novo enem v
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CADERNO DE MATEMÁTICA
NOVO ENEM (V)
•Conhecimentos algébricos/geométricos: plano cartesiano; retas; circunferências;paralelismo e perpendicularidade, sistemas de equações.
GEOMETRIA ANALÍTICA – PONTO
1. Sistema Cartesiano Ortogonal
O eixo horizontal se chama eixo x, eixo Ox ou eixo das abscissas.
O eixo vertical se chama eixo y, eixo Oy ou eixo das ordenadas.
Todo ponto P do plano cartesiano é formado por duas coordenadas (uma para x e outra para y), que será representada
na forma PP yxP ; .
Se um ponto P está sobre o eixo Ox ele possui 0Py
e, se um ponto P está sobre o eixo Oy ele possui 0Px .
2. Quadrantes
OBSERVAÇÃO
Os pontos localizados sobre os eixos cartesianos não pertencem a nenhum quadrante.
Exercícios de Aula
01) Determine os valores de k reais, de modo que o ponto:
a) kkA 5;2 pertença ao 1º quadrante.
b) 1;1 kkB pertença ao 2º quadrante.
02) Determine o valor de k real, de modo que o ponto:
a) kkA 3 ;3 pertença ao eixo das abscissas.
b) kkB 23 ;1 pertença ao eixo das ordenadas.
3. Distância entre dois pontos
Sejam AA yxA ; e BB yxB ; dois pontos
distintos do plano cartesiano. A distância ABd entre os pontos
A e B é o comprimento do segmento AB .
O triângulo ABC mostrado na figura acima é retângulo em C.
Os seus catetos são:
ABAC xxd e ABBC yyd .
Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
222
BCACAB ddd
222
ABABAB yyxxd
22
ABABAB yyxxd
Exercícios de Aula
03) Calcule a distância entre os pontos:
a) 3;1A e 2;5B
b) 1;1A e 2;4 B
04) Calcule o valor de k de modo que a distância entre
1;kA e 2;1B seja 2 .
05) Sejam 0;aA , 1;1B e 2;2C vértices de um
triângulo ABC . Determine o valor de a , de modo que o
triângulo seja retângulo em C .
4. Classificação de um triângulo
Quanto ao tamanho dos lados
a) Eqüilátero: possui os três lados iguais.
b) Isósceles: possui dois lados iguais (todo triângulo eqüilátero é isósceles).
Na figura, o lado BC é chamado de base.
c) Escaleno: possui os três lados diferentes
Quanto aos ângulos internos
a) Retângulo: possui um ângulo de 90º.
222 cba
b) Acutângulo: possui os três ângulos internos agudos
(menores que 90º).
222 cba
c) Obtusângulo: possui um dos ângulos obtuso (maior que 90º).
222 cba
Exercício de Aula
06) Classifique quanto ao tamanho dos lados e quanto a
medidas dos seus ângulos internos o triângulo ABC ,
com vértices nos pontos 2;1A , 3;0B e
2;2 C .
5. Ponto Médio de um segmento
Consideremos o segmento orientado AB com origem no
ponto AA yxA ; e extremidade no ponto BB yxB ; .
Vamos calcular as coordenadas do ponto M que divide o
segmento AB ao meio.
Se M é o ponto médio de AB , então MBAM e, portanto:
2
BAMAMMB
xxxxxxx
2
BAMAMMB
yyyyyyy
Portanto, as coordenadas do ponto médio do segmento
AB são as médias aritméticas das abscissas e ordenadas de
A e B .
2;
2
BABA yyxxM
OBSERVAÇÃO
Se M é o ponto médio do segmento AB ,
podemos dizer que o ponto B é simétrico do ponto A , em
relação à M , e vice-versa.
Exercícios de Aula
07) Uma das coordenadas de um segmento é o ponto
13;7A e a outra é o ponto pB ;2 . Sendo
5;qM o ponto médio desse segmento, determine os
valores de p e q .
08) Num paralelogramo ABCD , 2;1M é o ponto de
encontro das diagonais AC e BD . Sabe-se que
3;2A e 4,6B . Determine as coordenadas dos
vértices C e D .
09) Calcule a medida da altura relativa à base BC de um
triângulo isósceles de vértices 8;5A , 2;2B e
2;8C .
10) Determine o simétrico do ponto 1;2P em relação:
a) ao eixo 0x. b) ao eixo 0y. c) à origem.
d) ao ponto 3;4 Q .
6. Mediana de um triângulo
É o segmento de reta que liga um dos vértices do triângulo ao ponto médio do lado oposto.
Exercício de Aula
11) Calcule o comprimento da mediana relativa ao vértice C
do triângulo ABC , tal que 6;2 A , 2;4B e
4;0C .
Baricentro, mediacentro, centro de massa ou centro de gravidade de um triângulo
É o ponto de encontro das três medianas do triângulo.
As coordenadas do baricentro do triângulo ABC
são calculadas por:
3;
3
CBACBA yyyxxxG
Exercícios de Aula
12) Do triângulo ABC , com 2;1A , 3;2B e
1;5 C . Calcule o ponto de encontro de suas
medianas.
7. Área de um triângulo
A área do triângulo ABC cujos vértices são os pontos
AA yxA ; , BB yxB ; e CC yxC ; é calculada
através da fórmula:
DAABC2
1 , onde
1
1
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
D .
Exercícios de Aula
13) Calcule a área do triângulo formado pelos vértices
2;1A , 1;3B e 1;0 C .
14) Determine a área do quadrilátero ABCD , cujos vértices
são os pontos 0;0A , 0;2B , 4;3C e 3;1D .
15) (FAAP-SP) Os pontos 3;0A , 1;1kB e
0;kC são os vértices de um triângulo de área 4 .
Determine o valor da constante k .
8. Condição de alinhamento de três pontos
Os pontos AA yxA ; , BB yxB ; e CC yxC ;
estarão alinhados se e somente se:
0
1
1
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
Exercícios de Aula
16) (FATEC-SP) Os pontos 2;1A , B e 2;5 C estão
numa mesma reta. Determine o ponto B , sabendo que o mesmo é do eixo x .
17) Determine o valor de m para que os pontos 4;0A ,
2;mB e 6;2C sejam os vértices de um
triângulo.
ATIVIDADES
01) Considere, no plano cartesiano com origem O, um triângulo cujos vértices A, B e C têm
coordenadas (-1,0), (0,4) e (2,0), respectivamente. Se M e N são pontos médios
de AB e BC , respectivamente, a área do triângulo OMN será igual a
a) a.u35
b) a.u58
c) 1 u.a
d) a.u23
02) A área do quadrilátero abaixo, em unidades de área, é:
A
D
B
C
-1 2 4
3
5
8
y
x
a) 20
b) 25
c) 15/2
d) 15
e) 25/2
03) Observe a figura.
y
x
C
A
B
11
5-1/2
.
..
Nessa figura, a reta AC intercepta o eixo das abscissas no ponto ( -1/2, 0 ) , e a área do triângulo de vértice A,B e C é 10. Então , a ordenada do ponto B é:
a) 20/11
b) 31/11
c) 4
d) 5
e) 6
04) Considere a figura abaixo, em que as retas r e s são tangentes à circunferência de raio 2 cm.
C
sy
t
B
rx
60º
-2
A
2
A área do triângulo ABC é igual a
a) 6 cm2
b) 2cm36
c) 2cm34
d) 2cm33
05) A área do triângulo ABC da figura é:
..
.
A
B
2
4 x
-1
C -2
y
a) –18
b) –9
c) 9
d) 15
e) 18
06) Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado abaixo em um sistema de
coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB e passando pelo ponto P = (a,0). O valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área é:
a) 15
b) 225
c) 25
d) 52
e) 225
07) Considere a figura abaixo:
y
45º
MN
1 x
O comprimento do segmento MN é:
a) 2/12
b) 2
12
c) 12
d) 2
21
e) 12
08) Um programa de rádio é gerado em uma cidade plana, a partir de uma central C localizada 40 km a leste e 20 km a norte da antena de transmissão T. C envia o sinal de
rádio para T, que em seguida o transmite em todas as direções, a uma distância máxima de 60 km. O ponto mais a leste de C, que está 20 km a norte de T e poderá receber o sinal da rádio, está a uma distância de C, em km, igual a
a) )12(20 .
b) )13(30 .
c) )12(40 .
d) )13(40
e) )22(50 .
GABARITO
01-D 05-C
02-E 06-B
03-D 07-E
04-B 08-C
9. Equação geral da reta
Queremos calcular a reta que passa pelos pontos
AA yxA ; e BB yxB ; .
Suponha um terceiro ponto yxP ; que pertença
a essa reta. Já sabemos que:
0
1
1
1
BB
AA
yx
yx
yx
. Desenvolvendo teremos:
0...... yxxyyxyxyxxy ABABBABA
0.... ABBAABBA yxyxyxxxyy
Fazendo:
cyxyx
bxx
ayy
ABBA
AB
BA
..
teremos:
0.. cybxa
Exercícios de Aula
01) (FEI-SP) Os pontos 1;aA e bB ;2 pertencem à reta
02: yxr . Calcule a distância entre eles.
02) Encontre a equação da reta que passa pelos pontos
1;2A e 2;3 B .
03) Encontre a equação da reta suporte da mediana relativa ao
vértice A , do triângulo ABC , tal que 1;3 A ,
5;2B e 1;6C são:
04) (UFRN) As retas 0byaxr e
0123 byaxs intersectam-se no ponto 3;1 .
Portanto a e b são respectivamente:
10. Inclinação da reta
Toda reta r tem um ângulo que forma ao cortar o eixo x . Esse ângulo formado partindo do eixo x até a reta em seu
sentido anti-horário é chamado ângulo de inclinação da reta.
OBSERVAÇÃO
Retas horizontais têm ângulo de inclinação de 0º. 11. Coeficiente Angular
Observe que o triângulo ABC é retângulo em C
e possui o mesmo ângulo (inclinação da reta r ). Do
triângulo podemos dizer que:
AB
AB
xx
yy
tg
A esse valor numérico chamamos de coeficiente angular e simbolizamos por m .
Assim:
AB
AB
xx
yym
ou tgm
Exercícios de Aula
05) Determine o coeficiente angular (ou declividade) da reta que passa pelos pontos:
a) 2;3A e 1;3 B
b) 3;2 A e 3;4B
OBSERVAÇÕES
Retas verticais não possuem coeficiente angular, pois
2
.
Para que três pontos A , B e C sejam colineares, basta
que o coeficiente angular da reta suporte de AB seja o
mesmo da reta suporte de BC .
Exercícios de Aula
06) Os pontos 3;2 A , 3;4B e
2;5k
C estão
numa mesma reta. Determine o valor de k .
12. Equação Reduzida da Reta
Tendo a equação 0.. cybxa iremos
desenvolvê-la da seguinte maneira:
0.. cybxa
cxayb ..
b
cx
b
ay .
Porém sabemos que ayy BA e bxx AB
Assim
mxx
yy
xx
yy
b
a
AB
AB
AB
BA
.
b
am
E chamaremos de coeficiente linear o quociente
b
c, simbolizando-o por p .
Assim a equação geral 0.. cybxa pode
ser escrita como:
pmxy ; onde
linear ecoeficient
angular ecoeficient
p
m
Exercícios de Aula
07) Determine o coeficiente angular das retas:
a) 032 yx
b) 013 yx
c) 0423 yx
08) Determine o coeficiente linear da reta de equação
132 yx .
13. Cálculo da equação da reta
Já sabemos como calcular a equação da reta quando conhecidos dois pontos A e B dela. Iremos agora aprender uma outra maneira de calcular equação de reta, quando conhecidos um ponto e seu coeficiente angular.
AB
AB
xx
yym
0
0
xx
yym
00 xxmyy
Usaremos essa fórmula sempre que for conhecido um
ponto 00; yxP qualquer, que pertence à reta, e seu
coeficiente angular m .
Exercícios de Aula
09) Determine a equação da reta que passa pelo ponto
5;2 A e tem coeficiente angular 2m .
10) Uma reta passa pelo ponto 1;2A e forma com o eixo 0x
um ângulo de 45°. Ache os coeficientes angular e linear dessa reta.
11) Ache a equação da reta que passa pelo ponto 3;1P
e tem inclinação igual a 120°.
OBSERVAÇÕES.
Se a reta r for vertical, então todos os seus pontos têm a mesma abscissa ( x ). Nesse caso, a reta r tem equação:
kx , onde k é um número real.
Se a reta r for horizontal, então todos os seus pontos têm a mesma ordenada ( y ). Nesse caso, a reta r tem
equação: ky , onde k é um número real.
14. Duas retas importantes
Bissetriz dos quadrantes ímpares
É a reta que divide ao meio o primeiro e terceiro
quadrantes. Notação: 13b . Também é chamada de 1ª bissetriz.
Um ponto P pertence à primeira bissetriz se, e somente se, suas coordenadas são iguais, isto é:
aaPbP ;13
Exemplos: 2;2A , 3;3 B , 5;5C , 0;0O
Bissetriz dos quadrantes pares
É a reta que divide ao meio o segundo e quarto quadrantes.
Notação: 24b . Também é chamada de 2ª bissetriz.
Um ponto P pertence à segunda bissetriz se, e somente se, suas coordenadas são simétricas, isto é:
aaPbP ;24
Exemplos: 2;2A , 3;3 B , 5;5 C , 0;0O
Exercício de Aula
12) Determine o valor de k real, de modo que o ponto:
a) 5 ;32 kA pertença à primeira bissetriz;
b) 3 ;2 kB pertença à segunda bissetriz.
15. Intersecção entre retas
Resolvemos o sistema formado pelas equações das duas retas.
Exercícios de Aula
13) Calcule o ponto de intersecção das retas
032 yx e 013 yx .
14) (FUVEST-SP) As retas de equações 034 ayx ;
095 yx e 0423 yx se intersectam
em apenas um ponto. Determine a e o ponto de
interseção das retas.
OBSERVAÇÕES
Retas paralelas distintas não têm pontos de intersecção.
Retas paralelas iguais possuem infinitos pontos de intersecção
16. Condição de paralelismo entre duas retas
Duas retas não verticais, r e s , são paralelas se, e
somente se, seus coeficientes angulares são iguais, ou seja:
r // s sr mm
OBSERVAÇÕES.
Se além dos coeficientes angulares iguais, os lineares também forem, as retas são paralelas iguais. Caso os coeficientes lineares forem distintos, as retas são paralelas distintas.
Se sr mm , então as retas r e s são concorrentes,
têm um único ponto comum.
Exercícios de Aula
15) (MAPOFEI-SP) Para que valores de k as retas
0161 yxk e 0114 ykx
são paralelas?
16) (FAAP-SP) Ache a equação da reta r que é paralela à reta
0123 yx e que passa pelo ponto 5;2A .
17. Condição de perpendicularismo entre duas retas
Duas retas r e s , não verticais, são perpendiculares se,
e somente se, o produto de seus coeficientes angulares é igual a
1 , isto é:
r s 1sr mm
s
rm
m1
Exercícios de Aula
17) Mostre que as retas 0123: yxr e
0364: yxs são perpendiculares.
18) Obtenha a equação da reta perpendicular a
0175: yxr que passe pelo ponto
5;6 P .
19) Sendo o triângulo com vértices nos pontos 1;0 A ,
3;2B e 4;1C . Calcule a equação da reta-suporte
da altura relativa ao vértice A .
OBSERVAÇÃO
Chamamos de ortocentro de um triângulo ao ponto de encontro de suas três alturas.
Mediatriz de um segmento
A mediatriz do segmento AB é a reta perpendicular a
AB e que passa pelo seu ponto médio.
Exercícios de Aula
20) (FUVEST-SP) São dados os pontos 3;2A e 5;8B ,
determine equação da mediatriz de AB .
Simetria em relação a uma reta
Dizemos que o ponto B é simétrico do ponto A em relação a uma reta r , quando r é a mediatriz do segmento
AB .
Projeção ortogonal
Chamamos de projeção ortogonal de um ponto A sobre
uma reta r , ao ponto médio do segmento AB , do qual a reta r é mediatriz.
Exercícios de Aula
21) (FEI-SP) Determine o ponto 'P , simétrico do ponto
1 ;2P , em relação à reta s , de equação xy 2 .
22) (MAPOFEI-SP) São dados a reta r , de equação
01 yx , e o ponto 2;3P . Determine as
coordenadas da projeção ortogonal de P sobre a reta r .
18. Ângulo entre duas retas Consideremos duas retas concorrentes, r e s , ambas
não-verticais e não perpendiculares entre si, de coeficientes
angulares rm e sm respectivamente.
A tangente do ângulo agudo formado pelas retas r e s é
dada por:
sr
sr
mm
mm
1 tg
OBSERVAÇÕES
O ângulo obtuso é o suplemento de , isto é,
º180 .
Caso Particular: se a reta s for vertical, então:
rm
1 tg
Exercícios de Aula
23) Calcule o ângulo agudo formado entre as retas
053: yxr e 032: yxs .
24) Calcule o menor ângulo formado pelas retas
0124: yxr e 4: xs .
25) Determine a equação da reta r que passa pelo ponto
4;0A e forma com a reta 023: yxs um
ângulo de º45 .
19. Distância de um ponto à uma reta Consideremos uma reta r cuja equação geral é
0 cbyax e um ponto 00; yxP fora da reta r . A
distância do ponto P à reta r é dada por:
22
00
,
ba
cbyaxd rP
Exercícios de Aula
26) (UFAC) Dê a menor distância entre a reta 2 xy e o
ponto 1;3 .
27) (CESGRANRIO-RJ) O ponto 2;1A é um vértice de
um triângulo eqüilátero ABC , cujo lado BC está sobre
a reta de equação 052 yx . Determine a medida
h da altura desse triângulo.
Distância entre retas paralelas
Dadas duas retas paralelas
0: 1 cbyaxr e 0: 2 cbyaxs . A
distancia entre elas é dada por:
22
21
,
ba
ccd sr
Exercícios de Aula
28) (FUVEST-SP) Calcule a distância entre a reta r de
equação 243 xy , e a reta s , de equação
843 xy , sabendo que r // s.
ATIVIDADES
01) Sejam (r) e (s) retas de equações 04y2x e 032yx , respectivamente.
Em relação ao losango ACBD, sabe-se que:
- os vértices A e B são os interceptos de (r) com os eixos cartesianos;
- o vértice C pertence à reta (s) e dista 6 unidades da reta (r);
- os vértices C e D não são consecutivos.
Em tais condições, a área do losango ACBD é:
a) 512
b) 56
c) 54
d) 24
e) 25
02) Ao observar, em seu computador, um desenho como o apresentado abaixo, um estudante pensou tratar-se de uma curva.
5
2
1 8 x
y
Porém, após aumentar muito a figura, verificou que a tal "curva" era, de fato, um polígono, com o menor perímetro possível, formado por uma quantidade finita de lados, todos paralelos ao eixo x ou ao eixo y. Verificou ainda que esse polígono possuía um lado em cada uma das seguintes retas: x = 1, x = 8, y = 2 e y = 5. Se foi utilizada a mesma unidade de comprimento em ambos os eixos, a medida do perímetro desse polígono é:
a) 10
b) 13
c) 18
d) 20
03) (ENEM) O gráfico mostra o resultado de uma experiência relativa a absorção de potássio pelo tecido da folha de um certo vegetal, em função do tempo e em condições diferentes de luminosidade.
1 2 43
2
4
12
16 no c
laro
no esc
uro
PO
TÁ
SS
IO A
BS
OR
VID
O
tempo (h)
Nos dois casos, a função linear y = mx ajustou-se razoavelmente bem aos dados, daí a referência a m como a taxa de absorção
(geralmente medida em moles por unidade de peso por hora). Com base no gráfico, se m1 é a taxa de absorção no claro e m2 a taxa de absorção no escuro, a relação entre essas duas taxas é:
a) m1 = m2
b) m2 = 2 m1
c) m1 . m2 = 1
d) m1 . m2 = -1
e) m1 = 2 m2
04) Um termômetro descalibrado indica 10ºC quando a temperatura real é 13ºC. Quando indica 20ºC, a temperatura real é de 21ºC. Porém, mesmo estando descalibrado, a relação entre a temperatura real e a temperatura indicada é linear. Assim sendo, a única temperatura em que a leitura do termômetro descalibrado corresponderá à temperatura real é:
a) 22ºC.
b) 23ºC.
c) 24ºC.
d) 25ºC.
e) 26ºC.
05) Considere a reta r, representada na figura abaixo.
Sua equação é:
a) 31yx3
b) 31yx3
c) 31yx3
d) 31yx3
e) 3yx3
06) Sejam x – y = 4, x + y = 0 e y = 2 as equações das retas r, s e t representadas num sistema de eixos cartesianos ortogonais, como mostra o gráfico abaixo.
Se as retas dadas interceptam-se, duas a duas, nos pontos A, B e C, a área do triângulo ABC, em unidades de superfície, é:
a) 6
b) 8
c) 12
d) 14
e) 16
07) Na figura abaixo o quadrado ABCD, de
24 cm de lado, tem os vértices A e D situados, respectivamente, sobre os eixos coordenados x e y.
A reta que contém o lado AB do quadrado tem a equação indicada na alternativa:
a) 2x + y 2 = 0
b) x 2y = 0
c) x + 2y 4 = 0
d) x y 4 = 0
e) x + y + 4 = 0
08) Na figura abaixo estão construídos os gráficos de uma reta e de uma parábola, contendo os pontos indicados. Os pontos
)y,x(P 11 e )y,x(Q 22 são as interseções das
duas linhas representadas.
O valor do produto 2211 yxyx é:
a) 3.430
b) 4.340
c) 43.400
d) 34.300
09) Numa “caça ao tesouro” promovida por uma escola, a equipe azul recebeu a seguinte instrução:
“A próxima pista se encontra numa das cartas numeradas fixadas no edital da cantina. A referida carta tem o número correspondente à distância entre os pontos A e B da figura a seguir”.
s
r :
C (10;-7)
A
B (1;5)
3x-2y-27 = 0
O número contido na carta era:
a) 14.
b) 52 .
c) 15.
d) 10.
e) 5.
10) Para medir a área de uma fazenda de forma triangular, um agrimensor, utilizando um sistema de localização por satélite, encontrou como vértices desse triângulo os pontos A(2,1), B(3,5) e C(7,4) do plano cartesiano, com as medidas em km. A área dessa fazenda, em km², é de:
a) 2
17
b) 17
c) 172
d) 174
e) 2
17
GABARITO
01-A 06-E
02-D 07-D
03-E 08-D
04-D 09-D
05-A 10-A
20. Equação Reduzida da Circunferência
A equação reduzida da circunferência de centro no
ponto 00; yxC e raio R é:
22
0
2
0 Ryyxx
Exercícios de Aula
1) Determine a equação da circunferência cujo centro coincide com a origem do sistema cartesiano e cujo raio mede 5 unidades.
2) Determine a equação da circunferência com centro no ponto
3;2C e que passa pelo ponto 2;1P .
3) (MACK-SP) Determine a equação da circunferência cujo
diâmetro é o segmento de extremidades 8;2A e
0;4B .
4) Determine a equação da circunferência que passa pelos
pontos 4;1A e 2;5B e tem centro sobre a reta
092 yx .
5) Determine a equação da circunferência que passa pelos
pontos 2;1 , 2;3 e 0;3 .
OBSERVAÇÃO
Chamamos de pontos de ordenada e abscissa máxima e mínima de uma circunferência aos pontos.
Ordenada Máxima: RyxOmáx 00;
Ordenada Mínima: RyxOmín 00;
Abscissa Máxima: 00 ; yRxAmáx
Abscissa Mínima: 00 ; yRxAmín
6) Calcule os pontos de abscissa e ordenada máxima e mínima
da circunferência cujo centro é o ponto 1;2 C e raio 2.
21. Equação Geral da Circunferência
A equação geral da circunferência de centro no ponto
00; yxC e raio R é:
022 CByAxyx
onde: 02xA , 02yB e 22
0
2
0 RyxC
22. Cálculo do Centro e do Raio da Circunferência
O centro da circunferência de equação
022 CByAxyx é o ponto:
2,
2
BAC
e o raio é dado por:
CyxR 2
0
2
0
OBS: As fórmulas acima só podem ser usadas quando os
coeficientes de 2x e
2y são iguais a 1.
Exercícios de Aula
7) Determine a equação geral da circunferência com centro no
ponto 2;1 e raio 3r .
8) Determine o centro e o raio da circunferência de equação
0198422 yxyx .
9) Calcule o centro e o raio da circunferência gerada pela
equação 098444 22 yxyx , caso ela
gere uma circunferência.
23. Condições para a validade da equação da Circunferência
A equação 022 CByAxyx
representa uma circunferência se:
a) Os coeficientes de 2x e
2y são iguais e não nulos.
b) 02
0
2
0 Cyx
c) Não pode existir termo em xy .
Exercícios de Aula
10) Determine o maior inteiro k para que a equação
06422 kyxyx represente uma
circunferência.
11) (UFPB) Sabendo que a equação
094322 yCxyByx representa uma
circunferência, calcule o valor de CB3 .
24. Posições relativas entre ponto e circunferência
Dados o ponto PP yxP , e a circunferência
de equação 22
0
2
0 Ryyxx , três
casos podem ocorrer:
CASO I) O ponto P é externo à circunferência . Nesse
caso, a distância do ponto P até o centro C da circunferência
é maior do que o raio, isto é:
RdPC
CASO II) O ponto P pertence à circunferência . Nesse caso,
a distância do ponto P até o centro C da circunferência é
igual ao raio, isto é:
RdPC
CASO III) O ponto P é interno à circunferência . Nesse caso,
a distância do ponto P até o centro C da circunferência é
menor do que o raio, isto é:
RdPC
Exercícios de Aula
12) Quais as posições dos pontos 3;2A , 6;4B e
2;4C em relação à circunferência
020822 xyx .
13) Determine m de modo que o ponto 3;4A seja externo à
circunferência de equação
02422 myxyx .
OBSERVAÇÃO
Seja a circunferência 22
0
2
0: Ryyxx :
Os pontos do plano interiores a ela são definidos pela expressão:
22
0
2
0 Ryyxx
Os pontos do plano exteriores à ela são definidos pela expressão:
22
0
2
0 Ryyxx
25. Posições relativas entre reta e circunferência
Dadas uma reta 0 : cbyaxr e uma
circunferência de centro no ponto 00; yxC e raio R,
três casos podem ocorrer:
CASO I) A reta r é externa à circunferência . Nesse caso, a
distância do centro C à reta r é maior do que o raio R, isto é:
Rd rC ,
A reta r e a circunferência não têm ponto comum.
CASO II) A reta r é tangente à circunferência . Nesse caso,
a distância do centro C à reta r é igual ao raio R, isto é:
Rd rC ,
A reta r e a circunferência tem um ponto comum.
CASO III) A reta r é secante à circunferência . Nesse caso,
a distância do centro C à reta r é menor do que o raio R, isto é:
Rd rC ,
A reta r e a circunferência têm dois pontos comuns.
OBSERVAÇÃO
Podemos também encontrar a posição relativa entre reta e circunferência resolvendo a equação gerada pelo sistema entre a equação da reta e a equação da circunferência.
Exercícios de Aula
14) Determine a posição da reta 03 : yxr em
relação à circunferência
01324 : 22 yxyx .
15) Determine os valores de m de modo que a reta de
equação 034 myx , e a circunferência de
equação 042422 yxyx sejam
tangentes.
16) Determine a equação da circunferência com centro no ponto
3;1C e que é tangente à reta s , de equação
02 yx .
17) Ache o comprimento da corda determinada pela reta
04 yx sobre a circunferência 1622 yx .
18) Determine as coordenadas dos pontos de intersecção da
circunferência de equação 09822 xyx com
os eixos coordenados. Determine também o comprimento das cordas determinadas pelos eixos nas circunferências.
19) Determine a equação da reta tangente em 2;5T à
circunferência de equação
0276222 yxyx .
20) Determine as equações das retas tangentes à circunferência
de equação 42122 yx e que são
paralelas à reta de equação 0243 yx .
21) Determine as equações das retas tangentes à circunferência
de equação 44 22 yx e que são
perpendiculares à reta de equação 0243 yx .
ATIVIDADES
01) Os pontos A = (0, 0) e B = (3, 0) são vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD situado
no primeiro quadrante. O lado AD é perpendicular à reta y = - 2x e o ponto D pertence
à circunferência de centro na origem e raio 5 .
Então, as coordenadas de C são:
a) (6, 2)
b) (6, 1)
c) (5, 3)
d) (5, 2)
e) (5, 1)
02) Na figura abaixo tem-se o hexágono regular ABCDEF, inscrito na circunferência de equação x² + y² – 4x – 6y – 3 = 0.
x
y
. A
BC
D
E F
A medida do segmento CF é igual a
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) 4
03) A circunferência de centro no ponto (-2,-2) e tangente aos eixos coordenados é interceptada pela bissetriz do 3o quadrante, conforme a figura abaixo.
.P
x
y
-2
-2
O ponto P, assinalado na figura, tem coordenadas:
a) x = -2 3 ; y = -2 3
b) x = -2 - 3 ; y = -2 - 3
c) x = -2 2 ; y = -2 2
d) x = -2 - 2 ; y = -2 - 2
04) (ENEM) No chamado meio ambiente
urbano, as praças públicas são bens de uso
comum, contribuindo para o embelezamento das
cidades, auxiliando sobremaneira na melhoria das
condições sanitárias e higiênicas dos núcleos
urbanos e promovendo o intercâmbio social e
cultural. Na figura abaixo, observa-se que algumas
ruas atravessam a praça, outras a tangenciam em
um único ponto e outras nem passam por ela.
Considere uma praça circular delimitada por uma
circunferência de equação 016y8x4yx 22 e
uma das ruas representada pela equação
0 4 3y 4x .
De acordo com os textos e seus
conhecimentos, é correto afirmar que a rua
representada pela equação acima
a) tangencia a praça no ponto A(2, 4).
b) tangencia a praça no ponto A(4, 8).
c) não atravessa a praça.
d) tangencia a praça no ponto A(2, 4).
e) atravessa a praça.
f) I.R.
05) Dados os pontos A (1,1), B o vértice da parábola cuja equação é dada por y = – x2 + 8x – 15 e C o centro da circunferência cuja equação é dada por x2 + y2 – 2x – 10y + 22 = 0. Então, a área do triângulo ABC, em unidades de área, é igual a:
a) 12.
b) 6.
c) 8.
d) 16.
e) 4.
06) A equação da circunferência cuja representação cartesiana está indicada pela figura abaixo é:
40
-3
y
x
a) x2 + y2 – 3x – 4y = 0
b) x2 + y2 + 6x + 8y = 0
c) x2 + y2 + 6x – 8y = 0
d) x2 + y2 + 8x – 6y = 0
e) x2 + y2 – 8x + 6y = 0
07) O esboço que melhor representa a figura obtida ao girar o gráfico da equação
0yx2x 22 , x1, em torno do eixo das
abscissas, é
a)
b)
c)
d)
08) Analise as afirmações abaixo, considerando
a figura que representa uma circunferência de centro C(1,3) e raio 5r , escrevendo V para verdadeira e F para falsa.
( ) O ponto P(4,7) pertence à circunferência
.
( ) Os pontos de intersecção de com o eixo x são M(5,0) e N(-3,0).
( ) O ponto Q(3,8) é interior à circunferência
.
( ) O ponto de que possui ordenada máximo é A(1,8).
( ) A equação da circunferência é
5 3) (y 1) (x 22 .
3
0 1 x
y
C
A seqüência correta, de cima para baixo, é:
a) F - V - F - V - V
b) V - V - F - V - F
c) V - F - V - V - F
d) V - V - V - F - F
e) F - V - F - V - F
GABARITO
01-E 05-B
02-A 06-C
03-D 07-A
04-E 08-B
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
ATIVIDADES
01-Um fazendeiro comprou vacas de duas raças diferentes, a um custo total de R$ 10.000,00. Se cada vaca de uma das raças
custou R$ 250,00 e cada uma da outra raça custou R$ 260,00, o total de vacas compradas pelo fazendeiro foi:
a) 25
b) 30
c) 32
d) 41
e) 39
02-(ENEM)Um senhor feudal construiu um fosso, circundado por muros, em volta de seu castelo, conforme a planta abaixo, com uma ponte para atravessa-lo. Em um certo dia, ele deu um volta completa no muro externo, atravessou a ponte e deu uma volta completa no muro interno. Esse trajeto foi completado em 5320 passos. No dia seguinte, ele deu duas voltas completas no muro externo, atravessou a ponte e deu uma volta completa no muro interno, completando esse novo trajeto em 8120 passos. Pode-se concluir que a largura L do fosso, em passos, é:
fosso
ponte
muro externo
muro interno
LL
L
L
a) 36
b) 40
c) 44
d) 48
e) 50
03-Um pai realizou duas festas de aniversário para seus filhos e, entre salgadinhos e refrigerantes, gastou R$ 250,00 em uma festa e R$ 150,00 em outra. A festa que teve menor custo foi realizada com 50% dos salgadinhos e 75% dos refrigerantes da outra. Sabendo-se que o preço unitário do salgadinho e do refrigerante foi o mesmo para ambas as festas, qual foi o total gasto com refrigerantes nas duas festas?
a) R$ 225,00
b) R$ 200,00
c) R$ 150,00
d) R$ 175,00
04-Abaixo há um quadrado mágico incompleto. Nele, a soma dos números de cada linha, coluna ou diagonal é sempre 34.
x y15 14
6 7x
10 11 5
13
Preenchendo-se corretamente o quadrado, o número que deve ser colocado na célula sombreada é
a) 12
b) 11
c) 10
d) 9
e) 8
05-No alvo representado pela figura abaixo, uma certa pontuação é dada para a f lecha que cai na região sombreada S e outra para a flecha que cai no círculo central R.
3
R
S
Diana obteve 17 pontos, lançando três flechas, das quais uma caiu em R e duas em S. Guilherme obteve 22 pontos, lançando o mesmo número de flechas, das quais uma caiu em S e duas em R. Considerando-se o desempenho dos dois arremessadores, pode-se afirmar que o número
de pontos atribuídos a cada flecha que cai na região S é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
06- (ENEM) Um comerciante gastou R$250,00, adquirindo as mercadorias A e B para revender. Observando a tabela abaixo, calculou e comprou o número de unidades de A e B para obter o lucro máximo.
MercadoriaPreço por unidade(R$)
de custo de venda
máximo de unidades liberado para o comerciante
A
B
1,00
2,00
2,50
3,00 200
100
Com a venda de todas unidades compradas, o lucro máximo, em reais, foi:
a) 225
b) 250
c) 275
d) 325
07-Numa determinada empresa, vigora a seguinte regra, baseada em acúmulo de pontos. No final de cada mês, o funcionário recebe: 3 pontos positivos, se em todos os dias do mês ele foi pontual no trabalho, ou 5 pontos negativos, se durante o mês ele chegou pelo menos um dia atrasado. Os pontos recebidos vão sendo acumulados mês a mês, até que a soma atinja, pela primeira vez, 50 ou mais pontos, positivos ou negativos. Quando isso ocorre, há duas possibilidades: se o número de pontos acumulados for positivo, o funcionário recebe uma gratificação e, se for negativo, há um desconto em seu salário. Se um funcionário acumulou exatamente 50 pontos positivos em 30 meses, a quantidade de meses em que ele foi pontual, no período, foi:
a) 15.
b) 20.
c) 25.
d) 26.
e) 28.
08-João, Maria e Antônia tinham, juntos, R$ 100.000,00. Cada um deles investiu sua parte por um ano, com juros de 10% ao ano. Depois de creditados seus juros no final desse ano, Antônia passou a ter R$ 11.000,00 mais o dobro do novo capital de João. No ano seguinte, os três reinvestiram seus capitais, ainda com juros de 10% ao ano. Depois de creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o novo capital de Antônia era igual à soma dos novos capitais de Maria e João. Qual era o capital inicial de João?
a) R$ 20.000,00
b) R$ 22.000,00
c) R$ 24.000,00
d) R$ 26.000,00
e) R$ 28.000,00
09-A linha poligonal com extremidades nos pontos P e Q é formada por segmentos horizontais e segmentos verticais. Se cada segmento horizontal mede 3m e cada segmento vertical mede 3,2m, a medida do segmento cujas extremidades são P e Q é:
a) 28m
b) 24m
c) 20m
d) 16m
10-A fim de arrecadar fundos para obras sociais, um grupo de amigos promoveu um almoço beneficente em que adultos pagaram R$6,00 e crianças somente R$3,00. Entre adultos e crianças, compareceram 100 pessoas e o total arrecadado foi de R$555,00. Compareceram ao almoço um total de:
a) 20 crianças.
b) 15 crianças.
c) 25 crianças.
d) 30 crianças.
11-Estados Unidos, China, Rússia, Austrália e Japão foram, nesta ordem, os cinco países mais bem colocados nas Olimpíadas de Atenas/2004.
- O total de medalhas de Estados Unidos, China e Rússia foi 258.
- O total de medalhas de China, Rússia e Austrália foi 204.
- Estados Unidos e Austrália somaram 152 medalhas.
O total de medalhas conquistadas pela Austrália foi:
a) 37
b) 45
c) 49
d) 51
e) 63
12-Em uma mesa de uma lanchonete, o consumo de 3 sanduíches, 7 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 31,50. Em outra mesa, o consumo de 4 sanduíches, 10 xícaras de café e 1 pedaço de torta totalizou R$ 42,00. Então, o consumo de 1 sanduíche, 1 xícara de café e 1 pedaço de torta totaliza o valor de:
a) R$ 17,50.
b) R$ 16,50.
c) R$ 12,50.
d) R$ 10,50.
e) R$ 9,50.
13-(ENEM) Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília – DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta
com extremidades em DF e em 4.
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135o graus no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em: A) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba. B) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador. C) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho. D) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro. E) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
GABARITO
01-E 02-B 03-D 04-D 05-C 06-A
07-C 08-A 09-A 10-B 11-C 12-D
13-B