C)negativo
(D)cubo perfeito
(E)quadrado perfeito
02-(UNIT)Um triângulo retângulo é tal que o cateto menor mede 15 cm e as medidas de seus lados são numericamente iguais aos termos de um progressão aritmética. A área desse triângulo é , em centímetros quadrados,
(A) 150
(B) 157,5
(C) 179
(D) 175,5
(E) 180
03-(UNIT)Se a seqüência 2 , 2, ,...x x y é
uma progressão aritmética de razão 4, o 010
termo da progressão geométrica
, , ,...24 8 2
y x y x
(A)8
(B)16
(C)32
(D)64
(E)128
04-(FUVEST) No plano cartesiano, os comprimentos de segmentos consecutivos da poligonal, que começa na origem 0 e termina em B (ver figura), formam uma progressão geométrica de razão p, com 0 < p < 1. Dois segmentos consecutivos são sempre perpendiculares. Então, se OA = 1, a abscissa x do ponto B = (x, y) vale:
A) 4
12
p1
p1
B) 2
12
p1
p1
C) 2
16
p1
p1
D) 2
16
p1
p1
E) 4
20
p1
p1
05-(FUVEST) Sejam a, b, c três números estritamente positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo ABC, cujos vértices são A = (-a, 0). B = (0, b) e C = (c, 0), é igual a b, então o valor de b é:
(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (E) 1
06-A figura indica uma seqüência de quadrados
cujos lados medem, respectivamente, 1, 2 e 3 cm:
Prosseguindo o padrão indicado na figura, infere-se que a seqüência dos comprimentos x1, x2, x3, x4, … é uma progressão:
a) aritmética de razão igual a 1 cm.
b) aritmética de razão igual a 0,5 cm.
c) geométrica de razão igual a 0,5 cm.
d) geométrica de razão igual a 1,5 cm.
e) geométrica de razão igual a 2 cm.
07-Um estacionamento cobra R$ 15,00 pela primeira hora. A partir da segunda hora os preços caem em progressão aritmética, sendo que o valor da segunda hora é R$ 10,00 e o valor da décima segunda é R$ 4,00. Se um automóvel ficar estacionado 5 horas nesse local, o seu proprietário gastará
a) R$ 54,10
b) R$ 53,10
c) R$ 51,40
d) R$ 48,50
e) R$ 45,80
08-Observe as cinco primeiras figuras de uma
seqüência infinita.
O número de quadradinhos escuros da figura que ocupa o 59.º lugar nessa seqüência é
a) 3 481.
b) 1 741.
c) 900.
d) 841.
e) 600.
09- Numa caminhada, os participantes A e B
desenvolveram os seguintes ritmos:
Intervalo de tempo(minutos)
De 0 a 10 700 600
De 10 a 20 680 570
De 20 a 30 660 540
De 30 a 40 640 510
Participante A Participante B
Distância percorrida em cada intervalo(metros)
Sabendo-se que A e B iniciaram a caminhada juntos e de um mesmo ponto, e que as seqüências estabelecidas foram mantidas, por ambos, até o final do passeio, a distância, em metros, entre o participante A e o B, no exato momento em que B parou de caminhar é:
a) 3330
b) 3610
c) 3900
d) 4200
e) 4510
10- Um círculo de área A1 está contido no interior de outro círculo cuja área é A1 + A2. se o raio do círculo maior é 3 e os números A1, A2 e A1 + A2
formam, nesta ordem, uma progressão aritmética, então o raio do menor círculo vale:
r
3
a) 3
b) 2/3
c) 33
d) 3/3
e) 3/2
11-Observe a seqüência de figuras abaixo.
figura 0 figura 1
figura 2 figura 3
...
A medida do lado quadrado inicial é 1 unidade. Nas figuras seguintes, a medida do lado de cada
quadrado é 3
1 da medida do lado de qualquer
quadrado da figura anterior. Com base nessas informações, qual será a área da figura 20 dessa seqüência?
a)
20
9
5
b)
20
3
4.5
c)
20
3
5.4
d)
20
5
9
e)
20
9
4.5
12- Na figura, são representados os gráficos
das funções x)3/2()x(f e x)2/1()x(g e os
primeiros segmentos verticais com extremos nos pontos (n, f(n)) e (n, g(n)), onde
3... 2, 1, n
O limite da soma dos comprimentos de todos os segmentos assim definidos é:
a) 1/4.
b) 1/3.
c) 1/2.
d) 2/3.
e) 1.
13- O número de assinantes de um jornal de grande circulação no estado aumentou, nos quatro meses do ano, em progressão geométrica, segundo os dados de uma pesquisa constantes na tabela abaixo:
Mês
Número de
assinantes
Janeiro
5000 6050 --------
FevereiroMarçoAbril
Em relação ao mês de fevereiro, o número de assinantes desse jornal no mês de abril teve uma aumento de:
a) 1600
b) 1510
c) 1155
d) 1150
e) 1050
14- A seqüência de figuras abaixo representa os cinco primeiros passos da construção do conjunto de Sierpinski. Os vértices dos triângulos brancos construídos são os pontos médios dos lados dos triângulos escuros da figura anterior. Denominamos a1 , a2 , a3 , a4 e a5, respectivamente, as áreas das regiões escuras da primeira, segunda, terceira, quarta e quinta figuras da seqüência.
Podemos afirmar que a1, a2, a3, a4 e a5 estão, nessa ordem, em progressão geométrica de razão:
a) 3/4
b) 1/2
c) 1/3
d) 1/4
15-O Brasil pode estar perto de atingir a auto-
suficiência em petróleo.
Embora o consumo tenha aumentado nos últimos anos, a produção doméstica de petróleo aumentou
num ritmo mais acelerado. Considere a tabela abaixo, cujos dados estão expressos em milhares de barris por dia:
Se as taxas de aumento no consumo e na produção permanecessem constantes ao longo do tempo, em qual ano se espera que o consumo se iguale à produção?
a) 2015
b) 2005
c) 2007
d) 2006
e) 2010
16-Um artista plástico pretende fazer uma montagem fixando, uns sobre outros, quadrados de acrílico de cores e tamanhos diferentes, como mostra a figura abaixo.
2m
O lado de cada quadrado é o dobro do lado do quadrado anterior. Sabendo-se que o preço do metro quadrado de acrílico é CR$ 6.400,00, o custo total do material será de:
a) CR$ 34.000,00
b) CR$ 48.000,00
c) CR$ 68.000,00
d) CR$ 96.000,00
e) CR$ 102.000,00
GABARITO
01-A 02-A 03-E
04- Alternativa D
Considerando os deslocamentos horizontais
apenas, efetuados a partir da abcissa zero, temos
a abcissa final igual a:
XF = 1 - p2 + p
4 - p
6 + p
8 - p
10 + p
12 - p
14
XF = 1 + (-p2) + (-p
2)2 + … + (-p
2)7
Temos uma soma de PG em que a1 = 1, q = -p2 e
S8 = 1q
)1q(a 81
XF =
2
16
2
16
2
16
2
82
p1
p1
1p
p1
1p
1p
1p
1p1
05- alternativa E
Como a, b, c, é uma progressão aritmética, 2b = a
+ c e a área do triângulo ABC é
2
1
10
10
10
c
b
a
= 2
1 ab bc =
2
)( cab = b
2
06-A 07-C 08-B 09-C 10-A 11-A 12-E
13-C 14-A 15-C 16-A
1. Princípio Fundamental da Contagem (PFC)
O princípio fundamental da contagem é uma regra que nos permite determinar o número de possibilidades de ocorrência de um acontecimento.
A regra que utilizamos para chegar a esse resultado é enunciada da seguinte maneira:
Se um ACONTECIMENTO pode ser analisado
em etapas sucessivas e INDEPENDENTES de
modo que:
1n … nº de possibilidades na 1ª etapa
2n … nº de possibilidades na 2ª etapa
3n … nº de possibilidades na 3ª etapa
:
kn … nº de possibilidades na k – ésima
etapa
então knnnn . ... ... 321 é o número de
possibilidades de ocorrência do
ACONTECIMENTO.
Exercícios de Aula
01) Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo. Sabendo que existem 5 roteiros diferentes entre São Paulo e Recife e 4 roteiros entre Porto Alegre e São Paulo. De quantas maneiras diferentes essa pessoa pode fazer a sua viagem?
02) Uma pessoa lança uma moeda e um dado simultaneamente. Quantas combinações distintas de resultados existem?
03) Mariana tem 5 blusas e 2 saias. De quantos modos diferentes ela pode se vestir com essas roupas?
04) Com os algarismos 1, 2, 5, 6, 7 e 9:
a) Quantos números de três algarismos podem-se formar?
b) Quantos números de três algarismos distintos podem-se formar?
c) Quantos números pares de 4 algarismos podem-se formar?
05) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 5 e 8:
a) Quantos números de 3 algarismos distintos podem-se formar?
b) Quantos números pares de 4 algarismos podem-se formar?
c) Quantos números maiores que 300 e menores que 1000, com algarismos distintos, podem-se ser formados
06) (Fatec-SP) Dispomos de 4 cores diferentes entre si; todas elas devem ser usadas para pintar as letras da palavra FATEC, cada letra de uma só cor, e de modo que as vogais sejam as únicas letras pintadas com a mesma cor. De quantos modos pode ser feito isso?
07) As placas de automóveis são compostas de três letras e quatro algarismos. Quantas placas podemos formar utilizando apenas as cinco vogais (A, E, I, O e U) e os algarismos pares (0, 2, 4, 6 e 8), sendo que as letras devem ser distintas?
08) Uma senha de computador é composta de duas etapas: na primeira etapa o usuário deve digitar duas letras entre as 26 do alfabeto. Caso obtenha êxito no acerto da senha ele deverá passar para segunda etapa onde deve digitar três algarismos distintos. Qual o numero máximo de tentativas diferentes que o usuário deve fazer para descobrir a senha?
2. Permutação
Permutação é o tipo de agrupamento ordenado em que entram todos os elementos em cada grupo.
Se não existirem elementos repetidos na permutação teremos que a permutação (Pn) de n elementos será:
! nPn
Exercícios de Aula
09) De quantas formas diferentes cinco pessoas podem formar uma fila indiana?
10) Quantos são os anagramas da palavra ANEL?
11) Sejam os anagramas da palavra BONECA. a) Quantos são ao total? b) Quantos começam por uma consoante? c) Quantos possuem uma seqüência alternada de vogais e
consoantes? d) Quantos possuem as letras B e N juntas e nessa ordem? e) Quantos possuem as letras B e N juntas e em qualquer
ordem? f) Quantos possuem as letras N, E e C juntas e nessa ordem? g) Quantos possuem as letras N, E e C juntas e em qualquer
ordem? h) Quantos possuem as vogais em ordem alfabética? i) Qual a posição ocupada pelo anagrama CBOENA, se
colocados todos eles em ordem alfabética?
12) Colocados em ordem crescente todos os números de 4 algarismos distintos formados utilizando-se dos
algarismos 3, 5, 6 e 9. Qual a posição ocupada pelo número 6935?
13) (PUC-SP) Quantos anagramas da palavra ALUNO têm as vogais em ordem alfabética é?
Permutação com elementos repetidos
Caso existam elementos repetidos entre aqueles a serem permutados, devemos excluir aquelas permutas iguais dividindo pelo número de vezes fatorial de cada elemento repetido. Assim teremos:
... . ! . ! . !
! ,...,,
cba
nP cba
n
n = número total de elementos
a , b , c , … = número de vezes que aparece cada
elemento
Exercício de Aula
14) Considere os anagramas da palavra ALAGOAS:
a) Quantos são ao total? b) Quantos começam por vogal e terminam por
consoante? c) Quantos começam e terminam com a letra A d) Quantos possuem as três letras A juntas? e) Quantos possuem as vogais juntas?
3. Arranjos
O arranjo é a forma de arrumar p elementos escolhidos casualmente entre n elementos possíveis. A ordem em que a escolha é feita é importante
Utilizando-se de fórmula podemos dizer que o arranjo de n elementos tomados p a p será dado por:
! !
,pn
nA pn
Exercício de Aula
15) Em uma competição de futebol participam 10 times. a) Quantas são as possíveis classificações para os três
primeiros colocados? b) Supondo que um dos times seja o Flamengo, quantas
possíveis classificações o incluem entre os três primeiros?
16) Em relação à palavra CONTAGEM: a) Quantos anagramas podemos formar? b) Quantas “palavras” de 4 letras distintas podemos formar? c) Quantas dessas “palavras” começam com E? d) Quantas dessas “palavras” terminam com TA?
e) Quantas dessas “palavras” contêm a letra M? f) Quantas dessas “palavras” não contêm a letra T? g) Quantas dessas “palavras” apresentam as letras GT juntas
e nessa ordem? h) Quantas dessas “palavras” apresentam as letras GT juntas
e em qualquer ordem? 4. Combinação
A combinação é a forma de arrumar p elementos escolhidos casualmente entre n elementos possíveis. A ordem em que a escolha é feita NÃO é importante
Utilizando-se de fórmula podemos dizer que a combinação de n elementos tomados p a p será dado por:
! !
! ,
pnp
nC pn
Exercícios de Aula
17) Queremos preparar uma salada de frutas que contenha três frutas diferentes, escolhidas entre um grupo de oito frutas diferentes (em que duas delas são banana e maça). Calcule quantas saladas diferentes podemos preparar.
a) Ao total; b) Tal que a banana seja uma dessas frutas; c) Sem utilizar a maça como uma das frutas; d) Sem misturar banana com maça;
18) Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 são matemáticos. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas de modo que:
a) Nenhum membro seja matemático? b) Todos os matemáticos participem da comissão? c) Haja exatamente um matemático na comissão? d) Pelo menos um membro da comissão seja matemático?
ATIVIDADES
01-A ilustração abaixo é do mapa de uma região, onde estão indicadas as cidades A, B, C, D, E, F e as estradas que ligam estas cidades. Um vendedor deseja empreender uma viagem partindo de A para visitar cada uma das outras cidades, exatamente uma vez, e voltar para A. Acerca dos trajetos possíveis de tais viagens, qual das seguintes afirmações é incorreta?
A B
CD
F
E
a) Existem 6 trajetos para o vendedor.
b) Se ele começa visitando D existe um único trajeto.
c) Se ele primeiro visita B então existem três trajetos.
d) Se ele começa visitando E existe um único trajeto.
e) Existem três trajetos em que ele visita C
antes de B.
02-No jogo de xadrez, a primeira jogada de cada um dos 2 jogadores só pode ser executada com um dos seus 8 peões ou com um dos seus 2 cavalos, sendo que cada uma dessas peças tem 2 maneiras distintas de fazer seu primeiro movimento.No começo do jogo, cada peão e cada cavalo ocupam posições distintas. O total de posições distintas que se pode formar após o primeiro lance, ou seja, saída de um jogador e resposta do outro, é:
a) 10 .
b) 20 .
c) 40 .
d) 200 .
e) 400 .
03-Certo sistema de telefonia utiliza 8 dígitos para designar os diversos números de telefones. Sendo o primeiro dígito sempre 3 e admitindo que o dígito 0 (zero) não seja utilizado para designar as estações (2
o, 3
o e 4
o dígitos),
podemos afirmar que a quantidade de números de telefones possíveis é:
a) 7.290
b) 9.270
c) 72.900
d) 927.000
e) 7.290.000
04-Um cartógrafo, para fazer o mapa do Sudeste
Brasileiro mostrado na figura, deverá colorir cada
estado com uma cor, tendo disponíveis 4 cores e
podendo repeti-las no mapa. Estados que fazem
divisa entre si devem ter cores distintas. Sabendo
que somente SP e ES não fazem divisa entre si, o
número de formas distintas de colorir o mapa é:
a) 12.
b) 24.
c) 36.
d) 48.
e) 60.
05-A estação rodoviária de uma cidade é o ponto de partida das viagens intermunicipais. De uma plataforma da estação, a cada 15 minutos, partem os ônibus da Viação Sol, com destino à cidade de Paraíso do Sol, enquanto da plataforma vizinha partem, a cada 18 minutos, com destino à cidade de São Jorge, os ônibus da Viação Lua.A jornada diária das duas companhias tem início às 7 horas, e às 22 horas partem juntos os dois ônibus para a última viagem do dia.O número total de viagens diárias das duas companhias é:
a) 100
b) 110
c) 112
d) 120
e) 122
06-Num banco de automóvel o assento pode ocupar 6 posições diferentes e o encosto 5 posições, independentes da posição do assento. Combinando o assento e o encosto este banco assume:
a) 6 posições diferentes
b) 90 posições diferentes
c) 30 posições diferentes
d) 180 posições diferentes
e) 720 posições diferentes
07-Considere a figura abaixo.
O número de caminhos mais curtos, ao longo das arestas dos cubos, ligando os pontos A e B, é:
a) 2.
b) 4.
c) 12.
d) 18.
e) 36.
08-Um turista, em viagem de férias pela Europa, observou pelo mapa que, para ir da cidade A à cidade B, havia três rodovias e duas ferrovias e que, de B até uma outra cidade C, havia duas rodovias e duas ferrovias. O número de percursos diferentes que o turista pode fazer para ir de A até C, passando pela cidade B e utilizando rodovias e
trem obrigatoriamente, mas em qualquer ordem, é:
a) 9.
b) 10.
c) 12.
d) 15.
e) 20.
09-Um tabuleiro de xadrez está vazio, conforme figura abaixo. Se uma pessoa quiser colocar nesse tabuleiro, simultaneamente, um bispo e um cavalo, poderá fazê-lo de quantas maneiras diferentes.
a) 64
b) 128
c) 2016
d) 4032
e) 8064
10-Durante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países , as tampinhas de Coca-Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo : 1º lugar, Brasil; 2º lugar, Nigéria ; 3º lugar, Holanda). Se , em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?
a) 69
b) 2.024
c) 9562
d) 12.144
e) 13.824
11-Uma senha bancária é composta de 3 (três)
dígitos que podem variar de 0 a 9 (zero a nove).
Assinale o que for incorreto.
a) Se uma possível senha é testada a cada
segundo, então todas as possíveis senhas
serão verificadas em menos de 17 minutos.
b) Há mais de mil possíveis senhas distintas.
c) Existem apenas 10 senhas com todos os
dígitos idênticos.
d) Há 720 senhas com todos os dígitos
distintos.
e) Há 100 senhas identificadas com números
menores que o número 100 (cem).
12-(FGV-SP) Existem apenas dois modos de atingir uma cidade X partindo de uma outra A. Um deles é ir até uma cidade intermediária B e de lá atingir X, e o outro é ir até C e de lá chegar a X. (Veja o esquema.) Existem 10 estradas ligando A a B; 12 ligando B a X; 5 ligando A a C; 8 ligando C a X; nenhuma ligação entre B e C e nenhuma ligação entre A e C. Determine o número de percursos diferentes que podem ser feitos para atingir X pela primeira vez, partindo-se de A.
13-Marcam-se, num plano, 10 pontos, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, dos quais 4 estão sobre a mesma reta e três outros pontos quaisquer nunca estão alinhados, conforme a figura.
O número total de triângulos que podem ser formados, unindo-se três quaisquer desses pontos, é
a) 24.
b) 112.
c) 116.
d) 120.
e) 124.
14-(FGV-SP) Cada um dos municípios de Alto Alegre, Bonfim, Cantá, Iracema, Rorainópolis e Uiramutã vai enviar um representante para participar de uma reunião em Brasília. Deverão ficar hospedados em um hotel em quartos de duas pessoas. O número de maneiras possível de organizar as duplas é:
a) 3
b) 12
c) 15
d) 30
e) 36
15- Com 12 professores de uma escola da rede estadual de ensino de Sergipe , sendo 4 de matemática, 4 de geografia e 4 de inglês, participam de uma reunião com o objetivo de formar uma comissão que tenha 9 professores, sendo 3 de cada disciplina. O número de formas distintas de se compor essa comissão é:
a) 36 b) 108 c) 12 d) 48 e) 64
16-Carlos, aluno de dança de salão da “Academia de Júlio” e freqüentador assíduo de bailes, ficou muito entusiasmado com os passos do “fox”, do “bolero” e do “samba”. Resolveu, então, criar uma nova dança chamada “sambolerox”, na qual existem passos das três danças que o entusiasmaram. Carlos teve a idéia de formar um grupo de passos, com 5 passos dos nove conhecidos no “fox”, 4 dos seis conhecidos no “bolero” e 3 dos cinco conhecidos no “samba”. Com um grupo formado, Carlos inventou seus passos de “sambolerox”, misturando 3 passos, um de cada estilo de dança, sem se preocupar com a ordem dos mesmos. O número de cada estilo de dança, sem se preocupar com a ordem dos mesmos. O número de grupos que Carlos poderia ter formado e o número de seqüência de passos de “sambelorox” em cada grupo são, respectivamente,
a) 18900 grupos e 60 passos de “sambelorox” por grupo.
b) 60900 grupos e 12 passos de “samberolox” por grupo.
c) 20 grupos e 60 passos de “samberolox” por grupo.
d) 60900 grupos e 60 passos de “samberolox” por grupo.
e) 20 grupos e 18900 passos de “samberolox” por grupo.
GABARITO
01-D 02-E 03-E 04-D 05-C 06-C
07-E 08-B 09-D 10-D 11-B 12-160
13-C 14-C 15-E 16-A
A
B
C
X
REVISÃO
01-(ENEM) Uma resolução do Conselho Nacional de Política Energética (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade de adição de biodísel ao óleo dísel comercializado nos postos. A exigência é que, a partir de 1.º de julho de 2009, 4% do volume da mistura final seja formada por biodísel. Até junho de 2009, esse percentual era de 3%. Essa medida estimula a demanda de biodísel, bem como possibilita a redução da importação de dísel de petróleo.
Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado).
Estimativas indicam que, com a adição de 4% de biodísel ao dísel, serão consumidos 925 milhões de litros de biodísel no segundo semestre de 2009. Considerando-se essa estimativa, para o mesmo volume da mistura final dísel/biodísel consumida no segundo semestre de 2009, qual seria o consumo de biodísel com a adição de 3%?
A - 27,75 milhões de litros.
B - 37,00 milhões de litros.
C- 231,25 milhões de litros.
D- 693,75 milhões de litros.
E- 888,00 milhões de litros.
02-(ENEM) O gráfico a seguir mostra a evolução, de abril de 2008 a maio de 2009, da população
economicamente ativa para seis Regiões Metropolitanas pesquisadas.
Considerando que a taxa de crescimento da população economicamente ativa, entre 05/09 e 06/09, seja de 4%, então o número de pessoas economicamente ativas em 06/09 será igual a:
A -23.940.
B -32.228.
C -920.800.
D -23.940.800.
E -32.228.000.
03-(ENEM) A música e a matemática se encontram na representação dos tempos das notas musicais,
conforme a figura seguinte.
Um compasso é uma unidade musical composta por determinada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. Por exemplo, se a fórmula
de compasso for , poderia ter um compasso ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias,
sendo possível a combinação de diferentes figuras. Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula é ,
poderia ser preenchido com:
A -24 fusas.
B -3 semínimas.
C -8 semínimas.
D -24 colcheias e 12 semínimas.
E -16 semínimas e 8 semicolcheias.
04-(ENEM) Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem por até oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos três primeiros dias, a diária custaria R$ 150,00, preço da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, seria aplicada uma redução no valor da diária,
cuja taxa média de variação, a cada dia, seria de R$ 20,00. Nos dois dias restantes, seria mantido o preço do sexto dia. Nessas condições, um modelo para a promoção idealizada é apresentado no gráfico a seguir, no qual o valor da diária é função do tempo medido em número de dias.
De acordo com os dados e com o modelo, comparando o preço que um casal pagaria pela hospedagem por sete dias fora da promoção, um casal que adquirir o pacote promocional por oito dias fará uma economia de:
A - R$ 90,00.
B - R$ 110,00.
C - R$ 130,00.
D- R$ 150,00.
E- R$ 170,00.
05-(ENEM) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00. De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?
A- R$ 14,00.
B- R$ 17,00.
C- R$ 22,00.
D- R$ 32,00.
E- R$ 57,00.
06-(ENEM) Técnicos concluem mapeamento do aquífero Guarani
O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos territórios da Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com extensão total de 1.200.000 quilômetros quadrados, dos quais 840.000 quilômetros quadrados estão no Brasil. O aquífero armazena cerca de 30 mil quilômetros cúbicos de água e é considerado um dos maiores do mundo. Na maioria das vezes em que são feitas referências à água, são usadas as unidades metro cúbico e litro, e não as unidades já descritas. A Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo
(SABESP) divulgou, por exemplo, um novo reservatório cuja capacidade de armazenagem é de 20 milhões de litros.
Disponível em: http://noticias.terra.com.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).
Comparando as capacidades do aquífero Guarani e desse novo reservatório da SABESP, a capacidade do aqüífero Guarani é:
A- 1,5 x 10² vezes a capacidade do reservatório novo.
B- 1,5 x 10³ vezes a capacidade do reservatório novo.
C- 1,5 x vezes a capacidade do reservatório novo.
D- 1,5 x vezes a capacidade do reservatório novo.
E- 1,5 x vezes a capacidade do reservatório novo.
07-(ENEM) Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes termos: a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, em um regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$ 1.000,00 pelo aluguel diário de cada máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25.000,00. Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja constante, a cooperativa deveria:
A- manter sua proposta.
B- oferecer 4 máquinas a mais.
C- oferecer 6 trabalhadores a mais.
D- aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias.
E- reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina.
08-(ENEM) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de:
A- 920 kg.
B- 800 kg.
C- 720 kg.
D- 600 kg.
E- 570 kg.
09-(ENEM) Segundo as regras da Fórmula 1, o peso mínimo do carro, de tanque vazio, com o piloto, é de 605 kg, e a gasolina deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por litro. Entre os circuitos nos quais ocorrem competições dessa categoria, o mais longo é Spa-Francorchamps, na Bélgica, cujo traçado tem 7 km de extensão. O consumo médio de um carro da Fórmula 1 é de 75 litros para cada 100 km. Suponha que um piloto de uma equipe específica, que utiliza um tipo de gasolina com densidade de 750 g/L, esteja no circuito de Spa-Francorchamps, parado no Box para reabastecimento. Caso ele pretenda dar mais 16 voltas,
ao ser liberado para retornar à pista, seu carro deverá pesar, no mínimo:
A- 617 kg.
B- 668 kg.
C- 680 kg.
D- 689 kg.
E- 717 kg.
10-(ENEM) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de:
A- uma combinação e um arranjo, respectivamente.
B- um arranjo e uma combinação, respectivamente.
C- um arranjo e uma permutação, respectivamente.
D- duas combinações.
E- dois arranjos.
11-(ENEM) A resolução das câmeras digitais modernas é dada em megapixels, unidade de medida que representa um milhão de pontos. As informações sobre cada um desses pontos são armazenadas, em geral, em 3 bytes. Porém, para evitar que as imagens ocupem muito espaço,elas são submetidas a algoritmos de compressão, que reduzem em até 95% a quantidade de bytes necessários para armazená-las. Considere 1 KB = 1.000 bytes,1 MB = 1.000 KB, 1 GB = 1.000 MB.
Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo algoritmo de compressão é de 95%, João fotografou 150 imagens para seu trabalho escolar. Se ele deseja armazená-las de modo que o espaço restante no dispositivo seja o menor espaço possível, ele deve utilizar:
A- um CD de 700 MB.
B- um pendrive de 1 GB.
C- um HD externo de 16 GB.
D- um memory stick de 16 MB.
E- um cartão de memória de 64 MB.
12-(ENEM) Nos últimos anos, o volume de petróleo exportado pelo Brasil tem mostrado expressiva tendência de crescimento, ultrapassando as importações em 2008.Entretanto, apesar de as importações terem se
mantido praticamente no mesmo patamar desde 2001, os recursos gerados com as exportações ainda são inferiores àqueles despendidos com as importações, uma vez que o preço médio por metro cúbico do petróleo importado é superior ao do petróleo nacional. Nos primeiros cinco meses de 2009, foram gastos 2,84 bilhões de dólares com importações e gerada uma receita de 2,24 bilhões de dólares com as exportações. O preço médio por metro cúbico em maio de 2009 foi de 340 dólares para o petróleo importado e de 230 dólares para o petróleo exportado. O quadro a seguir mostra os dados consolidados de 2001 a 2008 e dos primeiros cinco meses de 2009.
Comércio exterior de petróleo
(milhões de metros cúbicos)
Considere que as importações e exportações de petróleo de junho a dezembro de 2009 sejam iguais a das
importações e exportações, respectivamente, ocorridas de janeiro a maio de 2009. Nesse caso, supondo que os preços para importação e exportação não sofram alterações, qual seria o valor mais aproximado da diferença entre os recursos despendidos com as importações e os recursos gerados com as exportações em 2009?
A- 600 milhões de dólares.
B- 840 milhões de dólares.
C- 1,34 bilhão de dólares.
D- 1,44 bilhão de dólares.
E- 2,00 bilhões de dólares.
13-(ENEM) João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João,ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado.
A opção que dá a João o menor gasto seria:
A- renegociar suas dívidas com o banco.
B- pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas.
C- recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos.
D- pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do
cartão de crédito.
E- pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do
cheque especial.
14-(ENEM) Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir. Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente?
A- 3 doses.
B- 4 doses.
C- 6 doses.
D- 8 doses.
E- 10 doses.
15-(ENEM) O jogo-da-velha é um jogo popular, originado na Inglaterra. O nome “velha” surgiu do fato de esse jogo ser praticado, à época em que foi criado, por senhoras idosas que tinham dificuldades de visão e não conseguiam mais bordar. Esse jogo consiste na disputa de dois adversários que, em um tabuleiro 3×3, devem conseguir alinhar verticalmente, horizontalmente ou na diagonal, 3 peças de formato idêntico. Cada jogador, após escolher o formato da peça com a qual irá jogar, coloca uma peça por vez, em qualquer casa do tabuleiro, e passa a vez para o adversário. Vence o primeiro que alinhar 3 peças. No tabuleiro representado ao lado, estão registradas as jogadas de dois adversários em um dado momento. Observe que uma das peças tem formato de círculo e a outra tem a forma de um xis.
Considere as regras do jogo-da-velha e o fato de que, neste momento, é a vez do jogador que utiliza os círculos. Para garantir a vitória na sua próxima jogada, esse jogador pode posicionar a peça no tabuleiro de:
A- uma só maneira.
B- duas maneiras distintas.
C- três maneiras distintas.
D- quatro maneiras distintas.
E- cinco maneiras distintas.
16-(ENEM) A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros é maior do que se imagina, como mostra a pesquisa abaixo, realizada com os jogadores profissionais dos quatro principais clubes de futebol do Rio de Janeiro.
De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino Médio é de aproximadamente:
a) 14% b) 48% c) 54% d) 60% e) 68%
17-(ENEM) O índice de massa corpórea (IMC) é uma medida que permite aos médicos fazer uma avaliação preliminar das condições físicas e do risco de uma pessoa desenvolver certas doenças, conforme mostra a tabela abaixo.
IMC Classificação Risco de doença
menos de 18,5 magreza elevado
entre 18,5 e 24,9 normalidade baixo
entre 25 e 29,9 sobrepeso elevado
entre 30 e 39,9 obesidade muito elevado
40 ou mais obesidade grave muitíssimo elevado
Internet:<www.somatematica.com.br>.
Considere as seguintes informações a respeito de João, Maria, Cristina, Antônio e Sérgio.
Nome Massa (kg) Altura (m) IMC
João 113,4 1,80 35
Maria 45 1,50 20
Cristina 48,6 1,80 15
Antônio 63 1,50 28
Sérgio 115,2 1,60 45
Os dados das tabelas indicam que
a) Cristina está dentro dos padrões de normalidade. b) Maria está magra, mas não corre risco de desenvolver doenças. c) João está obeso e o risco de desenvolver doenças é muito elevado. d) Antônio está com sobrepeso e o risco de desenvolver doenças é muito elevado. e) Sérgio está com sobrepeso, mas não corre risco de desenvolver doenças.
18-(ENEM) A figura apresenta informações biométricas de um homem (Duílio) e de uma mulher (Sandra) que estão buscando alcançar seu peso adequado a partir das atividades físicas (corrida). Para se verificar a escala de obesidade, foi desenvolvida uma fórmula que permite verificar o Índice de Massa Corporal (IMC). Esta fórmula apresentada como IMC = m/h², onde m é a massa em quilogramas e h é altura em metros.
No quadro é apresentada a Escala de Índice de Massa Corporal com as respectivas categorias relacionadas aos pesos.
A partir dos dados biométricos de Duílio e Sandra e da Escala de IMC, o valor IMC e a categoria em que cada uma das pessoas se posiciona na Escala são
a) Duílio tem o IMC 26,7 e Sandra tem o IMC 26,6, estando ambos na categoria de sobrepeso. b) Duílio tem IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 29,1, estando ambos na categoria de sobrepeso. c) Duílio tem o IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 26,6, estando ambos na categoria de sobrepeso. d) Duílio tem o IMC 25,6, estando na categoria de sobrepeso, e Sandra tem o IMC 24,7, estando na
categoria de peso normal. e) Duílio tem o IMC 25,1, estando na categoria de sobrepeso, e Sandra tem o IMC 22,6, estando na
categoria de peso normal.
19- (ENEM) A disparidade de volume entre os planetas é tão grande que seria possível colocá-los uns dentro dos outros. O planeta Mercúrio é o menor de todos. Marte é o segundo menor: dentro dele cabem três Mercúrios. Terra é o único com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno é o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. Júpiter é o maior dos planetas: dentro dele cabem 23 Netunos.
Revista Veja. Ano 41, no 25, 25 jun. 2008 (adaptado).
Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras cabem dentro de Júpiter?
a) 406 b) 1334 c) 4002 d) 9338 e) 28014
20-(ENEM) A fotografia mostra uma turista aparentemente beijando a esfinge de Gizé, no Egito. A figura a seguir mostra como, na verdade, foram posicionadas a câmera fotográfica, a turista e a esfinge.
Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, verifica-se que a medida do queixo até o alto da
cabeça da turista é igual a 2
3 da medida do queixo da esfinge até o alto de sua cabeça. Considere que essas
medidas na realidade são representadas por d e d’, respectivamente, que a distância da esfinge à lente da câmera fotográfica, localizada no plano horizontal do queixo da altura e da esfinge, é representada por b, e que a distância da turista à mesma lente, por a.
A razão entre b e a será dada por
a) '
b d
a c
b) 2
3
b d
a c
c) 3 '
2
b d
a c
d) 2 '
3
b d
a c
e) 2 '
b d
a c
21- (ENEM) Uma fotografia tirada em uma câmera digital é formada por um grande número de pontos, denominados pixels. Comercialmente, a resolução de uma câmera especificada indicando os milhões de pixels, ou seja, os megapixels de que são constituídas as suas fotos. Ao se imprimir uma foto digital em papel fotográfico, esses pontos devem ser pequenos para que não sejam distinguíveis a olho nu. A resolução de uma impressora é indicada pelo termo dpi (dot per inch), que é a quantidade de pontos que serão impressos em uma linha com uma polegada de comprimento. Uma foto impressa com 300 dpi, que corresponde a cerca de 120 pontos por centímetro, terá boa qualidade visual, já que os pontos serão tão pequenos, que o olho não será capaz de vê-los separados e passará a ver um padrão contínuo.
Para se imprimir uma foto retangular de 15 cm por 20 cm, com resolução de pelo menos 300 dpi, qual é o valor aproximado de megapixels que a foto terá?
a) 1,00 megapixel. b) 2,52 megapixels. c) 2,70 megapixels. d) 3,15 megapixels. e) 4,32 megapixels.
22- (ENEM) No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama no Chile, ficará o maior telescópio da superfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O E-ELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro, “o maior olho do mundo voltado para o céu”.
Disponível em: http://www.estadao.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).
Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano mede aproximadamente 2,1 cm. Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário do telescópio citado?
a) 1 : 20 b) 1 : 100 c) 1 : 200 d) 1 : 1 000 e) 1 : 2 000
23-(ENEM) As “margarinas” e os chamados “cremes vegetais” são produtos diferentes, comercializados em embalagens quase idênticas. O consumidor, para diferenciar um produto do outro, deve ler com atenção os dizeres do rótulo, geralmente em letras muito pequenas.
As figuras que seguem representam rótulos desses dois produtos.
Uma função dos lipídios no preparo das massas alimentícias é torná-las mais macias. Uma pessoa que, por desatenção, use 200 g de creme vegetal para preparar uma massa cuja receita pede 200 g de margarina,
não obterá a consistência desejada, pois estará utilizando uma quantidade de lipídios que é, em relação à recomendada, aproximadamente
a) o triplo. b) o dobro. c) a metade. d) um terço. e) um quarto.
24-(ENEM) Um comerciante contratou um novo funcionário para cuidar das vendas. Combinou pagar a essa pessoa R$ 120,00 por semana, desde que as vendas se mantivessem em torno dos R$ 600,00 semanais e, como um estímulo, também propôs que na semana na qual ele vendesse R$ 1.200,00, ele receberia R$ 200,00, em vez de R$ 120,00. Ao término da primeira semana, esse novo funcionário conseguiu aumentar as vendas para R$ 990,00 e foi pedir ao seu patrão um aumento proporcional ao que conseguiu aumentar nas vendas. O patrão concordou e, após fazer algumas contas, pagou ao funcionário a quantia de
a) R$ 160,00. b) R$ 165,00. c) R$ 172,00. d) R$ 180,00. e) R$ 198,00.
25-(ENEM) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33000 passagens; em fevereiro, 34500; em março, 36000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes.
Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado?
a) 38000 b) 40500 c) 41000 d) 42000 e) 48000 26- (ENEM) Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.
Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas. A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?
a) 9 b) 45 c) 64 d) 81 e) 285
27-(ENEM) Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) — objeto que pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais — objetos geométricos formados por repetições de padrões similares.
O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos:
1. comece com um triângulo equilátero (figura 1);
2. construa um triângulo em que cada lado tenha a metade do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias;
3. posicione essas cópias de maneira que cada triângulo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2;
4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada cópia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).
De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da sequência apresentada acima é
a)
b)
c)
d)
e)
28-(ENEM) Na literatura de cordel, os textos são impressos, em geral, com 8, 16, 24 ou 32 páginas de formato 10,5 cm 15,5 cm. As razões históricas que explicam tal fato estão relacionadas à forma artesanal como são montadas as publicações e ao melhor aproveitamento possível do papel disponível.
Considere, abaixo, a confecção de um texto de cordel com 8 páginas (4 folhas):
Utilizando o processo descrito acima, pode-se produzir um exemplar de cordel com 32 páginas de 10,5 cm
15,5 cm, com o menor gasto possível de material, utilizando uma única folha de
a) 84 cm 62 cm b) 84 cm 124 cm c) 42 cm 31 cm d) 42 cm 62 cm e) 21 cm 31 cm
29- (ENEM) Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um
carro sejam obtidas em metros:
a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro;
b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.
Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente,
a) 0,23 e 0,16. b) 2,3 e 1,6. c) 23 e 16. d) 230 e 160. e) 2 300 e 1 600.
30-(ENEM) O dono de uma oficina mecânica precisa de um pistão das partes de um motor, de 68 mm de diâmetro, para o conserto de um carro. Para conseguir um, esse dono vai até um ferro velho e lá encontra pistões com diâmetros iguais a 68,21 mm; 68,102 mm; 68,001 mm; 68,02 mm e 68,012 mm.
Para colocar o pistão no motor que está sendo consertado, o dono da oficina terá de adquirir aquela que tenha o diâmetro mais próximo do que precisa.
Nessa condição, o dono da oficina deverá comprar a pista de diâmetro
a) 68,21 mm. b) 68,102 mm. c) 68,02 mm.
d) 68,012 mm. e) 68,001 mm. 31- (ENEM) O medidor de energia elétrica de uma residência conhecido por “relógio de luz”, é constituído de
quatro pequenos relógios, cujo sentido de rotação estão indicados conforme a figura:
Disponível em: http://www.enersul.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010.
A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é composto por 4 algarismos. Cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro.
O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é
a) 2614. b) 3624. c) 2715. d) 3725. e) 4162.
32-(ENEM) A cor de uma estrela tem relação com a temperatura em sua superfície. Estrelas não muito quentes (cerca de 3000 K) nos parecem avermelhadas. Já as estrelas amarelas, como o Sol, possuem temperatura em torno dos 6000 K; as mais quentes são brancas ou azuis porque sua temperatura fica acima dos 10000K.
A tabela apresenta uma classificação espectral e outros dados para as estrelas dessas classes.
Estrelas da Sequência Principal
Classe
Espectral Temperatura Luminosidade Massa Raio
O5 40000 5 × 105
40 18
B0 28000 2 × 104
18 7
A0 9900 80 3 2,5
G2 5770 1 1 1
M0 3480 0,06 0,5 0,6
Temperatura em Kelvin
Luminosidade, massa e raio, tomando o Sol como unidade
Disponível em: http://www.zenite.nu. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).
Se tomarmos uma estrela que tenha temperatura 5 vezes maior que a temperatura do Sol, qual será a ordem de grandeza de sua luminosidade?
a) 20000 vezes a luminosidade do Sol. b) 28000 vezes a luminosidade do Sol. c) 28850 vezes a luminosidade do Sol. d) 30000 vezes a luminosidade do Sol. e) 50000 vezes a luminosidade do Sol.
GABARITO
01-D 09-B 17-C 25-D
02-D 10-A 18-B 26-D
03-D 11-E 19-B 27-C
04-A 12-C 20-D 28-D
05-D 13-E 21-E 29-B
06-E 14-B 22-E 30-E
07-D 15-B 23-C 31-A
08-A 16-D 24-C 32-A