notas de aula de geometria riemanniana

Notas de Aula

Geometria Riemanniana

Rodney Josue Biezuner 1

Departamento de MatematicaInstituto de Ciencias Exatas (ICEx)

Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)

Notas de aula do curso Geometria Riemanniana do Programa de Pos-Graduacao em Matematica.

5 de setembro de 2017

1E-mail: [email protected]; homepage: http://www.mat.ufmg.br/~rodney.

mailto:[email protected]

http://www.mat.ufmg.br/~rodney

Sumario

0 Introducao 40.1 Variedades Diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2 Aplicacoes Diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.2.1 Particoes da Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.3 Vetores Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

0.3.1 Vetores Tangentes a Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.3.2 Vetores Tangentes como Derivacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100.3.3 Diferencial de uma Aplicacao Diferenciavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

0.4 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120.4.1 Diferencial em Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

0.5 Fibrado Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140.6 Fibrados Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140.7 Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150.8 Colchete de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170.9 Derivada de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200.10 Campos Vetoriais que Comutam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230.11 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1 Tensores 281.1 Vetores Contravariantes e Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.1.1 Significado Real do Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2 Vetores e Covetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.2.1 Mudanca de Coordenadas em Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.2.2 Covetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.2.3 O Espaco Bidual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.2.4 Convencao da Soma de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.3 Vetores e Covetores Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.3.1 Mudanca de Coordenadas no Espaco Tangente TpM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.3.2 Covetores Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.4 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.4.1 Definicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.4.2 Produto Tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.4.3 Mudanca de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.4.4 Traco de Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.5 Fibrados Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451.6 Campos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1


2 Metricas Riemannianas 472.1 Definicao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2 Comprimentos e Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.2.1 Comprimentos de Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2.2 Volumes em Variedades Riemannianas Orientaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3 Grupos de Lie e Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3 Conexoes Riemannianas 613.1 Conexoes e Derivada Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2 Derivada Covariante ao longo de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3 Transporte Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.4 Conexoes Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.4.1 Conexao Compatıvel com a Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.4.2 Conexao Simetrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4.3 Sımbolos de Christoffel da Conexao Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.4.4 Interpretacao Geometrica da Derivada Covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4 Geodesicas 774.1 Definicao – A Equacao Geodesica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2 Exemplos de Geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.3 Fluxo Geodesico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.4 A Aplicacao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.5 Propriedades Minimizantes das Geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.5.1 Variacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.5.2 Lema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.5.3 Geodesicas minimizam distancias localmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.6 Vizinhancas Convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.7 Funcao Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.8 Variedades Completas e Teorema de Hopf-Rinow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.9 Apendice: Geodesicas atraves do Metodo Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.10 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5 Curvatura 1045.1 Mais sobre Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.2 O Tensor Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.2.1 O Endomorfismo Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.2.2 O Significado da Curvatura Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065.2.3 Operacao de Subir ou Descer um Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2.4 O Tensor Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.3 Curvatura de Ricci e Curvatura Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.4 Curvatura Seccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.5 Variedades de Curvatura Seccional Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.6 Apendice: Motivacao para a definicao do tensor curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.6.1 Curvatura como uma medida da aceleracao relativa de trajetorias geodesicas . . . . . 1325.6.2 Curvatura como uma medida do transporte paralelo em trajetorias fechadas . . . . . . 136

5.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6 Derivada Covariante de Campos Tensoriais 1406.1 Conexao nos Fibrados Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.2 Derivada Covariante Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

6.2.1 Divergencia de Campos Tensoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156


7 Campos de Jacobi 1597.1 A Equacao de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.2 Campos de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.3 Campos de Jacobi em Variedades de Curvatura Seccional Constante . . . . . . . . . . . . . . 1667.4 Velocidade de Afastamento das Geodesicas e Curvatura Seccional . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.5 Pontos Conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

8 Formulas de Variacao 1748.1 Formula da Primeira Variacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758.2 Formula da Segunda Variacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1808.3 A Forma Indice de uma Geodesica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1828.4 Geodesicas nao minimizam apos passarem por pontos conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . 1848.5 Teorema do Indice de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

9 Curvatura e Topologia 1929.1 Alguns Resultados de Comparacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1929.2 Variedades de Curvatura Seccional Negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

9.2.1 Aplicacoes de Recobrimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1959.2.2 O Teorema de Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

9.3 Variedades de Curvatura Seccional Positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979.3.1 Teorema de Bonnet-Myers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1979.3.2 Teorema de Synge-Weinstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1999.3.3 Teorema da Comparacao de Rauch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

9.4 Existencia de Geodesicas Fechadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2119.5 Classificacao das Variedades de Curvatura Seccional Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 2129.6 Grupo Fundamental de Variedades Compactas de Curvatura Seccional Negativa . . . . . . . . 216

10 Imersoes Isometricas e Subvariedades Riemannianas 22310.1 A Segunda Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22410.2 Equacoes Fundamentais de uma Imersao Isometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22510.3 Hiperfıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22710.4 Imersoes Totalmente Geodesicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22910.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

11 Grupos de Isometria 23111.1 Derivada de Lie de Campos Tensoriais Covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23111.2 Campos de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23111.3 Algebra de Lie dos Campos de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Capıtulo 0

Introducao

0.1 Variedades Diferenciaveis

0.1 Definicao. Seja M um espaco topologico de Hausdorff com base enumeravel. Um atlas de dimensao n(ou sistema de coordenadas) para M e uma famılia

Φ = ϕαα∈A

de homeomorfismos ϕα : Uα −→ Vα de um aberto Uα ⊂ Rn sobre um aberto Vα de M para cada α ∈ A,satisfazendo as seguintes condicoes:

(i) Os abertos Vα cobrem M , isto e, ⋃α∈A

Vα = M.

(ii) Para todos ındices α, β ∈ A tais que Vαβ = Vα ∩ Vβ 6= ∅, as funcoes de transicao

ϕαβ = ϕ−1β ϕα : ϕ−1

α (Vαβ) −→ ϕ−1β (Vαβ) ,

ϕβα = ϕ−1α ϕβ : ϕ−1

β (Vαβ) −→ ϕ−1α (Vαβ) ,

sao diferenciaveis de classe C∞.Cada aplicacao ϕα e chamada uma carta (ou uma parametrizacao ou um sistema de coordena-

das locais) para uma vizinhanca de M , denotada (ϕα, Uα), e Vα = ϕα (Uα) e chamada uma vizinhancacoordenada.

Se p = ϕα (x1, . . . , xn), entao x1, . . . , xn sao chamadas as coordenadas locais de p na carta ϕα.Uma estrutura diferenciavel para M e um atlas maximal.Uma variedade diferenciavel de dimensao n e um espaco topologico de Hausdorff com base enumeravel

munido de uma estrutura diferenciavel.

Em outras palavras, uma variedade diferenciavel e uma variedade topologica em que as mudancas de coorde-nadas de um sistema de coordenadas local para outro sao diferenciaveis. Observe que o que definimos comovariedade diferenciavel e chamado variedade suave em outros lugares. Em Geometria Riemanniana, variosconceitos importantes necessitam derivadas de varias ordens, portanto costuma-se trabalhar com variedadessuaves desde o inıcio e nao com variedades diferenciaveis de classe Ck, para nao ter que especificar a todomomento o valor de k necessario para que certo conceito possa ser definido ou para que certo teorema facasentido. Requerer que o atlas seja maximal e incluir no atlas todas as cartas locais que sao compatıveiscom o atlas, isto e, um atlas Φ = ϕαα∈A e maximal se sempre que ϕ : U −→ V e um homeomorfismo deum aberto U ⊂ Rn sobre um aberto V de M tal que ϕ−1 ϕα e ϕ−1

α ϕ sao diferenciaveis para todo α ∈ A,entao ϕ ∈ Φ; por definicao, o atlas maximal e unico. Esta e uma maneira mais simples de definir o conceito

4


de estrutura diferenciavel, do que definir estruturas diferenciaveis como classes de equivalencia de atlas com-patıveis, ou seja, de atlas tais que as cartas de sao todas compatıveis com as cartas do outro; uma funcaodefinida em uma variedade diferenciavel e diferenciavel (veremos a definicao logo a seguir) com relacao a doisatlas diferentes se e somente se eles sao compatıveis, portanto atlas compatıveis definem a mesma estruturadiferenciavel neste sentido. Se uma variedade topologica possui uma estrutura diferenciavel (toda variedadetopologica de dimensao n 6 3 possui, mas para toda dimensao n > 4 existem variedades topologicas compac-tas que nao possuem) ela possui uma quantidade nao enumeravel de estruturas diferenciaveis (veja [Lee 1],p. 30, Problem 1.6). Por outro lado, a estrutura diferenciavel de uma variedade diferenciavel e unica, nosentido que todo atlas diferenciavel esta contido em um unico atlas maximal (para uma demonstracao, veja[Lee 1], p. 13, Proposition 1.17).

Surpreendentemente, a condicao de ser de Hausdorff (que assegura, entre outras coisas, que conjuntosfinitos de pontos sao fechados e que limites de sequencias convergentes sao unicos) nao e implicada peladefinicao (veja Exercıcio 0.45). A condicao de possuir uma base enumeravel garante a existencia de particoesda unidade. Por outro lado, dado um conjunto X, uma estrutura diferenciavel sobre X determina umatopologia para X (veja Exercıcio 0.46). Observe que toda variedade diferenciavel e localmente conexa porcaminhos e que uma variedade diferenciavel e conexa se e somente se ela e conexa por caminhos (Exercıcio0.47). Alem disso, toda variedade diferenciavel e paracompacta, isto e, toda cobertura de uma variedadediferenciavel por abertos admite uma subcobertura localmente finita; mais que isso, esta subcobertura podeser tomada enumeravel (veja [Lee 1] para demonstracoes destas afirmacoes).

Quando nos referirmos a uma variedade diferenciavel, assumimos que ela esta munida de uma estruturadiferenciavel. Denotaremos as vezes uma variedade diferenciavel M de dimensao n por Mn quando fornecessario especificar a dimensao da variedade. Tambem denotaremos uma carta do atlas por (ϕ,U) quandoa sua imagem nao for importante nas consideracoes.

0.2 Aplicacoes Diferenciaveis

0.2 Definicao. Seja Mn uma variedade diferenciavel. Dizemos que uma funcao f : M −→ Rk e uma funcaodiferenciavel se para todo p ∈M existe uma carta (ϕ,U) de uma vizinhanca de p tal que

f ϕ : U ⊂ Rn −→ Rk

e uma funcao diferenciavel de classe C∞.

Observe que se f ϕ e diferenciavel para uma carta (ϕ,U) de uma vizinhanca de p, entao para qualquercarta (ψ, V ) de uma vizinhanca de p temos que f ψ e diferenciavel, pois

f ψ = f ϕ (ϕ−1 ψ

)e ψ−1 ϕ e um difeomorfismo. A funcao f ϕ e chamada uma representacao de f em coordena-das. Frequentemente omitimos a carta ϕ quando trabalhamos com a representacao de f em coordenadas eescrevemos

f (x1, . . . , xn)

ao inves de(f ϕ) (x1, . . . , xn) .

0.3 Definicao. Se M e uma variedade diferenciavel, definimos o espaco vetorial

C∞ (M) = f : M −→ R : f e diferenciavel .

C∞ (M) e um espaco vetorial porque a combinacao linear de funcoes diferenciaveis e uma funcao diferenciavel.


0.4 Definicao. Sejam Mm e Nn variedades diferenciaveis. Dizemos que uma aplicacao F : M −→ N euma aplicacao diferenciavel se para todo p ∈ M existem cartas (ϕ,U) de uma vizinhanca de p e (ψ, V )de uma vizinhanca de F (p) com F (ϕ (U)) ⊂ ψ (V ) tais que

ψ−1 F ϕ : U ⊂ Rm −→ Rn

e uma aplicacao diferenciavel de classe C∞.

Novamente observamos que se ψ−1 F ϕ e diferenciavel para as cartas (ϕ,U) , (ψ, V ), entao para quaisquer

cartas(ϕ, U

)de uma vizinhanca de p e

(ψ, V

)de uma vizinhanca de F (p) tais que F

(ϕ(U)

)⊂ ψ

(V)

temos que ψ−1 F ϕ e diferenciavel, pois

ψ−1 F ϕ = (ψ−1 ψ) ψ−1 F ϕ (ϕ−1 ϕ

)e ϕ−1ϕ, ψ−1ψ sao difeomorfismos. A aplicacao ψ−1F ϕ e uma representacao de F em coordenadas.

Ressaltamos de novo que o que definimos como funcao diferenciavel e aplicacao diferenciavel sao chamadasfuncao suave e aplicacao suave em outros lugares.

0.5 Definicao. Dizemos que uma aplicacao diferenciavel F : M −→ N e um difeomorfismo se F e umhomeomorfismo e F−1 tambem e diferenciavel.

Se existir um difeomorfismo entre duas variedades diferenciaveis M e N , dizemos que elas sao difeomor-fas.

Se duas variedades diferenciaveis sao difeomorfas, em particular elas possuem a mesma dimensao.O conceito de difeomorfismo leva naturalmente a perguntar se, dada uma variedade diferenciavel, estru-

turas diferenciaveis diferentes sobre ela definem sempre duas variedades diferenciaveis difeomorfas ou nao.A resposta e que para variedades diferenciaveis de dimensao n 6 3 existe apenas uma estrutura diferenciavela menos de difeomorfismo, enquanto que mesmo R4 tem um numero nao enumeravel de estruturas dife-renciaveis nao difeomorfas; sabe-se que esferas de dimensao ate n = 20, n 6= 4, possuem um numero finito deestruturas diferenciaveis a menos de difeomorfismo e este numero e conhecido (veja referencias em Wikipediae [Lee 1], p. 40). Quantas estruturas diferenciaveis difeomorfas S4 possui (ou mesmo se este numero e maiorque 1 ou finito) e uma questao em aberto, a conjectura de Poincare generalizada.

Uma das aplicacoes diferenciaveis mais importantes entre variedades sao as curvas diferenciaveis:

0.6 Definicao. Uma curva diferenciavel em uma variedade diferenciavel M e uma aplicacao diferenciavelα : I −→M onde I ⊂ R e um intervalo.

0.2.1 Particoes da Unidade

0.7 Definicao. Seja V = Vαα∈A uma cobertura por abertos de uma variedade diferenciavel M . Umaparticao da unidade subordinada a V e uma colecao ραα∈A de funcoes diferenciaveis ρα : M −→ Rtais que

(i) 0 6 ρα 6 1.(ii) supp ρα ⊂ Vα.(iii) supp ραα∈A e localmente finita (todo ponto em M possui uma vizinhanca que intersecta apenas

um numero finito destes suportes).(iv)

∑α∈A

ρα = 1.

0.8 Teorema (Existencia de Particoes da Unidade). Toda cobertura por abertos de uma variedadediferenciavel possui uma particao da unidade subordinada.

Prova: Veja [Lee 2], p. 43, Theorem 2.23.


0.9 Corolario (Existencia de Funcoes Bump). Dados um fechado A e um aberto V ⊃ A em umavariedade diferenciavel M , existe uma funcao diferenciavel f : M −→ R tal que

(i) 0 6 f 6 1.(ii) f ≡ 1 em A.(iii) supp f ⊂ V.

0.10 Corolario (Lema de Extensao). Dados um fechado A, um aberto V ⊃ A em uma variedade dife-

renciavel M e uma funcao diferenciavel f : A −→ Rk existe uma extensao diferenciavel f : M −→ Rk de ftal que supp f ⊂ V .

Em particular, se (ϕ,U) e uma carta local e V ⊂⊂ ϕ (U), qualquer funcao diferenciavel f : V −→ Rk

pode ser estendida a uma funcao diferenciavel f : M −→ Rk com supp f ⊂ ϕ (U).

Prova: Para a primeira parte veja [Lee 2], p. 45, Lemma 2.26. A segunda parte segue imediatamente daprimeira, ja que V ⊂ U e fechado.

0.3 Vetores Tangentes

Consideremos agora a questao de como definir a nocao de vetor tangente a um ponto em uma variedadediferenciavel. Esta nocao nao e obvia, ja que uma variedade e um espaco abstrato que nao se encontra emprincıpio imerso em um espaco ambiente, ou seja, em um espaco euclidiano, onde operacoes diferenciais evetoriais sao naturais. Portanto, precisamos procurar uma caracterıstica de vetores tangentes em espacoseuclidianos que independa do espaco ambiente. Faremos isso em duas etapas, aumentando em abstracao atechegar a uma definicao que provara ser extremamente conveniente de trabalhar.

0.3.1 Vetores Tangentes a Curvas

No que se segue, denotaremos as derivadas parciais de funcoes reais f de varias variaveis reais por

∂f

∂xiou ∂if

conforme for mais conveniente.Quando α : I −→ Rn e uma curva diferenciavel em um espaco euclidiano, com α (t0) = p e α′ (t0) = v,

escrevendo em coordenadasα (t) =

(x1 (t) , . . . , xn (t)

),

temos que

α′ (t) =

(dx1

dt(t) , . . . ,

dxn

dt(t)

),

e em particular

v = α′ (t0) =

(dx1

dt(t0) , . . . ,

dxn

dt(t0)

).

Se f : Rn −→ R e uma funcao diferenciavel em p, entao a derivada direcional de f em p na direcao de v edada pela regra da cadeia por

(f α)′(t0) = dfα(t0)α

′ (t0) =

n∑i=1

∂f

∂xi(p)

dxi

dt(t0) =

[n∑i=1

dxi

dt(t0)

∂

∂xi

]f (p) ,

o que significa que a derivada direcional na direcao de v pode ser vista como um operador linear sobre funcoesdiferenciaveis que depende apenas do vetor v.


0.11 Definicao (Preliminar). Seja α : I −→ M uma curva diferenciavel com α (t0) = p. O vetortangente a curva α em p e uma funcao vp : C∞ (M) −→ R definida por

vp (f) = (f α)′(t0) .

Um vetor tangente a variedade M em p e qualquer vetor tangente a uma curva diferenciavel passandopor p.

Ou seja, cada curva diferenciavel em M passando por p da origem a um vetor tangente em p. E claro quecurvas diferenciaveis diferentes α, β : I −→ M com α (t0) = β (s0) = p podem dar origem ao mesmo vetortangente: basta que

(f α)′(t0) = (f β)

′(s0)

para todo f .

0.12 Proposicao. Um vetor tangente vp : C∞ (M) −→ R e um funcional linear e o conjunto dos vetorestangentes a uma variedade em um ponto formam um espaco vetorial real n-dimensional.

Prova: Seja (ϕ,U) uma carta de uma vizinhanca de p com ϕ (x0) = p. Sejam α : I −→ M uma curvadiferenciavel com α (t0) = p e vp o vetor tangente a α em p. Dado f ∈ C∞ (M), temos

vp (f) = (f α)′(t0)

=(f ϕ ϕ−1 α

)′(t0)

= d (f ϕ)x0

(ϕ−1 α

)′(t0)

=

n∑i=1

∂ (f ϕ)

∂xi(x0)

dxi

dt(t0) ,

onde denotamos(ϕ−1 α

)(t) =

(x1 (t) , . . . , xn (t)

)em coordenadas locais. Segue que para todos f, g ∈

C∞ (M) e para todos a, b ∈ R temos

vp (af + bg) =

n∑i=1

∂ ([af + bg] ϕ)

∂xi(x0)

dxi

dt(t0)

= a

n∑i=1

∂ (f ϕ)

∂xi(x0)

dxi

dt(t0) + b

n∑i=1

∂ (g ϕ)

∂xi(x0)

dxi

dt(t0)

= avp (f) + bvp (g) ,

de modo que vp : C∞ (M) −→ R e um funcional linear.Para mostrar que o conjunto dos vetores tangentes a M em p formam um espaco vetorial e que este tem

dimensao n, mostraremos que todo vetor tangente e a combinacao linear de n vetores tangentes linearmenteindependentes ∂1|p , . . . , ∂n|p a serem definidos e que, alem disso, qualquer combinacao linear dos vetorestangentes ∂1|p , . . . , ∂n|p e um vetor tangente (embora combinacoes lineares de funcionais lineares sejamsempre funcionais lineares, nada garante em princıpio que um tal funcional linear e um vetor tangente; defato, depois que provarmos que o espaco vetorial dos vetores tangentes tem dimensao n, segue que ele e umsubespaco vetorial proprio do espaco vetorial dos funcionais lineares de C∞ (M), pois este tem dimensaoinfinita).

De fato, reescreva a expressao obtida acima para vp (f) na forma

vp (f) =

n∑i=1

dxi

dt(t0)

∂ (f ϕ)

∂xi(x0) .


Denotando por B = e1, . . . , en a base canonica de Rn, seja αi a curva diferenciavel αi : Ii −→M definidapor

αi (t) = ϕ (x0 + tei) ,

onde Ii e um intervalo aberto em torno de t0 tal que x0 + tei ∈ U para todo t ∈ Ii e denote por ∂i|p o vetortangente a curva αi em p. Como

∂ (f ϕ)

∂xi(x0) = lim

t→0

(f ϕ) (x0 + tei)− (f ϕ) (x0)

t

= (f αi)′ (t0)

= ∂i|p (f) ,

segue que

vp =

n∑i=1

dxi

dt(t0) ∂i|p .

Reciprocamente, se v e o funcional linear

vp =

n∑i=1

ci ∂i|p ,

entao v e o vetor tangente a curva α em p definida por

α (t) = ϕ

(x0 + t

(n∑i=1

ciei

)),

pois, pela regra da cadeia como vimos no inıcio da demonstracao,

(f α)′(0) =

n∑i=1

dxi

dt(0)

∂ (f ϕ)

∂xi(x0) =

n∑i=1

ci ∂i|p (f) = v (f) .

Finalmente, sen∑i=1

ci ∂i|p = 0,

entaon∑i=1

ci∂ (f ϕ)

∂xi(x0) = 0

para todo f ∈ C∞ (M). Definindo para cada j

fj(x1, . . . , xn

)= xj

em um aberto U0 ⊂⊂ U , segue que fj e diferenciavel em U0 e pelo Corolario 0.10 podemos estender fj a

uma funcao diferenciavel fj ∈ C∞ (M). Como

∂(fj ϕ

)∂xi

(x0) =∂ (fj ϕ)

∂xi(x0) = δij ,

escolhendo f = fj obtemos cj = 0 para todo j.

0.13 Proposicao (Regra do Produto). O vetor tangente vp : C∞ (M) −→ R satisfaz a propriedade

vp (fg) = vp (f) g (p) + f (p) vp (g) .


Prova: Seja vp o vetor tangente a curva α em p. Entao

vp (fg) = ((fg) α)′(t0) = [(f α) (g α)]

′(t0)

= (f α)′(t0) (g α) (t0) + (f α) (t0) (g α)

′(t0)

= vp (f) g (p) + f (p) vp (g) .

0.3.2 Vetores Tangentes como Derivacoes

0.14 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel. Um vetor tangente a M em p e um funcional linearvp : C∞ (M) −→ R que tambem e uma derivacao em p, isto e, ele satisfaz a regra do produto

vp (fg) = vp (f) g (p) + f (p) vp (g) .

Note que nesta definicao o conjunto dos vetores tangentes a um ponto p ∈M forma naturalmente um espacovetorial real, pois e um subespaco do espaco vetorial dos funcionais lineares em C∞ (M):

(αvp + βwp) (fg) = αvp (fg) + βwp (fg)

= αvp (f) g (p) + αf (p) vp (g) + βwp (f) g (p) + βf (p)wp (g)

= [(αvp + βwp) (f)] g (p) + f (p) [(αvp + βwp) (g)] .

Mas a dimensao deste espaco nao e imediatamente obvia. Alem disso, nao e claro que todo vetor tangentesegundo esta definicao e um vetor tangente segundo a definicao anterior. Embora seja consequencia dasProposicoes 0.12 e 0.13 que vetores tangentes a curvas sao funcionais lineares em C∞ (M) que sao derivacoes,logo o espaco vetorial dos vetores tangentes segundo a definicao anterior e um subespaco vetorial do espacovetorial dos vetores tangentes segundo a nova definicao, ainda nao sabemos que todo todo funcional linearem C∞ (M) que e uma derivacao e o vetor tangente a alguma curva. Isso provara ser verdade quandoprovarmos que o espaco vetorial dos funcionais lineares em C∞ (M) que sao derivacoes tambem tem dimensaon (Proposicao 0.22). Em outras palavras, as duas definicoes nao sao apenas equivalentes, mas de fato definemo mesmo conceito de vetor tangente. De agora em diante, utilizaremos a Definicao 0.14 para vetor tangente.

0.15 Proposicao. Qualquer vetor tangente vp : C∞ (M) −→ R satisfaz as seguintes propriedades:(i) Se f e uma funcao constante, entao vp (f) = 0.(ii) Se f (p) = g (p) = 0, entao vp (fg) = 0.

Prova: Ambas as propriedades seguem imediatamente da regra do produto. (i) Como vp e linear, bastaprovar para a funcao constante f ≡ 1. Pela regra do produto,

vp (f) = vp (f) f (p) + f (p) vp (f) = 2vp (f) ,

logo vp (f) = 0. (ii) Pela regra do produto, temos

vp (fg) = vp (f) g (p) + f (p) vp (g) = vp (f) 0 + 0vp (g) = 0 + 0 = 0.

Apesar dos vetores tangentes (derivacoes) estarem definidas no espaco global C∞ (M), o proximo resul-

tado mostra que a sua atuacao e local.

0.16 Proposicao. Seja vp : C∞ (M) −→ R um vetor tangente. Se f, g ∈ C∞ (M) coincidem em umavizinhanca de p, entao vp (f) = vp (g).


Prova: Seja h = f − g, de modo que h ∈ C∞ (M) e h = 0 em uma vizinhanca de p. Seja ρ ∈ C∞ (M) umafuncao cujo suporte esta contida em M\ p e que e igual a 1 no suporte de h. Em particular, como ρ = 1onde h e nao nula, segue que ρh = h. Daı, vp (h) = vp (ρh) = 0 pela propriedade (ii) da Proposicao 0.15; oresultado segue agora por linearidade.

0.17 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel. O espaco vetorial dos vetores tangentes a um pontop ∈M e chamado o espaco tangente a M em p e denotado TpM .

0.3.3 Diferencial de uma Aplicacao Diferenciavel

Para definir a diferencial (derivada) de uma aplicacao diferenciavel, usaremos a definicao de vetores tangentescomo derivacoes:

0.18 Definicao. Sejam M e N variedades diferenciaveis e F : M −→ N uma aplicacao diferenciavel emp ∈M . A diferencial de F em p e aplicacao linear

dFp : TpM −→ TF (p)N

definida por[dFp (vp)] (f) = vp (f F )

para todo f ∈ C∞ (N).

Note que como f ∈ C∞ (N) e F e de classe C∞, f F ∈ C∞ (M). dFp (v) e uma derivacao em F (p) porque

dFp (vp) (fg) = vp ((fg) F ) = vp ((f F ) (g F ))

= vp (f F ) g (F (p)) + f (F (p)) vp (g F )

= [dFp (vp) (f)] g (F (p)) + f (F (p)) [dFp (vp) (g)] .

Alem disso, dFp e uma aplicacao linear porque vp e um funcional linear.

0.19 Proposicao (Regra da Cadeia). Sejam M,N,P variedades diferenciaveis e F : M −→ N,G : N −→P aplicacoes diferenciaveis. Entao G F : M −→ P e uma aplicacao diferenciavel e

d (G F )p = dGF (p) dFp.

Prova: Provaremos a segunda parte; a primeira parte e deixada como exercıcio. Por definicao, para todof ∈ C∞ (P ) [

d (G F )p (vp)]

(f) = vp (f (G F )) = vp ((f G) F ) = dFp (vp) (f G)

=[dGF (p) (dFp (vp))

](f) .

0.20 Corolario. Se F : M −→ N e um difeomorfismo, entao dFp e um isomorfismo para cada p ∈ M e

d(F−1

)F (p)

= (dFp)−1

.

0.21 Lema. Seja M uma variedade diferenciavel. Se V e um aberto de M e i : V −→ M e a inclusao,entao dip e um isomorfismo para todo p ∈M .

Prova: Para provar que dip : TpV −→ TpM e injetivo, suponha que dip (vp) = 0 para vp ∈ TpV . SejaW ⊂⊂ V uma vizinhanca de p. Se f ∈ C∞ (V ) e uma funcao diferenciavel arbitraria, considere uma

extensao f ∈ C∞ (M) tal que f = f em W . Como f e f coincidem na vizinhanca W de p, segue daProposicao 0.16 que

vp (f) = vp

(f |V)

= vp

(f i

)= dip (vp)

(f)

= 0.


Como f ∈ C∞ (V ) e arbitraria, isso prova que vp = 0, logo dip e injetiva.Para provar que dip e sobrejetiva, seja wp ∈ TpM um vetor tangente qualquer. Defina uma funcao

v : C∞ (V ) −→ R por

v (f) = wp

(f)

onde f e uma extensao definida como no inıcio da demonstracao. Pela Proposicao 0.16, o valor de w(f)

independe da escolha de f , logo v esta bem definida. E facil ver que v e uma derivacao. Para todo g ∈ C∞ (M)temos

dip (v) (g) = v (g i) = wp

(g i

)= wp (g)

onde a ultima igualdade segue do fato que g i e g coincidem em W . Portanto, dip (v) = wp.

0.22 Proposicao. Se M e uma variedade diferenciavel de dimensao n, entao TpM e um espaco vetorial dedimensao n para todo p ∈M .

Prova: Seja ϕ : U −→ V uma carta para uma vizinhanca V = ϕ (U) ⊂ M de p = ϕ (x). Como ϕ e umdifeomorfismo, segue que dϕx : Rn −→ TpV e um isomorfismo. Como TpV e TpM sao isomorfos pelo lema,segue o resultado. Conforme a discussao que se segue a Definicao 0.14, concluımos que para todo vetor tangente vp ∈ TpMexiste uma curva diferenciavel α : I −→M com α (t0) = p tal que

vp (f) = (f α)′(t0) .

0.23 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel e ϕ : U −→ M uma carta de uma vizinhanca de umponto p ∈ M . A base obtida na demonstracao da Proposicao 0.12 sera chamada a base coordenada doespaco tangente TpM associada a carta ϕ e denotada por

∂1|p , . . . , ∂n|p

ou por∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

quando for conveniente ou necessario explicitar as coordenadas da carta.

0.4 Coordenadas

0.4.1 Diferencial em Coordenadas

Seja B = e1, . . . , en a base canonica de Rn. Se ϕ : U ⊂ Rn −→ V e uma carta para uma vizinhancacoordenada V de p = ϕ (x) ∈M , a base coordenada associada a ϕ e tambem dada por

∂

∂xi

∣∣∣∣p

= dϕx (ei) .

De fato, se f ∈ C∞ (M), entao

∂

∂xi

∣∣∣∣p

(f) =∂ (f ϕ)

∂xi(x) = ei (f ϕ) = dϕx (ei) (f) .

Assim, podemos definir


0.24 Definicao.∂f

∂xi(p) =

∂

∂xi

∣∣∣∣p

(f) =∂ (f ϕ)

∂xi(x) . (1)

Vamos ver agora como e a diferencial de uma aplicacao diferenciavel em coordenadas.Primeiro recordaremos o caso em que as variedades sao espacos euclideanos. Denote por Bm = e1, . . . , em

e Bn = f1, . . . , fn as bases canonicas de Rm e Rn, respectivamente. Observe que se F : U ⊂ Rm −→ Rne uma aplicacao diferenciavel, entao dFx : Rm −→ Rn e a derivada usual para cada x ∈ U e pela regra dacadeia

dFx (ei) (f) = ei (f F ) =∂ (f F )

∂xi(x) =

m∑j=1

∂f

∂xj(F (x))

∂F j

∂xi(x) =

m∑j=1

∂F j

∂xi(x) fj (f) ,

ou seja,

dFx (ei) =

n∑j=1

∂F j

∂xi(x) fj .

Assim, a matriz da diferencial dFx em relacao as bases Bm,Bn e o jacobiano

J =

∂F 1

∂x1. . .

∂F 1

∂xm...

...∂Fn

∂x1. . .

∂Fn

∂xm

=: [dFx]Bm,Bn .

Ou seja, se v =m∑i=1

viei, entao

dFx (v) =

m∑i=1

vidFx (ei) =

n∑j=1

[m∑i=1

vi∂F j

∂xi(x)

]fj ,

isto e,

[dFx (v)]Bn =

∂F 1

∂x1. . .

∂F 1

∂xm...

...∂Fn

∂x1. . .

∂Fn

∂xm

v1

...vm

= J [v]Bm .

No caso geral, se F : Mm −→ Nn e uma aplicacao diferenciavel, sejam ϕ : U ⊂ Rm −→ ϕ (U) , ψ : V ⊂Rn −→ ψ (V ) cartas de vizinhancas de p = ϕ (x) em M e de F (p) = ψ (y) em N , respectivamente, de modoque

F = ψ−1 F ϕ : U ⊂ Rm −→ Rn.

EscrevendoF ϕ = ψ F

temos

dFp

(∂

∂xi

∣∣∣∣p

)= dFp [dϕx (ei)] = dψy

[dFx (ei)

]= dψy

n∑j=1

∂F j

∂xi(x) fj

=

n∑j=1

∂F j

∂xi(x) dψy (fj)

=

n∑j=1

∂F j

∂xi(x)

(∂

∂yj

∣∣∣∣F (p)

).


Portanto, se

Bp =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xm

∣∣∣∣p

.

BF (p) =

∂

∂y1

∣∣∣∣F (p)

, . . . ,∂

∂yn

∣∣∣∣F (p)

,

sao as bases coordenadas de TpM e TF (p)N , respectivamente, entao a matriz que representa a diferencialdFp em relacao a estas bases e

[dFp]Bp,BF (p)=

∂F 1

∂x1. . .

∂F 1

∂xm...

...

∂Fn

∂x1. . .

∂Fn

∂xm

.

0.5 Fibrado Tangente

0.25 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel de dimensao n com um atlas Φ = ϕα : Uα −→Mα∈Ade classe Ck. O fibrado tangente de M e a variedade diferenciavel de dimensao 2n e classe Ck−1

TM = (p, v) : p ∈M e v ∈ TpM

com um atlasΨ = ψα : Uα × Rn −→ TMα∈A

definido por

ψα (x, v1, . . . , vn) =

(ϕα (x) ,

n∑i=1

vi∂i (x)

).

Na definicao acima, o proprio atlas Ψ define a topologia necessaria em TM (Exercıcio 0.46).

0.6 Fibrados Vetoriais

0.26 Definicao. Um fibrado vetorial de ordem k sobre uma variedade diferenciavel M e uma variedadediferenciavel E juntamente com uma aplicacao sobrejetiva diferenciavel π : E −→M tal que

(i) cada fibra Ep = π−1 (p) de E sobre p e um espaco vetorial de dimensao k;(ii) para cada p ∈M existe uma vizinhanca U de p e um difeomorfismo ϕ : π−1 (U) −→ U×Rk, chamado

uma trivializacao local de E, tal que o diagrama seguinte e comutativo:

π−1 (U)ϕ−→ U × Rk

π ↓ π1

U

(π1 : U × Rk −→ U e a projecao na primeira variavel) e tal que ϕ|Ep : Ep −→ p × Rk e um isomorfismode espacos vetoriais.

A variedade E e chamada o espaco total do fibrado, M a base do fibrado e π a sua projecao.


Frequentemente identificamos o espaco total com o fibrado e dizemos simplesmente que E e o fibrado vetorialsobre M . Fibrados tangentes sao exemplos de fibrados vetoriais.

0.27 Definicao. Seja E um fibrado vetorial de dimensao k sobre M . Uma secao de E e uma aplicacaos : M −→ E tal que π s = Id|M .

Em outras palavras, s : M −→ E e uma secao se e somente se s (p) ∈ Ep para todo p ∈M .

0.7 Campos Vetoriais

Considere π : TM −→ M a projecao canonica do fibrado tangente de M sobre M , isto e, π (p, v) = p paratodo v ∈ TpM .

0.28 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel. Um campo vetorial diferenciavel em M e umaaplicacao diferenciavel X : M −→ TM tal que se π X = idM .

Podemos pensar em campos vetoriais como aplicacoes que associam a cada ponto p ∈M um vetor tangenteX (p) ∈ TpM ; frequentemente, denotaremos o vetor tangente X (p) simplesmente por Xp. Em termos de

coordenadas locais, se B =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xm

∣∣∣∣p

e a base do espaco tangente TpM associada a uma carta

ϕ : U −→M para pontos p ∈ ϕ (U), entao

Xp =

n∑i=1

Xi (p)∂

∂xi

∣∣∣∣p

e o campo vetorial X e diferenciavel em ϕ (U) se e somente se as funcoes coordenadas X1, . . . , Xn saodiferenciaveis.

Outra forma de ver um campo vetorial diferenciavel em M e como uma aplicacao que associa a cadafuncao f ∈ C∞ (M) uma funcao Xf ∈ C∞ (M) atraves da expressao

(Xf) (p) = Xpf

onde Xp : C∞ (M) −→ R e um vetor tangente.

0.29 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel. Um campo vetorial diferenciavel em M e umaaplicacao X : C∞ (M) −→ C∞ (M) que satisfaz as seguintes propriedades

(i) X e linear:X (αf + βg) = αXf + βXg

para todos α, β ∈ R e f, g ∈ C∞ (M).(ii) X satisfaz a regra do produto:

X (fg) = (Xf) g + f (Xg)

para todos f, g ∈ C∞ (M).

As duas definicoes sao equivalentes. Usando a ultima definicao, podemos definir combinacoes lineares decampos vetoriais de forma natural.

0.30 Notacao. Seja M uma variedade diferenciavel. O espaco vetorial dos campos vetoriais diferenciaveisem M e denotado por T (M).


0.31 Proposicao. Sejam M e N variedades diferenciaveis e F : M −→ N uma aplicacao diferenciavel. SeX ∈ T (M) e Y ∈ T (N) sao campos vetoriais tais que

YF (p) = dFp (Xp)

para todo p ∈M , entaoX (f F ) = (Y f) F

para todo f ∈ C∞ (N).

Prova: Pela definicao de diferencial,

[dFp (Xp)] (f) = Xp (f F ) ,

logo,[X (f F )] (p) = Xp (f F ) = [dFp (Xp)] (f) = YF (p)f = (Y f) (F (p)) .

0.32 Definicao. Sejam M e N variedades diferenciaveis e F : M −→ N um difeomorfismo. Definimos aaplicacao pushforward

F∗ : T (M) −→ T (N)

por(F∗X)q = dFp (Xp)

onde q = F (p).

Equivalentemente,(F∗X)q = dFF−1(q)

(XF−1(q)

).

0.33 Proposicao. Sejam M e N variedades diferenciaveis e F : M −→ N um difeomorfismo. Consi-dere T (M) e T (N) como modulos sobre os aneis C∞ (M) e C∞ (N), respectivamente. Entao o operadorpushforward F∗ e linear no seguinte sentido:

F∗ (fX + gY ) =(f F−1

)F∗X +

(g F−1

)F∗Y

para todos X,Y ∈ T (M) e para todas f, g ∈ C∞ (M). Alem disso, para toda f ∈ C∞ (N) vale

[(F∗X) f ] F = X (f F )

ou, equivalentemente,(F∗X) f = X (f F ) F−1.

Prova:M

F−→ N

↓f fF−1

R

Primeiro provamos a linearidade de F∗. No que se segue, q = F (p). Temos

[F∗ (X + Y )]q = dFp (Xp + Yp)

= dFp (Xp) + dFp (Yp)

= (F∗X)q + (F∗Y )q


e

[F∗ (fX)]q = dFp

((fX)p

)= dFp (f (p)Xp)

= f (p) dFp (Xp)

=(f F−1

)(q) (F∗X)q .

A ultima afirmativa segue imediatamente da Proposicao 0.31, ja que F∗X e exatamente o campo Y doenunciado daquela proposicao.

0.34 Teorema. Seja X ∈ T (M) um campo diferenciavel. Dado p ∈ M , existe uma vizinhanca V de p emM , δ > 0 e uma aplicacao diferenciavel

ϕ : (−δ, δ)× V −→M

tais que ϕq (t) = ϕ (t, q) e a unica curva diferenciavel em M que satisfazdϕ

dt(t, q) = Xϕ(t,q) para todos t ∈ (−δ, δ) , q ∈ V,

ϕ (0, q) = q.

Alem disso, para cada t fixado, ϕt = ϕ (t, ·) e um difeomorfismo e o fluxo e um grupo aditivo a um parametro,isto e,

ϕ0 = id,

ϕt+s = ϕtϕs.

Prova: Veja [Lee 1], Chapter 9, p. 209. ϕ e chamado o fluxo local do campo vetorial X. Note que por causa das propriedades de grupo temos

(ϕt)−1

= ϕ−t.

0.8 Colchete de Lie

Embora a Definicao 0.29 de campos vetoriais permite tambem em princıpio definir a composta de camposvetoriais e, ja que Xf e interpretada como a derivada de f na direcao de X, gostarıamos de interpretarnaturalmente a expressao

X (Y f)

como a derivada segunda de f primeiro na direcao de Y e em seguida na direcao de X, em geral esta compostanao e um campo vetorial porque nao satisfaz a regra do produto:

(X Y ) (fg) = X [Y (fg)] = X [(Y f) g + f (Y g)] = X [(Y f) g] +X [f (Y g)]

= [X (Y f)] g + (Y f) (Xg) + (Xf) (Y g) + f [X (Y g)]

= [(X Y ) f ] g + f [(X Y ) g] + (Xf) (Y g) + (Y f) (Xg) ;

em coordenadas locais (veja Proposicao 0.37 a seguir), a composta realmente envolve derivadas parciais desegunda ordem, as quais nao sao vetores tangentes por nao satisfazerem a regra do produto. Para definircalculo diferencial de ordem superior, e necessario o conceito de derivada covariante, que veremos no Capıtulo3.

Por outro lado, a operacaoX Y − Y X

define um campo vetorial.


0.35 Definicao. Sejam X,Y ∈ T (M). O colchete de Lie de X e Y e o campo vetorial

[X,Y ] = XY − Y X.

Esta expressao deve ser entendida no sentido de

[X,Y ] = X Y − Y X,

ou seja,[X,Y ]p f = Xp (Y f)− Yp (Xf) .

O colchete de Lie e de fato um campo vetorial, pois

[X,Y ] (αf + βg) = X [Y (αf + βg)]− Y [X (αf + βg)]

= X [αY f + βY g]− Y [αXf + βXg]

= αX (Y f) + βX (Y g)− αY (Xf)− βY (Xg)

= α [X (Y f)− Y (Xf)] + β [X (Y g)− Y (Xg)]

= α [X,Y ] f + β [X,Y ] g

e

[X,Y ] (fg) = X [Y (fg)]− Y [X (fg)]

= X [fY g + gY f ]− Y [fXg + gXf ]

= X [fY g] +X [gY f ]− Y [fXg]− Y [gXf ]

= fX (Y g) + Y gXf + gX (Y f) + Y fXg − fY (Xg)−XgY f − gY (Xf)−XfY g= f [X (Y g)− Y (Xg)] + g [X (Y f)− Y (Xf)]

= f [X,Y ] (g) + g [X,Y ] (f) .

0.36 Proposicao. O colchete de Lie satisfaz as seguintes propriedades:(i) (Anticomutatividade)

[X,Y ] = − [Y,X] .

Consequentemente,[X,X] = 0.

(ii) (Bilinearidade)

[αX + βY, Z] = α [X,Z] + β [Y,Z] ,

[Z,αX + βY ] = α [Z,X] + β [Z, Y ] .

(iii) (Identidade de Jacobi)[[X,Y ] , Z] + [[Y, Z] , X] + [[Z,X] , Y ] = 0.

(iv)[fX, gY ] = fg [X,Y ] + f (Xg)Y − g (Y f)X.

(v) Se F : M −→ N e um difeomorfismo, entao

F∗ [X,Y ] = [F∗X,F∗Y ] .


Prova: (i) e (ii) sao imediatas. Para provar (iii), usando (ii) obtemos

[[X,Y ] , Z] = [XY − Y X,Z] = [XY,Z]− [Y X,Z]

= XY Z − ZXY − Y XZ + ZY X.

Logo, usando (i) e novamente (ii), segue que

[[Y,Z] , X] + [[Z,X] , Y ] = − [X, [Y,Z]]− [Y, [Z,X]]

= − [X,Y Z − ZY ]− [Y,ZX −XZ]

= − [X,Y Z] + [X,ZY ]− [Y, ZX] + [Y,XZ]

= −XY Z + Y ZX +XZY − ZY X − Y ZX + ZXY + Y XZ −XZY= −XY Z + ZXY + Y XZ − ZY X= − [[X,Y ] , Z] .

A propriedade (iv) segue da regra do produto: se h ∈ C∞ (M),

[fX, gY ]h = f [X (g (Y h))]− g [Y (f (Xh))]

= f [(Xg) (Y h)] + f [gX (Y h)]− g [(Y f) (Xh)]− g [fY (Xh)]

= fgX (Y h)− gfY (Xh) + f [(Xg) (Y h)]− g [(Y f) (Xh)]

= fg (XY − Y X)h+ [f (Xg)Y ]h− [g (Y f)X]h

= [fg [X,Y ] + f (Xg)Y − g (Y f)X]h.

(v) segue da Proposicao 0.33: para todo f ∈ C∞ (N) temos

(XY ) (f F ) = X [Y (f F )] = X [(F∗Y ) f F ] = (F∗X) (F∗Y ) f F

e, analogamente,(Y X) (f F ) = (F∗Y ) (F∗X) f F.

Logo,

(F∗ [X,Y ]) f = [X,Y ] (f F ) F−1

= (XY − Y X) (f F ) F−1

= [(F∗X) (F∗Y )− (F∗Y ) (F∗X)] f F F−1

= [F∗X,F∗Y ] f.

Uma algebra de Lie e um espaco vetorial em que se define um produto (ou seja, uma aplicacao bilinear)anticomutativo que satisfaz a identidade de Jacobi (veja o Capıtulo 2). Portanto, esta proposicao mostraque T (M) com a operacao colchete e uma algebra de Lie.

0.37 Proposicao (Colchete de Lie em coordenadas locais). Se X,Y ∈ T (M) sao campos vetoriaisque se expressam em coordenadas locais por

X =

n∑i=1

Xi ∂

∂xie Y =

n∑i=1

Y i∂

∂xi,

entao

[X,Y ] =

n∑i,j=1

(Xi ∂Y

j

∂xi− Y i ∂X

j

∂xi

)∂

∂xj,


ou, em notacao mais sucinta,

[X,Y ] =

n∑j=1

(X(Y j)− Y

(Xj)) ∂

∂xj.

Em particular, [∂

∂xi,∂

∂xj

]= 0

para todos i, j.

Prova: Temos

X (Y f) = X

(n∑i=1

Y i∂f

∂xi

)=

n∑i=1

X

(Y i

∂f

∂xi

)=

n∑i=1

Y iX

(∂f

∂xi

)+

n∑i=1

∂f

∂xiX(Y i)

=

n∑i=1

Y i

n∑j=1

Xj ∂2f

∂xj∂xi

+

n∑i=1

∂f

∂xi

n∑j=1

Xj ∂Yi

∂xj

=

n∑i,j=1

XjY i∂2f

∂xj∂xi+

n∑i,j=1

Xj ∂Yi

∂xj∂f

∂xi

e, por simetria,

Y (Xf) =

n∑i,j=1

Y jXi ∂2f

∂xj∂xi+

n∑i,j=1

Y j∂Xi

∂xj∂f

∂xi=

n∑i,j=1

XjY i∂2f

∂xi∂xj+

n∑i,j=1

Y j∂Xi

∂xj∂f

∂xi.

Como∂2f

∂xi∂xj=

∂2f

∂xj∂xi,

os termos envolvendo as derivadas parciais de segunda ordem se cancelam ao calcularmos [X,Y ] f = X (Y f)−Y (Xf) e a expressao do enunciado e obtida trocando os ındices i, j.

0.9 Derivada de Lie

Em princıpio, e um problema diferenciar campos vetoriais em variedades, ja que nao podemos tomar adiferenca de vetores que moram em espacos tangentes diferentes (nao ha uma maneira de identificar osespacos tangentes com Rn de uma maneira que seja invariante por mudanca de coordenadas). Uma solucaoe a seguinte. Dado um campo Y em uma variedade que queremos diferenciar na direcao de um vetor tangenteXp no ponto p, primeiro estendemos Xp a um campo vetorial X definido em toda a variedade. O campovetorial X tem um fluxo local ϕt definido. Usamos o fluxo para levar o vetor Yϕt(p) ao longo da trajetoriareversa ϕ−t do campo X para o espaco tangente TpM e fazer a diferenca la com o vetor Yp, tomando emseguida o limite quanto t→ 0. No Capıtulo 3 veremos o conceito de derivada covariante, que e uma solucaodiferente para este problema, mais semelhante ao conceito de derivada direcional, porque dependera apenasdo valor do vetor tangente Xp e nao do valor de X ao longo de uma curva; no caso desta derivada de Lie,ela depende do valor de X ao longo de uma trajetoria do campo.

0.38 Definicao. Sejam X,Y ∈ T (M) campos vetoriais, p ∈ M e ϕt o fluxo local do campo X em umavizinhanca V de p em M . A derivada de Lie do campo Y na direcao do campo X em p e definida por

(LXY )p = limt→0

[dϕ−t]ϕt(p)(Yϕt(p)

)− Yp

t=

d

dt[dϕ−t]ϕt(p) Yϕt(p)

∣∣∣∣t=0

.


Na linguagem de pushforwards,

(LXY )p = limt→0

[(ϕ−t)∗ Y ]p− Yp

t.

A definicao de derivada de Lie nao e operacionalmente util, ja que em geral e muito difıcil e mesmoimpossıvel obter o fluxo explicitamente. Felizmente, como veremos agora, a derivada de Lie coincide com ocolchete de Lie e este e muito facil de calcular.

0.39 Teorema (Interpretacao Geometrica do Colchete de Lie). Se X,Y ∈ T (M) sao campos veto-riais, p ∈M e ϕt e o fluxo local do campo X em uma vizinhanca V de p em M entao

[X,Y ] = LXY.

Prova: Primeiro observe que se g : (−δ, δ)× V −→ R e uma funcao diferenciavel tal que

g (0, q) = 0 para todo q ∈ V,

entao existe uma aplicacao diferenciavel h : (−δ, δ)× V −→ R tal que

g (t, q) = th (t, q) .

De fato, basta definir

h (t, q) =

∫ 1

0

∂g

∂s(ts, q) ds

e notar que, pelo Teorema Fundamental do Calculo,

th (t, q) =

∫ 1

0

t∂g

∂s(ts, q) ds =

∫ 1

0

∂

∂s[g (ts, q)] ds

= [g (ts, q)]s=1s=0 = g (t, q)− g (0, q)

= g (t, q) .

Em particular, segue que∂g

∂t(t, q)

∣∣∣∣t=0

= h (0, q) .

Seja agora f ∈ C∞ (M). Defina g : (−δ, δ)× V −→ R por

g (t, q) = f (q)− f (ϕ−t (q)) ,

ou, em notacao funcional,g (t, ·) = f − f ϕ−t.

Entao g (0, q) = f (q) − f (ϕ0 (q)) = f (q) − f (q) = 0, de modo que a observacao que fizemos no inıcio dademonstracao se aplica e existe uma aplicacao diferenciavel h : (−δ, δ)× V −→ R tal que

f (ϕ−t (q)) = f (q)− th (t, q)

isto e,f ϕ−t = f − th (t, ·)

e, alem disso (por definicao de vetor tangente, lembrando que ϕ−t e uma curva diferenciavel, trajetoria dofluxo do campo X na direcao reversa),

h (0, q) =∂g

∂t(t, q)

∣∣∣∣t=0

= − ∂ (f ϕ−t)∂t

∣∣∣∣t=0

= − ∂ϕ−t (q)

∂t

∣∣∣∣t=0

f = Xϕ(0,q)f

= Xqf.


Daı (na primeira equacao na demonstracao da Proposicao 0.31 substitua F por ϕ−t e p por ϕt (p)),[[dϕ−t]ϕt(p)

(Yϕt(p)

)]f = Yϕt(p) (f ϕ−t) = Yϕt(p)f − tYϕt(p) (h (t, ·)) .

Portanto,

(LXY )p f = limt→0

[[dϕ−t]ϕt(p)

(Yϕt(p)

)]f − Ypf

t

= limt→0

Yϕt(p)f − tYϕt(p) (h (t, ·))− Ypft

= limt→0

Yϕt(p)f − Ypft

− limt→0

Yϕt(p) (h (t, ·))

= limt→0

(Y f) (ϕt (p))− (Y f) (p)

t− Yp (h (0, ·))

=∂ϕt (p)

∂t

∣∣∣∣t=0

(Y f)− Yp (h (0, ·))

= Xp (Y f)− Yp (Xf)

= [X,Y ]p f.

Portanto, o colchete de Lie de dois campos vetoriais e a derivade de Lie. E a derivada de Lie e a “derivadadirecional” do segundo campo vetorial ao longo do fluxo do primeiro; ela nao e uma derivada direcional nosenso exato do termo, porque ela nao depende apenas da direcao do primeiro campo, ou seja, nao podemosusar qualquer curva tangente ao primeiro campo para calcula-la, mas apenas uma trajetoria do campo. Aprincipal diferenca entre a derivada de Lie e a derivada covariante (que e uma derivada direcional na corretaassumpcao da palavra) esta entao resumida nas Proposicoes 0.37 e 3.2: enquanto que a derivada covariante(∇XY )p depende apenas do valor de X em p e do valor de Y ao longo de uma curva tangente a Xp, aderivada de Lie (LXY )p depende dos valores de X ao longo de uma curva tangente a Yp e do valor de Y aolongo de uma curva tangente a Xp: de fato,

(LXY )p = [X,Y ]p =

n∑i=1

(Xp

(Y i)− Yp

(Xi)) ∂

∂xi,

e por definicao de vetor tangente, os coeficientes Xp

(Y 1), . . . , Xp (Y n) dependem dos valores de Y ao longo

de uma curva passando por p cujo vetor tangente em p e Xp e os coeficientes Yp(X1), . . . , Yp (Xn) dependem

dos valores de X ao longo de uma curva passando por p cujo vetor tangente em p e Yp).Outra diferenca importante entre a derivada de Lie e a derivada covariante e que em variedades rieman-

nianas esta e mais natural no seguinte sentido. Denotando q = ϕt (p), na derivada de Lie o vetor Yq e trazidoao longo da trajetoria do campo X para o espaco tangente TpM , onde ele e subtraıdo do vetor Xp atravesdo operador linear (ϕ−t)∗. Em uma interpretacao geometrica que veremos na Proposicao 3.27, o vetor Yqtambem e trazido ao longo da trajetoria do campo X para o espaco tangente TpM , mas atraves de umoperador linear chamado transporte paralelo, que e interpretado, como o nome indica, como um operadorque nao muda a direcao do vetor original em um sentido que veremos em maiores detalhes no Capıtulo 3.Assim, o conceito de derivada covariante esta mais proximo ao conceito de derivada direcional em Rn, ondeidentificamos TpRn atraves de translacoes, que preservam as direcoes de vetores.

Mas e importante ressaltar que nenhuma das derivadas, tanto a derivada de Lie quanto a derivadacovariante, dependem apenas de Xp e Yp, ou seja, nenhum deles e um tensor, um conceito que veremosno proximo capıtulo. Apesar disso, ambos aparecerao na definicao do segundo tensor mais importante emGeometria Riemanniana, o tensor curvatura (o tensor mais importante e obviamente o tensor metrica).


0.40 Proposicao. A derivada de Lie satisfaz as seguintes propriedades para todos os campos vetoriaisX,Y, Z ∈ T (M) e para todo f ∈ C∞ (M) .

(a) LXY = −LYX;(b) LX [Y, Z] = [LXY, Z] + [Y,LXZ] ;(c) L[X,Y ]Z = LXLY Z + LY LXZ;(d) LX (fY ) = (Xf)Y + fLXY ;(e) F∗ (LXY ) = LF∗XF∗Y se F : M −→ N e um difeomorfismo.

Prova: Exercıcio.

0.10 Campos Vetoriais que Comutam

0.41 Lema. Sejam M,N variedades diferenciaveis e F : M −→ N um difeomorfismo. Se X e um campovetorial em M com fluxo local ϕt em uma vizinhanca V , entao o campo vetorial F∗X em N tem fluxo localF ϕt F−1 em F (V ).

Prova: Em outras palavras, se ϕ : (−δ, δ)×V −→M e o fluxo local de X em V , entao ψ : (−δ, δ)×F (V ) −→N dado por

ψ (t, q) = F(ϕt(F−1 (q)

))e o fluxo local do campo F∗X. Para provar este resultado, note primeiro que se f ∈ C∞ (M), entao pordefinicao de vetor tangente

Xp (f) =d

dtf ϕt (p)

∣∣∣∣t=0

= limt→0

f (ϕt (p))− f (p)

t

porque a trajetoria ϕt (p) e uma curva diferenciavel que tem Xp como vetor tangente em t = 0. Por definicao,se q = F (p), temos

(F∗X)q (f) = [dFp (Xp)] f

= Xp (f F )

= limt→0

(f F ) (ϕt (p))− (f F ) (p)

t

= limt→0

f(F ϕt

(F−1 (q)

))− (f F )

(F−1 (q)

)t

= limt→0

f(F ϕt F−1 (q)

)− f (q)

t,

o que significa que a curva diferenciavel F ϕt F−1 tem (F∗X)q como vetor tangente em q, logo e o fluxolocal do campo F∗X.

0.42 Corolario. Se M e uma variedade diferenciavel e F : M −→M e um difeomorfismo, entao

F∗X = X

se e somente seF ϕt = ϕt F.

0.43 Teorema. Se X,Y ∈ T (M) sao campos vetoriais e ϕt, ψs sao os fluxos locais respectivos de X,Y emuma vizinhanca V de M , entao

ϕt ψs = ψs ϕtse e somente se

[X,Y ] = 0

em V .


Prova: Se ϕt ψs = ψs ϕt, como ϕt e um difeomorfismo, segue do Corolario 0.42 que (ϕt)∗ Y = Y , demodo que

[X,Y ]p = (LXY )p = limt→0

[(ϕ−t)∗ Y ]p− Yp

t= limt→0

Yp − Ypt

= 0

para todo p ∈ V .Reciprocamente, se [X,Y ] = 0 em V , considere a curva α : (−ε, ε) −→ TpM definida por

α (t) = [(ϕ−t)∗ Y ]p.

Temos, observando que o pushforward satisfaz (F G)∗ = F∗ G∗

α′ (t) = limh→0

α (t+ h)− α (t)

h

= limh→0

[(ϕ−t−h)∗ Y ]p− [(ϕ−t)∗ Y ]

p

h

= limh→0

[(ϕ−t)∗ (ϕ−h)∗ Y ]p− [(ϕ−t)∗ Y ]

p

h

= limh→0

(dϕ−t)ϕt(p) [(ϕ−h)∗ Y ]ϕt(p)

− (dϕ−t)ϕt(p) Yϕt(p)

h

= (dϕ−t)ϕt(p) limh→0

[(ϕ−h)∗ Y ]ϕt(p)

− Yϕt(p)h

= (dϕ−t)ϕt(p)

([X,Y ]ϕt(p)

)= (dϕ−t)ϕt(p) (0)

= 0.

Portanto, α (t) = α (0), o que implica (ϕ−t)∗ Y = Y , e o resultado segue do Corolario 0.42. Em particular,

ϕt ϕs ϕ−t ϕ−s = id .

Isso significa o seguinte, em outras palavras: quando [X,Y ] = 0 em uma vizinhanca V de p ∈M , se a partirde p percorrermos a trajetoria do campo X durante um intervalo de tempo t atingindo um certo ponto p1,e depois percorrermos a partir de p1 a trajetoria do campo Y durante um intervalo de tempo s atingindoum segundo ponto p2, voltarmos a partir de p2 ao longo da trajetorio do campo X durante um intervalo detempo t atingindo um certo ponto p3 e finalmente voltarmos tambem de p3 ao longo da trajetoria do campoY durante um intervalo de tempo s, chegaremos ao ponto original p (obviamente estamos assumindo queem nenhum momento saımos da vizinhanca V , o que sera verdade para deslocamentos s, t pequenos para osquais os fluxos locais de X e Y estao definidos em V ). Se [X,Y ] 6= 0, isso nao e verdade e terminamos emum ponto q diferente de p. O colchete de Lie portanto mede infinitesimalmente este defeito.

0.44 Teorema. Se E1, . . . , Ek ∈ T (M) sao campos vetoriais linearmente independentes suaves em umavizinhanca de p ∈M tais que

[Ei, Ej ] = 0

para todos i, j = 1, . . . , k, entao existe uma vizinhanca coordenada(x1, . . . , xn

)de p tal que

Ei =∂

∂xi

para i = 1, . . . , k.


Prova: Sem perda de generalidade, podemos assumir atraves de uma carta adequada que M = U ⊂ Rn,p = 0 e

Ei (0) = ei

para i = 1, . . . , k, onde e1, . . . , en e a base canonica de Rn. Seja ϕit o fluxo gerado pelo campo Ei. Defina

ψ(x1, . . . , xn

)= ϕ1

x1 ϕ2x2 . . . ϕkxk

(0, . . . 0, xk+1, . . . , xn

)= ϕ1

x1

(ϕ2x2

(. . .(ϕkxk

(0, . . . 0, xk+1, . . . , xn

)). . .)).

[Note que no caso especial em que k = n, a aplicacao ψ e

ψ (x) = ψ(x1, . . . , xn

)= ϕ1

x1 . . . ϕnxn (0)

= ϕ1x1

(ϕ2x2 (. . . (ϕnxn (0)) . . .)

).

Em outras palavras, para calcular ψ(x1, . . . , xn

), percorremos sucessivamente as trajetorias dos campos

En, . . . , E1 a partir da origem durante os intervalos de tempo xn, . . . , x1: primeiro, saindo da origem, per-corremos a trajetoria do campo En durante o intervalo de tempo xn, chegando em um certo ponto ϕnxn (0);partindo deste ponto percorremos a trajetoria do campo En−1 durante o intervalo de tempo xn−1, che-gando em um certo ponto ϕn−1

xn−1 (ϕnxn (0)); continuamos desta forma sucessivamente ate chegar no pontoϕ1x1

(ϕ2x2 (. . . (ϕnxn (0)) . . .)

)que definimos como sendo o ponto ψ (x).]

Afirmamos que dψ0 = I. De fato, dada f ∈ C∞ (M), se i = 1, . . . , k

dψ0 (ei) (f) =∂ (f ψ)

∂xi(0)

= limh→0

(f ψ)

(0, . . . 0,

16i6kh , 0, . . . , 0

)− f (ψ (0))

h

= limh→0

f ϕ10 . . . ϕi−1

0 ϕih ϕi+10 . . . ϕk0 (0)− f (0)

h

= limh→0

f(ϕih (0)

)− f (0)

h

= Ei (0) (f)

= ei (f) ,

enquanto que se i = k + 1, . . . , n, temos

dψ0 (ei) (f) =∂ (f ψ)

∂xi(0)

= limh→0

(f ψ)

(0, . . . 0,

k+16i6nh , 0, . . . , 0

)− f (ψ (0))

h

= limh→0

f ϕ10 ϕ2

0 . . . ϕk0 . . . ϕk0(

0, . . . 0,k+16i6n

h , 0, . . . , 0

)− f (0)

h

= limh→0

f

(0, . . . 0,

k+16i6nh , 0, . . . , 0

)− f (0)

h

=∂f

∂xi(0)

= ei (f) ,


portantodψ0 (ei) = ei

para i = 1, . . . , n. Segue que ψ (x) =(x1, . . . , xn

)e um difeomorfismo local e portanto uma carta para uma

vizinhanca de p = 0.Observe que podemos calcular explicitamente dψx (e1) para todo x e nao somente na origem, obtendo

dψx (e1) (f) =∂ (f ψ)

∂x1(x)

= limh→0

(f ψ)(x1 + h, x2 . . . , xn

)− f (ψ (x))

h

= limh→0

f ϕ1x1+h ϕ2

x2 . . . ϕkxk(0, . . . 0, xk+1, . . . , xn

)− f (ψ (x))

h

= limh→0

f(ϕ1x1+h

(ϕ2x2 (. . . (ϕnxn (0)) . . .)

))− f (0)

h

= E1 (x) (f) ,

ou seja,

E1 (x) = dψx (e1) =∂

∂x1

∣∣∣∣x

para todo x onde a carta esta definida. Isso prova o resultado para i = 1.Mas, pelo teorema anterior, como [Ei, Ej ] = 0, temos que os fluxos dos campos E1, . . . , Ek comutam, isto

e,ϕit ϕ

jt = ϕit ϕ

jt

para todos i, j = 1, . . . , k. Logo, para i = 2, . . . , k podemos escrever

ψ(x1, . . . , xn

)= ϕixi ϕ

1x1 ϕ2

x2 . . . ϕixi . . . ϕkxk

(0, . . . 0, xk+1, . . . , xn

).

Pelo mesmo argumento anterior no caso i = 1, concluımos que

Ei (x) =∂

∂xi

∣∣∣∣x

para i = 2, . . . , k, para todo x onde a carta ψ esta definida, terminando a demonstracao do resultado. Assim, o colchete de Lie mede em algum sentido o quanto as trajetorias de campos linearmente independentesE1, . . . , En podem ser usadas para formar as “retas coordenadas” de um sistema de coordenadas (veja[Spivak], Vol. I, pp. 220-221, para uma afirmacao mais precisa deste resultado).

0.11 Exercıcios

0.45 Exercıcio. Considere o subconjunto X = (R× 0) ∪(R+ × 1

)de R2 com a seguinte base para a

sua topologia:(a) intervalos do tipo (a, b)× 0, a < b;(b) intervalos do tipo (a, b)× 1, 0 6 a < b;(c) unioes de intervalos do tipo [(a, 0)× 0] ∪ [(0, b)× 1], a < 0 < b.Verifique que X possui uma base enumeravel, que conjuntos finitos de pontos sao fechados em X e que

todo ponto de X possui uma vizinhanca difeomorfa a um conjunto aberto de R. Observe que X nao e, noentanto, um espaco de Hausdorff, porque os pontos (0, 0) e (0, 1) nao possuem vizinhancas abertas disjuntas.


0.46 Exercıcio. Seja X um conjunto. Suponha que exista uma famılia

Φ = ϕαα∈A

de aplicacoes injetivas ϕα : Uα −→ Vα de um aberto Uα ⊂ Rn sobre um subconjunto Vα de X para cadaα ∈ A, satisfazendo as seguintes condicoes:

(1) Os abertos Vα cobrem X, isto e, ⋃α∈A

Vα = X.

(2) Para todos ındices α, β ∈ A tais que Vαβ = Vα ∩ Vβ 6= ∅, os conjuntos ϕ−1α (Vαβ) , ϕ−1

β (Vαβ) sao abertosem Rn e as aplicacoes

ϕαβ = ϕ−1β ϕα : ϕ−1

α (Vαβ) −→ ϕ−1β (Vαβ) ,

ϕβα = ϕ−1α ϕβ : ϕ−1

β (Vαβ) −→ ϕ−1α (Vαβ) ,

sao diferenciaveis de classe C∞.Entao existe uma unica topologia T em X relativa a qual Φ e um atlas diferenciavel de dimensao n para

X.T nao e necessariamente de Hausdorff nem precisa possuir base enumeravel (ela e apenas localmente de

Hausdorff, pois se p, q ∈ Vα, p 6= q, eles possuem vizinhancas disjuntas porque Vα e homeomorfo a um abertode Rn). Para isso, sao necessarias condicoes adicionais:

A topologia T e de Hausdorff se e somente se3) Para todos ındices α, β ∈ A tais que Vαβ = Vα ∩ Vβ 6= ∅, nao existe nenhuma sequencia xkk∈N ⊂

ϕ−1α (Vαβ) tal que

xk −→ x ∈ Uα\ϕ−1α (Vαβ) ,

ϕ−1β ϕα (xk) −→ y ∈ Uβ\ϕ−1

β (Vαβ) .

Ela possui uma base enumeravel se e somente se(4) A cobertura Vαα∈A possui uma cobertura enumeravel.

0.47 Exercıcio. Mostre que uma variedade diferenciavel M e conexa se e somente se ela e conexa porcaminhos.

Alem disso, verifique que as componentes conexas de M sao as suas componentes conexas por caminhos.Finalmente, prove que M possui no maximo um numero enumeravel de componentes conexas.

Capıtulo 1

Tensores

1.1 Vetores Contravariantes e Covariantes

Considere o conceito de vetor em Rn, por exemplo o vetor velocidade de uma curva descrita no sistema decoordenadas

(x1, . . . , xn

)por

x (t) =(x1 (t) , . . . , xn (t)

).

Temosdx

dt=

(dx1

dt, . . . ,

dxn

dt

).

Em um outro sistema de coordenadas(y1, . . . , yn

)a curva e descrita por:

y (t) =(y1 (t) , . . . , yn (t)

),

de modo que seu vetor velocidade neste sistema de coordenadas e dado por

dy

dt=

(dy1

dt, . . . ,

dyn

dt

).

A regra da cadeia nos da como as coordenadas do vetor velocidade mudam de um sistema de coordenadaspara o outro:

dyi

dt=

n∑j=1

∂yi

∂xjdxj

dt(1.1)

para i = 1, . . . , n.Considere agora o conceito do gradiente de uma funcao, usualmente identificado com um vetor. No

sistema de coordenadas(x1, . . . , xn

), o gradiente e definido por

∇xf (x) =

(∂f

∂x1(x) , . . . ,

∂f

∂xn(x)

)enquanto que no sistema de coordenadas

(y1, . . . , yn

)o gradiente e dado por

∇yf (x) =

(∂f

∂y1(x) , . . . ,

∂f

∂yn(x)

)Novamente, a regra da cadeia nos da como as coordenadas do gradiente mudam de um sistema de coordenadaspara o outro:

∂f

∂yi=

n∑j=1

∂xj

∂yi∂f

∂xj(1.2)

28


para i = 1, . . . , n.Comparando as expressoes (1.1) e (1.2), vemos que elas sao bem diferentes. Isso fica ainda mais claro se

considerarmos o Jacobiano da mudanca de coordenadas y = y (x),

J =

[∂yi

∂xj

](1.3)

ou seja,

J =

∂y1

∂x1. . .

∂y1

∂xn...

...∂yn

∂x1. . .

∂yn

∂xn

.Temos

dy

dt= J

dx

dt(1.4)

enquanto que

∇yf =(J−1

)T ∇xf, (1.5)

pois

J−1 =

[dxi

dyj

]=

∂x1

∂y1. . .

∂x1

∂yn...

...∂xn

∂y1. . .

∂xn

∂yn

.Note que as leis de transformacao nao sao exatamente uma a inversa da outra no sentido matricial, ja que enecessario transpor a matriz de mudanca de coordenadas. Observe tambem que para as formulas concidirem,terıamos que ter

J =(J−1

)T,

isto e, J precisaria ser uma transformacao ortogonal, o que equivale a requerer que os dois sistemas decoordenadas

(x1, . . . , xn

)e(y1, . . . , yn

)sejam ortonormais, o que raramente ocorre.

O fato de que o gradiente de uma funcao sob uma mudanca de coordenadas transformar-se de uma maneiradiferente da de um vetor mostra que ele e um tipo diferente de vetor. Como veremos os motivos na proximasecao, vetores que se transformam de acordo com a expressao (1.1) sao chamados vetores contravariantes,enquanto que vetores que se transforma de acordo com a expressao (1.2) sao chamados vetores covariantes(ou simplesmente covetores).

As coordenadas de um vetor contravariante sao convencionalmente denotadas por superescritos:

v =(v1, . . . , vn

), (1.6)

porque, como nos casos dos vetores deslocamento, velocidade, aceleracao, etc., ou seja, vetores cujas di-mensoes estao diretamente relacionadas as dimensoes das coordenadas, o deslocamento aparece no numera-dor (acima da barra da fracao), enquanto que as coordenadas de um vetor covariante sao convencionalmentedenotadas por subescritos:

v = (v1, . . . , vn) , (1.7)

porque, como no caso do covetor gradiente, o deslocamento aparece no denominador (abaixo da barra dafracao), ou seja, vetores tais como o gradiente tem dimensoes que sao inversas as dimensoes das coordenadas.


1.1.1 Significado Real do Gradiente

A derivada de uma funcao real f : Rn −→ R em um ponto x ∈ Rn e um funcional linear dfx : Rn −→ R.O gradiente realmente nao e um vetor, mas sim um funcional linear ou uma 1-forma (estes termos saosinonimos). Como veremos daqui a pouco, funcionais lineares sao vetores (no espaco dual) que se comportamcom relacao a mudanca de coordenadas como covetores.

Assim, embora diferenciemos entre a diferencial dfx de uma funcao real f : Rn −→ R, que e um funcionallinear, e a funcao gradiente, que associa a cada ponto x um vetor ∇f (x) ou grad f (x), com a propriedadeespecial que

dfx (v) = 〈∇f (x) , v〉para todo v ∈ Rn, onde 〈·, ·〉 denota o produto interno canonico de Rn, de qualquer forma, devido a suadefinicao o vetor gradiente e um covetor e se comporta como tal.

Este fato nao e apenas um acidente restrito a forma especial com que ele se comporta com relacao a umamudanca de coordenadas, mas tambem e uma consequencia do significado geometrico de funcionais linearese do gradiente. Atraves do produto interno, qualquer funcional linear ω : Rn −→ R e identificado com umunico vetor v de Rn: v e o unico vetor tal que

ω (w) = 〈v, w〉

para todo w ∈ Rn. Este vetor v e portanto perpendicular ao hiperplano kerω, o nucleo do funcional ω. Aacao do funcional linear ω sobre um vetor arbitrario w pode ser entao vista da seguinte forma: ω determinauma famılia de hiperplanos, os hiperplanos paralelos a kerω; ω (w) e entao o numero de hiperplanos quea “seta” do vetor w “perfura” por unidade de distancia (esta e medida exatamente pelo produto interno).Para vetores com o mesmo comprimento de v, o vetor v e o que perfura o maior numero de hiperplanos, jaque e perpendicular a todos estes hiperplanos (a mesma consideracao evidentemente vale para −v). Outrosvetores diferentes de v e −v formarao um angulo nao reto com estes hiperplanos e, se tiverem o mesmocomprimento que o vetor v, eles perfurarao consequentemente menos hiperplanos. Ou seja, se ‖w‖ = ‖v‖mas w 6= v, entao

ω (w) < ω (v) ;

de fato,ω (w) = 〈v, w〉 = ‖v‖ ‖w‖ cos θ < ‖v‖ ‖w‖ = ‖v‖2 = ω (v) .

Se w e ortogonal a v, entao w esta no nucleo de ω e nao perfura nenhum hiperplano da famılia; assim,ω (w) = 0.

O vetor gradiente ∇f (x) tambem se comporta geometricamente desta forma. Exceto que no caso dogradiente substituımos a famılia de hiperplanos paralelos ao nucleo do funcional pela famılia das hiperfıciesde nıvel da funcao f . O vetor gradiente e perpendicular as hiperfıcies de nıvel de f . Isto funciona porquesegue da definicao que o gradiente e perpendicular ao espaco tangente a hiperfıcie de nıvel: se α : I −→ Rne uma curva contida em uma hiperfıcie de nıvel, entao

f (α (t)) ≡ c

para todo t ∈ I algum valor real c; derivando esta equacao em relacao a t, obtemos

dfα(t) (α′ (t)) = 0,

ou seja,〈∇f (α (t)) , α′ (t)〉 = 0.

Como isso vale para todas tais curvas, concluımos que ∇f (x) e perpendicular a Txf−1 (c)

. Portanto, o

gradiente “perfura” as hiperfıcies de nıvel. Como no caso linear, a direcao do vetor gradiente e a direcao emque mais hiperfıcies de nıvel sao perfuradas por unidade de distancia. Isso e quase equivalente a dizer queo gradiente aponta na direcao em que a funcao cresce com maior rapidez (como se demonstra em Calculo),pois perfurar as hiperfıcies de nıvel equivale a subir ou descer a montanha de contornos do grafico de f ,dependendo do sentido escolhido.


1.2 Vetores e Covetores

1.2.1 Mudanca de Coordenadas em Espacos Vetoriais

Dado um espaco vetorial real de dimensao finita V munido de uma base

B = e1, . . . , en ,

denotaremos por [v]B o vetor coluna cujos elementos sao as coordenadas do vetor v em relacao a base B, ouseja, se

v =

n∑i=1

viei,

entao

[v]B =

v1

...vn

.Tambem abusaremos esta notacao as vezes, escrevendo [v]B =

(v1, . . . , vn

).

1.1 Definicao. Sejam V um espaco vetorial real e

B1 = e1, . . . , en ,B2 = f1, . . . , fn ,

duas bases para V . A matriz de mudanca de coordenadas da base B1 para a base B2 e a matriz A talque

[v]B2= A [v]B1

. (1.8)

Quando necessario, ela sera denotada por AB1→B2.

1.2 Notacao. Denotaremos o elemento que ocupa a i-esima linha e a j-esima coluna de A por Aij .

1.3 Proposicao. Sejam

B1 = e1, . . . , en ,B2 = f1, . . . , fn ,

duas bases para um espaco vetorial real V . Se A =(Aij)

e a matriz de mudanca de coordenadas da base B1

para a base B2, entao os elementos desta matriz sao definidos por

ei =

n∑j=1

Ajifj . (1.9)

Ou seja, as colunas de A sao as coordenadas dos vetores da base B1 em relacao a base B2.

Prova: De fato, se vale (1.9), entao

v =

n∑i=1

viei =

n∑i=1

vi

n∑j=1

Ajifj

=

n∑j=1

(n∑i=1

Ajivi

)fj ,

que e exatamente (1.8):

[v]B2=

A11 . . . A1

n...

...An1 . . . Ann

v1

...vn

= A [v]B1.


Observe agora que enquanto a lei de transformacao dos vetores da base B2 para a base B1 e

ei =

n∑j=1

Ajifj , (1.10)

a lei de transformacao das coordenadas de vetores na base B2 para a base B1 e contraria: como

[v]B1= A−1 [v]B2

,

segue que se

[v]B1=(v1, . . . , vn

),

[v]B2=(w1, . . . , wn

),

entao

vi =

n∑j=1

(A−1

)ijwj . (1.11)

A lei de transformacao (1.10) e considerada a lei de transformacao fundamental. Portanto, a observacaoacima motiva a seguinte definicao:

1.4 Definicao. Vetores cujas coordenadas se transformam de maneira contraria a lei (1.10) sao chamadosvetores contravariantes.

Assim, os vetores do proprio espaco vetorial V sao vetores contravariantes.

1.2.2 Covetores

1.5 Definicao. Seja V um espaco vetorial real de dimensao finita. Um covetor de V e qualquer funcionallinear ω : V −→ R.

O espaco vetorial dos covetores de V , com as definicoes naturais de soma de covetores e multiplicacao decovetores por escalares reais e chamado o espaco dual de V e denotado por V ∗.

Portanto, covetor de V nada mais e que um sinonimo para funcional linear sobre V .

1.6 Definicao. Seja B = e1, . . . , en uma base para o espaco vetorial V . Definimos a base dual

B∗ =e1, . . . , en

de V ∗ por

ei (ej) = δji , i, j = 1, . . . , n. (1.12)

Um covetor arbitrario ω ∈ V ∗ expressa-se em coordenadas com relacao a base dual B∗ na forma

ω =

n∑i=1

ωiei.

Observe que se

v =

n∑i=1

viei,

entaoei (v) = vi. (1.13)


1.7 Definicao. Sejam V,W espacos vetoriais. Dada uma aplicacao linear A : V −→ W , definimos aaplicacao linear dual ou transposta A∗ : W ∗ −→ V ∗ de A por

(A∗ω) v = ω (Av)

para todo ω ∈W ∗ e para todo v ∈ V .

1.8 Proposicao. Sejam

B1 = e1, . . . , en ,B2 = f1, . . . , fn

duas bases para o espaco vetorial V e

B∗1 =e1, . . . , en

,

B∗2 =f1, . . . , fn

as respectivas bases duais para V ∗. Se A e a matriz de mudanca de coordenadas da base B1 para a base B2,entao

ei =

n∑j=1

(A−1

)ijf j . (1.14)

Consequentemente,(A−1

)Te a matriz de mudanca de coordenadas da base dual B∗1 para a base dual B∗2,

isto e,

[ω]B∗2=(A−1

)T[ω]B∗1

. (1.15)

Prova. Pela Proposicao (1.3),

ei =

n∑j=1

Ajifj .

Seja B =(Bkl)

a matriz de transformacao da base B∗1 para a base B∗2, isto e,

ek =

n∑l=1

Bkl fl.

Entao

δki = ek (ei)

= ek

n∑j=1

Ajifj

=

n∑j=1

Ajiek (fj)

=

n∑j=1

Aji

n∑l=1

Bkl fl (fj)

=

n∑j=1

Aji

n∑l=1

Bkl δlj

=

n∑j=1

AjiBkj

=

n∑j=1

BkjAji ,


de modo que BA = I, donde B = A−1 e portanto

ek =

n∑l=1

(A−1

)klf l.

(1.15) segue da aplicacao da Proposicao (1.3) a (1.14), substituindo V por V ∗ e B1,B2 por B∗1,B∗2.

Portanto, assim como a lei de transformacao dos vetores da base B2 para a base B1 (lei de transformacaofundamental) e

ei =

n∑j=1

Ajifj ,

a lei de transformacao das coordenadas de vetores na base B∗2 para a base B∗1 e a mesma: como

[ω]B∗1= AT [ω]B∗2

,

segue que se

[ω]B∗1= (ω1, . . . , ωn) ,

[ω]B∗2= (σ1, . . . , σn) ,

entao

ωi =

n∑j=1

Ajiσj . (1.16)

Ou seja, covetores variam (se transformam) da mesma forma como variam (se transformam) os vetores dabase do espaco vetorial, que convencionamos ser a lei de transformacao fundamental. Esta observacao motivaa seguinte definicao:

1.9 Definicao. Vetores cujas coordenadas se transformam da mesma forma que a lei (1.10) sao chamadosvetores covariantes.

Assim, os covetores do espaco dual V ∗ sao vetores covariantes.

1.2.3 O Espaco Bidual

1.10 Definicao. Seja V um espaco vetorial real de dimensao finita. O espaco dual (V ∗)∗

do espaco dual deV e chamado o espaco bidual de V e denotado V ∗∗.

Uma importante identificacao natural (isto e, um isomorfismo definido independentemente de bases ebaseado apenas na estrutura linear) existe entre um espaco vetorial e seu espaco bidual:

1.11 Proposicao. A aplicacao Φ : V −→ V ∗∗ definida por

Φ (v) (ω) = ω (v)

e um isomorfismo natural entre V e V ∗∗.

Prova. Como dimV = dimV ∗∗, para verificar que Φ e um isomorfismo basta mostrar que ele e injetivo, istoe, que seu nucleo e o subespaco nulo. Seja e1 ∈ V um vetor nao nulo qualquer. Estenda este vetor a umabase B = e1, . . . , en para V . Seja B∗ =

e1, . . . , en

a correspondente base dual de V ∗. Entao Φ (e1) 6= 0

porqueΦ (e1)

(e1)

= e1 (e1) = 1.


Em vista desta identificacao, um vetor v ∈ V pode ser visto como um funcional linear sobre V ∗ cuja acaoem covetores de V ∗ e dada por

v (ω) = ω (v) . (1.17)

Em particular,ei(ej)

= δji (1.18)

e se

ω =

n∑i=1

ωiei,

entaoei (ω) = ωi. (1.19)

1.2.4 Convencao da Soma de Einstein

As escolhas acima para a notacao, assim como outras escolhas que faremos no futuro, sao necessarias paraque a convencao da soma de Einstein funcione: ao inves de usar o sinal de somatorio

∑para denotar uma

soma, convencionamos que sempre que uma expressao contem um ındice como um superescrito e o mesmoındice como subescrito, uma soma e implıcita sobre todos os valores que este ındice pode tomar. Algunsexemplos:

Convencao da Soma de Einstein Notacao de Somatorio

viein∑i=1

viei

ei = Ajifj ei =n∑j=1

Ajifj

ωiei

n∑i=1

ωiei

ek =(A−1

)klf l ek =

n∑i=1

(A−1

)klf l

∂

∂xi=∂yj

∂xi∂

∂yj∂

∂xi=

n∑i=1

∂yj

∂xi∂

∂yj

T = T j1...jli1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl ,

Apesar de nao adotarmos a convencao da soma de Einstein nestas notas, faremos questao de que a notacaoadotada aqui seja consistente com ela.

1.3 Vetores e Covetores Tangentes

1.3.1 Mudanca de Coordenadas no Espaco Tangente TpM

Se ϕ : U −→ ϕ (U) e ψ : V −→ ψ (V ) sao duas cartas para vizinhancas coordenadas de p = ϕ (x) =ϕ(x1, . . . , xn

)= ψ (y) = ψ

(y1, . . . , yn

)em M , abusando a notacao frequentemente escrevemos(

ψ−1 ϕ)

(x) =(ψ−1 ϕ

) (x1, . . . , xn

)=(y1(x1, . . . , xn

), . . . , yn

(x1, . . . , xn

)),

isto e, denotamos as funcao coordenadas(ψ−1 ϕ

)j(x) por yj (x).


1.12 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel n-dimensional e

ϕ : U −→ ϕ (U) ,

ψ : V −→ ψ (V ) ,

duas cartas para vizinhancas coordenadas de p = ϕ (x) = ψ (y) em M . Sejam

Bx =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

,

By =

∂

∂y1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂yn

∣∣∣∣p

,

as bases coordenadas de TpM induzidas pelas cartas ϕ e ψ, respectivamente. Denote

∂yj

∂xi(x) :=

∂(ψ−1 ϕ

)j∂xi

(x)

Entao a matriz de mudanca de coordenadas da base Bx para a base By e definida por

∂

∂xi

∣∣∣∣p

=

n∑j=1

∂yj

∂xi∂

∂yj

∣∣∣∣p

. (1.20)

Prova: Por definicao e pela regra da cadeia,

∂

∂xi

∣∣∣∣p

= dϕx (ei) = dψy[d(ψ−1 ϕ

)x

(ei)]

= dψy

n∑j=1

∂(ψ−1 ϕ

)j∂xi

(x) fj

=

n∑j=1

∂(ψ−1 ϕ

)j∂xi

dψy (fj)

=

n∑j=1

∂yj

∂xi

∂

∂yj

∣∣∣∣p

.

Portanto, se um vetor v ∈ TpM se escreve em coordenadas em relacao as bases Bx e By nas formas

v =

n∑i=1

vix∂

∂xi

∣∣∣∣p

,

v =

n∑j=1

vjy∂

∂yj

∣∣∣∣p

,

entao, pelas Proposicoes 1.3 e 1.12, a lei de transformacao de coordenadas e dada por

vix =

n∑j=1

∂xi

∂yjvjy. (1.21)

1.3.2 Covetores Tangentes

Enquanto que o conceito de vetores tangentes em variedades permite uma interpretacao livre de coordenadasde derivadas de curvas, diferenciais de funcoes reais em variedades (ou seja, o analogo do gradiente em Rn) saointerpretadas de maneira mais natural como covetores tangentes (compare a Proposicao 1.8 com a discussaona introducao deste capıtulo).


1.13 Definicao. Seja M uma variedade diferenciael. Para cada p ∈ M definimos o espaco cotangenteT ∗pM a M em p por

T ∗pM = (TpM)∗.

Elementos de T ∗pM sao chamados covetores tangentes a M em p.

Assim, o espaco cotangente a M em p e o dual do espaco tangente a M em p.

1.14 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel e ϕ : U −→ ϕ (U) uma carta de uma vizinhancacoordenada de um ponto p ∈M . A base coordenada

Bp =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

do espaco tangente TpM associada a carta ϕ da origem a uma base dual coordenada para o espacocotangente T ∗pM associada a carta ϕ que denotaremos por

B∗p =dx1∣∣p, . . . , dxn|p

. (1.22)

Portanto, qualquer covetor ω ∈ T ∗pM pode ser escrito de maneira unica como

ω =

n∑i=1

ωi dxi∣∣p, (1.23)

onde

ωi = ω

(∂

∂xi

∣∣∣∣p

). (1.24)

Vamos investigar agora como as coordenadas de um covetor tangente se transformam quando ha uma mu-danca de bases coordenadas, de uma carta para outra.

1.15 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel n-dimensional e ϕ : U −→ ϕ (U) , ψ : V −→ ψ (V )duas cartas para vizinhancas coordenadas de p = ϕ (x) = ψ (y) em M . Sejam

Bx =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

,

By =

∂

∂y1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂yn

∣∣∣∣p

as bases coordenadas de TpM induzidas pelas cartas ϕ e ψ, respectivamente. Denote por

B∗x =dx1∣∣p, . . . , dxn|p

,

B∗y =dy1∣∣p, . . . , dyn|p

as respectivas bases duais. Entao a matriz de mudanca de coordenadas da base B∗x para a base B∗y e dadapor

dxi∣∣p

=

n∑j=1

∂xi

∂yjdyj∣∣p. (1.25)


Prova: Pela Proposicao 1.12, a mudanca de coordenadas da base Bx para a base By e dada por

∂

∂xi

∣∣∣∣p

=

n∑j=1

∂yj

∂xi∂

∂yj

∣∣∣∣p

.

O resultado segue entao da Proposicao 1.8. Obtemos tambem da discussao que se segue a Proposicao 1.8 que se

[ω]B∗x= (ωx1 , . . . , ω

xn) ,

[ω]B∗y = (ωy1 , . . . , ωyn) ,

entao

ωxi =

n∑j=1

∂yj

∂xiωyj .

Podemos agora entender a terminologia antiga em que vetores tangentes eram chamados vetores contrava-riantes, enquanto que covetores tangentes eram chamados vetores covariantes. E importante ressaltar queesta terminologia nada tem a ver com functores covariantes e contravariantes da teoria de categorias.

1.4 Tensores

1.4.1 Definicao

1.16 Definicao. Seja V um espaco vetorial real de dimensao finita e V ∗ seu espaco dual.Um k-tensor covariante em V (ou tensor covariante de ordem k) e uma funcao real k-linear

T : V × . . .× V︸︷︷︸k vezes

−→ R.

Um l-tensor contravariante em V (ou tensor contravariante de ordem l) e uma funcao real l-linear

T : V ∗ × . . .× V ∗︸︷︷︸l vezes

−→ R.

Um tensor do tipo (k, l) e um tensor k-covariante e l-contravariante, isto e, uma funcao real multilinear

T : V × . . .× V︸︷︷︸k vezes

× V ∗ × . . .× V ∗︸︷︷︸l vezes

−→ R.

O espaco vetorial real dos k-tensores covariantes sobre V sera denotado por T k (V ); o espaco vetorial dosl-tensores contravariantes sobre V sera denotado por Tl (V ) e o espaco vetorial dos (k, l) tensores sobre Vsera denotado por T kl (V ). Estes espacos vetoriais sao chamados espacos tensoriais.

1.17 Exemplo. Um 1-tensor covariante e simplesmente um covetor. Formas bilineares, entre elas o produtointerno, sao 2-tensores covariantes. Determinantes sao n-tensores covariantes em Rn.

Algumas identificacoes naturais (isto e, independente de especificacao de bases):

• 0-tensores sao numeros reais:T 0 (V ) = R;

• tensores do tipo (k, 0) sao k-tensores covariantes:

T k0 (V ) = T k (V ) ;


• tensores do tipo (0, l) sao l-tensores contravariantes:

T 0l (V ) = Tl (V ) ;

• 1-tensores covariantes sao covetores:T 1 (V ) = V ∗

• 1-tensores contravariantes sao vetores:

T1 (V ) = V ∗∗ = V.

1.18 Proposicao. Seja End (V ) o espaco vetorial dos operadores lineares sobre V . Entao existe um iso-morfismo natural

T 11 (V ) ∼= End (V ) .

Prova. Um isomorfismo natural Φ : End (V ) −→ T 11 (V ) pode ser definido por

Φ (A) (v, ω) = ω (Av) .

1.19 Proposicao. Considere o espaco vetorial L(V k × (V ∗)

l;V)

das aplicacoes multilineares

T : V × . . .× V︸︷︷︸k vezes

× V ∗ × . . .× V ∗︸︷︷︸l vezes

−→ V.

Entao existe um isomorfismo natural

T kl+1 (V ) ∼= L(V k × (V ∗)

l;V).

Prova. Este pode ser definido por

(ΦT )(v1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωl, ωl+1)

= ωl+1

(T(v1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωl)).

1.4.2 Produto Tensorial

1.20 Definicao. Sejam T e S tensores de tipos (k, l) e (p, q), respectivamente. Seu produto tensorial eo tensor T ⊗ S do tipo (k + p, l + q) definido por

(T ⊗ S)(v1, . . . , vk+p, ω

1, . . . , ωl+q)

= T(v1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωl)S(vk+1, . . . , vk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q).

1.21 Exemplo. Sejam ω1, ω2 dois covetores (1-tensores covariantes). Entao

ω1 ⊗ ω2 (v1, v2) = ω1 (v1)ω2 (v2)

e um 2-tensor covariante (uma forma bilinear).

Usando produtors tensoriais, podemos obter uma base para o espaco tensorial T kl (V ):


1.22 Proposicao. SeB = e1, . . . , en

e uma base para o espaco vetorial V eB∗ =

e1, . . . , en

e a correspondente base dual para V ∗, entao

Bkl =ei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl

16i1,...,ik6n16j1,...,jl6n

(1.26)

e uma base para o espaco tensorial T kl (V ). Alem disso, qualquer tensor T ∈ T kl (V ) se escreve na forma

T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl , (1.27)

ondeT j1...jli1...ik

= T(ei1 , . . . , eik , e

j1 , . . . , ejl). (1.28)

Em particular, dimT kl (V ) = nk+l.

Prova. Primeiro mostraremos que Bkl gera o espaco tensorial T kl (V ). Seja T ∈ T kl (V ) um tensor qualquere defina

T j1...jli1...ik= T

(ei1 , . . . , eik , e

j1 , . . . , ejl).

Se v1, . . . , vk ∈ V , ω1, . . . , ωl ∈ V ∗ sao vetores e covetores arbitrarios, expressos em coordenadas por

vr =

n∑ir=1

virr eir e ωs =

n∑js=1

ωsjsejs

para r = 1, . . . , k e s = 1, . . . , l, segue da multilinearidade que

T(v1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωl)

= T

n∑i1=1

vi11 ei1 , . . . ,

n∑ik=1

vikk eik ,

n∑j1=1

ω1j1e

j1 , . . . ,

n∑jl=1

ωljlejl

=

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

vi11 . . . vikk ω1j1 . . . ω

ljlT(ei1 , . . . , eik , e

j1 , . . . , ejl)

=

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikvi11 . . . vikk ω

1j1 . . . ω

ljl

=

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikei1 (v1) . . . eik (vk) ej1

(ω1). . . ejl

(ωl)

=

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl

(v1, . . . vk, ω

1, . . . , ωl).

Para mostrar que Bkl e linearmente independente, suponha que exista uma combinacao linear nula

T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

Cj1...jli1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl = 0


para algumas constantes Cj1...jli1...ik∈ R. Como

ei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl (er1 , . . . , erk , es1 , . . . , esl)

= ei1 (er1) . . . eik (erk) ej1 (es1) . . . ejl (esl)

= δi1r1 . . . δikrkδs1j1 . . . δ

sljl

= δi1...iks1...slr1...rkj1...jl,

(o delta de Kronecker para multi-ındices e definido de forma analoga ao delta de Kronecker usual) segue que

0 = T (er1 , . . . , erk , es1 , . . . , esl) =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

Cj1...jli1...ikδi1...iks1...slr1...rkj1...jl

= Cs1...slr1...rk

para todos os ındices r1, . . . , rk, s1, . . . , sl = 1, . . . , n. Este resultado mostra que um tensor e completamente determinado pela sua acao em todas as sequenciaspossıveis de covetores e vetores das bases de V ∗ e V .

Observe que, se F ∈ T kl (V ), G ∈ T pq (V ) e T = F ⊗G ∈ T k+pl+q (V ), entao

Tj1...jljl+1...jl+qi1...ikik+1...ik+p

= T(ei1 , . . . , eik , eik+1

, . . . , eik+p , ej1 , . . . , ejl , ejl+1 , . . . , ejl+q

)= F

(ei1 , . . . , eik , e

j1 , . . . , ejl)G(eik+1

, . . . , eik+p , ejl+1 , . . . , ejl+q

)de modo que


= F j1...jli1...ikGjl+1...jl+qik+1...ik+p

. (1.29)

1.4.3 Mudanca de Base

1.23 Proposicao. Sejam B1 = e1, . . . , en ,B2 = f1, . . . , fn duas bases para o espaco vetorial V eB∗1 =

e1, . . . , en

,B∗2 =

f1, . . . , fn

as respectivas bases duais para V ∗. Sejam A a matriz de mudanca

de coordenadas da base B1 para a base B2, e(A−1

)Ta matriz de mudanca de coordenadas da base dual B∗1

para a base dual B∗2, isto e,

ei =

n∑j=1

Ajifj e ek =

n∑l=1

(A−1

)klf l.

Sejam

T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

Ej1...jli1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl

=

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

F j1...jli1...ikf i1 ⊗ . . .⊗ f ik ⊗ fj1 ⊗ . . .⊗ fjl

as expressoes em coordenadas para um tensor T ∈ T kl (V ) em relacao a estas bases. Entao

Ej1...jli1...ik=

n∑r1,...,rk=1s1,...,sl=1

Ar1i1 . . . Arkik

(A−1

)j1s1. . .(A−1

)jlslF s1...slr1...rk

. (1.30)


Prova. Segue da ultima proposicao e por multilinearidade que

Ej1...jli1...ik

= T(ei1 , . . . , eik , e

j1 , . . . , ejl)

= T

(n∑

r1=1

Ar1i1 fr1 , . . . ,

n∑rk=1

Arkik frk ,

n∑s1=1

(A−1

)j1s1fs1 , . . . ,

n∑sl=1

(A−1

)jlslfsl

)

=

n∑r1,...,rk=1s1,...,sl=1

Ar1i1 . . . Arkik

(A−1

)j1s1. . .(A−1

)jlslT (fr1 , . . . , frk , f

s1 , . . . , fsl)

=

n∑r1,...,rk=1s1,...,sl=1

Ar1i1 . . . Arkik

(A−1

)j1s1. . .(A−1

)jlslF s1...slr1...rk

.

1.24 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel. Para cada p ∈ M definimos o espaco tensorialtangente T kl (TpM) a M em p. Seja ϕ : U −→ ϕ (U) uma carta de uma vizinhanca de um ponto p ∈M . Abase coordenada

Bp =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

do espaco tangente TpM associada a carta ϕ e sua respectiva base dual

B∗p =dx1∣∣p, . . . , dxn|p

dao origem a base coordenada associada a carta ϕ para o espaco tensorial tangente T kl (TpM)

(Bkl)p

=

dxi1

∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂

∂xj1

∣∣∣∣p

⊗ . . .⊗ ∂

∂xjl

∣∣∣∣p

16i1,...,ik6n16j1,...,jl6n

(1.31)

1.25 Corolario. Seja M uma variedade diferenciavel n-dimensional e ϕ : U −→ ϕ (U) , ψ : V −→ ψ (V )duas cartas para vizinhancas de p = ϕ (x) = ψ (y) em M . Sejam

Bx =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

,

By =

∂

∂y1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂yn

∣∣∣∣p

as bases coordenadas de TpM induzidas pelas cartas ϕ e ψ, respectivamente, e

B∗x =dx1∣∣p, . . . , dxn|p

,

B∗y =dy1∣∣p, . . . , dyn|p


suas respectivas bases duais. Sejam

Tp =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

Ej1...jli1...ik(p) dxi1

∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂

∂xj1

∣∣∣∣p

⊗ . . .⊗ ∂

∂xjl

∣∣∣∣p

=

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

F j1...jli1...ik(p) dyi1

∣∣p⊗ . . .⊗ dyik

∣∣p⊗ ∂

∂yj1

∣∣∣∣p

⊗ . . .⊗ ∂

∂yjl

∣∣∣∣p

as expressoes em coordenadas para um tensor Tp ∈ T kl (TpM) em relacao a estas bases. Entao

Ej1...jli1...ik(p) =

n∑r1,...,rk=1s1,...,sl=1

∂yr1

∂xi1. . .

∂yrk

∂xik∂xj1

∂ys1. . .

∂xjl

∂yslF s1...slr1...rk

(p) . (1.32)

Prova: Segue das Proposicoes 1.12, 1.15 e 1.23.

1.4.4 Traco de Tensores

O traco de uma matriz A =(Aij)n×n e definido por

trA =

n∑i=1

Aii.

A partir disso pode-se definir o traco de um operador linear sobre um espaco vetorial real de dimensao finitacomo sendo o traco de qualquer uma de suas representacoes matriciais com respeito a uma base fixada poispode-se provar que o traco independe da base escolhida, ou seja, que o traco e uma nocao independente decoordenadas. Usando o isomorfismo natural entre o espaco vetorial End (V ) dos operadores lineares sobre Ve T 1

1 (V ), podemos definir logo de inıcio o traco para operadores lineares independemente de coordenadas.Alem da vantagem obvia de se ter uma definicao que nao se refere a coordenadas, a maior vantagem e queela sera naturalmente generalizada para definir o traco de tensores.

Observe que e uma consequencia da Proposicao 1.22 que os produtos tensoriais da forma ω⊗ v, ω ∈ V ∗,v ∈ V , geram T 1

1 (V ); em outras palavras, todo (1, 1)-tensor e uma combinacao linear de tais produtostensoriais.

1.26 Definicao. O traco de (1, 1)-tensores e o funcional linear tr : T 11 (V ) −→ R definido por

tr (ω ⊗ v) = ω (v)

em produtos tensoriais e estendido linearmente a todo T 11 (V ).

Se Φ : End (V ) −→ T 11 (V ) e o endomorfimo natural, entao o traco de um operador linear A ∈ End (V )

e definido portrA = tr (Φ (A)) .

1.27 Proposicao. Se T ∈ T 11 (V ) se escreve em coordenadas na forma

T =

n∑i,j=1

T ji ei ⊗ ej ,

entao

trT =

n∑i=1

T ii . (1.33)


Se A ∈ End (V ), entao

trA =

n∑i=1

Aii. (1.34)

Prova: Por definicao,

trT =

n∑i,j=1

T ji tr(ei ⊗ ej

)=

n∑i,j=1

T ji ei (ej) =

n∑i,j=1

T ji δij =

n∑i=1

T ii .

Daı, como

trA =

n∑i=1

[Φ (A)]ii ,

e, pela Proposicao 1.18,

[Φ (A)]ji = Φ (A)

(ei, e

j)

= ej (Aei) = ej

(n∑k=1

Aki ek

)

=

n∑k=1

Aki ej (ek) =

n∑k=1

Aki δjk

= Aji ,

segue a segunda expressao. O conceito de traco pode ser generalizado para tensores de qualquer tipo, produzindo uma operacao que

diminui a ordem total do tensor em 2, 1 para a parte covariante e 1 para a parte contravariante. Antesobserve que, dado um tensor T do tipo (k, l) e ındices p, q, cada (k − 1, l − 1)-upla fixada(

v1, . . . , vp−1, vp+1, . . . , vk, ω1, . . . , ωq−1, ωq+1, . . . , ωl

)∈ V k−1 × (V ∗)

l−1

define um tensor S ∈ T 11 (V ), que depende da (k − 1, l − 1)-upla escolhida, atraves da expressao

S (v, ω) = T(v1, . . . , vp−1, v, vp+1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωq−1, ω, ωq+1, . . . , ωl).

Em outras palavras, fixados v1, . . . , vp−1, vp+1, . . . , vk, ω1, . . . , ωq−1, ωq+1, . . . , ωl,

T(v1, . . . , vp−1, ·, vp+1, . . . , vk, ω

1, . . . , ωq−1, ·, ωq+1, . . . , ωl)

e um (1, 1)-tensor.

1.28 Definicao. Dado um tensor T do tipo (k, l) e ındices p, q, o traco de T com respeito aos ındices p, q(ındice covariante p e ındice contravariante q) e o tensor trT do tipo (k − 1, l − 1) definido por

(trT )(v1, . . . , vp−1, vp, . . . , vk−1, ω

1, . . . , ωq−1, ωq, . . . , ωl−1)

= trT(v1, . . . , vp−1, ·, vp, . . . , vk−1, ω

1, . . . , ωq−1, ·, ωq, . . . , ωl−1).

Se for necessario explicitar os ındices em relacao aos quais foi tomado o traco, denotaremos trpq T .

1.29 Proposicao. Se T ∈ T kl (V ) se escreve em coordenadas na forma

T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikei1 ⊗ . . .⊗ eik ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl .


entao as coordenadas de

trT =

n∑i1,...,ik−1=1j1,...,jl−1=1

(trT )j1...jl−1

i1...ik−1ei1 ⊗ . . .⊗ eik−1 ⊗ ej1 ⊗ . . .⊗ ejl−1

sao dadas por

(trT )j1...jl−1

i1...ik−1=

n∑i=1

Tj1...jq−1ijq...jk−1

i1...ip−1iip...il−1. (1.35)

Prova: Por definicao, se S e o tensor T(ei1 , . . . , eip−1

, ·, eip , . . . , eik−1, ej1 , . . . , ejq−1 , ·, ejq , . . . , ejl−1

), entao

(trT )j1...jl−1

i1...ik−1= (trT )

(ei1 , . . . , eip−1

, eip , . . . , eik−1, ej1 , . . . , ejq−1 , ejq , . . . , ejl−1

)= trS

=

n∑i=1

Sii

=

n∑i=1

T(ei1 , . . . , eip−1

, ei, eip , . . . , eik−1, ej1 , . . . , ejq−1 , ei, ejq , . . . , ejl−1

)=

n∑i=1

Tj1...jq−1ijq...jl−1

i1...ip−1iip...ik−1.

1.5 Fibrados Tensoriais

1.30 Definicao. SejaM uma variedade diferenciavel de dimensao n com um atlas Φ = ϕα : Uα −→Mα∈A.

O fibrado (k, l)-tensorial de M e a variedade diferenciavel de dimensao n+ nk+l

T kl M =

(p, T ) : p ∈M e T ∈ T kl (TpM)

com um atlasΨ =

ψα : Uα × Rn

k+l

−→ T kl TMα∈A

definido por

ψα

(x,(T j1...jli1...ik

)i1,...,ik=1,...,nj1,...,jl=1...,n

)

=

ϕα (x) ,

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikdxi1

∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂

∂xj1

∣∣∣∣p

⊗ . . .⊗ ∂

∂xjl

∣∣∣∣p

.

Fibrados tensoriais sao fibrados vetoriais (veja o Exercıcio 1.3). Note que

T 0M = C∞ (M) ,

T1M = TM,

T 1M = T ∗M,

T k0 M = T kM,

T 0l M = TlM.


O fibrado T 1M e chamado o fibrado cotangente.

1.6 Campos Tensoriais

1.31 Definicao. Um campo tensorial e uma secao do fibrado tensorial. Um campo tensorial dife-renciavel e uma secao diferenciavel do fibrado tensorial.

O espaco vetorial dos campos (k, l)-tensoriais diferenciaveis e denotado por Tkl (M).

A menos que seja dito o contrario, lidaremos apenas com campos tensoriais diferenciaveis. Note que

T0 (M) = C∞ (M) ,

T1 (M) = T (M) ,

Tk0 (M) = Tk (M) ,

T0l (M) = Tl (M) .

e T1M e o espaco vetorial dos campos covetoriais.

1.32 Proposicao. Seja T : M −→ T kl M um campo tensorial. Para cada carta ϕ : U −→ V uma vizinhancaV de M , denote a base coordenada associada para o espaco tensorial T kl (TpM) por

(Bkl)p

=

dxi1

∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂

∂xj1

∣∣∣∣p

⊗ . . .⊗ ∂

∂xjl

∣∣∣∣p

16i1,...,ik6n16j1,...,jl6n

para todo p ∈ V , de modo que nesta base coordenada o campo tensorial T se escreve na forma

Tp =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ik(p) dxi1

∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂

∂xj1

∣∣∣∣p

⊗ . . .⊗ ∂

∂xjl

∣∣∣∣p

. (1.36)

Entao T e um campo tensorial diferenciavel se e somente se para toda carta ϕ as funcoes T j1...jli1...ik: V −→ R

sao diferenciaveis para todos os ındices i1, . . . , ik, j1, . . . , jl = 1 . . . , n.

1.7 Exercıcios

1.33 Exercıcio. Defina explicitamente o fibrado cotangente e mostre que ele e um fibrado vetorial. Definaexplicitamente o conceito de campos covetoriais.

1.34 Exercıcio. Mostre que o fibrado tensorial definido pela Definicao 1.26 e de fato uma variedade dife-renciavel.

1.35 Exercıcio. Mostre que um fibrado tensorial e um fibrado vetorial.

1.36 Exercıcio. Demonstre a Proposicao 1.32

1.37 Exercıcio. Seja T : M −→ T kl M uma secao do fibrado tensorial. Mostre que T e diferenciavel (e,portanto, um campo tensorial diferenciavel) se e somente se para toda vizinhanca V ⊂M e para todos os cam-pos vetoriais X1, . . . , Xk e para todas os campos covetoriais ω1, . . . , ωl a funcao T

(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

:V −→ R definida por

T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

(p) = Tp(X1 (p) , . . . , Xk (p) , ω1 (p) , . . . , ωl (p)

)e diferenciavel.

Capıtulo 2

Metricas Riemannianas

2.1 Definicao e Exemplos

2.1 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel de dimensao n. Uma metrica riemanniana em M eum campo 2-tensorial covariante diferenciavel g com as seguintes propriedades:

(i) g e simetrico, isto e, gp (v, w) = gp (w, v) para todos v, w ∈ TpM ;(ii) g e positivo definido, isto e, gp (v, v) > 0 para todo v ∈ TpM , v 6= 0.Uma variedade diferenciavel M com uma metrica riemanniana g dada e chamada uma variedade rie-

manniana.

Em outras palavras, uma metrica riemanniana em M e uma aplicacao que associa a cada ponto p ∈M umproduto interno (isto e, uma forma bilinear simetrica, positiva definida)

gp = 〈·, ·〉p

no espaco tangente TpM que varia diferenciavelmente com p no sentido de que se ϕ : U −→ V e uma

carta para uma vizinhanca coordenada V de M e Bp =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

e a base coordenada de TpM

associada a esta carta para cada p ∈ V , entao as funcoes gij : V −→ R

gij (p) =

⟨∂

∂xi

∣∣∣∣p

,∂

∂xj

∣∣∣∣p

⟩p

(2.1)

sao diferenciaveis. De fato, escrevendo o tensor metrica em coordenadas, temos

gp =

n∑i,j=1

gij (p) dxi∣∣p⊗ dxj

∣∣p, (2.2)

e as funcoes componentes gij do tensor metrica g sao diferenciaveis para toda parametrizacao ϕ se e somentese g e diferenciavel.

Omitindo o sımbolo do ponto de atuacao p, como frequentemente faremos, escrevemos simplesmente

gij =

⟨∂

∂xi,∂

∂xj

⟩(2.3)

e notamos que a simetria do tensor metrica implica que

gij = gji. (2.4)

47


Em particular, quando consideramos a matriz

G = (gij) (2.5)

segue que G e uma matriz simetrica, positiva definida. Observe que devido a simetria existem apenas

n (n+ 1)

2

componentes potencialmente distintos do tensor metrica, ao inves dos n2 componentes distintos para um2-tensor covariante geral.

Usando o produto simetrico de tensores (veja [Lee 1], Cap. 12, p. 315), que no caso de covetores esimplesmente

ωη :=1

2(ω ⊗ η + η ⊗ ω) (2.6)

e a simetria do tensor metrica, podemos escrever a expressao

g =

n∑i,j=1

gijdxi ⊗ dxj

na forma mais familiar

g =

n∑i,j=1

gijdxidxj , (2.7)

ja que

g =

n∑i,j=1

gijdxi ⊗ dxj =

n∑i,j=1

1

2(gij + gji) dx

i ⊗ dxj

=1

2

n∑i,j=1

gijdxi ⊗ dxj +

1

2

n∑i,j=1

gjidxi ⊗ dxj

=1

2

n∑i,j=1

gijdxi ⊗ dxj +

1

2

n∑i,j=1

gijdxj ⊗ dxi (permutando os ındices i, j)

=

n∑i,j=1

gij1

2

(dxi ⊗ dxj + dxj ⊗ dxi

)=

n∑i,j=1

gijdxidxj .

Estritamente falando, uma variedade riemanniana e um par (M, g), onde M e uma variedade diferenciavele g a metrica riemanniana, ja que uma mesma variedade diferenciavel pode admitir diferentes metricasriemannianas, como veremos no decorrer deste texto. Contudo, quando nao houver perigo de confusao, nosvamos nos referir a variedade riemanniana simplesmente por M .

2.2 Exemplo (Metrica Euclidiana). A variedade riemanniana mais simples e Rn com a metrica euclidianagij = 〈ei, ej〉 = δij .

2.3 Proposicao. Toda variedade diferenciavel possui uma metrica riemanniana.

Prova: Seja ϕα : Uα −→ Vαα um atlas para M e fαα uma particao da unidade de M subordinada acobertura Vαα.


Em cada Vα podemos definir uma metrica riemanniana, aquela induzida pela carta: dado p ∈M e vetores

v, w ∈ TpM , eles se escrevem em coordenadas com relacao a base Bp =

∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

associada a

carta ϕα por

v =

n∑i=1

vi∂

∂xi

∣∣∣∣p

e w =

n∑j=1

wj∂

∂xj

∣∣∣∣p

e definimos o produto interno

〈v, w〉αp =

n∑i=1

viwi.

Esta e uma metrica riemanniana na subvariedade Vα com gαij = δij . Para obter uma metrica riemannianaglobal em M , usamos a particao da unidade, definindo

〈v, w〉p =∑α

fα (p) 〈v, w〉αp .

De fato, esta soma e finita em uma vizinhanca de p, portanto define um tensor diferenciavel em M ; alemdisso, como uma combinacao linear finita positiva de produtos internos e um produto interno, ela define umproduto interno em TpM .

2.4 Exemplo (Metrica Produto). Se (M1, g1) e (M2, g2) sao duas variedades riemannianas, entao defi-nimos a metrica produto g = g1 ⊕ g2 na variedade produto M1 ×M2 por

g(p1,p2) ((v1, w1) , (v2, w2)) = (g1)p1 (v1, v2) + (g2)p2 (w1, w2) (2.8)

para todos (v1, w1) , (v2, w2) ∈ Tp1M1 ⊕ Tp2M2∼= T(p1,p2) (M1 ×M2). Observe que a matriz associada a

metrica G e a matriz diagonal em blocos

G =

[G1 00 G2

]=

[(g1)ij 0

0 (g2)ij

].

2.5 Definicao. Sejam M,N variedades riemannianas. Um difeomorfismo F : M −→ N e uma isometriase

〈v, w〉p = 〈dFpv, dFpw〉F (p) (2.9)

para todo p ∈M e para todos v, w ∈ TpM . Se existir uma isometria entre M e N , dizemos que M e N saoisometricas.

Dizemos que M e N sao localmente isometricas se para todo p ∈ M existe uma vizinhanca Vp de pem M e uma isometria F : Vp −→ F (Vp).

Dizemos que uma variedade riemanniana (M, g) e plana, se ela e localmente isometrica a Rn com ametrica euclidiana.

Observe que o conjunto das isometrias em uma variedade riemanniana possui uma estrutura natural de grupoem que o produto de isometrias e definido como a composicao das aplicacoes. Este grupo e denotado por

Isom (M) .

2.6 Exemplo. O grupo de isometrias de Rn com a metrica euclidiana consiste das composicoes de aplicacoesortogonais e translacoes.


E facil ver que isometria e uma relacao de equivalencia na classe das variedades riemannianas. GeometriaRiemanniana e principalmente o estudo das propriedades que sao invariantes por isometrias.Uma excelentereferencia para o estudo de grupos de isometrias de variedades riemannianas e [Kobayashi].

Dizemos que uma aplicacao diferenciavel F : M −→ N entre variedades diferenciaveis e uma imersao sedFp e injetiva para todo p ∈M .

2.7 Definicao. Sejam M uma variedade diferenciavel, (N,h) uma variedade riemanniana e F : M −→ Numa imersao. A metrica induzida por F em M (tambem chamada a metrica do pullback) e denotadapor

g = F ∗h

e definida por〈v, w〉p := 〈dFpv, dFpw〉F (p) (2.10)

para todo p ∈M e para todos v, w ∈ TpM .

Com esta metrica definida em M , a imersao F torna-se uma imersao isometrica. Na linguagem dopullback, um difeomorfismo F entre duas variedades riemannianas (M, g) e (N,h) e uma isometria se

g = F ∗h.

2.8 Exemplo (Superfıcies n-dimensionais em RN ). Seja M ⊂ Rn+k uma variedade diferenciavel dedimensao n, isto e, uma superfıcie n-dimensional. A aplicacao inclusao i : M −→ Rn+k e uma imersao, demodo que, se assumirmos a metrica euclidiana em Rn+k, ela induz em M uma metrica riemanniana. Nestecaso, a inclusao passa a ser uma imersao isometrica. Daı, como a diferencial dip da inclusao e a inclusaonatural de TpM em Rn+k, segue que

〈v, w〉p = 〈v, w〉Rn+k (2.11)

onde 〈·, ·〉Rn+k e o produto interno canonico de Rn+k. Uma demonstracao alternativa de que toda variedadediferenciavel possui uma metrica segue entao do Teorema da Imersao de Whitney (isto e, toda variedadediferenciavel de dimensao n pode ser mergulhada em R2n; um mergulho e uma imersao injetiva): a metricainduzida pela metrica euclidiana em Rn. Diferentes cartas podem ser usadas para a mesma superfıcie n-dimensional, cada uma dando origem a componentes gij mais ou menos simples.

Um exemplo de superfıcie n-dimensional e o grafico de uma funcao real. Se U ⊂ Rn e um aberto ef : U → R e uma funcao, entao o grafico de f

graf (f) = (x, f (x)) : x ∈ U

e uma variedade diferenciavel com a topologia induzida de Rn+1 de dimensao n. Uma carta global para ografico de f e ϕ : Rn −→ graf(f) definida por

ϕ(x1, . . . , xn

)=(x1, . . . , xn, f

(x1, . . . , xn

)).

Como

∂ϕk

∂xj=

δkj se k 6= n+ 1,∂f

∂xjse k = n+ 1,

ou seja,∂ϕ

∂xj(x) =

(0, . . . , 0, 1

j, 0, . . . 0,

∂f

∂xj(x)

)segue que

gij (x) =

⟨∂ϕ

∂xi(x) ,

∂ϕ

∂xj(x)

⟩(x,f(x))

=

⟨∂ϕ

∂xi(x) ,

∂ϕ

∂xj(x)

⟩Rn+1

= δij +∂f

∂xi∂f

∂xj. (2.12)


Outro exemplo de superfıcie 2-dimensional e uma superfıcie de revolucao gerada por uma curva. Espe-cificamente seja γ : I −→ R2, γ (t) = (α (t) , β (t)) uma curva parametrizada regular tal que β (t) 6= 0 paratodo t ∈ I; podemos imaginar γ contida no plano yz definindo

γ (t) = (0, α (t) , β (t)) .

Se girarmos esta curva ao redor do eixo z obteremos uma superfıcie parametrizada regular S. A imagem deS e a imagem da aplicacao ϕ : I × R −→ R3 dada por

ϕ (t, θ) = (α (t) cos θ, α (t) sen θ, β (t)) ;

a partir de ϕ podemos obter cartas locais restringindo o parametro θ a um intervalo aberto de comprimento2π. Daı,

∂ϕ

∂t(t, θ) = (α′ (t) cos θ, α′ (t) sen θ, β′ (t)) ,

∂ϕ

∂θ(t, θ) = (−α (t) sen θ, α (t) cos θ, 0) ,

donde

g11 (t, θ) =

⟨∂ϕ

∂t(t, θ) ,

∂ϕ

∂t(t, θ)

⟩ϕ(t,θ)

=

⟨∂ϕ

∂t,∂ϕ

∂t

⟩R3

= [α′ (t)]2

+ [β′ (t)]2,

g12 (t, θ) =

⟨∂ϕ

∂t(t, θ) ,

∂ϕ

∂θ(t, θ)

⟩ϕ(t,θ)

=

⟨∂ϕ

∂t,∂ϕ

∂θ

⟩R3

= 0,

g22 (t, θ) =

⟨∂ϕ

∂θ(t, θ) ,

∂ϕ

∂θ(t, θ)

⟩ϕ(t,θ)

=

⟨∂ϕ

∂θ,∂ϕ

∂θ

⟩R3

= [α (t)]2.

Portanto

G (t, θ) =

[[α′ (t)]

2+ [β′ (t)]

20

0 [α (t)]2

].

2.9 Exemplo (Esfera). A metrica euclidiana induz uma metrica na esfera de raio R

SnR =x ∈ Rn+1 : ‖x‖2 =

(x1)2

+ . . .+(xn+1

)2= R2

que chamaremos a metrica canonica de SnR. Denotaremos a esfera unitaria por Sn, simplesmente. Vamosver os coeficientes gij para diferentes cartas da esfera.

a) Como grafico de funcao:O hemisferio superior da esfera e o grafico da funcao f : BR ⊂ Rn −→ R dada por f

(x1, . . . , xn

)=√

R2 − (x1)2 − . . .− (xn)

2. Como

∂f

∂xi(x) =

−xi√R2 − ‖x‖2

,

segue que

gij (x) = δij +xixj

R2 − ‖x‖2. (2.13)

Similarmente para o hemisferio inferior. Estas cartas nao cobrem o equador da esfera.b) Como superfıcie de revolucao:A parametrizacao da esfera de raio R como superfıcie de revolucao e

(x, y, z) (φ, θ) = (R senφ cos θ,R senφ sen θ,R cosφ).


Segue que

G (φ, θ) =

[R2 00 R2 sen2 φ

].

c) Atraves da projecao estereografica:Na projecao estereografica a partir do polo norte N = (0, . . . , 0, R), a reta a partir de N que intercepta o

plano xn+1 = 0 em um ponto x =(x1, . . . , xn, 0

), intercepta a esfera em um ponto ϕ (x). Portanto, a carta

projecao estereografica a partir do polo norte ϕ : Rn −→ SnR\ N e definida por

ϕ (x) = N + t (x−N) =(tx1, . . . , txn, (1− t)R

)onde t > 0 e tal que ‖ϕ (x)‖ = R. Ou seja, t e tal que

t2 ‖x‖2 + (1− t)2R2 = R2,

donde

t =2R2

R2 + ‖x‖2.

Logo,

ϕ(x1, . . . , xn

)=

(2R2x1

R2 + ‖x‖2, . . . ,

2R2xn

R2 + ‖x‖2, R‖x‖2 −R2

R2 + ‖x‖2

), (2.14)

donde

∂ϕk

∂xj(x) =

2R2δkj

R2 + ‖x‖2− 4R2xjxk(

R2 + ‖x‖2)2 se k 6= n+ 1,

4R3xj(R2 + ‖x‖2

)2 se k = n+ 1.

Segue que as componentes do tensor metrica nas coordenadas dadas pela carta ϕ sao

gij (x) =

⟨∂ϕ

∂xi(x) ,

∂ϕ

∂xj(x)

⟩ϕ(x)

=

⟨n+1∑k=1

∂ϕk

∂xi(x) ek,

n+1∑l=1

∂ϕl

∂xj(x) el

⟩Rn+1

=

n+1∑k,l=1

∂ϕk

∂xi∂ϕl

∂xj〈ek, el〉Rn+1 =

n+1∑k,l=1

∂ϕk

∂xi∂ϕl

∂xjδkl =

n+1∑k=1

∂ϕk

∂xi∂ϕk

∂xj

=

n∑k=1

2R2δki

R2 + ‖x‖2− 4R2xixk(

R2 + ‖x‖2)2

2R2δkj

R2 + ‖x‖2− 4R2xjxk(

R2 + ‖x‖2)2

+16R6xixj(R2 + ‖x‖2

)4

=

n∑k=1

4R4δkiδkj(R2 + ‖x‖2

)2 −8R4

(δkix

jxk + δkjxixk)(

R2 + ‖x‖2)3 +

16R4xixj(xk)2(

R2 + ‖x‖2)4

+16R6xixj(R2 + ‖x‖2

)4

=4R4δij(

R2 + ‖x‖2)2 −

16R4xixj(R2 + ‖x‖2

)3 +16R4xixj ‖x‖2(R2 + ‖x‖2

)4 +16R6xixj(R2 + ‖x‖2

)4

=4R4δij(

R2 + ‖x‖2)2 −

16R4xixj(R2 + ‖x‖2

)3 +16R4xixj(R2 + ‖x‖2

)3

=4R4δij(

R2 + ‖x‖2)2 .


Vamos anotar este resultado para futura referencia:

gij (x) =4R4(

R2 + ‖x‖2)2 δij . (2.15)

Observe que

G (x) =

4R4(R2 + ‖x‖2

)2

. . .

4R4(R2 + ‖x‖2

)2

=

4R4(R2 + ‖x‖2

)2 I.

Usando a projecao estereografica a partir do polo sul obtemos duas cartas que cobrem toda a esfera.

2.10 Exemplo (Espaco Hiperbolico). Considere o semiespaco superior de Rn

Hn =(x1, . . . , xn

)∈ Rn : xn > 0

.

Com a topologia induzida como aberto de Rn, Hn e uma superfıcie diferenciavel de dimensao n. Dado R > 0,se definirmos em Hn a metrica

gij(x1, . . . , xn

)=δijR

2

(xn)2 , (2.16)

entao Hn com esta metrica, denotado HnR, e uma variedade riemanniana chamada o espaco hiperbolicon-dimensional. Observe que

G =

R2

(xn)2

. . .

R2

(xn)2

=R2

(xn)2 I.

2.11 Exemplo (Toros). O toro mergulhado em R3 e uma superfıcie de revolucao gerada pelo cırculo.Tomando o cırculo com centro em (R, 0) e raio r < R com parametrizacao γ (t) = (R+ r cos t, r sen t)obtemos a parametrizacao para o toro bidimensional como superfıcie de revolucao

ϕ (t, θ) = ((R+ r cos t) cos θ, (R+ r cos t) sen θ, r sen t)

cuja respectiva metrica e dada por

G (t, θ) =

[r2 0

0 (R+ r cos t)2

].

Outra metrica induzida de RN importante para o toro, nao localmente isometrica a metrica dada acima(como veremos depois) e a metrica plana do toro: considerando o toro como a superfıcie n-dimensionalTn = S1 × . . . × S1 ⊂ R2n, a metrica euclidiana de R2n induz uma metrica no toro da seguinte forma.Escrevendo

Tn = S1 × . . .× S1 =x ∈ R2n :

(x1)2

+(x2)2

=(x3)2

+(x4)2

= . . . =(x2n−1

)2+(x2n)2

= 1,


vemos que uma parametrizacao ϕ : Rn −→ Tn para este toro e dada por

ϕ (θ) = ϕ(θ1, . . . , θn

)=(cos θ1, sen θ1, . . . , cos θn, sen θn

).

Temos, portanto,

∂ϕk

∂θj(θ) =

− sen θj se k = 2j − 1,cos θj se k = 2j,0 se k 6= 2j − 1, 2j.

ou seja,∂ϕ

∂θj=

(0, . . . , 0,− sen θj

2j−1, cos θj

2j, 0, . . . 0

)Daı

gij (θ) =

⟨∂ϕ

∂θi(θ) ,

∂ϕ

∂θj(θ)

⟩ϕ(θ)

=

⟨∂ϕ

∂θi(θ) ,

∂ϕ

∂θj(θ)

⟩R2n

= δij , (2.17)

que sao os mesmos componentes da metrica euclidiana. Portanto, o toro plano e localmente isometrico aoplano Rn. Observe que considerando T2 como uma superfıcie de R3 ou como uma superfıcie de R4 defineduas metricas completamente diferentes para a mesma superfıcie.

2.2 Comprimentos e Volumes

2.2.1 Comprimentos de Curvas Parametrizadas

Em variedades riemannianas podemos definir e calcular o comprimento de curvas parametrizadas, isto e,curvas diferenciaveis por partes γ : I −→M , onde I ⊂ R e um intervalo real; curvas parametrizadas podempossuir autointersecoes e ate mesmo cuspides ou quinas. Um segmento de uma curva parametrizada γ euma restricao de γ a um intervalo fechado [a, b] ⊂ I. Se M e uma variedade riemanniana, a norma oucomprimento de um vetor v ∈ TpM e a norma induzida pelo produto interno:

‖v‖p =√〈v, v〉p. (2.18)

2.12 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana e γ : I −→M uma curva parametrizada. O compri-mento do segmento de γ definido no intervalo [a, b] ⊂ I e definido por

` (γ) =

∫ b

a

‖γ′ (t)‖γ(t) dt. (2.19)

2.13 Exemplo. Considere a curva parametrizada γ (t) = (0, t) no semiespaco positivo R2+; temos γ′ (t) =

(0, 1) = e2. Se R2+ e considerado uma subvariedade riemanniana do plano euclideano, entao

` (γ) =

∫ b

a

‖e2‖(0,t) dt =

∫ b

a

dt = b− a.

Se R2+ e o plano hiperbolico H2, entao (para a, b > 0)

` (γ) =

∫ b

a

‖e2‖(0,t) dt =

∫ b

a

1

tdt = log b− log a.

Em particular, fixando b = 1 temos ` (γ)→ +∞ quando a→ 0.


2.2.2 Volumes em Variedades Riemannianas Orientaveis

A metrica riemanniana tambem permite definir uma nocao de volume em variedades orientadas que permiteintegrar funcoes, nao apenas formas diferenciais. Seja M uma variedade riemanniana orientada. Dadop ∈ M , seja Bp = e1, . . . , en uma base ortonormal positiva para TpM . Seja ϕ : U −→ ϕ (U) umaparametrizacao positiva (isto e, na mesma orientacao de M ; para detalhes, veja por exemplo [Carmo], p.18) de uma vizinhanca ϕ (U) de p em M e escreva os vetores da base coordenada de TpM associada a cartaϕ em coordenadas em relacao a base ortonormal positiva Bp na seguinte forma:

∂

∂xi

∣∣∣∣p

=

n∑k=1

Aki ek

para i = 1, . . . , n. Entao

gij (p) =

⟨∂

∂xi

∣∣∣∣p

,∂

∂xj

∣∣∣∣p

⟩p

=

⟨n∑k=1

Aki ek,n∑l=1

Aljel

⟩p

=

n∑k,l=1

AkiAlj 〈ek, el〉p =

n∑k,l=1

δklAkiA

lj

=

n∑k=1

AkiAkj .

Ou seja, definindo as matrizes G = (gij) e A =(Aij), temos

G (p) = ATA

dondedetG = (detA)

2.

Denotando por vol [v1, . . . , vn] o volume do paralelepıpedo formado pelos vetores v1, . . . , vn, sabemos que

vol

[∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

]= detA vol [e1, . . . , en] = detA =

√detG (p) ,

ja que vol [e1, . . . , en] = 1. Seja ψ : V −→ ψ (V ) outra carta positiva de uma vizinhanca ψ (V ) de p em Me escreva os vetores da base coordenada associada a carta ϕ em termos dos vetores da base coordenada deTpM associada a parametrizacao ψ

∂

∂xi

∣∣∣∣p

=

n∑j=1

Jji∂

∂yj

∣∣∣∣p

(2.20)

com Jji = ∂yj/∂xi. Denote

hij (p) =

⟨∂

∂yi

∣∣∣∣p

,∂

∂yj

∣∣∣∣p

⟩p

eH = (hij) .

Segue que

√detG (p) = vol

[∂

∂x1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂xn

∣∣∣∣p

]= det J vol

[∂

∂y1

∣∣∣∣p

, . . . ,∂

∂yn

∣∣∣∣p

](2.21)

= det J√

detH (p) .

Podemos agora definir o volume.


2.14 Definicao. Seja Mn uma variedade riemanniana e Ω ⊂ M um conjunto aberto, conexo e com fechocompacto, tal que Ω esta contida em uma vizinhanca coordenada ϕ (U) de uma parametrizacao ϕ : U −→ϕ (U) e a fronteira de ϕ−1 (Ω) tem medida nula em Rn. O volume de Ω e definido por

vol Ω =

∫ϕ−1(Ω)

√detGdx1 . . . dxn. (2.22)

Se Ω ⊂M e um compacto, tome qualquer cobertura finita Vii=1,...,n de Ω por vizinhancas parametrizadasde M e considere uma particao da unidade ρii=1,...,n subordinada a esta cobertura; se ϕi : Ui −→ Vi,i = 1, . . . , n, sao parametrizacoes destas vizinhancas, definimos

vol Ω =

n∑i=1

∫ϕ−1i (Ω)

ρi√

detGdx1 . . . dxn. (2.23)

Se f : M −→ R e uma funcao contınua com suporte compacto Ω, definimos∫M

f dVg =

n∑i=1

∫ϕ−1i (Ω)

f(ϕ−1i (x)

)√detGdx1 . . . dxn. (2.24)

Segue da formula de mudanca de variaveis para integrais multiplas e de (2.21) que o volume esta bemdefinido, isto e, nao depende da carta. Na linguagem de formas, o elemento de volume riemanniano

dVg =√

detGdx1 . . . dxn =√

detGdx1 ∧ . . . ∧ dxn (2.25)

e uma n-forma (para um tratamento usando formas, veja [Lee 2] e especialmente [Lee 1], Cap. 16, p. 422em diante, que traz o teorema de Stokes e suas varias versoes para variedades riemannianas).

2.3 Grupos de Lie e Algebras de Lie

O grupo de isometrias de uma variedade Riemanniana e um grupo de Lie, como pode ser visto em [Kobayashi].

2.15 Definicao. Um grupo de Lie G e uma variedade diferenciavel que possui uma estrutura algebricade grupo tal que a aplicacao

G×G −→ G

(g, h) 7→ gh−1

e diferenciavel.

2.16 Proposicao. Seja G um grupo que e uma variedade diferenciavel. Entao G e um grupo de Lie se esomente se as aplicacoes

G −→ G

g 7→ g−1

e

G×G −→ G

(g, h) 7→ gh

sao diferenciaveis.


Prova: Suponha que G e um grupo de Lie. Entao a primeira aplicacao e diferenciavel porque e a compostadas aplicacoes diferenciaveis

G −→ G×G −→ Gx 7→ (e, g) 7→ eg−1 = g−1

(lembre-se que a inclusao na variedade produto sempre e uma aplicacao diferenciavel). A segunda e dife-renciavel porque e a composta das aplicacoes diferenciaveis

G×G −→ G×G −→ G

(g, h) 7→(g, h−1

)7→ g

(h−1

)−1= gh

(lembre-se que uma aplicacao de G × G em G × G e uma aplicacao diferenciavel se e somente se cadaaplicacao coordenada G ×G −→ G e, e as projecoes da variedade produto sobre suas componentes sempresao aplicacoes diferenciaveis). A recıproca e obvia.

2.17 Exemplo. As seguintes variedades diferenciaveis sao grupos de Lie sob as operacoes indicadas.a) Rn, adicao vetorial.b) C\ 0, multiplicacao.c) S1, multiplicacao induzida de C.d) G×H, variedade produto de dois grupos de Lie G,H, com estrutura de grupo do produto direto dos

grupos (g1, h1) (g2, h2) = (g1g2, h1h2).e) Tn = S1 × . . .× S1, variedade produto e produto direto n vezes do grupo de Lie S1.

f) GL(Rn) (o grupo linear geral das matrizes reais invertıveis n×n, subvariedade de Rn2

), multiplicacaomatricial.

2.18 Proposicao. Seja G um grupo de Lie. Dado g ∈ G, entao as aplicacoes translacao a esquerda por g

Lg : G −→ Gg 7→ gh

(2.26)

e translacao a direita por gRx : G −→ G

h 7→ yg(2.27)

sao difeomorfismos.

Observando que

(Lg)−1

= Lg−1 ,

(Rg)−1

= Rg−1 ,

temos pela regra da cadeia [(dLg)h

]−1=(dL−1

g

)Lgh

=(dLg−1

)gh

(2.28)

e similarmente [(dRg)h

]−1=(dRg−1

)gh. (2.29)

2.19 Definicao. Uma algebra de Lie (sobre R) e um espaco vetorial G munido de uma aplicacao bilinear,chamada o colchete de Lie,

[·, ·] : V × V −→ Rque satisfaz

(i) (anticomutatividade)[X,Y ] = − [Y,X] ; (2.30)

(ii) (identidade de Jacobi)[[X,Y ] , Z] + [[Y, Z] , X] + [[Z,X] , Y ] = 0 (2.31)

para todos X,Y, Z ∈ G.


2.20 Exemplo. Seja M uma variedade diferenciavel. O espaco vetorial T (M), equipado com o colchete deLie e uma algebra de Lie.

2.21 Exemplo. O espaco vetorial das matrizes reais n× n com a operacao colchete definida por

[A,B] = AB −BA (2.32)

e uma algebra de Lie. De fato, bilinearidade e anticomutatividade claramente valem e

[[A,B] , C] + [[B,C] , A] + [[C,A] , B]

= (AB −BA)C − C (AB −BA) + (BC − CB)A−A (BC − CB)

+ (CA−AC)B −B (CA−AC)

= ABC −BAC − CAB + CBA+BCA− CBA−ABC +ACB

+ CAB −ACB −BCA+BAC

= 0.

Esta algebra de Lie e denotada por gl (Rn).

2.22 Exemplo. R3 com o produto vetorial e uma algebra de Lie.

Veremos agora a relacao entre grupos de Lie e algebras de Lie. Primeiro algumas preliminares. PelaProposicao 2.18, toda translacao a esquerda Lx em um grupo de Lie e um difeomorfismo.

2.23 Definicao. Seja G um grupo de Lie. Dizemos que um campo vetorial X ∈ T (G) e invariante aesquerda se

dLgX = X Lg (2.33)

para todo g ∈ G.

Explicitando a definicao acima, temos que para todo g ∈ G vale

(dLg)hXh = XLgh = Xgh. (2.34)

para todo h ∈ G. Em particular, um campo invariante a esquerda fica completamente determinado pelo seuvalor em algum ponto qualquer de G. Por exemplo, se conhecemos o valor de Xe entao, tomando h = e,segue que

Xg = (dLg)eXe. (2.35)

O proximo resultado garante a existencia de um numero infinito de campos invariantes a esquerda em umgrupo de Lie.

2.24 Proposicao. Seja G um grupo de Lie. Todo vetor tangente Xe no espaco tangente TeG possui umaextensao a um campo invariante a esquerda X ∈ T (G).

Prova: Basta definirXg = (dLg)eXe.

Como Lg e um difeomorfismo C∞, claramente X ∈ T (G). Para ver que X e um campo invariante a esquerda,seja h ∈ G qualquer. Como

Lh Lg = Lhg

segue que(dLh)gXg = (dLh)g (dLg)eXg = [d (Lh Lg)]eXg = (dLhg)eXg = Xhg.


2.25 Proposicao. Seja G um grupo de Lie. Entao o colchete de Lie de campos invariantes a esquerda einvariante a esquerda.

Em particular, o subespaco dos campos invariantes a esquerda e uma algebra de Lie.

Prova: Sejam X,Y ∈ T (G) campos invariantes a esquerda. Temos, para toda f ∈ C∞ (G),

(dLg)h [X,Y ]h f = [X,Y ]h (f Lg)= XYh (f Lg)− Y Xh (f Lg)= X (dLg)h Yh (f)− Y (dLg)hXh (f)

= XYgh (f)− Y Xgh (f)

= [X,Y ]gh f.

Como o subconjunto dos campos invariantes a esquerda e um subespaco vetorial de T (G), segue que elee uma (sub)algebra de Lie.

Podemos agora definir uma operacao colchete de Lie no espaco tangente (espaco vetorial) TeG que otransforma em uma algebra de Lie:

2.26 Definicao. Seja G um grupo de Lie. A algebra de Lie G de G e o espaco tangente TeG munido docolchete de Lie

[Xe, Ye] := [X,Y ]e . (2.36)

onde X,Y ∈ T (G) sao quaisquer extensoes invariantes a esquerda dos vetores tangentes Xe, Ye.

Pode-se mostrar que a algebra de Lie dos campos invariantes a esquerda e isomorfa ao espaco tangente TeG,em particular como espaco vetorial ela tem dimensao finita, igual a dimensao de G (veja [Lee 1], Teorema8.37, e [Warner], p.86, Definicao 3.1).

Podemos agora introduzir uma metrica em G com certas propriedades algebricas.

2.27 Definicao. Seja G um grupo de Lie. Dizemos que uma metrica 〈·, ·〉g em G e invariante a esquerdase

〈v, w〉h =⟨(dLg)h v, (dLg)h w

⟩Lgh

(2.37)

para todos g, h ∈ G e para todos v, w ∈ TeG. Analogamente, definimos uma metrica invariante a direita.Uma metrica que e ao mesmo tempo invariante a esquerda e a direita e chamada uma metrica bi-

invariante.

Em outras palavras, em uma metrica invariante a esquerda, toda translacao a esquerda Lg e uma isometria,enquanto que em uma metrica invariante a direita, toda translacao a direita Rg e uma isometria. Em umametrica bi-invariante todas as translacoes sao isometrias. A existencia de metricas bi-invariantes para gruposde Lie compactos e estabelecida no Exercıcio 7 de [Carmo]. A existencia de metrica invariantes a esquerdaou a direita em qualquer grupo de Lie e estabelecida atraves da seguinte definicao.

2.28 Proposicao. Seja G um grupo de Lie. Suponha que 〈, 〉 e algum produto interno em TeG. Entao ametrica em G definida por

〈v, w〉g =⟨(dLg−1

)gv,(dLg−1

)gw⟩e

(2.38)

para todo g ∈ G e para todos v, w ∈ TeG, e invariante a esquerda.Analogamente, a metrica em G definida por

〈v, w〉g =⟨(dRg−1

)gv,(dRg−1

)gw⟩e

para todo g ∈ G e para todos v, w ∈ TeG, e invariante a direita.


Prova: Temos, por definicao,

⟨(dLg)h v, (dLg)h w

⟩Lgh

=

⟨(dL(Lgh)−1

)Lgh

(dLg)h v,(dL(Lgh)−1

)Lgh

(dLg)h w

⟩e

=⟨(dLh−1g−1

)gh

(dLg)h v,(dLh−1g−1

)gh

(dLg)h w⟩e

= 〈(dLh−1)h v, (dLh−1)h w〉e= 〈v, w〉h

lembrando que Lh−1g−1 Lg = Lh−1g−1g = Lh−1 . Analogamente prova-se a invariancia a direita da segundametrica.

Ha uma relacao entre o produto interno e o colchete de Lie em G = TeG que caracteriza as metricasbi-invariantes de G que enunciaremos sem prova.

2.29 Teorema. Seja G um grupo de Lie com algebra de Lie G. A metrica invariante a esquerda definidana proposicao anterior e bi-invariante se e somente se o produto escalar 〈, 〉 em G = TeG usado para definira metrica satisfaz

〈[V,X] ,W 〉 = −〈V, [W,X]〉

para todos V,W,X ∈ G.

2.4 Exercıcios

2.30 Exercıcio. Mostre que a metrica produto e de fato uma metrica. Porque

g(p1,p2) ((v1, w1) , (v2, w2)) = gp1 (v1, v2) gp2 (w1, w2)

nao define uma metrica na variedade produto M1 ×M2?

Capıtulo 3

Conexoes Riemannianas

E possıvel definir geodesicas e estudar suas propriedades sem falar de curvatura. Na verdade e ate possıvelfalar em geodesicas sem falar de metrica. Geodesicas sao generalizacoes das retas da geometria euclideana.Embora seja possıvel definir geodesicas como curvas que minimizam distancias, pelo menos localmente (eneste caso a nocao de geodesica estaria tambem fundamentalmente ligada a nocao de metrica) esta proprie-dade e tecnicamente difıcil de trabalhar como definicao. Ao inves, escolheremos uma propriedade diferentedas retas para generalizar: retas sao caracterizadas como curvas com aceleracao nula. Esta propriedade naofaz nenhuma referencia a metrica e pode ser utilizada mesmo em variedades diferenciaveis que nao tenhamuma estrutura riemanniana. Para usar esta propriedade, precisaremos primeiro definir o conceito de deriva-das de campos tangentes a curvas. Como em geral nao existe um espaco ambiente Rn onde a variedade estamergulhada, nao e imediatamente obvio como defini-lo. Se α : I −→ M e uma curva diferenciavel em umavariedade M nao podemos simplesmente definir

α′′ (t0) = limt→t0

α′ (t)− α′ (t0)

t− t0

porque α′ (t) ∈ Tα(t)M e α′ (t0) ∈ Tα(t0)M vivem em diferentes espacos vetoriais, logo sua diferenca naofaz sentido. A definicao do conceito de conexao atende esta necessidade de definir uma nocao de derivacaointrınseca para campos vetoriais. O nome conexao se refere exatamente a ideia de conectar localmente osespacos tangentes de uma variedade.

3.1 Conexoes e Derivada Covariante

Consideremos o conjunto T (M) dos campos vetoriais diferenciaveis em uma variedade diferenciavel M comoum modulo sobre o anel C∞ (M) das funcoes suaves definidas em M .

3.1 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel de dimensao n. Uma conexao ∇ em M e uma aplicacao

∇ : T (M)× T (M) −→ T (M) ,

denotada por (X,Y ) 7→ ∇XY que satisfaz as seguintes propriedades:(i) ∇fX+gY Z = f∇XZ + g∇Y Z,(ii) ∇X (Y + Z) = ∇XY +∇XZ,(iii) ∇X (fY ) = f∇XY + (Xf)Y.para todos os campos X,Y, Z ∈ T (M) e para todas as funcoes f, g ∈ C∞ (M).Dizemos que ∇XY e a derivada covariante do campo Y na direcao de X.

O sımbolo ∇XY deve ser interpretado como a derivada direcional do campo Y na direcao X. O resultado aseguir reforca esta interpretacao:

61


3.2 Proposicao (Conexao em Coordenadas). Seja ∇ uma conexao em uma variedade diferenciavel M .Se X,Y ∈ T (M) sao campos vetoriais que se expressam em coordenadas locais por

X =

n∑i=1

Xi∂i e Y =

n∑j=1

Y j∂j ,

entao

∇XY =

n∑i,j=1

XiY j∇∂i∂j +

n∑j=1

X(Y j)∂j . (3.1)

Em particular, (∇XY )p depende apenas do valor de X em p e do valor de Y ao longo de uma curva tangentea Xp.

Prova: Usando as propriedades de uma conexao, obtemos

∇XY = ∇X

n∑j=1

Y j∂j

=

n∑j=1

∇X(Y j∂j

)=

n∑j=1

Y j∇X∂j +

n∑j=1

X(Y j)∂j

=

n∑j=1

Y j∇∑ni=1X

i∂i∂j +

n∑j=1

X(Y j)∂j

=

n∑i,j=1

XiY j∇∂i∂j +

n∑j=1

X(Y j)∂j .

Em particular,

(∇XY )p =

n∑i,j=1

Xi (p)Y j (p) (∇∂i∂j)p +

n∑j=1

[Xp

(Y j)]

(p) ∂j |p .

Os coeficientesX1 (p) , . . . , Xn (p) dependem apenas do valor deX em p; os coeficientesXp

(Y 1), . . . , Xp (Y n),

por definicao de vetor tangente, dependem apenas dos valores de Y ao longo de uma curva passando por pcujo vetor tangente em p e Xp.

Da expressao (3.1), escrevendo os campos vetoriais ∇∂i∂j em termos dos campos base ∂k na forma

∇∂i∂j =

n∑k=1

Γkij∂k, (3.2)

obtemos a seguinte expressao local para o campo ∇XY :

∇XY =

n∑k=1

X (Y k)+

n∑i,j=1

XiY jΓkij

∂k. (3.3)

3.3 Definicao. As funcoes suaves Γkij definidas pela expressao (3.3) sao chamadas os sımbolos de Chris-toffel associados a carta particular utilizada.

Observe que em princıpio precisamos obter n3 sımbolos de Christoffel para determinar uma conexao. Nocaso de conexoes riemannianas, como veremos, a sua simetria diminuira o numero de sımbolos diferentes.

3.4 Proposicao. Toda variedade diferenciavel possui uma conexao.


Prova: Se V e uma vizinhanca coordenada de M , dadas n3 funcoes arbitrarias Γkij ∈ C∞ (V ), a formula (3.3)define uma conexao em V , vista como subvariedade de M . Se Vα e uma cobertura de M por vizinhancascoordenadas, cada uma com uma conexao ∇α definida, entao podemos definir uma conexao global em M ,usando uma particao da unidade ρα subordinada a esta cobertura, por

∇XY =∑α

ρα∇αXY.

As propriedades de uma conexao sao facilmente verificadas; apenas a regra do produto merece atencaoespecial, ja que combinacoes lineares de conexoes nao sao conexoes em geral, exatamente por deixarem desatisfazer a regra do produto. Mas combinacoes lineares convexas de conexoes sao conexoes e no nosso casotemos

∇X (fY ) =∑α

ρα∇αX (fY ) =∑α

ρα [(Xf)Y + f∇αXY ]

= (Xf)Y∑α

ρα + f∑α

ρα∇αXY

= (Xf)Y + f∇XY.

3.5 Exemplo (Conexao Euclideana). Identificando espacos tangentes em Rn com o proprio Rn, vetorestangentes com vetores em Rn e campos vetoriais em Rn com aplicacoes suaves Rn −→ Rn, nos definimos aconexao euclideana ∇ : T (Rn)× T (Rn) −→ T (Rn) por

(∇XY )p = dYp (Xp) , (3.4)

ou seja, a derivada direcional do campo Y em p na direcao de Xp. Em coordenadas, usando a definicao dediferencial em Rn,

dYp (Xp) =

n∑j=1

(n∑i=1

Xi ∂Yj

∂xi

)ej ,

ou seja,

∇XY =

n∑j=1

(n∑i=1

Xi ∂Yj

∂xi

)∂

∂xj. (3.5)

Outra maneira de obter a mesma expressao em coordenadas, usando a regra da cadeia,

dYp (Xp) (f) = Xp (f Y ) =

n∑i=1

Xi ∂ (f Y )

∂xi=

n∑i=1

Xin∑j=1

∂f

∂xj∂Y j

∂xi

=

n∑j=1

(n∑i=1

Xi ∂Yj

∂xi

)∂

∂xj(f) .

Em notacao mais sucinta, a expressao em coordenadas da conexao euclideana que obtemos a partir de (3.5)e

∇XY =

n∑j=1

X(Y j) ∂

∂xj. (3.6)

Segue de (3.3) e da observacao no inıcio da demonstracao da Proposicao 3.4 que a conexao euclideana e defato uma conexao com sımbolos de Christoffel Γkij = 0.


3.2 Derivada Covariante ao longo de Curvas

A existencia de uma conexao em uma variedade diferenciavel M permite derivar campos vetoriais ao longode curvas na variedade. Em particular, e possıvel falar em aceleracao de uma curva e portanto de geodesicase, eventualmente, curvatura. Na proxima secao veremos que uma metrica riemanniana define uma conexaounica em uma variedade riemanniana. Conexoes diferentes da conexao induzida pela metrica riemannianapermitem a definicao de estruturas geometricas em variedades diferenciaveis mais gerais que a dada pelametrica riemanniana; em particular, e possıvel falar de geodesicas sem uma nocao de metrica.

Veremos agora como a conexao permite definir uma nocao intrınseca de derivada de um campo vetorialao longo de uma curva na variedade.

3.6 Definicao. Seja α : I −→ M uma curva diferenciavel em uma variedade diferenciavel M . Um campovetorial ao longo da curva α e um campo vetorial diferenciavel V : I −→ TM tal que V (t) ∈ Tα(t)Mpara todo t ∈ I.

O espaco vetorial dos campos vetoriais ao longo de uma curva α e denotado T (α).

3.7 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao ∇. Existe uma unica corres-pondencia que associa a cada campo vetorial diferenciavel V ao longo de uma curva diferenciavel α : I −→Mum outro campo diferenciavel

DV

dt

ao longo de α tal queD

dt(V +W ) =

DV

dt+DW

dt,

D

dt(fV ) =

df

dtV + f

DV

dt

para todos os campos diferenciaveis V,W ao longo de α e para toda funcao diferenciavel f : I −→ R, e talque, se V e induzido por um campo de vetores X ∈ T (M), ou seja, V = X α, entao

DV

dt= ∇α′(t)X.

Localmente,

DV

dt=

n∑k=1

dV kdt

+

n∑i,j=1

dαi

dtΓkijV

j

∂k|t , (3.7)

Prova: Observe que para a expressao ∇α′(t)X fazer sentido, devemos entender o subescrito α′ (t) nestesımbolo como qualquer extensao local do campo α′ (t) a um campo em M , ja que pela Proposicao 3.2 soimporta o valor da extensao em α (t), isto e, o vetor tangente α′ (t), e o valor de X em uma curva tangentea α′ (t) em α (t), que pode ser tomada como sendo a propria curva α.

Vamos provar primeiro a unicidade deDV

dt. Suponha que exista um tal campo

DV

dtsatisfazendo todas

as propriedades do enunciado. Seja

V (t) =

n∑j=1

V j (t) ∂j |t

a expressao local do campo V . Pelas primeiras duas propriedades do enunciado, temos

DV

dt

∣∣∣∣t

=

n∑j=1

dV j

dt(t) ∂j |t +

n∑j=1

V j (t)D∂jdt

∣∣∣∣t

.


Pela terceira propriedade,

D∂jdt

∣∣∣∣t

=(∇α′(t)∂j

)t

=(∇∑n

i=1dαi

dt (t)∂i∂j

)t

=

n∑i=1

dαi

dt(t) ∇∂i∂j |t .

Portanto, localmente o campoDV

dtse escreve na forma

DV

dt

∣∣∣∣t

=

n∑k=1

dV kdt

(t) +

n∑i,j=1

dαi

dt(t) Γkij (t)V j (t)

∂k|t ,o que mostra que o campo

DV

dte unicamente determinado.

Para determinar a existencia deDV

dt, dada uma carta (ϕ,U) para uma vizinhanca de α (t), defina o

campoDV

dtem ϕ (U) pela expressao (3.7); e imediato verificar que um campo definido desta forma satisfaz

todas as propriedades do enunciado.

3.8 Definicao. O campo diferenciavelDV

dte chamado a derivada covariante de V ao longo da curva α.

3.3 Transporte Paralelo

3.9 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao ∇. Um campo vetorial diferenciavelV ao longo de uma curva diferenciavel α : I −→M e chamado um campo paralelo ao longo de α se

DV

dt≡ 0.

Um campo vetorial X ∈ T (M) e chamado um campo paralelo se ele e paralelo ao longo de qualquer curva.

E facil ver que um campo vetorial X ∈ T (M) e paralelo se e somente se

∇YX = 0

para todo campo Y ∈ T (M).

3.10 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao ∇. Seja α : I −→M uma curvadiferenciavel e V0 um vetor tangente em α (t0), t0 ∈ I. Entao existe um unico campo paralelo V definido aolongo de α tal que Vt0 = V0.

Prova: Usando a expressao (3.7) obtida na Proposicao 3.7, o campo derivada covarianteDV

dtem coordenadas

locais se escreve na forma

DV

dt

∣∣∣∣t

=

n∑k=1

dV kdt

(t) +

n∑i,j=1

dαi

dt(t) Γkij (t)V j (t)

∂k|t , (3.8)


Logo, a existencia local do campo V (t) satisfazendoDV

dt= 0 para todo t e V (t0) = V0 corresponde a uma

solucao do sistema linear de n equacoes diferenciais

dV 1

dt(t) +

n∑i,j=1

dαi

dt(t) Γ1

ij (t)V j (t) = 0

...

dV n

dt(t) +

n∑i,j=1

dαi

dt(t) Γnij (t)V j (t) = 0

com condicao inicialV 1 (t0) = V 1

0 , . . . , Vn (t0) = V n0 .

Se α (I) esta inteiramente contida em uma vizinhanca coordenada, entao o teorema de existencia e unicidadepara equacoes diferenciais lineares garante a existencia de um unico campo V definido em todo o intervaloI. Caso contrario, como α (I) e um conjunto compacto, ela pode ser coberta por um numero finito devizinhancas coordenadas, em cada uma das quais V pode ser definido de maneira unica usando o raciocınioacima e esta unicidade garante que o campo e o mesmo nas intersecoes das vizinhancas.

3.11 Definicao. O campo V obtido na Proposicao 3.10 e chamado o transporte paralelo de V0 ao longode α.

A aplicacao transporte paralelo e a aplicacao linear

τt : Tα(t0)M −→ Tα(t)M

definida em cada vetor V0 ∈ Tα(t0)M porτt (V0) = Vt,

isto e, τt (V0) e o transporte paralelo do vetor V0 ao longo da curva α.

Quando necessario, para s, t ∈ I denotaremos a aplicacao transporte paralelo de vetores em Tα(s)M paravetores em Tα(t)M por

τs→t : Tα(s)M −→ Tα(t)M.

A aplicacao transporte paralelo e linear porque o transporte paralelo e dado pela solucao de um sistema deequacoes diferenciais lineares. Por unicidade, ela e um isomorfismo com

τ−1s→t = τt→s,

e da unicidade de solucao para um sistema de EDOs segue tambem que

τ0→0 = id,

τr→t τs→r = τs→t.

Em geral, o transporte paralelo de um vetor V em TpM para um vetor em TqM dependera da curva αligando p e q usada; isto e, se α1, α2 : I −→M sao duas curvas diferenciaveis tais que

α1 (s) = α2 (s) = p,

α1 (t) = α2 (t) = q,

entao em geralτα1s→t (V ) 6= τα2

s→t (V )

para todo V ∈ TpM . Como veremos depois, o transporte paralelo sera o mesmo, independente do caminhoutilizado para ir de p ate q, se e somente se a curvatura riemanniana for nula.


3.4 Conexoes Riemannianas

Como metricas riemannianas e conexoes definem cada uma uma estrutura geometrica particular, o caso maisrelevante de variedade riemanniana dotada de uma conexao e quando a estrutura geometrica definida porelas coincide. Para isso a conexao deve satisfaz duas condicoes.

3.4.1 Conexao Compatıvel com a Metrica

A primeira delas e a chamada compatibilidade da conexao com a metrica, que pode ser definida de qualquerum dos tres modos equivalentes a seguir.

3.12 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao ∇. Entao as seguintes afirmacoessao equivalentes:(i) Para todos os campos paralelos V e W ao longo de qualquer curva diferenciavel α em M vale

〈V,W 〉 ≡ constante. (3.9)

(ii) Para todos os campos vetoriais V e W ao longo de qualquer curva diferenciavel α em M vale

d

dt〈V,W 〉 =

⟨DV

dt,W

⟩+

⟨V,DW

dt

⟩. (3.10)

(iii) Para todos os campos X,Y, Z ∈ T (M) vale

X 〈Y,Z〉 = 〈∇XY,Z〉+ 〈Y,∇XZ〉 . (3.11)

Prova: (ii) ⇒ (i) Se V e W sao campos paralelos, entao

d

dt〈V,W 〉 = 〈0,W 〉+ 〈V, 0〉 = 0

e portanto 〈V,W 〉 e constante.(i) ⇒ (ii) Seja α : I −→ M uma curva diferenciavel qualquer e para um ponto fixado t0 ∈ I escolha umabase ortonormal

B0 =E1|t0 , . . . , En|t0

para Tα(t0)M . Usando a Proposicao 3.10, estenda cada um dos vetores E1|t0 , . . . , En|t0 paralelamente acampos E1, . . . , En ao longo de α. Segue da definicao de compatibilidade que

Bt = E1|t , . . . , En|t

e uma base ortonormal para Tα(t)M para cada t ∈ I. Dados campos diferenciaveis V e W ao longo de α,podemos entao escrever

V =

n∑i=1

V i (t) Ei|t e W =

n∑j=1

W j (t) Ej |t

com as funcoes V i,W j diferenciaveis, pois

V i (t) = 〈V,Ei〉 e W j (t) = 〈W,Ej〉 .

Como os campos E1 (t) , . . . , En (t) sao paralelos ao longo de α, temos

DE1

dt= . . . =

DEndt

= 0,


logo

DV

dt

∣∣∣∣t

=

n∑i=1

dV i

dt(t) Ei|t +

n∑i=1

V i (t)DEidt

∣∣∣∣t

=

n∑i=1

dV i

dt(t) Ei|t ,

e, similarmente,

DW

dt

∣∣∣∣t

=

n∑j=1

dW j

dt(t) Ej |t .

Daı, ⟨DV

dt,W

⟩+

⟨V,DW

dt

⟩=

⟨n∑i=1

dV i

dtEi,

n∑j=1

W jEj

⟩+

⟨n∑i=1

V iEi,

n∑j=1

dW j

dtEj

⟩

=

n∑i,j=1

dV i

dtW j 〈Ei, Ej〉+

n∑i,j=1

V idW j

dt〈Ei, Ej〉

=

n∑i,j=1

(dV i

dtW j + V i

dW j

dt

)δij

=

n∑i=1

(dV i

dtW i + V i

dW i

dt

)=

d

dt

n∑i=1

V iW i

=d

dt〈V,W 〉 .

(ii) ⇒ (iii) Seja p ∈ M e α : I −→ M uma curva diferenciavel com α (t0) = p e α′ (t0) = Xp. Entao, pordefinicao de vetor tangente,

Xp 〈Y, Z〉 =d

dt

⟨Yα(t), Zα(t)

⟩∣∣∣∣t=t0

=

⟨DY

dt

∣∣∣∣t0

, Zt0

⟩+

⟨Yt0 ,

DZ

dt

∣∣∣∣t0

⟩

=

⟨(∇α′(t0)

Y)α(t0)

, Zt0

⟩+

⟨Yt0 ,

(∇α′(t0)

Z)α(t0)

⟩=⟨

(∇XY )p , Zp

⟩+⟨Yp, (∇XZ)p

⟩.

(iii) ⇒ (ii) Se V,W sao campos ao longo de uma curva diferenciavel α em M com α (t0) = p e α′ (t0) = Xp,entao

d

dt〈Vt,Wt〉

∣∣∣∣t=t0

= Xp 〈Vt,Wt〉

=⟨

(∇XV )p ,Wt

⟩+⟨Vt, (∇XW )p

⟩=

⟨(∇α′(t0)

V)α(t0)

,Wt0

⟩+

⟨Vt0 ,

(∇α′(t0)

W)α(t0)

⟩=

⟨DV

dt

∣∣∣∣t0

,Wt0

⟩+

⟨Vt0 ,

DW

dt

∣∣∣∣t0

⟩.

A condicao 〈V,W 〉 ≡ constante justifica o nome campos paralelos.

3.13 Definicao. Seja M uma variedade Riemanniana com uma conexao ∇. Dizemos que a conexao ecompatıvel com a metrica, quando ela satisfaz qualquer uma das condicoes da proposicao anterior.


3.4.2 Conexao Simetrica

A segunda condicao para que a estrutura geometrica definida pela conexao seja a mesma definida pela metricae a seguinte:

3.14 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao ∇. O tensor torcao da conexao ∇e a aplicacao

T : T (M)× T (M) −→ T (M)

definida porT (X,Y ) = ∇XY −∇YX − [X,Y ] .

Dizemos que a conexao ∇ e simetrica se T ≡ 0, isto e, se para todos os campos X,Y ∈ T (M) vale

∇XY −∇YX = [X,Y ] . (3.12)

Apesar da conexao nao ser um tensor, sua torcao e de fato um (2, 1)-tensor, pois ela so depende do valor noponto. Em coordenadas, como

∇XY =

n∑k=1

X (Y k)+

n∑i,j=1

XiY jΓkij

∂k,

∇YX =

n∑k=1

Y (Xk)

+

n∑i,j=1

Y iXjΓkij

∂k,

[X,Y ] =

n∑k=1

(X(Y k)− Y

(Xk))∂k,

o tensor torcao e dado por

T (X,Y ) =

n∑k=1

n∑i,j=1

(XiY j − Y iXj

)Γkij

∂k, (3.13)

de onde vemos que T (X,Y ) e linear em relacao a X e a Y , separadamente, e depende apenas de Xp e Yp.

3.15 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao simetrica ∇. Entao

∇∂i∂j = ∇∂j∂i (3.14)

eΓkij = Γkji. (3.15)

Prova: Como

[∂i, ∂j ] = ∇∂i∂j −∇∂j∂i =

n∑k=1

(Γkij − Γkji

)∂k

e [∂i, ∂j ] = 0, seguem os resultados. Em particular, para conexoes riemannianas o numero de sımbolos de Christoffel potencialmente diferentescai para

n2 (n+ 1)

2.


3.16 Lema. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao simetrica ∇, compatıvel com a metricade M . Entao, para todos campos X,Y, Z ∈ T (M), vale

〈∇XY, Z〉 =1

2(X 〈Y, Z〉+ Y 〈X,Z〉 − Z 〈X,Y 〉 − 〈X, [Y,Z]〉 − 〈Y, [X,Z]〉+ 〈Z, [X,Y ]〉) . (3.16)

Em particular, uma conexao simetrica compatıvel com a metrica e unicamente determinada pela metrica.

Prova: Pela Proposicao 3.12,

X 〈Y, Z〉 = 〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉 ,Y 〈X,Z〉 = 〈∇YX,Z〉+ 〈X,∇Y Z〉 ,Z 〈X,Y 〉 = 〈∇ZX,Y 〉+ 〈X,∇ZY 〉 .

Logo, por simetria,

X 〈Y,Z〉+ Y 〈X,Z〉 − Z 〈X,Y 〉 = 〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉+ 〈∇YX,Z〉+ 〈X,∇Y Z〉− 〈∇ZX,Y 〉 − 〈X,∇ZY 〉= 〈X,∇Y Z −∇ZY 〉+ 〈Y,∇XZ −∇ZX〉+ 〈∇XY, Z〉+ 〈∇YX,Z〉= 〈X, [Y,Z]〉+ 〈Y, [X,Z]〉 − 〈∇XY −∇YX,Z〉+ 2 〈∇XY, Z〉= 〈X, [Y,Z]〉+ 〈Y, [X,Z]〉 − 〈[X,Y ] , Z〉+ 2 〈∇XY,Z〉 ,

donde segue o resultado.

3.17 Teorema. Seja M uma variedade riemanniana. Entao existe uma unica conexao simetrica ∇ com-patıvel com a metrica de M .

Prova: O lema anterior mostra como definir uma conexao simetrica compatıvel com a metrica atraves daexpressao (3.16). Alem disso, pelo lema, qualquer conexao simetrica compatıvel com a metrica satisfara aidentidade (3.5), o que estabelece a unicidade.

3.18 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. A unica conexao simetrica ∇ compatıvel com ametrica de M e chamada a conexao riemanniana (ou conexao de Levi-Civita) de M .

Isometrias preservam conexoes riemannianas, como esperado:

3.19 Proposicao. Sejam (M, g) e (M, g) variedades riemannianas isometricas com conexoes riemannianas

∇ e ∇, respectivamente. Se F : M −→ M e uma isometria, entao

F∗ (∇XY ) = ∇F∗X (F∗Y )

Em particular, se α : I −→M e uma curva diferenciavel e V e um campo vetorial ao longo de α, entao

F∗

(DV

dt

)=D (F∗V )

dt.

Prova: Defina uma aplicacao∇ : T (M)× T (M) −→ T (M)

por

∇XY = F−1∗

[∇F∗X (F∗Y )

].

Mostraremos que ∇ e uma conexao riemanniana em M . A unicidade da conexao riemanniana garantiraentao que

∇ = ∇,


o que provara o resultado. De fato, temos

∇fX+gY Z = F−1∗

[∇F∗(fX+gY ) (F∗Z)

]= F−1

∗

[∇F∗(fX+gY ) (F∗Z)

]= F−1

∗

[∇(fF−1)F∗X+(gF−1)F∗Y (F∗Z)

]= F−1

∗

[(f F−1

)∇F∗X (F∗Z) +

(g F−1

)∇F∗Y (F∗Z)

]= F−1

∗

[(f F−1

)∇F∗X (F∗Z)

]+ F−1

∗

[(g F−1

)∇F∗Y (F∗Z)

]= fF−1

∗

[∇F∗X (F∗Z)

]+ gF−1

∗

[∇F∗Y (F∗Z)

]= f∇XZ + g∇Y Z,

∇X (Y + Z) = F−1∗

[∇F∗XF∗ (Y + Z)

]= F−1

∗

[∇F∗XF∗Y + ∇F∗XF∗Z

]= F−1

∗

[∇F∗XF∗Y

]+ F−1

∗

[∇F∗XF∗Z

]= ∇XY +∇XZ

e

∇X (fY ) = F−1∗

[∇F∗XF∗ (fY )

]= F−1

∗

[∇F∗X (fF∗Y )

]= F−1

∗

[(f F−1

)∇F∗XF∗Y +

[(F∗X)

(f F−1

)]F∗Y

]= F−1

∗

[(f F−1

)∇F∗XF∗Y

]+ F−1

∗[[

(F∗X)(f F−1

)]F∗Y

]= F−1

∗

[(f F−1

)∇F∗XF∗Y

]+[(F∗X)

(f F−1

)]F−1∗ (F∗Y )

= fF−1∗

[∇F∗XF∗Y

]+[X(f F−1 F

)]F−1∗ (F∗Y )

= f∇XY + (Xf)Y,

o que prova que ∇ e uma conexao.Agora verificaremos que ∇ e simetrica:

∇XY −∇YX = F−1∗

[∇F∗X (F∗Y )

]− F−1

∗

[∇F∗Y (F∗X)

]= F−1

∗

[∇F∗X (F∗Y )− ∇F∗Y (F∗X)

]= F−1

∗ [F∗X,F∗Y ]

= F−1∗ F∗ [X,Y ]

= [X,Y ] .

Observe que para provar que ∇ e uma conexao simetrica, foi suficiente usar o fato que F e um difeomorfismo.Para estabelecer a compatibilidade de ∇ com a metrica de M e necessario usar o fato que F e uma


isometria. Com efeito, dados X,Y, Z ∈ T (M), sejam V = F∗Y e W = F∗Z. Entao temos

〈∇XY,Z〉+ 〈Y,∇XZ〉

=⟨F−1∗

[∇F∗X (F∗Y )

], F−1∗ W

⟩+⟨F−1∗ V, F−1

∗

[∇F∗X (F∗Z)

]⟩=⟨∇F∗X (F∗Y ) ,W

⟩+⟨V, ∇F∗X (F∗Z)

⟩=⟨∇F∗X (F∗Y ) , F∗Z

⟩+⟨F∗Y, ∇F∗X (F∗Z)

⟩= F∗X 〈F∗Y, F∗Z〉= X 〈Y,Z〉 .

A ultima passagem merece ser mais detalhada: definindo f : N −→ R por

f (q) =⟨

(F∗Y )q , (F∗Z)q

⟩q,

por isometria segue que se p = F−1 (q) entao

f (q) = 〈Yp, Zp〉p =⟨YF−1(q), ZF−1(q)

⟩F−1(q)

,

isto e,f = 〈Y,Z〉 F−1;

assim, usando a propriedade(F∗X) f = X (f F ) F−1,

temosF∗X 〈F∗Y, F∗Z〉 = X (f F ) F−1 = X 〈Y,Z〉 F−1,

ou seja,[〈∇XY, Z〉+ 〈Y,∇XZ〉] (p) = [X 〈Y,Z〉] (p) .

3.20 Exemplo (Conexao riemanniana em Rn). A conexao euclideana definida no Exemplo 3.4 e aconexao riemanniana de Rn com a metrica usual. De fato, a conexao e compatıvel com a metrica pois seα : I −→ Rn e uma curva diferenciavel e V,W campos ao longo de α induzidos pelos campos vetoriais X,Y ,respectivamente, entao segue da regra da cadeia que

d

dt

⟨Vα(t),Wα(t)

⟩=

⟨d

dtVα(t),Wα(t)

⟩+

⟨Vα(t),

d

dtWα(t)

⟩=⟨dXα(t) (α′ (t)) ,Wα(t)

⟩+⟨Vα(t), dYα(t) (α′ (t))

⟩=⟨(∇α′(t)X

)α(t)

,Wα(t)

⟩+⟨Vα(t),

(∇α′(t)Y

)α(t)

⟩=

⟨DV

dt

∣∣∣∣α(t)

,Wα(t)

⟩+

⟨Vα(t),

DW

dt

∣∣∣∣α(t)

⟩.

e ela e simetrica porque, conforme (3.5),[(∇XY )p − (∇YX)p

](f) =

n∑j=1

(n∑i=1

Xi ∂Yj

∂xi

)∂f

∂xj−

n∑j=1

(n∑i=1

Y i∂Xj

∂xi

)∂f

∂xj

=

n∑j=1

n∑i=1

(Xi ∂Y

j

∂xi− Y i ∂X

j

∂xi

)∂f

∂xj

= [X,Y ]p (f) .


ou tambem, de forma mais sucinta, conforme (3.6),

∇XY −∇YX =

n∑j=1

X(Y j) ∂

∂xj−

n∑j=1

Y(Xj) ∂

∂xj

=

n∑j=1

(X(Y j)− Y

(Xj)) ∂

∂xj

= [X,Y ] .

3.4.3 Sımbolos de Christoffel da Conexao Riemanniana

Vamos agora ver como os sımbolos de Christoffel de uma conexao riemanniana podem ser calculados atravesdos componentes gij da metrica. Antes introduzimos a seguinte notacao: a matriz G = (gij) e uma matrizpositiva definida, logo admite uma inversa, que denotaremos por

G−1 =(gij). (3.17)

A justificativa para isso sera vista no Exemplo 5.11.

3.21 Lema. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao ∇. Entao

〈∇∂i∂j , ∂k〉 =

n∑m=1

Γmij gmk. (3.18)

Prova: Segue imediatamente da definicao dos sımbolos de Christoffel:

∇∂i∂j =

n∑m=1

Γmij∂m.

3.22 Lema. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao riemanniana ∇. Entao

〈∇∂i∂j , ∂k〉 =1

2(∂igjk + ∂jgik − ∂kgij) . (3.19)

Prova: Por (3.16) temos que

〈∇∂i∂j , ∂k〉 =1

2(∂i 〈∂j , ∂k〉+ ∂j 〈∂i, ∂k〉 − ∂k 〈∂i, ∂j〉 − 〈∂i, [∂j , ∂k]〉 − 〈∂j , [∂i, ∂k]〉+ 〈∂k, [∂i, ∂j ]〉)

=1

2(∂jgik + ∂igjk − ∂kgij) ,

ja que [∂m, ∂l] = 0.

3.23 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao riemanniana ∇. Entao

Γkij =1

2

n∑m=1

(∂igjm + ∂jgim − ∂mgij) gmk. (3.20)


Prova: Pelos lemas temosn∑l=1

Γlijglm =1

2(∂igjm + ∂jgim − ∂mgij) .

Logon∑

m=1

gmkn∑l=1

Γlijglm =1

2

n∑m=1

(∂igjm + ∂jgim − ∂mgij) gmk.

O lado esquerdo desta equacao e

n∑l=1

n∑m=1

gkmgmlΓlij =

n∑l=1

δklΓlij = Γkij .

3.24 Corolario. Se ∇ e a conexao riemanniana de Rn entao

Γkij = 0. (3.21)

Consequentemente,

∇XY =

n∑k=1

X(Y k)∂k (3.22)

e∇∂i∂j = 0. (3.23)

3.25 Corolario. Seja M uma variedade riemanniana com uma conexao riemanniana ∇. Entao

∂kgij =

n∑p=1

gipΓpjk +

n∑p=1

gpjΓpik (3.24)

e

∂kgij = −

n∑p=1

gipΓjpk −n∑p=1

gpjΓipk. (3.25)

Prova: Para provar a primeira identidade, usando a compatibilidade da metrica temos

∂kgij =∂

∂xk〈∂i, ∂j〉 = 〈∇∂k∂i, ∂j〉+ 〈∂i,∇∂k∂j〉

=

⟨n∑p=1

Γpki∂p, ∂j

⟩+

⟨∂i,

n∑p=1

Γpkj∂p

⟩

=

n∑p=1

Γpki 〈∂p, ∂j〉+

n∑p=1

Γpkj 〈∂i, ∂p〉

=

n∑p=1

Γpkigpj +

n∑p=1

Γpkjgip.

Para provar a segunda identidade, primeiro diferenciamos a identidade

n∑p=1

glpgpj = δjl ,


obtendon∑p=1

glp∂kgpj = −

n∑p=1

(∂kglp) gpj .

Como

n∑l=1

giln∑p=1

glp∂kgpj =

n∑p=1

n∑l=1

gilglp∂kgpj

=

n∑p=1

δip∂kgpj

= ∂kgij ,

segue da primeira identidade que

∂kgij = −

n∑l=1

giln∑p=1

(∂kglp) gpj = −

n∑p=1

n∑l=1

gilgpj∂kglp

= −n∑p=1

n∑l=1

gilgpj

(n∑

m=1

glmΓmpk +

n∑m=1

gmpΓmlk

)

= −n∑p=1

n∑m=1

gpjn∑l=1

gilglmΓmpk −n∑l=1

n∑m=1

giln∑p=1

gpjgmpΓmlk

= −n∑p=1

n∑m=1

gpjδimΓmpk −n∑l=1

n∑m=1

gilδjmΓplk

= −n∑p=1

gpjΓipk −n∑l=1

gilΓjlk.

3.4.4 Interpretacao Geometrica da Derivada Covariante

Usando a conexao riemanniana, podemos dar uma interpretacao geometrica da derivada covariante em termosdo transporte paralelo.

3.26 Lema. Se M e uma variedade riemanniana com uma conexao riemanniana ∇, entao a aplicacaotransporte paralelo e uma isometria que preserva orientacao.

Prova: Seja α : I −→ M uma curva diferenciavel passando por um ponto p ∈ M . Dados V,W ∈ TpM ,considere a funcao real f : I −→ R definida por

f (t) = 〈τt (V ) , τt (W )〉 .

Pela compatibilidade da metrica, segue que

f ′ (t) =

⟨D

dtτt (V ) , τt (W )

⟩+

⟨τt (V ) ,

D

dtτt (W )

⟩= 0,

ja que os campos τt (V ) , τt (W ) sao paralelos ao longo de α por definicao. Portanto, f (t) = f (0) para todot ∈ I, ou seja

〈τt (V ) , τt (W )〉 = 〈V,W 〉


o que prova que τt e uma isometria.Para provar que τt preserva orientacao, seja

B = E1, . . . , En

uma base ortonormal positivamente orientada para TpM . Como τt e uma isometria,

Bt = τt (E1) , . . . , τt (En)

e uma base ortonormal de Tα(t)M para todo t ∈ I. A orientacao positiva de Bt segue por continuidade dafuncao determinante.

3.27 Proposicao (Interpretacao Geometrica da Derivada Covariante). Seja M uma variedade ri-emanniana com uma conexao riemanniana ∇. Dado um campo X ∈ T (M), seja α : I −→ M uma curvaintegral do campo X passando por p, ou seja,

α (0) = p,

α′ (t) = X (α (t)) para todo t ∈ I.

Se Y ∈ T (M), entao

(∇XY )p = limt→0

τ−1t

(Yα(t)

)− Yp

t=

d

dtτ−1t

(Yα(t)

)∣∣∣∣t=0

.

Prova: Seja B = E1, . . . , En uma base ortonormal para TpM . Pelo lema, Bt = τt (E1) , . . . , τt (En) euma base ortonormal de Tα(t)M para todo t ∈ I. Como a aplicacao transporte paralelo e linear, se

Yα(t) =

n∑i=1

Y i (t) τt (Ei) ,

segue que

τ−1t

(Yα(t)

)=

n∑i=1

Y i (t)Ei.

Logo,

d

dtτ−1t

(Yα(t)

)∣∣∣∣t=0

=

n∑i=1

dY i

dt(0)Ei.

Por outro lado, pela Proposicao 3.7, temos tambem

(∇XY )p =D

dt

(n∑i=1

Y i (t) τt (Ei)

)∣∣∣∣∣t=0

=

n∑i=1

dY i

dt(0) τ0 (Ei) +

n∑i=1

Y i (t)D

dt(τt (Ei))

∣∣∣∣t=0

=

n∑i=1

dY i

dt(0)Ei,

ja que os campos τt (E1) , . . . , τt (En) sao paralelos ao longo de α por definicao. Este resultado tambem vale para conexoes gerais em variedades diferenciaveis, mas o resultado requer umpouco mais de conhecimento de fibrados (veja [Dodson-Poston], Theorem 4.05, pp. 226–227).

Capıtulo 4

Geodesicas

De agora em diante, sempre que nos referirmos a uma variedade riemanniana, estaremos supondo que elaesta munida da sua conexao riemanniana.

4.1 Definicao – A Equacao Geodesica

4.1 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. Dizemos que uma curva diferenciavel γ : I −→ M euma geodesica se

Dγ′

dt(t) = 0

para todo t ∈ I.

Em outras palavras, uma geodesica e uma curva cujo campo velocidade e paralelo ao longo da curva (umacurva que transporta paralelamente o seu proprio vetor tangente). Ou seja, uma geodesica e uma curva quenao muda de direcao. As vezes, por abuso de linguagem, a imagem γ (I) de uma geodesica γ tambem echamada geodesica.

Note que o conceito de geodesica pode ser definido para qualquer variedade diferenciavel dotada de umaconexao. O resultado seguinte, no entanto, depende da compatibilidade da metrica com a conexao, ou seja,requer uma conexao riemanniana.

4.2 Proposicao. Se γ : I −→M e uma geodesica, entao

‖γ′ (t)‖ ≡ constante. (4.1)

Consequentemente, uma reparametrizacao γ h de uma geodesica γ e uma geodesica se e somente se

h (t) = at+ b

para algumas constantes a, b ∈ R.

Prova: Pois, como a conexao e compatıvel com a metrica e o campo velocidade γ′ e paralelo ao longo de γ

‖γ′ (t)‖2 = 〈γ′ (t) , γ′ (t)〉 ≡ constante.

Como(γ h)

′(t) = h′ (t) γ′ (h (t)) ,

‖γ′ (t)‖ ≡ constante,

77


e, como acabamos de provar, uma condicao necessaria para que γ h seja uma geodesica e∥∥(γ h)′(t)∥∥ ≡ constante,

concluımos que uma condicao necessaria para que a reparametrizacao γ h seja uma geodesica e que

h′ (t) ≡ constante,

ou seja,h (t) = at+ b

para algumas constantes a, b ∈ R. Alem disso, escrevendo β (t) = γ h (t) = γ (at+ b), segue que

Dβ′

dt(t) = a2Dγ

′

dt(at+ b) = 0,

logo γ h e uma geodesica.

4.3 Definicao. Uma geodesica γ : I −→M e normalizada (ou unitaria) se

‖γ′ (t)‖ ≡ 1.

Toda geodesica que nao e um ponto (ou seja, ‖γ′ (t)‖ 6= 0) pode ser normalizada atraves de uma parame-trizacao por comprimento de arco: se γ : I −→ M e uma parametrizacao qualquer para uma geodesica,ela pode ser reparametrizada para se tornar uma geodesica normalizada escolhendo-se um ponto t0 ∈ I edefinindo o parametro comprimento de arco

s (t) =

∫ t

t0

‖γ′ (t)‖ dt. (4.2)

De fato, pela regra da cadeia

‖γ′ (s)‖ = ‖γ′ (t)‖ |t′ (s)| = ‖γ′ (t)‖ 1

|s′ (t)|= ‖γ′ (t)‖ 1

‖γ′ (t)‖= 1.

4.4 Teorema (Teorema de Existencia e Unicidade de Geodesicas). Seja M uma variedade rieman-niana. Entao para todos p ∈ M e v ∈ TpM , e para cada t0 ∈ R, existe um intervalo aberto I ⊂ R contendot0 e uma unica geodesica γ : I −→M tal que γ (t0) = p e γ′ (t0) = v.

Prova: Seja V uma vizinhanca coordenada de p, com(x1, . . . , xn

)suas coordenadas. Pela expressao em

coordenadas locais da derivada covariante de um campo ao longo de uma curva obtida no capıtulo anterior,uma curva γ (t) = x (t) =

(x1 (t) , . . . , xn (t)

)e uma geodesica se e somente se as suas componentes satisfazem

o sistema de equacoes diferenciais ordinarias de segunda ordem nao linear (quasilinear), chamado a equacaogeodesica,

d2xk

dt2+

n∑i,j=1

Γkijdxi

dt

dxj

dt= 0, k = 1, . . . , n. (4.3)

Este sistema de segunda ordem pode ser transformado num sistema de primeira ordem introduzindo as nequacoes de primeira ordem

vk =dxk

dt, k = 1, . . . , n,

de modo que estas equacoes juntamente com

dvk

dt+

n∑i,j=1

Γkijvivj = 0, k = 1, . . . , n,


formam um sistema de primeira ordem equivalente ao primeiro. O resultado segue entao do teorema deexistencia e unicidade para solucoes de sistemas de equacoes diferenciais ordinarias de primeira ordem. Note que este teorema permanece valido para geodesicas definidas em variedades diferenciaveis dotadas deuma conexao nao necessariamente riemanniana.

Isometrias preservam geodesicas:

4.5 Proposicao. Sejam M,N variedades riemannianas isometricas e seja F : M −→ N uma isometria.Se γ : I −→M e uma geodesica de M tal que

γ (0) = p,

γ′ (0) = v,

entao β = F γ : I −→ N e uma geodesica de N tal que

β (0) = F (p) ,

β′ (0) = dFp (v) .

Prova: Segue imediatamente do fato de isometrias preservarem conexoes riemannianas e da regra da cadeia.

4.2 Exemplos de Geodesicas

Vamos calcular as geodesicas para algumas variedades riemannianas. Lembramos que os sımbolos de Chris-toffel da conexao riemanniana sao dados por

Γkij =1

2

n∑m=1

(∂igjm + ∂jgim − ∂mgij) gkm.

4.6 Exemplo (Geodesicas de Rn). Como o tensor metrica de Rn e gij = δij , temos

Γkij ≡ 0,

donde a equacao geodesica e simplesmente

d2xk

dt2= 0, k = 1, . . . , n.

As solucoes para esta equacao diferencial sao

x (t) = tv + x0

onde v, x0 ∈ Rn sao vetores fixados. Em outras palavras, as geodesicas de Rn sao retas.

4.7 Exemplo (Geodesicas de S2R). Enxergando a esfera S2

R de centro na origem e raio R como umasuperfıcie de revolucao com carta

(x, y, z) (φ, θ) = (R senφ cos θ,R senφ sen θ,R cosφ),

segue do Exemplo 2.9 que

G (φ, θ) =

[R2 00 R2 sen2 φ

],

G−1 (φ, θ) =

1

R20

01

R2 sen2 φ

.


Para variedades de dimensao 2 temos

Γkij =1

2

[(∂igj1 + ∂jgi1 − ∂1gij) g

k1 + (∂igj2 + ∂jgi2 − ∂2gij) gk2].

Nesta carta,

g11 ≡ constante,

g12 = g21 = g12 = g21 = 0,

∂2gij = 0.

Portanto,

Γ1ij =

1

2(∂igj1 + ∂jgi1 − ∂1gij) g

11,

Γ2ij =

1

2(∂igj2 + ∂jgi2 − ∂2gij) g

22 =1

2(∂igj2 + ∂jgi2) g22.

Logo,

Γ111 =

1

2(∂1g11 + ∂1g11 − ∂1g11) g11 = 0,

Γ112 = Γ1

21 =1

2(∂1g21 + ∂2g11 − ∂1g12) g11 = 0,

Γ122 =

1

2(∂2g21 + ∂2g21 − ∂1g22) g11 =

1

2(−∂1g22) g11 =

1

2

(−2R2 senφ cosφ

) 1

R2= − senφ cosφ,

e

Γ211 =

1

2(∂1g12 + ∂1g12) g22 = 0,

Γ212 = Γ2

21 =1

2(∂1g22 + ∂2g12) g22 =

1

2(∂1g22) g22 =

1

2

(2R2 senφ cosφ

) 1

R2 sen2 φ=

cosφ

senφ,

Γ222 =

1

2(∂2g22 + ∂2g22) g22 = 0.

Apenas os sımbolos Γ212 = Γ2

21 e Γ122 sao nao nulos. Portanto a equacao geodesica para a esfera e

d2x1

dt2+ Γ1

22

dx2

dt

dx2

dt= 0,

d2x2

dt2+ 2Γ2

12

dx1

dt

dx2

dt= 0,

ou seja, d2φ

dt2− senφ cosφ

(dθ

dt

)2

= 0,

d2θ

dt2+ 2

cosφ

senφ

dφ

dt

dθ

dt= 0.

Resolver este sistema de equacoes diferenciais nao lineares acopladas nao e facil. Por outro lado, e facilverificar por substituicao direta que o equador

φ = π/2,

θ = t,


ou qualquer meridiano da forma

φ = t,

θ = θ0,

e uma solucao para este sistema. Observe agora que rotacoes sao isometrias da esfera: rotacoes do espacoeuclideano R3 sao transformacoes ortogonais e portanto isometrias de R3; como a restricao de uma rotacaode R3 a esfera e uma rotacao da esfera e esta tem a metrica induzida de R3, ela e uma isometria da esfera.Uma vez que geodesicas sao preservadas por isometrias, concluımos que os grandes cırculos da esfera (istoe, cırculos cujos centros sao o centro da esfera, que podem tambem ser obtidos intersectando a esfera complanos passando pela origem) sao suas geodesicas, ja que dado um ponto p da esfera e um vetor tangente va esfera neste ponto existe um grande cırculo passando por p com a direcao de v.

4.8 Exemplo (Geodesicas de Sn). Um argumento envolvendo isometrias pode ser usado para obterdiretamente que as geodesicas de Sn ⊂ Rn+1 sao os grandes cırculos, sem passar pela equacao geodesica.

Primeiramente, provamos que a geodesica γ (t) =(x1 (t) , . . . , xn (t) , xn+1 (t)

)que passa pelo polo norte

γ (0) = en+1 com velocidade γ′ (0) = e1 e o meridiano x2 = . . . = xn = 0. De fato, suponha por absurdo quexi (t0) 6= 0 para algum t0 e para algum ındice 2 6 i 6 n. Considere a isometria φ : Sn −→ Sn definida por

φ(x1, . . . , xi−1, xi, xi+1, . . . , xn+1

)=(x1, . . . , xi−1,−xi, xi+1, . . . , xn+1

)(φ e a restricao da transformacao ortogonal correspondente de Rn+1, logo e uma simetria da esfera, comoobservado no final do exemplo anterior). Como isometrias preservam geodesicas e

φ (γ (0)) = φ (en+1) = en+1,

dφγ(0)γ′ (0) = φ (e1) = e1,

segue que φ leva γ em γ. Mas φ (γ (t0)) 6= γ (t0), uma contradicao.Como rotacoes da esfera que deixam o eixo xn+1 fixado transformam este meridiano em qualquer outro

meridiano passando pelo polo norte, abrangendo todas as direcoes tangentes possıveis, obtemos que asgeodesicas passando pelo polo norte sao os meridianos. Como qualquer grande cırculo da esfera pode sertransformado em um meridiano passando pelo polo norte atraves de uma rotacao da esfera, concluımos oresultado.

4.9 Exemplo (Geodesicas de H2R). Como vimos no Exemplo 2.10, temos

G (x, y) =

R2

y20

0R2

y2

,

G−1 (x, y) =

y2

R20

0y2

R2

.Para variedades de dimensao 2 temos

Γkij =1

2

[(∂igj1 + ∂jgi1 − ∂1gij) g

k1 + (∂igj2 + ∂jgi2 − ∂2gij) gk2].

Nesta carta,

g12 = g21 = g12 = g21 = 0,

∂1gij = 0.


Portanto,

Γ1ij =

1

2(∂igj1 + ∂jgi1 − ∂1gij) g

11 =1

2(∂igj1 + ∂jgi1) g11,

Γ2ij =

1

2(∂igj2 + ∂jgi2 − ∂2gij) g

22.

Logo,

Γ111 =

1

2(∂1g11 + ∂1g11) g11 = 0,

Γ112 = Γ1

21 =1

2(∂1g21 + ∂2g11) g11 =

1

2(∂2g11) g11 =

1

2

(−2R2

y3

)y2

R2= −1

y,

Γ122 =

1

2(∂2g21 + ∂2g21) g11 = 0,

e

Γ211 =

1

2(∂1g12 + ∂1g12 − ∂2g11) g22 =

1

2(−∂2g11) g22 =

1

2

(2R2

y3

)y2

R2=

1

y,

Γ212 = Γ2

21 =1

2(∂1g22 + ∂2g12 − ∂2g12) g22 = 0,

Γ222 =

1

2(∂2g22 + ∂2g22 − ∂2g22) g22 =

1

2(∂2g22) g22 =

1

2

(−2R2

y3

)y2

R2= −1

y.

A equacao geodesica para o plano hiperbolico ex′′ − 2

yx′y′ = 0,

y′′ +1

y(x′)

2 − 1

y(y′)

2= 0,

Para resolver este sistema, consideraremos dois casos.(i) Caso x′ = 0.Neste caso, x (t) ≡ x0, enquanto que y (t) satisfaz a equacao

y′′ − 1

y(y′)

2= 0

que escrevemos na forma

yy′′ − (y′)2

= 0

que e equivalente a (y′

y

)′= 0,

ou seja,y′ = ky

para alguma constante k ∈ R. A solucao desta equacao e

y (t) = y0ekt

para alguma constante y0 > 0. Portanto, neste caso as geodesicas sao γ (t) =(x0, y0e

kt), as semi-retas

superiores do plano hiperbolico.


(ii) Caso x′ 6= 0.Neste caso podemos calcular(

yy′

x′

)′=x′yy′′ + x′ (y′)

2 − x′′yy′

(x′)2

=x′yy′′ + x′ (x′)

2 − x′ (y′)2 − x′′yy′ + 2x′ (y′)2 − x′ (x′)2

(x′)2

=x′[yy′′ + (x′)

2 − (y′)2]− y′ [x′′y − 2x′y′]− (x′)

3

(x′)2

=x′0− y′0− (x′)

3

(x′)2

= −x′.

Isso implica que (yy′

x′+ x

)′= 0

ou seja,yy′

x′+ x = a

para alguma constante a ∈ R. A solucao implıcita desta equacao, equivalente a

xx′ + yy′ = ax′

pode ser obtida integrando-se em relacao a t:

x2

2+y2

2= ax+ b,

ou(x− a)

2+ y2 = c2

onde c > 0. Portanto, neste caso as geodesicas sao semicırculos superiores centrados em pontos (a, 0) do eixox.

4.3 Fluxo Geodesico

O resultado obtido pode ser melhorado, no sentido de que em uma vizinhanca de qualquer ponto da vari-edade podemos garantir que os intervalos de definicao das geodesicas passando por pontos na vizinhanca,independentemente da velocidade inicial, possuem um comprimento comum mınimo. Isto segue do seguinteresultado para o fluxo induzido por um campo vetorial:

4.10 Teorema (Fluxo de um Campo Vetorial). Sejam M uma variedade diferenciavel, V uma vizi-nhanca de um ponto p ∈ M e X ∈ T (V ) um campo vetorial Entao existem um aberto V0 ⊂ V contendo p,δ > 0 e uma aplicacao diferenciavel

ϕ : (−δ, δ)× V0 −→ V

tais que ϕq (t) = ϕ (t, q) : (−δ, δ) −→ V e a unica trajetoria de X tal que ϕ (0, q) = q para todo q ∈ V0.

Este resultado permite definir:


4.11 Definicao. O campo geodesico no fibrado tangente TM e o unico campo cujas trajetorias sao daforma t 7→ (γ (t) , γ′ (t)) onde γ e uma geodesica em M .

Seu fluxo ϕ e chamado o fluxo geodesico de TM .

4.12 Corolario. Seja M uma variedade riemanniana. Entao, para cada p ∈ M existem uma vizinhancaV de (p, 0) em TM tal que π (V) = U e uma vizinhanca coordenada de p em M , δ > 0 e uma aplicacaodiferenciavel

ϕ : (−δ, δ)× V −→ TU

tais queϕ(q,v) (t) = ϕ (t, q, v) : (−δ, δ) −→ TU

e a unica trajetoria do campo geodesico que satisfaz a condicao inicial ϕ (0, q, v) = (q, v) para todo (q, v) ∈ V.

Prova: Basta aplicar o Teorema 4.10 ao campo geodesico, elemento de T (TM), e ao ponto P = (p, 0) ∈ TM .Uma reinterpretacao do resultado acima que vai ser mais util e facil de usar na sequencia:

4.13 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana. Entao, para cada p ∈ M existem uma vizinhancaV de p em M , δ, ε > 0 e uma aplicacao diferenciavel

γ : (−δ, δ)× V −→M

ondeV = (q, v) : q ∈ V e v ∈ TqM, ‖v‖ < ε

tais queγ(q,v) (t) = γ (t, q, v) : (−δ, δ) −→M

e a unica geodesica de M que satisfaz as condicoes iniciais γ (0) = q, γ′ (0) = v para todo q ∈ V e para todov ∈ TqM tal que ‖v‖ < ε.

Este resultado afirma que se ‖v‖ < ε, a geodesica γ (t, q, v) existe no intervalo (−δ, δ). Podemos de fatoaumentar a velocidade da geodesica, mas ao preco de diminuir o seu intervalo de definicao (e vice-versa).Para isso basta reparametrizar a geodesica:

4.14 Proposicao. Seja γ : (−δ, δ) −→M uma geodesica tal que γ (0) = p e γ′ (0) = v. Para qualquer a > 0a curva

β (t) = γ (at)

e uma geodesica tal que β (0) = p e β′ (0) = av definida no intervalo

(− δa,δ

a

). Consequentemente,

γ (t, q, av) = γ (at, q, v) . (4.4)

Prova: O resultado segue da Proposicao 4.2 e do fato que β′ (t) = aγ′ (at).

4.15 Corolario. Seja M uma variedade riemanniana. Entao, para cada p ∈M existem uma vizinhanca Vde p em M , ε > 0 e uma aplicacao diferenciavel

γ : (−2, 2)× V −→M

ondeV = (q, v) : q ∈ V e v ∈ TqM, ‖v‖ < ε

tais queγ(q,v) (t) = γ (t, q, v) : (−2, 2) −→M

e a unica geodesica de M que satisfaz as condicoes iniciais γ (0) = q, γ′ (0) = v para todo q ∈ V e para todov ∈ TqM tal que ‖v‖ < ε.


4.4 A Aplicacao Exponencial

4.16 Definicao. Se v ∈ TpM e tal que existe uma geodesica γ : [0, 1] −→ M satisfazendo γ (0) = p eγ′ (0) = v, definimos a exponencial de v por

expp (v) = γ (1) .

Assim,

expp (v) = γ (1, p, v) = γ

(||v|| , p, v

||v||

)e geometricamente expp (v) e o ponto de M obtido percorrendo a partir de p a geodesica com velocidadeinicial v durante um intervalo de tempo unitario ou, equivalentemente, percorrendo a geodesica que parte de pcom velocidade unitaria igual a v/ ||v|| um comprimento igual a ‖v‖. Em particular, se γ : (−2, 2)×V −→Me a aplicacao diferenciavel dada pelo Corolario 4.15, a aplicacao exponencial exp esta definida em todo V epara todo q ∈ V a aplicacao exponencial

expq : Bε (0) ⊂ TqM −→M

esta definida em uma bola Bε (0) ⊂ TqM .

4.17 Proposicao. Para cada p ∈M existe ε > 0 tal que expp e um difeomorfismo de Bε (0) sobre um abertode M .

Alem disso,d(expp

)0

= id .

Prova: Temos

d(expp

)0v =

∂ expp∂v

(0) =d

dtexpp (tv)

∣∣∣∣t=0

=d

dtγ (1, p, tv)

∣∣∣∣t=0

=d

dtγ (t, p, v)

∣∣∣∣t=0

= v,

o que mostra que d(expp

)0

: TpM −→ TpM e a aplicacao identidade, onde identificamos o espaco tangentea TpM na origem com o proprio TpM , isto e, T0 (TpM) = TpM . Pelo teorema da funcao inversa, expp e umdifeomorfismo local em uma vizinhanca de 0. A aplicacao exponencial recebe este nome porque no caso de variedades riemannianas que sao grupos deLie compactos ela e a aplicacao exponencial entre grupos de Lie, a qual recebe este nome la porque ela e aexponencial de matrizes no caso de grupos de Lie de matrizes.

4.18 Definicao. Se expp e um difeomorfismo de uma vizinhanca U da origem em TpM sobre uma vizinhancaV de p em M , dizemos que V e uma vizinhanca normal de p.

Nestas condicoes, se Bε (0) e tal que Bε (0) ⊂ V , entao nos chamamos

Bε (p) := expp (Bε (0)) (4.5)

a bola geodesica de centro em p e raio ε.

Em uma vizinhanca normal, podemos definir um sistema de coordenadas com propriedades especiais.

4.19 Definicao. Seja V = expp (U) uma vizinhanca normal de p em M . Seja E1, . . . , En uma base

ortonormal para TpM e E : Rn −→ TpM o isomorfismo Ex =n∑i=1

xiEi. Considere a parametrizacao

ϕ : E−1 (U) −→ V definida por

ϕ (x) =(expp E

)(x) = expp

(n∑i=1

xiEi

).

As coordenadas desta parametrizacao sao chamadas coordenadas normais em p.


Devido as propriedades especiais de coordenadas normais enumeradas na proposicao a seguir, elas constituemuma ferramenta vital em geometria riemanniana, como veremos em varios resultados nestas notas.

4.20 Proposicao. Seja V uma vizinhanca normal de p e x1, . . . , xn coordenadas normais em p. Nestascoordenadas vale

gij (p) = δij ,

∂gij∂xk

(p) = 0

eΓkij (p) = 0

para todos os ındices i, j, k.Alem disso, para cada v ∈ TpM , a geodesica γv (t) = γ (t, p, v) partindo de p com velocidade inicial v e

representada em coordenadas normais por um segmento radial, isto e,

γv (t) = expp (tv)

enquanto ela estiver dentro de V .

Prova: A condicaogij (p) = δij

e consequencia imediata da definicao de coordenadas normais, pois (usando a notacao da Definicao 4.19)

∂

∂xi

∣∣∣∣q

= dϕx (ei) = d(expp E

)x

(ei) = d(expp

)Ex dEx (ei) = d

(expp

)Ex E (ei)

= d(expp

)Ex Ei,

de modo que∂

∂xi

∣∣∣∣p

= d(expp

)0Ei = Ei,

logo

gij (p) =

⟨∂

∂xi

∣∣∣∣p

,∂

∂xj

∣∣∣∣p

⟩= 〈Ei, Ej〉 = δij .

O resultado sobre a geodesica γ segue do fato de que por definicao

expp (tv) = γ (1, p, tv) = γ (t, p, v) .

Isso implica por sua vez queΓkij (p) = 0,

pois as geodesicas que passam por p sao todas dadas por equacoes lineares. Mais especificamente, a equacaogeodesica para γ e

d2xk

dt2+

n∑i,j=1

Γkijdxi

dt

dxj

dt= 0

e como a solucao exk (t) = tvk,

a equacao geodesica se reduz an∑

i,j=1

Γkij (γv (t)) vivj = 0


Em t = 0, temos γv (0) = p, de modo que a equacao

n∑i,j=1

Γkij (p) vivj = 0

vale para todo v ∈ TpM . Isso so e possıvel se Γkij (p) = 0.Para provar a condicao sobre as derivadas das componentes da metrica lembramos do Corolario 3.25 a

formula∂gij∂xk

=

n∑p=1

gipΓpjk +

n∑p=1

gpjΓpik.

Logo

∂gij∂xk

(p) =

n∑p=1

gip (p) Γpjk (p) +

n∑p=1

gpj (p) Γpik (p) = 0.

Por causa deste resultado, as geodesicas dentro de uma vizinhanca normal que partem de p sao chamadasraios geodesicos ou geodesicas radiais. Observe que em coordenadas normais em p a derivada covarianteem p e simplesmente

(∇XY )p =

n∑i=1

Xp

(Y i) ∂

∂xi

∣∣∣∣p

=

n∑i=1

Xj (p)∂Y i

∂xj(p)

∂

∂xi

∣∣∣∣p

,

e a derivada covariante ao longo de uma curva α : I −→M com α (t0) = p e dada em t0 por

DV

dt

∣∣∣∣t0

=

n∑i=1

dV i

dt(t0)

∂

∂xi

∣∣∣∣p

.

Como coordenadas normais em p simplificam bastante as expressoes locais de varios objetos diferenciais egeometricos no ponto p, elas sao muito usadas para obter resultados em geometria riemanniana que dependemapenas da situacao em p, facilitando os calculos necessarios.

Vamos agora mostrar que uma isometria e definida pela diferencial em um unico ponto:

4.21 Proposicao. Sejam M,N variedades riemannianas, com M conexa. Se F,G : M −→ N sao isometriastais que

F (p) = G (p) ,

dFp = dGp,

entao F = G.

Prova: SejaA = q ∈M : F (q) = G (q) .

Entao A 6= ∅, pois p ∈ A, e por continuidade A e fechado. Como M e conexa, para provar o resultado bastamostrar que A e aberto. Para isso, provaremos que se q0 ∈ A entao qualquer vizinhanca normal V de q0 estacontida em A. De fato, se q ∈ V , seja v ∈ Tq0M tal que

γv (1) = expq0 (v) = q.

Da Proposicao 4.5 segue que

F (q) = F (γv (1)) = γdFp(v) (1) = γdGp(v) (1) = G (γv (1)) = G (q) .


4.5 Propriedades Minimizantes das Geodesicas

4.5.1 Variacoes

Para estudar as propriedades minimizantes das geodesicas, precisamos considerar o conceito de variacao deuma curva, que tem sua origem no calculo de variacoes.

4.22 Definicao. Uma curva diferenciavel por partes em M e uma aplicacao contınua γ : [a, b] −→ Mtal que existe uma particao do intervalo [a, b]

a = t0 < t1 < . . . < tk < tk+1 = b

tal que as restricoes γ|[ti,ti+1] sao curvas diferenciaveis para i = 0, . . . , k.Cada ponto γ (ti) e chamado um vertice da curva γ e o angulo da curva no vertice γ (ti) e definido

como sendo o angulo entre os vetores

limt→t−i

γ′ (t) e limt→t+i

γ′ (t)

4.23 Definicao. Seja γ : [a, b] −→ M uma curva diferenciavel por partes. Uma variacao de γ e umaaplicacao

F : (−ε, ε)× [a, b] −→M

tal que(i) F (0, t) = γ (t) ;(ii) existe uma particao de [a, b] por pontos

a = t0 < t1 < . . . < tk < tk+1 = b

tal que F |(−ε,ε)×[ti,ti+1] e diferenciavel para i = 0, . . . , k.Para cada s fixado, a curva Fs (t) = F (s, t) : [a, b] −→M e chamada uma curva principal da variacao.

Para cada t fixado, a curva Ft (s) = F (s, t) : (−ε, ε) −→M e chamada uma curva transversal da variacao.Um campo vetorial ao longo de F e uma aplicacao V : (−ε, ε) × [a, b] −→ TM tal que V (s, t) ∈

TF (s,t)M para cada (s, t) e V |(−ε,ε)×[ti,ti+1] e diferenciavel para i = 0, . . . , k. Se F e uma variacao de γ, entaoo campo variacional de F e o campo vetorial ao longo de γ

V (t) =∂F

∂s(0, t) .

Dada uma variacao F : (−ε, ε) × [a, b] −→ M de uma curva diferenciavel por partes γ, consideraremos asderivadas covariantes de um campo vetorial qualquer, definido ao longo de F , ao longo das curvas principaise ao longo das curvas transversais da variacao, onde estas derivadas estiverem definidas:

4.24 Notacao. Denotaremos as derivadas covariantes de um campo vetorial V ao longo de uma variacaoF ao longo das curvas principais e transversais de F (onde estiverem definidas) respectivamente por

DV

dte

DV

ds.

4.25 Lema (Lema de Simetria). Seja F : (−ε, ε)× [a, b] −→M uma variacao. Entao

D

ds

∂F

∂t=D

dt

∂F

∂s.


Prova: Escrevendo F localmente em coordenadas na forma

F (s, t) =(x1 (s, t) , . . . , xn (s, t)

),

segue da regra da cadeia que

∂F

∂t=

n∑i=1

∂xi

∂t∂i,

∂F

∂s=

n∑j=1

∂xj

∂s∂i.

Usando a comutatividade das derivadas parciais e a simetria da conexao, temos

D

ds

∂F

∂t=D

ds

(n∑i=1

∂xi

∂t∂i

)

=

n∑i=1

∂2xi

∂t∂s∂i +

n∑i=1

∂xi

∂t

D

ds∂i

=

n∑i=1

∂2xi

∂t∂s∂i +

n∑i=1

∂xi

∂t∇∑

∂xj

∂s ∂j∂i

=

n∑i=1

∂2xi

∂t∂s∂i +

n∑i,j=1

∂xi

∂t

∂xj

∂s∇∂i∂j

=

n∑i=1

∂2xi

∂s∂t∂i +

n∑i,j=1

∂xj

∂t

∂xi

∂s∇∂j∂i

=D

dt

(n∑i=1

∂xi

∂s∂i

)

=D

dt

∂F

∂s.

4.5.2 Lema de Gauss

No que se segue, identificaremos o espaco tangente a TpM no vetor v com o proprio TpM , isto e, Tv (TpM) =TpM . A fronteira ∂Bε (p) de uma bola geodesica e chamada uma esfera geodesica e denotada Sε (p).

4.26 Lema (Lema de Gauss). Seja M uma variedade riemanniana, p ∈ M e v ∈ TpM tal que expp (v)esta definido. Entao ⟨

d(expp

)vv, d

(expp

)vw⟩

= 〈v, w〉

para todo w ∈ TpM .Em particular, as geodesicas radiais que partem de p sao ortogonais as esferas geodesicas centradas em

p.

Prova: Decompondo TpM = 〈v〉+ 〈v〉⊥, se w ∈ 〈v〉 entao w = av para algum escalar a 6= 0. Temos

d(expp

)vv =

∂ expp∂v

(v) =d

dtexpp ((t+ 1) v)

∣∣∣∣t=0

=d

dtγ (1, p, (t+ 1) v)

∣∣∣∣t=0

=d

dtγ (t+ 1, p, v)

∣∣∣∣t=0

= γ′(p,v) (1) ,


e como a norma do vetor tangente a uma geodesica e constante, segue que⟨d(expp

)vv, d

(expp

)vw⟩

= a⟨d(expp

)vv, d

(expp

)vv⟩

= a∥∥∥γ′(p,v) (1)

∥∥∥2

= a∥∥∥γ′(p,v) (0)

∥∥∥2

= a 〈v, v〉= 〈v, w〉 .

Se w ∈ 〈v〉⊥, entao 〈v, w〉 = 0 e para terminar a demonstracao do lema temos que provar que⟨d(expp

)vv, d

(expp

)vw⟩

= 0.

Considere o raio geodesico γ : [0, 1] −→M

γ (t) = expp (tv) .

Para algum ε > 0, considere a curva α : (−ε, ε) −→ TpM com α (0) = v, α′ (0) = w e ‖α (s)‖ ≡ constante= ‖w‖, ou seja, α e um pequeno arco de cırculo centrado na origem de TpM e raio ‖v‖, comecando em v ecom velocidade inicial w. Definimos uma variacao F : (−ε, ε)× [0, 1] −→M de γ por

F (s, t) = expp (tα (s)) .

Em particular, as curvas principais da variacao Fs (t) sao geodesicas, mais especificamente as geodesicasradiais γ (1, p, tα (s)) = γ (t, p, α (s)) que passam por p com velocidade α (s). Uma variacao F cujas curvasprincipais sao geodesicas e chamada uma variacao geodesica.


Como

∂F

∂s(s, t) = d

(expp

)tα(s)

(tα′ (s)) = t d(expp

)tα(s)

(α′ (s)) ,

∂F

∂t(s, t) = d

(expp

)tα(s)

(α (s)) ,

segue que

∂F

∂s(0, 1) = d

(expp

)vw,

∂F

∂t(0, 1) = d

(expp

)vv,

de modo que ⟨d(expp

)vv, d

(expp

)vw⟩p

=

⟨∂F

∂t(0, 1) ,

∂F

∂s(0, 1)

⟩p

.

Considere o produto interno ⟨∂F

∂t,∂F

∂s

⟩(s, t) .

Afirmamos que ele independe de t. De fato, pela compatibilidade da conexao riemanniana com a metrica,temos para todo (s, t),

∂

∂t

⟨∂F

∂t,∂F

∂s

⟩=

⟨D

dt

∂F

∂t,∂F

∂s

⟩+

⟨∂F

∂t,D

dt

∂F

∂s

⟩=

⟨∂F

∂t,D

dt

∂F

∂s

⟩,

poisD

dt

∂F

∂t= 0

ja que Fs (t) sao geodesicas e∂F

∂te seu campo velocidade. Pelo Lema de Simetria,⟨

∂F

∂t,D

dt

∂F

∂s

⟩=

⟨∂F

∂t,D

ds

∂F

∂t

⟩=

1

2

∂

∂s

⟨∂F

∂t,∂F

∂t

⟩.

Mas ∥∥∥∥∂F∂t (s, t)

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∂F∂t (s, 0)

∥∥∥∥ =∥∥∥d (expp

)0

(α (s))∥∥∥ = ‖α (s)‖ ≡ constante,

e assim∂

∂t

⟨∂F

∂t,∂F

∂s

⟩= 0.

Em particular, ⟨∂F

∂t,∂F

∂s

⟩(0, 1) =

⟨∂F

∂t,∂F

∂s

⟩(0, 0) = 0.


4.5.3 Geodesicas minimizam distancias localmente

Veremos agora que as geodesicas minimizam distancias, localmente. A distancia entre dois pontos de umavariedade riemanniana e definida como sendo o ınfimo dos comprimentos das curvas que ligam estes pontos,como veremos em detalhes na Secao 4.7.

4.27 Definicao. Se γ : I −→M e uma geodesica e [a, b] ⊂ I, a restricao γ|[a,b] e chamada o segmento degeodesica ligando γ (a) a γ (b).

Denote o comprimento de uma curva α em M ligando os pontos p e q por ` (α). Dizemos que o segmentode geodesica γ : [a, b] −→M e minimizante se ` (γ) 6 ` (α) para toda curva α ligando γ (a) a γ (b).

4.28 Proposicao (Geodesicas minimizam distancias localmente). Sejam M uma variedade rieman-niana, p ∈ M e B (p) uma bola normal centrada em p. Seja γ : [0, 1] −→ B (p) um segmento de geodesicacom γ (0) = p e denote q = γ (1).

Se α : [0, 1] −→M e qualquer curva diferenciavel por partes ligando p a q, entao

` (γ) 6 ` (α) .

Se ` (α) = ` (γ), entao necessariamente α ([0, 1]) = γ ([0, 1]).

Prova: Suponha em primeiro lugar que α ([0, 1]) ⊂ B (p). Como expp e um difeomorfismo em B (p), podemosescrever α (t) de forma unica em “coordenadas polares” na forma

α (t) = expp (r (t) c (t)) (4.6)

para t ∈ (0, 1], onde c e uma curva diferenciavel por partes em TpM com ‖c (t)‖ = 1 para todo t e r :(0, 1] −→ R e uma funcao diferenciavel por partes; de fato, basta considerar β (t) = exp−1

p (α (t)) e definir

c (t) =β (t)

‖β (t)‖e r (t) = ‖β (t)‖ .

Se α retorna ao ponto p, de modo que β (t1) = 0 para algum t1 > 0, redefinimos c eliminando todo osegmento α ([0, t1]), o que nao prejudicara o resultado, pois mostraremos que a curva resultante ainda assimpossui comprimento maior que a geodesica. Denote

F (r, t) = expp (rc (t)) , (4.7)

de modo que, exceto possivelmente para um numero finito de pontos,

α′ (t) =∂F

∂rr′ (t) +

∂F

∂t.

Como

∂F

∂r= d

(expp

)β(t)

c (t) ,

∂F

∂t= d

(expp

)β(t)

(rc′ (t)) ,

segue do lema de Gauss que ⟨∂F

∂r,∂F

∂t

⟩= 〈c (t) , rc′ (t)〉 = r 〈c (t) , c′ (t)〉 = 0, (4.8)

e ∥∥∥∥∂F∂r∥∥∥∥2

=

⟨∂F

∂r,∂F

∂r

⟩= 〈c (t) , c (t)〉 = ‖c (t)‖2 = 1. (4.9)


Logo,

‖α′ (t)‖2 =

∥∥∥∥∂F∂r∥∥∥∥2

|r′ (t)|2 +

∥∥∥∥∂F∂t∥∥∥∥2

= |r′ (t)|2 +

∥∥∥∥∂F∂t∥∥∥∥2

> |r′ (t)|2 .

Daı,

` (α) >∫ 1

ε

‖α′ (t)‖ dt >∫ 1

ε

|r′ (t)| dt >∫ 1

ε

r′ (t) dt = r (1)− r (ε) = ` (γ)− r (ε) .

Fazendo ε→ 0, como r (ε) −→ 0, segue o primeiro resultado.Para que tenhamos ` (γ) = ` (α) e necessario que

∂F

∂t= 0,

ou seja,c′ (t) = 0

e portanto c ≡ constante. Como r′ (t) > 0, α e entao uma reparametrizacao monotona de γ, donde α ([0, 1]) =γ ([0, 1]).

Se α ([0, 1]) 6⊂ B (p) = Bρ (p), consideramos o primeiro instante t1 ∈ (0, 1] tal que α (t1) ∈ ∂B (p). Entao,

` (α) > `(α|[0,t1]

)> ρ > ` (γ) .

O resultado vale apenas localmente: um segmento de geodesica suficientemente grande pode nao ser mini-mizante. Por exemplo, as geodesicas de uma esfera (cırculos maximais) que partem de um ponto p deixamde ser minimizantes depois que passam pelo antıpoda de p.

Vale a recıproca da Proposicao 4.28 e ela e ate mais forte. Antes uma definicao e um resultado preliminar.

4.29 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana.Se V e uma vizinhanca em M que e uma vizinhanca normal para todos os seus pontos, dizemos que V e

uma vizinhanca totalmente normal.Dizemos que uma vizinhanca V em M e uma vizinhanca uniformemente normal se existe δ > 0 tal

que para todo q ∈ V a bola geodesica Bδ (q) = expq (Bδ (0)) contem V .

Observe que em uma vizinhanca uniformemente normal, dois pontos quaisquer da vizinhanca sao ligados poruma geodesica radial. Toda vizinhanca uniformemente normal e em particular totalmente normal.

4.30 Lema. Seja M uma variedade riemanniana. Para cada p ∈ M existe uma vizinhanca W de p que euma vizinhanca uniformemente normal.

Prova: Sejam ε > 0, V e V como na Proposicao 4.13. Defina F : V −→M ×M por

F (q, v) =(q, expq v

).

Temos F (p, 0) = (p, p) e

dF (p, 0) =

[I ∗0 I

]pois d

(expp

)0

= I. Portanto, F e um difeomorfismo local em uma vizinhanca de (p, 0), logo existe umavizinhanca V′ ⊂ V de (p, 0) em TM tal que F aplica V′ difeomorficamente sobre uma vizinhanca W ′ de (p, p)em M ×M . Para algum δ > 0, escolha V′ da forma

V′ = (q, v) : q ∈ V ′ e v ∈ Bδ (0) ⊂ TqM

onde V ′ e uma vizinhanca de p em M . Escolha a vizinhanca W de p em M de tal forma que W ×W ⊂W ′.Entao, para todo q ∈W e Bδ (0) ⊂ TqM temos

F (q ×Bδ (0)) ⊃ q ×W


o que implica, pela definicao de F ,Bδ (q) = expq (Bδ (0)) ⊃W.

4.31 Corolario (Curvas que minimizam distancias sao geodesicas). Seja M uma variedade rieman-niana. Se α : [a, b] −→M e uma curva diferenciavel por partes com parametro proporcional ao comprimentode arco que tem comprimento menor ou igual a qualquer outra curva diferenciavel por partes ligando α (a)a α (b), entao α e uma geodesica.

Em particular, α e diferenciavel em todo o intervalo [a, b].

Prova: Sejam t0 ∈ [a, b] e V uma vizinhanca uniformemente normal de α (t0). Seja I = [t0 − δ, t0 + δ] ⊂[a, b] um intervalo fechado tal que α (I) ⊂ V . Entao a restricao α|I e uma curva diferenciavel por partesligando dois pontos de uma bola normal. Pela Proposicao 4.28, ` (α|I) e igual ao comprimento da geodesicaradial ligando α (t0 − δ) a α (t0 + δ) (caso contrario obterıamos outra curva diferenciavel por partes comcomprimento menor que α ligando α (a) a α (b), contrariando a hipotese). Segue da mesma proposicao quea imagem de α|I e a imagem desta geodesica. Como α|I esta parametrizada por um parametro proporcionalao comprimento de arco, segue que α|I e ela propria uma geodesica. Observe que este resultado e global, nao apenas local: dados dois pontos quaisquer de uma variedaderiemanniana, se existir uma curva ligando eles que minimiza distancias, entao ela e uma geodesica. Por outrolado, dados dois pontos arbitrarios em uma variedade riemanniana pode nao existir nenhuma geodesica queos ligue: considere Rn com a bola centrada em zero e raio 1 removida; para δ > 0 suficientemente pequeno,nao existe nenhuma geodesica que une os pontos

(−1− δ, 0, . . . , 0) e (1 + δ, 0, . . . , 0) ,

por exemplo, e esta afirmacao vale para quaisquer dois pontos antıpodas muito proximos ao bordo da bolaremovida.

4.32 Exemplo (Geodesicas de H2 usando isometrias). Como no Exemplo 4.8, para determinar asgeodesicas do plano hiperbolico usaremos isometrias.

Primeiramente, usando o Corolario 4.31 mostraremos que o semieixo y superior e uma geodesica. Defato, seja γ (t) = (0, t), t > 0, uma parametrizacao por comprimento de arco deste semieixo e considere umsegmento γ|[a,b]. Temos

` (γ) =

∫ b

a

‖γ′ (t)‖γ(t) dt =

∫ b

a

1

tdt = log b− log a.

Se c : [a, b] −→ H2, c (t) = (x (t) , y (t)) , e qualquer curva diferenciavel por partes com c (a) = γ (a) = (0, a)e c (b) = γ (b) = (0, b), entao

` (c) =

∫ b

a

‖c′ (t)‖c(t) dt =

∫ b

a

√[x′ (t)]

2+ [y′ (t)]

2

y (t)dt >

∫ b

a

√[y′ (t)]

2

y (t)dt =

∫ b

a

y′ (t)

y (t)dt = ` (γ) .

Observe que, diferentemente da esfera, variedade compacta, esta geodesica de H2 tem comprimento infinito,como as retas do plano R2.

As isometrias do plano hiperbolico sao dadas pelas transformacoes de Mobius

T (z) =az + b

cz + d, ad− bc = 1,

onde z = x+ iy ∈ C. Estas isometrias transformam o semieixo y em semicırculos superiores ou em semi-retassuperiores x = x0, y > 0. Estas sao as geodesicas de H2, pois por todo ponto p ∈ H2 passa um tal semicırculoou uma tal semi-reta, em todas as direcoes possıveis. A demonstracao de todos estes detalhes e deixada aoleitor (Exercıcio 4.50).


4.6 Vizinhancas Convexas

Em uma vizinhanca uniformemente normal, como a considerada no Lema 4.30, dados dois pontos q1, q2 ∈Wexiste uma unica geodesica minimizante de comprimento menor que 2δ ligando q1 a q2. Por outro lado, nadagarante que esta geodesica esteja contida em W (as duas geodesicas radiais, uma partindo de q1 e outrapartindo de q2 podem se ligar atraves de um ponto p fora de W ⊂ Bδ (q1) ∪Bδ (q2).

4.33 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. Dizemos que uma vizinhanca V em M e uma vizi-nhanca convexa se para todos os pontos p, q ∈ V existe uma unica geodesica minimizante ligando p a qcuja imagem esta inteiramente contida em V .

O raio de uma bola geodesica pode ser escolhido de tal forma que ela se torne convexa.

4.34 Lema. Seja M uma variedade riemanniana. Para todo p ∈M existe R > 0 tal que qualquer geodesicade M que e tangente a esfera geodesica Sr (p) de raio r < R em q ∈ M esta fora da bola geodesica Br (p)numa vizinhanca de q.

Prova: Seja V uma vizinhanca totalmente normal de p. Restringindo convenientemente o intervalo dedefinicao, podemos assumir que todas as geodesicas de V tem velocidade 1. Podemos portanto nos restringirao fibrado tangente unitario

T1V = (q, v) ∈ TM : q ∈ V , v ∈ TqM e ‖v‖ = 1 .

Seja γ : (−ε, ε)× T1V −→M a aplicacao diferenciavel tal que γ (t, q, v) e a geodesica que no instante t = 0passa por q com velocidade v, ‖v‖ = 1. Definimos

u (t, q, v) = exp−1p (γ (t, q, v))

e F : (−ε, ε)× T1V −→ R por

F (t, q, v) = ‖u (t, q, v)‖2 ,

ou seja, F mede o quadrado da distancia a q de um ponto que se desloca sobre a geodesica γ. Temos

∂F

∂t= 2

⟨u,∂u

∂t

⟩,

∂2F

∂t2= 2

⟨u,∂2u

∂t2

⟩+ 2

∥∥∥∥∂u∂t∥∥∥∥2

.

Seja agora r > 0 tal que Br (p) = exppBr (0) ⊂ V e γ uma geodesica tangente a esfera geodesica no pontoq = γ (0, q, v). Pelo lema de Gauss, ⟨

u (0, q, v) ,∂u

∂t(0, q, v)

⟩= 0

ja que γ (t, q, v) e uma geodesica radial que parte de q. Em particular,

∂F

∂t(0, q, v) = 0.

Se mostrarmos que para r suficientemente pequeno o ponto crıtico (0, q, v) de F e um mınimo estrito, demodo que os pontos de γ estao a uma distancia de p maior que r, a demonstracao estara concluıda.

Para provar isso, basta observar que para q = p temos u (t, p, v) = tv e portanto

∂2F

∂t2(0, p, v) = 2 ‖v‖2 = 2,


logo existe uma vizinhanca W ⊂ V de p tal que

∂2F

∂t2(0, q, v) > 0

para todo q ∈ W . Escolha R > 0 tal que Br (p) = exppBR (0) ⊂ W . Entao, se r < R, F tem um mınimoestrito em (0, q, v).

4.35 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana. Para todo p ∈ M existe ε > 0 tal que a bolageodesica Bε (p) e convexa.

Prova: Seja R > 0 como no lema. Escolha W e δ < 0 como no Lema 4.30 com δ < R/2. Tome ε < δ talque Bε (p) ⊂W . Afirmamos que Bε (p) e convexa.

De fato, sejam q1, q2 ∈ Bε (p) e γ a unica geodesica minimizante de comprimento menor que 2ε < 2δ < Rligando q1 a q2; em particular, γ esta contida na bola BR (p). Suponha por absurdo que o interior de γ naoesta contido em Bε (p). Entao existe um ponto q no interior de γ onde a distancia maxima r < R de p aγ e atingida. Logo γ e tangente a esfera geodesica Sr (p) em q, mas os pontos de γ numa vizinhanca de qestarao no fecho de Br (p), contradizendo o lema.

4.7 Funcao Distancia

4.36 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana conexa. Dados p, q ∈ M , a distancia entre p e q edefinida por

dist (p, q) = inf ` (c) : c e uma curva diferenciavel por partes ligando p e q .

4.37 Proposicao. Se existe uma geodesica minimizante ligando p e q, entao dist (p, q) = ` (γ).

Prova: Segue do Corolario 4.31.

4.38 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana conexa. Com a funcao distancia definida acima,M e um espaco metrico.

Alem disso, a topologia de M como espaco metrico coincide com a topologia inicial de M como variedadediferenciavel.

Prova: De fato, a funcao distancia satisfaz as tres propriedades da funcao distancia de um espaco metrico:(i) Simetria:

dist (p, q) = dist (q, p) .

(ii) Desigualdade triangular:dist (p, q) 6 dist (p, r) + dist (r, q) .

(iii) Positividade:dist (p, q) > 0

edist (p, q) = 0 se e somente se p = q.

Todas as propriedades seguem imediatamente da definicao (a desigualdade triangular segue da definicao deınfimo) exceto a afirmacao que dist (p, q) = 0 implica p = q. Suponha o contrario e considere uma bolanormal Bε (p) que nao contem q. Como dist (p, q) = 0, existe uma curva c ligando p a q com comprimentomenor que ε, contradizendo a Proposicao 4.28.


Pela Proposicao 4.37, se existir uma geodesica minimizante γ ligando p e q entao dist (p, q) = ` (γ). Emparticular, dado p ∈ M , se ε > 0 e suficientemente pequeno, a bola geodesica Bε (p) de raio ε coincide coma bola metrica de centro em p e raio ε definida pela funcao distancia:

B (p; ε) = q ∈M : dist (p, q) < ε .

Logo, bolas geodesicas contem bolas metricas e vice-versa, portanto as topologias sao as mesmas. De agora em diante, consideraremos variedades riemannianas tambem como espacos metricos com a nocaode distancia definida acima.

4.8 Variedades Completas e Teorema de Hopf-Rinow

4.39 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. Dizemos que M e geodesicamente completa separa todo p ∈M as geodesicas radiais γ (t) partindo de p estao definidas para todo t ∈ R.

Equivalentemente, M e geodesicamente completa se para todo p ∈M a aplicacao exponencial esta definidaem todo TpM (Exercıcio 4.51).

Lembramos que um espaco metrico e completo se toda sequencia de Cauchy e convergente.

4.40 Lema. Seja M uma variedade riemanniana conexa. Se expp esta definida em todo TpM , entao qualquerponto q ∈M pode ser ligado a p por um segmento geodesico γ tal que

` (γ) = dist (p, q) .

Prova: Seja r = dist (p, q). Tome uma bola geodesica fechada Bδ (p). Se q ∈ Bδ (p), entao existe umageodesica radial minimizante ligando p a q e nao ha nada a provar. Se q /∈ Bδ (p), lembrando que a funcaodistancia e contınua e esferas geodesicas sao conjuntos compactos, seja x0 ∈ Sδ (p) = ∂Bδ (p) onde a funcao

f (x) = dist (x, q)

atinge um mınimo em Sδ (p). Seja γ (s) = expp (sV ) a geodesica radial unitaria ligando p a x0. Por hipotese,γ esta definida para todo t ∈ R. Para provar o lema, basta mostrar que

γ (r) = q.

Para provar isso, considere o conjunto nao vazio (pois 0 ∈ A)

A = s ∈ [0, r] : dist (γ (s) , q) = r − s .

A e fechado em [0, r] pela continuidade da funcao distancia e de γ. Se provarmos que para todo s0 ∈ A vales0 + ε ∈ A para todo ε > 0 suficientemente pequeno, isso implicara que A tambem e aberto no conjuntoconexo [0, r] e portanto A = [0, r]; em particular, r ∈ A, o que implica dist (γ (r) , q) = r − r = 0, o que eequivalente a γ (r) = q.


Seja entao s0 ∈ A e considere uma bola geodesica fechada Bε (γ (s0)). Temos

r − s0 = dist (γ (s0) , q) = ε+ miny∈Bε(γ(s0))

dist (y, q) = ε+ dist (y0, q)

onde y0 ∈ Sε (γ (s0)) = ∂Bε (γ (s0)) e o ponto onde a funcao

g (y) = dist (y, q)

atinge um mınimo em Sε (γ (s0)). Para provar a afirmacao, basta entao mostrar que y0 = γ (s0 + ε), poisneste caso

r − s0 = ε+ dist (γ (s0 + ε) , q) ,

dondedist (γ (s0 + ε) , q) = r − (s0 + ε) .

De fato, temosdist (p, y0) > dist (p, q)− dist (q, y0) = r − [r − (s0 + ε)] = s0 + ε.

Por outro lado, a curva quebrada que liga p a y0 constituida do segmento geodesico γ que vai de p a γ (s0)e do raio geodesico que vai de γ (s0) a y0 tem comprimento s0 + ε. Portanto,

dist (p, y0) = s0 + ε

e esta curva quebrada e uma geodesica (logo, nao e quebrada), donde y0 = γ (s0 + ε), o que termina ademonstracao.

4.41 Teorema (Teorema de Hopf-Rinow). Uma variedade riemanniana conexa e geodesicamente com-pleta se e somente se ela e completa como um espaco metrico.

Prova:1. M variedade riemanniana completa como espaco metrico =⇒M variedade riemanniana geodesicamentecompleta.


Suponha por absurdo que exista uma geodesica unitaria γ : [0, a) −→ M que nao se estende a umintervalo [0, a+ ε) para nenhum ε > 0. Seja ti uma sequencia crescente tal que ti → a; em particular, tie uma sequencia de Cauchy. Seja qi = γ (ti). Como γ e parametrizada por comprimento de arco, segue que

dist (qi, qj) 6 |ti − tj |

e (qi) e uma sequencia de Cauchy em M . Logo qi → q ∈M . Seja V uma vizinhanca uniformemente normalde q e δ > 0 tal que V esta contido em qualquer bola geodesica de raio δ centrada em um ponto de V .Para j suficientemente grande temos qj ∈ V e tj > a− δ. O fato que Bδ (qj) e uma bola geodesica implicaque toda geodesica partindo de qj existe por um intervalo de tempo pelo menos igual a δ. Em particularisso vale para a geodesica σ satisfazendo σ (0) = qj e σ′ (0) = γ′ (tj). Por unicidade de geodesica, esta euma reparametrizacao de γ, isto e, σ (t) = γ (t+ tj), logo γ (t) = σ (t− tj) e uma extensao de γ alem de a,contradizendo a hipotese inicial.2. M variedade riemanniana geodesicamente completa =⇒M espaco metrico completo.

Para provar a recıproca, demonstraremos um resultado mais forte:Se existe p ∈M tal que expp esta definida em todo TpM , entao M e um espaco metrico completo.Seja qi ⊂M uma sequencia de Cauchy. Para cada i, seja γi (s) = expp (sVi) a geodesica radial unitaria

que liga p a qi, e sejadi = dist (p, qi) ,

de modo que pelo lemaqi = expp (diVi) .

Alem disso, di e uma sequencia de Cauchy em R, pois

|di − dj | = |dist (p, qi)− dist (p, qj)| 6 dist (qi, qj) .

Como sequencias de Cauchy sao limitadas, di e limitada; alem disso ‖Vi‖ = 1 para todo i, logo diVie limitada em TpM . Portanto, uma subsequencia dikVik converge para V ∈ TpM . Por continuidade daaplicacao exponencial,

qik = expp (dikVik)→ expp (V ) .

Como a sequencia original qi e de Cauchy, ela converge para o mesmo ponto para o qual sua subsequenciaconverge. Em particular, o conceito de variedade riemanniana geodesicamente completa e equivalente ao conceito devariedade riemanniana completa como espaco metrico para variedades conexas e para estas podemos nosreferir simplesmente a uma variedade riemanniana completa, implicando ambos os conceitos.

4.42 Corolario. Toda variedade riemanniana compacta e geodesicamente completa.

Prova: Pois todo espaco metrico compacto e completo.

4.43 Corolario. Uma subvariedade fechada de uma variedade riemanniana completa e geodesicamente com-pleta na metrica induzida.

Prova: Pois todo subconjunto fechado de um espaco metrico e completo.

4.44 Corolario. Os conjuntos fechados e limitados de uma variedade riemanniana conexa sao compactosse e somente se ela e geodesicamente completa.

Prova: Seja A ⊂ M fechado e limitado. Como A e limitado, A esta contido em uma bola metrica B (p; r).Pelo Lema 4.40, existe uma bola BR (0) ⊂ TpM tal que

B (p; r) ⊂ expp

(BR (0)

)= BR (p).


A bola geodesica fechada BR (p) e compacta, pois e a imagem de um compacto pela aplicacao contınua expp.Logo, A e um subconjunto fechado de um compacto, portanto e compacto.

Reciprocamente, a condicao de conjuntos fechados limitados serem compactos em um espaco metricoimplica que o espaco metrico e completo: sequencias de Cauchy sao limitadas, logo seu fecho e compacto eportanto possuem uma subsequencia convergente, o que implica para sequencias de Cauchy que a sequenciatoda e convergente.

4.45 Corolario. Se M e uma variedade riemanniana conexa e existe p ∈M tal que expp esta definida emtodo TpM entao M e geodesicamente completa.

Prova: Segue da demonstracao do teorema de Hopf-Rinow.

4.46 Corolario. Se M e uma variedade riemanniana conexa completa, entao quaisquer dois pontos p, q ∈Mpodem ser ligados por um segmento geodesico γ tal que

` (γ) = dist (p, q) .

Prova: Segue do teorema de Hopf-Rinow e do Lema 4.40. A recıproca nao e valida: todos os pontos de um aberto convexo U de Rn (uma variedade riemanniana nametrica euclideana) podem ser ligados por segmentos de retas, mas se U e um subconjunto proprio de Rnele nao e uma variedade completa.

4.9 Apendice: Geodesicas atraves do Metodo Variacional

Excepcionalmente denotaremos a derivada de uma curva α′ (t) nesta secao por α (t), para adotar uma notacaoconsistente com a do Calculo de Variacoes.

4.47 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel. Considere o espaco C das curvas diferenciaveis emM que satisfazem a condicao de fronteira α (a) = p e α (b) = q:

C = α : [a, b] −→M : α e diferenciavel, α (a) = p e α (b) = q .

O lagrangiano L de um problema variacional para C e uma funcao diferenciavel

L : TM −→ R.

Associado ao lagrangiano L e o funcional acao S : C −→ R definido por

S (α) =

∫ b

a

L (α (t) , α (t)) dt.

No Calculo de Variacoes, procura-se encontrar um metodo para determinar curvas α que minimizam ofuncional acao; isto e chamado o princıpio da acao mınima.

4.48 Proposicao (Equacoes de Euler-Lagrange). Se uma curva γ ∈ C e um valor extremo do funcionalacao, entao a equacao de Euler-Lagrange

d

dt

(∂L

∂vi

)=∂L

∂xi

i = 1, . . . , n, sao satisfeitas ao longo de γ em coordenadas locais(x1, . . . , xn, v1, . . . , vn

)para TM .


Prova: Vamos considerar primeiro o caso M = Rn para compreender melhor a ideia da demonstracao. Sejaβ : [a, b] −→ Rn uma curva diferenciavel arbitraria satisfazendo β (a) = β (b) = 0 e considere a seguintevariacao de γ

F (s, t) = γ (t) + sβ (t) .

Denotandoαs (t) = F (s, t)

considere a funcao diferenciavel real f : (−ε, ε) −→ R definida por

f (s) = S (αs) =

∫ b

a

L (αs (t) , αs (t)) dt.

Como γ e um extremo para S, segue que 0 e um extremo para f , de modo que

f ′ (0) = 0.

Temos, derivando sob o sinal de integracao e pela regra da cadeia,

f ′ (s) =

∫ b

a

n∑i=1

[∂L

∂xi(αs, αs)

dαisds

+∂L

∂vi(αs, αs)

dαisds

]dt.

Ja que

dαsds

= β (t) ,

dαsds

= β (t) ,

segue que

f ′ (s) =

∫ b

a

n∑i=1

[∂L

∂xi(αs, αs)β

i +∂L

∂vi(αs, αs) β

i

]dt.

Por outro lado, integrando por partes, temos∫ b

a

∂L

∂vi(αs, αs) β

i dt =∂L

∂viβi∣∣∣∣ba

−∫ b

a

d

dt

(∂L

∂vi(αs, αs)

)βi dt = −

∫ b

a

d

dt

(∂L

∂vi(αs, αs)

)βi dt,

de modo que

f ′ (s) =

∫ b

a

n∑i=1

[∂L

∂xi(αs, αs)−

d

dt

(∂L

∂vi(αs, αs)

)]βi dt.

Agora, f ′ (0) = 0 implica ∫ b

a

n∑i=1

[∂L

∂xi(γ, γ)− d

dt

(∂L

∂vi(γ, γ)

)]βi dt = 0

Como β e arbitraria, segue que∂L

∂xi(γ, γ)− d

dt

(∂L

∂vi(γ, γ)

)= 0

para todo i. Em uma variedade riemanniana (M, g) existem dois lagrangianos associados de forma natural:

L (p, v) = ‖v‖p ,

E (p, v) = ‖v‖2p .


As acoes destes lagrangianos sao respectivamente o funcional comprimento e o funcional energia:

L (α) =

∫ b

a

‖α′ (t)‖p dt,

E (α) =

∫ b

a

‖α′ (t)‖2p dt.

E mais facil trabalhar com o funcional energia, ja que o lagrangiano da energia nao apresenta problemas dediferenciabilidade na origem. Alem disso, um mınimo para o funcional energia e um mınimo para o funcionalcomprimento, pois a desigualdade de Cauchy-Schwartz implica que

L (α) =

∫ b

a

‖α′ (t)‖p dt 6

(∫ b

a

‖α′ (t)‖2p dt

)1/2(∫ b

a

1 dt

)1/2

=√b− aE (α)

1/2.

4.49 Proposicao. Geodesicas sao extremos do funcional energia.

Prova: Em coordenadas locais o lagrangiano da energia e

E(x1, . . . , xn, v1, . . . , vn

)=

n∑i,j=1

gij(x1, . . . , xn

)vivj ,

e ao longo de uma curva α (t) =(x1 (t) , . . . , xn (t)

)ele e dado por

E

(x1, . . . , xn,

dx1

dt, . . . ,

dxn

dt

)=

n∑i,j=1

gij(x1, . . . , xn

) dxidt

dxj

dt.

Logo,

∂E

∂xk=

n∑i,j=1

∂gij∂xk

dxi

dt

dxj

dt,

enquanto que

∂E

∂vk= 2

n∑i=1

gikdxi

dt.

de modo que, pela regra da cadeia, segue que

d

dt

(∂E

∂vk

)= 2

n∑i,j=1

(∂gik∂xj

dxj

dt

dxi

dt+ gik

d2xi

dt2

)

=

n∑i,j=1

∂gik∂xj

dxj

dt

dxi

dt+

n∑i,j=1

∂gik∂xj

dxj

dt

dxi

dt+ 2

n∑i=1

gikd2xi

dt2

=

n∑i,j=1

∂gik∂xj

dxj

dt

dxi

dt+

n∑i,j=1

∂gjk∂xi

dxi

dt

dxj

dt+ 2

n∑i=1

gikd2xi

dt2

trocando i, j no segundo termo. Portanto, a equacao de Euler-Lagrange do funcional energia

d

dt

(∂E

∂vk

)=

∂E

∂xk

transforma-se na equacao

2

n∑i=1

gikd2xi

dt2+

n∑i,j=1

∂gik∂xj

dxj

dt

dxi

dt+

n∑i,j=1

∂gjk∂xi

dxi

dt

dxj

dt−

n∑i,j=1

∂gij∂xk

dxi

dt

dxj

dt= 0,


ou seja,n∑i=1

gikd2xi

dt2+

n∑i,j=1

(∂gik∂xj

+∂gik∂xj

− ∂gij∂xk

)dxi

dt

dxj

dt= 0.

Multiplicando por gmk e somando em k, obtemos

n∑i=1

δmid2xi

dt2+

n∑i,j=1

[n∑k=1

(∂gik∂xj

+∂gik∂xj

− ∂gij∂xk

)gmk

]dxi

dt

dxj

dt= 0,

que e exatamente a equacao geodesica

d2xm

dt2+

n∑i,j=1

Γmijdxi

dt

dxj

dt= 0.

4.10 Exercıcios

4.50 Exercıcio. Mostre que as transformacoes de Mobius introduzidas no Exemplo 4.32 sao isometrias doplano hiperbolico e complete os outros detalhes.

4.51 Exercıcio. Mostre que M e geodesicamente completa se e somente se para todo p ∈ M a aplicacaoexponencial esta definida em todo TpM.

Capıtulo 5

Curvatura

5.1 Mais sobre Tensores

Observe que o espaco vetorial real T (M) = T1 (M) = T01 (M) dos campos diferenciaveis de uma variedade

diferenciavel M tambem pode ser considerado como um modulo sobre o anel C∞ (M). Pensando destaforma, estamos considerando a estrutura linear de T (M) quando tomamos as funcoes reais diferenciaveis emM como escalares. Da mesma forma, o espaco vetorial real T1 (M) = T1

0 (M) dos campos covetoriais e ummodulo sobre C∞ (M).

Um campo tensorial T ∈ Tkl (M) entao induz naturalmente uma aplicacao multilinear sobre C∞ (M)

T : T1 (M)× . . .× T1 (M)× T1 (M)× . . .× T1 (M) −→ C∞ (M) (5.1)

definindoT(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

(p) = Tp

(X1|p , . . . , Xk|p , ω

1∣∣p, . . . , ωl

∣∣p

). (5.2)

De fato, a funcao T (X1, . . . , Xk, ω1, . . . , ωl) ∈ C∞ (M) e T e claramente multilinear. Alem disso, pode-seprovar que toda aplicacao multilinear (5.1) sobre C∞ (M) e induzida por um campo tensorial em Tkl (M)(Exercıcio 5.38). Em particular, observe que se a base coordenada associada para o espaco tensorial T kl (TpM)e (

Bkl)p

=dxi1

∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂j1 |p ⊗ . . .⊗ ∂jl |p

16i1,...,ik6n16j1,...,jl6n

para todo p ∈ V , de modo que nesta base coordenada o campo tensorial T se escreve na forma

Tp = T j1,...,jli1,...,ik(p) dxi1

∣∣p⊗ . . .⊗ dxik

∣∣p⊗ ∂j1 |p ⊗ . . .⊗ ∂jl |p ,

entao se os campos vetoriais e covetoriais se escrevem localmente na forma

Xr|p = Xir (p) ∂ir |p , r = 1, . . . , k,

ωs|p = ωjs (p) dxjs∣∣p

, s = 1, . . . , l,

temos

T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

(p) =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

Xi1 . . . Xikωj1 . . . ωjlTj1,...,jli1,...,ik

(p) . (5.3)

Ou seja, o valor de T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

em p depende apenas das componentes do campo tensorialT em p e dos valores dos campos vetoriais e de 1-formas em p. Neste sentido, dizemos que tensores saopuntuais. Contraste isso com uma conexao, que nao e um tensor porque ao inves da linearidade satisfaz aregra do produto.

104


5.2 O Tensor Curvatura

Quando Riemann introduziu a nocao de metrica em variedades, ele precisava mostrar que elas nao eramlocalmente isometricas ao espaco euclidiano. Para provar isso, ele introduziu a nocao de curvatura.

5.2.1 O Endomorfismo Curvatura

Para motivar a definicao de curvatura, considere Rn com a metrica usual e campos vetoriais X,Y, Z ∈ T (Rn).Observe que

∇X∇Y Z −∇Y∇XZ =

n∑j=1

X (∇Y Z)j∂j −

n∑j=1

Y (∇XZ)j∂j

=

n∑j=1

X[Y(Zj)]∂j −

n∑j=1

Y[X(Zj)]∂j

=

n∑j=1

(X[Y(Zj)]− Y

[X(Zj)])

∂j

=

n∑j=1

(XY − Y X)(Zj)∂j

= ∇[X,Y ]Z.

Esta relacao e valida para qualquer variedade riemanniana localmente isometrica a Rn (Exercıcio 5.39).

5.1 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. O endomorfismo curvatura de M e o campotensorial de ordem (3, 1)

R : T (M)× T (M)× T (M) −→ T (M)

definido porR (X,Y )Z = ∇X∇Y Z −∇Y∇XZ −∇[X,Y ]Z. (5.4)

Observamos que alguns autores, tais como [Carmo], definem a curvatura com o sinal oposto, mas quase todosdefinem como acima. O fato de termos identificado R com um tensor do tipo (3, 1) segue da Proposicao 1.19e pelo fato de R ser multilinear sobre C∞ (M), conforme e demonstrado na proposicao a seguir. Em outraspalavras, R e identificado com o campo tensorial

R : T1 (M)× T1 (M)× T1 (M)× T1 (M) −→ R

definido porR (X,Y, Z, ω) = ω (R (X,Y )Z) .

Uma motivacao extra para a definicao do tensor curvatura pode ser vista no apendice no final deste capıtulo.

5.2 Proposicao. R e multilinear sobre C∞ (M).

Prova: Temos, em relacao a segunda variavel,

R (X,Y1 + Y2)Z = ∇X∇Y1+Y2Z −∇Y1+Y2∇XZ −∇[X,Y1+Y2]Z

= ∇X∇Y1Z +∇X∇Y2Z −∇Y1∇XZ −∇Y2∇XZ−∇[X,Y1]Z −∇[X,Y2]Z

= R (X,Y1)Z +R (X,Y2)Z


e

R (X, fY )Z = ∇X∇fY Z −∇fY∇XZ −∇[X,fY ]Z

= ∇X (f∇Y Z)− f∇Y∇XZ −∇f [X,Y ]+(Xf)Y Z

= f∇X∇Y Z + (Xf)∇Y Z − f∇Y∇XZ − f∇[X,Y ]Z − (Xf)∇Y Z= f

(∇X∇Y Z −∇Y∇XZ −∇[X,Y ]Z

)= fR (X,Y )Z.

A linearidade em relacao a primeira variavel e imediatamente estabelecida uma vez que se observa que

R (X,Y )Z = −R (Y,X)Z. (5.5)

De fato,

R (Y,X)Z = ∇Y∇XZ −∇X∇Y Z −∇[Y,X]Z

= −∇X∇Y Z +∇Y∇XZ −∇−[X,Y ]Z

= −∇X∇Y Z +∇Y∇XZ +∇[X,Y ]Z

= −R (X,Y )Z.

Para estabelecer a linearidade em relacao a terceira variavel, temos

R (X,Y ) (Z1 + Z2) = ∇X∇Y (Z1 + Z2)−∇Y∇X (Z1 + Z2)−∇[X,Y ] (Z1 + Z2)

= ∇X∇Y Z1 −∇Y∇XZ1 −∇[X,Y ]Z1

+∇X∇Y Z2 −∇Y∇XZ2 −∇[X,Y ]Z2

= R (X,Y )Z1 +R (X,Y )Z2

e

R (X,Y ) (fZ) = ∇X∇Y (fZ)−∇Y∇X (fZ)−∇[X,Y ] (fZ)

= ∇X (f∇Y Z) +∇X ((Y f)Z)−∇Y (f∇XZ)−∇Y ((Xf)Z)

− f∇[X,Y ]Z − [X,Y ] (f)Z

= f∇X∇Y Z + (Xf)∇Y Z + (Y f)∇X (Z) +X (Y f)Z

− f∇Y∇XZ − (Y f)∇XZ − (Xf)∇Y Z − Y (Xf)Z

− f∇[X,Y ]Z − [X,Y ] (f)Z

= f∇X∇Y Z − f∇Y∇XZ + [X (Y f)− Y (Xf)]Z − f∇[X,Y ]Z − [X,Y ] (f)Z

= f∇X∇Y Z − f∇Y∇XZ − f∇[X,Y ]Z + [Y,X] (f)Z − [X,Y ] (f)Z

= f(∇X∇Y Z −∇Y∇XZ −∇[X,Y ]Z

)= fR (X,Y )Z.

5.2.2 O Significado da Curvatura Nula

5.3 Proposicao. Em Rn,R = 0. (5.6)

Em particular, a derivada covariante comuta

∇∂i∇∂j = ∇∂j∇∂i . (5.7)


Prova: Na introducao a esta secao vimos que R ≡ 0 para Rn (de fato, foi o que nos levou a definir R emprimeiro lugar; este resultado e trazido aqui apenas para referencia e enfase). Como [∂i, ∂j ] = 0, segue que

∇∂i∇∂jZ = ∇∂j∇∂iZ

para todo campo vetorial Z ∈ T (Rn). Assim, a curvatura mede tambem o quanto a derivada covariante deixa de comutar. De fato, o principalpapel do termo ∇[∂i,∂j ] e fazer com que a curvatura seja um tensor (veja o apendice deste capıtulo para maisdetalhes).

5.4 Teorema. Uma variedade Riemanniana Mn e localmente isometrica a Rn se e somente se R = 0.

Prova: Vamos mostrar que se R = 0 entao M e localmente isometrica ao espaco euclideano, ja que arecıproca e obvia (a curvatura e um invariante isometrico local; Exercıcio 5.39).

Dado p ∈M , escolha uma base ortonormalE1|p , . . . , En|p

para TpM . Seja

x1, . . . , xn

um sistema de coordenadas para uma vizinhanca de p tal que ∂i|p = Ei|p para

todo i (por exemplo, um sistema de coordenadas normal).Diminuindo a vizinhanca se necessario, podemos assumir que o domınio da parametrizacao e um pequeno

cuboCδ =

x ∈ Rn :

∣∣xi∣∣ < δ, i = 1, . . . , n.

Para cada i faca um transporte paralelo do vetor Ei|p ao longo de todas as imagens parametrizadasdos eixos do cubo, cobrindo todos os pontos da vizinhanca parametrizada pelo cubo: por exemplo, co-mece transportando paralelamente o vetor Ei|p ao longo da imagem parametrizada do eixo x1; entao, a

partir de cada ponto da imagem parametrizada do eixo x1, transporte paralelamente ao longo da imagemparametrizada do segmento paralelo ao eixo x2; entao, sucessivamente, transporte paralelamente ao longodas imagens parametrizadas dos segmentos paralelos aos eixos x3, . . . , xn. Deste modo, obtemos n camposvetoriais ortonormais

E1, . . . , En

definidos na vizinhanca parametrizada pelo cubo Cδ. Estes campos vetoriais sao suaves pela aplicacaosucessiva do teorema da dependencia suave das solucoes de EDOs nas condicoes iniciais, pois os campos Eisao as solucoes do sistema de EDOs

DEidt

= 0.


Afirmamos que os campos E1, . . . , En sao paralelos em Cδ. Para provar isso, basta provar que

∇∂iEj = 0

para todos i, j.Fixe j. Seja

Mk =x ∈ Cδ : xk+1 = . . . = xn = 0

a fatia k-dimensional do cubo correspondente a intersecao do plano k-dimensional

(x1, . . . , xk, . . . , 0

)com o

cubo Cδ. Por construcao, ∇∂1Ej = 0 em M1, ∇∂2Ej = 0 em M2 e, em geral, ∇∂kEj = 0 em Mk.Provaremos por inducao que

∇∂1Ej = . . . = ∇∂kEj = 0 (5.8)

em Mk para todo k; em particular, para k = n, obtemos a afirmacao.Ja vimos que o caso k = 1 e valido. Assuma a validade de (5.8) para k. Em Mk+1 temos ∇∂k+1

Ej = 0por construcao e

∇∂1Ej = . . . = ∇∂kEj = 0

em Mk por hipotese de inducao. Resta apenas mostrar que ∇∂iEj = 0 para i = 1, . . . , k no resto de Mk+1.Para isso, como ja temos ∇∂iEj = 0 na fatia k-dimensional Mk (a fatia que ocupa o centro de Mk+1), bastaprovar que

∇∂k+1(∇∂iEj) = 0,

pois isso implicara que o campo ∇∂iEj continuara sendo nulo ao ser paralelamente transportado para o restode Mk+1. Mas, como R = 0, temos

∇∂i(∇∂k+1

Ej)−∇∂k+1

(∇∂iEj)−∇[∂i,∂k+1]Ej = 0

ou seja, usando o fato que [∂i, ∂k+1] = 0 e a hipotese de inducao,

∇∂k+1(∇∂iEj) = ∇∂i

(∇∂k+1

Ej)

= 0.

Isso conclui a demonstracao da afirmacao que os campos E1, . . . , En sao paralelos em Cδ.


Agora, pela simetria da conexao riemanniana temos

[Ei, Ej ] = ∇EiEj −∇EjEi.

Como os campos E1, . . . , En sao paralelos em Cδ, como acabamos de provar, segue que

∇EiEj = ∇EjEi = 0,

donde[Ei, Ej ] = 0

para todos i, j em Cδ. Portanto, pelo Teorema 0.44, existem coordenadasy1, . . . , yn

para uma vizinhanca

possivelmente menor de p, tais que

Ei =∂

∂yi.

Nestas coordenadas,

gij =

⟨∂

∂yi,∂

∂yj

⟩= 〈Ei, Ej〉 = δij ,

logo a parametrizacao das coordenadas yi define uma isometria entre esta vizinhanca parametrizada de p eum aberto de Rn. Para a demonstracao original deste resultado por Riemann, comentada e em notacao moderna, veja [Spivak],Vol. II, pp. 179-204. Observe que a demonstracao acima mostra que se pudermos encontrar camposE1, . . . , En ortonormais e paralelos na variedade M , entao ela e localmente isometrica a Rn. Consequente-mente, tais campos em geral nao existem. Isso significa que o transporte paralelo de vetores ao longo decurvas com extremidades coincidentes em geral da resultados diferentes (como exemplo, considere o trans-porte paralelo de um vetor na esfera do polo norte ao polo sul, ao longo de dois meridianos fazendo umangulo reto). Assim, o tensor curvatura mede a independencia de caminhos do transporte paralelo (vejaTeorema 5.37 no apendice a este capıtulo). Outra coisa importante que a curvatura mede e o assim chamadodesvio geodesico (veja Proposicao 5.35 no apendice a este capıtulo). Este e a influencia da curvatura notransporte paralelo sao discutidos detalhadamente no apendice deste capıtulo.

5.5 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana. Temos

R (∂i, ∂j) ∂k =(∇∂i∇∂j −∇∂j∇∂i

)∂k. (5.9)

Em particular, os componentes do tensor endomorfismo curvatura sao

Rlijk =

n∑m=1

(ΓmjkΓlim − ΓmikΓljm

)+ ∂iΓ

ljk − ∂jΓlik. (5.10)

Prova: A primeira afirmacao segue de [∂i, ∂j ] = 0.A segunda afirmacao segue da primeira por calculo direto, observando primeiramente que os componentes

do tensor R sao definidos da forma usual, usando a multilinearidade do tensor, por

R (X,Y )Z =

n∑i,j,k,l=1

RlijkXiY jZk∂l, (5.11)

de modo que

R (∂i, ∂j) ∂k =

n∑l=1

Rlijk∂l. (5.12)

Logo, lembrando que

∇∂i∂j =

n∑m=1

Γmij∂m,


segue que

R (∂i, ∂j) ∂k

= ∇∂i(∇∂j∂k

)−∇∂j (∇∂i∂k)

= ∇∂i

(n∑

m=1

Γmjk∂m

)−∇∂j

(n∑

m=1

Γmik∂m

)

=

n∑m=1

∇∂i(Γmjk∂m

)−

n∑m=1

∇∂j (Γmik∂m)

=

n∑m=1

Γmjk∇∂i∂m +

n∑m=1

(∂iΓ

mjk

)∂m

−n∑

m=1

Γmik∇∂j∂m −n∑

m=1

(∂jΓmik) ∂m

=

n∑m=1

Γmjk

n∑l=1

Γlim∂l +

n∑l=1

(∂iΓ

ljk

)∂l

−n∑

m=1

Γmik

n∑l=1

Γljm∂l −n∑l=1

(∂jΓ

lik

)∂l

=

n∑l=1

[n∑

m=1

ΓmjkΓlim −n∑

m=1

ΓmikΓljm + ∂iΓljk − ∂jΓlik

]∂l.

5.6 Proposicao (Simetrias do Tensor Endomorfismo Curvatura). O tensor endomorfismo curvaturasatisfaz as seguintes propriedades:

(a) R (X,Y )Z = −R (Y,X)Z.(b) (identidade de Bianchi) R (X,Y )Z +R (Y,Z)X +R (Z,X)Y = 0.Em termos dos componentes do tensor endomorfismo curvatura, estas identidades sao respectivamente

equivalentes a(a) Rlijk = −Rljik.(b) Rlijk +Rljki +Rlkij = 0.Consequentemente,

Rliik = 0.

Prova: A primeira propriedade segue diretamente da definicao, como ja vimos. A segunda propriedadesegue da simetria da conexao, aplicada duas vezes, e da identidade de Jacobi para o colchete de Lie:

R (X,Y )Z +R (Y,Z)X +R (Z,X)Y

= ∇X∇Y Z −∇Y∇XZ −∇[X,Y ]Z

+∇Y∇ZX −∇Z∇YX −∇[Y,Z]X

+∇Z∇XY −∇X∇ZY −∇[Z,X]Y

= ∇Y (∇ZX −∇XZ) +∇Z (∇XY −∇YX) +∇X (∇Y Z −∇ZY )

−∇[X,Y ]Z −∇[Y,Z]X −∇[Z,X]Y

= ∇Y [Z,X] +∇Z [X,Y ] +∇X [Y,Z]−∇[X,Y ]Z −∇[Y,Z]X −∇[Z,X]Y

=(∇Y [Z,X]−∇[Z,X]Y

)+(∇Z [X,Y ]−∇[X,Y ]Z

)+(∇X [Y,Z]−∇[Y,Z]X

)= [Y, [Z,X]] + [Z, [X,Y ]] + [X, [Y, Z]]

= 0,


A ultima propriedade e consequencia de (a).

5.2.3 Operacao de Subir ou Descer um Indice

Uma propriedade importante da metrica riemanniana e que ela permite converter vetores em covetores evice-versa. De fato, ela permite definir um isomorfismo entre os espacos T1 (M) de campos vetoriais de Me T1 (M) de campos covetoriais de M , chamado o isomorfismo musical. A escolha deste nome se refere aossımbolos escolhidos para denotar o isomorfismo e seu inverso, conforme veremos na definicao a seguir.

5.7 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. Definimos o isomorfismo bemol

[ : T1 (M) −→ T1 (M)X 7→ X[

que leva X no covetor X[ definido por

X[ (Y ) = g (X,Y ) = 〈X,Y 〉 (5.13)

para todo Y . Seu inverso e o isomorfismo sustenido

] : T1 (M) −→ T1 (M)ω 7→ ω]

que leva o covetor ω no vetor ω] definido por

g(ω], Y

)=⟨ω], Y

⟩= ω (Y ) (5.14)

para todo Y .

Em coordenadas,

X[ (Y ) =

⟨n∑i=1

Xi∂i,

n∑j=1

Y j∂j

⟩=

n∑i,j=1

gijXiY j

=

n∑i,j=1

gijXidxj (Y ) ,

ou seja,

X[ =

n∑i,j=1

gijXidxj . (5.15)

Escrevendo os componentes do covetor X[ em coordenadas na forma

X[ =

n∑j=1

Xjdxj , (5.16)

segue que

Xj =

n∑i=1

gijXi. (5.17)

Diz-se que o covetor X[ e obtido a partir do vetor X descendo um ındice. Por este motivo esta operacao edenotada pelo sımbolo bemol, porque em partituras musicais o sımbolo bemol e usado para abaixar a altura


da nota musical que lhe segue. Ja no caso do isomorfismo inverso, escrevendo em coordenadas o vetor ω] naforma

ω] =

n∑i=1

ωi∂i, (5.18)

segue que ⟨n∑k=1

ωk∂k, ∂j

⟩= ω (∂j) ,

donde

ωj =

n∑k=1

gkjωk.

Multiplicando pela matriz inversa gij , como

n∑i=1

gijn∑k=1

gjkωk =

n∑k=1

(n∑i=1

gijgjk

)ωk =

n∑k=1

δikωk = ωi,

segue que

ωi =

n∑j=1

gijωj . (5.19)

Diz-se que o vetor ω] e obtido a partir do covetor ω subindo um ındice. Por este motivo esta operacaoe denotada pelo sımbolo sustenido, porque em partituras musicais o sımbolo sustenido e usado para subir aaltura da nota musical que lhe segue.

O vetor gradiente e definido a partir da operacao de subir um ındice:

5.8 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. Dada uma funcao f ∈ C∞ (M), definimos o campogradiente de f por

grad f = df ].

Em outras palavras, o vetor gradiente e definido por

〈grad f, Y 〉 = df (Y )

para todo Y .

Em coordenadas, como

df =

n∑i=1

∂f

∂xidxi,

temos

grad f =

n∑i,j=1

gij∂f

∂xi∂j . (5.20)

A operacao de subir ou descer um ındice pode ser aplicada a qualquer tensor:

5.9 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. Se T ∈ Tkl (M), entao T [ ∈ Tk+1l−1 (M) e o tensor

definido por

T [(X1, . . . , Xk, Xk+1, ω

1, . . . , ωq−1, ωq+1, . . . , ωl)

= T(X1, . . . , Xp, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωq−1, X[k+1, ω

q+1, . . . , ωl)

e T ] ∈ Tk−1l+1 (M) e o tensor definido por

T ](X1, . . . , Xp−1, Xp+1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl, ωl+1)

= T(X1, . . . , Xp−1,

(ωl+1

)], Xp+1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl).


Note que ao aplicar a operacao de subir ou descer um ındice de um tensor teremos que explicitar qual ındiceestamos subindo ou descendo. Em geral isto e feito em palavras, sem o uso de um sımbolo especial. Emcoordenadas, descendo o ultimo ındice, as componentes do tensor resultante sao dadas por

Tj1...jl−1

i1...ikik+1= T [

(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1

, dxj1 , . . . , dxjl−1)

= T(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl−1 ,(∂ik+1

)[)= T

(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl−1 ,

n∑p=1

gik+1pdxp

)

=

n∑p=1

gik+1pT(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl−1 , dxp)

=

n∑p=1

gik+1pTj1...jl−1pi1...ik

,

que escrevemos para futura referencia

Tj1...jl−1

i1...ikik+1=

n∑p=1


. (5.21)

Subindo o ultimo ındice, as componentes do tensor resultante sao dadas por

Tj1...jljl+1

i1...ik−1= T ]

(∂i1 , . . . , ∂ik−1

, dxj1 , . . . , dxjl , dxjl+1)

= T(∂i1 , . . . , ∂ik−1

,(dxjl+1

)], dxj1 , . . . , dxjl

)= T

(∂i1 , . . . , ∂ik−1

,

n∑q=1

gjl+1q∂q, dx1, . . . , dxl

)

=

n∑q=1

gjl+1qT(∂i1 , . . . , ∂ik−1

, ∂q, dx1, . . . , dxl

)=

n∑q=1

gjl+1qT j1...jli1...ik−1q,

que escrevemos para futura referencia

Tj1...jljl+1

i1...ik−1=

n∑q=1

gjl+1qT j1...jli1...ik−1q. (5.22)

Outra aplicacao importante do isomorfismo musical e estender a operacao de tomar o traco de tensores.Enquanto que o traco de tensores elimina um ındice covariante e um ındice contravariante, o traco em relacaoa metrica definido a seguir elimina dois ındices covariantes.

5.10 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. Se T ∈ Tkl (M), entao o traco de T em relacao ametrica g e o tensor trg T ∈ Tk−2

l (M) definido por

trg T = tr(T ]).


Em coordenadas, o traco de T em relacao a metrica g em relacao aos dois ultimos ındices, subindo o ultimoındice antes de tomar o traco, e dado por

(trg T )j1...jli1...ik−2

=

n∑i=1

(T ])j1...jlii1...ik−2i

=

n∑i,j=1

gijT j1...jli1...ik−2ij.

Por exemplo, se T ∈ T2 (M) e um tensor simetrico, de forma que nao importa qual ındice escolhemos subir,entao trg T ∈ T0 (M) = C∞ (M) e a funcao definida por

trg T =

n∑i=1

(T ])ii

=

n∑i,j=1

gijTij .

5.11 Exemplo (Contracao do Tensor Metrica). Estamos agora em condicao de entender porque deno-tamos a inversa da matriz metrica G = (gij) por G−1 =

(gij), ou seja, porque

n∑k=1

gikgkj = δij .

De fato, como vimos acima,n∑k=1

gikgkj = gij

egij = g]

(ei, e

j)

= g(ei,(ej)])

= ej (ei) = δij .

5.2.4 O Tensor Curvatura

5.12 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. O tensor curvatura de M e o campo tensorialcovariante de ordem 4

R : T (M)× T (M)× T (M)× T (M) −→ C∞ (M)

definido porR (X,Y, Z,W ) = 〈R (X,Y )Z,W 〉 .

Em outras palavras, o tensor curvatura e obtido atraves de descer o ındice do tensor endomorfismo curvatura.Usaremos a mesma letra R para denotar os dois tensores; ficara claro dentro do contexto a qual tensor estamosnos referindo. Enquanto que o tensor endomorfismo curvatura e dado localmente por

R = Rlijkdxi ⊗ dxj ⊗ dxk ⊗ ∂l, (5.23)

o tensor curvatura e dado localmente por

R = Rijkldxi ⊗ dxj ⊗ dxk ⊗ dxl. (5.24)

5.13 Proposicao. As componentes do tensor curvatura sao

Rijkl =

n∑m=1

gmlRmijk. (5.25)

Em particular,

Rlijk =

n∑m=1

gmlRijkm. (5.26)


Prova: Pois o tensor curvatura e obtido atraves do tensor endomorfismo curvatura pela operacao de descero seu unico ındice contravariante, enquanto que o tensor endomorfismo curvatura e obtido atraves do tensorcurvatura pela operacao inversa, isto e, subir o seu ultimo ındice. Tambem podemos provar diretamente: aprimeira identidade segue de

Rijkl = R (∂i, ∂j , ∂k, ∂l) = 〈R (∂i, ∂j) ∂k, ∂l〉

=

⟨n∑

m=1

Rmijk∂m, ∂l

⟩

=

n∑m=1

Rmijk 〈∂m, ∂l〉

=

n∑m=1

gmlRmijk,

enquanto que a segunda identidade segue de

n∑m=1

gmlRijkm =

n∑m=1

gmln∑p=1

gpmRpijk =

n∑p=1

n∑m=1

gpmgmlRpijk =

n∑p=1

δplRpijk = Rlijk.

Potencialmente, o tensor curvatura tem n4 componentes. A presenca de simetrias reduz bastante o

numero de componentes nao nulas e de componentes independentes:

5.14 Proposicao (Simetrias do Tensor Curvatura). O tensor curvatura satisfaz as seguintes proprie-dades:

(a) R (X,Y, Z,W ) = −R (Y,X,Z,W ) .(b) R (X,Y, Z,W ) = −R (X,Y,W,Z) .(c) R (X,Y, Z,W ) = R (Z,W,X, Y ) .(d) (identidade de Bianchi) R (X,Y, Z,W ) +R (Y,Z,X,W ) +R (Z,X, Y,W ) = 0.Em termos dos componentes do tensor curvatura, estas identidades sao respectivamente equivalentes a(a) Rijkl = −Rjikl.(b) Rijkl = −Rijlk.(c) Rijkl = Rklij .(d) Rijkl +Rjkil +Rkijl = 0.

Prova: (a) Segue imediatamente de

R (X,Y )Z = −R (Y,X)Z.

(b) Como

R (X,Y, Z +W,Z +W ) = R (X,Y, Z, Z) +R (X,Y, Z,W ) +R (X,Y,W,Z) +R (X,Y,W,W ) ,

a identidade segue se provarmos queR (X,Y, Z, Z) = 0. (5.27)

A identidade (5.27) segue da compatibilidade da conexao riemanniana com a metrica. De fato, temos

R (X,Y, Z, Z) = 〈R (X,Y )Z,Z〉= 〈∇X∇Y Z,Z〉 − 〈∇Y∇XZ,Z〉 −

⟨∇[X,Y ]Z,Z

⟩.


Daı, pela compatibilidade da metrica,

〈∇X∇Y Z,Z〉 = X 〈∇Y Z,Z〉 − 〈∇Y Z,∇XZ〉 ,〈∇Y∇XZ,Z〉 = Y 〈∇XZ,Z〉 − 〈∇XZ,∇Y Z〉 ,⟨∇[X,Y ]Z,Z

⟩=

1

2[X,Y ] 〈Z.Z〉 .

Logo, novamente pela compatibilidade da metrica,

R (X,Y, Z, Z) = X 〈∇Y Z,Z〉 − Y 〈∇XZ,Z〉 −1

2[X,Y ] 〈Z.Z〉

=1

2X (Y 〈Z,Z〉)− 1

2Y (X 〈Z,Z〉)− 1

2[X,Y ] 〈Z.Z〉

=1

2[(XY − Y X) 〈Z,Z〉 − [X,Y ] 〈Z.Z〉]

=1

2[[X,Y ] 〈Z,Z〉 − [X,Y ] 〈Z.Z〉]

= 0.

(d) A identidade de Bianchi para o tensor curvatura segue da identidade de Bianchi para o tensor endomor-fismo curvatura.(c) Segue da identidade de Bianchi aplicadas as quatro permutacoes cıclicas dos quatro vetores:

R (X,Y, Z,W ) +R (Y,Z,X,W ) +R (Z,X, Y,W ) = 0,

R (Y,Z,W,X) +R (Z,W, Y,X) +R (W,Y,Z,X) = 0,

R (Z,W,X, Y ) +R (W,X,Z, Y ) +R (X,Z,W, Y ) = 0,

R (W,X, Y, Z) +R (X,Y,W,Z) +R (Y,W,X,Z) = 0.

Somamos estas 4 identidades. Aplicando (a) cancelamos todos os termos das primeiras duas colunas ((1, 1)cancela com (4, 2), (2, 1) cancela com (1, 2), (3, 1) cancela com (2, 2) e (4, 1) cancela com (3, 2)). Quanto aostermos da ultima coluna, segue de (a) e (b) que

R (Z,X, Y,W ) = R (X,Z,W, Y ) ,

R (W,Y,Z,X) = R (Y,W,X,Z) ,

logo a soma das 4 identidades e

2R (Z,X, Y,W ) + 2R (W,Y,Z,X) = 0.

Daı,R (Z,X, Y,W ) = −R (W,Y,Z,X) = R (Y,W,Z,X) .

5.15 Corolario. ValeR (X,X,Z,W ) = R (X,Y, Z, Z) = 0.

Em termos dos componentes do tensor curvatura,

Riikl = Rijkk = 0. (5.28)

Alem disso, qualquer soma de tres componentes do tensor curvatura obtidos atraves da permutacao cıclicade tres ındices e igual a zero.


Prova: A validade das duas primeiras identidades foram vistas na demonstracao da proposicao; de qualquermodo, Riikl = 0 segue da propriedade (a) e Rijkk = 0 segue da propriedade (b). A prova da ultima afirmacaoe deixada como exercıcio (Exercıcio 5.40).

5.16 Corolario. Se M e uma variedade riemanniana de dimensao 2, entao das 24 = 16 componentes dotensor curvatura, existem 12 componentes nulas e apenas uma componente independente.

Prova: Pelo corolario temos

R1111 = R1112 = R1121 = R1122 = 0,

R2211 = R2212 = R2221 = R2222 = 0,

R1211 = R2111 = 0,

R1222 = R2122 = 0.

As componentes potencialmente nao nulas sao apenas R1212, R1221, R2112, R2121. E possıvel escolher umadentre estas quatro e escrever as tres outras em funcao dela usando as relacoes de simetria. Por exemplo,escolhendo R1212, temos

R1221 = −R1212,

R2112 = −R1212,

R2121 = −R2112 = R1212.

Observe que a simetria da identidade de Bianchi nao desempenha nenhum papel, porque no caso n = 2,como tambem no caso n = 3, ela e consequencia de (a)-(c). De fato, como no maximo 3 ındices sao diferentesnestes casos, pelo menos um dos coeficientes na soma cıclica (d) sera da forma Rijkk e portanto nulo, logoela se reduzira a uma ou duas das propriedades (a)-(c). Basta ver isso no caso k = l:

Rijkk +Rjkik +Rkijk = 0

e equivalente a (Rijkk = 0)Rjkik +Rkijk = 0

ou seja,Rjkik = −Rkijk,

que corresponde a aplicar (c) e depois (a). As propriedades de simetria do endomorfismo curvatura reduzem um pouco o numero de componentes acalcular, mas nao tanto quanto o tensor curvatura, ja que nao tem tantas simetrias. Pela Proposicao 5.6temos imediatamente 8 componentes nulas

R1111 = R2

111 = R1112 = R2

112 = 0,

R1221 = R2

221 = R1222 = R2

222 = 0,

e da propriedade (a) apenas 4 componentes independentes:

Rlkii = −Rliki.

Basta entao calcular R1121, R

1212, R

2121, R

2212, ja que

R1211 = −R1

121,

R1122 = −R1

212,

R2211 = −R2

121,

R2122 = −R2

212.


5.17 Exemplo (Curvatura da Esfera SnR). Considerando a esfera como uma superfıcie de revolucao comparametrizacao

(x, y, z) (φ, θ) = (R senφ cos θ,R senφ sen θ,R cosφ),

vimos no Exemplo 4.7 que

g11 = R2,

g12 = g21 = 0,

g22 = R2 sen2 φ,

e

Γ111 = Γ2

11 = Γ112 = Γ1

21 = Γ222 = 0,

Γ212 = Γ2

21 =cosφ

senφ,

Γ122 = − senφ cosφ.

Primeiro calcularemos as componentes do tensor endomorfismo curvatura. Como observado antes, bastacalcular as 4 componentes independentes R1

121, R1212, R

2121, R

2212. Para isso usamos a formula

Rlijk =

2∑m=1

(ΓmjkΓlim − ΓmikΓljm

)+ ∂iΓ

ljk − ∂jΓlik

=(Γ1jkΓli1 − Γ1

ikΓlj1)

+(Γ2jkΓli2 − Γ2

ikΓlj2)

+ ∂iΓljk − ∂jΓlik.

Fazendo k = i, segue que

Rliji =(Γ1jiΓ

li1 − Γ1

iiΓlj1

)+(Γ2jiΓ

li2 − Γ2

iiΓlj2

)+ ∂iΓ

lji − ∂jΓlii.

Veremos que ha apenas 2 componentes independentes nao nulas.No caso l = 1, temos que calcular R1

121 e R1212. O unico sımbolo de Christoffel Γ1

ij nao nulo e Γ122 e

Γ2ii = 0 para todo i, logo para i 6= j temos

R1iji =

(Γ1jiΓ

1i1 − Γ1

iiΓ1j1

)+(Γ2jiΓ

1i2 − Γ2

iiΓ1j2

)+ ∂iΓ

1ji − ∂jΓ1

ii

= Γ2jiΓ

1i2 −

∂Γ1ii

∂xj.

Daı,R1

121 = Γ221Γ1

12 − ∂θΓ111 = 0

e

R1212 = Γ2

12Γ122 − ∂φΓ1

22

=cosφ

senφ(− senφ cosφ)− ∂φ (− senφ cosφ)

= − cos2 φ+ cos2 φ− sen2 φ

= − sen2 φ.

No caso l = 2, temos que calcular R2121 e R2

212. Para i 6= j temos

Rliji =(Γ1jiΓ

2i1 − Γ1

iiΓ2j1

)+(Γ2jiΓ

2i2 − Γ2

iiΓ2j2

)+ ∂iΓ

2ji − ∂jΓ2

ii

= Γ2jiΓ

2i2 − Γ1

iiΓ2j1 + ∂iΓ

2ji.


Daı,

R2121 = Γ2

21Γ212 − Γ1

11Γ221 + ∂φΓ2

21

=cosφ

senφ

cosφ

senφ− 0 + ∂φ

(cosφ

senφ

)=

cos2 φ

sen2 φ+− sen2 φ− cos2 φ

sen2 φ

= −1

eR2

212 = Γ212Γ2

22 − Γ122Γ2

11 + ∂θΓ212 = 0.

Portanto,

R1212 = −R1

122 = − sen2 φ,

R2121 = −R2

211 = −1,

enquanto que as demais 12 componentes sao todas nulas.Para calcular as 24 = 16 componentes do tensor curvatura da esfera, pelo Corolario 5.16 basta calcular

uma componente nao nula. Como

Rijkl =

2∑m=1

gmlRmijk = g1lR

1ijk + g2lR

2ijk

segue queR1212 = g12R

1121 + g22R

2121 = −R2 sen2 φ.

Portanto, as 4 componentes nao nulas do tensor curvatura da esfera sao

R1212 = −R2 sen2 φ,

R1221 = −R1212 = R2 sen2 φ,

R2112 = −R1212 = R2 sen2 φ,

R2121 = R1212 = −R2 sen2 φ.

5.18 Exemplo (Curvatura do Plano Hiperbolico HnR). Como vimos no Exemplo 4.9, temos

g11 = g22 =R2

y2,

g12 = g21 = 0,

e

Γ111 = Γ1

22 = Γ212 = Γ2

21 = 0,

Γ211 =

1

y,

Γ112 = Γ1

21 = Γ222 = −1

y.

Primeiro calcularemos as componentes do tensor endomorfismo curvatura:

Rliji = Γ1jiΓ

li1 − Γ1

iiΓlj1 + Γ2

jiΓli2 − Γ2

iiΓlj2 + ∂iΓ

lji − ∂jΓlii.


No caso l = 1, para i 6= j,

R1iji = Γ1

jiΓ1i1 − Γ1

iiΓ1j1 + Γ2

jiΓ1i2 − Γ2

iiΓ1j2 + ∂iΓ

1ji − ∂jΓ1

ii

= Γ1jiΓ

1i1 − Γ2

iiΓ1j2 + ∂iΓ

1ji.

DaıR1

121 = Γ121Γ1

11 − Γ211Γ1

22 + ∂xΓ121 = 0

e

R1212 = Γ1

12Γ121 − Γ2

22Γ112 + ∂yΓ1

12

=1

y2− 1

y2+

1

y2=

1

y2.

No caso l = 2, para i 6= j,

R1iji = Γ1

jiΓ2i1 − Γ1

iiΓ2j1 + Γ2

jiΓ2i2 − Γ2

iiΓ2j2 + ∂iΓ

2ji − ∂jΓ2

ii

= Γ1jiΓ

2i1 − Γ1

iiΓ2j1 + Γ2

jiΓ2i2 − Γ2

iiΓ2j2 − ∂jΓ2

ii.

Daı,

R2121 = Γ1

21Γ211 − Γ1

11Γ221 + Γ2

21Γ212 − Γ2

11Γ222 − ∂yΓ2

11

= − 1

y2+ 0− 0 +

1

y2+

1

y2

=1

y2

eR2

212 = Γ112Γ2

21 − Γ122Γ2

11 + Γ212Γ2

22 − Γ222Γ2

12 − ∂xΓ222 = 0.

Portanto,

R1122 = −R1

212 = −R2121 = R2

211 = − 1

y2

e as demais 12 componentes sao todas nulas.Para calcular as componentes do tensor curvatura do plano hiperbolico, basta calcular a componente nao

nula

R1212 = g12R1121 + g22R

2121 =

R2

y4.

Portanto, as 4 componentes nao nulas do tensor curvatura do plano hiperbolico sao

R1212 =R2

y4,

R1221 = −R1212 = −R2

y4,

R2112 = −R1212 = −R2

y4,

R2121 = R1212 =R2

y4.


5.19 Corolario. Se M e uma variedade riemanniana de dimensao n, entao das n4 componentes do tensorcurvatura, existem

n2(n2 − 1

)12

(5.29)

componentes independentes.

Prova: Pela Proposicao 5.14 (c), temosRijkl = Rklij .

Portanto, denotandop = ij, q = kl,

podemos considerar R como uma matriz simetrica

Rpq = Rqp,

cada ındice p, q compreendendo uma matriz antisimetrica, pois pela Proposicao 5.14 (a), (b), temos

Rjikl = −Rijkl,Rijlk = −Rijkl.

A dimensao do subespaco das matrizes simetricas n × n, ou seja, o numero de componentes independentesde uma matriz simetrica n× n, e

n (n+ 1)

2,

enquanto que a dimensao do subespaco das matrizes antisimetricas n× n, isto e, o numero de componentesindependentes de uma matriz antisimetrica n× n, e

n (n− 1)

2.

Portanto, Rpq vista como uma matriz simetrica tem m (m+ 1) /2 componentes independentes com m =n (n− 1) /2 componentes independentes. Logo, sem levar em conta a simetria da identidade de Bianchitemos

n (n− 1)

2

(n (n− 1)

2+ 1

)2

=n2 (n− 1)

2+ 2n (n− 1)

8=n4 − 2n3 + 3n2 − 2n

8.

componentes independentes. A identidade de Bianchi nao desempenha um papel para n = 2 e n = 3, comovimos no fim da demonstracao do Corolario 5.16, e note que

n4 − 2n3 + 3n2 − 2n

8

∣∣∣∣n=2

=n2(n2 − 1

)12

∣∣∣∣∣n=2

= 1,

n4 − 2n3 + 3n2 − 2n

8

∣∣∣∣n=3

=n2(n2 − 1

)12

∣∣∣∣∣n=3

= 6.

A partir de n > 4, identidade de Bianchi reduz o numero de componentes independentes. Para ver isso deforma concreta no caso n = 4, primeiro observe que seguindo o raciocınio acima restam apenas

n2(n2 − 1

)12

∣∣∣∣∣n=3

= 21


componentes independentes, que sao exatamente as componentes da parte triangular superior ou inferior damatriz

kl→ij ↓

12 13 14 23 24 34

12 R1212 R1213 R1214 R1223 R1224 R1234

13 R1312 R1313 R1314 R1323 R1324 R1334

14 R1412 R1413 R1414 R1423 R1424 R1434

23 R2312 R2313 R2314 R2323 R2324 R2334

24 R2412 R2413 R2414 R2423 R2424 R2434

34 R3412 R3413 R3414 R3423 R3424 R3434

No caso n = 4 a identidade de Bianchi desempenha um papel, reduzindo de 21 para 20 o numero decomponentes independentes. De fato, como visto no final da demonstracao do Corolario 5.16, qualquer novacondicao deve envolver 4 ındices distintos. As componentes com 4 ındices diferentes ocupam a antidiagonalda matriz acima, logo so ha 3 componentes independentes com 4 ındices diferentes; por exemplo, na partetriangular superior da matriz acima estas componentes sao: R1234, R1423 = R2314 e R1324 = −R3124. Aidentidade de Bianchi

R1234 +R2314 +R3124 = 0

permite escreverR1234 = −R2314 −R3124,

o que elimina R1234 como componente independente.No caso geral, a identidade de Bianchi elimina

(n4

)componentes independentes, ja que este e o numero

de modos que podemos escolher 4 ındices diferentes dentre n ındices e a identidade de Bianchi elimina umdestes (no caso n = 5, a identidade de Bianchi eliminara R1234, R1345, R1245, R1235, R2345 como componentesindependentes). Portanto, o numero total final de componentes independentes e

n4 − 2n3 + 3n2 − 2n

8−(n

4

)=n4 − 2n3 + 3n2 − 2n

8− n!

(n− 4)!4!

=n4 − 2n3 + 3n2 − 2n

8− n (n− 1) (n− 2) (n− 3)

24

=3n4 − 6n3 + 9n2 − 6n−

(n4 − 6n3 + 11n2 − 6n

)24

=2n4 − 2n2

24

=n2(n2 − 1

)12

.

Assim, existem 6 componentes independentes para o tensor curvatura de variedades de dimensao 3 dentre34 = 81 componentes, e 20 componentes independentes para o tensor curvatura de variedades de dimensao4 dentre 44 = 256 componentes, como as que sao estudadas em relatividade geral.

5.3 Curvatura de Ricci e Curvatura Escalar

Porque 4-tensores sao tao complexos, como vimos na secao anterior, e frequentemente util construir tensoresmais simples que resumem alguma informacao contida no tensor curvatura. Obviamente, ao simplificar otensor curvatura estamos perdendo informacao: os tensores mais simples contem menos informacao que otensor original. O mais importante dentre estes tensores e o tensor de Ricci.

5.20 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. O tensor curvatura de Ricci de M (ou simples-mente tensor de Ricci) denotado Ric, e o campo tensorial covariante de ordem 2 definido como o traco do


tensor endomorfismo curvatura em relacao ao seu primeiro ındice covariante e seu unico ındice contravari-ante ou, equivalentemente, como o traco em relacao a metrica do tensor curvatura no seu primeiro e ultimoındices. Portanto, os componentes da curvatura de Ricci sao dados por

Rij =

n∑k=1

Rkkij =

n∑k,m=1

gkmRkijm. (5.30)

Pelas simetrias do tensor endomorfismo curvatura, usar tracos diferentes nao faria diferenca ou apenasimplicaria em uma troca de sinal:

Rij =

n∑k=1

Rkkij = −n∑k=1

Rkikj =

n∑k=1

Rkijk.

5.21 Proposicao. A curvatura de Ricci e um campo tensorial simetrico, isto e,

Rij = Rji. (5.31)

Prova: Temos

Rij =

n∑k,m=1

gkmRkijm =

n∑k,m=1

gkmRjmki =

n∑k,m=1

gmkRmjik = Rji.

O segundo tensor e a curvatura escalar, que e uma funcao real.

5.22 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana. A curvatura escalar de M , denotada S, e a funcaoreal S : M −→ R definida como o traco em relacao a metrica do tensor de Ricci:

S = trg Ric =

n∑i,j=1

gijRij . (5.32)

5.23 Exemplo (Curvatura de Ricci e Curvatura Escalar da Esfera SnR). Para variedades riemanni-anas de dimensao 2 a curvatura de Ricci e

Rij =

2∑k=1

Rkkij = R11ij +R2

2ij .

Referindo aos calculos efetuados no Exemplo 5.17, segue que a curvatura de Ricci da esfera e

R11 = R1111 +R2

211 = 1,

R12 = R21 = R1112 +R2

212 = 0,

R22 = R1122 +R2

222 = sen2 φ.

Para variedades riemannianas de dimensao 2 a curvatura escalar e

S =

2∑i,j=1

gijRij = g11R11 + 2g12R12 + g22R22.

Logo, a curvatura escalar da esfera de raio R e

S =1

R2+

sen2 φ

R2 sen2 φ=

2

R2.

Ou seja, a curvatura escalar da esfera tende a 0 (curvatura escalar do plano euclideano) quando R→∞.


5.24 Exemplo (Curvatura de Ricci e Curvatura Escalar do Plano Hiperbolico HnR). Referindo aoscalculos efetuados no Exemplo 5.18, segue que

R11 = R1111 +R2

211 = − 1

y2,

R12 = R21 = R1112 +R2

212 = 0,

R22 = R1122 +R2

222 = − 1

y2.

Logo, a curvatura escalar do plano hiperbolico e

S =y2

R2

(− 1

y2

)+y2

R2

(− 1

y2

)= − 2

R2.

Como o tensor metrica e a curvatura de Ricci sao ambos 2-tensores covariantes simetricos, e natural seperguntar se existe uma relacao mais direta entre eles.

5.25 Definicao. Uma variedade riemanniana M e chamada uma variedade de Einstein se existe umafuncao f : M −→ R tal que

Ric = fg. (5.33)

Neste caso, dizemos tambem que g e uma metrica de Einstein.

Pela Proposicao 5.32, variedades de curvatura seccional constante (esta nocao de curvatura sera definida naproxima secao) sao variedades de Einstein. Observe que como

S = trg Ric = f trg g = nf,

pois

trg g =

n∑j,k=1

gjkgjk =

n∑j,k=1

gjkgkj =

n∑j=1

δjj =

n∑j=1

1 = n,

segue que

f =S

n.

Logo,

5.26 Proposicao. M e uma variedade de Einstein se e somente se

Ric =S

ng. (5.34)

O nome variedades de Einstein vem do seguinte fato. Na Teoria da Relatividade Geral, a equacao deEinstein (em unidades geometrizadas G = c = 1) e

Ric−1

2Sg + Λg = 8πT,

onde T e um 2-tensor simetrico (o tensor de momento-energia) que descreve a densidade e fluxo do momentoe energia presentes em cada ponto do espaco-tempo e Λ e a constante cosmologica. No vacuo, T = 0 e aequacao de Einstein se torna

Ric−1

2Sg + Λg = 0


(e assim, a constante cosmologica mede a densidade de energia do vacuo). Tomando o traco desta equacaocom respeito a metrica, como trg Ric = S e trg g = n = 4 para o espaco-tempo 4-dimensional, segue que

S − 2S + 4Λ = 0

ou seja,S = 4Λ

(curvatura escalar do vacuo). Segue que a equacao de Einstein para o vacuo e

Ric = Λg,

ou seja, a metrica do vacuo e uma metrica de Einstein no sentido da Definicao 5.33. Vale a pena observarque Einstein considerou como o seu maior erro a introducao da constante cosmologica na sua equacao darelatividade geral. Ele a introduziu para poder produzir um universo estatico; quando Hubble observou aexpansao do universo atraves do afastamento mutuo das galaxias, Einstein removeu a constante cosmologicada sua equacao (o que equivale efetivamente a considerar Λ = 0). Quando no final da decada de 90 foiobservada a aceleracao da expansao do universo, ela foi reintroduzida, com valor positivo a ser determinadoatraves de experimentos (correntemente, o valor e bem proximo de zero).

Matematicamente, o interesse em metricas de Einstein provem de um resultado provado por Hilbert:metricas de Einstein sao pontos crıticos para o funcional curvatura escalar

S (g) =

∫M

S dV

no espaco de todas as metricas de M com volume constante.

5.4 Curvatura Seccional

5.27 Definicao. Dado um espaco vetorial real V com produto interno 〈·, ·〉 e vetores v, w ∈ V linearmenteindependentes, a area do paralelogramo determinado por v, w e

|v ∧ w| =√‖v‖2 ‖w‖2 − 〈v, w〉2. (5.35)

5.28 Proposicao. v, w ∈ V sao linearmente independentes se e somente se

|v ∧ w| 6= 0.

Prova: Mostraremos que |v ∧ w| = 0 se e somente se v e w sao linearmente dependentes. Se w = αv, entao

|v ∧ w| =√‖v‖2 ‖αv‖2 − 〈v, αv〉2 = α

√‖v‖4 − 〈v, v〉2 = 0.

Reciprocamente, se |v ∧ w| = 0 implica que vale a igualdade na desigualdade de Cauchy-Shwarz:

〈v, w〉 = ‖v‖ ‖w‖ .

Assuma w 6= 0, caso contrario v e w sao automaticamente linearmente dependentes e nao ha nada que preciseser provado. Considere o vetor

z = v − 〈v, w〉‖w‖2

w.


Temos

‖z‖2 = 〈z, z〉 =

⟨v − 〈v, w〉

‖w‖2w, v − 〈v, w〉

‖w‖2w

⟩

= 〈v, v〉 −

⟨v,〈v, w〉‖w‖2

w

⟩−

⟨〈v, w〉‖w‖2

w, v

⟩+

⟨〈v, w〉‖w‖2

w,〈v, w〉‖w‖2

w

⟩

= ‖v‖2 − 〈v, w〉2

‖w‖2− 〈v, w〉

2

‖w‖2+〈v, w〉2 ‖w‖2

‖w‖4

= ‖v‖2 − ‖v‖2 − ‖v‖2 + ‖v‖2

= 0.

logo

v =〈v, w〉‖w‖2

w.

5.29 Definicao. Seja M uma variedade riemanniana e σ um plano de TpM . A curvatura seccional deM associada a σ e definida por

K (X,Y ) =R (X,Y, Y,X)

|X ∧ Y |2=

R (X,Y, Y,X)

‖X‖2 ‖Y ‖2 − 〈X,Y 〉2. (5.36)

onde X,Y ∈ TpM sao quaisquer vetores que formam uma base para σ.

A curvatura seccional esta bem definida, isto e, independe da base escolhida para o plano σ. De fato, sejamX,Y e Z,W duas bases para σ, de modo que existe uma matriz invertıvel A = (aij)2×2 tal que

X = a11Z + a21W,

Y = a12Z + a22W.

Temos, usando as simetrias do tensor curvatura (em primeiro lugar, o fato que R (Z,Z, ·, ·) = R (W,W, ·, ·) =R (·, ·, Z, Z) = R (·, ·,W,W ) = 0),

R (X,Y, Y,X) = R (a11Z + a21W,a12Z + a22W,a12Z + a22W,a11Z + a21W )

= R (a11Z, a22W,a22W,a11Z)

+R (a11Z, a22W,a12Z, a21W )

+R (a21W,a12Z, a12Z, a21W )

+R (a21W,a12Z, a22W,a11Z)

= a211a

212R (Z,W,W,Z) + a11a21a12a22R (Z,W,Z,W )

+ a221a

222R (W,Z,Z,W ) + a11a21a12a22R (W,Z,W,Z)

=(a2

11a222 − 2a11a12a21a22 + a2

12a221

)R (Z,W,W,Z)

= (detA)2R (Z,W,W,Z) ,


e

|X ∧ Y |

= ‖X‖2 ‖Y ‖2 − 〈X,Y 〉2

= ‖a11Z + a21W‖2 ‖a12Z + a22W‖2 − 〈a11Z + a21W,a12Z + a22W 〉2

=(a2

11 ‖Z‖2

+ 2a11a21 〈Z,W 〉+ a221 ‖W‖

2)(

a212 ‖Z‖

2+ 2a12a22 〈Z,W 〉+ a2

22 ‖W‖2)

−[a11a12 ‖Z‖2 + (a11a22 + a21a12) 〈Z,W 〉+ a21a22 ‖W‖2

]2= a2

11a212 ‖Z‖

4+ 4 (a11a21a12a22) 〈Z,W 〉2 + a2

21a222 ‖W‖

4+(a2

11a222 + a2

21a212

)‖Z‖2 ‖W‖2

+ 2(a2

11a12a22 + a212a11a21

)‖Z‖2 〈Z,W 〉+ 2

(a2

21a12a22 + a222a11a21

)‖W‖2 〈Z,W 〉

− a211a

212 ‖Z‖

4 −(a2

11a222 + 2a11a12a21a22 + a2

12a221

)〈Z,W 〉2 − a2

21a222 ‖W‖

4 − 2 (a11a12a21a22) ‖Z‖2 ‖W‖2

− 2(a2

11a12a22 + a212a11a21

)‖Z‖2 〈Z,W 〉 − 2

(a2

21a12a22 + a222a11a21

)‖W‖2 〈Z,W 〉

=(a2

11a222 − 2a11a12a21a22 + a2

12a221

) [‖Z‖2 ‖W‖2 − 〈Z,W 〉2

]= (detA)

2 |Z ∧W | .

Logo,R (X,Y, Y,X)

|X ∧ Y |=R (Z,W,W,Z)

|Z ∧W |.

O conhecimento da curvatura seccional para todos os planos σ determina o tensor curvatura:

5.30 Proposicao. Se R1 e R2 sao dois tensores covariantes de ordem 4 em um espaco vetorial V quesatisfazem as propriedades de simetria listadas na Proposicao 5.14 tais que

K1 (X,Y ) = K2 (X,Y )

para todos vetores linearmente independentes X,Y ∈ V , entao

R1 = R2.

Prova: Por hipotese, para quaisquer vetores X,Y ∈ V ,

R1 (X,Y, Y,X) = R2 (X,Y, Y,X) (5.37)

(segue diretamente da definicao no caso em que X,Y sao linearmente independentes; se X,Y sao linearmentedependentes, um e multiplo escalar do outro e a identidade e trivial, ja que cada lado e igual a zero pelaspropriedades de simetria). Daı,

R1 (X + Z, Y, Y,X + Z) = R2 (X + Z, Y, Y,X + Z) . (5.38)

Como

R1 (X +W,Y, Y,X +W ) = R1 (X,Y, Y,X) +R1 (X,Y, Y,W )

+R1 (W,Y, Y,X) +R1 (W,Y, Y,W )

= R1 (X,Y, Y,X) + 2R1 (X,Y, Y,W ) +R1 (W,Y, Y,W )

e analogamente para R2 (X +W,Y, Y,X +W ), concluımos que

R1 (X,Y, Y,W ) = R2 (X,Y, Y,W ) . (5.39)


Desta identidade segue que

R1 (X,Y + Z, Y + Z,W ) = R2 (X,Y + Z, Y + Z,W ) . (5.40)

Como

R1 (X,Y + Z, Y + Z,W ) = R1 (X,Y, Y,W ) +R1 (X,Y, Z,W )

+R1 (X,Z, Y,W ) +R1 (X,Z,Z,W )

e analogamente para R2 (X,Y + Z, Y + Z,W ), segue que

R1 (X,Y, Z,W ) +R1 (X,Z, Y,W ) = R2 (X,Y, Z,W ) +R2 (X,Z, Y,W ) . (5.41)

Defina agoraR = R1 −R2. (5.42)

Entao R e um 4-tensor covariante que satisfaz as mesmas propriedades que R1, R2 satisfazem. A identidade(5.41) implica que

R (X,Y, Z,W ) +R (X,Z, Y,W ) = 0.

Portanto, R e antisimetrico com relacao a qualquer par adjacente de ındices: a relacao acima prova aantisimetricidade de R para o par adjacente interno e das regras de simetria da Proposicao 5.14 obtemos aantisimetricidade em relacao aos pares adjacentes esquerdo e direito. Daı

R (Y,Z,X,W ) = −R (Y,X,Z,W ) = R (X,Y, Z,W ) ,

R (Z,X, Y,W ) = −R (X,Z, Y,W ) = R (X,Y, Z,W ) .

Da identidade de Bianchi

R (X,Y, Z,W ) +R (Y, Z,X,W ) +R (Z,X, Y,W ) = 0

concluımos entao que3R (X,Y, Z,W ) = 0

para todos os vetores X,Z, Y,W , o que implica que R e o tensor nulo e portanto R1 = R2. Usando a curvatura seccional, pode-se dar interpretacoes geometricas para as curvaturas de Ricci e

escalar. Seja X um vetor unitario em TpM e complete ele ate uma base ortonormal X,E2, . . . , En deTpM . Entao

Ric (X,X) = R11 =

n∑k,m=1

gkmRk11m =

n∑k,m=1

δkmR (X,Ek, Em, X) =

n∑k=1

R (X,Ek, Ek, X)

=

n∑k=2

R (X,Ek, Ek, X) =

n∑k=2

R (X,Ek, Ek, X)

|X ∧ Ek|,

ou seja,

Ric (X,X) =

n∑k=2

K (X,Ek) . (5.43)

Em outras palavras, para cada vetor unitario X ∈ TpM , Ric (X,X) e a soma das curvaturas seccionais deplanos gerados por X e os outros vetores de uma base ortonormal. Por outro lado, como Ric e bilinear e


simetrico, ele e completamente determinado pelos seus valores Ric (X,X) em vetores unitarios X: se X,Ysao vetores tais que X + Y,X − Y 6= 0,

Ric (X,Y ) =1

4(Ric (X + Y,X + Y )− Ric (X − Y,X − Y ))

=1

4

[‖X + Y ‖2 Ric

(X + Y

‖X + Y ‖,X + Y

‖X + Y ‖

)− ‖X − Y ‖2 Ric

(X − Y‖X − Y ‖

,X − Y‖X − Y ‖

)]=

1

4

[‖X + Y ‖2

n∑k=2

K (X + Y,Ek)− ‖X − Y ‖2n∑k=2

K (X − Y, Fk)

],

onde X,E2, . . . , En , X,F2, . . . , Fn sao bases ortonormais de TpM ; se X + Y = 0 ou X − Y = 0, oresultado continua valendo, ja que o termo correspondente e nulo.

Ric (X,Y ) = ‖X‖ ‖Y ‖Ric

(X

‖X‖,Y

‖Y ‖

).

Similarmente, se E1, . . . , En e uma base ortonormal para TpM , entao a curvatura escalar e dada por

S =

n∑i,j=1

gijRij =

n∑i,j=1

δijRij =

n∑i=1

Rii =

n∑i=1

Ric (Ei, Ei) ,

ou seja,

S =∑i 6=j

K (Ei, Ej) . (5.44)

Em outras palavras, a curvatura escalar e a soma de todas as curvaturas seccionais de planos gerados porpares de vetores de uma base ortonormal.

5.31 Exemplo (Curvaturas de Variedades de Dimensao 2). No caso de variedades riemannianas dedimensao 2 existe apenas um plano em TpM : o proprio. Para estas variedades, a curvatura seccional podeser considerada uma funcao K : M −→ R. Alem disso, se E1, E2 e uma base ortonormal para TpM , segueda discussao anterior que

S (p) = 2K (E1, E2) = 2K (p) ,

ou seja, para variedades riemannianas de dimensao 2 a curvatura seccional e essencialmente a curvaturaescalar:

S = 2K. (5.45)

Alem disso, temosR (X,Y, Z,W ) = K (p) [〈X,W 〉〈Y, Z〉 − 〈X,Z〉〈Y,W 〉] (5.46)

De fato, o unico componente independente de R e

R1221 = R (E1, E2, E2, E1) = K (E1, E2) = K (p) ,

enquanto que os componentes nao nulos sao dados por

R1212 = −R1221 = −K (p) ,

R2112 = −R1212 = R1221 = K (p) ,

R2121 = −R1221 = −K (p) .

Como a equacao acima define um tensor 4-covariante de ordem 4 que tem as mesmas componentes que R,ele e R. Segue que

Ric (X,Y ) = K (p) g (X,Y ) , (5.47)


pois

Ric (X,Y ) =1

4

[‖X + Y ‖2

n∑k=2

K (X + Y,Ek)− ‖X − Y ‖2n∑k=2

K (X − Y, Fk)

]

=1

4

[‖X + Y ‖2K (X + Y,E2)− ‖X − Y ‖2K (X − Y, F2)

]= K (p)

1

4

[‖X + Y ‖2 − ‖X − Y ‖2

]= K (p) g (X,Y ) .

Em particular, toda variedade de dimensao 2 e uma variedade de Einstein:

Ric =S

2g. (5.48)

5.5 Variedades de Curvatura Seccional Constante

Variedades riemannianas que possuem curvatura seccional constante desempenham papel fundamental emGeometria Riemanniana. Algumas das mais importantes (os espacos modelo) serao estudadas em maiordetalhe mais tarde, mas veremos alguns resultados gerais agora.

5.32 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana com curvatura seccional constante K0 ∈ R. Entaoas curvaturas de M sao dadas pelas formulas

R (X,Y )Z = K0 [〈Y, Z〉X − 〈X,Z〉Y ] . (5.49)

R (X,Y, Z,W ) = K0 [〈X,W 〉〈Y,Z〉 − 〈X,Z〉〈Y,W 〉] . (5.50)

Ric = (n− 1)K0g. (5.51)

S = n (n− 1)K0. (5.52)

Reciprocamente, se (5.49) ou (5.50) valem, entao a curvatura seccional e constante.Em particular, variedades com curvatura seccional constante sao variedades de Einstein.

Prova: Para provar (5.50) defina um 4-tensor covariante R em M por

R (X,Y, Z,W ) = K0 [〈X,W 〉〈Y,Z〉 − 〈X,Z〉〈Y,W 〉] . (5.53)

Entao R satisfaz todas as propriedades de simetria da Proposicao 5.14. De fato,

R (Y,X,Z,W ) = K0 [〈Y,W 〉〈X,Z〉 − 〈Y, Z〉〈X,W 〉]= −K0 [〈X,W 〉〈Y, Z〉 − 〈X,Z〉〈Y,W 〉]

= R (X,Y, Z,W ) ,

R (X,Y,W,Z) = K0 [〈X,Z〉〈Y,W 〉 − 〈X,W 〉〈Y,Z〉]= −K0 [〈X,W 〉〈Y,Z〉 − 〈X,Z〉〈Y,W 〉]

= R (X,Y, Z,W ) ,


R (Z,W,X, Y ) = K0 [〈Z, Y 〉〈W,X〉 − 〈Z,X〉〈W,Y 〉]= K0 [〈X,W 〉〈Y,Z〉 − 〈X,Z〉〈Y,W 〉]

= R (X,Y, Z,W )

e

R (X,Y, Z,W ) + R (Y,Z,X,W ) + R (Z,X, Y,W )

= K0 [〈X,W 〉〈Y, Z〉 − 〈X,Z〉〈Y,W 〉+ 〈Y,W 〉〈Z,X〉 − 〈Y,X〉〈Z,W 〉+ 〈Z,W 〉〈X,Y 〉 − 〈Z, Y 〉〈X,W 〉]= 0.

Como

K (X,Y ) =R (X,Y, Y,X)

‖X‖2 ‖Y ‖2 − 〈X,Y 〉2=K0 [〈X,X〉〈Y, Y 〉 − 〈X,Y 〉〈X,Y 〉]

‖X‖2 ‖Y ‖2 − 〈X,Y 〉2= K0, (5.54)

segue da Proposicao 5.30 que R = R e a recıproca segue entao de (5.54).(5.49) e equivalente a (5.50): claramente (5.50) segue de (5.49) pela definicao da curvatura a partir do

endomorfismo curvatura; reciprocamente, se (5.50) vale, entao

〈R (X,Y )Z,W 〉 = R (X,Y, Z,W ) = K0 [〈X,W 〉〈Y,Z〉 − 〈X,Z〉〈Y,W 〉] ,

para todo vetor W e como tambem

〈K0 [〈Y,Z〉X − 〈X,Z〉Y ] ,W 〉 = K0 [〈X,W 〉〈Y,Z〉 − 〈X,Z〉〈Y,W 〉]

para todo vetor W , segue que

R (X,Y )Z = K0 [〈Y, Z〉X − 〈X,Z〉Y ] .

Se X,Y sao vetores nao nulos, como vimos na discussao no final da secao anterior, temos

Ric (X,Y ) =1

4

[‖X + Y ‖2

n∑k=2

K (X + Y,Ek)− ‖X − Y ‖2n∑k=2

K (X − Y, Fk)

]

=1

4

[‖X + Y ‖2 (n− 1)K0 − ‖X − Y ‖2 (n− 1)K0

]= (n− 1)K0

1

4

[‖X + Y ‖2 − ‖X − Y ‖2

]= (n− 1)K0 〈X,Y 〉 ;

se um dos vetores e nulo, o resultado vale trivialmente. Alem disso,

S =∑i 6=j

K (Ei, Ej) =(n2 − n

)K0 = n (n− 1)K0.

5.33 Corolario. Seja M uma variedade riemanniana. Para cada ponto p ∈M escolha uma base ortonormalE1, E2, . . . , En de TpM e defina

Rijkl = R (Ei, Ej , Ek, El) .

Entao M possui curvatura seccional constante K0 se e somente se

Rijji = −Rijij = K0 para todo i 6= j e

Rijkl = 0 nos outros casos,

para todo p ∈M .


Prova: Pela proposicao, M possui curvatura seccional constante K0 se e somente se

R (X,Y, Z,W ) = K0 [〈X,W 〉〈Y,Z〉 − 〈X,Z〉〈Y,W 〉] .

Como um tensor e determinado pelos seu valores em uma base, esta equacao e valida se e somente se

R (Ei, Ej , Ek, El) = K0 [〈Ei, El〉〈Ej , Ek〉 − 〈Ei, Ek〉〈Ej , El〉]= K0 (δilδjk − δikδjl)

=

1 se i = l e j = k e i 6= j−1 se i = k e j = l e i 6= j0 caso contrario.

.

Vemos que em uma variedade riemanniana de curvatura seccional constante o tensor curvatura pode serexpresso diretamente em funcao de metrica.

5.6 Apendice: Motivacao para a definicao do tensor curvatura

5.6.1 Curvatura como uma medida da aceleracao relativa de trajetorias geodesicas

Considere uma variacao geodesica

F (s, t) : (−ε, ε)× [0, 1] −→M,

ou seja, para cada s fixado, a curva Fs (t) = F (s, t) e uma geodesica de M ; um exemplo e a variacaoconsiderada na demonstracao do Lema de Gauss (Lema 4.26). O vetor

∂F

∂t

e o vetor tangente em cada geodesica Fs (t), que pode ser visto como a velocidade temporal de uma partıculahipotetica ao longo desta trajetoria geodesica. Como a trajetoria e uma geodesica, temos

D

dt

∂F

∂t= 0,

isto e, a aceleracao em cada trajetoria Fs (t) da variacao e nula. Ja o vetor

∂F

∂s

mede a velocidade de afastamento, ou taxa de variacao do espaco entre as trajetorias geodesicas (a magnitudedeste vetor sera efetivamente medida na Secao 7.4). Ou seja, enquanto enxergamos a variavel t como umavariavel temporal, isto e, Fs (t) e a posicao de uma partıcula hipotetica na trajetoria geodesica Fs no instantede tempo t, a variavel s e vista como uma variavel espacial, medindo a separacao entre duas trajetoriasgeodesicas. Queremos obter a aceleracao relativa das trajetorias no tempo

D2

dt2

(∂F

∂s

)=D

dt

D

dt

∂F

∂s,

ou seja, a aceleracao temporal da taxa de variacao espacial (afastamento) das trajetorias geodesicas. EmRelatividade Geral medir isso e importante, pois corresponde a medir os efeitos gravitacionais de mare. EmRn, como as derivadas parciais comutam, temos para uma variacao geral, nao necessariamente geodesica,que

∂2

∂t2

(∂F

∂s

)=

∂

∂s

(∂2F

∂t2

),


de modo que medir a taxa de variacao espacial das aceleracoes temporais das partıculas nas diferentestrajetorias e equivalente a medir a aceleracao temporal da taxa de variacao espacial das trajetorias; se, emparticular, a variacao e geodesica, ou seja, uma famılia de retas, temos

∂2

∂t2

(∂F

∂s

)=

∂

∂s

(∂2F

∂t2

)= 0,

ou seja, partıculas seguindo ao longo de retas paralelas nao sofrem aceleracao uma em direcao a outra, porqueno final das contas as retas paralelas se mantem a mesma distancia uma da outra e ∂F/∂s = 0. Mas emvariedades riemannianas (nao localmente isometricas a Rn, como veremos mais tarde) isso nao e verdade

porque as derivadas covariantesD

dteD

dsnao comutam, de modo que, enquanto que

D

ds

(D

dt

∂F

∂t

)= 0,

em geral temosD2

dt2

(∂F

∂s

)6= 0

e existe uma aceleracao temporal mensuravel entre as trajetorias geodesicas na variedade. De fato, a naocomutatividade das derivadas covariantes pode ser medida pelo tensor curvatura:

5.34 Lema (Curvatura como medida da nao comutividade da Derivada Covariante). Seja F :(−ε, ε)× [a, b] −→M uma variacao e V um campo vetorial ao longo de F . Entao,

D

dt

DV

ds− D

ds

DV

dt= R

(∂F

∂t,∂F

∂s

)V.

Prova: EscrevaF (s, t) =

(x1 (s, t) , . . . , xn (s, t)

)e

V =

n∑i=1

V i (s, t) ∂i

em uma vizinhanca coordenada. Entao

DV

ds=D

ds

(n∑i=1

V i∂i

)=

n∑i=1

∂V i

∂s∂i +

n∑i=1

V iD

ds∂i,

dondeD

dt

DV

ds=

n∑i=1

∂2V i

∂s∂t∂i +

n∑i=1

∂V i

∂s

D

dt∂i +

n∑i=1

∂V i

∂t

D

ds∂i +

n∑i=1

V iD

dt

D

ds∂i.

Trocando a letra t pela letra s, tambem obtemos

D

ds

DV

dt=

n∑i=1

∂2V i

∂s∂t∂i +

n∑i=1

∂V i

∂t

D

ds∂i +

n∑i=1

∂V i

∂s

D

dt∂i +

n∑i=1

V iD

ds

D

dt∂i.

Logo,

D

dt

DV

ds− D

ds

DV

dt=

n∑i=1

V i(D

dt

D

ds− D

ds

D

dt

)∂i. (5.55)


Como

∂F

∂t=

n∑j=1

∂xj

∂t∂j ,

∂F

∂s=

n∑k=1

∂xk

∂s∂k,

temosD

ds∂i = ∇∑

∂xk

∂s ∂k∂i =

n∑k=1

∂xk

∂s∇∂k∂i.

Daı,

D

dt

D

ds∂i =

D

dt

(n∑k=1

∂xk

∂s∇∂k∂i

)

=

n∑k=1

∂2xk

∂s∂t∇∂k∂i +

n∑k=1

∂xk

∂s

D

dt(∇∂k∂i)

=

n∑k=1

∂2xk

∂s∂t∇∂k∂i +

n∑k=1

∂xk

∂s∇∑

∂xj

∂t ∂j(∇∂k∂i)

=

n∑k=1

∂2xk

∂s∂t∇∂k∂i +

n∑k,j=1

∂xk

∂s

∂xj

∂t∇∂j∇∂k∂i.

Da mesma forma, trocando t por s e depois j por k,

D

ds

D

dt∂i =

n∑k=1

∂2xk

∂t∂s∇∂k∂i +

n∑k,j=1

∂xk

∂t

∂xj

∂s∇∂j∇∂k∂i

=

n∑k=1

∂2xk

∂s∂t∇∂k∂i +

n∑k,j=1

∂xj

∂t

∂xk

∂s∇∂k∇∂j∂i.

Portanto,

D

dt

DV

ds− D

ds

DV

dt=

n∑i=1

V in∑

j,k=1

∂xj

∂t

∂xk

∂s

(∇∂j∇∂k∂i −∇∂k∇∂j∂i

)=

n∑i=1

V in∑

j,k=1

∂xj

∂t

∂xk

∂sR (∂j , ∂k) ∂i

pois∇[∂j ,∂k]∂i = 0

ja que [∂j , ∂k] = 0. O fato de que R e um tensor permite agora escrever

D

dt

DV

ds− D

ds

DV

dt=

n∑i=1

V iR

n∑j=1

∂xj

∂t∂j ,

n∑k=1

∂xk

∂s∂k

∂i

= R

(∂F

∂t,∂F

∂s

) n∑i=1

V i∂i

= R

(∂F

∂t,∂F

∂s

)V.


Observe que definir a curvatura simplesmente por

R (X,Y )Z = ∇X∇Y Z −∇Y∇XZ,

de modo que a curvatura mediria apenas e diretamente o grau de nao comutatividade da derivada covariante,nao e satisfatorio, porque esta expressao nao define um tensor. De fato, ela nao e linear na terceira variavel:

∇X∇Y (fZ)−∇Y∇X (fZ) = ∇X (f∇Y Z)−∇X ((Y f)Z)−∇Y (f∇XZ) +∇Y ((Xf)Z)

= f∇X∇Y Z + (Xf)∇Y Z + (Y f)∇X (Z) +X (Y f)Z

− f∇Y∇XZ − (Y f)∇XZ − (Xf)∇Y Z − Y (Xf)Z

= f∇X∇Y Z − f∇Y∇XZ + [X (Y f)− Y (Xf)]Z

= f (∇X∇Y Z −∇Y∇XZ) + [X,Y ] (f)Z.

Para obter um tensor, precisamos definir a curvatura como

R (X,Y )Z = ∇X∇Y Z −∇Y∇XZ −∇[X,Y ]Z.

pois∇[X,Y ] (fZ) = f∇[X,Y ]Z + [X,Y ] (f)Z

e o termo [X,Y ] (f)Z que restou acima e eliminado, deixando −f∇[X,Y ]Z. A demonstracao do Lema 5.34nao funciona se R nao e um tensor.

Podemos agora calcular a aceleracao temporal entre as geodesicas da variedade.

5.35 Proposicao (Equacao do Desvio Geodesico). Seja F : (−ε, ε) × [a, b] −→ M uma variacaogeodesica. Entao,

D2

dt2∂F

∂s+R

(∂F

∂s,∂F

∂t

)∂F

∂t= 0

Prova: Como cada trajetoria de F e uma geodesica, temos

D

dt

∂F

∂t= 0,

dondeD

ds

D

dt

∂F

∂t= 0.

Invocando o Lema de Simetria 4.25 (cuja validade depende de que o tensor torcao seja nulo), obtemos

0 =D

ds

(D

dt

∂F

∂t

)=D

dt

(D

ds

∂F

∂t

)−R

(∂F

∂t,∂F

∂s

)∂F

∂t

=D

dt

(D

dt

∂F

∂s

)+R

(∂F

∂s,∂F

∂t

)∂F

∂t

=D2

dt2∂F

∂s+R

(∂F

∂s,∂F

∂t

)∂F

∂t.

A equacao do desvio geodesico da Relatividade Geral e chamada equacao de Jacobi em Geometria Rie-manniana e sera estudada em grande detalhe no Capıtulo 7. Em Relatividade Geral, o termo da curvatura

R

(∂F

∂t,∂F

∂s

)∂F

∂t

e interpretado como sendo o responsavel pelas forcas que produzem efeitos de mare, isto e, a curvaturado espacotempo e que causa os efeitos de mare, fazendo com que partıculas-teste que seguem trajetoriageodesicas no espacotempo acelerem uma em direcao da outra.


5.6.2 Curvatura como uma medida do transporte paralelo em trajetorias fecha-das

Outro modo importante de entender o tensor curvatura e como uma medida (infinitesimal) de quanto otransporte paralelo em trajetorias fechadas deixa de retornar o mesmo vetor ou, equivalentemente, o quantoo transporte paralelo de um vetor de um ponto para outro proximo depende da trajetoria que liga estes doispontos. O enunciado e demonstracao dados a seguir e de [Rossmann], Theorem 2.3.5, pp. 106-107 (vejatambem [MTW], Section 11.4, [Shutz], Section 6.5, pp. 157–161, [Benn-Tucker], Section 6.4, pp. 208–212 e[Dodson-Poston], pp. 309–310).

5.36 Definicao. Uma superfıcie parametrizada e uma aplicacao diferenciavel

F : [a, b]× [c, d] −→M.

Um campo vetorial ao longo de F e um campo diferenciavel V : [a, b]× [c, d] −→ TM tal que V (s, t) ∈TF (s,t)M para cada (s, t).

Uma superfıcie parametrizada difere em poucos detalhes de uma variacao. Em particular, o Lema 5.34 valepara uma superfıcie parametrizada.

5.37 Teorema (Efeito da Curvatura no Transporte Paralelo em uma Trajetoria Fechada). SejaF : [s0, S]× [t0, T ] −→M uma superfıcie parametrizada e denote

p = F (s0, t0) ,

U =∂F

∂s

∣∣∣∣(s0,t0)

,

V =∂F

∂t

∣∣∣∣(s0,t0)

.

Sejaτ : TpM −→ TpM

o transporte paralelo ao longo das curvas da fronteira desta superfıcie parametrizada, isto e,

τ = τs0t0+∆t→t0 τt0+∆ts0+∆s→s0 τ

s0+∆st0→t0+∆t τ

t0s0→s0+∆s

onde

τ t0s0→s0+∆s e o transporte paralelo ao longo da curva F (s, t0) de s0 ate s0 + ∆s,

τs0+∆st0→t0+∆t e o transporte paralelo ao longo da curva F (s0 + ∆s, t) de t0 ate t0 + ∆t,

τ t0+∆ts0+∆s→s0 e o transporte paralelo ao longo da curva F (s, t0 + ∆t) de s0 + ∆s ate s0,

τs0t0+∆t→t0 e o transporte paralelo ao longo da curva F (s0, t) de t0 + ∆t ate t0.

Se W ∈ TpM , entao

R (U, V )W = lim∆s,∆t→0

1

∆s∆t(W − τ (W )) .


Prova: Como

τ t0+∆ts0+∆s→s0 τ

t0+∆ts0→s0+∆s = id,

τs0t0+∆t→t0 τs0t0→t0+∆t = id,

podemos escrever

W − τ (W ) = τs0t0+∆t→t0 τt0+∆ts0+∆s→s0

[τ t0+∆ts0→s0+∆s τ

s0t0→t0+∆t (W )− τs0+∆s

t0→t0+∆t τt0s0→s0+∆s (W )

].

Ja que

lim∆s,∆t→0

(τs0t0+∆t→t0 τ

t0+∆ts0+∆s→s0

)= id,

basta entao provar que

R (U, V )W = lim∆s,∆t→0

1

∆s∆t

[τ t0+∆ts0→s0+∆s τ

s0t0→t0+∆t (W )− τs0+∆s

t0→t0+∆t τt0s0→s0+∆s (W )

]. (5.56)

Isso e equivalente a calcular a diferenca entre os transportes paralelos do vetor W de TpM ate TqM , ondeq = F (t0 + ∆t, s0 + ∆s) e o vertice oposto do retangulo ao longo dos dois caminhos possıveis da fronteirado retangulo.

Pelo Lema 3.27 (substituindo a derivada covariante pela derivada covariante ao longo de uma curva einvertendo a aplicacao do transporte paralelo), temos para s, t quaisquer

DY

dt

∣∣∣∣(s,t0)

= lim∆t→0

Y(s,t0+∆t) − τt0→t0+∆tY(s,t0)

∆t,

DY

ds

∣∣∣∣(s0,t)

= lim∆t→0

Y(s0+∆s,t) − τs0→s0+∆sY(s0,t)

∆s

onde Y e um campo ao longo da superfıcie tal que Y(s0,t0) = W . Com esta expressao em mente, reescrevemoso lado direito de (5.56) adicionando e subtraindo termos, de modo a decompor os dois caminhos do retangulo


nos quatro lados do mesmo:

τ t0+∆ts0→s0+∆s τ

s0t0→t0+∆t (W )− τs0+∆s

t0→t0+∆t τt0s0→s0+∆s (W )

= τ t0+∆ts0→s0+∆s τ

s0t0→t0+∆t

(Y(s0,t0)

)− τs0+∆s

t0→t0+∆t τt0s0→s0+∆s

(Y(s0,t0)

)= τ t0+∆t

s0→s0+∆s

[τs0t0→t0+∆t

(Y(s0,t0)

)− Y(s0,t0+∆t)

]+ τ t0+∆t

s0→s0+∆s

[Y(s0,t0+∆t)

]− Y(s0+∆s,t0+∆t)

− τs0+∆st0→t0+∆t

[τ t0s0→s0+∆s

(Y(s0,t0)

)− Y(s0+∆s,t0)

]− τs0+∆s

t0→t0+∆t

[Y(s0+∆s,t0)

]+ Y(s0+∆s,t0+∆t).

Portanto, segue do Lema 5.34 que

lim∆s,∆t→0

1

∆s∆t

[τ t0+∆ts0→s0+∆s τ

s0t0→t0+∆t (W )− τs0+∆s

t0→t0+∆t τt0s0→s0+∆s (W )

]= − lim

∆s→0

1

∆sτ t0+∆ts0→s0+∆s

[lim

∆t→0

Y(s0,t0+∆t) − τs0t0→t0+∆t

(Y(s0,t0)

)∆t

]

− lim∆t→0

1

∆tlim

∆s→0

Y(s0+∆s,t0+∆t) − τ t0+∆ts0→s0+∆s

(Y(s0,t0+∆t)

)∆s

+ lim∆t→0

1

∆tτs0+∆st0→t0+∆t

[lim

∆s→0

Y(s0+∆s,t0) − τ t0s0→s0+∆s

(Y(s0,t0)

)∆s

]

+ lim∆s→0

1

∆slim

∆t→0

Y(s0+∆s,t0+∆t) − τs0+∆st0→t0+∆t

(Y(s0+∆s,t0)

)∆t

= − lim∆s→0

1

∆sτ t0+∆ts0→s0+∆s

(DY

dt

∣∣∣∣(s0,t0)

)

− lim∆t→0

1

∆t

DY

ds

∣∣∣∣(s0,t0+∆t)

+ lim∆t→0

1

∆tτs0+∆st0→t0+∆t

(DY

ds

∣∣∣∣(s0,t0)

)

+ lim∆s→0

1

∆s

DY

dt

∣∣∣∣(s0+∆s,t0)

= lim∆s→0

DY

dt

∣∣∣∣(s0+∆s,t0)

− τ t0+∆ts0→s0+∆s

DY

dt

∣∣∣∣(s0,t0)

∆s

− lim∆t→0

DY

ds

∣∣∣∣(s0,t0+∆t)

− τs0+∆st0→t0+∆t

(DY

ds

∣∣∣∣(s0,t0)

)∆t

=D

ds

DY

dt

∣∣∣∣(s0,t0)

− D

dt

DY

ds

∣∣∣∣(s0,t0)

= R (U, V )W.


5.7 Exercıcios

5.38 Exercıcio. Mostre que toda aplicacao

T : T1 (M)× . . .× T1 (M)× T1 (M)× . . .× T1 (M) −→ C∞ (M)

multilinear sobre C∞ (M) e induzida por um campo tensorial em Tkl (M).

5.39 Exercıcio. Mostre que a curvatura e um invariante isometrico local. Conclua que

R (X,Y )Z = 0

para qualquer variedade riemanniana localmente isometrica a Rn.

5.40 Exercıcio. Usando (a)-(d) da Proposicao 5.14, prove o Corolario 5.15.

Capıtulo 6

Derivada Covariante de CamposTensoriais

Gostarıamos de definir uma nocao completa de calculo diferencial em variedades diferenciaveis, isto e, deriva-das segundas e todas as derivadas de ordem superior. A derivada de uma funcao real f (sua diferencial) e umfuncional linear df , isto e, um tensor 1-covariante. Para podermos derivar mais uma vez, precisamos definira nocao da derivada de um tensor 1-covariante. Para definirmos derivadas de ordem superior, precisamosdefinir as derivadas de tensores de todos os tipos (k, l). Assim como a derivada de uma funcao aumenta aordem covariante de 0 para 1, a derivada de (k, l)-tensores aumentara a ordem covariante de k para k + 1:ela sera um tensor do tipo (k + 1, l). Por este motivo, ela sera chamada derivada covariante. Na verdade,ela sera construıda a partir da derivada covariante de campos vetoriais (a qual recebe este nome em funcaodo seu uso na definicao da derivada covariante de tensores) e isso sera feito em duas etapas: primeiro gene-ralizaremos a definicao de derivada covariante de campos vetoriais (conexoes), que e uma nocao de derivadadirecional, para definir derivadas covariantes de campos tensoriais, ou seja, derivadas direcionais de campostensoriais (que sera chamada uma conexao em ⊕Tkl (M)); esta sera usada em seguida para definir a nocaopropriamente dita de derivada covariante de campos tensoriais, a chamada derivada covariante total.

6.1 Conexao nos Fibrados Tensoriais

Por definicao, uma conexao em uma variedade diferenciavel M e uma maneira de calcular derivadas covari-antes de campos vetoriais. Esta conexao permite tambem definir derivadas covariantes para todos os campostensoriais de M .

6.1 Lema. Seja M uma variedade diferenciavel dotada de uma conexao ∇. Entao existe uma unica conexao

∇ : T (M)× Tkl (M) −→ Tkl (M)

em cada Tkl (M) tal que(i) Em T1 (M) = T (M), ∇ coincide com a conexao dada.(ii) Em T0 (M) = C∞ (M),

∇Xf = Xf.

(iii) ∇ satisfaz a regra do produto com relacao a produtos tensoriais:

∇X (F ⊗G) = (∇XF )⊗G+ F ⊗ (∇XG) .

(iv) ∇ comuta com todos os tracos: se tr denota o traco com relacao a qualquer par de ındices, entao

∇X (trF ) = tr (∇XF ) .

140


Alem disso, esta conexao satisfaz tambem as propriedades adicionais:(a) Para todos Y ∈ T (M) e ω ∈ T1 (M) vale

∇X [ω (Y )] = (∇Xω) (Y ) + ω (∇XY ) .

(b) Para todos T ∈ Tkl (M), Xi ∈ T (M) e ωj ∈ T1 (M) vale

(∇XT )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= X(T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl))

−k∑i=1

T(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

−l∑

j=1

T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl)

Prova: Dividiremos a demonstracao deste resultado em passos.Passo 1. Se existe uma conexao que satisfaz as propriedades (i)-(iv), entao ela necessariamente satisfaz(a)-(b).

De fato, (a) segue de (iii) e (iv):

∇X [ω (Y )] = ∇X tr (ω ⊗ Y )

= tr∇X (ω ⊗ Y )

= tr (∇Xω ⊗ Y ) + tr (ω ⊗∇XY )

= ∇Xω (Y ) + ω (∇XY ) .

Para provar (b), procedemos por inducao separadamente sobre k e l. O caso (k, l) = (0, 1) segue de (a)e (ii):

(∇Xω) (Y ) = ∇X [ω (Y )]− ω (∇XY )

= X (ω (Y ))− ω (∇XY ) .

Da mesma forma, o caso (k, l) = (1, 0) segue de (a) e de (ii) (usando a definicao da aplicacao de um vetor aum covetor via a dualidade entre V e o bidual V ∗∗):

(∇XY ) (ω) = ω (∇XY )

= ∇X [ω (Y )]− (∇Xω) (Y )

= X [ω (Y )]− Y (∇Xω) .

Agora assuma que (b) vale para todos os inteiros p < k, q < l. Mostraremos que isso implica que (b) valepara k, l. Como todo T ∈ Tkl (M) se escreve na forma

T =

n∑i,j=1

Fi ⊗Gj

para alguns Fi ∈ Tpq (M) e Gj ∈ T11 (M), onde p = k− 1 e q = l− 1, pela linearidade da conexao e suficiente

provar o resultado paraT = F ⊗G

com F ∈ Tpq (M) e G ∈ T11 (M). Por (iii),

∇XT = (∇XF )⊗G+ F ⊗ (∇XG) ,


donde

(∇XT )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= [(∇XF )⊗G](X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

+ [F ⊗ (∇XG)](X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= (∇XF )(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(Xk, ω

l)

+ F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)

(∇XG)(Xk, ω

l).

Mas

(∇XF )(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(Xk, ω

l)

= X(F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1))G(Xk, ω

l)

−k−1∑i=1

F(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(Xk, ω

l)

−l−1∑j=1

F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl−1)G(Xk, ω

l)

e

F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)

(∇XG)(Xk, ω

l)

= F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)X(G(Xk, ω

l))

− F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(∇XXk, ω

l)

− F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(Xk,∇Xωl

).

Portanto,

(∇XT )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= X(F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1))G(Xk, ω

l)

+ F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)X(G(Xk, ω

l))

−k−1∑i=1

F(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(Xk, ω

l)

− F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(∇XXk, ω

l)

−l−1∑j=1

F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl−1)G(Xk, ω

l)

− F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(Xk,∇Xωl

)= X

[F(X1, . . . , Xk−1, ω

1, . . . , ωl−1)G(Xk, ω

l)]

−k−1∑i=1

(F ⊗G)(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk−1, Xk, ω

1, . . . , ωl−1, ωl)

− (F ⊗G)(X1, . . . , Xk−1,∇XXk, ω

1, . . . , ωl−1, ωl)

−l−1∑j=1

(F ⊗G)(X1, . . . , Xk−1, Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl−1, ωl)

− (F ⊗G)(X1, . . . , Xk−1, Xk, ω

1, . . . , ωl−1,∇Xωl)


= X[(F ⊗G)

(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)]

−k∑i=1

(F ⊗G)(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

−l−1∑j=1

(F ⊗G)(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl)

= X(T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl))

−k∑i=1

T(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

−l−1∑j=1

T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl).

Passo 2. Existencia.Defina ∇ : T (M) × Tkl (M) −→ Tkl (M) por (b) (o que inclui (a), como visto acima). Mostraremos que

∇ e uma conexao e satisfaz todas as propriedades (i)-(iv).Inicialmente, as propriedades de uma conexao:

(1) ∇fX+gY T = f∇XT + g∇Y T.Primeiro, para campos covetoriais: para todo Z vale

(∇fX+gY ω) (Z) = (fX + gY ) (ω (Z))− ω (∇fX+gY Z)

= fX (ω (Z)) + gY (ω (Z))− ω (f∇XZ + g∇Y Z)

= fX (ω (Z)) + gY (ω (Z))− fω (∇XZ)− gω (∇Y Z)

= f [X (ω (Z))− ω (∇XZ)] + g [Y (ω (Z))− ω (∇Y Z)]

= f∇Xω (Z) + g∇Y ω (Z) ,

logo∇fX+gY ω = f∇Xω + g∇Y ω.

Para T ∈ Tkl (M) temos

(∇fX+gY T )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= (fX + gY )(T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl))

−k∑i=1

T(X1, . . . ,∇fX+gYXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

−l∑

j=1

T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇fX+gY ωj , . . . , ωl

).

Como

(fX + gY )(T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl))

= fX(T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl))

+ gY(T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)),

T(X1, . . . ,∇fX+gYXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= T(X1, . . . , f∇XXi + g∇YXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= fT(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

+ gT(X1, . . . ,∇YXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)


e

T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇fX+gY ωj , . . . , ωl

)= T

(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , f∇Xωj + g∇Y ωj , . . . , ωl)

= fT(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl)

+ gT(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Y ωj , . . . , ωl),

segue o resultado.(2) ∇X (T + S) = ∇XT +∇XS.

E obvio da definicao.(3) ∇X (fT ) = f∇XT + (Xf)T.

Note que esta regra do produto e um caso especial de (iii). Primeiro, para campos covetoriais: para todoZ vale

[∇X (fω)] (Z) = X [(fω) (Z)]− (fω) (∇XZ)

= X [fω (Z)]− fω (∇XZ)

= (Xf)ω (Z) + fX (ω (Z))− fω (∇XZ)

= (Xf)ω (Z) + f [∇Xω] (Z) ,

logo∇X (fω) = f∇Xω + (Xf)ω.

Para T ∈ Tkl (M) temos

(∇XfT )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

= X(fT(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl))

−k∑i=1

(fT )(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

−l∑

j=1

(fT )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl)

= (Xf)T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

+ fX(T(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl))

−k∑i=1

(fT )(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

−l∑

j=1

(fT )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl)

donde segue o resultado.Agora provemos as propriedades (i)-(iv).

(i) Por definicao, assumindo (ii) (provada logo a seguir) e por (a)

(∇XY ) (ω) = X [ω (Y )]− Y (∇Xω)

= ∇X [ω (Y )]− (∇Xω) (Y )

= ω (∇XY )

de modo que ∇XY coincide com a conexao dada.(ii) Por definicao,

∇Xf = Xf.


(iii) Por definicao, se F ∈ Tkl (M) e G ∈ Tpq (M),

[∇X (F ⊗G)](X1, . . . , Xk, Xk+1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl, ωl+1, . . . , ωl+q)

= X[(F ⊗G)

(X1, . . . , Xk, Xk+1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl, ωl+1, . . . , ωl+q)]

−k+p∑i=1

(F ⊗G)(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl+q)

−l+q∑j=1

(F ⊗G)(X1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl+q).

Pela regra do produto para campos vetoriais,

X[(F ⊗G)

(X1, . . . , Xk, Xk+1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl, ωl+1, . . . , ωl+q)]

= X[F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)]

= X[F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)]G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

+ F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)X[G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)].

Temos tambem

k+p∑i=1

(F ⊗G)(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl+q)

=

k∑i=1

F(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

+

k+p∑i=k+1

F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)G(Xk+1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

e

l+q∑j=1

(F ⊗G)(X1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl+q)

=

l∑j=1

F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl)G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

+

l+q∑j=l+1

F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl+q).


Portanto,

[∇X (F ⊗G)](X1, . . . , Xk, Xk+1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl, ωl+1, . . . , ωl+q)

=

X[F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)]−

k∑i=1

F(X1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)

−l∑

j=1

F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl)×G (Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

+ F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)×X[G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)]

−k+p∑i=k+1

G(Xk+1, . . . ,∇XXi, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

−l+q∑j=l+1

G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . ,∇Xωj , . . . , ωl+q)

= (∇XF )(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)G(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

+ F(X1, . . . , Xk, ω

1, . . . , ωl)∇XG

(Xk+1, . . . , Xk+p, ω

l+1, . . . , ωl+q)

= [(∇XF )⊗G](X1, . . . , Xk, Xk+1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl, ωl+1, . . . , ωl+q)

+ [F ⊗ (∇XG)](X1, . . . , Xk, Xk+1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl, ωl+1, . . . , ωl+q)

= [(∇XF )⊗G+ F ⊗ (∇XG)](X1, . . . , Xk, Xk+1, . . . , Xk+p, ω

1, . . . , ωl, ωl+1, . . . , ωl+q).

(iv) Para provar esta propriedade, estabeleceremos primeiro uma formula para ∇XT em coordenadas. Se

T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikdxi1 ⊗ . . .⊗ dxik ⊗ ∂j1 ⊗ . . .⊗ ∂jj

e

X =

n∑m=1

Xm∂m,

entao

∇XT(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)

= ∇∑Xm∂mT

(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)

=

n∑m=1

Xm (∇∂mT )(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)

=

n∑m=1

Xm (∇∂mT )j1...jli1...ik

e a expressao em coordenadas para a derivada covariante de um campo tensorial, como veremos na Proposicao6.9, e

(∇∂mT )j1...jli1...ik

= ∂mTj1...jli1...ik

−k∑r=1

n∑p=1

T j1...jli1...ir−1pir+1...ikΓpmir +

l∑s=1

n∑p=1

Tj1...js−1pjs+1...jli1...ik

Γjsmp. (6.1)

Seja F ∈ Tkl (M), de modo que trF ∈ Tk−1l−1 (M). Por linearidade e suficiente provar que

[∇∂m (trF )](∂i1 , . . . , ∂ik−1

, dxj1 , . . . , dxjl−1)

= [tr (∇∂mF )](∂i1 , . . . , ∂ik−1

, dxj1 , . . . , dxjl−1),


isto e, que[∇∂m (trF )]

j1...jl−1

i1...ik−1= [tr (∇∂mF )]

j1...jl−1

i1...ik−1.

Escrevendo

F =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

F j1...jli1...ikdxi1 ⊗ . . .⊗ dxik ⊗ ∂j1 ⊗ . . .⊗ ∂jl ,

temos, assumindo que o traco e tomado em relacao aos ındices p, q,

(trF )j1...jl−1

i1...ik−1=

n∑u=1

Fj1...jq−1ujq...jk−1

i1...ip−1uip...il−1.

Logo,

[∇∂m (trF )]j1...jl−1

i1...ik−1

= ∂m (trF )j1...jl−1

i1...ik−1−

k∑r=1

n∑p=1

(trF )j1...jli1...ir−1pir+1...ik

Γpmir +

l∑s=1

n∑p=1

(trF )j1...js−1pjs+1...jli1...ik

Γjsmp

=

n∑u=1

∂mFj1...jq−1ujq...jk−1

i1...ip−1uip...il−1−

k∑r=1

n∑p=1

n∑u=1


i1...ip−1uip...ir−1pir+1...il−1Γpmir

+

l∑s=1

n∑p=1

n∑u=1

Fj1...jq−1ujq...js−1pjs+1...jk−1

i1...ip−1uip...il−1Γjsmp

e

[tr (∇∂mF )]j1...jl−1

i1...ik−1

=

n∑u=1

(∇∂mF )j1...jq−1ujq...jk−1

i1...ip−1uip...il−1

=

n∑u=1

∂mFj1...jq−1ujq...jk−1

i1...ip−1uip...il−1−

n∑u=1

k∑r=1

n∑p=1


i1...ip−1uip...ir−1pir+1...il−1Γpmir

+

n∑u=1

l∑s=1

n∑p=1

Fj1...jq−1ujq...js−1pjs+1...jk−1

i1...ip−1uip...il−1Γjsmp.

Comparando as expressoes, vemos que elas sao identicas.Passo 3. Unicidade.

Se existir uma conexao ∇ : T (M)×Tkl (M) −→ Tkl (M) que satisfaz (i)-(iv), entao ela tambem satisfazera(a)-(b), logo sera igual a conexao definida no Passo 2. De agora em diante, quando nos referirmos a uma conexao em uma variedade diferenciavel M , estaremosnos referindo a conexao do lema, definida em todas os fibrados tensoriais da variedade.

6.2 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana e ω um campo covetorial em M . Entao

∇Xω =

n∑k=1

n∑i=1

Xi ∂ωk∂xi−

n∑i,j=1

XiωjΓjik

dxk. (6.2)

Em particular,

∇∂idxj = −n∑k=1

Γjikdxk. (6.3)


Prova: De fato,

(∇Xω) (Y ) = ∇X [ω (Y )]− ω (∇XY )

= ∇X

[ω

(n∑k=1

Y k∂k

)]− ω

n∑k=1

X (Y k)+

n∑i,j=1

XiY jΓkij

∂k

= X

[n∑k=1

Y kω (∂k)

]−

n∑k=1

X (Y k)+

n∑i,j=1

XiY jΓkij

ω (∂k)

= X

[n∑k=1

Y kωk

]−

n∑k=1

X (Y k)+

n∑i,j=1

XiY jΓkij

ωk

=

n∑k=1

[X(Y k)ωk + Y kX (ωk)

]−

n∑k=1

X(Y k)ωk +

n∑i,j,k=1

XiY jωkΓkij

=

n∑i,k=1

Y kXi ∂ωk∂xi−

n∑i,j,k=1

XiY jωkΓkij =

n∑i,k=1

Y kXi ∂ωk∂xi−

n∑i,j,k=1

XiY kωjΓjik

=

n∑k=1

n∑i=1

Xi ∂ωk∂xi−

n∑i,j=1

XiωjΓjik

Y k

=

n∑k=1

n∑i=1

Xi ∂ωk∂xi−

n∑i,j=1

XiωjΓjik

dxk (Y ) .

6.2 Derivada Covariante Total

6.3 Definicao. Seja M uma variedade diferenciavel dotada de uma conexao ∇. Dado um campo (k, l)-tensorial T ∈ Tkl (M), a derivada covariante total de T e o campo (k + 1, l)-tensorial

∇T : T1 (M)× . . .× T1 (M)× T1 (M)× . . .× T1 (M) −→ C∞ (M)

definido por∇T

(Y1, . . . , Yk, X, ω

1, . . . , ωl)

= ∇XT(Y1, . . . , Yk, ω

1, . . . , ωl). (6.4)

O nome derivada covariante pode ser agora compreendido: a derivada covariante total de um tensor aumentaem um a sua ordem covariante.

A derivada covariante total do tensor metrica g e o tensor identicamente nulo:

6.4 Proposicao (Derivada Covariante Total do Tensor Metrica). Se (M, g) e uma variedade rieman-niana, entao

∇g = 0.

Prova: Pela definicao e pela compatibilidade da conexao com a metrica, temos

∇g (X,Y, Z) = ∇Zg (X,Y )

= Z [g (X,Y )]− g (∇ZX,Y )− g (X,∇ZY )

= Z 〈X,Y 〉 − 〈∇ZX,Y 〉 − 〈X,∇ZY 〉= 0.


Da demonstracao vemos que a conexao riemanniana pode ser equivalentemente caracterizada como a unicaconexao simetrica tal que ∇g = 0. O fato que ∇g = 0 foi um serio empecilho para Einstein no seu caminhoem direcao a descoberta da Teoria da Relatividade Geral.

6.5 Proposicao (Significado da Derivada Covariante Total Nula). Se (M, g) e uma variedade rie-manniana e X ∈ T (M), entao

∇X = 0

se e somente se X e um campo paralelo.

Prova: Veja a observacao que se segue a Definicao 3.9 e observe que se X ∈ T (M), entao por definicao∇X (Y ) = ∇YX.

6.6 Definicao. Dizemos que um tensor T ∈ Tkl (M) e paralelo se ∇T = 0.

Assim, a compatibilidade da metrica e equivalente ao paralelismo do tensor metrica.

6.7 Exemplo (Hessiana e Laplaciano). Se f ∈ C∞ (M), entao a derivada covariante total ∇f de f esimplesmente o covetor (1-forma) df , isto e, a diferencial de f . De fato, ambos os tensores tem o mesmoefeito sobre campos vetoriais:

df (X) = Xf = ∇Xf = (∇f) (X) .

O 2-tensor∇2f = ∇ (∇f)

e chamado a hessiana (covariante) de f . Por definicao,

∇2f (X,Y ) = ∇Y (∇f) (X) = Y ((∇f) (X))−∇f (∇YX) ,

ou seja,∇2f (X,Y ) = Y (Xf)− (∇YX) f. (6.5)

O laplaciano de f e definido por∆f = trg∇2f. (6.6)

6.8 Notacao. Seja

T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

T j1...jli1...ikdxi1 ⊗ . . .⊗ dxik ⊗ ∂j1 ⊗ . . .⊗ ∂jl

um campo (k, l)-tensorial. Entao temos duas notacoes bastante difundidas para escrever a expressao emcoordenadas da derivada covariante total de T :

∇T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

n∑m=1

∇mT j1...jli1...ikdxi1 ⊗ . . .⊗ dxik ⊗ dxm ⊗ ∂j1 ⊗ . . .⊗ ∂jl (6.7)

e

∇T =

n∑i1,...,ik=1j1,...,jl=1

n∑m=1

T j1...jli1...ik;mdxi1 ⊗ . . .⊗ dxik ⊗ dxm ⊗ ∂j1 ⊗ . . .⊗ ∂jl (6.8)

Isto e, cada componente do campo (k + 1, l)-tensorial derivada covariante total e denotado por

∇mT j1...jli1...ik= T j1...jli1...ik;m. (6.9)


Por exemplo, se

X =

n∑i=1

Xi∂i,

entao

∇X =

n∑i,j=1

∇jXidxj ⊗ ∂i =

n∑i,j=1

Xi;jdx

j ⊗ ∂i. (6.10)

6.9 Proposicao. Seja M uma variedade diferenciavel dotada de uma conexao ∇. Entao as componentesda derivada covariante total em um sistema de coordenadas sao dadas por

∇mT j1...jli1...ik= T j1...jli1...ik;m = ∂mT

j1...jli1...ik

+

l∑s=1

n∑p=1


Γjsmp −k∑r=1

n∑p=1

T j1...jli1...ir−1pir+1...ikΓpmir . (6.11)

Em particular, em coordenadas normais,

∇mT j1...jli1...ik(p) = ∂mT

j1...jli1...ik

(p) .


T j1...jli1...ik;m

= ∇T(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂m, dx

j1 , . . . , dxjl)

= (∇∂mT )(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)

= ∂mT(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)−

k∑r=1

T(∂i1 , . . . ,∇∂m∂ir , . . . , ∂ik , dxj1 , . . . , dxjl

)−

l∑s=1

T(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . ,∇∂mdxjs , . . . , dxjl)


−k∑r=1

T

(∂i1 , . . . ,

n∑p=1

Γpmir∂p, . . . , ∂ik , dxj1 , . . . , dxjl

)

−l∑

s=1

T

(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . ,−n∑p=1

Γjsmpdxp, . . . , dxjl

)


−k∑r=1

n∑p=1

T j1...jli1...ir−1pir+1...ikΓpmir +

l∑s=1

n∑p=1


Γjsmp.

Em coordenadas normais, os coeficientes de Christoffel em p se anulam. Por exemplo, para uma funcao real:

∇if = f;i = ∂if ;

para um campo vetorial (campo 1-tensorial contravariante)

∇jXi = Xi;j = ∂jX

i +

n∑p=1

XpΓijp;

para um campo covetorial (campo 1-tensorial covariante)

∇jωi = ωi;j = ∂jωi −n∑p=1

ωpΓpij ;


para um campo 2-tensorial covariante:

∇kTij = Tij;k = ∂kTij −n∑p=1

TpjΓpik −

n∑p=1

TipΓpjk;

para um campo (3, 1)-tensorial:

∇mRlijk = Rlijk;m = ∂mRlijk +

n∑p=1

RpijkΓlpm −n∑p=1

RlpjkΓpim −n∑p=1

RlipkΓpjm −n∑p=1

RlijpΓpkm;

e para um campo 4-tensorial covariante:

∇mRijkl = Rijkl;m = ∂mRijkl −n∑p=1

RpjklΓpim −

n∑p=1

RipklΓpjm −

n∑p=1

RijplΓpkm −

n∑p=1

RijkpΓplm.

6.10 Proposicao (Regra do Produto). Seja M uma variedade riemanniana. Entao

∇m(F j1...jli1...ik

Gjl+1...jl+qik+1...ik+p

)=(∇mF j1...jli1...ik

)Gjl+1...jl+qik+1...ik+p

+ F j1...jli1...ik

(∇mG

jl+1...jl+qik+1...ik+p

).

Prova: Seja T = F ⊗G, de modo que


= F j1...jli1...ikGjl+1...jl+qik+1...ik+p

.

Daı,

∇mTj1...jljl+1...jl+qi1...ikik+1...ik+p

= ∇T(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , ∂m, dxj1 , . . . , dxjl , dxjl+1 , . . . , dxjl+q

)= ∇∂mT

(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxj1 , . . . , dxjl , dxjl+1 , . . . , dxjl+q

)= ∂mT

(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1


)−k+p∑r=1

T(∂i1 , . . . ,∇∂im∂ir , . . . , ∂ik , ∂ik+1


)−

l+q∑s=1

T(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxj1 , . . . ,∇∂imdx

js , . . . , dxjl , dxjl+1 , . . . , dxjl+q).

Como

∂mT(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1


)= ∂m

(F j1...jli1...ik

Gjl+1...jl+qik+1...ik+p

)=(∂mF

j1...jli1...ik


+ F j1...jli1...ik

(∂mG


),


k+p∑r=1

T(∂i1 , . . . ,∇∂im∂ir , . . . , ∂ik , ∂ik+1


)= −

k∑r=1

F(∂i1 , . . . ,∇∂im∂ir , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)G(∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxjl+1 , . . . , dxjl+q

)−

k+p∑r=k+1

F(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)G(∂ik+1

, . . . ,∇∂im∂ir , . . . , ∂ik+p , dxjl+1 , . . . , dxjl+q

)= −

k∑r=1

F(∂i1 , . . . ,∇∂im∂ir , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)Gjl+1...jl+qik+1...ik+p

−k+p∑r=k+1

F j1...jli1...ikG(∂ik+1


)e

l+q∑s=1

T(∂i1 , . . . , ∂ik , ∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxj1 , . . . ,∇∂imdx

js , . . . , dxjl , dxjl+1 , . . . , dxjl+q)

=−l∑

s=1

F(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . ,∇∂imdxjs , . . . , dxjl

)G(∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxjl+1 , . . . , dxjl+q

)−

l+q∑s=l+1

F(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)G(∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxjl+1 , . . . ,∇∂imdx

js , . . . , dxjl+q)

=−l∑

s=1

F(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . ,∇∂imdxjs , . . . , dxjl


−l+q∑s=l+1

F j1...jli1...ikG(∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxjl+1 , . . . ,∇∂imdx

js , . . . , dxjl+q),

segue que

∇mTj1...jljl+1...jl+qi1...ikik+1...ik+p

=

[∂mF

j1...jli1...ik

−k∑r=1

F(∂i1 , . . . ,∇∂im∂ir , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . , dxjl)

−l∑

s=1

F(∂i1 , . . . , ∂ik , dx

j1 , . . . ,∇∂imdxjs , . . . , dxjl

)]Gjl+1...jl+qik+1...ik+p

+ F j1...jli1...ik

[∂mG


−k+p∑r=k+1

G(∂ik+1


)−

l+q∑s=l+1

G(∂ik+1

, . . . , ∂ik+p , dxjl+1 , . . . ,∇∂imdx

js , . . . , dxjl+q)]

=(∇mF j1...jli1...ik


+ F j1...jli1...ik

(∇mG


).

Este resultado justifica a notacao ∇m.


6.11 Lema. Seja M uma variedade riemanniana. Entao

∇kgij = gij;k = 0

e∇kgij = gij;k = 0

para todos os ındices i, j, k.

Prova: Embora ja tenhamos demonstrado a primeira afirmacao na Proposicao 6.4, forneceremos outrademonstracao que a derivada covariante total do tensor metrica g e o tensor identicamente nulo usando aformula para as componentes da derivada covariante. De fato, pelo Corolario 3.25,

∂kgij =

n∑p=1

gipΓpjk +

n∑p=1

gpjΓpik.

Logo,

∇kgij = gij;k = ∂kgij −n∑p=1

gipΓpjk −

n∑p=1

gpjΓpik = 0.

Para calcular ∇kgij , primeiro observamos que

∇kδji = δji;k = ∂kδji +

n∑p=1

δpi Γjpk −n∑p=1

δjpΓpik

= δiiΓjik − δ

jjΓ

jik

= 0.

Portanto,

∇k

(n∑p=1

gipgpj

)= ∇kδji = 0.

Mas, pela regra do produto,

∇k

(n∑p=1

gipgpj

)=

n∑p=1

gpj∇kgip +

n∑p=1

gip∇kgpj =

n∑p=1

gip∇kgpj

pela primeira afirmacao. Concluımos que

n∑p=1

gip∇kgpj = 0.

Contraindo esta expressao atraves da inversa da metrica,

n∑i=1

gli

(n∑p=1

gip∇kgpj)

= 0,

segue que

0 =

n∑p=1

n∑i=1

gligip∇kgpj =

n∑p=1

δlp∇kgpj = ∇kglj .

Em vista dos resultados acima, a derivada covariante se comporta bem com a operacao de subir ou descer

um ındice:


6.12 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana. Entao

∇mTj1...jl−1

i1...ikik+1= ∇m

(n∑p=1


)=

n∑p=1

gik+1p∇mTj1...jl−1pi1...ik

, (6.12)

e

∇mTj1...jljl+1

i1...ik−1= ∇m

(n∑p=1

gjl+1pT j1...jli1...ik−1p

)=

n∑p=1

gjl+1p∇mT j1...jli1...ik−1p. (6.13)

Prova: Segue das Proposicoes 6.10 e 6.11. No caso de um (1, 1)-tensor, as formulas sao

∇mT ji = ∇m

(n∑k=1

gikTkj

)=

n∑k=1

gik(∇mT kj

),

∇mT ji = ∇m

(n∑k=1

gkjTik

)=

n∑k=1

gkj (∇mTik) .

Na notacao de ponto e virgula:

T ji;m =

n∑k=1

gikTkj;m,

∇mT ji;m =

n∑k=1

gkjTik;m.

6.13 Exemplo (Hessiana e Laplaciano em coordenadas). As componentes de ∇f sao

∇f =

n∑i=1

∂if dxi.

E comum denotarfi = ∂if, (6.14)

de modo que

∇2f =

n∑i,j=1

∇jfidxi ⊗ dxj =

n∑i,j=1

fi;jdxi ⊗ dxj .

Temos

∇jfi = fi;j = ∂jfi −n∑p=1

fpΓpij = ∂2

ijf −n∑k=1

Γkij∂kf. (6.15)

Ou seja,

∇2f =

n∑i,j=1

(∂2ijf −

n∑k=1

Γkij∂kf

)dxi ⊗ dxj . (6.16)

Tambem e comum escreverfij = ∂2

ijf, (6.17)

de modo que

∇2f =

n∑i,j=1

(fij −

n∑k=1

fkΓkij

)dxi ⊗ dxj . (6.18)


Daı obtemos a formula do laplaciano em coordenadas:

∆f = trg∇2f =

n∑i,j=1

gij(∇2f

)ij

=

n∑i,j=1

gij∂2ijf −

n∑k=1

gijΓkij∂kf.

6.14 Proposicao (Identidade de Bianchi Diferencial). Seja M uma variedade riemanniana. A derivadacovariante total do tensor curvatura satisfaz a seguinte propriedade:

∇R (X,Y, Z, V,W ) +∇R (X,Y, V,W,Z) +∇R (X,Y,W,Z, V ) = 0. (6.19)

Em termos de componentes,

Rijkl;m +Rijlm;k +Rijmk;l = ∇mRijkl +∇kRijlm +∇lRijmk = 0. (6.20)

Prova: Em primeiro lugar, devido a propriedade de simetria 5.13 (c) do tensor curvatura, a identidade doenunciado e equivalente a identidade

∇R (Z, V,X, Y,W ) +∇R (V,W,X, Y, Z) +∇R (W,Z,X, Y, V ) = 0. (6.21)

A vantagem desta identidade e que o campo na quarta posicao e o mesmo (isto e, Y ) em todos os termos.Por multilinearidade, basta provar que

∇R (∂i, ∂j , ∂k, ∂l, ∂m) +∇R (∂j , ∂m, ∂k, ∂l, ∂i) +∇R (∂m, ∂i, ∂k, ∂l, ∂j) = 0

para todos os campos vetoriais ∂i, ∂j , ∂k, ∂l, ∂m. Por definicao e compatibilidade da metrica,

∇R (∂i, ∂j , ∂k, ∂l, ∂m) = ∇∂mR (∂i, ∂j , ∂k, ∂l)

= ∇∂m 〈R (∂i, ∂j) ∂k, ∂l〉= 〈∇∂mR (∂i, ∂j) ∂k, ∂l〉+ 〈R (∂i, ∂j) ∂k,∇∂m∂l〉 .

Para facilitar os calculos consideravelmente, consideramos coordenadas normais em p. Em coordenadasnormais em p,

∇∂m∂l (p) =

n∑q=1

Γqlm (p) ∂q = 0.

Logo, em p,∇R (∂i, ∂j , ∂k, ∂l, ∂m) = 〈∇∂mR (∂i, ∂j) ∂k, ∂l〉 .

Escrevendo

R (∂i, ∂j) ∂k = ∇∂i∇∂j∂k −∇∂j∇∂i∂k −∇[∂i,∂j ]∂k

= ∇∂i∇∂j∂k −∇∂j∇∂i∂k,

porque [∂i, ∂j ] = 0, segue que

∇R (∂i, ∂j , ∂k, ∂l, ∂m) =⟨∇∂m∇∂i∇∂j∂k −∇∂m∇∂j∇∂i∂k, ∂l

⟩.


Daı, em p,

∇R (∂i, ∂j , ∂k, ∂l, ∂m) +∇R (∂j , ∂m, ∂k, ∂l, ∂i) +∇R (∂m, ∂i, ∂k, ∂l, ∂j)

=⟨∇∂m∇∂i∇∂j∂k −∇∂m∇∂j∇∂i∂k +∇∂i∇∂j∇∂m∂k −∇∂i∇∂m∇∂j∂k

+∇∂j∇∂m∇∂i∂k −∇∂j∇∂i∇∂m∂k, ∂l⟩

=⟨∇∂j∇∂m∇∂i∂k −∇∂m∇∂j∇∂i∂k +∇∂m∇∂i∇∂j∂k −∇∂i∇∂m∇∂j∂k

+∇∂i∇∂j∇∂m∂k −∇∂j∇∂i∇∂m∂k, ∂l⟩

=⟨R (∂j , ∂m)∇∂i∂k +R (∂m, ∂i)∇∂j∂k +R (∂i, ∂j)∇∂m∂k, ∂l

⟩= 〈R (∂j , ∂m) 0 +R (∂m, ∂i) 0 +R (∂i, ∂j) 0, ∂l〉= 0,

ja que ∇∂i∂k = ∇∂j∂k = ∇∂m∂k = 0 em p.

6.2.1 Divergencia de Campos Tensoriais

Dado um campo vetorial X em Rn, sua divergencia e a funcao

divX =

n∑i=1

∂iXi =

n∑i=1

∇iXi.

Isto e,divX = tr∇X.

Dado um campo vetorial X ∈ T (M), de maneira analoga definimos sua divergencia por

divX = tr∇X.

Em coordenadas,

divX =

n∑i=1

∇iXi =

n∑i=1

Xi;i.

Para definir a divergencia de um campo covetorial ω ∈ T1 (M), observe que ao descermos ındices no ultimotermo obtemos

n∑i=1

Xi;i =

n∑i,j=1

gijXj;i =

n∑i,j=1

gij(X[)j;i

= trg∇(X[),

de modo que faz sentido definirdivω = trg∇ω.

Em coordenadas,

divω =

n∑i,j=1

gij∇iωj =

n∑i,j=1

gijωj;i.

Usando estas ideias, definimos a divergencia de tensores contravariantes e covariantes da seguinte forma:

6.15 Definicao. Dado um campo l-tensorial contravariante, a divergencia de T e o campo (l − 1)-tensorialcontravariante

div T = tr∇T.

Dado um campo k-tensorial covariante T , a divergencia de T e o campo (k − 1)-tensorial covariante

div T = trg∇T.


Observe que∆f = trg∇2f = div∇f.

Em coordenadas, se T e um tensor 2-contravariante,

(div T )i =

n∑j=1

∇jT ij =

n∑j=1

T ij;j .

se T e um tensor 2-covariante,

(div T )i =

n∑j,k=1

gjk∇kTij .

6.16 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana. Entao

∇S = 2 div Ric . (6.22)


(div Ric)i =

n∑j,k=1

gjk∇kRij .

Pela identidade de Bianchi diferencial, temos

∇mRijkl +∇kRijlm +∇lRijmk = 0.

Daı,n∑

j,l=1

gjl (∇mRijkl +∇kRijlm +∇lRijmk) = 0,

donde, pela regra do produto e pelo fato que ∇pgrs = 0,

∇m

n∑j,l=1

gjlRijkl

+∇k

n∑j,l=1

gjlRijlm

+

n∑j,l=1

gjl∇lRijmk = 0. (6.23)

Como

Rpq =

n∑r,s=1

grsRrpqs,

Rijkl = −Rjikl,Rijlm = Rjiml,

o primeiro termo desta soma e−∇mRik,

enquanto que o segundo termo e∇kRim.

Logo a identidade (6.23) e equivalente a

∇mRik = ∇kRim +

n∑j,l=1

gjl∇lRijmk.


Daı,

n∑i,k=1

gik∇mRik =

n∑i,k=1

gik∇kRim +

n∑i,k=1

gikn∑

j,l=1

gjl∇lRijmk

= (div Ric)m +

n∑j,l=1

gjl∇l

n∑i,k=1

gikRijmk

= (div Ric)m +

n∑j,l=1

gjl∇lRjm

= (div Ric)m + (div Ric)m= 2 (div Ric)m .

Portanto,

∇mS = ∇m

n∑i,k=1

gikRik

=

n∑i,k=1

gik∇mRik = 2 (div Ric)m .

6.17 Proposicao. Se Mn e uma variedade de Einstein conexa e n > 3, entao M tem curvatura escalarconstante.

Prova: Temos

Ric =S

ng,

ou seja,

Rij =S

ngij ,

donde

∇kRij =1

ngij∇kS.

Logo,

(div Ric)i =

n∑j,k=1

gjk∇kRij =1

n

n∑j,k=1

gkjgij∇kS =1

n

n∑k=1

δki∇kS =1

n∇iS.

Segue da proposicao anterior que∇S2

=∇Sn.

Se n 6= 2, esta identidade implica que∇S = 0

e portanto S ≡ constante, se M e conexa. Como toda variedade riemanniana de dimensao 2 e uma variedade de Einstein e existem variedades dedimensao 2 que nao possuem curvatura escalar constante, este resultado nao vale se n = 2.

Capıtulo 7

Campos de Jacobi

Neste capıtulo estudaremos como a curvatura afeta as geodesicas. Em um ponto p, as geodesicas radiaispartem deste ponto e se irradiam. Veremos que em uma regiao de curvatura seccional positiva as geodesicasse separam menos, em comparacao com as geodesicas (retas) no espaco euclidiano (ou seja, os raios emTpM), enquanto que em uma regiao de curvatura seccional negativa as geodesicas se separam mais.

7.1 A Equacao de Jacobi

Dados p ∈M e v ∈ TpM tais que expp (v) esta definido, considere a variacao geodesica F : (−ε, ε)× [0, 1] −→M da geodesica radial

γ (t) = expp (tv)

vista na demonstracao do Lema de Gauss, ou seja

F (s, t) = expp (tv (s))

onde v (s) e uma curva de TpM partindo de v (0) = v com velocidade v′ (0) =: w. Para cada s fixado,Fs (t) = F (s, t) e a geodesica radial que parte de p com velocidade v (s). A velocidade de afastamento destasgeodesicas radiais no ponto γ (t) e exatamente o vetor

∂F

∂s(0, t) = d

(expp

)tvtw, (7.1)

que e o vetor velocidade da curva transversal partindo de γ (t). Neste capıtulo estudaremos este campoem detalhes. Veremos em primeiro lugar nesta secao que ele satisfaz uma equacao diferencial, chamada aequacao de Jacobi (tambem conhecida como equacao do desvio geodesico em Relatividade Geral). [Paraconveniencia do leitor, repetimos o Lema 5.34 que foi visto no apendice do Capıtulo 5, juntamente com asua demonstracao.]

7.1 Lema. Seja F : (−ε, ε)× [a, b] −→M uma variacao e V um campo vetorial ao longo de F . Entao

D

dt

DV

ds− D

ds

DV

dt= R

(∂F

∂t,∂F

∂s

)V.

Prova: Escolha um sistema de coordenadas para uma vizinhanca de p ∈M e escreva

V =

n∑i=1

V i (s, t) ∂i.

159


EntaoDV

ds=D

ds

(n∑i=1

V i∂i

)=

n∑i=1

∂V i

∂s∂i +

n∑i=1

V iD

ds∂i,

dondeD

dt

DV

ds=

n∑i=1

∂2V i

∂s∂t∂i +

n∑i=1

∂V i

∂s

D

dt∂i +

n∑i=1

∂V i

∂t

D

ds∂i +

n∑i=1

V iD

dt

D

ds∂i.

Trocando t por s,

D

ds

DV

dt=

n∑i=1

∂2V i

∂s∂t∂i +

n∑i=1

∂V i

∂t

D

ds∂i +

n∑i=1

∂V i

∂s

D

dt∂i +

n∑i=1

V iD

ds

D

dt∂i.

Logo,

D

dt

DV

ds− D

ds

DV

dt=

n∑i=1

V i(D

dt

D

ds− D

ds

D

dt

)∂i. (7.2)

EscrevendoF (s, t) =

(x1 (s, t) , . . . , xn (s, t)

),

de modo que

∂F

∂t=

n∑j=1

∂xj

∂t∂j ,

∂F

∂s=

n∑k=1

∂xk

∂s∂k,

temosD

ds∂i = ∇∑

∂xk

∂s ∂k∂i =

n∑k=1

∂xk

∂s∇∂k∂i.

Daı,

D

dt

D

ds∂i =

D

dt

(n∑k=1

∂xk

∂s∇∂k∂i

)

=

n∑k=1

∂2xk

∂s∂t∇∂k∂i +

n∑k=1

∂xk

∂s

D

dt(∇∂k∂i)

=

n∑k=1

∂2xk

∂s∂t∇∂k∂i +

n∑k=1

∂xk

∂s∇∑

∂xj

∂t ∂j(∇∂k∂i)

=

n∑k=1

∂2xk

∂s∂t∇∂k∂i +

n∑k,j=1

∂xk

∂s

∂xj

∂t∇∂j∇∂k∂i.

Da mesma forma, trocando t por s e depois j por k,

D

ds

D

dt∂i =

n∑k=1

∂2xk

∂t∂s∇∂k∂i +

n∑k,j=1

∂xk

∂t

∂xj

∂s∇∂j∇∂k∂i

=

n∑k=1

∂2xk

∂s∂t∇∂k∂i +

n∑k,j=1

∂xj

∂t

∂xk

∂s∇∂k∇∂j∂i.


Portanto,

D

dt

DV

ds− D

ds

DV

dt=

n∑i=1

V in∑

j,k=1

∂xj

∂t

∂xk

∂s

(∇∂j∇∂k∂i −∇∂k∇∂j∂i

)=

n∑i=1

V in∑

j,k=1

∂xj

∂t

∂xk

∂sR (∂j , ∂k) ∂i

=

n∑i=1

V iR

n∑j=1

∂xj

∂t∂j ,

n∑k=1

∂xk

∂s∂k

∂i

= R

(∂F

∂t,∂F

∂s

) n∑i=1

V i∂i

= R

(∂F

∂t,∂F

∂s

)V.

7.2 Proposicao (Equacao de Jacobi). Seja F : (−ε, ε)× [0, 1] −→M uma variacao geodesica e denote

J (t) =∂F

∂s(0, t) .

Entao J satisfaz a equacao diferencial linear

D2J

dt2+R (J, γ′) γ′ = 0. (7.3)

Prova: Como as curvas principais t 7→ F (s, t) da variacao sao geodesicas, temos

D

dt

∂F

∂t= 0.

Segue do lema anterior e do Lema de Simetria 4.25 que

0 =D

ds

(D

dt

∂F

∂t

)=D

dt

(D

ds

∂F

∂t

)−R

(∂F

∂t,∂F

∂s

)∂F

∂t

=D

dt

(D

dt

∂F

∂s

)+R

(∂F

∂s,∂F

∂t

)∂F

∂t

=D2

dt2∂F

∂s+R

(∂F

∂s,∂F

∂t

)∂F

∂t.

7.2 Campos de Jacobi

7.3 Definicao. Seja γ : I −→ M uma geodesica. Qualquer campo vetorial ao longo de γ que satisfaz aequacao de Jacobi e chamado um campo de Jacobi ao longo de γ.

Segue da Proposicao 7.2 que o campo variacional de uma variacao geodesica e um campo de Jacobi.Um campo de Jacobi e determinado por suas condicoes iniciais:


7.4 Proposicao (Existencia e Unicidade de Campos de Jacobi). Seja γ : I −→ M uma geodesica. Dadot0 ∈ I e V,W ∈ Tγ(t0)M , existe um unico campo de Jacobi ao longo de γ tal que

J (t0) = V ,

DJ

dt(t0) = W.

Em particular, os campos de Jacobi ao longo de uma geodesica formam um espaco vetorial de dimensao 2n.

Prova: Seja E1 (t) , . . . , En (t) campos ortonormais paralelos ao longo de γ. Escrevendo

J =

n∑i=1

J iEi,

temosD2J

dt2(t) =

n∑i=1

d2J i

dt2Ei,

e

R (J, γ′) γ′ = R

n∑k=1

JkEk,

n∑j=1

dγj

dtEj

n∑l=1

dγl

dtEl

=

n∑j,k,l=1

dγj

dt

dγl

dtJkR (Ek, Ej)El

=

n∑j,k,l=1

Rikjldγj

dt

dγl

dtJkEi,

de modo que a equacao de Jacobi e equivalente ao sistema de equacoes diferenciais lineares de segundaordem:

d2J i

dt2+

n∑j,k,l=1

Rikjldγj

dt

dγl

dtJk = 0

para i = 1, . . . , n. Como o sistema e linear, a existencia e unicidade de solucoes esta garantida em todo ointervalo I, dadas condicoes iniciais.

Um campo vetorial ao longo de uma curva sempre pode ser decomposto nas suas componentes tangenciale normal:

V = V > ⊕ V ⊥.

No caso de campos de Jacobi, ambas as componentes sao tambem campos de Jacobi:

7.5 Proposicao. Seja γ : I −→M uma geodesica e J um campo vetorial ao longo de γ. Decomponha

J = J> ⊕ J⊥

nas suas componentes tangencial e normal, respectivamente. Entao J e um campo de Jacobi se e somentese J> e J⊥ sao campos de Jacobi.

Prova: Pela linearidade da equacao de Jacobi, se J>, J⊥ sao campos de Jacobi entao J e um campo deJacobi.

Reciprocamente, seja J um campo de Jacobi. Como J> e um multiplo escalar de γ′, temos

R(J>, γ′

)= 0,


dondeR (J, γ′) = R

(J⊥, γ′

).

Alem disso, como〈R (J, γ′) γ′, γ′〉 = R (J, γ′γ′, γ′) = 0,

temos que R (J, γ′) γ′ e normal a γ.Porque γ e uma geodesica, temos (

DV

dt

)>=DV >

dt,(

DV

dt

)⊥=DV ⊥

dt,

para qualquer campo V . De fato, para qualquer campo W temos

D

dt〈W,γ′〉 =

⟨DW

dt, γ′⟩

+

⟨W,

Dγ′

dt

⟩=

⟨DW

dt, γ′⟩,

de modo que 〈W,γ′〉 = 0 implica

⟨DW

dt, γ′⟩

= 0, isto e, se W e normal a geodesica γ, entao sua derivada

covarianteDW

dttambem e normal a γ; da mesma forma, se W e um campo tangente a γ, entao sua derivada

covarianteDW

dttambem e tangente a γ, pois se W = fγ′, entao

DW

dt=df

dtγ′ + f

Dγ′

dt=df

dtγ′.

Logo, (D2J

dt2

)>=D2J>

dt2,(

D2J

dt2

)⊥=D2J⊥

dt2.

Portanto, a equacao de JacobiD2J

dt2+R (J, γ′) γ′ = 0

da origem as duas equacoes de Jacobi

D2J>

dt2+R

(J>, γ′

)γ′ = 0,

D2J⊥

dt2+R

(J⊥, γ′

)γ′ = 0.

7.6 Exemplo. Existem sempre dois campos de Jacobi tangenciais triviais ao longo de uma geodesica γ:

J0 (t) = γ′ (t) (7.4)

que satisfaz as condicoes iniciais

J0 (0) = γ′ (0) eDJ0

dt(0) = 0


eJ1 (t) = tγ′ (t) (7.5)

que satisfaz as condicoes iniciais

J1 (0) = 0 eDJ1

dt(0) = γ′ (0) .

O primeiro e um campo de Jacobi porque

D2J0

dt2=D

dt

Dγ′

dt=D

dt0 = 0,

R (J0, γ′) γ′ = R (γ′, γ′) γ = 0.

O segundo e um campo de Jacobi porque

D2J1

dt2=D

dt

DJ1

dt=D

dt

(γ′ + t

Dγ′

dt

)=Dγ′

dt= 0,

R (J1, γ′) γ′ = R (tγ′, γ′) γ′ = tR (γ′, γ′) γ′ = 0.

De fato, J0 e o campo variacional da variacao F (s, t) = γ (t+ s), enquanto que J1 e o campo variacionalda variacao F (s, t) = γ (tes). Como estas variacoes sao apenas reparametrizacoes das geodesicas γ, elas naopodem dizer mais nada do que a propria γ.

Devido ao visto no exemplo anterior, apenas campos de Jacobi normais ao longo de γ sao interessantes,capazes de fornecer informacao geometrica nova.

7.7 Proposicao. Seja γ : I −→M uma geodesica, t0 ∈ I e J um campo de Jacobi ao longo de γ. Entao

〈J (t) , γ′ (t)〉 = At+B,

onde

A =

⟨DJ

dt(t0) , γ′ (t0)

⟩,

B = 〈J (t0) , γ′ (t0)〉 −⟨DJ

dt(t0) , γ′ (t0)

⟩t0.

Em particular, um campo de Jacobi ao longo de γ e normal a γ′ se e somente se

J (t0) ,DJ

dt(t0) ⊥ γ′ (t0) .

Alem disso, qualquer campo de Jacobi ortogonal a γ′ em dois pontos e um campo normal.Em particular, o subespaco dos campos de Jacobi tangenciais tem dimensao 2, enquanto que o subespaco

dos campos de Jacobi normais tem dimensao 2n− 2.

Prova: Pela compatibilidade da metrica,

d2

dt2〈J, γ′〉 =

d

dt

(⟨DJ

dt, γ′⟩

+

⟨J,Dγ′

dt

⟩)=

d

dt

⟨DJ

dt, γ′⟩

=

⟨D2J

dt2, γ′⟩

+

⟨DJ

dt,Dγ′

dt

⟩=

⟨D2J

dt2, γ′⟩

= −〈R (J, γ′) γ′, γ′〉= −R (J, γ′, γ′, γ′)

= 0.


Logo,f (t) = 〈J (t) , γ′ (t)〉 = At+B

para alguns A,B ∈ R. Como

f (t0) = 〈J (t0) , γ′ (t0)〉 ,

f ′ (t0) =

⟨DJ

dt(t0) , γ′ (t0)

⟩,

segue a identidade enunciada. Consequentemente, f ≡ 0 se e somente se J (t0) ,DJ

dt(t0) ⊥ γ′ (t0). Da mesma

forma, se J se anula em dois pontos, entao f e a funcao linear nula.

7.8 Proposicao. Dados p ∈M , v ∈ TpM tal que expp (v) esta definido e w ∈ TvTpM = TpM , considere avariacao geodesica

F (s, t) = expp (tv (s)) ,

onde v (s) e uma curva em TpM com v (0) = v e v′ (0) = w. Entao o campo de Jacobi

J (t) =∂F

∂s(0, t) = d

(expp

)tvtw

ao longo da geodesica radial γ : [0, 1] −→M dada por γ (t) = expp (tv) satisfaz

J (0) = 0,

DJ

dt(0) = w.

Prova: E obvio que J (0) = 0. Para mostrar que

DJ

dt(0) = w,

calculamos

DJ

dt(t) =

D

dt

[d(expp

)tvtw]

=D

dt

[td(expp

)tvw]

= d(expp

)tvw + t

D

dt

[d(expp

)tvw].

Logo,DJ

dt(0) = d

(expp

)0w = w.

Em coordenadas normais, e facil calcular campos de Jacobi:

7.9 Proposicao. Sejam p ∈ M ,(x1, . . . , xn

)coordenadas normais centradas em p e γ : I −→ M uma

geodesica radial partindo de p. Entao, para cada vetor V ∈ TpM , o campo de Jacobi ao longo de γ tal que

J (0) = 0,

DJ

dt(0) = V,

e dado por

J (t) =

n∑i=1

tV i∂

∂xi

∣∣∣∣γ(t)

.


Prova: Se J (t) e um campo ao longo de γ definido pela formula acima, temos

J (0) = 0

e (usando a formula da derivada covariante em coordenadas normais)

DJ

dt(0) =

n∑k=1

dJkdt

(0) +

n∑i,j=1

dγi

dt(0) Γkij (0) Jj (0)

∂

∂xk(0)

=

n∑k=1

dJk

dt(0)

∂

∂xk(0)

=

n∑k=1

V k∂

∂xk(0)

= V.

Pelo teorema de existencia e unicidade, basta provar que J e um campo de Jacobi; mostraremos que J e ocampo variacional de uma variacao geodesica. De fato, se W = γ′ (0), como γ e uma geodesica radial, ela edada por

γ (t) = expp (tW ) ;

em coordenadas, podemos escrever simplesmente γ (t) = tW . Defina a variacao geodesica

F (s, t) = expp (t (W + sV )) ;

em coordenadas, podemos escrever simplesmente F (s, t) = t (W + sV ). Observe que v (s) = W +sV satisfazv (0) = W e v′ (0) = V . Como por definicao

∂

∂xi

∣∣∣∣γ(t)

= d(expp

)tW

ei,

segue que o campo variacional de F e

∂F

∂s(0, t) = d

(expp

)tW

(tV ) =

n∑i=1

tV i∂

∂xi

∣∣∣∣γ(t)

= J (t) .

7.3 Campos de Jacobi em Variedades de Curvatura Seccional Cons-tante

Para metricas com curvatura seccional constante, temos uma formula explıcita para campos de Jacobi deum tipo diferente, expressando um campo de Jacobi como o multiplo escalar de um campo vetorial paralelo.

7.10 Proposicao. Seja M uma variedade riemanniana com curvatura seccional constante K e γ : I −→Muma geodesica unitaria. Os campos de Jacobi normais ao longo de γ que se anulam em t = 0 sao dados por

J (t) = ρ (t)E (t) ,

onde E e um campo paralelo normal ao longo de γ e

ρ (t) =

t se K = 0,

R sent

Rse K =

1

R2> 0,

R senht

Rse K = − 1

R2< 0.


Prova: Como M tem curvatura seccional constante K, seu endomorfismo curvatura e dado por

R (X,Y )Z = K [〈Y,Z〉X − 〈X,Z〉Y ] ,

conforme vimos no capıtulo anterior. Logo, como ‖γ′‖ = 1, se J e um campo de Jacobi normal temos que

R (J, γ′) γ′ = K [〈γ′, γ′〉 J − 〈J, γ′〉 γ′] = KJ.

Portanto, a equacao de Jacobi para um campo normal de Jacobi ao longo de uma geodesica unitaria em umavariedade com curvatura seccional constante K e

D2J

dt2+KJ = 0.

Escolhendo um campo vetorial paralelo normal E (t) ao longo de γ e substituindo J (t) = ρ (t)E (t) naequacao de Jacobi podemos obter uma solucao para esta equacao para quaisquer condicoes iniciais; peloteorema de existencia e unicidade ela e a unica solucao para a equacao. De fato, temos

D2 (ρE)

dt2=D

dt

D (ρE)

dt=D

dt

(dρ

dtE + ρ

DE

dt

)=D

dt

(dρ

dtE

)=d2ρ

dt2E +

dρ

dt

DE

dt

=d2ρ

dt2E,

logo, substituindo J (t) = ρ (t)E (t) na equacao de Jacobi produz(d2ρ

dt2+Kρ

)E = 0

e a equacao linear de segunda ordemd2ρ

dt2+Kρ = 0

tem as solucoes dadas no enunciado para as condicoes iniciais ρ (0) = 0 e ρ′ (0) = 1. Combinando as formulas destes dois lemas, obteremos nossa primeira aplicacao geometrica dos campos de

Jacobi: uma formula explıcita para metricas de curvatura constante em coordenadas normais; desta formulaseguira que variedades de curvatura seccional constante sao localmente isometricas.

7.11 Proposicao. Seja (M, g) uma variedade riemanniana com curvatura seccional constante K. Sejamp ∈ M ,

(x1, . . . , xn

)coordenadas normais centradas em p e r a funcao distancia radial. Denote por ‖·‖g

a norma de um vetor tangente na metrica g e por ‖·‖e a norma euclidiana de um vetor tangente nestascoordenadas. Para cada q nesta vizinhanca normal de p e para cada V ∈ TqM escreva

V = Vr + VS ,

onde Vr esta na direcao de ∂/∂r e VS e tangente a esfera Sr (p) que passa por q. Entao a metrica g podeser escrita

‖V ‖2g =

‖Vr‖2e + ‖VS‖2e se K = 0,

‖Vr‖2e +R2

r2

(sen2 r

R

)‖VS‖2e se K =

1

R2> 0,

‖Vr‖2e +R2

r2

(senh2 r

R

)‖VS‖2e se K = − 1

R2< 0.


Prova: Pelo lema de Gauss, a decomposicao V = Vr + VS e ortogonal, logo

‖V ‖2g = ‖Vr‖2g + ‖VS‖2g .

Como a distancia radial e a distancia euclideana (tambem consequencia do lema de Gauss) temos que

‖Vr‖g = ‖Vr‖e .

Falta apenas calcular ‖VS‖g.Considere a geodesica radial unitaria de p a q. Pela Proposicao 7.9, o campo

J (t) =

n∑i=1

t

rV iS

∂

∂xi

∣∣∣∣γ(t)

e um campo de Jacobi J (t) que se anula em p e tal que J (r) = VS . Em particular, J e normal a γ′ emp e q e portanto J e normal ao longo de γ pela Proposicao 7.7. Logo, J possui a representacao dada naProposicao 7.10. Segue que

‖VS‖2g = ‖J (r)‖2 = |ρ (r)|2 ‖E (r)‖2 = |ρ (r)|2 ‖E (0)‖2 = |ρ (r)|2∥∥∥∥DJdt (0)

∥∥∥∥2

,

ja que ρ′ (0) = 1. Mas

DJ

dt(0) =

n∑i=1

1

rV iS

∂

∂xi

∣∣∣∣p

.

Como g = e em p, segue o resultado.

7.12 Proposicao (Unicidade Local de Metricas de Curvatura Constante). Sejam (M, g) e(M, g

)variedades

riemannianas com curvatura seccional constante K. Entao (M, g) e(M, g

)sao localmente isometricas.

Prova: Sejam p ∈M e p ∈ M pontos quaisquer e Bε (p) , Bε (p) bolas geodesicas, em particular vizinhancasnormais parametrizadas por

ϕ = expp : Bε (0) −→ Bε (p) ,

ϕ = expp : Bε (0) −→ Bε (p) .

Como as metricas na bola Bε (0) ⊂ Rn, onde identificamos Rn com ambos os espacos tangentes TpM e TpMsao identicas pela Proposicao 7.11, segue que ϕ ϕ−1 e uma isometria.

7.4 Velocidade de Afastamento das Geodesicas e Curvatura Sec-cional

Se r (t) e tal que

limt→0

r (t)

tk= 0,

denotaremos este fato porr (t) = o

(tk).


7.13 Lema. Sejam p ∈M e γ : I −→M a geodesica radial partindo de p com velocidade inicial γ′ (0) = V .Seja W ∈ TpM com ‖W‖ = 1 e considere o campo de Jacobi J tal que

J (0) = 0,

DJ

dt(0) = W.

Entao

‖J (t)‖2 = t2 − 1

3R (V,W,W, V ) t4 + o

(t4).

Em particular, se γ e uma geodesica unitaria,

‖J (t)‖2 = t2 − 1

3K (V,W ) t4 + o

(t4)

e

‖J (t)‖ = t− 1

6K (V,W ) t3 + o

(t3).

Prova: Para simplificar a notacao, denotaremos

J ′ (t) =DJ

dt(t) ,

J ′′ (t) =D2J

dt2(t)

e, em geral,

J (k) (t) =DkJ

dtk(t) .

Para provar o resultado, aplicaremos a formula de Taylor a funcao real f : I −→ R definida por

f (t) = ‖J (t)‖2 = 〈J (t) , J (t)〉 .

Temos

f ′ = 2 〈J, J ′〉 ,f ′′ = 2 〈J ′, J ′〉+ 2 〈J, J ′′〉

= 2 ‖J ′‖2 + 2 〈J, J ′′〉 ,

e

f (0) = ‖J (0)‖2 = 0,

f ′ (0) = 2 〈J (0) , J ′ (0)〉 = 0,

f ′′ (0) = 2 ‖J ′ (0)‖2 + 2 〈J (0) , J ′′ (0)〉 = 2 ‖J ′ (0)‖2 = 2.

Como

f ′′′ = 2 〈J ′′, J ′〉+ 2 〈J ′, J ′′〉+ 2 〈J ′, J ′′〉+ 2 〈J, J ′′′〉= 6 〈J ′, J ′′〉+ 2 〈J, J ′′′〉

eJ ′′ (0) = −R (J (0) , γ′ (0)) γ′ (0) = −R (0, V )V = 0,

segue quef ′′′ (0) = 6 〈J ′ (0) , J ′′ (0)〉+ 2 〈J (0) , J ′′′ (0)〉 = 0.


Falta apenas calcular a ultima derivada. Temos

f (4) = 6 〈J ′′, J ′′〉+ 6 〈J ′, J ′′′〉+ 2 〈J ′, J ′′′〉+ 2⟨J, J (4)

⟩= 6 ‖J ′′‖2 + 8 〈J ′, J ′′′〉+ 2

⟨J, J (4)

⟩,

de modo quef (4) (0) = 8 〈J ′ (0) , J ′′′ (0)〉 = 8 〈W,J ′′′ (0)〉 .

Mas

〈J ′′′ (0) ,W 〉 =

⟨D

dtJ ′′ (t)

∣∣∣∣t=0

,W

⟩= −

⟨D

dtR (J (t) , γ′ (t)) γ′ (t)

∣∣∣∣t=0

,W

⟩.

Afirmamos que ⟨D

dtR (J (t) , γ′ (t)) γ′ (t)

∣∣∣∣t=0

,W

⟩= R (V,W,W, V ) .

De fato, como

〈R (J, γ′) γ′, J ′〉 = R (J, γ′, γ′, J ′)

= R (γ′, J ′, J, γ′)

= 〈R (J ′, γ′) γ′, J〉 ,

segue qued

dt〈R (J, γ′) γ′, J ′〉 =

d

dt〈R (J ′, γ′) γ′, J〉 ,

donde ⟨D

dtR (J, γ′) γ′, J ′

⟩+ 〈R (J, γ′) γ′, J ′′〉 =

⟨D

dtR (J ′, γ′) γ′, J

⟩+ 〈R (J ′, γ′) γ′, J ′〉 .

Calculando em t = 0, como J (0) = J ′′ (0) = 0 e J ′ (0) = W , temos que⟨D

dtR (γ′ (t) , J (t)) γ′ (t)

∣∣∣∣t=0

,W

⟩= 〈R (W,V )V,W 〉 = R (W,V, V,W ) .

Consequentemente,f (4) (0) = −8R (V,W,W, V ) .

Segue portanto da formula de Taylor que

f (t) = t2 − 1

3R (V,W,W, V ) t4 + o

(t4).

Quando, ‖V ‖ = ‖W‖ = 1, temos R (V,W,W, V ) = K (V,W ) e portanto

f (t) = t2 − 1

3K (V,W ) t4 + o

(t4).

Para provar a ultima expressao do enunciado, seja

g (t) = ‖J (t)‖ =√f (t).


Entao f (t) = [g (t)]2

e

f ′ (t) = 2g (t) g′ (t) ,

f ′′ (t) = 2 [g′ (t)]2

+ 2g (t) g′′ (t) ,

f ′′′ (t) = 6g′ (t) g′′ (t) + 2g (t) g′′′ (t) ,

f (4) (t) = 6 [g′′ (t)]2

+ 8g′ (t) g′′′ (t) + 2g (t) g(4) (t) .

Daı

g (0) = 0,

f ′′ (0) = 2 [g′ (0)]2

+ 2g (0) g′′ (0) =⇒ 2 = 2 [g′ (0)]2

+ 0

=⇒ g′ (0) = 1,

f ′′′ (0) = 6g′ (0) g′′ (0) + 2g (0) g′′′ (0) =⇒ 0 = 6g′′ (0) + 0

=⇒ g′′ (0) = 0,

f (4) (0) = 6 [g′′ (0)]2

+ 8g′ (0) g′′′ (0) + 2g (0) g(4) (0) =⇒ −8K (V,W ) = 0 + 8g′′′ (0) + 0

=⇒ g′′′ (0) = −K (V,W ) .

Segue da formula de Taylor que

g (t) = t− 1

6K (V,W ) t3 + o

(t3).

Este resultado produz a relacao entre a aproximacao ou espalhamento das geodesica em um ponto de acordocom a curvatura seccional neste ponto. De fato, considere

F (s, t) = expp (tv (s)) ,

onde v (s) e uma curva de TpM com v (0) = v, v′ (0) = w e ‖v (s)‖ = ‖w‖ = 1. Considere os raios partindoda origem, eles se afastam do raio tv com velocidade absoluta∥∥∥∥ ∂

∂stv (s)

∣∣∣∣s=0

∥∥∥∥ = ‖tv′ (0)‖ = t ‖w‖ = t.

Agora considere as geodesicas radiais Fs (t) partindo de p. Como

J (t) = d(expp

)tvtw =

∂F

∂s(t, 0)

e um campo de Jacobi que satisfaz

J (0) = 0,

DJ

dt(0) = w,

ele satisfaz as hipoteses do enunciado do Lema 7.13 e portanto∥∥∥∥∂F∂s (t, 0)

∥∥∥∥ = t− 1

6K (V,W ) t3 + o

(t3).

Isso significa que as geodesicas radiais Fs (t) se afastam da geodesica radial F0 (t) = expp (tv) com velocidadeque difere de t por uma termo de terceira ordem cujo sinal e o oposto do sinal da curvatura seccional davariedade em p associada ao plano σ gerado por v e w. Isso significa que se Kp (σ) > 0 as geodesicas seafastam menos que os raios do espaco tangente TpM , enquanto que se Kp (σ) < 0 as geodesicas se afastammais que os raios do espaco tangente TpM .


7.5 Pontos Conjugados

Agora vamos estudar as singularidades da aplicacao exponencial atraves dos campos de Jacobi. A existenciade uma tal relacao e sugerida pela Proposicao 7.8 e pode ser vista de maneira concreta na esfera SnR. Todasas geodesicas que saem de um ponto p se encontram no seu ponto antipodal −p, que esta a uma distanciaπR de p ao longo de qualquer uma destas geodesicas. A aplicacao exponencial e um difeomorfismo sobre abola geodesica BπR (0) ⊂ TpM mas deixa de ser um difeomorfismo na fronteira da bola. E pela Proposicao7.10, os campos de Jacobi normais ao longo destas geodesicas que se anulam em p tem o seu proximo zeroexatamente em −p. Por outro lado, a Proposicao 7.9 mostra que em uma vizinhanca normal (ou seja umavizinhanca que e a imagem de um conjunto onde expp e um difeomorfismo) nenhum campo de Jacobi quese anula em p pode se anular em qualquer ponto da vizinhanca. Assim deve se esperar existir uma relacaoentre as singularidades da aplicacao exponencial e os zeros de um campo de Jacobi.

7.14 Definicao. Seja γ : [a, b] −→M uma geodesica. Dizemos que o ponto q = γ (b) e conjugado ao pontop = γ (a) ao longo de γ se existe um campo de Jacobi J ao longo de γ nao identicamente nulo que se anulaem p e q, isto e, tal que

J (a) = J (b) = 0.

A multiplicidade do ponto conjugado q e a dimensao do subespaco dos campos de Jacobi que se anulamem p e q.

Pelo teorema de existencia e unicidade, a dimensao do espaco dos campos de Jacobi que se anulam em p en; como o campo de Jacobi tangencial J (t) = tγ′ (t) so se anula em p (de fato, qualquer campo de Jacobitangencial que se anula em dois pontos e necessariamente nulo pela Proposicao 7.7), a multiplicidade deum ponto conjugado e no maximo n − 1. Em particular, na definicao de pontos conjugados, o ponto q econjugado a p se e somente se existir um campo de Jacobi normal ao longo de γ nao identicamente nulo quese anula em p e q. O numero n− 1 e atingido na esfera pela Proposicao 7.10, ja que para pontos antipodaisexiste um campo de Jacobi que anula neles para cada campo paralelo normal.

7.15 Proposicao. Sejam p ∈ M , v ∈ TpM e q = expp (v). Entao expp e um difeomorfismo local em umavizinhanca de v se e somente se q nao e conjugado a p ao longo da geodesica γ (t) = expp (tv).

Alem disso, a multiplicidade de q e igual a dim ker d(expp

)v.

Prova: Como vimos na Proposicao 7.8, todo campo de Jacobi ao longo de γ tal que J (0) = 0 e da forma

J (t) = d(expp

)tvtw.

para algum vetor w ∈ TpM e J ′ (0) = w. Portanto, q e conjugado a p se e somente se

J (1) = d(expp

)vw = 0,

isto e, se e somente se v e ponto crıtico de expp. Como os campos de Jacobi J1, . . . , Jk que se anulam em psao linearmente independentes se e somente se os vetores

J ′1 (0) = w1, . . . , J′k (0) = wk

sao linearmente independentes em TpM , isso conclui a demonstracao.

7.16 Proposicao. Seja γ : [a, b] −→M uma geodesica tal que γ (b) nao e conjugado a γ (a).Dados V ∈ Tγ(a)M e W ∈ Tγ(b)M , existe um unico campo de Jacobi J ao longo de γ tal que

J (a) = V,

J (b) = W.


Prova: Seja J o espaco vetorial dos campos de Jacobi ao longo de γ tais que J (a) = 0. Este espaco tem

dimensao n, correspondente as n escolhas linearmente independentes deDJ

dt(a). Defina uma aplicacao linear

Φ : J −→ Tγ(b)M porΦ (J) = J (b) .

Como γ (b) nao e conjugado a γ (a), Φ e injetiva. Ja que dim J = n = dimTγ(b)M , segue que Φ e umisomorfismo. Logo existe J1 ∈ J tal que

J1 (b) = W,

ou seja, existe um unico campo de Jacobi J1 ao longo de γ tal que

J1 (a) = 0,

J1 (b) = W.

Considerando o espaco vetorial J dos campos de Jacobi ao longo de γ tais que J (b) = 0 e a aplicacao linear

Ψ : J −→ Tγ(a)M porΨ (J) = J (a) ,

concluımos de maneira analoga que existe um unico campo de Jacobi J2 ao longo de γ tal que

J2 (a) = V,

J2 (b) = 0.

O campo J = J1 + J2 e o campo de Jacobi que satisfaz as condicoes do enunciado. A unicidade segueimediatamente do fato de γ (b) nao ser conjugado a γ (a), pois a diferenca de dois campos de Jacobi diferentesque satisfazem as condicoes do enunciado seria um campo de Jacobi nao trivial se anulando em γ (a) e γ (b).

Capıtulo 8

Formulas de Variacao

Como geodesicas minimizam distancias, elas podem ser caracterizadas como mınimos do funcional compri-mento no espaco das curvas diferenciaveis, ou seja, solucoes de um problema variacional. Ao inves de lidarcom espacos de funcoes, no entanto, nos nos restringiremos a considerar variacoes de curvas, o que simpli-ficara bastante a maquinaria necessaria. A Definicao 4.23 de uma variacao acrescentamos alguns conceitosnovos:

8.1 Definicao. Sejam γ : [a, b] −→ M uma curva diferenciavel por partes e F : (−ε, ε)× [a, b] −→ M umavariacao de γ.

Dizemos que a variacao e propria se ela tem extremidades fixas, isto e, se todas as curvas principais davariacao possuem o mesmo ponto inicial e final:

Fs (a) = γ (a) e Fs (b) = γ (b)

para todo s. O campo variacional V de F e proprio se V (a) = V (b) = 0.

Claramente, o campo variacional de uma variacao propria e proprio. Lembre-se que se a curva γ e dife-renciavel por partes e deixa de ser diferenciavel apenas nos pontos t1, . . . , tk, entao por definicao as curvasprincipais da variacao Fs (t) : [a, b] −→M tambem sao em geral apenas diferenciaveis por partes para cada se podem deixar de ser diferenciaveis nos pontos t1, . . . , tk. Por outro lado, as curvas transversais da variacaoFt (s) : (−ε, ε) −→M sao diferenciaveis (suaves) em todo ponto, inclusive em t = t1, . . . , tk, de modo que ocampo variacional de F tambem esta definido nestes pontos.

Primeiro estabelecemos o fato que todo campo ao longo de uma curva e o campo variacional de algumavariacao:

8.2 Proposicao. Dado um campo vetorial diferenciavel por partes V (t) ao longo de uma curva diferenciavelpor partes γ : [a, b] −→M , existe uma variacao F de γ tal que V e o campo variacional de F .

Alem disso, se V e proprio, entao podemos escolher tambem F propria.

Prova: Basta definirF (s, t) = expγ(t) (sV (t)) .

Como γ ([a, b]) e compacto, podemos cobri-lo por um numero finito de vizinhancas uniformemente normais,assegurando que expγ(t) esta definida para todo W ∈ Tγ(t)M tal que ‖W‖ < δ para algum δ > 0; logo, existeε > 0 tal que expγ(t) (sV (t)) esta definida para todo |s| < ε. Alem disso, temos

F (0, t) = expγ(t) (0) = γ (t)

e∂F

∂s(0, t) =

∂

∂sexpγ(t) (sV (t))

∣∣∣∣s=0

= d(

expγ(t)

)0V (t) = V (t) .

174


Se V (a) = V (b) = 0, entao

F (s, a) = expγ(a) (sV (a)) = expγ(a) (0) = γ (a) ,

F (s, b) = expγ(b) (sV (b)) = expγ(b) (0) = γ (b) .

Note pela demonstracao que se γ e uma curva regular por partes, entao F tambem e uma variacao regularpor partes, no sentido obvio.

8.1 Formula da Primeira Variacao

Para comparar o comprimento de γ com os comprimentos das curvas vizinhas de uma variacao de γ intro-duziremos o funcional comprimento de arco:

8.3 Definicao. Sejam γ : [a, b] −→ M uma curva diferenciavel por partes e F : (−ε, ε)× [a, b] −→ M umavariacao de γ. Definimos o funcional comprimento de arco de F

L : (−ε, ε) −→ R

por

L (s) =

∫ b

a

∥∥∥∥∂F∂t (s, t)

∥∥∥∥ dt.Denotamos tambem

L (γ) = L (0) =

∫ b

a

‖γ′ (t)‖ dt.

Do ponto de vista computacional, e mais conveniente em geral usar o funcional energia:

8.4 Definicao. Sejam γ : [a, b] −→ M uma curva diferenciavel por partes e F : (−ε, ε)× [a, b] −→ M umavariacao de γ. Definimos o funcional energia de F

E : (−ε, ε) −→ R

por

E (s) =

∫ b

a

∥∥∥∥∂F∂t (s, t)

∥∥∥∥2

dt.

Denotamos tambem

E (γ) = E (0) =

∫ b

a

‖γ′ (t)‖2 dt.

8.5 Proposicao. Se γ : [a, b] −→M e uma curva diferenciavel por partes, entao

[L (γ)]2 6 (b− a)E (γ) .

Prova: Basta tomar f = 1 e g = ‖γ′ (t)‖ na desigualdade de Schwarz:(∫ b

a

fg dt

)2

6∫ b

a

f2 dt

∫ b

a

g2 dt.


8.6 Lema. Sejam p, q ∈ M e γ : [a, b] −→ M uma geodesica minimizante ligando p a q. Entao, para todacurva diferenciavel por partes α : [a, b] −→M ligando p a q, vale

E (γ) 6 E (α) ,

com a igualdade E (γ) = E (α) valendo se e somente se α e uma geodesica minimizante e portanto ela ediferencıavel. Em particular,

dE

ds(0) = 0.

Prova: Se γ e uma geodesica, entao ‖γ′ (t)‖ ≡ c, de modo que

L (γ) =

∫ b

a

‖γ′ (t)‖ dt = c (b− a)

E (γ) =

∫ b

a

‖γ′ (t)‖2 dt = c2 (b− a) .

Portanto,(b− a)E (γ) = [L (γ)]

2 6 [L (α)]2 6 (b− a)E (α) ,

donde segue o resultado. Tambem desta desigualdade segue que se E (γ) = E (α) entao L (γ) = L (α)tambem, o que implica que α e uma geodesica, como vimos na Proposicao 4.28.

Denotaremos

γ′(t+0)

= limt→t+0

γ′ (t) ,

γ′(t−0)

= limt→t−0

γ′ (t) .

A primeira derivada de um funcional e chamada a primeira variacao.

8.7 Teorema (Formula da Primeira Variacao da Energia). Sejam γ : [a, b] −→M uma curva diferenciavelpor partes, F : (−ε, ε)× [a, b] −→M uma variacao de γ e V (t) o campo variacional de F . Entao

1

2

dE

ds(0) = 〈V (b) , γ′ (b)〉 − 〈V (a) , γ′ (a)〉 −

∫ b

a

⟨V (t) ,

Dγ′

dt(t)

⟩dt

−k∑i=1

⟨V (ti) , γ

′ (t+i )− γ′ (t−i )⟩ .Prova: Por definicao,

E (s) =

∫ b

a

⟨∂F

∂t(s, t) ,

∂F

∂t(s, t)

⟩dt =

k∑i=0

∫ ti+1

ti

⟨∂F

∂t(s, t) ,

∂F

∂t(s, t)

⟩dt.


Logo, usando o Lema da Simetria (Lema 4.25),

dE

ds(s) =

k∑i=0

∫ ti+1

ti

d

ds

⟨∂F

∂t,∂F

∂t

⟩dt

= 2

k∑i=0

∫ ti+1

ti

⟨D

ds

∂F

∂t,∂F

∂t

⟩dt

= 2

k∑i=0

∫ ti+1

ti

⟨D

dt

∂F

∂s,∂F

∂t

⟩dt

= 2

k∑i=0

∫ ti+1

ti

d

dt

⟨∂F

∂s,∂F

∂t

⟩dt− 2

k∑i=0

∫ ti+1

ti

⟨∂F

∂s,D

dt

∂F

∂t

⟩dt

= 2

k∑i=0

⟨∂F

∂s,∂F

∂t

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

− 2

k∑i=0

∫ ti+1

ti

⟨∂F

∂s,D

dt

∂F

∂t

⟩dt.

Daı,

1

2

dE

ds(0) =

k∑i=0

⟨∂F

∂s(0, t) ,

∂F

∂t(0, t)

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

−k∑i=0

∫ ti+1

ti

⟨∂F

∂s(0, t) ,

D

dt

∂F

∂t(0, t)

⟩dt

=

k∑i=0

〈V (t) , γ′ (t)〉|ti+1

ti−

k∑i=0

∫ ti+1

ti

⟨V (t) ,

Dγ′

dt(t)

⟩dt

=

k∑i=0

〈V (t) , γ′ (t)〉|ti+1

ti−∫ b

a

⟨V (t) ,

Dγ′

dt(t)

⟩dt.

Como

k∑i=0

〈V (t) , γ′ (t)〉|ti+1

ti

=⟨V (t1) , γ′

(t−1)⟩− 〈V (a) , γ′ (a)〉

+⟨V (t2) , γ′

(t−2)⟩−⟨V (t1) , γ′

(t+1)⟩

+ . . .+⟨V (tk) , γ′

(t−k)⟩−⟨V (tk−1) , γ′

(t+k−1

)⟩+ 〈V (b) , γ′ (b)〉 −

⟨V (tk) , γ′

(t+k)⟩

= 〈V (b) , γ′ (b)〉 − 〈V (a) , γ′ (a)〉 −k∑i=1

⟨V (ti) , γ

′ (t+i )− γ′ (t−i )⟩ ,isso termina a demonstracao.

8.8 Corolario. Uma curva diferenciavel por partes γ : [a, b] −→ M e uma geodesica se e somente se, paratoda variacao propria de γ vale

dE

ds(0) = 0.

Prova: Se γ e uma geodesica, o resultado segue do Lema 8.6, mas tambem segue diretamente da formulada primeira variacao da energia, pois

Dγ′

dt= 0,

γ′(t+i)

= γ′(t−i)

= γ′ (ti) ,


logodE

ds(0) = 2 〈V (b) , γ′ (b)〉 − 2 〈V (a) , γ′ (a)〉 = 0

porque V (a) = V (b) = 0 ja que V e propria.

Reciprocamente, suponha quedE

ds(0) = 0 para toda variacao propria de γ. Seja f : [a, b] −→ R uma

funcao diferenciavel por partes satisfazendo

f (ti) = 0,

f (t) > 0 se t 6= ti,

para i = 0, . . . , k + 1. Defina

V (t) = f (t)Dγ′

dt(t)

e construa uma variacao propria F de γ tal que V e o campo variacional proprio de F (Proposicao 8.2).Entao

0 =1

2

dE

ds(0) = −

∫ b

a

⟨f (t)

Dγ′

dt(t) ,

Dγ′

dt(t)

⟩dt = −

∫ b

a

f (t)

∥∥∥∥Dγ′dt(t)

∥∥∥∥2

dt,

de modo queDγ′

dt= 0

em cada intervalo (ti, ti+1).

Para calcularDγ′

dtnos pontos ti, defina

V (t) =

g (t) γ′ (t) se t 6= t1, . . . , tk,g (ti)

[γ′(t+i)− γ′

(t−i)]

se t = t1, . . . , tk,

onde g : [a, b] −→ R e uma funcao suave tal que

g (a) = g (b) = 0,

g (t) > 0 se t 6= a, b,

e construa uma variacao propria G de γ tal que V e o campo variacional proprio de G. ComoDγ′

dt= 0 nos

intervalos (ti, ti+1), segue que

0 =1

2

dE

ds(0) = −

k∑i=1

⟨V (ti) , γ

′ (t+i )− γ′ (t−i )⟩ = −k∑i=1

g (ti)∥∥γ′ (t+i )− γ′ (t−i )∥∥2

,

dondeγ′(t+i)

= γ′(t−i)

= γ′ (ti) ,

ou seja, γ e uma curva diferenciavel, pelo menos de classe C1. LogoDγ′

dt(ti) = 0 para todo i. Consequen-

temente, γ satisfaz a equacao geodesica. Por unicidade de solucoes, γ e de classe C∞ e e portanto umageodesica. Assim, geodesicas sao caracterizadas como pontos crıticos da funcao energia de variacoes proprias, logo saosolucoes de um problema variacional.

Podemos tambem caracterizar as geodesicas como pontos crıticos da funcao comprimento de arco, o quee mais natural. Apenas alguns detalhes tecnicos adicionais sao necessarios, tais como considerar curvas comvelocidade unitaria por partes (e nos referimos a observacao apos a demonstracao da Proposicao 8.2). Aformula da primeira variacao do comprimento de arco a seguir pode ser usada para produzir uma demons-tracao alternativa de que curvas que minimizam o comprimento sao geodesicas e mostrar que geodesicas saopontos crıticos do funcional comprimento de arco (veja [Lee 2], Theorem 6.6 e Corollary 6.7).


8.9 Teorema (Formula da Primeira Variacao do Comprimento de Arco). Sejam γ : [a, b] −→M uma curvaunitaria diferenciavel por partes, F : (−ε, ε) × [a, b] −→ M uma variacao propria de γ e V (t) o campovariacional de F . Entao

dL

ds(0) = −

∫ b

a

⟨V (t) ,

Dγ′

dt(t)

⟩dt−

k∑i=1

⟨V (ti) , γ

′ (t+i )− γ′ (t−i )⟩ .Prova: Temos

L (s) =

∫ b

a

⟨∂F

∂t(s, t) ,

∂F

∂t(s, t)

⟩1/2

dt =

k∑i=0

∫ ti+1

ti

⟨∂F

∂t(s, t) ,

∂F

∂t(s, t)

⟩1/2

dt.

Logo, usando o Lema da Simetria (Lema 4.25),

dL

ds(s) =

k∑i=0

∫ ti+1

ti

d

ds

⟨∂F

∂t,∂F

∂t

⟩1/2

dt

=

k∑i=0

∫ ti+1

ti

1

2

⟨∂F

∂t,∂F

∂t

⟩−1/2

2

⟨D

ds

∂F

∂t,∂F

∂t

⟩dt

=

k∑i=0

∫ ti+1

ti

∥∥∥∥∂F∂t∥∥∥∥−1⟨

D

dt

∂F

∂s,∂F

∂t

⟩dt

=

k∑i=0

∫ ti+1

ti

∥∥∥∥∂F∂t∥∥∥∥−1

d

dt

⟨∂F

∂s,∂F

∂t

⟩dt−

k∑i=0

∫ ti+1

ti

∥∥∥∥∂F∂t∥∥∥∥−1⟨

∂F

∂s,D

dt

∂F

∂t

⟩dt

=

k∑i=0

∥∥∥∥∂F∂t∥∥∥∥−1 ⟨

∂F

∂s,∂F

∂t

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

−k∑i=0

∫ ti+1

ti

∥∥∥∥∂F∂t∥∥∥∥−1⟨

∂F

∂s,D

dt

∂F

∂t

⟩dt.

Daı, como ∥∥∥∥∂F∂t (0, t)

∥∥∥∥ = ‖γ′ (t)‖ = 1,

dL

ds(0) =

k∑i=0

∥∥∥∥∂F∂t (0, t)

∥∥∥∥−1 ⟨∂F

∂s(0, t) ,

∂F

∂t(0, t)

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

−k∑i=0

∫ ti+1

ti

∥∥∥∥∂F∂t (0, t)

∥∥∥∥−1⟨∂F

∂s(0, t) ,

D

dt

∂F

∂t(0, t)

⟩dt

=

k∑i=0

〈V (t) , γ′ (t)〉|ti+1

ti−

k∑i=0

∫ ti+1

ti

⟨V (t) ,

Dγ′

dt(t)

⟩dt

=

k∑i=0

〈V (t) , γ′ (t)〉|ti+1

ti−∫ b

a

⟨V (t) ,

Dγ′

dt(t)

⟩dt

= −k∑i=1

⟨V (ti) , γ

′ (t+i )− γ′ (t−i )⟩− ∫ b

a

⟨V (t) ,

Dγ′

dt(t)

⟩dt.


8.2 Formula da Segunda Variacao

Como uma geodesica e um ponto de mınimo para o funcional energia ou funcional comprimento de arco, suaderivada primeira e zero, como vimos na secao anterior. Em particular, qualquer informacao sobre a energiade curvas vizinhas e dada pela derivada segunda. Esta informacao sera usada na proxima secao para obtero comportamento das geodesicas quando elas passam por um ponto conjugado.

8.10 Teorema (Formula da Segunda Variacao da Energia). Sejam γ : [a, b] −→ M uma geodesica, F :(−ε, ε)× [a, b] −→M uma variacao propria de γ e V (t) o campo variacional de F . Entao

1

2

d2E

ds2(0) = −

∫ b

a

⟨V (t) ,

D2V

dt2(t) +R (V (t) , γ′ (t)) γ′ (t)

⟩dt−

k∑i=1

⟨V (ti) ,

DV

dt

(t+i)− DV

dt

(t−i)⟩

.

Se γ e minimizante,d2E

ds2(0) > 0.

Prova: Na demonstracao da formula da primeira variacao vimos que

1

2

dE

ds(s) =

k∑i=0

⟨∂F

∂s(s, t) ,

∂F

∂t(s, t)

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

−k∑i=0

∫ ti+1

ti

⟨∂F

∂s(s, t) ,

D

dt

∂F

∂t(s, t)

⟩dt.

Logo,

1

2

d2E

ds2(s) =

k∑i=0

d

ds

⟨∂F

∂s,∂F

∂t

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

−∫ b

a

d

ds

⟨∂F

∂s,D

dt

∂F

∂t

⟩dt

=

k∑i=0

⟨D

ds

∂F

∂s,∂F

∂t

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

+

k∑i=0

⟨∂F

∂s,D

ds

∂F

∂t

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

−∫ b

a

⟨D

ds

∂F

∂s,D

dt

∂F

∂t

⟩dt−

∫ b

a

⟨∂F

∂s,D

ds

D

dt

∂F

∂t

⟩dt.

O primeiro termo e nulo:k∑i=0

⟨D

ds

∂F

∂s(0, t) ,

∂F

∂t(0, t)

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

= 0.

De fato, como a variacao e propria,∂F

∂s(s, a) =

∂F

∂s(s, b) = 0,

logoD

ds

∂F

∂s(0, a) =

D

ds

∂F

∂s(0, b) = 0.

Alem disso, por definicaoD

ds

∂F

∂se suave, logo

D

ds

∂F

∂s(0, ti)

esta definida e todos os termos da soma se anulam. Usando o Lema de Simetria temos que o segundo termo


em s = 0 e

k∑i=0

⟨∂F

∂s(0, t) ,

D

ds

∂F

∂t(0, t)

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

=

k∑i=0

⟨V (t) ,

D

dt

∂F

∂s(0, t)

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

=

k∑i=0

⟨V (t) ,

DV

dt(t)

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

=

k∑i=1

⟨V (ti) ,

DV

dt

(t+i)− DV

dt

(t−i)⟩

,

pois a variacao e propria logo seu campo de variacao tambem e proprio e V (a) = V (b) = 0. O terceirotermo tambem e nulo em s = 0, porque γ e uma geodesica:⟨

D

ds

∂F

∂s(0, t) ,

D

dt

∂F

∂t(0, t)

⟩=

⟨D

ds

∂F

∂s(0, t) ,

D

dtγ′ (t)

⟩= 0

Para o quarto termo, usando o Lema 7.1 e o Lema da Simetria (Lema 4.25) obtemos

D

ds

D

dt

∂F

∂t=D

dt

D

ds

∂F

∂t+R

(∂F

∂s,∂F

∂t

)∂F

∂t

=D

dt

D

dt

∂F

∂s+R

(∂F

∂s,∂F

∂t

)∂F

∂t.

Em s = 0 temos que o quarto termo e, portanto,∫ b

a

⟨∂F

∂s(0, t) ,

D

ds

D

dt

∂F

∂t(0, t)

⟩dt

=

∫ b

a

⟨∂F

∂s(0, t) ,

D2

dt2∂F

∂s(0, t) +R

(∂F

∂s(0, t) ,

∂F

∂t(0, t)

)∂F

∂t(0, t)

⟩dt

=

∫ b

a

⟨V (t) ,

D2V

dt2(t) +R (V (t) , γ′ (t)) γ′ (t)

⟩dt,

e segue o resultado.Se γ e minimizante, entao 0 e um ponto de mınimo para a funcao energia E (s), donde

d2E

ds2(0) > 0.

8.11 Corolario (Formula da Segunda Variacao da Energia para Campos Variacionais nao Proprios). Sejamγ : [a, b] −→M uma geodesica, F : (−ε, ε)× [a, b] −→M uma variacao de γ e V (t) o campo variacional deF . Entao

1

2

d2E

ds2(0) = −

∫ b

a

⟨V (t) ,

D2V

dt2(t) +R (V (t) , γ′ (t)) γ′ (t)

⟩dt−

k∑i=1

⟨V (ti) ,

DV

dt

(t+i)− DV

dt

(t−i)⟩

+

⟨V (b) ,

DV

dt(b)

⟩−⟨V (a) ,

DV

dt(a)

⟩+

⟨D

ds

∂F

∂s(0, b) , γ′ (b)

⟩−⟨D

ds

∂F

∂s(0, a) , γ′ (a)

⟩.


8.3 A Forma Indice de uma Geodesica

Se γ : [a, b] −→ M e uma geodesica, entao existe uma forma bilinear simetrica especial definida no espacovetorial V dos campos diferenciaveis por partes proprios ao longo de γ que da muita informacao geometricasobre γ; por exemplo, ela permite determinar uma relacao precisa entre γ ser uma geodesica minimizantee seus pontos conjugados, entre outras coisas. Esta forma bilinear e precisamente a hessiana do funcionalenergia. Nos proximos dois paragrafos apresentaremos uma discussao curta sobre o significado deste conceito,discussao que pode ser completamente omitida sem prejuızo da compreensao do que se segue da Definicao8.12 em diante.

A hessiana ∇2f de uma funcao diferenciavel f , introduzida no Exemplo 6.7 e cuja forma local emcoordenadas

∇2f =

n∑i,j=1

(∂2f

∂xi∂xj−

n∑k=1

Γkij∂f

∂xk

)dxi ⊗ dxj

foi obtida no Exemplo 6.13. Quando a conexao e simetrica, a hessiana de f e uma forma bilinear simetrica

∇2f : TM × TM −→ R.

Suponha que f tem um ponto crıtico em p. Como em pontos crıticos a derivada e zero, maior informacaosobre o comportamento de f so pode ser obtida a partir da derivada segunda. Neste caso

∇2f (p) =

n∑i,j=1

∂2f

∂xi∂xj(p) dxi

∣∣p⊗ dxj

∣∣p

e a forma bilinear simetrica∇2f (p) : TpM × TpM −→ R

tem a expressao livre de coordenadas

∇2f (Xp, Yp) = Xp (Y f) = Yp (Xf) .

Se α : I −→M e uma curva tal que α (0) = p e α′ (0) = V , entao (verifique)

∇2f (V, V ) =d2 (f α)

ds2(0) .

Para entender o significado da hessiana do funcional energia, pelo menos intuitivamente, dados p, q ∈Mconsidere a variedade de Hilbert (essencialmente, uma variedade riemanniana cujo espaco tangente em cadaponto e um espaco de Hilbert de dimensao infinita; para maiores detalhes sobre este conceito bem como osconceitos a seguir, veja [Klingenberg2], Secoes 2.3 e 2.4).

Ωpq (M) =α : [a, b] −→M : α e de classe H1, α (a) = p e α (b) = q

.

Uma curva α : [a, b] −→M ser de classe C1 quer dizer que ϕ−1 α esta no espaco de Sobolev H1 ([a, b] ,Rn);para os nossos objetivos, basta saber que o conjunto das curvas diferenciaveis por partes e denso neste espaco.No que se segue, denotaremos Ωpq (M) simplesmente por ΩM . O espaco tangente Tα (ΩM) e identificadocom o espaco vetorial dos campos vetoriais de classe H1 ao longo de α. Em particular, um campo vetorialpor partes ao longo de α e um vetor tangente ao ponto α na variedade ΩM . O funcional energia

E : ΩM −→ R

e uma funcao diferenciavel em ΩM , isto e, E ∈ C∞ (ΩM). Os pontos crıticos de E sao as geodesicas de Mligando p a q. Deste ponto de vista, uma variacao propria

F : (−ε, ε)× [a, b] −→M


satisfazendo F (s, a) = p e F (s, b) = q para todo s, e vista simplesmente como uma curva diferenciavel

Γ : (−ε, ε) −→ ΩM

cuja velocidade inicial Γ′ (0) e o campo variacional proprio V de F . Restringindo E a curva Γ, se 0 e umponto crıtico de E Γ, isto e, se E′ (0) = 0, entao γ (t) := Γ (0) e uma geodesica ligando p a q, como vimos.Para obter mais informacoes sobre estes pontos crıticos, como no caso de funcoes diferenciaveis definidas emvariedades diferenciaveis de dimensao finita, consideramos a hessiana de E

∇2E : Tγ (ΩM)× Tγ (ΩM) −→ R.

A hessiana de E sera chamada a forma ındice da geodesica γ. Este nome se deve ao fato que o ındice da hes-siana esta intimamente relacionado com informacao geometrica, particularmente com os pontos conjugadosda geodesica γ, como veremos.

8.12 Definicao. Seja γ : [a, b] −→ M uma geodesica e considere o espaco vetorial V dos campos dife-renciaveis por partes proprios ao longo de γ. Definimos a forma ındice de γ como sendo a forma bilinearsimetrica

I : V× V −→ R

definida por

I (V,W ) =

∫ b

a

[⟨DV

dt,DW

dt

⟩−R (V, γ′, γ′,W )

]dt.

Observe que a forma ındice faz sentido mesmo para campos diferenciaveis por partes nao proprios e noque se segue as vezes teremos que calcula-la para tais campos. Quando isso acontecer, isso sera claramenteindicado.

8.13 Proposicao. Seja γ : [a, b] −→ M uma geodesica e V um campo diferenciavel por partes proprio aolongo de γ. Entao

I (V,W ) = −∫ b

a

[⟨D2V

dt2+R (V, γ′) γ′,W

⟩]dt−

k∑i=1

⟨DV

dt

(t+i)− DV

dt

(t−i),W (ti)

⟩para todo campo vetorial W ∈ V. Se W nao e proprio entao

I (V,W ) = −∫ b

a

[⟨D2V

dt2+R (V, γ′) γ′,W

⟩]dt+

⟨DV

dt(b) ,W (b)

⟩−⟨DV

dt(a) ,W (a)

⟩−

k∑i=1

⟨DV

dt

(t+i)− DV

dt

(t−i),W (ti)

⟩.

Prova: Escrevendod

dt

⟨DV

dt,W

⟩=

⟨D2V

dt2,W

⟩+

⟨DV

dt,DW

dt

⟩,

segue que

I (V,W ) =

∫ b

a

[⟨DV

dt,DW

dt

⟩−R (V, γ′, γ′,W )

]dt

= −∫ b

a

[⟨D2V

dt2+R (V, γ′) γ′,W

⟩]dt+

∫ b

a

d

dt

⟨DV

dt,W

⟩dt.


Como V,W sao campos vetoriais proprios, temos∫ b

a

d

dt

⟨DV

dt,W

⟩dt =

k∑i=0

⟨DV

dt(t) ,W (t)

⟩∣∣∣∣t=ti+1

t=ti

=

⟨DV

dt

(t−1),W

(t−1)⟩−⟨DV

dt(a) ,W (a)

⟩+

⟨DV

dt

(t−2),W

(t−2)⟩−⟨DV

dt

(t+1),W

(t+1)⟩

+ . . .+

+

⟨DV

dt(b) ,W (b)

⟩−⟨DV

dt

(t+k),W

(t+k)⟩

= −k∑i=1

⟨DV

dt

(t+i)− DV

dt

(t−i),W (ti)

⟩.

donde segue o resultado.

8.14 Corolario. Sejam γ : [a, b] −→M uma geodesica, F : (−ε, ε)× [a, b] −→M uma variacao propria deγ e V (t) o campo variacional de F . Entao

I (V, V ) =1

2

d2E

ds2(0) .

Em particular, se γ e minimizante, I (V, V ) > 0.

8.4 Geodesicas nao minimizam apos passarem por pontos conju-gados

8.15 Teorema. Se γ e um segmento geodesico ligando os pontos p e q que tem um ponto interior conjugadoa p, entao existe um campo vetorial normal proprio V ao longo de γ tal que

I (V, V ) < 0

Em particular, γ nao e minimizante.Conclui-se que o conjunto dos pontos conjugados ao longo de uma geodesica e um conjunto discreto.

Prova: Seja γ : [0, b] −→M uma parametrizacao de γ por comprimento de arco e γ (a) um ponto conjugadoa γ (0) = p para algum 0 < a < b. Isso significa que existe um campo de Jacobi normal J ao longo de γ|[0,a]

tal que J (0) = J (a) = 0. Defina um campo vetorial Z ao longo de γ|[0,b] por

Z (t) =

J (t) se 0 6 t 6 a,0 se a 6 t 6 b.

Este e um campo diferenciavel por partes proprio ao longo de γ, logo e o campo variacional proprio dealguma variacao propria de γ. Seja W (t) um campo diferenciavel normal proprio ao longo de γ tal que

W (a) =DZ

dt

(a+)− DZ

dt

(a−)

=DJ

dt(a)

e para ε > 0 pequeno, sejaVε = Z + εW.


Entao

I (Vε, Vε) = I (Z + εW,Z + εW )

= I (Z,Z) + 2εI (Z,W ) + ε2I (W,W ) .

Como Z satisfaz a equacao de Jacobi em [0, a], e nulo em [a, b] e Z (a) = 0, segue que

I (Z,Z) = −∫ b

0

⟨Z,D2Z

dt2+R (Z, γ′) γ′

⟩dt−

⟨Z (a) ,

DZ

dt

(a+)− DZ

dt

(a−)⟩

= 0

e

I (Z,W ) = −∫ b

0

[⟨D2Z

dt2+R (Z, γ′) γ′,W

⟩]dt−

⟨DZ

dt

(a+)− DZ

dt

(a−),W (a)

⟩= −‖W (a)‖2 .

Portanto,I (Vε, Vε) = −2ε ‖W (a)‖2 + ε2I (W,W ) < 0

para ε suficientemente pequeno.A conclusao do enunciado segue do fato de geodesicas serem minimizantes na vizinhanca de qualquer

ponto. A recıproca deste teorema nao e verdadeira: existem geodesicas sem pontos conjugados que nao sao minimi-zantes. Por exemplo, no cilindro nao ha pontos conjugados ao longo de nenhuma geodesica, como pode servisto do Lema 7.10 (isso vale para qualquer variedade de curvatura seccional nao positiva; veja o Corolario9.3), mas qualquer geodesica que percorrer metade da circunferencia do cilindro deixa de ser minimizante.

8.5 Teorema do Indice de Morse

Nesta secao daremos uma caracterizacao ainda mais precisa sobre a relacao entre pontos conjugados e aforma ındice. Recordemos antes algumas definicoes de algebra linear sobre formas bilineares e suas formasquadraticas associadas:

8.16 Definicao. Sejam V um espaco vetorial real e B : V× V −→ R uma forma bilinear simetrica.O ındice de B e a dimensao do maior subespaco no qual a forma quadratica Q (V ) = B (V, V ) e negativa

definida. A nulidade de B e a dimensao do subespaco nulo de B:

N = V ∈ V : B (V,W ) = 0 para todo W ∈ V .

Dizemos que B e degenerada se a sua nulidade for positiva.

No que se segue, designaremos por J o subespaco dos campos de Jacobi proprios ao longo de γ.

8.17 Proposicao. Seja γ : [a, b] −→M uma geodesica. Entao

N = J.

Prova: Sea = t0 < t1 < . . . < tk < tk+1 = b

e uma particao do intervalo [a, b] tal que V |[ti,ti+1] e diferenciavel para i = 0, . . . , k, pela Proposicao 8.13 vale

I (V,W ) = −∫ b

a

[⟨D2V

dt2+R (V, γ′) γ′,W

⟩]dt−

k∑i=1

⟨DV

dt

(t+i)− DV

dt

(t−i),W (ti)

⟩.


Se J e um campo de Jacobi,D2J

dt2+R (J, γ′) γ′ = 0,

eDJ

dt

(t+i)

=DJ

dt

(t−i)

=DJ

dt(ti) ,

logo I (J,W ) = 0 para todo W ∈ V.Reciprocamente, seja V um campo diferenciavel por partes proprio tal que I (V,W ) = 0 para todo W ∈ V.

Mostraremos que V e um campo de Jacobi usando um argumento analogo ao do Corolario 8.8. Considereuma funcao diferenciavel f : [a, b] −→ R tal que

f (ti) = 0 para i = 0, . . . , k + 1,

f (t) > 0 para t 6= ti.

Defina um campo diferenciavel por partes proprio W1 ao longo de γ por

W1 (t) = f (t)

[D2V

dt2(t) +R (V (t) , γ′ (t)) γ′ (t)

].

ComoI (V,W1) = 0

e

I (V,W1) = −∫ b

a

f (t)

∥∥∥∥D2V

dt2+R (V, γ′) γ′

∥∥∥∥2

dt

−k∑i=1

f (ti)

⟨DV

dt

(t+i)− DV

dt

(t−i),D2V

dt2(ti) +R (γ′ (ti) , V (ti)) γ

′ (ti)

⟩

= −∫ b

a

f (t)

∥∥∥∥D2V

dt2+R (V, γ′) γ′

∥∥∥∥2

dt,

segue queD2V

dt2+R (V, γ′) γ′ = 0

em cada subintervalo [ti, ti+1], ou seja, V e um campo de Jacobi nestes subintervalos. Em particular, sabemosagora que

I (V,W ) = −k∑i=1

⟨DV

dt

(t+i)− DV

dt

(t−i),W (ti)

⟩para todo campo diferenciavel por partes proprio W ao longo de γ. Para ver o que acontece nos pontos ti,considere um campo diferenciavel por partes proprio W2 ao longo de γ tal que

W2 (ti) =DV

dt

(t+i)− DV

dt

(t−i)

para i = 1, . . . , k.

Como I (V,W2) = 0, segue quek∑i=1

∥∥∥∥DVdt (t+i )− DV

dt

(t−i)∥∥∥∥2

= 0

e portantoDV

dt

(t+i)

=DV

dt

(t−i)

=DV

dt(ti) ,


isto e, V e de classe C1. Daı,

D2V

dt2(t+i)

= −R(V(t+i), γ′(t+i))γ′(t+i)

= −R (V (ti) , γ′ (ti)) γ

′ (ti)

= R(V(t−i), γ′(t−i))γ′(t−i)

=D2V

dt2(t−i),

de modo queD2V

dt2(t+i)

=D2V

dt2(t−i)

=D2V

dt2(ti) = −R (V (ti) , γ

′ (ti)) γ′ (ti)

e V tambem satisfaz a equacao de Jacobi nos pontos ti.

8.18 Corolario. Seja γ : [a, b] −→ M uma geodesica. Entao I e degenerada se e somente se γ (b) econjugado a γ (a). Se isso ocorrer, a nulidade de I e igual a multiplicidade de γ (b) como ponto conjugado.

8.19 Corolario. Seja γ : [a, b] −→ M uma geodesica sem pontos conjugados a γ (a) no intervalo (a, b].Entao I e definida positiva.

Prova: Se nao ha pontos conjugados a γ (a) no intervalo (a, b], γ nao e necessariamente uma geodesicaminimizante (como mostra o exemplo do cilindro), mas ainda podemos afirmar que γ|[a,b] tem comprimentoestritamente menor que todas as curvas suficientemente proximas a γ que ligam γ (a) a γ (b). De fato,como nao ha pontos conjugados, expp e um difeomorfismo local. Consequentemente, se γ fosse alem dissouma geodesica sem autointersecoes no intervalo [a, b], pela compacidade de [a, b] existiria uma vizinhancade γ ([a, b]) em que expp e um difeomorfismo (veja uma demonstracao deste resultado em [Spivak], Lema9.19, vol. I, p. 467), o Lema de Gauss (Lema 4.26) ainda vale e poderıamos concluir a afirmacao. Se γpossui autointersecoes no intervalo [a, b], a afirmacao ainda e verdadeira, desde que entendemos por “curvassuficientemente proximas a γ” como curvas α : [a, b] −→ M tal que α (t) esta proxima de γ (t) para todot ∈ [a, b] (veja [Spivak], observacao imediatamente apos a demonstracao do Teorema 8.8, vol. IV, p. 321).

Segue entao do Corolario 8.14 que I (V, V ) > 0 para todo V ∈ V pois se I (V, V ) < 0 para algum V ∈ V,entao γ nao seria um mınimo local para o funcional energia E.

Suponha que I (V, V ) = 0 para algum campo diferenciavel por partes proprio nao nulo V . Entao paratodo W ∈ V e para todo α ∈ R terıamos

0 6 I (V + αW,V + αW ) = 2αI (V,W ) + α2I (W,W )

= α [2I (V,W ) + αI (W,W )] .

Como I (W,W ) > 0, isto so e possıvel se I (V,W ) = 0, caso contrario terıamos uma reta ou uma parabolacom concavidade para cima com duas raızes reais distintas: 0 e −2I (V,W ) /I (W,W ). Mas entao V esta noespaco nulo de I, logo e um campo de Jacobi nao trivial que se anula em γ (a) e γ (b), contradizendo o fatoque estes pontos nao sao conjugados.

Uma consequencia deste resultado e o Lema do Indice a seguir, que sera usado para provar o Teoremado Indice de Morse (uma outra demonstracao para ele, independente do Corolario 8.19, e dada no proximocapıtulo (Lema 9.26)).

8.20 Lema (Lema do Indice). Seja γ : [a, b] −→ M uma geodesica sem pontos conjugados a γ (a) nointervalo (a, b].

Sejam J um campo de Jacobi ao longo de γ e V um campo vetorial diferenciavel por partes ao longo deγ, satisfazendo

J (a) = V (a) ,

J (b) = V (b) .


EntaoI (J, J) 6 I (V, V )

e a igualdade ocorre se e somente se V = J .

Prova: Pela Proposicao 8.13, se V,W sao campos diferenciaveis por partes quaisquer ao longo de γ naoproprios, entao

I (V,W ) = −∫ b

a

[⟨D2V

dt2+R (V, γ′) γ′,W

⟩]dt+

⟨DV

dt(b) ,W (b)

⟩−⟨DV

dt(a) ,W (a)

⟩−

k∑i=1

⟨DV

dt

(t+i)− DV

dt

(t−i),W (ti)

⟩.

Logo, se J e um campo de Jacobi e V e um campo diferenciavel por partes, temos

I (J, V ) =

⟨DJ

dt(b) , V (b)

⟩−⟨DJ

dt(a) , V (a)

⟩,

I (J, J) =

⟨DJ

dt(b) , J (b)

⟩−⟨DJ

dt(a) , J (a)

⟩.

Agora sejam J e V os campos do enunciado. Entao

I (J, V ) = I (J, J)

e o campo V − J esta em V (pois e um campo proprio), logo

0 6 I (V − J, V − J) = I (V, V )− 2I (J, V ) + I (J, J) = I (V, V )− I (J, J) .

Se a igualdade vale, entao em particular I (V − J, V − J) = 0 e como pelo corolario anterior I e positivadefinida, segue que V − J = 0.

Assim, vemos dos resultados acima que para uma geodesica γ : [a, b] −→ M , a existencia de pontosconjugados e praticamente equivalente a existencia de campos vetoriais V ∈ V tais que I (V, V ) < 0: seexiste algum t ∈ (a, b) tal que γ (t) e conjugado a γ (a), entao existe um campo V ∈ V tal que I (V, V ) < 0(Teorema 8.15); se existe algum V ∈ V tal que I (V, V ) < 0, entao existe t ∈ (a, b] tal que γ (t) e conjugadoa γ (a) (Corolario 8.19). Uma das consequencias do Teorema do Indice de Morse que veremos a seguir, e quea equivalencia e completa: se existe algum V ∈ V tal que I (V, V ) < 0, entao existe t ∈ (a, b) tal que γ (t) econjugado a γ (a).

Seja γ : [a, b] −→M uma geodesica. Como cada ponto de M esta contido em uma vizinhanca uniforme-mente normal, por compacidade podemos escolher uma particao

a = s0 < s1 < . . . < sl < sl+1 = b

do intervalo [a, b] tal que γ|[si,si+1] esteja contido em uma vizinhanca uniformemente normal para todoi = 0, . . . , l e portanto γ|[si,si+1] e uma geodesica minimizante e nao contem pontos conjugados. Uma talparticao do intervalo [a, b] e chamada uma particao normal.

8.21 Definicao. Seja γ : [a, b] −→ M uma geodesica dotada de uma particao normal e considere o espacovetorial V dos campos diferenciaveis por partes proprios ao longo de γ. Definimos os subespacos vetoriais

V− =V ∈ V : V |[si,si+1] e um campo de Jacobi para cada i = 0, . . . , l

,

V+ = V ∈ V : V (ti) = 0 para todo i = 0, . . . , l + 1 .


As escolhas destes sımbolos para denotar os subespacos ficara clara atraves dos resultados a seguir. Observeque V− tem dimensao finita, igual a 2n (l + 1), pois em cada intervalo [si, si+1] o conjunto de campos deJacobi e um espaco vetorial de dimensao 2n.

8.22 Proposicao. Os subespacos V− e V+ sao ortogonais relativamente a I e

V = V+ ⊕ V−

Alem disso, I restrita a V+ e positiva definida.

Prova: Dado V ∈ V, seja W o campo em V− tal que

W (si) = V (si) para i = 0, . . . , l + 1.

A existencia e unicidade de W e garantida aplicando a Proposicao 7.16 em cada intervalo [si, si+1]; por estemotivo, o campo W pode deixar de ser continuamente diferenciavel nos pontos si. Portanto, V −W ∈ V+,e conseguimos escrever V = W + (V −W ), com W ∈ V− e V −W ∈ V+. Alem disso, como γ nao possuipontos conjugados em [si, si+1] segue da definicao de campos de Jacobi que V+∩V− = 0. Concluımos queV = V+ ⊕ V−.

Se V ∈ V− e W ∈ V+, temos trivialmente

I (V,W ) = −∫ b

a

[⟨D2V

dt2+R (V, γ′) γ′,W

⟩]dt−

l∑i=1

⟨DV

dt

(s+i

)− DV

dt

(s−i),W (si)

⟩= 0,

ou seja, V+ e V− sao ortogonais relativamente a I.Para provar a ultima afirmacao, observe que como γ|[si,si+1] sao geodesicas minimizantes I (V, V ) > 0

para todo V ∈ V+ pelo Corolario 8.14. Suponha que I (V, V ) = 0 para algum V ∈ V+. Se W ∈ V−, entaoI (V,W ) = 0 por ortogonalidade. Se W ∈ V+, para todo α ∈ R temos

0 6 I (V + αW,V + αW ) = 2αI (V,W ) + α2I (W,W ) .

Como I (W,W ) > 0, isto so e possıvel se I (V,W ) = 0, como vimos na demonstracao do Corolario 8.19. Masentao V esta no espaco nulo de I, logo pela Proposicao 8.17 e um campo de Jacobi que se anula nos pontosγ (si), e como V+ ∩ V− = 0 segue que V = 0.

8.23 Corolario. O ındice de I e igual ao ındice de I|V− . Em particular, o ındice de I e finito.O mesmo vale para a nulidade de I.

8.24 Teorema (Teorema do Indice de Morse). Seja γ : [a, b] −→M uma geodesica. O ındice da forma ındiceI de γ e igual ao numero de pontos conjugados a γ (a) no intervalo (a, b) contando suas multiplicidades.

Prova: Se t ∈ [a, b], denotaremos por γt a restricao γ|[a,t], por Vt o espaco vetorial dos campos diferenciaveispor partes proprios ao longo de γt e por i (t) o ındice da forma ındice It definida em Vt. Dotando γ de umaparticao normal

a = t0 < t1 < . . . < tl < tl+1 = b,

como γ|[a,t1] e uma geodesica minimizante, temos que I (V, V ) > 0 para todo V ∈ Vt1 pelo Corolario 8.14 eportanto

i (t) = 0 para todo t proximo de a.

Alem disso,i (t) e nao decrescente.

De fato, por definicao de i (t), existe um subespaco Wt ⊂ Vt tal que It e negativa definida em Wt e

dimWt = i (t). Se s > t, todo elemento V ∈Wt se estende a um elemento V ∈Wt definindo V = 0 em [t, s].

Como I(V , V

)= I (V, V ), segue que i (s) > i (t).


Observe agora que i (t) independe da escolha da particao normal de γ, pois I (V,W ) e calculado inde-pendentemente desta. Assim, para t fixado, podemos escolher uma particao normal de γ de tal modo quet ∈ (tj , tj+1). Alem disso, como o ındice de It e igual ao ındice de It|V−t , de agora em diante trabalharemos

apenas com It restrita a V−t e, para nao carregar a notacao, a denotaremos tambem por It. Como os ele-mentos de V−t sao campos de Jacobi em cada subintervalo [tk, tk+1], k = 0, . . . , j, e em [tj , t], e podem deixarde ser continuamente diferenciaveis apenas nos extremos tk, temos que

It (V, V ) = −j∑

k=1

⟨DV

dt

(t+k)− DV

dt

(t−k), V (tk)

⟩(8.1)

para todo V ∈ V−t , para todo t ∈ (tj , tj+1). Observe que como cada elemento de V−t e determinado pelosseus valores em γ (t1) , . . . , γ (tj), temos que V−t e isomorfo a soma direta

Tγ(t1)M ⊕ . . .⊕ Tγ(tj)M =: TMj

para todo t ∈ (tj , tj+1), e podemos considerar as formas It como uma famılia de formas quadraticas definidasem um espaco fixo TMj para t ∈ (tj , tj+1). Ou seja, para t, s ∈ (tj , tj+1), um campo Vt ∈ V−t pode seridentificado com a j-upla

Vt = (Vt (t1) , . . . , Vt (tj))

e um campo Vs ∈ V−s pode ser identificado com a j-upla

Vs = (Vs (t1) , . . . , Vs (tj)) .

Se Vt (tk) = Vs (tk) =: Vk para k = 1, . . . , j, estes campos sao identificados, apesar de serem diferentes: Vt eum campo de Jacobi em [tj , t] que se anula em tj e t, e Vs e um campo de Jacobi em [tj , s] que se anula emtj e s; mas eles sao identicos em todo o intervalo [a, tj ]. Segue de (8.1) que

It (Vt, Vt)− Is (Vs, Vs) =

⟨DVtdt

(t+j)− DVs

dt

(t+j), Vj

⟩. (8.2)

Afirmacao 1. Se ε > 0 e suficientemente pequeno, i (t− ε) = i (t).De fato, como i (t) e nao decrescente, temos i (t) > i (t− ε) para todo ε > 0. Por outro lado, considerandoε > 0 tal que tj < t − ε < t, se It e negativa definida em um subespaco Wt ⊂ V−t , entao por (8.2) e peladependencia contınua e linear de campos de Jacobi nas condicoes iniciais, It−ε ainda e negativa definida nosubespaco isomorfo Wt−ε ⊂ V−t−ε dado pelo isomorfismo acima se ε e suficientemente pequeno. Segue quei (t− ε) > i (t) para tais ε. Concluımos das duas desigualdades que i (t− ε) = i (t).

Denote por η a nulidade de It. Note que η = 0 se γ (t) nao e conjugado a γ (a).Afirmacao 2. Se ε > 0 e suficientemente pequeno, i (t+ ε) = i (t) + η.Com efeito, como dimTMj = nj, It e positiva definida em um subespaco de dimensao nj − i (t) − η.Considerando ε > 0 tal que t+ ε < tj+1, por (8.2) e pela dependencia contınua e linear de campos de Jacobinas condicoes iniciais, It+ε ainda e positiva definida neste subespaco para ε suficientemente pequeno. Logo,

i (t+ ε) 6 nj − [nj − i (t)− η] = i (t) + η.

Para provar a desigualdade reversa, considere ε > 0 tal que t + ε < tj+1. Sejam Vt ∈ V−t e Vt+ε ∈ V−t+ε oscampos identificados com a j-upla V = (V1, . . . , Vj) ∈ TMj , isto e,

Vt (tk) = Vt+ε (tk) = Vk para k = 1, . . . , j.

Afirmamos queIt (Vt, Vt) > It+ε (Vt+ε, Vt+ε) .


De fato, se W e o campo diferenciavel por partes proprio definido por

W (s) =

Vt (s) se s 6 t,0 se s ∈ [t, t+ ε] ,

de modo queIt (Vt, Vt) = It+ε (W,W )

entao segue do Lema do Indice (Lema 8.20) que

It+ε (W,W ) > It+ε (Vt+ε, Vt+ε) ,

porque W nao e um campo de Jacobi em [tj , t+ ε], diferentemente de Vt+ε, os dois campos coincidindo em[a, tj ]. Portanto, se It (V, V ) 6 0, entao It+ε (V, V ) < 0. Isso implica que se Nt e o subespaco nulo de It e Ite negativa definida em um subespaco Wt ⊂ TMj com dimWt = i (t), entao It+ε ainda sera negativa definidaem Wt ⊕Nt, logo

i (t+ ε) > i (t) + η.

Concluımos de tudo o que foi exposto acima que i (t) e uma funcao tomando valores em N que e zero emuma vizinhanca da origem, contınua a esquerda e tem discontinuidades do tipo salto nos pontos conjugadosa γ (a), o salto sendo precisamente igual a multiplicidade do ponto conjugado (a nulidade η, de acordo como Corolario 8.18). Este e exatamente o enunciado do teorema.

Capıtulo 9

Curvatura e Topologia

9.1 Alguns Resultados de Comparacao

9.1 Lema (Lema de Comparacao de Sturm). Sejam u, v : [0, L] −→ R funcoes diferenciaveis em [0, L] eduas vezes diferenciaveis em (0, L), tais que

u > 0 em (0, L)

e

u′′ (t) + a (t)u (t) = 0,

v′′ (t) + a (t) v (t) > 0,

para alguma funcao a : [0, L] −→ R, com

u (0) = v (0) = 0,

u′ (0) = v′ (0) > 0.

Entaov > u

em [0, L].

Prova: Considere a funcao f : (0, L) −→ R definida por

f =v

u.

Pela regra de L’Hopital,

limt→0

f (t) =v′ (0)

u′ (0)= 1,

logo basta mostrar que f ′ > 0 para concluir o resultado. Temos

f ′ =v′u− vu′

u2,

logo isso segue se mostrarmos que h = v′u − vu′ > 0 em (0, L). Como h (0) = 0, isso segue se mostrarmosque h′ > 0 em (0, L). E, de fato,

h′ = v′′u+ v′u′ − v′u′ − vu′′ = v′′u− vu′′

= v′′u+ vau = (v′′ + av)u > 0.

192


Ao longo deste capıtulo, quando dissermos que uma variedade riemanniana tem curvatura seccional K

satisfazendo alguma desigualdade ou identidade, queremos dizer que esta desigualdade ou identidade valepara Kp (σ) para todo p ∈M e para todo plano σ ⊂ TpM .

9.2 Teorema (Teorema de Comparacao de Campos de Jacobi). Sejam M uma variedade riemanniana comcurvatura seccional K limitada superiormente

K 6 K0,

e γ : I −→M uma geodesica unitaria. Os campos de Jacobi J normais ao longo de γ nao triviais tais queJ (0) = 0 satisfazem

‖J (t)‖ >

t ‖J ′ (0)‖ para t > 0, se K0 = 0,

R sent

R‖J ′ (0)‖ para 0 6 t 6 πR, se K0 =

1

R2> 0,

R senht

R‖J ′ (0)‖ para t > 0, se K0 = − 1

R2< 0.

Prova: Como ja usamos esta fato na demonstracao do Lema 7.10, se u satisfaz a equacao diferencial ordinaria

u′′ +K0u = 0

com condicoes iniciais

u (0) = 0,

u′ (0) = 1,

entao

u (t) =

t se K0 = 0,

R sent

Rse K0 =

1

R2> 0,

R senht

Rse K0 = − 1

R2< 0.

Definindo

v (t) =‖J (t)‖‖J ′ (0)‖

,

entaov (0) = 0

e

v′ (0) =1

‖J ′ (0)‖limt→0+

‖J (t)‖t

=1

‖J ′ (0)‖‖J ′ (0)‖ = 1

pelo Lema 7.9. Logo, como u > 0 nos domınios considerados no enunciado, para provar o teorema bastaprovar que

v > u

nestes domınios. Para isso, vamos aplicar o lema de comparacao de Sturm.


A funcao ‖J (t)‖ e diferenciavel em qualquer ponto t onde J (t) 6= 0. Nestes pontos temos

d2

dt2‖J‖ =

d2

dt2〈J, J〉1/2 =

d

dt

[〈J, J〉−1/2 〈J, J ′〉

]= −〈J, J〉−3/2 〈J, J ′〉2 + 〈J, J〉−1/2 〈J ′, J ′〉+ 〈J, J〉−1/2 〈J, J ′′〉

= − 1

‖J‖3〈J, J ′〉2 +

1

‖J‖‖J ′‖2 − 1

‖J‖〈J,R (J, γ′) γ′〉

=1

‖J‖

[‖J ′‖2 − 1

‖J‖2〈J, J ′〉2 −R (J, γ′, γ′, J)

].

Como, pela desigualdade de Schwarz,

〈J, J ′〉2 6 ‖J‖2 ‖J ′‖2 ,

e|γ′ ∧ J |2 = ‖γ′‖2 ‖J‖2 − 〈γ′, J〉2 = ‖J‖2 ,

segue qued2

dt2‖J‖ > − 1

‖J‖R (J, γ′, γ′, J) = −K (J, γ′) ‖J‖ > −K0 ‖J‖ ,

isto e,d2 ‖J‖dt2

+K0 ‖J‖ > 0,

dondev′′ +K0v > 0.

Logo, para aplicar o Lema de Comparacao de Sturm e concluir que

v > u

nos intervalos considerados no enunciado, falta apenas provar que v e diferenciavel nestes intervalos. Mas ve diferenciavel enquanto ‖J‖ for, e esta e diferenciavel sempre que J 6= 0; logo v e diferenciavel enquantotivermos v 6= 0. O fato que v′ (0) = 1 6= 0 garante que v > 0 em um intervalo (0, ε); portanto, neste intervalov e diferenciavel e vale o lema de comparacao de Sturm, ou seja, v > u neste intervalo. Assim, enquantov 6= 0 esta estimativa vale e, consequentemente, v nao pode atingir seu primeiro zero antes que u atinja.Logo, v > u enquanto u > 0, o que ocorre exatamente nos domınios para t considerados no enunciado.

9.3 Corolario. Seja M uma variedade riemanniana com curvatura seccional K limitada superiormente

K 6 K0.

(i) Se K0 6 0, entao nao ha pontos conjugados ao longo de qualquer geodesica.Em particular, expp e um difeomorfismo local para todo p ∈M .(ii) Se K0 = 1/R2, entao o primeiro ponto conjugado ao longo de qualquer geodesica ocorre a uma

distancia nao menor que πR.

Prova: (i) Se K0 6 0, entao pelo teorema acima J nunca se anula fora de t = 0, donde segue a primeiraafirmacao. A ultima afirmacao segue da Proposicao 7.15.(ii) Se K0 > 0, entao pelo teorema acima podemos garantir que J nao se anula para 0 < t < πR, e comouma geodesica unitaria e parametrizada por comprimento de arco, segue o resultado. A hipotese e necessaria. Basta imaginar uma superfıcie plana ilimitada com protuberancias (calombos) hemi-esfericas de raios cada vez menores, conectadas suavemente: a curvatura seccional e ilimitada superiormente,ja que os raios tendem a zero, e por este motivo os pontos conjugados nestes hemisferios ocorrem a distanciascada vez menores.


9.2 Variedades de Curvatura Seccional Negativa

9.2.1 Aplicacoes de Recobrimento

Lembramos alguns fatos de topologia e topologia diferencial referentes a espacos de recobrimento (para osfatos de topologia, veja [Carmo2], pp. 371-384; para os fatos de topologia diferencial veja [Lee 1], pp. 91-94).

9.4 Definicao. Sejam M , M espacos topologicos conexos por caminhos [variedades diferenciaveis conexas].

Uma aplicacao de recobrimento [diferenciavel] de M sobre M e uma aplicacao sobrejetiva [diferenciavel]

π : M −→M

tal que todo ponto p ∈M possui uma vizinhanca V tal que π−1 (V ) e uma uniao disjuntas de abertos Vλ tal

que π|Vλ : Vλ −→ V e um homeomorfismo [difeomorfismo].

M e chamada a base do recobrimento e M o espaco de recobrimento de M .Se M e simplesmente conexo, dizemos que M e o recobrimento universal de M .

9.5 Proposicao. Uma aplicacao de recobrimento e diferenciavel se e somente se ela e um difeomorfismolocal.

9.6 Definicao. Seja π : M −→ M uma aplicacao de recobrimento. Um levantamento de um caminhoγ : I −→M e um caminho γ : I −→ M tal que π γ = γ.

9.7 Proposicao (Propriedade de Levantar Caminhos). Seja π : M −→ M uma aplicacao de recobrimento[diferenciavel]. Se γ : I −→ M e um caminho [uma curva diferenciavel] e p = γ (0), entao para qualquer

ponto p ∈ π−1 (p) existe um unico levantamento [diferenciavel] γ : I −→ M de γ tal que γ (0) = p.

9.8 Proposicao (Recobrimento de Espacos Simplesmente Conexos). Se π : M −→ M e uma aplicacao derecobrimento [diferenciavel] e M e simplesmente conexa, entao π e um homeomorfismo [difeomorfismo].

9.9 Proposicao (Existencia e Unicidade da Variedade de Recobrimento Universal). Se M e um espacotopologico conexo e localmente simplesmente conexo [variedade diferenciavel conexa], entao existe um espaco

topologico [uma variedade diferenciavel] simplesmente conexo[a] M e uma aplicacao de recobrimento univer-

sal [diferenciavel] π : M −→M .

Alem disso, se π : M −→M e outra aplicacao de recobrimento universal [diferenciavel], entao existe um

homeomorfismo [difeomorfismo] h : M −→ M tal que π h = π.

9.2.2 O Teorema de Hadamard

9.10 Lema. Sejam M e M variedades riemannianas conexas, com M completa e π : M −→ M umaisometria local.

Entao M e completa e π e uma aplicacao de recobrimento diferenciavel.

Prova: A demonstracao procedera por etapas.Passo 1. π satisfaz a propriedade de levantar geodesicas.Isso quer dizer que, dados p ∈ M , p ∈ π−1 (p) e uma geodesica γ : I −→ M partindo de p, existe uma

geodesica γ : I −→ M partindo de p tal que γ = π γ.Para provar isso, seja V = γ′ (0) e tome V = (dπp)

−1V ∈ TpM . Considere a geodesica γ : R −→ M tal

que γ (0) = p e γ′ (0) = V ; porque M e completa, γ esta definida em todo R. Como π e uma isometria local,ela leva geodesicas em geodesicas, logo π γ e uma geodesica de M que satisfaz

(π γ) (0) = p,

(π γ)′(0) = dπp

(V)

= V,


Por unicidade de geodesicas, γ = π γ. Em particular, γ tambem esta definida em todo R.Passo 2. M e completa.

Como vimos no passo anterior, as geodesicas de M estao definidas em todo R.Passo 3. π e sobrejetiva.

Escolha um ponto p ∈ M e seja p = π (p). Seja q ∈ M um ponto qualquer; mostraremos que existe

q ∈ M tal que q = π (q). De fato, como M e completa e conexa, existe uma geodesica γ : R −→M que liga

p a q. Seja γ (r) = q. Se γ : R −→ M e o levantamento de γ, entao (π γ) (r) = γ (r) = q, de modo quepodemos tomar q = γ (r).Passo 4. π e uma aplicacao de recobrimento.

Falta apenas mostrar que todo p ∈ M possui uma vizinhanca V tal que π−1 (V ) e a uniao disjunta de

abertos Vλ, λ ∈ Λ, tais que π : Vλ −→ V e um difeomorfismo.Mostraremos que podemos tomar V como qualquer bola geodesica Bε (p) centrada em p. Seja π−1 (p) =

pλλ∈Λ e para cada λ seja

Vλ = B (pλ; ε)

a bola metrica de raio ε centrada em p (que nao e necessariamente uma bola geodesica em M). Estes

conjuntos Vλ sao disjuntos quando ε > 0 e suficientemente pequeno para que Bε (p) seja uma bola geodesica.

De fato, para cada pλ 6= pµ existe uma geodesica minimizante γ em M ligando pλ a pµ, pois M e completa.A curva projetada em M , γ = π γ, e uma geodesica que liga p a p, logo deve sair de e reentrar em Bε (p),ja que as geodesicas em Bε (p) sao radiais. Consequentemente, o comprimento deste segmento geodesico epelo menos 2ε e portanto dist (pλ, pµ) > 2ε, logo as bolas B (pλ; ε) e B (pµ; ε) sao disjuntas.

Afirmamos que

π−1 (V ) =⋃λ∈Λ

Vλ.

De fato, como π e isometrica, π(Vλ

)⊂ V , logo π−1 (V ) ⊃

⋃λ∈Λ

Vλ. Reciprocamente, seja q ∈ π−1 (V ), de

modo que q = π (q) ∈ V = Bε (p). Entao existe uma geodesica γ partindo de q ate p inteiramente contida emV , de modo que r = dist (p, q) < ε. Se γ e o levantamento de γ, entao π (γ (r)) = γ (r) = p, logo γ (r) = pλpara algum λ. Como

dist (q, pλ) 6 ` (γ) = r < ε,

segue que q ∈ B (pλ; ε) = Vλ. Portanto π−1 (V ) ⊂⋃λ∈Λ

Vλ tambem e vale a igualdade.

Finalmente, π : Vλ −→ V e um difeomorfismo para todo λ porque e um difeomorfismo local bijetivo: ainversa pode ser descrita explicitamente enviando cada geodesica radial partindo de p ao seu levantamentopartindo de pλ; o levantamento nao possui autointersecoes nem intercepta outro levantamento exceto empλ, ja que uma tal ocorrencia forcaria que o mesmo acontecesse nas projecoes. E toda bijecao que e umdifeomorfismo local e necessariamente um difeomorfismo, ja que a inversa e diferenciavel.

9.11 Teorema (Teorema de Hadamard). Seja Mn uma variedade riemanniana completa, conexa, comcurvatura seccional

K 6 0.

Entao expp : TpM −→M e uma aplicacao de recobrimento para todo p ∈M .Em particular, o espaco de recobrimento universal de M e difeomorfo a Rn.Se M e simplesmente conexa, entao a propria variedade M e difeomorfa a Rn e expp : TpM −→ M e

um difeomorfismo para todo p ∈M .

Prova: Como M e completa, expp : TpM −→M esta definida para todo p ∈M e e sobrejetiva (consequenciado Teorema de Hopf-Rinow e seus corolarios). Pelo Corolario 9.3, expp e um difeomorfismo local. Logo exppinduz uma metrica em TpM , o que transforma expp numa isometria local. Como expp leva os raios partindoda origem de TpM nas geodesicas radiais partindo de p e isometrias locais levam geodesicas em geodesicas,


segue que estes raios sao geodesicas em TpM . Em particular, TpM e geodesicamente completa em 0 e segueda demonstracao do Teorema de Hopf-Rinow (Corolario 4.45) que TpM e completa. Segue entao do Lema9.10 que expp e uma aplicacao de recobrimento. Se M e simplesmente conexa, pela Proposicao 9.8 a aplicacaoexpp e um difeomorfismo. Este resultado evidentemente nao vale para variedades de curvatura positiva, como mostra o exemplo daesfera. A consequencia mais importante deste teorema e que vemos que ha fortes restricoes topologicasque impedem uma variedade possuir uma metrica com curvatura seccional nao positiva. Por exemplo, todavariedade riemanniana simplesmente conexa e compacta deve ter curvatura positiva em algum ponto.

9.3 Variedades de Curvatura Seccional Positiva

9.3.1 Teorema de Bonnet-Myers

9.12 Definicao. Seja M um espaco metrico. Definimos o diametro de M por

diamM = sup dist (p, q) : p, q ∈M .

O diametro da esfera de raio R e πR, a distancia entre pontos antipodais.Mais um fato da teoria de espacos de recobrimento (veja [Munkres], p. 354):

9.13 Proposicao. Seja π : M −→ M uma aplicacao de recobrimento universal. Entao existe uma bijecaoentre π1 (M) e π−1 (p) para qualquer p ∈M .

Pela Proposicao 9.5, uma aplicacao de recobrimento diferenciavel π : M −→M e um difeomorfismo local.Se M e uma variedade riemanniana, isso permite considerar a metrica induzida em M .

9.14 Definicao. Sejam M uma variedade diferenciavel, M uma variedade riemanniana e π : M −→ Muma aplicacao de recobrimento diferenciavel. A metrica induzida em M por π e chamada a metrica dorecobrimento.

9.15 Teorema (Teorema de Bonnet). Seja M uma variedade riemanniana completa, conexa, com curvaturaseccional K limitada inferiormente

K >1

R2

Entao M e compacta, tem grupo fundamental finito e

diamM 6 πR.

Prova: Suponha por absurdo que diamM > πR. Entao existe uma geodesica minimizante unitaria γ talque L = ` (γ) > πR. Como ela e minimizante, temos I (V, V ) > 0 para todo campo vetorial proprio V aolongo de γ. Produziremos uma contradicao construindo um campo vetorial normal proprio ao longo de γ talque I (V, V ) < 0.

Seja E um campo unitario, paralelo, normal, ao longo de γ e defina

V (t) =

(sen

πt

L

)E (t) .

Como V (0) = V (L) = 0, V e um campo normal proprio ao longo de γ. Temos

DV

dt=π

L

(cos

πt

L

)E (t) ,

D2V

dt2= −π

2

L2

(sen

πt

L

)E (t) ,


de modo que

I (V, V ) = −∫ L

0

[⟨V,D2V

dt2

⟩+R (V, γ′, γ′, V )

]dt

=

∫ L

0

[π2

L2sen2 πt

L− sen2 πt

LR (E, γ′, γ′, E)

]dt

=

∫ L

0

sen2 πt

L

(π2

L2−K (E, γ′)

)dt

e, portanto,

I (V, V ) 6∫ L

0

sen2 πt

L

(π2

L2− 1

R2

)dt

=

(π2

L2− 1

R2

)∫ L

0

sen2 πt

Ldt

=

(π2

L2− 1

R2

)L

2

<

(π2

π2R2− 1

R2

)L

2

= 0.

Para ver que M e compacta, observe que fixado um ponto p ∈ M , qualquer ponto em M pode serconectado a p por uma geodesica de comprimento menor ou igual a πR, logo

M = expp(BπR (p)

),

ou seja, M e imagem do compacto BπR (p) atraves de uma funcao contınua.

Finalmente, seja π : M −→ M a aplicacao de recobrimento universal diferenciavel de M e considere ametrica do recobrimento em M . Como por definicao π e uma isometria local, leva geodesicas em geodesicas, epela Proposicao 9.7 M tambem e completa. O fato de M ser localmente isometrica a M tambem implica queM tem curvatura seccional limitada inferiormente por 1/R2 e portanto tambem e compacta. Pela Proposicao9.13, existe uma bijecao entre π1 (M) e π−1 (p) para qualquer p ∈M . Como π−1 (p) e um conjunto discreto

do compacto M , ele tem que ser finito.

9.16 Teorema (Teorema de Myers). Seja M uma variedade riemanniana completa, conexa, com curvaturade Ricci limitada inferiormente, no sentido de que

Ric (V, V ) >n− 1

R2‖V ‖2

para todo V ∈ TpM para todo p ∈M . Entao M e compacta, tem grupo fundamental finito e

diamM 6 πR.

Prova: Observe da demonstracao do Teorema de Bonnet que basta provar a estimativa do diametro porqueas demais afirmacoes seguem dela.

Como antes, considere uma geodesica minimizante unitaria γ tal que L = ` (γ) > πR. Sejam E1, . . . , Encampos ortonormais paralelos ao longo de γ, com En = γ′. Defina

Vi (t) =

(sen

πt

L

)Ei (t)


para i = 1, . . . , n− 1. Pelo mesmo calculo na demonstracao do teorema anterior, temos

I (Vi, Vi) =

∫ L

0

sen2 πt

L

[π2

L2−R (Ei, γ

′, γ′, Ei)

]dt.

Como Ei e um referencial ortonormal, temos

Ric (γ′, γ′) =

n∑i=1

R (Ei, γ′, γ′, Ei) =

n−1∑i=1

R (Ei, γ′, γ′, Ei) .

Logo,

n−1∑i=1

I (Vi, Vi) =

∫ L

0

sen2 πt

L

[(n− 1)

π2

L2−n−1∑i=1

R (Ei, γ′, γ′, Ei)

]dt

=

∫ L

0

sen2 πt

L

[(n− 1)

π2

L2− Ric (γ′, γ′)

]dt

6∫ L

0

sen2 πt

L

[(n− 1)

π2

L2− n− 1

R2

]dt

= (n− 1)

(π2

L2− 1

R2

)∫ L

0

sen2 πt

Ldt

< 0,

como na demonstracao do teorema anterior. Isso significa que para pelo menos um ındice i vale I (Vi, Vi) < 0,contradizendo o fato de γ ser minimizante. A hipotese K > 1/R2 > 0 nao pode ser enfraquecida para K > 0: o paraboloide

M =(x1, . . . , xn, xn+1

)∈ Rn+1 : xn+1 =

(x1)2

+ . . .+ (xn)2

tem curvatura seccional positiva, e completo, mas nao e compacto. Por outro lado, o resultado continuavalendo se K → 0 nao muito rapidamente (veja [Carmo], p. 202, para referencias).

9.17 Corolario. Se Mn, n > 3, e uma variedade de Einstein completa, conexa, nao compacta, entao Mtem curvatura escalar nao positiva.

Prova: Lembrando que M e uma variedade de Einstein se e somente se

Ric =S

ng,

e que uma variedade de Einstein de dimensao n > 3 tem curvatura escalar constante, segue que se a curvaturaescalar de M fosse positiva entao M satisfazeria as hipoteses do Teorema de Myers e portanto seria compacta,contradizendo a hipotese.

9.3.2 Teorema de Synge-Weinstein

9.18 Lema. Seja A : Rn−1 −→ Rn−1 uma transformacao ortogonal tal que

A preserva orientacao se n e par,

A reverte orientacao se n e ımpar.

Entao A possui um vetor fixo nao nulo.


Prova: Um vetor fixo nao nulo de uma aplicacao linear e qualquer autovetor associado ao autovalor 1.Como A e ortogonal, detA = (−1)

ne seus autovalores reais, se existirem, sao ±1. Por outro lado, o produto

dos autovalores complexos de A e positivo (pois os autovalores complexos de uma matriz real sao dois adois conjugados e detA 6= 0), logo se k e o numero de pares conjugados de autovalores complexos, contandomultiplicidades, segue que existem n− 1− 2k autovalores reais de valor ±1.

Se n e par, detA = 1 e o polinomio caracterıstico de A, de grau n − 1, e ımpar. Logo A possui pelomenos um autovalor real. Como o numero de autovalores reais n − 1 − 2k e ımpar e detA > 0, segue quepelo menos um autovalor real e igual a 1.

Se n e ımpar, detA = −1 e como o produto dos autovalores complexos de A e positivo, existe umautovalor real negativo. Como detA < 0 e o numero de autovalores reais n − 1 − 2k e par, segue que pelomenos um autovalor real e igual a 1.

9.19 Teorema (Teorema de Synge-Weinstein). Seja Mn uma variedade riemanniana compacta, orientadae com curvatura seccional positiva. Seja F : M −→M uma isometria tal que

F preserva orientacao se n e par,

F reverte orientacao se n e ımpar.

Entao F possui um ponto fixo.

Prova: Suponha por absurdo que F nao possui pontos fixos. Como M e compacta, segue que a funcao

f (q) = dist (q, F (q))

atinge um mınimo positivo em M . Seja p um ponto de mınimo para f . Como M e completa, existe umageodesica unitaria minimizante γ : [0, L] −→ M ligando p a F (p). [Observe que se o teorema e verdadeiro,p e precisamente o ponto fixo de F pois f (p) = 0 e a geodesica γ nao existe. Obteremos uma contradicaoconstruindo um campo V (t) ao longo de γ tal que a energia de sua variacao satisfaz E′′ (0) < 0.]

Considere a aplicacao transporte paralelo ao longo de γ

τ : TF (p)M −→ TpM

no sentido reverso, de F (p) a p. Pelo Lema 3.26, τ e uma isometria linear que preserva orientacao. Definaa isometria linear

T = τ dFp : TpM −→ TpM.

Afirmamos que γ′ (0) e um ponto fixo para T .Para provar isso, basta provar que

(F γ)′(0) = γ′ (L) ,

pois daı segue que

T (γ′ (0)) = (τ dFp) (γ′ (0)) = τ((F γ)

′(0))

= τ (γ′ (L)) = γ′ (0) .

Note que F γ e uma geodesica que liga F (p) a F (F (p)). Considere um ponto qualquer q = γ (t) paraalgum 0 < t < L, isto e, um ponto dentro do segmento geodesico minimizante γ ([0, L]). Temos

dist (q, F (q)) 6 dist (q, F (p)) + dist (F (p) , F (q))

= dist (q, F (p)) + dist (p, q)

= dist (p, F (p)) .

Mas p e um ponto de mınimo para f , logo dist (q, F (q)) > dist (p, F (p)) e vale a igualdade na primeiradesigualdade:

dist (q, F (q)) = dist (q, F (p)) + dist (F (p) , F (q)) .

Portanto, a curva formada por γ e Fγ e uma geodesica, em particular diferenciavel, logo (F γ)′(0) = γ′ (L).


Em particular, γ′ (0) e um autovetor para T com autovalor 1, e T preserva o autoespaco 〈γ′ (0)〉 gerado

por γ′ (0). Como T e uma isometria, segue que T preserva tambem o complemento ortogonal W = 〈γ′ (0)〉⊥em TpM . Seja A = T |W , de modo que podemos ver A como uma transformacao ortogonal em Rn−1. Porhipotese, det dFp = (−1)

n, enquanto que τ preserva orientacao. Logo,

detA = detT = (det τ) (det dFp) = 1 · (−1)n

= (−1)n.

Segue do Lema 9.18 que existe um vetor unitario V0 ponto fixo de A, ortogonal a γ′ (0).Seja V (t) o transporte paralelo de V0 = V (0) ao longo de γ; em particular, V e um campo normal ao

longo de γ. Mostraremos que se E e a energia da variacao G (s, t) para a qual V e o campo variacional,entao

d2E

ds2(0) < 0,

contradizendo o fato qued2E

ds2(0) > 0

para uma geodesica minimizante. De fato, pelo Corolario 8.11, a formula da segunda variacao da energiapara campos nao proprios e

1

2

d2E

ds2(0) = −

∫ L

0

⟨V (t) ,

D2V

dt2(t) +R (V (t) , γ′ (t)) γ′ (t)

⟩dt−

k∑i=1

⟨V (ti) ,

DV

dt

(t+i)− DV

dt

(t−i)⟩

+

⟨V (L) ,

DV

dt(L)

⟩−⟨V (0) ,

DV

dt(0)

⟩+

⟨D

ds

∂G

∂s(0, L) , γ′ (L)

⟩−⟨D

ds

∂G

∂s(0, 0) , γ′ (0)

⟩.

Como V e diferenciavel ao longo de γ, temos

k∑i=1

⟨V (ti) ,

DV

dt

(t+i)− DV

dt

(t−i)⟩

= 0 (9.1)


e como V (t) e um campo paraleloD2V

dt2=DV

dt= 0. (9.2)

Vimos na Proposicao 8.2 que o campo nao proprio V (t) e o campo variacional ao longo de γ de

G (s, t) = expγ(t) (sV (t)) .

Como (τ dFp) (V ) = V , temosdFp (V ) = τ−1 (V ) = V (L) ,

logo, se β : R −→M e a geodesica tal que

β (0) = p,

β′ (0) = V,

entao F β e a geodesica tal que

(F β) (0) = p,

(F β)′(0) = V (L) .

Temos entao

G (s, 0) = expp (sV (0)) = β (s) ,

G (s, L) = expF (p) (sV (L)) = (F β) (s) ,

de modo que

D

ds

∂G

∂s(0, 0) =

Dβ′

ds(0) = 0, (9.3)

D

ds

∂G

∂s(0, L) =

D (F β)′

ds(0) = 0, (9.4)

ja que β e F β sao geodesicas. Segue de (9.1), (9.2), (9.3) e (9.4) que

1

2

d2E

ds2(0) = −

∫ L

0

R (V, γ′, γ′, V ) dt = −∫ L

0

K (V, γ′) dt.

Como a curvatura seccional e positiva, concluımos que

d2V

ds2(0) < 0.

Uma consequencia importante deste teorema que relaciona curvatura e topologia e o resultado de Synge

a seguir. Antes de enuncia-lo, lembramos mais alguns resultados de espacos de recobrimento (veja [Massey],pp. 159-160 para a definicao e a primeira proposicao e p. 163 para a segunda proposicao).

9.20 Definicao. Seja π : M −→ M uma aplicacao de recobrimento. Dizemos que um homeomorfismoF : M −→ M e uma transformacao de recobrimento se π F = π.

9.21 Proposicao. Uma transformacao de recobrimento e uma isometria na metrica do recobrimento.


Prova: Seja π : M −→ M uma aplicacao de recobrimento e F : M −→ M e uma transformacao derecobrimento. Sejam p1, p2 ∈ M tais que F (p1) = p2. Como F e uma transformacao de recobrimento,

π (p2) = π (F (p1)) = π (p1) =: p,

logo, se v, w ∈ Tp1M , temos por definicao da metrica de recobrimento e pela regra da cadeia

〈dFp1 (v) , dFp1 (w)〉p2 = 〈dπp2 (dFp1 (v)) , dπp2 (dFp1 (w))〉p=⟨d (π F )p1 (v) , d (π F )p1 (w)

⟩p

= 〈dπp1 (v) , dπp1 (w)〉p= 〈v, w〉p1 .

Sob a operacao de composicao de funcoes, o conjunto de transformacoes de recobrimento e um grupo.

9.22 Proposicao. Toda transformacao de recobrimento diferente da identidade nao possui pontos fixos.

9.23 Proposicao. O grupo de transformacoes do recobrimento universal de M e isomorfo ao grupo funda-mental de M .

9.24 Corolario. Seja Mn uma variedade riemanniana compacta com curvatura seccional positiva.(i) Se n e par e M e orientavel, entao M e simplesmente conexa.(ii) Se n e impar, entao M e orientavel.

Prova: (i) Seja π : M −→ M o recobrimento universal de M e considere a metrica do recobrimento em

M . O fato de M ser compacta implica em particular que M e completa, logo M tambem e, como vimos nademonstracao do Teorema de Bonnet. Alem disso, como M tem curvatura seccional positiva e e compacta,segue que existe R > 0 tal que

K >1

R2,

e como π e uma isometria local, o mesmo vale para M . Segue do Teorema de Bonnet que M e compacta.O fato de M ser orientavel garante que M tambem e orientavel. Oriente M de tal forma que π preserve

a orientacao. Seja F : M −→ M uma transformacao de recobrimento de M . Como π F = π e π e umdifeomorfismo local e uma isometria local, segue que F e um difeomorfismo e uma isometria de M quepreserva orientacao. Como n e par, segue do Teorema de Synge-Weinstein que F possui um ponto fixo, logopela Proposicao 9.22 F e identidade. Portanto, o grupo das transformacoes de recobrimento de M , que eisomorfo a π1 (M) pela Proposicao 9.23, e o grupo trivial, ou seja, M e simplesmente conexa.

(ii) Suponha por absurdo que M nao e orientavel. Entao M possui um recobrimento duplo orientavel

M (veja [Carmo], Capıtulo 0, Exercıcio 12, p. 34). Como recobrimento duplo de uma variedade compacta,

M tambem e compacta. Considere em M a metrica induzida pelo recobrimento. Seja F : M −→ M umatransformacao de recobrimento de M que nao seja a identidade; sua existencia e garantida pelo fato dorecobrimento ser duplo. Pela Proposicao 9.21, F e uma isometria. Como M nao e orientavel, F reverte aorientacao de M . Pelo Teorema de Synge-Weinstein F possui um ponto fixo, contradizendo a Proposicao9.22. Em particular, nao existe uma metrica de curvatura seccional positiva no toro T2 ou em qualquer k-toro(um toro com k buracos).

9.3.3 Teorema da Comparacao de Rauch

9.25 Lema. Seja f : [0, 1] −→ R uma funcao diferenciavel tal que f (0) = 0. Entao existe uma funcaodiferenciavel g : [0, 1] −→ R tal que

f (t) = tg (t) .

Em particular, g (0) = f ′ (0) .


Prova: Basta definir

g (t) =

∫ 1

0

f ′ (ts) ds,

pois

tg (t) =

∫ 1

0

f ′ (ts) tds =

∫ t

0

f ′ (u) du = f (t)− f (0) = f (t) ,

usando a mudanca de variavel u = ts. A ultima afirmativa segue de f ′ (t) = g (t) + tg′ (t) aplicado em t = 0.

Recordemos a forma ındice de uma geodesica, definida no capıtulo anterior: se γ : [0, b] −→ M umageodesica e V,W sao campos vetoriais diferenciaveis por partes ao longo de γ., para todo t ∈ [0, b] a formaındice de γ e definida por

It (V,W ) =

∫ t

0

[⟨DV

dt(s) ,

DW

dt(s)

⟩−R (V (s) , γ′ (s) , γ′ (s) ,W (s))

]ds.

Aqui consideraremos campos nao necessariamente proprios. O Lema do Indice a seguir e o mesmo docapıtulo anterior (Lema 8.20) mas com uma demonstracao diferente, independente do Corolario 8.19 cujaprova assumiu resultados que nao provamos.

9.26 Lema (Lema do Indice). Seja γ : [0, b] −→M uma geodesica sem pontos conjugados a γ (0) no intervalo(0, b].

Sejam J um campo de Jacobi normal ao longo de γ e V um campo vetorial diferenciavel por partestambem normal ao longo de γ, satisfazendo

J (0) = V (0) = 0,

J (t0) = V (t0)

para algum t0 ∈ (0, b]. EntaoIt0 (J, J) 6 It0 (V, V )

e a igualdade ocorre se e somente se V = J em [0, t0].

Prova: Se dimM = n, o subespaco vetorial dos campos de Jacobi normais ao longo de γ que se anulam em0 tem dimensao n− 1. Seja J1, . . . , Jn−1 uma base para este subespaco, de modo que

J (t) =

n−1∑i=1

ciJi (t) . (9.5)

Como nao existem pontos conjugados de γ (0) no intervalo (0, b], os vetores J1 (t) , . . . , Jn−1 (t) formam umabase para o complemento ortogonal de γ′ (t) em Tγ(t)M para todo t ∈ (0, b]. Portanto, podemos tambemescrever

V (t) =

n−1∑i=1

fiJi (t) (9.6)

para t ∈ (0, b], onde fi : (0, b] −→ R sao funcoes diferenciaveis por partes. Afirmamos que as funcoes fipodem ser estendidas contınua e diferenciavelmente a t = 0. Para provar isso, aplicando o lema anterior nasfuncoes coordenadas dos campos de Jacobi Ji, escrevemos

Ji (t) = tWi (t) ,

com Wi (0) = J ′i (0). Em particular W1 (0) , . . . ,Wn−1 (0) sao linearmente independentes e portanto

W1 (t) , . . . ,Wn−1 (t)


sao linearmente independentes para todo t, de modo que podemos escrever

V (t) =

n−1∑i=1

gi (t)Wi (t)

com gi : [0, b] −→ R funcoes diferenciaveis por partes e gi (0) = 0. Aplicando novamente o lema anterior,segue que

gi (t) = thi (t)

com hi : [0, b] −→ R funcoes diferenciaveis por partes, ou seja,

V (t) =

n−1∑i=1

thi (t)Wi (t) =

n−1∑i=1

hi (t) tWi (t) =

n−1∑i=1

hi (t) Ji (t) ,

e portanto fi = hi, provando a afirmacao.No interior dos subintervalos onde V , e portanto fi, sao diferenciaveis, afirmamos que⟨

DV

dt,DV

dt

⟩−R (γ′, V, γ′, V ) =

⟨n−1∑i=1

f ′iJi,

n−1∑j=1

f ′jJj

⟩+d

dt

⟨n−1∑i=1

fiJi,

n−1∑j=1

fjDJjdt

⟩. (9.7)

De fato, como

R (γ′, V ) γ′ = R

(γ′,

n−1∑i=1

fiJi

)γ′ =

n−1∑i=1

fiR (γ′, Ji) γ′ = −

n−1∑i=1

fiD2Jidt2

,

segue que ⟨DV

dt,DV

dt

⟩−R (V, γ′, γ′, V )

=

⟨D

dt

n−1∑i=1

fiJi,D

dt

n−1∑i=1

fjJj

⟩− 〈R (V, γ′) γ′, V 〉

=

⟨n−1∑i=1

f ′iJi +

n−1∑i=1

fiDJidt

,

n−1∑j=1

f ′jJj +

n−1∑j=1

fjDJjdt

⟩+

⟨n−1∑i=1

fiD2Jidt2

,

n−1∑i=1

fjJj

⟩

=

⟨n−1∑i=1

f ′iJi,

n−1∑j=1

f ′jJj

⟩+

⟨n−1∑i=1

f ′iJi,

n−1∑j=1

fjDJjdt

⟩+

⟨n−1∑i=1

fiDJidt

,

n−1∑j=1

fjDJjdt

⟩

+

⟨n−1∑i=1

fiDJidt

,

n−1∑j=1

f ′jJj

⟩+

⟨n−1∑i=1

fiJi,

n−1∑i=1

fiD2Jjdt2

⟩

=

⟨n−1∑i=1

f ′iJi,

n−1∑j=1

f ′jJj

⟩+d

dt

⟨n−1∑i=1

fiJi,

n−1∑j=1

fjDJjdt

⟩,

onde usamos o fato que ⟨n−1∑i=1

fiDJidt

,

n−1∑j=1

f ′jJj

⟩=

⟨n−1∑i=1

fiJi,

n−1∑j=1

f ′jDJjdt

⟩.

Esta ultima identidade segue do seguinte argumento: definindo

φ (t) =

⟨DJidt

, Jj

⟩−⟨Ji,

DJjdt

⟩,


temos φ (0) = 0 e

φ′ (t) =

⟨D2Jidt2

, Jj

⟩+

⟨DJidt

,DJjdt

⟩−⟨DJidt

,DJjdt

⟩−⟨Ji,

D2Jjdt2

⟩= −〈R (γ′, Ji) γ

′, Jj〉+ 〈Ji, R (γ′, Jj) γ′〉

= −R (γ′, Ji, γ′, Jj) +R (γ′, Jj , γ

′, Ji)

= 0,

de modo que φ ≡ 0. Logo, ⟨n−1∑i=1

fiDJidt

,

n−1∑j=1

f ′jJj

⟩−

⟨n−1∑i=1

fiJi,

n−1∑j=1

f ′jDJjdt

⟩

=

n−1∑i,j=1

fif′j

⟨DJidt

, Jj

⟩−

n−1∑i,j=1

fif′j

⟨Ji,

DJjdt

⟩

=

n−1∑i,j=1

fif′j

[⟨DJidt

, Jj

⟩−⟨Ji,

DJjdt

⟩]= 0.

Aplicando (9.7) a V e J (com os escalares ci no lugar das funcoes fi) e usando o fato que Ji (0) = fi (0) = 0,segue que

It (V, V ) =

∫ t

0

⟨n−1∑i=1

f ′iJi,

n−1∑j=1

f ′jJj

⟩+

d

ds

⟨n−1∑i=1

fiJi,

n−1∑j=1

fjDJjdt

⟩ ds=

∫ t

0

⟨n−1∑i=1

f ′iJi,

n−1∑j=1

f ′jJj

⟩ds+

⟨n−1∑i=1

fiJi,

n−1∑j=1

fjDJjdt

⟩(t)

=

⟨n−1∑i=1

fiJi,

n−1∑j=1

fjDJjdt

⟩(t) +

∫ t

0

∥∥∥∥∥n−1∑i=1

f ′iJi

∥∥∥∥∥2

ds

e

It (J, J) =

⟨n−1∑i=1

ciJi,

n−1∑j=1

cjDJjdt

⟩(t) .

Como J (t0) = V (t0), temos fi (t0) = ci, logo

It0 (V, V ) = It0 (J, J) +

∫ t

0

∥∥∥∥∥n−1∑i=1

f ′iJi

∥∥∥∥∥2

ds,

donde concluımos queIt0 (V, V ) > It0 (J, J) .

A igualdade ocorre se e somente sen−1∑i=1

f ′iJi = 0

e como os campos Ji sao linearmente independentes, isso implica f ′i = 0, donde fi (t) = ci para todo t, logoV = J .


9.27 Teorema (Teorema da Comparacao de Rauch). Sejam Mn1 e Mn+k

2 variedades riemannianas. Sejamγ1 : [0, b] −→M1 e γ2 : [0, b] −→M2 geodesicas com a mesma velocidade, isto e,

‖γ′1 (t)‖ = ‖γ′2 (t)‖

para todo t ∈ [0, b], tais que γ2 nao possui pontos conjugados a γ2 (0) no intervalo (0, b].Sejam J1, J2 campos de Jacobi ao longo de γ1, γ2, respectivamente, tais que

J1 (0) = J2 (0) = 0,∥∥∥∥DJ1

dt(0)

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥DJ2

dt(0)

∥∥∥∥ ,⟨DJ1

dt(0) , γ′1 (0)

⟩=

⟨DJ2

dt(0) , γ′2 (0)

⟩.

Suponha que as curvaturas seccionais de M1,M2 satisfazem

K2 (X2, γ′2 (t)) > K1 (X1, γ

′1 (t))

para todos X1 ∈ Tγ1(t)M1, X2 ∈ Tγ2(t)M2, para todo t. Entao

‖J2‖ 6 ‖J1‖ . (9.8)

Alem disso, se‖J1 (t0)‖ = ‖J2 (t0)‖

para algum t0 ∈ (0, b], entaoK2 (J2 (t) , γ′2 (t)) = K1 (J1 (t) , γ′1 (t))

para todo t ∈ [0, t0].

Prova: Pelo Lema 7.7, comoJ1 (0) = J2 (0) = 0

e ⟨DJ1

dt(0) , γ′1 (0)

⟩=

⟨DJ2

dt(0) , γ′2 (0)

⟩=: a,

segue que〈J1, γ

′1〉 = 〈J2, γ

′2〉 = at.

Daı,

〈J1, γ′1〉 γ′1 = atγ′1,

〈J2, γ′2〉 γ′2 = atγ′2,

o que implica que as componentes tangenciais de J1 e J2 tem o mesmo comprimento. Portanto, apenas ascomponentes normais dos campos sao relevantes para a demonstracao do teorema, logo podemos assumirque eles sao normais.

Se ∥∥∥∥DJ1

dt(0)

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥DJ2

dt(0)

∥∥∥∥ = 0

entao J1 = J2 = 0 e nao ha nada a demonstrar. Portanto, assumiremos

DJ1

dt(0) ,

DJ2

dt(0) 6= 0.


Sejam

f (t) = ‖J1 (t)‖2 ,

g (t) = ‖J2 (t)‖2 .

Como γ2 nao possui pontos conjugados no intervalo (0, b], segue que

h (t) =f (t)

g (t)

esta definida em (0, b]. Note que

f ′ (t) = 2

⟨J1 (t) ,

DJ1

dt(t)

⟩,

f ′′ (t) = 2

⟨DJ1

dt(t) ,

DJ1

dt(t)

⟩+ 2

⟨J1 (t) ,

D2J1

dt2(t)

⟩,

de modo que

f ′ (0) = 0,

f ′′ (0) = 2

∥∥∥∥DJ1

dt(0)

∥∥∥∥2

,

e analogamente para g (t). Logo, pela regra de L’Hopital,

limt→0+

h (t) = limt→0+

f ′ (t)

g′ (t)= limt→0+

f ′′ (t)

g′′ (t)=f ′′ (0)

g′′ (0)= 1.

Portanto, para provar que ‖J2‖ 6 ‖J1‖, basta provar que h′ > 0, o que e equivalente a mostrar quef ′g − fg′ > 0

Para provar isso, fixe t0 ∈ (0, b]. Se f (t0) = 0, entao f ′ (t0) = 0 e daı h′ (t0) = 0. Assuma, portanto,f (t0) 6= 0. A desigualdade e entao equivalente a

g′

g6f ′

f. (9.9)

Defina

U1 (t) =J1 (t)

‖J1 (t0)‖,

U2 (t) =J2 (t)

‖J2 (t0)‖,

Temos

f ′ (t0)

f (t0)=

2

‖J1 (t0)‖2

⟨J1 (t0) ,

DJ1

dt(t0)

⟩= 2

⟨U1 (t0) ,

DU1

dt(t0)

⟩=

d

dt〈U1 (t0) , U1 (t0)〉

=

∫ t0

0

d2

dt2〈U1 (t) , U1 (t)〉 dt =

∫ t0

0

[⟨D2U1

dt2(t) , U1 (t)

⟩+

⟨DU1

dt(t) ,

DU1

dt(t)

⟩]dt

=

∫ t0

0

[〈−R1 (U1 (t) , γ′1 (t)) γ′1 (t) , U1 (t)〉+

⟨DU1

dt(t) ,

DU1

dt(t)

⟩]dt

= 2It0 (U1, U1) .


Analogamente,g′ (t0)

g (t0)= 2It0 (U2, U2) .

Portanto, como t0 e arbitrario, para provar (9.9) e so provar que

It0 (U2, U2) 6 It0 (U1, U1)

para todo t0. Para isso, considere campos ortonormais paralelos

E1 (t) , . . . , En (t) ,

F1 (t) , . . . , Fn+k (t) ,

ao longo das geodesicas γ1 e γ2, respectivamente, que satisfazem

E1 (t) =γ′1 (t)

‖γ′1 (t)‖, E2 (t0) = U1 (t0) ,

F1 (t) =γ′2 (t)

‖γ′2 (t)‖, F2 (t0) = U2 (t0) .

Para cada campo vetorial ao longo de γ1

V (t) =

n∑i=1

V i (t)Ei (t)

defina o campo vetorial ao longo de γ2

φ (V ) (t) =

n∑i=1

V i (t)Fi (t) .

Entao vale〈φ (V1) , φ (V2)〉 = 〈V1, V2〉 ,

Dφ (V )

dt= φ

(DV

dt

)e

〈γ′2, φ (V )〉 = ‖γ′2‖V 1 (t) = ‖γ′1‖V 1 (t) = 〈γ′1, V 〉 .

de modo que

It0 (φ (V ) , φ (V )) =

∫ t0

0

[⟨Dφ (V )

dt,Dφ (V )

dt

⟩−R2 (φ (V ) , γ′2, γ

′2, φ (V ))

]dt

=

∫ t0

0

[⟨DV

dt,DV

dt

⟩−K2 (γ′2, φ (V ))

(‖γ′2‖

2 ‖φ (V )‖2 − 〈γ′2, φ (V )〉2)]

dt

=

∫ t0

0

[⟨DV

dt,DV

dt

⟩−K2 (γ′2, φ (V ))

(‖γ′1‖

2 ‖V ‖2 − 〈γ′1, V 〉2)]

dt

6∫ t0

0

[⟨DV

dt,DV

dt

⟩−K1 (γ′1, V )

(‖γ′1‖

2 ‖V ‖2 − 〈γ′1, V 〉2)]

dt

=

∫ t0

0

[⟨DV

dt,DV

dt

⟩−R1 (V, γ′1, γ

′1, V )

]dt

= It0 (V, V ) .


Note agora que U2 (campo de Jacobi normal ao longo de γ2) e φ (U1) (campo vetorial normal ao longo deγ2 porque U1 e normal ao longo de γ1 e φ preserva o produto interno entre campos e as duas geodesicas)satisfazem as hipoteses do Lema do Indice. Concluımos que

It0 (U2, U2) 6 It0 (φ (U1) , φ (U1)) 6 It0 (U1, U1) , (9.10)

o que termina a demonstracao da desigualdade do teorema.Suponha agora que

‖J1 (t0)‖ = ‖J2 (t0)‖

para algum t0 ∈ (0, b]. Isso implica h (t0) = 1. Como limt→0+

h (t) = 1 e h′ > 0, segue que h (t) = 1 para todo

t ∈ (0, t0] (em particular f (t) 6= 0), dondeg′

g(t) =

f ′

f(t)

para todo t ∈ (0, t0]. Daı segue queIt (U2, U2) = It (U1, U1)

para todos tais t. Em particular, a desigualdade (9.10) e uma igualdade e

It (U2, U2) = It (φ (U1) , φ (U1))

para todo t ∈ (0, t0] e, portanto, a desigualdade usada para provar que It0 (φ (V ) , φ (V )) 6 It0 (V, V ) tambeme uma igualdade e

K2 (γ′2, U2) = K2 (γ′2, φ (U1)) = K1 (γ′1, U1)

para todo t ∈ (0, t0]. Como

K2 (γ′2, U2) = K2 (γ′2, J2) ,

K1 (γ′1, U1) = K1 (γ′1, J1) ,

isso termina a demonstracao. Uma aplicacao imediata do Teorema de Rauch permite obter informacao sobre as posicoes dos pontos

conjugados a partir de limitacoes na curvatura:

9.28 Corolario. Seja M uma variedade riemanniana cuja curvatura seccional satisfaz

0 <1

R26 K 6

1

r2

Seja γ : [0, L] −→ M uma geodesica unitaria. Se d e a distancia ao longo de γ entre pontos conjugadosconsecutivos, entao

πr 6 d 6 πR.

Prova: Desigualdade d > πr.Para obter esta desigualdade, comparamos a variedade Mn com a esfera Snr (curvatura seccional constante

1/r2).Seja J1 um campo de Jacobi normal ao longo de γ1 = γ que se anula em t = 0. Seja p1 = γ1 (0) e escolha

um ponto qualquer p2 ∈ Snr , uma geodesica unitaria γ2 : [0, L] −→ Snr com γ2 (0) = p2 e um campo de JacobiJ2 normal ao longo de γ2 que se anula em t = 0 com∥∥∥∥DJ1

dt(0)

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥DJ2

dt(0)

∥∥∥∥ .Como γ2 nao possui pontos conjugados no intervalo (0, πr), como vimos no Capıtulo 6, segue de Teoremade Rauch que

‖J1‖ > ‖J2‖ > 0


para todo t ∈ (0, πr).Desigualdade d 6 πR.

Procedemos de maneira analoga, mas comparando SnR (curvatura seccional constante 1/R2) a variedadeM . Se d > πR segue do Teorema de Rauch como acima que SnR so tem pontos conjugados depois de πR,um absurdo.

9.4 Existencia de Geodesicas Fechadas

9.29 Definicao. Um triangulo geodesico em uma variedade riemanniana M e um conjunto formado portres segmentos geodesicos unitarios (os lados do triangulo)

γ1 : [0, L1] −→M,

γ2 : [0, L2] −→M,

γ3 : [0, L3] −→M,

com γ1 (L1) = γ2 (0), γ2 (L2) = γ3 (0) e γ3 (L1) = γ1 (0) (os vertices do triangulo). Os angulos

] (−γ′1 (L1) , γ′2 (0)) ,

] (−γ′2 (L2) , γ′3 (0)) ,

] (−γ′3 (L3) , γ′1 (0)) ,

sao os angulos internos dos vertices correspondentes.

9.30 Teorema (Teorema de Cartan). Toda variedade riemanniana compacta nao simplesmente conexapossui uma geodesica fechada.

Prova: Lembramos que um conjunto L de caminhos fechados em um espaco topologico M e chamado umaclasse livre de homotopia se quando f ∈ L e g : [0, 1] −→ M e um caminho fechado tal que existe umahomotopia F : [0, 1]× [0, 1] −→M satisfazendo

F (0, t) = f (t) ,

F (1, t) = g (t) ,

F (s, 0) = F (s, 1) ,

entao g ∈ L. A diferenca de uma classe livre de caminhos fechados para uma classe de caminhos fechadosdo grupo fundamental e que em uma classe livre permitimos que as origens dos caminhos variem em M .Mostraremos que em toda classe livre nao trivial L de uma variedade riemanniana compacta (isto e, L naocontem a identidade, o caminho constante) existe uma geodesica fechada.

SejaL = inf ` (f) : f ∈ L .

Como L e nao trivial, L > 0. Seja γj uma sequencia de curvas diferenciaveis por partes em L tais que

` (γj)→ L.

Construindo homotopias localmente, podemos supor que γk sao geodesicas quebradas. Seja C = sup∥∥γ′j∥∥.

Como

dist (γj (t) , γj (s)) 6∫ s

t

∥∥γ′j (r)∥∥ dr 6 C (s− t)

para todos t 6 s ∈ [0, 1], a sequencia γj e equicontınua. Como M e compacta, existe uma subsequenciade γj, que continuaremos a denotar γj para nao carregar a notacao, que converge uniformemente parauma curva fechada contınua γ0 : [0, 1] −→M .


Considere agora0 = t0 < t1 < . . . < tk < tk+1 = 1

uma particao normal de γ, de modo que γ0|[ti,ti+1] esta contida em uma vizinhanca uniformemente normal.Defina γ : [0, 1] −→ M como sendo a curva diferenciavel por partes tal que γ|[ti,ti+1] e o unico segmento

geodesico que liga os pontos γ0 (ti) e γ0 (ti+1). E facil ver que γ ∈ L, construindo homotopias locais dentrodas vizinhancas uniformemente normais. Afirmamos que ` (γ) = L.

De fato, suponha por absurdo que ` (γ) > L e seja

ε =` (γ)− L2k + 3

.

Seja j um inteiro tal que

` (γj)− L < ε e

dist (γj (t) , γ0 (s)) < ε para todo t ∈ [0, 1] .

Denotando γi = γ|[ti,ti+1] e γij = γj |[ti,ti+1], temos

k∑i=0

[`(γij)

+ 2ε]

= ` (γj) + 2 (k + 1) ε < L+ (2k + 3) ε = ` (γ)

=

k∑i=0

`(γi),

de modo que existe um inteiro 0 6 i 6 k tal que

`(γij)

+ 2ε < `(γi),

contradizendo o fato que γi e minimizante.Mostraremos agora que γ e uma geodesica. Para isso, basta mostrar que γ e regular nos pontos pi =

γ (ti). Suponha por absurdo o contrario e seja B uma bola convexa centrada em pi. Escolha pontosq1, q2 ∈ γ ([0, 1]) ∩B de modo que o triangulo geodesico piq1q2 seja homotopico a um ponto. Entao a curvafechada constituida pela geodesica minimizante q1q2 e pelo arco de γ entre q1 e q2 que nao contem pi estana classe L e tem comprimento menor que γ, uma contradicao. Este resultado continua valido para qualquer variedade riemanniana compacta, nao necessariamente sim-plesmente conexa, mas a demonstracao e mais difıcil. Veja [Klingenberg], Theorem 2.1.6, para uma demons-tracao usando topologia algebrica (grupos de homotopia e homologia de ordem superior) e Theorem A.1.5no Apendice, usando a teoria de Lusternik-Schnirelman (metodo variacional).

9.5 Classificacao das Variedades de Curvatura Seccional Cons-tante

Lembramos mais um fato da teoria de espacos de recobrimento (veja [Carmo2], Proposition 1, p. 374).

9.31 Proposicao. Seja π : M −→ M um homeomorfismo local. Se M e compacto e M e conexo, entao πe uma aplicacao de recobrimento.

9.32 Lema. Sejam M,N duas variedades riemannianas de dimensao n, M conexa.Se F1, F2 : M −→ N sao duas isometrias locais tais que existe um ponto p0 ∈M tal que

F1 (p0) = F2 (p0) ,

d (F1)p0 = d (F2)p0 ,


entaoF1 = F2.

Prova: Considere o conjunto

A =p ∈M : F1 (p) = F2 (p) e d (F1)p = d (F2)p

.

Por continuidade este conjunto e fechado; mostraremos que ele e aberto, o que implicara que A = M , ja queM e conexa. De fato, seja V uma vizinhanca normal de p ∈ A tais que as restricoes de F1, F2 a V sejamdifeomorfismos. Seja

F = F−11 F2 : V −→ V,

de modo que F e uma isometria local tal que F (p) = p e dFp = id. Em particular, F deixa invariante asgeodesicas radiais partindo de p dentro de V , logo F (q) = q para todo q ∈ V , o que implica F1 = F2 em V .

9.33 Teorema. Se M e uma variedade riemanniana completa, simplesmente conexa com curvatura seccionalconstante K, entao M e isometrica a

Rn se K = 0,

HnR se K = − 1

R2,

SnR se K =1

R2.

Em particular, se M e uma variedade riemanniana completa com curvatura seccional constante K, entao aconclusao acima vale para o recobrimento universal M de M com a metrica do recobrimento.

Prova: Suponha K 6 0. Pelo Teorema de Hadamard, M e difeomorfa a Rn e expp : TpM −→ M e umdifeomorfismo para todo p ∈ M . Portanto, a metrica induzida g em TpM pela aplicacao exponencial euma metrica global com curvatura seccional constante K e expp e uma isometria. Como as coordenadaseuclideanas em TpM sao coordenadas normais para a metrica g, segue que esta e um dos casos da Proposicao7.11, que e globalmente isometrico a Rn no caso K = 0 e a HnR no caso K = −1/R2.

Suponha agora K = 1/R2 > 0. Sejam N e −N os polos norte e sul, respectivamente, de SnR. E facil ver,usando tambem as Proposicoes 7.10 e 7.15, que

expN : BπR (0) −→ SnR\ −N

e um difeomorfismo. Por outro lado, para qualquer ponto p ∈ M , o Corolario 9.3 garante que p nao tempontos conjugados mais proximos que πR, logo

expp : BπR (0) −→ expp (BπR (0))

e um difeomorfismo. Seja L1 : TNSnR −→ TpM uma isometria linear. Considere as metricas induzidas emBπR (0) ⊂ TNSnR por

expN

eexpp L1.

As duas metricas tem curvatura seccional constante K = 1/R2 em BπR (0) ⊂ TNSnR e as coordenadaseuclideanas em TNSnR sao coordenadas normais para ambas (pois os segmentos lineares radiais sao geodesicas)logo pela Proposicao 7.11 elas sao iguais. Portanto, a aplicacao

F1 = expp L1 exp−1N : SnR\ −N −→M


e uma isometria local.Escolha agora um ponto Q ∈ SnR, Q 6= N,−N e seja q = F1 (Q). Usando a isometria linear

L2 = d (F1)Q : TQSnR −→ TqM,

construımos de maneira analoga uma isometria local

F2 = expq L2 exp−1Q : SnR\ −Q −→M.

Por construcao, e lembrando que d(expp

)0

= id,

F1 (Q) = q = F2 (Q) ,

d (F1)Q = L2 = d (F2)Q .

Como a esfera menos dois pontos ainda e conexa, segue do lema anterior que

F1 = F2

em SnR\ −N,−Q.Portanto, se definirmos uma aplicacao F : SnR −→M por

F (P ) =

F1 (P ) se P ∈ SnR\ −N ,F2 (P ) se P ∈ SnR\ −Q ,

segue que F e uma isometria local, logo um difeomorfismo local. Como SnR e compacta, F e uma aplicacao derecobrimento (Proposicao 9.31). Logo, como M e simplesmente conexa, F e um difeomorfismo (Proposicao9.8) e portanto uma isometria.

9.34 Definicao. Uma variedade riemanniana conexa, completa com curvatura seccional constante e cha-mada uma forma espacial.

O proximo teorema reduz a classificacao das formas espaciais a um problema da teoria dos grupos.Precisaremos antes de lembrar alguns fatos de acoes de grupos e outros de teoria de espacos de recobrimento.

A acao de um grupo G sobre uma variedade riemanniana M que consideraremos a seguir sera sempre deum grupo de isometrias de M .

9.35 Definicao. Dizemos que um grupo G age (a esquerda) em um conjunto M , se existe uma aplicacao

G×M −→ M(g, x) 7−→ gx

tal que

ex = x,

(gh)x = g (hx) .

Dizemos que G age livremente em M se gx = x implica g = e (em outras palavras, G age sem pontosfixos). A orbita de um ponto x ∈M e o conjunto

Gx = gx : g ∈ G .

A acao de G e transitiva se Gx = M para algum e portanto para todo x ∈ M . O conjunto de todas asorbitas e o quociente M/G e consideramos a projecao natural

π : M −→M/G


definida por π (x) = Gx.Se M e um espaco topologico, dizemos que um grupo G de homeomorfismos de M age de modo

totalmente descontınuo em M se todo x ∈M possui uma vizinhanca U em M tal que

g (U) ∩ U = ∅

para todo g ∈ G, g 6= e.

Para uma demonstracao dos resultados a seguir, veja [Massey], Lemma 8.1, a discussao antes e depoisdeste lema, e Proposition 8.2, pp. 164-165) (para a definicao de espacos de recobrimento regulares veja apagina 163).

9.36 Proposicao. Seja π : M −→ M uma aplicacao de recobrimento e Γ o grupo das transformacoes derecobrimento de M . Entao:

(1) Γ age de modo totalmente descontınuo em M .(2) Γ age transitivamente em π−1 (p) para todo p ∈M se e somente se π e uma aplicacao de recobrimento

regular.Em particular, neste caso o espaco quociente M/Γ e naturalmente homeomorfo a M .

9.37 Proposicao. Se G e um grupo que age de modo totalmente descontınuo em um espaco topologicoconexo e conexo por caminhos M e M/G tem a topologia quociente, entao π : M −→M/G e uma aplicacaode recobrimento regular e G age transitivamente em π−1 (p) para todo p ∈M/G.

Se M e uma variedade riemanniana e Γ e um subgrupo do grupo de isometrias de M que age de modototalmente descontınuo em M , entao M/Γ tem uma estrutura de variedade diferenciavel em que π : M −→M/Γ e um difeomorfismo local. Alem disso, se Γ age transitivamente em π−1 (p), podemos definir em M/Γuma metrica tal que π e uma isometria local: dado p ∈M/Γ, escolhemos p ∈ π−1 (p) e definimos

〈v, w〉p =⟨dπ−1

p (v) , dπ−1p (w)

⟩p.

Esta definicao nao depende da escolha do ponto p ∈ π−1 (p). De fato, como Γ age transitivamente emπ−1 (p), dado qualquer outro ponto p ∈ π−1 (p) existe uma isometria F ∈ Γ tal que F (p) = q.

9.38 Definicao. A metrica definida atraves do recobrimento π : M −→ M/Γ e chamada a metricaquociente.

Observe que, analogamente ao visto nos resultados das secoes anteriores, M/Γ e completa se e somente seM e completa. Obviamente, M/Γ tem curvatura seccional constante se e somente se M tem.

9.39 Teorema (Classificacao das Formas Espaciais). Se M e uma variedade riemanniana conexa,

completa com curvatura seccional constante K, entao M e isometrica a M/Γ , onde M e

Rn se K = 0,

Hn se K < 0,

Sn se K > 0,

e Γ e um subgrupo do grupo de isometrias de M que age livremente e de modo totalmente descontınuo em M ,isomorfico a π1 (M) e a metrica de M/Γ e metrica quociente induzida pelo recobrimento π : M −→ M/Γ.

Prova: Considere o recobrimento universal π : M −→ M e a metrica do recobrimento, de modo que π euma isometria local. Pelo Teorema 9.33 M e isometrica a um dos espacos modelo. Seja Γ o grupo das trans-formacao de recobrimento de M ; pela Proposicao 9.21, Γ e um grupo de isometrias. Pelas Proposicoes 9.22,9.36 e 9.23, Γ age livremente e de modo totalmente descontınuo em M e e isomorfo a π1 (M). Introduzimos


em M/Γ a metrica quociente atraves da projecao π : M −→ M/Γ. Pela Proposicao 9.36, M e naturalmente

homeomorfo a M/Γ, ou seja, o diagrama

M↓π π

Mh−→ M/Γ

e comutativo com h : M −→ M/Γ sendo um homeomorfismo. Como π = h π e π sao isometrias locais,segue que h tambem e, logo e uma isometria.

9.40 Corolario. Se M e uma variedade riemanniana conexa de dimensao n par, completa com curvaturaseccional constante K = 1, entao M e isometrica a esfera Sn ou ao espaco projetivo real RPn.

Prova: O grupo ortogonal linear O (n+ 1) e o grupo de isometrias de Sn e age livre e transitivamente emSn; todo elemento F ∈ O (n+ 1) satisfaz detF = ±1. Seja Γ um subgrupo de O (n+ 1) que age de modototalmente descontınuo em Sn.

Se F ∈ Γ satisfaz detF = 1, entao F tem pelo menos um autovalor igual a 1, porque n+ 1 e ımpar, logoF tem um ponto fixo o que implica F = id.

Se F ∈ Γ satisfaz detF = −1, entao det(F 2)

= 1 e o mesmo argumento implica que F 2 = id. Daı

0 = F 2 − id = (F + id) (F − id) .

Como F 6= id, em particular F nao tem nenhum autovalor igual a 1, logo det (F − id) 6= 0 e portanto F − ide um isomorfismo. A equacao acima implica entao que F = − id. Concluımos que

Γ = id,− id ,

de onde segue o resultado.

9.6 Grupo Fundamental de Variedades Compactas de CurvaturaSeccional Negativa

No que se segue, M sera uma variedade riemanniana compacta com curvatura seccional negativa. PeloTeorema de Hopf-Rinow M e completa e, portanto, pelo Teorema de Hadamard o recobrimento universalM e difeomorfo a Rn, uma aplicacao de recobrimento universal π : M −→ M sendo expp para qualquer

p ∈M . Assuma que M tem a metrica do recobrimento. Como observamos na secao anterior, M e completae vimos na demonstracao de classificacao das formas espaciais (Teorema 9.33) que qualquer transformacao

de recobrimento F : M −→ M diferente da identidade e uma isometria sem pontos fixos. De fato, sejamp1, p2 ∈ M tais que F (p1) = p2. Como F e uma transformacao de recobrimento,

π (p2) = π (F (p1)) = π (p1) =: p.

Logo, se v, w ∈ Tp1M , temos por definicao da metrica de recobrimento e pela regra da cadeia

〈dFp1 (v) , dFp1 (w)〉p2 = 〈dπp2 (dFp1 (v)) , dπp2 (dFp1 (w))〉p=⟨dπF (p1) dFp1 (v) , dπF (p1) dFp1 (w)

⟩p

=⟨d (π F )p1 (v) , d (π F )p1 (w)

⟩p

= 〈dπp1 (v) , dπp1 (w)〉p= 〈v, w〉p1 .


9.41 Definicao. Dizemos que uma isometria F : M −→ M de uma variedade riemanniana completa euma translacao se F nao tem pontos fixos e deixa invariante alguma geodesica γ : R −→ M , isto e,F (γ (R)) = γ (R).

Quando isso ocorre, dizemos que F e uma translacao ao longo de γ.

Como mencionado na Proposicao 9.23, se π : M −→M e uma aplicacao de recobrimento universal, entaoo grupo A(M) das transformacoes de recobrimento e isomorfo ao grupo fundamental de M . Para os nossospresentes propositos, precisaremos explicitar este isomorfismo. Dado p ∈ M , para construir o isomorfismoentre π1 (M ; p) e A(M), escolhe-se em primeiro lugar um ponto p ∈ M tal que p = π (p). Entao, para cada

f ∈ π1 (M ; p) fazemos corresponder uma transformacao de recobrimento Fp : M −→ M definindo Fp (q)

para cada q ∈ M do seguinte modo: se σ e um caminho que liga q a p, tomamos σ = π (σ) e g = σfσ−1; se

g e o levantamento de g em M a partir de q, definimos

Fp (q) = g (1) .

9.42 Teorema. Seja M uma variedade riemanniana compacta nao simplesmente conexa. Seja π : M −→M uma aplicacao de recobrimento e considere a metrica induzida por esta aplicacao em M . Entao todatransformacao de recobrimento F : M −→ M diferente da identidade e uma translacao de M .

Prova: Sejam p ∈ M , p = π (p) e f ∈ π1 (M ; p), f 6= id. Pela demonstracao do Teorema de Cartan(Teorema 9.30), existe uma geodesica fechada γ na classe de homotopia livre de f . Seja q ∈ γ (R). Pordefinicao de classe de homotopia livre, considerando γ como um caminho baseado em q, temos que γ elivremente homotopica a um caminho fechado σfσ−1 onde σ e um caminho que liga p a q. Sejam σ e olevantamento de σ em M a partir de p e considere o ponto q = σ (1). Note que q = π (q). Considere olevantamento γ de γ a partir de q. Como γ e o levantamento de uma geodesica pela isometria local π, ela euma geodesica de M . Mostraremos que F deixa γ invariante.

Seja Fq ∈ A(M) a transformacao de recobrimento correspondente a classe [γ] ∈ π1 (M ; q) de acordo como isomorfismo que definimos acima. Entao

Fq = F .

De fato, como γ e livremente homotopica a σfσ−1, os levantamentos de γ e σfσ−1 a partir de q tem omesmo ponto final, isto e,

F (q) = Fq (q) ;

portanto, q e um ponto fixo de F−1 Fq, logo F−1 Fq = id, donde F = Fq.Daı, se γ (t) e um ponto de levantamento de γ a partir de q, segue por unicidade do levantamento que

F (γ (t)) = Fq (γ (t)) ∈ γ,

o que mostra que γ e invariante por F .

9.43 Lema. Sejam M e M variedades riemannianas tais que

Kp (σ) 6 Kp (σ)

para todos p ∈M , p ∈ M , σ ∈ TpM e σ ∈ TpM .

Sejam p ∈ M , p ∈ M e L : TpM −→ TpM uma isometria linear. Seja r > 0 tal que expp∣∣Br(0)

e um

difeomorfismo e expp∣∣Br(0)

e nao singular.

Seja α : [0, b] −→ expp (Br (0)) ⊂ M uma curva diferenciavel e defina α : [0, b] −→ expp

(Br (0)

)⊂ M

porα (s) = expp L exp−1

p (α (s)) .

Entao` (α) 6 ` (α) .

Se as curvaturas seccionais satisfazem uma desigualdade estrita, entao ` (α) < ` (α) .


Prova: Considere a curvaα (s) = exp−1

p (α (s))

em TpM e a variacao por geodesicas em M

F (t, s) = expp (tα (s)) ,

pois γs (t) = Fs (t) = F (t, s) e uma geodesica radial. Logo,

Js (t) =∂F

∂s(t, s)

e um campo de Jacobi ao longo de γs satisfazendo

Js (0) = 0,

Js (1) =∂F

∂s(1, s) = d

(expp

)tα(s)

(tα′ (s))∣∣∣t=1

= d(expp

)α(s)

(α′ (s))

= d(expp

)α(s)

d(exp−1

p

)α(s)

(α′ (s))

= α′ (s)

e

DJsdt

(0) =d

dt

[d(expp

)tα(s)

(tα′ (s))]t=0

=d

dt

[td(expp

)tα(s)

(α′ (s))]t=0

=

[d(expp

)tα(s)

(α′ (s)) + td

dtd(expp

)tα(s)

(α′ (s))

]t=0

= d(expp

)0

(α′ (s))

= α′ (s) .

Considere agora a variacao por geodesicas em M

F (t, s) = expp (tL [α (s)]) ,

pois γs (t) = Fs (t) = F (t, s) e uma geodesica radial. Logo,

Js (t) =∂F

∂s(t, s)

e um campo de Jacobi ao longo de γsJs (0) = 0,

Js (1) = expp L [α (s)] = α′ (s)

eDJsdt

(0) = L [α′ (s)] .

Temos‖Js (0)‖ =

∥∥∥Js (0)∥∥∥ = 0


e, como L e uma isometria, ∥∥∥∥DJsdt (0)

∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥DJsdt (0)

∥∥∥∥∥e, como γ′s (0) = L [α (s)] = L [γ′s (0)],

‖γ′s (0)‖ = ‖γ′s (0)‖ ,

⟨DJsdt

(0) , γ′s (0)

⟩= 〈L [α′ (s)] , L [γ′s (0)]〉 = 〈α′ (s) , γ′s (0)〉

=

⟨DJsdt

(0) , γ′s (0)

⟩.

Portanto, as hipoteses do Teorema de Comparacao de Rauch (Teorema 9.27) sao satisfeitas e concluımos que

‖α′ (s)‖ =∥∥∥Js (1)

∥∥∥ 6 ∥∥∥Js (1)∥∥∥ = ‖α′ (s)‖

para todo s. Integrando a norma da velocidade sobre o intervalo [0, b], concluımos o resultado. Quando adesigualdade das curvaturas seccionais e estrita, a ultima desigualdade acima tambem e estrita.

9.44 Lema. Seja M uma variedade riemanniana completa, simplesmente conexa com curvatura seccionalK 6 0.

Sejam a, b, c ∈ M e considere o triangulo geodesico T determinado por estes pontos. Sejam os angulosdos vertices , respectivamente, e sejam os comprimentos dos lados , respectivamente. Entao,

A2 +B2 − 2AB cos γ 6 C2

eα+ β + γ 6 π,

com a desigualdade estrita valendo se K < 0.

Prova: Sejam γA, γB , γC as geodesicas de comprimentos A,B,C que formam os lados do triangulo T . PeloTeorema de Hadamard, expc e um difeomorfismo. Sejam

ΓA = exp−1c γA,

ΓB = exp−1c γB ,

ΓC = exp−1c γC ,

curvas em TcM . Como γA e γB sao geodesicas radiais de origem c, temos

A = ` (γA) = ` (ΓA) ,

B = ` (γB) = ` (ΓB) ,

e ΓA,ΓB sao segmentos de reta em TcM . Alem disso, se Γ e o segmento de reta que liga as extremidades deΓC , temos

` (Γ) 6 ` (ΓC)

(pois as retas sao as geodesicas de TcM) e

`2 (Γ) = `2 (ΓA) + `2 (ΓB)− 2` (ΓA) ` (ΓB) cos γ

= A2 +B2 − 2AB cos γ.


Como K 6 0 e TcM tem curvatura nula, segue do lema anterior que

` (ΓC) 6 ` (γC) ,

valendo a desigualdade estrita se K < 0. Isso prova a primeira desigualdade.Para provar a segunda desigualdade, observe que

A = dist (b, c) ,

B = dist (a, c) ,

C = dist (a, b) ,

logo pela desigualdade triangular temos

A 6 B + C,

B 6 A+ C,

C 6 A+B.

Portanto podemos encontrar um triangulo no espaco euclideano TcM cujos lados tem comprimento A, B eC. Denotando os angulos opostos deste triangulo por α, β e γ, segue da primeira desigualdade do lema que

cos α 6 cosα,

cos β 6 cosβ,

cos γ 6 cos γ,

donde

α 6 α,

β 6 β,

γ 6 γ,

valendo a desigualdade restrita se K < 0. Como

α+ β + γ = π,

segue a ultima desigualdade do lema.

9.45 Lema. Seja M uma variedade riemanniana simplesmente conexa com curvatura seccional K < 0. SeF : M −→ M e uma translacao ao longo da geodesica γ, entao γ e a unica geodesica invariante por F .

Prova: Suponha por absurdo que F deixa invariante duas geodesicas distintas γ1 e γ2.Afirmamos que

γ1 (R) ∩ γ2 (R) = ∅.

De fato se p1 ∈ γ1 (R) ∩ γ2 (R), entao F (p1) ∈ γ1 (R) ∩ γ2 (R) tambem, ja que

F (γ1 (R)) = γ1 (R) e

F (γ2 (R)) = γ2 (R) .

Mas F (p1) = p2 6= p1 porque F nao tem pontos fixos. Assim, se γ1 (R) ∩ γ2 (R) 6= ∅, entao a intersecaocontem pelo menos dois pontos distintos p1 e p2. Entao γ1 e γ2 seriam duas geodesicas distintas ligando p1

a p2, contradizendo o Teorema de Hadarmard.


Sejam p1 ∈ γ1 (R), p2 ∈ γ2 (R) e γ3 a geodesica minimizante que liga p1 a p2. Consideremos o quadrilaterogeodesico cujos vertices sao os pontos

p1, F (p1) , p2, F (p2) .

Seus angulos internos sao α , π−α (porque F e uma isometria), β e π−β (pelo mesmo motivo). Portanto, asoma dos angulos internos deste quadrilatero e exatamente 2π. Divida este quadrilatero em dois triangulosgeodesicos T1, T2. Em um vertice do quadrilatero que pertence aos dois triangulos, a soma dos angulosinternos dos triangulos neste vertice comum e maior ou igual ao angulo do quadrilatero neste vertice (noplano seria igual); segue que se

∑i denota a soma dos angulos internos do triangulo geodesico Ti, entao∑

1+∑

2> 2π,

de modo que∑i > π para algum dos triangulos geodesicos, contradizendo o lema anterior.

9.46 Lema. Seja M uma variedade riemanniana com curvatura seccional K < 0. Se F : M −→ M e umatranslacao ao longo da geodesica γ e G : M −→ M e uma isometria sem pontos fixos que comuta com F ,entao G e uma translacao ao longo de γ.

Prova: Basta observar que G (γ) e uma geodesica e

F (G (γ)) = G (F (γ)) = G (γ) ,

logo G (γ) = γ pela unicidade do lema anterior.

9.47 Teorema (Teorema de Preissman). Se M e uma variedade riemanniana compacta com curvaturaseccional negativa, entao todo subgrupo abeliano nao trivial do grupo fundamental π1 (M) e cıclico infinito.

Prova: Seja H um subgrupo de π1 (M). Como vimos acima podemos identificar os elementos de H com

isometrias de M que sao translacoes ao longo de alguma geodesica (observacoes no inıcio da secao e Teorema

9.42). Mostraremos que se todos os elementos de H deixam invariante uma geodesica fixa γ de M , entaoH e cıclico infinito. Isso e suficiente para provar o teorema, pois se H e um subgrupo abeliano diferente daidentidade, em particular seus elementos podem ser identificados com isometrias de M que comutam entre si,logo pelos Lemas 9.46 e 9.47, existe uma geodesica γ de M tal que todos os elementos de H sao translacoesao longo de γ, em particular deixam γ invariante.

Suponha portanto que H e um subgrupo de π1 (M) cujos elementos deixam invariante uma geodesica

fixa γ de M . Fixe um ponto p ∈ γ (R) e considere a aplicacao θ : H −→ R definida por

θ (h) =

−dist (p, h (p)) se h (p) esta antes de p na orientacao de γ,dist (p, h (p)) se h (p) esta depois de p na orientacao de γ.

Como os elementos de H sao isometrias que deixam γ invariante, θ e um homomorfismo de H no grupoaditivo dos reais R, isto e,

θ (h1h2) = θ (h1) + θ (h2) .

Alem disso, θ e um homomorfismo injetivo, pois se h1 (p) = h2 (p) com h1 6= h2, p seria um ponto fixo deh1h

−12 . Portanto, H e isomorfo a um subgrupo aditivo de R. Mas todo subgrupo aditivo de R ou e cıclico

infinito ou e denso em R. Como as isometrias de H operam de modo totalmente descontınuo, H nao e denso.

9.48 Teorema. Se M e uma variedade riemanniana compacta com curvatura seccional negativa, entaoπ1 (M) nao e abeliano.

Prova: Se π1 (M) e abeliano, pelos Teorema 9.42 e Lemas 9.46 e 9.47 existe uma unica geodesica deixada

invariante γ pelas transformacoes de recobrimento do espaco de recobrimento universal M de M .


Fixe um ponto p ∈ γ (R) e um numero real t > 0. Considere uma geodesica unitaria β : [0, t] −→ M tal

que β (0) = p e β e perpendicular a γ em p. Se π : M −→ M e uma aplicacao de recobrimento universal,sejam

β = π β,γ = π γ,p = π (p)

eαt : I −→M

um segmento geodesico minimizante ligando β (t) a p. Afirmamos que

` (αt) = t.

De fato, seja αt o levantamento de αt a partir de β (t). Como γ e invariante, o ponto final de αt pertence

a γ. Logo temos um triangulo geodesico formado por γ, β e αt. Este triangulo e retangulo porque β eperpendicular a γ em p e αt e sua hipotenusa, logo segue do Lema 9.34 que

` (αt) > `(β).

Por outro lado,

` (αt) = ` (αt) 6 ` (β) = `(β)

= t.

Como t e arbitrario, segue que M nao e limitada, contrariando o fato de M ser compacta.

Capıtulo 10

Imersoes Isometricas e SubvariedadesRiemannianas

Seja(M, g

)uma variedade riemanniana de dimensao m = n + k. Se M e uma variedade diferenciavel com

dimensao n tal que existe uma imersaoı : M −→M

e M e dotada da metrica induzida por esta imersao, entao dizemos que ı e uma imersao isometrica de (M, g)em

(M, g

). Se M e compacta, uma imersao injetiva e um mergulho (isto e, M e difeomorfa a sua imagem

em M). Caso contrario, se M nao for compacta mesmo uma imersao injetiva de M em M pode produziruma imagem que nao e uma subvariedade topologica de M .

10.1 Definicao. Seja(M, g

)uma variedade riemanniana de dimensao m = n + k. Se M e uma variedade

diferenciavel com dimensao n tal que existe um mergulho

ı : M −→M

entao (M, g), onde g e a metrica induzida por este mergulho, e chamada uma subvariedade riemannianade M .

Nash [Nash] provou em 1956 que toda variedade riemanniana Mn e uma subvariedade riemanniana de RN .O resultado foi bastante simplificado e melhorado por Gunther [Gunther] em 1989. Ele mostrou que a menordimensao N satisfaz:

N 6 max

n (n+ 5)

2,n2 + 3n+ 10

2

.

Nao se sabe se esta e a menor dimensao possıvel. Para uma demonstracao destes resultados veja [HH], pp.1-31.

Em ambos os casos em que ı e um mergulho ou apenas uma imersao injetiva (uma imersao isometrica),dizemos que M e a variedade ambiente de M . Para imersoes isometricas, cada ponto de M possui umavizinhanca V cuja imagem V = ı (V ) sob a imersao isometrica e uma subvariedade riemanniana de M (jaque toda imersao e localmente um mergulho). Para simplificar a notacao, identificaremos V com V , pontosp ∈ V com p = ı (p) e os vetores v ∈ TpM com os vetores dıp (v) ∈ TpM . A conexao, derivadas covariantese curvaturas de M serao denotadas da forma usual, enquanto que os correspondentes conceitos referentes aM serao denotados com uma barra em cima.

10.2 Definicao. Sejam (M, g) uma variedade riemanniana e(M, g

)sua variedade ambiente. Para cada

p ∈M o produto interno em TpM decompoe este espaco na soma direta

TpM = TpM ⊕ TpM⊥

223


onde TpM⊥ e o complemento ortogonal de TpM em TpM . Logo, se v ∈ TpM , podemos escrever

v = v> + v⊥

onde v> ∈ TpM e chamada a componente tangencial de v e v⊥ ∈ TpM⊥ e chamada a componente

normal de v.

Desta forma podemos definir o conceito de fibrado normal a M ; ele sera denotado por N (M).

10.3 Proposicao. Seja ∇ a conexao riemanniana de M . Se X,Y ∈ T (M), entao

∇XY =(∇XY

)>, (10.1)

onde X,Y sao quaisquer extensoes locais de X,Y a M , define a conexao riemanniana associada a metricainduzida de M .

Prova: Exercıcio 10.1.

10.1 A Segunda Forma Fundamental

Nesta secao compararemos a conexao riemanniana de M com a conexao riemanniana de M atraves dasegunda forma fundamental (a “primeira forma fundamental” era usada classicamente para se referir ametrica induzida de M ; ambas sao formas bilineares simetricas associadas unicamente a M no caso em queesta tem codimensao 1 como veremos mais tarde). Se X,Y ∈ T (M), entao

∇XY =(∇XY

)>+(∇XY

)⊥= ∇XY +

(∇XY

)⊥,

de modo que (∇XY

)⊥= ∇XY −∇XY ∈ N (M) .

10.4 Definicao. Sejam (M, g) uma variedade riemanniana e(M, g

)sua variedade ambiente. A segunda

forma fundamental de M e a aplicacao

II : T (M)× T (M) −→ N (M)

definida por

II (X,Y ) =(∇XY

)⊥, (10.2)

onde X,Y sao quaisquer extensoes locais de X,Y a M .

Observe que a segunda forma fundamental e uma medida da diferenca entre a conexao riemanniana intrınsecade M e a conexao riemanniana ambiente de M .

10.5 Proposicao. A segunda forma fundamental esta bem definida e e uma aplicacao bilinear simetricasobre C∞ (M).

Prova: De fato, a segunda forma fundamental nao depende das extensoes X,Y : se X e outra extensao deX a M , entao (

∇XY)⊥ − (∇XY )⊥ =

(∇XY −∇XY

)−(∇XY −∇XY

)= ∇XY −∇XY= ∇X−XY


e(∇X−XY

)p

= 0 para p ∈M , pois X − X = 0 em M ; usando o provado, se Y e outra extensao de Y a M ,

entao (∇XY

)⊥ − (∇X Y )⊥ =(∇XY −∇XY

)−(∇X Y −∇XY

)= ∇XY −∇X Y

= ∇X(Y − Y

)= 0

pois Y − Y = 0 ao longo de uma curva tangente a Xp que podemos escolher inteiramente contida em M .Para provar a bilinearidade de II, usando a linearidade da conexao, temos

II (X + Z, Y ) =(∇X+ZY

)⊥=(∇X+ZY

)⊥= ∇X+ZY −∇X+ZY = ∇XY +∇ZY −∇XY −∇ZY= ∇XY −∇XY +∇ZY −∇ZY= II (X,Y ) + II (Z, Y ) ,

II (fX, Y ) =(∇fXY

)⊥= ∇fXY −∇fXY = f∇XY − f∇XY

= fII (X,Y ) ,

e

II (X, fY ) =(∇XfY

)⊥= ∇XfY −∇XfY

= f∇XY +(Xf)Y − f∇XY − (Xf)Y

= f∇XY − f∇XY= fII (X,Y ) ,

pois f = f , Xf = Xf e Y = Y em M .A simetria de II segue da simetria da conexao riemanniana. Temos

II (X,Y )− II (Y,X) =(∇XY

)⊥ − (∇YX)⊥=(∇XY −∇XY

)−(∇YX −∇YX

)=(∇XY −∇YX

)− (∇XY −∇YX)

=[X,Y

]− [X,Y ] .

Como[X,Y

]= [X,Y ] em M , segue que

II (X,Y ) = II (Y,X) .

Como a segunda forma fundamental e bilinear sobre C∞ (M), exprimindo II em um sistema de coordenadasvemos que o valor de II (X,Y ) depende apenas de Xp e Yp.

10.2 Equacoes Fundamentais de uma Imersao Isometrica

Embora a segunda forma fundamental seja definida em termos de derivadas covariantes de campos vetoriaistangentes a M , ela tambem pode ser usada para calcular derivadas covariantes de campos vetoriais normaisa M :


10.6 Proposicao (Equacao de Weingarten). Sejam X,Y ∈ T (M) e N ∈ N (M). Entao, em M vale⟨∇XN,Y

⟩= −〈N, II (X,Y )〉 , (10.3)

onde X,Y ,N sao quaisquer extensoes locais de X,Y,N a M .

Prova: Como⟨N,Y

⟩= 0 em M e X e tangente a M , temos

X⟨N,Y

⟩= 0.

Mas, em M ,

X⟨N,Y

⟩=⟨∇XN,Y

⟩+⟨N,∇XY

⟩=⟨∇XN,Y

⟩+⟨N, II (X,Y ) +∇XY

⟩=⟨∇XN,Y

⟩+⟨N, II (X,Y )

⟩+⟨N,∇XY

⟩=⟨∇XN,Y

⟩+⟨N, II (X,Y )

⟩,

pois ∇XY e tangente a M . A segunda forma fundamental desempenha um papel importante na descricao da diferenca entre os

tensores curvatura de M e M :

10.7 Proposicao (Equacao de Gauss). Para todos X,Y, Z,W ∈ TpM vale

R (X,Y, Z,W ) = R (X,Y, Z,W )− 〈II (X,W ) , II (Y, Z)〉+ 〈II (X,Z) , II (Y,W )〉 . (10.4)

Prova: Estenda X,Y, Z,W a campos vetoriais em M e depois considere extensoes X,Y , Z,W de X,Y, Z,Wa M . Em M temos

R (X,Y, Z,W )

=⟨∇X∇Y Z −∇Y∇XZ −∇[X,Y ]Z,W

⟩=⟨∇X (∇Y Z + II (Y,Z)) ,W

⟩−⟨∇Y (∇XZ + II (X,Z)) ,W

⟩−⟨(∇[X,Y ]Z + II ([X,Y ] , Z)

),W⟩

=⟨∇X∇Y Z,W

⟩+⟨∇XII (Y, Z) ,W

⟩−⟨∇Y∇XZ,W

⟩−⟨∇Y II (X,Z) ,W

⟩−⟨∇[X,Y ]Z,W

⟩,

ja que a segunda forma fundamental II ([X,Y ] , Z) e normal a M enquanto que W e tangente a M . Pelaequacao de Weingarten, ⟨

∇XII (Y,Z) ,W⟩

= −〈II (Y,Z) , II (X,W )〉 ,⟨∇Y II (X,Z) ,W

⟩= −〈II (X,Z) , II (Y,W )〉 .

Como

∇X∇Y Z =(∇X∇Y Z

)>+(∇X∇Y Z

)⊥= ∇X∇Y Z +

(∇X∇Y Z

)⊥,

∇Y∇XZ =(∇Y∇XZ

)>+(∇Y∇XZ

)⊥= ∇Y∇XZ +

(∇Y∇XZ

)⊥,

segue que ⟨∇Y∇XZ,W

⟩= 〈∇Y∇XZ,W 〉 ,⟨

∇X∇Y Z,W⟩

= 〈∇X∇Y Z,W 〉 .


Portanto,

R (X,Y, Z,W ) = 〈∇X∇Y Z,W 〉 − 〈∇Y∇XZ,W 〉 −⟨∇[X,Y ]Z,W

⟩− 〈II (Y,Z) , II (X,W )〉+ 〈II (X,Z) , II (Y,W )〉= R (X,Y, Z,W )− 〈II (X,W ) , II (Y, Z)〉+ 〈II (X,Z) , II (Y,W )〉 .

10.8 Corolario. Se p ∈M e X,Y ∈ TpM sao vetores ortonormais, vale

K (X,Y ) = K (X,Y ) + ‖II (X,Y )‖2 − 〈II (X,X) , II (Y, Y )〉 . (10.5)

Prova: Basta lembrar que se X,Y sao ortonormais, entao

K (X,Y ) = R (X,Y, Y,X) .

e usar a formula de Gauss.

10.3 Hiperfıcies

10.9 Definicao. Seja p ∈M e N ∈ TpM⊥. A forma bilinear simetrica

HN : TpM × TpM −→ R

definida porHN (X,Y ) = 〈II (X,Y ) , N〉 (10.6)

e chamada a segunda forma fundamental segundo o vetor N .Associamos a HN de modo natural um operador linear autoadjunto

SN : TpM −→ TpM

definindo〈SN (X) , Y 〉 = HN (X,Y ) (10.7)

para todos X,Y ∈ TpM . Ele e chamado o operador forma segundo o vetor N .

O resultado a seguir expressa o operador forma em termos da derivada covariante.

10.10 Proposicao. Vale

SN (X) = −(∇XN

)>, (10.8)

onde X,N sao quaisquer extensoes locais de X,N a M com N normal a M .

Prova: Segue imediatamente da equacao de Weingarten. O caso particular em que a codimensao de M e 1 merece atencao especial.

10.11 Definicao. Se a codimensao da imersao isometrica ı : M −→M e 1, dizemos que M e uma hiperfıcie.

Hiperfıcies podem ter autointersecoes.Quando M e uma hiperfıcie, existem apenas 2 escolhas para o vetor unitario normal. Se M e M

sao ambas orientaveis e escolhemos orientacoes para M e M entao temos uma escolha unica para o vetorunitario normal: se E1, . . . , En e uma base ortonormal orientada de TpM , escolhemos N de tal formaque E1, . . . , En, N e uma base ortonormal orientada de TpM . Isso produz um campo vetorial normal


diferenciavel em M . Esta escolha fixa a segunda forma fundamental e podemos nos referir simplesmente asegunda forma fundamental H de M e ao operador forma S de M .

Como S e autoadjunta, existe uma base ortonormal orientada E1, . . . , En de TpM formada por auto-vetores, isto e,

S (Ei) = κiEi, i = 1, . . . , n,

onde κ1, . . . , κn sao os autovalores de S. Neste caso dizemos que E1, . . . , En sao as direcoes principais daimersao e κ1, . . . , κn as curvaturas principais. Esta nomenclatura e justificada entre outras coisas pelaequacao de Gauss:

10.12 Proposicao. Se M e uma hiperfıcie,

K (Ei, Ej)−K (Ei, Ej) = κiκj . (10.9)

Alem disso, podemos escrever a segunda forma fundamental de M como

H (X,Y ) =n∑i=1

κiXiY i.

Prova: Como

H (Ei, Ei) = 〈S (Ei) , Ei〉 = 〈κiEi, Ei〉 = κi 〈Ei, Ei〉 = κi,

H (Ei, Ej) = 〈S (Ei) , Ej〉 = 〈κiEi, Ej〉 = κi 〈Ei, Ej〉 = 0,

e como

H (X,Y ) = 〈II (X,Y ) , N〉 = 〈‖II (X,Y )‖N,N〉 = ‖II (X,Y )‖ 〈N,N〉= ‖II (X,Y )‖ ,

segue do Corolario 7.8 que

K (Ei, Ej) = K (Ei, Ej)− 〈II (Ei, Ei) , II (Ej , Ej)〉= K (Ei, Ej)− ‖II (Ei, Ei)‖ ‖II (Ej , Ej)‖ 〈N,N〉= K (Ei, Ej)− κiκj .

A expressao para a segunda forma fundamental de M segue imediatamente por bilinearidade e ortonorma-lidade.

10.13 Definicao. Se M e uma hiperfıcie, definimos a curvatura de Gauss de M por

κ = detS = κ1 . . . κn

e a curvatura media de M por

h =1

ntrS =

κ1 + . . .+ κnn

.

10.14 Teorema (Teorema Egregium de Gauss). Se M2 e uma hiperfıcie em R3, entao para qualquer p ∈Me para quaisquer vetores linearmente independentes X,Y de TpM

κ (p) = K (X,Y ) .

Portanto, a curvatura de Gauss e um invariante isometrico de (M, g).

Prova: Segue imediatamente da Proposicao 10.12, ja que K = 0 para R3 e a curvatura seccional e uminvariante do plano gerado pelos vetores.


10.4 Imersoes Totalmente Geodesicas

10.15 Definicao. Se M e uma variedade riemanniana e α : I −→ M e uma curva diferenciavel unitaria,definimos a curvatura de α em α (s) por

κ (s) =

∥∥∥∥Dα′dt(s)

∥∥∥∥ .

Se M = Rn, esta definicao coincide com o conceito classico de curvatura. Note que α e uma geodesica se esomente se a curvatura de α e identicamente nula.

Se ı : M −→M e uma imersao isometrica injetiva, entao uma curva α : I −→M possui duas curvaturas κe κ; em particular, geodesicas de M nao sao necessariamente geodesicas de M . A relacao entre as curvaturase dada pela segunda forma fundamental.

10.16 Lema (Formula de Gauss ao longo de uma curva). Sejam (M, g) uma variedade riemanniana e(M, g

)sua variedade ambiente. Se α : I −→M e uma curva diferenciavel, para qualquer campo vetorial V

tangente a α valeDV

dt=DV

dt+ II (α′, V ) .

No caso especial em que V = α′, obtemos a seguinte formula para a aceleracao de uma curva em M :

Dα′

dt=Dα′

dt+ II (α′, α′) .

Em particular, se α e uma geodesica de M com velocidade unitaria,

κ (s) = ‖II (α′, α′)‖ .

Prova: Seja E1, . . . , En um referencial ortonormal ao longo de α. Escrevendo

V (t) =

n∑i=1

V i (t)Ei (t) ,

segue que

DV

dt=

n∑i=1

dV i

dt(t)Ei (t) +

n∑i=1

V i (t)DEidt

(t)

=

n∑i=1

dV i

dt(t)Ei (t) +

n∑i=1

V i (t)∇α′Ei (t)

=

n∑i=1

dV i

dt(t)Ei (t) +

n∑i=1

V i (t)∇α′Ei (t) +

n∑i=1

V i (t) II (α′, Ei)

=

n∑i=1

dV i

dt(t)Ei (t) +

n∑i=1

V i (t)DEidt

(t) + II (α′, V )

=DV

dt+ II (α′, V ) .

Assim, obtemos a seguinte interpretacao geometrica para a segunda forma fundamental: para cada vetorV ∈ TpM , II (V, V ) e a aceleracao com relacao a metrica de M em p da geodesica radial em M partindo dep; se V e unitario, ‖II (V, V )‖ e a curvatura com relacao a metrica de M em p da geodesica radial em Mpartindo de p.


10.17 Definicao. Dizemos que uma imersao isometrica ı : M −→ M e totalmente geodesica se todageodesica de M e uma geodesica de M .

10.18 Proposicao. ı : M −→ M e totalmente geodesica se e somente se a segunda forma fundamental deM e identicamente nula.

Prova: Como as geodesicas sao caracterizadas como sendo curvas de curvatura nula, segue do lema anteriorque uma geodesica radial α : I −→ M partindo de p ∈ M com velocidade V = α′ (0) e tambem umageodesica de M , se e somente se II (V, V ) = 0. Como para cada V ∈ TpM existe uma tal geodesica emM , segue que ı : M −→ M e totalmente geodesica se e somente se II (V, V ) = 0 para todo vetor unitarioV ∈ TpM . Mas para uma forma bilinear simetrica, isto implica que II ≡ 0 em TpM , pois

II (V,W ) =1

4(II (V +W,V +W )− II (V −W,V −W )) .

10.5 Exercıcios

10.1 Prove a Proposicao 10.3.

10.2 Mostre que se α : I −→M e uma curva regular (isto e, α′ (t) 6= 0 para todo t), entao a curvatura deα em t e

κ (t) =1

‖α′ (t)‖2

∥∥∥∥Dα′dt(t)

∥∥∥∥− 1

‖α′ (t)‖3

⟨Dα′

dt(t) , α′ (t)

⟩.

Capıtulo 11

Grupos de Isometria

11.1 Derivada de Lie de Campos Tensoriais Covariantes

Primeiramente, definimos pullbacks de campos tensoriais:

11.1 Definicao. Sejam M e N variedades diferenciaveis e F : M −→ N um difeomorfismo. Definimos aaplicacao pullback

F ∗ : Tk (N) −→ Tk (M)

por(F ∗T )p (v1, . . . , vk) = TF (p) (dFp (v1) , . . . , dFp (vk)) .

11.2 Definicao. Sejam X ∈ T (M) um campo vetorial, T ∈ T k (M) um campo tensorial covariante, p ∈Me ϕt o fluxo local do campo X em uma vizinhanca V de p em M . A derivada de Lie do tensor T na direcaodo campo X em p e definida por

(LXT )p = limt→0

(ϕ∗t )p(Tϕt(p)

)− Tp

t=

d

dt(ϕ∗t )p Tϕt(p)

∣∣∣∣t=0

.

11.3 Teorema. Se X ∈ T (M) e um campo vetorial, T ∈ T k (M) um campo tensorial covariante, p ∈M eϕt o fluxo local do campo X em uma vizinhanca V de p em M , entao

(LXT ) (X1, . . . , Xk) = X (T (X1, . . . , Xk))−k∑i=1

T (X1, . . . , [X,Xi] , . . . , Xk)

Prova: Em particular, para campos tensoriais 2-covariantes temos

(LXT ) (Y,Z) = X (T (Y,Z))− T ([X,Y ] , Z)− T (Y, [X,Z]) . (11.1)

11.2 Campos de Killing

11.4 Definicao. Dizemos que um campo vetorial X ∈ T (M) em uma variedade riemanniana M e umcampo de Killing se

LXg = 0.

231


Em outras palavras, X e um campo de Killing se a derivada de Lie do tensor metrica na direcao de Xse anula, isto e, o tensor metrica e constante ao longo das curvas integrais do campo X. Isso sugere ainterpretacao de um campo de Killing como uma isometria infinitesimal. Esta nocao pode ser tornada maisprecisa pelo seguinte resultado:

11.5 Proposicao. X e um campo de Killing se e somente se o seu fluxo local ϕt e uma isometria para todot.

Prova: Se ϕt e uma isometria para todo t, entao ϕ∗t (g) = g para todo t, logo segue imediatamente dadefinicao de derivada de Lie que LXg = 0.

Reciprocamente, assuma LXg = 0. Fixe um ponto arbitrario p ∈ M e vetores arbitrarios v, w ∈ TpM edefina

f (t) = fp,v,w (t) =⟨d (ϕt)p v, d (ϕt)p w

⟩.

Mostraremos que f e constante, o que implicara⟨d (ϕt)p v, d (ϕt)p w

⟩=⟨d (ϕ0)p v, d (ϕ0)p w

⟩= 〈v, w〉 ,

para todos p ∈M, v,w ∈ TpM , isto e, ϕt e uma isometria.Pela definicao da derivada de Lie,

f ′ (0) =d

dt

⟨d (ϕt)p v, d (ϕt)p w

⟩∣∣∣∣t=0

= limt→0

⟨d (ϕt)p v, d (ϕt)p w

⟩− 〈v, w〉

t

= limt→0

(ϕ∗t )p g (v, w)− g (v, w)

t

= limt→0

(ϕ∗t )p g − gt

(v, w)

= 0,

isto e,f ′p,v,w (0) = 0 (11.2)

para todos p ∈M,v,w ∈ TpM . Por outro lado,

f ′ (s) = limt→0

f (s+ t)− f (s)

t= limt→0

⟨d (ϕs+t)p v, d (ϕs+t)p w

⟩−⟨d (ϕs)p v, d (ϕs)p w

⟩t

.

Como o fluxo de um campo vetorial satisfaz

ϕt ϕs = ϕt+s = ϕs+t,

segue da regra da cadeia que⟨d (ϕs+t)p v, d (ϕs+t)p w

⟩=⟨d (ϕt)ϕs(p) d (ϕs)p v, d (ϕt)ϕs(p) d (ϕs)p w

⟩.


Daı,

f ′ (s) = limt→0

⟨d (ϕt)ϕs(p) d (ϕs)p v, d (ϕt)ϕs(p) d (ϕs)p w

⟩−⟨d (ϕs)p v, d (ϕs)p w

⟩t

=d

dt

⟨d (ϕt)ϕs(p)

[d (ϕs)p v

], d (ϕt)ϕs(p)

[d (ϕs)p w

]⟩∣∣∣∣t=0

=d

dt

⟨d (ϕt)ϕs(p) V, d (ϕt)ϕs(p)W

⟩∣∣∣∣t=0

= f ′ϕs(p),V,W (0)

= 0,

onde denotamos V = d (ϕs)p v,W = d (ϕs)p w e usamos (11.2). Isso completa a demonstracao que f econstante.

11.6 Proposicao. X e um campo de Killing se e somente se

X 〈Y,Z〉 = 〈[X,Y ] , Z〉+ 〈Y, [X,Z]〉 (11.3)

Prova: Segue de (11.1) que X e um campo de Killing se e somente separa todos os campos vetoriais Y,Z.

11.7 Proposicao. X e um campo de Killing se e somente se

〈∇YX,Z〉 = −〈∇ZX,Y 〉 . (11.4)

Em particular,〈∇YX,Y 〉 = 0.

Prova: Temos〈∇YX,Z〉+ 〈∇ZX,Y 〉 = 0

se e somente se (pelo fato da conexao riemanniana ser simetrica)

〈∇XY − [X,Y ] , Z〉+ 〈∇XZ − [X,Z] , Y 〉 = 0,

ou seja,〈∇XY, Z〉+ 〈∇XZ, Y 〉 = 〈[X,Y ] , Z〉+ 〈[X,Z] , Y 〉 ,

que e equivalente (pela compatibilidade da metrica) a

X 〈Y,Z〉 = 〈[X,Y ] , Z〉+ 〈Y, [X,Z]〉 ,

que por sua vez e equivalente a X ser um campo de Killing pela proposicao anterior. A equacao (11.4), que significa que ∇X e antisimetrica com relacao a metrıca, e as vezes chamada equacaode Killing.

11.8 Lema (Lema de Conservacao). Se X e um campo de Killing e γ e uma geodesica, entao a restricao

X (t) = Xγ(t)

e um campo de Jacobi e〈X, γ′〉 ≡ constante.


Prova: Seja ϕs o fluxo local de X. Como ϕs e uma isometria, para cada s fixado ϕs (γ (t)) e uma geodesicada variedade, logo

F (s, t) = ϕs (γ (t))

e uma variacao geodesica de γ. Para t fixado, ϕs (γ (t)) e uma curva integral do campo X, logo

∂F

∂s(0, t) = Xγ(t),

ou seja, X (t) = Xγ(t) e o campo variacional desta variacao e portanto e um campo de Jacobi (Proposicao7.2).

Como γ e uma geodesica, segue que

d

dt〈X, γ′〉 =

⟨dX

dt, γ′⟩

+

⟨X,

dγ′

dt

⟩= 〈∇γ′X, γ′〉+ 0 = 0,

pela proposicao anterior. Observamos que pela definicao do tensor derivada covariante total,

∇X (Y ) = ∇YX,

de modo que (∇X)p = 0 significa simplesmente que

∇YX = 0

para todo Y ∈ TpM .

11.9 Proposicao. Seja X um campo de Killing em uma variedade riemanniana conexa M .Se Xp = 0 e (∇X)p = 0 para algum ponto p ∈M , entao X = 0.Em particular, se X e Y sao campos de Killing tais que

Xp = Yp,

(∇X)p = (∇Y )p ,

para algum ponto p, entao X = Y .

Prova: Seja

A =x ∈M : Xp = 0 e (∇X)p = 0

.

Como A e claramente fechado, basta mostrar que A e aberto para concluir o resultado. Dado q ∈ A, seja Vuma vizinhanca normal de q. Se γ e uma geodesica radial partindo de q, pelo lema de conservacao Xγ(t) eum campo de Jacobi. Mas

Xγ(0) = Xq = 0,

d

dtXγ(t) = ∇γ′(0)X = (∇X)γ(0) γ

′ (0) = (∇X)q γ′ (0) = 0.

Como campos de Killing sao geometrias infinitesimais, o resultado pode ser visto como um analogo infinite-simal da unicidade de isometrias locais (Proposicao 4.21).


11.3 Algebra de Lie dos Campos de Killing

11.10 Proposicao. A derivada de Lie satisfaz

L[X,Y ] = [LX ,LY ] ,

ou seja,L[X,Y ]T = LXLY T + LY LXT.

Prova: Veja [Lee 1], Exercıcio 12-11.

11.11 Corolario. Se X,Y sao campos de Killing, [X,Y ] tambem e.

Vimos no Exemplo 2.20, que o espaco vetorial T (M) equipado com o colchete de Lie e uma algebra deLie. Segue do corolario que o subespaco vetorial dos campos de Killing (a combinacao linear dos camposde Killing e um subespaco vetorial porque a derivada de Lie e R-linear) e uma subalgebra de Lie de T (M).Enquanto T (M) e um espaco vetorial de dimensao infinita, o subespaco vetorial dos campos de Killing temdimensao finita, o que torna ela uma algebra de Lie muito mais conveniente de se trabalhar:

11.12 Proposicao. A algebra de Lie K (M) dos campos de Killing de uma variedade riemanniana dedimensao n tem dimensao no maximo igual a n (n+ 1) /2.

Prova: Fixe p ∈M e seja G (TpM) a algebra de Lie dos operadores lineares anti-simetricos em TpM . Definao operador linear

E : K (M) −→ TpM × G (TpM)

por

EX =(Xp, (∇X)p

).

Pelo lema de conservacao (Lema 11.8), E e um isomorfismo, logo

dimK (M) 6 dimTpM + dimG (TpM)

= n+n (n− 1)

2=n (n+ 1)

2.

Lembre-se que um campo vetorial e completo se as suas curvas integrais estao definidas na reta toda,

ou seja, o seu fluxo ϕt esta definido para todo t ∈ R (e um fluxo global, ao inves de um fluxo meramentelocal).

11.13 Proposicao. Em variedades riemannianas completas, todo campo de Killing e completo.

Prova: Veja [ONeill], Proposicao 9.30, p. 254.

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notas de aula de geometria riemanniana

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